Конструктивный подход к численному решению квазилинейных

уравнений переноса

А.П. Фаворский1, А.М. Галанина2, В.А. Исаков3

_________________________________1 МГУ им. М.В. Ломоносова, профессор, 117899, Москва, Воробьёвы горы, д.1, e-mail: galaninaanna@gmail.com2 МГУ им. М.В. Ломоносова, аспирант, 117899, Москва, Воробьёвы горы, д.1, e-mail: galaninaanna@gmail.com3 МГУ им. М.В. Ломоносова, аспирант, 117899, Москва, Воробьёвы горы, д.1, e-mail: victorisakov88@gmail.com

Московский Государственный Университет им. М.В. Ломоносова

Введение

Уравнения переноса:

• составляют неотъемлемую часть математического описания многих явлений;• оказываются ключевым моментом при рассмотрении и построении решения многих задач (например, перенос инвариантов Римана в газовой динамике);• уравнение переноса суть простой и содержательный представитель уравнений гиперболического типа, удобный для обсуждения методов численного решения, включая квазилинейный случай;

Требования, предъявляемые к построению численного решения:

• явность;

• сохранение монотонности профиля решения;

• приемлемая точность на «гладких» участках решения;

• соблюдение законов сохранения в потоковой форме;

• отсутствие специальных регуляризаторов (искусственной вязкости, например);

Постановка задачи

,0

xu

utu

Квазилинейное уравнение переноса

10 x (1)

Дивергентная потоковая форма уравнения переноса:

;0

xW

tu где потокuW 2/2 (2)

Проводится построение финитного решения на постоянном фоне в предположении отсутствия влияния граничных условий

Построение численного решения

Проводятся линии ,kuu параллельные фону.

Решение в начальный момент времени заменяется кусочно - линейной функцией где ,0,xuл .0,0, kkkл xuuxu Значения остаются постоянными, перемещаясь вдоль линий с постоянной характеристической скоростью

ku:kk ua

kkk uadtdx kuu

Свойства кусочно-линейной функции txuл ,

• Эволюция кусочно-линейной функции: воспроизводится точно;• Замена произвольной достаточно гладкой исходной функции

кусочно-линейной происходит с порядком при достаточно малых шагах по времени ;• Однозначное решение выстраивается до момента возникновения «градиентной катастрофы». В последующие моменты времени следует вводить разрыв функции исходя из условия Гюгонио на фронте волны.• Рассмотренный подход распространяется на квазилинейные уравнения более общего вида:

txuл , 22 hO kkk utxtxt 1 txuл ,

;0

xuF

tu

монотонная функция

txuxu лл ,0,

uF

Построение локального, линейного сплайна

ntt n

на отрезке hkxxhkxkk

2

12

12

12

1

на момент времени

2121 kk xxx ntt

:),( ntxy

kknknn xxyutxytxu ,,

Функция u(x,t) на отрезке

заменяется локально-линейным сплайном

при

где

huu

uh

uuu

uu

uuuuy

nk

nk

x

nk

nk

xxx

xxxxk

11 ,,

Такая кусочно-линейная функция не нарушает монотонности профиля на отрезке [1]. 2121 kk xxx

Величина ky характеризует собой наклон сплайна.

0ky соответствует построению схемы первого порядка

Расслоение сплайновой функцииДля вычисления необходимых при построении разностной схемы интегральных потоков на границах ячейки линейный сплайн заменяется структурой ступенчатых функций («малых возмущений»), расположенных последовательно одна на другой, отсчитывая от фона.

Скорость перемещения «кирпича» вдоль оси x определяется по формуле

2][][ 1 mm

k

km

yyuF

D

где my и 1my - значения на соответствующих слоях. ntxy ,«Малые возмущения» распространяются вдоль характеристики.

