Introducere

Cursul se adresează studenţilor anului II matematică, secţia informatică. În spaţiul sever

de 12 lecţii se intenţionează prezentarea fundamentelor teoriei măsurii şi a probabilităţilor. Cursul

a fost gîndit în ideea pregătirii cursului de statistică ce urmează. Este un truism că nu se poate

înţelege serios statistica fără probabilităţi, iar probabilităţile nu pot fi înţelese - cel puţin în actuala

axiomatizare a lui Kolmogorov - în absenţa teoriei măsurii. De aceea majoritatea lecţiilor - 8 - sunt

dedicate problemelor de teoria măsurii, una este de teorie ergodică şi 3 despre noţiunile

fundamentale de teoria probabilităţilor.

Primele două lecţii se referă la noţiunea de măsurabilitate. Se introduce noţiunea de spaţiu

măsurabil, funcţie măsurabilă şi variabilă aleatoare (vector aleator). Se introduc mulţimile

boreliene pe un spaţiu topologic şi se studiază dreapta reală ca exemplu de bază de spaţiu

măsurabil.

În lecţiile 3,4,5 se introduce noţiunea de măsură. Deoarece măsurile cele mai interesante -

cum ar fi măsura Lebesgue - se introduc printr-o construcţie elaborată (nu se pot da exemple

imediate ca în analiza din anul I) se studiază amănunţit construcţia lui Caratheodory, bazată pe

măsura exterioară. Se studiază apoi măsurile Stieltjes pe dreaptă, care provin de la funcţii F:

crescătoare continui la dreapta . Ca un caz particular se obţine măsura Lebesgue. Se studiază cu

această ocazie completatul -algebrei mulţimilor boreliene de pe dreaptă - mulţimile măsurabile

Lebesgue. Se dau exemplele clasice de mulţimi nemăsurabile Lebesgue - mulţimile de tip Vitali.

Apare noţiunea de pseudo-inversă a unei funcţii de repartiţie, metodă de bază în simularea pe

calculator a unor variabile aleatoare cu o repartiţie dată.

În lecţia 6 se construieşte integrala Lebesgue, care pleacă de la ideea că integrala unui

indicator este măsura mulţimii. Se demonstrează teoremele fundamentale (Lema Fatou, Teorema

Beppo-Levi, Teorema de convergenţă dominată Lebesgue şi echivalenţa dintre integrala

Lebesgue şi integrala Riemann pentru funcţii „destul de continui” - aşa numitul criteriu Lebesgue

de integrabilitate Riemann).

Lecţia 7 se ocupă de teorema Radon - Nikodym. Operatorul de integrare produce o

aplicaţie de la L1(,k,) la m(,k) -spaţiul vectorial al măsurilor mărginite cu semn - dată prin

(f) = f. Toate aceste măsuri sunt absolut continui faţă de . Problema este cine este Ker() şi

Im(). Răspunsul la prima întrebare duce la echivalenţa fundamentală din teoria măsurii fg

f=g (mod P) (de unde plasarea în context natural a teoremelor fundamentale din Cursul 4) iar cel la

a doua întrebare este, în cazul cînd este -finită, teorema Radon Nikodym : Im() este formată

din toate măsurile absolut continue faţă de . Tot aici se studiază spaţiile Lp (Inegalitatea Holder,

Minkowski) ca exemple de spaţii Banach clasice. Cunoaşterea lor, deşi probabil nu neapărat

necesară pentru un informatician, ţine de o cultură matematică elementară.

Cursul 8 este dedicat teoremei ergodice a lui Birkhoff. Practic, legea numerelor mari

rezultă ca un caz foarte particular al ei.

Cursul 9 abordează produsul de spaţii cu măsură (Teorema Fubini). Ceea ce ne

intereseză cel mai mult este măsura Lebesgue n-dimensională n şi produsul unui şir de spaţii

probabilizate (Teorema Kolmogorov). Astfel putem da exemplul fundamental de funcţie ergodică -

shiftul - şi teorema ergodică devine mai concretă.

Lecţiile 10-12 sunt de teoria probabilităţilor. Se dau noţiunile fundamentale: repartiţia şi

funcţia de repartiţie a unei variabile aleatoare, media, dispersia, mediana (cu proprietăţile lor de

optim), inegalitatea mediilor,inegalitatea Jensen, independenţa variabilelor aleatoare, coeficientul

de corelaţie, legile numerelor mari. Se dă un algoritm simplu şi rapid de simulare a unei repartiţii

normale şi, în final, se dă fără demonstraţie teorema limită centrală. Oricum, demonstrarea ei

depăşea cadrul şi obiectivele acestui curs.

Textul prezent se bazează pe o experienţă didactică de cinci ani. Este a treia variantă.

Varianta II circulă pe dischetă. Varianta I a fost dactilografiată. Variantele următoare vor fi,

probabil, modificate în funcţie de programa analitică.

Autorul ţine să mulţumească prof. Ion Cuculescu şi Virgil Craiu pentru discuţiile fructuoase

legate de organizarea materialului precum şi asist. Udrea Păun (care a sesizat unele

inadvertenţe, contribuind la îmbunătăţirea textului ) şi fostului student Radu Boeriu care a rezolvat

toate exerciţiile corectînd unele erori (!).

Curs 1. Familii de submulţimi ale unui spaţiu

Fie o mulţime oarecare. Vom nota cu P() familia părţilor sale. Obiectele cele mai

importante ale teoriei măsurii sunt unele submulţimi ale lui P() cu proprietăţi speciale.

Definiţia 1. O subfamilie K P() se numeşte -Algebră dacă verifică următoarele proprietăţi:

(1) K

(2) Dacă A K atunci şi Ac K

(3) Dacă (An)nN este un şir de mulţimi din K, atunci şi An

n1

K

Definiţia 2. O subfamilie C P() se numeşte U-sistem dacă verifică următoarele proprietăţi:

(1) C

(2) Dacă A C atunci şi Ac C

(3) Dacă (An)nN este un şir de mulţimi disjuncte din C, atunci şi An

n1

C

Definiţia 3. O subfamilie A P() se numeşte Algebră dacă verifică următoarele proprietăţi:

(1) A

(2) Dacă A A atunci şi Ac A

(3) Dacă (An)nI este o familie finită de mulţimi din A, atunci şi An

n I

A

Notaţii. Aceste noţiuni se pot scrie mai scurt dacă folosim următoarele notaţii clasice: Fie M

P() o familie oarecare de mulţimi. Vom nota atunci, pe tot parcursul acestui curs cu M s, M

, M , M d,M , M , M’ reuniunile finite (respectiv reuniunile numărabile, reuniunile arbitrare,

intersecţiile finite, intersecţiile numărabile, intersecţiile oarecare, complementarele) de mulţimi

din M.

Observaţia 1. Este evident că orice -algebră este şi algebră şi U-sistem.

Propoziţia 1. Dacă F este o algebră atunci F şi A,B F AB F .

Demonstraţie. = c iar (AB)=(Ac

Bc)c ; se aplică axiomele (1), (2) şi (3) din definiţia

algebrei.

Propoziţia 2. Dacă F este o -algebră atunci An F n A

nn

F.

Demonstraţie. Formulele lui De Morgan: A A

nn n

c

n

c

şi aplicăm succesiv (2),(3),(2) din

definiţia -algebrei.

Propoziţia 3. Dacă F este U-sistem şi F = F d, atunci F este şi -algebră. Deci în

particular dacă F P() este algebră şi U-sistem, atunci F este şi -algebră.

Demonstraţie. Fie F P() un U-sistem stabil la intersecţii finite.Fie (An)n un şir de mulţimi

din F şi A=An

n

. Se pune problema să arătăm că A F. Construim în acest scop mulţimile

disjunctate B1=A1, B2=A2-A1 =A2-B1, B3=A3-(B1B2), şi, în general, Bn+1=An+1-(B1B2..Bn),..... Mulţimile (Bn)n au proprietăţile:

(1). B1B2..Bn = A1A2..An pentru orice n 1. Într-adevăr, pentru n=1 afirmaţia este adevărată. O presupunem adevărată pentru n=k şi

o verificăm pentru n=k+1.Avem că B1B2.....BkBk+1 = ( B1B2..Bk)

( Ak+1-(B1B2..Bk)) = B1B2..BkAk+1 = A1A2..AkAk+1 (prin ipoteza de inducţie). Deci afirmaţia este adevărată pentru orice n. (2). Mulţimile Bn sunt disjuncte.

Într-adevăr, fie m<n mn-1. Atunci BmBn = Bm(An-( B1B2..Bn-1))

Bm(An-Bm)=. Incluziunea este adevărată deoarece evident Bm B1B2..Bn-1.

(3). Toate mulţimile Bn aparţin familiei F. Într-adevăr, Bn poate fi scrisă ca

Bn=AnA1c...An-1

c şi mulţimile Ai

c F i iar F = F d .

Cum F este U-sistem şi mulţimile (Bn)n sunt disjuncte rezultă că reuniunea lor este în

F. Dar din (1) rezultă că An

n

=

Bnn

=A. Deci F este -algebră.

A doua afirmaţie rezultă imediat din prima observînd că orice algebră este stabilă la

intersecţii finite. .

Propoziţia 4. Dacă (Mt)tT este o familie de -algebre (algebre, U-sisteme, topologii) atunci şi

intersecţia t T

Mt este de asemenea o -algebră (algebră, U-sistem, topolgie)

Demonstraţie. Evident.

Definiţie. Fie M o familie oarecare de submulţimi ale lui . Vom nota cu ( M) (respectiv ( M), Alg(M), Top(M) ) -algebra (respectiv U-sistemul, algebra, topologia) generată de M,

definită prin relaţia ( M) =

FM F

F a ebra

lg

(respectiv

FM F

F sistem

,

FM F

F a ebra

lg

,

FM F

F topo ie

log

). Altfel spus, ( M)

(respectiv ( M), Alg(M), Top(M) ) este intersecţia tuturor -algebrelor pe (respectiv a

U-sistemelor, algebrelor, topologiilor) care conţin pe M.

Propoziţia 5. Alg(M) ( M) şi ( M) ( M).

Demonstraţie. ( M) este o algebră (respectiv un U-sistem) care conţine pe M .

Propoziţia 6. M M M M .... M .... ( M) Demonstraţie. Evident din definiţia unei -algebre. Rezultatul următor va fi folosit de multe ori în curs.

Propoziţia 7.(i). Dacă este unul din operatorii de închidere Alg, sau , şi (M t)tT este o

familie de submulţimi ale lui p(), atunci ( t T

M t) = ( t T

(M t) )

(ii)Dacă M = Md, atunci (M) = ( M) .

Demonstraţie. (i). Cum M t ( M t) incluziunea ”” este evidentă. Incluziunea cealaltă este de

asemenea imediată : cum M t t T

M t rezultă că (M t) ( t T

M t) pentru orice tT de

unde t T

(M t) ( t T

M t) deci, din proprietatea de monotonie a operatorului de închidere

rezultă că ( t T

(M t)) (( t T

M t)) = ( t T

M t) (este evident că orice operator de

închidere este idempotent, adică ()) = ).

(ii)Ideea este să dovedim că ( M) este stabil la intersecţii finite şi să aplicăm Propoziţia 3. Fie

A M . Fie FA={B(M ): AB ( M) }. Vom arăta că FA este un U-sistem care conţine pe

m.

Într-adevăr, faptul că M FA rezultă imediat din faptul că M este stabil la intersecţii finite:

dacă A M, atunci AB M. Mulţimea vidă este evident în FA căci aparţine oricărui U-sistem.

Dacă B FA, atunci şi Bc FA căci (A( Bc))c =(A( AB)c)c = (AB)(Ac); AB( M) căci B

FA, Ac ( M) deoarece A( M), AB şi Ac sunt disjuncte deci reuniunea lor este în ( M) .

Rezultă că şi complementara acestei mulţimi, adică A( Bc) este în ( M), adică Bc FA. În sfîrşit,

dacă (Bn)n este un şir de mulţimi disjuncte din FA ,rezultă că şi reuniunea lor este în FA deoarece

mulţimile ABn sunt disjuncte şi aparţin U-sistemului ( M) care este stabil la reuniuni disjuncte

numărabile. Deci FA este un U-sistem care conţine pe m, deci ( M) FA . Cum A M este oarecare înseamnă că am demonstrat că

(*) A M, B( M) AB( M)

Fie acum A ( M) oarecare şi eA = { B( M) : AB( M) -. Din (*), înlocuind A cu B şi B

cu A, rezultă că M eA. Acelaşi raţionament de mai sus ne arată că eA este de asemenea un

U-sistem, deci (m ) eA; adică

(**) A(M), B ( M) AB( M).

Dar (**) nu înseamnă nimic altceva decît că ( M) = (( M))d de unde, conform

Propoziţiei 3, ( M) este o -algebră. Dar întotdeauna ( M) ( M) (Propoziţia 5). Cum ( M) este o -algebră care conţine pe M, incluziunea inversă este evidentă şi în consecinţă ( M) ( M).

Acum putem introduce cel mai important exemplu de -algebră, cel care face legătura cu topologia.

Definiţie: -algebra mulţimilor boreliene. Fie (X,T) un spaţiu topologic. Atunci -algebra

(T) se numeşte -algebra mulţimilor boreliene ale spaţiului topologic (X,T) sau, dacă nu

este nici un pericol de confuzie, borelianul spaţiului X . El se va nota cu B(X,T) sau, dacă nu

este pericol de confuzie, cu B(X). Iată cîteva proprietăţi importante ale sale.

