3 dinamika materijalne tacke

Predavanja iz predmeta Mehanika II, Prof. dr R. Slavkovi 1

OPTI ZAKONI DINAMIKE MATERIJALNE TAKE

ZAKON O PROMENI KOLIINE KRETANJA Koliina kretanja Impuls sile Zakon o promeni koliine kretanja u diferencijalnom obliku Zakon o promeni koliine kretanja u integralnom obliku Zakon o odranju koliine kretanja materijalne take

ZAKON O PROMENI MOMENTA KOLIINE KRETANJA TAKE Moment koliine kretanja Zakon o odranju momenta koliine kretanja

ZAKON O PROMENI KINETIKE ENERGIJE Rad sile. Konzervativne sile Analitiki izraz za rad Kinetika energija materijalne take. Zakon o promeni kinetike energije Zakon o promeni kinetike energije


U opte zakone dinamike spadaju:

zakon o promeni koliine kretanja, zakon o promeni momenta koliine kretanja, zakon o promeni kinetike energije materijalne take.

Opte zakone dinamike take treba posmatrati kao teoreme izvedene iz osnovnih Njutnovih zakona.

Pri prouavanju kretanja materijalne take, primenom optih zakona dinamike, izbegava se sloen proces integracije diferencijalnih jednaina kretanja ime se znatno olakava reenje posmatranog problema.

OPTI ZAKONI DINAMIKE MATERIJALNE TAKE


Koliina kretanja materijalne take je vektorska veliina koja predstavlja proizvod mase i brzine take.

ZAKON O PROMENI KOLIINE KRETANJAKoliina kretanja

v

xy

zK

mKy

Kx

Kz

vmKrr =

zmmvK

ymmvKxmmvK

zz

yy

xx

&&&

======

Projekcije u pravcu koordinatnih osa:

Dimenzija koliine kretanja:

[ ] [ ] [ ]FTMLTK == 1[M] dimenzija sile,[L] dimenzija duine,[T] dimenzija vremena.

Vektor je kolinearan sa vektorom brzine i istog je smera.

Kr kKjKiKK zyx

rvrr ++=kzjyixvr&v&r&r ++=


Impuls sile

Elementarni impuls sile je vektorska veliina jednaka proizvodu vektora sile i elementarnog vremenskog intervala.

dtFIdrr =

ZdtdI

YdtdIXdtdI

z

y

x

===

tF0

F

t0M0

M

dI0

dI

Elementarni impuls je vektor kolinearan sa vektorom sile.

Projekcije na koordinatne ose:

t

x dIx

dtt00

Ix

t

kZjYiXFrvrr ++=


Impuls sile u odreenom konanom vremenskom intervalu t0 t:

Impuls sile nije vezan za kretanje, za pomeranje napadne take sile, ve za vremenski interval kretanja.

==t

t

t

tdtFIdI

00

rrr

=

=

=

t

tz

t

ty

t

tx

ZdtI

YdtI

XdtI

0

0

0

[ ] [ ]FTI =

===tt

tFdtFdtFI00

rrrr

Projekcije na koordinatne ose:

xy

z

Ix

IyIz

I Dimenzija impulsa sile:

Ako je F=const, tada:

t

x dIx

dtt00

Ix

t


Impuls sile koja dejstvuje na nepominu taku moe se izraunati samo ako je poznata zavisnost sile od vremena, tj.

odnosno:

)(tFFrr =

)()()(

tZZtYYtXX

===

Da bi se prema navedenoj relaciji mogao izraunati impuls sile, a da pri tome nije poznat zakon kretanja take pod dejstvom sile, sledi da od svih sila koje dejstvuju na taku, treba izdvojiti one sile koje su konstantnog intenziteta, odnosno poznate su funkcije vremena.

==t

t

t

tdtFIdI

00

rrr

Odreivanje impulsa sila koje su funkcije poloaja take ili brzine take, mogue je jedino ako je poznat jo i zakon kretanja take.


