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Rette perpendicolarie parallele

1. Rette perpendicolari

Definizione, esistenza e unicita

RETTE PERPENDICOLARI

Due rette incidenti si dicono perpendicolari se, incontrandosi, formano quattro

angoli retti (fig. 13.1).

In simboli, per indicare che una retta r e perpendicolare

a una retta s si scrive: r?s.

Si puo parlare anche di perendicolarita tra segmenti o

tra semirette, intendendo sempre riferirsi alle rette che

li contengono. Per esempio, due segmenti AB e CD si di-

cono perpendicolari se la retta AB e perpendicolare alla

retta CD.

Figura 13.1

Consideriamo ora un punto P e una retta r e poniamoci il seguente problema: e sem-

pre possibile determinare una retta passante per P e perpendicolare a r?

La risposta e affermativa: un procedimento che permette di costruire, con riga e com-

passo, la perpendicolare e indicato nella prossima costruzione.

COSTRUZIONE 13.1 Retta passante per un punto e perpendicolare a una retta data

Costruire una retta passante per un punto P e perpendicolare a una retta assegnata.

I passi della costruzione sono analoghi, sia nel caso in cui P appartenga alla retta, sia che non vi appartenga.

n1 Sia P un punto

ed r una retta.n2 Con centro in P,

tracciamo un arco di

circonferenza che

interseca r in due

punti A e B.

n3 Con centro inA e poi

in B, tracciamo due

archi di circonferen-

za, aventi lo stesso

raggio, che si interse-

cano inC.

n4 La retta PC e perpendi-

colare ad AB.

a. Il punto P appartiene alla retta

n1

P r

n2

PA B

r

n3

P

A

C

B

r

P A

C

B

r

n4

b. Il punto P non appartiene alla retta

P

r

n1 P

A B r

n2 P

A B

C

r

n3

P

C

rA B

n4

532

TemaD13

STRUMENTI DIGITALI

APPROFONDIMENTI

RISORSEIN GEOGEBRA

VIDEOLEZIONI

ESERCIZI INTERATTIVI

GLOSSARIOMULTIMEDIALE

SCHEDAPER IL RECUPERO

Figure dinamiche

Costruzione 13.1

Per quale motivo la retta PC individuata tramite la precedente costruzione risulta per-

pendicolare alla retta r?

1. Nel primo caso (P 2 rÞ il triangolo ABC risulta, per costruzione, isoscele sulla base

AB e, sempre per costruzione, il segmento CP risulta la mediana relativa alla base AB

del triangolo ABC. Poiche la mediana relativa alla base di un triangolo isoscele e an-

che altezza, ne segue che la retta PC e perpendicolare ad AB e, quindi, alla retta r.

2. Nel secondo caso ðP =2 rÞ il triangolo ABC risulta ancora, per costruzione, isoscele

sulla base AB e, sempre per costruzione, risultano congruenti i due triangoli APC e

BPC (per il terzo criterio): di conseguenza AbCCP ffi B bCCP, ossia la semiretta CP e biset-

trice di A bCCB. Poiche la bisettrice dell’angolo al vertice di un triangolo isoscele e an-

che altezza, anche in questo caso si puo concludere che la retta PC e perpendicola-

re alla retta r.

Si potrebbe anche dimostrare che la perpendicolare condotta da un punto a una

retta e unica.

Asse di un segmento

La nozione di perpendicolarita consente di definire nuove figure geometriche.

ASSE DI UN SEGMENTO

Dato un segmento, si chiama asse del segmento la retta perpendicolare al seg-

mento e passante per il suo punto medio.

Due punti A e B, tali che l’asse di AB e la retta r, si dicono simmetrici rispetto alla

retta r: per esempio sono simmetrici rispetto alla retta r i due punti A e B in fig. 13.2.

Proiezioni ortogonali

PROIEZIONE DI UN PUNTO SU UNA RETTA

Dati una retta r e un punto P, il punto d’intersezione tra la retta r e la perpendi-

colare condotta da P a r si chiama proiezione (ortogonale) del punto P su r o

piede della perpendicolare condotta da P a r (fig. 13.3).

H

P

proiezione di P su r

r

Figura 13.3

H

A

P

r

Figura 13.4

Il segmento che congiunge un punto P con la sua proiezione H su una retta r e il seg-

mento di minima lunghezza fra tutti i segmenti che hanno un estremo in P e uno su r:

consideriamo, infatti, sulla retta r un punto A qualsiasi, diverso da H (fig. 13.4). Il seg-

mento PA e l’ipotenusa del triangolo rettangolo PHA, quindi e maggiore di PH, che e

un cateto.

Per questo motivo si da la seguente definizione di distanza di un punto P da una retta

(dove il termine «distanza» e da intendersi nel significato di «percorso piu breve»).

DISTANZA DI UN PUNTO DA UNA RETTA

Si definisce distanza di un punto da una retta la lunghezza del segmento che ha

per estremi il punto stesso e la sua proiezione sulla retta.

Unita 13 Rette perpendicolari e parallele

533

asse

A M

r

B

Figura 13.2

Si chiama proiezione di un segmento AB su di una retta r il segmento formato dalle

proiezioni su r di tutti i punti di AB: per esempio, in fig. 13.5 abbiamo rappresentato

in rosso le proiezioni di alcuni segmenti sulla retta r disegnata.

A

A' B' r

B

C

F

D

C'

D'

F'E ≡ E'

Figura 13.5

2. Rette parallele

Alcune definizioni

Sai gia certamente dai tuoi studi precedenti che due rette prive di punti d’intersezio-

ne si dicono parallele. Si ammette che due rette siano parallele anche quando coinci-

dono.

RETTE PARALLELE

Due rette si dicono parallele se non hanno punti di intersezione oppure se coin-

cidono.

Per indicare che due rette r ed s sono parallele si scrive: r k s.

Possiamo anche parlare di parallelismo tra segmenti o tra semirette, intendendo sem-

pre riferirci alle rette che li contengono. Per esempio, due segmenti AB e CD si dicono

paralleli se la retta AB e parallela alla retta CD.

Date due rette parallele distinte r ed s, l’intersezione tra il semipiano che ha come ori-

gine r e che contiene s e il semipiano che ha come origine s e che contiene r si chiama

striscia di lati r ed s (fig. 13.6).

s

striscia

r

Figura 13.6

L’assioma della parallela

Ci poniamo ora il seguente problema, analogo a quello che ci siamo posti nel paragra-

fo precedente a proposito delle rette perpendicolari: data una retta r e un punto P, esi-

ste sempre una retta passante per P e parallela a r?

Ricorderai che all’analoga domanda per le rette perpendicolari abbiamo risposto affer-

mando che esiste sempre una retta passante per P e perpendicolare a r, e che tale retta

e unica. Sfruttando proprio questi risultati, e possibile provare che, data una retta r,

esiste certamente una retta passante per P e parallela a r:

se il punto P appartiene alla retta r, la retta passante per P e parallela a r e la retta r

stessa;

se il punto P non appartiene alla retta r, possiamo costruire la retta parallela a r

passante per P seguendo la procedura indicata nei passi della seguente costru-

zione.

534

Tema D Le nozioni di base della geometria

Esercizi p. 548

In simboli

r k s

mr \ s ¼ B _ r � s

Esistenza della retta passante per un punto e parallela a una retta data COSTRUZIONE 13.2

TEOREMA 13.1

Due rette perpendicolari alla stessa retta sono parallele.

IPOTESI r ? n, s? n (fig. 13.7)

TESI r k s (fig. 13.7)

P

Q

nr

s

Figura 13.7

Nella dimostrazione di questo teorema, utilizzeremo un particolare schema di ragiona-

mento, detto dimostrazione per assurdo, che si puo cosı illustrare:

DIMOSTRAZIONE

Se, per assurdo, le due rette r ed s avessero un punto di intersezione Q; allora r ed s sa-

rebbero due rette distinte, passanti per Q, e perpendicolari a n (fig. 13.7): il che e assur-

do per l’unicita della perpendicolare (vedi il Paragrafo 1). Dobbiamo percio escludere che

le rette r ed s possano avere qualche punto in comune e concludere, di conseguenza,

che r ed s sono parallele.

Ora che abbiamo dimostrato l’esistenza di una retta passante per P e parallela a r, per

analogia con l’analogo problema circa la perpendicolare, sembrerebbe ragionevole

pensare di poter dimostrare anche l’unicita della parallela. La ricerca di questa dimo-

strazione ha occupato per piu di 2000 anni i matematici e la sorprendente conclusio-

ne a cui si e giunti e che l’unicita della parallela condotta da un punto a una retta data

non puo essere dimostrata a partire dagli assiomi che abbiamo fin qui assunto e dai

teoremi che ne abbiamo dedotto. Pertanto, per continuare la nostra costruzione ra-

zionale della geometria assumendo l’unicita della parallela, dobbiamo introdurre un

nuovo assioma.

n1

P

n

r

Conduciamo da P la retta n, perpendi-

colare a r (tale retta esiste per quanto

mostrato nel paragrafo precedente).

P

n

r

s

n2

Conduciamo da P la retta s, perpendicolare

a n (anche tale retta esiste per quanto mo-

strato nel paragrafo precedente).

La retta s passa per P per costruzione ed e

parallela a r in forza del seguente teorema.

Si suppone chela tesi del teorema

sia falsa.

)

Sulla base di tale assunzione si fannodelle deduzioni le quali portano a unacontraddizione, che puo consistere peresempio in un risultato in contrasto conl’ipotesi stessa del teorema, oppure con

un assioma o con un teoremaprecedentemente dimostrato.

)

Si deduce che latesi non puo esserefalsa, dunque deve

essere vera.


535

ASSIOMA 13.1 Assioma della parallela (o quinto postulato di Euclide)

Per un punto P non appartenente a una retta r si puo tracciare un’unica retta parallela

a r .

La relazione di parallelismo

Date tre rette r, s e t, si potrebbe dimostrare che la relazio-

ne di parallelismo gode delle seguenti proprieta:

riflessiva: r k r

simmetrica: se r k s, allora s k r

transitiva: se r k s e s k t, allora r k t

b

ca d

Data una retta, tutte le rette a essa parallele si dicono ave-

re la stessa direzione della retta data.

L’insieme delle infinite rette che hanno una stessa dire-

zione si dice fascio improprio di rette (fig. 13.8). Figura 13.8

3. Criteri di parallelismoSupponiamo che due rette non coincidano: allora esse saranno parallele se e solo se

non hanno punti in comune. Ma come fare a controllare se quest’ultima condizione

e verificata? Immaginiamo di poterci «muovere» lungo le due rette: non potremmo

mai portare a termine la ricerca di eventuali punti d’intersezione perche le rette si

estendono indefinitamente. Il problema va quindi affrontato da un punto di vista di-

verso: la soluzione sta nell’esaminare gli angoli che le due rette formano quando sono

tagliate da una retta incidente a entrambe, che viene chiamata trasversale.

Angoli formati da due rette tagliate da una trasversale

Come primo passo, introduciamo alcune definizioni. Consideriamo due rette r ed s e

una trasversale t. Le due rette r ed s, tagliate dalla trasversale t, formano 8 angoli. Si

danno dei nomi particolari alle diverse coppie di angoli che si vengono a formare, a

seconda della loro posizione rispetto alle tre rette r, s e t. La terminologia e riportata

nelle didascalie alle figure della seguente tabella.

Angoli alterni interni ed esterni Angoli corrispondenti Angoli coniugati interni ed esterni

1 2

Coppie di angoli alterni interni: (3, 5) e (4, 6)

Coppie di angoli alterni esterni: (1, 7) e (2, 8)

3

5

7 8 r

s

t

4

6

1 2

Coppie di angoli corrispondenti: (1, 5), (2, 6), (3, 7) e (4, 8)

3

5

7 8

4

6

r

s

t

1

Coppie di angoli coniugati interni: (3, 6) e (4, 5)

Coppie di angoli coniugati esterni: (1, 8) e (2, 7)

3

5

8

4

6

2

7 r

s

t

Criteri di parallelismo

Ora possiamo ritornare al problema originario e dimostrare il primo teorema che lega

il parallelismo tra due rette a particolari proprieta degli angoli che le rette formano

quando vengono tagliate da una trasversale.