Propoziţia 8. Fie (X,T) un spaţiu topologic. Atunci:

(i).Orice mulţime deschisă sau închisă este boreliană. Mai mult, B(X) = ({FX : F închisă }) (ii).Dacă X este separat, atunci orice mulţime compactă este boreliană. În particular orice mulţime cel mult numărabilă este boreliană. (iii). Dacă X este separat şi poate fi acoperit cu o mulţime cel mult numărabilă de compacte,

atunci B(X)=({KX : K compactă }). (iv). Dacă X este un spaţiu topologic numărabil generat, adică X are o bază de topologie

numărabilă, O, atunci B(X)=( O ) Demonstraţie. (i). O mulţime închisă este complementara unei deschise, deci evident este

boreliană. Deci ({FX : F închisă }) B(X). Reciproc, orice deschisă este complementara unei închise de unde şi incluziunea inversă. (ii). În spaţii separate orice mulţime compactă este închisă.

(iii). Fie (Kn)n un şir de compacte ca X= n

Kn. Fie FX o închisă. Atunci putem scrie F= n

(FKn)

deci orice închisă este o reuniune de compacte (se ştie că F închisă, K compactă KF este

compactă căci dacă (Gt)tT este o acoperire cu deschise a lui KF, adăugînd la aceasta şi deschisul G=Fc obţinem o acoperire cu deschise a lui K din care extragem una finită) adică orice închisă

este în -algebra generată de compacte, de unde rezultă că -algebra generată de închise (adică

B(X)) este de asemenea inclusă în -algebra generată de compacte, Incluziunea reciprocă este evidentă.

(iv). Fie o o bază numărabilă de topologie pentru t. Atunci t = o = o (deoarece o este

numărabilă) deci t (o) B(X)=(t) ((o))=(o). Incluziunea cealaltă este evidentă.

În cazul particular în care (X,t)=(,Top()), adică dreapta reală cu topologia canonică obţinem

Propoziţia 9. Fie următoarele familii de mulţimi pe dreaptă :

m1 = { (a,b) : a,b, a<b } {} ;

m2 = , (a,b) : a,b raţionale, a<b - {} ;

m3 = { (a,b] : a,b, a<b } {} ; m4 = , (a,b+ : a,b raţionale, a<b - {};

m5 = { [a,b) : a,b, a<b } {} ;

m6 = , *a,b) : a,b raţionale, a<b } {} ;

m7 = { (-,b) : b } ;

m8 = { (-,b) : b raţional - ; m9 = { (-,b] : b } ;

m10 = { (-,b+ : b raţional - ;

m11 = { (b,) : b } ;

m12 = { (b,) : b raţional - ;

m13 = { [b,) : b } ;

m14 = { [b,) : b raţional -. Aunci

(i).Toate aceste familii de mulţimi genererază pe b(), adică ( mj )= b() 1j14. În

plus, dacă j este par, mj sunt numărabile.

(ii). Toate aceste familii de mulţimi sunt stabile la intersecţii finite: (mj)d= mj 1j14.

(iii). (m3 m9 m11)s, (m4 m10 m12)s, (m5 m7 m13)s şi (m6 m8 m14)s sunt algebre.

Demonstraţie.(i). Toate afirmaţiile sunt mai mult sau mai puţin imediate sau consecinţe simple

ale Propoziţiei 8. Cum este evident că b() ( m2j-1) ( m2j) 1j7 rezultă că va fi

suficient de demonstrat că b() ( m2j) 1j7. Pentru j=1 incluziunea este o consecinţă a

Propoziţiei 8(iv) : m2 este bază numărabilă pentru topologia de pe dreaptă. Scriind

(a,b)=n1(a,b-1/n] rezultă că orice interval deschis este în ( m4) deci b() ( m4). Din

egalitatea (a,b)=n1[a+1/n,b) rezultă b() ( m6). Scriind [a,b) = (-,b)-(-,a) =[a,)-[b,)

rezultă că m6 ( m8)( m14) deci (m6) ( m8)( m14) iar cum (a,b] = (-,b]-(-,a]

=(a,)-(b,) rezultă că m4 ( m10)( m12) deci (m4) ( m10)( m12).

(ii). Evident. (iii). O mulţime din (m3 m9 m11)s este o reuniune finită de intervale

mărginite de tipul (a,b+ şi eventual de intervale nemărginite de tip (-,a] sau (b,).

Complementara unei asemena mulţimi este de acelaşi tip. .

Curs 2. Măsurabilitate.

Fie ,X mulţimi oarecare şi f: X o funcţie. Dacă BX atunci

f-1(B)={ : f()B } va desemna preimaginea mulţimii B prin funcţia f. Dacă

M P(X) este o familie oarecare de mulţimi, atunci f-1(M) va desemna familia

{ f-1(B) : B M - . În acest fel putem privi operaţia f-1 ca o funcţie de la P(X) la P().

Propoziţia 1. Dacă M P(X) este o -algebră (respectiv algebră, topologie) atunci

f-1(M) este de asemenea -algebră (respectiv algebră, topologie).

Demonstraţie. Evident. Preimaginea reuniunii (respectiv intersecţiei, complementarei) este

reuniunea (respectiv intersecţia, complementara).

In plus, f-1 se comportă bine şi faţă de operatorii de închidere introduşi în Cursul1:

comută cu ei.

Propoziţia 2. Întotdeauna ( f-1(M)) = f-1((M))

( şi respectiv Alg( f-1(M)) = f-1(Alg(M)), Top( f-1(M)) = f-1(Top(M)) ).

Demonstraţie. ““: Fie E = { BX : f-1(B) ( f-1(M)) }.Evident M E . În al doilea rînd E

este o -algebră. Într-adevăr, E deoarece ( f-1(M)) şi evident

f-1()= . Apoi, dacă B E, atunci şi Bc E căci f-1(Bc)=(f-1(B))c şi ( f-1(M)) este o

-algebră. În sfîrşit, dacă (Bn)n este un şir de mulţimi din E, reuniunea lor va fi de asemenea în E

căci f B f Bn

nn

n

1 1 .

Rezultă că (M ) (E)= E . Deci B( M) f-1(B) ( f-1(M)) adică

f-1((M)) ( f-1(M)).

““: Evident f-1(M) f-1((M)) deci (f-1(M)) (f-1((M))) = f-1((M)), căci ultima

familie este deja o -algebră conform Propoziţiei.

Acelaşi raţionament funcţionează dacă înlocuim operatorul ““ cu “Alg” sau “Top”..

Definiţie. Spaţiu măsurabil, funcţie măsurabilă. O pereche (,k) unde este o mulţime

oarecare şi k p()este o -algebră se numeşte spaţiu măsurabil. Dacă (,k) şi (X, f) sunt

două spaţii măsurabile şi f: X este o funcţie, atunci funcţia f se numeşte (k, f)-măsurabilă

dacă f-1(f) k, adică dacă B f f-1(B) k. Dacă nu este pericol de confuzie, (adică dacă

-algebrele k şi f se subînţeleg) vom spune doar că „f este măsurabilă”. Dacă f este bijectivă şi

funcţia f-1 este de asemenea (f, k)-măsurabilă vom spune că f este un izomorfism de spaţii

măsurabile sau, mai scurt, un izomorfism. Dacă , X sunt spaţii topologice şi ă -algebrele k

şi f sunt -algebrele mulţimilor boreliene, atunci o funcţie măsurabilă se va numi funcţie boreliană.

Observaţie. Dacă k şi f ar fi topologii în loc să fie -algebre, noţiunea de măsurabilitate ar

coincide cu noţiunea de continuitate. Într-adevăr, se ştie că f este continuă f-1(G) este

deschisă G deschisă. Altfel scris, f este continuă f-1(f) k, ceea ce arată o similaritate remarcabilă între cele două noţiuni. În acest caz izomorfismul (funcţie bijectivă bimăsurabilă) s-ar numi homeomorfism (= funcţie bijectivă şi bicontinuă). Ca şi în topologie, este valabil următorul rezultat:

Propoziţia 3. (i). Fie (,k), (E,e) (F,f) trei spaţii măsurabile şi f: E, g:E F două funcţii

măsurabile. Atunci compunerea lor gf este de asemenea măsurabilă.

(ii). Fie (,k), (E,e) două spaţii măsurabile şi f : E o funcţie oarecare. Să presupunem că

e =(m) cu m p() . Atunci f este măsurabilă f-1(m ) k

Demonstraţie. (i) este evident iar (ii) este o consecinţă imediată a propoziţiei 2: f-1(e) = f-1((m))

= (f-1(m)) ( k ) = k . Importanţa punctului (ii) din Propoziţia 3 este vizibilă: pentru a demonstra

măsurabilitatea unei funcţii f nu este nevoie să verificăm neapărat că f-1(B) k pentru

orice B din e, ci este suficient să verificăm acest lucru pentru B m lucru mai uşor.

Definiţie. -Algebra generată de o familie de funcţii. Fie (Xt,Ft)tT o familie de spaţii

măsurabile, X o mulţime oarecare şi ft:X Xt o familie de funcţii. Atunci -algebra (

ft

t T

1( Ft)) se va numi -algebra generată de funcţiile (ft)tT şi se va nota, în cazul că

ne există pericol de confuzie asupra spaţiilor măsurabile (Xt,Ft)tT,cu (ft : tT).

Propoziţia 4. Fie (,K) un spaţiu măsurabil, X o mulţime oarecare şi Fie (Xt,Ft)tT o familie de

spaţii măsurabile. Fie ft:X Xt o familie de funcţii şi f: X .

Atunci f este (K,(ft : tT ))-măsurabilă ftf sunt (K, Ft)-măsurabile tT.

Demonstraţie. ““ este evident : compunerea de funcţii măsurabile este măsurabilă.

““. f-1((ft : t T ))=f-1((ft

t T

1( Ft)))=(f-1(

ft

t T

1( Ft))) (Propoziţia 2!)=(

ft

t T

1(f-1(Ft)))

(datorită proprietăţilor aplicaţiei f-1) =(( )f ft

t T

1

( Ft)) K deoarece toate funcţiile ftf

sunt măsurabile.

Definiţie. Produsul unei familii de spaţii măsurabile. Să considerăm în definiţia de mai

sus cazul particular în care X=X t

t T

şi funcţiile ft:X Xt sunt proiecţiile canonice, adică ft(x)=xt

tT. Atunci vom nota -algebra (ft : tT) cu t T Ft. Dacă T={1,2,...,n} vom mai scrie

spaţiul măsurabil produs şi direct, adică

(X1X2....Xn, F 1 F 2.... F n). În cazul particular în care (Xt,Ft)tT coincid, deci dacă (Xt,Ft

)=(E, F) tT, produsul acestor spaţii măsurabile se va nota (ET, FT) . Dacă în plus T=,1,2,...,n-

vom prefera scrierea mai obişnuită (En, Fn) în loc de (ET, FT). Să remarcăm analogia acestei definiţii cu cea de topologie produs: produsul unei familii de spaţii topologice se defineşte la fel .

O consecinţă imediată a Propoziţiei 4 este

Propoziţia 5. Fie (Xt,Ft)tT o familie de spaţii măsurabile şi X=X t

t T

, F =

t T Ft. Fie (,K) un alt

spaţiu măsurabil şi f: X, f()=(ft())tT . Atunci f este (K, t T Ft)-măsurabilă ft sunt (K,

Ft)- măsurabile pentru orice tT.

Demonstraţie. Evident :dacă pt:XXt sunt proiecţiile canonice, atunci ptf = ft şi aplicăm

Propoziţia 3. .

Un alt caz particular de -algebră generată de o funcţie este cea de urmă a unei

-algebre pe o mulţime. Fie (,K) un spaţiu măsurabil şi A o mulţime oarecare. Injecţia

canonică este funcţia iA : A dată de relaţia iA()=. Atunci -algebra (iA) = iA-1(K) se

numeşte urma lui K pe A şi se notează cu KA. În cazul spaţiilor topologice este interesantă legătura între borelianul produs şi produsul borelienilor. Dacă am şti că ele coincid, de exemplu, atunci orice funcţie continuă ar fi măsurabilă, lucru care ar fi de ajutor în stabilirea măsurabilităţii.

Propoziţia 6. Fie (Xt, T t) o familie cel mult numărabilă de spaţii topologice numărabil generate.

Atunci B(X t

t T

) =

t T B(Xt).

Demonstraţie. Fie Ot baze numărabile de topologie în (Xt, T t), adică T t = ( Ot) şi Ot sunt

numărabile tT. Atunci topologia produs pe X := X t

t T

va fi dată de formula T =Top(

pt

t T

1(( Ot))) = Top(

(pt

t T

1( Ot))). Fie Ut mulţimile pt

-1(Ot). Deci T = Top((

t T

Ut)) =(

(t T

Ut))d

(Exerciţiu : Top(M)= M d) =( t T

Ut)d (datorită distributivităţii reuniunii faţă de intersecţie) .

Fie O familia de mulţimi O = ( t T

Ut)d. Cum T este cel mult numărabilă, familiile Ut sunt de

asemenea numărabile iar intersecţiile finite care se pot realiza cu o familie numărabilă de

mulţimi formează de asemenea o mulţime numărabilă de mulţimi, rezultă că O este numărabilă.

Înseamnă că T = O = O (reuniunile de mulţimi dintr-o familie numărabilă sunt întotdeauna

reuniuni cel mult cel mult numărabile), cu alte cuvinte O este o bază de topologie pentru T.

