33

Розділ ІV. РІВНЯННЯ, НЕРІВНОСТІ, ФУНКЦІЇТаблиця Таблиця 30. РІВНЯННЯ З ОДНІЄЮ ЗМІННОЮ30. РІВНЯННЯ З ОДНІЄЮ ЗМІННОЮ

(áë. 783–850)(áë. 783–850)

Ìóõàì

åä ³áí Ìóñà àë-

õîðå

çì³Ì

óõàì

åä ³áí Ìóñà àë-

õîðå

çì³

? – 15 = 30

Îçíà÷åííÿгâí³ñòü, ÿêà ì³ñòèòü çì³ííó, ïîçíà÷åíó áóê-âîþ, íàçèâàþòü ð³âíÿííÿì. Êîðåíåì ð³âíÿííÿ íàçèâàþòü òå çíà÷åííÿ çì³í-íî¿, ïðè ÿêîìó öå ð³âíÿííÿ ïåðåòâîðþºòüñÿ íà ïðàâèëüíó ÷èñëîâó ð³âí³ñòü.Íàïðèêëàä: êîð³íü ð³âíÿííÿ 3x − 1 = 5 º ÷èñ-ëî 2, îñê³ëüêè 3 ∙ 2 − 1 = 5.Ðîçâ’ÿçàòè ð³âíÿííÿ — îçíà÷ຠçíàéòè âñ³ éîãî êîðåí³ àáî âñòàíîâèòè, ùî ¿õ íåìàº.

гâíîñèëüí³ ð³âíÿííÿÄâà ð³âíÿííÿ íàçèâàþòü ð³âíîñèëüíèìè, ÿêùî âîíè ìàþòü îäí³ é ò³ ñàì³ êîðåí³ àáî íå ìàþòü êîðåí³â. Çíàê ð³âíîñèëüíîñò³ ð³âíÿíü ⇔.Íàïðèêëàä: 1) x + 1 = 3 ⇔ x − 1 = 1, îñê³ëüêè âîíè ìàþòü êîð³íü x = 2; 2) x − 1 = x ⇔ x2 = −1.

Òåîðåìè ïðî ð³âíîñèëüí³ ð³âíÿííÿ1. Äëÿ áóäü-ÿêîãî ÷èñëà a ð³âíîñèëüí³ ð³âíÿí-íÿ:

= ³ + a = + a; = ³ − a = − a.

Íàïðèêëàä: x + 1 = 2 ⇔ x = 2 − 1;x − 1 = 3 ⇔ x = 3 + 1.

2. Äëÿ áóäü-ÿêîãî ÷èñëà a ≠ 0 ð³âíîñèëüí³ ð³â-íÿííÿ.

= ³ ∙ a = ∙ a;

= ³ a a

= .

Íàïðèêëàä: x2

2= ⇔ x = 4;

2x = 4 ⇔ x = 2.

3. гâíîñèëüí³ ð³âíÿííÿ: + = ³ = − ; + = ³ = − ; + = ³ + − = 0.

Íàïðèêëàä: x + 3 = 5 ⇔ x = 5 − 3;3 + x = −x ⇔ x + x = −3.

Ñèñòåìè ³ ñóêóïíîñò³ ð³âíÿíü ç îäí³ºþ çì³ííîþ

Ñèñòåìà ð³âíÿíü — ð³âíÿííÿ, â³äíîñíî ÿêèõ ñòàâèòüñÿ çàäà÷à: çíàéòè ñï³ëüí³ êîðåí³.Çíàê ñèñòåìè — {.

2 + 2 = 0 ⇔ ==

⎧⎨⎩

0,

.0 = ⇔

2 2

0

=⋅ ≥

⎧⎨⎩

,

.

= * ⇔

⋅ = ⋅≠≠

⎧

⎨⎪

⎩⎪

*,

,

.

0

0Íàïðèêëàä: (x2 − 1)2 + (x − 1)2 = 0 ⇔

⇔ x

x

2 1 0

1 0

− =− =

⎧⎨⎩

,

; ⇔

x

x

= ±=

⎧⎨⎩

1

1

,

; ⇔ x = 1.

Ñóêóïí³ñòü ð³âíÿíü — ð³âíÿííÿ, â³äíîñíî ÿêèõ ñòàâèòüñÿ çàäà÷à: çíàéòè âñ³ êîðåí³ äà-íèõ ð³âíÿíü.Çíàê ñóêóïíîñò³ — [.

∙ = 0 ⇔ ==

⎡

⎣⎢

0

0

,

.

Íàïðèêëàä:

(x − 1) (x − 2) = 0 ⇔ x

x

− =− =

⎡

⎣⎢

1 0

2 0

,

; ⇔

⇔ x

x

==

⎡

⎣⎢

1

2

,

; ⇔ x = 1, x = 2.

Îáëàñòü äîïóñòèìèõ çíà÷åíü ð³âíÿííÿ (ÎÄÇ)ÎÄÇ — öå ìíîæèíà çíà÷åíü çì³ííî¿, ïðè ÿêèõ âèðàçè â îáîõ ÷àñòèíàõ ð³âíÿííÿ âèçíà÷åí³.

Íàïðèêëàä: ÎÄÇ ð³âíÿííÿ x

xx

−=

1 º ìíîæè-

íà (−∞; 1) ∪ (1; +∞).

34

Таблиця Таблиця 31. НЕРІВНОСТІ З ОДНІЄЮ ЗМІННОЮ31. НЕРІВНОСТІ З ОДНІЄЮ ЗМІННОЮ

> — á³ëüøå,< — ìåíøå, ≤ — ìåíøå àáî äîð³âíþº (íå á³ëüøå),≥ — á³ëüøå àáî äîð³âíþº (íå ìåíøå).

? − 20 ≤ 15

Çíàêè >, < âèêîðèñòàâ Ò. Ãàðð³îò (1631 ð.),

à çíàêè ≥, ≤ — Ï. Áó÷å.

Çíàê ∞ ââ³â Äæ. Âàëë³ñ (1655 ð.)

a > b c < d

Îçíà÷åííÿÍåð³âí³ñòþ ç îäí³ºþ çì³ííîþ íàçèâàþòü äâà âèðàçè ç³ çì³í-íîþ, ñïîëó÷åí³ çíàêîì:

>, <, ≤, ≥.Ðîçâ’ÿçêîì íåð³âíîñò³ íàçèâà-þòü çíà÷åííÿ çì³ííî¿, ïðè ÿêî-ìó íåð³âí³ñòü ïåðåòâîðþºòüñÿ íà ïðàâèëüíó ÷èñëîâó íåð³âí³ñòü. Íàïðèêëàä, ÷èñëî 5 º ðîçâ’ÿçêîì íåð³âíîñò³ x + 1 > 4, îñê³ëüêè 5 + 1 > 4.Ðîçâ’ÿçàòè íåð³âí³ñòü îçíà÷ຠçíàéòè âñ³ ¿¿ ðîçâ’ÿçêè àáî äî-âåñòè, ùî ¿õ íåìàº.

