4 dinamika materijalne tacke

Predavanja iz predmeta Mehanika II, Prof. dr R. Slavkovi 1

NEKI POSEBNI SLUAJEVI KRETANJA MATERIJALNE TAKE

KRETANJE TAKE POD DEJSTVOM CENTRALNE SILE

Centralna sila Zakon povrina Bineov obrazac Keplerovi zakoni Njutnov zakon opte gravitacije Kretanje take pod dejstvom sile opte gravitacije Kretanje take u nehomogenom polju tee. Putanje vetakih zemljinih satelita

PRINUDNO KRETANJE MATERIJALNE TAKE

Mehanike veze Prinudno kretanje po liniji Dalamberov princip za materijalnu taku


NEKI POSEBNI SLUAJEVI KRETANJA MATERIJALNE TAKEKRETANJE TAKE POD DEJSTVOM CENTRALNE SILE

Centralna sila. Zakon povrina. Bineov obrazac

00 =FMrr

constLdtLd == 00 ,0

rr

000 vmrconstvmrLrrrrr ===

Za silu kaemo da je centralna ako njena napadna linija u toku celog kretanja prolazi kroz jednu taku (centar sile), a njen intenzitet zavisi samo od rastojanja take od centra sile.Ako je kretanje pod dejstvom centralne sile vai zakon o odranju momenta koliine kretanja za centar sile.

Poto je:

sledi:

to znai da vektori i odreuju stalnu ravan u prostoru i taka se pod dejstvom centralne sile kree u toj ravni.

rr

vr

0

x

y

z

m F

v

s = cL0 = constdA

drr

0v

0r

dA


0

x

y

z

m F

v

s = cL0 = const

dA

drr

0v

0r

dA

rdrAdrrr =

21

CLm

vrdtrdrS

dtAd rrrrrrrr

===== 0121

21

Neka je vektor elementarne povrine kolju u toku elementarnog intervala dtprebrie vektor poloaja take, tj.

Adv

Diferenciranjem po vremenu:

- sektorska brzina.Cr

Zakon povrina:Sektorska brzina tj. brzina prebrisavanja povrine od strane vektora poloaja take u odnosu na centar sile je konstantna.


Odreivanje intenziteta sektorske brzine

Diferencijalne jednaine kretanja u polarnom koordinatnom sistemu su: M0

0 mFr

0v0r

v

0c

&221 r

dtdAC ==

&22 rC =

rr Fma =0=cma

drdrrdA 221

21 ==

FFr =FFr =

- ako je sila odbojna (usmerena od centra),

- ako je sila privlana.


Intenzitet sektorske brzine mogue je odrediti i na drugi nain:

Poto je:

Poto je: 0=cma 0=ca( ) 011 2 == &r

dtrac

constCr == 22&

cvr =&2

sin)(2 0000 vrvrrvC cc ===

&&& rrar =

rFrrm = )( &&&

Radijalno ubrzanje je:

Primenom jednaine: rr Fma =

Gde su:r0 poetno rastojanje,v0 poetna brzina, - ugao izmeu v0 i poetnog pravca.


Drugi izvod rastojanja r po vremenu, moe se transformisati na sledei nain:

drd

rC

drd

dtd

drd

dd

dtrd

dtrdr

&&&&&&&&2

2=====

ddr

rC

ddr

dtd

ddr

dd

dtdr

dtdrr 2

2===== &&Prvi izvod rastojanja r po vremenu, moe se transformisati na sledei nain:

&22 rC =jer je:

Poto je:

ddr

rrdd

211 =

Tada je:

= ddr

rC

dd

drd

22&

=rd

dCdd

drd 12 &

=rd

dCd

rd 12 22

&

=

=rd

drC

rddC

rCr 14122 2

2

22

2

2 &&


Zamenom u jednainu:

Uvoenjem smene:

rFrrm = )( &&&

mF

rCr

rdd

rC r=

4

2

2

2

2414

ru 1=

22''