Rezultă că B(X t

t T

)=(T)=( O )=( O )= ( t T

Ut) = (

pt

t T

1(Ot)) = (

(pt

t T

1(Ot)))

(cf. Propoziţia 7(i), Curs 1) = (pt

t T

1((Ot))) (cf. Propoziţiei 2)

= (pt

t T

1(((Ot))) = (

pt

t T

1((Tt)))) (deoarece Ot sunt baze de topologii în Xt)

= (pt

t T

1(b(Xt))) (din definiţia mulţimilor boreliene ale unui spaţiu topologic) =

t T B(Xt).

În cazul particular în care (Xt, T t) = (,Top()) coincid cu dreapta reală cu topologia sa canonică obţinem următoarea consecinţă foarte importantă a Propoziţiei 5:

Corolar 7. Dacă T este cel mult numărabilă, atunci B(T) = ( B())T.

Demonstraţie. Se ştie că că Top() este o topologie cu bază numărabilă ( de exemplu

Top()=Top( {(a,b) a,b raţionale- ). Se aplică apoi Propoziţia 5.

Corolar 8. Fie f: n continuă. Atunci f este (( B())n, B()) - măsurabilă.

Demonstraţie. f-1(B())=f-1((Top())) = (f-1(Top())) (cf. Propoziţiei 2)

( Top(n)) (f continuă înseamnă că preimaginea oricărei deschise este de asemenea

deschisă!) = B(n) = ( B())n conform Corolarului 6. Este importantă de asemenea legătura între borelian şi urmă.

Propoziţia 9. Fie (X,T) un spaţiu topologic şi AX. A este înzestrat cu topologia de subspaţiu.

(i). B(A)= B(X)A.

(ii). Dacă A B(X), atunci B(A) ={ B B(X) : BA }

(iii). B([-,+) unde dreapta încheiată este înzestrată cu topologia canonică.

(iv). B([-,]) =( { [-,b) :b } ) =( { (a,] : a } ).

(v). B([-,]) = { BJ : B B(), J{-1,1} }.

Demonstraţie.

(i). B(A) = ( T A) = (iA-1(T))=iA

-1((T)) (conform Propoziţiei 2) = iA-1( B(X)) = B(X)A.

(ii). Din definiţia urmei, B(A) ={ CA : C B(X) }. Dacă A B(X), atunci şi

B =AC B(X) .

(iii). este deschisă în *-,], deci boreliană.

(iv). Fie F =( {[-,b) :b } ). Evident F B([-,]) deoarece toate intervalele

[-,b) fiind deschise, sunt boreliene. Reciproc, ar trebui arătat că orice deschisă din

[-,+ este în F. Dar deschisele sunt reuniuni cel mult numărabile de intervale de tipul (a,b) sau

[-,b) sau (a,] cu a,b. Scriind (a,]c= n1

[-,a+xn) cu (xn)n un şir descrescător de

numere pozitive convergent la 0, rezultă că (a,] F. În sfîrşit, un interval deschis mărginit se

poate scrie (a,b)=[-,b)(a,+, deci şi el aparţine la F, de unde cealaltă incluziune.

(v). ““: Fie F mulţimea din dreapta. Se verifică imediat că F este o -algebră. Toate

intervalele [-,b), b sunt în F, deci şi -algebra generată de ele care, conform punctului (iv)

coincide cu B([-,]).

““: Conform punctului (ii) şi (iii) orice mulţime boreliană de pe dreaptă,B, este de asemenea în

B([-,+). O mulţime finită,J, este de asemenea în B([-,+) deoarece este închisă.

Definiţie. Variabilă aleatoare. Punct aleator. Vector aleator. Fie (,K) un spaţiu măsurabil şi

T o mulţime cel mult numărabilă. O funcţie f: T care este (K,B(T))-m[surabilă se numeşte vector aleator. Dacă T are două elemente vom numi vectorul f punct aleator, iar dacă T are un singur element, f se va numi variabilă aleatoare. Dacă f este o variabilă aleatoare cu

proprietatea că f() este finită, atunci f se numeşte variabilă aleatoare simplă. Dacă f() este

cel mult numărabilă. atunci f se numeşte variabilă aleatoare etajată. Dacă f: [-, +]

este (K, b([-,])-măsurabilă, atunci f se numeşte variabilă aleatoare extinsă. Din

Propoziţia 8 rezultă că orice variabilă aleatoare este şi variabilă aleatoare extinsă şi, mai mult,

orice variabilă aleatoare extinsă f cu proprietatea că f() este chiar variabilă aleatoare. Iată o consecinţă a Propoziţiei 4 care ne dă un criteriu de a recunoaşte un vector aleator:

Propoziţia 10. Fie (,K) un spaţiu măsurabil, T o mulţime cel mult numărabilă şi f: T .

Atunci f este vector aleator ptf sunt variabile aleatoare tT.

Demonstraţie. “ “ : Din Corolarul 6, B(T) = ( B())T, proiecţiile canonice pt sunt

măsurabile iar compunerea de aplicaţii măsurabile este măsurabilă.

“ “ : Dacă toate componentele ft=ptf sunt măsurabile, atunci f este (K,

B()T)-măsurabilă cf. Propoziţiei 4. Apoi se aplică Corolarul 6. Acum putem prezenta cele mai importante proprietăţi ale variabilelor aleatoare, care vor fi folosite în restul cursului.

Propoziţia 11. Fie (,K) un spaţiu măsurabil şi L(,K) (respectiv S(,K), E(,K) ) familia

variabilelor sale aleatoare (respectiv variabilelor aleatoare simple, etajate).

(i). Dacă f1, f2,...,fn sunt variabile aleatoare şi g:n este (B(n),B())-măsurabilă,atunci

funcţia compusă g(f1,f2,...,fn) este de asemenea variabilă aleatoare. În particular, dacă g este continuă rămîne valabilă aceeaşi afirmaţie.

(ii). Toate aceste familii de funcţii sunt algebre comutative peste , adică spaţii vectoriale reale cu structură de inel comutativ faţă de înmulţirea obişnuită a funcţiilor.

(iii). f este variabilă aleatoare {f<x} K x {fx} K x {f>x} K

x etc. În general f este variabilă aleatoare f-1(M) K dacă ( M)= B().

(iv). f este variabilă aleatoare extinsă {f<x} K x {f>x} K x {fB}K

B b() şi ,f=} K,{f=-} K.

(v). Dacă f() este cel mult numărabilă atunci f este variabilă aleatoare {f=x} K xf().

(vi). Fie f: [-,+ o funcţie oarecare şi h: *-,] [-1,1] un homeomorfism crescător (de

exemplu funcţia h(x)=

arctgx

1

2 dacă x, h(-)=0, h()=1 ). Atunci f este variabilă aleatoare

extinsă dacă şi numai dacă hf este variabilă aleatoare. (vii). Dacă (fn)n este un şir de variabile aleatoare extinse, atunci funcţiile limsup(fn) şi liminf(fn) sunt de asemenea variabile aleatoare extinse. (viii). În particular, dacă (fn)n este un şir convergent de variabile aleatoare atunci limita sa este de asemenea o variabilă aleatoare. (ix). Dacă f este o variabilă aleatoare mărginită, atunci există un şir de variabile aleatoare simple, (fn)n care converge uniform la f. (x). Dacă f este o variabilă aleatoare oarecare, atunci există un şir de variabile aleatoare etajate, (fn)n care converge uniform la f. (xi). Dacă f este o variabilă aleatoare oarecare, atunci există un şir de variabile aleatoare simple, (fn)n care converge punctual la f.

(xii). Spaţiul vectorial S(,K) este dens în L(,K) în topologia convergenţei simple iar

E(,K) este dens în L(,K) în topologia convergenţei uniforme.

Demonstraţie.

(i).Funcţia f:n dată prin f()=(f1(),f2(),...,fn()) este ( K, b(n)) măsurabilă din

Propoziţia 9 iar compunerea de funcţii măsurabile produce funcţii măsurabile.

(ii). Funcţiile g(x,y)=ax+bycu a,b, h(x,y)=xy, g,h:2 sunt continue, deci măsurabile.

Înseamnă că dacă f1 şi f2 sunt variabile aleatoare şi af1+bf2, f1f2 vor fi de asemenea variabile aleatoare, conform punctului (I).

(iii). f-1((m))=(f-1(m)) din Propoziţia 2. Din Cursul 1, Prpoziţia 9, se ştie că

b() = ({( -,x) : x}) = ({(x,) : x}) = ({(-,x] : x}) = ([x,) : x}) etc. (iv). Se aplică Propoziţia 8 şi Propoziţia 2.

(v). Să presupunem că f() este cel mult numărabilă. Dacă f este variabilă aleatoare, atunci

{f=x}=f-1(,x-) aparţne -algebrei K din definiţia măsurabilităţii. Reciproc, dacă B este o mulţime

boreliană oarecare, atunci f-1(B)=

f xx B f

1

K datorită faptului că reuniunea în cauză este

cel mult numărabilă.

(vi). Faptul esenţial este că funcţia h:*-,][-1,1] este (b([-,]),b([-1,1]))-bimăsurabilă, adică atît h cît şi h-1 sunt măsurabile.

(vii). Să luăm, de exemplu funcţia f=limsup fn =inf sup infn k

fn

gn k n

1 0 1 cu gn=sup{fn, fn+1,....} .

Arătăm mai întîi că gn sunt măsurabile. Fie gn,k=sup {fn, fn+1, ...,fn+k} = max {fn, fn+1, ...,fn+k}. Funcţiile gn,k sunt variabile aleatoare extinse deoarece dacă h este homeomorfismul de la punctul precedent, rezultă că h(gn,k)= max {h(fn), h(fn+1), ...,h(fn+k)} (datorită monotoniei lui h) =

(h(fn), h(fn+1), ...,h(fn+k)) este variabilă aleatoare din punctul (i) al propoziţiei ( funcţia :n,

(x)=max(x1,x2,...,xn) este continuă, deci măsurabilă) . Apoi, şirul de variabile extinse (gn,k)k este

crescător şi converge la gn. Fie x un număr real. Rezultă că {gn>x} = k 0

{gn,k>x} k, deci gn sunt

variabile aleatoare extinse conform punctului (iv). Şirul de variabile aleatoare extinse (gn)n

este descrescător şi converge la f. Rezultă că {f<x} = k 0

{gn<x- aparţine -algebrei k

x, deci f este variabilă aleatoare extinsă cf. (iv). (viii). Dacă (fn)n este un şir convergent de variabile aleatoare, atunci f = limsup fn = liminf fn şi amîndouă aceste funcţii sunt variabile aleatoare extinse, conform punctului precedent. Dar

f(), deci f este o variabilă aleatoare.

(ix). Fie f o variabilă aleatoare mărginită şi a,b ca afb. Funcţiile hn: definite prin hn(x)=[nx]/n sunt crescătoare, deci măsurabile Borel (mulţimile ,hn<x- sunt intervale) şi

hn(x)-x1/n, deci hn converg uniform la funcţia identică. Rezultă că variabilele aleatoare

hn(f)=[nf]/n converg uniform la f. Dar ele sunt simple căci mulţimile hn(f)() sunt finite (hn(f)()

hn([a,b])={k/n : ak/nb}). (x). Dacă f nu este mărginită, variabilele aleatoare hn(f) de la punctul precedent sunt etajate.

(xi). Fie hn(x)=[nx]1[-n,n](x)/n. Variabilele aleatoare hn(f) sunt simple (căci hn()={k/n : -n2kn2}

este finită) şi converg la f (deoarece x-hn(x) 1[-n,n](x)/n + (1(-,n][n,)(x)) 0 c]nd n ).

(xii). Este o reformulare a punctelor (x) şi (xi).

Exerciţii.

1. Operatorii ()s,()d, (), (), (), () sunt idempotenţi, adică M ss= M s etc, iar operatorul ()’ este involutiv,

adică (.)’ ’ = (.).

2 Să se arate că operatorii s şi d, precum şi şi comută, adică M sd= M ds şi M = M .

3. Dimpotrivă, şi nu comută: arătaţi că Q M , dar Q M , unde M reprezintă mulţimea

deschiselor de pe dreaptă iar Q este mulţimea numerelor raţionale.

Indicaţie. Q este o reuniune numărabilă de puncte iar orice punct x este intersecţia şirului de intervale

deschise (x-1/n,x+1/n), deci Q M . Să presupunem prin absurd că Q M = M (căci o reuniune de

deschise este de asemenea deschisă). Atunci Qc ar fi o reuniune numărabilă de închise; cum interiorul

mulţimii Qc este vid, Qc s-ar putea scrie ca o reuniune numărabilă de închise cu interior vid. Atunci ar

rezulta că = QQc se poate scrie ca o reuniune numărabilă de închise cu interior vid, adică ar fi un

spaţiu de categoria I Baire ceea ce este fals: orice spaţiu metric complet este de categoria II Baire

(Teorema lui Baire).

4. Fie = şi m = { (a,b) : a,b -. Calculaţi m s, m d, m , m şi arătaţi că Q M , dar Q M .

(Indicaţie: orice deschisă este în m ).

5. Fie =[0,)2 şi m = { [0,a)[0,b) : a,b>0 }. Arătaţi că:

(i). M d= M iar m = { IJ : I,J intervale care conţin pe 0 }

(ii). m s= {[0,f) : f:[0,) [0,) descrescătoare, continuă la dreapta, cu o mulţime finită de valori şi

f()=0} iar m = {[0,f) : f:[0,) [0,] descrescătoare, continuă la dreapta} unde, dacă f şi g sunt două

funcţii, *f,g) înseamna , (x,y) : f(x)y<g(x) }.