Zakon o promeni koliine kretanja u diferencijalnom obliku

Ako na taku mase m dejstvuje sila F, onda je prema drugom Njutnovom zakonu:

Fdtvdm

rr =

Fvmdtd rr =)(

FdtKd rr=

Ako na taku dejstvuje sistem sila, tada je: = iFdtKd rr

Izvod koliine kretanja materijalne take po vremenu jednak je vektorskom zbiru (ili rezultanti sila koje dejstvuju na taku.

constm =Ako je , tada:

odnosno:


Zakon o promeni koliine kretanja u integralnom obliku

Zakon daje vezu izmeu koliine kretanja na kraju i na poetku posmatranog intervala i sila koje u tom intervalu dejstvuju.

Promena koliine kretanja u nekom vremenskom intervalu jednaka je vektorskom zbiru impulsa svih sila, koje dejstvuju na taku, raunatih u tom istom vremenskom intervalu.

== ii IddtFKd rrr

=t

i

tdtFKd

00

rr = iIKK rrr 0 =t

ii dtFI0

rr

===

izzz

iyyy

ixxx

IKK

IKKIKK

0

0

0

===

iz

iy

ix

Izmzm

IymymIxmxm

0

0

0

&&&&&&

Na osnovu izraza: = iFdtKd rr

Integraljenjem se dobija:

U skalarnom obliku:


Zakon o odranju koliine kretanja materijalne take

U skalarnom obliku:

Ako je u nekom vremenskom intervalu vektorski zbir impulsa svih sila jednak nuli, onda je koliina kretanja take na kraju jednaka koliini kretanja na poetku tog intervala (u pojedinim trenucima unutar intervala rezultanta sila moe biti razliita od nule)

= 0iFr 0=dtKdr

= 0iIr 0KK rr =

00

00

00

,,,

zzzmzmyyymymxxxmxm

&&&&&&&&&&&&

======


ZAKON O PROMENI MOMENTA KOLIINE KRETANJA TAKE

To je moment vektora koliine kretanja, pa analogno definiciji momenta sile, postoji moment koliine kretanja za taku i moment koliine kretanja za osu.

Moment koliine kretanja

Moment koliine kretanja za taku A je:

zmymxmzyxkji

vmrKrLA&&&

rrrrrrrr ===

zAz

yAy

xAx

LxyyxmL

LzxxzmLLyzzymL

======

)(

)()(

&&&&&&

F2

Ax

y

z

F1

FnLA

m

K

r

v

Moment koliine kretanja take mase m za taku A, je vektor upravan na ravan u kojoj lei brzina i vektor poloaja take , a komponente se izrauna-vaju razvijanjem determinante po prvoj vrsti.

rr

AzAyAx LLL ,,


Za sluaj kretanja take u ravni x,y:

0, ==== yxzA LLLmvhL

= iFdtvdm

rr

= iFrdtvdmr

rrrr

A

x

y

z

LA

mvmh

Zakon promene momenta koliine kretanja:

Polazei od II Njutnovog zakona:

Pomnoimo jednainu vektorski vektorom poloaja rr

= iFAMdtvdmr

rrr

Izvod po vremenu vektora ALr

( )dtvdmrvm

dtrdvmr

dtd

dtLd A

rrrrrrr

+== 0

dtvdmr

dtLd A

rrr

== iFAA Mdt

Ld rrr


Zakon o promeni momenta koliine kretanja za taku:Izvod momenta koliine kretanja take za neku taku A, jednak je vektorskom zbiru momenata svih sila koje dejstvuju na taku, raunatih za istu taku A.

dtdL

dtdL

dtLd xAx

x

A ==

r

=

=

=

i

i

i

Fz

z

Fy

y

Fx

x

Mdt

dL

Mdt

dL

Mdt

dL

r

r

r

U skalarnom obliku:

= iFAA MdtLd rrr

Zakon o promeni momenta koliine kretanja take za osu:Izvod momenta koliine kretanja take za neku osu jednak je algebarskom zbiru momenata svih sila koje na taku dejstvuju, a za istu osu.


Zakon o odranju momenta koliine kretanja

Ako je pri kretanju take u nekom vremenskom intervalu vektorski zbir momenata svih sila za neku taku A jednak nuli, onda je moment koliine kretanja u tom vremenskom intervalu za istu taku A konstantan.

CvmrCLArrrrr == ,

Ako je 0= iFAMrr

0=dtLd Ar

= 0iFxM rAko je constLx =Najea primena zakona - reavanje zadataka pri krunom kretanju take ili pri kretanju pod dejstvom sila koje prolaze kroz stalnu taku ili presecaju odreenu osu.


