Манин Ю. Математика как метафора

Ю. И. Манин

Математикакакметафора

Издательство МЦНМОМосква

УДК ()ББК .г

M

MМанин Ю. И.

Математика как метафора. –– М.: МЦНМО, . –– с.

ISBN ----В книге Ю. И. Манина собраны написанные и опубликованные в раз-

ные годы очерки по истории и философии математики и физики, теориикультуры и языка, а также впервые публикуемые отрывки из воспомина-ний, стихи и стихотворные переводы.

ББК .г

Оформление обложки: Михаил ПановЭскиз обложки: Михаил ЛаптевФото на вклейке: Ксения Семёнова

На с. воспроизведен рисунок С. Ю. Аракелова в конспекте курсаЮ. И. Манина «Абелевы многообразия»

Манин Юрий Иванович

МАТЕМАТИКА КАК МЕТАФОРА

Подписано в печать .. г. Формат × /. Бумага офсетная .Печать офсетная. Печ. л. . Тираж экз. Заказ .

Отпечатано с готовых диапозитивов в ППП «Типография „Наука“»., Москва, Шубинский пер., .

Издательство Московского центранепрерывного математического образования

, Москва, Большой Власьевский пер., . Тел. ()–––.

ISBN 978-5-94057-287-9

9 785940 572879 >

© Манин Ю. И., .© МЦНМО, .

Оглавление

Доказательство существования (вместо предисловия) . . . . . . .

Часть IМатематика как метафора

Математика и культура . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Математика как метафора . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Вычислимость и язык . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Истина, строгость и здравый смысл . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Теорема Геделя . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Георг Кантор и его наследие . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Математика как профессия и призвание . . . . . . . . . . . . . . . .

Часть IIМатематика и физика

Математика и физика . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Связи между математикой и физикой . . . . . . . . . . . . . . . . . . Размышления об арифметической физике . . . . . . . . . . . . . . .

Часть IIIИз ненаписанного

Стихи и переводы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Скупка мыслей на Арбате . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Аркадий, Борис, Володя . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Часть IVЯзык, сознание, статьи о книгах

К проблеме ранних стадий речи и сознания (филогенез) . . . . . «Мифологический плут» по данным психологии и теории культуры Архетип Пустого Города . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Оãëàâëåíèå

Тынянов и Грибоедов. Заметки о «Смерти Вазир-Мухтара» . . . . Солнце, бедный тотем . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ватикан, осень . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Человек и знак . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . «Это –– любовь» . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Новая встреча с Алисой . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Треугольник мысли . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Трилогия о математике . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Пространство свободы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Полная библиография работ Ю. И. Манина . . . . . . . . . . . . . . .

Доказательство существования(вместо предисловия)

Памяти моих родителей

В этой книге собраны примерно два десятка моих «нетехнических»текстов, по большей части написанных и опубликованных за послед-ние тридцать лет. Жанр ее, по старинному выражению, –– маргина-лии, заметки на полях, наброски мыслей, подготовительные чернови-ки, не превратившиеся в теоремы, определения, романы или фило-софские трактаты.

Математика, прекрасное ремесло, которым я занимался всю жизнь,служит здесь не только поводом для нематематических размыш-лений, но и метафорой человеческого существования. Не следуетпонимать эту фразу эзотерически. Математиков мало в каждом поко-лении, и они общаются часто над головами современников и черезпрошедшие десятилетия и столетия, как это делают поэты, музыкан-ты, философы.

Сопровождающее такую жизнь чувство, «одиночество бегуна надлинную дистанцию», разные люди компенсируют по-разному. Я сдетства любил чтение обильное и беспорядочное.

∗ ∗ ∗Большая часть того, что меня занимало в математике, связана

с алгебраической геометрией. Ее основная тема –– изучение реше-ний систем полиномиальных уравнений со многими неизвестными.Если уравнения выбраны и зафиксированы, мы представляем себемножество всех их решений, состоящее из n-ок комплексных чисел,в виде геометрического образа, формы, размещенной в n-мерном(или 2n-мерном) пространстве. В одних направлениях эта формауходит в бесконечность, а в других прихотливо замыкается на себе.Разнообразие и сложность таких форм бесконечно богаче, чем все,что можно увидеть на современных выставках абстрактного искус-

Дîêàçàòåëüñòâî ñóùåñòâîâàíèÿ

ства. Математики научились находить регулярности, взаимосвязии закономерности в этом огромном мире.

Меня больше всего привлекали приложения алгебраической гео-метрии к теории чисел и к физике. Одна из старейших задач теориичисел, восходящая к древней Греции и до сих пор носящая имя Дио-фанта Александрийского (около года нашей эры), также касаетсярешений полиномиальных уравнений, но на этот раз мы постулиру-ем, что коэффициенты полиномов суть целые числа, и спрашиваем:

Существуют ли решения, у которых все координаты тоже целые(или рациональные)? Насколько их много?

На заре нашей науки, когда математики античности только учи-лись ставить такие вопросы и находить на них ответы, даже про-стейшие уравнения приносили глубокие озарения. Тот факт, чтоуравнение x2 − 2 y2

= 0 не имеет других целочисленных решений,кроме x= y=0, открыл глаза на то, что мир геометрических величинмного больше мира «рационально измеримых» величин (диагональквадрата несоизмерима с его стороной). По существу, евклидовагеометрия была также началом теоретической физики –– кинематикиидеально твердых тел в двумерном или трехмерном гравитационномвакууме, –– а попытки связать формы с числами привели много позжек кристаллизации алгебраического, аналитического и вычислитель-ного аппарата физики. Диагональ единичного квадрата

p2, сторона

куба с объемом 2(3p

2) и длина окружности единичного диаметра πбыли изначально физическими константами, а привычные нам ве-щественные числа в истории математики медленно осознавалиськак огромное потенциальное вместилище для значений всех физи-ческих величин. Целых и рациональных чисел для познания мира нехватало.

С другой стороны, для описания и физического мира, и мираидей, для передачи от учителя к ученику того, что уже понято, длясохранения от забвения в следующих поколениях, люди нуждалисьв словах, символах, знаках, в жестких правилах для обращения с ни-ми. Силлогизмы Аристотеля оказались таким же зачатком теорииязыка науки, как пифагорейские открытия –– зачатком теоретичес-кой физики. Медленно, через схоластов, Лейбница, Буля, Гёделя,фон Неймана и многих других, развивалось осознание того, чтос текстами на языке науки можно обращаться так же, как с целымичислами.

Теория познания, принадлежа философии, находится за предела-ми нашего обсуждения, но можно вообразить и ее технические зада-чи, скажем, можно ли из данного компендиума знаний логически из-


влечь ответ на новый вопрос, или это требует расширения базы зна-ний?

Через две с лишним тысячи лет после Диофанта и Пифагора выяс-нилось, что в принципе любая такая задача сводится к одной, которуюмы уже сформулировали: есть ли решение у данной системы диофан-товых уравнений?

∗ ∗ ∗Взаимодействие алгебраической геометрии с теорией чисел при-

вело к пониманию удивительного и фундаментального принципа: от-веты на Диофантовы вопросы о системе уравнений критически зави-сят от геометрической формы пространства всех комплексных реше-ний этой системы.

Например, пространство всех комплексных решений может выгля-деть (топологически) как сфера, или тор, или сфера с несколькимиручками. Количество ручек называется родом, это очень устойчивыйинвариант системы уравнений, и кажется, что он имеет мало общегос арифметическими тонкостями и дискретными точками решетки це-лочисленных векторов (в проективном пространстве различие междуцелыми и рациональными точками стирается).

Тем не менее, род определяет, когда множество всех рациональ-ных решений может быть бесконечным: только если ручек не большеодной.

Это –– содержание знаменитой гипотезы Морделла, которой я за-нимался в шестидесятые годы. Позже я попытался наметить контурыпрограммы, которая прояснила бы взаимоотношения между геомет-рическими и диофантовыми свойствами в любой размерности.

В рабочий инструментарий теоретической физики до недавнеговремени входили только рудименты алгебраической геометрии. По-ложение стало меняться в шестидесятые годы прошлого века, когдааппарат квантовой теории поля и особенно теории струн вывел ал-гебраическую геометрию на первый план.

Привычный образ мировой линии точечной элементарной части-цы был замещен образом мирового листа маленькой струны. Такойлист выглядит как (риманова) поверхность, и ее род –– число ручек ––соответствует числу петель в выражениях для фейнмановских ампли-туд, которые с сороковых годов стали центральным теоретическими вычислительным средством квантовой физики.

Мне удалось вычислить так называемую меру Полякова на про-странстве модулей (параметров) римановых поверхностей, знаниекоторой необходимо для вычисления фейнмановских интегралов.


Оказалось, что она строится из тех же арифметических компонент,которые играли центральную роль в полном доказательстве гипотезыМорделла, незадолго до того полученном Гердом Фальтингсом.

Контрапункт этих двух тем –– языка и геометрии, теории чисели физики, логики и интуиции, постоянно возникает в физико-мате-матических частях книги.

∗ ∗ ∗

Во второй половине прошлого века взаимный интерес гуманита-риев и математиков друг к другу создавал атмосферу, в которой мог-ло начаться сотрудничество. Разрыв «двух культур» (Ч. П. Сноу) сталказаться преодолимым, по крайней мере в Москве и в Париже. Линг-висты, побуждаемые как внутренней логикой своих задач, так и рас-тущими возможностями компьютеров, начали разрабатывать прин-ципы точного описания естественных языков; меня особенно увлеклазамечательная общелингвистическая программа «Смысл––Текст» Иго-ря Мельчука. Колмогоров с учениками занялся поэтической речьюи ее статистикой. Во встречном направлении шли семиотики и сти-ховеды. Не обходилось без разочарований и раздражения .

Меня, однако, не соблазняла перспектива применить свои рабо-чие навыки математика к гуманитарному материалу. Мне хотелосьвжиться в него, как вживаются в чужую страну, и описать увиденноесловами не столь точными, сколь выразительными. (В контексте лите-ратуроведения Сьюзен Зонтаг назвала такую установку «эротическимотношением к литературе».)

Плодами этих мечтаний оказались три статьи: «Архетип ПустогоГорода», «„Мифологический плут“ по данным психологии и теориикультуры», «К проблеме ранних стадий речи и сознания (филогенез)».

В конечном счете, все три работы возникли из желания понятьчерты коллективной психологии человеческого поведения. Материа-листические объяснения истории, сформулированные на деревянномофициальном арго, не объясняли ни ее неправдоподобной жестоко-сти, ни ее творческой страсти. Иногда казалось, что историю дела-ют не вожди, классы и массы, а кучка садистов руками толп мазо-хистов.

«В таблицах сумма по столбцам и сумма по строкам никак не хотели сходиться ⟨…⟩Впрочем, таблицы с цифрами мало кто читает: в моей книге „Современный русскийстих“ (. C. ) неправильно суммированы подсчеты по тактовику Блока и поэтомунеправильны все выводы из них, но за лет никто этого не заметил». (Гаспаров М.Записи и выписки. М.: НЛО, . С. ).


Я услышал «архетип Пустого Города» в разных мотивах искусстваи облек его в словесную оболочку аналитической психологии Юнга,рационализировав его как подсознательную тень «проектного созна-ния», создающего светские и религиозные утопии, иногда невероят-ной красоты и мощи. В недавних комментариях Г. Ревзина и А. А. Гря-калова этот архетип привлекается в дискурсах, посвященных искус-ствоведению и философии детства.

Мифологический плут требует более пространных комментариев.Много лет я вел домашний семинар, посвященный психолингви-

стике и эволюции сознания и интеллекта (это был один из вариантовтрадиционных московских посиделок «на кухне»).

Среди его участников и докладчиков были лингвисты, нейробио-логи, психиатры, филологи. Мы пытались найти общие интересыи вопросы, где соединение разных профессиональных знаний, при-вычек и опыта могли бы привести к чему-нибудь новому.

Я постепенно сосредоточился на раздумьях, которые мог себепозволить только дилетант. Я попытался вообразить себе зарождениеязыка как системы социального поведения.

Методы сравнительного языкознания позволяют реконструиро-вать словарь и грамматику праязыковых состояний в дописьменнуюэпоху. Они основаны на сравнении фонетически и семантическиблизких слов родственных языков, затем (скажем, в ностратическихреконструкциях) на сравнении фонетически и семантически близ-ких реконструированных корней. С каждым шагом реконструкцииколичество сохранившегося материала убывает экспоненциально,поэтому дальше примерно (10––13) ·103 лет до н. э., то есть раннегонеолита, компаративистика дойти не может (конечно, эти глоттохро-нологические датировки могут уточняться и оспариваться). Привле-чение генетических данных (Луиджи Кавалли-Сфорца) подкрепляети углубляет полученную картину, но о собственно языках уже несообщает ничего.

Между тем, говорить человек начал предположительно где-то меж-ду 3 ·104 и 105 лет до н. э., и я хотел вообразить, как это могло проис-ходить.

Для краткости я представлю свои размышления в виде серии сухихи упрощенных тезисов.

http://www.projectclassica.ru /v_o/11_2004/11_2004_o_01b.htm,http://www.archi.ru/press/revzin/kom071201.htm,http://social.philosophy.pu.ru/?cat=publications&key=105 .


(а) В исторически описанных обществах изредка появлялись лю-ди, чей уровень речевой компетенции на порядки превосходил уро-вень обычных, даже образованных и активных деятелей. Можновспомнить таких кристаллизаторов национальных языков, как Данте,Шекспир и Пушкин. В дописьменных обществах, вероятно, такимибыли творцы «Одиссеи» и «Гильгамеша».

Я предположил, что то же происходило на гораздо более архаич-ных стадиях развития речи. Появлялись люди, через которых арти-кулировал еще не рожденный язык, производимый мутировавшиммозгом. Эта прото-речь врывалась в безъязыковое окружение черезпрото-шаманов и прото-поэтов.

(б) Прото-речь развивалась параллельно с прото-сознанием.Изначальные функции и речи, и сознания не были когнитивны-

ми. Они состояли во введении психического механизма, который могбы останавливать врожденные, инстинктивные, животные реакциии поведенческие стереотипы.

Прото-речь доставляла сигнальную систему, включавшую оста-новку таких реакций; она могла быть интериоризована и начиналасоставлять основу индивидуальной психики.

Все более выраженная речь также позволяла отдельным, особо ода-ренным индивидуумам контролировать поведение других людей, ив конечном счете создавать «альтернативные реальности» религии,литературы, философии и науки.

(в) Наконец, развивающаяся асимметрия левого и правого полу-шарий головного мозга, которая сопровождала развитие лингвисти-ческой компетенции раннего человека, легко приводила к тому, чтов современных терминах можно было бы описать как острое невро-тическое расстройство. (В литературе имеются сходные спекуляции,основанные на другом материале, например, на эволюции сексуаль-ного поведения от животного до человеческого.)

На некоторой стадии реконструкции я понял, что фигура, пред-ставшая моему воображению, разительно похожа на «мифологиче-ского плута» (в англоязычном варианте трикстера). Я начал читатьобширную литературу о трикстерах. Свидетельства подтверждали,что трикстеры по всему свету обладали недюжинными языковымиспособностями и в то же время были глубокими невротиками.

Дарвиновская эволюция была благосклонна к трикстерским ге-нам, потому что его бурная сексуальная активность сопровождаласьталантом манипулятора. Более того, традиционная роль трикстеракак мудрого советника при центре власти давала ему дополнительныерепродуктивные преимущества.


Моя статья о трикстере была опубликована в «Природе» в году.Только недавно я узнал, что примерно тогда же, в году,

группа исследователей опубликовала книгу «Макиавеллиевский ин-теллект» .

Ее содержание было вкратце резюмировано во второй части этойкниги так: «⟨…⟩ изначальной движущей силой эволюции интеллектабыл отбор по эффективности манипулятивного социального поведе-ния внутри групп, где самые трудные задачи, стоящие перед индиви-дуумом, были связаны с необходимостью взаимодействия с другимичленами группы».

Авторы (или редакторы) предложили термин «МакиавеллиевскийИнтеллект» именно для того, чтобы метафорически выразить этотопыт социального манипулирования. Полевые исследования выявилиего зачатки уже в сообществах приматов.

Воображенный мной Трикстер замечательно соответствовал это-му описанию.

∗ ∗ ∗В году мой отец ушел на фронт, где через год погиб. В по-

следние дни дома он хотел, я думаю, побыть со мной и научить менячему-нибудь, что я бы запомнил надолго. «Завтра мы пойдем ловитьрыбу», –– сказал он.

Назавтра мы отправились с утра и остановились у ближайшегобольшого арыка (дело было в Чарджоу, куда после эвакуации из Сим-ферополя попала часть Крымского Пединститута). В арыке текла ко-ричневая глинистая вода. Я был почти уверен, что никакая рыба тамжить не может, да и вообще, как ее ловить? (мне было пять лет).

Отец сломал два прута, очистил их от листьев и привязал к ним понитке, на концах ниток были две гнутые булавки, заменявшие крюч-ки. На булавки он насадил шарики хлебного мякиша. В меня началозаползать страшное подозрение: рыба проглотит эти булавки, ей бу-дет очень больно, а мы ее вытащим, ей будет нечем дышать, и онаумрет. Я боялся сказать хоть слово.

Отец забросил удочки. Ничего не происходило, нитки шевелилисьв мутной воде.

Наконец, отец со вздохом сказал, что пора домой, вытащил «лески»и посмотрел на хлебные шарики.

Machiavellian Intelligence: Social expertise and the evolution of intellect in monkeys,apes and humans / Ed. by R. W. Byrne, A. Whiten. Oxford: Clarendon Press, .

Machiavellian Intelligence II: Extensions and evaluations / Ed. by A. Whiten andR. W. Byrne. Cambridge University Press, .


Они были слегка обкусаны! Значит, рыба в арыке жила, а мы ни-кого не убили!

Счастье, которое я испытал, сделав два этих открытия, и осталосьглавным уроком моего отца, и я не забыл его до нынешнего дня.

Сочиняя свой личностный миф, я решил, что это был мой первыйонтологический опыт, «доказательство существования» по косвеннымпризнакам.

∗ ∗ ∗Вся моя интеллектуальная жизнь была сформирована тем, что

я условно стал называть Просвещенческим проектом. Его основнаяпосылка состояла в вере, что человеческий разум имеет высшуюценность, а распространение науки и просвещения само по себенеизбежно приведет к тому, что лучшие, чем мы, люди, будут житьв лучшем, чем мы, обществе.

Ничто из того, что я наблюдал вокруг себя в течение двух третейпрошлого века и подходящего к концу десятилетия нового века, неоправдывало этой веры.

И все же я верю в Просвещенческий проект.

∗ ∗ ∗В заключение я хочу выразить сердечную благодарность всем мо-

им учителям, друзьям и собеседникам долгих лет. Перечислить их нетникакой возможности, но от них, а также из их книг я узнал все, чтознаю (или думаю, что знаю).

Особая признательность Ксане и Мите.Мите пришло в голову собрать эту книгу, и когда она начала за-

вязываться, он перевел несколько важных для меня работ, которыевойдут в издание ее английской версии.

Советы, критика, поощрение и любовь Ксаны сопровождали всюработу, как и всю жизнь.

Чàñòü I

Мàòåìàòèêà êàê ìåòàôîðà

Математика и культура

. Предисловие

Как так может быть, что мы с одной стороныгордимся тем, что построили прекрасный мир, полно-стью отгороженный от запросов реальности, а с дру-гой –– утверждаем, что наши идеи лежат в основе чутьли не всех значительных технических достижений?

Д. Мамфорд, из предисловия к книге []

Чистая математика –– это огромный организм, построенный пол-ностью и исключительно из идей, возникающих в умах математикови в этих умах живущих.

У того, кто захочет избавиться от чувства дискомфорта, вызывае-мого таким заявлением, есть по крайней мере три пути отхода.

Во-первых, можно попросту отождествить математику с содер-жанием математических рукописей, книг, статей и докладов, со всевремя растущей сетью из теорем, определений, доказательств, кон-струкций, гипотез (может быть, и математических компьютерныхпрограмм) –– с тем, что современные математики рассказывают наконференциях, хранят в библиотеках и электронных архивах, чемони гордятся, за что они друг друга награждают. Короче говоря,математика –– это просто то, чем занимаются математики, так жекак музыка –– это то, чем занимаются музыканты.

Во-вторых, можно возразить, что математика –– это вид человече-ской деятельности, глубоко укорененный в реальности и постояннок этой реальности возвращающийся. От счета на пальцах до высадкина Луне и поисковой системы Google –– мы занимаемся математикой,чтобы понимать и создавать реальные объекты и оперировать ими,и возможно, именно это понимание является математикой, а нетрудноуловимое бормотание сопутствующих абстракций. При такомподходе математики становятся более или менее ответственнымидеятелями истории человечества, подобно Архимеду, помогавшему

Статья написана для трехтомника «Matematica e cultura» (в печати). Перевод с ан-глийского С. М. Львовского.

Чàñòü I. Мàòåìàòèêà êàê ìåòàôîðà

защищать Сиракузы (и заодно местного тирана), Алану Тьюрингу,анализировавшему перехваченные шифрованные послания марша-ла Роммеля в Берлин, или Джону фон Нейману, предложившемудетонацию на больших высотах в качестве эффективной тактикибомбометания. Если принять такую точку зрения, то математикимогут защищать свое ремесло, подчеркивая его общественную полез-ность. Математик в такой роли может сталкиваться с моральнымипроблемами так же, как и любой другой человек; если бы я хотелпродемонстрировать некоторые особенности этих проблем, специфи-ческие для профессии математика, то я не нашел бы ничего лучше,чем горькая ирония из [, с.]: «...математика может также оказатьсясовершенно незаменимым инструментом. Так, когда изучалось воз-действие кассетных бомб на человека, но испытания на свиньях былиневозможны по соображениям гуманности (курсив мой. –– Ю. М.), вигру вступило математическое моделирование».

В-третьих, имеется грандиозная картина великого Замка Матема-тики, возвышающегося где-то в платоновском мире идей, каковойзамок мы скромно и преданно исследуем (а не конструируем). Вели-чайшим математикам удается ухватить какие-то контуры Великогозамысла, но даже тем, кому открылся всего лишь узор плитки накухне, это открытие может принести счастье и блаженство. Тот,кто предпочитает выразить эту же мысль иными словами, с помо-щью семиотической метафоры, мог бы сказать, что математика ––это прототекст, существование которого только постулируется, нокоторый тем не менее лежит в основе тех его искаженных и фраг-ментарных копий, с которыми мы обречены иметь дело. О личностиавтора этого прототекста (или строителя Замка) все могут толькостроить догадки, но Георг Кантор с его виденьем бесконечностибесконечностей как напрямую вдохновленной Богом и Курт Гёдельс его «онтологическим доказательством» сомнений на этот счет, ка-жется, не испытывали.

Различные оттенки и комбинации этих трех подходов, социальныхпозиций и вытекающих из этого выборов стратегии индивидуально-го поведения окрашивают все дальнейшее обсуждение. Единственнаяцель этого краткого предисловия –– продемонстрировать читателю тевнутренние напряжения, которые будут присутствовать в нашем из-ложении, а вовсе не имитировать (отсутствующее) ясное пониманиеи не предложить (отсутствующие) определенные суждения.

Наше последнее предупреждение касается присутствующих в на-шем изложении исторических экскурсов. Есть два разных способа чи-тать старые тексты: при одном способе читатель стремится понять

Мàòåìàòèêà è êóëüòóðà

время, когда они были написаны, и культуру, к которой этот текстотносился, при другом читатель стремится пролить свет на ценностии предрассудки нашего времени. В истории математики эти подходыпредставлены историей в стиле «этноматематика» и историей в стилеБурбаки соответственно.

В этом тексте я в явном виде и сознательно принимаю «модерни-заторскую» точку зрения.

Зилке Виммер-Загир снабдила меня некоторыми источниками поистории китайской и японской математики и обсудила со мной ихсвязь с этим проектом. Д. Ю. Манин объяснил мне принятую в Googleстратегию ранжирования страниц. Я благодарен им обоим за щедруюпомощь.

. Математическое знание

.. Взгляд с птичьего полета. Сэр Майкл Атья начинает свой до-клад [] с такого обобщающего вступления: «Три большие раздела ма-тематики –– это, в порядке их появления, геометрия, алгебра и ана-лиз. Геометрией мы обязаны в основном греческой цивилизации, ал-гебра имеет индо-арабское происхождение, а с созданием Ньютономи Лейбницем анализа пришла новая эра». Затем он объясняет, чтов царстве физики эти разделы математики соответствуют исследова-нию пространства, времени и континуума соответственно: «Вряд ликто-нибудь будет спорить с тем, что геометрия занимается исследова-нием пространства; возможно, менее очевидно, что алгебра занима-ется исследованием времени. Заметим, однако, что для любой алгеб-раической системы необходимо выполнение последовательных опе-раций (сложения, умножения и т. п.) и что эти операции воспринима-ются как выполняемые одна после другой. Иными словами, алгебренеобходимо время, чтобы придать ей смысл, пусть даже обычно приэтом речь идет о дискретных отрезках времени».

Можно было бы предложить и альтернативную точку зрения наалгебру, согласно которой она теснее всего связана не с физикой, ас языком. Если посмотреть на постепенное зарождение позиционнойсистемы записи чисел, а в дальнейшем –– алгебраических обозначе-ний для переменных и операций, то можно выделить два историче-ских этапа.

На первом этапе обозначения используются в первую очередьдля нужд сокращения и унификации символического представле-ния некоторого набора значений. На этом этапе ту же роль могиграть (и играл) также естественный язык –– но менее эффектив-но. Поэтому описанный процесс правомерно сравнить с развити-


ем специализированного поддиалекта в естественном языке. Рим-ские цифры, до сих пор использующиеся в декоративных целях ––это ископаемые, оставшиеся от указанного периода. Другая полезнаяаналогия –– возникновение и развитие химической нотации (воз-можно, это развитие было более прямым, и во всяком случае онолучше документировано).

На втором этапе разрабатываются алгоритмы для сложения и ум-ножения (а позднее и для деления) чисел, записанных в позиционнойсистеме. Параллельно этому из переменных и алгебраических опе-раций начинают строить тождества и уравнения, а затем и последо-вательности уравнений, удовлетворяющие единообразным правиламвывода (тождественных преобразований). На этом этапе высказыва-ния на новом (математическом) диалекте становятся не столь носите-лями определенных значений, сколь сырьем для переработки на фаб-рике, производящей вычисления. Именно этот сдвиг смысла, от болееили менее явной семантики обозначений к скрытой семантике алго-ритмов, преобразующих строки символов, был ключевым событиемв процессе зарождения алгебры.

Ничего похожего на этот второй этап не происходило с естествен-ными языками. Напротив, когда в -х годах XX века с появлениембольших компьютеров начались первые попытки алгоритмическойобработки текстов на английском, французском или русском языках(например, для целей автоматического перевода), стало ясно, на-сколько естественные языки неудобны для компьютерной обработки.Оказалось, что невозможно обойтись без огромных словарных базданных. Морфология, порядок слов и сочетания грамматических кон-струкций подчинялись запутанным и нелогичным правилам; хужетого, в разных языках эти правила прихотливым образом противоре-чили друг другу. Невзирая на все усилия, автоматический переводбез последующего редактирования человеком так и не приводитк удовлетворительным результатам.

Эта характерная для человеческих языков сопротивляемость к ал-горитмической обработке является, возможно, глубинной причинойтого, что только математика способна обеспечить адекватный языкдля физики. Не то чтобы нам не хватало слов для выражения всехэтих E =mc2 и

∫

eiS(ϕ)Dϕ –– слова-то как раз есть, и они легко приду-мываются, но мы так бы ничего и не могли делать с этими великимиоткрытиями, если бы для их описания мы располагали исключитель-но словами.

С другой стороны, не можем мы также и опустить слова и иметьдело только с формулами. Слова в математических и естественнона-


учных текстах играют три основные роли. Во-первых, они обеспечи-вают многочисленные связи между физической реальностью и миромматематических абстракций. Во-вторых, слова несут оценочные суж-дения (иногда явные, иногда неявные), которыми мы руководствуем-ся при выборе тех или иных цепочек математических рассужденийв огромном дереве «всех» допустимых, но по большей части бессодер-жательных формальных выводов. Наконец (последнее по счету, но непо важности), слова позволяют нам общаться, учить и учиться.

В заключение приведу глубокое замечание Поля Самуэльсона,сравнивающего использование слов и математических символов вэкономических моделях (цитируется по []): «Когда мы приступаемк решению этих проблем [из экономики] с помощью слов, мы решаемте же уравнения, что и в случае, когда мы эти уравнения явно выпи-сываем. ⟨…⟩ По-настоящему серьезные ошибки происходят на этапеформулировки исходных предпосылок. ⟨…⟩ Одно из преимуществтакого посредника, как математика (точнее говоря, математическихканонов изложения доказательств, будь то словесно или с использова-нием символики) состоит в том, что нам приходится выложить картына стол, так что наши исходные предпосылки будут видны всем».

Возвращаясь к карте математических провинций Геометрии, Ал-гебры и Анализа, заметим, что на ней надо найти место и для (ма-тематической) Логики, с ее современными воплощениями –– Теори-ей Алгоритмов и Теоретической Информатикой (Computer Science).Имеются очень сильные доводы в пользу того, чтобы, вопреки Фреге,рассматривать ее как часть широко понимаемой алгебры. Если со-гласиться с этим, то догадка Атьи насчет связи между алгеброй и по-нятием времени получает подтверждение. Именно, серьезные сдвигив развитии логики в -е годы XX века произошли тогда, когда АланТьюринг воспользовался физической метафорой «машины Тьюринга»для описания алгоритмизованного вычисления. До его работы логикаобсуждалась почти исключительно в паралингвистических терминах,как и у нас выше. Тьюринговское представление о конечном автома-те, передвигающемся дискретными шагами вдоль одномерной лентыи записывающем на ней биты или стирающего их, вместе с теоре-мой существования универсальной машины такого типа, подчерки-вает именно этот временной аспект всякого вычисления. Еще важнеето обстоятельство, что представление о вычислении как о физическомпроцессе не только помогло сконструировать современные компью-теры, но и открыло пути для продумывания в физических терминах(как классических, так и квантовых) общих закономерностей хране-ния и обработки информации.


.. Математика: предмет изучения. Когда мы занимаемся био-логией, мы изучаем живые организмы. Когда мы занимаемся астро-номией, мы изучаем небесные тела. Когда мы занимаемся химией,мы изучаем разновидности материи и их взаимопревращения.

Мы наблюдаем и измеряем нечто в реальном мире, мы разрабаты-ваем специализированные эксперименты в точно определенных усло-виях (впрочем, не в астрономии), и в результате всего этого мы стро-им объясняющую парадигму, которая становится на текущий моментвехой в развитии науки.

Но что же мы изучаем, когда занимаемся математикой?Один из возможных ответов таков: мы изучаем идеи, с которыми

можно обращаться так, как если бы они были реальными предмета-ми (П. Дэвис и Р. Херш называют их «умственными объектами с вос-производимыми свойствами»).

Каждая такая идея должна быть достаточно жесткой, чтобы сохра-нять свою форму во всяком контексте, где она может быть исполь-зована. В то же время у каждой такой идеи должен быть богатый по-тенциал для создания связей с другими математическими идеями. Ко-гда первоначальный комплекс идей сформировался (исторически илипедагогически), связи между этими идеями также могут приобрестистатус математических объектов, образуя тем самым первый уровеньгигантской иерархии абстракций.

В самом низу этой иерархии лежат мысленные образы самих ве-щей и способов манипулирования ими. Чудесным образом оказыва-ется, что даже абстракции высокого уровня могут каким-то образомотражать реальность: знания о мире, полученные физиками, можновыразить только на языке математики.

Вот несколько основных примеров.... Натуральные числа. Это, возможно, старейшая протома-

тематическая идея. «Жесткость» таких объектов, как 1, 2, 3…, тако-ва, что первые натуральные числа обретают символический и религи-озный смысл во многих культурах. На ум тут же приходят христиан-ская Троица и и буддистская нирвана: слово ‘нирвана’ происходит отсанскритского nir-dva-n-dva, где dva так и значит ‘два’, а все выраже-ние подразумевает, что состояние абсолютного блаженства будет до-стигнуто, когда человек подавит индивидуальное существование и бу-дет составлять «одно» с Вселенной. (Эти отрицательные коннотациислова ‘два’ сохранились даже в некоторых современных европейскихязыках, в которых у слова ‘два’ имеются ассоциации с идеей сомне-ния; см. латинское dubius, немецкое Zweifeln и описание Мефистофе-ля у Гёте.)


Натуральное число является также и протофизической идеей: под-счет материальных объектов (а позднее –– и нематериальных, напри-мер, дней и ночей) является первым проявлением идеи измерения(см. ниже).

Натуральное число становится математической идеей, когда:а) изобретаются способы обращения с натуральными числами так,

как если бы они были предметами (сложение, умножение);б) выявляются первые абстрактные свойства внутренней структу-

ры совокупности всех натуральных чисел (простые числа, их беско-нечность, существование и единственность разложения на простыемножители).

Эти два открытия весьма отдалены друг от друга и исторически,и географически (возможно, также и в культурном и философском ас-пектах). Позиционная система счисления знаменует начало того, чтомы сегодня называем прикладной математикой, а простые числа ––того, что раньше называли чистой математикой. Скажем об этомнемного подробнее.

Первоначально и числа, и способы обращения с ними кодирова-лись специфическими материальными объектами: пальцами и други-ми частями тела, палочками, предназначенными для счета, зарубка-ми. Зарубка –– это уже знак, а не вещь в собственном смысле слова;она может означать не только 1, но и 10, и 60 –– в зависимости от того,где она расположена в ряду других символов. Тем самым открывает-ся дорога к великому математическому открытию –– позиционной си-стеме счисления. Впрочем, непротиворечивой позиционной системенеобходим еще и знак для нуля, который появился достаточно поздно,ознаменовав переход на новый уровень математической абстракции.

Выразительный отрывок из [] рисует такую картину.

В году до н. э. царь Шульги провел военную реформу в шу-мерском государстве, а на следующий год –– административнуюреформу (кажется, объявленную как временную в связи с чрез-вычайными обстоятельствами, но вскоре ставшую постоянной),согласно которой большая часть трудоспособного населения былаорганизована в почти что рабские рабочие бригады, а писцы-надсмотрщики были сделаны ответственными за производитель-ность этих бригад, исчисляемую в абстрактных единицах, равных1/60 рабочего дня (12 минут), согласно четким нормативам. Всяработа и все результаты труда должны были скрупулезно подсчи-тываться и при учете переводиться в эти абстрактные единицы;для этого требовалось в массовом порядке проводить умножение


и деление. При этом была введена и использовалась для промежу-точных подсчетов позиционная система с основанием 60. Наличиетакой системы предполагает существование таблицы умножения,таблицы обратных и таблицы технических констант и изучениеэтих таблиц в школах. Тем самым создание системы, основнаяидея которой «носилась в воздухе» в течение уже нескольких сто-летий, потребовало решения на государственном уровне и весьмаэнергичного проведения этого решения в жизнь. Как и во мно-жестве случаев позднее, только война создала возможность дляпроявления такой политической воли.

С другой стороны, представляется, что простые числа возниклииз чистого созерцания, так же как и идея совершенно конкретнойбесконечности: как самих натуральных чисел, так и простых чисел.

Доказательство бесконечности простых чисел, включенное в «На-чала» Евклида, является одним из красивейших математических рас-суждений древности. Напомним его вкратце (в современных обозна-чениях): если у нас есть конечный список простых чисел p1, …, pn, ток нему можно добавить еще одно, взяв любой простой делитель числаp1…pn+1.

Это –– идеальный пример обращения с математическими идеямитак, как если бы они были жесткими материальными объектами. Наэтой стадии это уже чистые идеи, откровенно не имеющие даже от-даленного отношения к материальным обозначениям на шумерскийили еще какой-нибудь лад. И сегодня, глядя на число, записанное в де-сятичной системе, легко сказать, четно ли оно и делится ли оно на5 –– но невозможно сходу увидеть, что оно является простым. Целыепоколения математиков после Евклида дивились тому, как, на первыйвзгляд, случайно рассыпаны простые числа в натуральном ряду.

Наблюдение, эксперимент в точно определенных условиях, а с не-давних пор –– даже промышленное производство простых чисел (по-строение и выявление больших простых чисел с помощью практиче-ски реализуемых алгоритмов используется в задачах криптографии)стали отличительной чертой значительной части современной тео-рии чисел.

... Действительные числа и «геометрическая алгебра». Це-лые числа возникли из счета, но остальные действительные числа воз-никли в геометрии в качестве длин, площадей и объемов. Пифагоров-ское открытие несоизмеримости диагонали квадрата с его сторонойпродемонстрировало также и то, что «величин» больше, чем «чисел».В дальнейшем величины стали действительными числами.


Арифметические операции над целыми числами развивались отсоединения двух кучек палочек и составления двух шестов с зарубка-ми до регламентированных действий с систематизированными обо-значениями. Алгебраические операции над действительными числа-ми начинались с рисования и разглядывания рисунков, которые мог-ли быть то планами местности или будущих строений, то изображе-ниями евклидовских квадратов, окружностей и углов.

В XX веке историки математики спорили о том, правильно ли рас-сматривать значительную часть греческой математики как «геомет-рическую алгебру». Один из примеров геометрической алгебры –– ри-сунок, изображающий квадрат, разделенный двумя прямыми, парал-лельными двум перпендикулярным сторонам, на четыре части, две изкоторых также являются квадратами. Этот рисунок можно понять какгеометрическую запись и доказательство алгебраического тождества(a+b)2

=a2+2ab+b2.

Наш модернизаторский подход к истории подсказывает необходи-мость рассмотрения нескольких режимов мышления, в особенностимышления, связанного с математикой. Вот основное разделение.

а) Сознательное манипулирование конечной и дискретной си-стемой символов с явно зафиксированными правилами построенияосмысленных строк символов и менее явными правилами, согласнокоторым некоторые строки признаются «интересными» (левое полу-шарие: лингвистическая и алгебраическая деятельность).

б) В большой степени подсознательное манипулирование со зри-тельными образами, неявно опирающееся на прошлый опыт и оценкувероятностей возможных результатов, но также использующее в каче-стве критерия равновесие, гармонию и симметрию (правое полуша-рие: пластические искусства, музыка, геометрия).

В сознании математика, занимающегося исследованием, эти дварежима мышления должны сочетаться многими сложными способа-ми. Это непросто, в частности, и потому, что скорости обработки ин-формации в двух режимах чрезвычайно сильно различаются: порядка10 битов в секунду для сознательной обработки символов и порядка107 битов в секунду для подсознательной визуальной деятельности(см. []).

Возможно, именно из-за внутреннего напряжения, создаваемогоэтим (и другими) несоответствиями взгляды на два указанные режи-ма мышления часто являются эмоционально окрашенными; два по-лушария рассматриваются как воплощения разных ценностей: холод-ный интеллект против теплого чувства, голая логика против прони-цательной интуиции. См. прекрасные статьи Дэвида Мамфорда []


и [], в которых он красноречиво выступает за статистику и противлогики, но при этом пользуется математической статистикой, кото-рая, как и всякий раздел математики, построена в высшей степенилогично.

Возвращаясь к действительным числам и «геометрической ал-гебре» греков, мы узнаем в ней пример правополушарного подходак предмету, который в дальнейшем развился в нечто управляемоев основном левым полушарием. Мамфорд по этому поводу говорит,что современная алгебра представляет собой грамматику операцийс объектами, являющимися по сути своей геометрическими, а грече-ская алгебра –– это ранний компендиум таких операций.

Возможно, влияние непрерывности греческого геометрическогомышления как когнитивного феномена можно обнаружить не тольков современной геометрии, но и в теоретической физике. В течениепоследних десятилетий из физики в математику шел такой мощныйпоток догадок, гипотез и изощренных конструкций, что был дажеизобретен термин «физическая математика». Теоретическое мышле-ние, на котором основано творческое использование фейнмановскихинтегралов, поражает нас богатством результатов, построенных наоснове, которая по любым математическим критериям должна счи-таться весьма шаткой. Это можно рассматривать как дополнительнуюиллюстрацию того тезиса, что «геометрическая алгебра» существова-ла в реальности и не является исключительно результатом нашейреконструкции.

... eπi=−1: повесть о трех числах. Не исключено, что фор-

мула Эйлера eπi=−1 –– самая красивая одиночная формула во всей

математике.В ней в высшей степени неожиданным образом объединены три

(или четыре, если включить в счет и −1) константы, открытые в раз-личные эпохи и с очень разной мотивацией.

Говоря очень кратко, π=3,1415926… принадлежит (опять) к на-следию греков. Само его существование как действительного числа(то есть как чего-то подобного длине отрезка или площади квадрата)нельзя осознать без дополнительного мыслительного усилия. Пробле-ма квадратуры круга –– это не просто очередная геометрическая зада-ча; это тест на легитимность с неясным результатом.

Напротив, число e= 2,718281828… является продуктом уже зре-лой, хоть и не полностью развитой, западной математики (серединаXVII века). Это –– теоретический побочный продукт, с одной стороны,изобретенных в это время таблиц логарифмов, являвшихся средствомоптимизации численных алгоритмов (замена умножения сложени-


ем), и с другой стороны –– задачи о «квадратуре гиперболы». Никакиеклассические геометрические конструкции не приводили к числу eи не наводили на мысль о существовании соотношения между e и π.

Наконец, определение «мнимого» числа i=p−1, рассматривавше-

гося многими современниками как нечто чудовищное, было для Кар-дано буквально вынужденным шагом, предпринятым в связи с фор-мулами для решения кубического уравнения в радикалах. Когда всетри корня являются вещественными, при использовании этих формулв промежуточных вычислениях появляются комплексные числа.

Формула Эйлера представляет собой замечательный пример «бес-конечных» тождеств, с которыми он (а позднее –– Сринаваса Рамануд-жан) блестяще умел обращаться. На самом деле тождество eπi

=−1

является частным случаем ряда eix=

∞∑

n=0

(ix)n/n!, дающего более общее

выражение для eix= cos x+ i sin x.

Дальнейший прогресс в понимании действительных чисел и тео-рии пределов отодвинул великие таланты Эйлера и Рамануджана в об-ращении с «бесконечными тождествами» на второй план. Уже когдаГ. Харди описывал математическое мышление Рамануджана, ему ни-как не удавалось мысленно поставить себя на его место. Это историячто-то говорит нам о противопоставлении «логика –– статистика», ноя не могу ухватить даже приблизительную формулировку.

Вне связи с предыдущим, позднее формула eix= cos x+ i sin x ока-

залась основой для адекватного описания одного из самых важныхи неожиданных открытий в физике XX столетия: квантовых амплитудвероятности, их волнового поведения и квантовой интерференции.

... Множество по Кантору: минимальный математическийобъект. Согласно исходному описанию Кантора,

Unter einer ‘Menge’ verstehen wir jede Zusammenfassung M vonbestimmten wohlunterschiedenen Objekten m unserer Anschauungoder unseres Denkens (welche die ‘Elemente’ von M genannt werden)zu einem Ganzen.

Под «множеством» мы понимаем всякое соединение M опреде-ленных и различных объектов m (называемых «элементами» мно-жества M), существующих в нашем восприятии или в нашей мысли.

Благодаря немецкому синтаксису структура канторовской фразыаккомпанирует ее смыслу: «Objekten m unserer Anschauung…» заклю-чены между словами «Zusammenfassung» и «zu einem Ganzen», какмежду открывающей и закрывающей скобками.


Видя это определение в первый раз, трудно представить себе, ка-кого рода математикой (и шире: какого рода умственной деятельно-стью) можно заниматься на столь скудной основе. Собственно гово-ря, именно эта скудость и позволила Кантору изобрести свой «диаго-нальный процесс», сравнивать бесконечности, как если бы они былифизическими объектами, и открыть, что бесконечность действитель-ных чисел строго больше, чем бесконечность чисел натуральных.

При этом на канторовской интуиции основывается большая частьработы по основаниям математики в XX веке: она может резко отвер-гаться логиками различных направлений, и она же является основойдля проекта великого объединения, сначала под названием «теориямножеств», а затем –– «теория категорий».

... «Все люди смертны. Кай –– человек...»: от силлогизмов кпрограммам. Аристотель кодифицировал элементарные разновид-ности утверждений и основные правила логического вывода. Анало-гия между этими правилами и элементарной арифметикой была по-нята давно, но описана в явном виде относительно недавно (важнуюроль в этом сыграл Дж. Буль). Философы науки расходятся во мненияхпо поводу того, что здесь первично. Фреге, например, настаивал натом, что арифметика является частью логики.

XX век оказался свидетелем сложнейшего соединения логики сарифметикой, когда в -е годы Гёдель, Тарский и Черч создали мате-матические модели математических рассуждений, далеко выходящиеза пределы комбинаторики конечных текстов. Одним из важныхинструментов была восходящая к Лейбницу идея воспользоватьсявычислимой нумерацией всех возможных текстов, чтобы заменитьлогические выводы арифметическими операциями.

Тарский в качестве модели истины предложил «истинность во всехинтерпретациях» и обнаружил, что множество (номеров) арифмети-ческих истин невыразимо арифметической формулой. Инфинитар-ность понятия истины по Тарскому связана с тем, что в логическихформулах допускаются кванторы всеобщности и существования, вслед-ствие чего интерпретация конечной формулы подразумевает потен-циально бесконечную последовательность проверок.

Гёдель, пользуясь аналогичным приемом, показал, что множествоарифметических истин, выводимых из любой данной конечной систе-мы аксиом и правил вывода, не может совпадать с множеством всехистинных формул. Существенной общей чертой обоих доказательствбыла аутореферентность.

Помимо прочего, Гёдель и Тарский показали, что основное иерар-хическое отношение –– это отношение между языком и метаязыком.


Более того, объективный смысл имеют только взаимоотношения язы-ка и метаязыка, а не их абсолютный статус. Можно пользоваться ло-гикой для описания арифметики, и можно пользоваться арифметикойпри обсуждении логики. Искусная комбинация обоих уровней одно-значно демонстрирует ограничения, внутренне присущие чистой ло-гике как познавательному инструменту, даже когда он применяется«только» к самой чистой логике.

В течение того же десятилетия Тьюринг и Черч проанализирова-ли понятие вычислимости, изначально более «арифметичное». Приэтом Тьюринг сделал решительный шаг, поставив физический об-раз (машину Тьюринга) на место традиционных лингвистическихвоплощений логики и вычислимости, доминировавших в рассуж-дениях Тарского и Гёделя. Это был серьезный шаг, подготовившийпоследующее развитие техники: возникновение программируемыхэлектронных вычислителей.

С теоретической точки зрения можно сказать, что и Черч, и Тью-ринг открыли, что существует «окончательное» понятие вычислимо-сти, воплощенное в универсальной рекурсивной функции или уни-версальной машине Тьюринга. Это не математическая теорема –– ско-рее это «физическое открытие в метафизической области», котороеобосновывается не доказательством, но тем фактом, что все последу-ющие попытки дать альтернативное определение вычислимости при-водили к равносильным понятиям. Скрытая (по крайней мере, в попу-лярных изложениях) часть этого открытия состоит в осознании того,что правильное определение вычислимости содержит в себе элемен-ты невычислимости, которых невозможно избежать никоим образом:рекурсивная функция в общем случае определена не везде, и мы неможем выяснить, где она определена, а где –– нет.

Современные компьютеры являются технологически отчужден-ным воплощением этих великих открытий.

.. Определения, теоремы, доказательства. Теперь я вкратцеопишу, каким образом проявляет себя «чистая» математика в каче-стве коллективной деятельности современного профессиональногосообщества. Речь в основном пойдет не столько об организационныхформах этой деятельности, сколько о том, как отражается вовневнутренняя структура мира математических идей.

Давайте посмотрим на любую современную статью в каком-ни-будь из ведущих математических журналов, например, Annals ofMathematics или Inventiones mathematicae. В типичном случае онаделится на относительно короткие фрагменты, называемые опреде-


лениями, теоремами (с такими подвидами, как лемма и предложе-ние) и доказательствами (эти последние могут быть значительнодлиннее). Это –– основные строительные блоки современного мате-матического текста; для оживления добавляются таких украшения,как мотивировки, примеры, контрпримеры, разбор частных случаеви пр.

Эта традиция организации математического знания унаследова-на нами от греков (особенно важным источником были «Начала» Ев-клида). Цель определения –– ввести математический объект. Цель тео-ремы –– сформулировать какие-то свойства объекта или взаимоотно-шения между различными объектами. Цель доказательства –– сделатьэти утверждения убедительными, представив рассуждение, разделен-ное на цепочку мелких утверждений, каждое из которых обосновыва-ется с помощью «стандартных» средств убеждения.

Попросту говоря, сначала мы объясняем, о чем мы говорим, а за-тем –– почему то, что мы утверждаем, является верным (вопреки Бер-трану Расселу).

Определения. С эпистемологической точки зрения это предметтонкий и противоречивый, поскольку речь идет о чрезвычайно специ-фических умственных образах, как правило, отсутствующих в нетре-нированном уме (что такое действительное число? случайная ве-личина? группа?). Когда выше я описывал некоторые из основныхобъектов, я пользовался нарративными средствами для того, чтобысделать их наглядными и ощутимыми, но я не приводил настоящихопределений в техническом смысле слова.

У Евклида определения обычно представляют собой смесь из пояс-нений, использующих зрительные образы, и «аксиом», в которых речьидет об идеализированных свойствах, приписываемых нами опреде-ляемым объектам.

В современной математике можно более или менее явно огра-ничить себя фундаментальным мысленным образом канторовского«множества» и ограниченным набором свойств множеств и конструк-ций, позволяющих строить множества из уже имеющихся. При этомкаждое из наших определений можно воспринимать как стандарти-зированное описание некоторой структуры, состоящей из множеств,их подмножеств и т. д. Это –– подход, разработанный группой «Бур-баки» и оказавшийся в итоге чрезвычайно влиятельным, удобными широко принятым способом организации математического знания.Как и следовало ожидать, впоследствии этот подход стал мишеньюдля критики, направленной по большей части на систему ценностей,поддерживающую эту неоевклидовскую традицию, но прагматиче-


ская польза бурбакистского подхода неоспорима. Уж по крайнеймере, ему мы обязаны существенным облегчением общения междуматематиками разных специальностей.

Если принять какую-нибудь из форм теории множеств как ос-нову для дальнейших построений, то только аксиомы теории мно-жеств остаются «аксиомами» в евклидовском смысле –– интуитивноочевидными свойствами, принимаемыми без дальнейшего обсужде-ния (впрочем, см. ниже), тогда как аксиомы действительных чиселили планиметрии становятся доказываемыми свойствами явно стро-ящихся теоретико-множественных объектов.

Бурбаки в своем многотомном трактате современной математикиразвили эту картину, добавив к ней красивое понятие «порождающихструктур» (structures-meres). См. работу [], посвященную историигруппы «Бурбаки».

Подходя к вопросу шире, можно сказать, что математики разви-ли специфическую дискурсивную практику, которую можно назвать«культурой определений». В этой культуре много усилий вкладывает-ся в уяснение содержания (семантики) основных абстрактных поня-тий и синтаксиса их взаимоотношений, в то время как выбор слов (ив еще большей мере обозначений) признается делом не первостепен-ной важности, а в большой степени –– и произвольным соглашением,основанным на соображениях удобства, эстетики или на стремлениивызвать подходящие ассоциации. Можно сравнить это с некоторымитрадициями гуманитарного дискурса, в котором такие термины, какDasein или differance, жестко используются как маркеры определен-ной традиции при том, что об их точном определении никто особо незаботится .

.. Проблемы, гипотезы, исследовательские программы. Вре-мя от времени появляется статья, в которой решается, или по крайнеймере предстает в новом свете, серьезная проблема или доказывает-ся гипотеза, которая была известна в течение десятилетий или дажестолетий и не поддавалась решению, несмотря на множество усилий.Такие названия, как великая теорема Ферма (доказанная Эндрю Уайл-

Возможно, этому высказыванию не хватает широты взгляда. Несколько дней назадя ехал в трамвае, мысленно подвергая деконструкции следующие две строки ОгденаНэша: Some people after a full day’s work sit up all night getting a college education bycorrespondence, // While others seem to think they’ll get just as far by devoting their eveningsto the study of the difference in temperament between brunettance and blondance.

Я размышлял о том, что в основе этого анализа лежит в точности «deferral» в смыс-ле Дерриды, когда мой взгляд упал на вывеску мебельного магазина. Там было написа-но буквально следующее: DESIGN FUR DASEIN.


сом), гипотеза Пуанкаре, гипотеза Римана или P-NP проблема, в нашидни попадают даже в газетные заголовки.

Давид Гильберт построил свой доклад на ознаменовавшем началоXX века Втором международном математическом конгрессе (Париж, августа года) вокруг обсуждения десяти выдающихся матема-тических проблем; они вошли в список из проблем, перечисленныхв печатной версии доклада. Можно спорить по поводу их сравнитель-ной ценности с чисто научной точки зрения, но бесспорно, что онисыграли значительную роль в концентрации усилий математиков начетко намеченных направлениях исследований и в создании ясныхцелей и мотивировок для молодых ученых.

Если проблема (вопрос, на который можно ответить «да» или«нет») в основе своей представляет собой догадку об истинностинекоторого утверждения (как проблема Гольдбаха: всякое четное чис-ло ¾4 является суммой двух простых), то исследовательская програм-ма предполагает широкий взгляд на большую область, какие-то частикоторой вовсе неисследованы, а про какие-то другие имеются догадки,основанные на аналогиях, разборе простых частных случаев и т. п.

Различие между проблемой и исследовательской программой неявляется абсолютным. Например, первая проблема Гильберта –– гипо-теза континуума, –– которая в эпоху Гильберта и Кантора выгляделакак конкретная задача, положила начало большой исследовательскойпрограмме, в результате работы которой было, помимо прочего, уста-новлено, что ни один из двух ответов не выводим в рамках общепри-нятой аксиоматической теории множеств.

С другой стороны, явная формулировка исследовательской про-граммы может оказаться делом рискованным. В проблеме номер предлагалось аксиоматизировать физику, но в течение последующихтрех десятилетий лицо физики полностью изменилось.

Некоторые из наиболее влиятельных исследовательских программпоследних десятилетий представляли собой прозрения относительноструктуры платоновской реальности. Андре Вейль предсказал суще-ствование теорий когомологий для алгебраических многообразийв конечной характеристике. Гротендик их построил, навсегда изменивнаше понимание взаимосвязей между непрерывным и дискретным.

Когда Пуанкаре говорил, что решенных проблем нет, есть толькопроблемы, решенные в большей или меньшей степени, он подразу-мевал, что всякий вопрос, поставленный так, что на него можно от-ветить «да» или «нет», свидетельствует об узости мышления.

Начало XXI века было ознаменовано тем, что институт Клея опуб-ликовал список проблем тысячелетия. Иx ровно семь, и каждая из


них –– это вопрос с ответом «да» или «нет». Впервые в таком спискефигурирует и задача, пришедшая из информатики: знаменитая P-NPгипотеза. Кроме того, на клеевских проблемах висят ярлыки с цена-ми: по $106 за каждую. Ясно, что силы свободного рынка в установ-лении этих цен роли не играли.

. Математика как инструмент познания

.. Немного истории. Древние источники по истории матема-тики свидетельствуют, что математика как отдельный род деятельно-сти возникла как ответ на нужды торговли и государственного управ-ления (для обслуживания войны и крупных общественных работ): см.приведенную выше цитату о шумерской административной реформе.

В качестве другого примера обратимся к китайской книге «Девятьглав о математических операциях», составленной при династии Ханьв начале нашей эры (далее мы следуем докладу К. Шемлы на Берлин-ском международном математическом конгрессе года []). Книгапо большей части состоит из задач с решениями, выглядящими какчастные случаи общих алгоритмов, что позволяет решать аналогич-ные задачи с другими числовыми значениями. Согласно докладчику,

В задачах все время встречаются конкретные вопросы, с ко-торыми сталкивались ханьская бюрократия, а более конкретно ––вопросы, за которые отвечал «Великий Министр Сельского Хозяй-ства» (дасынун): оплата труда чиновников, управление зернохра-нилищами или установление стандартных мер для зерна. Болеетого, шестая из глав названа по имени экономического меропри-ятия, предлагавшегося Великим Министром Сельского ХозяйстваСан Хуняном (–– до н. э.) с целью более справедливого нало-гообложения. В книге приводятся математические процедуры длявычисления налогов.

Еще одно описание того, чем занимались китайские математики,приведено в [].

В течение всей долгой истории китайской империи матема-тическая астрономия была единственным разделом естественныхнаук, пользовавшимся серьезным вниманием правителей. Прикаждой династии неотъемлемой частью государства была импе-раторская обсерватория. На императора работали ученые трехспециальностей: математики, астрономы и астрологи. При этомобязанностью математиков было разрабатывать алгоритмы для


составления календаря, и большинство математиков получалиобразование именно в качестве составителей календарей. ⟨…⟩

Составителям календарей требовалось соблюдать очень высо-кую точность в своих предсказаниях. Предпринимались непрекра-щающиеся усилия по совершенствованию методов вычислений,чтобы гарантировать точность, необходимую для астрономиче-ских наблюдений. Не было никакой нужды в том, чтобы заменятьвычисления, игравшие основную роль в китайских календарныхрасчетах, на геометрическую модель; более того, это было и невоз-можно. ⟨…⟩ Не геометрия, а тесно связанная с вычислениямиалгебра стала наиболее развитым разделом математики в старомКитае.

Западная традиция восходит к Греции. Согласно Тернбулу [],термином «математика» и подразделением математики на арифме-тику и геометрию мы обязаны Пифагору (–– до н. э.). Точнееговоря, согласно Пифагору арифметика (и музыка) изучает дискрет-ное, а геометрия и астрономия изучает непрерывное. Дальнейшеепротивопоставление «геометрия––астрономия» отражает противопо-ставление «неподвижное––движущееся».

Эта классификация с небольшими изменениями послужила осно-вой средневекового квадривиума; ее следы ощущаются и в общейкартине математики, как она видится Майклу Атье.

Платон (–– до н. э.) в «Государстве» (книга VII, c.) объяс-няет, почему изучение арифметики необходимо просвещенному госу-дарственному деятелю:

Эта наука, Главкон, подходит для того, чтобы установить за-кон и убедить всех, кто собирается занять высшие должности в го-сударстве, обратиться к искусству счета, причем заниматься имони должны будут не как попало, а до тех пор, пока не придутс помощью самого мышления к созерцанию природы чисел –– неради купли-продажи, о чем заботятся купцы и торговцы, но длявоенных целей и чтобы облегчить самой душе ее обращение отстановления к истинному бытию.

С постепенным выделением «чистой математики» возвращениек практическим нуждам стало рассматриваться как приложения. Про-тивопоставление чистой и прикладной математики в его нынешнемпонимании, бесспорно, сформировалось уже к началу XIX века. Во

Перевод А. Н. Егунова.


Франции Жергон издавал журнал «Annales de mathematiques pureset appliquees» , выходивший с по год; в Германии Крелльв году основал журнал под названием «Journal fur die reine undangewandte Mathematik» .

.. Средства познания в математике. Чтобы понять, как имен-но математика применяется к пониманию реального мира, удобнорассмотреть ее в трех модальностях: как модель, теорию и метафору.

Математическая модель описывает (количественно или качест-венно) определенный класс явлений, но ни на что большее предпо-читает не претендовать.

От птолемеевских эпициклов (описывающих движение планет;около года н. э.) и до «стандартной модели» (описывающей взаи-модействие элементарных частиц; около года) количественныемодели подстраиваются под наблюдаемую реальность с помощьюуточнения численных значений параметров, которых иногда насчи-тываются десятки (на менее двадцати в стандартной модели). Такиемодели могут быть удивительно точными.

Качественные модели помогают понимать такие явления, какустойчивость и неустойчивость, аттракторы (предельные состо-яния, не зависящие, как правило, от начальных условий), фазовыепереходы, происходящие, когда сложная система переходит границумежду двумя фазами или между двумя бассейнами с разными аттрак-торами. Недавний доклад [], посвященный предсказанию волныубийств в Лос-Анджелесе, в качестве метода использует распознава-ние образов для случая редких событий. Вот его вывод: «Мы обнару-жили, что повышению количества убийств предшествует месяцев,в течение которых статистика преступлений имеет специфическийвид: число краж со взломом и хулиганских нападений растет, числоограблений и убийств падает. При этом и растут, и падают эти пока-затели не монотонно: это спорадические процессы, продолжающиесяот до месяцев».

В компьютерную эпоху модели чрезвычайно распространились;теперь их производят в промышленных масштабах, а решают числен-ными методами. Р.Солоу в своем проницательном эссе [] (написанов году) выдвигает тезис, что основная часть современной эконо-мической науки занимается именно построением моделей.

Модель часто используются как черный ящик со скрытыми проце-дурами компьютерного ввода, на выходе которого получаются пред-

Анналы чистой и прикладной математики. Журнал чистой и прикладной математики.


писания, относящиеся к поведению людей (так бывает в приложени-ях компьютеров в финансовой сфере).

Теорию (имеется в виду математически сформулированная физи-ческая теория) от модели отличают в первую очередь большие притя-зания. Современная физическая теория обычно утверждает, что онаописывала бы мир с абсолютной точностью, если бы он состоял изобъектов какого-то одного вида: материальных точек, подчиняющих-ся исключительно закону всемирного тяготения, электромагнитногополя в вакууме и т. п. В ньютоновской формуле Gm/r2, описываю-щей силу, действующую на точку в центральном поле тяготения, Gmи r могут меняться в угоду измеримой реальности, но показатель 2

в r2 –– это твердая, как скала, теоретическая двойка, а не какое-нибудь2,000000003…, что бы ни показывали результаты экспериментов. Хо-рошая количественная теория может быть очень полезна в инжене-рии: машина –– это искусственный фрагмент вселенной, в котором ос-новную роль играет лишь небольшое число физических законов, при-чем действуют они в весьма изолированной системе. В этой ситуациитеория доставляет модель.

Та сила, что побуждает все время создавать теории –– это концеп-ция реальности, существующей независимо от материального мираи возвышающейся над ним, реальности, которую можно познатьтолько с помощью математических инструментов. Эту психологи-ческую установку можно проследить от платоновых многогранников,через галилеевский «язык природы» и до квантовых суперструн ––даже если она не согласуется с явно выраженными философскимивзглядами того или иного ученого.

Математическая метафора, в тех случаях, когда она претендуетна статус инструмента познания, постулирует, что некоторый слож-ный набор явлений можно сравнить с какой-то математической кон-струкцией. Наиболее недавняя из тех математических метафор, чтоя имею в виду –– это искусственный интеллект (ИИ). С одной сторо-ны, ИИ –– это корпус знаний, относящихся к компьютерам и к новойискусственной реальности, состоящей из аппаратного и программно-го обеспечения, Интернета и пр. С другой стороны, в потенции этомодель функционирования мозга и сознания в биологии. В своем пол-ном объеме ИИ пока что не достиг стадии модели: мы не располагаемсистематизированным, непротиворечивым и широким списком соот-ветствий между процессорами и нейронами, между компьютернымиалгоритмами и алгоритмами, выполняющимися в мозгу. Однако жемы можем использовать (и используем) наши обширные знания обалгоритмах и компьютерах (благо и те, и другие нами и созданы) для


порождения осмысленных догадок о структуре и механизмах деятель-ности центральной нервной системы (см. [] и []).

Математическая теория –– это приглашение к построению работа-ющих моделей. Математическая метафора –– это приглашение к раз-мышлению о том, что мы знаем. Полезным предостережением можетздесь послужить эссе Сьюзен Сонтаг [] об использовании (разум-ном и неразумном) метафоры болезни.

Разумеется, подразделение, которое я набросал выше, не явля-ется ни жестким, ни абсолютным. У статистических исследованийв общественных науках статус зачастую колеблется между моде-лью и метафорой. При смене парадигмы научные теории переходятв разряд устаревших моделей. Тем не менее в нашем изложении этоудобный способ организации исторических данных, как в синхронии,так и в диахронии.

Теперь я остановлюсь более подробно на этих инструментах позна-ния, сделав основной упор на модели и связанные с ними структуры.

.. Модели. Возникновение и функционирование математиче-ской модели можно проанализировать, рассмотрев следующие этапы,внутренне присущие всякому систематическому исследованию на-блюдений, результаты которых можно выразить числами.

) Выбор списка наблюдаемых величин.) Разработка метода измерения (сопоставления наблюдаемым

числовых значений). Часто этому этапу предшествует более или ме-нее явное упорядочение таких значений на некоторой оси (отно-шение «больше––меньше»); ожидается, что последующее измерениесогласуется с этим упорядочением.

) Угадывание закона или законов, которым подчиняется рас-пределение наблюдаемых в получающемся (обычно многомерном)конфигурационном пространстве. Эти законы могут быть точнымиили вероятностными. Состояния равновесия могут представлять осо-бый интерес: часто они характеризуются как стационарные точкиподходящего функционала, определенного на полном конфигураци-онном пространстве. Если в число измеряемых величин входит время,то в игру вступают дифференциальные уравнения, описывающиеэволюцию.

Говоря о концепте оси, стоит отметить его широкие и общие куль-турные коннотации, раскрытые Карлом Ясперсом. Ясперс постулиро-вал, что переходный период к современности имел место около V векадо н. э., в период «осевого времени», когда возникал новый тип че-ловеческого мышления, основанный на противопоставлении имма-


нентного и трансцендентного. Для нас здесь существен образ оппози-ции в виде противоположных ориентаций одной и той же оси и идеясвободы как выбора между двумя несовместимыми альтернативами.Те же образы стояли за стандартным физическим выражением «сте-пени свободы»; сейчас это почти не ощущается, как оно обычно и бы-вает, когда образы становятся терминами.

Идея измерения, являющаяся основой современной науки, на-столько жизненно важна, что порой она некритически воспринимает-ся при построении моделей; важно не забывать об ее ограниченности.

При квантовом описании микромира «измерение» –– это весьмаспециального вида взаимодействие, результатом которого являетсяслучайное изменение состояния системы, а не получение информа-ции об этой системе.

В экономике деньги играют роль универсальной оси, на которойоткладываются «цены» и все прочее. Считается, что «измерение» про-изводят силы рынка.

Глубинное внутренне противоречие рыночной метафоры состоитв том, что мы проецируем многомерный мир несравнимых и несов-местимых степеней свободы на одномерный мир цен в денежном вы-ражении. Этот одномерный мир в принципе нельзя сделать совме-стимым даже с основными отношениями порядка на различных осях;тем более нельзя его сделать совместимым с несуществующими илинесравнимыми ценностями различных видов.

В этом смысле пример наиболее внутренне противоречивого ис-пользования рыночной метафоры дает выражение «свободный рынокидей». На этом рынке продается одна-единственная идея: идея «сво-бодного рынка».

... Краткая опись измеряемого. Начнем с замечания, относя-щегося ко всем измерениям: для каждой из «осей», которые мы бу-дем рассматривать, измерения начинаются с измерений «в человече-ском масштабе», подразумевающих непосредственные манипуляциис материальными объектами. По ходу развития оно распространяетсяна более крупные и более мелкие масштабы, и для разрешения про-блем, связанных с этим развитием, создается и используется все боль-ше и больше математических знаний.

Счет. Предлагаем читателю перечитать раздел, посвященный на-туральным числам, как очерк истории счета (и учета). На примересчета ясно виден переход от подсчетов малых количеств предметов(«человеческий масштаб») к масштабам экономики целого государ-ства –– переход, стимулировавший создание и кодификацию позици-онной системы.


Пропуская другие интересные этапы, мы должны вкратце упомя-нуть то, что Георг Кантор справедливо считал своим главным дости-жением: подсчет «бесконечностей» и открытие бесконечной шкалыбесконечностей, растущих по величине.

Основное рассуждение Кантора по своей структуре очень похожена евклидовское доказательство бесконечности простых чисел: дляданного конечного или бесконечного множества X множество P(X),состоящее из всех его подмножеств, имеет строго большую мощность.Это доказывается с помощью знаменитого канторовского «диагональ-ного процесса».

Канторовская теория бесконечных множеств представляет собойневероятное обобщение обоих аспектов натурального числа. Всякоечисло измеряет «количество», и числа упорядочены отношением «xменьше y». Соответственно, бесконечности бывают «кардиналами»(мерами бесконечности) и «ординалами» (точками на упорядоченнойоси растущих бесконечностей).

Загадки канторовской шкалы породили целый ряд нерешенных(и в значительной степени неразрешимых) проблем и стали в XX ве-ке основой для множества дискуссий, посвященных и основаниямматематики, и эпистемологии. Споры и перебранки о законностиканторовских умственных построений привели к тому, что главноедостижение его жизни стало и причиной нескольких нервных срывови депрессий, которые в конце концов свели его в могилу в то самоевремя, когда Первая мировая война перемалывала последние остаткипросвещенческой веры в разум.

Пространство и время. Измерения длины в человеческих масшта-бах с неизбежностью должны были быть связаны с земельными участ-ками и мотивированы нуждами сельского хозяйства и строительства.С помощью палки с двумя зарубками или веревочки меру длины мож-но было переносить с одного места на другое.

Основная евклидовская абстракция –– бесконечно жесткая и бес-конечно делимая плоскость, с ее скрытой группой симметрий из по-воротов и переносов, с ее точками, не имеющими размера, прямы-ми, беспрепятственно продолжающимися в обе стороны, и идеальны-ми треугольниками и окружностями –– была, видимо, рафинирован-ным абстрактным образом древней геодезии. Возможно, евклидов-ская трехмерная геометрия была ближе к наблюдаемому миру; заме-чательно, что Евклид систематически создавал и изучал также двух-,одно- и нульмерные абстрактные объекты.

Теорема Пифагора была красиво связана с арифметикой в прак-тике египетских строителей: формулу 32

+ 42= 52 можно перевести


Измерение расстояний с помощью Wagen-Wegmesser (прототип современно-го таксометра) из книги: Pfinzig «Methodus geometrica», Nurnberg,

в рецепт построения прямого угла с помощью веревки с расположен-ными на равных расстояниях узлами.

Когда Эратосфен Александрийский (ок. до н. э.) разработалсвой метод для первого научного измерения длины в действительнобольших масштабах (а именно, размеров Земли), он с большим ис-кусством воспользовался всеми возможностями евклидовой геомет-рии. Эратосфен заметил, что в полдень в Сиене в день летнего солн-цестояния Солнце находилось точно в зените, поскольку его свет до-стигал дна глубокого колодца. В то же самое время в Александриирасстояние от Солнца до зенита составляло одну пятидесятую частьполной окружности. Кроме этого, использовались еще два результатанаблюдений: во-первых, расстояние от Сиены до Александрии, кото-рое было принято равным 5000 греческих стадий (это тоже измере-ние в большом масштабе; возможно, оно основывалось на времени,необходимом, чтобы преодолеть это расстояние), и во-вторых, утвер-ждение, что Сиена и Александрия лежат на одном меридиане.

Оставшаяся часть эратосфеновского измерения основана на тео-ретической модели. Земля предполагается круглой, а расстояние отСолнца до ее центра предполагается настолько большим, что солнеч-ные лучи, падающие на Сиену и Александрию, можно считать парал-лельными.


Теперь простое рассуждение из евклидовской планиметрии, при-мененное к сечению Земли, проходящему через Сиену, Александриюи Солнце, показывает, что расстояние между Сиеной и Александриейсоставляет одну пятидесятую от окружности Земли; тем самым этаокружность составляет 250 000 стадий (современные оценки величи-ны греческой стадии показывают, что это довольно хорошее прибли-жение).

В этом рассуждении неявно подразумевается существование рас-ширенной группы симметрий евклидовой плоскости, включающей,наряду с переносами и поворотами, еще и изменения масштаба, прикоторых все расстояния одновременно изменяются в одной пропор-ции. Практическое воплощение этой идеи –– карта –– было критиче-ски важно для огромного количества видов человеческой деятельно-сти, включая географические открытия по всему земному шару.

Внимательный читатель, видимо, уже заметил, что в этом опи-сании (основанном на книге Клеомеда «De motu circulari corporumcaelestium», датируемой серединой I века до н. э.) неявно участву-ет и измерение времени. В самом деле, откуда мы знаем, что мысмотрим на Солнце в одно и то же время в Александрии и в Сиене,отстоящей от Александрии на 5000 стадий?

Самые ранние измерения времени в человеческом масштабе свя-заны с циклической сменой дня и ночи и нахождением приблизитель-ного положения Солнца в небе. Солнечные часы, о которых упомина-ют Клеомед и Эратосфен, преобразуют измерение времени в измере-ние расстояний.

Следующее по масштабу измерение времени связано со сменойвремен года и периодичностью религиозных праздников. Чтобы приэтом достичь необходимой точности, нужна математическая наблю-дательная астрономия. Первоначально она используется для реги-страции нерегулярностей годового цикла, то есть, в основном, движе-ния Земли в Солнечной системе. Используемая при этом математикавключает вычисления, основанные на интерполяционных методах.

Следующее увеличение масштаба –– это хронология «историческо-го времени». Математика сыграла фундаментальную роль при оформ-лении физической шкалы исторического времени, размеченной при-ближенной периодичностью вращения Земли вокруг Солнца и други-ми астрономическими событиями. Однако, в размещении историче-ских событий на этой шкале математические методы оказались весь-ма ограниченно применимыми.

Геологическое и эволюционное время возвращают нас к науке:эволюция геологических структур и жизни прослеживается на ос-


нове развитого понимания физического времени, и это пониманиесущественно опирается на математику; с другой стороны, изменения,о которых идет речь, происходят настолько постепенно, а свиде-тельства настолько редки, что точность измерений становится инесущественной, и недостижимой. Кроме массы данных наблюдений,блестящих догадок и сопровождающих все это очень элементарныхрассуждений, для датировки требуется еще совсем чуть-чуть матема-тики, а именно, идея, что при радиоактивном распаде остаток распа-дающегося вещества экспоненциально убывает со временем. Весьмаоригинальная версия этой идеи была использована в глоттохро-нологии –– процедуре, позволяющей датировать древние состоянияязыков (праязыки), реконструированные методами сравнительнойлингвистики.

Уже сам по себе размер шкалы геологического и эволюционноговремени оказался, когда она была установлена и научно разработана,вызовом догматам (христианской) веры: несоответствие с предполага-емым временем, прошедшим от сотворения мира, было чудовищным.

Измерения времени в малых масштабах стали возможны с изобре-тением часов. Солнечные часы, использующие относительную регуляр-ность видимого движения Солнца, позволяют подразделить сутки наболее мелкие части. Водяные и песочные часы отмеряют фиксирован-ные отрезки времени; при этом используется идея о воспроизводимо-сти некоторых физических процессах в специально созданных усло-виях. Механические часы добавляют к этому искусственное созданиепериодических процессов. Современные атомные часы основаны натонком использовании периодических процессов на микроуровне.

И все же время остается загадкой: мы не можем в нем свободноперемещаться, как в пространстве, и оно тянет нас неизвестно куда.Вот как бл.Августин напоминает нам об этой вечной ненаучной муке:«Что я измеряю время, это я знаю, но я не могу измерить будущего,ибо его еще нет; не могу измерить настоящего, потому что в нем нетдлительности, не могу измерить прошлого, потому что его уже нет.Что же я измеряю?» («Исповедь», книга XI, XXVI.; перевод М. Е. Сер-геенко).

Случай, вероятность, финансы. Коннотации слов «случайность»и «вероятность» в обыденном языке имеют мало общего с вероятно-стью в математическом смысле. В [] приведен интересный анализсемантики соответствующих слов в нескольких древних и современ-ных европейских языках: в основном эти слова связаны с идеей чело-веческого доверия (или недоверия) в неясных ситуациях. Измерениявероятности и математическая обработка результатов этих измере-


ний относятся не к доверию как таковому, являющемуся психологи-ческим феноменом, но к объективным численным характеристикамреальности, первоначально тесно связанным с подсчетом.

Если колода из 52 карт хорошо перетасована, то вероятностьвытянуть пиковую даму равна 1/52. Элементарная, но интереснаяматематика возникает при расчетах вероятностей различных комби-наций («хороших раскладов»). В этих расчетах неявно присутствуетидея группы симметрий: мы не просто считаем количество картв колоде или количество хороших раскладов по сравнению со всемивозможными –– мы предполагаем, что при честной игре все эти картыи все эти расклады равновероятны.

Одним из источников теории вероятностей был математическийанализ азартных игр, а другим –– статистика банковской деятельно-сти, торговли, налогообложения и пр. Наблюдения над частотамиразличных событий и их повторяемостью привели к понятию эм-пирической вероятности и к более или менее явно формулируемойидее о «скрытой игре в кости» –– ненаблюдаемом царстве причин,производящих наблюдаемые частоты с регулярностью, достаточнойдля того, чтобы они вписывались в математическую теорию. Совре-менное определение вероятностного пространства –– аксиоматизацияэтого представления.

Деньги начинались как мера стоимости; их критически важныйпереход в вероятностный мир произошел вместе с выделением кре-дита как основной функции банков.

Этимология слова «кредит» также связана с идеей человеческогодоверия. Мэри Пуви в своем тонком анализе зарождающейся «куль-туры финансов» (см. []) отмечает, что эта культура резко отличает-ся от экономики материального производства, которая «создает при-быль, превращая рабочую силу в продукты, которым присваиваютсяцены и которые после этого обмениваются на рынке». Финансы жесоздают прибыль, в частности, «с помощью заключения сложных па-ри на рост или падение цен в будущем» [, с. ], то есть и с помо-щью азартной игры. Масштабы этой игры поражают воображение,а невероятная смесь реального и виртуального миров, возникающаяв культуре финансов, является взрывоопасной и периодически приво-дит к финансовым кризисам.

Информация и сложность. Это пример недавней и весьма слож-ной парадигмы измерения.

Подобно «случайности» и «вероятности», термин «количество ин-формации», ставший одним из важных математических понятий вовторой половине XX века после работ Клода Шеннона и А. Н. Колмо-


горова, вызывает не совсем верные ассоциации: грубо говоря, коли-чество информации измеряется всего лишь длиной текста, необходи-мого для того, чтобы эту информацию записать.

На первый взгляд кажется, что эта мера, во-первых, измеряет нето, что нужно, а во-вторых, дезориентирует. Нам нужно знать, явля-ется ли информация важной и надежной, и это –– качественные, а неколичественные характеристики. Более того, важность информациизависит от культурного, научного и политического контекста. И ужв любом случае кажется неестественным измерять объем информа-ции, содержащейся в «Войне и мире», просто толщиной книги.

Тем не менее, «количество информации» становится центральнымпонятием в ситуациях, когда мы оперируем с информацией, не ин-тересуясь ее содержанием или надежностью (но обращая вниманиена информационную безопасность), что является основным деломсредств массовой информации и телекоммуникационной индустрии.Общий объем текстов, передаваемых ежедневно по Интернету, в СМИи по телефону, поражает воображение и далеко превосходит пределытого, что мы назвали «человеческим масштабом».

Основные идеи Шеннона, относящиеся к измерению количестваинформации, можно кратко изложить следующим образом. Пусть дляначала информация, которую вы хотите передать, –– это всего лишьответ «да» или «нет» на вопрос вашего собеседника. Чтобы передатьэту информацию, не нужно даже пользоваться словами естественныхязыков: достаточно передать 1 вместо «да» или 0 в значении «нет».Это –– один бит информации. Пусть теперь вы хотите передать что-то более сложное, для чего вам нужен текст, состоящий из N битов.Тогда количество передаваемой вами информации ограничено сверхуN битами, но уверены ли вы, что для тех же целей нельзя обойтисьболее коротким текстом? На самом деле существуют систематическиеспособы сжатия данных; Шеннон описал их в явном виде. Наиболееуниверсальный из этих методов основывается на предположении, чтоне все тексты из тех, что вы в принципе могли бы передавать, встре-чаются с одинаковой вероятностью. В этом случае надо сменить ко-дировку таким образом, чтобы коды более вероятных текстов сталикороче, а менее вероятных –– длиннее, и за счет этого сэкономить наобъеме передаваемых данных, по крайней мере в среднем. Вот какможно сделать это при кодировании текстов на естественном язы-ке. Поскольку в алфавите около 30 букв, а 25

= 32, для кодированиякаждой из буквы нужно 5 битов, так что получается текст, у кото-рого длина в битах в 5 раз больше, чем длина в буквах. Однако женекоторые буквы встречаются гораздо чаще других, так что можно


попробовать закодировать часто встречающиеся буквы более корот-кими последовательностями битов. Это –– оптимизационная задача,которую можно решить в явном виде, а длину получающегося сжа-того текста можно подсчитать. По существу это энтропия в смыслеопределений Шеннона и Колмогорова.

Пользуясь статистической парадигмой измерения, создатели Googleнашли впечатляющее решение задачи измерения важности инфор-мации. Грубо говоря, поисковая система по запросу выдает списокстраниц, содержащих данное слово или выражение. В типичном слу-чае количество таких страниц очень велико, так что необходимо вы-давать их в порядке убывания важности. Как же Google находит этотпорядок?

На каждой странице имеются гипертекстовые ссылки на другиестраницы. Можно рассматривать множество всех web-страниц какориентированный граф, ребра которого –– гиперссылки. В первом при-ближении можно считать, что важность страницы измеряется ко-личеством указывающих на нее ссылок. Однако же эту меру можноуточнить, если заметить, что не все ссылки равноправны: ссылкас важной страницы имеет пропорционально больший вес, а ссылкана страницу, указывающую на много других страниц, имеет пропор-ционально меньший вес. Это приводит к следующему определению,содержащему, на первый взгляд, порочный круг: каждая страницапередает свою важность тем страницам, на которые с нее идут ссыл-ки, деля ее между этими страницами поровну; важность каждойстраницы –– это то, что она получает от всех страниц, у которых нанее есть ссылки. Тем не менее классическая теорема, принадлежащаяА. А. Маркову, показывает, что это определение корректно. Остаетсянайти численные значения важности и перечислить страницы в по-рядке убывания этих значений.

Вернемся теперь к шенноновским процедурам оптимального ко-дирования и декодирования. Как мог заметить читатель, за экономиюна передаче надо платить кодированием на передающем конце и де-кодированием на конце приемном. Что произойдет, если мы будемдопускать более сложные процедуры кодирования и декодированияв надежде получить лучшее сжатие?

Тут может оказаться полезной следующая метафора. Закодирован-ный текст на передающем конце –– это программа P, порождающаядекодированный текст Q на приемном конце. Давайте разрешимпередавать произвольные программы, порождающие Q; может быть,удастся выбрать из них самую короткую и тем самым сэкономитьресурсы.


Замечательный результат, принадлежащий Колмогорову, гласит,что так оно и есть: кратчайшая программа P действительно существу-ет, и ее длина (колмогоровская сложность текста Q) по существу независит от метода программирования. Иными словами, существуетсовершенно объективная мера количества информации, содержащей-ся в данном тексте Q.

Однако же в этом месте начинаются неприятности. Во-первых, нетсистематического способа строить P по данному Q (в отличие от ситу-ации с шенноновской энтропией), и во-вторых, получение декодиро-ванного текста Q при данном P может требовать очень больших вре-менных затрат, даже если программа P известна и коротка. Вот очень

простой пример: если Q –– это последовательность из 101010

единиц,то можно передать именно эту фразу, оставив адресату утомительную

задачу распечатки 101010

символов «1».

Это означает, что колмогоровская сложность, будучи красивыми продвинутым (хотя и «элементарным») математическим понятием,не может дать нам практической меры количества информации. Темне менее ее можно использовать как мощную метафору, высвечива-ющую силы и слабости современного информационного общества.

Понятие колмогоровской сложности позволяет нам выявить одиниз существенных способов кодирования научной (да и не только на-учной) информации. Основные физические «законы природы» (нью-

тоновское F =ma, эйнштейновское E =mc2, уравнение Шрёдингераи т. п.) представляют собой очень сжатые программы для полученияинформации в различных конкретных ситуациях. Величина их колмо-горовской сложности явным образом имеет человеческие масштабы,эти законы названы в честь людей, имена которых связаны с их от-крытием, и их содержание целиком укладывается в сознание одногочеловека (ученого или студента).

В наши дни такие проекты, как «геном человека», порождают ги-гантские объемы информации, не вмещающиеся (в сколь угодно сжа-том виде) в сознание одного человека. Возможно, этим же свойствомбудут обладать и аналогичные базы данных, которые будут созданыпри исследовании центральной нервной системы (мозга): величинаих колмогоровской сложности будет сравнима с их объемом.

Тем самым мы уже изучаем области материального мира, описа-ния которых содержат больше информации (имеют большую колмо-горовскую сложность), чем то, что составляло предмет классическойнауки. Без компьютеров было бы невозможно ни хранить в коллек-тивной памяти данные наблюдений, ни обрабатывать их.


Что же будет, когда не только хранение нового научного «знания»,но и его обработка будет переложена на плечи больших компьютер-ных баз данных и сетей?

. Математические науки и человеческие ценности

.. Введение. Вот что пишет редактор антологии [] Дж. Р. Нью-ман по поводу папируса Ринда –– древнеегипетского руководства поматематике, написанного около года до н. э.:

Похоже, что должным образом оценить египетскую математи-ку можно только при условии гораздо более широкого и глубокогопонимания человеческой культуры, чем то, на которое претенду-ют и египтологи, и историки математики. На вопрос, как еги-петская математика соотносится с вавилонской, месопотамскойили греческой, ответить относительно легко, но этот вопрос неслишком важен. Интереснее было бы понять, почему у египтянполучилась математика именно такого вида, до какой степени онапомогает понять их культуру, как ее можно связать с их социально-политическими институтами, с их религиозными верованиями,экономической практикой, повседневными привычками. Толькопри этом условии египетскую математику можно оценить по спра-ведливости. (Т. I, c. ).

Эти слова были опубликованы в году; к году сформули-рованный в этой цитате подход стал широко распространенной пара-дигмой; Д’Амброзио назвал его «этноматематикой» (см. []). Сбор-ник, для которого была написана эта статья , и весь проект, в рам-ках которого сборник опубликован, представляет собой краткий ав-топортрет западной этноматематики как она видится из второй по-ловины XX века.

Возможно, наиболее интересные внутрикультурные взаимодей-ствия, связанные с математикой –– не прямые, но опосредованныесистемой ценностей. Система ценностей влияет на деятельность влюбой области и при этом практически предопределяет культурнуюинтерпретацию этой деятельности. И обратно, система ценностей,зарождающаяся в рамках одного из видов культурной деятельности(например, в науке), порождает процесс пересмотра других ценно-стей, их преобразования, а иногда –– их уничтожения или кореннойперестройки. В свете этого в заключительном разделе статьи я вкрат-

Matematica e Cultura (в печати).


це коснусь человеческих ценностей в контексте математическоготворчества.

.. Рациональность. Послушаем еще раз Дж.Р.Ньюмана (см. [,предисловие к тому I]).

...Я начал собирать материалы для антологии, которая, какя надеюсь, сказала бы что-то про разнообразие, пользу и красотуматематики.

Книга ([]. –– Ю. М.) представляет математику как инстру-мент, как язык и как карту; как произведение искусства и каксамодостаточную ценность; как плод стремления к совершенству.Мы видим математику как объект сатиры, как предмет юмораи как источник споров; как гимнастику ума и как затравку длявоображения рассказчика; как занятие, приводящее людей в ис-ступление и приносящее им наслаждение. Математика как целоепредставляется как корпус знаний, созданных человеком, но приэтом от человека не зависящий и отдельный.

В этом очень личном и эмоциональном списке ценностей, связан-ных с математикой, удивительным образом отсутствует рациональ-ность. Одно из возможных объяснений состоит в том, что в англо-саксонской традиции основные ценности Просвещения стали ассоци-ироваться с экономическим поведением и зачастую интерпретируют-ся в следующем узком смысле: рационально действует тот, кто после-довательно блюдет свой интерес.

Другой причиной может быть то, что рациональность не приноситособой радости: «Cogito ergo sum» –– это доказательство существова-ния, ничего не говорящее о той абсолютной потребности в мышле-нии, что присуща всякой живой душе.

И тем не менее рациональность в ренессансном смысле, «il naturaldesiderio di sapere» (см. []), и стремление быть последовательнорациональным –– это та движущая сила, без которой невозможно былобы ни существование математики в течение многих веков, ни ееуспешный вклад в технический прогресс общества.

.. Истина. О проблеме истины в математики существует мно-жество подробных, сложных, тонких и противоречащих друг другувысказываний (см. относительно недавний обзор []). Здесь я про-сто отмечу, что с аксиологической точки зрения истина, независимоот ее исторических и философских коррелятов, является одной изосновных ценностей, связанных с математикой.


Авторитет, полезность для практики, успех в состязании, вера ––все эти не всегда совместимые друг с другом ценности математик,приступающий к работе, должен отодвинуть на задний план.

.. Действие и созерцание. По самой сути своего ремесла мате-матики склонны к созерцанию более, чем к действию.

Римляне, которые были деятелями par excellence, глубоко уважалигреческую культуру, но не восприняли греческую математику. В им-перском списке ценностей –– доблесть, честь, слава, служба –– для гео-метрии места не было.

Представление о математиках-созерцателях входит в традицию,длящуюся веками, но во всякой традиции имеются поразительныеисключения. Я завершу это эссе кратким рассказом об одном извеликих математиков прошедшего века –– Джоне фон Неймане.

Янош Нейман родился декабря года в Будапеште и умер февраля года в Вашингтоне. За свою не очень долгую жизнь онуспел внести критически важный вклад в следующие области знания:основания теории множеств, квантовая статистика и эргодическаятеория, теория игр как модель экономического поведения, теорияоператорных алгебр, архитектура современных компьютеров, прин-цип имплозии в конструкции атомной бомбы и многое другое.

Вот два примера его мышления и его способа выражать своиидеи –– из начала и конца его карьеры.

Созерцание: универсум фон Неймана. Канторовскому определе-нию множества как произвольного набора различных предметов,существующих в нашей мысли, во многих случаях удовлетворяетбольше объектов, чем хотелось бы. Поэтому универсум фон Ней-мана состоит только из множеств, элементами которых являютсятакже множества. Потенциально опасной аутореферентности удаетсяизбежать, постулировав, что в любом семействе множеств Xi, длякоторого Xi есть элемент в Xi+1, имеется наименьший элемент; самыммаленьким множеством, из которого все и строится, является пустоемножество. Тем самым универсум фон Неймана строится из «фило-софского вакуума»; его первые элементы суть ∅ (пустое множество),∅ (одноэлементное множество, единственным элементом которогоявляется пустое множество), ∅, ∅, ∅, и т. д. Скупые фигур-ные скобки заменяют канторовскую рамку «Zusammenfassung… zueinem Ganzen», и эта операция, которую можно итерировать –– един-ственный способ строить новые множества из уже существующих.Итерация, конечно, может быть и трансфинитной (другое великоепрозрение Кантора).


Наведение на цель пушки с применением квадранта из книги«Erste deutsche Vitruvausgabe»

Трудно представить себе более чистый объект созерцания, чем этатихая и одновременно мощная иерархия.

Действие: Хиросима. Вот отрывок из датированного декабря года письма фон Неймана к Р. Дункану из отдела военной исто-рии фирмы IBM.

Уважаемый г-н Дункан!

В ответ на Ваше письмо от декабря ⟨…⟩ сообщаю следующее.Действительно, во время войны я был инициатором исследованияотражения косых ударных волн и сам этим исследованием зани-мался. Исследования привели к выводу, что большие бомбы эф-фективнее взрывать не на поверхности земли, а на значительнойвысоте, поскольку при этом повышается давление при наклонномпадении ударной волны ⟨…⟩


Я действительно получил медаль «За заслуги» (октябрь )и награду «За безупречную службу» (июль ), со следующейформулировкой:

Медалью «За заслуги» награждается д-р Джон фон Нейманза образцовое исполнение особо важных работ для США в пери-од с июля года по августа года. Д-р фон Нейман,проявляя исключительную преданность делу, лидерские качествав технической области, неизменный энтузиазм и постояннуюготовность к коллективной работе, был основным ответствен-ным за проведенное Военно-морскими силами США исследованиеэффективности взрывов на больших высотах, в результате кото-рого был найден новый метод ведения наступательных операций,который уже доказал свою эффективность при использованииатомных бомб против Японии. Д-р фон Нейман внес неоценимыйвклад в победу Соединенных Штатов Америки в войне.

Гарри Трумэн

Литература. Atiyah M. Geometry and Physics of the th Century. In: [, p. ––].

. Booß-Bavbneck B., Høyrup J. Introduction. In: [, p. ––].

. Bourbaki N. Elements of the History of Mathematics. Springer-Verlag, .[Русский перевод более раннего издания: Бурбаки Н. Очерки по историиматематики. М.: Наука, .]

. Li Calzi M., Basile A. Economists and Mathematics from to . Beyondthe Art of Accounting. In: [, p. ––].

. Cesi F. Il natural desiderio di sapere. The Pontifical Academy of Sciences.Vatican, .

. Чайковский Ю. В. Что такое вероятность? (Эволюция понятия от антич-ности до Пуассона) // Историко-математические исследования. Cер. .(). М., . С. ––.

. Chemla K. History of Mathematics in China: A Factor in World History and aSource for new Questions // Proceedings of the Int. Congr. of Mathematicians.Berlin, . Bielefeld: Documenta Mathematica, . Vol. III. P. ––.

. The Cultural Value of Science. Proceedings of the plenary session of thePontifical Academy of Sciences. Nov. ––. . Vatican, .

. Dales H. G., Oliveri G. Truth and the foundations of mathematics. An introduc-tion. In: [, p. ––].

. Davis P., Hersch R. The mathematical Experience. Boston: Birkhauser, .

. Enzensberger H. M. Drawbridge Up. Mathematics –– a Cultural Anathema. Nat-ick, Mass.: A. K. Peters, .


. Geometrie au XXe siecle. Histoire et horizons / Ed. by J. Kouneiher, D. Flament,Ph. Nabonnand, J.-J. Szczeniarz. Paris: Hermann, .

. Keilis-Borok V., Gascon D., Soloviev A., Intriligator M., Pichardo R., Winberg F.

On the predictability of crime waves in megacities –– extended summary. In:[, p. ––].

. Kobzarev I. Yu., Manin Yu. I. Elementary Particles. Mathematics, Physics andPhilosophy. Kluwer Academic Publishers, .

. Macrae N. John von Neumann. AMS, .

. Манин Ю. И. Истина, строгость и здравый смысл (см. наст. изд.).

. Манин Ю. И. Математика как метафора (см. наст. изд.).

. Манин Ю. И. Георг Кантор и его наследие (см. наст. изд.).

. Mandelbrot B., Hudson M. The (Mis)behaviour of Markets. Profile, .

. Mathematics across cultures. The history of Non-Western Mathematics / Ed.by H. Selin. Kluwer Academic Publishers, .

. Mathematics and Culture I / Ed. by M. Emmer. Springer, .

. Mumford D. The dawning of the age of stochasticity // Mathematics: Frontiersand Perspectives / Ed. by V. Arnold, M. Atiyah, P. Lax and B. Mazur. AMS, .P. ––.

. Mumford D. Pattern Theory: the Mathematics of Perception // Proceedingsof the Int. Congr. of Mathematicians. Beĳing . Vol. I. Beĳing: HigherEducation Press, . P. ––.

. Mathematics and War / Ed. by B. Booß-Bavbnek, J. Høyrup. Basel: BirkhauserVerlag, .

. von Neumann J. Selected Letters / Еd. by M. Redei. History of Math. AMS andLondon MS, . Vol. .

. Nørretranders T. The User Illusion: Cutting Consciousness Down to Size.Penguin, .

. Платон. Государство. Книга VII, d, c, b–d.

. Poovey M. A History of the Modern Fact. Problem of Knowledge in the Sciencesof Wealth and Society. The University of Chicago Press, .

. Poovey M. Can numbers ensure honesty? Unrealistic expectations and the USaccounting scandal // Notices of the AMS. . Vol. , . P. ––.

. Anjing Qu. The third approach to the history of mathematics in China //Proceedings of the Int. Congr. of Mathematicians. Beĳing . Vol. III. Beĳing:Higher Education Press, . P. ––.

. Bourbaki: Une societe secrete de mathematiciens // Pour la science. . .

. Siegmund-Schultze R. Military Work in Mathematics ––: an Attempt atan International Perspective. In: [, p. ––].


. Solow R. How did economics get that way and what way did it get? //Daedalus. Fall . P. ––.

. Sontag S. Illness as Metaphor, and AIDS and its Metaphors. NY: Picador; Farrar,Strauss and Giroux, .

. Truth in Mathematics / Ed. by H. G. Dales and G. Olivieri. Oxford: ClarendonPress, .

. Turnbull H. W. The great mathematicians. In: [, vol. , p. ––].

. The World of Mathematics. A small library of the literature of mathematicsfrom A’h-mose the Scribe to Albert Einstein, presented with commentaries andnotes by James R. Newman. Vols. ––. New York: Simon and Schuster, .

Математика как метафора

Порядок. ⟨…⟩ Я отчасти знаю, что это такое и какмало людей это понимают. Ни одна наука, созданнаялюдьми, не может его соблюсти. Св. Фома не смог егособлюсти. Математика его соблюдает, но она беспо-лезна при всей своей глубине.

Б. Паскаль. Мысли

Введение

Когда в году вышла в свет книга Анри Пуанкаре «Наука и ги-потеза», она стала бестселлером. Первая глава этой книги была посвя-щена природе математического рассуждения. Пуанкаре обсуждал ста-рую философскую проблему: можно ли свести математическое зна-ние к длинным цепочкам тавтологических преобразований некото-рых основных («синтетических») истин или оно содержит в себе что-то сверх этого? Пуанкаре отстаивал точку зрения, согласно которойматематики обязана своей творческой силой произвольности выборапервоначальных предположений и определений, которые затем кор-ректируются с помощью сравнения выводов из них со строением на-блюдаемого мира.