(iii). Fie f:[0,)[0,) continuă strict descrescătoare. Atunci mulţimea *0,f+ este în M , dar nu în M .

Deci, în general nu este nici o incluziune între M şi M .

Indicaţie (iii). Fie fn =

fk

n nk

k

n

k

n

1

10

1[ , )

. Atunci [0, f ] =[ , )0

1

fn

n

deci *0,f+ este în M conform

cu (ii). Dacă *0,f+ ar fi în M ar trebui ca [0,f] să se poată scrie ca o reuniune de intervale InJn, conform

primului punct. Fie an şi bn capetele drepte ale intervalelor In şi Jn. Pentru orice x0 punctul (x,f(x))[0,f]

trebuie să fie în una din mulţimile InJn, notată In(x)Jn(x) . Înseamnă că xan(x) şi f(x)bn(x) de unde

f(an(x))f(x)bn(x). Dar In(x)Jn(x) [0,f] bn(x) f(an(x)) deci (an(x),bn(x)) este pe graficul lui f şi intervalele sunt închise: In(x)=[0,an(x)], Jn(x)=[0,bn(x)]. Mai mult, cum f este strict descrescătoare, (an(x),bn(x)) este unicul punct

situat pe graficul lui f. Rezultă că pe graficul lui f există numai o mulţime numărabilă de puncte, absurd. 6. Exerciţii cu funcţia indicator. Fie 1A: p() ,0,1- indicatorul mulţimii A, adică 1A(x)=

1

0

daca x A

daca x A

. Arătaţi că

(i).1AB = max(1A, 1B ) = 1A + 1B -1A1B ; 1AB = 1A1B ; 1AB = 1A+1B - 21A1B

= 1A-1B = 1A+1B (mod 2) iar A = B 1A=1B .

(ii). (P(),,) este un inel izomorf cu (Z2, , ) unde Z2

={f f:Z2- iar ““,”“ înseamnă adunarea şi înmulţirea pe componente.

(iii).

1 1 1 1 1 1 1 1A A A A

t T

A A A A

nt

t T

t t t t tn

n n

t T t T t T t T

sup max , inf min , liminflim inf

şi

1 1lim sup limsupn

n nA A

n

, unde

liminf , limsupn

n n k

kn

n n k

kn

A An

A A

01 01

.

Indicaţie (ii). Un izomorfism este aplicaţia T:P()Z2, T(A)=1A.

7. Arătaţi că Top(M)=Md{,}.

8. Arătaţi că Alg(M)=(Mm’)sd.

9. Arătaţi că ( M) = (n) unde reuniunea se face după toate subfamiliile numărabile de mulţimi n

ale lui M. Indicaţie. Arătaţi că familia de mulţimi din dreapta este o -algebră.

10.Să presupunem că mulţimile din M formează o partiţie a lui : (adică M ={ Mt : tT },

stMsMt= iar reuniunea tuturor mulţimilor Mt este ). Atunci Alg(M)= { t J

Mt : JT este finită

sau T \ J este finită } iar (M)= { t J

Mt : JT este cel mult numărabilă sau T \ J este cel mult numărabilă

}( reuniunile numărabile sau conumărabile de atomi formează -algebră )

11. Algoritm pentru construcţia algebrei generate de o familie finită de mulţimi. Dacă M este

finită, atunci (M)=Alg(M) şi Alg(M) este o putere a lui 2. Dacă M ={A1,A2,...,An} atunci atomii sunt

mulţimile J=

A Aj

j J

j

c

j J

unde J parcurge toate submulţimile lui ,1,2,...,n-. Deduceţi că numărul de mulţimi din algebra generată de n mulţimi este 2k cu k numărul de atomi nevizi . Cum acesta este

cel mult 2n rezultă că Alg(M) 22n

.

Indicaţie. Verificaţi că JJ’ JJ’ = şi că reuniunea atomilor este ; reţineţi apoi numai atomii

nevizi şi aplicaţi exerciţiul precedent. .

12. Algoritm pentru construcţia -algebrei generate de o familie de mulţimi. Fie o mulţime

oarecare şi m o familie de părţi ale sale. Fie m 1 = ( m m‘),m 2 = (m 1 (m 1)’),..., m n+1 = (m n (m n)’),

...şi procedeul continuă pînă la primul ordinal cu o mulţime nenumărabilă de predecesori, 1, astfel :

dacă este un ordinal limită, atunci m =

m iar dacă are predesor (adică =+1 cu alt

ordinal), atunci m +1 = (m (m )’)

Atunci (m ) = 1

m .

13. Fie X,Y sunt două spaţii topologice şi f:XY o funcţie . Dacă f este (B(X), B(Y) )-măsurabilă,

atunci f se numeşte măsurabilă Borel. Considerăm cazul X=Y=. Arătaţi că: - orice funcţie monotonă este măsurabilă Borel; - orice funcţie continuă la dreapta sau la stînga este măsurabilă Borel.

Indicaţie. Dacă f este monotonă, preimaginea oricărui interval este interval iar intervalele generează

B(). Dacă f este continuă la dreapta, este limita şirului fn(x)=

fk

nn Z

k

n

k

n

1

1 1[ , )

(x) iar dacă este

continuă la stînga procedăm analog.

14. Fie f : continuă şi injectivă. Atunci (f)= B() .

Indicaţie. f este monotonă . Din teorema lui Darboux, Im(f) este interval, deci mulţime boreliană ;funcţia

f: Im(f) este bijectivă. Dacă g:Im(f) este inversa ei, atunci f(B ()) = g-1(B ()) = g-1((i )) (unde

reprezintă intervalele de pe dreaptă) = (g-1(i )) = (f(i )) B() . deoarece dacă I este un interval, f(I) este de asemenea interval (Darboux!) deci mulţime boreliană. Apoi se va folosi faptul că B=f-1(f(B)).

15. Fie f: pară, continuă cu proprietatea că f[0,) este injectivă. Atunci arătaţi că (f)={B B() :

-B=B} cu -B := {-x: xB }.

Indicaţie. Dacă B este boreliană, şi -B este la fel datorită măsurabilităţii funcţiei h(x)=-x. Fie

g:[0,), g= f[0,). Funcţia g este monotonă. Arătaţi ca la exerciţiul precedent că (g)= B()[0,) .

Dacă B=-B, atunci B= (B[0,)) (-(B[0,))) = g-1(D) (-g-1(D))=f-1(D) unde B[0,)=g-1(D), D

boreliană. Deci orice mulţime din -algebra din dreapta este în (f). Cealaltă incluziune este evidentă : f-1(B)=-f-1(B).

16. Calculaţi (f) dacă :

- f:, f(x)=x2;

- f:, f(x)=[x];

- f:, f(x)=sin(x);

Indicaţie. În primul caz se aplică exerciţiul (3); În al doilea arătaţi direct că (f) este familia reuniunilor de intervale de forma *n,n+1), n întreg; în al treilea folosiţi faptulş că funcţia sinus restricţionată la

intervalul [-/2,,2] este injectivă şi arătaţi că (f)= { B B k

k Z

2: B B()[-/2, /2)] }.

17. Fie f:2, f(x,y)=x2+y2. Arătaţi că (f)={

C xx x B

( , ),

00

: BB() }, unde C(0,x) este cercul de

centru 0 şi rază x.

18. Fie 1, 2,..., n mulţimi oarecare şi mj p(j), 1jn ca j mj . Arătaţi că j

n

1(mj) = ( j

n

1

[mj]), unde j

n

1[mj+ însemnă prin definiţie mulţimea “dreptunghiurilor” A1A2...An cu Aj mj, 1jn.

Indicaţie. Dacă este produsul cartezian al celor n mulţimi şi pj: j sunt proiecţiile canonice, atunci

j

n

1 (mj) = ( j

n

1pj-1((mj))) = (

j

n

1(pj-1(mj))) = (

j

n

1pj-1(mj)) = ((

j

n

1pj-1(mj))d). Ultima expresie

este exact ce trebuie, deoarece j mj. )

19. b(n) = ({ (-,a1] (-,a2]... (-,an] : a1,a2,...an } ).

Indicaţie. În general ( m 1)( m 2)...( mn) = ({A1A2...AnAj mj,1jn})

20. Dacă (,k) este un spaţiu măsurabil şi este generat de o partiţie cel mult numărabilă (Ai)iI atunci f

este variabilă aleatoare f este variabilă aleatoare etajată. Indicaţie. Mulţimea ,f=a- este o reuniune cel mult num\rabilă de atomi.

21. Dacă este o mulţime nenumărabilă şi k p () este -algebra generată de mulţimile cu un singur

punct atunci o funcţie f: este măsurabilă Borel f este constantă cu excepţia eventuală a unei mulţimi cel mult numărabile.

Indicaţie:consideraţi mulţimile Ex:={f<x}; există un x ca Ex să fie cel mult numărabilă iar >0 Ex+ este conumărabilă. Atunci f=x cu excepţia eventuală a unei mulţimi cel mult numărabile .

22. Preimaginea unui U-sistem nu mai este neapărat U-sistem. Fie =,0,1,2,3,4- şi

m = {,,{0,1},{0.2},{0,3},{0,4},{0,1}c,{0.2}c,{0,3}c,{0,4}c}.

Fie apoi E = \ ,0- şi f:E funcţia identică.

Verificaţi că m este U-sistem (singurele perechi de mulţim disjuncte sunt de tipul A, Ac ) dar f-1() nu

mai este sistem .

Curs 2. Măsurabilitate.

Fie ,X mulţimi oarecare şi f: X o funcţie. Dacă BX atunci f-1(B)={ :

f()B } va desemna preimaginea mulţimii B prin funcţia f. Dacă M P(X) este o familie

oarecare de mulţimi, atunci f-1(M) va desemna familia { f-1(B) : B M - . În acest fel putem

privi operaţia f-1 ca o funcţie de la P(X) la P().

Propoziţia 1. Dacă M P(X) este o -algebră (respectiv U-sistem, algebră, topologie),

atunci f-1(M) este de asemenea -algebră (respectiv U-sistem, algebră, topologie).

Demonstraţie. Evident. Preimaginea reuniunii (respectiv intersecţiei, complementarei) este

reuniunea (respectiv intersecţia, complementara).

In plus, f-1 se comportă bine şi faţă de operatorii de închidere introduşi în Cursul1:

comută cu ei.

Propoziţia 2. Întotdeauna ( f-1(M)) = f-1((M)) ( şi respectiv ( f-1(M)) = f-1((M)),

Alg( f-1(M)) = f-1(Alg(M)), Top( f-1(M)) = f-1(Top(M)) ).

Demonstraţie. ““: Fie E = { BX : f-1(B) ( f-1(M)) }.Evident M E . În al doilea rînd E

este o -algebră. Într-adevăr, E deoarece ( f-1(M)) şi f-1()=. Apoi, dacă B E, atunci şi Bc E căci f-1(Bc)=(f-1(B))c şi ( f-1(M)) este o -algebră. În sfîrşit, dacă (Bn)n este

un şir de mulţimi din E, reuniunea lor va fi de asemenea în E căci f B f Bn

nn

n

1 1 .

Rezultă că (M ) (E)= E . Deci B( M) f-1(B) ( f-1(M)) adică f-1((M)) (

f-1(M)).

““: Evident f-1(M) f-1((M)) deci (f-1(M)) (f-1((M)))= f-1((M)), căci ultima familie

este deja o -algebră conform Propoziţiei.

Acelaşi raţionament funcţionează dacă înlocuim operatorul ““ cu ““, respectiv “Alg”

sau “Top”..

Definiţie. Spaţiu măsurabil, funcţie măsurabilă. O pereche (,k) unde este o mulţime

oarecare şi k p()este o -algebră se numeşte spaţiu măsurabil. Dacă (,k) şi (X, f) sunt

două spaţii măsurabile şi f: X este o funcţie, atunci funcţia f se numeşte (k, f)-măsurabilă

dacă f-1(f) k, adică dacă B f f-1(B) k. Dacă nu este pericol de confuzie, (adică dacă

-algebrele k şi f se subînţeleg) vom spune doar că „f este măsurabilă”. Dacă f este bijectivă şi

funcţia f-1 este de asemenea (f, k)-măsurabilă vom spune că f este un izomorfism de spaţii

măsurabile sau, mai scurt, un izomorfism. Dacă , X sunt spaţii topologice şi ă -algebrele k

şi f sunt -algebrele mulţimilor boreliene, atunci o funcţie măsurabilă se va numi funcţie

boreliană.

Observaţie. Dacă k şi f ar fi topologii în loc să fie -algebre, noţiunea de măsurabilitate ar

coincide cu noţiunea de continuitate. Într-adevăr, se ştie că f este continuă f-1(G) este

deschisă G deschisă. Altfel scris, f este continuă f-1(f) k, ceea ce arată o similaritate remarcabilă între cele două noţiuni. În acest caz izomorfismul (funcţie bijectivă bimăsurabilă) s-ar numi homeomorfism (= funcţie bijectivă şi bicontinuă). Ca şi în topologie, este valabil următorul rezultat:

Propoziţia 3. (i). Fie (,k), (E,e) (F,f) trei spaţii măsurabile şi f: E, g:E F două funcţii

măsurabile. Atunci compunerea lor gf este de asemenea măsurabilă.

