運輸問題1. 運輸問題是特殊結構的線性規劃問題。但

一般並不採用線性規劃單形法來求解，而有其他更有效率的演算法。

2. 若有數個供給點以及數個需求點，而欲分配各供給點之供給量以滿足各需求點的需求量，而且使運輸總成本最小，即是所謂的「運輸問題」

運輸模式之建立•標準運輸模式乃是指從不同來源所加起來的總供應量，恰好等於各目的地之需求量的總和。

•設模式有 m 個來源 S1 , S2 ,…, Sm，其供應量 分別為 a1 , a2 ,…, am，

•並有 n 個目的地 D1 , D2 ,…, Dn，其需求量分別為 b1 , b2 ,…, bn。

•令 Cij 表示從來源 Si 運送一單位商品至目的地 Dj所需之 運輸成本，

•而 Xij 表示從來源 Si運送到目的地 Dj之商品數量•在標準模式下，可得 a1 + a2 +…+ am = b1 + b2 +…+ bn

標準運輸問題終點

起點 D D …… Dn 供給量

c11 c12

c n1 S

x

x ……

x n a

c21 c22

c n2

S x

x ……

x n a

……

cm1 cm2

cmn Sm

xm

xm ……

xmn am

需求量 b b …… bn

ii

jj

a

b

n

jj

m

ii ba

11( 供需平衡 )有 m +n 1 個為基本變數方格

nj mi X

nj DX

mi SX 受限於

XCZMin

ij

j

m

1iij

i

n

1jij

ij

m

i

n

jij

,,2,1,,2,10

,,2,1

,,2,1

:目標1 1

標準運輸模式

若 ai 、 bj 均為整數，必有 Xij 均為整數最佳解

運輸問題演算法•第一個步驟是先求出一個基本可行的起始解。 ( 基本可行解，指的是變數的取值均滿足所有的限制條件，且基本變數的個數恰為 m+n-1 。 )

•第二個步驟是判斷目前的基本可行解是否為最佳解。

•第三個步驟則是更換基本變數來降低總成本，再回到第二個步驟。

步驟一：求起始之基本可行解方法一 : 西北角法 ( 此法乃是求起始解之最簡易方式 )

1.做法是由矩陣的西北角變數 x11開始分配數量2.取供應量 S1與需求量 D1的最小值為 x11的值3.刪去滿足供應量的列或需求量的行4.再由剩餘的矩陣重複上述步驟，直到所有數量

均配置完成，便得到一個可行的起始解。

一運輸問題如下，請用西北角法求起始解

目的地來源 D1 D2 D3 D4 供給量

S1

5 12 11 428

　 　 　 　

S2

13 7 8 1023

　 　 　 　

S3

6 14 13 621

　 　 　 　需求量 18 19 19 16 72

18

X

X

10 X X

9

X

14 X

5 16

總成本 Z=90+120+63+112+65+96=546

一運輸問題如下表，請用西北角法求出一個起始解。 終點

起點 D1 D2 D3 D4 供給量

4 11 10 3 S1

30

12 6 7 9 S2

25

5 13 12 5 S3

25

需求量 15 20 20 25 80

解答 一運輸問題如下表，請用西北角法求出一個起始解。

終點 起點

D1 D2 D3 D4 供給量

4 11 10 3 S1 15 15

30

12 6 7 9 S2

5

20

0 25

5 13 12 5 S3

25 25

需求量 15 20 20 25 80

總成本 Z=60+165+30+140+125=520

練習 1 請以西北角法求出運輸問題的起始解及目標值。

5 3 7 621

6 2 4 332

7 4 8 527

25 15 17 23 80

練習 1 解答請以西北角法求出運輸問題的起始解及目標值。

5 21

3 7 621

6 4

2 15

4 13

332

7 4 8 4

5 23 27

25 15 17 23 80

總成本 Z=105+24+30+52+32+115=358

方法二 : 最小成本法•由於西北角法並未考慮到單位成本，雖然較易找出起始解，但接續之計算可能相對較繁多。

•而最小成本法之產生乃是避免此情況發生，其做法與西北角法類似，只是在變數的選取上，優先選擇變數方格中之單位運輸成本最小者來進行數量之配置。

目的地來源

D1 D2 D3 D4 供給量

S1

5 12 11 428

　 　 　 　

S2

13 7 8 1023

　 　 　 　