Похоже, что нам гораздо меньше, чем современникам Пуанкаре,интересны философские тонкости. И дело тут не в том, что наука кактаковая стала менее популярна: такие книги, как «Первые три ми-нуты» С. Вайнберга или «Краткая история времени» Стивена Хокингавыпускаются большими тиражами, а доброжелательные рецензии наних печатаются в массовых газетах. Изменилось общее настроение.Парадоксальность новых физических теорий воспринимается менеедраматически и более прагматично. (Восприятие изобразительногоискусства претерпело ту же эволюцию: первые выставки импрессио-нистов были подобны духовной революции, а вот каждая очереднаяволна послевоенного авангарда немедленно приобретала характер-ные черты академизма.)

Впервые опубликовано: Mathematics as metaphor // Proc. of ICM. Kyoto, . Vol. II.P. ––. The AMS and Springer Verlag. Перевод с английского С. М. Львовского.


В такой атмосфере жаркие дискуссии прошлых дней о кризисеоснований математики и природе бесконечности кажутся почти бес-смысленными, и уж заведомо –– ненужными. Гораздо живее публикареагирует на высказывания по поводу среднего образования илинового поколения компьютеров.

Именно поэтому я решил представить вниманию читателя непри-тязательное эссе, в котором наша наука рассматривается как специ-ализированный диалект естественного языка, а ее функционирова-ние –– как частный случай феномена речи. Из этого подхода вытекаюти некоторые предложения, касающиеся школьного и университетско-го образования.

Метафоричность

Слово «метафора» будет использоваться нами в нетехническомсмысле, который лучше всего поясняется следующими цитатами изкниги Дж. П. Карса «Конечные и бесконечные игры»:

Метафора есть соединение похожего с непохожим, при которомодно не может превратиться в другое.

В своей основе всякий язык имеет характер метафоры, по-скольку независимо от своих намерений он всегда остается языкоми тем самым совершенно непохожим на то, что он описывает.

На невозможности высказать природу основана сама возмож-ность существования языка.

Рассматривая математику как метафору, я хочу подчеркнуть, чтоинтерпретация математического знания является актом в высшейстепени творческим. В некотором смысле математика –– это романо природе и человечестве. Точно сказать, чему именно нас учит мате-матика, невозможно так же, как невозможно сказать, чему нас учит«Война и мир». Само это обучение погружено в процесс рефлексии поего поводу.

Может показаться, что это мнение идет вразрез с освященной вре-менем традицией применения математики к научным и техническимвычислениям; на самом деле я всего лишь хочу восстановить некото-рый баланс между технологической и человеческой сторонами мате-матики.

Два примера. Позвольте мне проиллюстрировать метафориче-ский потенциал математики на двух разнородных примерах: колмо-горовской сложности и «теоремы о диктаторе» К. Эрроу.

I. Колмогоровская сложность натурального числа N –– это длинакратчайшей программы P, порождающей N , или длина кратчайшего


кодового представления для N . Читателю предлагается представитьсебе способ кодирования с помощью частично рекурсивной функцииf (P), аргументы и значения которой –– целые числа. Теорема Колмо-горова гласит, что среди таких функций существуют максимальноэкономичные в следующем смысле: если C f (N) –– наименьшее значе-ние P, для которого f (P)= N , то C f (N)¶ const ·Cg(N), где константазависит от f и g, но не от N .

Поскольку P можно восстановить по его двоичной записи, длинаK f (N) кратчайшей программы, порождающей N , ограничена числомlog2 C f (N). Эта функция (точнее говоря, класс функций с точностьюдо прибавления ограниченного слагаемого) и называется колмого-ровской сложностью.

Во-первых, K(N) ¶ log N + const, что хорошо согласуется с ис-торическим успехом позиционных систем счисления, снабдившихнас программами порождения чисел, имеющими логарифмическуюдлину. Тем не менее, существуют сколь угодно большие числа, кол-могоровская сложность которых гораздо меньше, чем длина их за-писи: например, K(10N ) ¶ K(N) + const. Очевидно, что даже когдамы пользуемся большими числами, мы ограничиваемся числамиотносительно небольшой колмогоровской сложности. Даже десятич-ные приближения к числу π, которые, возможно, являются длин-нейшими однозначно определенными числами из всех, что когда-либо выписывали математики, не являются сложными по Колмо-горову, поскольку K([10Nπ])¶ log N + const. Вообще говоря, низкаяколмогоровская сложность равносильна высокой степени организо-ванности.

С другой стороны, почти всякое число N имеет сложность, близ-кую к log N . Например, если f (P)=N для оптимальной f , то K(P) эк-вивалентно log P. Такие целые числа обладают многими замечатель-ными свойствами, обычно связываемыми с понятием случайности.

Во-вторых, колмогоровскую сложность легко определить для дис-кретных объектов, не являющихся числами, например, для русскихили английских текстов. Следовательно, можно более или менееоднозначно измерить сложность «Войны и мира»: неопределенностьсвязана только с выбором оптимального метода кодирования, и пред-ставляется, что при выборе среди небольшого числа разумных спосо-бов неопределенность будет мала.

Вопрос: является ли «Война и мир» высокоорганизованным илипочти случайным комбинаторным объектом?

В-третьих, колмогоровская сложность является невычислимой фун-кцией. Точнее говоря, если f оптимальна, то не существует рекурсив-


ной функции G(N), отличающейся от C(N) на exp(O(1)). Можно толь-ко оценить сложность сверху сложность вычислимыми функциями.

Я чувствую, что понятие колмогоровской сложности следует иметьв виду при любом обсуждении проблемы человеческого знания.

Коль скоро наши знания имеют символическое выражение (сло-весное, цифровое и т. п.), существуют физические ограничения наобъем информации, которую можно хранить и которой можно поль-зоваться. Мы всегда полагаемся на способы сжатия информации;колмогоровская сложность ставит абсолютную границу эффектив-ности этих методов. Когда, например, мы говорим о законах физики,выраженных уравнениями движения, мы имеем в виду, что точноеописание поведения системы можно получить, переведя эти законыв компьютерную программу. Однако сложность тех законов, которыемы можем открыть и которыми мы можем пользоваться, заведомоограничена. Можем ли мы быть уверены, что не существует законовпроизвольно высокой сложности, управляющих даже «элементарны-ми» системами?

Здесь наше обсуждение полностью теряет математический харак-тер, и поскольку аудитория ориентирована на математику, в этом мес-те я вынужден остановиться. Впрочем, такова судьба любой метафоры.

II. Теорема Эрроу о диктаторе была открыта около года.С математической точки зрения это комбинаторное утверждение,описывающее некоторые функции со значениями в бинарных отно-шениях. С интуитивной точки зрения это формализация следующейсоциальной проблемы. Предположим, что законодатель хочет устано-вить правила выработки коллективного решения, основывающиесяна предпочтениях отдельных субъектов. Если речь идет о выбореиз двух альтернатив, то стандартный способ –– принимать решениябольшинством голосов. Обычно, однако, альтернатив больше двух(вспомним о задаче распределения средств), так что голосующихможно просить упорядочить эти альтернативы в порядке предпо-чтения. Каков должен быть алгоритм, получающий коллективноепредпочтение из множества индивидуальных? Эрроу рассматривалалгоритмы, удовлетворяющие некоторым естественным и демокра-тическим условиям (например, если каждый ставит A выше B, то и об-щество ставит A выше B). Тем не менее, Эрроу обнаружил, что еслиальтернатив больше двух, то единственный способ найти решение ––выбрать одного из голосующих («диктатора») и постановить, что егопредпочтения совпадают с общественными. (На самом деле это толькоодна из версий теоремы Эрроу, полученная позднее. Кроме того, этатеорема относится к случаю конечного общества; в бесконечном слу-


чае решения можно принимать с помощью ультрафильтров, которыеполучили подобающий титул «правящих иерархий».)

В некотором смысле эта теорема объясняет точное содержаниеидеи общественного договора по Ж. -Ж. Руссо.

Фундаментальная внутренняя противоречивость представленияоб идеальном демократическом выборе может быть проиллюстри-рована следующим рассказом о трех избирателях, имеющих триальтернативы. В рассказе речь идет о трех богатырях (в России такназывали странствующих рыцарей) на перепутье, читающих надписьна камне. Ничего хорошего эта надпись не обещает: там сказано,что кто пойдет налево, потеряет меч, кто пойдет направо, потеряетконя, а кто пойдет прямо, тот сам погибнет. Богатыри спешиваютсяи собираются на совет. Самого молодого и горячего зовут АлешаПопович, самый старший и мудрый –– Добрыня Никитич, а среднийбрат –– простой крестьянин Илья Муромец. Алеша ценит свой меч вы-ше, чем своего коня, а своего коня –– выше, чем свою жизнь; Добрынябольше всего дорожит своей жизнью, затем мечом, и только затем ––конем; Илья предпочитает своего коня своей жизни, а свою жизнь ––своему мечу.

Как может заметить читатель, все три порядка индивидуальныхпредпочтений получаются один из другого циклическими переста-новками. В результате этого можно большинством голосов выбратьмежду любыми двумя альтернативами из трех, но эти три выбора в со-вокупности несовместны: получить вполне упорядоченный списокс помощью демократической процедуры не удается. Тяжело вздохнув,богатыри возлагают бремя выбора на Добрыню Никитича.

Сообщает ли нам теорема Эрроу что-то, чего мы не знали ранее?Я полагаю, что да, при условии, что мы готовы к ее серьезному об-суждению: если мы готовы аккуратно рассматривать ее комбинатор-ное доказательство, представлять себе, чему в жизни соответствуютразличные предположения и элементарные логические шаги в дока-зательстве –– короче говоря, если мы готовы уточнить наше неточноевоображение с помощью жесткой логики математического рассужде-ния. Например, мы сможем лучше понимать некоторые трюки поли-тиков и некоторые ловушки, в которые может легко (и даже с вооду-шевлением) попасть общество (одна из таких ловушек –– приниматьбез возражений список альтернатив, выдвигаемый правящими кру-гами, тогда как основной частью процесса принятия решения былоименно составление этого списка).

На этом этапе мы переходим к основной теме нашего обсужде-ния: что отличает математическую речь от обыденной, почему ока-


залось, что паскалевский «порядок» управляет нашей символическойдеятельностью, и действительно ли она «бесполезна при всей своейглубине».

. Язык и математика

Очень интересный этап в истории взаимодействия математикис гуманитарными науками начался около тридцати лет тому назадвместе с первыми серьезными попытками автоматического перевода.Эти попытки окончились тяжелой неудачей –– тяжелой, по крайнеймере, для тех, кто считал, что никаких принципиальных трудностейв этом деле нет и остается только преодолеть технические проблемы,связанные исключительно с объемом обрабатываемой информации.Иными словами, энтузиасты автоматического перевода были убежде-ны, что перевод основан на не слишком сложном алгоритме, которыйостается только выписать в явном виде и перевести в компьютернуюпрограмму.

Это убеждение –– хороший пример математической метафоры (ана самом деле –– частный случай «компьютерной метафоры», исполь-зуемой в науках о человеческом мышлении).

Эта метафора оказалась чрезвычайно полезной для теоретическойлингвистики: она заставила лингвистов описывать словарь, семанти-ку, морфологию и синтаксис естественных языков с невиданной ранееэксплицитностью и полнотой; в рамках этой программы был развитцелый ряд совершенно новых понятий и инструментов.

И тем не менее успехи автоматического перевода были (и оста-ются) скромными. Оказалось, что естественная письменная речь ––крайне неудобные исходные данные для любого алгоритма, предна-значенного для перевода или даже логического вывода. (Я добавляюэто уточнение, поскольку в качестве материала для, например, ста-тистических исследований человеческая речь ничего необычного изсебя не представляет).

Описанное обстоятельство можно рассматривать как универсаль-ное свойство естественных языков, заслуживающее более вниматель-ного рассмотрения. Прежде всего, следует отвергнуть как слишкомнаивное традиционное объяснение, гласящее, что универсум смыс-лов естественного языка слишком велик и слишком плохо структу-рирован и потому не может быть описан с помощью хорошо орга-низованного метаязыка. Проблема в том, что с той же трудностьюмы столкнемся, даже если резко ограничим этот универсум –– доподмножества арифметики, имеющего дело с маленькими целымичислами. Собственно говоря, именно из-за этой трудности в первую


очередь и развилась вся система арифметических обозначений вме-сте с основными алгоритмами вычислений. Даже словарь элемен-тарной арифметики в естественных языках в основе своей архаи-чен: конечный натуральный ряд примитивных обществ «один, два,три, много» воспроизводится на экспоненциальной шкале: «тысяча,миллион, миллиард, зиллион ». Названия даже небольших чисел,например, «», являются на самом деле названиями не числа, а егодесятичной записи.

Алгебра Виета превосходила полусловесную алгебру Диофанта непотому, что с ее помощью можно было выразить новые значения, нопотому, что она была несравненно лучше приспособлена к алгорит-мической обработке («тождественным преобразованиям» из нашейшкольной алгебры).

Столь характерный для языка науки разрыв интуитивных и эмо-циональных связей между текстом и его создателем/пользователемкомпенсируется приобретаемыми вычислительными автоматизмами.В своей (пусть и ограниченной) области этот автоматизм оказалсябесконечно эффективнее, чем традиционная платоновско-аристоте-левская культура рассуждений в рамках обыденного языка. Но почемуже тогда наши научные статьи по-прежнему выглядят как неоргани-зованная смесь слов и формул? Отчасти потому, что мы по-прежнемунуждаемся в этих эмоциональных связях; отчасти же потому, чтонекоторые значения (например, содержание ценностных суждений)лучше всего выражаются на естественном языке. Однако естествен-ный язык имеет некоторые внутренние преимущества даже и каксредство выражения научной речи: апеллируя к пространственномуи качественному воображению, он помогает понимать такие «струк-турно устойчивые» свойства, как число свободных параметров (раз-мерность), существование экстремумов, симметрии. Грубо говоря,он позволяет использовать науку как метафору.

. Метафора и доказательство

Излагаемые здесь взгляды можно рассматривать в связи с обсуж-дениями школьных и вузовских программ.

В первой половине XX века общее математическое образованиебыло ориентировано на приложения. Оно снабжало учащегося ми-нимумом умений, необходимых для решения повседневных задачи для безболезненного перехода к изучению научных и инженерных

Английское слово, означающее примерно «очень-очень много». –– Ю. М.


вычислений в высшей школе. Разрыв между учебными программамии предметом деятельности профессиональных математиков стано-вился все более и более явным. Хорошо известно, что реакциейна этот разрыв была «новая математика» в США и аналогичныепрограммы в других странах. Эти программы вводили в школьнуюматематику идеи и принципы, позаимствованные у профессионалов:теорию множеств, доказательства, основанные на аксиомах, культурустрогих определений.

«Новая математика» широко внедрялась, но при этом ее распро-странение сопровождалось голосами протеста, слившимися в -хи -х годах в мощный хор. Критики оспаривали основные доводыадептов «новой математики». Оставляя в стороне возражения, осно-ванные на данных психологии и когнитивных наук, я остановлюсьтолько на доводах, связанных с общей оценкой роли доказательствав математике.

На одном полюсе тут стоит хорошо известное высказывание Ни-кола Бурбаки: «Со времен греков говорить „математика“ значит го-ворить „доказательство“». В соответствии с этой идеей, строгость до-казательств стала в «новой математике» делом принципа. В поддерж-ку этого приводились следующие доводы: (а) доказательство помога-ет понять математический факт; (б) строгие доказательства –– наибо-лее существенная часть современной профессиональной математики;(в) в математике имеются общепризнанные критерии строгости.

Эти взгляды подвергались широкой критике, например, в книгеДжилы Ханны «Rigorous Proofs in Mathematics Education» (автор: GilaHanna. Ontario: OISE Press, ). В частности, автор указывал, чтоматематики далеко не единодушны в том, каковы должны быть кри-терии строгости (при этом поминалась жаркая полемика между ло-гицистами, формалистами и интуиционистами) и что работающиематематики постоянно нарушают все правила.

На мой взгляд, эти возражения –– не по существу.Существенным возражением является то, что упор на доказатель-

ства нарушает баланс между базисными ценностями. Доказательствокак таковое является производным от идеи истинности. Но существу-ют ценности и помимо истины: деятельность, красота, понимание;все они не менее важны при обучении в школе. Учитель (или универ-ситетский профессор), этими идеями пренебрегающий, обречен натяжелую неудачу. К сожалению, эта идея также принимается не все-ми. Социологический анализ споров вокруг теории катастроф РенеТома показывает, что волна критики этой теории была вызвана пе-реносом акцента с формальной истины на понимание. Разумеется,


теория катастроф является одной из хорошо развитых математиче-ских метафор, и только как таковую ее и следует судить.

С педагогической точки зрения доказательство –– всего лишь одиниз жанров математического текста. Имеется и множество других жан-ров: вычисление, набросок доказательства с пояснениями, компью-терная программа, описание алгоритмического языка или такой пре-небрегаемый сейчас жанр, как обсуждение связей между формаль-ным определением и интуитивным понятием. У каждого из жанровесть свои законы, и в частности –– свои законы строгости; единствен-ная причина, по которой они не кодифицированы, –– это то, что им неуделялось специального внимания.

Основная задача преподавателя –– продемонстрировать на ограни-ченном пространстве своего курса многообразие видов математиче-ской деятельности и соответствующих им ценностных ориентаций.Разумеется, это многообразие организовано иерархически. Цели обу-чения могут варьироваться от приобретения элементарной арифме-тической и логической грамотности до приобретения программист-ских навыков и от решения простейших задач из повседневной жизнидо овладения принципами современного научного мышления. В спек-тре этих целей ориентация на «строгое доказательство» вполне можетзанимать место на периферии.

После всего сказанного я должен подчеркнуть, что мои доводы ни-коим образом не подрывают идеал строгого математического рассуж-дения. Этот идеал является одним из основных принципов математи-ки, и в этом смысле Бурбаки, бесспорно, прав. С тех пор, как мате-матика не имеет внешнего предмета изучения и основывается на со-гласии ограниченного круга посвященных, она не может развиватьсявне рамок, доставляемых жесткими правилами. Возможностью сво-их приложений в строгом смысле этого слова (например, необходи-мых для проекта «Аполлон») математика обязана нашей способно-сти жестко контролировать фантастической длины последовательно-сти манипуляций с символами.

Существование этого идеала гораздо важнее, чем его недости-жимость. Свобода математики (Г. Кантор) может развиться тольковнутри рамок железной необходимости. Комплектующие современ-ных компьютеров являются воплощением этой необходимости.

Метафора помогает человеку дышать в этой разреженной атмо-сфере богов.

Вычислимость и язык

. Предисловие

Использование электронно-вычислительной техники связано с воз-можностью алгоритмического решения задач и эффективного вычис-ления функций. Между тем в математике широко используются функ-ции, заданные неэффективными определениями. Столь же часты до-казательства разрешимости задач, например оптимизации, не сопро-вождаемые алгоритмами их решения.

В действительности класс задач, доступных классическим сред-ствам, в некотором трудно уточняемом смысле строго шире классазадач, решаемых алгоритмически. Книга посвящена прояснению смыс-ла этого утверждения, изложению математических моделей вычисли-мости, а также некоторых недавних результатов, которые используютпонятия теории вычислимости, но выходят за ее пределы. Сюдаотносятся прежде всего идеи А. Н. Колмогорова о связях понятий вы-числимости и случайности, а также результаты о теоретико-числовыхаспектах теории вычислений. Более подробно математическая про-блематика книги обсуждена во введении. ⟨…⟩

. Введение

. Алгоритм –– это текст, который в определенных обстоятельствахможет привести к однозначному развитию событий –– процессу вы-полнения алгоритма. Фермент, катализирующий специфическую ре-акцию, устав караульной службы или программа ЭВМ –– примеры ал-горитмов в этом широком смысле слова.

Математика поставляет алгоритмы вычислений и обработки сим-вольной информации, которые являются существенными компонен-тами научной деятельности; языки для записи алгоритмов, их рабо-ты и результатов; проекты физических устройств, выполняющих алго-ритмы. Наконец, математика строит теоретические модели всех этихпонятий.

Предисловие и введение к книге: Вычислимое и невычислимое. М.: Советское ра-дио, . С. ––. (Сер. Кибернетика).


Таким теоретическим моделям –– математической теории алгорит-мической вычислимости –– посвящена эта книга. Она является есте-ственным продолжением книги «Доказуемое и недоказуемое» (М.:Сов. радио, ), но по большей части может быть прочитана неза-висимо от нее.

. Простейшая, но очень универсальная модель алгоритма посту-лирует, что алгоритм предписывает способ вычисления функции, за-данной на подмножестве целых положительных чисел Z+ и принима-ющей целые положительные значения. Для одной и той же функциитаких способов может быть много. Оказывается, что среди них естьследующий типовой способ; по любому описанию алгоритма вычис-ления функции y= f (x) можно построить многочлен

Pf (x, y; t1, …, tn)

с целыми коэффициентами такой, что b= f (a), если и только еслисуществуют целые числа t0

1, …, t0

n, ∈ Z+ с условием

Pf (a, b; t01, …, t0

n) = 0.

Зная P1 и a, мы можем найти b= f (a) перебором векторов (b, t1, ……, tn) по очереди. Это –– основной результат первых двух глав книги.Путь к нему долог. Первая половина пути состоит в анализе са-мой идеи детерминированного процесса вычислений; этот анализприводит к представлению о том, что такой процесс может бытьразложен па элементарные шаги из конечного и фиксированного рази навсегда списка и что функции, вычислимые с помощью итерацииэтих шагов, исчерпывают функции, вычислимые любым другим алго-ритмическим способом. Последнее утверждение является естествен-нонаучным постулатом, который не доказывается математически, ноподтверждается экспериментально. Такой анализ связан с именамиТьюринга, Черча, Поста, Маркова, Клини, Колмогорова. Он приводитк математическому определению рекурсивной функции, которое вво-дится и изучается в первой главе.

Вторая половина пути состоит в математической обработке поня-тия рекурсивной функции средствами элементарной, но очень нетри-виальной теории чисел. Первые идеи здесь были заложены в работахГеделя, Дэйвиса, Патнэма, Дж. Робинсон, а завершающий результатполучен Ю. В. Матиясевичем.

. Реальный процесс вычислений производится над записями чи-сел, скажем, в двоичной системе. Первый этап работы любой большойЭВМ состоит в алгоритмической переработке программы, написан-ной на языке программирования, в программу на языке машинных

Вû÷èñëèìîñòü è ÿçûê

команд. Осуществляющий такую переработку транслятор есть ал-горитм, переводящий символьную информацию в символьную. По-этому в математической теории вычислимости, опирающейся напонятие рекурсивной функции, должна найти свое место модель свя-зи между числами и текстами. Такой модели –– нумерации Геделя ––посвящена гл. IV. Ее основной результат состоит в том, что все элемен-тарные операции над текстом, которые могут лечь в основу процессовалгоритмической переработки текстов, превращаются в рекурсивныефункции при любой естественной нумерации текстов. Поэтому ну-мерация позволяет перевести такую теорию на язык рекурсивныхфункций.

Принципиальное значение этого результата состоит в том, что оноткрывает возможности вводить разного рода «замыкания вычисли-тельного универсума». Если аргументы и значения вычислимых функ-ций могут быть текстами, то текст, описывающий алгоритм, сам мо-жет быть предметом обработки алгоритмом. Далее можно вообразитьсебе алгоритм, порождающий все тексты, которые являются описани-ями алгоритмов.

Исследование свойств таких универсальных конструкций, в част-ности эффектов самоприменимости, приводит к обнаружению алго-ритмически неразрешимых математических задач и недоказуемыхтеорем в формальных языках. Очень общему результату Геделя о не-полноте формальной математики посвящена пятая глава, а однойтонкой неразрешимой задаче из теории групп –– шестая глава.

Теорема Матиясевича из гл. II также немедленно приводит к утвер-ждению о неразрешимости одной из знаменитых проблем Гильберта.

. Существование алгоритмически неразрешимых задач и фор-мально недоказуемых истин было первым фундаментальным откры-тием теории вычислимости, если не считать самой системы основныхпонятий этой теории. Сейчас такого рода результаты продолжаютпоявляться и вызывать интерес: см., например, § гл. V, где сфор-мулирована усиленная теорема Рамсея –– несложное комбинаторноеутверждение, невыводимость которого из аксиом арифметики бы-ла обнаружена лишь в году. Но основные тенденции теориивычислимости определяются работами, которые мотивированы ееприкладными, общематематическими и даже общенаучными аспек-тами.

К первому направлению относятся многочисленные работы по со-зданию эффективных, т. е. укладывающихся в реальные ограниченияна время работы и объем памяти, алгоритмов решения конкретныхвычислительных задач и теории алгоритмов. Сюда же относятся


разработки языков программирования и трансляторов, а также прин-ципов их создания. Возникающая новая дисциплина –– теоретическоепрограммирование –– вынуждена при этом работать иногда на самомкраю «пропасти неразрешимости», но все же ее главная забота со-стоит в том, как сделать хорошо то, что в принципе сделать можно.Цели и объем этой книги не позволили нам коснуться этой огромнойи важной области. Теория рекурсивных функций лишь очерчивает еесамые отдаленные границы.

Ко второму направлению можно отнести исследования, связываю-щие теорию вычислимости с более классическими математическимиструктурами. Так же, как соединение структур группы и дифферен-цируемого многообразия приводит к понятию группы Ли, ко многимматематическим определениям можно добавить условие вычислимо-сти входящих в это определение операций или, более общо, конструк-тивности объектов и получить новую версию традиционной теории.Уже построены конструктивные варианты анализа и фрагментов дру-гих теорий. Можно надеяться, что предрассудки философского поряд-ка, связывающие эти идеи с устаревшими концепциями «обоснова-ния математики», будут постепенно отходить в тень и общематема-тическая роль полученных результатов будет осознаваться яснее. Кон-структивная математика призвана не заменить классическую, а статьее полноправной частью. В частности, задача характеризации рекур-сивных структур в более обычных терминах, образцами которой слу-жат теоремы Матиясевича (гл. II) и Хигмэна (гл. VI), вероятно, дастеще много замечательных результатов. Пример гораздо менее пря-молинейной связи рекурсивности с классической математикой пред-ставляют глубокие идеи А. Н. Колмогорова в теории сложности и тео-рии вероятностей, введению в которые посвящена гл. III. Формальноговоря, одна из задач, решенных Колмогоровым и его учениками, со-стоит в точной математической характеризации случайных последо-вательностей. Но по существу Колмогоров сделал предметом глубо-кой теории интуитивное ощущение того, что степень организованно-сти больших структур (в противовес их случайности и хаотичности)проявляется в ходе алгоритмического взаимодействия с ними, далеконе сводящегося к простым процедурам подсчета частот (см. §, гл. III).

Поэтому теорию Колмогорова [], [], [] можно с равным пра-вом отнести к третьему направлению развития идей вычислимости,направлению, где теория алгоритмов рассматривается как формали-зованная модель алгоритмической деятельности и алгоритмическихпроцессов в широком понимании. К таким процессам относится, ска-жем, перевод текстов на естественных языках или разворачивание


генотипа в фенотип, происходящее в процессе развития живого ор-ганизма.

Такая точка зрения на алгоритмы позволяет увидеть неожиданныеаналогии и постановки задач, заслуживающие обдумывания. Опи-шем вкратце два круга идей, относящихся к лингвистике и физикесоответственно.

. Язык в широком плане есть структура управляющих воздей-ствий в сложной системе; речь –– конкретный фрагмент таких воз-действий. Соотношение текст / значение текста подобно не соотно-шению фотография/реальность, а соотношению программа/выдачиили программа / вычислительный процесс.

В результате многолетней работы над проблемой автоматическогоперевода выкристаллизовалась одна из значительных общих концеп-ций современной лингвистики: известная модель «смысл ↔ текст»(см. [], []). В этой модели язык представляется как соответствиемежду двумя бесконечными множествами: «текстов» и «смыслов».Элементами первого множества являются тексты на том или иноместественном языке; элементами второго –– также тексты, но на ис-кусственном семантическом языке, подлежащем конструированию.Соответствие сопоставляет каждый естественный текст с наборомего возможных смыслов, а каждый смысл –– с набором его возможныхвыражений на естественном языке. Семантический язык в принципедолжен быть универсальным по разным параметрам, в частности,не зависящим от исходного естественного языка. Лингвистика естьтеория перевода «смысл ↔ текст». Перевод должен осуществлятьсячерез ряд промежуточных этапов, называемых уровнями представле-ния предложений естественного языка. К этим уровням относятся:фонетический (или орфографический), фонологический, поверхност-но-морфологический, глубинно-морфологический, поверхностно-син-таксический, глубинно-синтаксический и семантический. «Каждыйиз уровней, за исключением, может быть, орфографического, зада-ется своим формальным языком; на каждом из уровней исходноепредложение имеет формальный образ, называемый представлениемпредложения –– фонологическим,поверхностно-морфологическим,глу-бинно-морфологическим и т. д.» [, c. ].

«Модель „смысл↔текст“, таким образом, является инструментом,который делает возможным овладение смыслом большого круга тек-стов на естественном языке. Поэтому представляется заманчивой ре-ализация этой модели на ЭВМ и ее использование для решения за-дач, возникающих в различных автоматических и автоматизирован-ных системах обработки текстовой информации» [, с. ].


Рис.

Разработка детализированной модели –– долгое и кропотливое де-ло. Анализ даже простых образцов бытовой речи приводит к доволь-но сложным комбинаторным структурам на уровне семантическогопредставления (см. рис. , где приведено семантическое представле-ние фразы «Косте удалось победить», взятое из [, с. ]). В исследо-вании оказываются запутанными проблемы анализа семантики и со-здания языка смыслов и собственно перевода в обе стороны. Неясно,какой максимальный уровень структурированности может быть до-стигнут и каково происхождение «неалгоритмизуемого остатка»: яв-ляется ли он следствием исторических случайностей и прихотливостиестественного языка или есть более глубокие причины его существо-вания.

Некоторый свет на этот вопрос проливает попытка рассмотретьупрощенные варианты модели «смысл↔ текст». В частности, удобновыбрать такую ограниченную область смыслов, чтобы ее семанти-ческое представление имело возможно более простую и фиксиро-ванную структуру. Выберем в качестве этой области «натуральныечисла», семантически представляя их последовательностями палочек:I, II, III, IIII, … История ее представления средствами естественныхязыков относится к описательной лингвистике; одновременно онадоставляет ценные свидетельства о ранних стадиях математическогомышления.


В частности, «предматематический» период отражен в следующихчертах системы названий чисел в различные естественных языках.

В некоторых примитивных языках имеются названия лишь длямалых натуральных чисел, остальные обозначаются единым словом«много». Так, в папуасских языках генде, кати, каморо имеется двасобственно числительных 1 и 2, далее до 20 счет идет по пальцамрук и ног, на 20 натуральный ряд «кончается». Разумеется, система1, …, 20, много может быть без труда оформлена как непротиво-речивый «малый универсум» математики. Более того, такой и ана-логичные натуральные ряды заново рассматриваются в одной изшкол оснований математики («ультраинтуиционизм») на равных илидаже преимущественных правах со стандартным натуральным рядомклассической математики. Однако нельзя переоценивать значенияэтого рафинированного возвращения сознания к архаичным стадиями отказываться от могущественной идеи потенциально или дажеактуально бесконечной продолжимости ряда целых чисел.

В некоторых языках сохранились разные серии названий числи-тельных для счета предметов разной природы (длинных, круглых, оду-шевленных, неодушевленных и т. п.). Это свидетельствует о долгомпериоде формирования идеи о числе как об инструменте, пригодномдля счета «чего угодно». Сознание человека довольно долго не былоготово к объединению в один «класс эквивалентности» произвольных(хотя бы и малых конечных) равномощных множеств; эта же идеяв применении к бесконечным множествам стала достоянием матема-тики лишь после работ Г. Кантора. Следы таких разных типов счетасохранились в современном китайском языке, где хотя и имеется еди-ная система числительных, но она дополняется развитой системойсчетных частиц, употребляемых с существительными разных классовтипа kuai («кусок»), ge («штука»), ben («корешок») и т. д.

В ряде языков отмечается различие корней, от которых образу-ются соответствующие порядковые и количественные числительные(ср. uno/primo, duo/secundo в латыни). В этих свидетельствах мож-но усмотреть весьма раннее зарождение идеи порядка (в отличиеот идеи количества), оформившейся в качестве самостоятельногоматематического понятия удивительно поздно («кардиналы» и «орди-налы» Кантора и структуры порядка Н. Бурбаки).

Первые дошедшие до нас тексты (Вавилон, Египет) отражают ужекартину развитых математических знаний, в частности, зарождениеязыка математических обозначений, достаточно четко отдаленногоот естественного языка. Основное место в нем занимает системаобозначений чисел и операций над ними. Предыстория позиционной


системы обозначений современного типа основана на идее счета всеболее крупными единицами. Эти единицы могут быть степенямиодного и того же числа (основание позиционной системы), но этоне обязательно. Так, в хронологической системе майя единицы счетасуть 1, 18, 360 и далее 18, 20 (ср. следы архаического счета двадцатка-ми во французских числительных типа quatre-vingt-six). Число единицочередного разряда обозначается специальным символом, которыйпоначалу может зависеть и от номера разряда (у египтян, греков,римлян). Когда этот символ перестает зависеть от номера разрядаи последний определяется лишь положением символа в цепочке,для недвусмысленного прочтения записи становится необходимымсимвол нуля. Его появление задерживается довольно надолго; к концувавилонской традиции отсутствие единиц данного разряда отмеча-ется нулем лишь в середине записи. Идея о том, что символ нуляявляется не просто значком, но обозначением самостоятельного числа,имеет еще более позднее происхождение и приписывается инду-сам, у которых она была заимствована европейской математикойпод арабским влиянием. Сама позиционная запись содержит ужезачатки теории алгебраических операций над числами: прочтениезаписи требует умножения единицы очередного разряда на числоэтих единиц и сложения результатов. Правила выполнения действийнад целыми числами в позиционной записи были даны аль-Хорезми,имя которого фонетически трансформировалось в современное словоалгоритм.

На этом уровне система названий чисел в естественном языкеперестает быть лингвистическим материалом: «тысяча девятьсот во-семьдесят четыре» есть собственно название десятичной записи 1984,а не числа, изображаемого этой записью, т. е. некоторое вторичноеявление. (Число 1000 в двоичной записи психологически труднопрочесть, «восемь» воспринимается сейчас скорее как имя цифры,чем имя числа.) Поэтому откажемся от рассмотрения наименова-ний чисел в естественном языке и попытаемся представить себехарактерные черты любой мыслимой системы наименований: де-сятичной, двоичной или даже не обязательно позиционной. Оче-видно, минимальные требования должны быть такими: наимено-вания должны быть конечными текстами; способ восстановлениячисла по наименованию должен быть вычислимой функцией, т. е.задаваться алгоритмом. Если бы дело этим ограничивалось, нечегобыло бы заменять наименования I, II, III, ... другими. Позиционнаясистема реализует фундаментальное открытие: число N можно за-писать log N знаками вместо палочек; даже очень большие числа


имеют короткие записи. Смысл записи воплощен в алгоритме еепереработки в последовательность палочек. Правила аль-Хорезмисуть алгоритмы переработки записи двух чисел в записи их суммыи произведения.

Но тогда в качестве модели системы наименований чисел мыможем взять любую вычислимую функцию f от натуральных чисел(вспомним, что тексты можно заменять их номерами Геделя), прини-мающую все натуральные значения. Оставив в стороне вычислимостьопераций, сосредоточимся на идее экономии: нас интересует функ-ция f , такая, чтобы имя n каждого числа N , т.е. значение аргумента f ,для которого f (n)=N было настолько малым, насколько это вообще

возможно (в двоичной записи числа «1010…10

(1000 раз)» очень многобит, но мы сумели записать его совсем коротко. См. также сведенияо функции Рамсея в § гл. V). Как доказал А. Н. Колмогоров, такиефункции f существуют и могут быть построены явно: каждая из нихпозволяет назвать число N настолько коротким именем, насколькопозволяет любая другая система наименований g, возможно, с поте-рей некоторого числа бит, зависящего от f и g, но не от N .

Однако это условие оптимальности неизбежно влечет за собойследующие свойства функции f . В любой оптимальной системе на-именований:

а) каждое число имеет бесконечно много наименований;б) не все целые числа n являются наименованиями: функция f

лишь частично рекурсивна, но не общерекурсивна, и не может бытьпродолжена до общерекурсивной;

в) восстановление числа по его наименованию в оптимальной систе-ме требует работы сложного алгоритма:оптимальные функции стро-ятся с помощью универсальных вычислимых функций, которые в не-котором смысле настолько сложны, насколько это вообще возможно;

г) проблема отыскания по числу его наиболее короткого наимено-вания алгоритмически неразрешима, анализ большого числа на пред-мет обнаружения структурированности, позволяющей назвать егокоротко, есть творческая задача.

Сопоставим этот список свойств оптимальной системы наимено-ваний чисел со следующими свойствами естественного языка:

А. Обилие синонимии: каждый смысл может быть выражен огром-ным количеством текстов на естественном языке. (Для фразы «Смитне сумел перевести этот текст только из-за того, что в нем оказалосьмного специальных терминов» по оценке [] имеется более миллионаперефразировок);


Б. Открытость языка: на каждый момент времени не все грамма-тически правильные тексты осмыслены. (Эта краткая констатациянуждается в тщательном обсуждении. В модели «Смысл ↔ Текст»полагается, что любой правильный текст может быть переведен вправильный текст на языке смыслов, но среди последних есть «бес-смысленные» в неформальном понимании этого слова: интересу-ющая нас категория, стало быть, переводится на другой уровень.)Эта открытость естественного языка является исключительно важ-ным резервом его творческого использования не только в поэзиии философии, но и в науке. Для выражения вновь возникающегосмысла может быть использован ранее неосмысленный текст («волнавероятности» в квантовой механике или более прозаический «па-кет молока»). Еще интереснее факты рождения нового смысла изранее неосмысляемых, хотя и грамматически допустимых языко-вых выражений (поэтические метафоры; континуальные интегралыФейнмана);

В. Перевод «Текст→ Смысл» требует многоступенчатой работысистемы сложных алгоритмов, выявляющих огромную структуриро-ванность языковых конструкций;

Г. Во всех разработках перевод «Смысл←Текст» оказывается ещегораздо более трудным, чем обратный.

Сопоставление свойств а)––г) и А––Г показывает их удивительныйпараллелизм. Это побуждает высказать гипотезу о том, что многиечерты естественных языков, обычно относимые за счет историческихслучайностей, хотя бы частично отражают свойства экономичностиязыка: его возможности кратко выразить сложный смысл, которыйтакое выражение вообще допускает. Обилие синонимических спосо-бов выражения и бессмысленных текстов кажется противоречащимэтой гипотезе, но если считать нашу модель адекватной, то это оби-лие парадоксальным образом оказывается неизбежным следствиемэкономичности.

. В посленьютоновской физике основным выражением идеи де-терминированности служит принцип, согласно которому развитиеизолированной физической системы в пространстве –– времени опре-деляется дифференциальными уравнениями («законы природы») играничными (начальными) условиями. Этот принцип принимаетсяи в квантовой идеологии: вероятностный аспект квантовой теориисуществен для описания взаимодействий, в частности, с измеритель-ным устройством, но не для теории изолированной системы.

Вычислительный процесс можно рассматривать как другую мо-дель идеи детерминированности. Она во многом параллельна пер-


вой: «закон» отвечает структуре вычислительного устройства, на-чальные условия –– программам. Разбиение вычислительного процес-са на элементарные шаги, включающие, в частности, простейшиемалые изменения содержимого памяти (как стирание или вписыва-ние символа на ленте машины Тьюринга), можно сопоставить с идеейдифференцирования. В таких процедурах, как решение уравнениятеплопроводности методом сеток, мы совершаем довольно прямоли-нейную имитацию непрерывной детерминированности с помощьюдискретной, но, вообще говоря, сопоставление этих двух моделейдалеко не тривиально.

Молекулярная биология доставляет образцы поведения естествен-ных (не сконструированных человеком) систем, которое мы вынуж-дены описывать в терминах, близких к принятым в теории дискрет-ных автоматов. На рис. изображена схема синтеза белка на инфор-мационной РНК: она очень похожа на изображение машины Тьюрин-га, копирующей информацию с одной ленты на другую.

Классические непрерывные системы, управляемые дифференци-альными уравнениями, могут имитировать дискретные автоматылишь при исключительно сложной структуре своего фазового про-странства: обилии областей устойчивости, разделенных невысокимиэнергетическими барьерами. Ввод программы проделывает изощ-ренную систему проходов в этих барьерах, предопределяя движениефазовой траектории по этому лабиринту. Как физическая системавычислитель должен быть очень неустойчив, ибо ошибка в одинзнак в программе, вообще говоря, приводит к совершенно другойтраектории. Но сам процесс вычисления должен быть беспримерностабильным, т. е. самопроизвольные ошибки (переход траекториичерез барьер, который должен быть закрыт, в результате флуктуации)должны иметь весьма малую вероятность. Хорошо известно, чтоэти требования (в сочетании с медленностью работы и экспонен-циальным ростом диссипируемой энергии при увеличении сложно-сти) поставили барьер перед развитием механических компьютеров.Между тем действие «генетических автоматов» мы пытаемся частоописывать именно такими механическими терминами. К самым из-вестным парадоксам, к которым приводит такое описание, относитсягипотетическая картина разворачивания двойной спирали в процессерепликации. В этой картине двойная спираль бактериальной хромо-сомы закручена примерно на 300 000 оборотов. Так как ее удвоениев благоприятных обстоятельствах занимает 20 мин, согласно меха-нической модели репликации, при разворачивании спирали частьхромосомы должна вращаться со скоростью, не меньшей 125 оборотов


Рис.

в секунду. Параллельно должна происходить сложная сеть безоши-бочных биохимических превращений.

Возможно, для прогресса в понимании таких явлений нам недо-стает математической теории квантовых автоматов. Такие объектымогли бы показать нам математические модели детерминированныхпроцессов с совершенно непривычными свойствами. Одна из причинэтого в том, что квантовое пространство состояний обладает гораздобольшей емкостью, чем классическое: там, где в классике имеется N


дискретных состояний, в квантовой теории, допускающей их супер-позицию, имеется cN планковских ячеек. При объединении классиче-ских систем их числа состояний N1 и N2 перемножаются, а в кванто-вом варианте получается cN1 N2 .

Эти грубые подсчеты показывают гораздо большую потенциальнуюсложность квантового поведения системы по сравнению с его класси-ческой имитацией. В частности, из-за отсутствия однозначного раз-деления системы на элементы состояние квантового автомата можетрассматриваться многими способами, как состояние совершенно раз-ных виртуальных классических автоматов. (Ср. со следующим поучи-тельным подсчетом в конце работы []. «Для квантовомеханическогорасчета молекулы метана требуется провести вычисления по методусеток в 1042 точках. Если считать, что в каждой точке следует выпол-нить всего 10 элементарных операций, и предположить, что все вы-числения производятся при сверхнизкой температуре (T =3 ·10−3 К),то и при этом расчет молекулы метана потребует израсходовать энер-гию, производимую на Земле примерно за столетие».)

Первая трудность при проведении этой программы состоит в вы-боре правильного баланса между математическими и физическимипринципами. Квантовый автомат должен быть абстрактным: егоматематическая модель должна использовать лишь самые общиеквантовые принципы, не предрешая физических реализаций. Тогдамодель эволюции есть унитарное вращение в конечномерном гиль-бертовом пространстве, а модель виртуального разделения на подси-стемы отвечает разложению пространства в тензорное произведение.Где-то в этой картине должно найти место взаимодействие, описыва-емое по традиции эрмитовыми операторами и вероятностями.

Литература

. Мельчук И. А. Опыт лингвистических моделей «Смысл↔Текст». М.: Наука,.

. Апресян Ю. Д., Богуславский И. М., Иомдин Л. Л., Крысин Л. П., Лазур-

ский А. В., Перцов Н. В., Санников В. З. Лингвистическое обеспечениев системе автоматического перевода третьего поколения. М.: Научный Со-вет по комплексной проблеме «Кибернетика» при Президиуме АН СССР,.

. Поплавский Р. П. Термодинамические модели информационных процес-сов // УФН. . Т. . Вып. . С. ––.

. Колмогоров А. Н. Три подхода к определению понятия «количество инфор-мации» // Проблемы передачи информации. . Т. . Вып. . С. ––.


. Колмогоров А. Н. К логическим основам теории информации и теории ве-роятностей // Проблемы передачи информации. . Т. . Вып. . С. ––.

. Звонкин А. К., Левин Л. А. Сложность конечных объектов и обоснованиепонятий информации и случайности с помощью теории алгоритмов //УМН. . Т. . Вып. . С. ––.

Истина, строгость и здравый смысл

Мише Савельеву к пятидесятилетию

На мой взгляд, в году главная трудность с обсуждением приро-ды математической истины состоит в том, что после эпохи глубокихоткрытий в конце тридцатых годов, увенчавшейся результатами Гёде-ля и Тарского, никаких новых идей не возникло.

Чтобы не повторяться и оживить обсуждение, можно попробоватьрассмотреть вопрос в более широком контексте или добавить к обсуж-дению немного личного. В обоих случаях возникает опасность, чтовнимание читателя переключится на темы, лишь отчасти связанныес исходной; приношу извинения за то, что я выбрал столь сомнитель-ную тактику.

Этот доклад делится на три части.(а) Размышления об истории математики как одного из жанров

символических (или семиотических) игр.(б) Обсуждение проблем доказательства и математической исти-

ны в контексте современных исследований (в связи с недавними спо-рами вокруг письма А. Джаффе и Ф. Квинна []).

(в) Три примера (анализ которых предоставлен читателю).Мы будем базироваться на весьма наивной философской основе.С наивной точки зрения истинное утверждение –– это утвержде-

ние, которое можно подвергнуть верификации с тем, что оно этуверификацию пройдет. Верификация –– это процедура, включающаякакое-то сравнение утверждения с реальностью; тем самым под-разумевается, что верифицируемым утверждениям приписываетсякакой-то смысл (это в равной мере относится и к «очевидным» утвер-ждениям, проверка которых опускается). Реальность, о которой идетздесь речь, может быть произвольным мыслительным конструктом,от «свободно падающего тела» до «трансфинитных кардиналов». Мыобойдем молчанием вопрос о том, как верифицировать утвержденияо трансфинитных кардиналах, который, несомненно, будет рассмот-рен другими докладчиками.

Впервые опубликовано: Truth, rigor and common sense // Truth in Mathematics /Еd. by H. G. Dales and G. Olivieri. Oxford: Clarendon Press, . P. ––. Перевод санглийского С. М. Львовского.


Утверждение как таковое является лингвистическим конструктом.Перед тем как подвергнуть его процедуре верификации, необходи-мо удостовериться, что оно является грамматически правильным во-первых и осмысленным во-вторых.

Логика учит нас, что некоторые формальные конструкции перево-дят истинные утверждения в истинные же (первым примером такогорода были силлогизмы). В математике такого рода конструкции ис-пользуются рекурсивно. Непосредственное сопоставление с реально-стью сводится к сравнительно редким приложениям математики и,возможно, к исследованию оснований. Основная часть математиче-ского знания выглядит как обширная игра ума, подчиненная строгимправилам.

Можно также попробовать применить понятие истинности не котдельным утверждениям, но к таким объектам, как роман, научнаятеория или теологическая доктрина. Понятия «грамматическая пра-вильность», «смысл», «реальность» и «верификация» при этом приоб-ретут новые измерения, но, похоже, не потеряют своего эвристиче-ского значения. Новое явление, которое можно назвать нелокально-стью, состоит в том, что осмысленность или истинность теории приэтом будут основываться не только на составляющих ее утверждени-ях, но и на доктрине в целом.

Все упомянутые выше общежитейские понятия подвергались тон-кому теоретическому анализу во множестве философских трудов. Всеэти понятия, включая «реальность», подвергались и разностороннейкритике вплоть до полного разрушения. Например, стоит вспомнить,какая судьба постигла идею верификации теорий: приводились дово-ды в пользу того, что ни одну теорию верифицировать нельзя и чтовозможна только фальсификация.

В дальнейшем я постараюсь держаться здравого смысла и избегатькрайних взглядов. Какие-то крупицы истины могут проникнуть да-же в самую дикую деконструкцию этого понятия, но слабость такогорода подходов обычно проявляется, стоит только начать судить этотподход по его собственным стандартам.

. Математическая истина в истории

Современное понятие математической истины восходит к древнейГреции. Бурбаки кратко выражает эту мысль так: «Depuis les Grecs, quidit Mathematiques, dit demonstration» . При этом для математики нуж-ны именно доказательства, понимаемые как цепочки хорошо органи-

Со времен древних греков «математика» значит «доказательство» (фр.).

Иñòèíà, ñòðîãîñòü è çäðàâûé ñìûñë

зованных стандартных шагов, а не как акты демонстрации (вопрекиэтимологии слова «доказательство»).

Помимо всего прочего, это означает, что современная математикапредставляет собой по существу лингвистическую деятельность, опи-рающуюся на язык, обозначения и манипуляции с символами как насредство убеждения собеседника даже в тех случаях, когда речь идето реальности (геометрической, физической или еще какой-либо).Связность рассуждения, не содержащего противоречий и избегаю-щего пробелов, играет важную роль в установлении того обстоятель-ства, что то или иное высказывание действительно доказывает то,на доказательство чего оно претендует. Строго говоря, статус посту-латов P, на которых основывается доказательство утверждения S,не обязан быть предметом обсуждения в математике: она отвечаетглавным образом за структуру вывода.

У этой идеализированной картины имеется длинная предыстория;опишем вкратце некоторые архаические типы протоматематическогоповедения.

Экономическая и военная жизнь ранних человеческих коллекти-вов была сопряжена с учетом продовольствия, размера племени, вре-мен года и т. п. Элементарная арифметика, которую мы знаем, воз-никла только постепенно как диалект языка, обслуживающий нуждытакого учета.

В то время как основной (а на протяжении тысячелетий –– и един-ственной) формой существования естественных языков была устнаяречь, устный, а затем и письменный язык элементарной арифметикилишь постепенно выделялся из многочисленных архаических форм,включающих в себя счет на пальцах и других частях тела, собираниекамешков и палочек, завязывание узелков (в наши дни, когда элек-тронная арифметика теснит письменную, можно наблюдать, как этотпроцесс идет в противоположном направлении).

Математик, склонный подчеркивать «изоморфизм» всевозможныхупомянутых реализаций универсума натуральных чисел и операцийнад ними, должен сознавать, что такой подход является очень суще-ственной модернизацией.

В терминах классической соссюровской дихотомии языка как си-стемы и речи как деятельности можно сказать, что мы наблюдаеммедленное и трудное вычленение «языка» из «речи», включающейв себя непосредственные манипуляции с предметами и частями телакак символами. Какое бы понятие истины ни использовалось приинтерпретации такой деятельности, в конечном счете оно должноапеллировать к эффективности социального поведения, на этой дея-


тельности основывающегося. Классическими примерами могут слу-жить обмен и торговля. Попросту говоря, если считать правильно, тообмен будет справедливым, а торговля прибыльной.

Этим, однако, дело не ограничивается. Важно сознавать, что нетолько материальная выгода сама по себе, но практически любая фор-ма организованного поведения может иметь особый смысл для инди-вида или коллектива. В свете этого соображения архаическая арифме-тика получает тот же статус, что ритуалы, музыка, танцы и все формымагии. Свидетельства о таком восприятии математики как одной изформ магии можно проследить и в сравнительно недавней истории.Тот, кто способен предсказать затмение или еще какое-нибудь неоче-видное явление, может оказаться не мудрецом, а чародеем, а «пред-сказанное» им событие, возможно, произошло из-за его манипуляцийс символами, это событие представляющими.

Многие философы пытались демифологизировать образ матема-тики как интеллектуальной в первую очередь деятельности. Напри-мер, уже в то время, когда существовала современная институциали-зированная математика, Шопенгауэр писал: «Вычисления определя-ют количество и величину и потому необходимы на практике. Мож-но даже сказать: где начинается вычисление, там кончается понима-ние» .

С. Хильдебрандт [, c. ], приводя эту цитату, отмечает: «Задетыйчитатель может лишь изумиться этому суждению и умозаключить,что Шопенгауэр даже не заглядывал в работы Эйлера, Лагранжаи Гаусса».

Тем не менее, Шопенгауэр прав, если понимать его буквально.И дело тут не только в том, что вычисление на время прерываетпроцесс размышлений: в конечном счете, всякое вычисление оправ-дано тем, что оно заменяет мыслительный акт (или какой-то из егоэтапов) на по существу механический процесс –– с тем, чтобы обрестиопору для следующего мыслительного акта, на гораздо более высокомуровне. Если мысль –– это интериоризованное и ищущее действие, товычисление –– это экстериоризованная мысль, причем степень экс-териоризации, достигнутая с помощью современных компьютеров,поражает воображение.

Это похоже на то, как в предыдущую эру биологической эволюциизарождающееся сознательное мышление служило тормозом инстинк-тивных действий и замещало их планируемым поведением. Мозг жи-

Шопенгауэр А. Собрание сочинений: В т. Т.: Малые философские сочинения /Пер. с нем.; Общ. ред. и сост. А. Чанышева. М., . С. .


вотного производит вычисления, чтобы тело животного оставалосьживым и могло бегать, прыгать, летать, видеть и слышать. Мозг чело-века занят тем же самым, и эта деятельность составляет основное со-держание (не-фрейдистского) подсознания индивида; любое вмеша-тельство сознания в этот процесс разрушило бы сложную архитектуруэтих вычислений; в противном случае нельзя было бы гарантироватьправильные (биологически оптимальные) результаты.

В каком-то смысле возникновение языка и сознательных рассуж-дений позволило человеку повысить уровень бессознательных вычис-лений до уровня здравого смысла, а в дальнейшем –– до уровня тео-ретического мышления. Цена, которую пришлось за это заплатить,состояла в потере спонтанности действий и в появлении все менееи менее биологических моделей индивидуального и коллективногоповедения –– короче говоря, смогла появиться цивилизация.

Дополнительность между действием, мыслью и вычислением име-ет тенденцию воспроизводиться на различных уровнях.

Новое отчуждение мышления в компьютерных системах обработ-ки информации –– это гротескная материализация коллективного бес-сознательного (не-юнговского). Выход таких систем из-под контроля,наряду с проблемами обеспечения их эффективного функционирова-ния –– постоянный кошмар современного общества.

Абстрактный характер современной математики, понимаемый некак ее эпистемологическая черта, а как психологический факт, под-держивает нашу метафору. Пропасть, зияющая между нашим повсе-дневным мышлением и нормами математического рассуждения, долж-на оставаться неприкосновенной, если мы хотим, чтобы математикавыполняла свои функции.

Продолжавшиеся в течение нескольких десятилетий XX века жар-кие схватки по поводу оснований математики не привели к решениюни одной из обсуждавшихся эпистемологических проблем. Позволь-те мне напомнить, что основным объектом обсуждения и критикив этих дискуссиях была канторовская теория бесконечного.

Замечательный вклад Кантора в математику XX века имел двааспекта. Первый и главный состоит в том, что Кантор создал чрез-вычайно экономичный и универсальный язык множеств, который,как выяснилось впоследствии, оказался способен выразить семан-тику всех существующих и потенциально возможных математиче-ских конструкций. Понимание этого обстоятельства пришло посте-пенно (окончательно –– в середине прошедшего века). Я имею в видукартину бурбакистского типа: всякое отдельное понятие математики,или даже метаматематики, будь то вероятность, морфизм Фробени-


уса или правило вывода, представляет собой пример «структуры»,представляющей собой конструкцию, рекурсивно строящуюся из мно-жеств с помощью небольшого количества элементарных операций.Сам по себе формальный язык математики также является струк-турой в этом смысле (иногда –– например, в категорных конструк-циях, –– наряду с множествами используются и классы; для нашихнынешних целей это уточнение несущественно).

Думаю, что Гильберт, предсказывавший «канторовский рай», имелперед своим мысленным взором именно эту грандиозную картину.

Во-вторых, однако, Кантор получил глубокие и необычные ма-тематические результаты о порядках бесконечности, положившиеначало длительным и жарким дебатам. Сегодня мы понимаем, что оноткрыл, вероятно, наиболее простую и естественную неразрешимуюпроблему из всех, что можно себе представить –– гипотезу контину-ума. (Глубокое обсуждение того, что в данном контексте означаетнеразрешимость, см. у Гёделя [, c. ].)

Суровый пустынный мир бесструктурных бесконечных множествразличных порядков бесконечности обладает, несомненно, своеоб-разным магическим очарованием; размышления об этом мире поочереди то отталкивали, то привлекали философски настроенныхматематиков и математически настроенных философов на протяже-нии нескольких десятилетий. Знаменитое коэновское доказательствонепротиворечивости отрицания гипотезы континуума, дополняющееболее раннее гёделевское доказательство непротиворечивости самойгипотезы континуума, появилось в тот момент, когда увлеченностьтайнами бесконечности уже начала спадать –– несомненно, по тойпричине, что к тому времени язык множеств был принят практическивсеми математиками.

Когда я заново продумываю эти старые рассуждения, когда я вспо-минаю, как возникли интуиционизм и конструктивизм, меня поража-ет абсолютно классический строй мышления у некоторых из крити-ков Кантора. Значительная часть дискуссии была посвящена тому, какследует думать о бесконечных множествах. Аксиома выбора рассмат-ривалась в основном как широкое до нелепости обобщение бытовогоопыта случайного выбора предмета из кучи ему подобных. Как кон-структивистский, так и интуиционистский подход к этой проблема-тике демонстрирует глубокое эмоциональное неприятие такой проце-дуры применительно к бесконечным множествам (в возникшем позд-нее декадентском ультраинтуиционистском мире Есенина-Вольпинаневыносимым стало и представление даже о конечных и относитель-но небольших наборах предметов).


Разумеется, представление о наборе различимых и неизменныхобъектов принадлежит к «наивной физике». Кажется, многие действу-ющие лица великой драмы оснований математики были убеждены,что аксиоматику теории множеств следует понимать как прямоеобобщение этой наивной физики.

То обстоятельство, что даже маленькие совокупности квантовыхобъектов ведут себя совсем не так, принято во внимание не было(возможно, его и не следует принимать во внимание). Тот факт, чтоработающие бесконечности работающих математиков (действитель-ные числа, комплексные числа, спектры операторов и т. п.) былиэффективно использованы для описания реального мира, был при-знан несущественным для оснований (возможно, так оно и есть).

Как бы то ни было, споры по поводу рассуждений Кантора вдох-новили Гильберта на то, что он предпринял глубокое формальное ис-следование синтаксиса (но не семантики) языка математики, что под-готовило почву для работ Тарского, Чёрча и Гёделя (а также породи-ло философские пошлости наподобие карнаповского взгляда на мате-матику как на «системы вспомогательных утверждений без предметаи без содержания» –– [, c. ]).

То, что мы получили в результате этих исследований, представ-ляет собой высокотехническую картину взаимосвязей между струк-турой формальных выводов, их наивными (или формальными) тео-ретико-множественными моделями и степенями (не)разрешимостии (не)выразимости соответствующих точно определенных формаль-ных версий математической истины. В популярных (и огрубленных)изложениях работ Гёделя редко удается передать всю сложность этойкартины, поскольку в таких изложения невозможно передать богатст-во ее математического (в отличие от эпистемологического) контекста.

Именно это богатство восхищает нас больше всего.

. Истина для работающего математика

Афоризм Бурбаки из начала предыдущего раздела не означает, чтона протяжении двух тысячелетий все одинаково понимали, что та-кое доказательство. Более того, приводимая ниже цитата из докла-да А. Вейля на Амстердамском международном математическом кон-грессе года оставляет впечатление, что само понятие «строгого»доказательства появилось совсем незадолго, может быть даже как разв результате деятельности Бурбаки.

Строгость перестала рассматриваться как неудобное формаль-ное платье, которое надевают для официальных приемов и со


вздохом облегчения сбрасывают, придя домой. Теперь мы ужене спрашиваем, строго ли доказана теорема: мы спрашиваем,доказана она или нет [, c. ].

Увы, похоже, что желаемое здесь принималось за действительное.Понимание того, что такое доказательство и какова его роль в мате-матике, значительно разнится и в разные моменты индивидуальногоразвития математика, и в разные периоды социальной истории мате-матики.

Ниже я привожу подборку высказанных совсем недавно мнений(взятых из [] и []) шести активно работающих математиков. При-зываю читателя ознакомиться и со всей дискуссией: это весьма поучи-тельно. Сама дискуссия началась с появившегося в году письмаА. Джаффе и Ф. Квинна, озаглавленного «Теоретическая математи-ка: к культурному синтезу математики и теоретической физики».Авторы были обеспокоены ситуацией, сложившейся в очень актив-ном разделе математики, пограничном с математической физикой.Им представлялось, что распространение требований к строгости,принятых в физических рассуждениях (существенно более низких,чем в математике) отрицательно влияют на состояние современныхматематических исследований. При этом они полностью признавалиплодотворность взаимодействия математиков с физиками и предла-гали принять правила поведения, обязательные для всех игроков,в частности, правила признания академических заслуг. Слово «теоре-тический» в заголовке письма было употреблено в нетрадиционномсмысле, что не слишком удачно; авторы имели в виду смесь из спе-кулятивных рассуждений, примеров и результатов компьютерныхвычислений, в противоположность теоремам со сверкающими в фор-мулировках кванторами.

А. Когда я начинал учиться в аспирантуре в Беркли, мне былотрудно представить, как это я смогу «доказать» новую и интерес-ную теорему математики: я тогда и не понимал, что такое доказа-тельство.

Посещая семинары, читая статьи и беседуя с другими аспиран-тами, я постепенно начал понимать, в чем дело. В рамках каждогораздела математики есть некоторые теоремы и технические прие-мы, которые всем известны и всеми признаются. Когда ты пишешьстатью, ты ссылаешься на них без доказательства. Глядя на другиестатьи, ты видишь, на какие факты их авторы ссылаются без до-казательства и что за работы присутствуют в списках литературы.


От других людей ты получаешь какое-то представление о доказа-тельствах этих фактов. После этого ты можешь пользоваться темиже теоремами и ссылаться на те же работы. Совершенно не обя-зательно полностью прочитать книги и статьи, входящие в твойсписок литературы. Для многого из того, что всем известно, можетне существовать вообще никакого письменного источника. Покаматематики из данной области верят в то, что некая идея работо-способна, формальные письменные источники для нее не нужны.(У. Тэрстон, филдсовский медалист года –– [, с. ].)

Тэрстон красноречиво защищает ту точку зрения, что основнаяцель доказательства –– понимание и коммуникация, и что эффектив-нее всего она достигается в личных контактах. Его оппоненты отме-чают, в частности, что межпоколенческие контакты возможны толькочерез достаточно аккуратно написанные тексты и напоминают осудьбе итальянской алгебраической геометрии.

Б. Необходимо делать различие между современными спекуля-тивными текстами и теми статьями, написанными сто лет назад,которые сейчас мы рассматриваем как недостаточно строгие, нокоторые были абсолютно строгими по меркам своего времени.Пуанкаре в своих работах по «analysis situs» был строг настолько,насколько в то время это было возможно, и он заведомо не за-нимался сознательными бездоказательными рассуждениями. Приэтом я ни разу не замечал, чтобы современные математики назы-вали эти работы «небрежными» или «излишне теоретическими»(в смысле Джаффе и Квинна. –– Ю. М.). Когда в году молодойХегор в своей диссертации дерзко указал мэтру на его заблуж-дения, Пуанкаре, назвавший работу Хегора «tres remarquable» ,признал свои ошибки и исправил их. Напротив, в своей работе года об отображениях кольца (доказательство основного ре-зультата было позднее получено Биркгофом) Пуанкаре, ссылаясьна возраст, извинялся за то, что публикует гипотезу. (М. Хирш ––[, с. ].)

В. Интуиция –– это прекрасно, но чтобы попасть в математиче-ский рай, требуется много больше. ⟨…⟩ В теологических терминахможно сказать, что мы спасаемся не одной только верой, но веройи делами. Благодаря физике в математике появилось множествоизящных идей и новых проектов, но математикам незачем копи-

Весьма замечательной (фр.).


ровать стиль работы физиков-экспериментаторов. Математика ос-новывается на доказательстве, и доказательство пребудет вовеки.(С. Маклейн –– [, c. ––].)

Г. Филипп Андерсон отзывается о математической строгостикак о «неуместной и невозможной». Я бы смягчил удар, сказав, чтоона не по делу и что от сути дела она, как правило, отвлекает, ––даже в тех случаях, когда она возможна. (Б. Мандельброт –– [,с. ].)

Ответ Мандельброта полон яростной критики не только абстракт-ного понятия «строгое доказательство», но и значительной частиамериканского математического сообщества («математиков с Чарльз-стрит», как он их называет), которое, по мнению автора, тоталитар-но, сосредоточено на должностях и званиях и стремится изолироватьсвободомыслящих исследователей.

Д. До года я жил в математической среде, состоящей в ос-новном из бурбакистов; даже тогда, когда я бывал нестрог, эти лю-ди –– А. Картан, Ж.-П. Серр и потенциальный бурбакист Х. Уитни ––помогали мне поддерживать вполне приемлемый уровень строго-сти. Только после того, как в году я получил филдсовскую ме-даль, я дал волю своим вкусам, с известными результатами –– в ко-нечном счете катастрофическими. Более того, через несколько летпосле медали я стал коллегой Александра Гротендика по IHES, бла-годаря чему я стал рассматривать строгость как в высшей степе-ни маловажную часть математического мышления (Рене Том –– [,c. ].)

Ироничные слова Тома требуют внимательного прочтения. Какнадо понимать утверждение, что следование его вкусам привелов конечном счете к катастрофе? Как именно работа в одном инсти-туте с Гротендиком повлияла на томовское мышление? Посторон-ний читатель, возможно, так и не сможет понять, разделял Гротендиктомовские взгляды или все было как раз наоборот. Далее в том жетексте Том пишет, что математическая строгость (rigor) напоминаетему rigor mortis (трупное окоченение).

Е. Мне бывает трудно убедить студентов, которых зачастуюв математику привело то же, что и меня –– абстрактная красота

На этой улице расположен офис Американского математического общества.


и определенность, –– насколько важна кропотливая конкретная ра-бота с примерами. По-моему, количество математиков, задохнув-шихся от недостатка широты, превышает число тех, кого, напро-тив, сразил меч строгости. (К. Уленбек –– [, c. ].)

Я бы хотел подвести некоторые итоги, внеся при этом и свой вкладв общую сумятицу.

Во-первых, с индивидуальной точки зрения построение приемле-мых доказательств –– это умение, которым непросто овладеть. Чело-век, вынужденный делать что-то противоречащее его натуре, делаетэто с отвращением. Врожденное или благоприобретенное предпочте-ние, которое мы отдаем геометрическим рассуждениям или алгебра-ическим вычислениям, может предопределить нашу математическуюкарьеру. Когда мы философствуем, мы с неизбежностью рационали-зируем и обобщаем эти свои инстинктивные предпочтения; наше от-ношение к проблеме строгости можно вывести из тех чувств радостиили неудовлетворенности, которые мы испытывали, сталкиваясь с те-ми интеллектуальными вызовами, которые ставит перед нами нашапрофессия.

Во-вторых, в социальном аспекте надо отметить, что нам прихо-дится полагаться на своих современников и предшественников дажепри написании совершенно строгого доказательства. Авторитет в ма-тематике играет двоякую роль: мы получаем от своих отцов и совре-менников некоторую систему ценностей (какие вопросы стоит зада-вать, в каких областях стоит работать, какие задачи стоит решать),и кроме того, мы полагаемся на надежность опубликованных и при-нятых математическим сообществом доказательств и рассуждений.Здесь нет ничего абсолютного, но неабсолютность никоим образомне отменяет важности.

В-третьих, с эпистемологической точки зрения следует отметить,что все те из нас, кто когда-либо об этом задумывался, хорошо знают,что такое строгое доказательство. У строгого доказательства имеетсяидеальное представление, структура которого была разработана спе-циалистами по математической логике в XX веке, но само по себестрогое доказательство разве что большей подробностью отличаетсяот доказательств в понимании Евклида (и в этом отношении Бурба-ки совершенно прав). Идеальное представление доказательства –– этовоображаемый текст, в котором наша теорема шаг за шагом выво-дится из аксиом, причем список аксиом и правил вывода фиксированзаранее –– скажем, в какой-нибудь из версий аксиоматической теориимножеств.


Если этот идеальный образ доказательства вызывает у вас реши-тельный протест, или если, по крайней мере, вы хотите быть реали-стом, то вы можете сказать (и скажете), что идеал совершенно недо-стижим из-за фантастической длины даже простейших формальныхвыводов, а также из-за того, что чем ближе изложение к формально-му доказательству, тем труднее его проверять. Более того, коль скороформальные выводы стремятся к тому, чтобы освободиться от любыхостатков смысла (в противном случае они недостаточно формальны),мы приходим к тому, что в итоге пропадает и сам смысл.

С другой стороны, если идеальный образ доказательства вас вдох-новляет, или если вы, опять-таки, хотите быть реалистом, то вы со-гласитесь с тем, что математика по самой своей сути требует постоян-ного поддержания существующих стандартов строгости. Занимаемсяли мы математической поддержкой крупного технического проектанаподобие высадки на Луне, или же мы просто удовлетворяем есте-ственное желание знать, какие утверждения верны, а какие нет, ––так или иначе, в конечном счете нам приходиться обращаться какк критерию к идеалу математического доказательства.

Даже использование математики «в нарративной моде», как изящ-но выразился Хирш, не является исключением, поскольку такое из-ложение все равно состоит из фрагментов «настоящей» математики,смонтированных по нормам нарратива.

Предположим, автор почувствовал, что история, которую онхочет рассказать, лучше всего выражается на языке математики.Чтобы построить связное изложение, не затягивая дела надолгоили до бесконечности, что может статься, если начать следитьза строгостью, он прибегает к каким-то недоказанным предпо-ложениям, бездоказательным рассуждениям или утверждениям,принимаемым на веру: «Чтобы двигаться дальше, предположим,что этот ряд сходится (случайные величины независимы, равнове-сие устойчиво, определитель отличен от нуля...)». В таких случаяхзачастую неважно, можно ли сделать математические утвержде-ния строгими, поскольку цель автора состоит лишь в том, чтобыубедить читателя в приемлемости или пригодности приводимогоим описания поведения какой-то системы, относящейся к реаль-ному миру. Математика –– это язык, полный тонких и полезныхметафор. Проверка утверждений осуществляется эксперименталь-но (вполне возможно, что эксперимент будет компьютерным);цель изложения может состоять в предложении поставить какой-то конкретный эксперимент. Результаты такого нарратива будут


не математическими, но это будет новое описание реальности(реальной реальности). (М. Хирш –– [, c. ––].)

Прекрасный недавний пример такого математического наррати-ва –– доклад Д. Мамфорда на первом Европейском математическомконгрессе []. По поводу математики как метафоры см. [].

. Материалы к обсуждению: три примераВ этом параграфе я приведу три примера, связанных с нашей те-

мой: гёделевское доказательство существования Бога (), историяо процессоре «Пентиум» с ошибкой () и результат Чайтина (и ранее), согласно которому у совершенно строго и единообразно по-строенной последовательности математических вопросов может по-лучиться «совершенно случайная» последовательность ответов. Привсех своих различиях, эти примеры все представляют собой человече-ские попытки заглянуть в бесконечность с помощью конечных линг-вистических средств –– будь то бесконечность Бога, действительныхчисел или самой математики.

Предоставляем читателю решить самостоятельно, какие мораль-ные уроки можно (если можно) извлечь из этих примеров.

Гёделевское онтологическое доказательство. В третьем томесобрания сочинений Гёделя, недавно выпущенном издательствомOxford University Press, содержится заметка, датированная го-дом. Она представляет собой формальное рассуждение, призванноедоказать существование Бога как воплощения всех положительныхсвойств. В предисловии, написанном Р. М. Адамсом ([, с. ––]),это доказательство рассматривается в исторической перспективе исравнивается, в частности, с доказательством Лейбница; автор пре-дисловия обсуждает возможное место этого доказательства в бого-словии.

Само по себе доказательство представляет собой страницу формулна языке модальной логики (с использованием, наряду с привычнойсимволикой, кванторов необходимости и возможности). Оно подраз-деляется на пять аксиом и две теоремы. Для удобства читателей дока-зательство представлено на отдельной странице.

Что вычисляет компьютер, или истина в рекламе. Январскийвыпуск журнала «SIAM news» за год открывался статьей под на-званием «Повесть о двух числах». Вот как она начинается.

Это повесть о двух числах и о том, как они через Интернетпопали в праздничный день на первые страницы главных газет,к стыду главного производителя процессоров.


Ontological proof(*)

Feb. ,

P(ϕ) ϕ is positive (or ϕ∈ P).Axiom . P(ϕ).P(ψ)⊃ P(ϕ.ψ) a.Axiom . P(ϕ)∨ P(∼ϕ) b.Definition . G(x)≡ (ϕ)[P(ϕ)⊃ϕ(x)] (God)Definition . ϕ Ess . x≡ (ψ)[ψ(x)⊃N( y)[ϕ( y)⊃ψ( y)]]. (Essence of x) c

P ⊃N q = N(p ⊃ q) Necessity

Axiom .P(ϕ)⊃NP(ϕ),

∼ P(ϕ)⊃N∼P(ϕ)because it follows from the nature of the property. *Theorem. G(x)⊃G Ess . x.Definition. E(x)≡ (ϕ)[ϕEss x⊃N(∃x)ϕ(x)]. (necessary Existence)Axiom . P(E)

Theorem. G(x)⊃N(∃y)G( y);hence (∃x)(G(x))⊃N(∃y)G( y)

hence M(∃x)G(x)⊃MN(∃y)G( y). (M=possibility)M(∃x)G(x)⊃N(∃y)G( y).

M(∃x)G(x) means the system of all positive properties is compatible. Thisis true because of:Axiom . P(ϕ).ϕ⊃N ψ :⊃ P(ψ), which implies

¨

x = x is positive

x 6= x is negative.

a And for any number of summands.b Exclusive or.c Any two essences of x are necessarily equivalent.

* Гёдель дал номер «» двум разным аксиомам; в собрании сочинений нумерацияаксиом изменена.

Гёделевское онтологическое доказательство. В кн.: Kurt Godel. Collected Works.Vol. III: Unpublished Essyas and Lectures. Oxford University Press,


Суть дела была в следующем. Выяснилось, что только что появив-шийся на рынке новый процессор корпорации Intel содержит ошибкув команде деления с плавающей точкой, в результате которой, напри-мер, при вычислении числа

r = 4 195 835− 4 195 835

3 145 727·3 145 727

получается ответ r=256 вместо правильного r=0.Заметим, что ничего полностью неожиданного в этом не бы-

ло. В любом компьютере так называемая арифметика с плаваю-щей точкой запрограммирована таким образом, что она система-тически дает неверные ответы (за счет так называемых ошибококругления). В описываемом случае всеобщее возмущение (отча-сти искусственно подогретое) было вызвано тем, что в некоторыхслучаях ошибка оказывалась больше, чем обещал производитель (до-стигалась «одинарная точность» вместо разрекламированной двой-ной).

Можно в принципе запрограммировать абсолютно точные вычис-ления с рациональными числами произвольной величины (и длянекоторых специальных целей так действительно делают), но это тре-бует большого объема ресурсов компьютера, а в некоторых случаях ––и специальных устройств ввода-вывода. Реализация идеальной ма-шины Тьюринга на практике очень неудобна, и при проектированииреальных компьютеров никто не ставит себе задачу эту реализациюоблегчить.

Нетрудно представить себе компьютеризированную систему при-нятия решений, являющуюся неустойчивой к маленьким ошибкамвычислений. Например, таковы приложения компьютеров к военнымзадачам или к анализу ситуации на бирже. Вот еще один пример.

Проведенное недавно в США исследование сексуального поведе-ния, целью которого была подготовка эпидемиологических моделейраспространения СПИДа, обошло вниманием 3 % американцев, неживущих в домах или квартирах (т. е. находящихся в тюрьмах, в при-ютах для бездомных или живущих на улице). Один из критиков этогоисследования (Lewontin R. C. New York Review of Books. April )резонно замечает следующее.

Хотя авторы не обсуждают (а может быть, и не сознают) этупроблему, надо заметить, что предсказания математических и ком-пьютерных моделей распространения эпидемий, учитывающихреальную сложность проблемы, часто оказываются очень чув-ствительными к значениям переменных. Очень малые изменения


начальных данных могут повлечь коренное изменение выводао том, остановится эпидемия или же начнет катастрофическиразрастаться. Поэтому планирование противоэпидемических ме-роприятий, основанное на неточных данных, может принестибольше вреда, чем полное незнание.

Проблема понимания того, что, собственно говоря, вычисляеткомпьютер, становится все более важной и в связи с распространени-ем математических доказательств, полученных с помощью компью-тера. Процитируем еще раз Хирша [, c. ].

Оскар Ланфорд отмечает, что для того, чтобы обосновать при-менение компьютерного вычисления как составной части доказа-тельства (как у него в первом доказательстве гипотезы Фейгенба-ума о каскаде), необходимо не только доказывать, что программаправильна (часто ли это делается?), но и понимать, как в компью-тере происходит округление и как работает операционная систе-ма, в том числе система разделения времени.

Случайность математической истины. После открытия А. Н. Кол-могоровым, Р. Соломоновым и Г. Чайтином понятия сложности и ос-нованного на нем нового определения случайности Чайтин [] по-строил пример экспоненциального диофантова уравнения

F(t; x1, …, xn) = 0,

обладающего следующим свойством. Положим ǫ(t0) = 0 (соответ-ственно, 1), если при t= t0 это уравнение имеет конечное (соответ-ственно, бесконечное) количество решений в целых положительныхчислах xi. Так вот, последовательность ǫ(1), ǫ(2), ǫ(3), … являет-ся случайной. (Чайтин написал также программу, генерирующуювыражение F. Уравнение занимает 200 страниц и содержит около17 000 неизвестных.)

Это воистину тонкая математическая конструкция, использую-щая, помимо прочего, представление рекурсивно перечислимых мно-жеств по Дэвису––Патнэму––Робинсон––Матиясевичу. С точки зренияэпистемологии тут важно то, что случайность можно определить безовсяких отсылок к физической реальности (осмысленность этого опре-деления оправдывается тем, что у «математической» случайностиимеются все свойства случайности «физической») таким образом,что необходимость провести бесконечный поиск для решения после-довательности задач приводит к ответам, случайным в техническомсмысле.


Некоторым трудно себе представить, что в столь жестко опреде-ленной науке, как элементарная арифметика, могут возникать такиеявления. Заметим, что «хаос» в духе Мандельброта представляет со-бой значительно менее изощренную модель случайного поведения.

Литература. Chaitin G. Information, randomness and incompleteness. Papers on algorith-

mic information theory. Singapore: World scientific, .. Godel K. Ontological proof // Kurt Godel: collected works / Ed. S. Fe-

ferman, J. W. Dawson, Jr., S. C. Kleene, G. H. Moore, R. M. Soloway, andJ. van Heĳenoort. Vol. . New York: Oxford University Press, . P. .

. Hildebrandt S. Wahrheit und Wert mathematischer Erkenntnis. Carl Friedrichvon Siemens Stiftung. Munchen, .

. Jaffe A., Quinn F. Theoretical mathematics: toward a cultural synthesis ofmathematics and theoretical physics // Bull. Amer. Math. Soc. . Vol. .P. ––.

. Manin Yu. Mathematics as metaphor // Proceedings of the InternationalCongress of Mathematicians. Vol. . Tokio: Mathematical Society of Japan andSpringer-Verlag, . P. ––. (См. перевод в наст. изд.)

. Mumford D. Pattern theory: a unifying perspective // First European Congressof Mathematics (Paris ). Vol. . Basel: Birkhauser, . P. ––.

. Responses to ‘Theoretical mathematics etc.’ by A. Jaffe and F. Quinn // Bull.Amer. Math. Soc. . Vol. . P. ––.

. Weil A. Collected papers. Berlin: Springer-Verlag, . Vol. .

Теорема Геделя

. Введение

Математика XX века не пользуется популярностью: школьное итехническое образование просто не успевает до нее добраться. Срединемногих ее достижений, известных более широко хотя бы пона-слышке, первенство принадлежит, вероятно, теореме Геделя. Авторукак-то попалось упоминание о ней в современном американскомромане.

Речь идет о так называемой теореме о неполноте арифметики,опубликованной -летним австрийцем Куртом Гёделем в году.

Строго говоря, эта теорема является «высоко техническим» утвер-ждением о специальном и весьма сложном комбинаторном объекте ––формальном языке арифметики первого порядка. Однако и форму-лировка, и доказательство Гёделя допускают целый спектр расшири-тельных толкований, которым и определяется общефилософское зна-чение результата.

В любой творческой деятельности человека просматриваются двакомпонента –– систематический и интуитивный, «кухня» и «озаре-ние». Математика доставляет непревзойденные образцы системати-ческой работы ума, поразительные по сложности архитектуры дедук-тивные построения, исходящие из минимума посылок и, после длин-ной вязи умозаключений, венчающиеся важными выводами. Успехиматематики и математизированных областей знания приводили мно-гих глубоких мыслителей к надежде на существование несколькихуниверсальных законов, из которых все остальные истины могутбыть выведены чисто теоретически. В европейской традиции этинадежды связаны с именами Лейбница и Декарта. До сих пор ихпродолжают высказывать некоторые физики, задумывающиеся надструктурой наших знаний о природе. После работы Гёделя, однако,мы можем быть уверенными в беспочвенности этих надежд. Еслидаже оставить в стороне вопрос, насколько сложен мир, мы знаем,что метод дедуктивных выводов недостаточно мощен. Его не хватаетдаже на то, чтобы вывести из конечного числа принципов все истин-

Впервые опубликовано: Природа. . .

Тåîðåìà Гåäåëÿ

ные утверждения о целых числах, формулируемые на языке школьнойалгебры: таков смысл теоремы Гёделя.

Это осознание глубокой ограниченности дедуктивных рассужде-ний и вообще «механических» методов поиска истины стало особенноактуальным в эпоху экспансии ЭВМ.

Изложенная точка зрения на теорему Гёделя дает основание счи-тать ее существенным вкладом естественных наук в фонд гуманитар-ных. По значению и глубине с ним можно сравнивать, пожалуй, толь-ко анализ квантовомеханических представлений о «дополнительно-сти» и «неопределенности», распространенный Нильсом Бором дале-ко за пределы физики микромира. Не исключено, что оба этих кругаидей –– логики и квантовой механики –– в применении к теории по-знания имеют глубинную связь. Дело в том, что «принципы запрета»Гёделя относятся к строго детерминированным процессам рассужде-ния, тогда как квантовая механика как раз очерчивает границы наив-ного детерминизма. Вероятно, работа мозга проходит вне этих границ.

В этой статье предпринята попытка доступно изложить главныеидеи и конструкции, связанные с теоремой Гёделя. Мы начинаемпо возможности с неформального описания всего круга основныхпонятий. Фрагменты более технического характера при желании могутбыть опущены.

. Основные понятия I: Язык

В этом и следующем разделах описаны основные определения,необходимые для формулировки и понимания теоремы Гёделя. Слова,которыми мы оперируем здесь, допускают разные уровни терми-нологической определенности. Лишь начиная с некоторой степениуточнения они могут войти в настоящий математический текст. Кое-где мы эту степень будем указывать.

Язык. Мы будем понимать под (формальным) языком L заданиенекоторого конечного алфавита и правил образования текстов –– по-следовательностей букв этого алфавита, которые обладают в системеязыка L синтаксической правильностью и осмысленностью. (Разли-чие между последними двумя понятиями, важное для лингвистикиестественных языков, в наших моделях отсутствует.)

Основной пример, который должен представлять себе читатель, ––язык элементарной арифметики LAr. Опишем его на двух уровнях.

Первый уровень. Алфавит LAr включает: буквы русского и ла-тинского шрифтов с индексами, цифры, скобки, знаки арифметиче-ских операций: + (сложение); ·, или × (умножение); ↑ (возвышение


в степень: в «линейном» тексте лучше писать a ↑ b, чем ab); = (знакравенства). Типичный текст на LAr состоит из смеси обычных формулшкольной арифметики и алгебры и минимума русской лексики, необ-ходимого для выражения логических понятий (слов-связок «если...,то», «и», «или», «не»; слов-кванторов «для всех» и «существует» и ихсинонимов). Текст должен быть организован по правилам, принятым встандартном математическом жаргоне. Примеры текстов на языке LAr:

таблица умножения;формула (x+ y)2

= x2+2xy+ y2 (точнее, (x+ y) · (x+ y)= x · x+

+2 · x · y+ y · y);формулы 0= 1 или 2×2= 5 –– они хотя и не истинны, но осмыс-ленны (см. ниже).

Латинские буквы означают неизвестные или переменные, которыемогут принимать значения во множестве неотрицательных целых чи-сел 0, 1, 2, …

Продемонстрируем некоторые особенности языка LAr на примереследующего более сложного текста:

для всех x существует y и существует z( y = x+ z и если y = u · v, то u = 1 или u = y).

Это –– теорема Евклида о бесконечности множества простых чи-сел. Действительно, утверждение «если y = u · v, то u= 1 или u= y»означает в области целых чисел, что y = 1 или y –– простое число.Утверждение «существует z ( y = x+ z)» означает, что y ¾ x. Все вме-сте: «есть простые числа ( y), большие любого наперед заданногочисла (x)». Скобки стоят вместо слов «такие, что» или чего-нибудьи этом роде.

Околичности выражения связаны с желанием экономить на спис-ке элементарной лексики: нет смысла включать в него термин «про-стое число», если его можно заменить выражением, синтезирован-ным из более элементарных.

Этот уровень описания языка арифметики достаточен для пони-мания последующих качественных объяснений теоремы Гёделя. Чи-татель с большей математической подготовкой сможет пользоватьсявторым уровнем, который пригоден уже для точных формулировоки доказательств. Мы отмечаем звездочками в начале и конце фраг-менты статьи, которые можно опустить без ущерба для пониманиядальнейшего.

*Второй уровень. Опишем так называемый формальный языкарифметики по Шмульяну SAr.


Алфавит SAr состоит из девяти знаков: x (переменная); ′ (штрихдля формирования любого числа разных переменных x, x′, x′′, x′′′, … );· (умножение); ↑ (возведение в степень);= (равенство); ↓ (логическаясвязка «конъюнкция отрицаний»); (, ) (открывающая и закрывающаяскобки); 1 (единица).

Тексты на SAr являются последовательностями выражений; выра-жения –– это некоторые последовательности знаков алфавита. Выраже-ния бывают трех типов: числовые термы, классовые термы и формулы.

Числовые термы –– это выражения x, x′, x′′, …; 1, 11, 111, … Крометого, если t1, t2 –– числовые термы, то (t1) · (t2) и (t1)↑ (t2) –– тоже чис-ловые термы. Интуитивно, числовые термы –– это всевозможные вы-ражения, которые можно получить из целых чисел (11 –– это 2, 111 ––это 3...) и переменных с помощью операций умножения и возвыше-ния в степень.

Формулы первого ранга. Это выражения вида t1 = t2; кроме то-го, если P1 и P2 –– две формулы, то (P1) ↓ (P2) –– «не P1 и не P2» ––тоже формула. Интуитивно, t1 = t2 –– это мультипликативно-экспо-ненциальные уравнения. Соединяя их связкой ↓ в разных сочета-ниях, мы можем, например, записать утверждение большой тео-ремы Ферма. Вот указания читателю, который пожелает это сде-лать. Удобно исходить из следующей полусловесной формулиров-ки: если x ¾ 3, то неверно, что x′x + x′′x = x′′′x . Посылку x ¾ 3 мож-но написать в SAr, например, так: (11) ↑ (x)= ((11) ↑ (111)) · (x′′′′)(т. е. 2x делится на 23

= 8). Само уравнение Ферма можно записатьтак: ((11) ↑ ((x′) ↑ (x))) · ((11) ↑ ((x′′) ↑ (x)))= (11) ↑ ((x′′′) ↑ (x)), т. е.2x ′x ·2x ′′x

=2x ′′′ x (это трюк, чтобы обойтись без знака +, которого нетв алфавите SAr).

Выражение «неверно, что P» передается в SAr как (P)↓ (P), а выра-жение «если P, то Q» как (((P) ↓ (Q)) ↓ (Q)) ↓ (((P) ↓ (Q)) ↓ (Q)) (сноваоколичности, связанные с экономией на основной лексике).

Классовые термы и формулы старших рангов. Если P –– какая-тоформула, т. е., интуитивно, высказывание, включающее переменныеи действия над ними, то выражение x′···′(P) называется классовымтермом. Его смысл: множество тех натуральных чисел, которые по-сле подстановки в P вместо x′···′ делают P истинной. Выражениеx′···′(P)1…1 есть формула с интуитивным смыслом: число 1…1 удо-влетворяет высказыванию P, будучи подставлено в P вместо x′···′

(читателю, добравшемуся до этого места, следует его отметить, мывоспользуемся им еще в одном фрагменте со звездочками).

Если T1, T2 –– два классовых терма, выражение T1=T2 есть формула.Этот прием заменяет квантор общности, которого нет в алфавите:


x(P1)= x(P2) означает «для всех x» (x удовлетворяет P1, если и толькоесли x удовлетворяет P2).

Если P1, P2 –– формулы, то (P1)↓ (P2) –– формула.Опытный читатель без труда превратит это описание в точное ре-

курсивное определение классовых термов и формул.*В наших объяснениях по поводу LAr и SAr полезно выявить еще

несколько понятий. Перечислим их.Синтаксис языка. Это –– правила образования текстов на языке.

Мы учимся родному языку, пользуясь им; изучаемые позже правилашкольной грамматики не полны, недостаточно явны и лишь несколь-ко нормализуют языковую практику. Полностью формализованныйязык, такой как SAr, наоборот, описывается полной и явной системойправил. Исследовать язык математически можно, разумеется, лишьпосле его достаточной формализации.

Семантика языка. Это –– правила выявления смысла текстов, т. е.правила их сопоставления с внеязыковой действительностью. Особен-ность всех языков математики состоит в том, что действительностьюдля них являются только человеческие идеи (о целых числах, множе-ствах, интегралах... в крайних обстоятельствах даже о королях и ка-пусте). Эти идеи первоначально могут быть выражены на различныхестественных языках, их фрагментах и жаргонах. Затем они могутмодифицироваться и разнообразно переформулироваться. В какой-тостепени верно поэтому, что смысл математического текста есть дру-гой текст. Более адекватная точка зрения состоит в том, что смыслматематического текста есть какая-то глубинная структура, стоящаяза ее поверхностными выражениями в разнообразных текстах. Этаглубинная структура, возможно, реализуется как некоторое взаимо-действие центральной нервной системы человека с Миром .

Метаязык. Это язык, на котором мы описываем язык-объект (какLAr, SAr), его синтаксис и семантику. В нашем случае метаязык ––фрагмент русского языка (диалект научно-популярной литературыс философскими претензиями). В рамках наших задач ни его синтак-сис, ни семантика не подлежат какому бы то ни было описанию.

Основные понятия II:Истинность, выразимость и полнота

Высказывания на языке LAr (и формулы языка SAr) могут быть ис-тинными, ложными или неопределенными (в отношении истинности).

Фон Нейман Дж. Вычислительная машина и мозг. Кибернетический сборник. М.:ИЛ, . .


Неопределенными могут быть только те высказывания, в которыхучаствуют свободные символы переменных (x, y, z, … ), т. е. не свя-занные словами «для всех...» или «существует». Высказывание «длявсех x (x = 2)» ложно, ибо есть натуральные числа, отличные от 2;высказывание «существует x (x+1000=2000)» истинно; высказыва-ние «x = 3» не определенно: оно станет определенным –– истиннымили ложным, –– если вместо «свободной» переменной x мы подставимв него то или иное (целое неотрицательное) число; высказывание«x= x» истинно, хотя переменная x в нем свободна.

Очень существенно, что все высказывания, не содержащие свобод-ных переменных, мы считаем заведомо определенными в отношенииистинности или ложности, даже если мы не в состоянии действитель-но решить, истинны они или ложны. Типичный пример –– гипотезаФерма; для всех x, y, z, n неверно, что (x + 1)n+3

+ ( y + 1)n+3=

= (z + 1)n+3. Согласно нашим представлениям, она либо истинна,либо ложна. Вера в это основана на абстракции возможности про-извести бесконечно много проверок числовых тождеств, которыеполучатся, если в уравнение Ферма подставлять всевозможные целыенеотрицательные числа вместо x, y, z, n.

Среди специалистов по основаниям математики существуют шко-лы, считающие такого рода абстракции неправомерными. Здесь мыне можем входить в этот вопрос.

Выразимость. Высказывания, не определенные в отношении ис-тинности, играют очень важную роль: они являются формулировка-ми свойств целых чисел (а также пар, троек, ... целых чисел).

Например, высказывание «существует x ( y= x+2) и для всех u, v(если y= uv, то u=1 или u= y)» содержит одну свободную перемен-ную y и означает: y –– простое число.

Таким образом, оно является записью свойства быть простым чис-лом на нашем языке.

Более общо: рассмотрим некоторое высказывание P(x, y, z), в ко-торое входят, скажем, ровно три свободных переменных x, y, z (и,возможно, какие-то связанные). Будем говорить, что тройка чисел об-ладает свойством, выраженным высказыванием P, если после подста-новки членов этой тройки вместо x, y, z соответственно мы получимистинное высказывание. (Заметим, что после подстановки оно станетопределенным.) Результат подстановки в P чисел 1, 3, 7, вместо x, y, zудобно обозначить P(1, 3, 7).

Таким образом, каждое высказывание, содержащее ровно n сво-бодных переменных, выражает некоторое свойство наборов из n чисел.


Существует другая, дополнительная, точка зрения на свойства.Любое свойство, скажем, целого числа однозначно определяется мно-жеством всех тех целых чисел, которые этим свойством обладают.Аналогично, любое свойство набора из n целых чисел есть множествовсех таких наборов, которые этим свойством обладают.

Мы часто будем отождествлять таким способом множества и свой-ства.

Разные высказывания языка могут выражать одно и то же свой-ство. Таковы пары «x=1» и «(x−1)2

=0»; «x=1 или x=2» и «не x=0и не существует y(x= y+2)».

Свойство целых чисел, или их наборов, для которого существуетвысказывание в языке LAr, выражающее это свойство, называется вы-разимым в языке. Аналогично, выразимым называется соответствую-щее множество. Можно показать, что в языках LAr и SAr выразимыодни и те же свойства.

Фундаментальным для всего дальнейшего является следующее об-стоятельство: для каждого мыслимого языка арифметики существу-ют свойства целых чисел, в нем не выразимые. Простейшее доказа-тельство этого основано на концепции мощности бесконечных сово-купностей, принадлежащей Георгу Кантору. Он установил, что мно-жество всех подмножеств целых чисел несчетно: его нельзя зануме-ровать целыми числами, оно гораздо больше. С другой стороны, всесвойства, выразимые в любом языке с конечным алфавитом, зануме-ровать можно, например, расположив в словарном порядке все тек-сты языка, отвечающие неопределенным высказываниям.

Мы не будем уточнять эти соображения, ибо дальше будут приве-дены конкретные примеры невыразимых свойств.

Совокупность свойств, которые можно выразить средствами дан-ного языка, –– его важнейшая характеристика. Она измеряет богат-ство, или выразительность, языка.

Вопрос –– является ли данное свойство целых чисел (выраженное,скажем, в метаязыке) выразимым в данном конкретном языке ариф-метики –– может оказаться высоконетривиальной математической за-дачей.

Дедуктивные средства языка. Любая задача элементарной тео-рии чисел может быть сформулирована как вопрос: является ли дан-ное высказывание P без свободных переменных на языке LAr (илиформула языка SAr) истинным?

Проанализируем, как такие задачи решаются.Если P вообще не содержит переменных, то вопрос сводится к про-

верке какого-то соотношения между конкретными целыми числами.


Мы можем считать, что они записаны в десятичной системе; школь-ные правила обращений с десятичными запятыми позволяют решить,выполняется это соотношение или нет.

Предположим теперь, что P имеет вид «для всех x (Q)», где в скоб-ках стоит высказывание Q с одной свободной переменной x. Напри-мер, «для всех x (0+ 1+ 2+…+ x = x(x + 1)/2)». Как мы уже гово-рили, абстрактный рецепт проверки истинности P состоит в подста-новке вместо x всевозможных целых чисел и проверке получившихсяв бесконечном количестве числовых соотношений. Разумеется, прак-тически так поступить нельзя.

Читатель, вероятно, знает, что истинность нашего конкретноговысказывания проверяется с помощью правила математической ин-дукции. На нашем языке LAr оно представляет собой бесконечноемножество высказываний, каждое из которых имеет следующий вид:

«если P(0) и если для всех x (если P(x), то P(x+1)), тодля всех x (P(x))».

(∗)

Здесь P должно пробегать всевозможные высказывания языка с однойсвободной переменной x.

Все высказывания (∗) мы считаем истинными, обосновывая ихс помощью обычного рассуждения в метаязыке.