(ii). Fie (,k), (E,e) două spaţii măsurabile şi f : E o funcţie oarecare. Să presupunem că

e =(m) cu m p() . Atunci f este măsurabilă f-1(m ) k

Demonstraţie. (i) este evident iar (ii) este o consecinţă imediată a propoziţiei 2: f-1(e) = f-1((m))

= (f-1(m)) ( k ) = k . Importanţa punctului (ii) din Propoziţia 3 este vizibilă: pentru a demonstra

măsurabilitatea unei funcţii f nu este nevoie să verificăm neapărat că f-1(B) k pentru

orice B din e, ci este suficient să verificăm acest lucru pentru B m lucru mai uşor.

Definiţie. -Algebra generată de o familie de funcţii. Fie (Xt,Ft)tT o familie de spaţii

măsurabile, X o mulţime oarecare şi ft:X Xt o familie de funcţii. Atunci -algebra (

ft

t T

1( Ft)) se va numi -algebra generată de funcţiile (ft)tT şi se va nota, în cazul

că ne există pericol de confuzie asupra spaţiilor măsurabile (Xt,Ft)tT,cu (ft : tT).

Propoziţia 4. Fie (,K) un spaţiu măsurabil, X o mulţime oarecare şi Fie (Xt,Ft)tT o familie de

spaţii măsurabile. Fie ft:X Xt o familie de funcţii şi f: X .

Atunci f este (K,(ft : tT ))-măsurabilă ftf sunt (K, Ft)-măsurabile tT.

Demonstraţie. ““ este evident : compunerea de funcţii măsurabile este măsurabilă.

““. f-1((ft : t T ))=f-1((ft

t T

1( Ft)))=(f-1(

ft

t T

1( Ft))) (Propoziţia 2!)=(

ft

t T

1(f-1(Ft)))

(datorită proprietăţilor aplicaţiei f-1) =(( )f ft

t T

1

( Ft)) K deoarece toate funcţiile ftf

sunt măsurabile.

Definiţie. Produsul unei familii de spaţii măsurabile. Să considerăm în definiţia de mai

sus cazul particular în care X=X t

t T

şi funcţiile ft:X Xt sunt proiecţiile canonice, adică ft(x)=xt

tT. Atunci vom nota -algebra (ft : tT) cu t T Ft. Dacă T={1,2,...,n} vom mai scrie

spaţiul măsurabil produs şi direct, adică (X1X2....Xn, F 1 F 2.... F n). În cazul particular în

care (Xt,Ft)tT coincid, deci dacă (Xt,Ft )=(E, F) tT, produsul acestor spaţii

măsurabile se va nota (ET, FT) . Dacă în plus T=,1,2,...,n- vom prefera scrierea mai obişnuită

(En, Fn) în loc de (ET, FT). Să remarcăm analogia acestei definiţii cu cea de topologie produs: produsul unei familii de spaţii topologice se defineşte la fel . O consecinţă imediată a Propoziţiei 4 este

Propoziţia 5. Fie (Xt,Ft)tT o familie de spaţii măsurabile şi X=X t

t T

, F =

t T Ft. Fie (,K) un alt

spaţiu măsurabil şi f: X, f()=(ft())tT . Atunci f este (K, t T Ft)-măsurabilă ft sunt (K,

Ft)- măsurabile pentru orice tT.

Demonstraţie. Evident :dacă pt:XXt sunt proiecţiile canonice, atunci ptf = ft şi aplicăm

Propoziţia 3. .

Un alt caz particular de -algebră generată de o funcţie este cea de urmă a unei

-algebre pe o mulţime. Fie (,K) un spaţiu măsurabil şi A o mulţime oarecare. Injecţia

canonică este funcţia iA : A dată de relaţia iA()=. Atunci -algebra (iA) = iA-1(K) se

numeşte urma lui K pe A şi se notează cu KA.

În cazul spaţiilor topologice este interesantă legătura între borelianul produs şi produsul borelienilor. Dacă am şti că ele coincid, de exemplu, atunci orice funcţie continuă ar fi măsurabilă, lucru care ar fi de ajutor în stabilirea măsurabilităţii.

Propoziţia 6. Fie (Xt, T t) o familie cel mult numărabilă de spaţii topologice numărabil generate.

Atunci B(X t

t T

) =

t T B(Xt).

Demonstraţie. Fie Ot baze numărabile de topologie în (Xt, T t), adică T t = ( Ot) şi Ot sunt

numărabile tT. Atunci topologia produs pe X := X t

t T

va fi T =Top(

pt

t T

1(( Ot))) = Top(

(pt

t T

1( Ot))). Fie Ut mulţimile pt

-1(Ot). Deci T = Top((

t T

Ut)) =(

(t T

Ut))d (Exerciţiu : Top(M)=

M d) =( t T

Ut)d (datorită distributivităţii reuniunii faţă de intersecţie) . Fie O familia de

mulţimi O = ( t T

Ut)d. Cum T este cel mult numărabilă, familiile Ut sunt de asemenea

numărabile iar intersecţiile finite care se pot realiza cu o familie numărabilă de mulţimi

formează de asemenea o mulţime numărabilă de mulţimi, rezultă că O este numărabilă.

Înseamnă că T = O = O (reuniunile de mulţimi dintr-o familie numărabilă sunt întotdeauna

reuniuni cel mult cel mult numărabile), cu alte cuvinte O este o bază de topologie pentru T.

Rezultă că B(X t

t T

)=(T)=( O )=( O )= ( t T

Ut) = (

pt

t T

1(Ot)) = (

(pt

t T

1(Ot)))

(cf. Propoziţia Curs 1) = (pt

t T

1((Ot))) (cf. Propoziţiei 2) = (

pt

t T

1(((Ot))) = (

pt

t T

1((Tt)))) (deoarece Ot sunt baze de topologii în Xt) = (

pt

t T

1(b(Xt))) (din definiţia

mulţimilor boreliene ale unui spaţiu topologic) =t T B(Xt).

În cazul particular în care (Xt, T t) = (,Top()) coincid cu dreapta reală cu topologia sa canonică obţinem următoarea consecinţă foarte importantă a Propoziţiei 5:

Corolar 7. Dacă T este cel mult numărabilă, atunci B(T) = ( B())T.

Demonstraţie. Este uşor de demonstrat că Top() este o topologie cu bază numărabilă : de

exemplu Top()=Top( ,(a,b) :a,b raţionale- ). Se aplică apoi Propoziţia 5.

Corolar 8. Fie f:n o funcţie continuă. Atunci f este (( B())n, B()) - măsurabilă.

Demonstraţie. f-1(B())=f-1((Top())) = (f-1(Top())) (cf. Propoziţiei 2) ( Top(n)) (f

continuă înseamnă că preimaginea oricărei deschise este de asemenea deschisă!) = B(n) = ( B())n conform Corolarului 6. Este importantă de asemenea legătura între borelian şi urmă.

Propoziţia 9. Fie (X,T) un spaţiu topologic şi AX. A este înzestrat cu topologia de subspaţiu.

(i). B(A)= B(X)A.

(ii). Dacă A B(X), atunci B(A) ={ B B(X) : BA }

(iii). B([-,+) unde dreapta încheiată este înzestrată cu topologia canonică.

(iv). B([-,]) =( { [-,b) :b } ) =( { (a,] : a } ).

(v). B([-,]) = { BJ : B B(), J{-1,1} }.

Demonstraţie.

(i). B(A) = ( T A) = (iA-1(T))=iA

-1((T)) (conform Propoziţiei 2) = iA-1( B(X)) = B(X)A.

(ii). Din definiţia urmei, B(A) ={ CA : C B(X) }. Dacă A B(X), atunci şi B=AC B(X) .

(iii). este deschisă în *-,], deci boreliană.

(iv). Fie F =( {[-,b) :b } ). Evident F B([-,]) deoarece toate intervalele [-,b) fiind

deschise, sunt boreliene. Reciproc, ar trebui arătat că orice deschisă din [-,+ este în F. Dar

deschisele sunt reuniuni cel mult numărabile de intervale de tipul (a,b) sau [-,b) sau (a,] cu

a,b. Scriind (a,]c= n1

[-,a+xn) cu (xn)n un şir descrescător de numere pozitive

convergent la 0, rezultă că (a,] F. În sfîrşit, un interval deschis mărginit se poate scrie

(a,b)=[-,b)(a,+, deci şi el aparţine la F, de unde cealaltă incluziune.

(v). ““: Fie F mulţimea din dreapta. Se verifică imediat că F este o -algebră. Toate

intervalele [-,b), b sunt în F, deci şi -algebra generată de ele care, conform punctului (iv)

coincide cu B([-,]).

““: Conform punctului (ii) şi (iii) orice mulţime boreliană de pe dreaptă,B, este în B([-,]). O

mulţime finită,J, este de asemenea în B([-,+) deoarece este închisă.

Definiţie. Variabilă aleatoare. Punct aleator. Vector aleator. Fie (,K) un spaţiu

măsurabil şi T o mulţime cel mult numărabilă. O funcţie f: T care este

(K,B(T))-m[surabilă se numeşte vector aleator. Dacă T are două elemente vom numi

vectorul f punct aleator, iar dacă T are un singur element, f se va numi variabilă aleatoare.

Dacă f este o variabilă aleatoare cu proprietatea că f() este finită, atunci f se numeşte

variabilă aleatoare simplă. Dacă f() este cel mult numărabilă. atunci f se numeşte variabilă

aleatoare etajată. Dacă f: [-, +] este (K, b([-,])-măsurabilă, atunci f se

numeşte variabilă aleatoare extinsă. Din Propoziţia 8 rezultă că orice variabilă aleatoare

este şi variabilă aleatoare extinsă şi, mai mult, orice variabilă aleatoare extinsă f cu proprietatea

că f() este chiar variabilă aleatoare. Iată o consecinţă a Propoziţiei 4 care ne dă un criteriu de a recunoaşte un vector aleator:

Propoziţia 10. Fie (,K) un spaţiu măsurabil, T o mulţime cel mult numărabilă şi f: T .

Atunci f este vector aleator ptf sunt variabile aleatoare tT.

Demonstraţie. “ “ : Din Corolarul 6, B(T) = ( B())T, proiecţiile canonice pt sunt

măsurabile iar compunerea de aplicaţii măsurabile este măsurabilă.

“ “ : Dacă toate componentele ft=ptf sunt măsurabile, atunci f este (K,

B()T)-măsurabilă cf. Propoziţiei 4. Apoi se aplică Corolarul 6. Acum putem prezenta cele mai importante proprietăţi ale variabilelor aleatoare, care vor fi folosite în restul cursului.

Propoziţia 11. Fie (,K) un spaţiu măsurabil şi L(,K) (respectiv S(,K), E(,K) ) familia

variabilelor sale aleatoare (respectiv variabilelor aleatoare simple, etajate).

(i). Dacă f1, f2,...,fn sunt variabile aleatoare şi g:n este (B(n),B())-măsurabilă,atunci

funcţia compusă g(f1,f2,...,fn) este de asemenea variabilă aleatoare. În particular, dacă g este continuă rămîne valabilă aceeaşi afirmaţie.

(ii). Toate aceste familii de funcţii sunt algebre comutative peste , adică spaţii vectoriale reale cu structură de inel comutativ.

(iii). f este variabilă aleatoare {f<x} K x {fx} K x {f>x} K

x etc. În general f este variabilă aleatoare f-1(M) K dacă ( M)= B().

(iv). f este variabilă aleatoare extinsă {f<x} K x {f>x} K x {fB}K

B b() şi ,f=} K,{f=-} K.

(v). Dacă f() este cel mult numărabilă atunci f este variabilă aleatoare {f=x} K xf().

(vi). Fie f: [-,+ o funcţie oarecare şi h: *-,] [-1,1] un homeomorfism crescător (de

exemplu funcţia h(x)=

arctgx

1

2 dacă x, h(-)=0, h()=1 ). Atunci f este variabilă aleatoare

extinsă dacă şi numai dacă hf este variabilă aleatoare. (vii). Dacă (fn)n este un şir de variabile aleatoare extinse, atunci funcţiile limsup(fn) şi liminf(fn) sunt de asemenea variabile aleatoare extinse. (viii). În particular, dacă (fn)n este un şir convergent de variabile aleatoare atunci limita sa este de asemenea o variabilă aleatoare. (ix). Dacă f este o variabilă aleatoare mărginită, atunci există un şir de variabile aleatoare simple, (fn)n care converge uniform la f. (x). Dacă f este o variabilă aleatoare oarecare, atunci există un şir de variabile aleatoare etajate, (fn)n care converge uniform la f. (xi). Dacă f este o variabilă aleatoare oarecare, atunci există un şir de variabile aleatoare simple, (fn)n care converge punctual la f.

(xii). Spaţiul vectorial S(,K) este dens în L(,K) în topologia convergenţei simple iar

E(,K) este dens în L(,K) în topologia convergenţei uniforme.

Demonstraţie.

(i).Funcţia f:n dată prin f()=(f1(),f2(),...,fn()) este ( K, b(n)) măsurabilă din

Propoziţia 9 iar compunerea de funcţii măsurabile produce funcţii măsurabile.

(ii). Funcţiile g(x,y)=ax+bycu a,b, h(x,y)=xy, g,h:2 sunt continue, deci măsurabile.

Înseamnă că dacă f1 şi f2 sunt variabile aleatoare şi af1+bf2, f1f2 vor fi de asemenea variabile aleatoare, conform punctului (I).