S3

6 14 13 621

　 　 　 　需求量 18 19 19 16 72

用最小成本法求起始解

16

X

X

12 X X

6

X 19

X

4

15

總成本 Z=60+64+133+32+36+195=520

一運輸問題如下表，請用最小成本法求出一個起始解。 終點

起點 D1 D2 D3 D4 供給量

4 11 10 3 S1

30

12 6 7 9 S2

25

5 13 12 5 S3

25

需求量 15 20 20 25 80

解答

總成本 Z=20+75+120+35+50+180=480

一運輸問題如下表，請用最小成本法求出一個起始解。 終點

起點 D1 D2 D3 D4 供給量

4 11 10 3 S1 5

25 30

12 6 7 9 S2

20

5

25

5 13 12 5 S3 10

15

25

需求量 15 20 20 25 80

練習 2 請以最小成本法求起始解及目標值。

5 3 7 621

6 2 4 332

7 4 8 527

25 15 17 23 80

練習 2 解答 請以最小成本法求起始解及目標值。

5 21

3 7 621

6 2 15

4 3 17 32

7 4

4 8 17

5 6 27

25 15 17 23 80

總成本 Z=105+30+51+28+136+30=380

方法三 : 佛格法•佛格法又稱差額法•佛格法是先算出每列、每行未刪去方格中最小的兩單位成本的差額

•然後選出具最大差額的列 (或行 )，以該列(或行 )的最小成本方格為基變數方格，分配其量 (當最大差額不只一個，可任取其一 )。

•刪去該列 (或行 )。反覆進行

目的地來源

D1 D2 D3 D4 供給量

S1

5 12 11 428

　 　 　 　

S2

13 7 8 1023

　 　 　 　

S3

6 14 13 621

　 　 　 　需求量 18 19 19 16 72

用佛格法求起始解

總成本 Z=132+64+133+32+108+39=508

列差額

行差額

1

1

0

1 5 3 2

19

X

X

24 XX

2

16

X

6

718

X 12

3

練習 一運輸問題如下表，請用佛格法求出一個起始解。

終點 起點

D1 D2 D3 D4 供給量

4 11 10 3 S1

30

12 6 7 9 S2

25

5 13 12 5 S3

25

需求量 15 20 20 25 80

解答 一運輸問題如下表，請用佛格法求出一個起始解。

終點 起點

D1 D2 D3 D4 供給量

4 11 10 3 S1

5

25 30

12 6 7 9 S2

20

5

25

5 13 12 5 S3 15

10

25

需求量 15 20 20 25 80

總成本 Z=50+75+120+35+75+120=475

練習 3 請以佛格法求出運輸問題的起始解及目標值。

5 3 7 621

6 2 4 332

7 4 8 527

25 15 17 23 80

練習 3 解答 請以佛格法求起始解及目標值。

5 6

3 15

7 621

6 2

4 17

3 15 32

7 19

4 8

5 8 27

25 15 17 23 80

總成本 Z=30+45+68+45+133+40=361

步驟二 :判斷目前的基本可行解是否為最佳解

1.以目前為基變數的成本係數 cij ，求出滿足 ui+vj=cij之任一組 ui 、 vj 值

2.求出所有非基變數方格的 Qij=cijui vj

(Qij值表示非基變數 Xij迭代為基變數對成本的邊際貢獻值 )

3.若所有 Qij0 ，表示無法使成本再降低，目前的基本解已是最佳解

目的地來源

D1 D2 D3 D4 供給量

S1

5 12 11 428

　 　 　 　

S2

13 7 8 1023

　 　 　 　

S3

6 14 13 621

　 　 　 　需求量 18 19 19 16 72

判斷目前的基本可行解是否為最佳解

19 4

16

18

12

3

u

v 0

11

8

13

-7-1-7

1

0

2

2

9

0

所有 Qij0 ，目前已是最佳解總成本 Z=132+64+133+32+108+39=508

目的地來源

D1 D2 D3 D4 供給量

S1

5 12 11 428

　 　 　 　

S2

13 7 8 1023

　 　 　 　

S3

6 14 13 621

　 　 　 　需求量 18 19 19 16 72

1612

6

19 4

15

判斷目前的基本可行解是否為最佳解

u

-1

-5

0

v 13 5126

0

12

1

2

-1

10

1

並非所有 Qij0 ，目前不是最佳解

練習1

5 21

3 7 621

6 4

2 15

4 13

332

7 4 8 4

5 23 27

25 15 17 23 80

請判斷練習 1~3 是否為最佳解？

u

0

1

5

v

3 015

並非所有 Qij0 ，目前不是最佳解

-3

2

-2

4 6

2

練習 2

5 21

3 7 621

6

2 15

4

3 17 32

7 4

4 8 17

5 6 27

25 15 17 23 80

請判斷練習 1~3 是否為最佳解？

0

0

2

6 325

並非所有 Qij0 ，目前不是最佳解

1

1

0

1

-2

3

練習 3

5 6

3 15

7 621

6

2

4 17

3 15 32

7 19

4 8

5 8 27

25 15 17 23 80

請判斷練習 1~3 是否為最佳解？

0

0

2

4 335

並非所有 Qij0 ，目前不是最佳解

1 -1

-1

3

2

3

步驟三 :迭代基本變數 (踏石法 )

