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Dr. Dietmar Hildenbrand

Technische Universität Darmstadt

Fachbereich Informatik

Geometrische Algebra:Geometrische Algebra:Eine neue, elegante und effiziente Eine neue, elegante und effiziente Methode fMethode füür viele Maschinenbauthemenr viele Maschinenbauthemen

TU Darmstadt,TU Darmstadt, 28.01.201128.01.2011

28.01.2011 | Technische Universität Darmstadt | Computer Science Department | Dietmar Hildenbrand | 2

Dietmar Hildenbrand

� Diplom in Informatik an TH Darmstadt

� Positionen in der Industrie

� Promotion an der TU Darmstadt

� DFG-Forschungsprojekt im Bereich Geometric Algebra Computing

„Beschleunigte Auswertung von Algorithmen in geometrischer Algebra durch automatische Compilierung in rekonfigurierbare Recheneinheiten“

� Zusammenarbeit mit Arbeitsgruppe von Prof. Koch


Was für ein mathematisches System müsste es für das Engineering geben?

� Ein mathematisches System, wo es bisher sehr viele unterschiedliche gibt (Vektoralgebra, Proj. Geometrie, Quaternionen …) und damit� Einfacheres Erlernen

� Kein Übersetzen zwischen verschiedenen Systemen

� …

� Einfache, geometrisch intuitive, visuelle Entwicklung von Algorithmen für viele Bereiche des Engineering

� Kompakte Beschreibung

� Robuste Implementierung

� Performante Implementierung


Beispiel für Geometrische Algebra

� a,b sind Kugeln, mit denen man

direkt rechnen kann

� a ^ b� beschreibt den Schnitt von a und b

� repräsentiert einen Kreis


Beispielrechnung in Geometrischer Algebra

� Inverse Kinematik eines einfachen Roboters� p0 und p2 bekannt

� Bewegung in der Ebene

� Berechne p1

� …


Überblick

� unsere Anwendungen

� Einführung in die Geometrische Algebra,

� Beispiel: Inverse Kinematik eines einfachen Roboters

� Simulation der Molekulardynamik mit Methoden der Geometrischen Algebra

� Der Stuttgarter Fahrsimulator mit Methoden der Geometrischen Algebra (Florian Seybold, Höchstleistungsrechenzentrum Stuttgart)


TUD Spotlight „Geometrische Algebra“


Was ist “GA Computing”?

� Technologie an der Schnittstelle zwischen Mathematik, Informatik und Engineering

EngineeringEngineering

InformatikInformatikMathematikMathematik GA


Geometric Algebra Computing

Ausdehnungslehre

Grassmann

Clifford Algebra

Clifford

(Konforme) GA

Hestenes

Parallel Computing

Plattformen

Geometric

Algebra

Computing

2000 …

1882

1862

2001

Single Prozessor

Plattformen1980 …


GirlsDay 22.04.2010


Unsere Anwendungen

GA GA ComputingComputing

RobotikRobotik

Geometrische AlgebraGeometrische Algebra

GraphikGraphikVisionVision ……


Anwendungsbeispiel

� Computeranimation/ Virtual Reality

[[TolaniTolani et al. 2000]et al. 2000]


Anwendungsbeispiel

� Approximation von geometrischen Objekten in Punktwolken aus Laserscans


Anwendungsbeispiel

� Registrierung von Multichannel-Images

� Verallgemeinerung der Fourier-Transformation


Anwendungsbeispiel

Bewegung eines Roboters

Geometrisch intuitiver Algorithmus in geometrischer Algebra:

[Craig]


Anwendungsbeispiel

� Finite Elemente Solver� Kompakte Ausdrücke für

� Geschwindigkeiten

� Kräfte

� die rotationelle und lineare Anteile beinhalten

[Elmar Brendel et al]


Anwendungsbeispiel

� Molekular-Dynamik

� Zusammenarbeit mit dem Höchstleistungs-Rechenzentrum Stuttgart


Ziel der geometrischen Algebra

� möglichst direkteUmsetzung aus dergeometrischenVorstellung heraus


Unser Ziel

� Kombination� Eleganz der mathematischen Sprache

� Hohe Performance der Implementierung


Eigenschaften von geometrischer Algebra

� geometrische Intuitivität� Einfachheit� Kompaktheit� Robustheit� Vereinheitlichung mathematischer Systeme� Vektoralgebra� Komplexe Zahlen� Projektive Geometrie� Quaternionen� Pauli-/Dirac-Matrizen� …