гâíîñèëüí³ íåð³âíîñò³Äâ³ íåð³âíîñò³ íàçèâàþòü ð³âíîñèëüíèìè, ÿêùî ìíîæèíè ¿õ ðîçâ’ÿçê³â çá³ãàþòüñÿ.Òåîðåìè ïðî ð³âíîñèëüí³ íåð³âíîñò³1. Äëÿ áóäü-ÿêîãî ÷èñëà a ð³âíîñèëüí³ íåð³âíîñò³:

> ³ + a > + a; > ³ − a > − a.2. Äëÿ áóäü-ÿêîãî ÷èñëà a > 0 ð³âíîñèëüí³ íåð³âíîñò³:

> ³ ∙ a > ∙ a; > ³ a a

> .

3. Äëÿ áóäü-ÿêîãî ÷èñëà a < 0 ð³âíîñèëüí³ íåð³âíîñò³:

> ³ ∙ a < ∙ a; > ³ a a

< .

Íàïðèêëàä: x + 3 > 4 ⇔ x > 1; x2

3> ⇔ x > 6; 5x > 10 ⇔ x >2.

(Ó ñôîðìóëüîâàíèõ òåîðåìàõ ìîæíà çàì³ñòü çíàêà > ïîñòàâèòè îäèí ç³ çíàê³â ≥, <, ≤ 0, à çàì³ñòü çíàêà < â³äïîâ³äíî ≤, >, ≥, òîä³ îäåðæèìî ³íø³ òåîðåìè.)

∙ ≥ 0 ⇔

≥≥

⎧⎨⎩

≤≤

⎧⎨⎩

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢⎢

0

0

0

0

,

;

,

.

∙ ≤ 0 ⇔

≥≤

⎧⎨⎩

≤≥

⎧⎨⎩

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢⎢

0

0

0

0

,

;

,

.

≥*

⇔

⋅ ≥ ⋅

⋅ >

⎧⎨⎪

⎩⎪

⋅ ≤ ⋅

⋅ <

⎧⎨⎪

⎩⎪

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

****

,

.

,

.

0

0

Ðîçâ’ÿçêè íåð³âíîñò³ òà ¿õ ïîçíà÷åííÿ

Íàçâà Ïîçíà÷åííÿ ÇîáðàæåííÿÇàïèñ ó âèãëÿä³

íåð³âíîñò³

×èñëîâà ïðÿìà (−∞; ∞), R −∞ < x < +∞Çàìêíóòèé ïðîì³æîê (â³äð³çîê)

[a; b] a ≤ x ≤ b

³äêðèòèé ïðîì³æîê (³íòåðâàë)

(a; b) a <x < b

Íàï³ââ³äêðèòèé ïðîì³æîê

[a; b) a ≤ x < b

(a; b] a < x ≤ b

Íåñê³í÷åííèé ïðîì³æîê (ïðîì³íü)

(−∞; a) x < a

(−∞; a] x ≤ a

(a; +∞) x > a

[a; +∞) x ≥ a

Îáëàñòü äîïóñòèìèõ çíà÷åíü (ÎÄÇ) íåð³âíîñò³ÎÄÇ íåð³âíîñò³ — ìíîæèíà çíà÷åíü çì³ííî¿, äëÿ ÿêèõ âèðàçè â îáîõ ÷àñòèíàõ íåð³âíîñò³ âèçíà-÷åí³.

Íàïðèêëàä, îáëàñòþ äîïóñòèìèõ çíà÷åíü íåð³âíîñò³ x x+ >2 º ìíîæèíà [−2; +∞), îñê³ëüêè

âèðàç x + 2 âèçíà÷åíèé, ÿêùî x + 2 ≥ 0.

Ñë³ä

ïàì

’ÿòà

òè ï

ðî

ÎÄ

Ç í

åð³â

íîñ

òåé

Ñë³ä

ïàì

’ÿòà

òè ï

ðî

ÎÄ

Ç í

åð³â

íîñ

òåé

35

Таблиця Таблиця 32. РІВНЯННЯ І НЕРІВНОСТІ З ДВОМА ЗМІННИМИ32. РІВНЯННЯ І НЕРІВНОСТІ З ДВОМА ЗМІННИМИ

гâíÿííÿ ç äâîìà çì³ííèìèгâí³ñòü, ÿêà ì³ñòèòü äâ³ çì³íí³, íàçèâàþòü ð³âíÿííÿì ç äâîìà çì³ííèìè: f(x; y) = 0.Ðîçâ’ÿçêîì ð³âíÿííÿ f(x; y) = 0 íàçèâàþòü âïîðÿäêîâàíó ïàðó ÷èñåë (x

0; y

0), ÿêà ïåðåòâîðþº éîãî

íà ïðàâèëüíó ð³âí³ñòü.Íàïðèêëàä, ïàðè (0; 1), (1; 0), (−1; 0), (0; −1) — ðîçâ’ÿçêè ð³âíÿííÿ x2 + y2 = 1.Ãðàô³êîì ð³âíÿííÿ ç äâîìà çì³ííèìè x ³ y íàçèâàþòü ìíîæèíó âñ³õ òî÷îê êîîðäèíàòíî¿ ïëîùèíè ç êîîðäèíàòàìè (x

0; y

0), äå (x

0; y

0) º ðîçâ’ÿçêîì ð³âíÿííÿ.

Ãðàô³êè äåÿêèõ ð³âíÿíü

гâíÿííÿ Ãðàô³ê Îïèñx2 + y2 = R2 Êîëî ç öåíòðîì

(0; 0) ³ ðàä³óñîì R

(x − a)2 ++ (y − b)2 =

= R2

Êîëî ç öåíòðîì (a; b) ³ ðàä³óñîì

R

ax + by + + c = 0

Ïðÿìà

x = ay2 + + by + c

Ïàðàáîëà ç âåðøèíîþ

cba

ba

−−⎛

⎝⎜⎞⎠⎟

2

4 2; ;

ÿêùî a > 0, â³òêè

ñïðÿìîâàí³ âïðàâî, ÿêùî a < 0, â³òêè ñïðÿìîâàí³

âë³âî|x| + |y| = 1 Êâàäðàò ³ç

öåíòðîì (0; 0), ä³àãîíàë³

êâàäðàòà ëåæàòü íà îñÿõ

OX ³ OY|x| − |y| = 1 «Ïåðåõðåñòÿ»

Ãðàô³êè äåÿêèõ íåð³âíîñòåé

x2 + y2 ≤ R2 x2 + y2 ≥ R2

y ≥ ax + b

y ≤ ax + b

y ≥ ax2+ bx + c

y ≤ ax2 + bx + c

x ≥ ay2 + by + c

x ≤ ay2 + by + c

(x − a)2 + (y − b)2 ≥ R2 (x − a)2 + (y − b)2 ≤ R2

|x| + |y| ≤ 1 |x| + |y| ≥ 1

Äîñë³äæåííÿ ð³âíÿíü ç äâîìà çì³ííèìè çà äîïîìîãîþ ìåòîäó

êîîðäèíàò çàïðîâàäèëè Ï. Ôåðìà (1601–1665) ³ Ð. Äåêàðò (1596–1650).