536


Dalla storia

L’assioma della parallela

viene spesso chiamato

«quinto postulato diEuclide» perche esso era il

quinto postulato negli

Elementi di Euclide. In

realta, Euclide ne diede unaformulazione diversa,

anche se equivalente. La

formulazione moderna edovuta al matematico

inglese John Playfair

(1748-1819), che la riprese

a sua volta da Proclo (Vsecolo d.C.).

Esercizi p. 549

TEOREMA 13.2

Se due rette tagliate da una trasversale formano una coppia di angoli alterni interni

congruenti, allora le due rette sono parallele.

IPOTESI � ffi � (fig. 13.9)

TESI r k s (fig. 13.9)

s

r

A

t

B

α

!

s

r

A

P

t

B

α

!

Figura 13.9 Figura 13.10

DIMOSTRAZIONE

Supponiamo, per assurdo, che la retta r e la retta s non siano parallele, cioe che si in-

contrino in un punto, che chiameremo P (fig. 13.10).

Allora nel triangolo APB che si verrebbe a formare l’angolo esterno � sarebbe congruen-

te (per ipotesi) all’angolo interno �, contraddicendo il teorema 12.7 (primo teorema

dell’angolo esterno).

Dal momento che, supponendo la tesi falsa, siamo giunti a una contraddizione, dob-

biamo concludere che la tesi e vera, cioe che r k s.

Mediante l’assioma della parallela si potrebbe dimostrare anche l’inverso del prece-

dente teorema, che ci limitiamo a enunciare.

Inverso del teorema 13.2 TEOREMA 13.3

Se due rette sono parallele, allora, tagliate da una trasversale, formano coppie di ango-

li alterni interni congruenti.

IPOTESI r k s (fig. 13.11)

TESI � ffi �, ffi � (fig. 13.11)

s

r

A

t

B

α

γ

δ

!

Figura 13.11

I teoremi 13.2 e 13.3 si possono allora fondere nella forma «se e solo se».

Fusione dei teoremi 13.2 e 13.3 TEOREMA 13.4

Due rette sono parallele se e solo se, tagliate da una trasversale, formano coppie di

angoli alterni interni congruenti.

Osserva ora le figure nella tabella a pagina seguente; in esse e spiegato perche la con-

gruenza di una coppia di angoli alterni interni equivale:

alla congruenza di una coppia di angoli alterni esterni;

alla congruenza di una coppia di angoli corrispondenti;

alla condizione che una coppia di angoli coniugati siano supplementari.


537

Angoli alterni esterni congruenti Angoli corrispondenti congruenti Angoli coniugati supplementari

Gli angoli alterni interni α e � sono congruenti se e solo se lo

sono gli angoli alterni esterni α' e �': infatti α' e �' sono opposti al vertice di α e �.

α'

�'

α �

Gli angoli alterni interni α e � sono congruenti se e solo se lo

sono gli angoli corrispondenti α e �': infatti �' e � sono opposti al vertice.

α'

�'

α �

Se due angoli α e � alterni interni sono congruenti, allora da α + �' ≅ π

segue � + �' ≅ π, ovvero gli angoli coniugati � e �' sono supplementari. Viceversa, se � + �' ≅ π, allora α ≅ �, perché sia α sia � risultano supple-mentari di �'.

�'α

�

Il teorema 13.4, unitamente a queste ultime osservazioni, porta al seguente teorema.

TEOREMA 13.5 Criterio generale di parallelismo

Due rette, tagliate da una trasversale, sono parallele se e solo se:

formano una coppia di angoli alterni congruenti (interni o esterni);

formano una coppia di angoli corrispondenti congruenti;

formano una coppia di angoli coniugati supplementari (interni o esterni).

Possiamo ritrovare, come corollario del teorema 13.5, il teorema 13.1 dimostrato nel

Paragrafo 2.

COROLLARIO

Due rette perpendicolari alla stessa retta sono parallele (fig. 13.12).

Figura 13.12

Il teorema 13.5 e quest’ultimo corollario sono gli strumenti che utilizzeremo piu di

frequente per dimostrare che due rette sono parallele.

4. Proprieta degli angoli nei poligoni

Proprieta degli angoli nei triangoli

In questo paragrafo dimostriamo alcune proprieta degli angoli nei triangoli che se-

guono dalle proprieta delle rette parallele tagliate da una trasversale.

Il teorema che ora dimostriamo arricchisce, precisandolo, il primo teorema dell’an-

golo esterno (teorema 12.7). Come ricorderai, avevamo visto che ogni angolo ester-

no di un triangolo e maggiore di ciascun angolo interno non adiacente a esso. Ora

precisiamo esattamente quale relazione c’e tra un angolo esterno e gli angoli interni

non adiacenti.

538


Approfondimento

Le geometrie noneuclidee

Esercizi p. 550

Teorema dell’angolo esterno TEOREMA 13.6

Ciascun angolo esterno di un triangolo e congruente alla somma degli angoli interni

a esso non adiacenti.

IPOTESI ABC e un triangolo, A bCCD e l’angolo esterno di vertice C del triangolo ABC

(fig. 13.13)

TESI AbCCD ffi �þ � (fig. 13.13)

DIMOSTRAZIONE

COSTRUZIONE PRELIMINARE

Tracciamo da C la retta parallela al lato AB, indicando con �0 e �0 gli angoli in cui AbCCD

resta diviso da tale retta (fig. 13.14).

A

B C D

α

γ

A

B C D

E

α

γ ' α'

Figura 13.13 Figura 13.14

Abbiamo che:

AbCCD ffi �0þ �0 per costruzione

� ffi �0 perche angoli alterni interni rispetto alle rette parallele AB e CE, tagliate dalla

trasversale AC

� ffi �0 perche angoli corrispondenti rispetto alle parallele AB e CE, tagliate dalla tra-

sversale BD

Quindi:

AbCCD ffi �þ �

Facendo riferimento alla fig. 13.14, possiamo osservare che, per la dimostrazione del

teorema precedente:

�þ � þ ffi �0þ �0

þ e �0þ �0

þ ffi �

quindi:

�þ � þ ffi � [13.1]

ovvero la somma degli angoli interni di un triangolo e congruente a un angolo

piatto. Considerando le ampiezze (in gradi) di �, �, , la relazione [13.1] puo essere ri-

formulata equivalentemente come segue.

Somma degli angoli interni di un triangolo TEOREMA 13.7

La somma delle ampiezze degli angoli interni di un triangolo e 180o.

Si tratta di un teorema profondo, in quanto afferma che la somma delle ampiezze de-

gli angoli interni di un triangolo e un invariante, cioe qualcosa che non cambia mai,

indipendentemente dal tipo di triangolo, dalla sua forma, dalle lunghezze dei lati ecc.

Dal teorema precedente discendono vari corollari, che ti invitiamo a giustificare:

COROLLARI

1. In un triangolo rettangolo gli angoli acuti sono complementari.

2. In un triangolo equilatero ciascuno dei tre angoli interni ha ampiezza uguale a 60o.

3. Se due triangoli hanno ordinatamente congruenti due angoli, allora hanno con-

gruenti anche gli angoli rimanenti.


539

Figure dinamiche

Dimostrazionedel teorema 13.6

Dal terzo corollario segue un nuovo criterio di congruenza per i triangoli.

TEOREMA 13.8 Secondo criterio di congruenza generalizzato

Due triangoli che hanno due angoli e un lato ordinatamente congruenti sono con-

gruenti.

DIMOSTRAZIONE

Supponiamo di sapere che due triangoli ABC e A0B0C0 hanno congruenti rispettivamen-

te due angoli, per esempio bAA ffi bAA0 e bBB ffi bBB0, e il lato opposto a uno di essi, per esempio

AC ffi A0C0.A

B C

A'

B' C'

Per il precedente corollario 3, possiamo dedurre che bCC ffi bCC0. Percio ABC e A0B0C0 sono

congruenti in base al secondo criterio di congruenza.

Attenzione!

Nell’enunciato del teorema 13.8 e essenziale l’avverbio ordinatamente, cioe che il lato congruentesia, nei due triangoli, opposto ad angoli congruenti. Per esempio, i due triangoli ABC e DBE

rappresentati in fig. 13.15 non sono congruenti sebbene AB ffi BE, BbAAC ffi B bDDE, AbBBC ffi DbBBE e

AbCCB ffi DbEEB. Cio non e in contrasto con il teorema 13.8: infatti gli angoli opposti ad AB e BE sono

rispettivamente AbCCB e B bDDE, che non sono tra loro congruenti.

C B

A

D

E Figura 13.15

Vediamo subito una semplice applicazione del secondo criterio di congruenza gene-

ralizzato. Consideriamo due rette parallele r ed s, due punti P e Q di r e indichiamo

con P 0 e Q 0 le proiezioni di P e Q sulla retta s (fig. 13.16).

s

rP

P' Q'

Q

Figura 13.16

I due triangoli PP0Q 0 e PQQ 0 sono congruenti per il secondo criterio generalizzato (per-

che?), quindi PP0 ffi QQ 0. Vale dunque il seguente teorema.

TEOREMA 13.9 Distanza fra due rette parallele

I segmenti di perpendicolare condotti da due punti di una retta r a una retta s, parallela

a r , sono congruenti.

Da questo teorema segue che, date due rette parallele, tutti i punti dell’una hanno la

stessa distanza dall’altra. E giustificata quindi la seguente definizione.

DISTANZA FRA DUE RETTE PARALLELE

Si chiama distanza fra due rette parallele la distanza di un punto qualsiasi di

una delle due rette dall’altra.

540


Somma degli angoli interni ed esterni a un poligono

Abbiamo visto che la somma delle ampiezze degli angoli interni di un triangolo e sem-

pre 180o. Che cosa si puo dire a proposito della somma delle ampiezze degli angoli in-

terni di un poligono convesso di n lati?

Possiamo rispondere facilmente a questa domanda riportandoci, on una opportuna

costruzione, a quanto gia sappiamo per il triangolo. Il «trucco» e considerare un pun-

to P interno al poligono e congiungere P con i vertici del poligono (fig. 13.17).

Il poligono resta diviso in n triangoli (5 triangoli,

nel caso del pentagono in fig. 13.17, in cui n ¼ 5):

la somma delle ampiezze degli angoli interni al po-

ligono risulta uguale alla somma delle ampiezze de-

gli angoli interni agli n triangoli, meno la somma

delle ampiezze degli angoli interni di vertice P, che

e uguale a 360o:

P

n 180� � 360� ¼ ðn � 2Þ 180�

somma delle ampiezze ampiezza di un angolo girodegli angoli internia tutti i triangoli

Abbiamo cosı dimostrato il seguente teorema.

Somma degli angoli interni di un poligono convesso TEOREMA 13.10

La somma delle ampiezze degli angoli interni a un poligono convesso di n lati e:

ðn � 2Þ 180�

ESEMPIO

Un pentagono ha 5 lati, quindi la somma delle ampiezze dei suoi angoli interni e

ð5 � 2Þ 180� ¼ 3 180� ¼ 540�.

Abbiamo stabilito quanto vale la somma delle ampiezze degli angoli interni a un poli-

gono convesso; che cosa si puo dire, invece, a proposito della somma delle ampiezze

degli angoli esterni?

Per rispondere a questa domanda, osserviamo che la somma delle ampiezze degli an-

goli interni a un poligono convesso di n lati e degli angoli esterni (prendendone uno

per ciascun vertice) e uguale a n 180� (5 180�, nel caso del pentagono in fig. 13.18

in cui n ¼ 5).

Pertanto si puo ottenere la somma delle ampiezze degli angoli esterni di un poligono

sottraendo dalla somma delle ampiezze di n angoli piatti la somma delle ampiezze de-

gli angoli interni al poligono:

n 180� � ðn � 2Þ 180� ¼ 360�

somma delle ampiezze somma delle ampiezzedi n angoli piatti degli angoli interni al poligono

Possiamo enunciare percio il seguente teorema.