Если скорость , то соответствующий «кирпич» имеет возможность пересечь границу ячейки . В этом случае из ячейки в ячейку перейдёт интегральное количество функции равное

0mD21 kxx

k 1ku

211 ˆ kkmm xxyy

Вычисление интегральных потоков

Интегральный поток за время через границу расчетной ячейки , соответствующий перемещению «кирпичей» из ячейки в ячейку , равен

21 kxxt

k 1k

m

kkmm xxyykIW 211 ˆ21

Фоновый поток определяется по формуле

0,5.0

0,0221

ff

fфонk utu

uIW

Результирующий интегральный поток через границу равен

21kIW21 kxx

21212121

kkIWIW IWIWфонkk

21

kIW

Разностная схема

• имеет второй порядок точности на гладких решениях;• схема консервативна;• не нарушает монотонность профиля волны, включая разрывные решения;• является устойчивой при соблюдении условия Куранта:

• учёт задания граничных значений функции на границах не представляет затруднений;• схема не содержит искусственных регуляризаторов;

max2uh

t

h

IWIWuu kkn

knk

21211

u

Результаты численных расчетов

Квазилинейное уравнение переноса. Точное решение

Расчет по сплайн-схеме: синусоидальный импульс

Расчет по сплайн-схеме: ступенчатый импульс

Построение схемы для уравнений газовой динамики

Одномерные уравнения газовой динамики в дивергентной форме

0

xF

tf

где

f - любая из функций 2,, 2ueuq

F - потоки: upueWEpuqWQuWM ,,Система уравнений замыкается уравнением состояния

1p

где - показатель адиабаты.

Построение разностной схемы

Численное решение системы уравнений строится в классе сеточных функций , отнесенных к центрам ячеек равномерной по направлениям координат и прямоугольной сетки с шагами и .

Границы пространственных ячеек проходят через полуцелые точки .

Построение схемы проводится интегро-интерполяционным методом. Все уравнения системы последовательно интегрируются по прямоугольной пространственно-временной ячейке:

nkf

x tx t

k xkxk 2121

12121 ,, nnkk ttxx

Интегральные балансные соотношения

021211

nk

nk

nk

nk FIFIxff

Выражают законы сохранения массы, импульса и энергии газа.

Величины:

dxtxx

k

k

x

x

n

n

k

nk ,

1 21

21

- средняя по ячейке на момент времени объемная плотность;

k

ntt

- объемная плотность импульса;

dxtxutxx

qq n

x

x

n

n

k

nk

k

k

, ,1 21

21

-объемная плотность полной энергии;

dx

txutxtx

xee n

n

x

x

n

n

k

nk

k

k

2,

, ,1 221

21

dxtxutxx

uu n

x

x

nnk

n

k

nk

k

k

, , 1 21

21

- средняя по массе ячейки скорость;

dxtxtxx n

x

x

nnk

n

k

nk

k

k

, , 1 21

21

- средняя по массе ячейки внутренняя энергия;

nk

nk

nkp , - дискретный аналог уравнения состояния;

Величины

1

,2121

n

n

t

t

knk dttxFFI

равны интегральным по времени потокам F

в сечениях 21 kxx

Аппроксимация интегрального потокаЛокально-линейная сплайн-реконструкция функций

Величина

nkD

заменяем локально-линейным сплайном, моделирующим её поведение в пределах ячейки

на момент времени :

Функцию

f

21,21 kxkxk ntt

knk

nknk xxDftxxf ,;

где

, uf или

p характеризует угол наклона сплайна и вычисляется по формуле:

nix

nix

nix

nix

nix

nixn

kff

ffffD

,,

,,,,

где

xff

fx

fff

ni

nin

ix

ni

nin

ix

1

,1

, ,

Расслоение (разбиение) линейных сплайн-функций

Горизонтальное сечение, ближайшее к среднему между значениями сплайн-функций и на границе раздела ячеек и , назовём общим постоянным фоном .