(1601–1665)(1601–1665)Ï. ÔåðìàÏ. Ôåðìà

x + y = 2x2 + y2 = 5 x2 + x y > 0

x2 ≥ y2

Äîñë³äæåííÿ ð³âíÿíü ç äâîìà çì³ííèìè çà äîïîìîãîþ ìåòîäó

êîîðäèíàò çàïðîâàäèëè Ï. Ôåðìà (1601–1665) ³ Ð. Äåêàðò (1596–1650).

(1601–1665)(1601–1665)Ï. ÔåðìàÏ. Ôåðìà

x + y = 2x2 + y2 = 5 x2 + x y > 0

x2 ≥ y2

36

Íåð³âíîñò³ ç äâîìà çì³ííèìèÍåð³âíîñò³ âèäó f(x; y) > 0; f(x; y) < 0; f(x; y) ≥ 0; f(x; y) ≤ 0 íàçèâàþòü íåð³âíîñòÿìè ç äâîìà çì³ííèìè.Ðîçâ’ÿçêîì íåð³âíîñò³ f(x; y) > 0, f(x; y) < 0, f(x; y) ≥ 0, f(x; y) ≤ 0 íàçèâàþòü âïîðÿäêîâàíó ïàðó ÷èñåë, ÿêà ïåðåòâîðþº ¿¿ íà ïðàâèëüíó ÷èñëîâó íåð³âí³ñòü.Ãðàô³êîì íåð³âíîñò³ ç äâîìà çì³ííèìè x ³ y íàçèâàþòü ìíîæèíó âñ³õ òî÷îê êîîðäèíàòíèõ ïëî-ùèíè ç êîîðäèíàòàìè (x

0; y

0), äå ïàðà (x

0; y

0) º ðîçâ’ÿçêîì â³äïîâ³äíî¿ íåð³âíîñò³.

Таблиця Таблиця 33. СИСТЕМИ РІВНЯНЬ З ДВОМА ЗМІННИМИ33. СИСТЕМИ РІВНЯНЬ З ДВОМА ЗМІННИМИ

x y

x y

2 2 1

1

+ =+ =

⎧⎨⎩

,

.

X c

Y c

Y c

X c

==

⎧⎨⎪

⎩⎪⇔

==

⎧⎨⎪

⎩⎪1

2

2

1

,

;

;

.

X c

Y c

aX bY ac bc

X c

==

⎧⎨⎪

⎩⎪⇔

+ = +=

⎧⎨⎪

⎩⎪1

2

1 2

1

,

;

,

.

Îçíà÷åííÿÑèñòåìà ð³âíÿíü ç äâîìà çì³ííèìè — ê³ëü-êà ð³âíÿíü, â³äíîñíî ÿêèõ ïîñòàâëåíà çàäà÷à: çíàéòè ñï³ëüí³ ðîçâ’ÿçêè. Çíàê ñèñòåìè — {.Ðîçâ’ÿçêîì ñèñòåìè ð³âíÿíü ç äâîìà çì³ííèìè íàçèâàþòü ïàðè çíà÷åíü çì³ííèõ, ÿê³ ïåðåòâî-ðþþòü êîæíå ð³âíÿííÿ ñèñòåìè íà ïðàâèëüí³ ð³âíîñò³.

Íàïðèêëàä: ïàðà (2; 3) º ðîçâ’ÿçêîì ñèñòåìè

x y

xy

2 2 13

6

+ ==

⎧⎨⎩

,

, îñê³ëüêè

2 3 13

2 3 6

2 2+ =⋅ =

⎧⎨⎩

,

.

Ðîçâ’ÿçàòè ñèñòåìó ð³âíÿíü ³ç äâîìà çì³ííè-ìè îçíà÷ຠçíàéòè ¿õ ðîçâ’ÿçêè àáî äîâåñòè, ùî ¿õ íåìàº.

гâíîñèëüí³ ñèñòåìè ð³âíÿíüÄâ³ ñèñòåìè íàçèâàþòü ð³âíîñèëüíèìè, ÿêùî ìíîæèíè ¿õ ðîçâ’ÿçê³â çá³ãàþòüñÿ. Çíàê ð³â-íîñèëüíîñò³: ⇔.

Òåîðåìè ïðî ð³âíîñèëüí³ ñèñòåìè

1. ßêùî çàì³íèòè ïîðÿäîê ð³âíÿíü â ñèñòåì³, òî îäåðæèìî ð³âíîñèëüíó ñèñòåìó.

Íàïðèêëàä: x y

x y

2 2 8

0

+ =− =

⎧⎨⎩

,

; ⇔

x y

x y

− =+ =

⎧⎨⎩

0

82 2

,

.

2. ßêùî îäíå ç ð³âíÿíü ñèñòåìè çàì³íèòè íà ð³âíîñèëüíå éîìó ð³âíÿííÿ, òî îäåðæèìî ð³â-íîñèëüíó ñèñòåìó.

Íàïðèêëàä: x y

x y

= ++ =

⎧⎨⎩

1

2

, ⇔

x y

x y

− =+ =

⎧⎨⎩

1

2

,

.

3. ßêùî â ñèñòåì³ ð³âíÿíü ç îäíîãî ð³âíÿí-íÿ âèðàçèòè îäíó çì³ííó ÷åðåç ³íøó é îäåð-æàíèé âèðàç ï³äñòàâèòè â äðóãå ð³âíÿííÿ, òî îäåðæèìî ð³âíîñèëüíó ñèñòåìó.x y

x y

− =+ =

⎧⎨⎩

2

12

,

; ⇔

x y

x y

= ++ =

⎧⎨⎩

2

12

,

; ⇔

x y

y y

= ++ + =

⎧⎨⎩

2

2 2

,

.( ) 1

4. ßêùî ïåðøå ð³âíÿííÿ ñèñòåìè çàì³íèòè ñóìîþ ïåðøîãî ð³âíÿííÿ, ïîìíîæåíîãî íà ÷èñëî α ≠ 0, ³ äðóãîãî ð³âíÿííÿ, ïîìíîæåíîãî íà ÷èñëî β ≠ 0, à äðóãå ð³âíÿííÿ çàëèøèòè áåç çì³í, òî îäåðæèìî ñèñòåìó, ð³âíîñèëüíó äàí³é.