Somma degli angoli esterni di un poligono convesso TEOREMA 13.11

La somma delle ampiezze degli angoli esterni di un poligono convesso e sempre

uguale a 360o.

La somma degli angoli esterni a un poligono e quindi un invariante: per qualsiasi po-

ligono, indipendentemente dalla forma o dal numero dei lati, la somma delle ampiezze

degli angoli esterni e sempre 360o: si tratta di un’invariante «piu forte» rispetto alla

somma degli angoli interni che, come abbiamo visto, e invariante nell’ambito dei po-

ligoni aventi un prefissato numero n di lati, ma varia al variare di n.


541

Figura 13.17

Pr saperne di piu

Si potrebbe dimostrare cheil teorema 13.10 vale anche

per poligoni concavi.

Figura 13.18

Esercizi p. 555

5. Congruenza e triangoli rettangoliCome applicazione dei teoremi acquisiti in questa Unita, approfondiamo alcune pro-

prieta relative alla congruenza dei triangoli rettangoli.

Per dimostrare che due triangoli rettangoli sono congruenti si possono naturalmente

utilizzare i quattro criteri di congruenza che gia conosciamo (primo, secondo, terzo

criterio e secondo criterio generalizzato). I casi in cui la congruenza di due triangoli

rettangoli puo essere dimostrata a partire da questi quattro criteri di congruenza sono

riassunti nelle figure qui sotto.

1. Due triangoli rettangoliche hanno ordinatamentecongruenti ...




... due cateti sonocongruenti per il primocriterio di congruenza.

... un cateto e l’angolo acutoadiacente al cateto sonocongruenti per il secondocriterio di congruenza.

... un cateto e l’angolo acutoopposto al cateto sonocongruenti per il secondocriterio generalizzato.

... l’ipotenusa e un angoloacuto sono congruenti per ilsecondo criterio generalizzato.

Se due triangoli rettangoli hanno congruenti l’ipotenusa e un cateto non possiamo

stabilire che sono congruenti in base ai criteri di congruenza che conosciamo. Tutta-

via, anche in questo caso i due triangoli rettangoli sono congruenti: cio segue dal

prossimo criterio di congruenza, specifico per i triangoli rettangoli, che ci limitiamo a

enunciare.

TEOREMA 13.12 Criterio di congruenza per i triangoli rettangoli

Se due triangoli rettangoli hanno ordinatamente congruenti l’ipotenusa e un cateto,

essi sono congruenti.

IPOTESI ABC e A0B0C0 sono triangoli rettangoli (con angoli retti in B e B0),

AC ffi A0C0 e BC ffi B0C0

TESI ABC ffi A0B0C0

6. Luoghi geometrici e punti notevolidi un triangolo

Il concetto di luogo geometrico

Consideriamo il seguente problema.

PROBLEMA

Qual e l’insieme dei punti del piano che hanno una distanza prefissata r da un dato

punto O?

In esso ci viene chiesto di identificare l’insieme formato dai punti che soddisfano una

certa proprieta: agli insiemi di questo tipo si da un nome particolare.

542


A B

C

A' B'

C'

Esercizi p. 560

LUOGO GEOMETRICO

Si chiama luogo geometrico l’insieme costituito da tutti e soli i punti (del piano

o dello spazio) che godono di una certa proprieta, detta proprieta caratteristica

del luogo.

Particolare attenzione va prestata all’espressione «tutti e soli»: essa indica che, affin-

che un insieme sia il luogo dei punti che soddisfa una certa proprieta caratteristica, de-

vono essere soddisfatte due condizioni:

1. tutti i punti dell’insieme devono soddisfare la proprieta caratteristica;

2. ogni punto che soddisfa la proprieta caratteristica deve appartenere all’insieme.

Esempio Controesempi

La circonferenza di centro Oe raggio r e il luogo deipunti che risponde alladomanda posta nelproblema precedente.

O

P

r

I punti della circonferenzainfatti sono tutti e soli quelliche hanno distanzaprefissata (uguale a r) dalpunto O (il centro dellacirconferenza).

Invece di considerare tuttala circonferenza di centro Oe raggio r, consideriamosolo il suo arco AB

C

raffigurato.

O

P

A

B

r

Tutti i punti dell’arco ABC

hanno distanza r da Omanon e vero che ogni puntosoddisfacente questaproprieta appartiene all’arcoABC

: sarebbe soddisfatta lacondizione 1 ma non la 2.L’arco preso in esame non edunque il luogo dei puntidistanti r da O.

Consideriamo la figuracostituita dall’unione dellacirconferenza di centro O eraggio r e da tutti i puntiinterni a essa (ossia il cerchiodi centro O e raggio r).

O

P

r

Ogni punto distante r da Oappartiene al cerchio, manon e vero che tutti i puntidel cerchio hanno questaproprieta: sarebbesoddisfatta la condizione 2ma non la 1. Anche inquesto caso la figura presain esame non e il luogo deipunti distanti r da O.

Asse e bisettrice

L’asse di un segmento, ossia la retta passante per il punto medio di un segmento e

perpendicolare al segmento stesso (vedi il Paragrafo 1), e un importante luogo geometri-

co. Sussiste infatti il seguente teorema.

TEOREMA 13.13

L’asse di un segmento e il luogo dei punti del piano equidistanti dagli estremi del

segmento.

In base alla definizione di luogo dobbiamo dimostrare che:

a. tutti i punti appartenenti all’asse sono equidistanti dagli estremi del segmento;

b. ogni punto del piano equidistante dagli estremi del segmento appartiene all’asse.

a. IPOTESI P appartiene all’asse di AB

TESI PA ffi PB

DIMOSTRAZIONE

I due triangoli rettangoli AMP e BMP (fig. 13.19) sono congruenti per il primo criterio di

congruenza (perche?), quindi PA ffi PB.


543

A BM

asse

P

Figura 13.19

b. IPOTESI PA ffi PB

TESI P appartiene all’asse di AB

DIMOSTRAZIONE

Il triangolo APB e isoscele sulla base AB per ipotesi (fig. 13.20). Tracciamo la mediana

PM: sappiamo che essa e anche altezza. Concludiamo che la retta PM e l’asse di AB, per-

cheM e il punto medio di AB e PM e perpendicolare ad AB: dunque P vi appartiene.

Anche la bisettrice di un angolo, che abbiamo definito nell’Unita 11 come semiretta

che divide un angolo in due angoli congruenti, puo essere guardata dal punto di

vista dei luoghi geometrici. Vale, infatti, il seguente teorema, che ci limitiamo a

enunciare (invitandoti a produrre la dimostrazione per esercizio).

TEOREMA 13.14 Luogo dei punti equidistanti dai lati di un angolo

La bisettrice di un angolo e il luogo dei punti del piano equidistanti dai lati del-

l’angolo.

O

H

K

P

a

b

bisettrice

Figura 13.21 Si ha che P 2 bisettrice, PH ffi PK .

Punti notevoli di un triangolo

Sia P il punto di intersezione degli assi dei due lati AB eBC di un triangolo ABC

(fig. 13.22). Per il teorema 13.13 (parte a.) risulta:

PA ffi PB e PB ffi PC

A

C

B

P asse di AB

asse di BC

Figura 13.22

Pertanto, per la proprieta transitiva della congruenza:

PA ffi PC

Ma allora P appartiene anche all’asse di AC (per la parte b. del teorema 13.13): gli assi

dei lati di un triangolo passano dunque tutti per il punto P. Ragionando in modo analo-

go, utilizzando il teorema 13.14, si puo dimostrare che anche le bisettrici degli angoli

interni di un triangolo passano tutte per uno stesso punto.

Analoga proprieta di incidenza hanno anche le rette che contengono le altezze di un

triangolo e le mediane: sussiste infatti il seguente teorema, che ci limitiamo a enun-

ciare.

544


A BM

P

Figura 13.20

Punti notevoli di un triangolo TEOREMA 13.15

In un triangolo:

a. gli assi dei lati si incontrano in uno stesso punto, detto circocentro (fig. 13.23);

b. le bisettrici degli angoli interni si incontrano in uno stesso punto, detto incentro

(fig. 13.24);

c. le mediane di un triangolo si incontrano in uno stesso punto, detto baricentro. Il

baricentro divide ciascuna mediana in due parti, di cui quella che contiene il verti-

ce e doppia dell’altra (fig. 13.25);

d. le rette che contengono le altezze dei lati si incontrano in uno stesso punto, detto

ortocentro (fig. 13.26).

O

circocentroA

B

C

incentroA

B

C

O

baricentro

A

AG ≅ 2GM, BG ≅ 2GN, CG ≅ 2GK

B

C

G

M

N

K ortocentro A

B

C

O

Figura 13.23 Figura 13.24 Figura 13.25 Figura 13.26

Il circocentro, l’incentro, il baricentro e l’ortocentro sono detti punti notevoli di un

triangolo. In generale, i punti notevoli di un triangolo non coincidono fra loro.

Eratostene misura la circonferenza della Terra

Eratostene, nel III secolo a.C., realizzo la prima misurazione della circonferenza della Ter-

ra! Come ci riuscı?

Eratostene sapeva anzitutto misurare l’inclinazione con cui i raggi solari cadevano a terra.

Servendosi semplicemente di un bastone (detto «gnomone») piantato verticalmente in

un terreno pianeggiante, egli calcolava l’inclinazione dei raggi solari calcolando la misura

dell’angolo � che si veniva a determinare considerando l’ombra generata sul terreno dal

bastone (fig. 13.27).

gnomone verticale

terreno ombra

A

B

θ

C Figura 13.27


545

Rifletti

Le mediane e le bisettrici diun triangolo sono sempre

interne al triangolo, percio

anche il baricentro e

l’incentro cadono sempreinternamente al triangolo.

Il circocentro e l’ortocentro

di un triangolo possonoinvece cadere internamente

al triangolo, esternamente

al triangolo o sui lati stessi

del triangolo.

Figure dinamiche

Caratteristiche dei puntinotevoli di un triangolo

Esercizi p. 561

Egli si accorse che a mezzogiorno del solstizio d’estate a Syene (l’attuale Assuan) i raggi

del Sole cadevano verticalmente illuminando il fondo dei pozzi (ossia un bastone pianta-

to verticalmente nel terreno non produceva nessuna ombra).

Nello stesso giorno e nello stesso momento cio invece non accadeva ad Alessandria d’E-

gitto: qui misuro che i raggi solari cadevano con una inclinazione che formava con la ver-

ticale un angolo di 7,2o. Eratostene assunse che la forma della Terra fosse sferica e che i

raggi solari, data la grande distanza tra la Terra e il Sole, si potessero considerare paralleli.

In queste ipotesi l’angolo � (fig. 13.28), formato ad Alessandria dai raggi solari e dalla

verticale, e congruente all’angolo � che ha per vertice il centro della Terra e per lati le se-

mirette passanti per Alessandria e per Syene (� e � sono due angoli corrispondenti, ri-

spetto a due rette parallele, tagliate da una trasversale), quindi anche l’ampiezza di � e

circa 7,2o.

raggi solari v

erticali s

u Syene verti

cale

su A

lessa

ndria

Syene

Alessandria

centro della Terra

Situazione a mezzogiorno del solstizio d’estate

α = 7,2°

Figura 13.28

Siccome 7,2o e1

50di 360, la distanza tra Alessandria e Syene, che si sapeva essere di

«5000 stadi», corrispondenti a circa 800 km, doveva essere1

50della circonferenza della

Terra, che e dunque approssimativamente uguale a:

50 800 km ¼ 40 000 km

Oggi sappiamo che la circonferenza all’equatore e di circa 40 009 km, quindi la risposta

trovata da Eratostene era sorprendentemente accurata! Certo, dobbiamo ammettere che

questa e, almeno in parte, una circostanza fortuita, poiche il ragionamento di Eratostene

richiederebbe, in realta, molte altre ipotesi: per esempio, che le due citta siano esattamen-

te sullo stesso meridiano terrestre, che sia possibile misurare correttamente la distanza tra

le due citta, che la Terra sia perfettamente sferica ecc.