(iii) f-1((m))=(f-1(m)) din Propoziţia 2. Din Cursul 1 se ştie că b() = ({( -,x) : x}) =

({(x,) : x}) = ({(-,x] : x}) = ([x,) : x}) etc. (iv). Se aplică Propoziţia 8 şi Propoziţia 2.

(v). Să presupunem că f() este cel mult numărabilă. Dacă f este variabilă aleatoare, atunci

{f=x}=f-1(,x-) aparţne -algebrei K din definiţia măsurabilităţii. Reciproc, dacă B este o mulţime

boreliană oarecare, atunci f-1(B)=

f xx B f

1

K datorită faptului că reuniunea în cauză este

cel mult numărabilă.

(vi). Faptul esenţial este că funcţia h:*-,][-1,1] este (b([-,]),b([-1,1]))-bimăsurabilă, adică atît h cît şi h-1 sunt măsurabile.

(vii). Să luăm, de exemplu funcţia f=limsup fn =inf sup infn k

fn

gn k n

1 0 1 cu gn=sup{fn, fn+1,....} .

Arătăm mai întîi că gn sunt măsurabile. Fie gn,k=sup {fn, fn+1, ...,fn+k} = max {fn, fn+1, ...,fn+k}. Funcţiile gn,k sunt variabile aleatoare extinse deoarece dacă h este homeomorfismul de la punctul precedent, rezultă că h(gn,k)= max {h(fn), h(fn+1), ...,h(fn+k)} (datorită monotoniei lui h) =

(h(fn), h(fn+1), ...,h(fn+k)) este variabilă aleatoare din punctul (i) al propoziţiei ( funcţia :n,

(x)=max(x1,x2,...,xn) este continuă, deci măsurabilă) . Apoi, şirul de variabile extinse (gn,k)k este

crescător şi converge la gn. Fie x un număr real. Rezultă că {gn>x} = k 0

{gn,k>x} k, deci gn sunt

variabile aleatoare extinse conform punctului (iv). Şirul de variabile aleatoare extinse (gn)n

este descrescător şi converge la f. Rezultă că {f<x} = k 0

{gn<x- aparţine -algebrei k

x, deci f este variabilă aleatoare extinsă cf. (iv). (viii). Dacă (fn)n este un şir convergent de variabile aleatoare, atunci f = limsup fn = liminf fn şi amîndouă aceste funcţii sunt variabile aleatoare extinse, conform punctului precedent. Dar

f(), deci f este o variabilă aleatoare.

(ix). Fie f o variabilă aleatoare mărginită şi a,b ca afb. Funcţiile hn: definite prin hn(x)=[nx]/n sunt crescătoare, deci măsurabile Borel (mulţimile ,hn<x- sunt intervale) şi

hn(x)-x1/n, deci hn converg uniform la funcţia identică. Rezultă că variabilele aleatoare

hn(f)=[nf]/n converg uniform la f. Dar ele sunt simple căci mulţimile hn(f)() sunt finite (hn(f)()

hn([a,b])={k/n : ak/nb}). (x). Dacă f nu este mărginită, variabilele aleatoare hn(f) de la punctul precedent sunt etajate.

(xi). Fie hn(x)=[nx]1[-n,n](x)/n. Variabilele aleatoare hn(f) sunt simple (căci hn()={k/n : -n2kn2}

este finită) şi converg la f (deoarece x-hn(x) 1[-n,n](x)/n + (1(-,n][n,)(x)) 0 c]nd n ).

(xii). Este o reformulare a punctelor (x) şi (xi).

Exerciţii.

1. Fie X,Y sunt două spaţii topologice şi f:XY o funcţie . Dacă f este (B(X), B(Y)

)-măsurabilă, atunci f se numeşte măsurabilă Borel. Considerăm cazul X=Y=. Arătaţi că:

- orice funcţie monotonă este măsurabilă Borel; - orice funcţie continuă la dreapta sau la stînga este măsurabilă Borel.

Indicaţie. Dacă f este monotonă, preimaginea oricărui interval este interval iar intervalele

generează B(). Dacă f este continuă la dreapta, este limita şirului fn(x)=f

k

nn Z

k

n

k

n

1

1 1[ , )

(x)

iar dacă este continuă la stînga procedăm analog.

2. Fie f : continuă şi injectivă. Atunci (f)= B() .

Indicaţie. f este monotonă . Din teorema lui Darboux, Im(f) este un interval;apoi f(Ac)=Im(f) \

f(A) deci f este bimăsurabilă, adică f(B ()) B (). Folosiţi faptul că B=f-1(f(B)).

3. Fie f: pară, continuă cu proprietatea că f[0,) este injectivă. Atunci (f)={B B() :

-B=B} cu -B := {-x: xB }.

Indicaţie. Dacă B este boreliană, şi -B este la fel datorită măsurabilităţii funcţiei h(x)=-x. Fie

g:[0,), g= f[0,). Funcţia g este monotonă. Arătaţi ca la exerciţiul precedent că (g)= B()[0,) . Dacă B=-B, atunci B= (B[0,)) (-(B[0,)))=g-1(D) (-g-1(D))=f-1(D) unde

B[0,)=g-1(D), D boreliană. Deci orice mulţime din -algebra din dreapta este în (f). Cealaltă incluziune este evidentă : f-1(B)=-f-1(B).

4. Calculaţi (f) dacă :

- f:, f(x)=x2;

- f:, f(x)=[x];

- f:, f(x)=sin(x);

Indicaţie. În primul caz se aplică exerciţiul (3); În al doilea arătaţi direct că (f) este familia

reuniunilor de intervale de forma [n,n+1), n întreg; în al treilea folosiţi faptulş că funcţia sinus

restricţionată la intervalul [-/2,,2] este injectivă şi arătaţi că (f)= { B B k

k Z

2: B

B()[-/2, /2)] }.

5. Fie f:2, f(x,y)=x2+y2. Arătaţi că (f)={

C xx x B

( , ),

00

: BB() }, unde C(0,x) este

cercul de centru 0 şi rază x.

6. Fie 1, 2,..., n mulţimi oarecare şi mj p(j), 1jn ca j mj . Arătaţi că j

n

1(mj) = (

j

n

1[mj]), unde j

n

1[mj+ însemnă prin definiţie mulţimea “dreptunghiurilor” A1A2...An cu Aj

mj, 1jn.(Indicaţie. Dacă este produsul cartezian al celor n mulţimi şi pj: j sunt

proiecţiile canonice, atunci j

n

1 (mj) = ( j

n

1pj-1((mj))) = (

j

n

1(pj-1(mj))) = (

j

n

1pj-1(mj)) = ((

j

n

1pj-1(mj))d). Ultima

expresie este exact ce trebuie, deoarece j mj. )

7. b(n) = ({ (-,a1] (-,a2]... (-,an] : a1,a2,...an } ).

8. Dacă (,k) este un spaţiu măsurabil şi este generat de o partiţie cel mult numărabilă (Ai)iI

atunci f este variabilă aleatoare f este variabilă aleatoare etajată.

9. Dacă este o mulţime nenumărabilă şi k p () este -algebra generată de mulţimile cu un

singur punct atunci o funcţie f: este măsurabilă Borel f este constantă cu excepţia eventuală a unei mulţimi cel mult numărabile. (Indicaţie:consideraţi mulţimile Ex:={f<x}; există

un x ca Ex să fie cel mult numărabilă iar >0 Ex+ este conumărabilă. Atunci f=x cu excepţia

eventuală a unei mulţimi cel mult numărabile ).

Curs 3. Măsura. Prelungirea lui Caratheodory

Definiţie.Măsura. Fie (,K) un spaţiu măsurabil. O măsură este o funcţie : K [0,] care

nu este identic egală cu şi are proprietatea că pentru orice şir de mulţimi disjuncte din K, (An)n avem

(1) ( n

1

An) = n

1 (An)

Tripletul (,k,) format dintr-un spaţiu măsurabil (,k) şi o măsură pe k se numeşte spaţiu cu măsură. Observaţie. Proprietatea (1) se numeşte -aditivitate. Deci măsura este o funcţie de mulţime

-aditivă. Putem observa că pentru ca definiţia să aibă sens nu era nevoie neapărat ca K să

fie -algebră : putea fi U-sistem şi (1) avea sens . Dacă ()<, atunci se numeşte măsură

finită sau mărginită. Dacă, în plus, ()=1, măsura se numeşte probabilitate. Ea formează

obiectul de studiu al teoriei probabilităţilor. A nu se confunda “-aditivă” cu “-finită” !

Teoremele importante ale teoriei măsurii se referă la măsuri -finite.

Observaţie. Dacă înlocuim (1) cu

(1’) A,B K, AB= (AB)=(A)+(B)

obţineam o funcţie de mulţime (simplu) aditivă. Unii numesc acest obiect măsură finit aditivă. Propoziţia 1. (i).Dacă este o măsură, atunci ()=0.

(ii).Orice măsură este finit aditivă.

Demonstraţie. (i).Fia Ak astfel ca (A)<. Fie şirul de mulţimi A1=A, A2=A3=...=. Mulţimile

sunt disjuncte şi reuniunea lor este A. Deci (A)=(A)+lim nn(). Cum (A)< rezultă că

()=0 deoarece altfel membrul drept ar tinde la .

(ii). Luăm şirul A1=A, A2=B, A3=A4=... =. Mulţimile sunt disjuncte şi reuniunea lor este AB.

Conform punctului (i), rezultă că (AB)= ( n

1

An) = n

1 (An) = (A)+(B).

Exemplu. Măsura Dirac. Fie x un punct oarecare. Definim funcţia x(A)=1A(x). Cum, dacă

mulţimile (An)nN sunt disjuncte,

1 1

1

1AA

nn

n

n

, rezultă că x este o măsură.

Propoziţia 2.(i). Dacă 1 şi 2 sunt două măsuri şi a1, a2 [0,), atunci a11+a22 este o

măsură.

(ii). Dacă (n)n este un şir de măsuri atunci n

1 n este de asemenea o măsură.

Demonstraţie.(i).Fie =a11+a22. Fie (An)n un şir de mulţimi disjuncte din K. Atunci ( n

1

An)

= a11( n

1

An) + a22( n

1

An) = a1 n

1 1(An) + a2 n

1 2(An) = n

1 (An). Pe de altă parte nu este

identic egală cu deoarece ()=0.

(ii). Fie k=1+2+...+k şi (An)n un şir de mulţimi disjuncte din . Fie = n

1 n = sup k (putem

înlocui “lim” cu “sup” deoarece sumanzii sunt nenegativi) . Atunci nu este constant egală cu

, deoarece ()=0. Pe de altă parte ( n

1

An) = sup{ k( n

1

An) : k1 } = sup { n

1 k(An) :

k1 } (căci k sunt măsuri conform primului punct) = supsup

k nk j

j

n

A

1 =

supsupk n i

k

i j

j

n

A

1 1

= supsup

n ki j

i

k

j

n

A

11 (întotdeauna două “sup” comută) =

suplimn k

i j

i

k

j

n

A

11 =

sup limn k

i j

i

k

j

n

A

11 (limita sumei este suma limitelor) =

supn

i j

ij

n

A

11 =

supn

j

j

n

A

1 =

A j

j

1 .

Exemplu de aplicare. Fie (x(n))n un şir de elemente din şi (pn)n un şir de numere

nenegative. Atunci funcţia = n

1 pnx(n) este o măsură şi (A)= n x n A: ( )

pn. Măsurile de această

formă se numesc măsuri discrete iar numerele pn se numesc ponderi. Dacă toate ponderile

sunt egale cu 1, atunci (A)= AE unde E={x(n)n 1} . Dacă este numărabilă şi E= am

obţinut ceea ce se cheamă măsura cardinal .

Nu toate măsurile sunt discrete. Dimpotrivă, cele mai interesante - cum ar fi măsura Lebesgue - nu sunt aşa. Ele nu se dau printr-o formulă, ci se construiesc plecînd de la o măsură

-aditivă pe o algebră conform metodei lui Caratheodory.

Definiţie. Fie o mulţime oarecare şi a o algebră de părţi ale lui . O funcţie : a [0,]

care nu este identic egală cu +, cu proprietatea

(1’’) (An)n a disjuncte şi n

1

An a ( n

1

An) = n

1 (An)

se numeşte măsură pe algebra a . A fost nevoie să punem condiţia ca reuniunea mulţimilor An

să fie în a deoarece o algebră de mulţimi nu este stabilă la operaţia de reuniune numărabilă.

Dacă există un şir de mulţimi Cn a ca (An)< şi n

1

Cn = , atunci se numeşte

-finită. În propoziţia următoare vom da criterii de a cunoaşte dacă o funcţie de mulţime simplu

aditivă este -aditivă.

Propoziţia 3. (Criteriul lui Kolmogorov).

(i). Fie a [0,) o funcţie de mulţime aditivă mărginită. Atunci următoarele afirmaţii sunt

echivalente:

(i1). este -aditivă;

(i2). Pentru orice şir descrescător de mulţimi din a, (An)n cu proprietatea că n

1

An =

rezultă că limn(An) = 0.

(i3). Pentru orice şir descrescător de mulţimi din a, (An)n cu proprietatea că limn(An) > 0

rezultă că n

1

An .

(ii). Dacă este -aditivă,atunci este şi -subaditivă, adică

(2) (An)n a şi n

1

An a ( n

1

An) n

1 (An)

Demonstraţie. (i). (i2) (i3) este evident : nu sunt decît două forme de a spune acelaşi lucru.