Íàïðèêëàä: 2 3 0

1

x y

x y

− =− =

⎧⎨⎩

,

; ⇔

⇔

− − − = − ⋅− =

⎧⎨⎩

⇔− = −

− =⎧⎨⎩

2 3 2 0 2 1

1

2

1

x y x y

x y

y

x y

( ) ,

;

,

.

Ñèñòåìè äâîõ ë³í³éíèõ ð³âíÿíü

a x b y c l

a x b y c l1 1 1+ = −

+ = −⎧⎨⎪

⎩⎪1

2 2 2 2.

ïðÿìà

ïðÿìà

a

a

b

b

c

c1

2

1

2

1

2

= =

l1, l

2 — çá³-

ãàþòüñÿ.Áåçë³÷

ðîçâ’ÿçê³âx R

yc a x

b

∈

=−

⎧⎨⎪

⎩⎪

,

;1 1

1

a

a

b

b1

2

1

2

≠

l1, l

2 — ïåðåòè-

íàþòüñÿ.Îäèí ðîçâ’ÿçîê

xc b c b

a b a b

ya c a c

a b a b

01 2 2 1

1 2 2 1

01 2 2 1

1 2 2 1

=−−

=−−

⎧

⎨⎪⎪

⎩⎪⎪

,

;

a

a

b

b

c

c1

2

1

2

1

2

= ≠

l1 || l

2

∅

37

Ãðàô³÷íèé ñïîñ³á ðîçâ’ÿçóâàííÿ ñèñòåì

1) Âèêîíàòè ð³âíîñèëüí³ ïåðåòâîðåí-íÿ ñèñòåìè, ùîá çðó÷íî áóëî ïîáóäó-âàòè ãðàô³êè ð³âíÿíü ñèñòåìè;2) ïîáóäóâàòè ãðàô³êè;3) çíàéòè êîîðäèíàòè òî÷îê ïåðåòè-íó ïîáóäîâàíèõ ë³í³é. Ö³ êîîðäèíà-òè ³ º ðîçâ’ÿçêàìè ñèñòåìè.Íàïðèêëàä:

x y

x y

+ =+ =

⎧⎨⎩

1

12 2

,

;

Ðîçâ’ÿçêè: (1; 0), (0; 1).

Ðîçâ’ÿçóâàííÿ ñèñòåì ñïîñîáîì äîäàâàííÿ1) Çð³âíÿòè êîåô³ö³ºíòè ïðè îäí³é çì³íí³é øëÿõîì ïî-÷ëåííîãî ìíîæåííÿ îáîõ ð³âíÿíü íà â³äïîâ³äíèì ÷èíîì ï³ä³áðàí³ ìíîæíèêè;2) äîäàòè (â³äíÿòè) ïî÷ëåííî ð³âíÿííÿ ñèñòåìè, âèêëþ÷à-þ÷è îäíó ç³ çì³ííèõ;3) ðîçâ’ÿçàòè îäåðæàíå ð³âíÿííÿ ç îäí³ºþ çì³ííîþ;4) çíà÷åííÿ äðóãî¿ çì³ííî¿ ìîæíà çíàéòè òàêèì æå ÷èíîì;5) çàïèñàòè â³äïîâ³äü.Íàïðèêëàä:

x y

x y

+ =− =

⎧⎨⎩

5

1

,

; ⇔

( ) ( )

( ) ( ) ;

x y x y

x y x y

+ − − = −+ + − = +

⎧⎨⎩

5 1

5 1

, ⇔

2 4

2 6

y

x

==

⎧⎨⎩

,

; ⇔

⇔x

y

==

⎧⎨⎩

3

2

,

.

Ðîçâ’ÿçóâàííÿ ñèñòåì ñïîñîáîì ï³äñòàíîâêè1) ²ç îäíîãî ð³âíÿííÿ ñèñòåìè âèðàçèòè îäíó çì³ííó ÷åðåç äðóãó ³ â³äîì³ âåëè÷èíè;2) çíàéäåíå çíà÷åííÿ ï³äñòàâèòè â äðóãå ð³âíÿííÿ ñèñòåìè, îäåðæàòè ð³âíÿííÿ â³äíîñíî äðóãî¿ çì³ííî¿;3) ðîçâ’ÿçàòè îäåðæàíå ð³âíÿííÿ ³ çíàéòè çíà÷åííÿ ö³º¿ çì³ííî¿;4) ï³äñòàâèòè çíàéäåíå çíà÷åííÿ ó âèðàç äëÿ ïåðøî¿ çì³ííî¿, îäåðæàòè â³äïîâ³äí³ çíà÷åííÿ ³ çàïèñàòè â³äïîâ³äü.Íàïðèêëàä:

x y

x y

+ =− =

⎧⎨⎩

1

2 2

,

; ⇔

x y

y y

= −− − =

⎧⎨⎩

1

1 2

,

( ) ;2 ⇔

x y

y y

= −− − =

⎧⎨⎩

1

2 2 2

,

; ⇔

x y

y

= −− =

⎧⎨⎩

1

3 0

,

; ⇔

x

y

= −=

⎧⎨⎩

1 0

0

,

; ⇔

x

y

==

⎧⎨⎩

1

0

,

.

Таблиця Таблиця 34. СИСТЕМИ НЕРІВНОСТЕЙ З ОДНІЄЮ ЗМІННОЮ. СУКУПНІСТЬ 34. СИСТЕМИ НЕРІВНОСТЕЙ З ОДНІЄЮ ЗМІННОЮ. СУКУПНІСТЬ НЕРІВНОСТЕЙ З ОДНІЄЮ ЗМІННОЮНЕРІВНОСТЕЙ З ОДНІЄЮ ЗМІННОЮ

x

x

>>

⎧⎨⎩

3

4

x ∈ (4; +∞).

x

x

≥≤

⎧⎨⎩

3

4

x ∈ [3; 4]

x

x

≥<

⎧⎨⎩

3

4

x ∈ [3; 4)

x

x

>≤

⎧⎨⎩

3

4

x ∈ (3; 4]

Îçíà÷åííÿÑèñòåìà íåð³âíîñòåé ç îäí³ºþ çì³ííîþ — íåð³âíîñò³, â³äíîñíî ÿêèõ ïîñòàâëåíà çàäà÷à: çíàéòè ñï³ëüí³ ðîçâ’ÿçêè.

Íàïðèêëàä: x

x

≥>

⎧⎨⎩

2

3

,

; x ∈ (3; +∞).