Анализируя доказательство нашей формулы 1+…+ x= x(x+1)/2

или теоремы Евклида о бесконечности простых чисел, мы обнаружи-ваем, что его можно записать в виде текста в языке LAr. Этот текстпредставляет собой последовательность высказываний, каждое из ко-торых либо принадлежит к числу некоторого выбранного заранее на-бора аксиом, либо получается из этих аксиом и установленных ранееистинных высказываний применением одного из выбранного набораправил вывода.

Любое высказывание (∗) доставляет пример аксиомы –– в данномслучае аксиомы индукции применительно к утверждению P.

Примеры правил вывода, сформулированные в метаязыке:

а) если выведены высказывания «если P, то Q» и «P», то можно выве-сти высказывание «Q»;

б) если выведено высказывание «для всех x (P(x))», то можно вывестивысказывание «P(n)», где n –– любое целое неотрицательное число.

Аксиомы и правила вывода составляют дедуктивные средства языка.Любое высказывание, которое можно вывести из аксиом, приме-

няя правила вывода, называется выводимым (с помощью данных де-дуктивных средств).


Важнейшее требование, предъявляемое к аксиомам, состоит в том,чтобы они были истинными высказываниями. Проверку этой истин-ности мы вообще не проводим внутри языка. Истинность аксиом мо-жет аргументироваться в метаязыке апелляцией к наглядной очевид-ности или другими рассуждениями.

Важнейшее требование, предъявляемое к правилам вывода, состо-ит в том, чтобы в результате их применения к истинным высказыва-ниям получались только истинные высказывания.

Полнота. Анализируя математические тексты, можно выделитьиз них набор реально используемых аксиом и правил вывода. Это ––нетривиальная задача; четкое описание результатов такого анализабыло одним из высших достижений математической логики первойтрети XX века.

Оказалось, что существует конечно описываемый набор правилвывода (и родственных им так называемых логических аксиом),который исчерпывает логические средства, применяемые в любойобласти математики.

Есть все основания верить, что этот набор не может быть расши-рен: все типы рассуждений, которые люди готовы считать «логичны-ми» безотносительно к их содержанию, синтезируются по конечномунабору правил, которые все нам уже известны. Напротив, предпри-нимались многочисленные попытки сузить набор правил, например,запретить использование правила исключенного третьего к бесконеч-ным совокупностям, в частности в арифметике. Здесь не место обсуж-дать эти попытки.

Кроме логических аксиом и правил вывода, в набор дедуктивныхсредств всякого языка, ориентированного на ту или иную область ма-тематики, входят «специальные» аксиомы. Они выражают те сведе-ния об объектах теории, истинность которых мы постулируем, под-крепляя ее неформальными соображениями. В LAr к ним могут от-носиться обычные правила действия с целыми числами, коммутатив-ность и ассоциативность умножения и сложения, дистрибутивностьсложения относительно умножения, аксиомы индукции.

Дедуктивные средства языка могут быть определены также в неко-тором другом языке, скажем, в расширении данного языка. Напри-мер, факты арифметики могут доказываться, исходя из аксиом тео-рии множеств.

Дедуктивные средства не заданы однозначно: мы можем заранееограничить себя, разрешив использовать только аксиомы определен-ного типа. Развитие математики может привести также к обществен-


ному признанию совершенно новой аксиомы: так случилось с «транс-финитной индукцией» Кантора.

Важнейшее требование к дедуктивным средствам состоит в том,чтобы они были финитно описываемы. Равносильное условие: дол-жен существовать механический способ, позволяющий установить законечное число шагов для каждого текста, является ли он дедуктив-ным выводом (в частности, аксиомой) и если да, то какого именновысказывания. С изменением набора дедуктивных средств этот меха-нический способ может меняться, но для каждого набора он долженсуществовать.

Казалось естественным ожидать, что для любой математическойдисциплины, скажем арифметики, удастся также найти полный наборспециальных аксиом, или, более общо, дедуктивных средств, с помо-щью которых все истинные утверждения могли бы быть выведенылогически. Повторим, что он должен быть финитно описываем, илипорождаем конечным числом явных предписаний. Иначе мы моглибы просто сказать: назовем аксиомами все истинные высказыванияарифметики. Но этот рецепт не является финитным описанием: что-бы проверить истинность одного высказывании, мы должны, вообщеговоря, проделать бесконечно много действий.

По-видимому, такого рода надежды, более или менее явно сформу-лированные, питали такие умы, как Декарт, Лейбниц и в нашем векеГильберт.

Мы уже говорили во введении, что эти надежды рухнули.

Принципы неполноты

Теорема Гёделя. Полного финитно описываемого набора аксиомарифметики не существует.

Этот результат может быть строго доказан для SAr и проиллюстри-рован для LAr. Принципы его доказательства применимы вообщек любому достаточно выразительному языку математики, на какойбы круг идей он ни был ориентирован. Требование достаточнойвыразительности здесь означает просто чтобы на языке можно былоговорить также о целых числах и чтобы всякое их свойство, вырази-мое в LAr (или SAr), было выразимо и в этом языке. В остальном языкможет быть любым.

Смысл теоремы Гёделя можно выразить иначе: для порождениявсех истинных высказываний о целых числах нужно бесконечно мно-го новых идей. Творческий характер математики выявляется при та-ком понимании с особой силой. Ограниченность возможностей чистодедуктивных средств составляет другую сторону медали.


Принципы доказательства. Чтобы доказать теорему Гёделя, нужнона время отказаться от рассмотрения отдельных высказываний, и об-ратиться к исследованию свойств истинности и выводимости в целом.

С этой целью очень удобно перенумеровать все высказывания язы-ка L целыми числами от 0 до ∞ и говорить затем просто об их номе-рах. На нашем неформальном уровне представим себе, что все выска-зывания расположены в словарном порядке и перенумерованы под-ряд всеми (или некоторыми) целыми числами. Единственное суще-ственное свойство нумерации, которым мы будем пользоваться, со-стоит в том, чтобы по каждому целому числу можно было чисто ме-ханически установить, является ли оно номером высказывания и еслида, то какого; а по каждому высказыванию чисто механически устано-вить его номер. Словарный порядок этому условию, очевидно, удовле-творяет, если правила образования высказываний сформулированынастолько точно, чтобы задачу их порождения и синтаксического ана-лиза можно было поручить компьютеру. (Для LAr это не вполне так,что и будет главной причиной нестрогости последующих рассужде-ний.)

* Вот нумерация выражений в SAr, которой удобно пользовать-ся для доказательства теоремы Гёделя. Перенумеруем как-нибудь всесимволы алфавита SAr цифрами от 1 до 9, так, чтобы 1 получил но-мер 9. Чтобы получить номер конечной последовательности символовв SAr, заменим все эти символы соответствующими цифрами, про-чтем результат как десятичную запись и увеличим его на единицу. *

Фиксируем такую нумерацию высказываний языка; ее принято на-зывать нумерацией Гёделя.

Обозначим теперь буквой T множество номеров истинных вы-сказываний, а D –– множество номеров высказываний, выводимыхиз какой-нибудь финитно описываемой системы аксиом арифмети-ки, или, более общо, выводимых с помощью данных дедуктивныхсредств. Предполагается, что D содержится в T ; мы хотим доказать,что D строго меньше, чем T . Это следует из двух фундаментальныхпринципов:

а) множествоT невыразимо в языке LAr, если язык L достаточно богат;б) множество D всегда выразимо в языке LAr.

Поясним способы их доказательства.

Невыразимость истинности. Это –– теорема Тарского (), яв-ляющаяся вариантом одного промежуточного результата в первона-чальном рассуждении Гёделя.


Ее доказательство основано на крайне остроумной модификациипарадокса лжеца. Гёдель и Тарский показывают, что если в языкеарифметики фиксировано некоторое высказывание P(x) с одной сво-бодной переменной x, по нему можно построить высказывание QP

без свободных переменных, смысл которого в метаязыке можно вы-разить следующей фразой: QP утверждает, что номер QP не обладаетсвойством, выраженным P.

Теперь предположим, что P выражает множество T номеров ис-тинных высказываний, и придем к противоречию.

Действительно, высказывание QP определено и потому должнобыть либо истинным, либо ложным.

Если оно истинно, то истинно утверждение «номер QP не обладаетсвойством, выраженным P», т. е. «номер QP не принадлежит T», т. е.QP не истинно –– противоречие.

Если же QP ложно, то ложно утверждение «номер QP не обладаютсвойством, выраженным P», т. е. номер QP этим свойством обладает,тогда он лежит в T , и значит QP истинно –– снова противоречие!

Значит, T не выразимо никакой из формул P и невыразимо во-обще. Итак, вот содержательное разрешение старинного «парадоксалжеца»: истинность высказываний в языке средствами этого языканевыразима. (Поэты подозревали это давно.)

Читатель может заметить, что мы ведь как-то описали множе-ство T . Верно, но мы сделали это в метаязыке, а не в языке-объекте L.Если мы включим в язык-объект формализованный фрагмент ме-таязыка, необходимый для выражения T , множество высказыванийв новом языке L′ увеличится, увеличится и множество истинныхвысказываний T ′, и хотя часть его T окажется выразимой, все T ′

опять ускользнут от выражения.* Опишем, как строится по P высказывание QP в языке Шмульяна

SAr. Математик, знакомый с первоначальной трудной конструкциейГёделя (или другого языка), оценит изящество и простоту идеи Шму-льяна.

Пусть P(x) –– формула в языке SAr с одной свободной перемен-ной x. Рассмотрим сначала формулу PE(x) : P((x) · ((10) ↑ (x))), где10= 1…1 ( раз). Иными словами, PE(x) получается подстановкойв P(x) терма x10x вместо всех свободных вхождений x в P.

Пусть теперь Q –– любая конечная последовательность символовязыка SAr, n(Q) –– ее номер, по Шмульяну (см. выше). Будем гово-рить, что номер Q удовлетворяет P(x), если после подстановки еговместо всех свободных вхождений x в P получится истинная формула.Нетрудно проверить следующий факт:


Лемма. Номер Q удовлетворяет PE(x), если и только если номерQ1…1 (1 повторена n(Q) раз) удовлетворяет P(x).

Действительно, из определения n(Q) легко следует, что n(Q1…1)=

=n(Q) ·10n(Q) (здесь используется то обстоятельство, что n(1)=9).Рассмотрим теперь формулу S в SAr: x(PE)1…1 (1 повторена

n(x(PE)) раз). Выразим ее смысл в метаязыке, учтя, что x(PE) –– клас-совый терм, а 1 · 1 –– имя числа n(x(PE)). Поэтому имеем:

S истинна ⇔ номер x(PE) удовлетворяет PE ⇔ номер x(PE)1…1

(n(x(PE)) раз), т. е. S, удовлетворяет P.Первая эквивалентность здесь следует из описания семантики SAr

(см. пункт о классовых термах и формулах старших рангов), а вто-рая –– из доказанной выше леммы.

Неформально это означает, что формула S говорит: «мой номерудовлетворяет P». Чтобы построить QP , остается применить анало-гичную конструкцию к «не P», т. е. к (P)↓ (P) вместо P. *

Выразимость выводимости. Обсудим теперь вопрос, почему мно-жество номеров выводимых формул D выразимо в языке LAr или SAr.

Здесь есть два уровня трудности, зависящие от того, хотим ли мыограничиться фиксированным набором дедуктивных средств, кото-рый явно описан, или обосновать наше утверждение для всевозмож-ных «естественных» наборов.

Рассмотрим сначала некоторый фиксированный набор дедуктив-ных средств. В типичном случае он задается конечным числом правилпорождения всех аксиом и всех правил вывода. Основываясь на них,можно написать программу для компьютера, которая будет последо-вательно в подходящем порядке строить всевозможные выводимыевысказывания, вовлекая по очереди все новые и новые аксиомы, но-вые и новые правила вывода и увеличивая длины выводов. (Мы от-влекаемся от ограниченности памяти и времени действия реальныхкомпьютеров.)

Другой вариант такой программы может просто порождать подрядвсе конечные последовательности высказываний языка в словарномпорядке, затем синтаксически анализировать их, проверяя, являютсяли они выводами и какого именно высказывания, после чего вычис-лять номер этого высказывания.

Предположение о возможности написать такую программу по от-ношению к данному конкретному выбору дедуктивных средств можетбыть оправдано непосредственно. (Такие программы или их фрагмен-ты реально были составлены для некоторых простых языков геомет-рии и логики.)


Рассмотрим теперь множество пар целых чисел E: по определению(n, m) входит в это множество, если m есть номер высказывания, ис-тинность которого устанавливается n-м по порядку выводом, порож-денным нашей программой.

Множество пар целых чисел E выразимо в языках LAr, SAr про-сто потому, что машинная логика и арифметика целиком включеныв дедуктивные средства этих языков. Пусть высказывание ǫ(x, y) вы-ражает E. Тогда высказывание в LAr «существует x (ǫ(x, y))» (с однойсвободной переменной y) или эквивалентная ему формула SAr, вы-ражает D. Действительно, оно истинно в точности для тех значенийn переменной y, для которых можно найти значение m переменной xсо свойством: n есть номер высказывания, истинность которого уста-новлена m-м выводом. Так как программа порождает все выводы, на-ше утверждение оправдано.

Остается разобрать последний вопрос: в какой мере эта аргумен-тация проходит для любых наборов дедуктивных средств, которые мо-гут строить все большие и большие множества D?

Наше рассуждение показывает, что единственно существенноесвойство каждого из этих наборов –– возможность «механического»порождения всех выводов. Но здесь, разумеется, снова встает вопросо полноте: знаем ли мы уже все принципы механического порожде-ния или они могут пополняться? Можно было бы вообразить себесуществование таких процедур порождения выводов, что соответ-ствующее им множество E уже не могло бы быть выраженным в LAr.

Общепринятая точка зрения состоит в том, что нам уже известенполный набор элементарных средств последовательного порождениявыводов (или просто целых чисел), который не может быть расширен.Их комбинации дают все возможные полувычислимые функции (ча-стично рекурсивные). Арифметика и логика, заложенные в большиецифровые ЭВМ, достаточны для порождения всех выводов из любогофинитного набора посылок. Любое мыслимое предписание о чистомеханическом порождении выводов может быть превращено в про-грамму для такой машины. Если принять эту точку зрения, то при-дется признать, что выразимость выводимости установлена в самыхобщих предположениях о дедуктивных средствах.

Как далеко от выводимости до истинности?

Уточнить этот вопрос и в какой-то степени ответить на него по-могли исследования последних лет. Вот ответ в двух словах: оченьдалеко.


Точнее говоря, рассмотрим класс выразимых в LAr подмножествмножества целых чисел. Можно показать, что все они выражаютсяформулами типа:

Существуют такие x1, …, xm, что для всех y1, …, yn

существуют такие z1, …, zp, что для всех u1, …, uq

существуют... со свойством

P(x1, …, xm, y1, …, uq, …; x) = 0

и их отрицаниями.Здесь P –– многочлен с целыми коэффициентами от любого числа

переменных. Переменная x свободна, все остальные переменные,связанные кванторами ∃ («существует») и ∀ («для всех»); первыйи последний квантор может быть либо ∃ (как у нас), либо ∀, в крайнемслучае, кванторов может не быть вовсе (и связанных переменныхтоже).

Естественно пытаться классифицировать выразимые множествапо сложности формул, которые их выражают. Оказывается, что важ-ной мерой сложности служит число перемен кванторов перед симво-лом многочлена P. (Например, в последовательности ∃x1 x2∀y1 ∃z1z2z3

две перемены кванторов.) Обозначим через Ωn класс всех множеств,выразимых формулами с не более чем n переменами кванторов.Очевидно, Ω0¶Ω1¶Ω2¶… –– эти классы не убывают.

Около тридцати лет назад было доказано, что эти классы строговозрастают: в Ωn+1 всегда есть множества, не лежащие в Ωn. Их объ-

единение Ω∞=

∞⋃

n=0

Ωn есть класс всех арифметически выразимых мно-

жеств. «Лестница, ведущая вверх» Ω0<Ω1<Ω2<… называется ариф-метической иерархией.

Пусть теперь D –– множество номеров выводимых формул в неко-тором языке математики. Из предыдущего обсуждения мы знаем, чтоD∈Ω∞. На какой ступени лестницы может находиться D?

Совсем недавно на этот вопрос был получен поразительный от-вет: серия исследований, завершенная работами молодых советскихматематиков Ю.В.Матиясевича и Г.В.Чудновского, показала, что обя-зательно D∈Ω0. Точнее говоря, любое множество D выразимо форму-лой вида

∃x1…∃xn (P(x1, …, xn; x) = 0).

Таким образом, выводимость D находится на самой низкой сту-пеньке арифметической иерархии, тогда как истина T находится вы-ше всей лестницы Ω∞.


В следующем, последнем, разделе статьи мы укажем некоторыеверстовые столбы на бесконечно долгом пути от D до T .

Математическое творчествои «творческие множества»

В предыдущем изложении мы несколько модернизировали доказа-тельство Гёделя, чтобы более выпукло показать его основные пружи-ны. Однако первоначальный вариант содержит еще одну замечатель-ную идею, которую мы сейчас вкратце объясним.

Фиксируем некоторый формальный язык математики L, семанти-ку и средства дедукции в нем. Обозначим снова D множество номероввыводимых формул в некоторой фиксированной нумерации Гёделя.Построим явно формулу P, выражающую D. Для доказательства тео-ремы, что истинность T не выражается формулой P, мы пользовалисьследующей схемой рассуждений:

а) предположим, что истинность T выразима формулой P;б) тогда есть формула QP , говорящая «я не истинна». Не имея свобод-

ных переменных, она должна быть истинной или ложной;в) она не может быть ложной (по своей семантике);г) она не может быть истинной (по своей семантике);д) следовательно, истинность не выразима формулой P.

Это рассуждение Тарского: пункты в) и г) в нем эксплуатируют в ма-тематическом контексте «парадокс лжеца», а пункт д) его объясняет.

Но здесь никак не использовалось специфическое свойство P вы-ражать D; теорема Тарского применима ко всем P.

Гёдель рассуждал чуть-чуть иначе, и это маленькое отличие до-ставляет результат, замечательный для теории познания.

Доказательство Гёделя в параллельном изложении выглядит так:

а) выводимость D выразима формулой P;б) есть формула QP, говорящая «я не выводима». Не имея свободных

переменных, она должна быть либо истинной, либо ложной;в) она не может быть ложной (по своей семантике: иначе она должна

была быть выводимой и, следовательно, истинной);г) значит, она истинна;д) следовательно, она не выводима (по своей семантике).

Таким образом, Гёдель явно указывает формулу QP, которая истин-на, но не выводима с помощью данных дедуктивных средств! Инымисловами, его рассуждение не только демонстрирует неполноту это-


го набора дедуктивных средств, но также дает эффективный способпополнить этот набор новой аксиомой, истинность которой мы уста-новили метаязыковыми разговорами.

Расширив так множество D, мы получим большее множество D′,все еще не совпадающие с T ; к нему можно снова применить кон-струкцию Гёделя и т. д. Таким образом, мы получаем рецепт для про-ведения целой серии творческих актов –– пополнения арифметики но-выми аксиомами, истинность которых мы не доказываем, но угады-ваем. (Формализация этого свойства T привела к математическомупонятию «творческого множества», которое автор не намерен обсуж-дать подробнее, но вынес в заголовок раздела –– для рекламы.) На са-мом доле, разумеется, творческий акт здесь был совершен однократ-но –– самим Гёделем; и его содержание уникально.

Ясно, что как бы мы ни постарались финитно описать рецепт длябесконечного увеличения D таким способом, все T все равно окажет-ся неисчерпанным –– в силу той же теоремы о неполноте.

Однако можно постараться исчерпать T формулами гёделевскоготипа, отказавшись от надежды описать этот набор формул финитно.Очень красивый результат в этом направлении доказал около десятилет назад американский математик С. Феферман. Его изложением мыи закончим статью.

С. Феферман заметил, что есть много других способов добав-лять к уже имеющимся аксиомам невыводимые, но истинные фор-мулы. Истинность их устанавливается в метаязыке, как следствиенашей веры в истинность предыдущих аксиом (принятие которых,в свою очередь, было актом веры: вспомните аксиомы индукции).Точнее, пусть P(x) –– любая формула с одной свободной перемен-ной. С. Феферман показывает, как написать формулу AP без свобод-ных переменных, смысл которой в метаязыке может быть выражентак:

если для всех чисел n формулы P(n) выводимы из предыдущейсистемы аксиом, то ∀x P(x).

После этого оказывается, что добавление формул AP в бесконеч-ном количестве и всех выводов из них исчерпывает T .

Иными словами, начнем с принятия элементарных арифметиче-ских тождеств и аксиом индукции.

Тогда для постижения полной истины в арифметике нам остаетсяеще совершить трансфинитную последовательность актов веры в то,что предшествующие акты веры не были заблуждением.


Два эпилога

Старательно мы наблюдаем свет,Старательно людей мы наблюдаемИ чудеса постигнуть уповаем:Какой же плод науки долгих лет?Что, наконец, подсмотрят очи зорки?Что, наконец, поймет надменный умНа высоте всех опытов и дум,Что? точный смысл народной поговорки.

Е. Боратынский

Мысль изреченная есть ложь.Ф. Тютчев

Литература. Клини С. К. Введение в метаматематику. М.: ИЛ, .. Мальцев А. И. Алгоритмы и рекурсивные функции. М.: Наука, .. Мендельсон Э. Введение в математическую логику. М.: Наука, .. Нагель Э., Хьюмен Дж. Р. Теорема Гёделя. М.: Знание, .. Успенский В. А. Теорема Гёделя о неполноте в элементарном изложении //

Успехи математических наук. . Т. . Вып. . C. ––.

Георг Кантор и его наследие

Бог –– не геометр; скорее он непредсказуемый по-эт. (Геометры могут быть непредсказуемыми поэтами,так что здесь есть место для компромисса.)

В. Тасич [12] о романтизме XIX века

Введение

Великий метанарратив Георга Кантора –– теория множеств, –– со-зданный им практически в одиночку примерно за пятнадцать лет,больше напоминает произведение искусства, чем научную теорию.

Пользуясь слегка модернизированным языком, основные резуль-таты теории множеств можно резюмировать в нескольких строках.

Рассмотрим категорию множеств с произвольными отображения-ми в качестве морфизмов. Классы изоморфизма множеств называют-ся кардиналами. Кардиналы вполне упорядочены отношением «бытьподобъектом», и кардинал множества всех подмножеств множества Uстрого больше, чем кардинал самого U (что, разумеется, доказываетсяс помощью знаменитого диагонального процесса).

Это мотивирует введение другой категории –– категории вполнеупорядоченных множеств с монотонными отображениями в качествеморфизмов. Классы изоморфизма объектов этой категории называ-ются ординалами; они также вполне упорядочены. Гипотеза контину-ума представляет собой догадку относительно порядковой структурыначального сегмента ординалов.

Тем самым изысканный минимализм средств выражения исполь-зуется Кантором для достижения возвышенной цели: понимания бес-конечности, или даже скорей бесконечности бесконечностей. Встро-енная в теорию аутореферентность и мощное расширение области,доступной математической интуиции (принципы построения новыхмножеств), вносят дополнительные штрихи в эту картину художе-ственной смелости, соединенной с самоограничением.

Выступление на заседании Немецкого математического общества при награжде-нии Канторовской медалью. Впервые опубликовано в сборнике статей, посвященномпамяти А. Н. Тюрина: Algebraic Geometry: Methods, Relations, and Applications. ТрудыМИАН им. В. А. Стеклова. . Т. . С. ––. Перевод с английского С. М. Львовского.

Гåîðã Кàíòîð è åãî íàñëåäèå

Сам Кантор был бы категорически не согласен с этой точкой зре-ния: для него открытие иерархии бесконечностей было открытиембоговдохновенной Истины.

Математики XX века реагировали на создание Кантора очень по-разному, и удобнее всего разбираться в этой реакции, имея в видуразличные течения современной науки, философии и искусства .

Одно из главных открытий Кантора можно, несколько провокаци-онным образом, представить в следующем виде:

2x значительно больше, чем x.

Здесь под x можно понимать целое число, произвольный ординалили же произвольное множество (в последнем случае 2x обозначаетмножество всех подмножеств в x). Глубокая математика начинаетсяв тот момент, когда мы пытаемся уточнить это утверждение и выяс-нить, насколько 2x больше, чем x.

Если x –– первый бесконечный ординал, то это гипотеза конти-нуума.

Я выскажу соображения в пользу того тезиса, что для конечныхx этот вопрос при правильной постановке оказывается тесно связан-ным с универсальной NP-проблемой.

Затем я остановлюсь на различных вопросах, связанных с рольютеории множеств в современной математике и с рецепцией канторов-ских идей.

Аксиома выбора и P-NP проблема,или конечное как бесконечность для бедных

В году, в своем выступлении на Втором международном мате-матическом конгрессе в Париже, Гильберт поставил гипотезу конти-нуума первой в своем списке основных проблем математики. Этобыло одно из ярких событий в научной биографии Кантора, потра-тившего множество усилий на консолидацию немецкого и междуна-родного математического сообществ в единый организм, способныйпротивостоять группе влиятельных профессоров, настроенных про-тив теории множеств.

Тем не менее противостояние его теории бесконечного продолжа-лось, и это Кантора сильно задевало: под вопрос ставилась ценностьсозданной им новой математики.

В Оперном театре Галле ноября года состоялась премьера оперы ИнгомараГрюнауэра «Кантор, или измерение бесконечности».

На клеевскую премию в $106 за решение P-NP проблемы я не намекаю.


В году, на следующем международном конгрессе, Кёниг вы-ступил с докладом, в котором доказывалось, что континуум нельзявполне упорядочить; это делало гипотезу континуума бессмысленной.

Вот что по этому поводу пишет Даубен [, c. ]: «Кантор тяжелопереживал драматическую ситуацию со статьей Кёнига, доложеннойна Третьем международном математическом конгрессе в Гейдельбер-ге. Он был на конгрессе с двумя дочерьми, Эльзой и Анной-Марией,и доклад Кёнига был воспринят им как личное унижение».

Оказалось, однако, что в статье Кёнига содержится ошибка, а вско-ре Цермело обнародовал доказательство того, что всякое множествоможно вполне упорядочить –– доказательство, опирающееся на вве-денную им совсем новую аксиому выбора. По существу эта аксиомаутверждает, что исходя из всякого множества U можно построить но-вое множество, состоящее из пар (V , v), где V пробегает все непустыеподмножества в U , а v –– элемент множества V .

Век спустя математическое сообщество не представило спискапроблем на новое столетие, аналогичного списку проблем Гильберта.Возможно, изменился общий взгляд на математику: уже в гильбер-товском списке многие из проблем больше походили на исследова-тельские программы, чем на конкретные задачи, и похоже, что такойспособ восприятия работы математиков более реалистичен.

Тем не менее, по-прежнему остаются нерешенными нескольковажных конкретных задач; недавно семь из них были выделеныи снабжены ценниками. Я сейчас остановлюсь на одной из этих задач,а именно, на P-NP проблеме; я буду ее рассматривать как финитарнуютравестию цермеловской аксиомы выбора.

Пусть через Um = Zm2 обозначено множество m-битовых последо-

вательностей. Его подмножества удобно кодировать булевыми мно-гочленами. Пользуясь стандартным (и более общим) языком комму-тативной алгебры, можно отождествить всякое подмножество в Um

с множеством нулей единственной функции f ∈ Bm, где Bm –– алгебрабулевых многочленов –– определяется так:

Bm := Z2[x1, …, xm]/(x21+ x1, …, x2

m+ xm).

Стало быть, задача Цермело –– выбрать по элементу в каждом непу-стом подмножестве в U –– принимает следующий вид: для всякого бу-лева многочлена найти точку, в которой он обращается в нуль, илидоказать, что он тождественно равен единице. Более того, мы хотимрешить эту задачу за время, полиномиальное относительно числа би-тов в коде для f .


Это приводит к NP-полной («максимально трудной») задаче, еслизаписывать булевы многочлены, пользуясь следующей версией дизъ-юнктивной нормальной формы. Закодируем такую форму с помощьюсемейства

u = m; (S1, T1), …, (SN , TN ), m ∈ N; Si, Ti ⊂ 1, …, m.

Битовый размер семейства u равен mN , а соответствующий булев-ский многочлен есть

fu := 1+

N∏

i=1

1+∏

k∈Si

(1+ xk)∏

j∈Ti

x j

.

Такая запись позволяет быстро проверить, входит ли данный элементв соответствующее множество нулей. За это приходится платить:единственность представления данного многочлена f места не имеет,и более того, проверка равенства fu = fv становится вычислительносложной задачей.

В частности, даже следующее ослабление проблемы Цермело ока-зывается NP-полным и тем самым, на сегодняшний день, неприемле-мо сложным: проверить, отличен ли от константы данный булев-ский многочлен, заданный в дизъюнктивной нормальной форме.

Цермеловская аксиома выбора вызвала в свое время бурную дис-куссию математиков из разных стран, опубликованную в первомномере журнала «Mathematische Annalen» за год. Значительнаячасть дискуссии была сосредоточена на психологии математическо-го воображения и на проблеме надежности его плодов. Все времявозникали каверзные вопросы наподобие такого: «Откуда мы знаем,что в процессе рассуждения мы все время думаем об одном и томже множестве?». Если считать, что по крайней мере часть процессов,происходящих в нашем мозгу, можно адекватно промоделироватьконечными автоматами, то количественные оценки требуемых ре-сурсов, которые дает нам теория вычислимости за полиномиальноевремя, могут в какой-то момент оказаться полезными для нейрофи-зиологии, а следовательно, и для психологии.

Вот как в недавней статье в журнале «Science» рассказывается обэкспериментах, проливающих свет на природу представления мате-матических объектов в человеческом сознании и на психологическиекорни расхождений между, например, интуиционистами и формали-стами.

⟨…⟩ наши результаты дают основания надеяться, что можнобудет согласовать результаты самонаблюдений различных мате-


матиков, показав, что даже в такой ограниченной области, какэлементарная арифметика, разные задачи представляются в мозгуразными способами. Точная арифметика делает упор на лингви-стическом представлении данных; она использует левые нижниелобные доли, отвечающие также за построение ассоциаций междусловами. Символическая арифметика является культурным фе-номеном, специфическим для человека; ее развитие зависело отпостепенного совершенствования систем счисления. ⟨…⟩

Приближенная арифметика, напротив, не проявляет никакойзависимости от языка; она основывается в первую очередь наколичественном представлении, реализованном в визуально-про-странственных нейронных сетях левой и правой теменных до-лей ([, c. ]).

В следующем разделе мы обсудим подход к гипотезе континуума,который явным образом вдохновлен доминирующими визуально-пространственными нейронными сетями; предположительно, этотподход разумнее развивать в терминах вероятностных моделей, а нелогики или булевых автоматов.

Приложение: некоторые определения. Для полноты напомним чи-тателю основные определения, связанные с P-NP проблемой. Начнемс бесконечного конструктивного мира U в смысле []; например, этомогут быть натуральные числа N. Говорят, что подмножество E ⊂ Uпринадлежит классу P, если оно разрешимо, а его характеристиче-ская функция χE вычислима за полиномиальное время для всякогоx∈ E.

Далее, подмножество E⊂U принадлежит к классу NP, если оно яв-ляется полиномиально ограниченной проекцией некоторого множе-ства E′⊂U ×U , принадлежащего к классу P, т. е. если для некоторогомногочлена G имеем

u ∈ E ⇔

существует (u, v) ∈ E′, где |v | ¶ G(|u |)

(через |v | обозначен размер элемента v). В частности, P⊂NP.Неформально включение E ∈NP означает, что для всякого u∈ E су-

ществует полиномиально ограниченное доказательство этого вклю-чения (а именно, вычисление значения χE ′(u, v) для подходящего v);при этом нахождение такого доказательства (т. е. элемента v) наив-ным перебором всех v, удовлетворяющих условию |v |¶G(|u |), можетпотребовать экспоненциального времени.

Подмножество E ⊂ U называется NP-полным, если для любогодругого множества D ⊂ V , принадлежащего классу P, существует вы-


числимая за полиномиальное время функция f : V→U , для которойD= f −1(E), т. е. χD(v)=χE( f (v)).

Использованная здесь запись булевых многочленов объясняется имотивируется доказательством NP-полноты; см., например, [, § .].

Гипотеза континуума и случайные переменные

Мамфорд [, c. ] обсуждает следующее рассуждение КрисаФрейлинга [], призванное убедить в том, что гипотеза континуумаявляется «очевидно» ложной.

Два игрока независимо друг от друга бросают стрелы в ми-шень. Если гипотеза континуума верна, то точки P на поверхно-сти мишени можно вполне упорядочить таким образом, что длявсякой P множество точек Q, удовлетворяющих условию Q < P(обозначим его SP), является счетным. Предположим, что первыйи второй игроки попали в мишень в точках P1 и P2 соответственно.Либо P1 < P2, либо P2 < P1. Предположим, что выполнено первоесоотношение; тогда P1 лежит в счетном множестве SP2

. Посколькудва броска независимы, мы можем считать, что сначала бро-сал второй игрок, а затем первый. После броска второго игрокасчетное множество SP2

зафиксировано. Однако всякое счетноемножество измеримо и имеет меру нуль. То же рассуждение по-казывает, что вероятность того, что точка P2 попала в SP1

, такжеравна нулю. Стало быть, с вероятностью единица ни одно из этихдвух событий не произошло, и это противоречит утверждению,что мишень представляет собой первый несчетный кардинал! ⟨…⟩

Я полагаю, что это «доказательство» свидетельствует о том, чтоесли построить математику на основе, включающей в себя случай-ные переменные, то гипотеза континуума окажется ложной и мыизбавимся от одной из бессмысленных головоломок теории мно-жеств.

На самом деле работе Фрейлинга предшествовали работы Скот-та и Соловея, в которых был переведен на язык «логически случай-ных множеств» коэновский метод форсинга, использованный для до-казательства совместимости отрицания гипотезы континуума с акси-

Статья Мамфорда носит выразительное название «Заря эры стохастичности». Дэ-вид заверил меня, что это заглавие не имеет отношения к принадлежащей Джам-баттиста Вико теории исторических циклов, которая в пересказе Гарольда Блума []выглядит так. Джамбаттиста Вико в своей книге «Новая наука» описал историческийцикл, состоящий из трех фаз: теократической, аристократической и демократической.Затем следует хаос, а за ним –– новый теократический век.


омами Цермело––Френкеля. Эти работы показали, что случайные пе-ременные действительно можно внести в список основных понятийи что случайные переменные можно осмысленно использовать.

Сам Поль Коэн в конце своей книги высказал предположение, чтоточка зрения, согласно которой гипотеза континуума «очевидно лож-на», может стать общепринятой.

Однако же, если рассуждения Скотта и Соловея доказывают точ-ную теорему про формальный язык теории множеств, то рассуждениеФрейлинга апеллирует непосредственно к нашей физической интуи-ции; точнее всего его было бы назвать мысленным экспериментом.Этот эксперимент аналогичен по своей природе некоторым класси-ческим мысленным экспериментам в физике, в которых, например,выводятся различные утверждения про динамику из невозможностисоздания вечного двигателя.

Сама идея использования мысленного эксперимента взамен ло-гического вывода может рассматриваться как правополушарное со-ответствие левополушарным элементарным логическим операциям.Аналогичную роль играют хорошие метафоры. Когда мы сравниваемвозможности двух полушарий мозга, нас поражает то, что я в другомместе назвал врожденной слабостью метафор: метафоры противосто-ят попыткам построить систему на их основе. Можно только болееили менее искусно сочетать разные метафоры, но полученное в итогездание останется стоять или обрушится вне зависимости от того,истинно ли наше построение.

Физика дисциплинирует мысленные эксперименты, как поэзиядисциплинирует метафоры, но внутренняя дисциплина есть толькоу логики.

Из успешных мысленных экспериментов получаются математиче-ские истины, которые, будучи принятыми, окаменевают в аксиомы,а аксиомы запрягаются в ярмо логических выводов.

Основания и физика

Я начну этот раздел с краткого обсуждения того влияния, котороетеория множеств оказала на основания математики. Я не буду пони-мать слово «основания» ни как парафилософское увлечение вопроса-ми, относящимися к природе, доступности и надежности математи-ческой истины, ни как набор нормативных предписаний наподобиетех, что предлагают финитисты или формалисты.

Я буду понимать «основания математики» несколько размыто: какобщий термин для меняющегося со временем конгломерата правили принципов, используемых при организации уже существующего


или заново создающегося корпуса математических знаний соответ-ствующей эпохи. Иногда основания кодифицируются в авторитетномматематическом тексте (пример: «Начала» Евклида); в другие эпохиинтерес к основаниям проявляется в нервных вопросах к самомусебе о смысле бесконечно малых, или о точном соотношении междучислами и точками на действительной прямой, или, наконец, о при-роде алгоритмов. Как бы то ни было, основания математики в этомшироком смысле –– это нечто, имеющее значение для работающегоматематика, связанное с некоторыми основными принципами егоремесла, но при этом не составляющее сути его работы.

В XX веке все основные тенденции в основаниях математики свя-заны с канторовскими языком и интуицией множеств.

Хорошо разработанный проект Бурбаки отшлифовал идею, со-гласно которой всякий математический объект X (будь то группа,топологическое пространство, интеграл, формальный язык...) можнорассматривать как множество X с дополнительной структурой x. Этаидея появлялась во многих специализированных исследовательскихпроектах, от гильбертовских «Оснований геометрии» до колмогоров-ского отождествления теории вероятности с теорией меры.

Дополнительная структура x в паре X = (X , x) –– это элемент дру-гого множества Y , принадлежащего шкале, построенной из X с по-мощью стандартных операций и удовлетворяющей условиям (акси-омам), также формулируемым исключительно на языке теории мно-жеств. Более того, природа элементов множества X несущественна:биекция X→ X ′, отображающая x в x′, порождает изоморфный объ-ект X ′= (X ′, x′). Эта идея сыграла важнейшую роль в консолидациии прояснении математики; она привела к замечательным достиже-ниям далеко за пределами группы «Бурбаки». Поскольку она принятав тысячах математических статей, постольку можно попросту сказать,что язык математики –– это язык теории множеств.

Поскольку теория множеств очень легко формализуется, это поз-волило логикам выдвинуть и отстаивать тот тезис, что их норматив-ные принципы надлежит применять ко всей математике, а такжепереоценивать роль «парадоксов бесконечного» и теорем Гёделя онеполноте.

Тем не менее, этот факт сделал также возможным такие ауторефе-рентные акты, как включение метаматематики в математику, в фор-ме теории моделей. Теория моделей изучает специальные математи-ческие структуры –– формальные языки, –– рассматриваемые как ма-тематические объекты (множества со структурой: с законами компо-зиции, выделенными элементами и т. п.), а также их интерпретации


в множествах. Такие поразительные открытия, как гёделевская теоре-ма о неполноте арифметики, немного теряют в таинственности, кактолько приходит понимание, что это просто утверждения о том, чтонекоторая алгебраическая структура не является конечно порожден-ной относительно данных законов композиции.

Когда на следующем этапе исторического развития множествауступили место категориям, то сначала это выразилось лишь в том,что большее внимание стало уделяться морфизмам структур (в част-ности, изоморфизмам), нежели структурам как таковым. Да и ка-тегорию (малую) тоже, в конце концов, можно рассматривать какмножество со структурой. Тем не менее, благодаря в первую очередьработам Гротендика и его школы по основаниям алгебраическойгеометрии, категории выдвинулись на передний план. Вот неполныйсписок изменений в нашем понимании математических объектов,вызванных к жизни языком категорий. Напомним, что обычно объ-екты категории C множествами не являются, и их природа никак неуточняется: множество образуют только морфизмы HomC(X , Y ).

А. Объект X категории C можно отождествить с представляемымим функтором Y 7→ HomC(Y , X). Тем самым, если C –– малая катего-рия, то первоначально бесструктурное X становится множеством соструктурой. Эта внешняя, «социологическая», характеризация мате-матического объекта через взаимодействие с другими объектами тойже категории, а не через его внутреннюю структуру, оказалась чрез-вычайно полезной, например, во всех задачах, связанных с простран-ствами модулей в алгебраической геометрии.

Б. Коль скоро два изоморфных математических объекта облада-ют совершенно одинаковыми свойствами, не имеет значения, сколь-ко именно попарно изоморфных объектов содержится в данной ка-тегории C. Неформально говоря, если у категорий C и D «те же са-мые» классы изоморфных объектов и морфизмы между их представи-телями, то эти категории следует рассматривать как эквивалентные.Например, категория «всех» конечных множеств эквивалентна вся-кой категории конечных множеств, содержащей в точности по одномумножеству каждой мощности 0, 1, 2, 3, …

Такая «открытость» категории, рассматриваемой с точностью доэквивалентности, является существенной, например, для абстракт-ной теории вычислимости. Тезис Черча лучше всего понимать какпостулат, согласно которому существует открытая категория «кон-структивных миров» –– конечных или счетных множеств со структу-рой и вычислимых морфизмов между ними, –– в которой всякий бес-конечный объект изоморфен миру натуральных чисел, а морфизмы


соответствуют рекурсивным функциям (см. подробности в []). Суще-ствует очень много других интересных бесконечных конструктивныхмиров, задаваемых с помощью самых разнообразных внутреннихструктур: слова над данным алфавитом, конечные графы, машиныТьюринга и т. д. Все они, однако, изоморфны N ввиду существованиявычислимых нумераций.

В. Предыдущее замечание кладет также предел наивному взгля-ду, согласно которому категории «являются» специфическими мно-жествами со структурой. Поскольку естественно отождествлять кате-гории, связанные эквивалентностью (не обязательно биективной наобъектах), такой подход оказывается совершенно дезориентирующим.

Точнее говоря, постепенно вырисовывается следующая иерар-хическая картина. Сами категории являются объектами большейкатегории Cat, морфизмы в которой являются функторами, или «есте-ственными конструкциями» (наподобие теории (ко)гомологий то-пологических пространств). Однако функторы образуют не простомножество или класс: они сами являются объектами некоторой кате-гории. Аксиоматизируя эту ситуацию, мы приходим к понятию -ка-тегории, прототипом которой является Cat. Рассматривая точно также -категории, получаем -категории, и т. д.

В этой иерархии закодирован следующий взгляд на математи-ческие объекты. Между математическими объектами не бывает ра-венств –– только эквивалентности; а поскольку эквивалентности –– то-же математические объекты, между ними тоже не бывает равенств ––только эквивалентности следующего порядка, и т. д. ad infinitum.

Это видение, идущее от Гротендика, расширяет границы классиче-ской математики, в особенности алгебраической геометрии, причемв точности в том направлении, где она взаимодействует с современ-ной теоретической физикой.

С приходом категорий математическое сообщество излечилось отстраха перед классами (в смысле противопоставления «класс –– мно-жество»),и вообще перед «очень большими» совокупностями объектов.

Кроме того, при этом оказалось, что имеются осмысленные спо-собы думать о «всех» объектах данного типа и творчески пользовать-ся аутореферентностью вместо того, чтобы ее полностью запрещать.Это –– развитие старого противопоставления классов множествам, при-чем теперь мы считаем, что на каждом шаге получается структура,аналогичная, но не идентичная тем, что мы изучали на предыдущихшагах.

На мой взгляд, эти новые тенденции не поколебали здания, по-строенного Кантором, но лишь укрепили его.


Если канторовские идеи все-таки ушли на второй план, вместес увлеченностью парадоксами бесконечного и интуиционистскиминеврозами, то причиной этому было возобновление взаимодействияс физикой и превращение формальной логики в теоретическую ин-форматику.

Рождение квантовой механики радикально изменило наши пред-ставления о взаимосвязях между реальностью, ее теоретическимиописаниями и нашим восприятием. Стало ясно, что знаменитое канто-ровское определение множества ([]) представляло собой всего лишьрафинированный классический взгляд на материальный мир как нанечто, состоящее из попарно различных предметов, расположенныхв пространстве:

Unter einer ‘Menge’ verstehen wir jede Zusammenfassung M vonbestimmten wohlunterschiedenen Objekten m unserer Anschauungoder unseres Denkens (welche die ‘Elemente’ von M genannt werden)zu einem Ganzen.

Под «множеством» мы понимаем всякое соединение M опреде-ленных и различных объектов m (называемых «элементами» мно-жества M), существующих в нашем восприятии или в нашей мысли.

Как только выяснилось, что такой взгляд –– всего лишь приближе-ние к несравненно более сложному квантовому описанию, множестваперестали быть непосредственно укорененными в реальности. Насамом деле множества со структурой из современной математики, наи-более эффективно используемые в современной физике, –– это множе-ства не предметов, а возможностей. Например, фазовое пространствоклассической механической системы состоит из пар (координата,импульс), описывающих все возможные состояния системы; послеквантования оно заменяется на пространство комплексных амплитудвероятности: гильбертово пространство L2-функций от координатили что-нибудь еще в этом роде. Амплитуды –– это всевозможныеквантовые суперпозиции всевозможных классических состояний. Всеэто бесконечно далеко от множества предметов.

Более того, запросы квантовой механики сильно подняли у мате-матиков планку терпимости к неточной, но в высшей степени сти-мулирующей манере выражаться, принятой у физиков. Это привело,в частности, к тому, что фейнмановские интегралы по траекториямстали одной из наиболее активных областей исследования в тополо-гии и алгебраической геометрии, при том что математический статусфейнмановского интеграла не лучше, чем статус интеграла Римана довыхода кеплеровской «Стереометрии винных бочек».


Теоретическая информатика придала очень нужную практиче-скую важность предписаниям формальной логики, бывшим по су-ществу исключительно гигиеническими. Внедрение понятия «успехс высокой вероятностью» в исследование алгоритмической разре-шимости способствовало дальнейшему разрушению перегородок всознании, отделявших основания математики от собственно матема-тики.

Приложение: Кантор и физика. Было бы интересно изучить натур-философию Кантора более подробно. Согласно [], он несколько разнапрямую высказывался о возможных физических приложениях сво-ей теории.

Например, он доказал, что если из области в Rn удалить произ-вольное счетное плотное подмножество (например, все алгебраиче-ские точки), то любые две точки дополнения можно соединить непре-рывной кривой. Его интерпретация: непрерывное движение возмож-но даже в несплошных пространствах, так что «наше» пространствотакже может быть несплошным, поскольку идея непрерывности ос-нована на наблюдении непрерывного движения. Тем самым, надо пе-ресмотреть механику.

Выступая на заседании Общества германских естествоиспытате-лей и медиков в году во Фрейбурге, Кантор сказал: «Одна из важ-нейших проблем теории множеств ⟨…⟩ состоит в том, чтобы выяснитьмощности всех множеств, существующих в природе, насколько этовозможно» ([, c. ]).

Похоже, Кантор хотел, чтобы атомы (монады) были настоящимиточками, лишенными размера и существующими в природе в бес-конечном количестве. «Телесные монады» (массивные частицы? ––Ю. М.) должны существовать в счетном количестве. «Эфирные мона-ды» (безмассовые частицы? –– Ю. М.) должны иметь кардинал алеф-один.

Кода: математика и общество постмодерна

Уже при жизни Кантора рецепция его идей проходила так, словноэто было новое течение в искусстве, вроде импрессионизма или ато-нальности, а не новая научная теория. Отношение к ним было оченьсильно эмоционально окрашено; оно варьировалось от полного от-рицания («растлитель юношества» у Кронекера) до самых высокихпохвал (выступление Гильберта в защиту «канторовского рая»). Впро-чем, в обоих этих высказываниях присутствуют несколько снижаю-щие их градус нюансы, на которые обычно не обращают внимания:


Кронекер неявно уподобляет Кантора Сократу, а Гильберт с легкойиронией намекает на канторовскую убежденность в том, что теориямножеств вдохновлена Богом.

Если принять тезис, что созданная Бурбаки обширная конструк-ция является прямым потомком работ Кантора, то не удивляет, чтоее ждала так же судьба (см. []). Особенно яростным нападкамподверглась «новая математика» –– попытка реформировать матема-тическое образование, усилив акцент на точных определениях, ло-гике и теоретико-множественном языке, а не на математическихфактах, рисунках, примерах и неожиданностях.

Хочется рассмотреть эту реакцию в свете принадлежащего Лио-тару [] знаменитого определения общества постмодерна как «недо-верчивого к метанарративам» и замечания Тасича, что математикапринадлежит к «наиболее упорным метанарративам в западной куль-туре» [, с. ].

На это упорство и будем уповать.

Приложение: хроника жизни и математическихдостижений Кантора (по [] и [])

марта . В Санкт-Петербурге родился Георг Кантор.

. Семья переезжает в Германию (Висбаден).

––. Кантор учится в Цюрихе, Берлине, Геттингене и сновав Берлине.

––. Первые публикации по теории чисел (квадратичные фор-мы).

. Зашита диссертации в университете г. Галле.

––. Работы о сходимости тригонометрических рядов.

––. Существование различных бесконечностей, биекции R→→Rn, исследование взаимосвязей между непрерывностью и раз-мерностью.

ноября . В письме к Дедекинду Кантор спрашивает, возможнали биекция между N и R [, c. ]. Вскоре после Рождества –– от-крытие диагонального процесса [, c. и далее].

. Первая публикация по теории множеств.

––. Публикация серии статей «Uber unendliche lineare Punkt-mannigfaltigkeiten».

. Grundlagen einer allgemeinen Mannigfaltigkeitslehre. Ein mathema-tisch-philosophischer Versuch in der Lehre des Unendlichen.


. Первый нервный срыв, после успешной и счастливой поездкив Париж; депрессия длилась до осени [, c. ].

––. Контакты с католическими теологами; поддержка от нихи одиночество в Галле. «В начале года Миттаг-Леффлер, ка-жется, лишил Кантора последней надежды на понимание и под-держку в математическом сообществе» [, c. ].

сентября . Основание Немецкого математического общества;Кантор становится его первым председателем.

. Смерть Кронекера.

––. Beitrage zur Begrundung der transfiniten Mengenlehre –– по-следняя крупная математическая публикация Кантора.

. Первый Международный математический конгресс. Теория мно-жеств становится очень заметной.

. «Бурали-Форти был первым математиком, предавшим гласностипарадоксы трансфинитной теории множеств» []. Он провел рас-суждение, согласно которому все ординалы, если любые два из нихсравнимы, также образуют Ординал, который оказывается большесамого себя, и заключил, что не всякие два ординала сравнимы.Кантор, напротив, считал, что все ординалы не образуют ордина-ла, подобно тому как все множества не образуют множества.

. Госпитализация в нервной клинике г. Галле перед и после смер-ти сына Рудольфа.

––, зимний семестр. Госпитализация.

Октябрь –– июнь . Госпитализация.

Сентябрь –– июнь . Госпитализация.

. Празднование семидесятилетия Кантора (из-за войны –– обще-германское, но не международное).

Май –– января . Госпитализация; смерть Кантора в больницев Галле.

Литература. Bloom H. The western Canon. New York: Riverhead Books, .. Cantor G. Beitrage zur Begrundung der transfiniten Mengenlehre // Math.

Ann. . Bd. . S. ––; . Bd. . S. ––.. Dauben J. W. Georg Cantor: his mathematics and philosophy of the infinite.

Princeton, NJ: Princeton Univ. Press, .. Dehaene S., Spelke E., Pinet P., Stanescu R., Tsivkin S. Sources of mathematical

thinking: behavioral and brain-imaging evidence // Science. May .Vol. . P. ––.


. Freiling C. Axioms of symmetry: throwing darts at the real line // J. Symb.Logic. . Vol. . P. ––.

. Garey M., Johnson D. Computers and intractability: a guide to the theory ofNP-completeness. San-Francisco: W. H. Freeman and Co., .

. Lyotard J.-F. The postmodern condition: a report on knowledge. Minneapolis:University of Minneapolis Press, .

. Manin Yu. I. Classical computing, quantum computing, and Shor’s factoringalgorithm. Seminaire Bourbaki. (June ) // Asterisque. .Vol. . P. ––.

. Mashaal M. Bourbaki // Pour la Science. . .. Mumford D. The dawning of the age of stochasticity // Mathematics: Frontiers

and Perspectives . AMS, . P. ––.. Purkert W., Ilgauds H. J. Georg Cantor, ––. Basel––Boston––Stuttgart:

Birkhauser Verlag, .. Tasic V. Mathematics and the roots of postmodern thought. Oxford Univ. Press,

.

Математика как профессия и призвание

Математику, как и любую другую профессию, можно рассматри-вать с разных точек зрения; я начну с самой личной.

Когда мне было лет ––, я обнаружил, что азарт, взлеты радо-сти и горькие разочарования вызывает у меня такое неожиданное за-нятие, как чтение гранвилевского курса анализа в русском переводеЛузина, вышедшем в свет в году. Я нашел эту книжку на чердакеу моего приятеля. Помимо прочего стандартного материала, в ней со-держалось и небезызвестное эпсилон-дельта определение непрерыв-ной функции. Поборовшись с этим определением какое-то время (бы-ло жаркое крымское лето; я сидел под запыленной яблоней), я такразозлился, что выкопал неглубокую ямку, закопал книгу под деревоми с отвращением ушел. Через час начался дождь. Я ринулся назад к яб-лоне и откопал бедную книгу. Так я понял, что я ее все-таки люблю.

Вскоре я узнал, что математике учат в Московском университете;что у выдающихся математиков выходят собрания сочинений (мамаподарила мне «Избранные труды» И. М. Виноградова на день рожде-ния); что можно взять в библиотеке журнал «Известия АН СССР. Се-рия математическая» и попробовать прочитать то, что там написано(я на многих страницах конспектировал статью Ю. В. Линника о про-стых числах в арифметических прогрессиях). Чего я так и не пони-мал –– это почему, собственно, меня все это привлекало, но постепен-но я научился принимать это как должное и жить с этим.

Я полагаю, что это чувство глубокой личной вовлеченности, впер-вые пережитое в раннем возрасте, знакомо многим, и что оно являет-ся психологической основой, благодаря которой возникло и существу-ет сообщество математиков (музыкантов, философов, поэтов, свя-щенников...) –– поверх всех границ между племенами, государствамии эпохами. Однако же это чувство могло бы быть канализовано и вдругом направлении, если бы общество и история не обеспечиливыбор возможных карьер, ожидающих того, кто это чувство испыты-вает. (Что бы делали полвека назад все те, кто сейчас с таким азартом

Впервые опубликовано в сб.: Mathematics: Frontiers and Perspectives / Ed. byV. Arnold, M. Atiyah, P. Lax, B. Mazur. AMS, . P. ––. Перевод с английскогоС. М. Львовского.


пишут большие компьютерные программы? Дональд Кнут задал этотриторический вопрос в году на конференции памяти Мухаммедааль-Хорезми, от имени которого происходит слово «алгоритм».)

Похоже, что человечество как таковое, или его коллективное бес-сознательное, испытывает периодические приливы и отливы энтузи-азма по поводу различных видов деятельности. Мы, математики, яв-ляемся всего лишь частью еще большего сообщества ученых, занима-ющихся исследованиями, обучающих следующее поколение, сотруд-ничающих с промышленностью, медициной и бизнесом в деле созда-ния и сохранения инфраструктуры нашей цивилизации. Эта цивили-зация создавалась в климате, сформированном Просвещением, а за-тем промышленной революцией; теперь ее система ценностей размы-вается под влиянием «ньюэйджевских» разочарований (вероятно, этатенденция восходит еще к Шпенглеру). Науку сурово осуждают за ра-боту на войну, за разрушение окружающей среды, и вообще за то, чтоона вносит вклад в нелепые восторги –– в то время как надвигаетсякатастрофа.

Найти интеллектуальные аргументы против всего этого несложно,но слишком часто их никто не слышит. Не помогли же эти аргумен-ты Александру Гротендику –– одному из наиболее творческих матема-тиков XX века, который острее, чем большинство из нас, чувствовалопасности неконтролируемого развития.

Так что же нам делать? Закопать книгу под деревом и с отвраще-нием уйти?

Конечно же, я так не считаю. Я убежден, что наука, и в частностиматематика, не является движущей силой нашей цивилизации. Кар-ты и машины у нас есть действительно благодаря науке, но наука нерешает за нас, куда нам идти надо, а куда не следует. Думать иначезначило бы вернуться в эпоху архаического восприятия знания какодного из видов магии, когда человек, предсказавший затмение илито, как разрешится некоторая ситуация с неясным исходом, рассмат-ривался как колдун, вызывающий события с помощью манипуляцийс их символическими представлениями.

На самом деле биологической функцией мысли является не вызы-вать, а предотвращать спонтанные реакции, а основной социальнойфункцией науки в наши дни, возможно, является приостановка лихо-радочной активности постиндустриального общества.

Но даже если это и так, вовсе не эти соображения движут теми,кого привлекают занятия математикой или физикой; на несколькихследующих страницах я расскажу о том, что, на мой взгляд, являетсяосновным в наших занятиях.

Мàòåìàòèêà êàê ïðîôåññèÿ è ïðèçâàíèå

Основой всей человеческой культуры является язык, и математи-ка –– это специальный вид языковой деятельности.

Естественный язык –– чрезвычайно гибкий инструмент для пере-дачи информации, необходимой для выживания, для выражения эмо-ций, для утверждения своей воли, для соблазнения и убеждения. Всвоих высших проявлениях естественный язык создает богатые вир-туальные миры поэзии и религии.

Тем не менее естественный язык не очень хорошо приспособлендля пополнения, организации и хранения все время растущего запасанаших знаний о природе, при том что эта деятельность являетсянаиболее характерной чертой современной цивилизации. Вероят-но, Аристотель был последним великим мыслителем из тех, ктоиспользовал возможности языка до предела. С приходом Галилея,Кеплера и Ньютона естественный язык в науках был низведен до ролипосредника высокого уровня между реальным научным знанием,содержащимся в астрономических таблицах, химических формулах,уравнениях квантовой теории поля, базах данных по геному челове-ка, с одной стороны, и нашим мозгом –– с другой. Пользуясь естествен-ным языком при изучении и преподавании наук, мы привносим с нимнаши ценности и предрассудки, поэтические образы, стремлениек власти и навыки манипулятора –– но ничего из того, что суще-ственно для научного содержания. Все существенное содержится либов длинных списках структурированных данных, либо в математике.Математика же, которая изначально используется, чтобы получшеописать структуру данных, постепенно сжимает их до такой степени,что мы начинаем говорить о «законах природы», порождающих и объ-ясняющих бесконечно много различных явлений. Кроме того, походу своего внутреннего развития математика, руководствуясь своейсобственной логикой, создает еще и виртуальные миры, поражающиевнутренней красотой и чрезвычайной сложностью –– миры, которыепротивятся любым попыткам описать их на естественном языке,но поражают воображение горстки профессионалов на протяжениипоколений.

Из свойств математики как языка самым странным является то,что, применяя формальные правила к данному математическому тек-сту, можно на выходе получить текст, который, кажется, несет новоезнание. Основные примеры этого дают научные или технические рас-четы: из общих законов вкупе с начальными условиями получаютсяпредсказания –– часто после долгой работы, иногда с участием ком-


пьютера. Можно сказать, что исходные данные содержат скрытое зна-ние, которое описанный процесс делает явным. Можно попробоватьнайти параллель в гуманитарных науках, сравнив эту деятельностьс герменевтикой –– искусством нахождения скрытых смыслов в свя-щенных текстах. Юридический дискурс также имеет некоторые об-щие черты с научным. По ходу истории современный язык науки по-степенно формировался из этих двух древних видов языковой дея-тельности, и он по-прежнему сохраняет с ними много общего, осо-бенно в более описательных и менее математизированных науках.

У математики нет фиксированного набора привил интерпретациив физическом мире: одно и то же уравнение может описывать и оке-анические волны, и звук, и свет, и «волны вероятности» в квантовоймеханике. Акт интерпретации математической конструкции (напри-мер, в математической физике) следует отделять от самой этой кон-струкции.

Многие математики по-прежнему считают, что математика имеетдело непосредственно с платоновским миром смыслов, в котором дей-ствительные числа существуют независимо от своих моделей, а ги-потеза континуума либо истинна, либо ложна. Недавно я участвовалв споре по поводу компьютерного моделирования: теория это или экс-перимент? Мой ответ был таков: это теория «реальной реальности»и эксперимент в платоновской реальности.

Каков бы ни был философский статус этих споров, некоторые изнаиболее красивых и высокоразвитых разделов математики, без со-мнения, являются платоновскими. Я имею в виду такие объекты, какполе всех алгебраических чисел и его группа Галуа. Это –– централь-ный объект теории чисел, наряду с соответствующей аналитическоймашинерией: дзета-функциями, L-функциями и автоморфными фор-мами. Вся история теории чисел выглядит как история исследованияуже существующего мира, а не как история его изобретения. Еслиистория геометрии почти неотделима от истории теоретической фи-зики, то теория чисел почти ничего не взяла из нашего опыта жизнив реальном мире.

Традиционное сотрудничество между математикой и физикой ––физики открывают уравнения, математики их исследуют –– будет, ко-нечно, продолжаться, и при этом будет постоянно расти роль компью-терного моделирования.

Менее традиционный способ взаимодействия между математикойи физикой выкристаллизовался начиная с -х годов. Одновремен-


но с успехом «стандартной модели», удовлетворительно описываю-щей наблюдаемый спектр элементарных частиц и взаимодействий,физики принялись за разработку довольно романтических моделей,применимым при очень высоким энергиям эпохи большого взрыва.Для исследования этих моделей пришлось использовать и развиватьвесьма изысканные, а иногда и совершенно новые разделы матема-тики, в основном связанные с теорией квантовых полей и струн. Этотпроцесс сейчас в самом разгаре: физики говорят о «второй струннойреволюции», состоящей, видимо, в том поразительном открытии, чтовсе существовавшие до сих пор основные модели квантовых струн,задаваемые своими рядами теории возмущений, должны быть асимп-тотическими приближениями к одной и той же теории, но в разныхобластях пространства модулей.

Математическое сообщество относится к этим идеям с живым ин-тересом и все более активно участвует в их разработке. Мне пред-ставляется, что это самая важная тенденция математики последнегодесятилетия, которая продолжится и в XXI веке.

Математику можно грубо описать как деятельность, состоящуюв решении задач, или иначе: как деятельность, состоящую в развитииисследовательских программ (в широком смысле). Эти два описаниянаходятся в отношении дополнительности. Математика XX века нача-лась со списка из проблем Гильберта, решения которых являютсяисторическими вехами, но основными ее достижениями, вероятно,были создание топологии, математической логики и компьютеров.

Иногда, если мы узнаем о зарождающейся исследовательской про-грамме на достаточно ранней стадии, ее можно сформулировать какгипотезу (см. гипотезы Вейля) или как предвидение (гротендиков-ские мотивы, программа Ленглендса на ранних этапах).

По моему мнению, сейчас можно говорить о зарождении програм-мы «квантования классической математики»; эта программа шире,чем совместные с физиками попытки разобраться в теории квантовыхструн. Я вкратце опишу несколько разделов математики, в которыхэта программа уже принесла свои плоды и которые, вероятно, будутактивно развиваться в предсказуемом будущем.

. Топология. Принадлежащий физикам эвристический формализминтегралов по траекториям привел к открытию, объяснению и/илилучшему пониманию новых инвариантов узлов, а также трех- и четы-рехмерных многообразий. В симплектической топологии он привелк доказательству гипотезы Арнольда.

. Алгебраическая геометрия. Тот же формализм, примененный вдругом контексте, доставил замечательные дифференциальные урав-


нения для производящих функций, коэффициенты которых –– числен-ные инварианты пространств модулей стабильных кривых и стабиль-ных отображений кривых в алгебраические многообразия. Примерытому –– теория квантовых когомологий и зеркальной симметрии, атакже связи с теорией особенностей.

. Дифференциальная геометрия. Твисторная программа привелак созданию новой главы геометрии, к открытию нестандартных глад-ких структур на R4 и к окончательной классификации групп голо-номий. Благодаря двумерной конформной теории поля (КТП) былосформулировано определение новой геометрической структуры –– фро-бениусовых многообразий, обладающих богатой теорией и дающихматематическую основу для квантовых когомологий.

. Алгебра. Стимулированное КТП возрождение теории операдбыло крупным событием в той тихой заводи, которой казалась общаяалгебра. Из более конкретных объектов особенно интересны вертекс-ные операторные алгебры, относящиеся к более понятым разделамКТП. Теория представлений этих алгебр, доказательство moonshine-гипотезы, связи с (обобщенными) алгебрами Каца––Муди –– все этопринадлежит к наиболее интересным достижениям алгебры за по-следние несколько десятилетий.

. Некоммутативная геометрия и супергеометрия. Супергеомет-рия, в которой участвуют коммутирующие и антикоммутирующиекоординаты, открытая физиками в качестве классического прибли-жения к квантовой теории бозонов и фермионов, стала в настоящеевремя стандартным, хотя и не очень популярным, обобщением всехосновных геометрических теорий из классической математики (глад-кой геометрии, аналитической, алгебраической). Особенно важнатеория суперсимметрии и соответствующее обобщение классифи-кации Картана––Киллинга. У развитой Аленом Конном некоммута-тивной геометрии были разные источники, и одним из них былаквантовая механика. У некоммутативной геометрии обнаружилисьприменения к стандартной модели, а совсем недавно –– и к проблемеспектральной интерпретации дзета-функции.

. Квантовые вычисления. Это –– довольно новая и захватываю-щая идея, которая заслуживает упоминания здесь по той причине,что на сегодня она является чисто теоретической: ее аппаратноевоплощение, если оно вообще возможно, потребует создания новыхтехнологий . Предполагается использовать «квантовые n-битовые ре-

февраля года компания D-Wave провела демонстрацию первого квантовогокомпьютера Orion. Его квантовый регистр состоит из кубит.


гистры» вместо классических. Такой регистр –– это устройство, чьепространство квантовых состояний является гильбертовым простран-ством размерности 2n. Кроме того, в квантовом законе эволюцииперемножение (2n×2n)-матриц содержится в качестве элементарнойоперации. Недавно было показано, что с помощью квантовых ре-гистров можно решить задачу быстрого разложения на множители.Это решение позволило бы взломать криптосистемы с публичнымключом, наиболее широко используемые в наши дни. Основная идеясостоит в том, чтобы заменить параллельные вычисления (основ-ное средство ускорения классических вычислений в ситуации, когданеизвестны эффективные алгоритмы) на «массированный квантовыйпараллелизм», возможность которого основывается на принципе су-перпозиции. В течение некоторого времени это направление иссле-дований, несомненно, будет очень популярно.

До сих пор речь шла исключительно об умственных упражнениях.Что же можно сказать о практической жизни?

Я веду занятия по вторникам и четвергам (у меня есть выбор, ноя не из тех, кто преподает по понедельникам, средам и пятницам),желательно во второй половине дня, и уж по крайней мере –– не раноутром. Раннее утро –– это адское время для многих математиков, такчто за приемлемое расписание приходится бороться.

Аудитория пахнет мелом. Доска выглядит совсем старенькой: наней писали, а затем стирали написанное, миллионы раз.

Мел одинаково пахнет в Москве, Бостоне, Токио, Бонне, Париже VIи Париже VII. Эти два Парижа –– не города, а университеты, но, конеч-но, Москва, Токио и Бостон –– тоже немногим больше, чем универси-теты. Занимаясь математикой, приходится ездить по всему миру, нокак-то получается, что все места, куда ты попадаешь, похожи друг надруга.

Студенты могут и утомлять, и мешать, но после сорока лет пре-подавания почему-то оказывается, что ученики –– это самая важнаячасть твоей жизни. Они становятся мудрее тебя (а ты, кажется, толькостареешь), они женятся, разводятся и женятся снова, они присыла-ют фотографии своих детей и домов, они просят о рекомендательныхписьмах, которые вскоре образуют обширную директорию на твоемкомпьютере; а время от времени они поражают тебя и наполняюттвое сердце гордостью за фантастические новые теоремы и открытия,о которых ты и не мечтал.


Это карьера? В некотором смысле. Можно расти вплоть до долж-ности постоянного профессора. Зарплата позволяет содержать себяи семью. Но, может быть, нужны более убедительные доводы в поль-зу того, чтобы посвятить такому занятию всю жизнь. Поэтому, передтем как распрощаться, давайте еще раз вернемся от практических делк умственным упражнениям.

Дарвинистская эволюция чрезвычайно неэкономна. Генофонд каж-дой популяции подвержен случайным мутациям, никак не связаннымс переменами в окружающей среде. Естественный отбор выделяет теиз этих мутаций, что будут наиболее эффективно переданы следую-щим поколениям. У более приспособленных организмов будет боль-ше потомков, которые передадут свои гены далее; все остальные ––неприспособленные –– вымрут.

Ламаркистское наследование приобретенных признаков было быгораздо более эффективно. Вы пользуетесь каким-то органом (или на-выком), совершенствуете его, и ваши дети рождаются уже приспособ-ленными к преодолению тех трудностей, с которыми вы боролись.

Теперь нам более понятно, почему природа предпочла Дарви-на Ламарку. Информация, закодированная в генах, очень сильноизолирована (и это правильно) от окружающей среды. Это –– текстчрезвычайно сложной программы развития, который должен бытьзащищен от попыток улучшить его извне. В противном случае намбы потребовался механизм, при котором, например, такая резкаяперемена в окружающей среде, как глобальное потепление, должнабыла бы быть осмысленно закодирована в тонких химических про-цессах, необходимых, чтобы получить новое поколение безволосыхмышей. Неизвестно ничего похожего на такие детерминистическиемеханизмы. Вместо этого природа доставляет случайные вариациигенетических инструкций, в результате чего безволосые мыши, ко-торые ранее вымерзли бы, не успев произвести потомства, теперьвытесняют своих волосатых собратьев.

Это рассуждение приводит к забавному вопросу. В конце концов,способность передавать потомству приобретенные признаки можнорассматривать как одну из черт данного биологического вида. Намтакой вид неизвестен, но если эта способность эффективно помогаетадаптации, почему она не могла развиться в ходе эволюции в резуль-тате последовательности случайных мутаций, подобно умению летатьили зрению? Иными словами, почему ламаркистская эволюция не мо-жет возникнуть на одном из этапов дарвинистской эволюции?


Можно ответить, что именно это и произошло с человечеством,только на другом уровне организации. Какое-то время назад нашабиологическая эволюция остановилась, а культурная эволюция пошлапо пути, описанному Ламарком.

С помощью языка формируется генофонд культуры. Он развивает-ся и передается сначала в устной традиции, затем через письменныетексты. Опыт поколений напрямую кодируется в эпических поэмахи компьютерных программах, чтобы сообщить следующим поколени-ям о меняющихся условиях жизни.

Чàñòü II

Мàòåìàòèêà è ôèçèêà

Математика и физика

Предисловие

Есть предание о том, как один известный математик начинал чи-тать логику второкурсникам. «Логика –– это наука о законах мышле-ния, –– сообщал он. –– Теперь я должен объяснить вам, что такое наука,что такое закон и что такое мышление. Что такое ‘о’, я объяснять небуду».

Взявшись писать книжку «Математика и физика», автор понимал,что ее объема едва хватит на попытку объяснить, что такое «и» в ееназвании. Две науки, бывшие единой ветвью на дереве познания,к нашему времени далеко разошлись. Одна из причин этого в том,что обе они в этом столетии активно занимались самоосознанием,т. е. своими средствами строили свои собственные модели. Физикаволновало взаимоотношение мышления и действительности, а мате-матика –– мышления и формул. Оба эти отношения оказались многосложнее, чем казалось раньше, и модели, автопортреты, маски-для-себя двух дисциплин вышли очень несхожими. В результате уже состуденческой скамьи физиков и математиков учат думать по-разному.Было бы замечательно владеть обоими типами профессиональногомышления, хотя бы так, как мы владеем правой и левой рукой.

Но эта книжка –– партия одной руки. Автор, по образованию мате-матик, как-то прочел студентам четыре лекции под названием «Какматематик должен учить физику». В лекциях говорилось, что совре-менная теоретическая физика –– это роскошный, совершенно рабле-зианский полнокровный мир идей, и математик может найти в немвсе, что душе угодно, кроме порядка, к которому он привык. Поэто-му хороший способ настроить себя на активное изучение физики ––сделать вид, что ты пытаешься, наконец, навести в ней этот самыйпорядок.

В книжке, выросшей из этих лекций и дальнейших размышлений,я попробовал выделить несколько крупных абстракций двух науки сопоставить их. На самом высоком уровне такие абстракции теряюттерминологичность и способны стать культурными символами време-

Впервые опубликовано: Новое в жизни, науке и технике. М.: Знание, . с.(Сер. Математика, кибернетика; ).

Чàñòü II. Мàòåìàòèêà è ôèçèêà

ни: вспомним судьбу слов «эволюция», «относительность» или «под-сознательное». Здесь мы спускаемся ступенькой ниже и обсуждаемслова, еще не символы, но уже почти не термины: «множество», «сим-метрия», «пространство-время». (Ср. попытку М. М. Бахтина термино-логически ввести последнее понятие в литературоведение в нарочитоостраненной форме «хронотоп».) Часть этих слов стоит в названияхглавок. У каждого читателя в сознании должны быть первоначальныеобразы этих понятий, образы, имеющие физическое происхождениев широком смысле слова.

Автор хотел показать, как математика сопоставляет с такими фи-зическими абстракциями новые образы, для тренированного рассуд-ка почти осязаемые, но далеко ушедшие от тех, которые дает прямойжизненный и физический опыт. Скажем, движение планет Солнечнойсистемы математик представит в виде линии тока несжимаемой жид-кости в -мерном фазовом пространстве, объем которого задаетсямерой Лиувилля.

Читателю может потребоваться усилие воли, чтобы увидеть в ма-тематике воспитателя образного мышления. Чаще с ней связываетсяпредставление о жесткой логике и вычислительном формализме. Ноэто –– лишь дисциплина, линейка, которой нас учат не умирать.

Вычислительный формализм математики –– мысль, экстериоризо-ванная до такой степени, что она на время отчуждается и превраща-ется в технологический процесс. Математический образ формирует-ся в затяжном приживлении к человеку этой временно отторгнутоймысли. Думать –– значит вычислять, волнуясь.

Безумная идея, которая ляжет в основу будущей фундаментальнойфизической теории, будет осознанием того, что физический смыслимеет некоторый математический образ, ранее не связывавшийсяс реальностью. С этой точки зрения проблема безумной идеи –– этопроблема выбора, а не порождения. Не нужно понимать это слишкомбуквально. В шестидесятых годах (по частному поводу) было сказано,что крупнейшее открытие последних лет в физике –– комплексныечисла. Нечто подобное автор имеет в виду.

Я не хочу извиняться за субъективность суждений и выбора мате-риала. О физике и математике писали Галилей, Максвелл, Эйнштейн,Пуанкаре, Фейнман, Вигнер; только надежда сказать что-то свое мо-жет оправдать новую попытку.


. Математика с птичьего полета

Математическая истинность. Вероятно, самые простые матема-тические действия –– это арифметические вычисления вроде такого:

0,25

20·p

13

1,1· 7,8 ·104

2,04 ·105· 2 ·0,048

0,021+0,019= 0,038.

Для реалистичности этот пример списан не из школьного задачника,а из статьи Энрико Ферми «О поглощении и диффузии медленныхнейтронов». Подумаем немного о смысле такого вычисления.

а) Для проверки этого равенства можно условиться, что оно от-носится к целым числам (возведем в квадрат, освободимся от знаме-нателей и будем считать все в тысячных долях единицы). Тогда нашеравенство можно рассматривать как предсказание о результате неко-торого «физического эксперимента», состоящего в следующем: нужновзять две группы по 48 предметов (2 ·0,048), повторить это действие78 000 раз (×7,8 · 104) и т. п. Так в первом классе раскладывают покучкам палочки, чтобы уяснить смысл счета, целого числа, сложенияи умножения, а также смысл арифметических тождеств. Поэтому ра-зумно представлять себе, что арифметика целых чисел есть «физикасобирания предметов в кучки».

б) Все же практическое вычисление, конечно, производится ина-че: оно состоит из серии некоторых стандартных преобразованийлевой части тождества. Мы выбираем группу символов слева, скажем0,25

20, и заменяем ее по школьным рецептам на 0,0125 и т. п. Все

правила, включая правила о порядке действий, можно сформулиро-вать заранее. Безошибочность вычисления –– это его грамматическая(рецептурная) правильность; она же гарантирует «физическую ис-тинность» результата. (Разумеется, Ферми округляет левую часть;и без вычислений ясно, что его равенство не может быть вернымбуквально, потому что число

p13 –– иррационально.)

в) Для Ферми смысл этого вычисления резюмируется следующейфразой: «Группа A... является столь узкой энергетической полосой,что в процессе замедления через нее проходит только 4 % нейтронов».(4 % –– это 0,038 справа.) Ясно, что к такому выводу мы не можемнепосредственно прийти, как бы ни представляли себе смысл ариф-метического вычисления. Ни раскладывание 78 000 кучек по 96 пред-метов, ни деление 0,096 уголком на 0,04 сами по себе не имеютникакого отношения к нейтронам. Математическое рассуждение вхо-дит в физический текст вместе с актом его физического истолкования;именно этот акт и есть самое поразительное в современной физике.


Как бы то ни было, уже на нашем простом примере видны триаспекта математической истинности. Условно их можно обозначитькак содержательную истинность, формальную правильность, или до-казуемость, и адекватность физической модели.

Для математики, замкнутой в себе, существенны лишь первыедва аспекта, и только двадцатый век принес понимание различиямежду ними. Рассмотрим такое просто формулируемое утверждение,как гипотезу Ферма. Хотя мы не знаем ни ее доказательства, ниопровержения, мы уверены, что она либо истинна, –– либо ложна.Эта уверенность основана на абстракции возможности произвестибесконечно много арифметических действий (или «раскладыванийна кучки»), перебрав все суммы степеней пар целых чисел. Вообще,понятие об истинности (большинства) математических утвержде-ний включает в себя представление о таких бесконечных серияхпроверок. Между тем всякое математическое доказательство, т.е. рас-суждение, состоящее из последовательного применения аксиом илилогических правил вывода, есть существенно конечная процедура.К. Гедель доказал в тридцатых годах, что по этой причине доказуе-мость значительно уже содержательной истинности, даже когда речьидет лишь о целых числах. При этом совершенно безразлично, изкаких аксиом мы исходим, лишь бы они были содержательно истинныи задавались конечным списком (или конечным числом правил ихпорождения). Это различие между содержательной истинностью идоказуемостью широко известно, но, кажется, его следствия понятыплохо. В литературе часто обсуждаются проблемы редукционизма:сводится ли биология или химия к физике? Ясно, что речь может идтилишь о некоторой теоретической модели явлений физики, биологиии химии, притом достаточно математизированной. Но тогда следу-ет объяснить, что подразумевается под сводимостью –– абстракциятипа содержательной истинности или типа выводимости из аксиом.Продумывание обеих возможностей создает впечатление, что, говоряо сводимости законов, мы просто не понимаем, о чем говорим.

Множества. Современные представления о математической ис-тинности связаны с развитием двух крупных концепций: теоретико-множественной математики и математики формальных языков. Ма-тематические формализмы знакомы всем. Типичный математиче-ский багаж студента может состоять из умения выполнять арифме-тические действия с числами в десятичной записи, преобразовыватьалгебраические тождества, дифференцировать и брать некоторыеинтегралы. Этот язык математического анализа, практически сло-


жившийся во времена Эйлера и Лагранжа, оказался очень удобным,эффективным в решении задач и доступным для массового изучения.Параллельно происходило развитие представлений того, о чем го-ворит этот язык, т. е. выяснение смысла таких понятий, как

p−1,

функция, дифференциал и т. п. Огромную роль при этом игралигеометрические представления: комплексные числа потеряли своютаинственность лишь после того, как Арган и Гаусс предложили ихпоследовательную интерпретацию точками евклидовой плоскости;дифференциал интерпретируется через представление о касательнойи т. п. Теоретико-множественные понятия заложили универсальнуюбазу для определения всех математических конструкций в таких«обобщенно геометрических» образах. Эти образы одновременно пред-ставляют собой вместилище смысла математических формализмови средство отбора содержательных языковых утверждений из всегонеобозримого моря выводимых математических формул.

В этой книжке мне хотелось бы продемонстрировать пользу такихобразов в роли посредника между математикой и физикой. Конечно,возможности их популярного изложения ограничены. На шестидеся-ти страницах мы не сможем объяснить их точный смысл и научитьпользоваться ими для решения задач. Но, может быть, читателю ста-нут яснее некоторые идеи математики и теоретической физики. Труд-ность понимания концепций квантовой теории или общей теорииотносительности отчасти связана с тем, что при попытках их объясне-ния опускается такой акт промежуточной теоретико-множественнойинтерпретации математических моделей. Даже в университетскомобразовании ему уделяется недостаточно внимания; общение физикаи математика часто затруднено тем, что физик склонен переходитьот формул прямо к их физическому смыслу, минуя «математиче-ский смысл». Впрочем, в последние годы положение заметно улуч-шается.

Хороший физик пользуется формализмом, как поэт –– естествен-ным языком. Пренебрежение ригористическими запретами оправды-вается конечной апелляцией к физической истине, чего не можетпозволить себе математик. Выбор лагранжиана в единой теориислабых и электромагнитных взаимодействий Салама––Вейнберга, вве-дение в него полей Хиггса, вычитание вакуумных средних и прочееколдовство, приводящее, скажем, к предсказанию нейтральных то-ков, оставляет математика в состоянии немого изумления.

Но вернемся к множествам.Важнейшие множества физики –– это множества не предметов, а

возможностей: конфигурационное пространство системы есть мно-


жество ее возможных мгновенных состояний, пространство-времяесть множество возможных событий типа «вспышки», отмечающихточки. Физик обычно спешит ввести на этом пространстве координа-ты, т. е. функции с числовыми значениями. Если набор n таких функ-ций позволяет однозначно координатизировать точки множества, тодопустимо считать, что оно лежит в n-мерном вещественном число-вом пространстве Rn, состоящем из векторов вида (a1, …, an). «Фи-гуры», т. е. подмножества такого пространства, измерения в нем рас-стояний, углов, объемов и т. п., наконец, его движения или отобра-жения в себя, –– все это составляет главный арсенал геометрическихобразов физики. При этом важно, что размерность n может быть какугодно велика и даже бесконечна –– в строгом математическом текстеопределение бесконечномерности нужно вводить отдельно, но мы бу-дем представлять себе здесь бесконечномерность как «неопределеннобольшую конечномерность». Если координаты принимают комплекс-ные значения, то наши множества погружаются в Cn. Вообще жечасто о координатах можно и не упоминать. Физически они иногдаявляются пережитком слишком упрощенных представлений о наблю-дении; математически –– напоминанием о времени, когда не суще-ствовало языка, на котором можно было бы содержательно обсуждатьмножества, не являющиеся множествами чисел или векторов.

Теоретико-множественный язык хорош тем, что он не вынуждаетговорить ничего лишнего. Г. Кантор определил множество как «со-единение в одно целое различимых объектов нашей интуиции илинашей мысли». Это наилучшее объяснение множества как понятия,помогающего познавать мир.

Многомерное пространство и идея линейности. Если автомо-биль прошел за секунду двадцать метров, то за две секунды он, скореевсего, пройдет сорок метров. Если слабый ветер отклонил летящуюпулю на три сантиметра, то вдвое более сильный отклонит ее нашесть сантиметров. Отклик на малые воздействия линейно зависитот этих малых воздействий –– таков естественнонаучный принцип,лежащий в основе огромного количества математических моделей.Математик превращает этот принцип в определение дифференци-руемой функции и в постулат о том, что большая часть процессовбольшую часть времени описывается такими функциями. Говоритли закон упругости Гука или закон Ома что-нибудь большее, чемэтот принцип линейного отклика на малые воздействия? Да, еслиоказывается, что законы остаются верны и для довольно большихвоздействий.


Линейное пространство –– это идеализация «сколь угодно большихмалых воздействий». Не обязательно вводить координаты, нужнолишь помнить, что элементы линейного пространства можно скла-дывать и умножать на числа (вещественные или комплексные –– этотэпитет прибавляется к названию пространства). Исходный геомет-рический образ –– это наше «физическое пространство» размерноститри; пространства Rn, Cn с координатным сложением и умножениемисчерпывают все конечномерные линейные пространства.

Размерность линейного пространства –– это количество независи-мых линейных координатных функций на нем. Теорема о том, чтоот выбора самих координатных функций она не зависит, при всей еепростоте, является глубоким результатом. Она устанавливает связьмежду непрерывным и дискретным: целое число –– размерность впер-вые появляется не как количество предметов или дискретных обра-зов, но как мера величины непрерывного объекта.

Линейное отображение, или оператор, –– это идеализация линей-ного отклика на произвольные воздействия. Отклик может измерять-ся элементами того же пространства, что и воздействие, или другого;в любом случае это отображение линейного пространства в линейноепространство, переводящее сумму векторов в сумму их образов и про-изведение вектора на число в произведение образа на то же число.

В одномерном пространстве всякое линейное отображение в себяесть умножение на число –– «коэффициент усиления». В комплексномслучае геометрический образ немного сложнее: поскольку одномер-ное комплексное пространство устроено как вещественная плоскость,умножение на комплексное число есть комбинация вещественногорастяжения и поворота. Чистые повороты, т. е. умножения на чис-ла, по модулю равные единице, играют большую роль в квантовоймеханике: в их терминах формулируется закон эволюции замкнутойквантовой системы.

Важный класс линейных отображений n-мерного пространствав себя образуют растяжения вдоль n независимых направлений сосвоим коэффициентом вдоль каждого из них. Множество «коэффици-ентов растяжения» линейного оператора называется его спектром:омонимия с физическим термином отражает их глубокие связи.

В квантовой физике идея линейности приобретает фундаменталь-ный физический смысл благодаря основному постулату о суперпози-ции квантовых состояний. В классической физике и математике, кро-ме исходной мысли о линеаризации «чего угодно» в малом, большуюроль играет замечание о том, что функции (все или непрерывные, илидифференцируемые, или интегрируемые по Риману и т. п.) на любом


пространстве сами образуют линейное пространство, потому что ихможно складывать друг с другом и умножать на числа. Пространствафункций в большинстве случаев бесконечномерны, но возможностьнаправленно воспитать и затем применить к ним первоначально раз-витую конечномерную (даже трехмерную) интуицию оказалась ис-ключительно плодотворным открытием. В двадцатом веке этому учи-ли нас Давид Гильберт и Стефан Банах.

Измерения в линейном пространстве. В трехмерном физиче-ском пространстве существуют твердые тела, сохраняющие неко-торую «тождественность самим себе» в больших пространственно-временных областях. Это –– основа всех физических измерений. Со-всем не очевидно заранее, какие из идеализированных свойств фи-зических измерений наиболее полезны в математической теориии в приложениях. Действительно, математические понятия, связан-ные с идеей классического измерения, образуют сложный идейныйузор. Сразу назовем несколько образов: длина, углы, площади и ска-лярные произведения, движения.

Чтобы у читателя не возникло неверного впечатления, заметим,что само понятие линейного пространства не содержит ничего, поз-воляющего однозначно измерять что бы то ни было. У векторов нетникакой длины (правда, у пропорциональных векторов имеется есте-ственное отношение длин), угол между векторами не имеет никакойестественной меры и т. д. Поэтому для математического оформленияидеи измерения мы должны дополнительно ввести новый геометри-ческий образ или даже несколько образов; на математическом жар-гоне –– снабдить пространство дополнительной структурой.

Первый из таких образов –– единичная сфера пространства: мно-жество векторов единичной длины. Если любой ненулевой векторпосле умножения на подходящее число a попадает на единичнуюсферу, мы получаем возможность приписать ему длину –– это будет|a |−1, значит, a должно быть определено с точностью до умноже-ния на число, по модулю равное единице. Расстояние между век-торами x и y можно определить как длину их разности |x − y |.Если ненулевые векторы имеют ненулевую длину, выполняется нера-венство треугольника |x + y |¶ |x |+ | y | и еще условие о существо-вании пределов последовательностей Коши, мы приходим к поня-тию банахова пространства. Таковы многие полезные пространствафункций. Произвольная банахова сфера, однако, недостаточно сим-метрична, чтобы быть правильным обобщением единичной сферыв трехмерном евклидовом пространстве. Есть два разных способа


добиться нужной симметрии, наложив на банахову сферу дополни-

тельные условия: а) потребовать, чтобы некоторая

n(n−1)

2

-мерная

непрерывная группа линейных отображений переводила ее в себя(n –– размерность пространства); б) потребовать, чтобы в простран-стве существовало скалярное произведение векторов (x, y) (линейнаяфункция по обоим аргументам в вещественном случае и несколькоболее сложная в комплексном) такое, чтобы |x |2 = (x, x) для всех x.Первый способ –– обобщение идеи о том, что твердые тела можновращать, второй –– что между векторами можно измерять углы, так-же не меняющиеся при вращениях пары. Обе идеи тесно связа-ны и приводят к понятию многомерного евклидова пространства(в комплексном случае его называют гильбертовым). В подходящихкоординатах единичная сфера в таком пространстве задается при-

вычным уравнениемn∑

i=1

|xi |2 = 1. Вращения –– это линейные отобра-

жения, переводящие эту сферу в себя, они образуют группу, котораяобозначается O(n) в вещественном случае и U(n) –– в комплексном.В евклидовом вещественном пространстве скалярное произведениепринимает вещественные значения и является симметричным: (x, y)== ( y, x). В евклидовом комплексном пространстве оно принимаеткомплексные значения и при перемене мест векторов становитсякомплексно-сопряженным: (x, y) = ( y, x). В обоих случаях выпол-

няется замечательное неравенство |(x, y) |2 ¶ |x || y |, так что число(x, y)

| x || y | по модулю не больше единицы. Оно вещественно для веществен-

ных пространств, и существует угол ϕ, для которого cosϕ=(x, y)

| x || y |, ––

он называется углом между векторами x и y. В комплексном случае

можно определить этот угол формулой cosϕ=|(x, y) || x || y | . Правая часть

здесь принимает только значения, лежащие между нулем и единицей,и существует еще одна замечательная физическая величина с такимсвойством –– это вероятность. В квантовой механике числа cos2ϕ

интерпретируются как вероятности, о чем мы подробнее расскажемниже. В школьной геометрии векторы x, y называются ортогональ-ными, если косинус угла между ними равен нулю, т. е. если (x, y)=0;эта же терминология применяется и в общем случае.

Если отказаться от тех или иных свойств евклидовости, то поня-тие скалярного произведения приводит к нескольким важным клас-сам линейных геометрий. Например, в R4 можно задать «длину» век-тора x= (x0, x1, x2, x3) формулой |x |2= x2

1 + x22 + x2

3 − x20 . Один минус


приводит к большому количеству отличий: например, имеются целыепрямые, состоящие из векторов нулевой длины. Они изображают лу-чи света в основной модели пространства-времени специальной тео-рии относительности –– в знаменитом пространстве Минковского.

Можно отказаться от условия (x, y)= ( y, x) и заменить его услови-ем (x, y)=−( y, x). Всякий вектор в таком пространстве «ортогоналенсамому себе»! Эту геометрию, называемую симплектической, нужнодолго изучать, чтобы привыкнуть к ней. Гироскоп, ориентирующийракету, –– это посланец шестимерного симплектического мира в на-шем трехмерном; там его поведение выглядит просто и естественно.Хотя симплектическая геометрия была открыта в прошлом столетии,ее роль в физике долго недооценивалась и в учебниках все еще затем-няется старинным формализмом.

Но вернемся в евклидов, хотя и многомерный, мир. Последнее, чтомы хотели бы обсудить, –– измерение объемов. Если e1, …, en –– попар-но ортогональные векторы единичной длины, то натянутый на нихn-мерный кубик с ребром тоже единичной длины –– множество векто-ров вида x1e1+ · · ·+ xnen, где 0¶ xi¶1. Его объем естественно считатьравным единице. Сдвиг этого кубика на любой вектор не меняет объ-ема; кубик с ребром длины a имеет объем an. После этого объем лю-бой n-мерной фигуры можно определить, замостив ее большим чис-лом маленьких кубиков и сложив их объемы. Проблемы возникнутоколо границы –– там останется свободное пространство, при попыткезамощения которого кубики начнут вылезать наружу. Если границане очень сильно изрезана, то, делая кубики все более мелкими, мысможем как угодно уменьшить ошибку. Это –– основная идея интегри-рования. Она дополняется еще следующей конструкцией: предполо-жим, что в нашей области пространства находится нечто, «субстан-ция», как сказали бы в прошлом веке, которая характеризуется своейплотностью f (x) вблизи точки x. Общее количество этой субстанциибудет примерно выражаться суммой ее количеств во всех кубиках за-мощения, а количество в одном кубике –– произведением объема это-го кубика на значение плотности в какой-нибудь его внутренней точ-ке. Вся сумма есть «сумма Римана», а ее предел –– интеграл от функ-ции f по объему.

В математике трудно указать более классическое и в то же вре-мя более живое понятие, чем интеграл. Каждые несколько десятиле-тий приносят его новые математические варианты, а физика все вре-мя требует еще. Определение интеграла Римана, которое мы привеливыше, математически разумно лишь для не слишком сильно меняю-щихся функций f , скажем непрерывных. Но почти каждая физиче-


ская модель, как только она сменяется более детальной, обнаружива-ет, что функция f , казавшаяся довольно гладкой, есть результат усред-нения более сложной «мелкозернистой» картины. Заряд можно изме-рять интегралом от его плотности, пока мы не выходим на масштабы,где носителями заряда являются электроны и ионы. Плотность зарядана точечном носителе бесконечна, а вне его равна нулю, и мы вынуж-дены строить аппарат для интегрирования таких функций.

Вызовом математикам остаются замечательные континуальныеинтегралы Фейнмана, уже превратившиеся в основной инструментквантовой теории поля, но все еще не определившиеся как математи-ческий объект. Два обстоятельства затрудняют их понимание: инте-грировать приходится по бесконечномерному пространству и притомочень сильно колеблющиеся функции. Скажем здесь несколько словоб эффектах бесконечномерности, понимая ее наивно как оченьбольшую конечную размерность.

Из отрезка длины 1 вырежем его среднюю часть длины 0,9. Длинаостатка будет, конечно, составлять 10 % от длины всего отрезка.Из круга диаметром 1 вырежем концентрический круг диаметром0,9. Площадь оставшегося кольца будет уже 19 % площади круга.Из шара диаметром 1 вырежем концентрический шарик диаметром0,9. Объем оставшегося шарового слоя будет составлять уже 27,1 %объема шара: почти треть вместо одной десятой для отрезка. Объемn-мерного шара диаметром d, как нетрудно сообразить «физически»,должен выражаться формулой c(n)dn, где c(n) –– константа, от d независящая. Доля объема концентрического шара диаметром 0,9dпоэтому будет (0,9)n; она стремится к нулю вместе с ростом n. Два-дцатимерный арбуз радиусом 20 см с толщиной корки 1 см чуть нена две трети состоит из корки:

1−

1− 1

20

20

≈ 1− e−1, e ≈ 2,72.

Эти расчеты позволяют сформулировать геометрический образ: «объ-ем многомерного тела почти целиком сосредоточен у его поверхно-сти». (Интересно рассмотреть также вместо шара куб –– тот же эффектпроявляется в быстром росте числа его граней.)

Представим себе простейшую модель газа: N точечных атомов,движущихся в резервуаре со скоростями vi, i=1, …, N; каждый атом

имеет массу m. Кинетическая энергия газа E равнаN∑

i=1

mv2i

2; состояние

газа, описываемое набором скоростей при фиксированной энергии E,определяет точку на (N − 1)-мерной евклидовой сфере радиусом


Ç

2E

m. Для макроскопического объема газа в нормальных условиях

размерность этой сферы имеет порядок 1023 ÷ 1025 (определяемыйчислом Авогадро), т. е. очень велика. Если два таких резервуарасоединены так, что они могут обмениваться энергией, но не атомами,и сумма их энергий E = E1 + E2 остается постоянной, то энергии E1

и E2 большую часть времени будут близки к таким, которые максими-зируют объем пространства состояний, доступный объединенной си-

стеме. Он равен произведению объемов сфер радиусов

Ç

2E1

mи

Ç

2E2

mсоответственно, первый из которых с ростом E1 очень быстро растет,а второй очень быстро убывает. Их произведение имеет поэтому ост-рый пик в точке, которую легко вычислить; точка отвечает условиюравенства температур. «Сосредоточенность объема многомерного те-ла вблизи поверхности», в сущности, предопределяет существованиетемпературы как макроскопической величины.

О каком пространстве идет речь в этом примере? О пространствесостояний физической системы, точнее, о некотором его фактор-пространстве: мы не принимаем во внимание ни положения атомов,ни направления скоростей. Одна его точка –– это снова возможность.Типичное множество –– это не стулья в комнате и не ученики в классеи даже не атомы в резервуаре, а возможные состояния атомов в ре-зервуаре.

Асимптотические свойства многомерных объемов –– это геометри-ческий арсенал статистической физики. Все разнообразие мира при-рода конструирует из малого числа разных кирпичиков. Кирпичикиодного сорта тождественны, и когда статистика описывает поведениеих конгломератов, она пользуется образом точки, блуждающей в об-ластях почти бесконечномерного фазового пространства. Макроско-пические наблюдения позволяют лишь грубо указать расположениеобласти, куда попала точка, и чем больше ее объем, тем вероятнее,что мы увидим точку именно там.

В бесконечномерии, где почти вся область –– это ее граница, чтобынайти правильные способы думать и вычислять, нужны самые рафи-нированные орудия математического арсенала.

Нелинейность и кривизна. Так же как идея линейности экстра-полирует малые приращения, идея кривизны использует такую экс-траполяцию для изучения отклонения геометрического объекта (на-пример, графика функции f ) от линейного.