546


Parole chiave

Termini tratti dal glossario e speakerati

Distanza di un punto da una retta

(Distance from a point to a line)

Fascio improprio di rette (Pencil of parallel lines)

Piede della perpendicolare (Foot of the perpendicular)

Rette incidenti (Intersecting lines)

Rette parallele (Parallel lines)

Rette perpendicolari (Perpendicular lines)

Striscia (Strip)

Trasversale (Transversal)

Angoli alterni (Alternate angles)

Angoli coniugati esterni (Same side exterior angles)

Angoli coniugati interni (Same side interior angles)

Angoli corrispondenti (Corresponding angles)

Asse di un segmento

(Perpendicular bisector [of a line segment])

Assioma della parallela (Parallel postulate)

Criterio di congruenza per i triangoli rettangoli

(HLR [Hypotenuse, Leg, Right angle] congruence theorem)

Criterio di parallelismo

Distanza fra due rette parallele

(Distance between two parallel lines)

Proiezione di un punto su una retta

(Projection of a point onto a line)

Proiezione di un segmento su una retta

(Projectional a line segment onto a line)

Secondo criterio di congruenza generalizzato

(AAS [Angle, Angle, Side] congruence theorem)

Teorema dell’angolo esterno (Exterior angle theorem)

Assiomi e teoremi importanti

Criterio di parallelismo

Due rette tagliate da una trasversale sono parallele se e

solo se:

� formano una coppia di angoli alterni congruenti (in-

terni o esterni);

� formano una coppia di angoli corrispondenti con-

gruenti;

� formano una coppia di angoli coniugati supplemen-

tari (interni o esterni).

Rette

perpendicolari parallele

Si può dimostrare l’esistenza e l’unicità della retta pas-sante per un punto P e per-pendicolare a una retta data.

Si può dimostrare l’esistenza, ma non l’unicità della retta passante per un punto P e parallela a una retta data. L’unicità della parallela vie-ne assunta come assioma.

Proprieta degli angoli di un triangolo

Angoli interni Angoli esterni

La somma delle ampiezze degli angoli interni a untriangolo e 180�.

α

â γ

Ogni angolo esterno e congruente alla somma degliangoli interni non adiacenti, per esempio ffi �þ �.

Proprieta degli angoli di un poligono

Angoli interni Angoli esterni

La somma delle ampiezze degli angoli interni di unpoligono convesso di n lati e ðn 2Þ180�.

La somma delle ampiezze degli angoli esterni di unpoligono convesso e sempre uguale a 360�.

547

Sintesi Rette perpendicolari e parallele

1. Rette perpendicolari Teoria p. 532

Test

1 Data una retta r e un punto P, quale delle seguenti affermazioni e corretta?

A Esiste una retta passante per P e perpendicolare a r, ma solo se P =2 r.

B Se P 2 r, esistono infinite rette passanti per P e perpendicolari a r.

C Se P =2 r, non esistono rette passanti per P, perpendicolari a r.

D Esiste sempre una e una sola retta passante per P e perpendicolare a r.

2 Sia r una retta, P un punto appartenente alla retta, Q un punto non appartenente alla retta e H la proiezione di Q

su r. Quale delle seguenti affermazioni e corretta?

A E sempre PH < QH

B E sempre PH > PQ

C E sempre QH < PH

D E sempre QH < PQ

3 Da che cosa e costituita la proiezione sulla retta r

della poligonale ABCD?

r

A

B

C D

A Un segmento.

B Una poligonale.

C Una retta.

D Nessuna delle precedenti risposte e esatta.

4 In relazione alla figura qui sotto, quale affermazione

non e corretta?

r

P

K

Q

H

A PH e la distanza di P da r.

B K e la proiezione del segmento QK su r.

C QH e la distanza di P da r.

D HK e la proiezione del segmento HQ su r.

5 Vero o falso?

a. se la retta r e perpendicolare alla retta s e s e perpendicolare alla retta t, allora r

e perpendicolare a t V F

b. comunque scelto un punto P del piano, esiste sempre almeno una retta passante per P

e perpendicolare a una retta r assegnata V F

c. la proiezione di un segmento su una retta non puo coincidere con un solo punto V F

d. se A0B0 e la proiezione di AB su una retta r, risulta sempre A0B0 < AB V F

e. in un triangolo ABC, isoscele sulla base AB, se CH e l’altezza relativa ad AB, la retta CH coincide

con l’asse di AB V F

f. se P e un punto che appartiene sia all’asse di AB sia all’asse di BC, allora PA ffi PC V F

[3 affermazioni vere e 3 false]

EserciziUnità

TemaD13

548

6 Esiste un segmento congruente ad AB la cui proie-

zione sulla retta r sia A0B0?

rA' B'

A B

Se esiste, costruiscine uno; altrimenti, giustifica perche

non puo esistere.

7 Esiste un segmento congruente ad AB la cui proie-

zione sulla retta r sia A0B0?

rA' B'

A B

Se esiste, costruiscine uno; altrimenti, giustifica perche

non puo esistere.

2. Rette parallele Teoria p. 534

Test

8 Una sola delle seguenti risposte e corretta; quale?

L’assioma della parallela garantisce:

A l’esistenza di una retta parallela a una retta assegnata e passante per un dato punto

B l’unicita di una retta parallela a una retta assegnata e passante per un dato punto

C l’esistenza e l’unicita di una retta parallela a una retta assegnata e passante per un dato punto

D nessuna delle precedenti

9 La relazione di parallelismo tra le rette di un piano non gode di una delle seguenti proprieta. Quale?

A riflessiva

B antisimmetrica

C simmetrica

D transitiva

10 Stabilisci se possono esistere, e in caso affermativo disegna, quattro rette a, b, r, s tali che:

a. le rette a e b siano parallele;

b. le rette r ed s siano parallele;

c. le rette a ed r siano incidenti;

d. le rette b ed s siano incidenti.

11 Stabilisci se possono esistere, e in caso affermativo disegna, tre rette r, s e t tali che:

a. le rette r ed s siano parallele; b. le rette s e t siano incidenti; c. le rette r e t siano parallele.

12 Stabilisci se possono esistere, e in caso affermativo disegna, cinque rette r, s, t, u, z tali che:

a. le rette r e s siano parallele;

b. le rette s e t siano incidenti;

c. le rette t e u siano perpendicolari;

d. le rette z e u siano parallele.

13 Logica Siano r ed s due rette. Completa scrivendo, al posto dei puntini, il termine opportuno scelto tra: «necessa-

ria» (ma non sufficiente), «sufficiente» (ma non necessaria), «necessaria e sufficiente».

a. condizione ......................... perche due rette siano parallele e che non siano perpendicolari

b. condizione ......................... perche due rette non siano parallele e che siano incidenti

c. condizione ......................... perche due rette siano parallele e che siano coincidenti

d. condizione ......................... perche due rette siano parallele e che siano perpendicolari alla stessa retta

e. condizione ......................... perche due rette siano parallele e che siano coincidenti o prive di punti di intersezione

549


ESERCIZI

Collegamenti Logica e dimostrazioni per assurdo

14 Davanti alla porta A c’e la scritta «dietro questa porta c’e il tesoro e dietro l’altra porta c’e una tigre». Davanti alla

porta B c’e scritto «dietro una di queste porte c’e una tigre e dietro l’altra c’e il tesoro». Solo una delle due scritte e vera.

Dimostra che la tigre e dietro la porta A e il tesoro dietro la porta B.

15 Dimostra per assurdo cheffiffiffiffiffiffiffiffiffi101

pe diverso da 10.

16 Dimostra per assurdo che, se il prodotto di due numeri naturali e dispari, allora i due numeri sono entrambi dispari.

17 Dimostra per assurdo che non puo esistere un numero intero maggiore di tutti gli altri numeri interi.

18 Dimostra per assurdo che se n2 e dispari, allora nþ 1 e pari.

19 Dimostra per assurdo che se un numero primo p e la somma di due numeri naturali a e b, allora a e b sono primi tra

loro.

20 Dimostra per assurdo che nell’insieme dei numeri razionali l’elemento neutro rispetto alla moltiplicazione e unico.

3. Criteri di parallelismo Teoria p. 536

Esercizi preliminari

21 Vero o falso?

Fai riferimento alla figura qui sotto e stabilisci quali delle

seguenti proposizioni sono vere.

a. gli angoli � e � sono corrispondenti esterni V F

b. gli angoli � e sono alterni interni V F

c. gli angoli � e � sono corrispondenti V F

d. fra gli angoli colorati c’e una sola coppia di

angoli coniugati V F

e. fra gli angoli colorati ci sono due coppie di

angoli alterni V F

f. fra gli angoli colorati c’e una sola coppia di

angoli corrispondenti V F

α

δ

γ

!


22 Fai riferimento alla figura qui sotto e rispondi alle

seguenti domande.

a. Quali rette sono parallele se DbFFE ffi FbEEB?

b. Quali rette sono parallele se A bDDF ffi DbFFE?

c. Quali rette sono parallele se D bCCE e CbEEF sono supple-

mentari?

d. Quali rette sono parallele se

D bCCE ffi FbEEB?

D

C

A F

B

E

Problemi

23 Determina le ampiezze di tutti gli angoli formati

dalle due rette parallele r e s, tagliate dalla trasversale t.

r

t

55°

s

24 Esprimi, in funzione di x, l’ampiezza di tutti gli an-

goli formati dalle due rette parallele r e s, tagliate dalla

trasversale t.

rx

t

s

550


ESERCIZI

25 Determina l’ampiezza dell’angolo indicato con il

punto interrogativo, sapendo che r k s.

s

140°130°

?

r

[90 ]



s P

22°

27°

?r

(Suggerimento: traccia dal punto P una retta opportu-

na) [49 ]

27 Nelle seguenti figure, r k s. Determina il valore di x.

225° – x

2x + 30°

s

t

r

3x + 3°

x + 37°s

t

r

a. b.[a. 65 ; b. 35 ]

28 Nella figura qui sotto, a k b e r k s. Determina il valore di x.

80° – x

2x + 40°

a

r s

b

[60 ]

Dimostrare che due rette sono parallele

29 ESERCIZIO SVOLTO

Sia ABC un triangolo isoscele sulla base AB e CH l’altezza relativa ad AB. Pro-

lunghiamo CH, dalla parte di H, di un segmento HD ffi CH e dimostriamo che

la retta AC e parallela alla retta BD.

IPOTESI AC ffi BC, CH?AB, CH ffi HD TESI AC k BD

DIMOSTRAZIONE

D

C

A H

B

Consideriamo i triangoli AHC e BHD. Essi hanno:

� CH ffi HD per ipotesi

� AH ffi HB perche l’altezza relativa alla base di un triangolo isoscele e anche mediana

� A bHHC ffi B bHHD perche entrambi retti

Dunque tali triangoli sono congruenti in base al primo criterio di congruenza.

In particolare sara AbCCH ffi H bDDB: cio equivale a dire che gli angoli alterni interni formati dalle rette AC e BD, tagliate dalla

trasversale CD, sono congruenti: dunque le rette AC e BD sono parallele in base al criterio di parallelismo.

Nota 1. Il parallelismo delle rette AC e BD si poteva dedurre anche in questo modo: dalla congruenza dei triangoli AHC e BHD, segue che

CbAAH ffi DbBBH: cio significa che le rette AC e BD, tagliate dalla trasversale AB, formano angoli alterni interni congruenti, dunque le due rette sonoparallele.

2. In questo esercizio abbiamo utilizzato uno strumento «chiave» per dimostrare che due rette sono parallele: il criterio di parallelismo.

30 Dato un triangolo ABC, sia CM la mediana relativa ad AB. Prolunga CM, dalla parte diM, di un segmento MD ffi CM

e dimostra che la retta AC e parallela alla retta BD.

31 Dato un triangolo ABC, prolunga:

a. il lato AB, dalla parte di B, di un segmento BD ffi AB;

b. il lato CB, dalla parte di B, di un segmento BE ffi CB.