Ñóêóïí³ñòü íåð³âíîñòåé ç îäí³ºþ çì³ííîþ — íåð³âíîñò³, â³äíîñíî ÿêèõ ïîñòàâëåíà çàäà÷à: çíàéòè âñ³ ðîçâ’ÿçêè íåð³âíîñòåé.

Íàïðèêëàä: x

x

≥>

⎡

⎣⎢

2

3

,

; x ∈ [2; +∞).

Ðîçâ’ÿçóâàííÿ ñèñòåì íåð³âíîñòåéÙîá ðîçâ’ÿçàòè ñèñòåìó íåð³âíîñòåé ç îäí³ºþ çì³ííîþ, ñë³ä:1) îêðåìî ðîçâ’ÿçàòè êîæíó íåð³âí³ñòü;2) çíàéòè ïåðåòèí (ïåðåð³ç) çíàéäåíèõ ðîçâ’ÿçê³â.

Íàïðèêëàä: 5 6 1

2 1 3

x

x

+ ≤+ ≥

⎧⎨⎩

,

; ⇔

5 5

2 2

x

x

≤ −≥

⎧⎨⎩

,

; ⇔

x

x

≤ −≥

⎧⎨⎩

1

1

,

;

x = ∅

Ðîçâ’ÿçóâàííÿ ñóêóïíîñò³ íåð³âíîñòåéÙîá ðîçâ’ÿçàòè ñóêóïí³ñòü íåð³âíîñòåé ç îäí³ºþ çì³ííîþ, ñë³ä:1) îêðåìî ðîçâ’ÿçàòè êîæíó íåð³âí³ñòü;2) çíàéòè îá’ºäíàííÿ çíàéäåíèõ ðîçâ’ÿçê³â.

Íàïðèêëàä: 5 6 1

2 1 3

x

x

+ ≤+ ≥

⎡

⎣⎢

,

; ⇔

5 5

2 2

x

x

≤ −≥

⎡

⎣⎢

,

; ⇔

x

x

≤ −≥

⎡

⎣⎢

1

1

,

;

x ∈ (−∞; −1] ∪ [1; +∞).

38

Ïîäâ³éí³ íåð³âíîñò³Ïîäâ³éí³ íåð³âíîñò³:

a < x < b a ≤ x < b a < x ≤ b a ≤ x ≤ b

çâîäÿòüñÿ äî ðîçâ’ÿçóâàííÿ ñèñòåì íåð³âíîñòåé:

x a

x b

><

⎧⎨⎩

,

.

x a

x b

≥<

⎧⎨⎩

,

.

x a

x b

>≤

⎧⎨⎩

,

.

x a

x b

≥≤

⎧⎨⎩

,

.

Ïîäâ³éí³ íåð³âíîñò³ ìîæíà ðîçâ’ÿçóâàòè, ñïèðàþ÷èñü íà âëàñòèâîñò³:1) ÿêùî äî âñ³õ ÷àñòèí ïîäâ³éíî¿ íåð³âíîñò³ äîäàòè (â³äíÿòè) áóäü-ÿêå ÷èñëî, òî îäåðæèìî ð³â-íîñèëüíó íåð³âí³ñòü;2) ÿêùî êîæíó ç òðüîõ ÷àñòèí ïîäâ³éíî¿ íåð³âíîñò³ ïîìíîæèòè íà áóäü-ÿêå äîäàòíå ÷èñëî, òî îäåðæèìî ð³âíîñèëüíó íåð³âí³ñòü;3) ÿêùî êîæíó ç òðüîõ ÷àñòèí ïîäâ³éíî¿ íåð³âíîñò³ ïîìíîæèòè íà áóäü-ÿêå â³ä’ºìíå ÷èñëî ³ ïî-ì³íÿòè ïðè öüîìó çíàêè íåð³âíîñò³ íà ïðîòèëåæí³, òî îäåðæèìî ð³âíîñèëüíó íåð³âí³ñòü.Íàïðèêëàä: 5 ≤ 2x − 3 ≤ 7 ⇔ 5 + 3 ≤ 2x ≤ 7 + 3 ⇔ 8 ≤ 2 x ≤ 10 ⇔ 8 : 2 ≤ x ≤ 10 : 2 ⇔ 4 ≤ x ≤ 5 ⇔ x ∈ [4; 5].

Таблиця Таблиця 35. ФУНКЦІЇ35. ФУНКЦІЇ

D(f) — îáëàñòü âèçíà÷åííÿE(f) — îáëàñòü çíà÷åíüx — àðãóìåíò (íåçàëåæíà çì³ííà)y — ôóíêö³ÿ (çàëåæíà çì³ííà)f(x

0) — çíà÷åííÿ ôóíêö³¿ f â òî÷ö³ x

0.

Çíàê f(x) ââ³â Ë. Åéëåð (1734 ð.).

Áóêâó f Åéëåð âèáðàâ ÿê ïåðøó áóêâó

ëàòèíñüêîãî ñëîâà functio — ôóíêö³ÿ.(1707–1783)(1707–1783)

Ëåîíàð ÅéëåðËåîíàð Åéëåð

Òåðì³í ôóíêö³ÿ ïîõîäèòü â³ä

ëàòèíñüêîãî ñëîâà functio, ùî îçíà÷àº

«ä³ÿëüí³ñòü, âèêîíàííÿ».

Îçíà÷åííÿ×èñëîâà ôóíêö³ÿ ç îáëàñòþ âèçíà÷åííÿ D — çàëåæí³ñòü, ïðè ÿê³é êîæíîìó ÷èñëó x ³ç ìíîæèíè D ñòàâèòüñÿ ó â³ä-ïîâ³äí³ñòü ö³ëêîì ïåâíå ºäèíå ÷èñëî y: y = f(x).Ãðàô³ê ôóíêö³¿ y = f(x) — ìíî-æèíà òî÷îê ïëîùèíè ç êîîðäè-íàòàìè (x, y), äå x ïðîá³ãຠâñþ îáëàñòü âèçíà÷åííÿ ôóíêö³¿ f(x), à y — â³äïîâ³äíå çíà÷åííÿ ôóíêö³¿.

Îáëàñòþ çíà÷åíü E(f) íàçèâàþòü ìíîæèíó çíà÷åíü, ÿêèõ ìîæå íàáóâàòè f(x) äëÿ x ∈ D(f). Îáëàñòþ âèçíà÷åííÿ D(f) íàçèâàþòü ìíîæèíó çíà÷åíü, ÿêèõ ìîæå íàáóâàòè x.