1.以 Qij最負值之非基變數 Xij迭代為基變數

2.求出其閉回路由非基變數方格出發(+)，踩著基變數方格(階石 )，並以階石為轉角點，沿水平(-)→鉛直(+)→水平(-) →鉛直(-)…的線段前進，回到原來的非基變數方格

3.取標記為 (-) 的最小基變數值為調整值4.進行基本變數迭代得到一組新而更佳的基本解5.回到步驟 二

目的地來源

D1 D2 D3 D4 供給量

S1

5 12 11 428

　 　 　 　

S2

13 7 8 1023

　 　 　 　

S3

6 14 13 621

　 　 　 　需求量 18 19 19 16 72

1612

6

19 4

15

u

-1

-5

0

v 13 5126

0

12

1

2

-1

10

1

迭代基本變數

+-

+ -12 12

12

總成本 Z=132+64+133+32+108+39=508

請以踏石法求出最佳解

終點

起點 D1 D2 D3 D4 供給量

4 11 10 3 S1 5

25 30

12 6 7 9 S2

20

5

25

5 13 12 5 S3 10

15

25

需求量 15 20 20 25 80

終點

起點 D1 D2 D3 D4 供給量

4 11 10 3 S1 5

25 30

12 6 7 9 S2 20 5 25

5 13 12 5 S3 10

15

25

需求量 15 20 20 25 80

解答

0

4 3

1

-4

10 11

12

0

1

2

-1

10

1

+5

+5

-5

-5

請以踏石法求出最佳解 終點

起點 D1 D2 D3 D4 供給量

4 11 10 3 S1

5

25 30

12 6 7 9 S2 20 5 25

5 13 12 5 S3 15

10

25

需求量 15 20 20 25 80

解答

12

0

1

2

-1

10

1

請以踏石法求出最佳解

終點 起點

D1 D2 D3 D4 供給量

4 11 10 3 S1 1 2

5

25 30

12 6 7 9 S2 12 20 5 9 25

5 13 12 5 S3 0 15 2

10 0 25

需求量 15 20 20 25 80

解答

10

-7 -7

12

7

-1 0

所有 Qij0 ，目前已是最佳解

總成本 Z=50+75+120+35+75+120=475

練習 4

5 6

3 15

7 621

6

2

4 17

3 15 32

7 19

4 8

5 8 27

25 15 17 23 80

請以踏石法求出最佳解

0

0

2

4 335

1 -1

-1

3

2

3

+

-+

-

1515

1515

練習 4

5 21

3

7 621

6

2

4 17

3 15 32

7 4

4 15

8

5 8 27

25 15 17 23 80

請以踏石法求出最佳解

0

2

4 325

3

01

1

0

3

2

所有 Qij0 ，目前已是最佳解

總成本 Z=105+68+45+28+60+40=346

特殊運輸問題運輸問題的各種特殊情形之處理 1. 退化解：指有基變數為 0 ，影響求解效率2. 多重最佳解： Qij0 單一最佳解； Qij0 多重最佳解3. 限制運送：令該 cij =

最大化問題 •當運輸問題中的單位成本 cij 換成單位利潤 pij 時，就成了最大化問題了。•求解最大化問題只要先將 pij 改成 pij

•即可按一般運輸單體法加以求解。

設某公司有三工廠生產同一產品，有四家客戶，三工廠下個月的產量為 40、50、60，而四家客戶的定貨量各為 35、25、40、50，而由工廠 i 運送到客戶 j 之每單位利潤如下表所列：

客 戶

1 2 3 4

工廠 1 6 3 2 4

工廠 2 7 5 4 6

工廠 3 9 8 6 3 問各工廠各應運送多少貨品給各客戶，以使總利潤最大 ( 起始時請用最小成本法 )

解答因目標為最大化，先將各單位利潤 pij 乘上負號

6 3 2

1

40

1 40

7 5 4 6

10

0

50 50

8 6 3

35 25

1

1 60

35 25 40 50 150

不平衡運輸問題1. 當總供給量與總需求量不相等時，稱為不

平衡運輸問題 2. 求解時，總供給量大於總需求量 ，虛

設一個需求量 的終點；總需求量大於總供給量 ，虛設一個供給量 的起點

3. 多虛設出的方格單位運輸成本一般為 0。4. 以一般運輸單體法加以求解即可5. 虛設起點所供給的量，表供應不足；虛設終點的量，表供應過剩

請求解下面最低成本運輸問題 9 16 4 9 15

18

8 6 8 12 7

10

2 12 5 2 6

30

5 6 9 10 20 48

50

9 16 4 9 15

18

18

8 6 8 12 7

14

16 10

2 12 5 2 6

15

11

10

14 30

0 0 0 0 0 12

12

5 6 9 10 20 50

50