ZAKON O PROMENI KINETIKE ENERGIJERad sile

Elementarni rad dA sile jednak je proizvodu projekcije sile FT na pravac pomeranja take i elementarnog pomeranja ds.

(ili:)Elementarni rad sile jednak je proizvodu intenziteta sile F, elementarnog pomeranja ds i kosinusa ugla izmeu pravca sile i pravca pomeranja.

s

FT

F

ds

T

M1

M2

Ako se napadna taka sile pomera du putanje s, rad sile na elementarnom pomeranju je:

Fr

sdr

Rad na elementarnom pomeranju je:

pozitivan za < 90 negativan za > 90 jednak nuli za = 90

sdFdrr =

dsFdsFd T cos==


Rad na konanom pomeranju napadne take sile izmeu poloaja M1 i M2:

Ako je tokom kretanja FT=const, tada je:

s

FT

F

ds

T

M1

M2

Ako se napadna taka sile kree pravolinijski, sila je konstantna i ima pravac putanje, onda je rad jednak:

==2

1

2

12,1 )( dsFsdF T

rr

sFssFdsFdsF TTs

sTT ==== )(

2

1122,1

2

1

sF=


Analitiki izraz za rad

ZdzYdyXdxsdFd ++== rr

++=2

1

2

1

2

12,1 ZdzYdyXdx

xy

z

F

dsdz

dxdy

2

1

kdzjdyidxsdrvrr ++=

kZjYiXFrvrr ++=

Ako su projekcije sile i elementarnog pomeranja:

Na osnovu definicije rada, sledi:

Rad na konanom pomeranju izmeu poloaja napadne take 1 i 2 predstavljen je zbirom integrala:


Teorema:Rad rezultante sistema sila koje dejstvuju na jednu taku (sueljne sile) jednak je algebarskom zbiru radova komponenata.

Pri pomeranju napadne take, rad rezultante na elementarnom pomeranju je:

Poto je: nR FFFFrrrr +++= ...21

U integralnom obliku:

ds

F2F1

Fn

FR

sdFd RFRrr =

sdFsdFsdFsdFFFd nnFRrrrrrrrrrr +++=+++= ...)...( 2121

nF dddd R +++= ...21iF dd R =

)(2,1

)(2,1

iF dd R =


Konzervativne sile

Neka je U skalarna funkcija koordinata napadne take sile F:

UgradF =r

UF =r

kzUj

yUi

xUF

rrr+

+=

zUZ

yUY

xUX

==

= ,,

kZjYiXFrvrr ++=

),,( zyxU

Sila F se moe izraziti u obliku gradijenta skalarne funkcije U:

U Dekartovom koordinatnom sistemu jednaina je oblika:

Projekcije u pravcu koordinatnih osa:

Za silu koja se moe izraziti navedenim jednainama kaemo da je konzervativna sila.Skalarna funkcija U iji je gradijent sila, zove se funkcija sile.


Navedene jednakosti se mogu izraziti u vektorskom obliku:

xY

yxU

xyU

yX

=

==

22

yZ

zY

xZ

zX

=

=

,

0=

==

ZYXxxx

kji

FFrot

rrrrrr

UEp =

Ako je sila konzervativna tada vae jednakosti:

Frotr

- rotor sile Fr

Ako su poznate projekcije sile X, Y, Z, onda je sila konzervativna ako je rotor sile jednak nuli.

esto se umesto funkcije sile U koristi potencijalna energija Ep(x,y,z):


Teorema:Rad konzervativne sile ne zavisi od oblika putanje napadne take sile.

Pretpostavimo da se napadna taka pomerila iz poloaja 1 u poloaj 2du putanja I ili II:

I

II1 2

12

Ep1 Ep2

2U =const1U =constElementarni rad konzervativne sile je:

Rad na pomeranju 1 - 2:

Rad zavisi samo od vrednosti funkcije sile (odnosno potencijalne energije) u krajnjem i poetnom poloaju i ne zavisi od oblika putanje kojom je napadna taka prela iz jednog u drugi poloaj. Time je teorema dokazana.