Ñïîñîáè çàäàííÿ ôóíêö³¿

Òàáëè÷íèé

x 0 1 2 3 4

y 0 1 4 9 16

Ãðàô³÷íèé

Àíàë³òè÷íèéy = x2, äå x ∈ [1; 2; 3; 4]

Íóë³ ôóíêö³¿Íóëåì (êîðåíåì) ôóíêö³¿ íàçèâàþòü çíà÷åííÿ àðãóìåíòà, ïðè ÿêîìó çíà÷åííÿ ôóíêö³¿ äîð³â-íþº íóëþ.

x1, x

2, x

3, x

4 — íóë³ ôóíêö³¿.

Ùîá çíàéòè íóë³ ôóíêö³¿, ñë³ä ðîçâ’ÿçàòè ð³âíÿííÿ f(x) = 0.

Îáëàñòü çíà÷åíü ôóíêö³¿, çàäàíî¿ ôîðìóëîþÙîá çíàéòè E(f), íåîáõ³äíî çíàéòè âñ³ çíà÷åííÿ a, äëÿ ÿêèõ f(x) = a ìຠºäèíèé ðîçâ’ÿçîê.

D E D E

y = x

y = x

39

Åêñòðåìóìè (ìàêñèìóìè ³ ì³í³ìóìè) ôóíêö³¿

x0 — òî÷êà ì³í³ìóìó,

f(x0) — ì³í³ìóì

x0 — òî÷êà ìàêñèìó-

ìó,f(x

0) — ìàêñèìóì

x0 — âíóòð³øíÿ òî÷êà îáëàñò³ âèçíà÷åííÿ,

òàêà, ùî äëÿ âñ³õ x ³ç äåÿêîãî îêîëó òî÷êè x0

ñïðàâåäëèâà íåð³âí³ñòü:

f(x) > f(x0) f(x) < f(x

0)

Îáëàñòü âèçíà÷åííÿ ôóíêö³¿, çàäàíî¿ ôîðìóëîþÎáëàñòþ âèçíà÷åííÿ ôóíêö³¿, ÿêà çàäàíà ôîð-ìóëîþ y = f(x), íàçèâàþòü ìíîæèíó çíà÷åíü x, ïðè ÿêèõ ôîðìóëà ìຠçì³ñò (âñ³ 䳿, âêàçàí³ ôîðìóëîþ, ìîæíà âèêîíàòè).

y = anxn + an – 1

xn – 1 + ... + a0, R

yf xg x

=( )

( ), äå f(x) ³ g(x) —

ìíîãî÷ëåíè

g(x) ≠ 0

y f xn= ( ),2 äå n ∈N f(x) ≥ 0

yf x

=1

( )f(x) ≠ 0

y = logaf(x), a > 0, a ≠ 1 f(x) > 0

y = logf(x) g(x) f x

f x

g x

( )

( )

( )

>≠>

⎧⎨⎪

⎩⎪

0

1

0

,

,

.

y = tgf(x)f x n n Z( ) ,≠ + ∈

ππ

2y = ctg xf(x) f(x) ≠ πn, n ∈ Z

y = arcsin f(x) −1 ≤ f(x) ≤ 1

y =arccos f(x) −1 ≤ f(x) ≤ 1

y = xα, α ∈ N x ∈ R

y = xα, α — ö³ëå â³ä’ºìíå àáî íóëü

x ≠ 0

y = xα, α > 0, α — íå ö³ëå x ≥ 0

y = xα, α < 0, α — íå ö³ëå x > 0

Ïðîì³æêè çíàêîñòàëîñò³Ïðîì³æêè çíàêîñòàëîñò³ — ïðîì³æêè, íà ÿêèõ âñ³ çíà÷åííÿ ôóíêö³¿ äîäàòí³ (â³ä’ºìí³).

Ùîá çíàéòè ïðîì³æêè çíàêîñ-òàëîñò³, íåîáõ³äíî ðîçâ’ÿçàòè íåð³âí³ñòü f(x) > 0 (f(x) < 0).

y > 0, ÿêùî x ∈ [a; x1) ∪ (x

2; x

3);

y < 0, ÿêùî x ∈ (x1; x

2) ∪ (x

3; b].

Ñêëàäåíà ôóíêö³ÿßêùî y º ôóíêö³ºþ â³ä u: y = f(u), äå u â ñâîþ ÷åðãó º ôóíêö³ºþ â³ä àðãóìåíòó x, òîáòî, u = g(x), òî y íàçèâàþòü ñêëàäåíîþ ôóíêö³ºþ â³ä x: y = f(g(x)).

Таблиця Таблиця 36. ВИДИ ФУНКЦІЙ. ЧИТАННЯ ГРАФІКА ФУНКЦІЇ36. ВИДИ ФУНКЦІЙ. ЧИТАННЯ ГРАФІКА ФУНКЦІЇ

Ñëîâî «ãðàô³ê» ïîõîäèòü â³ä ãðåöüêîãî «ãðàôî», ùî îçíà÷ຠ«êðåñëþ, ïèøó».

f(−x) = f(x)f(−x) = − f(x)

→ → g(f(x)) = xf(g(ó)) = y

Ïàðí³ ³ íåïàðí³ ôóíêö³¿ Ìîíîòîíí³ (çðîñòàþ÷³, ñïàäí³) ôóíêö³¿

Ïàðíà ôóíêö³ÿ

f(−x) = f(x), x ∈ D(f).

Ãðàô³ê ñèìåò-ðè÷íèé â³äíîñ-

íî îñ³ OY

Íåïàðíà ôóíêö³ÿ

f(−x) = −f(x), x ∈ D(f).

Ãðàô³ê ñèìåò-ðè÷íèé â³ä-íîñíî òî÷êè

O (0; 0)

Çðîñòàþ÷à ôóíêö³ÿ

ÿêùî äëÿ áóäü-ÿêèõ x1 ³ x

2 ïðî-

ì³æêó (a; b) ç óìîâè x1 < x

2 âè-

ïëèâຠy1 < y

2 àáî f(x

1) < f(x

2).

ßêùî ôóíêö³ÿ y = f(x) íà ïðî-ì³æêó (a; b) çðîñòàº, òî ç óìîâè f(x

1) < f(x

2) âèïëèâຠx

1 < x

2.

Ñïàäíà ôóíêö³ÿ

ÿêùî äëÿ áóäü-ÿêèõ x1 ³ x

2 ïðî-

ì³æêó (a; b) ç óìîâè x1 < x

2 âè-

ïëèâຠy1 > y

2 àáî f(x

1) > f(x

2).

ßêùî ôóíêö³ÿ y = f(x) íà ïðî-ì³æêó (a; b) ñïàäàº, òî ç óìîâè f(x

1) > f(x

2) âèïëèâຠx

1 < x

2.