Малые размерности дают пищу интуиции, вырабатывающей гео-метрический образ кривизны. График кривой y=ax2 в вещественной


плоскости имеет три основные формы: «чаша» (выпуклость вниз)при a > 0, «купол» (выпуклость вверх) при a < 0 и горизонтальнаяпрямая при a = 0. Число a определяет крутизну стенок чаши иликупола, а также радиус кривизны в нижней (верхней) точке, кото-

рый равен1

2|a |. В физических моделях малых колебаний тяжелый

шарик, катающийся по дну чаши, совершает такие же колебания,как на пружине, и эквивалентная кривизна выражается через массугрузика и жесткость пружины. В многомерии график квадратичнойфункции при подходящем выборе системы координат приводится

к виду y =N∑

i=1

ai x2i . Среди чисел могут быть положительные, отри-

цательные и нули, они определяют количество направлений, покоторым график уходит вверх, вниз или остается горизонтальным.В современной квантовой теории поля удивительно велико количе-ство ситуаций, где эта простая модель отвечает за вид спектра массэлементарных частиц и спектра сил (констант) взаимодействий, слу-жа первой ступенькой на долгом пути к более изощренным схемам.При этом квадратичные функции возникают в бесконечномерномпространстве, горизонтальные направления в графиках появляютсяиз-за действия группы симметрии; когда функция не меняется принекоторых движениях пространства по себе, ее график не может бытьямой, а в лучшем случае имеет вид оврага (овраг можно сдвигать посебе вдоль дна, а яму нельзя).

Итак, первый образ нелинейности, который мы вкратце описали,это образ того, как многомерная поверхность, график функции уда-ляется вблизи своей точки от линейной поверхности, касающейся еев этой точке. Представив себе касательное пространство горизонталь-ным, мы можем отметить в нем набор попарно ортогональных на-правлений, вдоль каждого из которых поверхность уходит вверх, внизили остается горизонтальной; скорость ухода вверх или вниз измеря-ется радиусом кривизны; этих радиусов столько, какова размерностьповерхности.

Для описания искривления мы пользуемся, стало быть, «внешнимлекалом». Этот круг представлений естествен и полезен, но эйнштей-новская теория тяготения и, как было понято, максвелловская теорияэлектромагнетизма, а также, как мы начинаем понимать сейчас, тео-рия ядерных сил и, может быть, всех взаимодействий вообще требуетболее тонких представлений о кривизне. Первые математические тео-рии «внутренней кривизны» в отличие от описанной «внешней» былиразвиты Гауссом и Риманом.


Понятие внутренней кривизны строится сначала для области вчисловом пространстве, в которой для каждой пары близких точекзадано расстояние между ними. Геометрия нашей области с новым,римановым понятием расстояния должна «в бесконечно малом» бытьевклидовой. Разные аспекты понятия кривизны показывают, насколь-ко эта геометрия все же не совпадает с плоской евклидовой.

Чтобы объяснить их, удобно начать с аналога прямых в этом мно-гообразии –– это геодезические –– кривые наименьшей длины, соеди-няющие точки пространства (например, дуги больших кругов на сфе-ре). Длина кривой, конечно, измеряется интегралом: кривую нужноразбить на много маленьких отрезков и заменить длину каждого от-резка расстоянием между его концами.

Теперь вообразим себе маленький вектор в многообразии, движу-щийся вдоль геодезической кривой так, что его угол с геодезическойвсе время остается неизменным. (На двумерной поверхности этотрецепт определяет движение, а в многомерном случае его нужно ещеуточнить.) Поскольку в малом пространство близко к евклидову, этимпредставлениям нетрудно придать точный смысл. Такое движениевектора называется его параллельным переносом. Можно определитьи параллельный перенос вдоль любой кривой: как и для вычис-ления длины, ее следует заменить ломаной из коротких отрезковгеодезических, и затем вектор переносить параллельно вдоль этихгеодезических.

Рассмотрим маленькую замкнутую кривую в пространстве –– по-чти плоскую петельку. Перенеся вектор вдоль нее параллельно и вер-нувшись в начальную точку, мы обнаружим, что вектор повернул-ся относительно своего начального положения на маленький угол,и этот угол пропорционален площади петельки. Сверх того, коэффи-циент пропорциональности зависит: а) от точки, вокруг которой рас-положена петелька; б) от направления двумерной площадки, которуюможно натянуть на петельку. Этот коэффициент, как функция точкии двумерного направления в ней, называется римановым тензоромкривизны. Для плоского евклидова пространства тензор кривизнытождественно равен нулю.

Понадобилось много времени, чтобы понять, какие образы в этойконструкции важнее всего, и прийти к выводу, что самой фунда-ментальной является идея параллельного переноса вдоль кривой.Геометрическая картина кривизны, которая наиболее актуальна дляпонимания, например, теории полей Янга––Миллса в современнойфизике, более обща, чем картина римановой кривизны. Для опре-деления римановой кривизны мы переносили вектор вдоль кривой


в пространстве. Представим себе этот вектор в виде маленькогогироскопа, а кривую –– в виде его мировой линии в четырехмерномпространстве-времени (подробнее об этом будет рассказано ниже,в главе о пространстве-времени). Тогда предсказание о том, как будутразличаться направления осей двух гироскопов, разошедшихся в оди-наковом начальном состоянии и затем соединенных для сравнениявновь в близких точках пространства-времени, есть прямое дело фи-зики. В то же время воображаемый набор поведений всевозможныхтаких гироскопов есть математический образ пространства, допол-ненного правилами параллельного переноса касательных вектороввдоль кривых в нем.

Остается один шаг до введения общего математического понятияпространства со связностью и кривизны этой связности. Направле-ние оси гироскопа является частным случаем представления о том,что точечная физическая система может обладать еще внутренни-ми степенями свободы. В классической физике это идеализация,в соответствии с которой мы суммарно учитываем составные ча-сти системы, их вращения, колебания и т. п.; в квантовой физикепоявляются неклассические степени свободы, такие, как спин илимагнитный момент электрона, не сводящиеся к воображаемому по-ведению «частей» электрона в пространстве-времени. Пусть вообщезадана пара пространств M и E и отображение f : E→M , скажем, мо-дель пространства-времени M , в каждой точке m которого находитсялокализованная физическая система с пространством внутреннихсостояний f −1(m). Тогда связность на этом геометрическом объектеесть задание правила переноса системы вдоль кривых в M . Инымисловами, если мы знаем отрезок мировой линии системы в M и ееначальное внутреннее состояние, то мы должны знать всю ее ис-торию. Кривизна связности измеряет разницу конечных состоянийсистемы, пришедших из близких начальных точек пространства-вре-мени в близкие конечные разными путями, если сначала системыбыли в одинаковом состоянии.

Эти представления связывают геометрию с физикой напрямую,минуя сложные извивы гениальных догадок, ошибки, формализми исторические случайности, сопровождавшие возникновение новыхидей и постоянно переизлагаемые в учебниках.

Гравитационное поле –– это связность в пространстве внутреннихстепеней свободы гироскопа, управляющая его эволюцией в про-странстве-времени. Электромагнитное поле –– связность в простран-стве внутренних степеней свободы квантового электрона, управля-ющая его эволюцией в пространстве-времени. Поле Янга––Миллса ––


связность в пространстве цветовых внутренних степеней свободыкварка.

Сейчас эта геометрическая картина представляется наиболее уни-версальной математической схемой для классического описания иде-ализированного мира, в котором по очереди рассматривается неболь-шое число основных взаимодействий. Материя в пространстве-вре-мени описывается сечением соответствующего расслоения E→M ––указанием того, в каком состоянии эта материя находится в каждойточке в каждый момент. Поле описывается связностью в этом рассло-ении. Материя влияет на связность, накладывая ограничения на еекривизну, а связность влияет на материю, заставляя ее «переносить-ся параллельно» вдоль мировых линий. Великие Уравнения Эйнштей-на, Максвелла––Дирака и Янга––Миллса являются точным выражени-ем этих идей.

Но даже не записывая Уравнений, мы сказали очень многое. От-крытие того, что основные физические поля суть связности, не былони столь драматичным, ни столь точно датированным, как открытиеэтих Уравнений. В теории тяготения, например, основным поняти-ем для Эйнштейна была не связность, а (псевдо)риманова метрикав пространстве-времени. Что электромагнитное поле является связ-ностью, впервые предположил Герман Вейль, но в доквантовой физи-ке он не смог указать, на каком расслоении эта связность определя-ет параллельные переносы, решив, что поле меняет длины отрезков,прошедших по разным путям в пространстве-времени. На неправдо-подобность этого указал Эйнштейн, а правильное расслоение, на ко-тором действует связность Максвелла, открыл Дирак. Но все равноосознание физических особенностей поля связности затянулось такнадолго, что лишь в шестидесятых годах Ааронов и Бом предложи-ли эксперимент, который показывает истинно «связностную» природуполя Максвелла. Для этого следует разделить на две части электрон-ный пучок и пустить эти две части в обход цилиндрической области,внутри которой заключен магнитный поток, после чего наблюдатьинтерференционную картину на экране. По их предположению привключении и выключении магнитного поля картина должна менять-ся, хотя пучки, обходя область магнитного потока, проходят в обла-сти, где напряженности электромагнитного поля нулевые. Таким об-разом, разделенные и вновь соединенные на экране пучки будут «чув-ствовать» кривизну связности на расслоении Дирака, возникающуюот включения поля в области, которую они обходят. Интерференци-онная картина на экране отражает именно разность углов поворотафаз в спиновом пространстве степеней свободы электрона, появляю-


щуюся из-за того, что электрон может прийти в точку экрана разнымипутями в обход магнитного поля. (Эксперимент был реально прове-ден и подтвердил эти предсказания.)

Некоторые новинки. «Выставка» важнейших геометрических об-разов, по которой мы торопливо провели читателя, далеко не исчер-пывается показанными экспонатами. Число таких образов пополня-ется. Из тех, которые начали привлекать внимание физиков и мате-матиков в последнее время, можно, например, назвать «катастрофы»,«суперсимметрии» и «солитоны».

Термин «катастрофы» ввел французский математик Рене Том дляпередачи интуитивных представлений, связанных с математически-ми схемами описания таких явлений, как разрывы, скачки, углы, по-верхности раздела между однородными фазами, биологическая диф-ференциация тканей и т. п. Их польза в естественнонаучных моделяхпока остается под вопросом и стала даже предметом горячих споровв газетах. Историку науки предоставляется счастливый случай наблю-дать попытки установления новой парадигмы в смысле Томаса Кунаи размышлять над социальными аспектами процесса установлениянаучного общественного мнения.

«Суперсимметрии», изучаемые в супергеометрии, начинают вхо-дить в науку с меньшим шумом, хотя, возможно, окажут больше вли-яния на дальнейшее развитие физики и геометрии. Формально гово-ря, супергеометрия предлагает рассматривать на пространстве, ска-жем Rn, не только обычные функции, но также антикоммутирующие,т. е. удовлетворяющие условию fg=−g f , откуда, в частности, следу-ет, что f 2

=0. Так как ненулевых чисел с нулевым квадратом нет, та-кая функция не может принимать числовые значения; ее естествен-ные области значений –– так называемые грассмановы алгебры, вве-денные в прошлом веке замечательным математиком и санскритоло-гом Грассманом. В физике грассмановы алгебры появились лишь по-сле возникновения квантовой теории и понятия о спине; оказалось,что адекватное описание коллектива тождественных частиц с полу-целым спином, например электронов, требует введения антикомму-тирующих переменных.

Образ солитона возник в результате открытия некоторых специ-альных решений уравнений, описывающих волны в разных средах,например на воде. Классические волновые уравнения линейны, т. е.сумма их решений и произведение решения на число также являют-ся решениями. Иными словами, это уравнения описывают волны,не взаимодействующие между собой. Учет таких свойств реальных


сред, как дисперсия (нелинейная связь между частотой и длинойэлементарной волны) и нелинейная зависимость скорости волны отее амплитуды приводит к гораздо более сложной картине взаимо-действия волновых возмущений, чем простое их сложение. Поэтомукрайнее удивление вызвало открытие в шестидесятых годах группойамериканских физиков и математиков эффекта нелинейного сложе-ния некоторых уединенных возбуждений, описываемых уравнениемКортевега––де Фриза (эти уединенные возбуждения и были сначаланазваны солитонами). Высота солитонной волны пропорциональна еескорости. Поэтому можно попытаться проследить судьбу суммы двухдалеко разнесенных в начальный момент солитонов, из которых боль-ший движется в сторону меньшего и потому обязательно догонит его.Общее ожидание состояло в том, что после «столкновения» волноваякартина разрушится, но машинный эксперимент показал, что ничегоподобного не происходит: после периода взаимодействия большийсолитон «проходит сквозь меньший», и оба начинают расходиться,сохранив свою форму. Точная математическая теория явления былапостроена вскоре после этого –– она подтвердила сохранение инди-видуальности солитонов после взаимодействия, сколько бы их нибыло вначале. После этого число нелинейных волновых уравнений,обнаруживающих аналогичные свойства, росло линейно со време-нем, а число публикаций, посвященных им, росло экспоненциально.Высказываются надежды, что солитоноподобные возбуждения полейявляются адекватным классическим образом элементарных частиц:на новом идейном уровне возрождается столетней давности идеяРанкина и Томсона о том, что атомы суть «вихревые кольца основнойжидкости». Дело в том, что уравнения для связностей Янга––Миллсав отличие от уравнений Максвелла нелинейны.

Небольшая историческая справка о первооткрывателях солитона,содержащая нравоучительные детали. Дидерик Иоханнес Кортевегродился в году и умер в году в Голландии. Он был известнымученым, и его памяти посвящено несколько некрологов. Ни одиниз некрологов даже не упоминает работы, в которой был открытсолитон. Сама эта работа представляет собой, в сущности, отрывок издиссертации Густава де Фриза, выполненной под руководством Корте-вега и защищенной декабря года. Де Фриз был гимназическимучителем, и о нем почти ничего не известно.

Множества, формулы и расщепленный мозг. Каково соотноше-ние между математическим текстом и его содержанием в широкомсмысле слова (множественностью его потенциальных содержаний)?


Мы пытались показать, что между уравнениями, скажем, Максвел-ла и их прямым истолкованием в терминах физических понятийдолжен быть построен промежуточный теоретико-множественныйобраз, интерпретация –– посредник, функционально подобный языку-посреднику в современных лингвистических моделях машинного пе-ревода. На самом деле внимательный анализ научного мышленияпозволил бы обнаружить целую иерархию языков-посредников, участ-вующих в потенциальном объяснении таких понятий, как «число»,«фотон» или «время». Однако большинство этих объяснений суще-ствует в непроявленном, незаконченном и зыбком облике, частоспецифичном для индивидуального сознания, поддающемся комму-никации лишь в той мере, в какой удается использовать средстваестественного языка. Естественный язык играет огромную роль в от-крытии, обсуждении и хранении научных знаний, но очень плохоприспособлен к точной передаче содержания этих знаний и той ихобработке, которая составляет важную часть научного мышления.У него иные функции и иные достоинства.

Язык современной, теоретико-множественной математики можетосуществлять роль такого языка-посредника благодаря его уникаль-ной способности одновременно формировать геометрические, про-странственные, кинематические образы и максимально точную за-пись их математического содержания в формализме. Канторовскоеопределение множества, которое приведено выше, с долей иронии на-зывали «наивным», сравнивая его с определением точки по Евклидукак «места без длины и ширины». Эта критика связана с непонима-нием того, что фундаментальные понятия математики, в данной си-стеме не сводимые к более элементарным, обязательно должны вво-диться двумя способами: содержательным («наивным») и формаль-ным. Цель содержательного определения –– создание первоначально-го, еще не вполне оформленного образа, настройка разных индивиду-альных сознаний на один лад, как камертоном. Формальное же опре-деление вводит, собственно говоря, не понятие, а термин, не образ«множества» в структуру сознания, а слово «множество» в структу-ру допустимых языковых текстов о множествах, которые описывают-ся правилами их порождения примерно так же, как инструкции поАЛГОЛу описывают правила составления программы. В пределе иде-ализации вся математика может предстать как потенциальная сово-купность грамматически правильных текстов на формальном языке.

В этом образе есть странная и для многих притягательная эстети-ка уродливости. Возник он в работах мыслителей, задумывавшихсянад тем, как согласовать веру в абсолютную истинность математи-


ческих принципов с абстракциями бесконечных множеств, бесконеч-ных процессов проверок и т. п., через которые эта истинность вво-дится. Исходная гипотеза Давида Гильберта состояла в том, что этиабстракции, строго говоря, не нуждаются в такой «почти физической»и потому сомнительной интерпретации и что их можно считать чистоязыковыми фактами. «Бесконечность» –– это слово, а не явление, по-могающее каким-то образом узнать истины о конечных вещах. Мыуже упоминали, что позже Гедель показал, что такое языковое по-нятие «доказуемой истины» является несравненно более узким, чемабстракция истины, вводимой через идеи бесконечных проверок.

Внешние, естественнонаучные, прикладные, в широком смыслеслова, аспекты математического знания при их гносеологическоманализе позволяют понять кое-что о математическом творчестве идиалектике его взаимоотношений с гёделевским запретом. Принятиеинтерпретации формализма, физической в том или ином смыслеэтого слова, вера в адекватность этой интерпретации и знание каких-то черт поведения физического явления позволяет указать или посту-лировать математические истины, не доступные «чистой интуиции».Это –– источник расширения самой базы математического знания.

В более частном плане соотношение между математическим сим-волизмом, неформальным мышлением и познанием природы в по-следние годы стало возможно рассматривать с точки зрения новыхданных о структуре и функциях центральной нервной системы.

Мозг состоит из двух полушарий, левого и правого, которые пере-крестно связаны с правой и левой половинами тела. Нейронные связимежду полушариями проходят через мозолистое тело и комиссуры.В нейрохирургической практике известен метод лечения, в частно-сти, тяжелых эпилептических припадков, состоящий в рассечениимозолистого тела и комиссур, что прерывает прямые связи между по-лушариями. После такой операции у больных наблюдается необычнаякартина «двух сознаний». По лаконичной формулировке американ-ского нейропсихолога К. Прибрама, результаты исследования такихбольных, а также больных с различными поражениями левого и пра-вого полушарий, можно резюмировать следующим образом: «У прав-шей левое полушарие обрабатывает информацию во многом подобноцифровой вычислительной машине, тогда как правое полушарие фун-кционирует скорее по принципам оптических и голографическихсистем обработки данных». В частности, левое полушарие содержитгенетически заданные механизмы усвоения естественного языка и, бо-лее общо, символизма, логики, «рацио»; правое, молчаливое полуша-рие ведает образами, целостным восприятием, интуицией. Функцио-


нирование человеческого сознания в норме постоянно обнаруживаетэто сочетание двух компонент, одна из которых может проявлятьсязаметнее другой, и открытие их физиологических носителей пролива-ет свет на природу и типологию математических интеллектов и дажешкол в проблеме оснований математики. Можно строить догадкио том, что два великих интеллекта, стоявших у колыбели современнойматематики, –– Ньютон и Лейбниц –– принадлежали соответственно кправополушарному и левополушарному типам. Ньютону мы обязанысозданием математического анализа и первыми фундаментальнымирезультатами математической физики –– закон всемирного тяготения,вывод из него законов Кеплера, теория приливов. Лейбниц же ввелобозначения, в частности

∫

y dx, которыми мы пользуемся и поныне.По словам историка математики Д. Стройка, он был «одним из самыхплодовитых изобретателей математических символов» и даже своюверсию математического анализа изобрел в результате поисков уни-версального языка. (Интересно, что Ньютон, также не избежавшийэтого поветрия времени, не создал формализма анализа и доказа-тельства излагал геометрически.)

Принимая современное представление о функциональной асим-метрии мозга, можно высказать предположение о том, что язык тео-рии множеств позволяет кратчайшим путем достичь сбалансирован-ной активности правого и левого полушарий работающего математи-ка, чем и объясняется его замечательная эффективность.

Я хотел бы в заключение привести слова И.А.Соколянского, посвя-тившего жизнь воспитанию слепоглухонемых детей. Они содержатсяв письме к Вяч. Вс. Иванову, из книги которого «Чет и нечет. Асиммет-рия мозга и знаковых систем» (М.: Советское радио, ) почерпнутаи следующая информация.

Если у слепоглухонемого ребенка не поражены отделы централь-ной нервной системы, ведающие наглядным восприятием внешнегомира, то его можно научить языку, даже звуковому, и обеспечитьполное развитие его личности. Этот процесс происходит в несколькоэтапов. Сначала ребенок поддерживает постоянный контакт с ма-терью или воспитательницей, держится за руку или юбку, ходит подому, ощупывает предметы ее действий, и на этой основе выраба-тывает язык жестов, в той или иной мере имитирующий действияи свойства предметов. В норме это функция правого полушария. От-крытие Соколянского состояло в том, что на следующем этапе можнонаучить ребенка перекодировать язык жестов в пальцевую азбуку, такчто жест-иероглиф замещается жестом-словом. Символ перевода ––специальный жест, подобный математическому знаку равенства, ––


две вытянутые параллельно ладони. Смысл этого перекодированиясостоит в том, что информация передается в левое полушарие, кото-рое, будучи предрасположено к научению дискретному и символи-ческому языку (не обязательно звуковому!), начинает развивать этуфункцию практически с той же скоростью, что и у здорового ребен-ка, –– овладение языком происходит за два-три года. Синтаксис такоголевополушарного языка отличен от «синтаксиса мира», запечатле-ваемого в правом полушарии, и тождествен синтаксису словесногоестественного языка. Семантика же его, видимо, более ограниченаили, во всяком случае, неадекватна семантике зрячего и слышащего.Как объяснить, что значит «звезда», тому, кто никогда не увидитзвезд? Соколянский дает замечательный ответ: «Словесная речь, какбы ею ни овладели безъязычные, сама по себе не может обеспечитьслепоглухонемому полноценное умственное развитие в такой степе-ни, чтобы он мог отразить внешний физический мир так, как этодоступно нормальному человеку. Истинная картина этого мира можетбыть раскрыта только математически развитым мышлением...»

Что такое звезда, спрашивают и те, кто видит звезды, потому чтовидеть глазами –– это еще очень мало.

. Физические величины, размерности и константы:откуда в физике берутся числа

Главная цель физических теорий –– найтичисло, и притом с достаточной точностью!

Р. Фейнман

Это преувеличение. Главная цель физических теорий –– понима-ние. Способность теории найти число –– полезный критерий правиль-ности понимания.

Числа в физике –– чаще всего значения физических величин, опи-сывающие состояния физических систем. Величины –– это родовоеимя для таких абстракций, как расстояние, время, энергия, действие,вероятность, заряд и т. п. В свою очередь, состояние системы характе-ризуется значениями на нем достаточно полного набора физическихвеличин, а систему естественнее всего описывать заданием множе-ства возможных ее состояний. Выйти из этого логического круга,ограничиваясь чисто словесными описаниями, нельзя. Он можетбыть разорван в двух местах –– операционально, когда мы объясняем,как измерить массу Земли или электрона, и математически, когдамы предлагаем теоретическую модель системы или класса систем


и объявляем, что масса m –– это, скажем, коэффициент в формулеНьютона F=ma.

Содержательная, хотя и простая математика, связанная с физиче-скими величинами, начинается с напоминания о том, что значенияфизической величины (точнее, скалярной вещественной величины)можно отождествлять с числами, вообще говоря, только после выбораединицы измерения и начала отсчета (нуля). Разумно не вносить это-го произвола как можно дольше –– некоторые из самых фундаменталь-ных физических законов гласят, что у определенных физических вели-чин имеются естественные единицы. Разберемся в этом подробнее.

Спектр скалярной величины. Назовем спектром величины мно-жество всех значений, которые она может принимать (на состоянияхданной системы, определенного класса систем, «всех» систем –– этоследует уточнять по мере необходимости). Основной математическийпостулат, который можно считать определением скалярной величи-ны в теоретических моделях, состоит в том, что спектр всегда явля-ется подмножеством одномерного аффинного пространства над ве-щественными числами. Иными словами, он лежит на прямой, где неотмечены нуль и единица; если две такие точки отметить, спектр пре-вратится в множество вещественных чисел. Вся соль в том, что иногдаэти точки можно отметить не как попало, а пользуясь самим спек-тром. Вот основные примеры.

а) Скорость. Наименьшую (относительную) скорость естествен-но назвать нулем. Вторая отмеченная точка на спектре скоростей ––это c, скорость света. Общепринятый (после создания специальнойтеории относительности) постулат о спектре скоростей состоит в том,что он заполняет отрезок от нуля до c. Тогда естественно объявить cединицей скорости и считать, что все скорости заполняют отрезок[0, 1]: в более обычных обозначениях так ведут себя отношения v/c.В обыденной жизни мы редко встречаемся со скоростями, большими10−6 по этой шкале (скорость звука).

б) Действие. Это, может быть, самая важная величина во всей тео-ретической физике, и мы посвятим ей отдельную главку. Она прини-мает значения не на мгновенных состояниях, а на отрезках историифизической системы. В классической физике она определяет физиче-ски возможные отрезки истории –– на них действие принимает наи-меньшие допустимые значения. Естественный нуль на спектре дей-ствия –– это действие «бесконечно короткой» истории системы. Верх-ней границы спектра действия мы не знаем. Можно представить себекосмологическую модель, где этой границей будет действие Вселен-


ной на всем отрезке ее истории от Большого Взрыва до Большого Кол-лапса, если последний предсказывается моделью.

Тем не менее вторая отмеченная точка на спектре действия извест-на: это знаменитая постоянная Планка h. В человеческих масштабахона крайне мелка –– действие ручки, написавшей слово «действие»,имеет порядок 1029÷1030 h. Прагматически говоря, h указывает, ко-гда следует пользоваться квантовомеханическими, а не классически-ми моделями: в тех случаях, когда нас интересуют такие подробностиистории системы, на которых действие меняется всего на несколь-ко h. (Впрочем, это условие не необходимо и не достаточно.) Выби-рая h в качестве единицы действия, мы можем считать, что спектрдействия есть полупрямая [0, ∞), а спектр приращений действия ––вся вещественная прямая.

Таким образом, точка h на спектре действия «не видна» в отличие,скажем, от c, которая является правым концом своего спектра. Этоочень странно. Впрочем, есть два контекста, в которых h проявляется.

Один из них связан со спектром спина –– внутреннего момента ко-личества движения элементарных частиц. Спин имеет ту же размер-ность, что и действие, и состоит из целых кратных ħh/2= h/4π. Неозначает ли это, что спин есть истинно фундаментальная величина,а действие –– лишь пережиток классической физики?

Второй контекст –– это знаменитое соотношение неопределенно-стей Гейзенберга. Квантовые модели определяют разбиение системыклассических величин на пары сопряженных: координата –– проекцияимпульса, энергия –– время. Размерность произведения сопряженныхвеличин есть размерность действия. Принцип неопределенности всловесной формулировке утверждает, что оба члена пары сопряжен-ных величин не могут одновременно принимать точного значения нина каком состоянии систем. Произведение неточностей ограниченоснизу величиной ħh/2. Применяя этот принцип к энергии и времени,мы получаем формально соотношение ∆E∆t¾ħh/2, содержательныйсмысл которого многократно обсуждался в физической литературе.С нашей точки зрения, оно означает, что представление о класси-ческом отрезке истории системы, на котором действие меняетсяменьше чем на ħh/2, лишено смысла. Позже мы подробнее обсудимтрудный вопрос о сравнительном смысле одноименных классическихи квантовых величин.

в) Масса. По Ньютону, значения инертной массы можно приписатьстабильным материальным телам. Наименьшие объекты, к которымньютоновское понятие массы еще применимо без принципиальныхоговорок, –– электрон и протон. Они приводят к двум точкам на спек-


тре масс (кроме нуля): me и mp. Характерная масса человеческих мас-штабов определяется с помощью числа Авогадро –– 6,02 ·1023 mp. От-ношение mp/me≈ 1840 является первым истинно фундаментальнымчислом, которое мы до сих пор встретили, в отличие от точек спектра,которые числами, строго говоря, не являются.

Теория, которая его объяснит, наверное, будет важной теорией.Другие элементарные частицы определяют другие точки на спектремасс; измеряя их в единицах me или mp, мы получаем кучу чисел,нуждающихся в теоретическом объяснении.

г) Гравитационная постоянная. Если две точечные массы m1 и m2

находятся на расстоянии r друг от друга и притягиваются с силой F,обусловленной только ньютоновским гравитационным взаимодей-

ствием, то величинаFr2

m1m2

не зависит от m1 и m2. Она была открыта

Ньютоном и обозначается G.Последний пример идейно сложнее предыдущих: для введения G

мы должны явно апеллировать к «физическому закону». Кроме того,мы получили точку нового спектра –– спектра констант связи фунда-ментальных взаимодействий, к которым относятся еще электромаг-нитное, сильное и слабое взаимодействия.

В этом месте пора ввести следующую крупную группу физическихабстракций.

Физический закон, размерность и подобие. Для нужд этогопункта под «физическим законом» будем понимать содержание таких

формул, как F = ma, F = Gm1m2

r2(Ньютон), E = hv (Планк), E = mc2

(Эйнштейн) и т. п. Физическая теория, скажем, механика Ньютонаили электромагнитная теория Максвелла, с математической сторонывключает в себя указание следующих данных: а) основные величинытеории; б) основные связывающие их законы. Кроме того, с операци-ональной стороны, должны быть описаны: в) физические ситуации,в которых можно применять теорию; г) принципы сопоставлениятеоретических высказываний с измерениями и наблюдениями.

Мы занимаемся лишь первой частью. Зная величины и связыва-ющие их законы, мы можем построить фундаментальную математи-ческую характеристику теории –– ее группу размерностей D. На мате-матическом языке это абелева группа, которую можно задать обра-зующими и соотношениями: образующие –– это физические величи-ны теории, а соотношения определяются условием, чтобы все зако-ны теории были однородными. Класс величины в группе D называ-ется размерностью этой величины. Можно выбрать основные вели-


чины, которые в группе D составят независимую систему образую-щих; размерности остальных величин теории будут выражаться че-рез них в виде формальных одночленов. Единицы основных величинопределят единицы остальных. (Все это –– сжатое изложение принци-пов, лежащих за такими школьными обозначениями, как, например,см/с2.) Мы отметим несколько обстоятельств, в которых явное введе-ние группы помогает разобраться в существе дела.

Группа размерностей ньютоновской механики. Она порожде-на размерностями длины L, времени T и массы M . Закон F =ma по-казывает, что сила имеет в этой группе размерность MLT−2, энергия(сила × длина) –– ML2T−2, а действие (энергия × время) –– ML2T−1.

Прогресс физики постоянно сопровождается двумя противопо-ложными процессами: увеличением группы размерностей D в силу от-крытия величин новой природы (электромагнетизм после Ньютона;новые квантовые величины, такие, как «странность», «очарование»,в наши времена) и уменьшением этой группы в силу открытия новыхзаконов, которые дают соотношения между прежде независимымиразмерностями.

Чтобы понять этот второй процесс, вернемся к ньютоновской гра-витационной постоянной G. Размерность ее есть по предыдущим пра-вилам сила× (длина)2 × (масса)−2

=M−1L3T−2. Ее числовое значение,таким образом, зависит от выбора единиц массы, длины и времени.Постоянна же она в том смысле, что после выбора таких единиц еечисловое значение, полученное по формуле Fr2(m1m2)−1, где F, r, m1,m2 измеряются в разных экспериментах типа эксперимента Этвешаили вычисляются по данным астрономических наблюдений, не зави-сит от переменных величин этих экспериментов: r, m1, m2.

После установления этого физического факта мы можем исполь-зовать его для построения уменьшенной группы размерностей D′

теории «механика Ньютона»+ «гравитация Ньютона». Эта уменьшен-ная группа математически является фактор-группой D по подгруппе,порожденной всеми степенями M−1L3T2. В качестве основных раз-мерностей в D′ можно выбрать любую пару (ML), (MT) или (LT),а оставшуюся размерность выразить через эту пару и размерность G.Соответственно число основных единиц, отвечающих D′, уменьша-ется до двух, если выбрать G в качестве единицы измерения размер-ности M−1L3T2. На этом примере также виден физический смыслотмеченных точек спектров: это точки, воспроизводимые в серииэкспериментов некоторого типа, изолирующих определенные взаи-модействия, системы определенного сорта и т. д.


Масштабная инвариантность. Группу подобия, или масштабнойинвариантности, D∗ данной теории с математической точки зренияможно определить как состоящую из характеров группы размерно-стей D, т. е. из отображений χ группы D в положительные веществен-ные числа со свойством мультипликативности: χ(d1d2)=χ(d1)χ(d2)

для всех dl, d2 ∈D. Эта группа имеет прямой физический смысл: онапоказывает, в какой пропорции можно увеличивать (или уменьшать)разные характеристики явления, не выводя его за пределы примени-мости теории. Если все законы теории известны, D∗ вычисляется три-виально. Польза D∗ состоит в том, что иногда ее можно угадать изфизических соображений до того, как становится известным точныйвид этих законов. Тогда оказывается, что D∗ несет о них важную ин-формацию. Известный пример классического открытия, сделанноготаким способом, –– закон Вина ǫ(ν, T)=ν3F(ν/T) для испускательнойспособности абсолютно черного тела как функции частоты и темпе-ратуры. Он отвечает характеру χα([ν])= a, χα([ǫ])= a3, χα([T])= aв группе D∗, где [ǫ], [v], [T] –– соответствующие размерности; a –– лю-бое вещественное число. Можно упомянуть еще соображения Галилеяо размерах животных и многочисленные приложения теории подо-бия в гидро- и аэродинамических расчетах. На уровне фундаменталь-ных теорий группа D∗ является простейшим примером групп симмет-рии, которые в физике элементарных частиц и в квантовой теорииполя все чаще выступают в роли самостоятельных физических зако-нов высшего уровня, накладывающих жесткие ограничения на видзаконов следующего уровня, например лагранжианов. Важнейшие изэтих групп –– некоммутативные и комплексные, как группы унитар-ных вращений U(n), потому что в квантовой механике основные ве-личины лежат в многомерных комплексных пространствах, а не од-номерных вещественных. На это уже другая история.

Планковские единицы и проблема единой физической тео-рии. В ньютоновской физике нет других естественных единиц, кро-ме G. Скорость света c может быть объявлена естественной еди-ницей лишь внутри новой теории, постулирующей ее особую ролькак верхнего предела скоростей распространения материальных тел(недостижимого) или сигналов (достижимого), как инварианта отно-сительно смены инерциальной системы координат, и т. п. Подобнымже образом планковская единица действия ħh стала гербом новойфизической теории –– квантовой механики.

Однако c и ħh, так же как G, имеют вполне определенные размерно-сти в ньютоновской группе D: LT−1 для c и ML2T−1 для ħh. Выбрав G, c


и ħh в качестве основных единиц соответствующих размерностей, мыобнаруживаем, что имеется естественный масштаб, делающий зна-чения всех вообще физических величин, выразимых в D, веществен-ными числами, т. е. имеются естественные единицы всего на свете!В самом деле, размерности M−1L3T−2(G), LT−1(c) и ML2T−1(ħh) порож-дают всю группу D (если уж быть совсем точным, то они порождаютподгруппу индекса два). В частности, естественные единицы длины,времени и массы –– знаменитые единицы Планка –– суть:

L∗ = (ħhG/c3)1/2= 1,616 ·10−33 см;

T∗ = (ħhG/c5)1/2= 5,391 ·10−44 с;

M∗= (ħhc/G)1/2

= 2,177 ·10−5 г.

У читателя должен возникнуть вопрос –– почему же мы ничего неизмеряем в планковских единицах? Прагматический ответ: потомучто они определяют совершенно несуразные масштабы. Боровскийрадиус равен 3,9 ·10−11 см: L∗ меньше него на 22 порядка! Во столь-ко же раз T ∗ меньше времени, за которое свет проходит боровскийрадиус. С другой стороны, M∗ –– это масса вполне макроскопическойпылинки, содержащей примерно 1019 протонов. Планковская едини-ца плотности M∗/L∗3 равна 5 ·1093 г/см, ничего отдаленно подобногоэтому ни в каких условиях мы не можем даже вообразить.

Более содержательное замечание состоит в том, что у нас на самомделе нет единой физической теории, в которой бы фигурировалиодновременно G, c и ħh. Уже теории, соединяющие эти константыпопарно, являются крупнейшими достижениями двадцатого века:(G, c) –– это общая теория относительности; (c, ħh) –– это релятивист-ская квантовая теория поля, сравнительно завершенная лишь дляэлектромагнитных взаимодействий. К фрагментам будущей (G, c, ħh)-теории относятся расчеты квантового рождения частиц в сильныхклассических гравитационных полях, в частности, вблизи черныхдыр малой массы (С. Хокинг). Пока полностью квантовой (G, c, ħh)-теории не существует, планковские единицы остаются отдаленнымипограничными столбами обширной неисследованной территории.

Можно посмотреть на это странное несоответствие порядков вели-чин естественных единиц друг с другом и с привычными единицамис другой точки зрения. В гипотетических фундаментальных уравнени-ях единой теории –– «всеобщей теории всего» (Станислав Лем) –– раз-ные члены (теперь безразмерные числа!) будут принимать (благодаряэтому несоответствию) очень резко отличающиеся по величине зна-чения в зависимости от масштабов области пространства (времени,


импульсов, энергий), в которой помещаются изучаемые нами явле-ния. Самые маленькие члены можно будет отбросить с ничтожнойошибкой, придя к одной из приближенных теорий. Так и происходитна границах применимости известных ныне моделей, когда мы опи-сываем мир классически, в человеческих масштабах (считая v/c= 0

и ħh/S=0, где v –– типичные скорости; S –– типичные действия) или неучитываем гравитацию в микромасштабах, полагая G=0.

На самом деле это содержащее долю истины рассуждение крайненаивно. Настоящая смена теории не есть смена уравнений –– это сме-на математических структур, и лишь фрагменты конкурирующих тео-рий, часто не самые важные идейно, допускают сравнение друг с дру-гом на ограниченном круге явлений реальности. «Гравитационныйпотенциал» Ньютона и «кривизна метрики Эйнштейна» описываютразные миры на разных языках.

Кроме того, жизнь –– может быть, самое интересное физическоеявление –– вышита на ажурной канве игры неустойчивостей, когданесколько квантов энергии могут иметь огромную информацион-ную ценность, а отбрасывание малых членов в уравнениях означаетсмерть.

Классификация физических констант. Подведем некоторые ито-ги. Справочник «Таблицы физических величин» (М.: Атомиздат, )содержит 1005 страниц текста и многие миллионы чисел; как в нихразобраться? Эти величины делятся по крайней мере на четыре типа.

а) Естественные единицы измерения, или физически отмеченныеточки спектров. Это –– не числа, а такие величины, как G, c, h, me, e(заряд электрона). Это –– размерные характеристики некоторых яв-лений, поддающихся воспроизведению многократно, с высокой сте-пенью точности. Это –– отображение того, что природа тиражируетэлементарные ситуации огромными сериями. Размышления над тож-дественностью подобных кирпичиков мироздания приводили иногдак таким глубоким физическим идеям, как статистики Бозе––Эйн-штейна и Ферми––Дирака. Фантастическая мысль Уилера, что всеэлектроны тождественны потому, что представляют собой мгновен-ные сечения запутанной в клубок мировой линии одного электрона,привела Фейнмана к изящному упрощению диаграммной техникивычислений в квантовой теории поля.

б) Истинные, или безразмерные, константы. Это –– отношениянескольких отмеченных точек на спектре величины одной размер-ности, например, отношения масс электрических частиц: мы ужеупоминали mp/me. Отождествление разных размерностей при учете


нового закона, т. е. редукция группы размерностей, приводит к объ-единению прежде разных спектров и к необходимости объяснятьновые числа.

Например, размерности me, c и ħh порождают группу Ньютонаи потому приводят к столь же естественным атомным единицамразмерностей M , L, T , как и единицы Планка. Поэтому их отно-шения к планковским единицам нуждаются в теоретическом объ-яснении. Но, как мы говорили, это невозможно, пока отсутству-ет (G, c, h)-теория. Однако и в (me, c, h)-теории –– квантовой элек-тродинамике –– имеется безразмерная величина, значению которойсовременная квантовая электродинамика в некотором смысле словаобязана своим существованием. Поместим два электрона на рассто-янии ħh/mec (так называемая комптоновская длина волны электрона)и измерим отношение энергии их электростатического отталкиванияк энергии mec2, эквивалентной массе покоя электрона. Получитсячисло α=7,2972 ·10−3≈1/137. Это –– знаменитая постоянная тонкойструктуры.

Квантовая электродинамика описывает, в частности, процессы,в которых не сохраняется число частиц: вакуум рождает электрон-позитронные пары, они аннигилируют. Из-за того, что энергия рож-дения (не меньшая, чем 2mec2) в сотни раз больше энергии ха-рактерного кулоновского взаимодействия (благодаря значению α),удается провести эффективную схему вычислений, в которой этирадиационные поправки не отбрасываются начисто, но и не «портятжизнь» теоретика безнадежно.

Теоретического объяснения величины α не существует.У математиков есть свои замечательные спектры: спектры вы-

деленных линейных операторов –– генераторов простых групп Ли внеприводимых представлениях, объемы фундаментальных областей,размерности пространств гомологии и когомологий и т. п. Простордля фантазии, отождествляющей спектры математиков и спектрыфизиков, открыт –– нужны скорее принципы, ограничивающие вы-бор. Но вернемся к константам.

Следующий их тип, занимающий много места в таблицах, это:в) Коэффициенты пересчета из одних масштабов в другие, напри-

мер, из атомных в «человеческие». К ним относятся: уже упомяну-тое число Авогадро N0=6,02 ·1023 –– по существу, один грамм, выра-женный в единицах «масса протона», хотя традиционное определениенемного другое, а также такие вещи, как световой год в километрах.Наиболее отвратительны для математика здесь, конечно, коэффици-енты перехода от одних физически бессмысленных единиц к другим,


столь же бессмысленным: от локтей к футам или от Реомюра к Фа-ренгейту. По-человечески это иногда самые главные числа; как мудрозаметил Винни-Пух: «Не знаю, сколько в нем литров, и метров, и ки-лограмм, но тигры, когда они прыгают, огромными кажутся нам».

г) «Диффузные спектры». Это –– характеристика материалов (неэлементов или чистых соединений, а обыкновенных технологическихмарок стали, алюминия, меди), астрономические данные (масса Солн-ца, диаметр Галактики...) и многие в том же роде. Природа про-изводит камни, планеты, звезды и Галактики, не заботясь об иходинаковости, в отличие от электронов, но все же их характеристикименяются лишь в достаточно определенных пределах. Теоретическиеобъяснения этих «разрешенных зон», когда они известны, бываютзамечательно интересными и поучительными.

Серию таких объяснений собрал В. Вайскопф в прекрасной статье«Современная физика в элементарном изложении» (Успехи физиче-ских наук. . T. . Вып. . С. ––).

Вот пример физического рассуждения из этой статьи, в которомсвои роли играют все наши главные герои: «Высота гор определяетсяфундаментальными физическими постоянными». Имеется в виду вотчто: самая высокая вершина Земли Джомолунгма (Эверест) имеет вы-соту около км; почему нет более высоких гор? Оказывается, дажебез учета геологических механизмов выветривания и разрушения вы-сота горы ограничена несколькими десятками километров из-за кон-кретных размеров Земли и значений фундаментальных констант. Ар-гументы Вайскопфа таковы: гора слишком большой высоты не смо-жет существовать из-за ожижения своей нижней части под давлениемверхней. Подсчет высоты, при которой давление еще не достаточнодля ожижения, дает оценку

γαa0

αG· 1

N1/3· 1

A5/3≈ 40 км,

где γ= 0,02 –– характеристика теплоты плавления (вполне оценивае-мая через фундаментальные константы); α –– постоянная тонкой струк-туры, αG=Gm2

p/ħhc; N≈3 ·1051 –– число протонов и нейтронов в соста-ве Земли; A≈60 –– средний атомный вес вещества горы. Только числоN здесь не фундаментально. Но и его место на диффузном спектремасс планет ограничено фундаментальными постоянными. Вайскопфс помощью совсем грубых оценок показывает, что N не может пре-восходить примерно 1053, иначе вещество планеты не сможет суще-ствовать в виде неионизированных атомов. Наконец, оценка N снизуполучается, если потребовать чтобы высота гор на планете была не


больше ее радиуса, т.е. чтобы планета была в основном круглая, иначеи о горах нельзя говорить! Эта оценка приводит к величине большихастероидов.

. Капля молока,или Наблюдатель, наблюдение, наблюдаемое

и ненаблюдаемое...Что наблюдалось бы, если не глазами во

лбу, то очами умственными, когда орел, несомыйсилой ветра, выпустит из своих когтей камень?

Г. Галилей

Глазами во лбу мои сверстники наблюдали, как летит бомба, ко-гда открывается замок бомбодержателя, на фоне дымного неба, наэкранах кинохроник и на тысячах детских рисунков; я сам их рисовал.Попробуем забыть об этом и посмотрим на мир очами умственными,как учил простодушного Симпличио наш вечный современник Гали-лео Галилей.

Изолированная система. Среди всех абстракций классическойфизики одной из главных является идея изолированной, или замкну-той, системы. Эта часть Вселенной, эволюция которой в течениенекоторого периода существования определяется лишь внутреннимизаконами. Внешний мир или не взаимодействует с системой вовсе,или в некоторых моделях это взаимодействие учитывается суммар-но как эффект связей, внешнего поля, термостата (таким образом,мы пользуемся словами «изолированная», «замкнутая» шире, чем об-щепринято; изолированность относится, скорее, к математическоймодели). Петли обратной связи нет или она искусственно перере-зана. Мир разбирается на детали, узлы и сборки, как в заводскихспецификациях. И в самом деле, это идеология не только ЧеловекаРазмышляющего, но Человека Делающего. Винтики и шестеренкибольшой машины мира, когда их поведение понято, могут бытьсобраны и соединены в новом порядке. Так появляется лук, ткацкийстанок или большая интегральная схема.

Для математика изолированная система –– это: а) ее фазовое про-странство, т. е. множество мгновенных состояний движения систе-мы; б) множество кривых в фазовом пространстве, изображающихвозможные истории системы, проходимые ею с течением временипоследовательности состояний. Первое –– кинематика, второе –– ди-намика. Важно отличать состояние системы от состояния движения:


первое традиционно задается координатами, второе –– координатамии скоростями; зная лишь координаты, мы не можем предсказатьдальнейшее движение системы, но зная координаты и скорости ––можем. Предположение о том, что замкнутую систему можно описатьхоть каким-то фазовым пространством и системой кривых в нем(иногда все вместе называют фазовым портретом), –– это математи-ческое содержание классического принципа детерминизма.

Один из знаменитых парадоксов Зенона Элейского можно истол-ковать как первую догадку о роли фазового пространства: стрела ле-тящая и стрела неподвижная в каждый момент времени находятсятам, где они находятся; чем же отличается полет от неподвижности?Ответ: видимое место стрелы есть лишь проекция на пространствоположений ее «истинного места» в пространстве пар (положение, век-тор скорости).

Классическая замкнутая система изолирована от всего внешне-го мира, значит, и от внешнего наблюдателя. Она изолирована отвоздействий, которые на нее может оказать наблюдатель. Наблю-дение –– не воздействие. Наблюдение –– это важнейший мысленныйэксперимент, который можно произвести над системой и цель кото-рого состоит в первую очередь в локализации системы в ее фазовомпространстве. Можно сказать и наоборот: фазовое пространство естьмножество возможных результатов мгновенных полных наблюдений.Полное наблюдение позволяет вычислить полную эволюцию клас-сической системы; существование полных наблюдений –– это другаяформа постулата детерминизма. Эволюция –– это набор результатовнаблюдений во все моменты времени. Идея мысленного наблюде-ния без воздействия подкрепляется рассмотрением разных способовнаблюдения, более приближенных к реальности, где воздействиевходит в схему, но может быть сделано сколь угодно малым илиполностью учтено в расчетах, т. е. контролируемо. Эти рассмотрения,по существу, состоят в том, что изолированная система S включаетсякак часть в большую изолированную систему (S, T). Наблюдениюотвечает акт слабого взаимодействия между S и T , почти не нару-шающий эволюции S (может быть, включенный ненадолго и тут жевыключенный). Принципиально важно здесь вот что: к объединению(S, T) все равно применяется абстракция мысленного наблюдения,уже не влияющего на эволюцию объединенной системы. Кроме того,предполагается, что S может стать частью (S, T), не потеряв своейиндивидуальности, ненадолго, обратимо.

Это очень естественный постулат для человека, главное средствонаблюдения которого –– видение. Электромагнитные взаимодействия


столь слабы, что в масштабах от космических до человеческих взглядна систему ничуть не действует на нее.

Умственные очи должны видеть в фазовом пространстве меха-ники, в пространстве элементарных событий теории вероятностей,в кривом четырехмерном пространстве –– времени общей теории от-носительности, в комплексном бесконечномерном проективном про-странстве квантовой теории. Чтобы понимать видимое глазами волбу, мы должны знать, что оно есть лишь проекция на сетчаткубесконечномерного мира. Образ платоновской пещеры кажется мнелучшей метафорой структуры современного научного знания: мы всамом деле видим лишь тени, ибо тень –– лучшая метафора проекции.

Человеку психологически очень трудно выйти за пределы привыч-ных пространственных трех измерений. Но мы вредим себе, пытаясьописать квантовые внутренние степени свободы неловкими словамивроде «значение проекции спина на ось z» –– вектор спина находит-ся в совсем другом пространстве, чем ось z. Стоит вспомнить, чтои трехмерность мира вошла в сознание после огромных усилий –– еенаучили нас видеть художники Возрождения. Уччелло на десять летудалился от дел, чтобы посвятить себя изучению перспективы. Со-временная математика среди прочего –– это суровый тренаж много-мерной перспективы по унифицированной программе. Если веритьнейропсихологам, левая и правая части мозга при этом ведут себя,как слепой и его безногий поводырь, которого первый несет на своихплечах.

В классике наблюдатель, в общем, представлен системой коорди-нат в основных пространствах теории. Единица измерения определя-ет координату в спектре измеряемой величины. Когда эти единицывыбраны, координатные функции, т. е. наблюдаемые величины, отож-дествляют пространство положений, фазовое пространство или их ча-сти с подмножествами Rn и Cn математиков. Теория с наблюдаемымивеличинами хороша, поскольку она одновременно описывает и идеи,и их наблюдаемые «тени». Теория с наблюдаемыми величинами пло-ха, поскольку может оказаться проще, поучительнее, вернее как мож-но раньше явно отделить наблюдаемое от наблюдателя и изучать ихсоотношение как отдельный объект исследования. Цвет по Ньюто-ну и Эйлеру –– это спектральный состав светового излучения в диа-пазоне длин волн около полумикрона; цвет по Гёте –– это то, что мывидим. Поразительно, насколько эти два представления не поддаютсяпрямому сравнению –– их связывает лишь сложная и нетривиальнаяфизиологическая теория цветового зрения. Гуманитарий Гёте не могдопустить отречения от наблюдателя, ибо вся его система ценностей


не способна существовать без идеи человеческого участия как мери-ла вещей. Многое можно сказать в пользу этой точки зрения. Мно-гое можно и возразить; часто лучший способ узнать себя –– отвернуть-ся от себя. Ньютоновская теория цвета –– и все последующие физиче-ские теории –– призваны объяснить, что такое свет безотносительнок тому, что его можно видеть. Для Гёте свет –– это главным образомто, что можно видеть. И опять, как всегда, оказывается, что видимоенужно объяснять через невидимое.

«Все движения, замечающиеся у небесной тверди, принадлежат неей самой, а Земле» (Коперник, ). После этой фразы, сдвинувшейЗемлю, все теории, основанные лишь на «замечающемся», стали ар-хаизмом еще до своего рождения.

Классический наблюдатель живет в мире человеческих масшта-бов, и концепция классического наблюдения претерпевает естествен-ные изменения при переходе к масштабам космологии или микро-мира. Расстояния, времена, энергии и действия астрономическихявлений столь велики, что гипотезу о невлиянии наблюдателя хочетсяпринять без дальнейших обсуждений. Другие проблемы наблюдениявыступают на передний план; две из них можно кратко суммироватьв виде вопросов. Можно ли рассматривать Вселенную как замкнутуюсистему? Как относиться к теории, описывающей явления, которыене могут наблюдаться из-за их разрушительного влияния на наблю-дателя или из-за того, что какие-то области пространства-времениот него принципиально изолированы? (Звездные температуры, мас-сы, давления, гравитационные поля черных дыр, условия БольшогоВзрыва.)

Самые принципы описания замкнутых систем основаны на ги-потезе их воспроизводимости –– фазовое пространство системы ре-ализует идею осуществимости разных состояний и разных путейэволюции. Как совместить эту идею с единственностью эволюции,данной нам в наблюдениях системы? Ответ, конечно, связан с пред-ставлением о локальном взаимодействии «частей мира» между собойи о существенной одинаковости законов физики, действующих в раз-ных частях. В самые простые и самые фундаментальные моделиВселенной (модель Фридмана, модель Эйнштейна––де Ситтера) зало-жена идея однородности, проявляющейся в существовании большойгруппы симметрии математической модели. Во всех моделях космо-логии на первый план выступает аспект представления о замкнутойсистеме, который затемнен в описании более привычных примеров ––степень огрубления деталей. В космологической модели мира неостается и следов обыденности. Но вопреки этому или благодаря


этому статья в «Успехах физических наук» может начинаться фразой:«Мы были бы счастливы, если бы Лебедь Х- оказался черной дырой»(Успехи физических наук. . Т. . Вып. . С. ). Мы знаем кое-чтоо мире потому, что мы счастливы познавать его.

Принципы квантового описания. Итак, идеальный наблюдательмакромира не может его изменить, но даже идеальный наблюдательмикромира не может его не изменить. Это объясняется в бесчислен-ных изложениях квантовой механики, но, кажется, мы понимаем этоочень плохо. Квантовая механика не просто научила нас новым ма-тематическим моделям явлений, она явила образец нового соотноше-ния между описанием и явлением. В частности, целый ряд характери-стик этих моделей на естественном языке приходится объяснять, при-влекая идею «ненаблюдаемости». Смысл этого слова меняет оттен-ки, как Протей: ненаблюдаемы фаза пси-функции, виртуальный фо-тон, цвет кварка, разница между тождественными частицами и мно-гое другое.

Попробуем взглянуть на геометрию квантовой механики умствен-ными очами.

Фазовое пространство. Фазовое пространство замкнутой кван-товой системы есть множество лучей (одномерных подпространств)в комплексном линейном пространстве H , в котором задано такжескалярное произведение. В этом постулате выражены: а) принцип ли-нейной суперпозиции; б) принцип «ненаблюдаемости фазы». Вместоцелой прямой в H , описывающей состояние системы, обычно рас-сматривают один вектор, лежащий в этой прямой. Он определен толь-ко с точностью до умножения на комплексное число. Если даже нор-мировать его условием, чтобы его длина была равна единице, все ещеостанется произвол в выборе множителя eiθ . Это θ и есть «ненаблю-даемая фаза».

Фазовые кривые. Чтобы описать их, мы должны объяснить, каккаждый луч в H меняется со временем t, изображая эволюциюзамкнутой системы. Стандартное описание таково: а) вH имеется Nпопарно ортогональных лучей, которые вообще не меняются: онисоответствуют стационарным состояниям системы (здесь N –– раз-мерность H ; как и в главе , мы для простоты рассматриваем лишьконечномерный случай); б) каждому из стационарных состояний ψ j

отвечает величина E j , имеющая размерность энергии, энергетичес-кий уровень соответствующего стационарного состояния. Если в ну-левой момент времени система находилась в состоянии

∑

a jψ j , то

через время t она будет находиться в состоянии ψ(t)=∑

a jψ j eE j t/iħh.


Заметим, что E j t имеет размерность действия и, естественно, изме-

ряется единицей Планка ħh. Поскольку eEt/iħh= cos

Et

ħh− i sin

Et

ħh, каждое

слагаемое здесь периодично по времени, в сущности, описывает дви-жение по окружности со своей угловой скоростью. Их сумма, такимобразом, изображает вращение вокруг N осей с разными скоростями.Траектории таких двумерных движений –– это известные фигуры Лис-сажу. Другой образ из давней истории науки –– эпициклы Птолемея,также приводившие к сумме круговых движений. Любая координа-та вектора ψ(t) испытывает со временем частые и исключительнонерегулярные колебания; график уже такой простой функции, как10∑

n=1

cos(n2t) выглядит как сейсмограмма. Удобно записыватьψ(t) в ви-

де e−iS(t)ψ(0), где S(t) –– линейный оператор «действие за время t».Наблюдение: печки, фильтры и квантовые скачки. Классиче-

ская идеализация наблюдателя, способного фиксировать мгновенноеположение системы на ее фазовой кривой, заменяется радикальноновой системой понятий. Назовем их сначала не общеупотребитель-ными словами, чтобы не создавать иллюзий. Сильно идеализирован-ные предположения о связи описанной схемы с реальностью состоятв том, что для каждого состояния ψ∈H можно сделать физическийприбор («печку») Aψ, производящий систему в состоянии ψ. Сверхтого, для каждого состояния χ ∈H можно сделать прибор («фильтр»)Bχ , на вход которого подаются системы в состоянии ψ, а на выходеобнаруживаются они же в состоянии χ или не обнаруживается ни-чего («система через фильтр не проходит»). Третий основной (послепринципа суперпозиции и закона эволюции) постулат квантовой ме-ханики состоит в следующем: система, приготовленная в состоянииψ и сразу же после этого пропущенная через фильтр Bχ , пройдет че-рез него и окажется в состоянии χ с вероятностью, равной квадратукосинуса угла между лучами ψ и χ в H .

Если между приготовлением системы в состоянии ψ и ее пропус-канием через фильтр Bχ прошло время t, то вероятность будет равнаквадрату косинуса угла между eiS(t)ψ и χ . Пока с системой ничегоне делают, она движется по своей фазовой кривой. Но как только ееподают на фильтр, пропускающий лишь системы в состоянии χ , век-тор ее состояния скачком меняется –– он либо доворачивается на уголмежду ψ и χ и система проходит через фильтр, либо фильтр ее за-держивает. Система, прошедшая через фильтр Bχ , не несет никакихследов памяти о состоянии, с которым она вошла в фильтр, –– χ можетполучиться из чего угодно.


Если ψ, χ имеют единичную длину, то «вероятность перехода» отψ к χ обозначается |⟨χ |ψ⟩|2, а само скалярное произведение ⟨χ |ψ⟩ на-зывается амплитудой перехода. Поскольку фазы χ иψ не определены,не определен и аргумент комплексного числа ⟨χ |ψ⟩ –– однозначныйсмысл имеют лишь разности аргументов, скажем, ⟨χ1|ψ⟩ и ⟨χ2 |ψ⟩.Квадрат модуля суммы двух комплексных чисел зависит не только отсамих чисел, но и от угла между ними, т. е. разности их аргументов.Это –– «интерференция амплитуд».

Взаимодействие системы ψ с фильтром Bχ –– частный случай то-го, что в квантовой механике называют наблюдением, или изме-рением. Более общая схема получается, если представить себе, чтосистему ψ подают на набор фильтров Bχ1

, …, Bχn, где χ1, …, χn ––

некоторая полная совокупность ортогональных базисных векторов;эти фильтры следует представлять себе расположенными «параллель-но», так что через какой-нибудь из них система пройдет и окажетсяв состоянии χ j . С таким набором фильтров связывают представ-ление о некоторой физической величине B, которая в состоянияхχ1, …, χn принимает значения b1, …, bn соответственно, и говорят,что акт измерения, или наблюдения, приводит к значению b j ве-личины B на состоянии ψ, если ψ прошла через фильтр Bχ j

. Мате-матическим представителем системы фильтров Bχ j

или величины Bпринято считать линейный оператор H →H , который переводитвектор x j в вектор b j x j для всех j. Все такие линейные операто-ры, осуществляющие растяжение H по N взаимно ортогональнымнаправлением с вещественными коэффициентами, называют наблю-даемыми.

Приведем в качестве иллюстрации идеализированное описаниеэксперимента Штерна––Герлаха по квантовому измерению моментаколичества движения (спина) ионов серебра. Гильбертово простран-ствоH , соответствующее спиновым степеням свободы этой системы,двумерно. Серебро испаряется в электрической печке; ионы колли-мируются небольшим отверстием в экране, и получившийся пучокпропускается между полюсами магнита, создающего неоднородноемагнитное поле. В пучке ионы находятся во всевозможных спиновыхсостояниях, но, проходя через магнитное поле имеют тенденцию «сва-ливаться» в одно из двух стационарных состояний χ+, χ− в этом поле,которые по традиции называются состояниями со спином «вверх»и «вниз», если магнитное поле вертикально. На выходе из области поляэти состояния из-за неоднородности поля оказываются пространст-венно разделенными –– пучок делится пополам. Таким образом, маг-нитное поле действует как совокупность фильтров.


Итак, квантовое «наблюдение», по сути дела, не имеет ничего об-щего с классическим наблюдением: а) акт «наблюдения» почти неиз-бежно выбивает систему с ее фазовой траектории; б) акт «наблюде-ния» позволяет зарегистрировать в лучшем случае новое положениесистемы на фазовой кривой, но не то, на котором она находиласьк моменту наблюдения, память о чем теряется; в) новое положениесистемы лишь статистически определяется старым; наконец, г) сре-ди квантовых «наблюдаемых» имеются (и в действительности играютосновную роль) физические величины, которым не отвечают никакиеклассические наблюдаемые.

Сопоставление между значениями квантовых и классических на-блюдаемых может быть лишь очень непрямым. Например, квантовойнаблюдаемой B можно поставить в соответствие ее среднее зна-чение Bψ на состоянии ψ (в смысле статистического усреднения).Оно оказывается равным ⟨ψ|B |ψ⟩ (если |ψ | = 1). (Читатель можетпринять эту запись просто за новое обозначение.) Среднее значение∆Bψ=p

(B−Bψ)2|ψ тогда измеряет разброс значений B относительно

среднего значения Bψ на состоянии ψ. Пусть B, C –– две наблюдае-

мые величины, [B, C]=1

i(BC − CB). Можно показать, что «теорема

Пифагора» вH приводит к неравенству

∆Bψ ·∆Cψ ¾1

2|[B, C]ψ |,

которое является математическим выражением соотношения неопре-деленностей Гейзенберга. Оно чаще всего применяется к парам на-блюдаемых B, C, для которых [B, C] сводится к умножению на ħh. То-гда неравенство принимает более привычный вид: ∆B ·∆C ¾ħh/2 всеравно на каком ψ. Заметим, что если H конечномерно, таких парнаблюдаемых нет; соотношение неопределенности обычно применя-ется к квантовым аналогам пар классических наблюдаемых (коорди-ната и проекция импульса на соответствующую ось, энергия и время).

Объединение квантовых систем. Уже говоря о классическом на-блюдении, мы отметили, что попытка детального описания подразу-мевает включение наблюдаемой системы S в большую систему (S, T).Поэтому следует подозревать, что необычные свойства квантовых на-блюдений удается лучше понять, разобравшись в принципах кванто-вого описания объединенной системы.

Относящийся к этому постулат квантовой механики состоит в том,что пространство состоянияHS,T объединенной системы есть некото-


рое подпространство тензорного произведения HS⊗HT (если S и Tбесконечномерны, то это произведение нужно пополнить; эти тон-кости мы опускаем). Какое именно подпространство HS ⊗HT нуж-но взять, решается на основе дальнейших постулатов. Пока рассмот-рим случай H(S,T)HS ⊗HT . Уже сама формулировка математическоймодели показывает возможность совершенно неклассических связеймежду «частями» S и T объединенной системы. В самом деле, ока-зывается, что для подавляющего большинства состояний (S, T) нель-зя сказать, в каком состоянии находятся S и T «по отдельности», такчто представление о частях оказывается имеющим очень ограничен-ный смысл. Действительно, в HS ⊗HT имеются разложимые состо-яния ψS ⊗ψT где ψS ∈HS, ψT ∈HT . Когда система (S, T) находитсяв одном из таких разложимых состояний, мы имеем основания гово-рить что она состоит из S в состоянии ψS и T в состоянии ψT . Но ужедля состояния ψS⊗ψT +ψS⊗ψ′T такое утверждение несостоятельно.Между тем принцип суперпозиции позволяет строить такие состоя-

ния∑

i

ψ(i)S ⊗ψ

(i)T в большом количестве. Множество разложимых со-

стояний имеет размерность m+n, а всех –– размерность mn, где mn ––размерностиHS иHT соответственно, т. е. почти все состояния (S, T)неразложимы. В подавляющем большинстве состояний (S, T) подси-стемы S и T существуют лишь «виртуально».

Эта неклассическая связь между частями объединенной системычасто не может объясняться на основе классических представленийо том, что связь частей системы осуществляется через обмен энер-гией между ними. Действительно, имеется фундаментальный случайобъединения двух тождественных систем S и T , когда в фазовом про-странстве объединенной системы вообще нет ни одного разложимогосостояния. Пусть S –– фермионная элементарная частица, скажем,электрон, T –– другая такая же частица. Тогда HS,T есть собственноеподпространство HS ⊗HT =HS ⊗HS, состоящее из векторов, меня-ющих знак при перестановке S и T , –– это линейные комбинациивекторов ψ1⊗ψ2 ––ψ2⊗ψ1. Легко убедиться, что каждое состояниесистемы двух электронов неразложимо. Векторов ψ ⊗ ψ, в частно-сти, в фазовом пространстве нет; в популярном изложении говорят,что два электрона не могут находиться в одинаковом состоянии;это основа существования стабильных атомов и, в конечном счете,материального мира, окружающего человека. Однако почти невоз-можно объяснить словами «квазиразложимые» состояния ψ1⊗ψ2 ––ψ2 ⊗ ψ1. Говорят, что один из электронов находится в состоянииψ1, а другой –– в состоянии ψ2, но нельзя сказать, «который» из них


в каком состоянии. Наконец, естественный язык оказывается ужев безвыходном положении, когда нужно объяснить разницу междуобъединением двух тождественных фермионов и двух тождественныхбозонов, где фазовое пространство H(S,S) состоит из симметричныхотносительно перестановок векторов в HS⊗HS, т. е. объяснить, что«различными, но неразличимыми» две системы могут быть двумяразными способами (уже и один способ причинял массу хлопот на-турфилософии).

Здесь уместно сделать отступление о «естественном языке». В дей-ствительности наши представления о «классической» и «неклассиче-ской» физике очень тесно связаны с представлением о том, что мож-но и что нельзя адекватно выразить простыми словами. Положениедел здесь очень нетривиально. Не только популяризатор, но и рабо-тающий физик часто стремится объяснить новое явление, закон илипринцип «на пальцах». Нужно лишь отдавать себе отчет в том, каковоместо такого объяснения. Оно призвано: а) назвать и быть способнымвызвать из памяти соответствующий фрагмент точной теории с мате-матическими формулами, структурами и т. п., подобно тому, как дей-ствует код команды в алгольной программе, включая процесс выпол-нения этой команды, который и составляет ее смысл; б) включитьпроцесс порождения ассоциаций, т. е. помочь обнаружить, что нечтопохоже на нечто другое; в) создать в мозгу структуру интуитивныхпредставлений о предмете, значение которой состоит не в замене точ-ного знания о нем, а в формировании ценностных принципов и воз-можности быстрых оценок –– что искать дальше, в каком направле-нии думать, что правдоподобно и что неправдоподобно. (В частно-сти, в этом польза популяризации для ученых другой специальности.)Мы должны подчеркнуть еще раз следующую точку зрения: семанти-кой словесного описания какого-то фрагмента физики является, в об-щем, не соответствующий комплекс явлений природы, а соответству-ющий фрагмент теории, семантика которой, в свою очередь, экспли-цируется через другие фрагменты теории, операциональные предпи-сания и т. п. Тем не менее, побуждение интерпретировать непосред-ственно языковые выражения может оказаться исключительно пло-дотворным. Так были открыты кварки: когда выяснилось, что про-странство некоторых внутренних степеней свободы нуклона разлага-ется в тензорное произведение трех подпространств, возник соблазнрассматривать эти три подпространства как внутренние степени сво-боды трех новых частиц, из которых состоит нуклон. Эти частицыи суть кварки u, d, s (они «открыты, но не обнаружены в свободномсостоянии»).


Возвращаясь к проблеме квантовых наблюдений, мы приходимк выводу, что неклассичность их математической модели связанав первую очередь с тем, что она является огрублением гораздо бо-лее сложной модели, призванной описывать взаимодействие сис-темы с другой системой –– «прибором». Во время первых дискуссийо смысле математического аппарата квантовой механики особен-но подчеркивалось то обстоятельство, что прибор макроскопичени нет никакой надежды на полную квантовую теорию процесса еговзаимодействия с системой. Это и вынуждает заменять его линей-ным оператором наблюдаемой. Итак, логика математического опи-сания приводит к следующим выводам, которые в совокупностипочти противоречивы. В той мере, в какой абстракция замкнутойквантовой системы правомерна, для ее описания мы нуждаемсялишь в одной «наблюдаемой» –– операторе энергии. Однако с ней неследует связывать представлений об измерении энергии, ибо акт«измерения» требует расширения системы. Локализация системыв ее фазовом пространстве может быть произведена и с помощью«измерения» других наблюдаемых, но они суть огрубленные мо-дели недоступного для полного описания объединения (система ++ прибор + оператор энергии системы/прибора). После взаимодей-ствия с прибором система может потерять свою индивидуальность,и представление о том, что она начинает новую жизнь в точке но-вой фазовой кривой в своем пространстве, может потерять всякийсмысл. Наконец, поскольку и до взаимодействия с прибором системабыла частью чего-то, скорее всего она ни в какой момент не имеетиндивидуальности, нужной для адекватности модели. Кажется, нетменьшей замкнутой системы, чем весь Мир.

После всего этого следует считать чудом, что наши модели успеш-но описывают хоть что-нибудь. На самом деле они успешно описыва-ют очень многое: мы наблюдаем то, что предсказали, и понимаем то,что наблюдаем. Однако этот последний акт наблюдения и пониманиявсегда ускользает от физического описания.

В конце шестидесятых годов были сконструированы оптическиезатворы для фотокамер, позволяющие получить выдержку в десятьпикосекунд. За это фантастически короткое время световой луч в водепроходит расстояние всего 2,2 мм, и можно получить фотографиюкороткого лазерного импульса во флаконе, пока он движется внутринего. В лаборатории «Белл телефон», где были сделаны такие фотогра-фии, в воду добавляли каплю молока, чтобы усилить рассеяние светаи сделать след импульса ярче. Эта капля молока –– символ человече-ского участия в мире, где нельзя быть только наблюдателем.


. Пространство-время как физическая системаЧто такое время, пространство, место и движе-

ние, я не объясняю, ибо это известно всем.И. Ньютон

Время и пространство –– это категории нашегомышления, а не условия нашего существования.

А. Эйнштейн

Мы ощущаем себя локализованными в пространстве и длящимисяво времени, и почти все схемы современной физики в конечномсчете описывают события, происходящие на арене пространства-времени. Однако со времени создания общей теории относительно-сти и квантовой механики все усиливается тенденция рассматриватьпространство-время как особую физическую систему. Принципы ееописания все еще остаются классическими. Трудности квантовойтеории поля, видимо, указывают на то, что эти принципы вступаютв противоречие с универсальными квантовыми законами.

Главный математический образ пространства-времени –– диффе-ренцируемое четырехмерное пространственно-временное многооб-разие, для краткости Мир. Одна точка Мира –– идеализация оченькраткого и «маленького» события, вроде вспышки, излучения илипоглощения фотона атомом. Сверх того, точка Мира –– это событиепотенциальное; точка Мира «готова принять» событие, но «суще-ствует» и помимо него. Образ сосредоточенного в малой областипространства, но длящегося события, такого, как жизнь наблюдателя,звезды, галактики, –– это линия в пространстве –– времени, мироваялиния события или его история. Исключительно важно научитьсяпредставлять себе Мир Становящийся как Мир Ставший, т. е. всюисторию Вселенной или ее большой части как завершенный четырех-мерный образ, нечто вроде «дао» древнекитайской философии. Введе-ние временной динамики –– это следующий шаг, который осуществля-ется так. В Мире между двумя близкими точками xα= (x0, x1, x2, x3)и xα + dxα = (x0

+ dx0, …, x3+ dx3) определено пространственно-

временное расстояние. Его квадрат ds2=∑

gαβdxαdxβ –– квадратич-ная форма от разностей координат близких точек. Здесь xα –– произ-вольная локальная система координат. Классический наблюдатель сосвоей малой лабораторией, состоящей из линеек с делениями и часов,может установить локальную систему координат, в которой x0 = ct;x1, x2, x3 –– прямоугольные координаты в физическом пространственаблюдателя, t –– показания часов. Метрика вблизи него будет близка


к метрике Минковского dx20− (dx2

1+ dx22+ dx2

3). Если представить се-бе, что Мир заселен такими наблюдателями, области действия коор-динат которых его покрывают, то координаты событий должны пере-считываться от одного наблюдателя к другому. Но пространственно-временной интервал между двумя близкими точками, вычисленныйразными наблюдателями, будет одним и тем же. Скорость света с упо-требляется для пересчета временных единиц в пространственные,в них время и измеряется. Мировая линия наблюдателя есть егособственная река времени: атомные часы наблюдателя отсчитывают

значения интеграла∫

p

ds2 вдоль этой мировой линии, т. е. ее длину.Никакого физически осмысленного «общего времени» Вселенной нет;правда, его иногда можно ввести в специальных моделях Мира. Нетничего удивительного в том, что две кривые в Мире с общим началоми концом могут иметь разную длину –– это так уже на евклидовойплоскости. Поэтому не удивительно, что два наблюдателя, сверившиесвои часы и расставшиеся, при новой встрече обнаружат, что ихчасы разошлись. Менее привычно, что если две точки пространства-времени вообще можно соединить мировой линией наблюдателя,то среди таких линий есть самая длинная, но нет самой короткой(на евклидовой плоскости верно как раз обратное). Это специальноесвойство метрики Минковского, связанное с тем, что она не являетсяположительно определенной: квадрат интервала между разными точ-ками может быть положительным, отрицательным и нулем.

Наблюдатели с самыми длинными мировыми линиями, т.е. самымбыстрым течением собственного времени, называются инерциальны-ми. С точки зрения общей теории относительности, они свободно па-дают в поле тяготения. Их мировые линии называются временипо-добными геодезическими.

Второй важный класс линий в Мире –– траектории частиц, летя-щих со скоростью света, вроде нейтрино. Вдоль них пространственно-временной интервал тождественно обращается в нуль –– «время оста-навливается», что и составляет их геометрическое определение. Гео-метрия таких светоподобных геодезических определяет, что можетнаблюдать наблюдатель и, более общо, какие события в Мире могутвлиять на другие события. Именно в ее терминах точно формули-руется, в частности, постулат о том, что никакие сигналы не могутраспространяться быстрее света.

Мир Минковского. Простейшим и важнейшим конкретным при-мером Мира является плоский Мир Минковского. Он хорошо ими-тирует любой другой Мир локально. В этом Мире имеется инер-


циальный наблюдатель с системой координат (xα), покрывающейвесь Мир, в которой метрика тождественно равна (dx0)2− ((dx1)2

+

+ (dx2)2+ (dx3)2). Фиксируем начало отсчета –– точку на мировой

линии этого наблюдателя. Мир МинковскогоM превратится в линей-ное пространство в выбранной системе координат, и эта структуралинейного пространства от инерциального наблюдателя на самомделе не зависит, если не обращать внимания на сдвиг начала отсчета.Поэтому понятия прямой, плоскости, трехмерного подпространствав M имеют абсолютный смысл. Преобразования M (линейные),сохраняющие метрику Минковского, образуют группу Пуанкаре, ачасть из них, оставляющая на месте некоторое начало координат,образуют группу Лоренца. Это –– основные группы симметрии всейфизики, точнее, физических законов: ни точки Мира Минковского,ни система координат инерциальных наблюдателей ничем не пред-почтительны одни перед другими, и все координатные формулировкиодного закона должны быть эквивалентными.

Множество точек, отстоящих на нулевое расстояние от началаотсчета P, образует световой конус CP с уравнением (x0)2 − (x1)2 −− (x2)2 − (x3)2

= 0. Проходящие через P времениподобные геодези-ческие –– это прямые, лежащие внутри CP , а светоподобные геодези-ческие –– прямые, лежащие на самом CP , –– образующие этого конуса.Конус состоит из двух пол –– приходящей и уходящей. Время по вре-мениподобной геодезической течет по направлению из приходящейполы в уходящую. Это различие между полами CP непрерывно за-висит от P, в чем и выражается существование единого направлениявремени во всем Мире Минковского при отсутствии единого времени.

Точка P и времениподобный касательный единичный вектор вней –– это модель «мгновенного наблюдателя» в Мире Минковского.Вектор указывает направление его личного времени. Ортогональноек этому вектору подпространство в M –– это модель трехмерногофизического пространства мгновенного наблюдателя. Его метрика(с обратным знаком) получается ограничением метрики Минков-ского. У двух разных мгновенных наблюдений, даже находящихсяв одной точке Мира M , разные и физические пространства. Онипересекают мировую полосу, скажем линейки, под разными угла-ми. Такое пересечение есть в некотором приближении мгновенныйнаблюдаемый образ линейки. Он может иметь поэтому для разныхнаблюдателей разную длину –– пространственные и временные коор-динаты могут перетекать друг в друга.

Как следует представлять себе наблюдение удаленного объекта,скажем звезды, в Мире Минковского? Пусть наблюдатель движется по


мировой линии P, а звезда –– по своей мировой линии S. Вообразимсебе приходящую полу светового конуса C+P0

точки P0, движущегосявместе с P0∈ P. Она «заметает» за собой некоторую частьM –– областьМира, которую наблюдатель мог наблюдать. В конкретной точке P0

наблюдатель видит звезду в точке пересечения S и C+P0посредством

светового луча, соединяющего S∩C+P0и P0. Но мы должны еще понять,

как узнать видимое положение звезды на небосводе наблюдателя. Де-ло в том, что его небосвод «лежит в его физическом пространстве EP0

»,а не в пространстве Минковского M , и положение звезды моделиру-ется лучом в EP0

. Чтобы получить этот луч, мы должны спроецироватьлуч вM –– полупрямую с концом P0, проходящую через S∩C+P0

в физи-ческое пространство EP0

. Эта проекция –– ортогональная, но, конечно,по отношению к метрике Минковского.

Таким образом, удобно различать «абсолютный небосвод» в точ-ке P0 –– базу приходящей полы светового конуса, и небосвод мгно-венного наблюдателя в этой точке –– проекцию абсолютного небосво-да в физическое пространство этого наблюдателя. В классическойкосмографии небосвод вполне можно представлять себе как хру-стальную сферу неопределенного радиуса; между точками небосводаопределены угловые расстояния, и геометрия небосвода совпадаетс геометрией твердой сферы. Но для другого наблюдателя угловыерасстояния между звездами будут иными; летя с очень большойскоростью в направлении созвездия Ориона, мы увидим, что оносожмется в овчинку, а противоположная небесная полусфера растя-нется (астрономы называют это аберрацией). Таким образом, ма-тематическая структура «абсолютного небосвода» не совпадает соструктурой евклидовой сферы: угловые расстояния на ней не имеютсмысла, не зависящего от наблюдателя. Подробное исследованиепоказывает, что естественная структура абсолютного небосвода –– этокомплексная сфера Римана: плоскость комплексных чисел, дополнен-ная бесконечно удаленной точкой, причем различие между конечны-ми и бесконечной точками забыто. Более точно сфера Римана –– этомножество одномерных векторных подпространств в двумерном ком-плексном векторном пространстве, или комплексная проективнаяпрямая CP1. В частности, естественные координаты звезд на небе ––это комплексные числа. Выберем три опорные звезды и припишемим координаты 0, 1, ∞. Тогда имеется несложная процедура, поз-воляющая по результатам наблюдений поставить в соответствие лю-бой четвертой звезде комплексное число z, и оно получится одними тем же, какой бы наблюдатель в данной точке Мира ни измерилположение звезды.


Если координаты 0, 1, ∞ приписываются не опорным звездам,а точкам неба, в которые направлены три ортогональные оси про-странственной системы координат наблюдателя, тогда, конечно, ком-плексные координаты z и z′ одной и той же звезды для разных наблю-дателей в данной точке Мира могут быть разными. Но они обязатель-

но связаны дробно-линейным соотношением вида z′=az+b

cz+d, где a, b,

c, d –– комплексные числа, не зависящие от звезды, связанные усло-

вием ad− bc=1. Матрицаa b

c d

с определителем единица является

необычным представителем преобразования Лоренца, связывающегодве инерциальные системы координат в одной точке Мира. В совре-менной физике это представление группы Лоренца, однако, гораздоболее фундаментально, чем обычные матрицы пересчета систем ко-ординат.

Искривленный Мир. Более общие модели Мира отличаются отмира Минковского в нескольких отношениях. Во-первых, даже ло-кально в системе координат инерциального наблюдателя метрикане может быть приведена к форме (dx0)2 − (dx1)2 − (dx2)2 − (dx3)2.Во-вторых, может вообще не существовать глобальной системы коор-динат. В-третьих, метрика Мира и история материи и полей в Мирене являются независимыми –– кривизна метрики определяется мате-рией, и, в свою очередь, метрика накладывает сильные ограниченияна возможные истории материи; эти связи –– суть уравнения Эйн-штейна. Геометрически типичные образы искривления создаютсяпри исследовании возможного поведения близких времениподобныхгеодезических (локальный аспект) и световых конусов (глобальныйаспект). Попытаемся дать словесное описание эффектов очень силь-ного искривления, приводящего к понятию черной дыры. Представимсебе мировую линию S точечной массы m. С ней связана характернаядлина пространственно-временного интервала 2Gm/c2 –– так называ-емый радиус Шварцшильда. Точки Мира, лежащие на времениподоб-ном расстоянии от S, не большем радиуса Шварцшильда, образуюттрубу Шварцшильда ¯S вокруг S. Далеко вне ее Мир почти плоский(если отвлечься от влияния остальной материи). Но внутри нее Мирнастолько искривлен, что для любой точки P0∈ ¯S уходящая поласветового конуса CP0

целиком лежит внутри трубы Шварцшильда:каждый световой луч на границе ¯S выглядит как спираль на по-верхности цилиндра. Поле тяготения массы m не выпускает фотоны,испущенные внутри ¯S. Приходящая пола C+P0

, однако, не обязана ле-жать в ¯S –– труба Шварцшильда может поглощать внешнее излучение.


Рассмотрим теперь более реалистическую модель, когда масса mсама сосредоточена в конечной области, радиус которой может бытьбольше радиуса Шварцшильда. Например, для Земли он имеет значе-ние около 1 см, а для Солнца –– около 3 км. В этом случае труба Шварц-шильда не имеет особого физического смысла. Но в процессе эволю-ции звезда достаточно большой массы может под влиянием собствен-ного тяготения сколлапсировать, так что в какой-то точке K0 мировойлинии ее центра радиус звезды сравняется с радиусом Шварцшильдаи затем станет убывать. Отрезок трубы Шварцшильда после точки K0

будет пространственно-временной областью, не доступной внешнемунаблюдению. Четырехмерная картина того, что увидит внешний на-блюдатель, будет примерно такой. Приходящая пола светового конусанаблюдателя в любой точке наблюдения пересекается с мировой тру-бой звезды, но это пересечение всегда происходит раньше точки K0.Иначе говоря, локальное время вдоль того конца луча, который вос-принимает наблюдатель, будет стремиться к бесконечности, тогда каклокальное время вдоль звезды, испускающей луч, будет стремитьсяк конечной величине, отвечающей точке K0 (напомним, что локаль-ное время –– это длина соответствующей мировой линии). «По часамнаблюдателя коллапс длится бесконечно долго».

Еще раз повторим, как соотносится с четырехмерной картинойее видимый образ на небосводе наблюдателя. В искривленном Мирек и без того сложному процессу перевода добавляется лишний шаг ––построение плоского Мира, касательного к искривленному в точке,где находится мгновенный наблюдатель. Чтобы получить на своемнебосводе точку видимого образа звезды S, наблюдатель должен:а) построить в кривом четырехмерии приходящую световую геоде-зическую, соединяющую его положение с мировой линией звезды;б) провести к этой геодезической касательную полупрямую в плоскомМире, касающемся кривого Мира в точке, где находится наблюдатель;в) в плоском же Мире провести касательную к мировой линии наблю-дателя; г) построить в этом плоском Мире мгновенное физическоепространство наблюдателя; д) спроецировать на него касательнуюк лучу от звезды.

Так движутся «тени идей» на стене Пещеры.

Спиноры, твисторы и комплексный Мир. Если согласиться сидеей, что точка пространства-времени есть идеализация класси-ческого образа «мельчайшего события», то мы неизбежно придемк необходимости рассматривать и другие геометрические модели помере возрастания знаний о том, какими характеристиками обладают


такие события. Скажем, акт поглощения фотона далеко не полностьюхарактеризуется указанием, в какой точке Мира он произошел, ––нужно указать энергию и поляризацию фотона. Положение электронана своей мировой линии также еще не определяет полностью егосостояние –– нужно указать направление его спина.

Хотя и поляризация, и спин являются квантовомеханическимивнутренними степенями свободы, замечательно, что их геометриче-ское описание автоматически и очень естественно встроено в гео-метрию Мира. Именно, значение поляризации или спина в точкеМира –– это луч в двумерном комплексном пространстве, или точкана сфере Римана CP1. Оказывается, что эту сферу Римана можносовершенно однозначно отождествить с абсолютным небосводом этойточки, который, как мы объясняли выше, также является сферойРимана. Поэтому для каждого Мира M можно рассмотреть расши-ренный Мир ¯M , одна точка которого является парой (точкаM , точкаабсолютного небосвода над этой точкой M ). Имеется естественноеотображение ¯M→M , превращающее ¯M в расслоение надM со сло-ем CP1. Если заменить здесь каждое CP1 на двумерное комплексноепространство, из которого CP1 получается как пространство лучей,мы придем к знаменитому спинорному пространству Дирака.

Мировую линию частицы со спином, скажем электрона, естествен-но представлять себе как линию именно в ¯M , а не в M . Лучи светатоже, естественно, поднимаются в ¯M : в каждой своей точке такой лучопределяет точку на соответствующем небосводе, куда он направлен;множество таких пар в ¯M и есть образ луча в ¯M . Р. Пенроуз пред-ложил рассмотреть замечательное пространство H, которое получа-ется, если в ¯M каждый луч стянуть в одну точку. Математически Hназывается фактор-пространством ¯M по отношению эквивалентно-сти, определенному лучами в ¯M . Чтобы понять устройство H, разбе-рем случай, когдаM –– плоский мир Минковского. Тогда в ¯M никакаяточка не лежит на пересечении лучей (в отличие от M ) и каждыйлуч с каждым небосводом либо совсем не пересекается, либо пересе-кается в одной точке. Поэтому каждый небосвод CP1 просто вклады-вается в H без самопересечений, а некоторые небосводы попарно непересекаются. Простейшее пространство, куда можно уложить многопроективных комплексных прямых, –– это проективная комплекснаяплоскость CP2. Но она не может быть кандидатом на роль H, ибо лю-бые две прямые в CP2 пересекаются. На самом деле H лежит в CP3 ––проективном комплексном трехмерном пространстве, или простран-стве проективных твисторов. Правда, небеса над точками мира Мин-ковского –– это не все прямые в CP3, а лишь их часть, лежащая на


пятимерной гиперповерхности (всё CP3 шестимерно). Очень полезноввести дополнительные «идеальные» точки плоского мираM , небесанад которыми отвечают недостающим прямым в CP3. Получится ком-плексное компактное пространство—время Пенроуза CM –– в нем ко-ординаты точек могут быть любыми комплексными числами и, сверхтого, имеется еще целый комплексный световой конус, «лежащий набесконечности».

Может ли такая абстрактная конструкция иметь какое-либо отно-шение к физике? По-видимому, ответ должен быть утвердительным.Один из аргументов состоит в открытой сравнительно недавно анало-гии между квантовой теорией поля и статистической физикой. Еслив основных формулах квантовой теории поля чисто мнимую коор-динату ict заменить вещественной, то, грубо говоря, они перейдутв основные формулы статистической физики (роль ict играет обрат-ная температура). Такая замена геометрически означает переход отмира Минковского с неопределенной метрикой к трехмерному ми-ру Евклида с метрикой «сумма квадратов». Этот мир благополучнопомещается в CM , нужно лишь развернуть временную ось в M на90. Все остальные точки CM получаются в результате интерполяциимежду мирами Евклида и Минковского, и, видимо, описания многихважных событий допускают аналитическое продолжение сM на CMили на часть CM . Стандартный пример –– сопоставление «туннельно-го перехода» квантовой механики с классической эволюцией системыв мнимом времени.

Сам «рай Пенроуза» H = CP3 (пространство, где помещаются всенебеса, но ничего не осталось от пространства-времени, естественноназвать раем), как оказалось совсем недавно, очень полезен дляизучения уравнений Максвелла и их обобщений –– уравнений Янга––Миллса, которые, как теперь предполагается, описывают глюонныеполя, связывающие кварки в нуклоне. Имеются глубокие физиче-ские основания считать, что мир, заполненный лишь излучением(или частицами, летящими с околосветовыми скоростями, почтивдоль световых конусов), должен лучше описываться в терминах гео-метрии H, чем уже привычного нам вещественного четырехмерия.К пространству-времени нас привязывает масса, она мешает намлететь со световой скоростью, когда время останавливается, а про-странство теряет смысл. В мире света нет ни точек, ни мгновений;сотканные из света существа жили бы «нигде» и «никогда», лишь по-эзия и математика способны говорить о таких вещах содержательно.Одна точка CP3 есть вся история жизни свободного фотона –– самоемаленькое «событие», которое может произойти со светом.


Пространство-время, гравитация и квантовая механика. Са-мое важное, что следует усвоить при обдумывании взаимоотношениймежду нашими моделями классического Мира и квантовомехани-ческими принципами описания материи, состоит в том, что мыочень плохо понимаем эти взаимоотношения. Основные принципыописаний взаимно несогласованы.

Вот один из примеров расхождений. Пытаясь отметить точку Мирана мировой линии частицы массы m, мы не можем сделать это с мень-

шей ошибкой, чем радиус Шварцшильда 2Gmc2

этой массы. Поэтому,

пытаясь увеличить точность, мы должны пользоваться частицамикак можно меньшей массы. С другой стороны, как заметили Ландауи Пайерлс, из соотношения неопределенности для пары (координата,импульс) и ограниченности всех скоростей скоростью света следует,

что неопределенность положения не может быть меньшеħh

mc, т. е. уве-

личение точности требует использования частиц как можно большеймассы! Оба предела сравниваются при массе, которая находится из

равенстваħh

mc=

2Gmc2

, т. е. как раз массе Планка. Этот общий предел

есть планковская длина. Значит, планковская единица длины (напом-ним, что ее порядок равен 10−33 см) указывает границы, за пределамикоторых заведомо неприменимо представление о пространственно-временной области, способной быть носителем элементарного собы-тия. События, изучаемые на современных ускорителях, происходятв гораздо больших областях, но все же предел локализации в рамкахсовременных теорий указывается четко.

Квантовые принципы еще многими способами мешают представ-лять точку Мира как элементарное событие. Свободная квантовая ча-стица с фиксированным четырехмерным импульсом k не локализова-на нигде –– она «равномерно размазана по Миру», ее пси-функция естьплоская волна де Бройля eikx. Две тождественные квантовые частицыдолжны описываться пси-функцией, зависящей от двух точек Мира:симметричной для бозонов и антисимметричной для фермионов. Ноэто буквально означает, что в одной точке Мира вообще ничего не мо-жет «происходить», точнее говоря, через пси-функции материи и по-лей одна точка неразрывно связана со всеми остальными.

Образ вещественного четырехмерного Мира с метрикой Минков-ского в будущей теории может оказаться чем-то вроде квазиклассиче-ского приближения к бесконечномерному комплексному квантовомуМиру. Например, в геометрической оптике, являющейся приближе-нием к волновой, есть понятие каустики –– множества точек, где ин-


тенсивность излучения в этом приближении бесконечна. Заманчивопредставлять себе четырехмерный Мир как своего рода каустическоемногообразие квантового волнового бесконечномерия. Наши затруд-нения с бесконечной плотностью энергии вакуума прекрасно разре-шились бы в этой схеме.

Группа Лоренца является странной группой с вещественной точ-ки зрения, но если заменить ее на SL(2, C) –– группу комплексных(2 × 2)-матриц, мы получаем очень естественный объект –– группусимметрии простейшего мыслимого пространства состояний кван-товой системы. Не значит ли это, что спиновые степени свободы яв-ляются более фундаментальными, чем пространственно-временные?В группе SL(2, C) таинственное для нас разделение Мира на простран-ство и время содержится неявно, и потому его существование «объяс-няется» на основе принципов, не предполагающих такого разделениязаранее. Более того, как мы видели, Мир без массы можно получитьиз SL(2, C) (или ее обобщения SL(4, C)) и не вводя пространства-времени. Точки нашего четырехмерного Мира, или, лучше, его мел-кие области, отмечены событиями, которые происходят с массивнойматерией. Возможно, и масса, и пространство-время есть результатспонтанного нарушения симметрии основных законов.

Такую теорию трудно придумать. Мы все еще пытаемся кванто-вать классическую Вселенную как атом водорода, вместо того чтобыпытаться получить ее образ как предел квантового описания. Можетбыть, первая квантовая модель Мира, скажем, вблизи Большого Взры-ва, будет совсем простой математически, и лишь привычки инертногоума мешают нам угадать ее сейчас. Хотелось бы дожить до времени,когда такая модель будет предложена и принята.

. Действие и симметрия

Физика там, где есть Действие.

Неизвестный автор

Шарик, катающийся в желобе под действием собственного веса, ––простейшая физическая система. Состояние покоя –– его простейшаяистория. Шарик может покоиться лишь в тех точках желоба, где каса-тельная к желобу горизонтальна, иначе он скатится под уклон. Зада-дим положение шарика горизонтальной координатой x и обозначимчерез V(x) его потенциальную энергию (пропорциональную высотежелоба) в точке x. Точки x, в которых шарик может покоиться, –– это

решения уравненияdV

dx=0 или dV =0; приращение функции при ма-


лом удалении от такой точки имеет высший порядок малости по срав-нению с приращением координаты. В этих точках V стационарна.

Второй пример –– мыльная пленка, натянутая, скажем, между дву-мя проволочными окружностями. Равновесная форма покоящейсяпленки определяется тем, что при малых изгибах ее энергия по-верхностного натяжения V меняется на величину высшего порядкамалости по сравнению с некоторой естественной мерой величиныизгиба. Энергия поверхностного натяжения V пропорциональна пло-щади пленки, так что форма покоящейся пленки есть состояние,в котором площадь стационарна. Функция (или функционал) V в этомслучае определена не на числах x, а на всевозможных поверхностях,натянутых на заданный контур. Вместо дифференциала dV принятописать «первую вариацию» δV .

Пусть, например, проволочные обручи радиусов r и R находятсяв параллельных плоскостях на расстоянии l, и линия, соединяющаяих центры, перпендикулярна этим плоскостям. Она является осьюсимметрии контура, и потому следует ожидать, что равновесная фор-ма пленки будет поверхностью вращения кривой q(x) с условиямиq(0) = r, q(l) = R. Примем это; тогда энергия V пропорциональна

площади 2πl∫

0

q(x)

1+ dq

dx

21/2

dx и уравнение δV = 0 можно пе-

реписать:

−qd2q

dx2+

dq

dx

2

+1 = 0

и затем решить его с поставленными граничными условиями.Такой переход к формализму и полезен и опасен. Мы постулиро-

вали, что симметрия граничных условий ведет к симметрии равно-весной формы. Вот совершенно аналогичный пример, когда это, оче-видно, не так. Нагрузим упругий вертикальный стержень сжимающейсилой; при некоторой критической величине нагрузки он изогнет-ся. Направление изгиба в плоскости, перпендикулярной стержню, ни-чем не выделяется в первоначальной осесимметричной картине, новыделено, когда изгиб произошел. В таких ситуациях физики гово-рят о спонтанном нарушении симметрии: явление, подчиняющеесянекоторым законам, менее симметрично, чем сами эти законы. Ещев нашей задаче мы забыли о решении, состоящем из двух плоскихпленок, натянутых на каждый обруч в отдельности. Это напомина-ние о том, что, исследуя функционал V на таком бесконечномерноммногообразии, как пространство поверхностей, нужно попробоватьразобраться заранее в его геометрическом устройстве. Такими зада-


чами занимается топология. Лишь в последние годы доставляемыеею геометрические образы стали применяться в физике, например,в квантовой теории поля появилось представление о «топологическомзаряде». К сожалению, нам некогда этим заниматься. Математическиобычно полезно считать основным уравнением δV =0, пусть с не доконца определенной областью существования функции V , подлежа-щей уточнению в ходе решения задачи. График V –– это бесконечно-мерный желоб, по которому движется, ища покоя, наша система.

Физически этот образ оправдан поразительно универсальным прин-ципом, который можно сформулировать так: развитие во временифундаментальных классических систем есть их равновесие в про-странстве-времени. Более точно, кинематика системы определяетсяописанием множества ее виртуальных историй –– «пленок» в доступ-ных ей пространственно-временных областях. На этих виртуальныхисториях определен функционал S размерности действия. Динамикасистемы описывается условием δS=0. Переход от размерности энер-гии (V) к размерности действия (S) связан, конечно, с добавлениемвременной координаты. Действие первично; энергия есть всего лишьего производная по времени. В следующей фундаментальной теориидействие останется, тогда как энергия станет квазиклассической ве-личиной.