Dimostra che la retta AE e parallela alla retta CD.

551


ESERCIZI

32 Due segmenti AB e CD sono tra loro perpendicolari e il punto medio O di AB coincide con il punto medio di CD. Di-

mostra che la mediana relativa ad AO del triangolo AOC e parallela alla mediana relativa a OB del triangolo BOD.

33 ESERCIZIO GUIDATO

In un triangolo ABC, isoscele sulla base AB, sia CH l’altezza relativa ad AB. L’asse del segmento AH incontra il lato

AC nel punto P; dimostra che la retta PH e parallela alla retta BC.

IPOTESI ..............................

TESI ..............................

C

A H

P

B

DIMOSTRAZIONE

� Ogni punto appartenente all’asse di un segmento e equidistante dagli estre-

mi del segmento, quindi PA ffi ..........

� Il triangolo APH e isoscele sulla base .......... per quanto appena osservato;

quindi:

P bAAH ffi .......... [*]

� Il triangolo ABC e isoscele sulla base .......... per ipotesi, quindi:

CbAAH ffi .......... [**]

� Da [*] e [**] segue, per la proprieta transitiva, che .........................: cio equivale a dire che le rette PH e BC, tagliate dalla tra-

sversale .........., formano angoli .............................. congruenti: quindi le due rette sono parallele.

34 Sulla bisettrice di un angolo acuto a bOOb, considera un punto P e traccia l’asse del segmento OP. Detto Q il punto in

cui tale asse incontra la semiretta b, dimostra che la retta PQ e parallela alla retta a cui appartiene la semiretta a.

35 Sui lati AC e BC di un triangolo ABC, isoscele sulla base AB, considera rispettivamente due punti P e Q, tali che

CbPPQ ffi AbBBC.

Dimostra quindi che la retta PQ e parallela alla retta AB.

Dimostrare teoremi utilizzando le proprieta degli angoli formati da due retteparallele tagliate da una trasversale

36 In un triangolo ABC, sia BP la bisettrice relativa all’angolo bBB. Da P conduci la parallela a BC; chiama Q il punto in

cui essa incontra il lato AB. Sempre da P, conduci la parallela ad AB; chiama R il punto in cui essa incontra il lato BC.

Dimostra che il triangolo PBQ e congruente al triangolo PBR.

37 Date due rette parallele r e s, e una trasversale t che incontra la retta r in P e la retta s in Q, conduci per il punto me-

dioM di PQ una retta che incontra r in R e s in S. Dimostra che PR ffi SQ.

38 Dato un segmento AB, traccia due rette parallele a e b, passanti rispettivamente per A e B. Considera poi un punto

C su a, e un punto D su b, tali che C e D siano da parti opposte rispetto alla retta AB e AC ffi BD. Dimostra che CD interse-

ca AB nel suo punto medio.

39 Dal vertice A di un triangolo ABC conduci la parallela r a BC. Da un punto M di AC conduci la parallela s ad AB. In-

dica con D il punto in cui r interseca s e con E il punto in cui s interseca BC. Dimostra che i triangoli AMD ed EMC hanno

gli angoli congruenti a quelli del triangolo ABC.

40 Dato un triangolo ABC, conduci due semirette parallele a e b, aventi come origine rispettivamente A e B, giacenti

nello stesso semipiano di origine AB cui appartiene il triangolo. Sia P un punto appartenente alla semiretta a e Q un pun-

to appartenente alla semiretta b; dimostra che A bCCB ffi P bAACþ Q bBBC.

(Suggerimento: traccia la parallela per C alle semirette a e b)

552


ESERCIZI

41 ESERCIZIO SVOLTO

La bisettrice b di un angolo esterno di vertice C di un triangolo ABC

e parallela alla retta AB. Dimostriamo che il triangolo ABC e isoscele

sulla base AB.

IPOTESI b e la bisettrice di BbCCD, b k AB

TESI AC ffi BC

C

D

A a

α

b

c

B

γ

δ

DIMOSTRAZIONE

Indichiamo con �, �, , � gli angoli contrassegnati in figura, con a la ret-

ta AB e con c la retta AD. Osserviamo che:

� ffi in quanto angoli corrispondenti rispetto alle rette parallele a e b, tagliate dalla trasversale c

� ffi � in quanto angoli alterni interni rispetto alle rette parallele a e b, tagliate dalla trasversale BC

� ffi perche b e la bisettrice di BbCCD

Da queste tre relazioni, per la proprieta simmetrica e transitiva della congruenza, segue che:

� ffi �

Pertanto il triangolo ABC e isoscele sulla base AB.

Nota I punti chiave che ci hanno permesso di dimostrare che il triangolo ABC e isoscele sono stati due: individuare gli angoli congruenti nella fi-

gura (ricordando il criterio di parallelismo) e utilizzare la proprieta transitiva della congruenza per concludere che gli angoli adiacenti al lato AB

del triangolo sono congruenti. Una tecnica simile e efficace in molti esercizi di questo tipo, come quelli seguenti.

42 Dato un triangolo ABC, isoscele sulla base AB, trac-

cia una retta parallela ad AB che incontra AC e BC, rispet-

tivamente, in P e Q. Dimostra che il triangolo PQC e iso-

scele.

43 In un triangolo ABC, sia AP la bisettrice dell’angolobAA. Conduci da P la parallela ad AB; chiama Q il punto in

cui essa incontra il lato AC. Dimostra che il triangolo

APQ e isoscele sulla base AP.

44 Dato un triangolo ABC, isoscele sulla base BC, con-

duci una semiretta di origine A parallela a BC e dimostra

che e la bisettrice dell’angolo esterno di vertice A del

triangolo ABC che la contiene.

45 Due rette parallele a e b incontrano una trasversale

c, rispettivamente, in A e B. L’asse del segmento AB in-

contra la retta a in C e la retta b in D. Dimostra che c e la

bisettrice dell’angolo CbBBD.

46 Videolezione Dato un triangolo ABC, sia P il pun-

to di intersezione delle bisettrici degli angoli bBB e bCC. Con-

duci per il punto P la parallela a BC e indica con D ed E,

rispettivamente, i punti di intersezione di tale parallela

con i lati AB e AC. Dimostra che DE ffi BDþ EC.

(Suggerimento: considera i triangoli BPD e CPE e dimostra

che sono isosceli)

47 Dati due segmenti adiacenti AB e BC, traccia due se-

mirette parallele a e c, aventi come origine rispettivamen-

te A e C, e giacenti dalla stessa parte rispetto alla retta AC.

Considera poi sulla semiretta a il punto D tale che

AD ffi AB e sulla semiretta c il punto E tale che CE ffi BC.

Dimostra che DbBBE e un angolo retto.

(Suggerimento: traccia la parallela per B alle semirette a e c)

48 Dimostra che le bisettrici di una coppia di angoli al-

terni interni, formati da una coppia di rette parallele ta-

gliate da una trasversale, sono parallele.

49 Per il vertice C di un triangolo ABC traccia la paral-

lela ad AB. Considera su tale parallela il punto D, apparte-

nente al semipiano che ha come origine la retta AC cui

non appartiene B, tale che CD ffi AB. Dimostra che la retta

AD e parallela alla retta BC.

50 Date due rette parallele r ed s e una trasversale t, che

incontra la retta r in P e la retta s inQ, considera sulla retta

r un punto A e sulla retta s un punto B, in modo che A e B

si trovino da parti opposte rispetto alla retta t e che

PA ffi BQ. Dimostra che la retta PB e parallela alla retta AQ.

51 Dato un angolo r bOOs, traccia la bisettrice b dell’ango-

lo e considera su di essa un punto P. L’asse del segmento

OP interseca le due semirette r ed s, rispettivamente in R e

S. Dimostra che OR e parallelo a PS.

52 Sia ABC un triangolo. Traccia la bisettrice di AbBBC e

indica con D il punto in cui interseca il lato AC. Conside-

ra quindi un punto P sul segmento DC e traccia da P la

retta parallela a BD, indicando con Q il punto in cui inter-

seca la retta BC e con R il punto in cui interseca la retta

AB. Dimostra che il triangolo BRQ e isoscele.

53 Sia ABC un triangolo. Traccia la retta r, passante per

B e parallela ad AC, e la retta s, passante per A e parallela a

BC, indicando con D il loro punto di intersezione. Dimo-

stra che:

a. i triangoli ABC e ABD sono congruenti;

b. la mediana AM del triangolo ABC e parallela alla

mediana BN del triangolo ABD.

553


ESERCIZI

54 Sia ABC un triangolo isoscele di base AB. Una retta parallela ad AB interseca i lati AC e BC del triangolo, rispettiva-

mente, in P e Q. Traccia quindi la retta r, passante per P e parallela a BC, e la retta s, passante per Q e parallela ad AC, indi-

cando con R il punto di intersezione di r ed s.

Dimostra che:

a. il triangolo PQC e isoscele; b. il triangolo PRQ e isoscele; c. la semiretta CR e la bisettrice dell’angolo AbCCB.

55 Considera un triangolo ABC, isoscele sulla base AB, e sia CH l’altezza relativa ad AB. Traccia:

� la semiretta r di origine A, appartenente al semipiano avente come origine la retta AB cui non appartiene il triangolo,

che forma con AB un angolo congruente all’angolo BbAAC;

� la retta s, passante per H e parallela ad AC, indicando con D ed E, rispettivamente, i suoi punti di intersezione con la

semiretta r e con la retta BC.

Dimostra che:

a. la rettaAD e parallela alla retta BC; b.H e il puntomedio del segmentoDE; c. la retta AE e parallela alla retta BD.

Esercizi riassuntivi: le dimostrazioni su parallelismo e perpendicolarita

56 Dimostra che le bisettrici di una coppia di angoli al-

terni, formati da una coppia di rette parallele tagliate da

una trasversale, sono parallele.

57 Per il vertice C di un triangolo ABC, traccia la paral-

lela ad AB. Considera su tale parallela il punto D, apparte-

nente al semipiano che ha come origine la retta AC a cui

non appartiene B, tale che CD ffi AB. Dimostra che la retta

AD e parallela alla retta BC.

58 Date due rette parallele r e s e una trasversale t, che

incontra la retta r in P e la retta s in Q, considera sulla

retta r un punto A e sulla retta s un punto B, in modo

che A e B si trovino da parti opposte rispetto alla retta t

e che PA ffi BQ. Dimostra che la retta PB e parallela alla

retta AQ.

59 In un triangolo ABC, isoscele sulla base BC, sia AH

l’altezza relativa a BC.

Traccia la retta parallela ad AC che passa per H e chiama

D il punto in cui incontra AB.

Traccia la retta parallela ad AB che passa per H e chiama E

il punto in cui incontra AC.

Dimostra che il triangolo DBH e congruente al triangolo

EHC e che la retta DE e parallela alla retta BC.

60 Dato un angolo r bOOs, traccia la bisettrice b dell’ango-

lo e considera su di essa un punto P. L’asse del segmento

OP interseca le due semirette r e s, rispettivamente in R e

S. Dimostra che OR e parallelo a PS.

61 Sia ABC un triangolo. Traccia la bisettrice di AbBBC e

indica con D il punto in cui interseca il lato AC. Conside-

ra quindi un punto P su DC e traccia da P la retta parallela

a BD, indicando con Q il punto in cui interseca la retta

BC e con R il punto in cui interseca la retta AB. Dimostra

che il triangolo BRQ e isoscele.

62 Sia ABC un triangolo. Traccia la retta r, passante per

B e parallela ad AC e la retta s passante per A e parallela a

BC, indicando con D il loro punto d’intersezione. Dimo-

stra che:

a. i triangoli ABC e ABD sono congruenti;

b. la mediana AM del triangolo ABC e parallela alla

mediana BN del triangolo ABD.

63 Sia ABC un triangolo isoscele di base AB. Una retta

parallela ad AB interseca i lati AC e BC del triangolo, ri-

spettivamente, in P e Q. Traccia quindi la retta r, passan-

te per P e parallela a BC, e la retta s, passante per Q e pa-

rallela ad AC, indicando con R il punto di intersezione

di r ed s.