4 muCFuu r=+

Bineov obrazac Poto je Fr=Fr(r), obrazac predstavlja diferencijalnu jednainu putanje take.Binet (1786. - 1856.)

dobija se konano:


Izraz za kvadrat brzine pri centralnom kretanju.Kvadrat brzine je jednak zbiru kvadrata radijalne i cirkularne komponente brzine:

Korienjem jednaina

222222 && rrvvv cr +=+=

4

222'22 4)(4

rCruCv +=

[ ]22'22 )(4 uuCv +=

ddr

rC

ddr

dtd

ddr

dd

dtdr

dtdrr 2

2===== &&

&22 rC =dobija se: r

u 1=

=rd

du 1'

=rd

du 122

''


1. Poznata je putanja take, r = r(), odakle se moe izraunati u = u().Treba nai silu koja to kretanje prouzrokuje i treba nai zakone kretanja.Postupak reavanja:

2. Poznata je zavisnost sile od rastojanja F = F(r), treba nai putanju r = r(), zakone kretanja r = r(t), = (t) i zavisnost brzine od rastojanja v = v(r).

3. Poznata je zavisnost brzine od rastojanja v = v(r). Treba nai jednainu putanje F = F(r) i zakone kretanja r = r(t), = (t).

Postupak reavanja:

Postupak reavanja:

Primenom Bineovog obrasca FrZakoni kretanja se dobojaju polazei od jednaine: Cr 2

2 =&)(2)(2 tCdtdr =

[ ] )()( trtrr =

Poi od Bineovog obrasca, zameniti )(uFF rr = , nai u = u()Zakoni kretanja i v = v(r), isto kao u 1. sluaju

Poi od jednaine i zameniti v = v(u).Integracijom te jednaine dobija se v(), r=r().

Mogui zadaci iz ove oblasti:

[ ]22'22 )(4 uuCv +=


Keplerovi zakoni. Njutnov zakon opte gravitacije.

gde su T1-vreme obilaska oko Sunca, a1 vea poluosa jedne planete, k koeficijent.

1. Putanje planeta su elipse kod kojih se u zajednikoj ii nalazi Sunce. (Elipse ne lee u istoj ravni).

2. Vektor poloaja planete u odnosu na Sunce prebrisuje u jednakim vremenskim razmacima jednake povrine.

3. Kvadrati vremena obilaenja pojedinih planeta oko Sunca srazmerni su kubovima veih poluosa elipsi po kojima se ona kreu, tj.

...,, 322

231

21 kaTkaT ==

kaT

aT === ...3

2

22

31

21

Kepler (1571. 1630.)

Zakonitost kretanja planeta oko Sunca otkrio je Kepler, pre nego to je Njutn formulisao svoj zakon opte gravitacije. Keplerovi zakoni glase:


Normalno ubrzanje planeta usmereno je prema Suncu i iznosi:

Njutn je izveo zakljuak da je:

2

222 412T

rr

rTr

vaN =

==

arkrT = ,32

2

2

3

2 144rkkr

raN ==

221 :: HRgg =

22

32

2

21 9754

scm

TRH

RHgg

L===

''' 4843727 hdTL =RH 4.60=kmR 6357

- vreme obilaska Meseca oko Zemlje

r rastojanje planete od Sunca,H rastojanje izmeu Zemlje i Meseca,g1 ubrzanje take na Mesecu usled

privlaenja Zemlje,g ubrzanje take na povrini Zemlje.R poluprenik Zemlje.TL - vreme obilaska Meseca oko Zemlje


Sila kojom Sunce privlai Zemlju:

Sila kojom planeta privlai Sunce:

2'

rmF =

2''

rmF ss=

22 rm

rm ss =

fmm

s

s==

2

3111067.6

skgmf =

Univerzalna gasna konstanta predstavlja silu privlaenja izmeu dve mase od 1 kg na rastojanju od 1m.

221

rmmfF =

r rastojanje planete od Sunca,m masa planete, koeficijent proporcionalnosti,ms masa Sunca,s konstanta koja vai za Sunce.