Виртуальная история ϕ системы в пространственно-временнойобласти U классически определяется сечением расслоения степенейсвободы системы над этой областью. Если область представлена ввиде объединения двух своих непересекающихся частей U1, U2, а ис-тория ϕ есть объединение историй ϕ1 и ϕ2, то действие ϕ равносумме действий ϕ1 и ϕ2. Этому постулату удовлетворяют почти всеиспользуемые в классической физике функционалы действия. Сталобыть, полное действие истории ϕ в области U можно записать в видесуммы действий ϕ по многим маленьким областям, покрывающим Uв пределе в виде интеграла

S(ϕ) =

∫

U

L(ϕ(x, y, z, t)) dx dy dz dt,

где (ϕ) –– набор внутренних координат системы и их производных попространству и времени. Функцию L (или ее интеграл по простран-ственным координатам) называют лагранжианом системы: это плот-ность действия. Если мы поместим в область пространства-временидве системы с лагранжианами L1, L2, то лагранжиан объединеннойсистемы имеет вид L1+ L2+ L12, где третий член есть «плотность вза-


имодействия». Две системы не взаимодействуют, если этот член равеннулю.

Само пространство-время («вакуум») вносит в лагранжиан член,пропорциональный его кривизне. Поэтому пространство-время мож-но рассматривать на тех же основаниях, что и системы, включающиемассивную материю или электромагнитное поле.

Роль действия в квантовой физике чрезвычайно прояснил РичардФейнман, основываясь на более ранней работе Дирака. Его идеиза отсутствием фундаментальной квантовой теории мы вынужденысейчас формулировать как рецепт «квантования», т. е. перехода отклассического описания некоторой физической системы к ее кванто-вому описанию. Согласно этому рецепту следует представлять себе,что в квантовое описание истории системы вносит свой вклад каждаяклассическая история ϕ, но со своим комплексным весом (фазовыммножителем) eiS(ϕ) (действие, конечно, измеряется в единицах ħh).Поясним это подробнее. Фиксируем классическое поведение системына границе области U , скажем, ϕ1 и ϕ2 в моменты времени t1 и t2.Квантовая теория ставит в соответствие этим условиям –– «обручамдля пленки» –– не классическую историю развития от ϕ1 до ϕ2, а ком-плексное число G(ϕ1, t1, ϕ2, t2) –– амплитуду вероятности переходаиз состояния (ϕ1, t1) в состояние (ϕ2, t2), квадрат модуля которойв принципе наблюдаем или входит в другие наблюдаемые величи-ны. Предписание Фейнмана состоит в том, что эта амплитуда есть∫

e−iS(ϕ)Dϕ, где интеграл берется по бесконечномерному множествуклассических историй, соединяющих (ϕ1, t1) и (ϕ2, t2); Dϕ вместо dϕслужит напоминанием об этой бесконечномерности: это не диффе-ренциал, а «элемент объема»!

В предыстории интегрального исчисления важное место занима-ет замечательный труд Кеплера «Стереометрия винных бочек». Ин-тегралы, выражающие объемы тел вращения, полезных в народномхозяйстве, были вычислены в этой работе до появления общего опре-деления интеграла. Математическая теория великолепных интегра-лов Фейнмана, которые физики пишут в огромных количествах, всееще недалеко ушла от стереометрии винных бочек. С точки зренияматематика, каждое такое вычисление есть заодно определение то-го, что «вычисляется», либо построение текста в формальном языке,грамматика которого заранее не описана. В процессе таких вычис-лений физик спокойно делит и умножает на бесконечности (точнее,на нечто, что, если бы оно было определено, вероятно, оказалось быбесконечным); суммирует бесконечные ряды бесконечностей, пред-полагая при этом, что два-три члена ряда дают хорошее приближение


ко всему ряду, и вообще живет в царстве свободы, нарушая все «мо-ральные нормы».

Едва ли можно будет построить последовательную математическуютеорию интегралов Фейнмана без прогресса в понимании физики.Сама идея «квантования» принадлежит не физике, а истории и пси-хологии науки –– содержательный смысл может иметь лишь «декван-тование», т.е. переход от квантового описания к классическому, когдаон разумен, но никак не наоборот. Классические поля, входящиев лагранжианы слабых и сильных взаимодействий, являются физи-ческими фантомами: мы не знаем их смысла, помимо вторичногоквантования, и неправдоподобно, чтобы они описывали виртуальныеклассические истории чего бы то ни было. (Считается, что с кванто-ванием электромагнетизма дело обстоит лучше.)

Конечномерные квантовые модели позволяют предположить, ка-кие черты фейнмановской формулировки существенны, а какие явля-ются атавизмом. Как было объяснено в третьей главе, оператор эво-люции замкнутой локализованной квантовой системы за ее локаль-ное время t имеет вид eiS(t), где S(t) –– на этот раз оператор размер-ности, действия. Представляя себе разные мировые линии системыс разными локальными временами, мы убеждаемся, что квантовоедействие есть связность в пространстве внутренних степеней свобо-ды системы, определяющая физически допустимые истории как па-раллельные переносы. Рецепты вторичного квантования –– это при-митивное оформление представления о том, что из-за виртуальногорождения частиц уже у вакуума пространство внутренних степенейсвободы «в одной точке» бесконечномерно. Дальнейшее пониманиеблокируется, пока мы не отказались от идеи пространства-временикак основы всей физики.

«Симметрия обозначает тот вид согласованности отдельных ча-стей, который объединяет их в единое целое. Красота тесно связанас симметрией» (Г. Вейль).

Кроме этой цитаты, я не повторю ничего из написанного Гер-маном Вейлем в его замечательной книге «Симметрия» (М.: Наука,). Ее нужно прочесть каждому, кто хочет пройти хотя бы частьдороги от восприятия симметрии как чувственной данности (цветы,орнаменты, кристаллы) до ее понимания как глубочайшей физико-математической идеи.

Универсальный математический образ симметрии –– это группа Gи ее действие на множестве X , например, группа Sn всех перестано-вок чисел (1, …, n). Действие есть отображение G× X→ X , ставящеев соответствие паре (элемент группы g, точка множества x) элемент


множества gx (образ x под действием g). Все элементы вида gx припеременном g составляют орбиту x под действием группы. Самагруппа G никогда не задана как физический объект –– мы можем вооб-разить твердое тело как чувственную данность, но множество всех еговращений есть идея, находящаяся на следующей ступени абстракции.Омонимичность слов «действие» в контекстах «действие группы»и «действие отрезка виртуальной истории» в основных европейскихязыках есть случайное следствие смутного исходного представленияоб «изменении как результате делания», но в выражении для кван-тового оператора эволюции U(t)= e−iS(t) эта омонимия неожиданноприобрела глубокий смысл.

Отделение понятия абстрактной группы от понятия ее действияна множестве было одним из великих достижений математическоймысли и оказалось очень важным для физики. Вообразим себе атомводорода в виде электрона, движущегося в центральном кулоновскомполе около неподвижного ядра. Евклидова группа вращений вокругядра SO(3) действует на комплексном линейном пространстве кван-товых состояний электрона. Оказывается, что все бесконечномерноепространство возможных связанных состояний разбивается на суммуконечномерных подпространств, на которых SO(3) действует по от-дельности. Эти действия –– неприводимые линейные представлениягруппы и суть возможные стационарные состояния атома водорода.Их точное математическое описание объясняет спектр, квантовыечисла и т.п. Аналогично группа Пуанкаре –– полная группа симметрииМира Минковского –– действует на пространстве квантовых состо-яний воображаемой одинокой элементарной частицы в Мире, гдекроме нее ничего нет. Как показал Юджин Вигнер, эксперимен-тальная классификация элементарных частиц по их массе и спинувкладывается в классификацию (бесконечномерных) неприводимыхпредставлений группы Пуанкаре. Это дало повод к шутке, что мирдвадцатого века состоит не из четырех стихий –– огня, воздуха, зем-ли и воды, а из неприводимых представлений некоторой группы.Теоретическая физика последних десятилетий усиленно занималасьпоисками группы симметрии фундаментальных взаимодействий: ихзаконы (лагранжианы) выступают как вторичный объект в матема-тическом описании.

В физических изложениях, подчеркивающих скорее формализм,чем его теоретико-множественную интерпретацию, бывает иногдазатемнено описание того, на чем действует группа симметрии. Вотдва крайних случая, ведущих, по существу, к разной физике: а) группасимметрии G действует на фазовом пространстве системы и перево-


дит в себя ее фазовый портрет; б) фазовое пространство X системысамо представляется в виде множества орбит некоторого другогопространства Y под действием группы G.

К случаю а) принадлежит описание рассмотренного выше атомаводорода. Дискретные инварианты неприводимого представления ––это квантовые числа соответствующего состояния, но сам вектор со-стояния в пространстве представления еще не определен однознач-но, как в примере с изгибом стержня. Симметрия снова спонтаннонарушена. В схемах описания фундаментальных взаимодействий ча-сто постулируют схему нарушения симметрии более слабым взаимо-действием. Нарушение симметрии –– это тоже многозначный термин.О спонтанном нарушении можно говорить, когда фазовый портретсистемы симметричен, но не симметричны его отдельные траекто-рии. Учет нового взаимодействия нарушает симметрию всего фазово-го портрета, ибо, вообще говоря, изменяет его. Но если это изменениеневелико, то его можно учитывать приближенно, рассматривая какмалое возмущение исходной симметричной картины.

К случаю б) относятся так называемые калибровочные теории.Классическое поле материи в такой теории (объект, подлежащий вто-ричному квантованию) является не сечением расслоения внутреннихстепеней свободы, как мы говорили раньше, а целой орбитой такихсечений под действием калибровочной группы преобразований. Надодной точкой пространства-времени такая группа представляетсянекоторыми вращениями пространства внутренних степеней сво-боды, но эти вращения могут независимо и непрерывно менятьсяс изменением точки. Условие, чтобы лагранжиан теории был инва-риантен относительно таких преобразований, накладывает на негоочень жесткие требования, что резко ограничивает выбор лагранжи-ана. В суперсимметричных теориях, о которых мы вкратце говорилив первой главе, калибровочная группа может быть еще более общимобъектом, перемешивающим, в частности, бозонные и фермионныеполя. С калибровочными и суперсимметричными теориями сейчассвязаны основные надежды на построение единой теории фундамен-тальных взаимодействий.

В заключение я хотел бы сказать несколько слов о теории чи-сел –– высоко развитой и обладающей изумительной красотой ма-тематической дисциплине, которая до сих пор не нашла никакихглубоких естественнонаучных приложений. Один из главных объ-ектов ее изучения –– простые числа: целые положительные числа, неимеющие целых делителей, кроме себя и единицы. Еще в «Началах»Евклида содержится теорема о том, что простых чисел бесконечно


много (зная их конечную систему p1, …, pn, мы можем построитьеще одно простое число как наименьший, отличный от единицыделитель числа p1…pn + 1). Это –– замечательное рассуждение привсей его краткости. Вот более свежий образец теоремы о простыхчислах. Обозначим через τ(n) (n-е число Рамануджана) n-й коэф-фициент ряда, который получится после формального разложения

бесконечного произведения x∞∏

m=1

(1− xm)24. Если p –– простое число,

то |τ(p) |< 2p11/2. Доказать это здесь никак невозможно; по оценкеего автора, П. Делиня, чтобы изложить это доказательство, считаяизвестным все, что знает студент третьего курса мехмата, понадо-билось бы около двух тысяч страниц печатного текста. Вероятно,по отношению длины доказательства к длине формулировки этатеорема занимает рекордное место во всей современной математике.Разумеется, вместе с ней мы поняли еще много интересных вещей ––для доказательства была создана большая новая теория («l-адическиекогомологии») и пришлось пользоваться двумя-тремя старыми (груп-пы Ли, автоморфные функции...).

Замечательно, что самые глубокие идеи теории чисел обнаружи-вают далеко идущее сходство с идеями современной теоретическойфизики. Подобно квантовой механике, теория чисел доставляет со-вершенно не очевидные образы соотношения между непрерывными дискретным (техника рядов Дирихле и тригонометрических сумм,p-адические числа, неархимедов анализ) и подчеркивает роль скры-тых симметрий (теория полей классов, описывающая связь междупростыми числами и группами Галуа полей алгебраических чисел).Хочется надеяться, что это сходство не случайно, и мы уже слышимновые слова о мире, в котором живем, но только не понимаем покаих смысла.

Литература. Вигнер Е. Этюды о симметрии. М.: Мир, .. Компанеец А. С. Симметрия микро- и макромира. М.: Наука, .. Математика в современном мире. М.: Мир, .. Фейнман Р. Характер физических законов. М.: Мир, .. Эйнштейн А. Физика и реальность. М.: Наука, .

Связи между математикой и физикой

Вкратце описав математическую структуру современной физики, мы перехо-дим к анализу расхождения между математикой и физикой, возникшего в первойполовине XX века; особое внимание будет уделено роли, которую в каждой из этихнаук играют строгие определения и доказательства, алгебраические вычисленияи нечетко сформулированные идеи.

§ . Предисловие

Начать мне бы хотелось с явного описания общей концепции этойстатьи.

Для этого удобно обратиться к опыту сравнительного языкозна-ния. История языка –– это не история всех (или хотя бы «самых важ-ных») высказываний на этом языке, письменных или устных. Это ––история эволюции языка как системы. Для изучения же эволюциисистемы необходимо предварительно описать ту систему, истори-ей которой мы занимаемся. Применение этой соссюровской схемык истории математики (стоит заметить, что я не считаю, что мате-матика –– это только язык) было бы, видимо, очень по душе ЖануДьедонне, который, будучи активным членом группы «Бурбаки», учас-твовал в создании систематизированной картины современной ма-тематики . В этом докладе я последую его примеру, но в гораздоболее скромных масштабах. Само собой разумеется, что недостатоквремени, места и познаний вынуждает меня ограничиться однойтонкой цепочкой связанных друг с другом идей, представленныхв высшей степени односторонне.

Тем самым я отказываюсь (хоть и неохотно) обсуждать историюпо Леопольду фон Ранке, с упором на то, «как оно было на самомделе». Одна из причин этого отказа состоит в том, что история совре-менной математики в значительной мере сводится к утверждениям

Впервые опубликовано в сб.: Materiaux pour l’histoire des mathematiques au XXe

siecle. Actes du colloque a la memoire de Jean Dieudonne (Nice, ). Перевод с англий-ского С. М. Львовского.

Жан Дьедонне, каким я его запомнил, был человеком с мощным голосом, сильны-ми руками и твердыми взглядами. В частности, он настаивал на том, что в вычисленияхс тензорами следует использовать тензорные произведения и коммутативные диаграм-мы, а не классические верхние и нижние индексы. Я был солидарен с его мнением, чтоэто экономит бумагу, пока в какой-то момент мне самому не понадобилось провестивычисление с тензорами. Тогда я обнаружил, что индексы гораздо экономичнее.

Сâÿçè ìåæäó ìàòåìàòèêîé è ôèçèêîé

о том, кто что доказал и кому принадлежит приоритет: ей сильнонедостает того драматизма, который присущ истории борьбы за ре-альную власть. Более личная и более существенная причина краткосформулирована Иосифом Бродским в его автобиографическом эссе«Меньше единицы»: «То немногое, что я помню, еще уменьшается,когда я вспоминаю это по-английски».

Наконец, последнее предупреждение и извинение. Всякая систе-ма, разумеется, является теоретическим конструктом. Как таковой,она в лучшем случае является относительной и культурно обуслов-ленной, в худшем –– субъективна. Именно в таком виде она и можетслужить материалом для истории математики XX века.

§ . Математическая физика как система

.. Физика. Физика описывает внешний мир; в пределах своейприменимости, она делает это в двух модальностях: классическойи квантовой.

В классической модальности события происходят с телами и поля-ми, расположенными и эволюционирующими в пространстве-време-ни. Физические законы накладывают ограничения непосредственнона наблюдаемые величины. В своей основе эти законы детермини-стичны и выражаются дифференциальными уравнениями; для этихуравнений выполняются (иногда гипотетически) подходящие теоре-мы существования и единственности.

Статистическая разновидность классической модальности имеетдело с вероятностями и средними значениями, которые (иногда ги-потетически) можно вывести из идеального детерминистическогоописания. Необходимость статистического описания диктуется дву-мя основными обстоятельствами: слишком большим количествомстепеней свободы и неустойчивостью. (Выражаясь метафорически,неустойчивость означает, что каждый последующий десятичный знакдобавляет новую степень свободы.)

Фундаментальными физическими абстракциями являются изоли-рованная система, эволюционирующая независимо от всего осталь-ного мира, и взаимодействие между потенциально изолированнымисистемами (или между изолированной системой и остальным ми-ром).

Пространство-время –– один из самых замечательных взлетов во-ображения в классической физике –– также выглядит как изолирован-ная система, управляемая уравнениями Эйнштейна из общей теорииотносительности (при этом, возможно, тензор энергии-импульса от-вечает за все то, что не является чистым пространством-временем).


В квантовой модальности теоретического описания наблюдае-мый мир является вероятностным по своей сути. Более того –– и этоособенно важно, –– основные законы, являющиеся в некотором смыс-ле детерминистическими, описывают ненаблюдаемую сущность, ам-плитуду вероятности, являющуюся комплекснозначной функциейна пространстве квантовых траекторий. Грубо говоря, амплитудасоставного события является произведением амплитуд его состав-ных частей, а амплитуда события, представленного в виде суммывзаимоисключающих событий, равна сумме амплитуд этих событий.

Вероятность события равна квадрату модуля его амплитуды. Фи-зические наблюдаемые суть средние значения, даже если речь идетоб индивидуальном акте рассеяния одной элементарной частицы.Наблюдаемое волновое поведение (скажем, света) всего лишь огруб-ленно отражает внутреннее волновое поведение амплитуд (волновыхфункций) неопределенного количества фотонов, описываемых фо-ковским пространством квантованного электромагнитного поля.

Многие квантовые модели содержат в себе (отчасти по историче-ским причинам) классическую модель, которая подвергается кванто-ванию. Слово «квантование» почти без разбора применяется к боль-шому количеству различных процедур, из которых наиболее важны-ми является операторное, или гамильтоново, квантование и кванто-вание с помощью фейнмановских интегралов. Первая из этих двухпроцедур более алгебраична и обычно имеет более твердые матема-тические основания; вторая обладает огромным эвристическим и эс-тетическим потенциалом, и именно ее мы в дальнейшем обсудим по-дробнее. Если бы я вместо нее выбрал операторное квантование, токартина расхождения математики и физики в первой половине XX ве-ка, о которой пойдет речь в §, выглядела бы менее впечатляющей, ноосновные результаты моего анализа не изменились бы.

Еще одна тема, заслуживающая отдельного исторического и струк-турного исследования, –– это двойственность между двумя названны-ми выше подходами. Она началась с классической механики, Лагран-жа и Гамильтона, и продолжилась в волновой механике Гейзенбер-га––Шрёдингера и в противопоставлении интегралов по траекториями матрицы рассеяния. Этой двойственности на окраинах физики со-ответствуют такие недавние математические жемчужины, как пред-ставления алгебры Вирасоро на пространстве модулей кривых.

.. Математика. Если в математической физике есть самое важ-ное понятие, то это функционал действия: он содержит в себе клас-сические понятия энергии и работы, его плотность в области про-


странства-времени –– это лагранжиан, а если его умножить наp−1

и взять экспоненту, то получится основная амплитуда вероятности.Действие измеряется в абсолютных планковских единицах, так чтоего можно рассматривать как действительное число. Точнее говоря,следующую схему описания мы будем рассматривать как основнуюдля обеих модальностей физического описания, о которых шла речьвыше.

Моделирование физической системы начинается с того, что опи-сывается ее кинематика, включающая пространство P виртуальныхклассических траекторий и функционал действия S : P →R. Напри-мер, P может состоять из параметризованных кривых в класси-ческом фазовом пространстве механической системы, или из ри-мановых метрик на данном гладком многообразии (пространстве-времени), или из троек, состоящих из связности в данном векторномрасслоении, метрики на этом расслоении и его сечения. Значениефункционала действия в точке p ∈P обычно имеет вид

∫

pL –– инте-

грал формы объема по одному из пространств, участвующих в описа-нии точки p.

Классические уравнения движения задают подпространство Pcl⊂P.Это подпространство состоит из решений вариационных уравненийδ(S)=0, т. е. из стационарных точек функционала действия.

Если классическое описание является статистическим, то exp(−S)

есть плотность вероятности.При квантовом описании мы выбираем физически мотивирован-

ные подмножества B⊂P (в типичных случаях они определяются гра-ничными условиями), а затем определяем среднее по B значение на-блюдаемой O как фейнмановский интеграл (интеграл по траектори-ям) вида

⟨O⟩B :=

∫

B

O(p)ei∫

pL

Dp. (∗)

Это –– наши основные персонажи. Далее я представлю некоторые раз-мышления об истории этой картины с точки зрения физиков и мате-матиков.

Особое внимание я уделю идее интеграла и ее последнему вопло-щению в форме интеграла по траекториям.

§ . Интеграл

Понятие интеграла –– одна из центральных и постоянно повторяю-щихся тем в истории математики за последние два тысячелетия. Пе-риоды увлеченного решения задач сменяются периодами напряжен-


ного поиска определений, а затем снова появляются нестрогие, нопоразительно эффективные эвристики, повергающие в ужас логиче-ски ориентированного фундаменталиста, живущего в каждом из нас.

Ричард Фейнман, создатель магической формулы (∗), у которой досих пор отсутствует точная математическая интерпретация как разв тех случаях, когда она особенно нужна физикам, с гордостью рас-сказывал, что с помощью (∗) удалось вычислить значение аномально-го магнитного момента электрона, совпавшее с экспериментальнымв десяти значащих цифрах:

«В году теоретическое значение равнялось 1,00115965246,с ошибкой порядка 20 в двух последних цифрах, а эксперименталь-ное равнялось 1,00115965221, с ошибкой порядка 4 в последнейцифре. Такая точность –– все равно, что померить расстояние от Лос-Анджелеса до Нью-Йорка (около трех тысяч миль) с погрешностью,равной толщине человеческого волоса» [, с. ].

Недавно произошло аналогичное поразительное событие: с по-мощью физических вычислений (названных даже «предсказаниями»,ср. []) были найдены различные индексы пересечения в алгебраиче-ской геометрии, такие, как число Nd рациональных кривых степени dна общей трехмерной квинтике (например,

N10 = 70428 81649 78454 68611 34882 49750

–– теоретическое (?) значение, до сих пор не проверенное в экспери-менте (?), в котором должны участвовать математическое определе-ние числа Nd и компьютер). Идеология интегрирования по траекто-риям сыграла существенную роль в этих вычислениях: формула (∗) ин-терпретировалась как сумма по инстантонам в сигма-модели, и в дан-ном случае инстантоны были рациональными кривыми на квинтике.

Интуитивный физический смысл интеграла –– «количество чего-тов данной области». Если первые вычисления этого «чего-то» интер-претировались, скажем, как объем пирамиды, то вряд ли можно со-мневаться, что они использовались для фактической оценки количе-ства камня (и рабского труда), необходимого для сооружения гроб-ницы египетского фараона. В заглавии книги Кеплера «StereometriaDoliorum» упоминаются винные бочки. Когда длина пути вычисляетсякак интеграл от скорости, область, по которой проводится интегриро-вание, приобретает временное измерение; соответственно, понятиеэнергии постепенно заменяется понятием действия. В XX веке то-

См. также более оптимистическую оценку в замечательной книге [], оказавшейвлияние на структуру этой работы. Впрочем, на c. авторы пишут: «Существует литеория электродинамики в математическом смысле –– это загадка».


пология также становится субстанцией, количество которой можноизмерить с помощью интегрирования замкнутых дифференциальныхформ (дерамовская теория периодов, предугаданная Пуанкаре). Дру-гой такой субстанцией оказалась вероятность, и винеровская трак-товка броуновского движения как меры на пространстве непрерыв-ных траекторий проложила путь и колмогоровской аксиоматизациитеории вероятностей, и нашему нынешнему неохотному принятиюфейнмановских интегралов. (Это последнее частично поддерживает-ся успехами конструктивной теории поля и стохастического интегри-рования. Тем не менее, случайные поверхности, на которых основы-ваются струнные фейнмановские интегралы, доставляют значитель-ные трудности.)

С математической точки зрения, всякое вычисление (или опреде-ление) интеграла основывается на двух физически очевидных прин-ципах –– аддитивности относительно области интегрирования и от-носительно подынтегрального выражения и на предельном переходев какой-нибудь форме. Имеются по крайней мере две архетипическиеформы перехода к пределу.

Одна форма представлена «неделимыми» Кавальери, римановымисуммами и т. п. Она связана с топологической структурой области ин-тегрирования, а именно, с понятием границы и тонкого (d+1)-мер-ного слоя, окружающего d-мерный объект. К этому кругу идей отно-сится формула Стокса во всех ее видах; комплекс де Рама –– это еелинейная двойственная форма.

Другая форма предельного перехода принадлежит скорее теориимеры, чем топологии. Имеются базисные области, наполненные лег-ко измеримым количеством интересующей нас субстанции (объема,действия, вероятности и т. п.); мы пытаемся аппроксимировать дру-гие распределения с помощью их мозаичных портретов, устремляялокальные погрешности к нулю. Локальность, однако, уже не понима-ется в топологическом смысле, а понятие границы становится ненуж-ным или неважным. Вместо этого нам приходится иметь дело с из-меримыми множествами, образующими всего лишь алгебру относи-тельно пересечений и объединений. К этому типу обычно относятсябесконечномерные конструкции. Из-за хорошо известного «эффектаарбузной корки» (в больших размерностях объем сконцентрированвблизи границы) не удается эффективно воспользоваться неделимы-ми. Даже в конечной размерности граница может не подходить нароль неделимого по Кавальери, если она является очень негладкой(фракталом). В тонких исследованиях по теории меры, датированныхначалом XX века, об этом много сказано.


В формуле (∗) присутствуют два интеграла совершенно разнойприроды. Действие S=

∫

pL является обычно величиной классической

(L –– локальный лагранжиан). Красивая недавняя идея, возникшаяв результате совместной работы физиков и математиков (основнуюроль сыграли Виттен [] и Атья []; ключевой исходный примерпринадлежит А. С. Шварцу), состоит в рассмотрении тех интеграловпо траекториям, для которых действие является топологическим ин-вариантом траектории p. Локально это означает, что классическиеуравнения движения δ(S) = 0 выполняются тождественно. Примертакого функционала действия –– инвариант Черна––Саймонса, опре-деленный на пространстве связностей в векторном расслоении натрехмерном многообразии. Квантовые наблюдаемые (их выбор и на-звание мотивированы теорией сильных взаимодействий) –– это петлиВильсона: усредненные следы операторов монодромии вдоль замкну-тых кривых на базе.

В этом контексте алгебраические свойства интеграла по траек-ториям, отражающиеся в аддитивности

∫

pL и вытекающей из нее

«мультипликативности» выражения (∗), оказываются настолько силь-ными, что с их помощью удается определить достаточно жесткуюматематическую структуру «топологической квантовой теории поля»,которую можно изучать точными математическими методами. См.[] и [] по поводу недавних математических результатов в этойобласти.

История интеграла в таком виде, как мы ее рассмотрели, укла-дывается в концепцию Тойнби «вызов––ответ». Вызовы приходят изшироко понимаемой физики (включающей в себя геометрию). Мож-но привести убедительные доводы в пользу того, что евклидова гео-метрия есть на самом деле кинематика твердого тела в отсутствиигравитации (искривленного пространства-времени) и что изобрете-ние и развитие первых неевклидовых геометрий (постоянной кривиз-ны) было тесно связно с физикой. Гаусс хотел узнать, какова реальнаягеометрия межзвездного пространства. Гильбертовское возвращениек аксиоматике было математическим ответом на вызов, состоящийв открытии множественности возможных геометрий реального мира.

§ . Раскол

Основной тезис этой части моего доклада состоит в том, что глав-ное событие во взаимоотношениях математики и физики в первойполовине XX века –– это возникновение отчуждения между ними по-сле нескольких веков тесного сотрудничества.


Расхождение, начавшееся еще в -х годах, было связано с углуб-лением понимания двух микромиров: математического, воплощенно-го в идее классического континуума действительных чисел, и физиче-ского, доступного эксперименту.

Грубо говоря, на рубеже XIX и XX веков Пеано, Жордан, Кантор, Бо-рель, Стилтьес и Лебег открыли и обнародовали новые и очень тонкиесвойства континуума, непрерывности и измеримости. Они дали по-следовательно ряд определений интеграла, все в большей общности,и открыли конструкции и доказательства существования для многихстранных математических объектов, которые не принадлежали мируклассической геометрии и анализа, но существование которых при-ходилось признать как следствие из классических способов матема-тических рассуждений, использованных, как тогда казалось, по мак-симуму.

Растущее недовольство многими контринтуитивными открытия-ми заставило математиков предпринять самоанализ, концентрирую-щийся вокруг нескольких основных вопросов: Что такое математиче-ское доказательство? Какой смысл следует придавать утверждениюо существовании того или иного математического объекта? Каковстатус математической бесконечности?

Результаты этой рефлексии хорошо известны. Пятьдесят лет само-наблюдения были весьма плодотворны с математической точки зре-ния: их итогом было появление зрелой математической логики, вклю-чая теорию доказательств, теории вычислимости, а также возникно-вение ясной картины все расширяющихся языков и систем аксиом,которые математики должны были принимать в своем поиске мате-матической истины.

Между тем физики были заняты совершенно другими поисками.Планковское открытие кванта действия, анонсированное декабря года, ознаменовало начало квантовой эры. Физика нуждаласьв изощренной математике, необходимой для формулировки новоот-крытых неклассических законов, а от новой математики никакоготолку не было. Все, что было нужно, срочно изобреталось или пе-реоткрывалось: матричная алгебра, спиноры, пространство Фока,дельта-функция, теория представлений группы Лоренца. Никто изпионеров (Бор, Эйнштейн, Паули, Шрёдингер, Дирак) не пользовал-ся интегралом Лебега и не интересовался мощностью континуума.Логика интересовала их и того меньше.

Это не означает, что физики не интересовались философскими во-просами, напротив, этот интерес присутствовал. Но если математикиобсуждали взаимосвязь языка и мышления, то физиков волновали


отношения языка и реальности. Основная проблема, занимавшаякритиков классической математики, состояла в невыразимости бес-конечности посредством языка, все конструкции которого синтак-сически конечны. Основная проблема, составлявшая предмет спораБора и Эйнштейна, состояла в невыразимости квантовой неопреде-ленности, проистекающей из того, что семантика языка классична посути. Философия математики и философия физики почти полностьюутратили точки соприкосновения. И математик Брауэр, и физик Па-ули яростно критиковали то, что они считали неадекватностямив современной им науке, но при этом у них не было ни единойсовпадающей идеи. Математическая критика становилась все болееи более аутичной, тогда как физическая критика была направле-на на то, чтобы найти лучшие способы описания сложной реаль-ности.

Традиционные профессиональные связи также оказались разорва-ны. От первых успехов квантовой электродинамики в тридцатых го-дах и до возобновления взаимодействия в шестидесятых математикине внесли почти никакого вклада в квантовую теорию поля –– основ-ную физическую исследовательскую программу XX века. Точно так жеи физики не обращали внимания не только на математическую ло-гику, что понятно, или на аналитическую теорию чисел, что соответ-ствовало традиции, но и на зарождающуюся алгебраическую тополо-гию. Тридцать лет спустя топология станет новым полем для сотруд-ничества двух сообществ. Парадоксальным образом математики отэтого возобновленного сотрудничества получили больше, чем физи-ки: новые инварианты трех- и четырехмерных многообразий, кванто-вые группы, квантовые когомологии –– все это плоды сотрудничествас физиками.

В нарисованную нами картину хорошо укладывается следующееэмпирическое наблюдение. Как только возникает нужда в новом ма-тематическом инструменте, предназначенном для понимания физи-ки, так физики очень быстро изобретают для этих целей новый илимодифицируют уже имеющийся алгебраический формализм. Мы ужеупоминали алгебру Гейзенберга, спиноры и дельта-функцию Дирака.Можно сюда добавить уравнение Швингера––Дайсона (для не опреде-ленного другим способом фейнмановского интеграла), интеграл Бе-резина на супермногообразиях и виттеновские топологические инва-рианты, выраженные как фейнмановские интегралы топологической

Характерно, что Харди в своей лекции «Математическое доказательство» []( год) даже не упоминает о существовании квантовой механики.


квантовой теории поля. Все это –– только малая часть изобретений,которые к настоящему моменту полностью усвоены и преобразованыв строгую математику.

И «только» в том случае, когда приходится иметь дело с инфини-тарными конструкциями, то есть с предельными переходами раз-личных видов, математики делают свою работу без постороннейпомощи. Согласно Бурбаки [], в XIX столетии вклад математиковв теорию интеграла состоял исключительно в тщательном анализепределов.

После создания современного понятия топологического простран-ства и открытия предельных переходов, на которых основывается тео-рия меры, следующий крупный пакет поразительно новых инфини-тарных конструкций был введен в обращение Александром Гротен-диком, с его подходом к гомологической алгебре, производными ка-тегориями и функторами, топосами и ситусами. Но это уже другаяистория.

§ . Обсуждение

При прямом контакте между математическим и физическим спо-собами мышления зачастую возникает напряжение. Основные цен-ности различны, допустимые типы социального поведения вступаютв противоречие, промежутки времени, в течение которых та или инаязадача привлекает внимание публики, выглядят несоизмеримыми.В статье [], представляющей собой замечательный пример само-наблюдения, Ф. Дайсон продемонстрировал, сколь непроницаемымимогут оказаться перегородки между математикой и физикой в со-знании одного и того же человека. Мы были бы гораздо терпимеедруг к другу, если бы могли увидеть в себе две разные личности,столь убедительно описанные Дайсоном. Недавняя дискуссия [, ]продемонстрировала, сколь уязвимым становится наше сообщество,когда в период возобновленного плодотворного сотрудничества мыпытаемся согласовать наши взгляды на то, что можно и что нельзясчитать доказательством, что можно и что нельзя публиковать и ка-кими должны быть правила признания академических заслуг.

Описание возникающих при этом психологических затруднений на печатные стра-ницы попадает редко. Интересный и относительно недавний пример доставляет ре-плика Маклейна в дискуссии [], из которой мы процитируем только одну фразу: «Акогда я приехал на конференцию, чтобы понять, как используется один мой небольшойрезультат, я услышал лекции по „топологической квантовой теории поля“ –– без всякогоопределения; мне сказали, что это понятие возникло на одной из предыдущих конфе-ренций, так что „все это знают“».


Все это, к счастью, не выходит за пределы нашей социальной жиз-ни. Похоже, что глубокие открытия выживают, как мы ни путаемсяв шнурках собственных ботинок, и что именно дополнительность ма-тематического и физического мышления делает взаимодействие ма-тематиков и физиков плодотворным.

Во второй половине XX века главное расхождение в способахпредставления наших идей состоит не столько в нашем отношениик строгим доказательствам, сколько в отношении к точным опреде-лениям.

Математики развили очень точный общепринятый язык для вы-ражения своих мыслей. Эта точность выражается в первую очередьв определениях объектов, с которыми они работают, формулируемыхобычно в рамках более или менее аксиоматизированной теории мно-жеств (или категорий), а также в искусном использовании метаязы-ка (основанного на нашем естественном языке) для придания стату-са утверждениям. Все прочие механизмы математической строгостивторичны, включая и понятие строгого доказательства. На самом де-ле, если исключить прямые ошибки, то основная трудность при про-верке доказательства состоит в недостаточности или отсутствии опре-делений. Попросту говоря, нас больше беспокоит, когда мы не пони-маем, что автор хочет сказать, чем когда нам не вполне ясно, верноли то, что он утверждает. Когда все определения и ограничения четкопрописаны, пробелы в рассуждениях находятся легко. Хороший ма-тематический текст вполне можно написать на стадии, когда доказа-тельства еще неполны или отсутствуют, но осмысленные догадки ужеобразуют красивую систему; выдающимися примерами являются ги-потезы Вейля и программа Ленглендса, но есть множество примерови меньшего масштаба.

Этимология слова o-предел-ение (и в русском, и в европейских язы-ках) показывает, что первая задача определения –– установить стро-гие границы. Пусть вы в своем исследовании рассматриваете тольколокально компактные топологические пространства со счетной ба-зой, только конечномерные алгебры Ли, только грубые пространствамодулей алгебраических кривых и т. п.; если в докладе на професси-ональном семинаре вы забудете указать эти ограничения, то вам обэтом вежливо напомнят. Если же вы претендуете на то, что сделаличто-то серьезное, то вашу работу внимательно рассмотрят на предметвсех возможных опасностей, проистекающих от невыполнения усло-вий различных определений.

Разумеется, наши определения отнюдь не произвольны. Одна изфункций хорошего определения –– содержать в себе аналогии между


различными ситуациями, так что клетка, которой является определе-ние, должна иметь оптимальный размер. Например, есть серьезныедоводы в пользу того, что самый важный результат теории групп ––это само определение абстрактной группы и ее действия на множе-стве, поскольку это определение описывает структуру, постоянно воз-никающую в геометрии, теории чисел, теории вероятностей, теориипространства-времени, теории элементарных частиц и т. д. Вся идео-логия трактата Бурбаки состоит в том, что математика представля-ется в виде строения, поддерживаемого строгой системой хорошихопределений (аксиом основных структур). А поскольку хорошее опре-деление нередко оказывается результатом работы целых поколенийкрупных математиков, может возникнуть сильное искушение пове-рить, что все хорошие определения нам уже известны.

Если, напротив, неопытный читатель попробует почитать действи-тельно интересную физическую статью, то при попытке выяснитьзначение наиболее употребительных терминов он почувствует себя,как в пустыне. Что такое алгебра токов, преобразование суперсим-метрии, топологическая теория поля, фейнмановский интеграл, нако-нец? Это весьма открытые концепты, и именно из-за этой открытостиони и интересны.

Итак, вот чему учит история наших двух ремесел: мы не можемжить друг без друга. По крайней мере у некоторых из нас жизнь ста-нет скучной, если в ней слишком долго не будет места контактам с хо-рошей физикой.

Ценнее всего именно взаимодействие с чудовищно отличной си-стемой ценностей.

Проницательная статья Харди Гранта [] показывает, что, есливоспользоваться терминологией истории культуры по Исайе Бер-лину, математика является весьма классицистским предприятием:она основана на общепризнанном понятии об истине и путях еепостижения и строит при этом устойчивую систему. Романтическаяреволюция XIX века не оказала реального внимания на математикув основном потому, что в математике мало места для индивидуальныхкапризов.

В XX веке романтизм приходит из физики: бескрайние просторыВселенной, чудесно-случайное поведение микромира, субъективизмнаблюдателя и мощь ненаблюдаемого, Большой взрыв, Антропныйпринцип, наш роман с непочтительной Природой в лихорадке робо-сти и мегаломании.

Математика привносит во все это гигиенические навыки и голов-ные боли.


Литература. Atiyah M. F. Topological quantum field theories // Publ. Math. IHES. .

Vol. . P. ––.. Blanchet C., Habegger N., Massbaum G., Vogel P. Topological quantum field

theories derived from the Kaufman bracket // Topology. . Vol. , .P. ––.

. Bourbaki N. Elements d’histoire des mathematiquess. Hermann; Paris, .[Русский перевод более раннего издания: Бурбаки Н. Очерки по историиматематики. М.: Наука, .]

. Candelas P., de la Ossa X., Green P., Parkes L. A pair of Calabi-Yau manifoldsas an exactly soluble superconformal theory // Nuclear Phys. . Vol. .P. ––.

. Dyson F. Missed opportunities // Bull. Amer. Math. Soc. . Vol. . P. ––. [Русский перевод: Дайсон Ф. Дж. Упущенные возможности // Успехиматематических наук. . Т. , . C. ––.]

. Feynman R. P. The space-time approach to non-relativistic quantum mechan-ics // Rev. Mod. Phys. . Vol. . P. ––.

. Feynman R. P. QED. The Strange Theory of Light and Matter. Princeton Univ.Press, . [Русский перевод: Фейнман Р. КЭД –– странная теория светаи вещества. М.: Наука, .]

. Glimm J., Jaffe A. Quantum physics. A functional integral point of view.Springer, .

. Grant H. What is modern about ‘modern’ mathematics? // Math. Intelligencer.. Vol. , . P. ––.

. Hardy G. H. Mathematical proof // Mind. . XXXVIII-. P. ––.. Jaffe A., Quinn F. Theoretical mathematics: toward a cultural synthesis of

mathematics and theoretical physics // Bull. Amer. Math. Soc. . Vol. , . P. ––.

. Responses to ‘Theoretical mathematics etc.’ by A. Jaffe and F. Quinn // Bull.Amer. Math. Soc. . Vol. . P. ––.

. Reshetikhin N., Turaev V. Invariants of -manifolds via link polynomials andquantum groups // Inv. math. . Vol. . P. ––.

. Witten E. Quantum fiels theory and the Jones polynomial // Comm. Math.Phys. . Vol. . P. ––.

Размышления об арифметической физике

Александру Гротендику к шестидесятилетию

Есть и такие, кто при виде всего этого всего лишьнедоверчиво пожмут плечами и скажут, что ничего,кроме фантазий, из этого не получится. Эти люди за-бывают или не знают, что наша наука, как и всякаядругая, мало чего бы достигла, если бы с самого на-чала она не питалась мечтами и видениями тех, ктоотдается ей со всей страстью.

А. Гротендик [, с. ]

Развитие теоретической физики в последней четверти XX векаопределяется весьма романтической системой ценностей. Стремясьописать фундаментальные процессы в планковском масштабе, физи-ки склонны терять какую бы то ни было прямую связь с наблюдаемыммиром. В этом социальном контексте изощренная математика, появ-ляющаяся в теории квантовых струн, перестает быть исключительнотехническим инструментом, необходимым для вычисления каких-тоизмеримых эффектов, но становится делом принципа.

Сегодня по крайней мере некоторые из нас снова испытываютдревнее платонистское чувство, что математическим идеям каким-тообразом суждено описывать физический мир, сколь бы отдаленнымиот реальности ни казались их истоки.

Если быть последовательным, придется принять неправдоподоб-ную (?) идею, что самые глубокие приложения в физике получит тео-рия чисел. И действительно, явственно различима тенденция по край-ней мере допускать теорию чисел в мир идей современной теорети-ческой физики.

Автор этих строк был удивлен и обрадован, когда обнаружил, чтодля нахождения меры Полякова в струнной теории можно воспользо-ваться результатами Фальтингса, вычислявшего специфическую тео-ретико-числовую функцию –– так называемую высоту (см. [, , ]).

Reflections on arithmetical physics // Conformal Invariance and string theory. Poia-na Brasov, . Boston, MA: Academic Press, . P. ––. Перевод с английскогоС. М. Львовского.


Потом Саша Поляков сказал мне, что после доклада Фальтингса намеждународном математическом конгрессе в Беркли Эд Виттен ску-пил все книги по теории чисел, которые нашел в магазине через до-рогу. (Я не спрашивал у Эда, так ли это: se non e vero, e ben trovato).

Стало быть, сейчас самое время представить некоторые размыш-ления профессионального теоретико-числовика и физика-любителяо таком противоречивом предмете, как арифметическая физика.

Спросим себя для начала, можно подсчитать что-нибудь физиче-ское с помощью средств, являющихся бесспорно теоретико-числовы-ми? Я полагаю, что ответ должен быть утвердительным. Давайте по-смотрим на одну из самых красивых формул Эйлера:

π2/6 =∏

p простое

(1− p−2)−1. ()

Правая часть, без всяких сомнений, принадлежит теории чисел: про-стые числа p = 2, 3, 5, 7, 11, … –– один из ее главных предметов изу-чения. Осмелюсь сказать, что левая часть, в которой участвует чис-ло π, является физической константой, хотя, видимо, чтобы убедитьв этом читателя, потребуется какая-то аргументация. В самом деле,число π может быть (и было) измерено, так же, как температура кипе-ния воды или длина земного экватора. Можно сказать, что евклидовагеометрия, в которой π появляется как математическая константа,является на самом деле кинематикой идеальных твердых тел, рабо-тающей в макроскопическом приближении плоского гравитационноговакуума.

Чтобы лучше понять формулу (), полезно вспомнить некоторыесвойства простых чисел. Классически простое число p определяетсякак целое положительное число, не имеющее делителей, кроме само-го себя и единицы. Каждое целое число можно единственным обра-зом разложить в произведение простых; простых чисел бесконечномного; они распределены довольно нерегулярно; простейшая асимп-тотическая формула для количества простых чисел, не превосходящихN , имеет вид N/ log N . Это, однако, не тот подход, который нам сейчаснужен.

Современное объяснение роли простых чисел дается теоремойОстровского: простыми числами описываются все разумные способы(в дополнение к традиционному) ввести понятие непрерывности намножестве Q рациональных чисел.

Говоря более конкретно, определим функцию |a |p от числа a∈Qтаким образом: |a |p = p−n, если a= pncd−1, где c и d –– целые числа,не делящиеся на p. Эта функция обладает обычными свойствами

Рàçìûøëåíèÿ îá àðèôìåòè÷åñêîé ôèçèêå

нормы: |ab |p = |a |p |b |p , |a + b |p ¶ |a |p + |b |p (на самом деле даже¶max(|a |p , |b |p) –– так называемое неархимедово неравенство тре-угольника). Следовательно, эта норма определяет на Q топологию,в которой ai→ 0, если |ai |p→ 0. Эта топология называется p-адиче-ской. Поскольку сложение и умножение p-адически непрерывны,можно стандартным образом определить фундаментальные после-довательности и множество пределов таких последовательностей,называемых p-адическими числами.

Множество p-адических чисел, обозначаемое Qp, является новыманалогом множества действительных чисел R, которое можно постро-ить таким же способом с использованием обычной абсолютной вели-чины, которую удобно обозначать через |a |∞. Теорема Островскогоутверждает, что всякая норма (говорят еще «нормирование») на Qзадает ту же топологию, что | · |∞ или | · |p для некоторого простого p.

Разумеется, свойства Qp во многих отношениях отличны отсвойств R. Главная причина в том, что Qp и R сильно отличаютсятопологически: p-адические числа образуют канторово множество,или «фрактал» []. Тем не менее, многие разделы классическогоанализа и геометрии удается развить над p-адическими числами;прекрасное введение можно найти в книге [].

Как мы знаем, физический мир весьма эффективно описываетсяс помощью математики, основанной на R (и на его последующем рас-ширении C –– комплексных числах). Недавно было высказано предпо-ложение, что в планковских масштабах больше подходит p-адическаятопология []. При этом, однако, возникает вопрос: почему какое-то одно p должно быть выделенным с физической точки зрения? Неразумнее ли верить в демократию и считать, что все имеющиеся то-пологии равноправны? (Или, по крайней мере, все p-адические то-пологии: R, бесспорно, является «первым среди равных», так как онозадано с помощью единственной архимедовой нормы.)

Оказывается, что тождество Эйлера (), так же как и целый ряданалогичных фактов, можно объяснить способом, который подсказы-вает очень убедительную картину такой демократии.

Начнем с почти очевидной формулы |a |∞=∏

p

|a |−1p . Она означает,

что знать обыкновенную абсолютную величину рационального чис-ла –– то же самое, что знать все его p-адические абсолютные величи-ны. Или, если быть полностью демократичными,

∏

v

|a |v =1, где v рав-

но ∞ или p=2, 3, 5… В теории чисел полно формул такого типа; ониназываются формулами произведения, законами взаимности и т. п.


В выписанной нами формуле произведения мы рассматривали ра-циональное число a по очереди как действительное, 2-адическое, 3-адическое и т. д. Введем, более общим образом, множество бесконеч-ных векторов (a∞, a2, a3, …), где a∞∈R и ap ∈Qp. Такой вектор, с до-полнительным условием, что |a |p ¶1 для всех достаточно больших p,называется аделем. Этот термин был изобретен Клодом Шевалле око-ло года, вместе с термином «идель», означающим «обратимыйадель» (т. е. av 6= 0 для всех v и |ap |p = 1 для больших p). Этимоло-гия этих слов неясна; предположительно, «идель» происходит от слова«идеальный», а «адель» означает «аддитивный идель». Как бы то нибыло, для современных теоретико-числовиков это стандартные тер-мины.

Давайте теперь представим первые шаги математики, в которойдействительные числа заменены на адели. У аделя a= (av) имеютсякомпоненты, вещественная a∞ и p-адические компоненты ap длявсех p. Множество всех аделей образует топологическое кольцо AQ,с покомпонентными сложением и умножением. Его топология сов-мещает в себе архимедовы и фрактальные свойства. Рациональныечисла Q вкладываются в AQ диагонально: a≡ (a, a, a, …). Простое, новажное наблюдение состоит в том, что Q⊂ AQ –– дискретная подгруп-па, как Z ⊂ R. Иными словами, последовательность рациональныхчисел не может сходиться во всех v-адических топологиях одно-временно (если, например, она p-адически сходится к нулю длявсех p, то она должна состоять из растущих до бесконечности целыхчисел).

Вспоминая, что R/Z=U(1) является окружностью, мы приходимк понятию адельной окружности:

AQ/Q =

R×∏

p

Zp

/Z, ()

где Zp –– множество p-адических целых чисел (a∈Zp⇔|a |p ¶ 1). Из() видно, что адельная окружность –– это смесь U(1) и компактнойтопологической вполне несвязной группы, которую можно такжеописать как «предел решеточных приближений» для U(1), т. е. какlim←−nZ/nZ. Тем самым мы опять наблюдаем соединение архимедовых

и фрактальных свойств в одном объекте. Фурье-анализ, основанныйна AQ/Q вместо U(1), чрезвычайно изящно связывает воедино обыч-ное и конечное преобразования Фурье. См. диссертацию Тэйта [].

Если продвинуться еще на шаг дальше, можно определить про-стейшую некоммутативную адельную группу SL2(AQ), являющуюся


по существу множеством бесконечных матричных векторов

av bv

cv dv

∈ SL2(Qv): v = ∞, 2, 3, 5, …

,

для которых (av), (bv), (cv) и (dv) являются аделями. Подгруппа SL2(Q)также дискретна в SL2(AQ). Пользуясь левоинвариантной дифферен-циальной формой на SL2 и нормами |a |v , можно определить левоин-вариантную меру dm=

∏

v dmv на группе SL2(AQ) так же, как на ееклассической компоненте SL2(R). Если нормализовать dm с помощьюусловия∫

SL2(AQ)/SL2(Q)

dm=1, а затем вычислить интеграл покомпонент-

но, то мы в конце концов придем к красивому объяснению форму-лы ():

1 =

∫

SL2(AQ)/SL2(Q)

dm =

∫

SL2(R)/SL2(Z)

dm∞×∏

p

∫

SL2(Zp)

dmp, ()

∫

SL2(R)/SL2(Z)

dm∞ = π2/6,

∫

SL2(Zp)

dmp = 1− p−2. ()

Здесь формула () устанавливается так же, как (), архимедова частьформулы () доказывается с помощью трюка, основанного на фор-муле суммирования Пуассона, а p-часть формулы () следует из тогофакта, что SL2 над конечным полем из p элементов состоит из p3− pточек, так что относительное количество точек в SL2(Zp) по отноше-нию к Z3

p равно 1− p−2.Теперь мы видим следующую закономерность:

• (по крайней мере некоторые) существенные понятия действитель-ного и комплексного анализа и геометрии имеют адельные ана-логи;

• адельные объекты имеют сильную тенденцию быть проще, чемих архимедовы компоненты; например, адельные фундаменталь-ные области арифметических дискретных подгрупп в полупростыхгруппах обычно имеют объем 1 (философия Зигеля––Тамагавы––Вейля, см. []);

• благодаря этому факту и «формулам произведения», воплоща-ющим идею равноправия всех топологий, информация о веще-ственной компоненте адельного объекта может быть считана либос самой этой вещественной компоненты, либо с произведения p-адических компонент для всех p.


Если теперь позволить себе несколько рискованное обобщение, томожно сформулировать основную гипотезу этого доклада.

На фундаментальном уровне наш мир не является ни веществен-ным, ни p-адическим: он адельный. По каким-то причинам, связаннымс физической природой нашей разновидности живой материи (воз-можно, с тем, что мы состоим из массивных частиц), мы обычнопроектируем адельную картину в вещественную сторону. С тем жеуспехом мы могли бы духовно проектировать ее в неархимедову сто-рону и вычислять наиболее важные вещи арифметически.

«Вещественная» и «арифметическая» картины мира находятсяв отношении дополнительности, напоминающем отношение междусопряженными наблюдаемыми в квантовой механике.

Разумеется, никто не обязан принимать эту метафизику всерьез.Скептический читатель может тем не менее пользоваться ею как ру-ководящим принципом при математическом исследовании структу-ры струнной теории.

Теперь я опишу некоторые работы, которые кажутся обещающимив этом отношении.

Для начала отметим, что реинтерпретация вычисления поляков-ской меры [] показывает [], что если взять точку пространства мо-дулей Mg с алгебраическими координатами, то плотность данной ме-ры по отношению к канонической будет равна обратному от архиме-довой части функции, называемой высотой точки x.

Замечательное свойство высоты, совместимое с нашей философи-ей, состоит в том, что она определяется как произведение множите-лей, соответствующих всем нормированиям поля, в котором лежаткоординаты точки x.

Я выдвигаю следующую гипотезу: на пространстве адельных то-чек универсального пространства модулей можно определить адельнуюмеру Полякова, архимедова компонента которой совпадает с обычноймерой Полякова; хочется надеяться, что соответствующий полныйадельный объем будет вычислим как в (3), (4) и тем самым дастарифметическое выражение для струнной статистической суммы.

Если эти надежды оправдаются, у нас будут некоторые основанияговорить об адельных струнах. Разумеется, главное основание дляверы в это –– замечательное появление в теории струн алгебраиче-ских многообразий (пространства модулей) и мер на них (формыМамфорда), инвариантно определенных над целыми числами, а нетолько над R или C.

Чтобы объяснить чуть подробнее, нам понадобится расширитькартину, в рамках которой мы до сих пор работали. Теория чисел


изучает не только рациональные числа Q, но и все алгебраическиечисла Q, т. е. корни многочленов с рациональными коэффициента-ми. Удобно работать с меньшими числовыми полями K, напримерс конечномерными Q-подпространствами в Q, содержащими 1 и за-мкнутыми относительно умножения. Для каждого такого поля Kможно доказать обобщение теоремы Островского, описывающее всенормирования поля K. Поскольку Q⊂K, всякое такое нормированиеw индуцирует на Q нормирование v, эквивалентное либо | · |∞, либокакому-нибудь | · |p. Мы будем говорить, что w продолжает, илиделит, нормирование v. Имеют место следующие факты: а) всякоенормирование поля Q продолжается до конечного числа нормирова-ний поля K; б) нормирования, продолжающие | · |∞, соответствуютразличным вложениям K в комплексные числа. Коль скоро эта тео-рема доказана, можно определить w-адические числа Kw, адели AK ,идели JK и другие объекты, которые мы ранее рассматривали «надQ».

Пусть теперь у нас есть векторное пространство L над K, снаб-женное нормами ‖ ·‖w (по одной для каждого нормирования w на K)таким образом, что ‖ al ‖w = |a |w‖ l ‖w при a∈ K, l ∈ L, и ‖ l ‖w = 1 дляпочти всех w, если l 6=0. Тогда можно определить высоту элемента l∈ Lпо формуле

h(l) =∏

w

‖ l ‖w .

Из формулы произведения∏

w |a |w =1 при a∈ K следует, что h(l) за-висит только от луча Kl в L, т.е. что высота –– функция на проективномпространстве, ассоциированном с L.

Поскольку пространство модулей Mg по существу задается алгеб-раическими уравнениями с целыми коэффициентами, мы можем вло-жить Mg в такое проективное пространство. Если это вложение прове-сти с помощью мамфордовских детерминантных векторных расслое-ний, то при этом получится высота, связанная с мерой Полякова.

Полная высота, в отличие от ее архимедовой части, определенатолько для точек с алгебраическими координатами, которые хотьи плотны в Mg, но с физической точки зрения не выглядят особеннопривлекательными. Тем не менее, в недавней работе [] было уста-новлено, что именно эти точки появляются естественным образомкак точки решетки в струнной схеме решеточного приближения.

Ситуация выглядит следующим образом. При струнном решеточ-ном приближении риманова поверхность, т. е. струнный мировойлист с метрикой ds2, заменяется на триангулированную метрическуюповерхность, по существу задающуюся комбинаторными данными,


состоящими, например, из списка вершин и длин дуг, соединяющихнекоторые вершины. Это –– двумерный аналог исчисления Редже вобщей теории относительности.

Рассмотрим теперь компактную ориентированную поверхность,разбитую на равносторонние треугольники, у которых длины всехсторон равны 1 (если заменить эту длину на другую, конформныйкласс поверхности не изменится). Легко доказывается, что такаяповерхность снабжена комплексной структурой, совместимой с мет-рикой (сначала надо удалить вершины, а затем продолжить полу-чающуюся комплексную структуру, что возможно, так как суммауглов при каждой вершине равна πn/3 для некоторого целого n).Следовательно, такая поверхность задает точку на Mg. Основнаятеорема работы [], которую предвидел Гротендик [], утверждает,что таким образом мы получаем в точности все алгебраическиеточки. Стало быть, теоретико-числовая картина хорошо отражаеткомбинаторно-метрическую картину. Важная проблема –– установитьдальнейшие связи между этими двумя описаниями, в частности,вычислить высоту в метрических терминах.

Теперь мы переходим к заключительной части нашего обсуждения.Наиболее широкие обобщения формулы Эйлера () связаны с вычис-

лением адельного объема однородных пространств вида H(AK )/H(K),где H –– полупростая алгебраическая группа, а K –– алгебраически за-мкнутое поле (мы вкратце остановились на случае H = SL2). Анало-гичные вычисления для других типов алгебраических многообразий,например, для Mg, связаны с серьезными трудностями. Почему же то-гда мы надеемся, что с Mg удастся работать арифметически?

Возможный выход замечательным образом связан с новым под-ходом к другому поразительному свойству поляковской статсуммы,а именно, с тем, что она по сути является разложением теории возму-щений. Несколько авторов предложили работать не с Mg, а с чем-товроде универсального пространства модулей ¯M , включающего в себявсе Mg (и кое-что еще).

В работе [], руководствуясь этой идеей и операторным подходом,я высказал гипотезу, что это ¯M должно быть однородным простран-ством относительно алгебры Вирасоро.

Эта гипотеза была недавно доказана четырьмя группами авторов(см. работы []–[]). Во всех этих работах используется одна и таже основная конструкция, принадлежащая Сато и Сегалу––Уилсо-ну. В этой конструкции ¯M является бесконечным грассманианом,а «модульная часть» пространства ¯M параметризует тройки (X , p, z),где X –– комплексная риманова поверхность, p –– точка на X и z ––


локальная координата в этой точке. Если удастся определить непер-турбативный фейнмановский интеграл как интеграл по ¯M, то онвполне может стать вычислимым арифметически. Для этого нам по-надобится обобщение теории Тамагавы––Вейля на бесконечномерныегруппы, наподобие групп Каца––Муди и GL(∞). (Заметим в скобках,что vol(SL(n, R)/SL(n, Z))= ζ(2)…ζ(n) имеет корректно определен-ный предел при n→∞. Можно ли получить его как объем при n=∞?)

В заключение я очень кратко опишу некоторые вопросы, волную-щие теоретико-числовиков, которые могут иметь отношение к про-грамме арифметизации физики.

У теории чисел есть своя группа большого объединения: это груп-па Галуа G=Gal(Q/Q), состоящая из всех перестановок алгебраиче-ских чисел, сохраняющих алгебраические соотношения между нимис рациональными коэффициентами. Это бесконечная топологическаягруппа «фрактального» типа; ее структура очень сложна и, в неко-тором смысле, содержит в себе всю арифметику (если учесть такженекоторые канонические центральные расширения ее подгрупп –– такназываемые группы Вейля). Для иллюстрации этого утверждения от-метим только, что ее максимальная абелева факторгруппа Gab изо-морфна∏

p Z∗p, так что простые числа появляются вновь, совершенно

неожиданным образом –– по существу как образующие Gab. При изуче-нии представлений G и ее замкнутых подгрупп теоретико-числовиквстречается с автоморфными и модулярными функциями почти также (точнее говоря, двойственным образом), как физик, изучающийпредставления алгебр Каца––Муди и Вирасоро. Серия глубоких гипо-тез, принадлежащих Ленглендсу [], связывает теорию представле-ний группы G с теорией представлений групп H(AK ), через модуляр-ные формы и их преобразования Меллина.

Я искренне надеюсь, что столь замечательные совпадения не яв-ляются простой случайностью.

В заключение хочу сказать, что я с удовольствием и гордостью по-свящаю эту заметку Александру Гротендику, чьи прозрения оказалиогромное влияние на математику, а сейчас начинают влиять и на фи-зику.

Литература. Grothendieck A. Esquisse d’un programme. Preprint. . Опубликовано в

кн.: Geometric Galois actions, . Cambridge: Cambridge Univ. Press, .P. ––.

. Manin Yu. I. The partition function of the Polyakov string can be expressed interms of theta functions // Phys. Lett. . Vol. B. P. ––.


. Faltings G. Calculus on arithmetic surfaces // Ann. Math. . Vol. . P. ––.

. Smit D.-J. String theory and algebraic geometry of moduli spaces // Comm.Math. Phys. . Vol. , . P. ––.

. Mandelbrot B. Fractals. San Francisco: Freeman, .. Koblitz N. p-adic numbers, p-adic analysis and zeta-functions. Heidelberg;

Springer-Verlag, . [Имеется русский перевод: Коблиц Н. p-адическиечисла, p-адический анализ и дзета-функции. М.: Мир, . с.]

. Volovich I. V. a) Number theory as the ultimate physical theory. Preprint CERN-TH /; b) Волович И. В. p-адическое пространство-время и теорииструн // ТМФ. . T. , . С. ––.

. Tate J. Fourier analysis in number fields and Hecke’s zeta-functions // Alge-braic number theory / Ed. by J. W. S. Cassels, A. Frolich. Academic press, .P. ––.

. Воеводский В. А., Шабат Г. Б. Равносторонние триангуляции римановыхповерхностей и кривые над полями алгебраических чисел. Препринт..

. Манин Ю. И. Критические размерности в струнных теориях и дуализиру-ющий пучок на пространстве модулей (супер)кривых // Функц. анализ.. Т. , . C. ––.

. Концевич, М. Л. Алгебра Вирасоро и пространства Тейхмюллера // Функц.анализ. . Vol. , . P. ––.

. Beilinson A., Schechtman V. V. Determinant bundles and Virasoro algebras //Comm. Math. Phys. . Vol. , . P. ––.

. Arbarello E., De Concini C., Kac V., Procesi C. Moduli spaces of curves andrepresentation theory // Comm. Math. Phys. . Vol. . . P. ––.

. Langlands R. P. L-functions and automorphic representations // Proc. ICM. Helsinki, . Vol. . P. ––.

. Kneser M. Semi-simple algebraic groups // Algebraic number theory / Ed. byJ. W. S. Cassels, A. Frolich. Academic press, . P. –– [Русский переводв кн.: Алгебраическая теория чисел / Под ред. Дж. Касселса, А. Фрёлиха.М.: Мир, . С. ––.]

Чàñòü III

Иç íåíàïèñàííîãî

Стихи и переводы

Из цикла «Книги моей юности»

Название цикла, «Книги моей юности», отсылает к Мандельшта-му:

«Разночинцу не нужна память, ему достаточно рассказать о кни-гах, которые он прочел, –– и биография готова». («Шум времени»).

Один из моих дедов говаривал: «Истинный разночинец не принад-лежит никакому сословию, ни даже и разночинству».

Неохотные комментарии обращены к читателю, который в юностичитал другие книги.

Подражание И. Б.

Russians are tragic Italians.

(anon.)

Я мог бы родиться в Италии. Звали б меня,скажем, Джорджо Манини. По воскресеньям роднясобиралась бы в церкви, а мужчины сидели в таверне,обсуждая политику и австрияков браня.

На шершавых фасадах поганками после дождявысыпали б портреты Дуче, то есть ВождяВсех Времен и Народов, а Владимир ВладимировичМаринетти будил меня утром, старый мир нещадно гвоздя.

В Пионерском саду, где Салгир вливается в Тибр,и мафиози идут из киношки в тир,науке любви меня бы учила Мазинав воспаленных сумерках, после школьных игр.

Впрочем, все так и было. Nel mezzo delcammin... (и т. д.) душа покидает юдольскорбей... (и проч.) и оглядывается. Таврида с Тосканойуплывают, неразличимо сливаясь, вдаль.

Филиппо Томмазо Маринетти –– основатель итальянского футу-ризма. Владимир Владимировичем звали, конечно, Маяковского.

Салгир –– речка, протекающая через город Симферополь в Крыму,где автор родился и жил в годы –– и ––.

Джульетта Мазина –– актриса и муза Феллини.

Чàñòü III. Иç íåíàïèñàííîãî

Обэриуты

Прекрасной женщины душаЛенивой бабочкой летает.Художник, житель чердака,Ее внезапно уловляет,Накалывает на булавкуИ сносит в государственную лавку.

Она уж не порхает.Он водку пьет и тяжело вздыхает.

Архитектурный памятник усталоФронтоном оседает в новый век.Шаг вбок, шаг вверх –– считается побег.Из дома вышел человек –– его не стало.

ОБЭРИУ (Объединение Реального Искусства) –– название неформаль-ной группы ленинградских поэтов, основанной в году, коллектив-ный голос русского модернизма и «абсурдизма». Судьба их была предре-шена. Александр Введенский (––) был подвергнут «превентив-ному аресту» в году и, по разным свидетельствам, либо умер отдизентерии, либо был застрелен тюремной охраной. Даниил Хармс(––), согласно официальной информации, скончался в тюрем-ной психушке. Николай Заболоцкий (––) пережил арест и ссыл-ку (––). После смерти Сталина несколько лет публиковал хо-рошие стихи, написанные в традиционной поэтике. Николай Олейни-ков (––) был арестован и расстрелян в ...

«Шаг влево, шаг вправо считается побег: охрана стреляет безпредупреждения» –– лагерная мудрость, которую большинство моихсверстников, к счастью, узнало только от Шаламова и Солженицына.

«Из дома вышел человек...» –– строчка Хармса.

Сòèõè è ïåðåâîäû

Из У. Одена(As I walked out one evening...)

Я вышел вечером в город.На Бристоль-стрит пала мгла.Как поле перед жатвой,Толпа, колыхаясь, шла.

Вдали, где река втекалаПод мостовой пролет,Влюбленный пел свои клятвы:

«Любовь моя не умрет!Покуда Китай и АфрикаНе снимутся с якорейИ стерлядь не выйдет с песнейНа улицы из морей,Развешенных сохнуть, подобноВыжатому белью,И звезды не взмоют, кряча,Тебя я не разлюблю!Как кролики, столетьяПроскачут стороной,Пока я тебя сжимаюв объятиях, ангел мой!»

Но все часы городскиеЗаскрежетали так:«Ты Время вокруг пальцаНе обведешь, простак!

Ты Истину нагуюОбнимешь в полусне ––Закашляется ВремяИз темной ниши в стене.

Уходит жизнь сквозь пальцыПод головную боль,И что пожелает Время,То и станет с тобой.


Зеленую долинуУкроет белый снег,И хоровод рассыплется,И оборвется бег.

Черпни воды в ладони,В черную воду взгляни,И то, чего не понял,Пока не поздно, пойми.

Ледник стучит в буфете,В постели пески шелестят,И трещина в чайной чашкеОткрывает дорогу в ад,

Где Принц навеки нищий,Русалочка –– в огне,И Золушка танцуетНа костяной ноге.

Но вглядись в свое отраженье,В отчаяние свое,Жизнь –– это благословенье,Благослови ее.

Стань у окна, сквозь слезыВ лица ближних взгляни,И каждую грешную жизньВ грешное сердце прими».

Умолкли часы на башнях.Сгустилась ночная мгла.Любовники исчезли.И только река текла.


Двенадцать цезарей, салют!Привет мой и тебе, Светоний,историк пакостных историй.Теперь и нас от этих блюдмутит.

Поспорим о властяхи властелинов побичуем.Недуг шкодливый, не пустяк,страдают им, как почечуем.

Как дети, деспоты просты,святы пресветлые тираны,хоть их обязанности странныи непонятны их посты.

Вконец подорвано здоровьеот людоедства натощак,пока поэты верещатпро славу, купленную кровью...

А впрочем, ладно.С ними Бог,и с нами Бог, и Бог со всеми,а историческое времявсе норовит куда-то вбок...

,


У греков –– жизнь любить, у римлян –– умирать…

А. Кушнер

Весеннее небо в огрехахпросыпанных мимо дождей...

Да что все о Риме да греках,не эллин я, я –– иудей,летучая малая спора,грибницы усохшей зерно,от Книги ослепшего взораподнять не успевший.

Давноу Рима, и мира, и рокая выучил смерти урок.

А жизнь убегает с урока,туда, где в ветвях ветерок.

февраля


Из Р. М. Рильке(Fremde Geige, gehst du mir nach?..)

Странница-скрипка, ты бродишь за мной?Кто тебя неволит порою ночнойв городах моих одиноких ночей?Все тот же скрипач? Или сто скрипачей?

Почему повсюду со мною в соседствете, кому от пустоты ––камень на шею, пулю в сердце,если бы только не ты?

Неужели мне вековать с чужими,в чужих городах, неужеливечно слышать стон твой, что тяжесть жизнивсех на свете вещей тяжеле?


Der Untergang des Abendlandes

я покинул хронотоп где упорный карабах растирает в прах врагови уехал в конотоп где вдоль рейнских берегов черепа на черепкахволкодав не доглядел что по крови я волчок колыбельный недозверькончит черный передел что бахтин надерридел далее молчок

февраля

Название известной книги Освальда Шпенглера обычно переводит-ся «Закат Европы».

«Хронотоп» –– литературоведческий термин Михаила Бахтина(––), философа, историка и критика литературы. Жак Дерри-да (––) –– французский философ, известный автор концепциии методики деконструкции текстов.


В. Захарову

Я узнаю по кодудеревьев, стен и лицпоследнюю погодуперед отлетом птиц.

Последнюю погоду,прощальное тепло.

Меняю на свободуродное ремесло,с каким почти до краямне вышло добрести,зеленый лист теряяиз высохшей горсти...


Из У. Б. Йейтса(«In memory of Eva Gore-Booth and Con Markievicz»)

Вечерний свет над Лиссадель.На юг и настежь окна в доме.Две девушки –– хозяйки, обекрасавицы, одна –– газель.

Как листья, годы отгорят,и старшую приговорят,потом помилуют, потомее укроет старый домот судей и подпольных свар.Что будет на душе у младшей ––бог весть. Политики увядшейв увядшем теле перегар.Потом обеих примет гроб.

Я столько раз напропалуюмечтал –– одну или другуюпризвать и вспомнить пылкий треппро жизни цель, и юный хмельшальных несбыточных утопий,вечерний свет над Лиссадель,двух девушек хозяек... Обекрасавицы, одна –– газель.

О тени милые, теперьи вам открылась тщетность бунта.Как будто есть победа, будтоот времени и от потерьневинность с юностью защита...Прощайте и простите нас.

Вы этот сумрак озарили,вас за поджог приговорили,но лучик вспыхнул и погас.

апреля года в Дублине началось «Пасхальное Восстание»и была провозглашена Ирландская Республика. Британские войскаподавили его на шестой день. Констанс Гор-Бут Маркевич (––)


была приговорена к смерти за участие в восстании, ее освободилаобщая амнистия в июне года. Ева Гор-Бут (––) писаластихи.

У. Б. Йейтс был знаком с сестрами с года и посещал их се-мейный дом Лиссадель (Lios a’Daill, «The courtyard of the Blind Man»),построенный в году.


Западно-Восточный Диван

Жил человек рассеянныйна улице Бассейной.Вместо шапки на ходуОн надел сковороду...

Он надел сковороду,Он в чужую дул дуду,(Я говорю про всю среду,С которой я имел в видуСойти со сцены, и сойду,Но не решил, в каком году,Вот какой рассеянный...)

Он взошел на ауто-да-фе ––Оказалось, там кафе.

Ожидать он стал Годо ––Говорят ему, –– Не то!

Он отправил в АмстердамЧемодам,А приехал чемоданВ Магадан.

Сев в отцепленный вагон,Укатил он за кордон,

И его менталитетПотерял идентитет,

Вот какой...Расея...

Над равниною неровнойДует ветер хладнокровный.

февраля

Цитируются С. Маршак и Б. Пастернак («Высокая болезнь»).


Памяти Иосифа Бродского

До-светания, –– как бы прощаясь глухо,Тело есть лишь продукт разложенья духа,Слабый свет –– продукт разложенья тела,Кто-то это сказал, но не в этом дело.

Из-за поля Хиггса на берег СтиксаВыбираться, теряя остатки смысла,Да и голоса, словно бельмо на глотке,Так что не докричаться гребца и лодки,Над водой, над которой еще светлеетСлабый свет. Постепенно и он слабеет,Потому что, подрагивая, уплывает с сетчатки на дноЗолотой пятак, медный обол, пятно...

Квантовое поле Хиггса –– причина, по которой в ранней Вселеннойизначально безмассовые частицы приобрели массу. В результате лю-ди сделаны не из света, как ангелы, а из тяжелой материи. Выдумкатрех нобелевских лауреатов, эквивалент первородного греха.

«На сетчатке моей –– золотой пятак. Хватит на всю длину поте-мок» –– последние две строки двенадцатой Римской элегии Бродского.


Из Р. Киплинга(When Earth’s last picture is painted...)

Когда будет дописан последний холст и засохнет последний тюбикбелил,

И последний художник закроет глаза, ибо отдых он заслужил,Нам всем, усталым мастеровым, Вечность дадут поспать,И Хозяин Честных Работников призовет нас к труду опять.

И каждому даст золотой табурет, и кисть из хвостов комет,И туго натянутый холст шириной в сто световых лет,И Магдалина, Павел и Петр позировать станут для нас,И никогда, никогда, никогда не устанут рука и глаз!

Ни денег, ни славы не будет вовек, а будут работа и честь,И каждый напишет каждую вещь, как видит, и как она есть,На каждой звезде, которыми полн ликующий Млечный Путь,Для Прекрасного Бога Сущих Вещей, Таких, Как Они Суть!


Прощальные буриме

цель творчества самоотдачаа не прогулки при лунелюбовь не вздохи на скамейкеа не шумиха не успехи муза убегает плачакляня центоны и римейкиот них от времени от всехи колокол звонит по мне

Первые четыре строки заимствованы у Бориса Пастернака и Сте-пана Щипачева. Я огорчился, услышав, как легко они идут рядом, рукаоб руку.


Из цикла «Я люблю ходить босойпо бутербродам с колбасой»

Из Г. Берджесса(Trapping fairies in West Virginia...)

Ловил я фей сачком в Молдавии ––Нигде не видел фей костлявее!

Вот разве в Западной ВирджинииТакие ж тощие да синие...

∗ ∗ ∗Загляну-ка я под мини:Интересно, что под ними?

Ведь на миди мы в обиде,Ничего под ним не видя,

А заглядывать под максиУдается только таксе.

∗ ∗ ∗Из Огдена Нэша

(Called by a panther, don’t anther)

Окликнутый пумой ––Подумай.

Если тигр подзовет тебя: Вася! ––Не отзывася.

Но если Президент, светло улыбаясь и прямо глядя в глаза,Предложит тебе занять пост Премьер-Министра ––Убегай быстро.


∗ ∗ ∗Ржание –– конской речи содержание.А если нет корма, то форма.

∗ ∗ ∗Закон есть закон...

...но неужели и марсианераспределены по гауссиане?

Вагнериана

. Вагнер на свой день рождения,проведенный в туманном Лондоне

Сияли майским солнцем небеса,когда я вылупился из яйца,да, видно, зря поторопился,а лучше бы назад влупился.

. Валькирия летела-летела и села.Села, все съела, и дальше полетела.


Немецкая классическая философия(читая дневники Эрнста Юнгера)

Сидючи на пихте,мы читали Фихте,изучая Гегеля,для здоровья бегали,и уселись в танкис мыслями о Канте.А которые, услыхав о культуре,хватались за пистолет,тех, в натуре,с нами уж нет.

∗ ∗ ∗Из Р. Киплинга

(Общая эпитафия ––)

–– Отчего вы лежите здесь, мертвецы?–– Оттого, что лгали наши отцы.


Из А. Бренделя

Альфред Брендель –– знаменитый пианист, живущий в Лондоне.Опубликовал несколько книг стихов, о которых говорит:

Все это приснилось мне по-немецки, потому что сны мне снятсяпо-немецки, и многие стихи зачинались в том состоянии между сноми явью, где смысл сливается с бес-смыслицей и порядок с хаосом.

В числе своих учителей Брендель называет дадаистов, ХристианаМоргенштерна и Шекспира.

∗ ∗ ∗Когда чертям становится скучноони усаживаются играть в святыхЗа столом заседанийс постными лицамиони прощают друг другувсе благодеянияпричиненные человечествуКто рыдает громче всехсрывает банк


Моц––АРТ

Когда Моцарт был убитникомудаже Гайднуи в голову не пришлочто злодейство свершил сам Бетховен

Как-то на дачной тусовкекогда Моцарт лежал в садуутомившись игрой в чехардукак кот подкрался Бетховенпереодетый Сальерии вкапал яд в несравненное ухо творца

Тут пораоткрыть ужасный секреткоторый Бетховен скрывал много летБетховен был НЕГРа Моцарт ДОГАДАЛСЯ

Слышали как Моцартпосле одного из знаменитых концертов мэтрагромким шепотом сказал ЗюссмайруЧерножопый а сбацал неслабо

И теперь он лежалс ядом сочившимся в вены

А виновник с мрачной ухмылкой во тьмуускользнул унося подмышкой басовый ключпринадлежавший отныне ему одному

Опус Альфреда Шнитке. Переводчик не удержался и добавил этоназвание к оригиналу Бренделя.


Мы курица и петухМы маленькие цыплятки

А яйцоКто же яйцо

МЫ ЖЕ ЯЙЦОжелток с белком заодно

Дальше больше мы Лискоторый хрямкает кур

Мы ну прям все

∗ ∗ ∗Склонясь надо мной ко мнея вижунезнакомую рожуполную сомне-ний

я забылдаже то что помнюванну водой наполнюпар над водой поплыл

∗ ∗ ∗Зайдя в райЭйнштейнзастал Бога играющим в костиОн спросил повернувшисьА где тут у вас братцы ад


Местное производство

Можем предложить вам ангелану в точности как настоящийЛицо мягкоеОдежды развеваютсяКрылья шуршатПупа нетГарантия три годаМестное производствоЕсли подойдете слишком близкоон внятно прошипитКанай на нары чукча

∗ ∗ ∗Где у нас нынче сидитдушаГоворишь в задницеИсключеноЯ сам на ней сижучеловек не можетсидеть на своей душеЭто онадолжна сидеть как влитаякак платье по меркекак вставная челюстькак на корове седлогхмДуша должна сидеть плотноне то что моявсе где-то вертитсято в щитовидкето в легкомто в желудкето в почкахопять куда-то съехалачего она там внизу ищет


∗ ∗ ∗Мышь смутно зналачто за пределами мышиного горизонтаинойвеличавыйглубокийнутрянойМирвесь грызущийпищащийкотомышийвозвышаетсякак огромныйзолотистыйа с какими дырочкамипревышающий разумение


Ящички

Перед Большим Взрывомбыли в основном выдвижные ящичкиМир до Большого Взрыване считая нескольких шариковсостоял из ящичковВ ящичках помещалсямиллион с лишним световых лета больше ровно ничегоПотом при невыясненных обстоятельствахящичкимедленно но верностали наполняться динамитомМир перед Большим Взрывомбыл в большом порядкеПо временам даже слышался чей-то смех

Скупка мыслей на Арбате

Двадцать третье августа года, три часа дня. Я сижу на расклад-ной табуретке посередине Арбата, прислонившись спиной к бетоннойцветочной урне. Солнце осеннее; лето в этом году было нещедрым.У моих ног на мостовой кучка пятаков; рядом расставлен металличе-ский треножник, с каким ходят на этюды. Вместо картона в струбцинезажат лист ватмана с надписью:

ПОКУПАЮоригинальные

УМНЫЕМЫСЛИ

по цене коп. штука

Чтобы лист не отдувало ветром, он утяжелен снизу парой прище-пок. Блокнот для записи умных мыслей свисает на веревочке.

∗ ∗ ∗Арбат- прошлым летом не существовал. Каков он будет, пере-

жив зиму, неизвестно. Превращенный в пешеходную зону, подмале-ванный в эстетике театральных задников, вышученный и оплакан-ный, он озирается в недоумении, ища себя.

Нынешней весной он стал –– вдруг –– рынком художников. Во вто-рой половине дня, а то и с утра, от Арбатской площади до Вахтан-говского театра и, слегка редея, дальше к кольцу, по обеим сторонамузкой улочки и посередине, у фонарей и ваз, стоят мольберты, трено-ги, висят пейзажики и портреты. В удачные часы, при хорошей пого-де, через каждые пять-десять метров на табуретке, подоконнике вит-рины, скамейке, вазе сидит «модель», ожидая своего портрета, –– ка-рандашом, углем, сангиной, маслом. Полчаса –– двадцать рублей. Илишаржа –– пять минут –– пять рублей.

Утоляется неутолимая жажда –– взглянуть на себя чужими глазами.

∗ ∗ ∗Лет пятнадцать назад художники уже выходили на улицу –– на зна-

менитую «бульдозерную выставку». Для тех, кто не помнит: «улица»


была пустырем в Черемушках, бульдозеры на пустырь пригнала го-родская власть, очень оперативно. Не для борьбы с художниками ––что вы –– просто в то же утро оказалось, что на пустыре срочно должноначаться строительство или, допустим, посадки зеленых насаждений.Сейчас там, на углу Профсоюзной и Островитянова, и впрямь все за-строено.

Рынки художников этого года –– впрочем, как и выставки –– отве-чают изменившемуся духу времени. Никакой конфронтации никогони с кем. Эмиграции, смерти и уходы в себя остались в прошлом по-колении. Бульдозеры, идеологические проклятия, разоблачительныестатьи остались в прошлом поколении. Прошлое поколение живет ря-дом, но оно как-то... несущественно, что ли?

∗ ∗ ∗Мимо моего плаката проходят. Останавливаются, читают. Хмыка-

ют. То собираются, то рассасываются кучки. Некоторые реплики по-вторяются с удивительным постоянством.

∗ ∗ ∗— Пятнадцать копеек за мысль? Что ж так дешево?Отвираюсь, сначала экспромтом, а потом уже заученно:–– Вы сначала товар покажите, а там посмотрим, может, сторгуемся.Качают головой, отходят.

∗ ∗ ∗— Мысль, и чтобы умная, и еще оригинальная? Таких не бывает.Странно, с таким убеждением я столкнулся впервые. Надо поду-

мать. Оказывается, многие так считают.

∗ ∗ ∗— А что такое мысль?Большинству из тех, кто задает такой вопрос, я просто доброжела-

тельно улыбаюсь. Но вот об этом очень серьезно спрашивает ребенок.Маленькая девочка в очках, синий сарафан в белую полоску, держитсяза папину руку. Семейство с юга.

–– Ну вот, понимаешь, когда ты думаешь что-нибудь интересное,это мысль. Запиши мне ее в блокнот и получай пятнадцать копеек.

–– А фантастику можно?–– То есть как фантастику?–– Чтобы когда люди говорят, и их было видно.

Сêóïêà ìûñëåé íà Аðáàòå

–– Не понял. Вот мы с тобой говорим, и нас же и так видно?–– Нет, по телефону, и чтобы как в телевизоре!Папа объясняет, что такие линии связи уже существуют, и стало

быть, мысль неоригинальная. Я говорю, что раз девочка ее сама при-думала, то оригинальная, и я готов ее купить, но отец уводит дочкупрочь.

∗ ∗ ∗–– А зачем Вы покупаете умные мысли?Боже мой, это же так очевидно: что может быть интереснее умной

мысли? Так и говорю.Элемент игры сознают все, кроме детей. Но никто не уверен в пра-

вилах этой игры со мной. Поэтому попытки контакта робкие. Почтиу каждого –– подозрение, что я хочу унизить или обидеть.

∗ ∗ ∗–– Давайте, я запишу Вам мысль.–– Да Вы сперва скажите, я, может, еще и не куплю.–– Я Вам скажу, Вы не купите, а мысль-то уже узнаете!–– Ну что ж, это Ваш риск. А Вы мне, может, чужую мысль прода-

дите, Платона, а выдадите за свою. Это мой риск.–– Так Вы же все равно ее получите, какая разница, что не мою?–– Так я же Вам пятнадцать копеек плачу, а причитается –– Пла-

тону!..

∗ ∗ ∗–– А из какой области мысль?–– Из какой хотите.Молодой человек, Володя, из художников. Принес несколько пей-

зажей. Один в рамке из грубого дерева, торчит сучок с мизинец. Сучоксимпатичный.

–– А можно подумать?–– Ну конечно! –– говорю я, счастливый. –– Конечно, подумайте!Володя отходит, минут через десять возвращается, садится на кор-

точки, чтобы быть вровень со мной (в следующий раз надо бы прине-сти вторую табуретку).

–– А можно из области школьной реформы?–– Ну-ну? –– говорю я, заинтригованный донельзя.–– Я предлагаю ввести в школах риторику и усилить физкультуру.–– Володя, а почему риторику?


–– Понимаете, никто разговаривать не умеет...Я приобретаю первую в этом сезоне мысль:«Насчет „школьной реформы“. Введение в преподавание предмета

„Риторика“ как умение вести разговор вообще и усиленное препода-вание физкультуры для укрепления человеческого организма в нашейнасыщенной стрессами жизни». В. Д.

∗ ∗ ∗Сижу я метрах в пятидесяти от «Праги». С другого конца Арбата

доносятся звуки неформальной культурной жизни: кажется, танцуюткришнаиты и выступает ансамбль «Отцы и дети».

Вчера еще я ходил по Арбату в качестве пассивного потребителя,нынче с некоторой гордостью ощущаю себя вносящим свою лепту. Вочто?

Повыше, за Староконюшенным, кольцо зрителей, в центре демон-стрируют брейк.

На Арбат вышла генерация музыкальная, рисующая, двигательноактивная, объединенная системой невербальных сигналов. Они узна-ют друг друга не как мы когда-то, не по стихам на слуху (что вспоми-нал недавно Маканин с насмешливой ностальгией? Ах, да: «Он знал,что вертится Земля, но у него была семья»), –– а по облику и повадке.

Я надеюсь иногда, что Природа произвела на свет несловесное по-коление, чтобы хоть немного отдохнуть от отцов, планирующих, пе-рестраивающих, ученых, привычно лгущих, планирующих.

Homo Ludens, сын Homo Faber.

∗ ∗ ∗Только что в Москве закончился Международный Конгресс по

Логике и Методологии Науки. Часть заседаний проходила в глав-ном здании МГУ на Ленинских горах. Международные Логики былинесколько изумлены тем, что вход в МГУ охраняет группа милицио-неров, а без пропуска туда попасть и вовсе невозможно.

Я связан с этим Большим Домом со дня его открытия в го-ду, когда первого сентября сел на студенческую скамью. Стало быть,тридцать четыре года бываю там три-четыре раза в неделю. Милицияна входе появилась лет десять назад. Странно, что университетскоеобразование сочтено нуждающимся в такой плотной опеке.

В кучке собравшихся передо мной замечаю профессора Ш. из Ле-нинграда. Встаю с табуретки и здороваюсь с ним. У него делаетсяопрокинутое лицо.

–– Юрий Иванович, это Вы?!


–– Я, а что?–– Вы меня убили... Это самое потрясающее впечатление, которое

я уношу из поездки... я напишу об этом в отчете!Усаживаю профессора Ш. рядом на цветочную вазу и расспраши-

ваю о Конгрессе. Джон Маккарти вел семинар по «немонотонной ло-гике» (не знаю, что это такое), Маккарти профессору Ш. понравился,а его логика –– нет.

–– Ну, не буду Вам мешать, –– откланивается профессор. –– Знаете,я всегда говорил: каждый, кто хочет быть счастливым, должен делатьэто своими руками!

∗ ∗ ∗Подходит серьезный бородач. Предлагает купить мысль:–– Жизнь похожа на портянку: длинная и дурно пахнет.–– Эту мысль я не куплю.–– Почему?–– Она дурно пахнет. И, по-моему, я ее уже где-то читал.–– Нет, я ее сам придумал! У меня есть свидетели!–– Ну, может быть. Но все равно не куплю.

∗ ∗ ∗Молодая пара. Он начинает:–– На какую тему Вы хотите мысль?–– А я не знаю, Вы –– продавец, я –– покупатель.–– Ну, я могу дать мысль на любую тему: как заработать миллион,

как стать любимым, как украсть и чтоб тебя не поймали.–– Нет, этого мне не надо.Вмешивается спутница. Обращаясь к нему:–– Это пошло. Это не мысли. Скажи о смысле жизни, например!Он:–– Ну, этот товарищ же, наверное, понимает, что меня о смысле

жизни спрашивать не надо.–– А ты не ему, ты мне скажи!Разговор начинает становиться личным, я хватаюсь за карандаш.

Остывая, она спрашивает:–– А что это Вы записываете?–– Вашу беседу, если позволите.

∗ ∗ ∗Собралась очередная кучка. Между ногами взрослых приседает

девчушка, пытаясь разглядеть, что происходит, улыбается мне осле-


пительно и убегает, убедившись, что ничего не происходит. Мальчикдолго стоит, шевеля губами, наконец, отходит, высказавшись:

–– Это сколько же мыслей надо, чтобы машину купить!

∗ ∗ ∗Художник Володя с приятелем перебрался ко мне поближе. На вазу

сел Костя, у которого я не купил мысль о жизни-портянке. Солнцепригревает уже правое ухо, со стороны Вахтанговского. Коммерцияу Володи сегодня идет туго, вот в Измайлове удавалось иногда что-нибудь продать. Володе двадцать три, он студент первого курса Су-риковского, сдавал трижды, удалось поступить на четвертый. Родите-ли –– строители, рисование ставят ни во что. Через полчаса нам с нимуходить, оба идем в театры, к сожалению, в разные. В конце августав Москве лишь запоздалые гастроли да еще студии, он –– в одну, я ––в другую. Хвастаюсь, что мой бывший ученик стал главрежем в ДомеКультуры МГУ; Володя уважительно спрашивает, трудно ли быть ре-жиссером. Беседуем насчет того, что всякое дело требует всей жизни,чтобы жена была –– в нем, и дом –– в нем, и круглые сутки –– в нем,а иначе –– ничего и не выйдет. Костя сообщает, что переменил семна-дцать занятий, перечисляет их все, загибая пальцы, а теперь пишет.Пишет, пишет, и недоволен написанным, такой сюжет есть, а никак,и надо бы поступить в Литинститут, чтобы поучили. И быт мешает:в туалете писать –– ноги затекают.

Подходит крупный, довольный собой мужчина, представляется ре-жиссером-постановщиком массовых действ. Предлагает мысль, что-тонасчет очередей в баню. «Ну что Вы, –– говорю увещеваючи, –– развеэто мысль? Вы уж постарайтесь, что-нибудь благородное, глубокое та-кое...» –– «Да мы живем столько десятилетий среди стереотипов, всеповторяют одно и то же. Вот был у нас царь, он высказался так: ис-кусство бывает разное. Бывает искусство хорошее, а бывает искус-ство плохое». –– «Так вот Вам и случай –– не повторяйте стереотипы,а скажите что-нибудь свое, выношенное». Режиссер некоторое времястоит, подняв взор, но видно, что ему трудно, и он быстро сбиваетсяна рассказы о своей постановочной деятельности. Все слушают с ин-тересом. Оказывается, он ставил открытие и закрытие прошедшегонедавно Фестиваля Дружбы с Южной Страной, фон был –– семь ты-сяч курсантов КГБ (не знаю, что такое фон, не спросил). Приглаша-ет в Олимпийский Дворец на демонстрацию мод и выступление рок-ансамбля. Спросить у служебного входа Валерия Петровича, два местадесять рублей минус пятнадцать копеек, итого, девять рублей восемь-


десят пять копеек. (По-моему, пятнадцать копеек –– за мысль –– нужнобыло прибавлять, а не вычитать, но к этому времени я сам запутался).

∗ ∗ ∗Режиссер уходит. Присевший рядом молодой человек, которого я

только сейчас замечаю, раздумчиво говорит:–– Как пыжатся люди...–– Пыжатся-то немногие, –– отвечаю я. –– Большинство зажаты

очень. Человек вдруг обнаруживает, что от него ждут умной мысли,а у него ее нет –– тут же, под рукой нет! –– и пугается. И зажимает-ся, чтобы никто не заметил, что ее нет. Почти никто не размышляетдальше: вот сидит чудик с плакатиком, он же, наверное, такой жеиспуганный. Но нашел в себе силы, плакатик повесил, сел, предла-гает какую-то игру. Значит, в эти игры играть можно, а в какие же,собственно, игры, а попробую-ка и я...

Костя подает голос с цветочной вазы:–– Да, когда Вы мою мысль не купили, я сначала почувствовал себя

очень униженным. И больше ничего вроде придумать не могу. По-том посидел тут, посмотрел на людей. И вижу, что я никого не хуже.Вот непонятно: эгоизм –– это хорошо или плохо? Человек для другихстарается, а оказывается, это потому только, что ему самому так при-ятнее, чем для себя только...

Костя печально вздыхает.И следа улыбки на его лице за два часа не мелькнуло.

∗ ∗ ∗Веселый человек, в шляпе, на ходу:–– Дарю Вам мысль: Арбатская Республика переживает Ренессанс!–– Это не мысль, а наблюдение; но все равно, спасибо.

∗ ∗ ∗Костя:–– Это какое же Возрождение, и откуда оно взялось?

Аркадий, Борис, Володя

Я познакомился с Аркадием Стругацким в начале шестидесятыхгодов. Насколько помню, прочтя «Страну багровых туч», я послал Ар-кадию и Борису письмо, вероятно, на адрес редакции, получил веж-ливый ответ и напросился на встречу.

Я был к тому времени молодым, подающим надежды математи-ком, только что закончил аспирантуру и защитился, был взят на ра-боту в Математический институт имени Стеклова Академии наук.

«Оттепель» Хрущева, измученные благородные старики, вернув-шиеся из лагерей в окраинные пятиэтажки без лифтов, спутник, пес-ни Окуджавы и Высоцкого, и упрямое чувство, которое я позже назвал«вера в Просвещение», вместе с оптимизмом молодости, определиликруг моих друзей на долгие следующие годы.

В конце декабря года Аркадий и я поехали вместе в Академ-городок в Сибири. Тамошний клуб молодых ученых «Под интегралом»присудил Стругацким свою литературную премию.

У меня в Академгородке был близкий друг, Владимир Захаров,тогда молодой физик, а нынче академик РАН. Кроме того, он были остался прекрасным поэтом; мы и познакомились с ним в пятиде-сятые, когда оба читали свои стихи и слушали чужие в литературномобъединении МГУ «Высотник».

В клубе «Под интегралом» были два этажа, называвшиеся «чис-литель» и «знаменатель». После церемонии вручения близкие друзьясобрались на чьей-то квартире и всю ночь коротали застолье, слу-шая импровизированный устный роман, который по очереди, главаза главой, сочиняли Аркадий и другой Володин друг, Сергей Андреев.(В феврале года он погиб от несчастного случая в своей лабора-тории).

Роман был посвящен грядущей русско-китайской войне. К рассве-ту, когда все уже с трудом удерживались в сидячем положении на сту-льях, я вдруг разлепил веки и прислушался: это Аркадий завершал ро-ман душераздирающей картиной –– последний защитник Кремля под-рывал себя противотанковой гранатой в последнем еще не сдавшемсяКремлевском сортире, «чтоб не достался врагу».

Я думаю, что поначалу именно эта пластическая картинность, вме-сте с афористичными репликами героев, привлекли меня в книгах

Аðêàäèé, Бîðèñ, Вîëîäÿ

Стругацких: вспомните неподражаемое восклицание Барона Пампы,висящего вниз головой в пыточном подземелье, куда врывается донРумата: «Дорогой друг, наконец-то я Вас нашел!» (Цитирую по памя-ти). Однако в книгах была также странная серьезность: просвещенче-ское Будущее, условно называемое коммунизмом, вглядывалось в нас,и в наше будущее (со строчной буквы), с тяжелым сомнением во взоре.

Позже интонация их книг стала ощутимо меняться, попытка к бег-ству не удалась, и еще через некоторое время я сказал Аркадию полу-шутя, что теперь в их работе можно явственно различить три перио-да: розовый, голубой, и черный с золотом.

К тому времени издательства принимали и печатали их уже безпрежнего энтузиазма, и наступил момент, когда братья решили остав-лять у друзей, включая меня, машинописные копии своих новыхработ, «чтобы не пропали». Эти тяжелые, некоторые переплетенные,некоторые в папках, пачки слепой, под копирку, печати так и хра-нятся на шкафу в нашей московской квартире: «Улитка на склоне»,«Сказка о тройке», «Гадкие лебеди», «Жук в муравейнике», «Градобреченный»...

Аркадий, японист, и Борис, астроном, были непохожи, как бываютнепохожи душевно близкие друг другу братья. Я пытался вообразить,как они пишут вместе, и однажды попросил, нельзя ли мне тихо по-сидеть в уголке, пока они работают. Аркадий сделал страшные глазаи зарычал. (А мне очень хотелось, я желал увидеть, как рождаютсяи живут черновики, может быть даже узнать, каким был черновикчеловека. Позже я понял, что мы и есть черновик.)