Dimostra che:

a. il triangolo PQC e isoscele;

b. il triangolo PRQ e isoscele;

c. la semiretta CR e la bisettrice dell’angolo A bCCB.

64 Considera un triangolo ABC, isoscele sulla base AB,

e sia CH l’altezza relativa ad AB. Traccia:

� la semiretta r di origine A, appartenente al semipia-

no avente come origine la retta AB cui non appartie-

ne il triangolo, che forma con AB un angolo con-

gruente all’angolo BbAAC;

� la retta s, passante per H e parallela ad AC, indican-

do con D ed E, rispettivamente, i suoi punti d’inter-

sezione con la semiretta r e con la retta BC.

Dimostra che:

a. la retta AD e parallela alla retta BC ;

b. H e il punto medio del segmento DE ;

c. la retta AE e parallela alla retta BD.

65 E dato un triangolo ABC, isoscele sulla base AB. Traccia, per un punto P di AC, la retta perpendicolare ad AB e indica

con Q il punto in cui tale perpendicolare incontra il prolungamento di CB. Dimostra che il triangolo PQC e isoscele.

(Suggerimento: traccia da C la perpendicolare ad AB)

554


ESERCIZI

4. Proprieta degli angoli nei poligoni Teoria p. 538


66 Vero o falso?

a. la somma degli angoli interni di un quadrilatero e il doppio della somma degli angoli interni di un triangolo V F

b. la somma delle ampiezze degli angoli interni di un esagono convesso e 740 V F

c. la somma degli angoli esterni di un poligono convesso di 10 lati e diversa dalla somma degli angoli esterni

di un poligono convesso di 20 lati V F

d. in un triangolo rettangolo isoscele gli angoli alla base hanno ampiezza 45 V F


67 Qual e l’ampiezza dell’angolo al vertice di un triangolo isoscele in cui gli angoli alla base hanno ampiezza uguale a 25 ?

68 Qual e l’ampiezza degli angoli alla base di un triangolo isoscele in cui l’angolo al vertice ha ampiezza uguale a 30 ?

69 Uno degli angoli acuti di un triangolo rettangolo ha ampiezza uguale a 25 . Qual e l’ampiezza dell’altro angolo acuto?

70 In un triangolo equilatero, qual e l’ampiezza di ciascun angolo esterno?

71 Qual e la somma delle ampiezze degli angoli interni di un pentagono convesso?

72 Se gli angoli alla base di un triangolo isoscele sono di 50 , il triangolo e acutangolo, rettangolo od ottusangolo? Per-

che?

Problemi


Nella figura qui sotto, quanto vale l’ampiezza di C bDDE?

D

E

A B

C

120°

75°40°

?

Risolvi l’esercizio in due modi diversi, seguendo i passi suggeriti.

1 modo

a. La somma delle ampiezze degli angoli interni a un quadrilatero e ............... quindi la somma delle ampiezze degli angoli

interni di ABED e ..........

b. L’ampiezza di A bDDE e allora:

.......... �ð75 þ 40 þ 120 Þ ¼ ..........

c. L’angolo C bDDE e il supplementare di A bDDE, quindi la sua ampiezza e ..........

2 modo

a. L’angolo DbEEC e il supplementare di DbEEB, quindi ha ampiezza ..........

b. La somma delle ampiezze degli angoli del triangolo ABC e ..........; l’ampiezza di CbAAB e 75 ; l’ampiezza di AbBBC e 40 ,

quindi l’ampiezza di A bCCB e 180 � .......... � .......... ¼ ..........

c. Ragionando come nel passo precedente sugli angoli del triangolo CDE, puoi dedurre che l’ampiezza di C bDDE e 180 �

.......... � .......... ¼ .......... [55 ]

74 Nella figura qui a fianco, il triangolo ABC e isoscele sulla base AC e BCD e

isoscele sulla base BC. Supponiamo di sapere che l’ampiezza di BbCCD e 42 . Qual

e l’ampiezza degli angoli alla base di ABC? [21 ]

A DB

C

?

? 42°

555


ESERCIZI

75 Il pentagono disegnato nella figura a fianco ha tutti gli angoli congruenti.

Determina l’ampiezza dell’angolo indicato con il punto interrogativo. [36 ]

A

B

C PD

E

?

76 In un triangolo ABC, risulta bAA ¼ 40 e bBB ¼ 60 . La bisettrice dell’angolo bCC interseca il lato AB in P. Determina le am-

piezze dei due angoli AbPPC e BbPPC. [100 , 80 ]

77 In un triangolo ABC, risulta bAA ¼ 30 , bBB ¼ 65 . La bisettrice dell’angolo bAA incontra il lato BC in P e la bisettrice del-

l’angolo AbPPB incontra AB in Q. Determina l’ampiezza dei due angoli A bQQP e B bQQP. [115 ; 65 ]

78 Nella figura qui sotto AE ffi BE ffi BC; ED ffi DC; AbEEB ¼ 2x; B bCCD ¼ 80 .

Esprimi in funzione di x l’ampiezza dell’angolo indicato con il punto interrogativo.

A B C

2x

D

? E

80°

[110 � x]

79 Sia ABC un triangolo, in cui l’ampiezza (in gradi) dell’angolo bCC e x e l’ampiezza dell’angolo bAA supera di 10 quella dibCC. Indicato con P il punto di intersezione delle bisettrici degli angoli bAA e bBB, esprimi in funzione di x l’ampiezza dell’ango-

lo AbPPB. 90 þ

x

2

h i

80 Sia ABC un triangolo in cui l’ampiezza (in gradi) dell’angolo bAA e x e l’ampiezza dell’angolo bBB e il doppio di quella dibAA. Le bisettrici degli angoli esterni di vertici A e B si incontrano in P. Esprimi in funzione di x l’ampiezza dell’angolo

esterno di vertice P del triangolo APB.180

�3

2x

�

Problemi con equazioni

81 In ciascuna delle seguenti figure, determina l’ampiezza di .

A

68°

B

αα

C

23– °

α

C

A B

2α

2α + 20°

A B

α

α 130°

C

21+ °

[a. 130 ; b. 32 ; c. 86 ]

82 In un triangolo ABC, l’angolo bAA e il doppio di bBB e l’angolo bCC supera bBB di 16 . Determina le ampiezze degli angoli del

triangolo. [41 , 82 , 57 ]

83 In un triangolo isoscele ciascuno degli angoli alla base e il quadruplo dell’angolo al vertice. Determina le ampiezze

degli angoli del triangolo. [20 , 80 , 80 ]

84 Osserva la figura qui sotto: il poligono ABCDE e un pentagono regolare e il poligono BFGHIC e un esagono regolare.

L’angolo colorato in rosso, formato dalla semiretta AE con la retta r, ha ampiezza .

rA

α

E

D C

I

H

G

F

B

a. Esprimi in funzione di l’ampiezza dell’angolo (colorato in verde in figura) formato dalla semirettaAF con la retta r:

b. Determina per quale valore di il punto F cade sulla retta r. [a. 48 � ; b. 48 ]

556


ESERCIZI

85 Nella figura qui sotto i triangoli ABC e DEF sono equilateri. I punti A, E, G, H appartengono alla retta r. E noto inol-

tre che l’ampiezza dell’angolo Q bPPC e5

4di quella di BbAAG.

rA E

D

x

Q

P

F

B

G H

C

a. Supposto che BbAAG ¼ x, esprimi in funzione di x l’ampiezza dell’angolo DbEEH.

b. Determina per quale valore di x l’ampiezza di DbEEH risulta uguale a 72 .

a. 60

þ1

4x; b. 48

�

86 Nella figura qui sotto, il punto D e l’intersezione dei prolungamenti delle bisettrici degli angoli esterni di vertici A

eB del triangolo ABC. E noto inoltre che l’angolo AbBBC e il doppio dell’angolo BbAAC.

A

D

B

C

a. Indicata con x l’ampiezza (in gradi) dell’angolo BbAAC, esprimi in funzione di x le ampiezze dei due angoli AbCCB e

A bDDB.

b. Determina x in modo che l’ampiezza dell’angolo A bDDB superi di 15 i tre quarti dell’ampiezza di AbCCB. a. AbCCB ¼ 180

� 3x, A bDDB ¼3

2x; b. 40

�

87 Videolezione I poligoni colorati in blu e rosso in

figura sono un quadrato e un esagono regolare. Anche il

poligono colorato in verde, rappresentato solo in parte, e

regolare. Quanti lati ha quest’ultimo poligono?

[12]

88 Il poligono colorato in verde in figura e un quadra-

to. I due poligoni colorati in rosso e blu, rappresentati so-

lo in parte, sono regolari e congruenti. Quanti lati hanno

questi ultimi poligoni?

[8]

89 Due poligoni convessi sono tali che uno ha 5 lati in piu dell’altro. La somma delle ampiezze degli angoli interni di

entrambi i poligoni e 4500 . Quanti lati hanno i due poligoni? [12, 17]

90 Due poligoni regolari hanno uno il doppio dei lati dell’altro. L’ampiezza di ciascun angolo interno del poligono

avente il numero di lati maggiore supera di 18 l’ampiezza di ciascun angolo interno dell’altro poligono. Quanti lati han-

no i due poligoni? [10, 20]

557


ESERCIZI

Dimostrazioni in cui si utilizza il teorema dell’angolo esterno


In un triangolo ABC, isoscele sulla base BC, prolunga BC, dalla parte di C, di un segmento CD ffi AC. Dimostra che

gli angoli alla base del triangolo isoscele ACD sono la meta degli angoli alla base del triangolo ABC.

IPOTESI AB ffi AC ffi CD

B, C e D sono allineati

A

B C D TESI CbAAD ffi1

2AbCCB

DIMOSTRAZIONE

Per il teorema dell’angolo esterno, applicato all’angolo esterno di vertice C del triangolo ACD, vale la relazione:

AbCCB ffi .......... þ ..........

Essendo CbAAD ffi .........., puoi scrivere che: AbCCB ffi 2 .........., cioe CbAAD ffi1

2..........

92 In un triangolo ABC, isoscele sulla base BC, prolun-

ga BC, dalla parte di C, di un segmento CD ffi AC. Sia E un

punto sul prolungamento di AB, dalla parte di A. Dimo-

stra che l’angolo EbAAD e il triplo di A bDDC.

93 In un triangolo ABC, un angolo esterno di vertice C

e la somma degli angoli interni al triangolo adiacenti a

BC. Dimostra che AB ffi BC.

(Suggerimento: scrivi la relazione tra l’angolo esterno di

vertice C e gli angoli interni che proviene dalle ipotesi e

quella che proviene dal teorema dell’angolo esterno e

confrontale)

94 In un triangolo ABC, un angolo esterno di vertice B

e il doppio dell’angolo interno di vertice C. Dimostra che

il triangolo e isoscele sulla base AC.

95 Dimostra che in un triangolo ABC, isoscele sulla ba-

se BC, la bisettrice dell’angolo esterno di vertice A e paral-

lela alla retta BC.

96 In un triangolo ABC, l’angolo esterno di vertice B e

il triplo dell’angolo interno di vertice A. Dimostra che

l’angolo interno di vertice C e il doppio dell’angolo inter-

no di vertice A.

Dimostrazioni in cui si utilizza il teorema sulla somma degli angoli interni di un triangolo

97 Dimostra che, se due triangoli isosceli hanno ordinatamente congruenti la base e l’angolo al vertice, sono con-

gruenti.

98 Dimostra che l’altezza relativa all’ipotenusa di un triangolo rettangolo divide il triangolo in due triangoli con ango-

li odinatamente congruenti a quelli del triangolo dato.


In un triangolo ABC, la somma dell’angolo esterno di vertice B e dell’angolo esterno di vertice C e congruente al

triplo di un angolo retto. Dimostra che il triangolo ABC e rettangolo di ipotenusa BC.

IPOTESI ........................................ TESI ........................................

DIMOSTRAZIONE

Indica con �, �, le ampiezze (in gradi) degli angoli del triangolo (vedi figura).