� Direktes Rechnen mit geometrischen Objekten wie Kugeln, Kreisen, Ebenen


Beispiel: Schnitte von geometrischen Objekten

� a,b sind Kugeln, mit denen man

direkt rechnen kann

� a ^ b� beschreibt den Schnitt von a und b

� repräsentiert einen Kreis


Beispiel: Schnitt von Kugel und Gerade


Beispiel: das innere Produkt

� a,b 3D-Vektoren

-> Skalarprodukt


Abstände in Geometrischer Algebra

Eine Formel für

� Abstand von 2 Punkten

� Abstand zwischen Punkt und Ebene

� liegt ein Punkt innerhalb oder ausserhalb einer Kugel ?


Winkel in Geometrischer Algebra

Eine Formel für Winkel zwischen

� 2 Geraden

� 2 Ebenen

� 2 Kreisen

� …


Einordnung der (5D) konformen geometrischen Algebra


Basisvektoren

� Die 5 Basisvektoren der 5D konformen geometrischen Algebra


Punkt als spezielle Kugel

� Punkt

3D-Vektor Skalarprodukt

� Kugel


Ebene als spezielle Kugel

� Kugel

� Ebene


Gerade als spezieller Kreis

� Kreis (a^b^c)

� Kreis -> Gerade

( )


Geometrische Basis-Operationen

� Rotation um L (durch den Ursprung)

� Rotor

= Quaternion

� Anm.: die Gerade muss nicht durch den Ursprung gehen -> Rotor beschreibt Rotation um beliebige Achse


Transformationen in Geometrischer Algebra


Screw Motion

� Auch Geschwindigkeiten und Kräfte lineare und rotationelle Anteile in einem Ausdruck


CLUCalc

� Software-Paket, um� mit geometrischer Algebra zu

rechnen� die Ergebnisse zu visualisieren

� Oberfläche� Editor-Fenster� Visualisierungs-Fenster� Ausgabe-Fenster

� Freier Download über www.CluCalc.info


CLUCalc

� C-ähnliche Skript-Sprache

� 1 zu 1 – Beziehung von Formeln und Code

� Freier Download der Beispiel-Skripte: http://www.gris.informatik.tu-darmstadt.de/~dhilden/


Beispiel: Inverse Kinematik eines einfachen Roboters mit 5 Freiheitsgraden

� Einfache und intuitive Operationen� mit Objekten wie Kugeln

oder Ebenen

� Äusseres Produkt „^“ zum Schneiden von Objekten

� Inneres Produkt für die Bestimmung der Winkel

� …

CLUCalc

Freier Download über www.CluCalc.info


Was ist “GA Computing” zusammenfassend?

� Neues Forschungsgebiet� Vereinfacht viele Aufgabenstellungen im Engineering� Schnelle Umsetzung von Ideen

� Passt gut zu neuen parallelen Rechnerarchitekturen

� Für Studenten interessant:� Fast unbegrenzte Anzahl von Themen/Anwendungsgebieten� Schnell an der Spitze der aktuellen Forschung

� Für Professoren interessant:� Studenten lassen sich leicht motivieren� Bessere Einsichten in eigenes Forschungsgebiet� Schneller neue Forschungsergebnisse


CLUCalc

� Visuelle, interaktive Entwicklung

� Eingabe-Sprache von Gaalop


Gaalop

� interpretiert geometrische Algebra –Algorithmus� Hoher mathematischer Level (CLUCalc)

� Kompakte Algorithmen

� generiert optimierte Implementierung� Einfachste arithmetische Ausdrücke

� Robuste Ausdrücke


Basis: Eurographics-Paper 2006, Wien

� " Competitive runtime performance for inverse kinematicsalgorithms using conformal geometric algebra "

� Dietmar Hildenbrand, Daniel Fontijne, Yusheng Wang, Marc Alexa and Leo Dorst

� Erster Nachweis, dass ein Algorithmus in GA schneller sein kann als ein herkömmlicher Algorithmus


Gaalop

Symbolische VereinfachungSymbolische Vereinfachung

Geometrische Algebra AlgorithmusGeometrische Algebra Algorithmus

IR (IR (intermediateintermediate representationrepresentation))