''' FF =Izjednaavanjem dobija se nova konstanta f koja ima istu vrednost za sve planete, tj. Vai za ceo Sunev sistem.

Njutnov zakon o optoj gravitaciji sila privlaenja izmeu dve mase m1 i m2 koje su na rastojanju r je:


Kretanje take pod dejstvom sile opte gravitacije

Da bi se odredila jednaina putanje r = r(), koristi se Bineov obrazac:

Ravan kretanja odreena je vektorima i .0OM 0vr

22''

4 muCFuu r=+

Projekcija centralne sile na radijalni pravac je:Fr

202

0 ummfr

mmfFFr ===

20

22

20''

44 Cmf

umCummfuu ==+

Diferencijalna jednaina putanje glasi:

Ako uvedemo, radi kraeg pisanje, konstantu p:0

24mfCp =

puu 1'' =+

Nehomogena diferencijalna jednaina kretanja drugog reda sa konstantnim koeficijentima

M0

0

m

Fr

0v

0r

M

0m

Neka se centar privlaenja, mase mo, nalazi u koordinatnom poetku.


Reenje jednaine sastoji se iz homogenog i nehomogenog dela.

Pretpostavlja se reenje oblika:

puu 1'' =+

0'' =+ uuReenje homogene jednaine:

ph uuu +=

Ceuh =

eCuh =' eCuh 2'' =

02 =+ eCeC0)1( 2 =+ eC

Tada je:

Koreni karakteristine jednaine su:

012 =+12 =

i=2/1{


Homogeno reenje je:

Korien je Moavrov obrazac:

)sin(cos)sin(cos '''"' iCiCeCeCu iih ++=+= sincos iei +=

sincossin)(cos)( 21"'"' CCCCCCuh +=++=Grupisanjem lanova koji sadre cos i sin dobija se:

Partikularno reenje je oblika:

Opte reenje jednaine je:

Aup =0''' == pp Uu

pA

pA 110 ==+

puu 1'' =+Zamenom u jednainu:

pCC

r1sincos1 21 ++=


Poetni uslovi:

00,0 rrvvt ===

prC

pC

r1111

011

0=+=

Diferenciranjem jednaine po uglu :p

CCr

1sincos1 21 ++= cossin

1212 CCd

drr

+=

&&

&&rr

ddt

dtdr

dtdt

ddrr ==== 1'

ctgrrvvrr 00

0

0

0

0'0 sin

cos === &&

Izvod r po uglu , moe se transformisati kao:

Poetna vrednost za :'0r


Zamenom u jednainu , dobija se: cossin1

212 CCddr

r+=00,,0 rr&=

ctgr

CCctgrr 0

22020

1,1 ==

Opte reenje je oblika:p

CCr

1sincos1 21 ++= p

ctgrprr

1sin1cos11100

+

=

Neka su nove konstante D i :

sin1

cos11

0

0

Dctgr

Dpr

=

=

=

+

=

ctgpr

parctg

rctg

prD

0

20

22

0

11


Jednaina putanje ima oblik:

Ako se uvede nova konstanta :

pD

r1)sinsincos(cos1 +=

pD

r1)cos(1 +=

20

22

0

11r

ctgpr

ppD +

==

cos1+=pr

i promenljiva , konano se dobija: =


Ova jednaina predstavlja jednainu konusnog preseka.

Pod dejstvom Njutnove sile opte gravitacije, taka se kree po jednoj od krivih:

po krugu, elipsi, paraboli, hiperboli.

Oblik konusnog preseka zavisi od veliine , koja se zove ekscentricitet, prema sledeem:

= 0 - krug, < 1 - elipsa, = 1 - parabola, > 1 - hiperbola.

cos1+=pr


Kretanje take u nehomogenom polju tee. Putanje vetakih zemljinih satelita.