Что происходило с поэтикой Стругацких в то время, описать труд-нее. Безусловно, просвещенческие («утопические») иллюзии ушли,их место постепенно занимали мотивы, взывающие к архаическомуи подсознательному.

В конце восьмидесятых я присматривался к языку архетипов Кар-ла Густава Юнга, основателя аналитической психологии. В годубыла напечатана моя статья «Архетип Пустого Города» , в которойя постулировал и попытался доказать существование нового архети-па, не вошедшего в классический список Юнга. Ниже следует цитатаиз этой работы, имеющая прямое отношение к творчеству Стругацких.

«Архетипы, систематизированные Юнгом, скорее принадлежатродовому, нежели коллективному бессознательному. Их манифеста-ции связаны с биологической природой человека как особи до такой

В сборнике: Arbor Mundi // РГГУ. . . C. ––. См. наст. изд., с. ––


степени, что Юнг может рассматривать архетип как эволюционноеразвитие инстинкта. ⟨…⟩

Архетип Пустого Города, постулируемый здесь, принадлежит кол-лективному бессознательному в более прямом смысле. ⟨…⟩ [Это] естьформа социума, лишенная его души и не ждущая наполнения, труп,никогда не бывший живым телом, Голем, сама жизнь которого естьсмерть. Выявление этого архетипа в проектном и утопическом со-знании именно и связано с возможностью воспринять пустую формукак план. Проектное сознание, однако, глухо к гулу мертвой воды. Егодоносит искусство: „опустелый улей“ Гумилева и ручей в руинах Тар-ковского.

Характерно, что два современных кинорежиссера, наиболее ост-ро чувствующих этот архетип, Тарковский и Сокуров, обратилиськ двум вещам Стругацких, чьи лучшие страницы (дневник Абалкинаиз „Жука в муравейнике, экспедиция из „Града обреченного“, описанияЛеса в „Улитке на склоне“) посвящены Пустому Городу, и проявилиэтот мотив даже там, где в прозе Стругацких он особо не прописан».

История знакомства, сотрудничества, и к концу –– конфликта Ар-кадия и Бориса с Андреем Тарковским пунктиром помечена в Днев-никах Тарковского «Мартиролог», ––.

января года Тарковский пишет: только что прочел «Пикникна обочине», из него можно сделать замечательный сценарий. (Так за-чинался «Сталкер».) января года: повидался с Аркадием Стру-гацким. Тот очень доволен, что Андрей хочет снять «Пикник». июня года: договорились со Стругацкими о «Пикнике». Познакомилсяс Борисом. Он милый, но, в отличие от Аркадия, умник; сразу видно,что он тут идеолог. Аркадий –– работяга и симпатяга. Впрочем, и тутне так все просто.

К концу лета года в работе над «Сталкером» происходит це-лая серия кризисов: уже отснятая пленка загублена при проявлениина «Мосфильме», Аркадий и Борис намерены переписать сценарий,полностью изменив характер героя... В записи от июня года,кажется впервые, прорывается неприязнь к Аркадию, и после этого,

Я не беру эти слова в кавычки, потому что они даны в обратном переводе –– пере-сказе –– с немецкого и французского. Я никогда не видел русского текста. Берлинскоеи парижское издания «Мартиролога» прислали мне независимо друг от друга мои кол-леги, которые в записи Тарковского от первого сентября года нашли стенограммумоей импровизированной речи на просмотре «Андрея Рублева» в клубе МосковскогоУниверситета. «Рублев» в то время «лежал на полке», к широкому показу разрешен небыл, и горечь текста Тарковского даже при перечитывании сорок лет спустя оставляетмедный привкус во рту.


несмотря на завершение съемок и успех картины, отношения охла-ждаются и кончаются разрывом.

После странных событий на съемке в году Аркадий говорилмне, что они вызвали на себя какие-то космические силы, и теперь невластны над тем, что сами начали. Этот мотив был разработан в «Замиллиард лет до конца света». Художники, которые так чувствуютсвою работу, вряд ли могут сойтись на множестве повседневныхкомпромиссов, которых требует жизнь; и их пути расходятся.

У Тарковского есть еще несколько записей о «Сталкере» и о пре-рванной совместной работе над сценарием «Ведьма», который он пе-ределал сам и снял по нему в году свой последний фильм «Жерт-ва».

Аркадий был огорчен тем, что Тарковский даже не упомянул егов титрах, хотя замысел и первый вариант сценария принадлежалиему; он говорил мне об этом, оставляя у меня машинопись «Ведьмы».

Насколько я знаю, ничем не была омрачена их взаимная симпатияс Володей Высоцким. Оба были крепкие мужики, знавшие себе це-ну, этот внешний образ, совпадавший с внутренним самоощущением,оба признавали друг в друге и уважали.

В шестидесятые годы Аркадий с Леной жили у Киевского вокза-ла, а я –– на Вавилова. Кажется, с Володей они познакомились у меня.Володя приезжал после театра, перекусывал и брался за гитару. В тегоды, когда мы общались регулярно, Володя дал зарок не пить, и воизбежание соблазна бутылок на стол не ставили. Пение затягивалосьдалеко заполночь; стены были тонкие, но соседи никогда не жалова-лись.

Я и сейчас слышу, как Володя поет, скажем, песенку застенчивогобоксера

Бить человека по лицу я с детства не могу...

а Люся, жена, смотрит на него такими глазами, каких я никогда боль-ше не видел у женщины, ни тогда, ни потом.

Просторечие, а чаще роскошная до барочности имитация просто-речия в песнях и словесных импровизациях Высоцкого были непод-ражаемы.

Как-то мы случайно оказались с Володей и несколькими знако-мыми за столом в Болшеве. Он стал рассказывать историю о том,как охранник не пускал его в автобус, увозивший Марину Владис группой иностранцев в экскурсию. «А ты кто такой?», –– вопросилего охранник. «Ну, я ему и сказал» –– тут Володя сделал сценическуюпаузу, обвел глазами замершее застолье, остановил взгляд на Ксане,


единственной женщине в компании, и завершил: «...БЕЗО ВСЯКОГОСЛОВАРНОГО ЗАПАСУ!»

В начале семидесятых Аркадий и я стали почти соседями: мыоба переехали в длинные шестнадцатиэтажки, выстроенные торцомк проспекту Вернадского, почти напротив Тропаревской церкви, а по-том и нового здания Академии Генерального Штаба. Дома стояли (истоят) по краю щедро распланированного жилого района, со школой,сквериком и пивным баром «Ракушка», позже пришедшим в упадоки заброшенном. Именно в этом баре, по свидетельству Аркадия,произошла передача партитуры труб Страшного Суда.

Мы собирались иногда с немногими друзьями, то у меня, то у него.Об одной такой встрече на нашей кухне вспоминает в своем стихотво-рении Володя Захаров:

⟨…⟩ –– Хороша была армия и у японцев,есть у них такая солдатская песенка:Когда наша дивизия мочится у Великой Китайской стены,над пустыней Гоби встает радуга,сегодня мы здесь,завтра в Иркутске,а послезавтрабудем пить чай в Москве!Перевод Аркадия Стругацкого,он пел эту песенкуи по-русски и по-японски.–– Вы были с ним друзья?–– Сильно сказано,большая разница в возрасте.Хотя июльским утром,в некой квартире на юго-западе,семь бутылок «Эрети»,было такое грузинское вино,дешевое, кисленькое,но совсем неплохое. ⟨…⟩

Несмотря на такую же разницу в возрасте, я ощущал, быть мо-жет самонадеянно, что мы были с Аркадием друзьями. Я не могу ниобосновать это чувство, ни подкрепить его свидетельствами. Мы бы-ли очень разными, наши жизненные опыты почти не пересекались.Но я чувствовал к Аркадию глубокую симпатию, а его и Бориса раз-мышления о человечестве и его судьбе воспринимал с жадностью,


потому что они удовлетворяли какую-то глубокую потребность, ко-торую нельзя было утолить иначе.

В шестидесятые годы я читал довольно много фантастики, нокроме работ Стругацких, воспринимал ее как чистое развлечение.В памяти мало что осталось, кроме смешного этюда Азимова –– дале-кое будущее, мальчик-вундеркинд, к общему изумлению, открываетнечто немыслимое: он ухитряется умножить шесть на семь с помо-щью каких-то каракулей на бумажке, тогда как все нормальные людипросто нажимают клавишу на компьютере...

Такие вещи делать было легко. Братья занимались чем-то совсемдругим.

Все наши встречи, компании, выпивки (однообразные, и потомуне запомнившиеся, а запомнилось почему-то первое знакомство с со-евым соусом на посиделках с братьями в ресторане «Пекин») быливсего лишь ритуалом, смысл которого почти никак в этом ритуале непроявлялся.

Секрет этот, как сказал поэт, «разгадке жизни равносилен».

Бонн, февраля года

Чàñòü IV

Яçûê, ñîçíàíèå, ñòàòüè

î êíèãàõ

К проблеме ранних стадий речии сознания (филогенез)

Введение

Пушкинская метафора «дым столетий» точна: количество деталей,различимых историческим зрением, быстро падает, и субъектив-ное время прошлого удобно отмечать в логарифмической шкале.Около двадцати лет назад родились Вы, или Ваш ребенок, или Вашвнук. Около двухсот лет назад родилась современная техническаяцивилизация. Около двух тысяч лет назад сформировалась духовнаякультура, в которой живет современный (условно говоря, западныйевропоцентричный) мир; к этому времени было сказано все, чтомы знаем и сейчас о человеке как о социальном существе; былипроизнесены все великие формулы морали; были кодифицированывсе образцы человеческого поведения в отношении к богам, природеи людям. Нужды нет, что они противоречат друг другу, –– мы тако-вы. Около двадцати тысяч лет назад, в верхнем палеолите, процессгоминизации, сделавшей нас таковыми, завершился биологически;человеческая конституция сложилась в современном виде; человековладел развитой речью, изготовлял разнообразные каменные и ко-стяные орудия. Где-то в середине этого двадцатитысячелетнего пери-ода появился первый город –– Иерихон, а ближе к началу нашей эрыпала Троя, и сквозь ее пламя мы видим бесчисленные пожары Новогои Новейшего времени.

Время, которое интересует нас в этой статье, –– еще на порядокдальше: это интервал между 2 ·104 и 2 · 105 (может быть, 5 · 105) летдо нашей эры. Десять тысяч праотцов отделяет каждого из нас от этойэпохи. К этому периоду относится процесс глоттогенеза, рожденияречи и языка, развития органов речи и управляющих ими мозговыхцентров до современного уровня; формирование межполушарнойасимметрии и кристаллизация человеческой психики, какой мы еезнаем сейчас.

Научные представления об этом процессе накапливаются медлен-но и с трудом. Периоды умозрительных концепций сменяются вре-

Впервые опубликовано в кн.: Интеллектуальные процессы и их моделирование.М.: Наука, . С. ––.

Чàñòü IV. Яçûê, ñîçíàíèå, ñòàòüè î êíèãàõ

менами, когда сама постановка вопроса представляется ненаучной.Одна из трудностей любой эволюционной теории коренится в том,что мы всегда недостаточно знаем структуру того, что эволюциони-рует. Дело в том, что описание эволюции не есть описание историикак временного процесса: мы не пытаемся реконструировать всесобытия, имевшие место, но лишь те, в которых менялся системныйхарактер изучаемого фрагмента действительности. Естественныеязыки как система подробно изучены на уровне фонологии, грамма-тики и в какой-то мере лексики. Благодаря такой направленностисравнительного языкознания появилась возможность глубоких ре-конструкций древних языков, и мы знаем словари ностратическогои сино-кавказского языкового состояния, включающие несколько соткорней и относящиеся к дописьменному периоду, возможно, деся-титысячелетней давности. Может ли компаративистика заглянутьнамного дальше вглубь? Экспоненциальный распад основного сло-варя, постулируемый глоттохронологией для языкового развития,при продолжении назад означает полное исчезновение следов болеераннего состояния [, ]. До какого-то уровня дело спасает учет всеболее обширного современного материала. Если мы хотим сказатьчто-нибудь о еще более ранней истории языка, мы должны отказатьсяот реконструкции словаря и начать следить за эволюцией другихсистемных характеристик. Например, любое представление о струк-туре исполняемых языком функций позволяет поставить вопрос обэволюционном формировании этой структуры. Примем в качествеиллюстрации классификацию функций языка в зависимости от уста-новки говорящего, по Р. Якобсону []: а) эмотивная (установка навыражение внутреннего состояния); б) конативная (установка наадресата с целью вызвать у него определенное состояние); в) поэ-тическая (установка на сообщение); г) метаязыковая (установка насистему языка); д) денотативная, когнитивная (установка на действи-тельность); е) фатическая (установка на контакт). Обдумывая этуклассификацию в эволюционном плане, мы можем констатировать,что эмотивная функция является наиболее архаичной и унаследованаеще от животного состояния; что когнитивная и фатическая функциидолжны были играть огромную роль уже на первых стадиях глот-тогенеза; что метаязыковая функция сформировалась поздно и еепреобладание характеризует очень своеобразные культуры, как древ-неиндийская []. Конативная функция –– один из особо интересныхдля нас в этой статье сюжетов; мы попытаемся аргументировать тезисо ее доминирующей роли на ранних стадиях глоттогенеза. Наконец,поэтическая функция, вероятно, неудачно выделена: при ориента-

К ïðîáëåìå ðàííèõ ñòàäèé ðå÷è è ñîçíàíèÿ (ôèëîãåíåç)

ции на эволюционный процесс генезис поэзии должен описыватьсяиначе.

Переходя от эволюции словаря к эволюции системы функций язы-ка, мы, однако, меняем предмет исследования –– переходим от линг-вистики к психолингвистике. Это означает, что внимание переори-ентируется с языка как знаковой системы на язык как феномен пси-хики и средство социального взаимодействия. Но психика человекаэволюционировала вместе с языком; более того, до окончательногоформирования членораздельной речи не мог сформироваться и пси-хический облик исторического человека. Следовательно, мы должнырасполагать и представлением о системной психике, которая моглабы меняться как система в диахроническом плане.

Выбором такого системного описания будут определяться и во-просы, которые мы ставим. Например, мозг образует замечательносложную материальную систему, которая обслуживает психику и яв-ляется ее носителем. Поэтому законен и очень интересен вопрос обэволюции нейрофизиологических коррелятов психических процес-сов. С другой стороны, предположим, что нас интересует естествен-ная история самосознания, представления живого существа о своем«я». Тогда окажется, что надежно переформулировать этот вопросв проблему эволюции центральной нервной системы мы не умеем.Исследователь в зависимости от своих ценностных установок либо от-кажется от такой задачи (таковы установки бихевиоризма), либо вы-нужден будет привлекать как можно более обширный материал, сви-детельствующий о самосознании хотя бы косвенным образом: данныео поведении животных и психопатологии человека, сведения об эво-люции синтаксического строя естественных языков и отчеты о дей-ствии галлюциногенов; интерпретацию мифов и теорию баз данных;наконец, интроспекцию и мысленный психологический эксперимент.

В начале века интроспекция и «понимающая психология» по-степенно выходили из моды, и надолго стала влиятельной жесткаяструктурная схема организации психики по Зигмунду Фрейду, с то-пографией «Оно––Я––Сверх-Я» и четкими контурами теории развитияэтой системы, как индивидуального, так и родового. Вероятно, нельзясчитать исторической случайностью близость по времени возникно-вения таких концепций, как психоанализ Фрейда, теория фонетиче-ских законов по младограмматикам, анализ волшебной сказки Проп-пом и принципы формальной школы в литературоведении. Критерииавторитетности и научности гуманитарного рассуждения сместились,образцом стали все в большей степени служить естественные науки,а течение психологии, избегшее абстракций фрейдизма, проявило


склонность к превращению себя в науку о человеке как управляю-щем звене технологического процесса. Время покажет, наступает лив конгломерате гуманитарных наук период нового синтеза.

В этой статье мы занимаемся одним кругом вопросов психолинг-вистического характера, который связан со следующей проблемой.

Стандартный прием исследования филогенетической эволюциисостоит в привлечении онтогенетических параллелей. В применениик истории речи и языка это означает, что мы должны сопоставлятьразвитие речи и истории гоминизации с развитием речевых навыкову ребенка. Но ребенок начинает говорить, лишь поскольку он погру-жен в речевую среду –– вокруг него и с ним говорят взрослые. Кто был«взрослым» для раннего человека?

В попытках ответить на этот вопрос мы обсуждаем два обстоятель-ства: неравномерность языкового развития индивидуумов и наличиена шкале речевого поведения двух полюсов, которые ниже условноназваны «доминантным» и «субдоминантным».

Неравномерность языкового развития в историческое время про-является уже в том, что несмотря на демократизацию образования,такие национальные поэты, как Данте и Пушкин, настолько превосхо-дят по своим языковым способностям общий уровень, что на столетиявыступают учителями языка всей нации. Роль людей с выдающимисяречевыми способностями, вероятно, была еще более значительна назаре становления языка.

Мы противопоставляем доминантное и субдоминантное речевоеповедение, грубо говоря, по степени участия в нем воли и сознания.В современной литературе, вопреки предостережениям А. С. Выготско-го, речевое поведение рассматривается преимущественно как компе-тенция рациональных и целесообразных начал в человеческой пси-хике. Если говорить упрощенно, предполагается, что при порожде-нии речи в слове формируется (или оформляется) осознанная мысль,а при восприятии речи эта мысль влияет на поведение воспринимаю-щего опосредованно, через ее понимание и оценку. Именно такое по-ведение мы называем доминантным, а скажем, некоторые типы пове-дения под гипнозом или в патологии –– субдоминантным (см. ниже).

Мы аргументируем позицию, согласно которой субдоминантноеречевое поведение весьма архаично; оно играло важную роль в эпохупозднего глоттогенеза, после тысячелетий медленной, плохо артику-лированной и лексически бедной речи. Субдоминантное порождениеречи –– возможно, основная функция шаманов –– могло быть мощнымфактором суггестии, объединяющим первобытный клан независимоот степени понимания этой речи рядовыми членами клана.


Это архаичное говорение было в значительной мере речью внеязыка, т. е. распространенными речевыми актами, не находящимисяв рамках стабильной языковой системы. Парадоксальность представ-ления о речи вне языка, т. е. вне нормы, может быть несколько смяг-чена разными аргументами. Умелое ситуативное использование речидаже на незнакомом слушателю языке может быть вполне эффек-тивным. Специалист по искусственному интеллекту Э. В. Попов []отмечает даже, что «благодаря ведущей роли смысла человеческаяречь способна преодолеть практически любое сопротивление языкапутем привязки речевого акта к той или иной ситуации». К этомуследует добавить, что суггестивное воздействие речи предполагаетактуализацию других уровней значения, чем те, которые передаютсясловами сложившегося национального языка. В [, c. ] отмеченов качестве малоисследованной лингвистической задачи то обстоя-тельство, что языковая компетенция рядового индивидуума в ролислушающего, как правило, выше его же компетенции в роли говоря-щего. Мы уверены, что эта разница компетенций для древних людейбыла максимальной.

Итак, концепция, обсуждаемая здесь, такова. Архаичной функци-ей речи в эпоху позднего глоттогенеза было программирование пове-дения, в большей мере, чем сообщение информации. Носителями (по-тенциального) языка были отдельные индивидуумы, в большей ме-ре, чем социум. Порождение речи было вызвано мощными индивиду-альными психологическими силами, действующими изнутри, в боль-шей мере, чем общественными нуждами, хотя закрепление системыречевого поведения оказалось связано со способностью речи сугге-стивно объединять группу людей, превращая их в единый социаль-ный организм (в сочетании с ритуальным поведением). Кодифика-ция и закрепление структуры языка были долгое время сакральнойфункцией поколений жрецов-шаманов. Период распространения это-го активного речевого поведения нового типа, совпавший с периодомпревращения Homo sapiens в Homo sapiens sapiens, мог быть отно-сительно коротким, поздним ( –– лет назад) и связаннымс распространением по ойкумене специфического генотипа, условноговоря, кроманьонского, который вытеснил неандертальский, гено-типа, несущего потенции новой человеческой речи. Этот относитель-но короткий период мог быть также эпохой резкого повышения ак-тивности обоих полушарий головного мозга в связи с перестройкоймежполушарных связей при формировании речевых центров; в такомслучае не случайно его конец в Европе совпадает с эпохой расцветапещерной живописи. Отражением этого периода в мифологическом


сознании служит комплекс черт «мифологического плута». Формиро-вание индивидуального самосознания относится к еще более поздне-му времени и завершается лишь в историческое время. Кратко гово-ря, можно утверждать, что речь предшествует языку, язык предше-ствует сознанию.

Эта работа не является ни обзорной, ни полемической; это частнаяпопытка рассмотреть проблему глоттогенеза в свете данных психо-лингвистики. Обзор различных точек зрения и современных исследо-ваний можно найти в книгах [, , ]; особенно цельная и оригиналь-ная концепция изложена в [].

Я глубоко признателен Вяч. Вс. Иванову, Е. М. Мелетинскому,А. А. Нейфаху, В. А. Файвишевскому за многие стимулирующие об-суждения. В частности, роль суггестивной функции речи в филогене-зе была аргументированно подчеркнута В. А. Файвишевским в рядеработ.

Речь и сознание

Эксперименты Фромма. В работе [] описана серия гипноти-ческих экспериментов со студентом Доном. Отец и мать Дона былияпонцами американского происхождения. Дон родился за пять днейдо нападения на Перл-Харбор. После этого нападения японцы, нахо-дившиеся в Америке, «нисеи», были задержаны в Центрах для «пере-мещенных лиц» (которые Дон называет концлагерями). В результатедетские годы Дон провел в японоязычной среде.

К моменту эксперимента Дон, по его собственному утверждению,не говорил и не понимал по-японски, за исключением несколькихслов вроде arigato (спасибо), которым его научила бабушка.

Один из экспериментов имел целью добиться «возрастной регрес-сии». Во внушенном возрасте лет Дон по-прежнему не понимал по-японски даже простых вопросов. Следующая стадия внушения пере-вела его в возраст около лет, «в день, когда он чувствовал себя хо-рошо и счастливо». После недолгой паузы он возбужденно заговорилпо-японски; монолог продолжался –– мин. Возвращенный в семи-летний возраст, он вернулся к английскому языку.

К следующему аналогичному эксперименту был подготовлен маг-нитофон. Экспериментатор побудил Дона говорить по-японски не-прямым методом, использовав американское приветствие hi!, омо-нимичное японскому hai («да»). Услышав это слово, испытуемыйповторил его трижды и разразился потоком японской речи. Магнито-фонная запись была позже прослушана и переведена.


Сам Дон не помнил хода эксперимента в результате спонтаннойамнезии (постгипнотическая амнезия может быть также внушенной).Слушая позднее запись, он мало что понимал. Он, однако, сумелвспомнить некоторые из своих мыслей во время говорения: он думалоб умной собачке с большими глазами, ее подарила мама, и он мамублагодарил. Это воспоминание согласовалось с переводом магнито-фонной записи. Вне гипнотического состояния Дон не помнил, чтоу него была собака, и полагал, что в Центре собаки были запрещены.

С помощью нового гипнотического эксперимента, имевшего це-лью вызвать «скрытого наблюдателя», удалось получить самоотчетДона о его ощущениях во время японоязычной речи [, c. ]: «Моигубы как будто сами вдруг стали так смешно складываться. Я хотелсказать что-то, но не знал, что я говорю на самом деле. Слова простовыходили сами, и я не знал, настоящие ли они. Самое удивительноебыло, что мускулы действовали помимо моей воли, как будто моесознание (mind) в этом не участвовало».

Концепция доминантного и субдоминантного речевого пове-дения. Мы будем понимать под речевым поведением производствоили восприятие текстов, устных или письменных. Как уже упомина-лось, речевое поведение изучается главным образом в его связи с ра-циональными и волевыми инстанциями психики (ср. [, c. ] поповоду характерных формулировок).

Такое речевое поведение мы будем называть доминантным.Описанные выше эксперименты Фромма доставляют образцы суб-

доминантного речевого поведения. Когда Дон воспринимает гипно-тическое внушение, побуждающее его говорить по-японски, его по-ведение меняется не таким образом, каким оно могло бы изменить-ся в обычной беседе. Когда Дон говорит по-японски, вопреки своемуубеждению, что он этого делать не может, характер порождения речитакже не таков, каким он бывает в нормальном состоянии.

Хорошо известно, что у гипнабельных испытуемых прямое воз-действие слов экспериментатора может произвести амнезию, аналь-гезию и гиперестезию; положительные и отрицательные галлюцина-ции; каталептический мост; наконец, побудить испытуемого к отсро-ченному, постгипнотическому действию, истинный повод которогоне осознается. При таком воздействии речи на поведение сильноподавлены сознательные и критические механизмы ее восприятия;тем эффективнее оказывается само воздействие.

Итак, в доминантной моде восприятия речи содержание речиосознается, критически оценивается; реакция, речевая или поведен-


ческая, является произвольной. В субдоминантной моде восприятиясодержание речи не подвергается критической оценке, уровень егосознания понижен, императивная компонента содержания речи при-водит к непроизвольным реакциям (иногда такие реакции в нормеи не бывают произвольными). По аналогичным признакам противо-поставляется доминантное и субдоминантное порождение речи (см.самоотчет Дона и ниже): в субдоминантной моде речевой акт можетстать полностью неподконтрольным сознанию.

Нельзя представлять себе, что субдоминантное поведение являет-ся только ущербным по отношению к доминантному: напротив, покаким-то параметрам оно может расцениваться как более эффектив-ное. Сознание действует не как порождающий механизм речевого по-ведения, но скорее как фильтр, который задерживает или переориен-тирует действия и реакции, генерируемые более глубинными слоямипсихики.

О выборе терминов. В исследованиях по межполушарной асим-метрии головного мозга доминантным принято называть то полуша-рие, в коре которого находятся центры, управляющие речевым пове-дением (у праворуких в норме это левое полушарие). Противополож-ное полушарие называется субдоминантным.

Наше предложение называть доминантным сознательное речевоеповедение не противоречит духу этой терминологии.

В более широком плане открытие межполушарной асимметрии ча-сто рассматривалось как обнаружение нейрофизиологического кор-релята большого количества оппозиций, обсуждавшихся ранее в раз-ных областях исследования (ср. []). В [] приведен неполныйсписок таких дихотомий разных уровней, куда входят рациональ-ное/интуитивное, логическое/образное, последовательное/одновре-менное, дискретное/непрерывное, сознательное/бессознательноеи т. д., вплоть до таких широких культурно-исторических противопо-ставлений, как Запад/Восток. При этом сам характер корреляциитаких пар друг с другом и с межполушарной асимметрией частопроблематичен и, во всяком случае, пока не может быть установленна том же уровне строгости, на каком разными методиками и вразном материале обнаруживаются сами оппозиции.

Тем не менее наличие корреляций представляется несомненным.Иными словами, мы полагаем, что все упомянутые оппозиции и мно-гие другие не без оснований выстраиваются в один ряд, хотя бы де-тальные связи между членами этого ряда оставались непрослежен-ными или плохо понятыми. В этих условиях удобно иметь родовые


термины для двух членов постулируемой более фундаментальной оп-позиции. Кажется, пара доминантный/субдоминантный могла бы эф-фективно выполнять эту роль. Пользуясь ею дальше в таком смыс-ле, мы определенно не постулируем конкретного участия механизмовразных полушарий в той или иной моде поведения, а лишь ставимвопрос о нем.

Со всеми этими оговорками внимание к возможной неоднороднос-ти любого изучаемого материала по отношению к указанной оппо-зиции кажется полезным методическим принципом. Покажем этона примере двух конкретных исследований. Интересный цикл работФрумкиной, подытоженный в [], посвящен изучению семантики цве-тообозначений естественного языка. При этом автор аргументиро-ванно отвергла любые системы семантических описаний, опирающи-еся на науку о цвете (или же цветовосприятии): «...наша исходная по-зиция состоит в том, что означаемое, сигнификат, раскрывается толь-ко через те отношения, которые устанавливаются между означаемы-ми во внутреннем мире говорящего». Между тем, работы по межполу-шарной асимметрии с использованием временного угнетения одногоиз полушарий показывают, что лексика цветообозначений довольночетко делится на две группы по характеру своего сохранения в такихэкспериментах. Так, простые цветообозначения «красный», «черный»сохраняются при шоках доминантного полушария, тогда как «пе-сочный», «лимонный» (и, вероятно, такие выражения, как «цветакофе со сливками» и т. п.) преобладают при шоке субдоминантногополушария []. Возникает предположение, что «внутренний мир»испытуемого принципиально неоднороден уже в аспекте семантикицветообозначений и по-разному обрабатывает лексику из двух частейвсего списка: типично доминантной и типично субдоминантной.Очевидно, это следует учитывать при организации эксперимента.

Наш второй пример относится к проблеме «руки» в палеолити-ческом искусстве [, ]. В «репертуаре» верхнепалеолитическоготворчества известно большое количество оттисков ладони или ки-сти, намазанных охрой, на стенах пещер (реже встречаются оттис-ки черной краской и негативные изображения рук). «Гипотеза руки»,критике которой посвящена работа [], состоит в предположении,что отпечатки рук суть ранняя стадия развития палеолитическогорисуночного искусства, продолжением которой являются контурныеанималистические рисунки (Столяр отвергает также старую кон-цепцию, согласно которой отпечатки рук символизируют роль ру-ки в трудовом процессе и гоминизации предков человека). Столярпроницательно замечает, что «силуэтные эстампы отдельных рук и


раннеориньякский контурный рисунок „зверя вообще“ резко различа-ются как явления разной, генетически не связанной природы» (с. ).Можно высказать гипотезу, что по своим психологическим корнямотпечатки рук относятся к субдоминантной категории, тогда какконтурный рисунок –– к доминантной (примерно такова точка зре-ния, высказанная в []). Согласно [], «при угнетении правогополушария... кисти рук в целостном изображении человека обычно непредставлены... При угнетении левого полушария... чаще всего в це-лостном изображении человека представлены и кисти рук, и стопы,при этом может наблюдаться исключительно диспропорциональноеувеличение их размеров». Эксперименты с угнетением одного полу-шария, при которых испытуемым была бы представлена возможностьвыбора между техникой контурного рисования и техникой отпечатка,могли бы дать дополнительную информацию по этому вопросу.

Филогенез речи неразрывно связан с формированием доминант-ности полушарий. Поэтому для темы нашей статьи существенны лю-бые свидетельства о стадиях этого формирования.

Вернемся теперь к субдоминантной моде речевого поведения. Ни-же следует обзор некоторых относящихся к ней явлений.

Эффекты внушения. В обзоре [] гипноз ставится в широкойконтекст диссоциативных явлений психики. Согласно определениюавтора, «цель гипнотических процедур –– привести испытуемого в со-стояние готовности к диссоциативному опыту (experience), нарушивобычную непрерывность памяти и исказив или подавив ориентациюна реальность, посредством прямой словесной суггестии, при выбо-рочной концентрации внимания и невнимания и подходящей стиму-ляции воображения» (с. ).

Как подчеркивает В. А. Файвишевский, самое существенное в гип-нозе –– измененное состояние сознания; повышенная внушаемость ––лишь его эпифеномен. «Соскальзывание в гипноз подобно вывиху су-става». Гипноз стал возможен лишь после возникновения речи.

Когда гипнотическое состояние достигнуто, экспериментатор про-изводит то или иное словесное внушение и наблюдает поведенческиеэффекты. Вот несколько типичных явлений.

А) Гипнотическая амнезия. Согласно Хилгарду [, c. ], «перваяи наиболее поразительная характеристика амнестического ответа ––это власть слова при индуцировании и снятии амнезии». В одном изэкспериментов Хилгарда загипнотизированный Мэтт выучил списокслов и получил внушение забыть его. Самоотчет Мэтта: «Я не думал,что забуду эти слова, когда он велит мне забыть. Но потом я старался


их вспомнить и повторить, и не мог. Первое слово или два вспомина-лись, а дальше никак. Потом и эти исчезали... Знаешь, что они где-тотут, прямо чувствуешь, что они тут, но на их месте пустота. До нихневозможно добраться». После снятия амнезии: «Не то чтобы пришлоозарение. Я должен был стараться вспомнить. Но теперь это удалось».

Степень произвольного участия испытуемого в достижении ам-незии может меняться. Некоторые гипнабельные испытуемые чув-ствуют, что они активно участвуют в амнестическом опыте, хотя неощущают ответственности за это. Самоотчет Мари: «Вдруг как будтоэкран появился между словами и мной... Странное ощущение, потомучто знаешь, что что-то случилось, и чувствуешь себя глупо, потомучто не можешь высказать это, и в то же время знаешь, что он сказал,что его слова забудешь... Как ни стараешься, не вспомнить... может,часа за два, но столько времени мне не дали». После того как Марисказали, что она может вспомнить все: «Экран вроде как медленноподнялся. Слова стали появляться, по одному».

Б) Автоматическое письмо и автоматическая речь. Согласно клас-сическому описанию [, c. ], поле сознания человека может под-вергаться вторжению подсознательных импульсов к действию илибездействию, источника которых человек не сознает; соответству-ющие поведенческие реакции носят общее название автоматизмов.«Эти импульсы могут вызвать автоматическую речь или письмо, зна-чения которых человек не сознает в самый момент их производства».

Постгипнотическая суггестия, на время или по сигналу, достав-ляет контролируемую технику порождения автоматизмов. Исполняявнушенное действие, испытуемый не сознает, что оно внушенное,и изобретает его мотивировку. В эксперименте, описанном в [,c. , ], диссоциация была настолько полной, что и само действиене осознавалось. Загипнотизированному испытуемому было внуше-но, что его левая рука потеряла чувствительность, а правая рука будетписать автоматически. Когда экспериментатор уколол левую рукуиголкой, правая написала: «Ouch, damn it, you are hurting me». Оберуки были закрыты экраном и находились вне поля зрения испыту-емого, который через некоторое время спросил, когда же начнетсяэксперимент.

Другие образцы субдоминантного речевого поведения доставляютсуггестивное обучение по Лозанову, аутотренинг и т. п. Обилие име-ющегося материала здесь резко контрастирует с его теоретическойнеизученностью.

Для дальнейшего обсуждения предположительной роли субдоми-нантного речевого поведения в процессе глоттогенеза существенно


представлять себе, с какими свойствами личности связана высокаягипнотическая внушаемость. Согласно [, с. , ], гипнабельныелюди не характерны ни патологией личности, ни слабостью «я», ниинтровертностью. «Испытуемый –– доброволец, проявляющий высо-кую гипнабельность, должен, по-видимому, быть охарактеризованскорее как в высшей степени общественная личность (которого при-влекает группа и который способен ей противостоять)». «Наиболеегипнабельными по тесту Кэттелла оказываются самые открытыеи властные, и по тесту Гилфорда––Циммермана –– самые общитель-ные и пользующиеся достаточно сильным влиянием на окружающих».

Не вполне ясна роль эмоционального аспекта коммуникации привнушении; во всяком случае, с ним коррелирует степень импера-тивности внушающего. Известно, что восприятие эмоциональногоаспекта речи часто является бессознательным и опирается на систе-мы субдоминантного полушария. Эмоциональная, субдоминантнаясемантика сообщения может восприниматься как главная, особен-но если она противоречит доминантной семантике прямого смысласлов. При этом, как отмечено Бассиным, «по своему „филогенетиче-скому возрасту“ он (эмоциональный аспект) не только не уступаетаспекту содержательно-смысловому, но в некоторых случаях его дажезначительно превосходит. Этот „язык“ врожденно воспринимаем нетолько всеми людьми Земли (независимо от их возраста и уровнякультуры...), но даже высшими животными» [, c. ].

Глоссолалия, эхолалия, синдром Туретта. Эхолалией называет-ся непроизвольное повторение слушающим того, что он услышал (ча-ще –– концов фраз или последних слов).

Глоссолалия –– это своеобразное речевое поведение, наблюдающе-еся всегда в группах и всегда в контексте религиозных служб.Оно воз-никает вслед за некоторым состоянием транса и заключается в теку-чей речи, подобной речи на иностранном языке, непонятном для са-мого говорящего. Первые зафиксированные случаи глоссолалии свя-заны с ранним христианством. В «Первом послании к коринфянам»апостол Павел несколько раз упоминает это «говорение на языках»,например в :: «Ибо кто говорит на [незнакомом] языке, тот гово-рит не людям, а Богу, потому что никто не понимает [его], он тайныговорит духом».

Современные магнитофонные записи глоссолалии с несомненно-стью показывают, что эта речь не является речью ни на одном из есте-ственных языков. В то же время эти записи обнаруживают некоторыеинвариантные паттерны чередования ударных/безударных, интона-ции повышения/спуска в конце фраз и т. п., не зависящие от родно-


го языка говорящего. Вот образец (записан у индейца племени майяв Юкатане): aria ariari isa, vena amiria asaria.

У Данте (Ад. XXXI: ) Немврод, первый царь Вавилона и строи-тель Вавилонской башни, стало быть, легендарный виновник диффе-ренциации языков, произносит непонятную фразу: «Raphel mai amechzabi almi». Интересно отметить, что по огласовке она очень напоми-нает цитированный глоссолалический запев.

Наконец, редко встречающийся синдром Туретта [, c. ] состо-ит в периодическом непроизвольном испускании, посреди нормаль-ной беседы, так называемой хульной речи, рычащих звуков, непри-стойностей и др., что обычно относится к речевой компетенции суб-доминантного полушария. Почти все пациенты леворуки.

Разобранные выше формы субдоминантного речевого поведения,возможно, отражают действие каких-то глубинных порождающих ме-ханизмов речи, не подвергнутое контролю высших инстанций.

Смешанный случай субдоминантного поведения: «голоса».Слуховые галлюцинации («голоса») представляют особо интересныйобразец субдоминантного речевого поведения, поскольку объеди-няют в себе субдоминантные порождение и восприятие речи. Труд-ным представляется вопрос о границах между нормой и патологией.Джейнз, из книги [] которого почерпнуты следующие сведения,отмечает что после чтения лекций о голосах поразительно большоеколичество слушателей подходили к нему и рассказывали о своихголосах.

Описано множество случаев слуховых галлюцинаций у шизофре-ников (особенно до современных средств химической терапии, кото-рые почти исключили классические формы заболеваний). Голоса мо-гут как угодно относиться к пациенту: они беседуют, угрожают, кля-нут, критикуют, советуют, улещивают, утешают, издеваются, коман-дуют, комментируют происходящее и предсказывают будущее, кри-чат, стонут; говорят медленно, быстро, в рифму, ритмично, на ино-странном языке; два голоса могут обсуждать пациента.

Очень существенно, что голоса обладают высокой степенью импе-ративности; при независимости от контролирующего сознания, голосможет побудить человека совершить самоубийство или, как в случаеЖанны д’Арк, спасти страну и короля.

Гипотеза Джейнза

Одна из центральных концепций книги [] основана на предпо-ложении, что возбуждение слуховых галлюцинаций у человека свя-


зано с превышением некоторого порога стресса и что в древностиэтот порог был много ниже, а голоса слышал практически каждыйчеловек, чем и определялось его поведение в критических обстоятель-ствах. Сознание современного человека, по Джейнзу, является весь-ма поздним психическим механизмом, заместившим следование го-лосам, которое воспринималось как следование голосу Бога (или бо-гов). «В бикамеральном человеке повиновение своему голосу и былозаменой произвольности [действия]».

Распад этого поведения Джейнз относит примерно ко времени со-здания гомеровского эпоса, полагая, что в «Илиаде» зафиксированоеще архаическое состояние психики человека, управляемого голоса-ми Богов, тогда как Одиссей –– уже человек, обладавший современ-ным сознанием (см. детальный разбор части аргументации Джейнзав []).

Даже считая концепцию Джейнза чрезмерно жестко сформулиро-ванной, трудно отказаться от мысли, что в ней отражены существен-ные черты долгого процесса формирования современного сознанияи «доминантной психики» в филогенезе.

Сознание, диссоциации и компьютерная метафора. Итак, пси-хика древнего человека преимущественно субдоминантна; современ-ного –– преимущественно доминантна; различие этих двух мод мы свя-зываем с участием и развитостью сознания; так что следует сказатьнесколько слов о сознании.

Употребление этого слова никогда не имело терминологическогохарактера: см. [, ], где обсуждены наиболее часто встречающиесяконтексты. Мы попытаемся лишь выявить такие черты представленияо сознании, которые существенны для целей этой статьи.

Будем понимать под психикой совокупность информационныхпроцессов, происходящих в центральной нервной системе. Мы ука-зываем, таким образом, на уровень рассмотрения: один и тот жепроцесс проведения импульса по нервному волокну мы не относимк психике, пока и поскольку интересуемся его физическими характе-ристиками; но относим, если рассматриваем его в составе сигнала «вполе зрения появилась косая черта».

Мы предполагаем, что часть психических процессов выполняетособую роль: информация, носителями которой они являются, естьинформация о самой психике. В качестве первого приближения мож-но вообразить подробный план комнаты, лежащий на столе комнаты;на этом плане есть изображение стола, а на нем –– изображениесамого плана. Введем теперь динамический аспект: предметы на


плане вырезаны из бумаги, их можно двигать, примеряясь к другойрасстановке мебели; план, таким образом, моделирует возможныесостояния мира, информацию о котором он несет. Мы связываемпредставление о сознании с такими постулируемыми процессамивнутри психики, которые:

а) несут информацию о самой психике, т. е. рефлексивны;б) способны имитировать состояния психики, отличные от теку-

щих, т. е. обладают моделирующей функцией;в) способны влиять на состояние психики в целом и через это на

поведение, т. е. обладают управляющей функцией.Согласно этому описанию, сознание есть относительно малый «фун-

кциональный» орган психики, динамическое содержание сознаниявключает очень обедненное и обобщенное отражение содержаниятекущих процессов психики, а также модели ее возможных состо-яний. Почти вся психика относится к бес- или подсознательному.Сознание представлено достаточно изолированной частью динами-ческих процессов в психике (иначе эта часть не сможет исполнять триупомянутые функции). Наконец, психика способна функционироватьбез того, чтобы ее специализированный функциональный орган, со-знание, принимал активное участие в этом функционировании.

Мера участия сознания в поведении –– это а) мера отраженияв сознании информационных процессов, обеспечивающих поведен-ческий акт (его начало, продолжение, завершение); б) мера ролисознания в формировании этих информационных процессов. Впер-вые обучающийся игре по нотам осознает более значительную частьпроцессов, промежуточных между зрительным восприятием нотно-го текста и моторной реакцией пальцев, чем профессиональныймузыкант: профессионал сознательно решает начать игру, но бес-сознательно играет.

Именно потому, что основной характеристикой сознания пред-ставляется рефлексия (возможно, второго и более высокого порядка),участие сознания не является обязательным для таких действий,как реакция на внешние стимулы, использование навыков, речевоеповедение, вплоть до формирования суждений и творчества. Дажекогда содержанием сознания кажется внешний опыт, это означаетлишь, что мы опускаем одну инстанцию в описании: «я вижу» озна-чает «я осознаю, что я вижу», а если это не так, значит «я вижу, неосознавая».

Психика может содержать два и более динамических отраженийсамой себя, с разным соотношением взаимно отражающих и управ-ляющих функций. Связанные с этим режимы функционирования пси-


хики проявляются в широком спектре диссоциативных явлений []:кратные личности, автоматизмы, фуги, гипнотические феномены и т.д.

Развитие речевой функции в процессе гоминизации открыло пе-ред центральной нервной системой совершенно новые возможностидля формирования рефлексивных, моделирующих и управляющихмеханизмов. Может быть, самой принципиальной из них оказаласьвозможность сколь угодно точной рефлексии сколь угодно высокогоуровня (достижимой лишь на уровне социума, а не индивидуума).

Идеология этого краткого очерка –– соединение интроспекции скомпьютерной метафорой. Интроспекция –– наше единственное пря-мое свидетельство о единственном доступном нам сознании, своем;компьютерная метафора –– единственный источник действительносложных и динамических концептуальных моделей психики, способ-ных к саморазвитию и, в будущем, к сравнению с нейрофизиологи-ческими данными. Пользуясь этой идеологией, мы не пытаемся от-ветить на вопрос «что такое сознание», но лишь выделяем его харак-теристики, которые представляются существенными. Если этими жехарактеристиками обладают какие-то техногенные информационныепроцессы, к ним можно, со всеми приличествующими оговорками,отнести слово «сознание». В таком именно плане в работе [, c. ]обсуждаются перспективы разработок компьютерных систем пятогопоколения, допускающих общение с пользователем на естественномязыке: «С точки зрения модели себя (= модели системы) основноенаправление исследований лежит в создании систем, обладающихэлементами „самосознания“, т. е. способностями объяснить свои зна-ния, возможности и состояния. Важность „самосознания“ вызванатем, что создание систем, понимающих и знающих ответ на любойвопрос пользователя (даже в ограниченной предметной области),недостижимо...» По мнению автора, задача системы общения нев том, чтобы все понимать и знать, а в том, чтобы уметь объяснитьпользователю, что система знает, что не понимает и почему. Един-ственным известным автору средством решения указанной задачиявляется развитие «самосознания». Отметим, что необходимость «са-мосознания» является следствием не языка общения, а того, что длядостижения цели в процессе общения система должна уметь в терми-нах, понятных пользователю, выражать свои знания, свои состоянияи причины затруднений. Другими словами, необходимость «само-сознания» является следствием не столько языка общения, сколькосложности окружающего мира, обсуждаемого в процессе общения.

Итак, в то время, когда пишется эта статья, «филогенез компью-теров» проходит стадию развития речи на естественном языке, и уже


надвигается стадия развития «самосознания», необходимость кото-рой связана с потребностью в эффективном социальном функциони-ровании.

Предположительно, человеческая речь и человеческое сознаниепроходили в филогенезе гомологичные стадии в том же порядке. Ран-нее сознание –– фильтр между психикой и поведением, новое созна-ние –– канал связи между своей психикой и чужими психиками.

Гомеровское ϕρǫνoζ и сознающее «я». Хорошо известно, чтов разных культурах органом мышления, сознания, эмоциональнойжизни считались сердце, пуп, печень –– внутренние органы груднойклетки или брюшной полости. Например, анализ гомеровских тек-стов, описывающих психические состояния (см. [] и цитированнуютам литературу), показывает особую роль слова ϕρǫνoζ. Оно име-ет двоякое значение: какой-то внутренний орган тела, диафрагма(в традиционном понимании) или легкие и сердце –– и в то же времявместилище психики человека, сознания, эмоций.

Распространена такая интерпретация этих свидетельств: они от-ражают отсутствие у древнего человека знаний о физиологии и ролицентральной нервной системы. Люди «думали», что сердце есть органдуховной жизни. Эта точка зрения страдает чрезмерным рационализ-мом и, что хуже, упускает роль психологической реальности, стоящейза этими представлениями.

Современный западный человек также обладает ощущением ло-кализации своего «я», однако помещает его в голове, между глаза-ми, в точке, смещенной вперед по отношению к центру черепной ко-робки. Эта позиция представляется почти само собой разумеющейся.Но эксперименты, связанные с сенсорной депривацией, когда чело-век проводит много часов в темном тихом помещении, погруженныйв ванну с подсоленной водой при температуре тела, обнаруживаюттакие измененные состояния сознания, при которых это ощущаемоерасположение «я» может сместиться в разные места внутри тела и да-же спроецироваться вовне тела. Такие данные поддерживают пред-ставление о сознающем себя «я» как о рефлексивной структуре в ЦНСс планом психики, планом тела, планом окружения и буквальной ло-кализацией наблюдающего «ego» на этом экране. Смещение «я» естьсмещение внутреннего наблюдателя.

Поскольку со времен Гомера стандартное положение «я» в теле из-менилось, оно должно считаться социально обусловленным. Помеще-ние «ego» в сердце, пуп, печень и др., отмеченное в разных культу-рах, фиксировало реальное самоощущение членов соответствующего


социума. Приняв эту гипотезу как наполненную психологическим со-держанием, мы сможем сделать еще шаг и представить себе архаич-ные состояния расчлененного сознания. Два (или три) сознания еги-петского фараона, семь сознаний кетских шаманов должны подверг-нуться психологическому изучению как возможные стадии на путиразвития человеческого сознания вообще. Современные материалыпо расщепленному сознанию дают материал для изучения этого.

Архаичность субдоминантного поведенияи фигура «мифологического плута»

Расщепленное сознание трикстера Вакдьюнкага. Цикл мифово трикстере, «мифологическом плуте» индейцев Виннебаго, был полу-чен в начале этого века в записи этнографом Паулем Радином и опуб-ликован вместе со статьями П. Радина, К. Кереньи и К. Г. Юнга в кни-ге []. Пятый эпизод этого цикла повествует о том, как правая и ле-вая руки Вакдьюнкаги боролись друг с другом, после того как он (дер-жа нож в правой руке) зарезал буйвола:

«Вдруг левая рука ухватилась за буйвола. „Отдай, это мое! Отпу-сти, не то я тебя зарежу! –– вскричала правая рука. –– На куски тебяискромсаю!“. Левая рука выпустила буйвола, но тут же ухватилась заправую. И как только правая рука пыталась ободрать буйвола, леваяудерживала ее за запястье. Так руки подрались, и дрались до техпор, пока левая не оказалась изранена. „Ах, зачем я это сделал(а)?Сам себе боль причинил(а)“. Левая рука сильно кровоточила». (Изнемецкого перевода неясно, произносит ли последнюю реплику Вак-дьюнкага или его правая рука; левая рука, связанная с субдоминант-ным полушарием, характерно молчит.) Буквально такое поведениерук эпизодически наблюдалось у больных, перенесших комиссурото-мию –– операцию, разъединяющую два полушария головного мозга.«Один больной, в частности, описал такой случай: однажды он об-наружил, что его левая рука борется с правой при попытках надетьутром брюки. Одна рука тянула их вверх, в то время как другая вниз.В другом случае тот же больной, рассердившись, замахнулся левойрукой на свою жену, а его правая рука схватила левую, пытаясь ееостановить» [, c. ].

Культурные герои и трикстеры. Еще до того, как эффекты меж-полушарной асимметрии стали привлекать всеобщее внимание, этотэпизод борьбы рук, как и другие характеристики Вакдьюнкаги, вос-принимались публикаторами мифологического цикла как свидетель-


ства о глубоко архаичном состоянии психики героя мифа. В частно-сти, Радин писал []:

«Он [трикстер] живет еще в своем бессознательном, в детском со-стоянии психики, что и символизирует борьба его левой и правой рук,в которой левая оказывается тяжело пострадавшей» (с. ).

«...его левая и правая руки борются, он сжигает свой анус и съеда-ет собственные кишки, части его тела ведут независимое существова-ние и не исполняют свои собственные функции. Все происходит самособой, помимо его воли» (с. ).

«В его фигуре воплощены смутные воспоминания архаичного иизначального времени... Его голод, его сексуальность, его страстьк блужданиям не свойственны ни богам, ни людям. Телесно и духовноони –– из другого мира...» (с. ).

Сейчас можно слегка уточнить эти предположения. Расщепленноесознание трикстера могло быть характерным состоянием отдельныхпервобытных людей в эпоху нейрофизиологического оформления меж-полушарной асимметрии. Формирование речевых центров в коре ле-вого полушария, связанная с этим перестройка межполушарной ко-операции и начало (или усугубление) дифференциации функций по-лушарий могло служить постоянной основой неврологических дис-функций.

Косвенные свидетельства в пользу этой гипотезы доставляет об-щий анализ мифологических мотивов, связанных с фигурой трикс-тера (см. подробнее []). «Мифологический плут» является комиче-ским спутником, братом-близнецом или травестией «культурного ге-роя». Если сфера деятельности культурного героя –– добывание огня,изобретение предметов культуры, кодификация поведения и установ-ление культурных запретов, то функции плута –– уничтожение, нару-шение, ложь и плутовство.

Интересно, как эти архаические черты проглядывают в фигурепервосвященника Аарона, брата и духовного соратника пророка Мо-исея. Весьма характерна прежде всего мотивировка введения в по-вествование Аарона: Моисей, слышащий голос Бога, который пове-левает ему обратиться к сынам израилевым и призвать их к исходуиз Египта, отговаривается своим косноязычием. Голос тогда велитпризвать Аарона: «...Я буду при устах твоих и устах его и буду учитьвас, что вам делать. И будет говорить он вместо тебя к народу»(Исх. , ––). Аарон далее выступает толмачом Голоса, вещающегоМоисею перед израильтянами и перед фараоном, так что, видимо,он не только речист, но и полиглот. Когда фараон отказываетсяотпустить израильтян, именно Аарон осуществляет три первые те-


ургические знамения –– «египетские казни»: превращение посохов взмей и др. Происходит нечто вроде шаманской борьбы между Ааро-ном и волхвами египетскими, и чары-чудеса Аарона оказываютсясильнее. Сакральные функции Аарона, таким образом, сопряженыс исключительным владением речью, трюкачеством и, видимо, уме-нием внушать коллективные гипнотические состояния (превращениеводы в кровь). В то же время именно Моисей, несмотря на своекосноязычие, является проводником воли Голоса, тогда как в фигуреАарона сохраняются черты мифологического плута. Табу нарушает,правда, не сам Аарон, но два его сына, за что их сжигает божествен-ный огонь (Лев. , ––; Чис. , ). Жадность Аарона проявляетсяв эпизоде с упреками Моисею за жену-эфиопку (Чис. , ––), за чтоМариам, сестра Аарона, наказана семидневной «проказой».

Лишь в позднейшей традиции, как отмечает С. Аверинцев, Ааронприобретает образ идеального первосвященника, и архаичные при-меты трикстера стираются.

Плуты европейских мифологий также недвусмысленно обнаружи-вают черты, свидетельствующие о том, что они связаны с архаичнойстадией речевой деятельности. В работе [] читаем, например:

«Целый ряд фактов указывает на то, что Гермес связан с непонят-ной речью, (гибельной, зловещей) ложью, бессмысленными звуками.В отличие от истины такие речи, во-первых, не-прямые, не-простые...,а во-вторых, не связаны с речевыми регистрами голоса. Во второмслучае выделяются, с одной стороны, смех, шепот, бормотанье ⟨…⟩,а с другой стороны, –– крик...».

Это описание хорошо согласуется с тем, что при прямой стиму-ляции определенных областей субдоминантного полушария, а такжедревней лимбической системы регистрируются именно такие голо-совые реакции. Вероятно, они были много более обычными в эпохустановления левополушарной речи. Сама констатация неистинностиснов и пророчеств возможна лишь на фоне достаточно развитой ре-чи, функция которой состоит в передаче истины. Следует учесть, что«истинность» снов и пророчеств еще весьма далека от привычной нам«истинности» объективно проверяемых суждений. В них очень силь-на императивная компонента, они побуждают к тому или иному вы-бору действий, и «Истинность» является функцией от эффективностиэтих действий.

Итак, трикстер –– это воспоминание о человечестве, «которым речьучится говорить»; через которое впервые проявляются странные воз-можности речи –– насилие запретов и ложь во их избежание; котороеначинает слышать речь всего окружающего –– деревьев, воды, кам-


ней, собственного тела и богов и пытается разгадать этот язык;чье сумеречное и расщепленное сознание вспыхивает и гаснет; чьи«муки слова» являются также физическими муками, лишь слабоевоспоминание о которых мы храним через много поколений .

Более подробная интерпретация мотива трикстера приведена встатье автора «Мифологический плут по данным психологии и теориикультуры» (Природа. . . С. ––); см. наст. изд., с. ––.

Уроки санскрита. Много позже периода начального становлениядревнеиндийская санскритоязычная культура зафиксирует и коди-фицирует вполне сознательно это древнее состояние «говоримого»и «действуемого» человека, для которого Речь является субъектомговорения и действования. В работе [], из которой заимствованодальнейшее, выразительно описаны интересующие нас черты.

Уже название речи у ведийских арьев vac не следует распростра-ненной модели –– по органу речи, языку во рту (русское –– язык, древ-негреческое –– glossa, латинское –– lingua и пр.). «Для древнеиндийско-го языкового состояния назвать язык, считавшийся божественным,по органу, служащему для его выявления, обнаружения, перехода изневидимого состояния в видимое, было бы недопустимым грехом ме-ханицизма, умалением вечной сущности языка. Язык-орган (jihv´a) ––не более чем проводник речи... vac как язык, речь, слово –– не толь-ко и не столько некий результат говорения, внутренний объект соот-ветствующего действия, сколько творческая сила (в смысле, которыйсвязывал с языком Гумбольдт)» [, c. ].

Это подчеркивание изнутри напирающей энергии речи, не подчи-ненной воле, но подчиняющей ее, совместимо с нашим предположе-нием о субдоминантном характере праречи.

Речь имеет своих хранителей и воплотителей; при этом существен«мотив создания мудрецами Речи как просеивания зерна с помощьюсита» []. Мы усматриваем в этом мотиве метафору индивидуальногосознания, фильтрующего, отсеивающего результаты действия порож-дающих механизмов речи в ЦНС, но также и метафору социальныхмеханизмов отбора спонтанных речевых актов и формирование надречью нового структурного уровня –– языка.

«Напрашивается, по сути дела, естественное предположение, чтодревнеиндийский „грамматик“ ведийского периода был одним из

Любопытно отметить в связи с нашей темой фигуру Феликса Крулля. Томас Манн,воспитавший в себе высокую чувствительность к мифологическим мотивам, безоши-бочно приписал этому современному герою-трикстеру почти магический и почти бес-сознательный полиглотизм –– обстоятельство, которое следовало бы отмечать в иссле-дованиях по мифологизму в современной литературе.


жрецов, контролировавших речевую часть ритуала... В этом слу-чае получает свое объяснение исключительное сходство операций,совершаемых „грамматиком“, с тем, что делает жрец (принесениежертвы. –– Ю. М.). Как и жрец, „грамматик“ расчленяет, разъединяетна части первоначальное единство, целостность (текста, соответ-ственно жертвы), идентифицирует разъятые элементы..., собираетвоедино, синтезирует в новое единство более высокого плана этиэлементы» (с. ).

Грамматик-жрец обладал высокой чувствительностью к Слову. Вкаждом поколении каждого племени в предшествующие эпохи такиелюди должны были направленно отбираться, выделяться и воспиты-ваться. Вокруг них племя собиралось как вокруг станового хребта(гимн единения Ригведы: sam. gachadhvam. sam. vadadhvam. sam. vomanansi janatam –– «Вместе сходитесь! Вместе ведите речь! Вместенастраивайтесь в ваших помыслах!»). Сильный, властный, активный(и легко внушаемый) вождь племени и жрец-шаман, глоссолалирую-щий, плутующий, слышащий голоса богов, полубезумный –– эти двефигуры, вероятно, отразились в паре культурный герой/трикстер.

Сгущающееся сознание. Развитие сознания современного ре-бенка есть результат взаимодействия двух типов процессов: нейрофи-зиологических (рост и созревание нейронов, установление связей),которые происходят в нервной системе, и социальных (обучениеречи, социальному поведению, восприятию других людей и черезних себя), которые обеспечиваются взаимодействием ребенка с дру-гими, взрослыми, людьми. Огонек сознания разгорается в мозгу ––социальное сознание «сгущается» и питает это пламя.

Филогенез сознания должен быть реконструирован как такой жедвойной процесс. Коллективное сознание предшествует индивидуаль-ному и является тем полем, средой, «грибницей» (К. Г. Юнг), из кото-рой кристаллизуются индивидуальные самосознания.

Реликтом эпохи «коллективного сознания» является, вероятно,зафиксированное в различных ранних юридических установлениях

Мифологема жертвоприношения как расчленения жертвы и разбрасывания ее ча-стей по многим разным местам, реконструируемая в [], может быть сопоставлена так-же с приемами анаграмматической зашифровки ключевых слов, в особенности именбога, в древних мифоритуальных текстах, а также в современной поэзии. Психолинг-вистическое значение анаграмм нуждается в изучении. Напрашивается гипотеза о том,что анаграммы представляют собой некоторую имитацию правополушарной «гологра-фичности», осуществляемую левополушарными средствами. В качестве (инвертиро-ванного) параллельного явления можно рассматривать чертеж или «мысленный экспе-римент» как правополушарный аналог «вычисления» (осуществляемого манипуляциейнад символами).


отсутствие противопоставления так называемой отчуждаемой соб-ственности (земля, имущество, дом) и неотчуждаемой собственностичеловека (органы тела). «...В законах Ману (VIII. ), где излагаютсядесять видов объектов наказания, имущество как один из них вклю-чается в список, попадая при этом между ухом и туловищем» [,c. ]. Нанесение увечья вору не есть просто наказание –– это естьвоздаяние, эквивалентное проступку, ибо хищение собственностичеловека равно нанесению ему увечья. Первобытное «я» имело раз-меры «я плюс мое имущество плюс мое племя». Притом это отож-дествление было данным первично, и не результатом волевого илирационального усилия, оно совершалось «на минимальном уровне ре-флексии» [там же]. Следы этого состояния сохраняются очень поздно,вплоть до появления авторского типа литературного творчества. Доэтого речь не есть и не может быть принадлежностью индивидуума.Ее профанные, низшие виды принадлежат племени (племенной языки есть «человеческий» язык), а сакральная речь принадлежит богами лишь передается от поколения к поколению.

Впервые человек осознает себя, когда начинает говорить от своегоимени.

В современной психологии феномен «расширяющегося сознания»играет маргинальную роль и практически находится вне поля зрения;называемое этим именем состояние, индуцированное приемом гал-люциногенов, вероятно, является лишь эрзацем естественного при-митивного дознания. В художественной литературе имеется глубокоеописание психологии участника ночной атаки, где слом атаки описанименно как следствие слома первоначального коллективного созна-ния атакующих. Внезапное установление такого сознания в экстре-мальных ситуациях есть один из фундаментальных законов психоло-гии боя.

История языка и сознания и некоторыетеоретические проблемы общей семиотики

Семиотика и большие системы. Любые нынешние догадки оранних стадиях языка и сознания поневоле выражаются метафо-рически из-за отсутствия надлежащего понятийного языка. Недо-статок метафоры –– не в том, что она неточна или неистинна, а втом, что она сопротивляется организации в систему. Научная модельявления также может быть ложной или грубо приближенной, но еепреимущество –– в том, что она входит в систему научного знания,которая эту модель поддерживает, питает извне и несет потенциалее улучшения или смены. Метафора, выраженная на естественном


языке, полагается лишь на самое себя; она гибнет или выживаетбезотносительно к истине.

«Компьютерная метафора» имеет, однако, другой характер. То, чтоэта метафора призвана отобразить, –– центральная нервная системаи ее функции –– является биологической большой системой. То, чемэта метафора пользуется в качестве образа, –– компьютер, вычисли-тельный процесс, база данных –– является техногенной большой си-стемой. Сама метафоризация есть динамическая, творческая и долго-временная деятельность по наложению, примеркам и прикидкам на-шего разветвленного и точного знания о технологических процессахпереработки информации к биологическим процессам. Любой проме-жуточный результат этой деятельности может быть (и, как правило,будет) отвергнут. Но в ходе этой деятельности медленно кристалли-зуется новое знание.

Основной постулат семиотики состоит в гипотезе о структурномподобии различных знаковых систем и возможности выделить иде-альный объект исследования –– «знаковую систему». В этом пунктемы обсудим возможность семиотического подхода к протопонятию«большая система» и соответствующего расширения компьютернойметафоры, которое представляется нам совершенно необходимым.

На надлежащем уровне рассмотрения большими системами явля-ются вселенная, галактика, общество, биоценоз, биологический вид,экономика, промышленная отрасль, армия, ЭВМ, симфонический ор-кестр, организм, мозг, клетка, метаболизм. Большую систему нужнопредставлять себе прежде всего как некоторую физическую дан-ность, подлежащую и поддающуюся естественнонаучному изучению.Ее пространственные характеристики образуют ее структуру, а вре-менные –– поведение и эволюцию. В научном знании каждая большаясистема представляется в виде совокупности относящихся к ней мо-делей. Модель обычно учитывает лишь часть объектов и процессовсистемы и притом рассматривает эту часть достаточно суммарно,блочно, обобщенно. Интеграция моделей, относящихся к одной и тойже системе, либо является новой моделью, либо совершается внеуровня научного знания –– в индивидуальном или коллективном со-знании, в действиях людей, обслуживающих, изучающих или исполь-зующих большую систему. Исторически новый метод интеграциимоделей –– компьютерная интеграция.

Предметом общей семиотики должен быть уровень информацион-ных процессов (в других контекстах –– знакового или символическогоповедения) большой системы, притом те аспекты этого уровня, кото-рые поддаются сравнению во всех больших системах.


Плодотворность такого сравнения может проявиться при двухусловиях: а) сравниваемые системы достаточно хорошо изучены самипо себе; б) семиотические аналогии между ними нетривиальны.Структурализм в стиле Леви-Стросса изобилует такими семиотиче-скими сопоставлениями на уровне структура языка/структура со-циального поведения. Методологические этюды Р. Тома добавляютк этому сопоставления морфогенез/синтаксис/особенности гладкихотображений и т. д. Справедливо предположить, что такие сопостав-ления по своему гносеологическому статусу подобны «компьютернойметафоре». Тогда будет понятно, что практически все они в своей кон-кретности должны быть отвергнуты. Но если они станут историческипреходящей стадией развития длительного процесса сравнительногоизучения больших систем, тогда они сохраняют свое значение какростки новой методологии.

С точки зрения традиционного понятийного аппарата семиотикиэтот подход подразумевает обращение иерархии основных понятий.Если считать исходным понятием семиотики «знак», то исходнымпротопонятием общей семиотики будет «информационный процесс»,а «знак» –– возможно, последним результатом анализа данного классаинформационных процессов. Есть все основания думать, что в буду-щей теории гомологи таких понятий, как «база данных» или «память»,следует относить к более элементарному уровню, чем «знак». Так,во всяком случае, развиваются наше знание больших биологическихсистем и проектирование больших технических систем. В пользу этойже точки зрения говорит известное явление информационной без-различности материальной природы знака (ср. в лингвистике тезисо произвольности языковых знаков).

Следующие разрозненные замечания относятся к некоторым про-блемам общей семиотики.

Проблема объективного выделения информационных процес-сов. При естественнонаучном анализе большой системы информаци-онные (знаковые) аспекты ее поведения не могут считаться извест-ными априори, они должны как-то изолироваться в процессе анализа.Попытки сформулировать критерии такой изоляции приводят к сле-дующим предварительным наметкам.

А) Критерий «спускового крючка». К информационным (сигналь-ным) процессам следует относить те, которые при прочих равныхусловиях вызывают или прекращают другие процессы, энергетиче-ский масштаб которых значительно превосходит масштаб сигнально-го процесса.


Б) Критерий системности. Сигнальные процессы выделены пра-вильно, если анализ позволяет выявить черты их организации в си-стему: «речь» подчинена «языку».

В) Критерий автономности. Развитые информационные процес-сы имеют тенденцию образовывать «замкнутые вихри», «сети», «жест-кие структуры» и пр., которые хорошо изолированы от обратноговлияния на них высокоэнергетической материальной жизни системы.Обнаружение таких процессов и хранилищ, наоборот, позволяет пред-положить, что они выполняют информационные функции.

Проблема многоязычия. Большая система может пользоватьсямногими разными языками, которые обслуживают разные уровни ин-формационных процессов. Выявление и описание таких языков ––важнейшая задача. Взаимоотношения языка (точнее, соответствую-щих информационных процессов) со своим окружением грубо описы-вается вариантом традиционной семиотической триады: язык чем-топроизводится, на что-то воздействует и несет информацию о чем-то.Взаимодействие языков разных уровней изучено значительно хуже.Традиционное отношение между текстами на двух естественных язы-ках –– «один текст является переводом другого» –– основано на иде-ализации существования общего значения двух текстов, которыйи сохраняется при переводе. Эта идеализация плохо работает ужев случае, когда один из текстов является программой на алгорит-мическом языке, а другой –– ее переводом в машинные коды. Зна-чение первого текста определяется характером его взаимодействияс головным мозгом программиста, а смысл второго –– с hardware ком-пьютера. Гумбольдтовский тезис о том, что высказывание само посебе не несет информации, выступает в этой ситуации еще более вы-пукло. Язык программирования есть посредник между «внутреннимимирами» человека и ЭВМ. Необходимость такого медиатора вызвананесоизмеримостью элементарных семантических единиц этих миров.В частности, то, что элементарно в A, может быть сложной кон-струкцией в B, и наоборот. В той мере, в какой языковое поведениебольшой системы должно обладать моделирующими возможностямипо отношению к Миру, т. е. к другим большим системам (и к себесамой), такая семантическая несоизмеримость представляется ес-тественной, если постулировать, что Мир представлен в большойсистеме иерархией моделей, так же как и в общечеловеческом науч-ном Знании.

С этой точки зрения (как и с ряда других) естественные языкиможно рассматривать как изоморфные представления одного языка,


который обладает значительным интегрирующим семантическим по-тенциалом. В особенности научная речь активно пользуется этимпотенциалом, постоянно порождая выражения, семантика которыхнаходится выше уровня любой конкретной модели Мира или егочасти. Оборотной стороной этого являются чрезвычайно бедные воз-можности естественного языка в отношении алгоритмической пере-работки текстов на нем, сохраняющей некоторые свойства «истин-ности».

Омонимия текстов на естественном языке, как она ни обильна,исчерпывается перефразировками. Омонимия языка алгебраическихвыражений несравненно более содержательна. Выполнение любогорасчета, решение любой математизированной задачи с формальнолингвистической точки зрения может рассматриваться как перефра-зировка условий задачи в ее решение по известным заранее прави-лам. Однако эквиваленты этого процесса отсутствуют или не харак-терны в естественном языке. Для иллюстрации стоит вспомнить, чтоодним из первых языков математики, отделившихся от естественногоязыка, была позиционная система записи чисел. Ее фундаментальноепреимущество состояло в том, что арифметические операции надпозиционными записями могут выполняться алгоритмически, а нес помощью бессистемной серии рецептов ad hoc. Римская записьцелых чисел, промежуточная между словесной и позиционной, необладает никакими преимуществами позиционной, кроме краткости;по своим структурным свойствам она почти тождественна системесловесных обозначений.

Н. Бор отмечал, что математические обозначения важны в силутого, что они не несут никакой априорной семантической нагрузки,а позволяют рассматривать акт интерпретации как независимуюмыслительную операцию. В соединении с обильными возможностя-ми алгоритмической переработки это обстоятельство и определя-ет огромные моделирующие потенции математики. Существует ли«математика мозга» и какие языки и структуры ее обслуживают?Очевидно, что почти все содержание бессознательного должно отно-ситься к такому информационному поведению просто потому, чтолюбой алгоритмический процесс переработки информации, пока онпроисходит, не терпит вмешательства извне, кроме подачи входныхданных и сигнала начать их обработку.

Оппозиции и организация поведения. Комбинаторный аппаратдвоичных (иногда троичных) противопоставлений (ср. []), широ-ко применяемый в структуралистски ориентированных исследовани-


ях, часто сближается с бинарной системой записи чисел или буле-вой алгеброй классификационных признаков. Леви-Стросс, констати-руя основные оппозиции мифологического мышления, усматриваетв них раннюю стадию развития логики. Не оспаривая этого, мы хо-тим подчеркнуть специфику семантики оппозиционных пар и чертыэтой семантики, имеющие, так сказать, «субдоминантный» характер(если логику, в духе обсуждения в разделе «Речь и сознание», относитьк «доминантной» области).

Чтобы понять эту специфику, рассмотрим статус членов оппози-ции и самого их сопоставления.

Отдельный член оппозиции, как «природа», «культура», «верх»и т. п. в других контекстах может, как термин, вводиться определени-ем. О—предел—ение (de—fin—itio) есть указание пределов, границявления, обозначаемого данным термином. Вне пределов находитсянечто другое.

То, что говорит оппозиция о своих членах, вовсе не есть указа-ние этих пределов; напротив, это указание некоего ядра, бассейнапритяжения, аттрактора. При наложении оппозиции на реальность,при ее семантическом наполнении, элементы реальности начинаюттяготеть к тому или иному полюсу, как опилки в магнитном поле.Одна и та же оппозиция, например добро/зло, может накладывать-ся на реальность разными способами, включая собственную инвер-сию; одна оппозиция может быть символом или метафорой другой.Человеческое поведение имеет тенденцию организовываться в систе-му даже тогда, когда в этом нет прямой социальной или биологиче-ской необходимости; как дети, мы предпочитаем ступать по квадра-тикам. Оппозиции помогают организовать систематическое поведе-ние без того, чтобы сама конкретная система поведения была обяза-тельной в высшем плане. Элементарный пример этого –– символикацветов в разных культурах.

Мы полагаем, что эта функция оппозиций противостоит познава-тельной и является более архаичной по своей природе. Анализ Леви-Стросса должен быть уточнен в плане выяснения того, какие из суще-ственных для первобытного мышления оппозиций являются действи-тельно «преднаучными», а какие в широком смысле слова произволь-ны. Кроме того, как мы уже предполагали в другом месте, постули-руемая Леви-Строссом медиация «эмоционально напряженных» оппо-зиций, вероятно, является артефактом исследовательской методики.Целостное состояние психики представляется более архаичным, чемвнутренне конфликтное, и в диахроническом плане мифы скорее фик-сируют процесс рождения оппозиций, чем их медиацию.


Проблема семантических примитивов. В современной культуреязык осознается в первую очередь как средство передачи объектив-ного знания. «Лингвистический критицизм» направил свои усилия наупрочнение и очищение именно этой функции языка. Организацияповедения выступает как вторичное явление и обычно понимаетсякак организация эффективного поведения. Если принять точку зре-ния, согласно которой само по себе упорядочение поведения являет-ся первичным явлением, «субдоминантным» по существу, то в новомсвете предстанут роль табу и первичная семантика отрицания.

В самом деле, любая организация поведения в первую очередь тре-бует ограничения степеней свободы большой системы (типологиче-ская параллель –– синергии в организации движений по Бернштейну),и в смысле Тома сигнал, способствующий этому, является катастро-фой. Такие сигналы образуют самый фундаментальный класс семан-тического тезауруса.

А. Вежбицка, анализируя семантические примитивы, возвела от-рицание к «nolo» –– «не хочу» [, c. ]. Точнее было бы возводитьего к «noli» –– «нельзя», как убедительно показано в [].

Литература. Иллич-Свитыч В. М. Опыт сравнения ностратических языков: Сравни-

тельный словарь В––К. М.: Наука, . с.. Дыбо В. А., Терентьев В. А. Ностратическая макросемья и проблема ее вре-

менной локализации // Лингвистическая реконструкция и древнейшаяистория Востока: Тез. докл. конф. Ч. . М.: Наука, . с.

. Якобсон Р. Избранные работы. М.: Прогресс, . с.. Топоров В. Н. Санскрит и его уроки. Древняя Индия. М.: Наука, . С. ––

.. Попов Э. В. Общение с ЭВМ на естественном языке. М.: Наука, . с.. Glossogenetics. The origin and evolution of language / Ed. by E. de Grolier.

Chur: Harwood, . p.. Якушин Б. В. Гипотезы о происхождении языка. М.: Наука, . с.. Чуприкова Н. И. Психика и сознание как функция мозга. М.: Наука, .

с.. Поршнев Б. Ф. О начале человеческой истории (проблемы палеопсихоло-

гии). М.: Мысль, . с.. Fromm E. Age regression with unexpected reappearance of a repressed child-

hood language // Internаt. Journ. of clinical and experimental hypnosis. .Vol. . P. ––.

. Дридзе Т. М. Текстовая деятельность в структуре социальной коммуника-ции. М.: Наука, . с.


. Иванов Вяч. Вс. Чет и нечет. М.: Сов. радио, . с.. Спрингер С., Дейч И. Левый мозг, правый мозг. М.: Мир, . с.. Фрумкина P. M. Цвет, смысл, сходство. М.: Наука, . с.. Николаенко Н. Н. Функциональная асимметрия мозга и изобразительные

способности // Текст и культура. Труды по знаковым системам. Тарту:ТГУ, . Вып. XVI. С. ––.

. Столяр А. Д. О «гипотезе руки» как традиционном объяснении проис-хождения палеолитического искусства // Первобытное искусство. Ново-сибирск: Наука, . С. ––.

. Иванов Вяч. Вс. Об одном типе архаичных знаков искусства и пиктогра-фии // Ранние формы искусства. М.: Искусство, . С. ––.

. Hilgard E. R. Divided consciousness: multiple in human thought and action.New York: Wiley and Sons, . p.

. James W. The varieties of religious experience. Boston: Penguin, . p.. Шерток Л. Непознанное в психике человека. М.: Прогресс, . с.. Бассин Ф. В. О современном кризисе психоанализа. –– Вступительная ста-

тья к [].. Jaynes J. The origin of consciousness in the breakdown of the bicameral mind.

Boston: Houghton Mifflin Co., . p.. Иванов Вяч. Вс. Структура гомеровских текстов, описывающих психиче-

ские состояния // Структура текста. М.: Наука, . С. ––.. Popper R. R., Eccles J. G. The self and its brain. An argument for interactionism.

New York: Springer, . p.. Дельгадо Х. Мозг и сознание. М.: Мир, . с.. Jung С. С., Kerenyi К., Radin P. Der Gottliche Schelm. Ein Indianischer Mythen-

Zyklus. Zurich: Rhein Verlag, . s.. Мелетинский Е. М. Первобытные истоки словесного искусства // Ранние

формы искусства. Л.; М.: Искусство, . С. ––.. Менская Т. Б. AMHXANOΣ EPOΣ в контексте мифа о Гермесе // Струк-

тура текста. М.: Наука, . С. ––.. Романов В. Н. Из наблюдений о композиции «Махабхараты» // Древняя

Индия. М.: Наука, . С. ––.. Семиотика / Под ред. Ю. С. Степанова. М.: Радуга, . с.

«Мифологический плут» по даннымпсихологии и теории культуры

В мифах и эпосе разных народов известны фигуры, получив-шие название плутов, или трикстеров (англ. trickster, нем. GottlicheSchelm), по характерному комплексу комически-демонических чертобраза и поведения. К ним относятся Локи у скандинавов, Гермесу греков, Сырдон у осетин, Вакдьюнкага у индейцев виннебаго, Воронв чукотско-камчатском эпосе. Анализ сюжетов и мотивов, связанныхс этой фигурой, показывает, что мифологический плут является коми-ческим спутником, братом-близнецом или пародийным двойником,негативным вариантом другого образа –– культурного героя. В архаи-ческих системах культурный герой –– активный деятель мифов о про-исхождении, который изобретает или крадет у богов первопредметыкультуры, добывает огонь, оживляет первых людей, устанавливаеткультурные запреты –– табу. Действия плута пародируют эти функции:он уничтожает, нарушает, лжет –– словами и поступками, снами и про-рочествами. Он крадет, как Гермес, стадо коров у Аполлона, он строитбеспричинные козни, как Локи, подсунувший слепому Хёди побегомелы, который убил Бальдра; он оборотень, меняющий облик и пол;он посредник между богами и людьми, между живыми и мертвыми;его снедает неутолимый голод, гиперэротизм, страсть к блужданиям.

Чем архаичнее мифологическая фигура, тем труднее выделитьв ней тот специфический комплекс черт: тотемический (часто живот-ный) предок предстает как неразделимый сплав культурного герояи его двойника. Чем более поздний срез эволюционной картинымы рассматриваем, тем отчетливее –– но теряя свою мифологиче-скую первооснову –– проявляется этот комплекс в народной смеховойкультуре, в волшебной сказке, в литературе, от Гомера (Одиссей ––внук Автолика, сына Гермеса) до Рабле (Гаргантюа) и Томаса Манна(Феликс Круль).

Плут является как бы персонификацией комического, но совсемне обязательно смешного, иногда по преимуществу враждебного истрашного, в средние века христианской Европы –– дьявольского:

Впервые опубликовано: Природа. . . С. ––.


«...дьявол трактовался как simia Dei, как «обезьяна Бога», его недо-стойный подражатель, трикстер, полишинель неба и земли» .

Но не только этот эволюционный ряд делает фигуру мифологиче-ского плута столь привлекательным объектом теории культуры.

Дело еще в том, что трикстеру свойственна совершенно особаяпсихологическая напряженность. Другие герои мифа и эпоса частоощущаются «лишенными психологии» –– то ли оттого, что, по К.Г.Юн-гу, они сами по себе суть порождения психики, манифестации бессо-знательных архетипов; то ли оттого, что, согласно О. М. Фрейденберг

(и отчасти –– К. Леви-Строссу), они не столько субъекты жизненныхдействий, сколько заместители когнитивных категорий.

Непосредственное внутреннее чувство говорит нам, что трикстерне таков, что он тем в большей мере психологичен, чем глубже погру-жен в свою сферу нарушения и разрушения. Именно эта психологиче-ская наполненность позволяет плуту с такой естественностью статьгероем сказки или романа, а в его архаическом варианте –– донестидо нас черты филогенетически древнего психологического состояния.Мы попытаемся в этой статье рассмотреть фигуру плута в описанныхаспектах –– истории культуры и истории психики.

Вот краткое описание основных позиций, развиваемых автором.Смысловое ядро образа трикстера составляет конфликт «прораста-ния» культурного из докультурного, природного. Архаические пластыобраза отсылают нас к эпохе формирования неоантропа как говоря-щего и социального существа. Внутренняя конфликтность трикстеравзрывает любое гармонизированное традицией соотношение природ-ного и культурного. Смеховые и игровые характеристики –– результатвременной победы культуры в этом конфликте, его укрощенное,сглаженное и эмоционально упорядоченное выражение. Постоян-ная пограничность поведения трикстера оправдывает привлечениепсихопатологического материала к рассмотрению этой фигуры в ужеосвещенной временем традиции.

Что такое комплекс плута

Ядром комплекса плута является ювенильность. В филогенетиче-ском плане это означает отсылку к раннему периоду формирования

Панченко А. М. Русская культура в канун петровских реформ. Л., . С. . «Как это ни странно для нас, но эти борющиеся, похищающие и похищаемые герои

представляют собой архаическую форму наших будущих абстракций, наших филосо-фий и гносеологии, систем наших восприятий мира». (Фрейденберг О. М. Миф и лите-ратура древности. М., . С. ).

«Мèôîëîãè÷åñêèé ïëóò» ïî äàííûì ïñèõîëîãèè è òåîðèè êóëüòóðû

неоантропа; в онтогенетическом –– к периоду юности. Говоря о древ-нем человеке, следует учесть, что овладение речью должно было при-ходиться у него, по-видимому, на более поздний, чем сейчас, возраст(возможно, 7––10 лет), а половая зрелость наступала раньше, чем сей-час, так что под юностью можно представить себе непосредственнопредшествующий инициации (ритуалу посвящения во взрослый со-циальный мир) и включающий ее период обучения социальному по-ведению, не столь долгий и дифференцированный, как в наше время.

Производной чертой от ювенильности является общая подвиж-ность. В поведенческом аспекте она объясняет неопределенность,нефиксированность функции трикстера, его путешествия, его посред-нические, медиаторские черты. В характерологическом аспекте онавыражается в свободном обращении с речью и истиной, т. е., с болеепоздней точки зрения, в плутовстве, лживости и аморальности.

Понимание того, что содержание речи может быть независимымот конкретной наличной ситуации, было великим открытием челове-ка. Овладение речевой свободой на практике показало, что речь мо-жет моделировать отвлеченные и воображаемые предметы, а такжеуправлять поведением. Россказни плута –– это первые попытки управ-лять поведением партнера не используя грубой силы, и тем програм-мировать длинные цепи неожиданных событий.

Подвижность трикстера сама по себе нейтральна в ценностномплане; она приобретает знак лишь в конкретных условиях проявле-ния и бытования.

Оцениваемая положительно, подвижность трикстера есть некон-формность, пренебрежение табу и предписаниями, свобода от ско-вывающих предрассудков. Она способствует преодолению социаль-ных перегородок и переворачиванию социальной иерархии, содер-жит в себе возможность отказа от традиции и замены авторитетапервопредков ищущей деятельностью современников. Именно этопозволило Ж. Дюмезилю оценивать Локи и Сырдона как духовныхпредшественников первых ученых: «Существующий строй реагируетна всесокрушающую силу беспокойной мысли самозащитой, враж-дебностью, что и вынуждает разум направлять часть –– и нередкобольшую часть –– своих способностей на то, чтобы хитрить, обма-нывать, интриговать, а также, когда этому способствует уязвимостьнатуры, глумиться, отрицать, ненавидеть...». Таковы же истоки по-ложительной оценки шута или скомороха, который катализирует

Сравним фаустовский мотив сделки с дьяволом-трикстером: юность дается в об-мен на душу –– сознание.

Дюмезиль Ж. Осетинский эпос и мифология. М., . С. .


средневековую «карнавальность» (М. М. Бахтин) или временную «пе-ремену статуса» (В. Тэрнер) в ритуалах традиционных обществ.

Оцениваемая отрицательно, подвижность трикстера таит в себеразрушительное и саморазрушительное начало. Его асоциальность,его опасное для себя и других любопытство, не сдержанное запрета-ми, его психологическая неустойчивость –– все это чревато бедами,предвидеть и предотвратить которые мешает его левополушарнаяэйфория (в чем он также может считаться предшественником со-временных ученых). В крайнем выражении трикстер ведет себя какгебефренный психотик. (Психиатрия отмечает, что для больных гебе-френией –– юношеской формой шизофрении –– характерны асоциаль-ность, половая расторможенность и гротескное изменение психики.)

Мы рассмотрим ниже некоторые аргументы в пользу этой краткоописанной схемы. Разумеется, она проблематична. Отчасти это свя-зано с общим затруднением при осмыслении мифологических моти-вов, отсутствием здесь определенности. Нам также недостает полно-ты и точности обработки материала, четких хронологических и гео-графических рамок бытования фигуры плута.

Палеопсихологическая реконструкция

В рамках нашей интерпретации мы рассмотрим два круга свиде-тельств, которые привели к постулированию ювенильного ядра пси-хики трикстера:

• свидетельства о связи трикстера с особыми, регрессивными и, воз-можно, филогенетически ранними модальностями речи;

• характеристики, сопоставимые с психопатологией, в особенностиюношеского возраста.

В истории гоминизации –– становления человека –– критическуюроль сыграл период овладения звуковой речью современного типа.Вопрос об исторической длительности, последовательных стадияхэтого процесса и их абсолютной датировке не получил пока обще-признанного решения. Косвенные свидетельства извлекаются из раз-личных рядов данных, в числе которых: а) измерения характеристикископаемых черепов, позволяющие судить о развитии головного моз-га и голосового аппарата; б) исследование ископаемых каменныхорудий, которое показывает возрастание числа их типов и сложно-сти процесса обработки одного орудия, позволяя судить о развитииправорукости и, косвенным образом, видовой функциональной асим-метрии полушарий головного мозга; в) изучение раннего искусстваи ранней знаковой деятельности.


В общем, можно предполагать, что какие-то критические измене-ния произошли в мустьерский период между тыс. (или тыс.)и тыс. лет назад. В это время произошла смена антропологическоготипа палеоантропа (неандертальца Европы) на неоантропа (крома-ньонца), причем, по данным антропологии, второй не мог быть по-томком первого. Сценарий появления Homo sapiens современного ви-да, его дивергенции и взаимоотношений с «тупиковой ветвью», рас-селения по ойкумене и перехода от биологической эволюции к соци-альной неясен во многих деталях, дискуссионен, но, кажется, именномустьерская эпоха является ключом к самым глубинным палеопсихо-логическим мотивам мифологии.

Нейробиологически современная речь неразрывно связана с функ-циональной асимметрией полушарий головного мозга. Доминантноеполушарие, обычно левое, содержит центры распознавания и порож-дения звуковой речи. Сама по себе эта асимметрия, возможно, раз-вилась раньше. Особенность центральной нервной системы человекасостоит в весьма развитой интегративной функции мозга, в частно-сти наличии связей между основными видами восприятий: зрением,слухом, осязанием. По некоторым предположениям, нейробиологи-ческой основой звуковой речи явился гипотетический «внутреннийязык –– посредник» мозга, на который переводились все частные язы-ки восприятий. Пользуясь компьютерной метафорой, можно сопоста-вить этот период развития центральной нервной системы человекас появлением операционной системы, обслуживающей одновремен-но много каналов ввода-вывода при одном центральном процессоре.Появление звуковой речи тогда означает формирование канала длядинамического перепрограммирования этой операционной системы,первоначальный, биологический режим действия которой символи-зирует «природу», а вторичный, социальный –– «культуру». Хотя в ми-ре современности язык по большей части осознается как канал свя-зи для передачи информации, его важнейшая архаическая функция,согласно одной из точек зрения, состояла в прямом влиянии на пове-дение, а первые смыслы были запретами, ограничениями и табу. На

Датировки, разумеется, проблематичны. Я благодарен Вяч. Вс. Иванову за следую-щие указания. В журнале «Science» недавно предложена схема движения Homo sapiensв Евразию из Африки, где этот вид сформировался около тыс. лет назад. Движениешло со скоростью два-три (или даже один-два) человека за поколение. Предполагается,что оно началось около тыс. лет назад, а это примерно соответствует возможнойдатировке исходного общего языка для группы родственных макросемей языков Ста-рого и Нового Света. Время порядка тыс. лет соответствует разделению каждойиз этих макросемей. Эти последние датировки доставляются глоттохронологическимиподсчетами.


следующем этапе развития эта система запретов становилась внут-ренним планом психики (индивидуальной памяти) и соответствен-но –– регулятором социального и трудового поведения. Это подгото-вило почву к формированию внутреннего мира человека, с исполь-зованием все более разнообразной вербальной информации, уже несводящейся к прямым предписаниям. Такая реконструкция хорошосогласуется с концепцией развития речи у ребенка, по Л. С. Выгот-скому.

Формирование речевых центров в коре и соответствующая пере-стройка межполушарных связей должны были отразиться на структу-ре психики раннего неоантропа. Наиболее ярко это могло проявить-ся у отдельных индивидуумов, условно характеризуемых как «прото-шаманы» (нужно учесть, что уровень языковой компетенции резконеравномерен даже в нашу эпоху, а в древности этот разброс мог бытьособенно значительным). Некоторые свидетельства о трикстерах мож-но проинтерпретировать как отражение этой эпохи.

Цикл мифов о трикстере Вакдьюнкаге был получен в начале это-го века в записи этнографом Паулем Радином и опубликован вместес интерпретирующими работами П. Радина, К. Кереньи и К. Г. Юнга.Пятый эпизод этого цикла повествует о том, как правая и левая рукаВакдьюнкаги боролись друг с другом после того, как он (держа ножв правой руке) зарезал буйвола.

«Вдруг левая рука ухватилась за буйвола. „Отдай, это мое! Отпу-сти, не то я тебя зарежу! –– вскричала правая рука. –– На куски тебяискромсаю!“ Левая рука выпустила буйвола, но тут же ухватилась заправую. И как только правая рука пыталась ободрать буйвола, леваяудерживала ее за запястье. Так руки подрались, и дрались до тех пор,пока левая не оказалась изранена. „Ах, зачем я это сделал(а)? Самсебе боль причинил(а)“. Левая рука сильно кровоточила».

Буквально такое же поведение рук эпизодически наблюдалосьу больных, перенесших комиссуротомию, –– операцию, которая раз-деляет два полушария головного мозга. «Один больной, в частности,описал такой случай: однажды он обнаружил, что его левая рукаборется с правой при попытках надеть брюки. Одна рука тянула ихвверх, в то время как другая вниз. В другом случае тот же больной,рассердившись, замахнулся левой рукой на свою жену, а его праваярука схватила левую, пытаясь ее остановить».

Jung С. G., Kerenyi К., Radin P. Der Gottliche Schelm. Ein Indianischer Mythen. Zurich:Zyklus, .

Спрингер С., Дейч И. Левый мозг, правый мозг. М., . С. .


Еще до того, как эффекты функциональной асимметрии полу-шарий стали привлекать всеобщее внимание, этот эпизод борьбырук, как и другие характеристики Вакдьюнкаги, воспринималисьпубликаторами мифологического цикла как свидетельства о глубокоархаичном состоянии психики героя мифа. Сейчас можно с боль-шей уверенностью узнавать в расщепленном сознании трикстераВакдьюнкаги неврологические дисфункции, связанные с формиро-ванием речевых центров и перестройкой межполушарной коопе-рации.

Интересующие нас мотивы мифа о Гермесе выявляются присталь-ным семантическим анализом гомеровского гимна Гермесу, которыйбыл проделан (с другими целями) в работе Т. Б. Менской:

«Описание... обманчивых, ложно пророческих сновидений в Od..–– представляет скопление характерных для «стихии Герме-са», «стихии герметизма» определений... Эти сны беспорядочны...бормочут нечленораздельно... неся невоплотимые (обещания)...»

«Целый ряд факторов указывают на то, что Гермес связан с непо-нятной речью, (гибельной, зловещей) ложью, бессмысленными зву-ками. В отличие от истины такие речи, во-первых, не-прямые, не-простые... а во-вторых, не связаны с речевыми регистрами голоса. Вовтором случае выделяются, с одной стороны, смех, шепот, бормота-нье... а с другой стороны –– крик...»

Это описание можно сопоставить с тем, что при прямой стиму-ляции определенных областей субдоминантного полушария, а такжедревней лимбической системы (обонятельный, или висцеральный,мозг) регистрируются именно такие голосовые реакции. Вероятно,они были много более обычными в эпоху становления левополу-шарной речи. Сама констатация неистинных снов и пророчеств воз-можна лишь на стадии достаточно развитой речи, функция которойсостоит в передаче истины. Но нужно помнить, что «истинность»снов и пророчеств еще весьма далека от привычной нам абстракцииистинности объективно проверяемых суждений. В них очень сильнаимперативная компонента, они побуждают к тому или иному выборудействий, и архаическая «истинность» есть оценка эффективностиэтих действий.

Наконец, в связи с пением Гермеса, гимн неоднократно и настой-чиво упоминает левую сторону, левую руку, подтверждая гипотезуо правополушарности его психики.

Менская Т. Б. AMHXANOΣ EPOΣ в контексте мифа о Гермесе // Структура тек-ста. М., . С. , .


Мифы о Вороне, по-видимому, также обнаруживают его теснуюсвязь с правополушарной речью, в особенности хульной. В психопа-тологии известен синдром Туретта, включающий генерализованныетики, вокализацию (хрюканье, визг, лай) и в части случаев копрола-лию –– непроизвольное произнесение непристойностей. Вместе с эхо-лалией (повторение фраз или концов фраз за говорящим) и глоссола-лией (речеподобный поток звуков, не являющийся речью ни на какомязыке) эти моды говорения представляют собой регресс к ранним ста-диям становления речи. Они неизменно отмечаются как сопутству-ющие шаманизму, раннему (и сектантскому) христианству, скоморо-шеству и т. п.

Отметим, наконец, что архаические черты трикстера прогляды-вают в известной ветхозаветной фигуре первосвященника Аарона,брата и духовного соратника пророка Моисея. Сама парность этихфигур отвечает парности «культурный герой –– трикстер» в мифо-логическом плане и «вождь племени –– шаман» в этнографическом(конечно, мы не отождествляем эти пары). Весьма характерна мо-тивировка введения Аарона: Моисей, слышащий голос Бога, кото-рый повелевает ему обратиться к сынам Израилевым и призватьих к исходу из Египта, отговаривается своим косноязычием. Голостогда велит призвать Аарона: «Я буду при устах твоих и устах егои буду учить вас, что вам делать; и будет он говорить вместо тебянароду» (Исх. , ––). Аарон далее выступит толмачом Голоса,вещающего Моисею, –– перед израильтянами и перед фараоном, ––так что, видимо, он не только речист, но и полиглот. Когда фараонотказывается отпустить израильтян, именно Аарон осуществляет трипервые теургические знамения –– «египетские казни»: превращениепосохов в змей и др. Происходит нечто вроде шаманской борьбымежду Аароном и волхвами египетскими, и чары Аарона оказывают-ся сильнее. Сакральные, обрядовые функции Аарона, таким образом,сопряжены с исключительным владением речью, трюкачеством и,видимо, умением внушать коллективные гипнотические состояния(превращение воды в кровь). В то же время именно Моисей, несмотряна свое косноязычие, является проводником воли Голоса, т. е. истин-ным культурным героем, тогда как в фигуре Аарона сохраняютсячерты его неполноценного двойника. Табу нарушает, правда, не самАарон, но два его сына, за что их сжигает божественный огонь (Лев., ––; Чис. , ). Жадность Аарона описана в эпизоде с упрекамиМоисею по поводу его жены-эфиопки (Чис. , ––), за что Мариам,сестра Аарона, наказана семидневной «проказой». Лишь в поздней-шей традиции, как указывает С. С. Аверинцев, Аарон приобретает


образ идеального первосвященника, и архаичные приметы трикстеравыветриваются.

Коснемся вкратце психопатологических черт трикстерства. В об-щем плане такие параллели имеют давнюю традицию . (Недавнийинтересный обзор по эволюционной психопатологии выделяется тем,что практически опирается лишь на клинический и лабораторный,а не на этнографический и историко-культурный материал, в от-личие от известных классических реконструкций .) Приводимыениже соображения имеют предварительный характер. К толкованиютрикстера следовало бы привлечь, в частности, сибирские матери-алы о «шаманской болезни» –– некотором специфическом психиче-ском расстройстве, которое предшествовало тому, что человек ста-новился шаманом, и в измененной форме сопровождало его всюжизнь. Описание сеанса камлания как управляемого истерическогоприпадка согласуется с общим представлением о том, что повы-шенная «судорожная готовность» имеет адаптивное значение –– какбиологическое, так и социальное, в соответствии с предположениямиС. П. Давиденкова и Дж. Джейнза о том, что «общество производилонаправленный отбор людей с шизофренической психикой» .