(i1) (i2). Disjunctăm mulţimile An astfel : B1=A1 \ A2, B2=A2 \ A3, ..., Bn = An \ An+1, ... . Cum

(An)n este un şir descrecător rezultă că A1= n

1

Bn, A2= n

2

Bn, şi, în general, Ak= n k

Bn k1.

Rezultă că toate aceste reuniuni, deşi infinite, aparţin algebrei a . Din -aditivitatea lui rezultă

că (A1)= n

1 (Bn) <. Deci (Ak)= n k

(Bn) formează resturile unei serii convergente care,

evident tind la 0 cînd k . (i2)(i1): .Fie (An)n un şir de mulţimi disjuncte cu proprietatea că

reuniunea lor A aparţine algebrei a. Vrem să arătăm că (A)= n

1 (An). Fie Sn=A1A2...An.

Cum este finit aditivă rezultă că (Sn) = (A1)+(A2)+...+(An) . Deci ceea ce vrem este să

arătăm că (A)=limn(Sn). Putem însă scrie A=SnRn cu Rn= j

1

An+j. Cum A şi Sn sunt în algebra a

şi Rn=A \ Sn rezultă că şi Rn a . Dar şirul (Rn)n este descrescător şi n

1

Rn = (într-adevăr,

xA există un unic n(x) ca xAn(x) - căci mulţimile An sunt disjuncte; atunci x Rn(x)+1 nici

un x nu aparţine intersecţiei mulţimilor Rn). Din ipoteză rezultă că limn(Rn) = 0. Aşadar

(A)=(Sn)+(Rn) şi limn(Rn) = 0 (Sn) (A).

(ii). Fie B1=A1, B2=A2 \ A1,...., Bn=An \(A1A2...An-1), .. mulţimile obţinute prin disjunctarea

mulţimilor (An)n. Cum a este algebră, Bn a n1. Mulţimile Bn sunt disjuncte şi

reuniunea lor este A. Cum este -aditivă, (A) = n

1 (Bn) n

1 (An) (evident BnAn

(Bn)(An).

Ideea lui Caratheodory.

Fie :a [0,) o măsură -aditivă pe algebra a. Deocamdată vom presupune că

este mărginită, deci ()<. Vom prezenta un algoritm, datorat lui Caratheodory, de a extinde

pe la o măsură veritabilă pe ( a). Algoritmul acţionează în doi paşi.

Pasul 1. Construcţia măsurii exterioare.

Definiţie. Fie E o mulţime oarecare. Orice şir de mulţimi din a, (An)n, astfel încît E n

1

An se numeşte a -acoperire a lui E. Fie *: p() [0,) definită prin

(3) *(E) = inf { n

1 (An) : (An)n este a -acoperire a lui E }

Funcţia * se numeşte măsura exterioară generată de . Noţiunea are sens pentru

orice măsură finit aditivă pe A, nu neapărat -aditivă şi mărginită. Iată unele proprietăţi ale

măsurii exterioare în cazul general, cînd este numai aditivă:

Propoziţia 4. Dacă este finit aditivă pe a, atunci

(i). * este -subaditivă, adică *( n

1

En) n

1 *(En) En .

(ii). *() = 0.

(iii). E F *(E) *(F) .

(iv). Dacă A a, atunci (A) *(A).

Demonstraţie. (i).Fie (En)n , E = n

1

En şi >0. Pentru fiecare n1 considerăm a -acoperiri

ale lui En, (An,j)j ca

(4) *(En) j

1 (An,j) *(En) + /2n

Atunci mulţimile (An,j)n,j realizează o acoperire a lui E. Din definiţia măsurii exterioare

*(E) n j,

1 (An,j) = jn

11 ( An,j) n

1 (*(En)+/2n) = n

1 *(En) + . Cum este arbitrar

rezultă că *(E) n

1 *(En), adică ceea ce voiam. (ii). Evident: putem lua toate mulţimile

An=. (iii) rezultă din faptul că orice acoperire a lui E este şi acoperire a lui F. (iv). Şirul

(A,,,...) este o a -acoperire a lui A deci *(A)(A)+()+()+... = (A) conform cu (iii).

Exemplu. Fie =Q (mulţimea numerelor raţionale) şi a algebra dată de intervalele de

numere raţionale de tipul (-,a)Q. Deci o mulţime din a este de forma A=([ , )a bi i

i

n

1

B )Q

cu [ai,bi) intervale disjuncte şi B o mulţime care poate fi : vidă, un interval de tipul (-,a),

interval de tipul [b,) sau, în sfîrşit, o reuniune de tipul (-,a)[b,). Definim (A)= dacă

mulţimea este de ultimele trei tipuri . Dacă mulţimea A este de primul tip, atunci (A) o definim

ca suma lungimilor intervalelor din care se compune A Obţinem o măsură finit aditivă pe a cu

proprietatea că *(E)=0 EQ. Într-adevăr, cum Q este numărabil, putem enumera E sub

forma E={x1,x2,...}. Fie > 0 arbitrar şi An=[xn - /2n+1,xn + /2n+1). Evident (An)n formeazî o a

-acoperire a lui E şi n

1 (An) = n

1 /2n = , deci *(E) < . In concluzie în acest caz *0.

În cazul în care este -aditivă restricţia lui * la a coincide cu .

Propoziţia 5. Dacă este -aditivă, atunci A a *(A)=(A).

Demonstraţie. Fie >0 arbitrar. Fie (An)n o a -acoperire a lui A ca *(A) n

1 (An) *(A)+.

Atunci mulţimile (AAn)n realizează o altă a -acoperire a lui A (căci a este algebră). Deci (A)

n

1 (AnA) (căci este -subaditivă din Propoziţia 3) n

1 (An) *(A)+. Pasul 2.

Intoducerea mulţimilor -măsurabile. Aici vom presupune că este -aditivă şi mărginită.

Definiţie Spunem că mulţimea A este -măsurabilă dacă

(5) E *(EA)+*(EAc) = *(E)

Notaţie. Vom nota mulţimile -măsurabile cu k().

Observaţie. Datorită subaditivităţii lui *, întotdeauna *(E) *(EA)+*(EAc). Deci

(6) A este -măsurabilă *(EA)+*(EAc) *(E) E

Propoziţia 6. a k() .

Demonstraţie. Fie A a şi E oarecare. Fie >0 oarecare şi (An)n o a -acoperire a lui E ca

n

1 (An) *(E) + . Cum a este algebră, rezultă că mulţimile (AAn)n şi (AcAn)n sunt a

-acoperiri pentru EA şi EAc. Deci *(EA) + *(EAc) n

1 (AAn) + n

1 (AcAn) =

n

1 ((AAn)+ (Ac An)) = n

1 (AAnAc An) = n

1 ( An) *(E) + . Cum este arbitrar

rezultă că *(EA) + *(EAc) *(E) adică A este -măsurabilă.

Definiţie. O mulţime A cu proprietatea că *(A)=0 se numeşte -neglijabilă. Propoziţia 7. Dacă A este -neglijabilă, atunci A este şi -măsurabilă.

Demonstraţie. Fie E oarecare. Atunci *(EA)+*(EAc) = *(EAc) (deoarece

*(AE)*(E)=0) *(E). Deci relaţia (6) este satisfăcută, deci A este -măsurabilă.

Propoziţia 8. k() este o algebră şi *: k() [0,) este finit aditivă.

Demonstraţie. Dacă A este -măsurabilă, atunci şi Ac este la fel datorită simetriei definiţiei.

este de asemenea -măsurabilă. Mai rămîne să arătăm că dacă A,B k() atunci AB k().

Într-adevăr, dacă B k(), atunci *(EB)+*(EBc)=*(E) pentru orice E. Egalitatea este valabilă atunci şi dacă înlocuim E cu EAc. Obţinem atunci

(7) E *(EBAc)+*(EBcAc)=*(EAc) Înlocuind (7) în (5) găsim

*(E)=*(EA)+*(EAc)=*(EA)+*(EBAc)+*(EAcBc) *(EAEBAc)+*(E \ (AB)) (căci * este

subaditivă) = *(E(ABAc))+ *(E \ (AB)) = *(E(AB))+*(E \ (AB)) (căci evident

ABAc=AB ) şi deci conform cu (6) obţinem că

(8) E *(E (AB))+*(E \(AB))=*(E)

adică AB este -măsurabilă.Dacă A şi B sunt disjuncte, atunci, înlocuind în (5) pe E cu AB

găsim că *(AB)=*(A)+*(B), deci pe k() * este aditivă.

Observaţie.Analizînd demonstraţia Propoziţiei 8 vedem că dacă A k() şi B este disjunctă

de A, atunci *(AB) = *(A)+*(B).Putem demonstra mai mult, şi anume

Propoziţia 9. Fie (Ai)1in mulţimi disjuncte din k() şi E . Atunci *(E(Aj

j

n

1

)) = j

n

1

*(EAj).

Demonstraţie. Inducţie după n. Dacă n=2, fie E*=E(A1A2). Cum A1 este -măsurabilă, *(E*) =

*(E*A1) + *(E* \ A1) = *(E(A1A2)A1) + *(E(A1A2)A1c) = *(EA1) + *(EA2). În general,

presupunem afirmaţia adevărată pentru n-1 şi o demonstrăm pentru n. Ca mai sus, fie E*= E(

Ajj

n

1

). Cum An este -măsurabilă, *(E*)=*(E*An) + *(E*An

c) = *(EAn) +

*(E(A1A2...An-1)) şi aplicăm apoi ipoteza de inducţie.

Propoziţia 10. k() este U-sistem.

Demonstraţie. Singurul lucru de verificat este stabilitatea la reuniuni numărabile disjuncte. Fie

(An)n un şir de mulţimi disjuncte din k(), A reuniunea lor şi Bn=A1A2...An k() (am văzut

în propoziţia 8 că k() este algebră) Deci pentru orice E avem *(E) = *(EBn) + *(E \ Bn) =

j

n

1 *(EAj) +*(E \ Bn) (din propoziţia 9) j

n

1 *(EAj) +*(E \ A) (deoarece Bn

c Ac ). Cum

acest lucru este valabil pentru orice n, este valabil şi la limită, deci *(E) j

1 *(EAj) +*(E \

A) *(EA) + *(EAc) (din -subaditivitate). Rezultă că A k().

Corolar 11. k() este -algebră.

Demonstraţie. Din propoziţiile 8 şi 10 k() este atît algebră cît şi U-sistem. Dar un U-sistem

stabil la intersecţii finite este -algebră (Curs 1).

Teorema 12 (Caratheodory). * : k() [0,) este măsură şi restricţia sa la a coincide cu .

Demonstraţie. Că restricţia lui * la a este am văzut în propoziţia 5.Mai rămîne să

demonstrăm -aditivitatea. Fie (An)n un şir de mulţimi disjuncte din k(), Bn=A1A2...An k() şi E . Atunci *(E) = *(EA)+*(EAc) *(EBn)+*(EAc) (căci ABn)

= j

n

1 *(EAj) +*(E \ A) (din propoziţia 9). Cum acest lucru este valabil pentru orice n, rezultă

că *(E) j

1 *(EAj) +*(E \ A).Înlocuind E cu A, reuniunea mulţimilor An, rezultă că *(A)

j

1 *(Aj) +*(A \ A) = j

1 *(Aj) . Dar inegalitatea contrară este valabilă întotdeauna : rezultă

din -subaditivitatea oricărei măsuri exterioare.

Deci orice măsură mărginită şi -aditivă pe o algebră se poate extinde la o măsură pe

-algebra generată. Vom studia apoi condiţii în care această extensie este unică precum şi

criterii de a putea decide dacă o anumită formulă ne generează o măsură sau nu.

Exerciţii.

1. Fie =,1,2,...,n- o mulţime finită. Arătaţi că în acest caz toate măsurile finit aditive sunt şi

măsuri. Ele sunt toate discrete şi pot fi puse în bijecţie cu *0,]n prin aplicaţia

(({1},({2}),...,(,n-). Identificaţi măsurile mărginite şi probabilităţile .

2. Dacă este numărabilă, atunci orice măsură pe p() este discretă; o măsură poate fi

identificată cu un şir de ponderi (pn)n.

3. Dacă este infinită, funcţia (A)=0 dacă A este finită şi (A)= dacă A este infinită defineşte

o măsură aditivă dar nu -aditivă. Ea nu este -finită?

4. Dacă nu este numărabilă, atunci măsura cardinal (A)=A nu este -finită . De asemenea

măsura a(A)= dacă aA şi a(A)=0 dacă aA este -aditivă dar nu -finită.

5. Reguli de calcul cu o măsură finit aditivă : (AB)=(A)+(B)-(AB) ; (A \ B)= (A)-(AB);

formula lui Poincare : (A1A2...An) = S1-S2+S3-..... cu Sk=suma măsurilor intersecţiilor de k

mulţimi din familia (Aj)1jn .

6. Dacă nu este mărginită, atunci criteriul lui Kolmogorov nu funcţionează. Se poate ca An

dar (An) nu converge la 0. De exemplu dacă An = {n,n+1,...}, =N, este măsura cardinal,

atunci (An)= n deşi An.

7. Dacă este -aditivă, An şi există n ca (An)<, atunci (An)0.

8. Dacă este finit aditivă şi nu este -finită, se poate ca să aibă proprietatea

(*) (A1)<, An (An) 0

şi totuşi să nu fie -aditivă. De exemplu măsura finit aditivă de la ex. 3. Deci pentru ca criteriul

Kolmogorov să fie un criteriu de -aditivitate este esenţial ca să fie mărginită, sau măcar

-finită.