Dvostruka sektorska brzina je:

Poetni uslovi kretanja su:

02,,0 === Rr

0000 cossin2 RvvrC ==

M0

F0v

M1 R

A

P

0

r

Ako je taki saoptena poetna brzina v0 sa povrine Zemlje pod uglom 0 prema horizontu, onda se mogu izraunati konstante p i u jednaini

cos1+=pr


M0

F0v

M1 R

A

P

0

r

Poto je sila privlaenja na povrini Zemlje F = mg, tada je:

Izraunavanje konstante p:

20

Rmmfmg =

20 gRfm =

gv

gRvR

fmCp 0

220

20

220

2

0

2 coscos4 ===

Izraunavanje konstante :

=

= )cos(22sin

coscos

022

0

020

00

220

022

0

vgR

varctgtgvgR

varctg

Na osnovu jednaine sledi:

= ctgprparctg

0


Izraunavanje ekscentriciteta :

Na osnovu jednaine , sledi:2

0

22

0

11r

ctgpr

ppD +

==

022

0

2

20

22

02

0

22

sin112

rp

rp

rctgp

rp

rp +=++=

)2(cos1 20220

220 gRv

Rgv +=

Korienjem jednaine , sledi:g

vgR

vRfmCp 0

220

20

220

2

0

2 coscos4 ===


Ako je < 1 taka e pasti na Zemlju

Analiziranjem ekscentriciteta moemo doi do uslova pod kojima e taka, izbaena sa povrine Zemlje, pasti ponovo na Zemlju, ili postati vetaki satelit, ili napustiti polje tee.

Ako je = 1 taka se nee vratiti na Zemlju

skmgRv 2.1120 =Ako je > 1 taka e napustiti polje Zemljine tee

Ovo je tzv. druga kosmika brzina, tj. minimalna poetna brzina da bi taka napustila polje zemljinog privlaenja.

)2(cos1 20220

220 gRv

Rgv +=


Minimalna poetna brzina pri kojoj e taka postati satelit Zemlje zove se prva kosmika brzina vI :

Uslovi da bi telo izbaeno sa zemljine povrine postalo vetaki satelit:

)2(10 202220 gRvRg

v +=

Rr min

skmgRvv I 9.70 ===

00 =Uslov u jednaini

)2(cos1 2022

022

0 gRvRg

v +=

Da bi taka izbaena sa povrine Zemlje postala satelit, poetna brzina mora biti u pravcu horizonta u poetnoj taki, a u granicama:

III vvv


M0 0v

R

v > v0 IIv = v0 II

v = v0 I

v < v < v0 III

hiperbola

parabola

elipsa

krug

h

Zamenom poetnih uslova u jednainu:

Da bi se izbegao uticaj atmosfere, lansiranje u orbitu se vri iz take iznad povrine Zemlje:

2,, 00

==+= vvhRrsin)(2 0000 vrvrrvC cc ===

i korienjem jednaina

0

24mfCp = 20 gRfm =

20

22

0

11r

ctgpr

ppD +

==

1220 += gR

hRv


1220 += gR

hRv

Iz uslova = 0 dobija se prva kosmika brzina:hR

gRvI +=2

Iz uslova = 1 dobija se druga kosmika brzina: III vhRgRv 22

2=+=

skmvRh I 9.7=


Poznat je ugao

Uslovi da bi projektil izbaen iz poloaja M0, sa povrine Zemlje pogodio zadati cilj M1:

LMM =10RL 2=

=

=

)cos(22sin

coscos

022

0

020

00

220

022

0

vgRvarctg

tgvgR

varctg

Iz jednaine

moe se nai poetna brzina projektila v0 :

02

00 cos22sin

2

tg

gRtgv +=

M0

F0v

M1 R

A

P

0

r


Brzina vo e imati ekstremnu vrednost kada je:

00

0 =ddv

24min0 =

ov

=

= )cos(22sin

coscos

022

0

020

00

220

022

0

vgR

varctgtgvgR

varctg

Ako su vo i poznate veliine, moe se odrediti ugao 0 iz jednaine

M0

F0v

M1 R

A

P

0

r

Konano, moe se odrediti takav ugao 0 pa da cilj M1 bude pogoen pri najmanjoj poetnoj brzini vomin .Analizira se funkcija v0=v0(0) data jednainom

