1

Рассеяние на PT-симметричных δ-потенциалах

Галимзянов Р. М.

Физико-технический институт АН РУз

“Актуальные проблемы теоретической и ядерной физики” , НУУз, 25 - 26 октября 2013 г.

Ташкент - 2013

2

Структура доклада

• Введение• Квантовая задача рассеяния на δ-потенциалах • Проблема собственных значений • Численное моделирование солитона НУШ на

РТ потенциале• Выводы

3

Использование комплексных потенциалов имеет давнюю история, - они, например, использовались в квантовой теории для фено-менологического описания различных ядерных реакций.

Самое первое Взрыв интереса к системам с PT-симметричным гамильтонианом, наблюдаемый в последние годы, был вызван работой Bender (PT-Symmetric Quantum Mechanics Phys. Rev. Lett., 80, (1998) 5243), которому предшествовала важная работа математика Caliceti (Perturbation theory of odd anharmonic oscillators Commun. Math. Phys. 75, 51-66 (1980)), где автор развил теорию возмушения ангармонического осциллятора с чисто мнимой ангармоничностью.

Бендер рассмотрел PT-симметричные Гамильтонианы видаH = р2 + x2 (ix)ε . Оказалось, что их спектр дискретен и вещественен,

что является следствием РТ-симметрии. Это позволило ему усомниться в одном из постулатов квантовой механики о том, что операторы, ставящиеся в соответствие каждой физической величине должны быть эрмитовыми.

По определению РТ-симметричные операторы являются неэрмитовыми и формулировка канонической квантовой механики, по мнению Бендера, должна быть расширена, заменой условия эрмитовости на условие РТ-симметрии.

Введение

4

Это и вызвало резко повышенный интерес к задачам с РТ симметрией.

Прежде чем идти дальше, сделаем несколько замечаний по нашей терминологии.

1) Мы рассматриваем одномерные системы. 2) Под РТ-симметрией понимается инвариантность по отношению к

одновременному обращению времени и изменению четности прстранства.

P: – изменение четности: x => -x, p => -p;T: – обращение времени x => x, p => -p, i => -i.3) Определение РТ-симметричного собственного состояния φn(x) РТ φn(x) = φ*

n(-x) = φn(x)

Введение

5

В данной работе основы квантовой механики не затрагиваются и рассматривается решение задачи рассеяния для уравнения

Iψt (x,t) = -1/2ψxx(x,t) + VPT(x) ψ (x,t) - γ|ψ (x,t) |2ψ (x,t),

которое может описывает динамику различных физических систем,- например, плотность конденсата, огибающую электромагнит-ного поля (при t<=>x). При γ=0 по форме оно совпадает с уравнением Шредингера. Положительная мнимая часть в потенциале соответствует поглощению поля, а отрицательная – источнику полей. Одной из причин интереса является необычная динамика процессов в системах с PT-симметрией, где вследствие неэрмитовости (наличие источника и поглотителя поля) не соблюдаются некоторые законы сохранения.

Здесь мы рассмотрим простейшую линейную задачу (γ=0) рассея-ния на δ-потенциалах, раскрывающую основные особенности систем с PT-симметрией.

PT-симметричный комплексный потенциал: VPT(x) = Vs(x) + i Va(x) Vs(-x) = Vs(x), Va(-x) = -Va (x)

Рассеяние на δ-потенциалах

6

Рассеяние на δ-потенциалах

V(x)

eikx + Be-ikx eikx + F eikx

Область взаимодействия

Стационарное уравнение Шредингера

-1/2ψ (x)xx + [-iβδ(x+d) + αδ(x) + iβδ(x-d)] ψ (x) = Eψ(x),

E = k2 /2

7

Рассеяние на δ-потенциалах

iβδ(x-d)

eikx + Be-ikx C-eikx + D-e-ikx C+e-ikx + D+eikx eikx + F eikx

-d 0 +d

I II III IV

-iβδ(x+d)

-αδ(x)

Vs(x) = -αδ(x), Va(x) = -iβδ(x+d) + iβδ(x-d)

Другая запись проходящей волны eikx + F eikx = T eikx ,

Рассеяние на δ-потенциалахРассеяние на δ-потенциалах

8

Рассеяние на δ-потенциалах

Сшивка волновых функций

Пусть x=x0 , тогда ψ(x0+ε)= ψ(x0-ε).