CC FPGAFPGAOpenCLOpenCLCLUCalcCLUCalc ……

Sequentielle PlattformenSequentielle Plattformen Parallele Plattformen Parallele Plattformen

……


OpenCL

� http://de.wikipedia.org/wiki/OpenCL

� Neuer Industrie-Standard für heterogene Systeme


OpenCL-Workshop


Gaalop GCD for OpenCL

…OpenCL Code

##pragmapragma gcdgcd beginbegin

GA code (CLUCalc)

##pragmapragma gcdgcd endend

…OpenCL Code



…OpenCL Code


GA code (CLUCalc) OpenCL


…OpenCL Code



…OpenCL Code


GA code (CLUCalc) OpenCL


…OpenCL Code

CLUCalc Code wird mit Hilfe von Gaalop GCD als OpenCL Code in das Programm integriert


Gaalop GCD for OpenCL …

� … ist verfügbar für Windows und Linux.

� Anwendungs-Beispiel: Molekulardynamik …


Anwendung: einfache Molekular-Dynamik

� (in sich statische) Moleküle aus mehreren Atomen

� Anziehungs- und Abstossungskräfte zwischen allen Atomen

� Gut geeignet für parallele Berechnung


Kräfte zwischen den Atomen

� Lennard Jones Potenzial

www.wikipedia.de



� die Lennard Jones Kraft� entspricht dem negativen Gradienten des Lennard Jones-Potenzials

� und ergibt den Vektor

in Abhängigkeit vom Abstand zwischen zwei Atomen

� Alle Kräfte (und Drehmomente) eines Moleküls können zu einer Net Force aufsummiert werden

� mit F=m*a ergibt sich die Beschleunigung des Moleküls



� Konventionelle Velocity Verlet Integrations-Methode

www.wikipedia.de

Anm.: diese Schritte müssen zweimal pro Molekül ausgeführt werden� für die Translation� für die Rotation



� Velocity Verlet in konformer Geometrischer Algebra (CGA)

CGA integriert Translation und Rotation in einem Ausdruck

Florian Seybold (HLRS)



� Velocity Verlet in konformer Geometrischer Algebra (CGA)

Florian Seybold (HLRS)

CGA integriert Translation und Rotation in einem AusdruckCLUScript-Code der Schritte 3. und 4.

// input values..// temporary valuesw1_t_dt_1 = (am23 - (I_3 - I_2) * avel2_t * avel3_t) / I_1;w1_t_dt_2 = (am13 - (I_1 - I_3) * avel3_t * avel1_t) / I_2;w1_t_dt_3 = (am12 - (I_2 - I_1) * avel1_t * avel2_t) / I_3;w1_t_dt = e1 * w1_t_dt_1 + e2 * w1_t_dt_2 + e3 * w1_t_dt_3;// final values?V1_t_dt = einf * v1_t_dt - e1^e2^e3 * w1_t_dt;?V0_t_dt = V0_t_05dt + 0.5 * V1_t_dt * dt;


Solver Konzept

� 3 Teile

1. Verlet Zeitintegrations-Schritt 1 (pro Molekül)

� aktualisiert Position und Orientierung der Moleküle

� N Berechnungen für N Moleküle

2. Berechnung der Potenzial-Kräfte

� Aktualisiert Kräfte und Drehmomente jedes Moleküls

� n x (n-1) Berechnungen für n Atome

3. Verlet Zeitintegrations-Schritt 2 (pro Molekül)

� aktualisiert lineare und Rotations-Geschwindigkeit der Moleküle

� N Berechnungen für N Moleküle


OpenCL Solver-Konzept

CPU OpenCL enabled GPUInitialization

Loop

Upload Data

Kernel Call

Kernel Call

Kernel Call

Download Data

Visualization (optional) �

Verlet Step 1 – N threads

Compute Potential Forces - n threads

Verlet Step 2 – N threads


Ergebnisse

�Energie-Erhaltung – Numerische Stabilität


Performance-Ergebnisse

� Four Core Processor + CUDA + OpenCL Runtime


Literatur

� Interaktives CLUCalc-Tutorial� Script / Course notes

� Einfache Beispiel-Scripts von meiner Homepage


Vielen Dank …

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