02

00 cos22sin

2

tg

gRtgv +=

Ugao pri kome e cilj biti pogoen pri najmanjoj poetnoj brzini:

=2

2 0

3min0 sin1sin2

+=gRv


xy

zm

xy

z m

PRINUDNO KRETANJE MATERIJALNE TAKEMehanike veze

0),,(0),,(

2

1

==

zyxfzyxf

0),,( =zyxf

Tela koja ograniavaju slobodno kretanje take u prostoru zovu se mehanike veze i geometrijski posmatrano, mogu biti u obliku linije ili povri.

Kretanje materijalne take koje je dejstvovanjem materijalnih tela ogranieno u prostoru je prinudno kretanje take .

Jednaine povri iji presek daje linijupo kojoj se taka kree: Taka se kree po povri, njene

koordinate zadovoljavaju jednainu te povri:


m

Fw

n

NN

NB

NT

B

Fw

S obzirom na pravac reakcije veze, razlikujemo idealne veze (veze bez trenja), veze sa trenjem.

Kretanje po datoj liniji taka ima jedan stepen slobode kretanja.Kretanje po datoj povri taka ima dva stepena slobode kretanja.Sila kojom veza dejstvuje na taku zove se reakcija veze.Sila kojom je veza optereena zove se sila pritiska na vezu

Kod idealne veze u obliku linije reakcija veze lei u normalnoj ravni krive, tj. projekcija reakcije veze na pravac tangente na krivu je jednaka nuli.

Kod idealne veze u obliku povrireakcija veze je u pravcu normale na povr u taki dodira, tj. kolinearna je sa gradijentompovri.

0),,( =zyxf


BNw NNFrrr +=

++== kdz

fjdy

fidx

ffgradFwrrrr

fgradn =r

++= kdz

fjdy

fidx

ffgradrrr

NN

NB

NT

B

Fw

m

Fw

n

Kod idealne veze u obliku linije reakcija veze se moe razloiti na komponente:

Kod idealne veze u obliku povri reakcija veze moe se napisati u obliku:


Kod veza sa trenjem, reakcija veze ima i komponentu u pravcu tangente na putanju. Ta komponenta se zove sila trenja i ona ima pravac brzine take, a smer suprotan od nje.

Kretanje take po hrapavoj liniji

NF =22BN NNNF +==

NN

NB

NT

B

F

v m

n

Nv

F

Kretanje take po hrapavoj povri

F - sila trenja, - kinematiki koeficijent trenja,N - normalna sila izmeu take i veze.


N

v

F2F1

NN

NB

B

1

2

U posebnom sluaju, na primer ako kliza prizmatinog oblika klizi po liniji koja nastaje u preseku dveju povri 1 i 2, ukupna sila trenja koja ima pravac tangente na krivu iznosi:

F2F1

NN

NB

N

B

NB NNFFF 2121 +=+=F1 - sila trenja izmeu klizaa i povri 1,F2 - sila trenja izmeu klizaa i povri 2.

U optem sluaju kretanje se moe smatrati slobodnim ako se pored aktivnih sila u diferencijalnim jednainama kretanja dodaju i reakcije veze.


NB

N

TB

ms F2

a

F1a

Fna

NNM0O

Prinudno kretanje take po linijiKretanje po glatkoj liniji

BNa

i

i

NNFam

Famrrrr

r

++==

Ba

iBB

Na

iNN

aiTT

NFma

NFma

Fma

+=+=

=

0

,

,,

,

2

====

B

kN

T

aRsa

sasv

s

&&&

&

Ba

iB

Na

iNk

aiT

NF

NFRsm

Fsm

+=+=

=

0

2&&&

Poloaj take na krivoj odreen je lunom koordinatom s.a

naa FFF

rrr...,, 21 - aktivne sile koje dejstvuju na taku.