nkk txxf ,;21 nkk txxf ,; 121

21 kxx k 1k

21kf

Акустическое приближение для малых возмущений

В течение времени от до каждое малое возмущение распадается на волны Римана, бегущие каждая по своему фону в соответствии с известным решением уравнений акустики:

t ntt 1 ntt txptxutx , ,, ,,

0

01

0

2

xu

cxp

utp

xp

xu

utu

xu

xu

t

где pс

Малые возмущения на каждом слое в соответствии с решением линеаризованной системы имеют следующий вид:

txptxutx , ,, ,,

00

2000000 111

2,

p

cp

cup

cu

сtx

0000 11

21

, pc

upc

utxu

0000 11

2, p

cup

cu

ctxp

где - соответствующие характеристики, а через обозначены отклонения плотности, скорости и давления от своих фоновых значений на момент времени .

tuxtcuxtcux 0 , , 000 , , pu

, , puntt

Вычисление интегрального потока 21kWQI

Интегральный по времени поток импульса через границу из ячейки в ячейку за время

равен

21kWQI

21 kxxk 1k nn ttt 1

Здесь - поток, обусловленный общим постоянным фоном с параметрами

tpu k 21

2. , , 212121 kkk pu

Вклад от послойных возмущений связан с вычислением интегралов от ступенчатых функций возмущений

M

mmkmkmkkk WQIWQIWQItpuWQI

1,21,21

0,2121

221

dtpc

uc

cuWQI

n

n

t

t

mmm

mm

mmmmk

12

1

002

,21

1

1

00

20020

,21

n

n

t

t

mm

mmmk dtξδpc

ξδρuWQI

Представление алгоритма в переменных Лагранжа

Алгоритм численного решения уравнений газовой динамики в переменных Лагранжа не отличается от изложенного выше и даже несколько проще, поскольку число волн Римана сокращается с трёх до двух.

Результаты численных расчётов

Расчет задачи с гладким начальным профилем. Приводятся графики точного и приближенного решения (функция скорости) на последовательные моменты времени.

Пример расчета задачи о распаде произвольного разрыва

(a) – функция скорости в эйлеровых переменных на фиксированный момент времени при различных шагах и ;x t

(б) – функция давления в лагранжевых переменных в различные моменты времени при фиксированных шагах и .

xt

Расчёт цилиндрического взрыва

Распространение газовых струй от двигателей самолёта в отсутствие экрана

Взаимодействие струи с отбойником

экспериментатор И.К. Ермолаев

Расчет взаимодействия газовых струй, вылетающих из двигателя самолёта, с отражающим экраном

Свойства разностной схемы

• схема является явной;• не содержит искусственных регуляризаторов;• воспроизводит гладкие решения со вторым порядком точности на реальных сетках;• численное решение слабо зависит от числа Куранта при соблюдении условия устойчивости:

где ;

• схема монотонна на гладких решениях и квазимонотонна в окрестности разрывов, структура фронта которых занимает 2 – 3 интервала расчётной сетки;• схема допускает обобщение на случай двух и трёх пространственных измерений.

2maxmax xtuc

kk uucckk

max ,maxmaxmax

Список литературы

1. Фаворский А.П., Тыглиян М.А., Тюрина Н.Н., Галанина А.М., Исаков В.А. Численное моделирование распространения гемодинамических импульсов // Мат. Моделирование. 2009. Т. 21 № 12. с. 21-34.

2. Фаворский А.П., Тыглиян М.А., Тюрина Н.Н., Галанина А.М., Исаков В.А. Численное моделирование распространения акустических импульсов в гемодинамике // Дифференциальные уравнения. 2009. Т. 45 № 8. с. 1179-1187.

3. Абакумов М.В., Галанина А.М., Исаков В.А., Тюрина Н.Н., Фаворский А.П., Хруленко А.Б. Квазиакустическая схема для уравнений Эйлера газовой динамики // Дифференциальные уравнения. 2011. Т. 47 № 8. с. 1092-1098.

Спасибо за внимание!