Но здесь мы хотели бы продолжить параллели между поведен-ческими характеристиками трикстера и гебефренией (автор при-знателен В. А. Файвишевскому, который обратил его внимание наэти параллели); в другой связи о палеопсихологических аспектахгебефрении писал Б. Ф. Поршнев. Гебефренный синдром был описаннемецким психиатром К.Кальбаумом в году. Само название данов честь юной Гебы, дочери Зевса, исполнявшей обязанности виночер-пия на пирах богов; ее «громокипящий кубок» чудно зазвенел в рус-ской поэтической речи. Гебоидное состояние –– это гиперкритическоеотношение к окружающим, особенно к старшим; ослабленная спо-собность к самоконтролю, дурашливость; сенсорная жажда и страстьк бродяжничеству; преувеличенная сексуальная ориентированностьпериода полового созревания, приводящая к распущенности пове-дения. С этим совмещается общее рационалистическое отношениек себе и миру, продумывание и планирование действий без обратной

Мы не обсуждаем здесь острые проблемы психологического подхода к психопато-логии: об этом много говорили критики классического фрейдизма. Автор разделяетуравновешенную точку зрения А. Б. Добровича. См.: Добрович А. Б. Проблема бессо-знательного в ее связи с вопросами психосоматических отношений и клиническойпатологии. –– Бессознательное. Тбилиси, . Т. IV. С. ––.

Генетические и эволюционные проблемы психиатрии. Новосибирск, . Иванов Вяч. Вс. Структура гомеровских текстов, описывающих психические состо-

яния // Структура текста. М., . С. .


связи с их результатами, «метафизическая интоксикация» философ-скими системами, религией, искусством.

Сравнение этих рядов характеристик говорит само за себя.Оно подтверждает мысли Б. Ф. Поршнева о невнушаемости, кото-

рая является общей чертой большинства психозов, а в филогенетиче-ском плане, предположительно, характеризует одну из ранних эволю-ционных стадий становления речи.

Трикстер и проблема комического

Комизм божественного плута в архаике, возможно, еще не былсвязан со смешным. Согласно О. М. Фрейденберг, «античный комиче-ский план представлял собой познавательную категорию. Двуединыймир постоянно и во всем имел две колеи явлений, из которых однапародировала другую...» . Так понимаемая стихия комического неможет быть психологически однородной; разные оппозиции облада-ют слишком несравнимой значимостью.

Сверх того, не является ли определяющим в формуле «двуединыймир» не «дву-», а «-единый»? Глубокое переживание вообще, в томчисле комического, иррационально. Рационализация поводов к тако-му переживанию снимает его и заменяет серией открытий, имеющихнеопределенную ценность.

Семантическое поле смехового и комического обширно и неод-нородно. Один из его центров –– идея позитивно окрашенной комму-никации. Это –– докультурная составляющая: первая улыбка ребен-ка такова; хотя животные не знают смеха, игры юных зверят какбы погружены в атмосферу смеха. (Отметим, что смешным можетбыть только человеческое, человекоподобное, относящееся к челове-ку: красивый пейзаж может отсылать воображение к идее мировойгармонии, но смешной пейзаж –– если такой можно представить ––напомнит нам лишь о самих себе.) Если вычесть из игровой ситуацииее коммуникативный и эмоциональный аспекты, останется модели-рование «настоящей» деятельности, подготовка к ней или заменаее. Игра в рамках культуры –– это моделирование со специальнымифункциями. Его цель –– как бы проявить все фазовое пространствокультуры, все потенциально доступные ей состояния; экономныйметод сделать это –– построить модель в «дальнем углу» фазовогопространства. Инверсии обычных отношений –– самый распростра-ненный прием такого конструирования. («Таскать вам не перетас-

Фрейденберг О. М. Цит. соч. С. .


кать» –– на похоронах.) Создатель смеховой ситуации смещается понескольким осям; доходя до предела возможного, он переворачива-ет оппозицию, существенную для культуры. Но смеховая ситуацияконвенциональна, она есть плод соглашения. Нарушение табу можетнаходиться в рамках позитивно окрашенной коммуникации лишьпо общественному согласию и на время, иначе культура взрыва-ется и сменяется другой. Перевод нарушения в вербальный планосуществляет моделирование второго порядка. Это облегчает до-стижение общественного соглашения о комичности: над рассказамио шутах смеются дольше, чем над их проделками. Не возник ли смехкак побочный эффект развитой речи?

Сравним несколько интерпретаций скатологического (от греч.σκ ρ, род. пад. σκατoζ, –– испражнения) мотива –– универсальногодля «низовой» смеховой культуры. Одно его иконологическое пред-ставление –– это нагая фигура (дьявол, шут) в позе дефекации над(или перед) символом храма или мира. А. М. Панченко полагает, чтооно выражает идею «нечеловеческой, именно сатанинской, гордыни,высокомерного презрения к миру» (если фигура изображает дьявола)или ту же идею, переведенную «в план комической деградации». Дляавтора жития юродивого Василия Блаженного, на людях отправ-лявшего естественные потребности, смысл этих действий иной ––свобода души от плоти: «душу свободну имея... не срамляясь чело-веческого срама, многаши убо чреву его свое потребование и преднародом проход твори» . Эта альтернативность и двусмысленностьвосприятия принята и подчеркивается как существенная характери-стика мотива, но ею не исчерпывается его глубинная семантика.

Вспомним известное свидетельство К. Г. Юнга о его юношескомвидении: бог на золотом небесном троне, экскременты которого раз-рушают сверкающий собор. В рамках аналитической психологии Юн-га мы имеем дело, стало быть, с некоторым архаичным прамотивом,который лишь манифестируется в видении, сопровождаясь глубокимэмоциональным потрясением, но принципиально не может быть ис-черпан рационализацией. Наконец, практика психиатрической кли-ники и ее осмысление предлагают интерпретацию этого круга моти-вов в терминах болезненных аутистических изменений личности пришизофрении: дефицит возможностей больного получать удовлетворе-ние от контакта с другими людьми и объектами ведет к нарциссизмуи аутоэротизму. Скатологические образы с этой точки зрения образу-ют базисный психологический язык аутоэротизма; он прочитывается

Лихачев Д. С., Панченко А. М., Понырко Н. В. Смех в Древней Руси. Л., . С. .


во многих сюжетах о Вороне и Вакдьюнкаге, а также в житиях юро-дивых и святых.

И в этой сфере, разумеется, изысканное выражение в рамках раз-витой литературной традиции усиливает, а иногда впервые создаетсмеховой эффект. Рабле –– бездонный источник примеров ( че-ловек, потонувших в моче Гаргантюа, должны вызвать адекватнуюреакцию у читателей «Природы»: комизм связан с точностью изме-рения).

Итак, архаичный комизм изначально не смешон. Персонифици-рованный в фигуре трикстера, он воплощает ювенильное нарушениеграниц культуры. Экскурсии в докультурное и во внекультурное рас-ширяют поле культуры, но главное –– расширяют отношение к ней.Дестабилизирующий эффект трикстерства исходно разрушителен. Ко-мическое перерастает в смеховое по мере созревания индивидуаль-ной и социальной психологии, которое помогает нейтрализовать этиразрушительные силы, переводя их в игровой план. В конечном счетецивилизированный смех есть радостное согласие на временный пере-ход границ.

Архетип Пустого Города

Памяти Игоря Юрьевича Кобзарева

Цивилизация как форма общественного бытия имеет одну цен-тральную идеологему: Город. В этой статье мы рассматриваем Городс точки зрения аналитической психологии К.-Г. Юнга, в частности,оперируем такими конструктами, как коллективное бессознательноеи архетипы.

Обе темы при этом –– Город и глубинная психология –– в замыслестатьи полагаются как равноправные. Одна из них поверяет другую.Иными словами, мы не постулируем заранее, что имеется теория ци-вилизации, из которой можно логически вывести или объяснить от-крытые Юнгом элементы коллективного бессознательного; точно также мы не предполагаем, что гипотеза Юнга (или любая другая пси-хологическая концепция) «истинна» и может быть положена в основууниверсального объяснения той формы социального бытия, котораясвязана с концентрированным и технологизированным общежитиеми «отрывом от почвы». Если угодно, сюжет нашего этюда –– отсвет,бросаемый каждым из этих предметов на другой.

С точки зрения теории цивилизации, мы пытаемся понять, каковаприрода встроенных в нее механизмов саморазрушения.

С точки зрения глубинной психологии, мы ищем новых свиде-тельств реальности коллективного бессознательного в проявленияхпроектного сознания.

I

ноября года в Гуггенхеймовском музее Нью-Йорка закры-лась выставка архитектурных рисунков Билла Инсли. На ней былипредставлены многочисленные листы и объяснительные записки, от-носящиеся к огромному проекту города на миллионов жителей(все население США), который Инсли называет ONECITY. Мы риск-нем дальше пользоваться русифицированным вариантом ЕДИНГРАД,имея в виду, что читатель поэкспериментирует с другими корнеслова-

Впервые опубликовано в международном журнале по теории и истории мировойкультуры «Arbor Mundi». М., . . С. ––.


ми; как мы увидим дальше, Инсли работает с глубоко невербальнойреальностью, а перевод –– один из эффективных приемов расшататьограничения словесной оболочки.

Знакомство с проектом ЕДИНГРАДА можно начать с объясненияурбанистических проблем, на которые он как бы призван дать ответ.

Нью-Йорк быстро разрушается, –– говорит Инсли. Как и многиеамериканские города, он может в конечном счете перестать функ-ционировать в качестве поселения. Люди будут жить, кочуя по неза-строенным землям, и когда-нибудь решат объединить свои усилияв отчаянной попытке обеспечить свое выживание в новой городскойобщности.

ЕДИНГРАД раскинется на площади 675 квадратных миль в озер-ном и холмистом краю между Миссисипи и Скалистыми Горами. Егоосновные жилые массивы образуют Внешний Город: 14 000 квадрат-ных девятиэтажных зданий, со стороной в две с половиной мили, раз-битых на сто «комнат». Только одна пятая площади Внешнего Городабудет отведена под застройку, остальное составят природоохранныеи рекреационные зоны.

Жилые здания будут иметь также до девяти подземных этажей,в которых разместятся все производственные и административныеорганы города, магазины, концертные залы, музеи; разумеется, всепроцессы управления и производства будут компьютеризованы.

Центр ЕДИНГРАДА занят единственным зданием, которое извест-но как Внутренний Город. Сердце Внутреннего Города –– Матовая Биб-лиотека, пустой и запретный лабиринт, хранящий спиритуальныетайны ГРАДА, неудержимо влекущий горожан, но закрытый для нихреально и духовно.

ГРАД, по-видимому, будет иметь какую-то форму демократическо-го самоуправления, с принудительным и почти ежедневным голосова-нием по всевозможным вопросам. Реальных проблем политическойдемократии Инсли, как и все утописты, не касается. Религиознаяжизнь общества связана с поклонением линии горизонта, понима-емой как мистическая грань между прошлым и будущим. Инслиполагает, что он пересекал эту грань и видел свой Город.

Вне городского периметра размещены загадочные /строения/ (ко-сые скобки предупреждают читателя, что речь не идет об обычныхединицах застройки). Они не имеют видимого функционального на-значения. Пробираясь между косыми стенами, созерцая внезапно от-крывающиеся провалы или открытые пространства, пытаясь разга-дать тайну, горожанин осуществляет индивидуальный мистическийакт.

Аðõåòèï Пóñòîãî Гîðîäà

Работа над /строениями/ начинается еще до строительства само-го ЕДИНГРАДА, и после завершения /строения/ должны быть навсе-гда покинуты. Время и стихии немедленно примутся за их уничтоже-ние, но память и легенды о них переживут их материальное существо-вание. В конце концов ЕДИНГРАД предстает взору современников как«руины, погребенные в будущем».

II

Прежде чем пытаться проанализировать этот проект с точки зре-ния аналитической психологии, мы должны сделать две вещи: вкрат-це напомнить понятийный аппарат последней, а также обсудить бо-лее традиционные способы осмысления культурных явлений, в рядукоторых находится проект ЕДИНГРАДА.

Представление о личностной сфере бессознательного достаточнообсуждалось в психологической литературе, чтобы в этой статье счи-тать его известным. Коллективное бессознательное в трактовке Юнгапрежде всего противопоставляется личностному, как родовое –– инди-видуальному (см., однако, ниже уточнение этой трактовки).

Бессознательное имеет свой язык, экспликация и дешифровка ко-торого являются одной из главных целей глубинной психологии. Еди-ницы выражения этого языка суть «комплексы», если речь идет обиндивидуальном бессознательном, и «архетипы», если о коллективном.

Пользуясь компьютерной метафорой, язык бессознательного име-ет промежуточный уровень, в частности, его семантика двулика. Тотее лик, который обращен вглубь, нам непосредственно не доступен,и архетипы, как и комплексы, реконструируются лишь по их внешнимманифестациям, когда последние осознаются как таковые.

Терапевтическая роль осознания комплексов в практике фрейдов-ского психоанализа может трансформироваться в идею коллективнойтерапии социума по Юнгу: эта тема явственно слышна в последнейкниге, задуманной Юнгом и вышедшей под его редакцией, «Человеки его символы». Однако в структуре теоретических взглядов Юнгаинвентаризация архетипов скорее является просто необходимым эта-пом работы по выявлению содержания коллективного бессознатель-ного.

В работах Юнга некоторые архетипы перечислены (Анимус и Ани-ма, Мать, Дитя); им посвящены отдельные статьи, дающие представ-ление о методологии их поисков. Очень существенны при этом неко-торые предостережения Юнга, в частности замечание о том, что каж-дый архетип является чистой формой, что он может лишь проявлять-


ся в различных осознанных вариантах, но никогда не сводится к ним,не исчерпывается ими.

Присутствие архетипического мотива в произведении искусства(или в данных мифологии, этнографии) распознается по несколькимпризнакам, из которых два главные –– высокая интенсивность пере-живания при загадочности содержания и культурно-независимая по-вторяемость.

Архетипический мотив «не цивилизован». Он выламывается из ра-мок любых этических и эстетических оценок. Можно сказать, что ар-хетип этически амбивалентен и эстетически вездесущ (Райдер Хаг-гард может быть столь же архетипичен, сколь и Гёте), но это будетлишь рабочим выражением того факта, что он принадлежит к другойсфере психики.

Мы обсудим ниже гипотезу о том, что проект ЕДИНГРАДА и исто-рико-культурный ряд, в который он включен, свидетельствуют о су-ществовании архетипа, не зарегистрированного Юнгом, который на-зовем архетипом Пустого Города.

Но сначала несколько слов о самом этом культурном ряде.Проект ЕДИНГРАДА проще всего рассматривать как выдающийся

образец хорошо известного искусствоведам явления «бумажной ар-хитектуры». Его истоки принято возводить к архитектурным листамПиранези. В простейшем варианте это фантазии художника или ар-хитектора, с самого начала не предназначенные для исполнения, нов принципе реализации поддающиеся. В условиях нашей страны иэпохи такое упрощенное истолкование бумажной архитектуры ста-вило ее в один ряд с неисполняемой музыкой и непубликуемой ли-тературой и подразумевало, что проект, оставшийся на бумаге, естьрод выкидыша в нормальном творческом процессе. Конечно, такоепримитивно политизированное понимание имеет мало общего с ре-альностью.

Несколько ближе к истине понимание бумажной архитектуры какполноценного продукта «проектного сознания». Жизнедеятельностьцивилизованного общества в огромной степени спланирована. Планпредполагает некоторый список параметров создаваемой ситуациии стремление к их оптимизации. Оптимизация, а также выявлениенеожиданностей (которые могут оцениваться как положительно, таки отрицательно) достигаются в ходе моделирования, разработки про-ектов, часть которых тогда вполне естественно оставляется на бумагекак свидетельство отброшенных возможностей и резервуар идей. Ре-гулярное планирование вырабатывает особый тип индивидуальногои коллективного сознания, которое принято называть «проектным».


Деятельность проектного сознания очень часто принимается за чи-стую монету, и любая бытующая идеология исторического оптимизмаимеет проектное сознание в своем списке ценностей.

Отчего же бумажная архитектура Инсли (и многих других, от Пи-ранези с его Carceri до московских школьников, чей проект Города Бу-дущего предлагал холмы, засыпавшие былые здания, и реки, текущиепо бывшим улицам) с таким трудом рационализируется и внушаетбезотчетное беспокойство?

Разумеется, оттого, что подразумеваемая цель проектированияв проекте не только не воплощена, но как бы с ним и несовместима.Очевидно, что в городе Инсли нельзя жить; что Пиранези менеевсего заботился о разумном устройстве пенитенциарной системы;что «Columbarium Habitabile» А. Бродского и И. Уткина с его посмерт-ными масками умершего жилья лишь притворяется, и не слишкомнастойчиво, архитектурным проектом.

Это внутреннее противоречие проектного сознания лишь в про-стейших случаях удается осмыслить как «предостережение», т. е. со-знательное выявление нежелательных тенденций развития, их заост-рение, с единственной целью увидеть их яснее и тем легче избежать.Автора и нас выдает упоение на краю бездны, готовность шагнутьв черный квадрат.

И тогда, вглядываясь в эти жутковатые плоды творческого вооб-ражения, мы начинаем различать в них манифестации глубоко ар-хаичных бессознательных структур и угадывать темный смысл мета-фор и оговорок проектного сознания, вроде «машины для жилья» или«призрака коммунизма».

III

Архетипы, систематизированные Юнгом, скорее принадлежат ро-довому, нежели коллективному, бессознательному. Их манифестациисвязаны с биологической природой человека как особи до такой сте-пени, что Юнг может рассматривать архетип как эволюционное раз-витие инстинкта. Исключением является, возможно, архетип Мудро-го Старца, или Смысла, хотя и на его этиологию некоторый свет про-ливают наблюдения над животным миром Лоренца и его школы.

Архетип Пустого Города, постулируемый здесь, принадлежит кол-лективному бессознательному в более прямом смысле. Его основноеизмерение имеет внеличностный и интерличностный характер, егоглавные манифестации прямо соотносятся с communitas В. Тэрнера,понимаемым именно как потенциальные состояния общества, отра-


женные в его социальной психологии (а не оцениваемые внешнимнаблюдателем).

Архетип Пустого Города есть форма социума, лишенная его душии не ждущая наполнения, труп, никогда не бывший живым телом,Голем, сама жизнь которого есть смерть. Выявление этого архетипав проектном и утопическом сознании именно и связано с возмож-ностью воспринять пустую форму как план. Проектное сознание, од-нако, глухо к гулу мертвой воды. Его доносит искусство: «опустелыйулей» Гумилева и ручей в руинах Тарковского.

Характерно, что два современных кинорежиссера, наиболее острочувствующих этот архетип, Тарковский и Сокуров, обратились к двумвещам Стругацких, чьи лучшие страницы (дневник Абалкина из «Жу-ка в муравейнике», экспедиция из «Града обреченного», описания Ле-са в «Улитке на склоне») посвящены Пустому Городу, и проявили этотмотив даже там, где в прозе Стругацких он особо не прописан. Упомя-нем еще Антониони, чьи метафоры отчуждения прямо связаны с на-шим архетипом, и, по контрасту, Феллини, в чьих лентах мотив Пу-стого Города начисто отсутствует, будучи зрительно замещен его от-рицанием, образом Рима, в котором, по слову Г.С.Кнабе, «очень теснои очень шумно».

В той мере, в какой в искусстве проявление этого архетипа требуетмотивировки, она обычно дается в виде стереотипа «руин древней,забытой, чужой, великой цивилизации».

Конечно, этот стереотип имеет исторические корни. Судя по хро-никам, так, например, воспринимали остатки римских каменных по-строек саксы, считавшие эти постройки делом рук мифических ги-гантов и в них не селившиеся (я обязан обсуждением этого вопросаИ. Ю. Кобзареву).

Тем более значима психологическая работа Инсли, в которой мо-тив «руин, погребенных в будущем», эксплицитно выражает основ-ной ценностный ориентир, очень слабо, pro forma замаскированныйпроектной терминологией и просто вынуждающий искать его корнив глубинной психологии.

IV

Анализ, наброски которого мы представили, явился плодом пред-ложенной С. С. Аверинцевым «установки на диалог» с аналитическойпсихологией. Если предположить, что не все сказанное есть лишьплод исследовательской фантазии, то нужно понять, каковы возмож-ности продолжения этого диалога.


В рамках аналитической психологии крайне важной представля-ется дальнейшая инвентаризация архетипов с одновременной разра-боткой методологии этой работы. До сих пор не ясно, какой уровеньточности здесь принципиально достижим. Как только психиатр иликультуролог переходит от эмпирической данности к классификации,встают две основные проблемы: как распознать само присутствиеархетипического мотива и как произвести идентификацию архетипав принципиально разнородных его манифестациях. Если, как этобыло до сих пор, объективные критерии заменяются апелляциейк авторитету или «голосу крови» (Дж. Мерри), то это значит лишь,что изучение коллективного бессознательного остается в научнойсреде лиминальной деятельностью. Возможно, впрочем, что такоеположение глубинной психологии ей внутренне присуще, в силуоксюморонно звучащей постановки ее основной задачи: изучениебессознательного средствами сознания. Я не могу не привести вы-разительного описания лиминальности по В. Тэрнеру, которое удо-влетворяет принципу конструктивизма молодого Сельвинского («онупотреблял родительного падежа»): «Лиминальные существа ни здесьни там, ни то ни се; они в промежутке между положениями, пред-писанными и распределенными законом, обычаем, условностями ицеремониалом».

Если от времени до времени все же появляются исследователи,рискующие своим добрым именем ради деятельности вне парадигмы,то это лишь потому, что глубинная психология говорит слишком важ-ные вещи, чтобы их можно было просто отвергнуть за ненаучностью.

Современная цивилизация, в значительной мере сознательно спро-ектированная и выстроенная, испытывает цепь кризисов разного ха-рактера и глубины. Вопрос состоит в том, может ли человечество поз-волить себе отказаться от этого пути развития. Мы полагаем, что от-вет должен быть безусловно отрицательным.

Возвращение к иррационализму еще ни разу из кризиса не вы-водило. Неумолимое обращение утопий в антиутопии не означает,что будущее следует оставить лишь воображаемому «органическомуросту». Разрушительные потенции коллективного бессознательногос легкостью принимают национальную, классовую или конфессио-нальную окраску, и отказ от научного проектирования не спасает отрытья социального котлована. Он только лишает надежды выкараб-каться из него.

Этим потенциям можно противопоставить лишь воспитание кол-лективного же сознания.

Иначе Пустой Город будет последним нашим обиталищем.


Литература. Jung С. G. The Archetypes and the Collective Unconscious / Transl. by

R. F. С. Hull. Princeton University Press, .. Poirier M. A Realm of Logical Insanity // Art News. . Nov.. Аверинцев С. С. «Аналитическая психология» К.-Г. Юнга и закономерности

творческой фантазии // О современной буржуазной эстетике. М., .С. ––.

. Тэрнер В. Символ и ритуалы. М., .

Тынянов и Грибоедов.Заметки о «Смерти Вазир-Мухтара»

Дело поэта должно быть оцененос какого-то пункта...Вещь остается, работа поэта перед нами,в любой момент она перед глазами у нас,но функция вещи изменчива...

Ю. Н. Тынянов. Валерий Брюсов

Царя белого гусары, Петра Первова,Наперед идут гусары со знаменами,Позади идут гусары с барабанами.Становилися гусары у крутой горы,Как читали же гусарушки указы печальные:«А у нас, гусарушки, урон сделался,Человек пропал, генерал помер».

«Собрание народных песен» П. В. Киреевского

I

Люди шестидесятых, которым открылось «рукописи не горят», незаметили, что это дьявол утешает почти мертвеца. Рукописи, сожжен-ные Грибоедовым в крепости Грозной перед арестом в январе го-да, сгорели; сгорели и рукописи, сожженные другими позже.

Много сетовали на недостаток у Тынянова исторического опти-мизма. Исторический оптимизм, которого доставало у сетовавших,был основан на ложном чувстве наследования. Предполагалось, чтоунаследованы свободолюбивые идеалы. Тынянов вынуждал рассмот-реть возможность того, что унаследованы также тайная канцелярия,восковая персона, граница по Араксу и бесплодие.

То, что главным в человеческой жизни является дело, есть стертаяистина. Если задуматься над ней, можно понять дело как тот компо-

Впервые опубликовано: Rev. Etud. slaves. Paris: LV/, . P. ––.


нент жизни, который отчуждается от одиночной судьбы, социализи-руется и становится важным для многих. Но эта часть жизни перемен-на. Время и биограф могут превратить в дело человека его характер,страсть, предательство, лень, мученичество. Может возникнуть кон-цепция передового человека, то есть человека, позавчера питавшеготе иллюзии, которые рухнули только вчера.

Литературное дело Грибоедова поражало яркостью и изолирован-ностью. Тынянов ввел в ряд социального его государственную службу,компромисс и разочарование. От героя, пошедшего на компромисси разочаровавшегося в свободолюбивых идеалах, нельзя было простоотмахнуться, потому что он был гордостью отечественной словесно-сти. Сверх того, разочарование сопровождалось толковой и талант-ливой службой в Министерстве иностранных дел Николая I. Согласнопомянутому чувству наследования, такая служба сама по себе ком-прометировала. Не компрометировала бы ссылка в Сибирь или, покрайней мере, уход в отставку и житье во флигеле, отложившемся отРоссии. Позже чувство наследования претерпело определенные сдви-ги, и толковая государственная служба была зачтена Грибоедову в од-ном списке с идеалами и «Горем».

Но и тогда роман Тынянова не стал успокоительным.Крепкая работа этого человека сопротивляется канонизации.Пишущий о Тынянове против воли впадает в стилистику оценок

по высшему счету, желчный лиризм и страсть к деталям. Со знамени-тым вступлением к «Вазир-Мухтару», с музыкальной темой, метафо-рой, спорят натужно, как с историческим трактатом, –– можно ли от-делять людей двадцатых от людей тридцатых? –– не замечая, что ужесами отделены (в другом веке).

«Этические ценности, социальные и нравственные оценки явля-ются конструктивным, изнутри работающим началом художествен-ного произведения» .

Мотив, который сейчас слышен так же явственно, как в то время,когда делались вещи Тынянова: маниакальность власти, ее жалкоебезумие, ее мертвая сила.

Тынянов отказывается мистифицировать историю. Человека, ко-торый видел в ней «высокие зрелища», Тынянов подозревает в ди-летантизме. Роковые мгновенья этого мира пахнут кровью. Попыт-ка индивидуального сознания справиться с этим, подъяв очи горе,неадекватна. Для сохранения человеческого достоинства нужна дру-гая, тяжелая, работа.

Гинзбург Л. Я. О литературном герое. Л.: СП, . С. .

Тûíÿíîâ è Гðèáîåäîâ. Зàìåòêè î «Сìåðòè Вàçèð-Мóõòàðà»

II

Пустоты, оставленные огнем и страхом в теле истории, можно за-полнить «сорока баррелями парижского пластыря», но это –– не то,что делает Тынянов. Он ищет утаенное.

Утаенное –– значит не просто утраченное, но скрытое. Предполо-жительно, тщательность скрывания сама свидетельствует о важностискрытого. Она же выдает скрытое: усилия, затраченные на скрыва-ние, оставляют след. Человек оговаривается, государство выпускаетопасного эмигранта; оказывается, что важность скрытого была пре-увеличена. Но все равно –– его поиски входят в метод.

Любовь Грибоедова в романе важна тем, что ее нет. Есть «младен-ческая Азия» –– Ленхен Булгарина, «молоко тела» Телешовой, «Овиди-ева наука» и мертвый ребенок Нины. Отсутствие любви подчеркну-то многократно, лексикой, сдвигом образного строя эпизодов, иногдадано впрямую: «Тогда он грубо сказал ей:

–– Поедем к тебе.Потом он сказал пустым голосом: „Радость“, или что-то другое,

слово не вышло, и увидел, как она пошатнулась».Отсутствие любви есть приговор, вынесенный после пристального

расследования; лишь перед гибелью на нее становится похожа жа-лость к жене.

Тынянов остро слышит тайну мужчины и женщины. Тайна любвиПушкина и Карамзиной развернута в широко известном, академиче-ском, академически спорном, исследовании. Но вот в статье «Сюжет„Горя от ума“» Тынянов мимоходом говорит: «...Его [Платона Михай-ловича] жена Наталья Дмитриевна, которая, судя по началу ее встре-чи с Чацким, была с ним близка...»

Была ли Наталья Дмитриевна близка с Чацким, совершенно не су-щественно для сюжета «Горя от ума», для статьи вообще, для ходаавторской мысли в этом ее месте; само предложение такого рода слег-ка еретично в системе тыняновского теоретизирования.

«Домысливание персонажа, наивные о нем догадки, то есть отно-шение к нему как к настоящему человеку разрушает познавательнуюспецифику искусства».

«...Вспоминается, как... пошутил Резерфорд, прослушав лекцию своего друга –– па-леонтолога Эллиота Смита: „Итак, все, что нужно для полной реставрации гигантозав-ра –– это одна берцовая кость и сорок баррелей парижского пластыря“» (Данин Д. С.Человек науки. М.: Наука, . С. ).

Тынянов Ю. Н. Сочинения. М.; Л.: Гослитиздат, . Т. . С. . Гинзбург Л. Я. О литературном герое. Л.; СП, . С. .


Но ухо автоматически отмечает слом интонации диалога на ре-плике «Я замужем», –– больше ничего. Достоверность речевой стихиигоря включила рефлекс.

То, что Грибоедов был любовником Ленхен Булгариной, Тынянов,вероятно, услышал в обмолвке Грибоедова в письме Фаддею Булга-рину от июля года. Грибоедов описывает, как он сделал пред-ложение: «Это было -го. В этот день я обедал у старой моей прия-тельницы Ахвердовой, за столиком сидел против Нины Чавчавадзе-вой, второй том Леночки, все на нее глядел, задумался, сердце заби-лось...»

Письмо к В. С. Миклашевич, декабря года: «Полюбите моюНиночку. Хотите ее знать? В Malmaison, в Эрмитаже, тотчас при входе,направо, есть богородица в виде пастушки Murillo, –– вот она».

Письмо к Паскевичу, сентября года: «Вы говорите, чтоя слишком озаботился моею женитьбою. Простите великодушно,Нина мой Карс и Ахалцых, и я поспешил овладеть ею, так же скоро,как в. с. столькими крепостями».

Оба свидетельства Тынянов переадресовывает. Первое переплав-ляется в мотив замещения, при сравнении с документом, –– двойногозамещения: «Леночка расплачивалась за других, она кого-то напоми-нала Грибоедову, чуть ли мадонну Мурильо из Эрмитажа?»

Второе кристаллизуется в одну из самых сухих эротических сценво всей русской литературе: «Высшая власть и высший порядок былина земле.

Власть принадлежала ему.Он тупым железом входил в тучную землю, прорезал Кавказ, За-

кавказье, вдвигался клином в Персию.Вот он ее завоевал, землю, медленно и упорно, входя в детали».Человек живет не во внешнем мире, а в той карте внешнего мира,

которую создает внутри себя. При столкновении с обстоятельствами,которые не были нанесены на карту, происходят срочные перекройкии дополнения. В период перекроек человек растерян и опаслив, еготерритория имеет зыбкие очертания, на ней разверзаются пропастии появляются белые пятна. Потом все успокаивается.

На внутренней карте Азия и власть могут ненадолго совпастьс женщиной.

Грибоедов А. С. Сочинения. М.: ГИХЛ, . С. . Там же. С. . Там же. С. . Тынянов Ю. Н. Сочинения. Т. . С. . Там же. С. .


III

Внутренняя карта человека (и государства) –– самое потаенное,что у него есть; человек (и государство) до конца не знает ее граници рельефа.

На внутренней карте русского государственного сознания Си-бирь была несколько мифологической страной, вроде берегов Стикса.Н. Эйдельман «видел в Иркутском архиве документ о партии, от-правившейся июня года из Тобольска в Нерчинские заводы.В ноябре Петербург, не имевший ясного представления о размерахподвластных пространств, запросил иркутского губернатора, почемуне докладывает о прибытии арестованных. На это было отвечено, чтоприбытие ожидается не ранее января» . Для русского просвещенно-го сознания Сибирь открыли декабристы; отмечалось с некоторойгордостью, что в этом была их историческая роль.

Кавказ и Персия в русском просвещенном сознании существовалискорее как пиитическая вольность. Вот как делает это Тынянов: «Ели-савет Петровна сидела таким образом:

Сидит и ноги простираетНа степь, где хиной отделяетПространная стена от нас,Веселый взор свой обращаетИ вкруг довольства исчисляет,Возлегши локтем на Кавказ.

Так описал ее Ломоносов.В такой неудобной позе сидела Елисавет Петровна.⟨…⟩Кто там жил на Кавказе? Кто обитал?Жуковский попробовал было набросать краткий список и утвер-

ждал, что там

Гнездятся и балкар, и бах,И абазех, и камукинец,И карбулак, и абазинец,И чечереец, и шапсуг,

что они, как серны, скачут по скалам, а дома курят трубки.Иноземная, барабанная музыка имен была превосходна и слиш-

ком щедра, потому что камукинцев и чечерейцев –– таких племен на

Эйдельман Н. Я. Лунин. М.: Молодая Гвардия, . С. .


Кавказе не было... Гнездиться они, стало быть, не могли. Персидскиеповести входили в моду» .

Грибоедов в «Вазир-Мухтаре» и в жизни, в ее последние годы, былорганом русской государственности, действовавшим на далекой пе-риферии не только территории страны, но ее общественного созна-ния. Документов, свидетельствующих об этом, много. Ермолов пола-гал, что министру иностранных дел Нессельроде Персия «столь же из-вестна, как всем нам верхний Египет» .

Тынянов учитывает эти свидетельства многократно и подчеркну-то. Поэтому особенного внимания заслуживает случай, когда доку-мент, свидетельствующий именно об этом и написанный самим Гри-боедовым, использован подчеркнуто иначе. Сделано это не в романе,а в статье «Сюжет „Горя от ума“», во многом загадочной.

В январе года Грибоедов пишет из Тифлиса издателю «СынаОтечества» письмо по поводу одной публикации в «Русском Инвали-де»: «Пишут из Константинополя от октября, будто бы в Грузиипроизошло возмущение, коего главным виновником почитают одногобогатого татарского князя. Это меня опечалило и рассмешило» .

Текст Грибоедова совершенно ясен: он возмущен неоснователь-ностью журналистской работы и описывает истинное положение делв Грузии, каким его видит. Он объясняет причину, по которой счелдолгом написать письмо, –– возможные дипломатические осложне-ния, и настаивает, что «обстоятельство, о котором идет речь, ⟨…⟩чрезвычайно важно для меня собственно по месту, которое мнеповелено занимать при одном азиатском дворе» .

Он кончает письмо недвусмысленно: «если здешний край в от-ношении к вам, господам петербуржцам, по справедливости можетназываться краем забвения, то позволительно только что забыть его,а выдумывать или повторять о нем нелепости не должно» .

Более того, он начинает письмо той самой цитацией из Ломоносо-ва, слегка искаженной, которую потом Тынянов с той же интонациейвведет в роман: «Я ⟨…⟩ вступил в скопище громад, на которые, пословам Ломоносова, Россия локтем возлегла, но теперь его подвинулауже гораздо далее» .

Тынянов Ю. Н. Сочинения. Т. . С. , . Шостакович С. В. Дипломатическая деятельность А. С. Грибоедова. М.: Соц.-экон.

лит., . С. . Грибоедов А. С. Сочинения. С. . Там же. С. . Там же. С. . Там же. С. .


В статье «Сюжет „Горя от ума“» это письмо призвано поддержи-вать концепцию, согласно которой сюжет состоит в распространенииклеветы.

Аргументация Тынянова обильна и косвенна; ее слабость не в не-достатке материала, а в том, что этот материал убедительно поддер-живает совсем иное понимание «выдумки» и «слухов» в комедии. Со-временная исследовательница по другому поводу описывает тот уни-версальный механизм, который был включен появлением Чацкого.Старушки, перемывающие кости соседке, «выполняют повседневнуюработу социального общения –– совместно вырабатывают объяснениелюдских поступков. Такое убедительное для всех действующих лицтолкование есть основа и необходимое условие общения. Оно созда-ет у собеседника то ощущение взаимопонимания и понимания дру-гих людей, без которого невозможна ориентация в социальной жиз-ни. И пусть нас не вводят в заблуждение анекдотические формы этойработы» .

Именно эти анекдотические формы работы по пониманию Чацко-го с блеском написаны Грибоедовым.

Страшный смысл, который угадывает за ними Тынянов, есть теньуже другого времени. Лексика первой части статьи последовательносмещается в сторону все более зловещих коннотаций: «слухи» и «вы-думки» замещаются «клеветой», безымянный господин N обращаетсяв агента фон Фока, светская болтовня становится «разглашением» и,наконец, вводятся слова «политический сыск» и «донос».

«В годы написания окончания комедии деятельность Особой Кан-целярии, которой уже заведовал фон Фок, была сильно развита. Вы-думки при деятельности Особой Канцелярии часто получали злове-щее завершение».

Кажется, Грибоедов этого не писал, и, кажется, он не делал «пре-дупреждения о Скалозубе как о главном военном персонаже эпохи» .Но –– функция вещи изменчива.

IV

Грибоедов, повторяю, действует у далеких границ. Пушкина вле-чет к ним страсть и неукротимая любознательность; также обидаи потаенная мысль о бегстве (эта догадка разработана Тыняновым).Грибоедова к границам влечет талант, талант государственного чи-

Наумова Н. Человек рационален? // Знание –– сила. . . С. . Там же. С. .


новника. Этого таланта Пушкин, по счастью, был лишен, –– отсюдаего завидная свобода.

В качестве талантливого государственного чиновника Грибоедовпринял самое деятельное участие в выработке того мирного договора,который вошел клином в Персию. Цитирую сводные историческиеработы.

«Туркманчайский трактат завершил присоединение к России по-чти всей территории Грузии, Северного Азербайджана, а также Во-сточной Армении» .

Заложенные этим договором принципы действовали до года,а затем были совершенно отменены. « июня года Советскоеправительство направило обращение к правительству и народу Ира-на. ⟨…⟩ Это был полный разрыв с политикой империализма и коло-ниализма, которой противопоставлялась совершенно новая политикасоциалистического государства, основанная на принципах интерна-ционализма и самоопределения наций, признания равноправия всехнародов.

[Завершив полный разрыв,] части победоносной Красной Армииподошли к границам Ирана.

Под давлением английских оккупантов, иранское правительствонаправило в году жалобу в Совет Лиги наций, хотя к этому вре-мени советских войск в Иране уже не было».

В и году российская миссия в Иране была разгромленадважды; посол И. О. Коломийцев, спасшийся в -м, погиб в -м.

Вазир-Мухтар продолжал существовать. История продолжала вос-производиться в формах, казавшихся случайными и временными, какузор кожи на пальцах, поверх шрамов и ожогов. Через пятьдесят летпосле выхода книги, написанной о том, что было за сто лет до нее,были пережиты снова возвращение пленных и безумие отложивших-ся от России, и мифологизирующее общественное сознание шло попрежним кругам.

Через пятьдесят лет по поводу деятельности Грибоедова былиопубликованы рассуждения: «Я думаю, было бы неправильно пола-гать, что сам факт обращения Грибоедова к „Проекту“ и принятиеим высокого поста в государстве Николая I может поставить подсомнение его верность свободолюбивым идеалам и намерениям. Ненадо сопоставлять эти явления в жестко альтернативном плане. Здесьуместен более гибкий, пластичный подход.

Всемирная история. Т. . М.: Изд. соц.-экон. лит., . C. . История внешней политики СССР. М.: Наука, . Т. . C. и далее.


Во имя дела Грибоедов готов был поступиться своим нравствен-ным престижем в глазах окружающих. Для этого требовалось муже-ство, которое Ю. Тынянов понять оказался не в состоянии».

Эта пластичная и мужественная концепция свободолюбивых иде-алов породила даже новое теоретическое понятие «отложенная сво-бода» («принятие невозможности осуществления свободы в данныймомент. (Точка автора. –– Ю. М.) При сохранении прежней ориента-ции на более отдаленную историческую перспективу».). Читая это,начинаешь понимать достоинства вульгарного социологизма, –– в нембыли, по крайней мере, уверенность и прямота.

Итак, на карте установлены новые границы.Поэтов они продолжают влечь неудержимо. Вслед за Вяземским

будет сказано: «Читая шинельную оду о свойствах великой страны...»и повторено: «Империя –– страна для дураков».

V

Все, знавшие Грибоедова, поминают его ум.У Даля словарная статья «Ум» занимает почти четыре колонки.

Она хороша: полна расхожих речений, банальностей, вздора. По-яснено, что «Горе от ума –– ума строптивого, самовластного»; ещесказано «Поляки опять безумничают». В дефиниции отмечено: «[ум]это одна половина духа его [человека], а другая нрав, нравственность,хотенье, любовь, страсти; в точн. знч. ум, или смысл, рассудок, естьприкладная, обиходная часть, способности этой (ratio, Verstand), авысшая, отвлеченная: разум (intellecto, Vernunft). ⟨…⟩ Мужа чтутза разум, жену по уму. ⟨…⟩ В просторечьи ум нередко принимаетзначенье воли: худой ум, худой разум... в сем случае ум потому худ,что не мог осилить воли».

Богато представлена оппозиция свой ум––чужой ум. Самого жеестественного для нас противопоставления ум––глупость почти нет;разве что сказано «умная ложь лучше глупой правды».

Статью стоит прочесть целиком, –– вдруг открывается семантиче-ский дрейф слова за полтора века и перестает казаться странным за-главие великой комедии.

Ум –– не мера способности решать интеллектуальные задачи, а чер-та личности; для умного человека –– доминанта личности.

Можно попробовать продемонстрировать, что в романе Тыняноваэто доминанта сложной художественной системы. Самые существен-ные вещи здесь сказаны Эйхенбаумом; можно добавить, что формула

Лебедев А. Грибоедов. М.: Искусство, . С. . Там же. С. .


«конкретность перерастает в символику» неполна. Драпировка броса-ет отсвет на кувшин, а кувшин –– на драпировку. Когда в сцене при-ема у Николая вскользь сообщается «был предуказан цвет подклад-ки и форма прически, была предустановлена гармония», то отсветдворцового церемониала падает на немецкую классическую филосо-фию. Это должно воспринимать эстетически.

Л. Я. Гинзбург объясняет: «Типологическая принадлежность чело-века подтверждается, проверяется на боковых направлениях, на ма-гистральных по отношению к его господствующей установке. Важно,как человек относится к другим вещам...»

Чувственный человек Стива Облонский чувственно совершаетутренний туалет, а интеллектуального героя Пруста «раздражает при-сутствие любимой женщины, потому что своим присутствием онамешает ему о ней думать».

VI

Любовь ставит зеркало, которое отражает и преображает чело-века. Отсутствие любви компенсируется замещениями, беседами сосвоей совестью и двойниками. Не позже седьмого века до нашей эрыв Ассирии или Вавилоне был написан «Разговор господина с рабом»,в современной научной литературе называемый также «Диалогомо пессимизме». Каждая строфа диалога, кроме постоянного зачина,состоит из двух реплик господина и двух ответных реплик раба. Двесжатых реплики господина говорят «да» и «нет», два развернутыхответа раба говорят «да» и «нет». Тынянов мог читать прозаическийперевод этого текста, вышедший в Ленинграде в году.

«Раб, повинуйся мне!» –– «Да, господин мой, да!»«Свершу-ка я доброе дело для своей страны!» ––«Верно, сверши, господин мой, сверши.Кто делает добро своей стране,Деянья того –– у Мардука в перстне».«Нет, раб, не свершу я доброго дела для страны!» ––«Не свершай, господин мой, не свершай.Поднимись и пройди по развалинам древним,Взгляни на черепа простолюдинов и знатных:Кто из них был злодей, кто был благодетель?»

Тынянов Ю. Н. Сочинения. Т. . С. . Гинзбург Л. Я. О литературном герое. Л.; СП, . С. . Я открою тебе сокровенное слово. Литература Вавилонии и Ассирии. М.: Художе-

ственная литература, . С. ––.


Цырлин и Белинков разбирают сквозную тему двойника у Тыня-нова вообще и в «Вазир-Мухтаре» в особенности, но говорят в связис этим преимущественно о Мальцеве и поручике Вишнякове. Междутем, в романе Грибоедову дан двойник по канонам сюжетосложения,которые чересчур подробно знал Тынянов, –– его слуга и молочныйбрат Александр Грибов. В продолжение всей первой половины рома-на, до пятой, –– последней перед Персией, –– главы, сцены с СашкойГрибовым имеют служебную функцию. Функция эта состоит в тра-вестировании главного героя, в снижении его темы, в контрапунктек трагическому напряжению, которое в параллельном плане разреша-ется как фарс.

В провинциальной Москве первой главы Грибоедов озираетсяи наносит визиты прежней жизни; государственный триумф ждет егос Туркманчайским миром лишь в Петербурге. Но он уже предваренпародийным триумфом Сашки, который «налетел, как персидскийразбойник, на господский дом, взял его приступом, говорил: „мы“,брови у него разлетались, ноздри раздувались, белесые глаза сталиглупыми. Он был даже величествен».

Пародия не бросается в глаза, потому что она дана прежде паро-дируемого; роман, собственно, почти еще не начат.

Разговору Грибоедова с Нессельроде, ответственнейшему, сделан-ному с механической точностью, –– с него начинается гибель Проек-та, –– предшествует чинный диалог нумерного и Сашки, в которомСашка обходится одним междометием.

« –– Но нужно очень много нынче внимания. Останавливаютсяважные бары.

–– Рази?–– В прошлом году в десятом нумере играли в карты и одного ба-

рина полоснули шандалом.–– Рази?»

Здесь Тынянов обнажает прием: «Разговор ему [Грибоедову] по-могал. Невозможно идти сейчас к Нессельроду для того, чтобы декла-мировать.

Если человек задекламирует, дело его пропало».После чтения «Грузинской ночи» на обеде у Булгарина, вернув-

шись к себе, Грибоедов «взял листки и начал их перебирать. Трагедиябыла прекрасна. Она должна была врезаться в пустяшную петербург-скую литературу словом важным и жестоким. Звуки жестки были

Тынянов Ю. Н. Сочинения. Т. . С. . Там же. С. .


намеренно. Какая связь между этой вещью и залой Фаддея, чаем, Пе-тей Каратыгиным? Ее надобно читать на вольном воздухе, в кибитке,может быть, среди гор. Но тогда какая же это трагедия и какая словес-ность? Совсем один он перечитывал у камина вполголоса стихи».

Оказывается, он был не один, а с Сашкой, и Сашка придерживалсятого же мнения о трагедии. Выразил он его так: «Вы не стихи читали,Александр Сергеевич, –– поучительно сказал Сашка, –– стихи это назы-вается песня, а у вас про старуху».

апреля года Грибоедов пишет из Тифлиса Булгарину: «-яглава твоей Сиротки так с натуры списана, что (прости душа моя)невольно подумаешь, что ты сам когда-нибудь валялся с кудлашкой.Тьфу пропасть! как это смешно, и жалко, и справедливо. Я несколькораз заставал моего Александра, когда он это читал вслух своим прия-телям».

В романе подробно описано, как Александр читает «Сиротку» при-ятелям. В романе Грибоедов ее еще не читал, «Сашка стащил книж-ку из ящика, негодяй» . В романе оценка Грибоедова отдана Сашкеи потому сама становится смешной и жалкой (и, может быть, спра-ведливой).

Третья глава романа, в которой Грибоедов едет из Петербурга в Ти-флис, есть глава-задержка. Она является целиком задержкой, и в нейГрибоедова задерживает Марья, воронежская казачка. Марья, воро-нежская казачка, настоящая женщина, она женщина для АлександраСергеевича и для его молочного брата, Сашки Грибова, и когда этостановится явным, задержка кончается.

Во второй, персидской, половине романа эта роль Сашки внезапнопрерывается.Сашка становится отдельным человеком. Сцены с ним пе-рестают пародировать Грибоедова и начинают звучать сигналом не-счастья. Сказано «он сох, изменился в лице, на вопросы Грибоедова онне отвечал». Позже сказано: «И ведь действительно сохнет страна» –это Грибоедов требует у Аббаса-Мирзы уплаты последних куруров.

Сашка умирает чуть раньше Грибоедова во время резни в посоль-стве. Отмечено, что «еще была не убрана постель, Сашка так и неприбрал ее» , и потом умирает Грибоедов.

Тынянов Ю. Н. Сочинения. Т. . С. . Там же. С. . Грибоедов А. С. Сочинения. С. . Тынянов Ю. Н. Сочинения. Т. . С. . Там же. С. . Там же. С. . Там же. С. .


В тыняновской интерпретации судьбы Александра Грибова по-ражает одно обстоятельство. Оно поразило самого Тынянова, когдауже окончив работу над «Вазир-Мухтаром», уже дистанцировавшисьот своего героя, он заметил, что пропустил без внимания сходствофамилий Грибоедов-Грибов. Тынянов сказал об этом в статье «Какмы пишем»: «Брат, услужающий брату, брат Грибоедова, лакей с усе-ченной фамилией» .

В издании года был дописан внутренний монолог Грибоедова,которого осеняет догадка о том, что Сашка его брат.

Новый монолог не кажется чужеродным, потому что во всем строесцен с Грибовым уже в первом издании сознание того, что Сашка ––брат Александра Сергеевича, как бы неявно присутствует.

Обстоятельство, поражающее в тыняновской интерпретации судь-бы Александра Грибова, состоит в том, что самим Тыняновым, писав-шим роман, это не было осознано явно.

Кажется, что это в необычных обстоятельствах сыграла свою рольпсихологическая защита. Кажется, слияние биографа со своим геро-ем было таким полным, что он не мог осознать того, чего не хотелосознать его герой, «ненавидевший слово „раб“». Возможны более жи-тейские или внутрилитературные объяснения.

VIIСлияние биографа со своим героем заявлено как прием, –– в кон-

це пролога, –– но интонация заставляет отнестись к этому серьезно.Роман написан настолько изнутри его героя, что когда герой гибнет,мир в страшной и совершенно потерявшей смысл и вещественностьвраждебности некоторое время виден как бы его отлетающей душой.

Повествование перехватывает голос осиротевшего автора, кото-рый описывает российское прощение Хозрева-Мирзы на таком накалепрезрения, каким кончить роман о Грибоедове невозможно.

И тогда его кончает Пушкин.

VIIIК словам высшей частотности в пушкинском словаре относятся

такие:день друг человек слава

время душа любовь царьбог год жизнь дорога

рука письмо час братдело сердце народ сон

Ю. Н. Тынянов, писатель и ученый. М.: Молодая Гвардия, . C. («Жизньзамечательных людей»).


И еще:

милый живой веселый бедныймолодой печальный нежный легкий

прекрасный верный пустой гордый

У Тынянова Пушкин –– быстрый.Перед своим последним отъездом в Персию Грибоедов написал

«Проект инструкции ***, посылаемому в Персию». Три звездочки оз-начают, что инструкция адресована посланнику, а не конкретномулицу, которое назначено посланником. Согласно Тынянову, готовяпроект, Грибоедов уже принял назначение; С. В. Шостакович считает,что проект был написан в то время, когда Грибоедов еще не знал, чтопосланником будет он.

Как бы то ни было, согласно проекту посланник должен «продол-жительностью, однообразием поступков, всегда правильных и откро-венных (подчеркнуто мною. –– Ю. М.) восторжествовать над недовер-чивостью азиатскою и превратить в убеждение со стороны Персии туроковую необходимость, которая заставила ее принять наши мирныеусловия» .

IX

В «Вазир-Мухтаре» Грибоедов и Пушкин встречаются дважды: в те-атре и на обеде у Булгарина. О Грибоедове дважды сказано, что Пуш-кин его стеснял. О Пушкине дважды сказано (голосом Грибоедова),что он –– чужой породы.

Первый раз сказано так: «Быть комическим автором одной пье-сы –– в этом было что-то двусмысленное. Он [Грибоедов] тогда писалдля театра, теперь он будет поэт. С Пушкиным должно было бытьосторожным. Он смущал его, как чужой породы человек».

Это означает, что Грибоедов –– не той породы, какой бывают по-эты.

Второй раз сказано так: «Он [Грибоедов] понял сегодня двусмыс-ленное существование Николая. Император был неполный человек.Холод его взгляда был необычаен... Пушкин писал ему стансы. Нико-лай покорял его, потому что Пушкин был человек другой породы».

Это означает, что Пушкин не той породы, какой бывают талант-ливые государственные чиновники. Талантливого государственного

Цит. по Шостакович С.В. Дипломатическая деятельность А. С. Грибоедова. М.: Соц.-экон. лит., . С. .

Тынянов Ю. Н. Сочинения. T. . С. . Там же. С. .


чиновника «известное лицо» покорить не могло. Известное лицо былонеполным человеком. Его можно было перехитрить; писать ему стан-сы было бессмыслицей.

Сто лет спустя стансы были написаны вновь, поэтом, которого на-зывали «мулат», с замечательной уверенностью в наследовании и втом, что теперь им уже пришло время:

Но лишь теперь сказать пора,Величьем дня сравненье разня:Начало славных дней ПетраМрачили мятежи и казни.

Уверенность в наследовании, возможно, была оправдана.Поэты и вообще не понимают неполноты известных лиц. Они

склонны восхищаться, ужасаться (там, где должно служить, не при-служиваясь).

На обеде у Фаддея, где Грибоедов станет читать трагедию, стансыупомянуты вновь, а также «Полтава». О ней Пушкин говорит: «–– ...Небудем говорить о ней. Поэма барабанная.

Он посмотрел на Грибоедова откровенно и жалобно, как мальчик.–– Надобно же им кость кинуть».Дальше во внутреннем монологе Грибоедов называет Пушкина

тонким дипломатом. Но это нарочито неловкое слово, и сказанооно затем, что Пушкин совсем не дипломат (так же, как Грибоедов,вероятно, не поэт). «Вот он кидает им кость. Однако же никто об этомтак прямо не говорит, а он говорит».

Они разной породы.Тынянов замыкает Грибоедова в малом отрезке его жизни, и по-

том ставит вокруг дополнительные ограждения.Пушкина он же расширяет в пространстве и времени. Пушкин

почти магически поддержан кровью предков, ганнибальством, родом,который начинался в Абиссинии. Приходят на память Леви-Брюльи партиципация.

У Грибоедова нет ни предков, ни потомков. Он выведен за рамкисвоей судьбы «Горем» и какой-то иной магией.

В третий раз о породе сказано в «Ганнибалах» и третьей сторонойповорачивается смысл: «„Он не нашей породы“, –– сказали чиновникио нем то слово, какое сказала о черном прадеде неверная жена».

Человек чужой породы совершает завоевание России (так говоритТынянов). Пушкин «увидел и выговорил –– завоевал Россию.

Тынянов Ю. Н. Сочинения. т. . С. .


В году был открыт стихом Кавказ, в -м –– Крым, в -м –– Бес-сарабия...»

Пушкинская Россия появилась на внутренней карте России.В году Крымиздат выпускал серию –– «Крым в классической

литературе». Книжки были в кремовых бедных обложках, с голубень-ким тиснением. Кипарисы в пушкинских стихах заменяли отточием;в тот год известное лицо кипарисов не любило; их вырубили. Такжеопускались татарские топонимы; с Бахчисарайским фонтаном воз-никла некоторая неловкость. Главным редактором художественнойлитературы была моя матушка; когда начали разоблачать космо-политов, сначала что-то перепутали и космополитом назначили неее; потом инструкции были уточнены. «Горе» цитировали обильно:насчет «французика из Бордо» и «умного, бодрого нашего народа».

После смерти Пушкина Жуковский написал известное письмоС. Л. Пушкину о последних днях поэта. В. Вацуро толкует это письмотак.

«Официальное посмертное признание Пушкина было очень важ-но –– в глазах Жуковского, Вяземского, А. Тургенева: это означало быофициальное признание литературы как формы деятельности, возве-дения ее на уровень общегосударственного, общенационального дела».

Но: «Пушкин не был ни политиком, ни военным, ни чиновником;он не проявил себя на государственной службе. Такова была офици-альная точка зрения» .

Поэтому его дело не могло быть общегосударственным.Возведение литературы на уровень общегосударственного, обще-

национального дела было совершенно позже.Великую страну отождествляют или отделяют от ее власти, ее

власть отождествляют или отделяют от ее свободы. Свобода обретаетсмысл в противопоставлении с не-свободой. He-свобода задана какреальность, а свобода нуждается в ней как в опоре для определениясебя как идеала.

Иногда брезжит возможность свободы через измену.Среди всех изменников в «Вазир-Мухтаре» самый жалкий –– то

есть более всех заслуживающий жалости –– прапорщик Скрыплев,простой и смирный человек. История его измены рассказана натрех страницах. Она начинается с того, что прапорщик был обойденкрестиком после первого дела, где он вел себя отважно; крестикомон был обойден потому, что не играл в карты и, следовательно,

Тынянов Ю. И. Сочинения. Т. . С. ––. Вацуро В. Пушкин в сознании современников // Пушкин в воспоминаниях совре-

менников. Т. . М.: Художественная литература, . С. .


не проигрывал командиру полка; в карты он не играл потому, чтотак настаивал его отец. Прапорщик был безупречен, именно потому«такая простая вещь, как человеческая несправедливость», могла такподействовать на него. Прежде, чем изменить, он оказался «измененв своем составе». (Так потеря шинели изменила состав АкакияАкакиевича.) Остальная цепь событий –– карты, проигрыш ко-мандиру, ночная вылазка и переход к людям Самсона Макинцева ––развивалась уже как бы автоматически.

«Очнувшись уж в Тегеране, он постарался ни о чем этом не думать,был аккуратен как всегда...»

В этом было безумие смирного прапорщика.В механизме тегеранской трагедии, который выстроен в романе,

отношение Грибоедова к русским дезертирам в Персии занимает едвали не центральное место. Грибоедов добивался вывода их в Россиюв соответствии с Гюлистанским и Туркманчайским договорами; дляних возвращение на родину было гибелью, и это Грибоедов уже знал.

Еще в году он вывел из Тавриза в Тифлис партию из полуторасотен пленных и беглецов, волей преодолев сопротивление и сабо-таж персидских властей, страх самих солдат и тяготы пути. В письмахи дневниках Грибоедова обычны наблюдательность, сухость и иро-ния; совсем иначе звучат две краткие записи года:

« [августа]. Хлопоты за пленных. Бешенство и печаль. [августа]. Idem. Подметные письма. Голову мою положу за

несчастных соотечественников. Мое положение. Два пути, куда богповедет...»

Согласно воспоминаниям С. Н. Бегичева, Грибоедов обещал солда-там, что постарается отвратить от них наказание по возвращении, ночто «если они и потерпят за преступление, то лучше один раз потер-петь, но очистить свою совесть». В России все тут же вышло из-под еговласти; Грибоедов был жестоко разочарован; «я оказался обманщи-ком», писал он главе русской дипломатической миссии Мазаровичу.Министерство иностранных дел, в ответ на ермоловское представле-ние Грибоедова к награде, заявило, что «дипломатическому чиновни-ку так не следовало поступать».

Люди Самсона Макинцева в Персии обзавелись семьями и землей;они также составляли цвет персидского войска (спустя десятилетияцвет персидского войска составляли уже русские военные советники

Тынянов Ю. Н. Сочинения. T. . С. . Там же. С. . Грибоедов А. С. Сочинения. С. . Там же. С. .


и части, посланные русским правительством). Версию военного исто-рика А. П. Берже о том, что русский батальон дезертиров в действияхпротив русской армии не участвовал, Тынянов называет конфетнойисторией. В «Вазир-Мухтаре» сказано, что на этом батальоне держа-лась вся Хойская область и что русские беглецы «втыкали себе штыкив животы, чтобы не сдаваться бывшей родине, России».

Эта правда сталкивается в лоб с той правдой, которую сформули-ровал Грибоедов, донося Паскевичу о своих переговорах с Аббасом-Мирзой. Аббаса-Мирзу нужно было уговорить прекратить военныедействия и кончить миром, каким бы худым для Персии он ни был.С этой целью Грибоедов «сравнивал характеры двух народов: перси-ян –– смелых при счастии, но теряющих бодрость и даже подчинен-ность при продолжительных неудачах, –– с другой стороны, указывална наших, которые во всех обстоятельствах одинаковы, повинуютсяи умирают» (выделено мною. –– Ю. М.).

Они не были одинаковы во всех обстоятельствах, но умирали всеравно, повинуясь или не повинуясь; как солдат Васильков, которомуГрибоедов растирал ревматические колени ромом и который в мо-мент перелома «сказал с холодной решимостью, что не последуетза мною и что я вправе его убить». Грибоедов пишет, что хотя они вправе, но такой поступок «противен человеку чувствительному»;он предоставил Василькова своей судьбе, полагая, что «персы неупустят случая с ним покончить». Воплощенной ревностью Россиик своим блудным детям был Грибоедов, ревностью, равно жестокой влюбви и заботе.

Грибоедов А. С. Сочинения. С. . Там же. С. .

Солнце, бедный тотем

Выходящая в Рио-де-Жанейро газета «Маншети» опубликовала нетак давно небольшую статью о племенах индейцев намбиквара, живу-щих на северо-западе штата Мату-Гросу и еще в нескольких районахБразилии. «Охотятся они с помощью лука и стрел, –– рассказывалосьв статье, –– спят на голой земле, преимущественно в золе». Предста-вители «одного из племен намбиквара –– хахаинтесу –– считают себяпервыми обитателями Земли. По словам старейшины племени... кактолько индейцы хахаинтесу утратят качества, присущие первым лю-дям Земли, наступит конец света» . Сейчас намбиквара насчитываютоколо человек.

В «Печальных тропиках» намбиквара посвящена целая глава.В году, когда Клод Леви-Стросс, тридцатилетний этнограф изПарижа, изучал этот народ во время экспедиции, их было до двухтысяч.

Еще раньше, в году, председатель телеграфной комиссии Кан-дидо Мариано да Сильва Рондон оценивал их число в тыс. чело-век. Рондон организовал «Службу защиты индейцев», стал во главе ееи сделал ее девизом один из непопулярных принципов человеческойэтики: «Умереть, если неизбежно, но никогда не убивать». Видимо,намбиквара, по землям традиционного расселения которых прошлателеграфная линия Рондона, это не помогло.

Вымирали намбиквара, а также кадивеу, бороро, тупи-кавахиби другие индейские племена Южной Америки, которые описал в сво-ей книге К. Леви-Стросс. Поэтому тропики, увиденные им, печальны.

Клод Леви-Стросс родился в году в Бельгии, в семье художни-ка, детство провел во Франции, учился философии и праву. Испыталглубокое влияние трудов Маркса. Увлекался музыкой, геологией, пси-хоанализом. Сформировался как этнограф после полевых исследова-ний среди индейцев Южной Америки и преподавания в университетеСан-Паулу (Бразилия) в конце -х годов. В –– гг. жил и пре-

Рецензия на книги К. Леви-Стросса «Печальные тропики» (М.: Мысль, . с.)и «Структурная антропология» (М.: Наука, . с. (Сер. Этнографическая библио-тека).). Впервые опубликовано: Природа. . . С. ––.

Цит. по: За рубежом. . (). С. .


подавал в США, затем вернулся в Париж. В году защитил диссер-тацию «Об элементарных структурах родства». С года заведовалкафедрой структурной антропологии в Коллеж де Франс, с го-да –– член французской Академии наук. Автор книг, выдержавших це-лый ряд переводов и переизданий, эрудит, философ, создатель струк-турной теории этнографии, К. Леви-Стросс –– сам некоторым образомолицетворение структурализма –– до сих пор почти не был представ-лен русскому читателю своими работами, хотя несколько публикацийего и о нем в нашей стране появилось .

Две книги, о которых здесь идет речь, были ключевыми трудамиученого. В молодости отношение исследователя к объекту своего изу-чения носило черты страсти, позже оно сменяется ностальгическойпривязанностью. «Печальные тропики» –– книга о первых встречахс этим будущим «объектом», то есть с людьми, людьми первобыт-ной и умирающей культуры, о встречах, увиденных уже издалека,с расстояния полутора десятилетий. Сокращенная в русском переводепочти вдвое, книга может восприниматься преимущественно какпутевой дневник, о чем следует пожалеть. В издании выпущена,в частности, центральная глава «Как становятся этнографом», су-щественная для понимания биографии и психологии автора, гдеон пишет: «Как математика или музыка, этнография принадлежитк числу немногих подлинных призваний. Ее можно открыть в себе,даже если вас ей не обучали» . «Печальные тропики» следует читатьтакже и как дневник этого внутреннего открытия.

«Структурная антропология», в отличие от «Тропиков», обраще-на в первую очередь к читателю-специалисту. Это –– даже не моно-графия, а сборник научно-исследовательских работ по структурнойтеории этнографии, публиковавшихся ранее, дополненный полеми-ческими «Послесловиями» к двум главам. И все же именно выходэтой книги в году стал этапом в биографии К. Леви-Строссаи его идей и привлек к ним широкое общественное внимание. По-видимому, удачным оказался формообразующий принцип сборника:каждая статья либо с какой-то стороны освещает основную уста-новку исследователя –– отношение к объекту как к структуре, либо

См., напр.: Леви-Стросс К. Колдун и его магия // Природа. . . С. ; .С. ; Курсанов Г. А. Современный структурализм –– философия и методология // При-рода. . . С. ; Грецкий М. Н. Человек и природа в концепциях структурализма //Там же. С. ; Алексеев В. П. Структурный подход к проблеме бессознательного // При-рода. . . С. ; Леви-Стросс К. Миф, ритуал и генетика // Природа. . .С. ; Иванов В. В. Клод Леви-Стросс и структурная антропология // Там же. С. .

Levi-Strauss С. Tristes tropiques. Paris, . p.

Сîëíöå, áåäíûé òîòåì

демонстрирует приемы структурного анализа на конкретном мате-риале.

Существенным дополнением к сборнику в русском издании слу-жит обзорная статья Е. М. Мелетинского «Мифология и фольклорв трудах К. Леви-Стросса». Кроме выпуклого изложения общетеорети-ческих установок К. Леви-Стросса, она содержит детальный и крити-ческий реферат его четырехтомного труда «Мифологичные» («Mytho-logiques I––IV»), где механизм структурного анализа разворачиваетсяна обширном пространстве.

Цель другого приложения «К. Леви-Стросс и структурная теорияэтнографии», написанного Вяч. Вс. Ивановым, –– поставить научнуюсудьбу и методологию К. Леви-Стросса в общий контекст гуманитар-ной мысли конца XIX и первой половины XX века. СотрудничествоК. Леви-Стросса с замечательным математиком А. Вейлем, влияниена него Р. Якобсона, одного из создателей современной структурнойлингвистики, история усвоения уроков психоанализа и отталкиванияот него –– все это помогает увидеть идеи ученого в правильном свете.Третье приложение, статья Н. А. Бутинова «Леви-Стросс –– этнографи философ», написана с критической позиции. Ее крайнее выраже-ние –– заключительные фразы: «Сложился миф (о Леви-Строссе. ––Ю. М.), который можно изучать и анализировать. Мы попыталисьраскрыть структуру этого мифа» (с. ). Следует понять, какие осо-бенности творчества К. Леви-Стросса могут психологически оправ-дать и такое мнение.

Чтобы дать читателю этой рецензии хотя бы первое представле-ние о сути научной работы К. Леви-Стросса, следует выбрать из кругаего интересов определенный сюжет. Вслед за Е. М. Мелетинским мыостановимся на вкладе К. Леви-Строссa в понимание мифологическо-го мышления.

Есть ряд общих черт первобытного мышления, открывающих-ся взору исследователя, когда он работает в поле или изучает тек-сты архаичных мифов. Первобытный человек не отделяет себя отприроды и своего окружения, он одухотворяет и персонифицируетнеодушевленные предметы и явления природы. Мифологические пред-ставления являются средством и способом обобщения и объясненияповседневного эмпирического опыта, а также основной формой вы-ражения и существования духовного опыта. Сущность вещи илиявления раскрывается в мифе о происхождении (этиологии) этойвещи.

Действие мифов, особенно этиологических, происходит в началь-ное, сакральное, не эмпирическое время. Таковы тотемические мифы,


повествующие о происхождении определенных групп (родов) людейиз тотемов –– видов животных или растений, иногда явлений приро-ды. (Волчица, вскормившая Ромула и Рема, –– вероятно, след архаич-ного тотемического верования.) Первобытное мышление оперируетпредметными представлениями.

Каждый исследователь мифологии так или иначе формулируетсвое отношение к нескольким фундаментальным вопросам. Следуетли рассматривать основные характеристики мифологического мыш-ления как некоторую его недостаточность или же как типологиче-ское своеобразие по сравнению, скажем, с научным мышлением,характерным для современной цивилизации? Осуществляет ли мифв первобытном обществе объяснительные, познавательные функцииили же его роль иная? Каково относительное место личной и коллек-тивной психологии в столкновении и функционировании мифологи-ческого мышления?

Согласно К. Леви-Строссу, на все эти вопросы можно дать реши-тельные ответы. Первобытное мышление, при всей его чувственнойи предметной конкретности, является мощным средством классифи-кации и анализа. В этом смысле оно логично и рационально. «Логи-ка мифологического мышления так же неумолима, как логика пози-тивная, и, в сущности, мало чем от нее отличается. Разница здесь нестолько в качестве логических операций, сколько в самой природе яв-лений, подвергаемых критическому анализу... Человек мыслил всегдаодинаково „хорошо“» (Структурная антропология. С. ––). Ука-жем вкратце на другие точки зрения, чтобы читателю было с чем срав-нивать: первобытному мышлению не свойственна логичность, его ор-ганизующие принципы –– ассоциации, сопричастность, аналогии посмежности (французский философ и психолог Л. Леви-Брюль); мифне есть средство познания внешнего мира, он есть средство поддер-жания непрерывности, сохранения традиций, стабилизации космиче-ского и социального порядка; эту функцию миф осуществляет, когдаон переживается как магическая реальность (английский этнографи социолог Б. Малиновский).

Далее, по Леви-Строссу (эту мысль он разделяет с Леви-Брюлем),миф есть выражение коллективного бессознательного. Коллектив-ное –– значит обусловленное не личным опытом, но принадлежно-стью к биологическому виду и к социуму. Бессознательное –– значитне осознаваемое. Содержание этого коллективного бессознательно-го –– ментальные структуры, т. е. закономерности человеческой пси-хики, которые подлежат выявлению при изучении мифа. (Употреб-ление этих терминов не совпадает у К. Леви-Стросса с юнгианским


или фрейдистским.) Удачно передает суть этого понятия несколькопарадоксальное словосочетание «несознаваемо логическое».

Чтобы представить мифологию как поле логических операций,Леви-Стросс широко пользуется инструментом бинарных оппозиций,примеры которых на разных уровнях абстракции даются такимипарами, как «верх/низ», «день/ночь», «сакральный/профанный»,«природа/культура». Логические операции для него –– это операциитрансформирования, переводящие одну позицию в другую, или такназываемые медиации, с помощью которых оппозиция, рассматрива-емая как противоречие, делается психологически и социально прием-лемой посредством ее замены на ряд последовательных и все менее«интенсивных» оппозиций.

Поясняя идею медиации, Е. М. Мелетинский пишет: «Противопо-ложность жизни и смерти подменяется противоположностью расти-тельного и животного царства, противоположность растительногои животного царства подменяется противоположностью употребле-ния растительной и животной пищи. А последняя снимается тем, чтосам посредник –– мифический культурный герой –– мыслится в видеживотного, питающегося падалью (Койот, у северо-западных индей-цев –– Ворон), и потому стоит посередине между хищными и травояд-ными» («Структурная антропология», c. ).

Наконец, к числу логических операций Леви-Стросс относит, на-пример, классификации, заложенные в тотемических системах, когдаразнообразие видов животных используется как резервуар меток дляобозначения социальных групп.

В уже цитированной XI главе «Структурной антропологии» Леви-Стросс демонстрирует методологию своего анализа «в пробирке»,применяя этот анализ к мифу об Эдипе, который постоянно бытуети интерпретируется в европейской культуре и потому не может доста-вить читателю дополнительных трудностей экзотичностью своего ма-териала (как это происходит с мифологией американских индейцев,толкуемой в «Мифологичных»). Читатель, знакомый с фрейдистскойтрадицией интерпретации мифа об Эдипе, с работами советскихученых В. Я. Проппа, В. Н. Ярхо, С. С. Аверинцева, оценит своеобразиеподхода Леви-Стросса.

«Что же выражает миф об Эдипе, истолкованный „по-индейски“? ––рассуждает К. Леви-Стросс. –– Вероятно, что общество, исповедующееидею автохтонности человека (см.: Павсаний, кн. VIII, XXIX, : расте-

Дараган Н. Я. Предмет и метод исследования в «Структурной антропологии» К. Ле-ви-Стросса // Пути развития зарубежной этнологии. М., . C. .


ние есть прообраз человека), не может перейти к мысли о том, чтокаждый из нас рожден от союза мужчины и женщины. Это неодо-лимый барьер. Но миф об Эдипе дает логический инструмент, припомощи которого от первоначальной постановки вопроса –– человекродился от одного существа или двух? –– можно перейти к производ-ной проблеме, формулируемой приблизительно так: подобное рож-дается подобным или чем-то другим?» («Структурная антропология»,с. ). Автохтонность здесь –– происхождение из Земли; мотив этотв фиванских мифах скрыт в этимологии имен Эдипа, Лая, его отца,Лабдака, его деда, которая намекает на хромоту, леворукость и т. п., ––качества, в разных мифологиях присущие хтоническим существам,рожденным Землей.

Как и в других областях науки, такие глубокие реконструкциипоражают одних профессионалов своей глубиной, а других –– своейпроизвольностью. Построения К. Леви-Стросса уязвимы для критики,и он подвергался ей с разных сторон.

Даже согласившись с ролью, которую К. Леви-Стросс приписываетмедиации противоположностей в «логике мифа», можно сомневатьсяв основательности того, как ученый соотносит ее с логикой научногомышления. Прежде всего, в идее архетипов К. Г. Юнга можно усмот-реть этап или уровень мифологического сознания, предшествующийвыделению оппозиций как таковых. Архетипические образы, исход-ный материал мифа по Юнгу (также коллективный и бессознатель-ный, но в другом смысле), внутренне амбивалентны и в то же времяслужат символами некоторой целостности. Поэтому и миф как целоеможно рассматривать в качестве средства медиации еще не сформи-ровавшейся противоположности.

В таком случае, оставаясь в русле мысли самого К. Леви-Стросса,можно предположить, что следует просматривать его серии меди-аций «в противоположном направлении», как фиксацию рожденияфундаментальных оппозиций. Хотя в строго структурном, синхрони-ческом движении анализа направление этого движения почти безраз-лично (К. Леви-Стросс подчеркивает это в «Мифологических», ими-тируя «круг» –– музыкальную форму рондо), для понимания мифакак идеологии такие проблемы могут иметь первостепенную важ-ность. Е. М. Мелетинский, подчеркивая не абсолютность даже такихцентральных для анализа К. Леви-Стросса оппозиций, как «приро-да/культура», приводит убедительный материал в поддержку точкизрения о постепенном вычленении оппозиций, а не их медиации.

Далее, форма существования «логики» в первобытном мышлении,реконструируемая К. Леви-Строссом, по самому своему характеру


должна отторгаться научным мышлением, а не наследоваться им.Исторически так оно и было. Трезвее всех это выразил ФрэнсисБэкон, назвав соответствующие коллективные представления при-зраками рода, рынка и театра и отвергнув эти мифопорождающиеструктуры сознания как мешающие дальнейшему научному освое-нию мира.

Но даже не соглашаясь с оценкой мифологического мышления какполноценного научного и лишь оперирующего другим кругом явле-ний, можно быть уверенным в том, что его глубокие механизмы в раз-ных формах продолжают действовать во все времена.

В индивидуальной психологии способность к мифологизации мо-жет выступить в качестве мощного творческого или терапевтическо-го фактора. Попытка З. Фрейда была, возможно, самой заметной ге-роической вылазкой разума против иррационального в человеческойпсихике. Как было сказано, на кушетку психоаналитика легла вся за-падная культура этого столетия. Была ли в результате этого открыта«научная истина»? Едва ли, и все же не в этом дело. В главе X, назван-ной «Эффективность символов», К. Леви-Стросс показывает, что важ-но одно: дать больному язык для выражения до того невыразимого,способы же выражения и побочная семантика этого языка могут бытьв высшей степени произвольны, ибо анализ психоаналитика есть тво-римый миф.

В социальной психологии коллективное переживание мифа игра-ет огромную стабилизирующую роль. На протяжении всей историичеловечества гуманитарное знание вновь и вновь воспроизводит ха-рактерные образцы мифомышления, и рационализм К. Леви-Стросса-этнографа следует воспринимать с этой поправкой. Бэконианскиепризраки не исчезли от того, что на них указали пальцем, и шепчутнам что-то о нас самих. В исследовании природы бэконианскийидеал был реализован за три с половиной столетия с величайшейпоследовательностью, но мир, в который он привел человечество,стал по-новому неустроенным и еще более опасным.

Анализ мифов, проделанный К. Леви-Строссом и направленный навыявление их глубинной структуры, подробен и блестящ. Но интер-претация социального функционирования этой структуры далеко неоднозначна.

Работы К. Леви-Стросса уже заняли свое историческое место, какпамятник целой эпохи в истории гуманитарного исследования. Об-разцом такого исследования считалась лингвистика, отчасти в си-лу замечательной определенности объекта лингвистического изуче-ния –– изначальной совокупности текстов.


Для лингвиста текст есть реальность –– он звучит или записан, накамне или на бумаге. Между тем этнограф или культуролог, готовыйобъявить текстом тип поведения, обряд или даже «всю культуру», ино-гда скрывает от себя тот простой факт, что превращение этого обрядаили типа поведения в языковый текст и есть решающий этап его ра-боты. При этом отношение такого превращенного текста к внетексто-вой реальности перестает быть в центре внимания исследователя, кактолько превращение в текст завершено. Между тем «текста культуры»не существует, он может лишь заново и заново создаваться, каждыйраз по-разному огрубляя и структурируя реальность. Идеал полнотыописания и потому его максимальной точности, хотя и недостижи-мый, всегда остается существенным и для лингвиста. Но уже специа-лист по мифологии может жаловаться на «избыточность материала».Есть существенная разница между изучением предмета и изучениемописания этого предмета, каким бы научным такое описание ни каза-лось, и главная проблема структурализма, вероятно, содержится в во-просе: структуру чего он изучает?

В глазах автора этой рецензии, профессионального математика,два десятилетия пристально и пристрастно следившего за гуманитар-ной работой своих современников, гуманитарное исследование, пословам итальянского филолога Умберто Эко, есть «открытое дело».Систематическое проведение хорошо определившей себя методоло-гии компенсируется и уравновешивается в нем проницательнымифантазиями эссеита и визионера. К. Леви-Стросс как человек и уче-ный представляет в своей работе оба эти полюса, что в немалойстепени определяет привлекательность его книг и их открытостьдля критики. Стоит ли долго сетовать на преувеличенный логицизмнекоторых его формулировок? К счастью, он непоследователен.

В замечательной работе Ольги Михайловны Фрейденберг «Введе-ние в теорию античного фольклора», где исследовано переходное со-стояние от мифологической образности к понятийному мышлению,на удивительном примере демонстрируется, как человек рационали-зирует изначально иррациональное и архаичное. В средние века ис-ход судебного процесса между мужчиной и женщиной мог решатьсяпоединком. При этом мужчину по пояс зарывали в землю. «Этим онуподоблялся женщине, становился Геей в ее классическом образе: од-нако такая метафористика, пройдя через каузализацию, объясняласьжеланием сделать скидку на слабость женщины, уравнять силы муж-чины с женскими».

Таким образом, магическое действие, уподобляющее мужчину жен-щине-Гее-Земле, переосмысляется как бытовое: женщине дают «фо-


ру» по ее слабости. Но такое истолкование происходящих действийне делает их рациональными по сути, они входят в систему, котораяподчиняется скрытой логике мифомышления. Развивая эту мысль,О. М. Фрейденберг продолжает: «Так примерно продвигается впередвся человеческая культура. Условная от конца и до начала, возведен-ная из кирпичей давно забытого мировосприятия, она беспрерывнопретендует на логичность и целесообразность своих выражений. Онаверит в прогресс и в новшество. Наука осторожно и скромно поправ-ляет в ее руках вожжи. Но люди противятся таким жестам... Солнце,бедный тотем, показывается людям за несколько оболов только напляже» .

Фрейденберг О. М. Миф и литература древности. М., . С. ––.

Ватикан, осень

В конце прошлого года многие периодические издания сообщили сво-им читателям, что Римская Католическая Церковь признала дарви-новское учение об эволюции. Эта информация была основана на тек-сте послания, которое глава Католической Церкви Иоанн Павел II ад-ресовал пленарному заседанию Папской академии наук.

Этот необычный институт состоит из членов –– ученых мира,пользующихся высоким научным авторитетом. Их выбирает Папапо рекомендации Совета Академии и по предложению академическихкругов. Академия призвана «умножать славу науки», а также «поддер-живать исследования». Ежегодно она проводит научные сессии и пуб-ликует результаты дискуссий в специальном издании.

Вид на Ватикан со смотровой площадки купола собора Св. Петра

Впервые опубликовано: Природа. . .

Вàòèêàí, îñåíü

Мы попросили известного математика, члена-корреспондента РАН,являющегося членом Папской академии наук, прокомментироватьэто событие.

. Несколько холмов, обнесенных стеной, к западу от Тибра, к ко-торому обращена колоннада Сан-Пьетро, в плане похожая на жвалыбольшого жука, –– это Ватикан. Академии отведен особняк, прячу-щийся в низине, Казина Пия IV. Сады пусты и тихи, уличный грохотРима скорее стоит в ушах, чем слышен.

Папская академия была основана в году, но в современномвиде существует только после коренной реформы, проведенной Пи-ем XI в году. Согласно уставу года, цель Академии –– способ-ствовать прогрессу математических, физических и других естествен-ных наук и изучению связанных с ними гносеологических проблем,членство в Академии не связано с какими бы то ни было ограничени-ями по этническому или религиозному признаку. В ее состав входилиМ. Планк, Н. Бор, Э. Резерфорд, Э. Шрёдингер, Ч. Шеррингтон, В. Воль-терра. В году я имел честь быть избранным в Академию вместес моим коллегой С. П. Новиковым, биохимиком и Нобелевским лауре-атом () П.Бергом, астрономом В.Рубин, биологом и Нобелевскимлауреатом () Дж. Ледербергом. Научные сессии года былипосвящены происхождению и ранней эволюции жизни и возникно-вению структуры во Вселенной на уровне галактик.

Папа Иоанн Павел II дважды в этом году обращался с посланиямик Академии. Во втором из них, от ноября, он писал:

«Одна из задач вашей Академии –– предоставлять святому пре-столу и Церкви по возможности полную и современную картинуновейших открытий в различных областях научного знания. Этимвы способствуете росту взаимопонимания между наукой и верой.В прошлом взаимные недоразумения порой определяли эти отно-шения. К счастью, Церковь и научное сообщество могут сегоднярассматривать друг друга как партнеров в общем стремлении ковсе более совершенному пониманию Вселенной, той сцены, по кото-рой человек идет сквозь время навстречу своему трансцендентномупредназначению. Плодотворный диалог происходит между этими дву-мя видами знания: тем, которое полагается на природную силуразума, и тем, которое проистекает из явленного вмешательстваБога в человеческую историю. ⟨…⟩ Оба вида знания суть чудные дарыТворца.

Яркий пример общего интереса науки и религии, более того, ихнужды друг в друге –– тема вашего нынешнего собрания: „Возникнове-ние структуры во Вселенной на уровне галактик“. Этой конференцией


вы завершаете общий обзор физического космоса. Потрясающе, чтос помощью сложной современной техники вы „видите“ не толькообширность Вселенной, но и невообразимую энергию и динамизм,пронизывающие ее. Еще более поразительно то, что, поскольку сиг-налы от ее самых дальних областей передаются светом с конечнойскоростью, вы способны „заглянуть“ в отдаленнейшие прошлые эпо-хи, а не только описывать процессы, происходящие сегодня. Надежноустановленные экспериментальные результаты позволяют вам по-строить общую схему или модель, прослеживающую полную эволю-цию Вселенной: от бесконечно краткого мгновения начала времени донастоящего и далее, в отдаленное будущее.

Вы, люди науки, внимая огромной пульсирующей Вселенной и раз-гадывая ее тайны, осознаете, что в некоторых точках наука, видимо,достигает той таинственной границы, у которой ее вопрошание со-прикасается со сферами метафизики и теологии. В результате этогонужда в диалоге и сотрудничестве науки и веры становится все болееживотрепещущей и многообещающей».

. Невдалеке от Сан-Пьетро –– крепость XVI века, Кастель-ди-Сант-Анджело, построенная на остатках гробницы императора Адриана.Вмазанная в стену доска напоминает об императоре его пронзитель-ным пятистишием, обращенным к душе, отлетающей в туман и холод,где ей уже не предаваться милым играм:

Animula vagula, blandula,Hospes comesque corporis,Quae nunc abibis in locaPallidula, rigida, nudula,Nee, ut soles, dabis iocos .

Стоическая печаль прощания с жизнью вместо пламенных фан-тазий о воскрешении и воздаянии, к которым римляне относилисьс некоторой интеллектуальной брезгливостью.

На Палатинском холме тоже тихо. Фасады развалин отделены отредких туристов решетками, как слоны в зоопарке.

Католическая Церковь унаследовала античную роскошь празд-ничных одежд, архитектуру вилл и гражданскую страсть патрициевк жизнеустроительству. Традиционный титул Папы Pontificus Maximus

Душа маленькая, хрупкая, потерянная,Тела спутник и гость,Ты сходишь теперь в местаБлеклые, холодные, туманные,Где тебе уж не предаваться милым играм.


означает «Верховный мостостроитель» и был когда-то титулом цезарякак верховного жреца.

Светский Рим, шумящий вдоль магистралей, унаследовал варвар-ские штаны германцев и варварские автомобили американцев.

Наши радиотелескопы, масс-спектрометры и теории Великого Объ-единения –– плоды предприимчивого неоязычества и почти разочаро-вавшегося в самом себе Просвещения. В Риме времена прорастаютдруг сквозь друга, и Вера Рубин, одна из открывателей таинственнойтемной материи, участвующей только в гравитационном взаимодей-ствии, гуляет под сводами Сикстинской капеллы и разглядывает Со-творение Мира.

Сотворение мира «по-научному» вызывает у Иоанна Павла II силь-ный эмоциональный отклик, но в свое время Галилей был подвергнутдопросу и девятилетнему домашнему аресту за куда менее гранди-озные обобщения, и стоит вслушаться, с какой осторожностью Папакасается этой болезненной истории в своем послании к Академии от октября, где несколько последующих абзацев посвящены биологи-ческой эволюции:

«Принимая участников пленарного заседания вашей Академии октября года, я уже имел случай, в отношении Галилея, при-влечь внимание к необходимости строгой герменевтики при интер-претации Откровения. Следует отделить собственно содержаниеСвященного Писания от его необязательных толкований, вклады-вающих в него то, чего в нем не содержится. Чтобы отграничитьобласть своей компетенции, экзегет и теолог должны быть осведом-лены о достижениях естественных наук».

Логическая структура аргумента такова: Писание истинно, Гали-лей тоже был прав, но так как истина не может противоречить ис-тине, не правы были те, кто усмотрели такое противоречие. (Напом-ню, что основное обвинение, предъявленное Галилею, гласило, чтоего защита коперниканства «наносит вред святой вере, поскольку на-водит на мысль, что Писание ложно».) Если я правильно понимаю,формальная реабилитация Галилея все еще не состоялась.

Как бы то ни было, Папа созерцает огромный Мир, образовавший-ся после Большого взрыва и, словно вспомнив прежние свои годы (Ка-роль Войтыла в юности –– режиссер и драматург), выводит на его кос-мическую сцену человека, «идущего навстречу своему трансцендент-ному предназначению».

Затем в послании начинается обсуждение эволюционной теории.Самое цитируемое место послания –– «теория эволюции есть болеечем гипотеза» –– в более широком контексте звучит так:


«Принимая во внимание состояние науки своего времени, а так-же требования теологии, энциклика „Humani generis“ () уже рас-сматривала доктрину „эволюционизма“ как серьезную гипотезу, до-стойную глубокого изучения наряду с противоположной гипотезой.Пий XII добавил два методологических условия: что это мнение недолжно считаться окончательно доказанным и позволяющим полно-стью отвлечься от Откровения в существе вопроса. Он также сфор-мулировал условие, при котором это мнение совместимо с христиан-ской верой, к которому я вернусь ниже.

Сегодня, спустя почти полстолетия после публикации энцикли-ки, новые открытия приводят к признанию того, что теория эво-люции есть более чем гипотеза. Замечательно, что эта теория всешире принимается учеными вследствие серии открытий в разных об-ластях знания. Не ожидавшаяся и не сфабрикованная внутренняя со-гласованность результатов этих работ, которые велись независимо,сама по себе служит значительным аргументом в пользу теории».

Все сказанное относится к биологической эволюции. Но с возник-новением человека, утверждает далее Папа, мы оказываемся перед«онтологическим скачком», метафизическим разрывом, который на-рушает физическую непрерывность:

«Пий XII подчеркнул существенный момент: если человеческое теловозникает из предсуществовавшей живой материи, то его душа непо-средственно создана Богом.

Следовательно, те теории эволюции, которые, в соответствиисо своими философскими установками, рассматривают разум как яв-ление, возникающее из внутренних механизмов живой материи, илипросто как эпифеномен материи, несовместимы с истиной о человекеи не способны обосновать достоинство человека».

И далее:«Наблюдательные науки описывают и измеряют многообразные

проявления жизни с возрастающей точностью и размещают их навременной шкале. Момент перехода к духовному не может быть объ-ектом наблюдений такого рода. Тем не менее они могут на экспери-ментальном уровне открыть ряд важных признаков специфичностичеловеческого существа. Но опыт метафизического знания, самосо-знания и рефлексии, совести, свободы, а также эстетический и ре-лигиозный опыт –– все это относится к компетенции философскогоанализа, тогда как теология выявляет его конечный смысл в соот-ветствии с планами Творца».

Иными словами, философской позицией церкви объявлен вариантдуализма, дающий полную свободу исследованию «материи» и моно-


Микеланджело. Фрагмент росписи Сикстинской капеллы


полизирующий толкование «духа» в терминах одной из историческихверсий христианства.

Эта четкость гносеологических установок заслуживает уважения.Она же позволяет яснее представить себе, насколько труден плодо-творный диалог между наукой и верой, которые безнадежно разде-лены ценностными, если не гносеологическими, ориентациями.

Коротко говоря, если дух не является эмерджентным свойствомматерии, то невозможно не только его экспериментальное изучение,но и никакой рациональный дискурс о нем. Пример тому –– историятысячелетнего раскола между западной и восточной Церквями. В за-падной редакции Символа веры Святой Дух исходит от Отца и Сына,тогда как в восточной –– только от Отца. Невозможность преодолетьэто догматическое различие существенно повлияло на образ жизнии отношение друг к другу христианских народов.

. На алтарной стене Сикстинской капеллы, в которой по тра-диции происходит избрание Папы, в сцене Страшного суда, Мике-ланджело написал самого себя. Мускулистый святой Варфоломей,воскресший мученик, держит в руке заживо содранную с него кожу.У этого страшного мешка души искаженные черты лица художника.Может быть, венский философ был прав: «О чем нельзя сказать ясно,о том следует молчать».

Имеется в виду Людвиг Витгенштейн (––) –– один из создателей аналитиче-ской философии.

Человек и знак

Семиотика возникла на глазах одного поколения. Ее содержаниеи название (в варианте –– «семиология») определил замечательныйшвейцарский лингвист Ф. де Соссюр. Русский читатель может позна-комиться с ней по запискам Тартуского государственного универси-тета «Σηµǫιωτιχη» («Семиотика»), которые выходят с года, покниге Ю. С. Степанова «Семиотика» (М.: Наука, ) и по сборникам«Семиотика и искусствометрия» (М.: Мир, ), «Структурализм:„за“ и „против“» (М.: Прогресс, ).

Отношение к семиотике не устоялось. Стороннему, хотя бы и со-чувствующему наблюдателю еще трудно решить, обретет ли она ста-тус науки, подобно логике и лингвистике, или же останется влиятель-ным и плодотворным стилем мышления междисциплинарного харак-тера, подобно эволюционизму.

Наука по традиции должна иметь свой предмет. Предметом семи-отики объявляются знаки, знаковые системы и все аспекты их функ-ционирования и структуры. Математик мог бы определить семиотикукак естественную историю (в старинном словоупотреблении) отно-шения «быть знаком».

В эпоху своего первоначального накопления семиотика черпаетматериал и идеи отовсюду, где так или иначе существенна знако-вость. Из учения о поведении животных (этологии), которое рас-сматривает сигналы в животном мире –– такие, как язык пчел, «ре-лизеры» К. Лоренца или химическая сигнализация у насекомых. Излингвистики, в особенности структурной, поскольку человеческийязык является основной и универсальной знаковой системой. Изматематики, в частности, теории информации, теории алгоритми-ческих языков для общения с компьютерами, формальной логики,которая сама по себе есть учение о знаковой системе «математика».Из этнологии и истории в той мере, в какой целые культуры и их

Рецензия на книгу: Иванов В. В. Очерки истории семиотики в СССР. М.: Наука, . с. Впервые опубликовано: Природа. . .

Релизер –– от англ. releaser –– стимул, вызывающий цепь инстинктивных реакций.Релизеры бывают оптическими (окраска, позы), обонятельными, осязательными и др.Как релизеры, так и вызываемые ими реакции характерны для данного биологическоговида.


фрагменты удается описывать как реконструируемые знаковые си-стемы. Из искусствоведения –– теории стиха, музыки, живописи, гдетрадиции структурализма нескольких школ (Москвы, Праги, Парижа)почти без коррекции включаются в круг семиотических идей.

Интерес к проблемам устройства и работы знаковых систем про-слеживается с очень давних времен. К предшественникам семиотикиотносят Платона, Августина, Лейбница и многих более поздних мыс-лителей. Предыстории семиотики посвящена, в частности, недавновышедшая работа Р. Якобсона. Ряд современных штудий на грани-цах традиционных дисциплин имеет семиотический оттенок, неза-висимо от позиции их авторов. Физик Ю. Вигнер размышляет о ме-ханизме «непостижимой эффективности математики в естественныхнауках». Конечно же, этот вопрос включается в общую проблему того,как знаковые системы обеспечивают действенное поведение челове-ка и познание им мира. Математик Р. Том разрабатывает «теорию ка-тастроф» –– перестроек фазовых портретов динамических систем подвлиянием внешних процессов управления; его список «элементарныхкатастроф» каталогизирует архетипы событий, для выражения кото-рых должны иметься средства в любой знаковой системе, описываю-щей пространственно-временные отношения (и, возможно, не толькопространственно-временные).

Если логика изучает знаковые системы в их отношении к абстрак-ции истинности, то семиотика делает упор на функционирование ре-альных систем, при том что эта реальность a priori может быть неосо-знанной и неэксплицированной. В таком случае сам акт экспликацииможет иметь значительные и неожиданные последствия, подобнопсихоаналитическому сеансу. (В качестве элементарного примера чи-татель может продумать знаковую роль кавычек, обрамляющих «за»и «против» в названии сборника, упомянутого в начале рецензии.)

Роль осознанности, эксплицированности, операциональности вметодологии семиотических исследований очень высока. Семиотикаравняется в этом отношении на структурализм и дескриптивнуюлингвистику, в свою очередь оглядывающуюся на математику. На-сколько это необычно для гуманитарных наук, можно проследить покультуре использования определений, столь характерной для мате-матики. Гуманитарные тексты все еще бывают посвящены долгимспорам на тему о том, что такое «на самом деле» романтизм илидаже фонема. Математик сказал бы просто: «В этой статье фонемойназывается то-то и то-то» –– и приступил бы к изложению результа-

Jacobson R. Coup d’œil sur le Developpement de la Semiotique. Вloomington, .

Чåëîâåê è çíàê

тов своей работы. Какой обычай лучше, автор рецензии не беретсясудить, хотя традиции его науки –– математики –– кажутся ему эффек-тивнее. Так или иначе, развитие семиотики у нас в стране совпалос повышением требований к методике гуманитарного исследования.«Поколение, испытавшее, какой ценой приходится расплачиватьсяза неточность представлений о реальности, сменилось поколением,выше всего ценящим эту точность» (В. В. Иванов, с. ). Дискус-сии относительно этих требований происходили, вероятно, болеевокруг их подразумеваемого символического смысла, нежели вокругих прямой гигиенической ценности: хороший образец неосознанногосемиотического поведения.

В таких условиях книга В. В. Иванова должна рассматриваться непросто как историческое исследование, но как важный конституиру-ющий акт молодой дисциплины. В этой книге семиотика отыскиваетистоки и прецеденты, ощупывает границы своей территории, а чащеобозревает ее с высоты птичьего полета. В отличие от многих семи-отических работ с их жестким планом и венской позиционной нуме-рацией пунктов, подпунктов и подподпунктов, книга В.В.Иванова по-строена как сложная иерархия вихрей разных масштабов, в центре ко-торых находятся люди –– С. М. Эйзенштейн, Л. С. Выготский, М. М. Бах-тин, В. Я. Пропп, Н. Я. Марр, мысли, книги и статьи, неопубликован-ные рукописи, снятые и неснятые фильмы, наброски и черновики,вплоть до семиотического фольклора и легенд.