A

α

180 – 180 – γ

γ

B C Per ipotesi e

180 � � þ 180

� ¼ 270

cioe � þ ¼ .....

Da cio segue che � ¼ .........., ovvero la tesi che volevamo dimostrare.

558


ESERCIZI

100 Dimostra che se in un triangolo un angolo e congruente alla somma degli altri due, allora il triangolo e rettangolo.

101 Dimostra che la somma dei complementari degli angoli interni di un triangolo acutangolo e un angolo retto.

102 Sui cateti di un triangolo rettangolo isoscele ABC, di ipotenusa BC, costruisci, esternamente al triangolo, due trian-

goli equilateri ACD e ABE. Dimostra che l’ampiezza degli angoli alla base del triangolo isoscele DAE e 15 .

103 Dimostra che se in un triangolo ABC la mediana relativa a BC e la meta di BC, allora il triangolo e rettangolo e ha

come ipotenusa BC.

104 Dato il triangolo ABC, isoscele sulla base AB, traccia l’asse di AB, l’asse di BC e indica con P il loro punto d’interse-

zione. Dimostra che l’angolo al vertice del triangolo isoscele BPC e il doppio di ciascuno degli angoli alla base del triango-

lo ABC.

(Suggerimento: indica con la misura di P bCCB ed esprimi in funzione di la misura di BbPPC e la misura degli angoli alla base

del triangolo ABC)

105 In un triangolo rettangolo ABC, di ipotenusa BC, sia AH l’altezza relativa all’ipotenusa. Traccia la bisettrice dell’an-

golo BbAAH e indica con D il suo punto d’intersezione con BC. Dimostra che il triangolo ADC e isoscele sulla base AD.

Dimostrazioni in cui si utilizza il secondo criterio di congruenza generalizzato


Dato un segmento AB, sia M il suo punto medio. Condotta per M una retta r, indica con H e K, rispettivamente,

le proiezioni di A e B sulla retta r. Dimostra che AH ffi BK.

IPOTESI AM ffi :::::, AH? r, ....................

TESI AH ffi BK

A M B

K

H

r

DIMOSTRAZIONE

Considera i due triangoli AMH e BMK; essi hanno:

� bHH ffi bKK perche entrambi angoli ...............

� A bMMH ffi B bMMK perche ....................

� AM ffi ::::: per ....................

quindi sono congruenti in base al ..............................

In particolare sara AH ffi ..........

107 Dai vertici A e B di un triangolo ABC, isoscele sulla base AB, conduci rispettivamente le due rette a e b, perpendico-

lari ad AB. Indica con H la proiezione di C su a e con K la proiezione di C su b. Dimostra che AH ffi BK.

108 Dato un angolo convesso a bOOb e tracciata la sua bisettrice r, sia P un punto appartenente a r. Indica con H e K le

proiezioni di P sui due lati dell’angolo e dimostra che PH ffi PK.

109 Dato un triangolo ABC, siano B0 e C0, rispettivamente, le proiezioni di B e C sulla mediana AM o sul suo prolunga-

mento. Dimostra che BB0ffi CC0.

110 Dato un triangolo ABC, traccia la semiretta di origine C, parallela ad AB, giacente nello stesso semipiano di origine

BC a cui appartiene il triangolo; sia D il punto di tale semiretta tale che CD ffi BC. Sul prolungamento di BC, dalla parte di

C, considera il punto E tale che CbEED ffi BbAAC. Dimostra che AC ffi DE.

111 Dato un segmento AB, traccia, da parti opposte rispetto ad AB, una semiretta a di origine A e una semiretta b di ori-

gine B, che formano angoli congruenti con AB. Considera sulla semiretta a un punto P e sulla semiretta b un punto Q, ta-

li che AP ffi BQ. Dimostra che PQ divide a meta AB.

112 In due triangoli ABC e A0B0C0, siano AP e A0P0 le bisettrici degli angoli bAA e bAA0. Dimostra che se bAA ffi bAA0, bBB ffi bBB0 e

AP ffi A0P0, allora i due triangoli sono congruenti.

113 In due triangoli ABC e A0B0C0, siano AM e A0M 0 le mediane relative a BC e a B0C0. Dimostra che se bBB ffi bBB0, AM ffi A0M 0

e BbAAM ffi B0 bAA0M 0, allora i due triangoli sono congruenti.

559


ESERCIZI

5. Congruenza e triangoli rettangoli Teoria p. 542


In ciascuna delle coppie di triangoli raffigurate, gli elementi contrassegnati con lo stesso simbolo sono congruenti

per ipotesi. Stabilisci se e possibile affermare che i due triangoli sono congruenti e, in caso affermativo, specifica

in base a quale criterio di congruenza.

114

B C

A

B' C'

A'

a.

B C

A

B' C'

A'

b.

B C

A

B' C'

A'

c.

B C

A

B' C'

A'

d.

115 Vero o falso?

a. condizione necessaria perche due triangoli rettangoli siano congruenti e che abbiano gli angoli

ordinatamente congruenti V F

b. condizione necessaria e sufficiente perche due triangoli rettangoli siano congruenti e che abbiano

gli angoli ordinatamente congruenti V F

c. condizione sufficiente perche due triangoli rettangoli siano congruenti e che abbiano l’ipotenusa

e un cateto ordinatamente congruenti V F

d. condizione necessaria e sufficiente perche due triangoli rettangoli siano congruenti e che abbiano un lato

e un angolo acuto ordinatamente congruenti V F

e. condizione sufficiente ma non necessaria perche due triangoli rettangoli siano congruenti e che abbiano

ordinatamente congruenti gli angoli e un lato V F


Dimostrazioni in cui si utilizza il criterio di congruenza per i triangoli rettangoli

116 Dato un angolo a bOOb, considera sulla semiretta a un punto P e sulla semiretta b un punto Q, tali che OP ffi OQ. Con-

duci per il punto P la retta perpendicolare ad a e per il punto Q la retta perpendicolare a b, indicando con R il loro punto

di intersezione. Dimostra che la semiretta OR e la bisettrice dell’angolo a bOOb.

117 Dato un triangolo ABC, isoscele sulla base AB, dimostra che gli assi di AC e BC si incontrano in un punto P che ap-

partiene alla bisettrice di AbCCB.

118 In un triangolo ABC, isoscele sulla base AB, prolunga AB, dalla parte di A, di un segmento AD e, dalla parte di B, di

un segmento BE, in modo che AD ffi BE. Conduci da D la retta perpendicolare a CD e da E la retta perpendicolare a CE; in-

dica con F il punto di intersezione di tali perpendicolari. Dimostra che DF ffi EF.

560


ESERCIZI


Dimostra che due triangoli rettangoli sono congruenti se hanno ordinatamente congruenti un cateto e la mediana

a esso relativa.

A B

M

C

B'

C'

A'

M'

IPOTESI AC ffi A0C0, BM ffi .........., AM ffi MC, ................................, bCC ffi bCC0 ffi

2TESI ABC ffi A0B0C0

DIMOSTRAZIONE

Considera i due triangoli rettangoli MBC e M 0B0C0; essi hanno

� MC ffi ::::: perche ...................................

� BM ffi ::::: per .........................

Dunque tali triangoli hanno l’ipotenusa e un cateto congruenti: percio sono congruenti per il criterio di congruenza dei

triangoli rettangoli.

In particolare sara CB ffi ::::::::::

Ma allora i due triangoli rettangoli ABC e A0B0C0 hanno congruenti i due cateti ðAC ffi A0C0 per .................... e CB ffi ::::: per

quanto appena dimostrato) e dunque sono congruenti in base al ............... criterio di congruenza.

120 Dimostra che due triangoli rettangoli sono con-

gruenti se hanno ordinatamente congruenti un cateto e

la mediana relativa all’altro cateto.


gruenti se hanno ordinatamente congruenti un cateto e

la bisettrice dell’angolo acuto adiacente.


gruenti se hanno ordinatamente congruenti l’altezza rela-

tiva all’ipotenusa e la bisettrice dell’angolo retto.

123 Dimostra che due triangoli aventi ordinatamente

congruenti un lato e le altezze relative agli altri due lati

sono congruenti.


congruenti un lato e la mediana e l’altezza a esso relativa

sono congruenti.


congruenti un angolo, la bisettrice relativa a tale angolo e

l’altezza relativa al lato opposto all’angolo sono con-

gruenti.

126 Dimostra che un triangolo in cui le altezze relative

ai tre lati sono congruenti e equilatero.

(Suggerimento: dimostra preliminarmente che un triango-

lo in cui le altezze relative a due lati sono congruenti e

isoscele)

6. Luoghi geometrici e punti notevoli di un triangolo Teoria p. 542

Asse e bisettrice

127 Costruzione Fai riferimento alla fig. A. Costruisci un punto P equidistante dalle semirette r ed s ed equidistante

dagli estremi del segmento AB. Puoi effettuare la costruzione anche con GeoGebra utilizzando la figura predisposta.

s

r O

A B

r

s

A

B

Figura A Figura B

128 Costruzione Fai riferimento alla fig. B. Costruisci un punto P equidistante dalle rette r ed s ed equidistante dagli

estremi del segmento AB. Puoi effettuare la costruzione anche con GeoGebra utilizzando la figura predisposta.

561


ESERCIZI

Dimostrazioni

129 Dati due segmenti AB e BC, consecutivi ma non adiacenti, traccia gli assi dei due segmenti e indica con P il loro

punto di intersezione. Dimostra che P appartiene all’asse di AC.

130 Un punto P, interno a un triangolo ABC, e tale che P appartiene sia alla bisettrice dell’angolo CbAAB, sia alla bisettrice

dell’angolo AbBBC. Dimostra che allora il punto P appartiene anche alla bisettrice di AbCCB.

131 Considera la figura qui sotto.

O

C

D

A

B

E

a

b

AB e CD sono due segmenti congruenti, appartenenti ri-

spettivamente alle semirette a e b. Gli assi dei segmenti

AD e BC si intersecano in E. Dimostra che:

a. i due triangoli ABE e CDE sono congruenti;

b. il punto E appartiene alla bisettrice dell’angolo a bOOb.

132 Considera la figura qui sotto.

O

C

D

A

B

E

b

a

r

AB e CD sono due segmenti congruenti, appartenenti ri-

spettivamente alle semirette a e b. La bisettrice dell’ango-

lo a bOOb e l’asse del segmento AD si intersecano nel punto

E. Dimostra che:

a. i due triangoli ABE e CDE sono congruenti;

b. il punto E appartiene all’asse del segmento BC.

Punti notevoli

133 Costruzione Nelle seguenti figure e stato riportato quattro volte il triangolo ABC. Nella prima figura costruisci il

circocentro di ABC, nella seconda l’incentro di ABC, nella terza l’ortocentro di ABC e nella quarta il baricentro di ABC.

Puoi risolvere l’esercizio anche con GeoGebra, utilizzando la figura predisposta.

A

CB

A

CB

A

CB

A

CB

Dimostrazioni

134 Sia ABCD un parallelogramma di centro O. Sia M il punto medio di AB ed N il punto medio di BC. Indicato con E il

punto di intersezione del segmento AN con la diagonale BD, dimostra che i tre punti C, E edM sono allineati.

135 Sia ABC un triangolo e sia DE una corda del triangolo, con D appartenente ad AC ed E appartenente a BC. Sia H il

punto di intersezione delle bisettrici degli angoli C bDDE e CbEED del triangolo CDE, e K il punto di intersezione delle bisettri-

ci degli angli CbAAB e CbBBA del triangolo ABC. Dimostra che i tre punti C, H e K sono allineati.

136 Sia ABCD un parallelogramma di centro O. Sia M il punto medio di AB ed N il punto medio di BC. Dimostra che O e

il baricentro del triangoloMND.

137 Considera un triangolo rettangolo ABC, di ipotenusa BC. Sia AH l’altezza relativa all’ipotenusa. Indicato con M il

punto medio dell’altezza AH e con N il punto medio del segmento BH, dimostra che le semirette CM e AN sono perpendi-

colari tra loro.