40

Ïåð³îäè÷í³ ôóíêö³¿Ïåð³îäè÷íà ôóíêö³ÿ:f(x − T) = f(x + T) = f(x), x ∈ D(f), T > 0.×èñëî T — ïåð³îä ôóíêö³¿, à íàéìåíøå äîäàòíå çíà÷åí-íÿ T — îñíîâíèé ïåð³îä ôóí-êö³¿.Ãðàô³ê ôóíêö³¿ ñêëàäàºòüñÿ ³ç íåñê³í÷åííî ïîâòîðþ-âàíèõ ôðàãìåíò³â ãðàô³êà ôóíêö³¿ íà ïðîì³æêó [0; T]. ßêùî ôóíêö³ÿ y = f(x) ìຠíàéìåíøèé äîäàòíèé ïå-ð³îä T, òî ôóíêö³ÿ y = f(kx + b) ìຠíàéìåíøèé äîäàò-

íèé ïåð³îä Tk

.

Âçàºìíîîáåðíåí³ ôóíêö³¿Ôóíêö³þ g íàçèâàþòü îáåðíåíîþ äëÿ ôóíêö³¿ f, ÿêùî êîæíîìó y ³ç îáëàñò³ çíà-÷åíü ôóíêö³¿ f ôóíêö³ÿ g ñòàâèòü ó â³ä-ïîâ³äí³ñòü îäèí x ³ç îáëàñò³ âèçíà÷åííÿ ôóíêö³¿ f, òàêå, ùî y = f(x). Îòæå, ÿêùî y = f(x), òî x = g(y).

Ôóíêö³¿ f ³ g íàçèâà-þòü âçàºìíî îáåðíå-íèìè. Ãðàô³êè âçàºìíî îáåðíåíèõ ôóíêö³é ñèìåòðè÷í³ â³äíîñíî ïðÿìî¿ y = x.

×èòàííÿ ãðàô³êà ôóíêö³¿

Åòàïè Ãðàô³êÎáëàñòü âèçíà÷åííÿ D(f) = [a; b]

Îáëàñòü çíà÷åíü E(f) = [c; d]

Íóë³ ôóíêö³¿ x1, x

2,

x3, x

4

Îðäèíàòè òî÷êè ïåðåòèíó ãðàô³êà ç â³ññþ OY; y = a

Ïðîì³æêè çíàêîñòàëîñò³ y > 0, ÿêùî x ∈ (x

1; x

2)

y < 0, ÿêùî (x2; x

3)

Åòàïè Ãðàô³êÏðîì³æêè ìîíîòîííîñò³ y , ÿêùî x ∈ [a; x

1],

y , ÿêùî x ∈ [x1; b]

Òî÷êè ìàêñèìóìó ³ ì³í³ìóìó (ì³í³ìóì ³ ìàêñèìóì ôóíêö³¿):x

1 — òî÷êà

ìàêñèìóìó,x

2 — òî÷êà ì³í³ìóìó,

y1 — ìàêñèìóì,

y2 — ì³í³ìóì

Íàéá³ëüøå ³ íàéìåíøå çíà÷åííÿ ôóíêö³¿ max f(x) = f(b) = d[ab]

min f(x) = f(x1) = c

[ab]

Таблиця Таблиця 37. ГЕОМЕТРИЧНІ ПЕРЕТВОРЕННЯ ГРАФІКІВ ФУНКЦІЙ37. ГЕОМЕТРИЧНІ ПЕРЕТВОРЕННЯ ГРАФІКІВ ФУНКЦІЙ

Ïàðàëåëüíå ïåðåíåñåííÿÑèìåòð³ÿ â³äíîñíî îñ³ OX Ñèìåòð³ÿ â³äíîñíî îñ³ OY

Âèä ôóíêö³¿ Ïåðåòâîðåííÿ Ïðèêëàä

y = f(x+ a)

Ãðàô³ê y = f(x) ïåðåíåñòè íà âåêòîð (−a; 0)

41

y = f(x) + a

Ãðàô³ê ôóíêö³¿ y = f(x) ïå-ðåíåñòè íà âåêòîð (0; a)

y = −f(x)

Ãðàô³ê ôóíêö³¿ y = f(x) â³-äîáðàçèòè ñèìåòðè÷íî â³ä-íîñíî îñ³ OX

√

√

y = f(−x)

Ãðàô³ê ôóíêö³¿ y = f(x) â³-äîáðàçèòè ñèìåòðè÷íî â³ä-íîñíî îñ³ OY

√

√

y = f(kx), k > 0

ßêùî k > 1, òî ñòèñíóòè ãðàô³ê ôóíêö³¿ y = f(x) äî òî÷êè O (0; 0) óçäîâæ îñ³ àáñöèñ â k ðàç³â

√

√√

ßêùî 0 < k < 1, ðîçòÿãíóòè ãðàô³ê ôóíêö³¿ y = f(x) â³ä òî÷êè O (0; 0) óçäîâæ îñ³

àáñöèñ â 1

k ðàç³â

√

√

y = kf(x), k > 0

ßêùî k > 1, òî ðîçòÿãíóòè ãðàô³ê ôóíêö³¿ y = f(x) â³ä òî÷êè O (0; 0) óçäîâæ îñ³ îðäèíàò â k ðàç³â

ßêùî 0 < k < 1, òî ñòèñíóòè ãðàô³ê ôóíêö³¿ y = f(x), â³ä òî÷êè O (0; 0) óçäîâæ îñ³

îðäèíàò ó 1

k ðàç³â

y = |f(x)|

×àñòèíó ãðàô³êà ôóíêö³¿ y = f(x) ó âåðõí³é ï³âïëî-ùèí³ ³ íà îñ³ OX çàëèøèòè áåç çì³í, à çàì³ñòü ÷àñòèíè ãðàô³êà â íèæí³é ï³âïëî-ùèí³ ïîáóäóâàòè ¿õ ñèìåò-ðè÷íó ¿é ÷àñòèíè â³äíîñíî îñ³ OX

y = f(|x|)

×àñòèíó ãðàô³êà ôóíêö³¿ y = f(x) ó ïðàâ³é ï³âïëîùèí³ ³ íà îñ³ îðäèíàò çàëèøèòè áåç çì³í, à çàì³ñòü ÷àñòèíè â ë³â³é ï³âïëîùèí³ ïîáó-äóâàòè ñèìåòðè÷íó ïðàâ³é ÷àñòèí³ â³äíîñíî OY

42

y = |f(|x|)|

Âèêîðèñòàòè ïîñë³äîâíî ïîáóäîâó ãðàô³ê³â ôóíêö³é y = f(|x|) ³ y = |f(x)|

Таблиця Таблиця 38. ПРОГРЕСІЇ38. ПРОГРЕСІЇ

a1; a

2; a

3 a

4; a

5; ...; an;

n-èé ÷ëåí

ïåðøèé ÷ëåí

ïîïåðåäí³é ÷ëåí äëÿ a

4

íàñòóï-íèé ÷ëåí

çà a4

íîìåð ÷ëåíà

1

2

1

4

1

8

1

16

1

2

1

4

1

8

1

161+ + + + =...