ψx(x0+ε) - ψx(x0-ε) =

e-ikd + Beikd = C-e-ikd + D-eikd

ik(C-e-ikd - D-eikd ) – ik(e-ikd - Beikd ) = -2iβ(e-ikd + Beikd )

C- + D- = C+ + D+

ik(-C+ + D+) – ik(C- - D-) = -2α(C- + D-)

C+e-ikd + D+eikd = Teikd

ik Teikd– ik(- C+e-ikd + D+eikd ) = 2iβ Teikd

0

0)(

x

xdxxV

9

Рассеяние на δ-потенциалах

Решая эти 6 уравнений относительно B, C+/-, D+/- , T найдем

Амплитуда рассеяния

Амплитуда прохождения

)2exp())cos()sin()(sin(4

)1))(cos()sin()(sin(4

ikdk

kdkkdkdk

ik

kkdkkdkd

kB

)2exp())cos()sin()(sin(4

ikdk

kdkkdkdk

ik

ikT

10

Рассеяние на δ-потенциалахрезультаты расчетов

R = |B|2 , P = |1+F|2

V(x) = -αδ(x), B = -α/(α+ik) , T = ik/(α+ik)

B ≡ F, 1 + F = T, 1 = |B|2 + |1+F|2 = |B|2 + |T|2

V(x) = -iβδ(x) , B = - β/(β+k) , T = k/(β+k)

V(x) = -iβδ(x+d) + iβδ(x-d)

k = 0 : R = 1, P = 0k = +β : R = 0, P = 1

V(x) = -iβδ(x+d) + αδ(x) + iβδ(x-d)

k = α : B = -α/(α+ik) , T = ik/(α+ik)

11

Связанные состояния

Спектр связанных состояний определяется полюсами амплитуды рассеяния B

При E < 0 (вспомним, что E = k2/2) вводим новую переменную κ= -ik. Тогда собственные значения будут определяться нулями выражения

Это же выражение будет получено, если с самого начала решать задачу на собственные значения.

)2exp())cos()sin()(sin(4

)1))(cos()sin()(sin(4

ikdk

kdkkdkdk

ik

kkdkkdkd

kB

0))()()((4

)2exp()( 2

2

dcshdshdshd

12

Связанные состояния

Комплексные собственные значения

Re(E) = -1/2[Re(κ)2 - Im(κ) 2],

Im(E) = - Re(κ)*Im(κ)

Область значений параметров α,β , где собственное значение E = 0 задается следующим соотношением между параметрами:

αd = 4 (βd)2 / (1 + 4(βd)2

Здесь d – расстояние между потенциалами

13

Связанные состояния

14

Связанные состояния

Волновые функции при различных значениях параметров

РТ-симметричный случай

α = 0.75, β = 0.5,

k = 0.6273462 (E=-0.197)

Нарушение РТ-симметрии

α = 0.75, β = 0.9,

k = 0.1253+0.1110i

(E=-0.0017-0.0014i)

15

Связанные состояния

Волновые функции при различных значениях параметров

Локализованное резонансное

состояние

α = 0.4, β = 0.5,

k = 0.7464393 - 2.0771768i

(E=1.8787459+1.5504864i)

Состояние с чисто

Положительной энергией

α = 0.2, β = 0.535,

k = 0.6322792i

(E=+0.2)

16

Рассеяние солитона НУШ на потенциале

iψt + 1/2ψxx - [-iβδ(x+d) + αδ(x) + iβδ(x-d)] ψ + |ψ|2ψ = 0

v = 0.5, α = 0.6, β = 0

17

Рассеяние солитонов

v = 2, α = 0.6, β = +/-0.5

18

Рассеяние солитонов

v = 0.1, α = 0.5, β = +/-0.5

19

Рассеяние солитонов

v = 0.2, α = 0.2, β = -0.5

20

Выводы

• Решена квантовая задача рассеяния на РТ-симметричном потенциале, составленном из δ-потенциалов

• Получена область значений параметров потенциала, при которых система РТ-симметрична (собственные значения вещественны)

• Получено решение при положительной энергии с разными амплитудами рассеяной и падающей волны

• При численном моделировании рассеяния солитона на РТ потенциале показана неравнозначность падения солитона на РТ-потенциал слева и справа

•

21

Солитон НУШ

•

22

Рождение комплексных собственных значений при изменении β

α = 0.2• Физическим состояниям с правильной ассимптотикой |ψ| => 0

при |x| => ¥ соответствуют значения k>0.

23