(Suggerimento: che cosa rappresenta il puntoM per il triangolo ANC?)

562


ESERCIZI

ESERCIZI DI RIEPILOGO

Esercizi interattivi

138 Vero o falso?

a. condizione necessaria e sufficiente perche due rette siano parallele e che formino con una trasversale

due angoli corrispondenti congruenti V F

b. condizione necessaria e sufficiente perche due rette siano parallele e che formino con una trasversale

due angoli coniugati congruenti V F

c. condizione sufficiente perche due rette siano incidenti e che siano perpendicolari V F

d. se a? b e b? c, allora a? c V F

e. se a k b e b k c, allora a k c V F

f. se due triangoli rettangoli hanno due lati ordinatamente congruenti, sono congruenti V F

g. se due triangoli rettangoli hanno due angoli ordinatamente congruenti, sono congruenti V F


Test

139 Quale delle seguenti coppie di angoli formati da due rette parallele, tagliate da una trasversale, potrebbe essere co-

stituita da due angoli non congruenti?

A Una coppia di angoli alterni interni

B Una coppia di angoli corrispondenti

C Una coppia di angoli alterni esterni

D Una coppia di angoli coniugati interni

140 In riferimento alla figura qui sotto, in cui r k s, qual e l’ampiezza dell’angolo BbAAC?

63°

72°

s

C

A B r

141 In riferimento alla figura qui sotto, e possibile affermare che:

A sia le due rette r ed s, sia le due rette a e b sono parallele

B le due rette r ed s sono parallele, mentre a e b non lo sono

C le due rette a e b sono parallele, mentre r ed s non lo sono

D non sono parallele ne le due rette r ed s, ne le due rette a e b

44°

45°

135°

b

rs

a

142 Supponiamo che due rette r ed s, tagliate da una trasversale, formino angoli alterni interni supplementari; quale delle

seguenti affermazioni e vera?

A r ed s non possono essere parallele

B r ed s sono parallele

C r ed s sono perpendicolari

D r ed s possono non essere parallele, ma possono anche esserlo

A 44 B 45

C 46 D I dati sono insufficienti per determinarla

563


ESERCIZI

143 In un triangolo ABC, isoscele sulla base AB, l’angolo

esterno di vertice B ha ampiezza 130 . Qual e l’ampiezza

dell’angolo al vertice?

144 Un quadrilatero convesso ABCD e tale che gli angoli

esterni di vertici A, B, C hanno ampiezze rispettivamente

uguali a 25 , 75 , 220 . Qual e l’ampiezza dell’angolo in-

terno di vertice D?

145 La somma degli angoli interni di un esagono non re-

golare:

A e uguale a cinque angoli piatti

B non e calcolabile senza ulteriori dati

C e uguale a 4� radianti

D e uguale a 360 gradi

E e uguale a sei angoli retti

(Test di ammissione, Ingegneria 2009)

146 Nella figura e mostrata una parte di un poligono re-

golare. Il punto P e l’intersezione dei prolungamenti di

AB e CD; inoltre e noto che BbPPC ¼ 100 .

A B

C

P

D

Quanti sono i lati del poligono?

147 Quanti angoli retti puo avere al massimo un ottago-

no convesso?

Problemi

148 Nella figura qui sotto:

� E e il punto di intersezione di AD e BC;

� AB e parallelo a CD.

Determina le ampiezze degli angoli �, �, , �.

Aα

38°

108°

γ δ

B

C

D

E

[� ¼ � ¼ 34 , � ¼ 108 , ¼ 38 ]



r

P

RQ

S

130°

60°

?

125°

s

[55 ]

150 Figure impossibili. Le figure qui sotto sono «impossibili»: in ciascuna, infatti, c’e qualche elemento in contraddi-

zione con i teoremi studiati. Analizza ciascuna figura e spiega perche e «impossibile».

32°

75°

90°

110°

90°

95°

60°

80°

Dimostrazioni

151 In un quadrilatero ABCD risulta CD ffi AD e la semiretta AC e la bisettrice dell’angolo BbAAD. Dimostra che il lato AB

e parallelo al lato CD.

152 In un quadrilatero ABCD, risulta AB ffi CD e BC ffi AD. Dimostra che il lato AB e parallelo al lato CD e il lato AD e pa-

rallelo al lato BC.

A 40 B 45

C 80 D 85

A 130 B 140

C 150 D 160

A 8 B 9 C 10 D 11

A 3 B 4 C 5 D 6

564


ESERCIZI

153 Sia ABC un triangolo isoscele sulla base BC e sia DE una corda del triangolo parallela a BC (con D 2 AB ed E 2 ACÞ.

Dimostra che il triangolo ADE e isoscele.

154 In un quadrilatero ABCD, gli angoli di vertici B e D sono retti; inoltre BC ffi AD. Dimostra che il lato AB e parallelo a

CD e il lato BC e parallelo al lato AD.

155 In un triangolo ABC, isoscele sulla base AB, sia CH l’altezza relativa ad AB. Sia P la proiezione di H sul lato AC e Q la

proiezione di H sul lato BC. Dimostra che il triangolo PHQ e isoscele e che PQ e perpendicolare a CH.

156 In un triangolo ABC, isoscele sulla base AB, sia CH l’altezza relativa ad AB. Indica con P e Q, rispettivamente, le

proiezioni di H su AC e su BC; con P0 la proiezione di P su AB e con Q 0 la proiezione di Q su AB. Dimostra che P0C ffi Q 0C.

157 Videolezione In un triangolo rettangolo ABC, di ipotenusa BC, considera sull’ipotenusa il punto D tale che

BD ffi AB. Conduci per il punto D la retta perpendicolare a BC; essa incontra AC in E e il prolungamento di AB in F. Di-

mostra, nell’ordine, che:

a. il triangolo ABC e congruente al triangolo BDF;

b. il triangolo BCF e isoscele;

c. BE e la bisettrice dell’angolo bBB.

158 Dimostra che un poligono convesso non puo avere piu di tre angoli interni acuti.

159 Tre segmenti AB, BC e CD sono adiacenti e congruenti. Costruisci, da una stessa parte rispetto alla retta AD, la semi-

retta di origine A perpendicolare ad AD e il triangolo equilatero BCE. Indica con F il punto in cui la retta ED incontra tale

semiretta.

a. Determina le ampiezze degli angoli interni dei triangoli BEC, ABE, ECD, AFE.

b. Che tipo di triangolo e AFE?

c. Dimostra che il triangolo ABF e congruente al triangolo BEF.

d. Dimostra che la retta FB e parallela alla retta EC.

160 Dato un triangolo ABC, isoscele sulla base AB, traccia le bisettrici AP e BQ degli angoli bAA e bBB del triangolo. Dimostra,

nell’ordine, che:

a. il triangolo AQB e congruente al triangolo APB;

b. CQ ffi CP;

c. i triangoli ABC e QPC hanno gli angoli ordinatamente congruenti;

d. la retta PQ e parallela alla retta AB.

161 In un triangolo acutangolo ABC, sia AH l’altezza relativa a BC. L’asse di BH incontra AB in P e l’asse di HC incontra

AC in Q. Dimostra che:

a. APH e AQH sono triangoli isosceli;

b. PAQ e PHQ sono congruenti;

c. la retta PQ e parallela a BC.

162 Dimostrazione senza parole. La seguente figura si puo considerare una «dimostrazione senza parole» di una pro-

prieta degli angoli del poligono AGBHCIDLEF.

1

2

2 + 4

2 + 4

1 + 3 1 + 3 3

4

5

A

B

C

D

E L I

F

G

H M

Scrivi per esteso l’enunciato del teorema e la dimostrazione.

565


ESERCIZI

ESERCIZI DALLE GARE DI MATEMATICA

163 Osserva la figura a lato. Si sa che AB ffi AC, che PQ e perpendicolare ad

AB, che l’angolo BbPPC misura 120� e l’angolo AbBBP misura 50�. Quanto misura

l’angolo PbBBC?

A

B C

Q

PA 5�

B 10�C 15�

D 20�E 25�

(Kangourou 2008) [A]

164 E dato un triangolo isoscele ABC, in cui CA ffi CB. Il punto D sul lato AB e

tale che AD ffi AC e DB ffi DC (vedi la figura a lato). Allora la misura dell’angolo

AbCCB e:C

A D BA 98�

B 100�C 104�

D 108�E 110�

(Kangourou 2008) [D]

165 I triangoli ABC e CDE in figura sono congruenti ed equilateri. Se l’an-

golo AbCCEmisura 80�, quanti gradi misura l’angolo AbBBE?

C

A

80°?

D

E

BA 25�

B 30�C 35�

D 40�E 45�

(Kangourou 2007) [D]

166 Cinque diverse rette passano per uno stesso punto P e su ciascuna di

esse sono fissati due punti, diversi da P e da parti opposte rispetto a P: i cin-

que triangoli in figura sono ottenuti congiungendo opportunamente i dieci

punti in questione. Quanti gradi misura la somma dei dieci angoli eviden-

ziati in figura? P

A 300�B 450�

C 360�D 600�

E 720�

(Kangourou 2005) [E]

SOLVE MATH IN ENGLISH

167 Suppose that AB ffi AC ffi CD and AD ffi BD. What is the measure of A bDDC

in degrees?

B

A

C

DA 24�

B 28�C 32�

D 36�E 40�

(High School Math Contest 1996) [D]

168 The measures (in degrees) of the interior angles of a quadrilateral are: x;1

2x, 2x,

3

2x. What is the measure of the lar-

ger interior angle? [144�]

169 Determine if it is possibile for a regular polygon to have an interior angle with the given angle measure:

a. 120�

b. 130�

c. 140�

566


ESERCIZI

Rette perpendicolari e parallele

1 Vero o falso? Fai riferimento alla figura a lato.

r

s

α1 α

2

α3

α4

1

2

3

4

a. �1 e �4 sono alterni interni V F

b. �2 e �2 sono coniugati V F

c. se �1 ffi �1 allora r ed s sono parallele V F

d. se �4 þ �2 ffi � allora r ed s sono parallele V F

e. se �3 þ �3 ffi � allora r ed s sono parallele V F

2 a. Enuncia il criterio generale di parallelismo.

b. Supponi che due rette r e s, tagliate da una trasversale, formino angoli coniugati interni congruenti; quale delle seguenti

affermazioni e esatta? Giustifica la tua risposta.

A r e s non possono essere parallele

B r e s sono parallele

C r e s sono perpendicolari

D r e s possono non essere parallele, ma possono anche esserlo

3 Considera le quattro coppie di triangoli nella figura qui sotto: in esse gli elementi contrassegnati con lo stesso sim-

bolo sono congruenti. Per ciascuna coppia stabilisci se le informazioni date garantiscono che i due triangoli siano con-

gruenti specificando, in caso affermativo, quale criterio consente di stabilirlo.

A B C D

4 a. Enuncia il teorema sulla somma degli angoli interni di un triangolo.

b. In un triangolo isoscele l’angolo al vertice e di 40�. Qual e l’ampiezza degli angoli esterni agli angoli alla base?

5 a. Scrivi la formula che permette di calcolare la somma delle ampiezze degli angoli interni di un poligono convesso

di n lati.

b. Qual e la somma delle ampiezze degli angoli interni di un esagono convesso?

c. Qual e il poligono convesso la cui somma degli angoli interni e 900�?

6 Dimostra che due triangoli rettangoli aventi ordinatamente congruenti un cateto e l’altezza relativa all’ipotenusa

sono congruenti.

Valutazione

Esercizio 1 2 3 4 5 6 Totale

Punteggio 0,25 5 ¼ 1,25 0,75 2 ¼ 1,5 0,25 4 ¼ 1 0,5 2 ¼ 1 0,75 3 ¼ 2,25 3 10

Punteggio

ottenuto

Tempo massimo: 1 ora

Risposte p. 675Scheda per il recupero

567

ESERCIZI

Prova di autoverifica

13 e parallele - wordpress.com...se, per assurdo , le due rette r ed s avessero un punto di...

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