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + ... + 100 = ?

1 + 2 + 22 + 23 + ... + 263 = ?

×èñëîâ³ ïîñë³äîâíîñò³ßêùî êîæíîìó íàòóðàëüíîìó ÷èñëó n ïîñòàâ-ëåíî ó â³äïîâ³äí³ñòü ä³éñíå ÷èñëî an, òî êà-æóòü, ùî çàäàíà ÷èñëîâà ïîñë³äîâí³ñòü:a

1; a

2; a

3; a

4; a

5; ...; an; ...

×èñëîâà ïîñë³äîâí³ñòü — ôóíêö³ÿ íàòóðàëü-íîãî àðãóìåíòó.Ôîðìóëà n-ãî ÷ëåíà ïîñë³äîâíîñò³ — ôîðìó-ëà, ÿêà âèðàæຠ÷ëåíè ïîñë³äîâíîñò³ çà ¿õ íî-ìåðàìè: an = f(n).

Íàïðèêëàä: ÿêùî ann =

+1

1, òî ïåðø³ ï’ÿòü ÷ëå-

í³â ïîñë³äîâíîñò³ äîð³âíþþòü: 1

2;

1

3;

1

4;

1

5;

1

6.

Ðåêóðåíòíà ôîðìóëà — ôîðìóëà, ÿêà âèðàæຠáóäü-ÿêèé ÷ëåí ïîñë³äîâíîñò³, ïî÷èíàþ÷è ç äå-ÿêîãî, ÷åðåç ïîïåðåäí³ (îäèí àáî äåê³ëüêà) ÷ëåíè.Íàïðèêëàä: ÿêùî a

1 = 1, à an + 1

= an +5, òî ïåð-ø³ ï’ÿòü ÷ëåí³â äîð³âíþþòü: 1; 6; 11; 21.

Àðèôìåòè÷íà ïðîãðåñ³ÿÀðèôìåòè÷íà ïðîãðåñ³ÿ — ïîñë³äîâí³ñòü a

1;

a2; a

3;..., êîæíèé ÷ëåí ÿêî¿, ïî÷èíàþ÷è ç äðó-

ãîãî, äîð³âíþº ïîïåðåäíüîìó ÷ëåíó, äî ÿêîãî äîäàíî îäíå ³ òå æ ñàìå ÷èñëî d, ÿêå íàçèâà-þòü ð³çíèöåþ àðèôìåòè÷íî¿ ïðîãðåñ³¿.an + 1

= an + d, n ∈ N.Ôîðìóëà n-ãî ÷ëåíà:an = a

1 + d (n − 1), n ∈ N.

Õàðàêòåðèñòè÷íà âëàñòèâ³ñòü:

aa a

nn n

++=

+1

2

2, n ∈ N.

Ôîðìóëà ñóìè n ïåðøèõ ÷ëåí³â:

Sa a

nnn=

+( );1

2⋅ S

a d nnn =

+ −⋅

2 1

21 ( )

.

Íàïðèêëàä:

1 2 3 1001 100

2100 5050+ + + + =

+⋅ =... ;

1 3 5 2 12 1 2 1

2

1 1

+ + + + − =⋅ + −

⋅ =

= + − ⋅ =

... ( )( )

( )

nn

n

n n n2.

Íåñê³í÷åííî ñïàäíà ãåîìåòðè÷íà ïðîãðåñ³ÿ |q| < 1Ñóìà âñ³õ ÷ëåí³â íåñê³í÷åííî ñïàäíî¿ ãåîìåòðè÷íî¿ ïðîãðåñ³¿: S = b

1+ b

2 + b

2 + ... + bn + ... = b

1+ b

1q + b

1q2 + ... b

1qn – 1 + ...

º ÷èñëî, ÿêå âèçíà÷àºòüñÿ çà ôîðìóëîþ:

Sb

q=

−1

1.

43

Ãåîìåòðè÷íà ïðîãðåñ³ÿÃåîìåòðè÷íà ïðîãðåñ³ÿ — ïîñë³äîâí³ñòü b

1; b

2;

b3; b

4; ...; bn; ..., êîæåí ÷ëåí ÿêî¿, ïî÷èíàþ÷è ç

äðóãîãî, äîð³âíþº ïîïåðåäíüîìó, ïîìíîæåíî-ìó íà îäíå é òå ñàìå ÷èñëî q (q ≠ 0, |q| ≠ 1, b

1 ≠

0), ÿêå íàçèâàþòü çíàìåííèêîì ãåîìåòðè÷íî¿ ïðîãðåñ³¿.bn + 1

= bn ∙ q, äå b

1 ≠ 0, q ≠ 0, |q| ≠ 1, n ∈ N.

Ôîðìóëà n-ãî ÷ëåíà:bn = b

1 ∙ qn – 1.

Õàðàêòåðèñòè÷íà âëàñòèâ³ñòü:

b b bn n n= ⋅− +1 1 (àáî b b bn n n2

1 1= ⋅− + ).

Ôîðìóëà ñóìè n ïåðøèõ ÷ëåí³â:

S bqqn

n

=−−1

1

1, q ≠ 1; S

b q

qnn=

−−

1

1, q ≠ 1.

Íàïðèêëàä:

11

4

1

8

1

16

1

3

1

64

11

16

+ −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ + + −⎛

⎝⎜⎞⎠⎟ + + −⎛

⎝⎜⎞⎠⎟ =

=− −⎛

⎝⎜⎞⎠⎟

⎛⎝

2

2 2⎜⎜

⎞⎠⎟

=−⎛

⎝⎜⎞⎠⎟

= ⋅ ⋅ =1 +

1

2

2

22

2

3

211

11

643

1 63

64 64.

Äåÿê³ ÷èñëîâ³ ïîñë³äîâíîñò³ ³ ¿õ ñóìè

1 2 3 11

2+ + + + − + =

+... ( )

( );n n

n n

1 + 3 + 5 + ... + (2n − 3) + (2n − 1) = n2

2 + 4 + 6 + ... + (2n − 2) + 2n = n (n + 1);

1 2 3 11 2 1

62 2 2 2 2+ + + + − + =

+ +... ( )

( )( );n n

n n n

1 3 5 2 14 1

32 2 2 2

2

+ + + + − =⋅ −

... ( )( )

;nn n

1 3 11

43 3 3 3 3

2 2

+ + + + − + =+

2 ... ( )( )

;n nn n

13 + 33 + 53 + ... (2n − 1)3 = n2 (2n2 − 1).