Korienjem jednaina:

zUZ

yUY

xUX

==

= ,,UEp =

pdEdUdzzUdy

yUdx

xU ==

++

=

===2

121122,1 pp EEUUdU

ZdzYdyXdxsdFd ++== rr


CsdFEp += rr

I

II1 2

12

Ep1 Ep2

2U =const1U =const

Geometrijski pokazano, U(x,y,z)=U1=const predstavlja povr u prostoru koja se zove ekvipotencijalna povr. Veliina potencijalne energije na njoj je konstantna.

Rad konzervativne sile pri pomeranju izmeu bilo koje dve take dveju ekvipotencijalnih povri je isti:

est zadatak je odreivanje funkcije EP(x,y,z) kada je poznata sila.Polazei od izraza za elementarni rad:

pdEsdFd == r

r

2,1212,12,1 )(...'' ppp EEE ====


Kinetika energija materijalne take

Kinetika energija materijalne take predstavlja poluproizvod mase i kvadrata brzine take.

2

21 mvEk =

)(21 222 zyxmEk &&& ++=

)(21)(

21 2222222 zvvvmE zcrk &&& ++=++=

vvmEkrr =

21

U Dekartovom koordinatnom sistemu:

U polarno cilindrinom koordinatnom sistemu:

Kvadrat brzine se moe izraziti preko skalarnog proizvoda pa je kinetika energija oblika:

vvrr


Zakon o promeni kinetike energije

Tada je:

iFamvr =

TiT Fma =

TiFdtdvm =

dsdvv

dtds

dsdv

dtdvaT ===

TiFdsdvmv =

ds

F2

F1

Fn

vT

s

M0

m

Posmatrajmo kretanje take mase m na koju dejstvuje sistem sila:

Projektovanjem jednaine na pravac tangente:

Ili:

Tangencijalno ubrzanje se moe izraziti kao:

Konano je:


Poto je m=const, leva strana jednakosti se moe pisati kao diferencijal

dsFmvdv Ti=

dsFdsFdsFmvd TnTT +++=

...21

212

ik ddE =

ds

F2

F1

Fn

vT

s

M0

m

TiFdsdvmv =

kdEmvd =

221

Tada je:

Zakon o promeni kinetike energije take u diferencijalnom obliku:Prirataj (diferencijal) kinetike energije na elementarnom pomeranju materijalne take jednak je algebarskom zbiru radova svih sila koje dejstvuju na taku na tom pomeranju.


Zakon o promeni kinetike energije take u konanim (integralnom) obliku:Promena kinetike energije materijalne take pri pomeranju take izmeu dva poloaja, jednak je zbiru radova svih sila koje dejstvuju na taku, na tom pomeranju.

Ako je ukupan rad svih sila na pomeranju take izmeu dva poloaja jednak nuli, onda je kinetika energija u ta dva poloaja ista.

Integracijom jednaine izmeu dva konano razliita poloaja 1 i 2:

+++=

21

2

12

2

11

2

1

2 ...21 dsFdsFdsFmvd TnTT

nmvmv +++=

...21

21

211

2

2

2

ikk EE = 12

ik ddE =


Zakon o odranju mehanike energijeAko na taku deluju konzervativne sile, onda je elementarni rad ovih sila:

pk dEdE =0)( =+ pk EEd

0=dEconstEEE pk =+=

Gde su Ep1, Ep2, . . . ,Epn potencijalne energije pojedinih sila, a Ep ukupna potencijalna energija

Ako na taku dejstvuju samo konzervativne sile u nekom vremenskom intervalu (ili na nekom delu putanje) onda u tom periodu kretanja mehanika energija take ostaje konstantna.

Zakon vazi i u sluaju kada na taku, pored konzervativnih dejstvuju i nekonzervativne sile, ali pod uslovom da nekonzervativne sile ne vre rad.

pppik dEdEdEddE === 0'

Na osnovu jednaine , dobija se:ik ddE =

- rad i-te nekonzervativne sile.'id

ppnppi dEdEdEdEd == ...21


Snaga

Snaga P sile F predstavlja rad sile u jedinici vremena.

dtdP =

vFdtdsFP TT ==

Moe se napisati:

Jedinica za snagu je vat:

sNm

sJW ==

3 dinamika materijalne tacke

Documents