Все это обусловливает крайнюю трудность систематического обзо-ра содержания книги, и мы ограничимся несколькими набросками.

Первая глава посвящена ранним этапам развития знаковых системи ранним этапам их осознания. Обсуждается генезис человеческогоязыка и письменности, ритуалов, раннего искусства; имена и табу, об-мены, дарения, загадки. В IV главе изложена концепция Ф.де Соссюрао структуре индоевропейского стиха и обсуждаются общие вопросысемиотики текста как одной из единиц высшего уровня в знаковыхсистемах. Центральная часть книги –– главы II и III –– в значительноймере посвящены С. М. Эйзенштейну и его теориям киноязыка и искус-ства вообще.

Внимание к Эйзенштейну как к автору семиотических идей и ак-тивному «субъекту семиозиса» глубоко оправдано. Для темы книгивесьма существенна сама личность рационализирующего художни-ка, провозгласившего тезис о знаковости произведений искусстваи его компонентов, полиглота и эрудита, для которого его штудии неявлялись непосредственной целью, но средством подготовки к основ-ному делу –– системе создания произведения искусства. Эйзенштейн


изучает художественные концепции самых разных народов и эпох,прослеживает механику выразительности в ее опоре на архаиче-ские структуры индивидуального сознания, реконструирует древниеархетипы –– личностные и социальные. Характерно и заслуживаетспециального рассмотрения многоязычие Эйзенштейна даже в егозаписях для себя, вроде следующей стенограммы важной для негомысли: «R[ythm] as presynt[ax] (d’ailleurs partout!)» –– «Ритм как пред-синтаксис (впрочем везде!)» (В. В. Иванов, c. ).

Много места в книге занимает разбор мыслей Эйзенштейна обискусстве, изложенных в его рукописи «Grund-problem» –– «Основнаяпроблема» . В. В. Иванов цитирует следующую формулировку этойпроблемы: «В искусстве происходит „стремительное прогрессивноевознесение по линии высоких идейных ступеней сознания и одно-временно же проникновение через строение формы в слои самогоглубинного чувственного мышления“» (с. ).

Диалектика этих двух противоположно направленных потоков за-ставляет Эйзенштейна обращаться к фактам этнографии, мифологии,теориям бессознательного, всему обширному материалу, показыва-ющему нерасторжимую связь человека с природой и единство егоистории, начиная с самых далеких времен. (Стоит отметить, какуюроль играют эти же эмоциональные механизмы в современном бес-покойстве человечества за окружающую среду обитания. Рациональ-ная экология имеет глубинный иррациональный подтекст.) Удобнопроиллюстрировать этюды Эйзенштейна, вкратце пересказав содер-жание десяти страниц книги В. В. Иванова (§ , глава II «Воплощениемифа», с. ––). Эйзенштейн активно занимается сравнительноймифологией и этнографией после поездки в Мексику ().

В своих наблюдениях над жизнью индейских племен он выделяетпараллелизм между правилами обмена и правилами заключения бра-ков, определяющими социальную структуру общества, что предвос-хищает позднейшие выводы К. Леви-Стросса и Я. Бааля. Работая надпостановкой «Валькирий», Эйзенштейн реконструирует за образамидревнегерманских мифологических героев знаковые первоэлементымифа, такие как вода, огонь, воздух. Он устанавливает исключитель-ную роль символа мирового дерева, предвосхищая разработку этойтемы в более поздних структуралистских исследованиях. Как отмеча-ет В. В. Иванов, параллельные открытия психиатров позднее позволи-ли показать, что «способ изображения дерева –– это средство установ-ления психического склада личности в развитии (от раннего детского

Эта рукопись хранится в ЦГАЛИ, ф. , оп. , ед. хр. ––, ––.

Чåëîâåê è çíàê

возраста) и распаде (при душевной болезни)» (с. ). В тексте далееописаны размышления Эйзенштейна о ритуальной роли дупла деревакак «утробы», о тотемизме, о древесно-растительных метаморфозах,о геометризации растительных форм в орнаментах, а также о связивсего этого с физиогномикой и проблемой привлекательности басен.

По тем же десяти страницам можно ощутить облик всей книги ––яркой, обильной, торопливой. Иногда автор слишком быстро прохо-дит по длинной дороге фактов и сопоставлений, не давая читателюостановиться и продумать ключевые места.

Книга трудна и увлекательна, часто впечатляет лаконизмом изло-жения глубоких идей и проницательностью, местами раздражает ско-роговоркой и необязательностью ассоциаций. В целом она учит ши-роте и щедрости мысли и демонстрирует глубинное единство гума-нитарной и естественнонаучной культуры человечества. Ее следуетпрочесть каждому, кому это единство дорого.

«Это –– любовь»

В году в небольшом американском городе в семье Клары и Дэ-вида Парков родился четвертый ребенок. Девочку назвали Джесси.Ко второму году жизни она стала беспокоить родителей замедленнымразвитием и неконтактностью. Через некоторое время был поставлендиагноз: детский аутизм.

Синдром раннего детского аутизма (от греч.αυτoσ –– сам) был вы-делен и описан в начале -х годов американским психиатром Л. Кан-нером. Его симптоматика возникает не позже двух-четырехлетнеговозраста и характерна прежде всего отсутствием общения с людьми,в том числе с матерью, и крайней изолированностью от внешнегомира. Развитие речи может быть резко замедленным, как это про-изошло с Джесси. Если оно и не задержано, речь аномальна: она ненаправлена на коммуникацию. Аутичный ребенок не терпит измене-ния привычной обстановки и привычного порядка действий, имеетблестящую механическую память, хорошее физическое здоровье. Надвсем его поведением доминирует закрытость от людей. Вот как этовыглядит:

«Крошечное золотистое дитя кружит на четвереньках около пятнана полу в таинственном и самозабвенном восторге. Девочка заливает-ся смехом, но не поднимает глаз. Она не пытается привлечь вниманияк загадочному объекту своего восхищения. Она вообще не видит нас.Она и пятно –– вот все, что существует. И хотя ей уже восемнадцатьмесяцев –– возраст, когда дети трогают, тащат в рот, тянутся, толкают,исследуют, –– она не делает ничего подобного. Она не ходит, не караб-кается по ступенькам, не пытается подтянуться, чтобы достать вещь.Вещи ей не нужны» (с. ).

Это –– внешние диагностические признаки. Никто не знает глу-бинных механизмов детского аутизма. Детство Джесси пришлось навремя, когда знакомство с синдромом Каннера даже в профессио-нальной среде было редким, практические рекомендации родителями педагогам только формировались и были малодоступны.

Рецензия на книгу: Park C. C. The Siege. The First Eight Years of an Autistic Child. Withan Epilogue, Fifteen Years After. Boston, Toronto: Little Brown and Company, . p.Впервые опубликовано: Природа. . . C. ––.

«Эòî –– ëþáîâü»

Дэвид Парк преподавал физику в небольшом колледже, Клараокончила университет. До рождения Джесси она намеревалась за-няться профессиональной деятельностью, когда подрастут дети. Бо-лезнь младшей заставила ее отказаться от прежних планов. После то-го как глубина аномалий стала ясной, родители приняли решение ––не отдавать девочку в специализированное заведение и воспитыватьее в семье (позже и в специальной школе).

Клара Парк принадлежала к поколению «матерей сороковых и пя-тидесятых годов, для которых доктор Спок заменил житейскую муд-рость» (с. ). Это означало, что она и ее друзья не только наблюда-ли за развитием своих детей и делились опытом, но читали книгипо детской психологии, думали над ними и вообще вкладывали в де-ло воспитания все силы сердца и ума –– подчеркиваю, ума и сердца.Бунтующее поколение шестидесятых было воспитано этими матеря-ми и своей эпохой.

Многолетнюю изнурительную работу любви, которую начала Кла-ра Парк, борясь с аутизмом Джесси, и спустя шесть-семь лет описа-ла в своей книге, она назвала осадой. Чтобы понять это слово, мыдолжны взглянуть на Джесси глазами матери и вообразить зачаточ-ное, свернутое, как бутон, сознание маленького человека, укрывшее-ся за невидимыми крепостными стенами, самодостаточное, недоступ-ное для человеческой речи, не поддающееся на приманки мира, егозвуки, закрытое для самых близких.

Пристальные, повседневные, длившиеся долгие годы наблюденияКлары Парк очень ценны для изучения и терапии детского аутизма.В образе аутичной психики, который рисует книга, на первый планвыступают дефекты мотивации –– ребенок ведет себя так, как если быон не хотел развиваться; отсюда повторяющаяся метафора: Джесси ––волшебное дитя из Страны Юности ирландского фольклора. Этотобраз оказался прагматически ценным для формирования стратегииосады аутичного сознания. Но Клара Парк прекрасно понимает (ификсирует это понимание многими наблюдениями и интерпрета-циями), что поражения множественны и затрагивают все сферыпсихики.

В. Е. Каган на основании большого врачебного опыта полагает, чтосиндром Каннера вообще вынуждает выделить общение как специ-альную функцию психики . Возможно, что она поддерживается осо-быми механизмами восприятия, как, например, зрительное распозна-вание человеческих лиц, которое может нарушаться как достаточно

Каган В. Е. Аутизм у детей. Л., .


изолированная функция при редком виде визуальной агнозии (нару-шения процессов узнавания) –– прозопагнозии.

В возрасте около трех лет Джесси научилась складывать из плос-ких частей картинки-головоломки. Дети обычно при этом руковод-ствуются рисунком, целостности которого следует добиться, –– ска-жем, Кота в Сапогах. Но Джесси настолько хорошо чувствовала фор-му, что могла сложить фигуру рисунком вниз. С другой стороны,восприятие самого рисунка было ослаблено или полностью отсут-ствовало. Особенно характерна была ее неспособность завершитьлегкую головоломку из пяти частей, где последним фрагментом былосолнышко с нарисованными глазами. Круглое, почти симметричное,оно не давало ключа к правильному положению своей формой: нужнобыло, чтобы глаза оказались наверху. Этого Джесси не могла по-стичь –– «глаза, лица просто не входили в ее систему значимостей»(с. ).

Многие страницы книги дают материал к обсуждению роли нару-шений межполушарного взаимодействия у детей с синдромом Кан-нера. Создается впечатление об общей пониженной активности доми-нантного (речевого, левого) полушария Джесси при гиперактивациисубдоминантного. Например, при общем крайнем замедлении раз-вития речи, начиная примерно с четырех лет у Джесси развиваетсякомпенсаторное использование мелодий в качестве замены слов.Песенка «Ring around a rosy» («Хоровод вокруг куста»), сопровождаю-щая игру типа хоровода, последовательно становится обозначениемэтой игры, рисунка хоровода в книжке, венка и, наконец, простонарисованного круга. «Мы заметили, что хотя она уже с легкостьюнапевает многие песенки, она никогда не пользуется своими лейтмо-тивами случайно или в роли мелодий. Не пела она их и музыкально,как остальные, но быстро, схематично, функционально –– ровно на-столько, чтобы они могли сыграть свою коммуникативную роль»(с. ).

Словарь Джесси к пяти годам ограничивался тремя-четырьмя де-сятками изолированных слов, но затем стал быстро возрастать –– поКаннеру, это было решающим признаком благоприятного прогноза.На шестом году жизни она стала усваивать новые слова со скоростьюнормального двухлетки, но так и не начала говорить, как нормаль-ный двухлетка. Вся система, порядок приобретения новой лексики,семантические и синтаксические особенности речи отличались отнормы. По проницательному замечанию Клары Парк, Джесси училародной язык, как иностранный, –– еще одно свидетельство правополу-шарности ее психики. (Предполагается, что изучение второго языка


на ранних этапах происходит с большой опорой на субдоминантноеполушарие .)

Ограничения контактности накладывали на ее языковую компе-тенцию особый отпечаток. Джесси без труда усваивала и правильноприменяла слова такого рода, как «дуб», «вяз», «клен». Слова же «сест-ра», «бабушка», «друг», «чужой» были семантически недоступны ейв пять лет, последние два –– и в семь лет. Это не было недоступностьюабстракций вообще –– «треугольник», «четырехугольник» и т. п., до«восьмиугольника», Джесси различала и употребляла безошибочно.Недоступен был круг абстракций, связанных с человеческими отно-шениями. Классический симптом аутизма –– употребление «я» в при-менении к другим лицам, «ты» в применении к себе –– пример такойнедоступности. Нормальный ребенок в своем развитии быстро ми-нует эту стадию, усваивая, что местоимения меняют смысл присмене говорящего, но аутичное сознание надолго задерживается наней. Смысл местоимений «он», «она» и «они» Джесси уловила лишьк восьми годам и с большим трудом.

Другие особенности словоупотребления Джесси, услышанные чут-ким материнским ухом, требуют более тонкой интерпретации. Вотодно наблюдение из многих.

«Маленькие дети произносят слово „плохой“ со всеми оттенкамистраха или гнева. Джесси теперь тоже говорит „плохой“. Но она про-износит это слово со спокойным удовлетворением, как бы помещаяявление в надлежащую категорию. „Плохая банка“, –– говорит она, со-бирая пивные банки на пляже. „Плохая собака“, –– замечает она, раз-глядывая опрокинутую мусорную урну. Джесси не любит собак. Еслипес подойдет слишком близко, она прижмется ко мне; если прыгнет,она захнычет. Но ей и в голову не придет вербализовать свои эмоции.В такой ситуации она не скажет „плохая собака“» (с. ––).

Эта неспособность вербализовать свои эмоции связана с общейнедостаточностью аутоидентификации, процесса формирования сво-его «я». Аутизм с почти лабораторной точностью показывает, что осо-знание себя основано на осознании другого.

Последнее, что мы отметим, –– зачастую повышенные способностиаутичного ребенка в сфере элементарной математики, проявляющи-еся в случае, когда воспитание этому способствует. Пример из жизниДжесси и здесь характерен. Около семи с половиной лет мать начала

См. подробнее: Иванов Вяч. Вс. Чет и нечет. Асимметрия мозга и знаковых систем.М., ; Черниговская Т. В., Балонов Л. Я., Деглин В. Л. Билингвизм и функциональ-ная асимметрия мозга // Семиотика. Труды по знаковым системам. T. . Тарту, .C. ––.


учить ее сложению. «Нуль» Клара не объясняла; это сложное поня-тие возникло поздно в истории цивилизации, и Клара решила, чтоесли без нуля обходились древние греки, то обойдется пока и Джесси.Выяснилось, однако, что Джесси уже слышала о нуле, и возразила:«Нет нуль!» Оказывается, она желала услышать: 0+ 1= 1, что я ейи сообщила. В ответ последовало: «О, мы забыли! Нуль плюс нульравно нуль!» (с. ). В современной психиатрии термины «аутизм»,«аутистическое поведение» используются также в широком смысле,в применении не только к психическим расстройствам, но и для ха-рактеризации черт нормальной психики. Когда Клара Парк вернуласьк преподаванию, оказалось, что воспитание Джесси многое открылоей в ее студентах, нормальных, способных людях, читающих, пишу-щих, исполняющих свои обязанности, но временами столь похожихна Джесси той системой внутренних преград, которая мешает им ра-ботать и жить. Один русский писатель назвал «Воспитанием по докто-ру Споку» свою книгу, мотив которой –– обида на те черты времени,которые показались ему чужими и неуютными. Этот выбор ярлыкаи случаен, и характерен, и достоин сожаления. Аутизм личности на-ходит свои параллели в аутизме семьи, аутизме профессиональнойгруппы, аутизме нации. Невидимые крепостные стены разделяют мирна камеры; слишком многие наши действия добавляют камни в ихкладку; каждый рискует оказаться в одиночке. «Странная Джесси такпохожа на нас» (с. ).

После публикации первого издания в году книга Клары Паркмногократно выходила на разных языках. Мы рецензируем здесьиздание года, дополненное эпилогом «Пятнадцать лет спустя».Джесси двадцать три года; Клара с гордостью сообщает, что онаработает, имеет свой банковский счет и вскоре будет платить налоги,как полноправный гражданин. Кроме того, она успешно занимаетсяживописью, ее работы выставляются и покупаются. Черно-белая ре-продукция «Обогреватель в ванной Валери» –– поп-арт –– вклеена вкнигу и описана несколькими выразительными фразами; мы можемвообразить интенсивное акриловое свечение этой вещи.

Счастливый конец?Конечно, нет. Жизненные истории не кончаются, пока живы их

герои, кончается лишь рассказ. Джесси не стала здоровым человеком.Жизнь, которую она ведет, отличается от жизни, которую ведут еесестры и брат. Счастливый конец?

Послушаем в последний раз Клару Парк.«Позвольте мне высказать просто и прямо общеизвестную истину.

Я, как и все, дышу разреженным воздухом безверия своего века, и я не


хочу сентиментальности. Но худшая сентиментальность из всех –– этопредательство просвещенных, которые не узнают дарованного добра,ибо оно чересчур просто. Итак: не мы выбрали этот жизненный опыт,мы отдали бы все, чтобы избежать его, но он изменил нас и сделалнас лучше. Он дал нам урок, который не берут добровольно, тяжкий,медленный урок Софокла и Шекспира: человек возвышается страда-нием. И этот урок –– дар, полученный от Джесси. Теперь я пишу то,что пятнадцать лет назад написать была бы не в состоянии: если бысегодня я получила право выбора –– принять эту судьбу, со всем, чтоона принесла, или отвергнуть ее горькую щедрость –– я бы раскрылаобъятия ей навстречу, потому что жизнь, открывшаяся всем нам, немогла быть воображена. И я не изменю последнего слова этой книги.Это –– любовь» (с. ).

Новая встреча с Алисой

Пожалуйста, никогда меня не хвали.Я всего лишь доверенное лицо, не более.

Л. Кэрролл

«Алиса в стране чудес» и «Алиса в Зазеркалье» выпущены издатель-ством «Наука» в серии «Литературные памятники». Н. М. Демуровасделала перевод, написала две статьи и подготовила все издание.Оно снабжено примечаниями переводчицы, комментариями М. Гар-днера и дополнениями, которые содержат, в частности, две статьиГ. Честертона, отрывок из книги де Ла Мара, эссе Вирджинии Вульф,работу Ю. А. Данилова и Я. А. Смородинского «Физик читает Кэррол-ла» и многое другое.

Какой внушительный научный аппарат! Не заковывает ли он в тя-желые латы Белого Рыцаря милую девочку в стране смешных неле-пиц?

«Смех встречает нас на пороге обители мысли и приглашает вой-ти. Не каждый сможет войти. Не каждый захочет войти: куда веселеепросто смеяться на пороге» .

Войдем же, досточтимый читатель, –– как писали в старину. (NBТираж издания –– 50 000 экз.; многим придется сначала потолкатьсяу порога.) Чарльз Лютвидж Доджсон, alias Льюис Кэрролл, автор «Али-сы», родился в году и умер в . Он был профессиональнымспециалистом по математической логике (до того, как эта матема-тическая специализация возникла), профессиональным фотографом(до того, как художественная фотография стала профессией) и за-мечательным писателем. Само собой разумеется, что он был крайненеобычным человеком.

А. Сент-Дьердьи, биофизик и поэт, заметил однажды: «Мозг естьне орган мышления, а орган выживания, как клыки или когти. Он

Рецензия на книгу: Кэрролл Л. Приключения Алисы в стране чудес; Сквозь зеркалои что там увидела Алиса, или Алиса в Зазеркалье. М.: Наука, . с. (Сер. Литера-турные памятники). Впервые опубликовано: Природа. . . С. ––.

Кривин Ф. Юмор сказки и юмор действительности // Вопросы литературы. . .

Нîâàÿ âñòðå÷à ñ Аëèñîé

устроен таким образом, чтобы заставить нас принимать за истину то,что является только выгодой».

Грустный мотив «горе уму» под сурдинку, но непрерывно звучитв мировой литературе как реквием по многим сильным интеллектам,так воспринимавшим себя и сдавшимся под ударами тех, кто когтямии клыками пользовался эффективнее. К Кэрроллу относится не этачасть мысли Сент-Дьердьи, а ее продолжение: «И тот, кто логическидоводит мысли до конца, совершенно не заботясь о последствиях, дол-жен обладать исключительной, почти патологической конституцией.Из таких людей выходят мученики, апостолы или ученые, и большин-ство из них кончает жизнь на костре или на стуле –– электрическомили академическом».

Размеренное благополучие Доджсона на академическом стуле бы-ло выстроено и хранимо с тщательностью, вызывавшей многие по-дозрения. Простое сочувствие подсказывает простые разгадки. КогдаАлиса залилась слезами от одиночества, «подумай о чем угодно, ––только не плачь!» –– умоляла Белая Королева, обращаясь едва ли нек своему создателю.

«Алиса» оказалась очень труднопереводимой книгой. В объясне-ниях комментатора нуждаются реалии и быт викторианской Англии,полузабытые на родине и вовсе не известные в других странах. Впро-чем, переводя Данте, также приходится напоминать подробности рас-прей между гвельфами и гибеллинами. Методические чудачества ге-роев отражают английский национальный характер и сопротивляют-ся усилиям найти им эмоциональное соответствие в иноязычном тек-сте. Но столь же трудно воссоздать английского Пушкина или очаро-вательную строфу из «Конька-Горбунка» (пример Д. М. Урнова):

А Данила и Гаврила,Что в ногах их мочи было,По крапиве босикомТак и дуют прямиком.

Наконец, переводчика «Алисы» изводит языковая игра и знаме-нитый кэрролловский «нонсенс». Однако именно этот пласт поэтикиКэрролла оказался наиболее общедоступным. Двадцатое столетие,с его логическим анализом языка, привычкой к необычным соответ-ствиям между теориями и их интерпретациями, к идеям, которыемогут быть верными, лишь если они достаточно безумны, удобрилоблагодатную почву для семян, брошенных Кэрроллом. «Он купил

Цопф Г. Отношение и контекст // Принципы самоорганизации. . С. .


громадную карту, на которой было лишь море и ни клочка земли,и команда очень обрадовалась –– такую карту могли читать все».Эта строфа из «Охоты на Снарка» стоит эпиграфом к четвертойглаве книги американских физиков Р. Стритера и А. Вайтмана. Главаназывается «Некоторые общие теоремы релятивистской квантовойтеории поля». Юмор эпиграфа мгновенно доходит до каждого, безот-носительно к национальной принадлежности.

Н. М. Демуровой мы должны быть благодарны не только за пре-красную русскую «Алису», но за создание целостной концепции прин-ципов ее перевода, без которой адекватная передача текста невоз-можна. Эта концепция объяснена в содержательной и интересной ста-тье. Один из ее центральных моментов –– явное указание на необыч-ную «длину контекста» (термин М. Гаспарова), которую следовалоучитывать переводчику. Трудность его работы сплошь и рядом обу-словлена нелокальностью смысла, который решительно не умещаетсяв границах слова, фразы или даже эпизода.

Кэрролл виртуозно пользуется двумя свойствами языка, которыепосле Ф. Соссюра мы можем обозначить как «произвольность наиме-нований» и «системность». Первое воплощает свободу, второе –– необ-ходимость; мастера узнают по их балансу. Следующие ниже иллю-страции относятся к самым простым случаям.

Несуществующие создания воображения можно назвать как угод-но, например Jabberwocky или Bread-and-butterfly. Но слово «Bread-and-butterfly» включается в систему английской лексики: «butterfly» ––бабочка, «bread-and-butter» –– бутерброд; и затем –– семантики, ан-глийские «бутербродницы» должны питаться слабым чаем со слив-ками, и, конечно, мрут с голоду, не находя такой экстраординарнойеды. Русские «баобабочки» Демуровой вынуждены занимать другуюэкологическую нишу: локальная замена имени влечет сдвиг целогофрагмента текста.

Экспозицией к леденящей душу битве с Бармаглотом (Jabberwocky)служит идиллическая картинка:

’Twas brillig, and the slithy tovesDid gyre and gimble in the wabe.

К сожалению, если не прибегнуть к помощи конгениального иллю-стратора Тенниэла, этот пейзаж при пристальном вглядывании на-чинает колебаться перед глазами: ни одного из слов в его описании,

Стритер Р., Вайтман A. PST, спин и статистика, и все такое. М., .

Нîâàÿ âñòðå÷à ñ Аëèñîé

кроме служебных, нельзя найти в словаре, все они выдуманы Кэррол-лом. Русская версия Д. Г. Орловской

Варкалось. Хливкие шорькиПырялись по наве

на мой слух звучит чуть более тревожно; но как вообще переводитьтакие вещи? Шалтай-Болтай снисходительно объясняет Алисе, что«slithy» означает «lithe» и «slimy» –– «гибкие» и «склизкие»; «хлив-кость» –– это, кажется, как раз то самое качество.

После того как программа перевода Кэрролла сформулирована,возникает возможность ее разнообразных реализаций. Я не сомнева-юсь, что многие читатели будут с наслаждением искать свои русскиеверсии фрагментов этой книги, а со временем появятся ее совер-шенно новые варианты. Можно заметить, например, что в пере-воде Jabberwocky использованы не все лингвистические ресурсы.Шалтай-Болтай мог лукавить; сквозь неологизмы Кэрролла просвечи-вает прагерманский (местами даже праиндоевропейский) корнеслов.Недаром так естественно звучат немецкая и французская версииБармаглота, приведенные в примечаниях. По-разному можно решатьи задачу соотнесенности перевода «Алисы» с русскоязычной литера-турой. Борис Заходер в своем пересказе «Алисы» для детей, местамиочень милом, сдвинул ее в мир волшебной сказки о приключениях«Алиски в Расчудесии». Не нужно забывать, однако, что в одном извариантов книга называлась «Приключения в Подполье» –– с возмож-ностями совсем других коннотаций. Фон для русской Алисы могутсоздавать не только Маршак и «Винни-Пух», но, скажем, В. Хлебни-ков и обэриуты Д. Хармс и А. Введенский. Но как бы то ни было,принципы, предложенные Демуровой, сохраняют свое значение длявсех последующих работ.

Литература о Стране Чудес и ее создателе –– «Алисея и Кэрролли-ада» –– огромна. У каждого профессионала книга вызывает, кажется,все ассоциации, совместимые с его тезаурусом. Литературовед, психо-аналитик, логик, физик, философ немедленно и активно резонируютна материал, предоставляемый текстом этой удивительной фанта-зии. Ее можно анализировать по З. Фрейду, а можно –– по В. Я. Проп-пу и М. М. Бахтину (во второй статье Демурова со сдержанностьюи тактом демонстрирует возможности разных подходов). Кэрроллов-ские штудии с легкостью соотносятся с логико-философской концеп-цией Л. Витгенштейна, а при желании –– со структуралистской ми-фологией К. Леви-Стросса. Американский антрополог К. Кастанеда

Про обэриутов см. с. .


в интересной книге описывает свое ученичество у колдуна дона Хуа-на, индейца племени йаки. В одном из эпизодов герой превращаетсяв ворона (в состоянии наркотического опьянения и после долгогопсихофизического тренинга). Метаморфозы Алисы поразительно сход-ны с описанием Кастанеды.

В нашем издании «Алисы» подобраны удачные образцы такихразмышлений. Данилову и Смородинскому, в частности, принадлежаттонкие замечания о родстве «безумной логики» Кэрролла с логикойсовременной физической теории. Я не хочу лишать читателя удоволь-ствия ознакомиться с ними самостоятельно.

Может быть, самое главное в языковых экспериментах Кэррол-ла –– это настойчивое подчеркивание необходимости отказаться отпривычки обыденного сознания к тому, что высказывания имеютпредустановленный смысл. Кэрролл выявляет фундаментальный актприписывания им содержания, которое становится переменной ве-личиной. Слова могут временно оставаться без значения, а значе-ния –– без адекватных им слов, как улыбка Чеширского Кота. Еслилогика –– это этика языкового поведения ученых, то некоторая зыб-кость означаемых –– существенная часть его эстетики. Возбуждающаянеопределенность значений бывает могучим источником творческойэнергии (для физиков я могу упомянуть фейнмановские интегралыи диаграммы).

На следующий день после того, как ко мне впервые попал восхити-тельный том Кэрролла, на семинаре в ФИАНе был доклад о новой тео-рии сильных взаимодействий. Кварки (я едва не написал «снарки»)удерживаются в мешке вакуума, сглаженного глюонным полем, внекоторого бушуют инстантоны, рождающиеся и умирающие в мнимомвремени.

Кэрроллу это понравилось бы.

Треугольник мысли

Жанр философского диалога, восходящий к Платону и возродив-шийся в эпоху Ренессанса, был почти забыт в прошедшем веке –– какраз тогда, когда идея о диалогическом характере всей человеческойкультуры оказалась центральным моментом психологических и куль-турологических исследований Мартина Бубера и М. М. Бахтина. Соб-ственно говоря, голоса большинства философов и до, и после Платонабыли авторитарны, без всякой претензии на поиск истины в столкно-вении противоположных подходов и различных точек зрения.

Центральная фигура философского диалога –– мудрец; в наше жевремя мудрость систематически заменяется на профессионализм, до-стигаемый в результате обучения. Мудрость представляется врожден-ным качеством, постепенно вызревающим с приобретением жизнен-ного опыта; как таковая, она встречается редко, и еще реже из нееудается извлечь какую-нибудь пользу. Образование –– демократиче-ский суррогат мудрости; при всех своих (эстетических по большейчасти) недостатках, оно превосходит мудрость в одном аспекте: обу-чение создает профессионалов.

Восхитительная книга «Треугольник мысли» была написана (рас-сказана?) мудрыми профессионалами, математиками с сильной склон-ностью к теоретической физике, истории культуры и теории позна-ния. Читать ее надо медленно, возможно, по одному диалогу за раз;ее надо перечитывать, чтобы, например, уловить нить рассуждений,теряющуюся, а затем вновь возникающую в другом контексте черездесяток страниц. Это трудная книга, и для ее полного понимания отчитателя тоже требуется высокий уровень профессионализма.

Участники бесед обсуждают различные образы мира, создаваемыефизиками. Основное содержание этих образов выражается на языкематематики, причем, как мы знаем со времен Галилея, ни на какомдругом языке его выразить нельзя. Но математика как таковая не сво-дится к языку и не в первую очередь является языком, а в той ме-ре, в какой она языком является, семантика этого языка не сводится

Рецензия на книгу: Connes A., Lichnerowicz A., Schutzenberger M. P. Triangle ofthoughts. American Mathematical Society, . Перевод с английского С. М. Львовского.


к какой-то одной физической интерпретации, хотя она и имеет корнив физическом мире.

Ален Конн, профессор в Коллеж де Франс и филдсовский лауре-ат года, сказал в своей речи, открывающей книгу: «...даже еслине стремиться свести каждую науку к ее предмету, то физику, хими-ку, геологу или астроному легко объяснить, над чем он работает: онизучает, на том или ином уровне, структуру и организацию материи.⟨…⟩ С математикой дело обстоит иначе». И далее: «Для начала дис-куссии я бы хотел сразу представить две диаметрально противополож-ные точки зрения на деятельность математиков: точку зрения „плато-нистов“, которые видят себя исследователями „математического ми-ра“, в существовании которого они нимало не сомневаются и струк-туру которого они вскрывают, и точку зрения „формалистов“, скрыва-ющихся за скептическим подходом, согласно которому математика ––это последовательность логических выводов в формальной системеили, в некотором смысле, разновидность рафинированного языка».

Большая часть первых трех диалогов («Логика и реальность»,«Природа математических объектов», «Физика и математика: обо-юдоострое лезвие») посвящена развитию этого тезиса и выяснениюпозиций участников беседы.

Вкратце эти позиции выглядят так. Ален Конн верит в суще-ствующую изначально реальность математических объектов и рас-сматривает аксиоматический метод как средство для исследованияэтой реальности (см. [] –– его другую книгу диалогов). Андре Лих-нерович (умер в Париже в году) далек от полного принятияформалистской философии, но при этом пользуется возможностьюузнать побольше о доводах формалистов (серьезно используя, что и неудивительно, теорему Гёделя о неполноте). Марсель Поль Шютцен-берже (ум. в ) играет скорее роль провокатора, время от времениговорящего черт знает что, чтобы оживить атмосферу:

М. П. Ш.: С моей стороны было бы недопустимой дерзостью выска-зываться после вас двоих. Иногда я поддерживаю ленинистские идеиАлена, а иногда склоняюсь к поддержке сталинистских идей Андре.

А. Л.: Почему сталинистских?М. П. Ш.: Сталинизм отличается от ленинизма добавлением боль-

шой дозы свободной воли; у Ленина, который смотрел на историюмеханистически, этого не было. Он не принимал в расчет свободнуюволю.

С композиционной точки зрения в первых трех главах вводятсяне только основные темы для обсуждения, но и маски персонажей,

Тðåóãîëüíèê ìûñëè

personae (хотя персонажи и не вымышлены и являются реальнымилюдьми) .

В остальных главах ведущей темой является физика. От многихдругих популярных книг эту отличает глубинное понимание того,сколь велик разрыв между физическим миром и теми средствами, спомощью которых мы стремимся его познать; все наши техническиедостижения позволяют лишь навести мост над этой пропастью, но неустранить ее.

В связи с этим уместно будет привести следующее замечание Лих-неровича: «...если сравнить то, что называлось „физикой“ или „мате-матикой“ в XIX веке, с современной физикой, то нас удивят не урав-нения, которые мы выписываем, но псевдорациональные сущности,которые мы конструируем для придания смысла этим уравнениям.Изменился дискурс, а не вид уравнений».

Если говорить именно об уравнениях, то буквально это неверно: свозникновением общей теории относительности и квантовой механи-ки к классическому арсеналу уравнений добавилось много нового.Но при этом бесспорно, что «новая физика» принесла и новые способыизъясняться, в частности, создав в естественном языке многочислен-ные выражения, денотатами которых являются элементы математи-ческого описания реальности, а не сама реальность, в каком бысмысле мы ни были готовы понимать это слово со слишком размытымзначением.

Для примера посмотрим на «амплитуду вероятности» и «принципсуперпозиции» –– два центральных понятия квантовой механики. Ри-чард Фейнман в своих замечательных лекциях предпринял героиче-скую попытку объяснить широкой публике физический смысл этихпонятий, не вдаваясь в их математическое содержание, поскольку он

не мог предполагать, что читатели понимают, что такоеp−1, не гово-

ря уж о формуле Эйлера для eiϕ или понятии комплексного векторно-го пространства. На мой взгляд, эта попытка не удалась, но он сделалвсе, что можно.

Можно привести примеры и из классической физики. См. цитатыиз Максвелла на c. (относительно «терминов» для букв p и q в ана-литической механике), а также постоянно встречающиеся упомина-ния о том или ином лагранжиане (можно было бы написать историю

Книга завершается двумя краткими биографическими справками: про Лихнерови-ча (написана Конном) и про Шютценберже (написана Моше Флато). Внимательномучитателю будет интересно сравнить портреты этих двух замечательных людей с соб-ственными впечатлениями.


теоретической физики, построенную вокруг эволюции этой замеча-тельной абстракции).

Дело осложняется еще и тем, что даже свободное владение форму-лой Эйлера, уравнением Шрёдингера и, скажем, электронной микро-скопией не помогает сформулировать убедительную эпистемологию,но всего лишь вызывает тревожное чувство, что самое интересноенельзя выразить словами –– или, по крайней мере, только словами.

Каждый, кто пишет про науку (включая автора этой рецензии ––см. []), вынужден со вздохом признать это обстоятельство. Книга«Треугольник мысли» замечательна еще и тем, сколь много интерес-ного в ней выражено именно в словах.

Вот обсуждение огня.

М. П. Ш.: ...я бы привел огонь в качестве примера загадочных яв-лений. Огонь совершенно невозможно объяснить. Огонь –– это соеди-нение специфических факторов...

А. Л.: ...я убежден, что у огня нет равных по его роли в историичеловеческого мышления...

М. П. Ш.: Это только один из возможных способов говорить обогне. Это уникальное явление природы, и другие способы тоже будут.Но я хотел бы подчеркнуть, что всякий огонь имеет человеческиемасштабы. Невозможно зажечь огонь размером в одну десятую мил-лиметра.

А. Л.: И с другой стороны, Солнце не является огненным шаром.М. П. Ш.: И с другой стороны, если огонь слишком сильный, то

это уже не огонь, это огненный шторм. Это то, что союзники устро-или в Гамбурге, а затем еще раз в Дрездене. ⟨…⟩ Это довольно ред-кое явление, оно иногда случается во время лесных пожаров. Обычнотемпература бывает 600 или 700 градусов, а тут вдруг подскакиваетдо 1200 или 1300 градусов. Именно поэтому в Гамбурге и Дрезденебыло столько жертв. Английское командование сознательно хотелоустроить огненный шторм.

А вот обсуждение того, в какой степени и в каком смысле общаятеория относительности подтверждается недавними наблюдениямидвойных пульсаров.

М. П. Ш.: Если я правильно понимаю, знания нескольких первыхкоэффициентов Фурье, первых семи коэффициентов, уже достаточно,чтобы определить физические параметры системы. Как только эти па-раметры известны, теория предсказывает остальные коэффициентыФурье; тем самым теорию можно опровергнуть, получив из наблюде-ний любой из этих коэффициентов, что и позволяет теорию проверять.

Тðåóãîëüíèê ìûñëè

А. К.: Именно так: как только 5 кеплеровских параметров изме-рены непосредственно, о них можно забыть. Если теперь измеритьn посткеплеровских параметров (таких, как прецессия перицентра,растяжение времени, вековую вариацию периода), мы получаем nуравнений с двумя неизвестными –– двумя массами, и отсюда полу-чаем n−2 возможные опровержения релятивистской теории тяготе-ния.

Например, для двойного пульсара 1913+16 мы измеряем 3 пост-кеплеровских параметра и тем самым получаем 3 − 2= 1 проверкуобщей теории относительности. Для другого двойного пульсара,1534+ 12, мы измеряем 5 посткеплеровских параметров и получаем5−2=3 новых проверки общей теории относительности.

О языке, музыке, мультикультурализме и квантовых вычислениях:

М. П. Ш.: ...язык начинается скорее с поэзии, чем с грамматики;эвфония играет тут большую роль.

А. К.: Ваша точка зрения совпадает с моей, поскольку я искреннесчитаю, что музыка лежит в самых основах поэзии, так же как и языкна стадии эвфонии. Я думаю, мы можем таким образом научить чело-веческий ум справляться с полифоническими ситуациями, в которыхсосуществуют несколько голосов или несколько состояний, тогда какв нашей обычной логике есть место только для одного.

Наконец, мы возвращаемся к проблеме адаптации, которую необ-ходимо разрешить, чтобы мы смогли понять квантовую корреляциюи квантовое взаимодействие, о которых мы говорили ранее и кото-рые изначально шизофреничны по самой своей природе. Ясно, чтологика будет эволюционировать параллельно с развитием квантовыхкомпьютеров, так же как она эволюционировала параллельно с тео-ретической информатикой. Несомненно, это позволит нам перейтиновые границы и лучше интегрировать математический формализмквантового мира в нашу метафизическую систему.

Это последний абзац последней главы «Размышления о времени»;эта глава и захватывает, и повергает в уныние.

Книга может сыграть важную роль, если она поможет широкимкругам интеллектуалов избежать «искушения безмыслием», о кото-ром писал Джон Вейтман [] в своей тонкой и здравой рецензии накнигу А. Сокаля и Ж. Брикмона [], посвященную критике социально-философских дискуссий, в которых безнадежно запутались некоторыеведущие мыслители Франции и США.

В общем и целом, авторы демонстрируют удачное сочетание здра-вого смысла с его наиболее утонченными продуктами, развиваемыми


в математике и физике, а вовсе не «странную смесь постмодернизмас древним культом харизматического лидера» [].

Такова мудрость профессионалов.

Литература. Changeux J.-P., Connes A. Conversations on Mind, Matter, and Mathematics.

Princeton Univ. Press, .. Sokal A., Bricmont J. Impostures Intellectuelles. Paris: Oldie Jacob, .. Манин Ю. И. Математика и физика (в наст. изд).. Weightman J. The lure of unreason // The Hudson Review. . Vol. , .

P. ––.

Трилогия о математике

Свою науку Реньи идеализирует в двух смыслах этого слова: какидеализируют любимое существо и как идеализируют реальность,слишком обильную, чтобы передать ее во всей полноте.

Книгу открывают и доводят читателя до середины четыре вели-чавых апокрифа, где голос за голосом вступают в беседу Сократ, Ар-химед, Галилей и Паскаль.

Сократ прозревает в неясном будущем чашу цикуты; Архимед спе-шит окончить письмо Досифею из Пелузия с рассказом о своих новыхрезультатах, пока римляне не установили блокаду Сиракуз; Галилеюуже милостиво разрешили жить под домашним арестом после дли-тельных допросов Священной конгрегации.

Паскаль читает Марка Аврелия; «На днях, приводя в порядок кни-ги, я наткнулся на „Размышления“ Марка Аврелия и случайно открылту страницу, где он пишет о двух возможностях: либо мир являетсяогромным хаосом, либо в нем царствует порядок и закономерность;какая из двух взаимоисключающих возможностей реализуется, мыс-лящий человек должен решить сам, –– он, как скала в море, о которуюразбиваются яростные волны, должен оставаться там, куда его забро-сила судьба или случай».

мая года Альфреду Реньи, уроженцу Будапешта, было два-дцать четыре года с небольшим. Вторую послевоенную зиму он про-вел в Ленинграде, в докторантуре у Юрия Владимировича Линника,математика огромной технической силы и широты интересов, поли-глота, писавшего стихи на нескольких языках. Вернувшись на родину,Реньи стал директором Института математики Венгерской Академиинаук, организованного в году, и оставался им до своей смертив году. Он был профессионалом и делал все, что делает профес-сиональный математик в наши дни: доказывал теоремы и публиковалих, читал лекции студентам, вел семинары, выступал перед учителя-ми и школьниками.

Впервые опубликовано: Знание –– сила. . . Реньи А. Трилогия о математике (Диалоги о математике. Письма о вероятности.

Дневник. Записки студента по теории информации). М.: Мир, .


В книгу улеглось то, что для профессионала не обязательно, ––жизнь в более долгом времени, чем своя жизнь и свой век. Для Реньиэто время –– двухтысячелетняя традиция европейской мысли, тради-ция рационалистического гуманизма. В этой традиции органичнавера в доброту разума и разумность добра. В этой традиции мате-матика –– символ спокойного, последовательного и упрямого в своейпоследовательности размышления, которое готово долго выбиратьпостулаты, но затем уже не отступает перед неизбежными вывода-ми из них. И еще раз –– размышления длительного, плоды которогоделают в истории необходимую, хотя не вполне понятную работу.«Начала» Евклида дошли до мальчиков и девочек моего поколенияв изложении школьного учебника Киселева. Но из Евклида выросла«Этика» Спинозы, космология Римана и Эйнштейна, Достоевскийпоминает о нем в лихорадочном споре о совести –– уж совесть-то тутпри чем?

Развалины, которые в очередной раз покрывали половину Евро-пы в году, спустя десятилетие были уже расчищены и застроены.Реньи написал учебник теории вероятностей и был «за выдающиесянаучные, педагогические и организационные заслуги награжден ор-деном Кошута (в золоте)». «Диалоги о математике» были задуманыи написаны между и годом, в Будапеште.

«Архимед. Может быть, ты сочтешь меня наивным, но я надеялся,что мне удасться изменить ход истории. Меня заботят судьбы эллин-ского мира. Мне казалось, что если бы мы могли шире применятьматематику, изобретение, по существу, греческое (а я считаю мате-матику наиболее значительным и, безусловно, самым крупным дости-жением эллинского духа), то, может быть, нам удалось бы спасти эл-линский образ жизни. Теперь я вижу, что время для этого упущено.Римляне захватят не только наши Сиракузы, но и другие греческиегорода. Наше время подходит к концу.

Герон. Я все-таки надеюсь, что наша эллинская культура не по-гибнет: римляне воспримут ее. Посмотри, как они повсюду и во всемпытаются подражать нам...»

Главной областью интересов Реньи, ученого и учителя, была тео-рия вероятностей. Он много размышлял о том, как добиться, чтобыстуденты проникли в смысл ее основных понятий. У теории ве-роятностей есть своеобразный источник трудностей, тех же, чтопри изучении языка, близкого к родному. Каждый начинающий ужеимеет интуитивные представления о том, что такое вероятность,информация, независимость. С этими представлениями нельзя ра-ботать, но их нельзя ломать –– нужно осторожно, за руку, перевести

Тðèëîãèÿ î ìàòåìàòèêå

их в другую понятийную систему, из бытовой в научную. Кроме того,для эффективности последующей прикладной деятельности студенту-вероятностнику нужно помочь воспитать в себе почти артистическоечутье «статистического ансамбля», без которого формальные вычис-ления средних и дисперсий бесмысленны.

И здесь Реньи перевоплощается: вместо лекции профессора мыначинаем читать дневник его слушателя, некоего Бонифация Доната,который прилежно и подробно излагает собственные размышления,навеянные услышанным. Его замечания исполнены здравомыслияи старательности, за строками виден характер.

Иногда слышно, что это не тщательное вживание в роль, а голосавтора, почти бесхитростный.

В «Заметках о преподавании теории вероятностей», не перепору-чая свои мысли уже никому, Реньи скажет попросту: «Изучая теориювероятностей, люди становятся более снисходительными и терпимы-ми к окружающим и, следовательно, с большей легкостью вписыва-ются в жизнь общества».

Поверим в это на мгновение.Книга с любовью написана и с любовью переведена. Профессор

Б. В. Гнеденко, знавший Реньи, рассказывает в предисловии о челове-ке и литераторе, о науке, которой посвящена книга, и о ее истории.Переводчики Ю.Данилов, Д.Гнеденко, Е.Маслова, Д.Саас и А.Крамлив русском тексте передали неспешность и серьезность мысли.

Пространство свободы

Юрий Манин –– математик. Его исследовательские интересы: ал-гебраическая геометрия, диофантовы уравнения, интегрируемые си-стемы, квантовые струны, теория вычислимости, включая кванто-вые вычисления.

Юрий Иванович в последние годы работает в Германии, и предла-гаемая вашему вниманию беседа велась по электронной почте.

–– Юрий Иванович, давайте начнем с такого вопроса. Лет два-дцать назад вы написали в одной из своих статей или книг (увы,не нашел источника –– я был уверен, что это «Доказуемое и недока-зуемое») примерно так: сегодня математика наступает на мир подзаградительным огнем электронных арифмометров. Чем закончиласьта «кампания»? Сейчас такое вряд ли можно было бы написать. Непрокомментируете ли это высказывание с сегодняшних позиций?

–– Я не помню этой фразы, но попробую восстановить умонастро-ение, в котором она могла быть сказана.

В шестидесятые годы бытовал журналистский штамп: «Компью-теры –– усилители человеческого разума». В одной публичной лекциитого времени я просил не забывать, что в той же мере они усиливаютчеловеческую глупость. (Вспомните точную формулу Аркадия Белин-кова: «Глупость –– это не отсутствие ума, а такой ум».)

Коэффициент усиления, обеспечиваемый современными компью-терами, на много порядков выше, доступ к ним намного легче, а ко-личество глупости и жестокости, подвергаемых усилению, не умень-шилось.

–– Компьютерное «усиление разума» сегодня связано с гигантскимростом качества коммуникации –– в частности, научной. Каким об-разом это влияет на прогресс науки в принципиальных вопросах(«прогресс понимания», если угодно)?

–– Давайте посмотрим на нынешний день в исторической перспек-тиве.

Прошло совсем немного времени с тех пор, когда укоренилась ме-тодика научного наблюдения и эксперимента, был создан математи-

Интервью Юрия Манина журналу «Компьютерра», (), января, .

Пðîñòðàíñòâî ñâîáîäû

ческий анализ и приобрела современные черты система общего свет-ского образования, поддержанная книгопечатанием.

Благодаря научному эксперименту, мы научились задавать вопро-сы природе и получать на них ответы, а не придумывать их. Благодаряматематике, мы смогли думать о природе, не будучи слишком связа-ны расплывчатой метафоричностью естественного языка. Благодаряшколе и книгопечатанию, мы передаем эти знания и привычки своимдетям.

К этому следует добавить еще одну неочевидную (или слишкомочевидную) констатацию: нам все это нравится, в этом реализовананаша идея прогресса.

Существуют традиционные общества с высокой гуманитарнойкультурой, которые обошлись бы без научного эксперимента, безсветского образования и без компьютеров, если бы наша западнаяцивилизация им все это не навязывала.

Компьютеры ускорили наше движение по пути, по которому мыуже шли.

Там, где мы уже знали «законы природы», но выведение из нихследствий требовало больших вычислений, компьютеры оказалисьнезаменимы.

Там, где мы должны зафиксировать результаты многих измеренийи наблюдений, чтобы затем размышлять над ними, делать выборки,статистически обрабатывать, –– то же самое. Можно назвать базыданных, связанные с программой «Геном», с исследованиями круп-номасштабной структуры Вселенной, скрининг химических веществна фармакологическую активность, словари и более сложные линг-вистические базы данных.

Наконец, демократический Интернет может вытеснить или пре-образовать книгу и школу, но лишь в той мере, в какой возьмет ихфункции на себя.

Мне кажется, научный прогресс стал быстрее, даже много быст-рее, но не приобрел качественно нового характера.

Понимание остается делом индивидуального сознания и, я бы ска-зал, каждый раз актом личного мужества. Каким образом собраннаяДарвином «база данных» привела его к теории эволюции, мы не зна-ем. Как Эйнштейн, не имея никаких наблюдательных данных, при-думал релятивистскую теорию гравитации, мы не имеем представ-ления. Подобных прорывов, связанных с ростом объема и скоростикоммуникации, я пока не могу назвать.

Однако один футуристический сценарий напрашивается. Можетоказаться, что мы приближаемся к пределу, за которым интересую-


щую нас информацию о природе мы просто не сможем воспринимать,не столько из-за ее объема, сколько из-за величины ее колмогоров-ской сложности. Иными словами, даже в максимально сжатом виде еебудет слишком много. Возможно, что работа генетического аппаратаи мозга уже обречена остаться недоступной человеческому сознаниюв силу этого фундаментального ограничения.

Если мы не захотим отказываться от накопления научного знания,эту задачу придется передать вычислительным машинам. Как они бу-дут автономно работать и что они смогут нам сообщать время от вре-мени?

Это не то что вычислять на суперкомпьютере тома знаков «пи»:у «пи» колмогоровская сложность пустяковая...

–– Тут уж не спросить о компьютерном разуме невозможно! Убе-дительны ли аргументы против возможности такового на основетеорем Гёделя и Тьюринга (задача остановки, диагональный процесс),приведенные, например, Роджером Пенроузом (Roger Penrose) в егоизвестной книге «Тени разума» («Shadows of the Mind»)? Ведь и ней-росеть, и вероятностный компьютер, и даже, кажется, квантовыйкомпьютер в принципе моделируемы на машине Тьюринга –– и значит,если Пенроуз прав, не могут породить искусственный интеллект.Вообще, знаем ли мы сегодня больше, скажем, Раймонда Луллия о том,что такое разум?

–– Теорема Гёделя –– это очень точное, математически точное ут-верждение о дедуктивных системах определенного типа; то же можносказать о теореме Тьюринга.

«Разум» –– слово естественного языка, которое не имеет термино-логического значения ни в одном известном мне контексте. РаймондЛуллий, вероятно, согласился бы с замечанием, что использованиеэтого слова в научной или философской дискуссии есть типичныйпример ошибки, называемой «реификация» –– возникновение из воз-духа предмета, для которого есть слово, материализация означаемогопри произнесении означающего. Это как раз пример того, что я на-звал выше расплывчатой метафоричностью естественного языка.

Я полагаю, что поэтому не может быть никаких научных аргумен-тов ни за, ни против искусственного интеллекта –– мы не условились,о чем говорим.

Ненаучные разговоры, однако, могут быть и занятными, и содер-жательными. Семантическое поле понятия «разум» очень широкое, вчастности, оно имеет, по убыванию масштабов, эволюционный, ци-вилизационный и личностный пласты. Я оставлю в стороне первый:здесь речь идет о проторазуме животных, о возникновении Homo


Sapiens как существа разумного, о том разуме, который Сент-Дьердиназвал «средством выживания, как клыки и когти».

В цивилизационном аспекте я коснусь лишь одного обстоятель-ства, существенного для нашей дискуссии.

Разум занимает совершенно особое место в шкале ценностейлюдей Просвещения: будущее представлялось этим людям «царствомРазума». Даже когда мы не сознаем этого, наши разговоры о разумеокрашены этой интенсивной ценностной установкой.

Любопытна амбивалентность идеи об искусственном интеллектев этой ценностной ауре.

Вера в возможность его создания может рассматриваться как выс-шее достижение человеческого разума на его долгом пути к самопо-знанию. А говоря практически, под это удачное словосочетание мож-но получать крупные гранты, пока и поскольку оно ласкает слух со-временных политиков.

С другой стороны, эту же веру можно расценивать как глубокоезаблуждение вульгарного материализма, в основе которого лежитнеуважение к разуму –– божественной искре, или к разуму –– таин-ственному и чудесному плоду биологической эволюции.

Тьюринг, экспериментируя с идеей разума, занимался его лич-ностным аспектом, и более того, его операционным аспектом. Услов-но говоря, для него разум отождествлялся с некоторыми специфиче-скими видами деятельности. Где-то в его юношеских дневниках естьтакой вопрос: если душа бессмертна, зачем ей вообще воплощаться всмертное тело? И ответ: затем, что только тело способно действовать.

Тьюринг сделал, или, скорее, детально разработал совершенно ге-ниальное открытие. Он обнаружил генетический код хранения и пе-реработки информации. Его биты и элементарные операции, действу-ющие на один-два бита, это мельчайшие мыслимые единицы детер-минированной интеллектуальной деятельности.

Второе озарение Тьюринга –– это выбор слова «машина» и физиче-ской картинки для своего вычислителя: он подчеркнул, что действу-ет материальный объект, хотя и описываемый идеализированно. Вовсех других пионерских разработках того времени центральное ме-сто занимают лингвистические, а не физические абстракции: язык,алгоритм, формальная система.

Тьюринговский анализ интеллекта может быть правильно оценентолько в рамках этой, центральной для него, парадигмы: «Разум естьспецифическая деятельность».

Я не занимался специально обдумыванием позиции Пенроуза.Кроме прочего, кажется, он хочет сказать, что теория классических


автоматов в духе Тьюринга не может хорошо работать в применениик мозгу, который должен быть существенно квантовым устройством.

Относительно вашего замечания, что квантовый вычислитель мож-но имитировать на вероятностном классическом автомате: да, нотолько с экспоненциальным возрастанием потребных ресурсов, па-мяти и времени.

–– Теперь давайте коснемся другой темы, прозвучавшей в вашемответе на мой второй вопрос: какие задачи математики, компью-терных наук, физики, может быть, естествознания в целом, высчитаете наиболее важными –– и наиболее интригующими сегодня?И какие достижения этих наук в последние, скажем, десять лет былисамыми впечатляющими?

–– Я попытаюсь объяснить, на какие вопросы я бы очень хотел самуслышать ответы. Их три.

Первый относится к физике и космологии: верны ли основныеидеи так называемой второй струнной революции, которая пол-ностью изменила теоретическую структуру физики очень высокихэнергий? Если вы заглянете в электронный архив физики высокихэнергий, куда первым делом засылают свои работы все теоретикив этой области (http://arXiv.org), вы обнаружите массу замеча-тельной математики и постоянное повторение нескольких ключевыхслов, как D-branes, dualities, moduli spaces of theories, но никакихобсуждений масс элементарных частиц или констант взаимодей-ствий. Основная задача теоретической физики, завещанная два-дцатым веком двадцать первому, по традиции формулируется какобъединение теории гравитации с квантовой теорией поля. Матема-тический язык теории квантовых струн и мембран сохраняет руди-менты терминологии этого классического периода, но его физическаясемантика радикально изменилась и, к сожалению, не поддаетсяпрямому сравнению с реальностью. С чем мы имеем дело сейчас,с гениальными догадками или с фундаментальными заблуждениями?Математическая красота и плодотворность этих идей поразитель-ны, и харизматическое обаяние творческой личности Эда Виттена(Edward Witten), который инициировал многие из них, неотразимо.И тем не менее, может оказаться, что как физика все это построенона песке...

Второй вопрос касается дарвиновской теории эволюции, а тре-тий –– работы мозга, и формулируются они почти так же, как первый:знаем ли мы уже правильный язык для описания этих процессов, такчто речь идет лишь о построении все более детальной их картины,или же впереди нас ожидает полная смена основных парадигм?


Я попытаюсь объяснить основания для беспокойства. Оба круганаших представлений, об эволюции и о мозге, состоят из двух ком-понентов: очень обширные наблюдательные данные и очень прими-тивные качественные представления о том, как эти штуки могут ра-ботать. Компьютерный век открыл принципиальную возможность до-полнить эти качественные представления количественными оценка-ми, потому что мы научились измерять информацию, как когда-тофизики –– энергию (или, точнее, действие). При всей предварительно-сти нынешних оценок мне кажется, что для переработки тех объемовинформации, с которыми имеют дело эволюция и человеческий мозг,у них не должно хватать ресурсов, причем на много порядков –– еслипринять, что мы правильно понимаем, как они работают.

Подумаем, скажем, о мозге. Мозг животного, грубо говоря, перера-батывает зрительную информацию в двигательную. Зрительной ин-формации очень много, но по своему существу она прекрасно подда-ется параллельной переработке, и этим обычно отговариваются.

Человеческий мозг добавляет к этому язык. Мы уже знаем, какогромны базы данных, содержащие словари и грамматику, как труд-но организовать в них поиск, учитывающий и семантику, и грамма-тику всех уровней, и написать программы, имитирующие порожде-ние и понимание речи. С параллелизмом здесь дело обстоит оченьплохо. Временные параметры элементарных процессов в нервной си-стеме измеряются миллисекундами. Синхронизация отвратительная.Как можно поддерживать языковые алгоритмы в естественном вре-мени на такой «wetware»?

Проще предположить, что мы чего-то очень важного еще не пони-маем, и я был бы счастлив узнать, чего именно.

–– Итак, в XXI веке машины, вероятно, выяснят механизм рабо-ты нашего мозга –– но возможностей мозга не хватит, чтобы понятьэтот механизм... Ваш ответ наводит на мысли о «конце науки» (этозаклинание сейчас мелькает все чаще). С одной стороны –– матема-тика, непостижимо изысканная, но уходящая «в мир призраков» (каксказал лет тридцать назад Рене Том [Rene Thom] о функциональноманализе), с другой –– довольно бесперспективная ситуация с решени-ем перечисленных вами важнейших проблем естествознания. В нача-ле XX века революция в физике оказала огромное влияние на культу-ру в целом. Происходит ли нечто подобное сейчас? На первый взгляд,компьютерная парадигма влияет куда сильнее...

–– Давайте расставим некоторые акценты, не то я рискую бытьневерно понятым.

Коснусь по очереди трех пунктов вашего резюме.


В конец науки я не верю, как не верю в конец истории, царствоРазума и второе пришествие. В частности потому, что человечествоне забывает ничего из однажды придуманного. Если уж выжили лю-доедство, астрология и генералы, то и наука не исчезнет.

Три вопроса, о которых я говорил, я вовсе не называл важнейши-ми проблемами естествознания –– это просто то, что мне бы ужаснохотелось узнать.

Относительно влияния революции в физике на культуру в целомв начале XX века можно говорить долго, культурологическая пробле-матика этого периода вообще очень интересная тема. Вероятно, еелейтмотив –– это кульминация Просвещенческого проекта одновре-менно с началом его распада, на фоне первой волны глобализации(железные дороги, Всемирная выставка, трансокеанские линии, ра-дио).

Но самый интересный сюжет здесь –– это как наука и технологияменяли образ жизни людей вовсе не в тех направлениях, которыеожидались и казались очевидными.

Вот пример, пунктиром. История двадцатого века во многом быласледствием Первой мировой войны. Политически –– это общеизвест-но: война породила социализм в России и национал-социализм в Гер-мании, она оставила пласты взаимной ненависти, взорвавшиеся Вто-рой войной. Но она же окрасила и искусство двадцатого века, натуж-ный взлет оптимистического модернизма и экзистенциальный ужаспотерянного поколения.

Так вот, военные историки замечают, что характер Первой вой-ны был в значительной мере определен железными дорогами. По ста-рой привычке вести войны генералы полагали, что самое главное ––это доставить как можно больше войск и вооружения к полю битвы.Железные дороги были идеальным средством доставки, и огромныеармии застряли непереваренным комом в желудке войны и истории.Когда те, кому повезло, вернулись домой и ощутили зияющие пустотына месте тех, кто не вернулся, тогда двадцатый век и приобрел своелицо.

А ведь железные дороги были построены совсем не для этого...Компьютеры тоже долго развивались вовсе не как новое средство

связи, между тем именно в этой их функции они сейчас завоевываютмир.

Растет поколение, для которого компьютеры и Интернет являютсяповседневной обыденностью с детства. Чем эти ребята будут отли-чаться от моих, и даже ваших сверстников? Вот что страшно интерес-но –– и непредсказуемо. Мой тринадцатилетний внук пишет многого-


лосные музыкальные композиции на компьютере, не получив ровноникакого музыкального образования и не испытывая от этого ника-ких комплексов. Я не знаю, как к этому относиться, но толкую в томсмысле, что компьютеры расширяют пространство свободы. Славно,если так оно и окажется.

Пîëíàÿ áèáëèîãðàôèÿ

ðàáîò Ю.И.Мàíèíà

. О сравнениях третьей степени по простому модулю // ИзвестияАН СССР. Сер. Математика. . T. , . С. ––. English:AMS Translations. Ser. . . Vol. . P. ––.

. Алгебраические кривые над полями с дифференцированием //Известия АН СССР. Cер. Математика. . T. , . С. ––.English: AMS Translations. Ser. . . Vol. . P. ––.

. О модулях поля алгебраических функций // Доклады АН СССР.. T. , . C. ––.

. О матрице Хассе––Витта алгебраической кривой // Известия АНСССР. Сер. Математика. . Т. , . С. ––. English: AMSTranslations. Ser. . . Vol. . P. ––.

. О диофантовых уравнениях над функциональными полями //Доклады АН СССР. . Т. , . С. ––.

. О разветвленных накрытиях алгебраических кривых // Изве-стия АН СССР. Сер. Математика. . Т. , . С. ––.

. К теории абелевых многообразий: Дис. ... канд. физ.-мат. наук.МИАН им. Стеклова. М., . с.

. К теории абелевых многообразий над полем конечной характе-ристики // Известия АН СССР. Сер. Математика. . Т. , .С. ––.

. Замечание о p-алгебрах Ли // Сибирский мат. журнал. . Т. , . С. ––.

. Элементарное доказательство теоремы Хассе // Гельфонд А. О.,Линник Ю. В. Элементарные методы в аналитической теории чи-сел. Гл. . М.: Физматгиз, . с.

. Двумерные формальные абелевы группы // Доклады АН СССР.. Т. , . С. ––.

Пîëíàÿ áèáëèîãðàôèÿ ðàáîò Ю. И. Мàíèíà

. О классификации формальных абелевых групп // Доклады АНСССР. . Т. , . С. ––.

. Геометрические построения с помощью циркуля и линейки //Энциклопедия элементарной математики. М.: Физматгиз, .Т. . Гл. . с.

. О рациональных точках алгебраических кривых над функцио-нальными полями // Известия АН СССР. Сер. Математика. .Т. , . С. ––. English: AMS Translations. Ser. . .Vol. С. ––.

. Теория коммутативных формальных групп над полями конеч-ной характеристики // Успехи мат. наук. . Т. , . С. ––. English: Russian Math. Surveys. . Vol. , . P. ––.

. Доказательство аналога гипотезы Морделла для кривых надфункциональными полями // Доклады АН СССР. . Т. , .С. ––.

. Об арифметике рациональных поверхностей // Доклады АНСССР. . Т. , . С. ––. English: Soviet Math. Dokl. . . P. ––.

. Высота Тэйта точек на абелевом многообразии, ее варианты иприложения // Известия АН СССР. Сер. Математика. . Т. , . С. ––. English: AMS Translations. Ser. . . .P. ––.

. Диофантовы уравнения и алгебраическая геометрия // Труды-го Всесоюзного Математического Съезда. Физматгиз, . Т..P. ––.

. Рациональные точки на алгебраических кривых // Успехи мат.наук. . Т. , . С. ––.

. Moduli fuchsiani // Annali Scuola Norm. Sup. di Pisa. . .P. ––.

. Минимальные модели линейчатых и рациональных поверхно-стей (c Ю. Р. Вайнбергом) // Алгебраические поверхности / Ред.И. Р. Шафаревич (Труды МИАН). . T. . С. ––.

. Алгебраическая топология алгебраических многообразий // Ус-пехи мат. наук. . Т. , . С. ––.


. Рациональные поверхности над совершенными полями // Publ.Math. IHES. . Vol. . P. ––. English: AMS Translations.Ser. . . Vol. . P. ––.

. Дифференциальные формы и сечения эллиптических пучков //Современные проблемы теории аналитических функций. М.:Наука, . P. ––.

. Two theorems on rational surfaces // Simp. Int. di Geom. Algebrica.Roma, . P. ––.

. Рациональные G-поверхности // Доклады АН СССР. . Т. , . С. ––.

. Рациональные поверхности над совершенными полями // Мат.сборник. . Т. , . С. ––. English: Math. USSR Sbornik.. . P. ––.

. Соответствия, мотивы и моноидальные преобразования // Мат.сборник. . Т. , . С. ––. English: Mathematics of theUSSR Sbornik. . Vol. . P. ––.

. Rational surfaces and Galois cohomology //Proc. Moscow ICM. M.:MIR, . P. ––.

. On some groups related to cubic surfaces // Algebraic geometry.Bombay: Tata Press, . P. ––.

. Кубические гиперповерхности I: Квазигруппы классов точек //Известия АН СССР. Сер. Математика. . Т. , . С. ––. English: Math. USSR Izvestia. . . P. ––.

. Лекции по алгебраической геометрии. Вычислительный ЦентрМГУ, . с.

. p-кручение эллиптических кривых равномерно ограниченно //Известия АН СССР. Сер. Математика. . Т. , . С. ––.English: Math. USSR Izvestia. . Vol. . P. ––.

. Hypersurfaces cubiques II: Automorphismes birationnelles en di-mension deux // Inv. Math. . . P. ––.


. Кубические гиперповерхности III: Лупы Муфанг и эквивалент-ность Брауэра // Мат. сборник. . Т. , . С. ––.English: Math. USSR Sbornik. . Vol. , . P. ––.

. Лекции о K-фунцторе в алгебраической геометрии // Успехимат. наук. . Т. , . С. ––. English: Russian Math. Surveys.. Vol. , . P. ––.

. Комментарии к пяти проблемам Гильберта // Проблемы Гиль-берта. М.: Наука, . C. ––, ––, ––.

. Регулярные элементы в группе Кремоны // Мат. заметки. .Т. , . С. ––.

. Тонкая структура высоты Нерона––Тэйта // Мат. сборник. .Т. , . P. ––. English: Math. USSR Sbornik. . .P. ––.

. Лекции по алгебраической геометрии. Ч. I: Аффиные схемы. М.:МГУ, . с.

. Le groupe de Brauer––Grothendieck en geometrie diophantienne //Actes Congr. Int. Math. (Nice, ). Paris: Gauthier––Villars, .T. . P. ––.

. Трехмерные квартики и контрпримеры к гипотезе Люрота(c В. А. Исковских) // Мат. сборник. . Т. , . С. ––.English: Math. USSR Sbornik. . Vol. . P. ––.

. Круговые поля и модулярные кривые // Успехи мат. наук. .Т. , . С. ––. English: Russian Math. Surveys. . Vol. .P. ––.

. Теорема Морделла––Вейля. Дополнение к кн.: Д. Мамфорд. Абе-левы многобразия. М.: Мир, .

. Параболические точки и дзета-функции модулярных кривых //Известия АН СССР. Сер. Математика. . Т. , . С. ––.English: Math. USSR Izvestia // AMS. . Vol. , . P. ––.

. Кубические формы: алгебра, геометрия, арифметика. М.: Наука,. с.


. Высота на семействах абелевых многообразий (с Ю. Г. Зархи-ным) // Мат. сборник. . Т. , . С. ––. English: Math.USSR Sbornik. . ,. P. ––.

. Periods of p-adic Schottky groups (with V. G. Drinfeld) // J. reineangew. Math. . Vol. /. P. ––.

. Периоды параболических форм и p-адические ряды Гекке //Мат. сборник. . Т. , . С. ––. English: Math. USSRSbornik. . Vol. , . P. ––.

. Explicit formulas for the eigenvalues of Hecke operators // ActaArithmetica. . . P. ––.

. Десятая проблема Гильберта // Совр. пробл. мат. . . С. ––.

. Значения p-адических рядов Гекке в целых точках критическойполосы // Мат. сборник. . Т. , . С. ––. English:Math. USSR Sbornik. . Vol. , . P. ––.

. p-адические ряды Гекке мнимых квадратичных полей (c М.М.Ви-шиком) // Мат. сборник. . Т. , . С. ––. English:Math. USSR Sbornik. . Vol. , . P. ––.

. p-адические автоморфные функции // Соврем. пробл. мат. .Т. С. ––. English: Journ. of Soviet Math. . . P. ––.

. Лекции о математической логике. Московский Институт инже-неров электронного машиностроения. . Ч. . с. Ч. . с.

. Cubic Forms: Algebra, Geometry, Arithmetic. Amsterdam: NorthHolland, . p.

. Проблема континуума // Соврем. пробл. мат. . Т. . С. ––.

. Теорема Геделя // Природа. . . С. ––.

. Неархимедово интегрирование и p-адические L-функции Жа-ке––Ленглендса // Успехи мат. наук. . Т. , . С. ––.English: Russian Math. Surveys. . Vol. , . P. ––.


. Скобки Пуассона и ядро вариационной производной в формаль-ном вариационном исчислении (с И. М. Гельфандом, М. А. Шуби-ным) // Функ. анал. и его прил. . Т. , . С. ––. English:Func. Anal. Appl. . Vol. , .

. Свертки рядов Гекке и их значения в целых точках (c А. А. Пан-чишкиным) // Мат. сборник. . Т. , . С. ––. English:Math. USSR Sbornik. . Vol. , . P. ––.

. Уравнения длинных волн со свободной поверхностью И. Законысохранения и решения (с Б. Купершмидтом) // Функ. анал. иего прил. . Т. , . С. ––. English: Func. Anal. Appl. .Vol. , . P. ––.

. A Course in Mathematical Logic. Springer Verlag, . XIII+ p.

. Assioma/Postulato // Enciclopaedia Einaudi. Torino: Einaudi, .Vol. . P. ––.

. Applicazioni // Enciclopaedia Einaudi. Torino: Einaudi, . Vol. .P. ––.

. Человек и знак // Природа. . . С. ––.

. Уравнения длинных волн со свободной поверхностью II: Гамиль-тонова структура и высшие уравнения (с Б. Купершмидтом) //Функ. анал. и его прил. . Т. , . С. ––. English: Func.Anal. Appl. . Vol. , . P. ––.

. Матричные солитоны и векторные расслоения над кривыми сособенностями // Функ. анал. и его прил. . Т. , . С. ––. English: Func. Anal. Appl. Vol. , . ().

. Алгебраические аспекты нелинейных дифференциальных урав-нений // Соврем. пробл. мат. . Т. . С. ––. English: Journ.of Soviet Math. . . P. ––.

. Автодуальные поля Янга––Миллса на сфере (с В. Г. Дринфель-дом) // Функ. анал. и его прил. . Т. , . С. ––. English:Func. Anal. Appl. . Vol. , .

. О локально свободных пучках на CP3 связанных с полями Янга––Миллса (с В.Г.Дринфельдом) // Успехи мат. наук. . Т., .С. ––.

. Construction of instantons (with M. F. Atiyah, V. G. Drinfeld, N. J. Hit-chin) // Phys. Lett. A. . Vol. , . P. ––.


. Instantons and sheaves on CP3 (with V. G. Drinfeld) // SpringerLecture Notes in Math. . Vol. . P. ––.

. A description of instantons (with V. G. Drinfeld) // Comm. Math.Phys. . Vol. . P. ––.

. A description of instantons II (with V. G. Drinfeld) // Proc. of Int.Seminar on the Physics of High Energy and Quantum Field Theory.Serpoukhov, . P. ––.

. Modular forms and number theory // Proc. Int. Cogr. of Math.Helsinki, . Vol. . P. ––.

. Continuo/Discreto // Enciclopaedia Einaudi. Torino: Einaudi, .Vol. . P. ––.

. Dualita (with I. M. Gelfand) // Enciclopaedia Einaudi. Torino: Einau-di, . Vol. . P. ––.

. Divisibilita // Enciclopaedia Einaudi. Torino: Einaudi, . Vol. .P. ––.

. Conservation laws and Lax representation of Benney’s long waveequations (with D. R. Lebedev) // Phys. Lett. A. . Vol. , ––. P. ––.

. Гамильтонов оператор Гельфанда––Дикого и копросоединенноепредставление группы Вольтерра (с Д. Р. Лебедевым) // Функ.анал. и его прил. . Т. , . С. ––. English: Func. Anal.Appl. . Vol. , . P. ––.

. Поля Янга––Миллса, инстантоны, тензорное произведение ин-стантонов (с В. Г. Дринфельдом) // Ядерная физика. . Т. , . С. ––. English: Soviet Journal Nucl. Phys. . Vol. , . P. ––.

. Modular forms and number theory // Proc. Int. Math. Congr. .Helsinki, . Vol. . P. ––.

. Математика и физика. М.: Знание, . с.

. Доказуемое и недоказуемое. М.: Сов. радио, . с.

. Insieme // Enciclopaedia Einaudi. Torino: Einaudi, . Vol. .P. ––.

. Razionale/Algebrico/Transcedente // Enciclopaedia Einaudi. Tori-no: Einaudi, . Vol. . P. ––.

. Новая встреча с Алисой // Природа. . . С. ––.


. Инстантон определяется своими комплексными особенностями(с А. А. Бейлинсоном, С. И. Гельфандом) // Функ. анал. и егоприл. . Т. , . С. ––. English: Func. Anal. Appl. .Т. , .

. Twistor description of classical Yang––Mills fields // Phys. Lett. B.. Vol. , ––. P. ––.

. Уравнения длинных волн Бенни II: Представление Лакса и за-коны сохранения (с Д. Р. Лебедевым) // Зап. научн. сем. ЛОМИ.T. . . С. ––.

. Преобразование Пенроуза и классические поля Янга––Миллса //Теоретико-групповые методы в физике. М.: Наука, . Т. .С. ––.

. Methods of algebraic geometry in modern mathematical physics(with V.G.Drinfeld, I.Krichever, S.P.Novikov) // Math. Phys. Review.Chur: Harwood Academic, . Vol. . P. ––.

. Вычислимое и невычислимое. М.: Сов. радио, . с.

. Линейная алгебра и геометрия (с А. И. Кострикиным). Изд-воМГУ, . с.

. Калибровочные поля и голоморфная геометрия // Совр. пробл.мат. . . С. ––. English: Journal of Soviet Math.

. Hidden symmetries of long waves // Physica D. . Vol. , ––.P. ––.

. On the cohomology of twistor flag spaces (with G. M. Henkin) //Compositio Math. . Vol. , ––. P. ––.

. Expanding constructive universes // Springer Lecture Notes in Comp.Sci. . Vol. . P. ––.

. Simmetria (with I. M. Gelfand) // Enciclopaedia Einaudi. .Vol. . P. ––, Torino, Einaudi.

. Strutture matematiche // Enciclopaedia Einaudi. . Vol. .P. ––, Torino, Einaudi.

. О функционировании естественного языка в научных текстах //Структура Текста-. М.: Наука, . P. ––.

. Mathematics and Physics. Boston: Birkhauser, . p.

. Lo Dimostrable e Indimostrable. Moscow: Mir, . p.


. Нуль-геодезические комплексных пространств Эйнштейна (cИ. Б. Пенковым) // Функ. анал. и его прил. . Т. , . С. ––. English: Func. Anal. Appl. . Vol. , .

. Уравнения Янга––Миллса––Дирака как уравнения Коши–Риманана пространстве твисторов (с Г. М. Хенкиным) // Ядерная физи-ка. . Т. , . С. ––.

. Gauge fields and cohomology of spaces of null-geodesics // GaugeTheories, Fundamental Interactions and Related Results. Birkhauser,. P. ––.

. What is the maximum number of points on a curve over F2? // Journ.Fac. Sci. Univ. Tokyo, . Ser. A. Vol. , . P. ––.

. Замечания об алгебраических супермногообразиях // Алгебра(к -летию О. Ю. Шмидта). МГУ, . С. ––.

. Математика и физика. Перев. на болгар. Софиа: Наука и Изку-ство, . с.

. Трилогия о математике // Знание –– сила. . . С. .

. Flag superspaces and supersymmetric Yang––Mills equations // Arith-metic and Geometry, papers to honor I. R. Shafarevich. Birkhauser,. Vol. . P. ––.

. Суперсимметрия и супергравитация в суперпространстве нуль-супергеодезических // Методы теории групп в физике. М.: Нау-ка, . Т. . P. ––.

. Геометрические идеи в теории поля // Геометрические идеив физике. М.: Мир, . P. ––.

. Тынянов и Грибоедов // Revue des Etudes Slaves. Paris, . T. LV.F. . P. ––.

. Геометрия супергравитации и суперклетки Шуберта // Запискиcем. ЛОМИ. . Т. . P. ––.

. Грассманианы и флаги в супергеометрии // Проблемы соврем.анализа. МГУ, . P. ––.

. Суперклетки Шуберта // Функ. анал. и его прил. . Т. , .С. ––. English: Func. Anal. Appl. . Vol. , . P. ––.


. Новые точные решения и когомологический анализ классиче-ских и суперсимметричных уравнений Янга––Миллса // ТрудыМИАН. . Т. . С. ––.

. Голоморфная супергеометрия и суперполя Янга––Миллса // Совр.пробл. мат. . Т. . С. ––.

. Новые размерности в геометрии // Успехи мат. наук. . Т. , . С. ––. English: Russian Math. Surveys. . Vol. , .P. ––; Springer Lecture Notes in Math. . Vol. . P. ––.

. The inverse scattering transform and classical equations of motion //Nonlinear and Turbulent Processes in Physics, Harwood Academic.Chur, . Vol. . P. ––.

. Линейные коды и модулярные кривые (с С. Г. Влэдуцем) // Совр.пробл. мат. . Т. . С. ––. English: Journal Soviet Math.. . P. ––.

. Некоторые приложения алгебраической геометрии // ТрудыМИАН. . T. . С. ––.

. Калибровочные поля и комплексная геометрия. М.: Наука, . с.

. A supersymmetric extension of the Kadomtsev––Petviashvili hierar-chy (with A.O.Radul) // Comm. Math. Phys. . Vol., . P.––.

. Солнце, бедный тотем // Природа. . . С. ––.

. Geometry unbound // Science. . . P. ––.

. Твисторное преобразование и алгебро-геометрические конструк-ции решений уравнений теории поля (с М. М. Капрановым) //Успехи мат. наук. . Т., . С.––. English: Russian Math.Surveys. . Vol. , . P. ––.

. О высших порядках Брюа, связанных с симметрической груп-пой // Функ. анал. и его прил. . Т. , . С. ––. English:Func. Anal. Appl. . Vol. , . P. ––.

. Критические размерности в теории струн и дуализирующий пу-чок на пространстве модулей суперкривых // Функ. анал. и егоприл. . Т. , . С. ––. English: Func. Anal. Appl. .Vol. , . P. ––.


. The partition function of the Polyakov string can be expressed interms of theta functions // Phys. Lett. B. . Vol. , . P. ––.

. The Mumford form and the Polyakov measure in string theory (withA. A. Beilinson) // Comm. Math. Phys. . Vol. , . P. ––.

. Преобразование Радона––Пенроуза для группы CO(8) и инстан-тоны (с Хоанг Ле Минем) // Известия АН СССР. Сер. Математи-ка. . Т. , . C. ––. English: Math. USSR Izvestia. .(). P. ––.

. Многопетлевое приближение в теории фермионных струн (cМ. А. Барановым, И. В. Фроловым, А. С. Шварцем) // Ядерная фи-зика. . Т., . С.––. English: Sov. Journal Nucl. Phys., . P. ––.

. Расположения вещественных гиперплоскостей и уравнения За-молодчикова (с В. В. Шехтманом) // Методы теории групп в фи-зике. Юрмала, . Т. . С. ––. М.: Наука, . English:Group Theoretical Methods in Physics. Yurmala, . Vol. . P. ––. VNU Sci. Press, Utrecht, .

. Рациональные многообразия: алгебра, геометрия и арифметика(c М. А. Цфасманом) // Успехи мат. наук. . Т. , . С. ––. English: Russian Math. Surveys. . Vol. , . P. ––.

. Cubic Forms: Algebra, Geometry, Arithmetic. nd edition, revisedand completed. Amsterdam: North Holland, . p.

. Bevezetes a kiszamithatosag matematikai elmeletebe. Budapest: Mu-szaki Konyvvkiado, . p. (Перев. на венгер. яз. книги «Вы-числимое и невычислимое»).

. Quantum strings and algebraic curves // Proc. Int. Congr. of Math.Berkeley, ; Providence RI: AMS, . Vol. . P. ––.

. Some remarks on Koszul algebras and quantum groups // Ann. Inst.Fourier. . Vol. , . P. ––.

. Значения дзета-функции Зельберга в целых точках (c А. А. Бей-линсоном) // Функ. анал. и его прил. . Т. , . С. ––.English: Func. Anal. Appl. . Vol. , . P. ––.


. Sheaves of the Virasoro and Neveu-Schwarz algebras (with A. A. Bei-linson, V. V. Shechtman) // Springer Lecture Notes in Math. .Vol. . P. ––.

. A superanalog of the Selberg trace formula and multiloop con-tribution for fermionic string (with M. A. Baranov, I. V. Frolov,A. S. Schwartz) // Comm. Math. Phys. . Vol. . P. ––.

. К проблеме ранних стадий речи и сознания (филогенез) // Ин-теллектуальные процессы и их моделирование. М.: Наука, .C. ––.

. «Это –– любовь» // Природа. . . С. ––.

. «Мифологический плут» по данным психологии и истории куль-туры // Природа. . . С. ––.

. Quantum groups and non-commutative geometry. Montreal Univer-sity Press, . p.

. Neveu-Schwarz sheaves and differential equations for Mumfordsuperforms // Journal of Geometry and Physics. . Vol. , .P. ––.

. Brouwer Memorial Lecture- // Nieuw Arch. Wisk. . Vol.(), ––. P. ––.

. Элементы супергеометрии (с А.А.Вороновым, И.Б.Пенковым) //Совр. пробл. мат. . Т. . С. ––.

. Суперклеточные разбиения суперпространств флагов (с А. А. Во-роновым) // Совр. пробл. мат. . Т. . С. ––.

. Методы гомологической алгебры. Ч. I: Введение в теорию ко-гомологий и производные категории (с С. И. Гельфандом). М.:Наука, . с.

. Gauge Field Theory and Complex Geometry. Springer Verlag, . p.

. Гомологическая алгебра (с С.И.Гельфандом) // Совр. пробл. мат.Т. . . с.

. Arrangements of hyperplanes, higher braid groups, and higher Bru-hat orders (with V. V. Schechtman) // Advanced Studies in PureMath. Academic Press, . Vol. . Algebraic Number Theory.P. ––.


. Rational points of bounded height on Fano varieties (with J. Franke,Yu. Tschinkel) // Inv. Math. . Vol. , . P. ––.

. Multiparametric quantum deformation of the general linear super-group // Comm. Math. Phys. . Vol. , . P. ––.

. Determinants of Laplacians on Riemann surfaces // Conformal In-variance and string theory (Poiana Brasov, ). Boston, MA: Aca-demic Press, . P. ––.

. Reflections on arithmetical physics // Conformal Invariance andstring theory (Poiana Brasov, ). Boston, MA: Academic Press,. P. ––.

. The formalism of left and right connections on supermanifolds (withI. B. Penkov) // Lectures on Supermanifolds, Geometrical Methodsand Conformal Groups. World Scientific, . P. ––.

. Strings // Math. Intelligencer. . Vol. , . P. ––.

. Письмо в редакцию // Известия АН СССР. Cер. Математика.. Т. , . English: Math. USSR Izvestia. . Vol. , .P. ––.

. Linear Algebra and Geometry (with A. I. Kostrikin). Gordon andBreach, . p.

. Elementary Particles: Mathematics, Physics and Philosophy (withI. Yu. Kobzarev). Dordrecht: Reidel, . p.

. Sur le nombre des points rationnels de hauteur bornee des varietesalgebriques (with V. V. Batyrev) // Math. Annalen. . Vol. , ––. P. ––.

. Non-standard quantum deformations of GL(n) and constant solu-tions of the Yang––Baxter equation (with E. E. Demidov, E. E. Mukhin,D. V. Zhdanovich) // Progress of Theor. Phys. Supplement. .Vol. . P. ––.

. Quantized theta-functions Common trends in mathematics and quan-tum field theories (Kyoto, ) // Progress of Theor. Phys. Supple-ment, , . P. –.

. Теория чисел (с А. А. Панчишкиным) // Совр. пробл. мат. .Т. .

. Mathematics as metaphor // Proc. of ICM. Kyoto, . Vol. II.P. ––. The AMS and Springer Verlag.


. Three-dimensional hyperbolic geometry as ∞-adic Arakelov geome-try // Inv. Math. . Vol. , . P. ––.

. Quantum Groups // Nederl. Acad. Wetensch. Verslag, Afd. Natuurk.. Vol. . P. ––.

. Topics in Non-commutative Geometry. Princeton University Press,. p.

. Notes on quantum groups and quantum de Rham complexes //Teoreticheskaya i Matematicheskaya Fizika. . Vol. , .P. ––.

. Архетип Пустого Города // Arbor Mundi / Ред. Е.М.Мелетинский.. . С. ––.

. Notes on the arithmetic of Fano threefolds // Comp. Math. .Vol. , . P. ––.

. Points of bounded height on del Pezzo surfaces (with Yu. Tschin-kel) // Comp. Math. . Vol. . P. ––.

. Homological Algebra (with S. I. Gelfand) // Enc. of Math. Sci.Springer Verlag, . Vol. . p.

. Gromov-Witten classes, quantum cohomology, and enumerative ge-ometry (with M. Kontsevich) // Comm. Math. Phys. . Vol. , . P. ––.

. Lectures on zeta functions and motives (according to Deningerand Kurokawa) // Columbia University Number Theory Seminar,Asterisque. . Vol. , . P. ––.

. Number Theory I. Fundamental Problems, Ideas and Theories (withA. Panchishkin) // Enc. of Math. Sci. Vol. . Springer Verlag, . p.

. Generating functions in algebraic geometry and sums over trees //The Moduli Space of Curves / Ed. by R. Dĳkgraaf, C. Faber, G. vander Geer. Progress in Math. Birkhauser, . P. ––.


. Problems on rational points and rational curves on algebraicvarieties // Surveys in Differential Geometry. Int. Press, . Vol. .P. ––.

. Quantum cohomology of a product (with M. Kontsevich, Appendixby R. Kaufmann) // Inv. Math. . Vol. . ––. P. ––(Remmert’s Festschrift).

. Quantum groups and algebraic groups in noncommutative geome-try // Quantum Groups and their Applications in Physics / Еd. byL. Castellani and J. Wess, Proc. of the Int. School of Physics „EnricoFermi“. Amsterdam: IOS Press, . P. ––.

. Distribution of rational points on Fano varieties // Publ. RIMSKokyuroku . Analytic Number Theory, . P. ––.

. Automorphic pseudodifferential operators (with P. B. Cohen andD. Zagier) // Algebraic Aspects of Integrable Systems (in memoryof Irene Dorfman) / Ed. by A. S. Fokas, I. M. Gelfand, Birkhauser.Boston, . P. ––.

. Stacks of stable maps and Gromov–Witten invariants (with K. Beh-rend) // Duke Math. Journ. . Vol. , . P. ––.

. Higher Weil––Petersson volumes of moduli spaces of stable n-pointedcurves (with R. Kaufmann, D. Zagier.) // Comm. Math. Phys. .Vol. , . P. ––.

. Selected Papers // World Scientific Series in th Century Mathemat-ics. Vol. . Singapore: World Sci., . xii+ p.

. Methods of homological algebra (with S. I. Gelfand, translation of) // Enc. of Math. Sci. Vol. . Springer Verlag, . Algebra V.xv+ p.

. Mordell––Weil Problem for cubic surfaces // Advances in the Math-ematical Sciences––CRM’s Years / Ed. L. Vinet. P. ––; CRMProc. Amer. Math. Soc. Lecture Notes. Amer. Math. Soc. Providence,RI, . Vol. .

. Semisimple Frobenius (super)manifolds and quantum cohomologyof Pr (with S. A. Merkulov) // Topological Methods in NonlinearAnalysis. . Vol. , . P. –– (Ladyzhenskaya’s Festschrift).

. Ватикан, осень // Природа. , . С. ––.


. Gauge Field Theory and Complex Geometry. Second Edition (withAppendix by S. Merkulov). Springer Verlag, . XII+ p.

. Linear Algebra and Geometry (with A. I. Kostrikin). Paperback Edi-tion; Gordon and Breach, . ix+ p.

. Элементарные частицы (с И. Ю. Кобзаревым). М.: Фазис, . с.

. Sixth Painleve equation, universal elliptic curve, and mirror of P2 //Geometry of Differential Equations / Ed. by A. Khovanskii, A. Var-chenko, V. Vassiliev. Amer. Math. Soc. Transl. (). Vol. . P. ––.e-print alg-geom/.

. Relations between the correlators of the topological sigma-modelcoupled to gravity (with M. Kontsevich) // Comm. Math. Phys. .Vol. , . P. ––. e-print alg-geom/.

. Stable maps of genus zero to flag spaces // Topological Meth-ods in Nonlinear Analysis. . Vol. , . P. ––; (Moser’sFestschrift). Corrections. . Vol. . P. . e-print math.AG/.

. Interrelations between mathematics and physics // Seminaires etCongres. Soc. Math. de France. , . P. ––.

. Truth, rigour, and common sense // Truth in Mathematics / Ed. byH. G. Dales and G. Oliveri. Oxford: Clarendon Press, . P. ––.

. Three constructions of Frobenius manifolds: a comparative study //Asian Journal Math. . Vol. , . P. –– (Atiyah’s Fest-schrift). e-print math.QA/.

. Weak Frobenius manifolds (with C. Hertling) // Int. Math. Res.Notices. . . P. ––. e-print math.QA/.

. The work of Maxim Kontsevich // Notices of the AMS. Jan. .P. ––.

. Homological algebra (with S. I. Gelfand). Springer Verlag, . p.

. Frobenius manifolds, quantum cohomology, and moduli spaces //AMS Colloquium Publications. Providence, RI, . Vol. . xiii+ p.


. Classical computing, quantum computing, and Shor’s factoringalgorithm // Seminaire Bourbaki. Vol. /; Asterisque. .Vol. . Exp. , . P. ––. e-print quant-ph/

. Invertible Cohomological Field Theories and Weil–Petersson volumes(with P. Zograf) // Ann. Ist. Fourier. . Vol. , . P. ––.e-print math.AG/

. New moduli spaces of pointed curves and pencils of flat connections(with A. Losev) // Fulton’s Festschrift, Michigan Journ. of Math.. Vol. . P. ––. e-print math.AG/

. Mathematics as profession and vocation // Mathematics: Frontiersand Perspectives / Ed. by V. Arnold et al. AMS, . P. ––.

. Рациональные кривые, эллиптические кривые и уравнения Пен-леве // Студенческие чтения МК НМУ. Вып. . М.: МЦНMО, .С. ––.

. Mathematics: recent developments and cultural aspects // Scienceand the Future of Mankind. Proceedings, Pontifical Ac. Sci. Vatican,. P. ––; Max Planck Research, Sci. Mag. of the Max PlanckSociety. . . P. ––.

. Composition of points and Mordell-Weil problem for cubic surfaces(with D. Kanevsky) // Rational Points on Algebraic Varieties / Ed. byE. Peyre, Yu. Tschinkel (Progress in Mathematics). Basel: Birkhauser,. Vol. . P. ––. e-print math.AG/

. Theta functions, quantum tori and Heisenberg groups // Letters inMath. Physics. . Vol. , . (Special issue, EuroconferenceM. Flato. Part III). P. ––. e-print math.AG/

. Mirror symmetry and quantization of abelian varieties // Moduli ofAbelian Varieties / Ed. by C. Faber et al. Progress in Math. Vol. .Birkhauser, . P. ––. e-print math.AG/

. Modules and Morita theorem for operads (with M. Kapranov) // Am.Journal of Math. . Vol. , . P. ––. e-print math.QA/.

. Moduli, Motives, Mirrors // European Congress of Mathematicians.Barcelona, . Vol. . Progress in Math. Vol. . Birkhauser, .P. ––. e-print math.AG/


. Holography principle and arithmetic of algebraic curves (withM. Marcolli) // Adv. Theor. Math. Phys. . Vol. , . P. ––.e-print hep-th/

. Пространство свободы / [Интервью] // Компьютерра. . (). С. ––.

. Continued fractions, modular symbols, and non-commutative geom-etry (with M.Marcolli) // Selecta math. New ser. . Vol.. P.––. e-print math.NT/

. Triangle of Thoughts (review of the book by A. Connes, A. Lichne-rowicz, M. P. Schutzenberger) // Notices of the AMS. March, .P. ––.

. Многообразия Фробениуса, квантовые когомологии и простран-ства модулей. М.: Факториал, с.

. Methods of homological algebra. Second edition (with S. Gelfand) //Springer Monographs in Mathematics. Berlin: Springer Verlag, .xx+ p.

. Unfoldings of meromorphic connections and a construction ofFrobenius manifolds (with C. Hertling) // Frobenius Manifolds / Ed.by C. Hertling, M. Marcolli. Wiesbaden: Vieweg & Sohn Verlag, .P. ––. e-print math.AG/

. Extended modular operad (with A. Losev) // Frobenius Manifolds /Ed. by C. Hertling and M. Marcolli. Wiesbaden: Vieweg & SohnVerlag, . P. ––. e-print math.AG/

. Functional equations for quantum theta functions // Publ. Res. Inst.Mat. Sci. Kyoto. . Vol. , . P. ––. e-print math.AG/

. Multiple zeta-motives and moduli spaces ¯M0,n (with A. Goncha-rov) // Compos. Math. . Vol. , . P. ––. e-print math.AG/

. Real multiplication and noncommutative geometry // The legacy ofNiels Henrik Abel / Ed. by O. A. Laudal and R. Piene. Berlin: SpringerVerlag, . P. ––. e-print math.AG/

. Moduli stacks ¯Lg,S. // Moscow Math. Journal. . Vol. , .P. ––. e-print math.AG/


. (Semi)simple exercises in quantum cohomology (with A. Bayer) //The Fano Conference Proceedings / Ed. by A. Collino, A. Conte,M. Marchisio. Universita di Torino, . P. ––. e-print math.AG/

. Georg Cantor and his heritage // Algebraic Geometry: Methods,Relations, and Applications: Collected papers dedicated to thememory of Andrei Nikolaevich Tyurin. Proc. V. A. Steklov Inst. Math.Moscow. Vol. . MAIK Nauka/Interperiodica, . P. ––.e-print math.AG/

. Некоммутативная геометрия и квантовые тета-функции // Гло-бус. Записки мат. семинара МУН. . Т. . С. ––.

. Проблема Морделла––Вейля для кубических поверхностей //Глобус. Записки мат. семинара МУН. . Т. . С. ––.

. F-manifolds with flat structure and Dubrovin’s duality // Advancesin Math. (M. Artin’s Fest). . Vol . P. ––. e-print math.DG/

. Introduction to modern number theory (with A. A. Panchishkin). ndedition, revised and expanded // Encyclopaedia of MathematicalSciences. Berlin: Springer-Verlag, . Vol. . xv+ p.

. Von Zahlen und Figuren // Geometrie au XXe siecle. Histoire ethorizons / Ed. J. Kouneiher, D. Flament, Ph. Nabonnand, J.-J. Szcze-ciniarz. Paris: Hermann, . P. ––. e-print math.AG/

. Iterated Shimura integrals // Moscow Math. Journal. . Vol. , . P. ––. e-print math.AG/

. Iterated integrals of modular forms and noncommutative modularsymbols // Algebraic Geometry and Number Theory. In honor ofV. Drinfeld’s th birthday / Ed. V. Ginzburg. Progress in Math.Vol. . Boston: Birkhauser, . P. ––. e-print math.NT/.

. Manifolds with multiplication on the tangent sheaf // RendicontiMat. Appl. Ser.VII. . Vol.. P.––. e-print math.AG/

. The notion of dimension in geometry and algebra // Bull. of theAmerican Math. Soc. . Vol., . P.––. e-print math.AG/


. Stability Conditions, wall-crossing and weighted Gromov––WittenInvariants (with Arend Bayer). p. e-print math.AG/

. Generalized operads and their inner cohomomorhisms (with D. Bo-risov). p. e-print math.CT/

. Lectures on modular symbols. p.

. Mathematical knowledge: internal, social and cultural aspects //Mathematics and Culture / Ed. by C. Bartocci and P. Odifreddi. .Vol. . Introductory Chapter. p. e-print math.HO/

. Modular shadows (with M. Marcolli). e-print math.NT/