Za slobodnu taku Njutnova jednaina je:

Projektovanjem na tangentu, normalu i binormalu:


Diferencijalna jednaina kretanja take po datoj liniji iz nje odrediti: zavisnost brzine od vremena zakon kretanja

)(tss && =)(tss =

Ba

iB

Na

iNk

aiT

NF

NFRsm

Fsm

+=+=

=

0

2&

&&

}}

Za nalaenje reakcija veze u pravcu normale u pravcu binormale aiBF

aiNF

NB

N

TB

ms F2

a

F1a

Fna

NNM0O


Pri prouavanju kretanja take po glatkoj krivoj, brzina take u zavisnosti od poloaja take moe se odrediti primenom zakona o promeni kinetike energije.

Korienjem transformacije:

dssds

dtsds

&&&&& ==

dsFsdsm aiT=&&aidsmd =

2

21 &

aik ddE =

aikk EE = 12

eliminie se promenjlva t vreme i tada je:

U integralnom obliku je: Promena kinetike energije jednaka je zbiru radova aktivnih sila. Znai da reakcija veze, poto ne vri rad, ne utie na promenu kinetike energije take.


Kretanje take po hrapavoj liniji

FNNFam BNairrrrr +++=

Ba

iB

Na

iNk

aiT

NF

NFRsm

FFsm

+=+=

=

0

2&&&

aiBB FN =

aiN

kN FR

smN =2&

vNB

N

TB

m

sF

F1a

Fna

NN

M0O

F2a

Za slobodnu taku Njutnova jednaina je:


}( )22222 aiBaiN

kBN FFR

smNNN +

=+= &

( )22222 aiBaiNk

BN FFRsmNNF +

=+= &

( )2221 aiBaiNk

aT FFR

smFsm +

= &&& - diferencijalna jednaina kretanja.


( )2221 aiBaiNk

aT FFR

smFsm +

= &&&

Integracijom diferencijalne jednaine kretanja dobija se zavisnost brzine od vremena:

)(tss && =i zakon kretanja:

)(tss =Na osnovu ranije navedenih jednaina, sada se mogu odrediti normalna reakcija NN, sila trenja F, reakcija veze u pravcu binormale NB.


Dalamberov princip za materijalnu taku

Diferencijalna jednaina kretanja take po liniji pod dejstvom aktivnih sila:

wa

i FFamrrr +=

0=+ amFF wai rrr

amF inrr =

0=++ inwai FFFrrr

Ako se u bilo kom trenutku pri kretanju take, silama koje dejstvuju na taku doda sila inercije, dobie se sistem sila u ravnotei.

m

F1a

Fna

F2a

F in

F

a

Poto svi lanovi jednaine imaju dimenziju sile, tada je:

Umesto diferencijalne jednaine kretanja, dobijena je statika jednaina koja izraava Dalamberov princip:

DAlambert (1717-1783)


Detaljnije fizikalno tumaenje pojma inercijalne sile

Inercijalna sila je sila koja ne dejstvuje na materijalnu taku, ve na tela sa kojima je taka u mehanikom kontaktu pri kretanju

0:0:

0:

==

=

GNBFNN

FFT

N

inNN

inT

smmaF Tin

T &&==

RsmF inN&=

Primer: kretanje take po krugu

0=++++ inBN FNNGFrrrrr

0=++ inwai FFFrrr


Intenziteti komponenata inercijalnih sila su:

vm

FNin

FTin

aTaNR

NBN

TB

m

F

FNin

NN

FTin

G


Ako je ica hrapava, tada Dalamberova jednaina projektovana na pravac tangente ima oblik:

Pri slobodnom kretanju take, inercijalna sila, kao fiktivna sila, ne dejstvuje ni na jedno telo, to je sila koja sa silama koje dejstvuju na taku, ispunjava statiki uslov ravnotee sistema sueljnih sila.

0= inTFFF NBN

TB

m

F

FNin

NN

FTin

GF

0=++ inwai FFFrrr

4 dinamika materijalne tacke

Documents