Curs 4. Prelungirea măsurii de la o algebră la -algebra generată.

Principalul rezultat al cursului anterior a fost deci:

Teoremă (Caratheodory).Fie o mulţime oarecare şi a o algebră de părţi ale lui . Fie :

a [0,) o funcţie de mulţime -aditivă şi mărginită. Atunci se poate prelungi la o măsură

veritabilă pe ( a).

Problemele care se pun acum sunt:

1. Nu există un rezultat asemănător şi pentru măsuri nemărginite?

2. Este unică o asemenea prelungire?

3. Ce criterii avem de a recunoaşte dacă o funcţie de mulţime definită pe o algebră este

sau nu -aditivă?

Răspunsurile la primele două întrebări sunt afirmative.

Propoziţia 1. Fie o mulţime oarecare şi a o algebră de părţi ale lui . Fie : a [0,] o

funcţie de mulţime -aditivă şi -finită ( în sensul că există un şir crescăror de mulţimi din a,

notat cu (Cn)n1 cu proprietatea că (Cn) < şi Cn = ). Atunci există o măsură :(a)[0,]

a cărei restricţie la a este exact .

Demonstraţie. Fie 1=C1, 2=C2 \ C1,.n=Cn \ Cn-1 .. Cum a este algebră, aceste mulţimi

sunt în a. Fără a restrînge generalitatea, putem presupune că (Cn) > 0 n1. Într-adevăr,

dacă mulţimea acelor n cu proprietatea că (Cn) > 0 este finită, atunci este ea însăşi finită şi atunci nu e nimic de demonstrat. Deci mulţimea în cauză este infinită, şi atunci putem foarte

bine să reţinem numai acei indici n pentru care (Cn) > 0 şi să-i renumerotăm. Fie n noile

măsuri -aditive pe a definite prin n(B)=(Bn). Măsurile n sunt mărginite (căci n() =

(n )< ) şi = n

1 n (căci B a (B) = (B( n

1

n)) = ( n

1

(Bn)) = n

1 (Bn)

= n

1 n(B) ). Deci toate măsurile n se pot prelungi la măsuri veritabile

n: (a) [0,). Fie = n

1 n. Atunci este o măsură pe (a) (conform Propoziţiei 1 Curs 3) şi

dacă B a, atunci (B) = n

1 n(B) = n

1 n(B) (căci n sunt prelungiri ale lui n ) = (B),

deci este o prelungire a lui . Vom răspunde acum la a doua întrebare.

Propoziţia 2. Fie (,k) un spaţiu măsurabil şi , două măsuri mărginite pe k. Presupunem în

plus că ()=(). Atunci e, = { A k (A)=(A) } este un U-sistem.

Demonstraţie. Dacă A e, atunci (Ac)=()-(A)=()-(A)=(Ac) deci Ac e,. Dacă (An)n

este un şir de mulţimi disjuncte din e,, atunci ( n

1

An) = n

1 (An) = n

1 (An) = (n

1

An)

deci n

1

An aparţine de asemenea la e, .

Propoziţia 3. Fie Fie o mulţime oarecare şi a o algebră de părţi ale lui . Fie , două

măsuri -finite pe (a). Dacă şi coincid pe a, atunci =.

Demonstraţie. Să presupunem întăi că şi sunt mărginite. Cum a rezultă că ()=() .

Atunci, din propoziţia 2, e, este un U-sistem. Din ipoteză a e, deci (a) e,. Dar a,

fiind algebră, este stabilă la intersecţii finite. Din Cursul 1 rezultă atunci că (a)=(a) e,. Cu

alte cuvinte =.

Tratăm acum cazul general, cînd şi sunt -finite. Fie (n)n un şir de mulţimi disjuncte

din a cu proprietatea că (n) = (n) < . Fie n şi n restricţiile lui şi la n definite ca în

propoziţia 1, adică n(A)=(An), n(A)=(An) A(a). Atunci Aa n(A)=n(A)

deoarece An a şi pe a coincide cu . Rezultă că n coincide cu n şi pe (a). Din

egalitatea = n

1 n, = n

1 n rezultă că coincide cu .

Combinînd aceste rezultate găsim

Teoremă . Fie o mulţime oarecare şi a o algebră de părţi ale lui . Fie de asemenea

: a [0,) o funcţie de mulţime -aditivă şi -finită. Atunci se poate prelungi la o măsură

veritabilă pe (a). Această prelungire este unică şi va fi notată, prin abuz, de asemenea cu . Obiectivul următor este a treia întrebare. Aici cheia este noţiunea de măsură regulată faţă de o familie semicompactă de mulţimi.

Definiţie. Fie o mulţime oarecare şi c p(). Familia c se numeşte semicompactă dacă şi

numai dacă pentru orice şir de mulţimi Cn c cu proprietatea că n

1

Cn = rezultă că există

n0 natural ca n

n

1

0

Cn = .

Exemplu. Fie (X,t) un spaţiu topologic separat şi k mulţimea compactelor sale. Atunci k este

o familie semicompactă. Într-adevăr, Fie (Cn)n un şir de compacte cu proprietatea că n

1

Cn =

. Atunci rezultă că C1( n

1

Cn)= C1 ( n

2

Cn)c = n

2

Cn

c . Deci (Cnc)n2 realizează o

acoperire cu deschise (în spaţii separate compactele sunt şi închise deci complementarele lor sunt deschise) a compactului C1. Din definiţia compacităţii, rezultă că există o subacoperire finită

a lui C1 cu mulţimi de această formă: deci există n0 2 ca C1 n

n

2

0

Cn

c. Cu alte cuvinte, n

n

1

0

Cn = .

Definiţie. Fie a o algebră de părţi ale lui şi : a [0,+ o funcţie oarecare. Spunem că este

regulată faţă de o familie semicompactă există c a o familie semicompactă cu proprietatea că

(1) >0, A a, C c, C A ca (A \ C) < Importanţa acestei noţiuni rezidă în

Propoziţia 4. Fie a p() o algebră şi : a [0,) o funcţie de mulţime aditivă şi mărginită.

Dacă este regulată faţă de o familie semicompactă, atunci este -aditivă. Demonstraţie. Vom utiliza criteriul lui Kolmogorov (Propoziţia 3, Curs 3). Fie (An)n un şir

descrescător de mulţimi din a cu proprietatea că n

1

An= şi (A1)<. Trebuie să arătăm că

limn(An)=0. Fie atunci c a o familie semicompactă faţă de care este regulată. Fie >0

oarecare şi CnAn, Cn c cu proprietatea că (An \ Cn) < /2n. Cum n

1

An= şi CnAn rezultă că

n

1

Cn=. Dar c este semicompactă; deci există n0 ca n

n

1

0

Cn = . Fie n n0. Atunci An = An \

= An \ j

n

1

0

Cn = j

n

1

0

(An \ Cj) j

n

1

0

(Aj \ Cj) (căci şirul (An)n este descrecător ) de unde (An)

( j

n

1

0

(Aj \ Cj)) = j

n

1

0

(Aj \ Cj) j

n

1

0

j/2j < . Aşadar >0 n0 ca nn0 (An). Deci

(An)0. Exemplu de aplicare al Propoziţiei 4. Măsura Stieltjes.

Fie f: o funcţie monoton crescătoare. Fie m=f(-) şi M=f(). Aceste valori pot fi şi infinite.Fiind monotonă, funcţia f are limite laterale în orice punct, notate ca de obicei cu f(a-0)

şi f(a+0) . Tot din monotonie, rezultă că f(a-0) f(a) f(a+0) a.

Fie a algebra pe generată de intervale. Din Cursul 1 ştim că (a)= b(). Este uşor de văzut că mulţimile din A sunt reuniuni finite de intervale disjuncte şi puncte (complementara

punctului este o reuniune de două intervale, deci mulţimile formate dintr-un singur punct

aparţin algebrei a). Cu ajutorul lui f vom construi o măsură finit aditivă pe a, notată f conform următoarelor reguli:

R1. Dacă I=(a,b], atunci f(I) = f(b)-f(a).

R2. Dacă I=(-,b], atunci f(I) = f(b) - m.

R3. Dacă I=(a,), atunci f(I) = M - f(a)

R4. Dacă I = [a,a] = {a}, atunci f(I) = f(a)-f(a-0)

R5. Dacă I1, I2 sunt intervale disjuncte, atunci f(I1I2)= f(I1) + f(I2).

Propoziţia 5. Regulile R1 - R4 definesc o măsură finit aditivă pe a.Ea mai are proprietatea că

R6. Dacă I=(a,b), atunci f(I) = f(b-0)-f(a).

R7. Dacă I=[a,b], atunci f(I) = f(b)-f(a-0).

R8. Dacă I=[a,b), atunci f(I) = f(b-0)-f(a-0).

R9. Dacă I=(-,b), atunci f(I) = f(b-0) - m.

R10. Dacă I=[a,), atunci f(I) = M-f(a-0).

Demonstraţie. Să verificăm întîi afirmaţiile simple R6 - R10. Putem scrie (a,b]=(a,b){b} . Din R5

şi R1 găsim că f(b)-f(a) = f((a,b]) = f((a,b){b}) = f((a,b)) + f({b}) = f((a,b)) + f(b)-f(b-0) de

unde rezultă R6. Scriind [a,b] = (a,b} ,a- şi aplicînd din nou R5, R1 şi R4 rezultă R7. Scriind

[a,b) = (a,b),a- şi aplicînd succesiv R5,R4,R6 rezultă R8. Cum f(b)-m = f((-,b]) =

f((-,b){b}) = f((-,b)) + f(b)-f(b-0) rezultă R9 şi, analog R10. Mai avem de demonstrat că definiţia este bună: adică, dacă I1, I2 sunt două intervale

disjuncte, I1I2 este un alt interval, I, atunci f(I), definit prin regulile R1-R10 coincide cu

f(I1)+f(I2). Ca I1I2 să fie un interval iar I1 şi I2 să fie disjuncte, trebuie ca neapărat capătul drept al celui din stînga şi capătul stîng al celui din dreapta să coincidă. Mai mult, acel punct,

notat cu b trebuie să fie în unul din cele două intervale, de exemplu în I1. Atunci I1=a,b],

I2=(b,c, unde ““ ţine loc de paranteză închisă sau deschisă. Atunci f(I1)+f(I2)=f(b)-h(a) +

g(c)-f(b) (unde h(a)=f(a) dacă =(, h(a)=f(a-0) dacă =[ etc ) . Important este că f(b) se reduce şi

deci f(I1)+f(I2)=g(c)-h(a)=f(I) (sunt de analizat,ca exerciţiu, toate cazurile care pot apare). O demonstraţie mai elegantă se poate da dacă lucrăm numai cu intervale deschise şi puncte.

Deci f este bine definită. Că este aditivă este evident din însăşi definiţie: Dacă A este o reuniune finită de intervale disjuncte (Ij)1<j<m iar B este o altă reuniune de intervale disjuncte

(Jk)1kn atunci AB= intervalele Ij, Jk sunt disjuncte f((1 j m

Ij )( 1 k n

Jk)) = 1

j m f(Ij) +

1

j m f(Jk) (datorită regulii R5 aplicată în mod repetat) = f(I1) + f(I2).

Propoziţia 6. Dacă f este mărginită şi continuă la dreapta, atunci f este regulată faţă de o

familie semicompactă şi deci, conform propoziţiei 4,este -aditivă. Familia semicompactă c poate fi cea formată din reuniuni finite de intervale închise şi mărginite. Rezultă că f se poate

extinde unic la o măsură pe b(), notată tot cu f. Aceasta se numeşte măsura Stieltjes generată de f.

Demonstraţie. Fie c familia formată din reuniuni finite de intervale compacte.Vom arăta mai

întîi că pentru orice >0 şi orice interval I deschis există un interval compact, K astfel ca f(I

\ K) < . Sunt trei cazuri de analizat:

Cazul 1. I=(a,b). Atunci f(I)=f(b-0)-f(a). Fie (an)n un şir strict descrescător care converge la a şi

an>a, (bn)n un şir crescător care converge la b şi bn<b. Atunci limn f(an)=f(a+0) = f(a) (căci am

presupus f continuă la dreapta) de unde f(a)=f(a+0) limnf(an-0) (căci f(an-0) f(an))

limn

f(an+1)=f(a) limnf(an-0) =f(a). Pe de altă parte, din definiţia limitei la stînga,

limn f(bn)=f(b-0).

Dacă n este destul de mare, putem prespune an<bn şi atunci limnf([an,bn])=

limn

(f(bn)-f(an-0))=f(I) . Deci dacă n este destul de mare, f((a,b) \ [an,bn]) =

f((a,an))+f((bn,b))=(f(an-0)-f(a))+(f(b-0)-f(bn)) < .

Cazul 2. I=(a,). Atunci f(I)=f()-f(a) . Fie (an)n un şir strict descrescător care converge la a şi

an>a. Putem scrie, ca mai sus limnf([an,n]) =

limn (f(n)-f(an-0)) =

limn f(n) -

limn f(an-0) = f()-f(a)

= f(I) deci afirmaţia este valabilă şi în acest caz.

Cazul 3. I=(-,b). Fie (bn)n un şir crescător care converge la b şi bn<b. Ca la cazul 2 se arată imediat că limnf([-n,bn]) =

limn(f(bn-0)-f(-n-0)) = f(b-0)-f(-) = f(I).

Fie acum A a oarecare. Cum orice interval se poate scrie ca o reuniune între un interval deschis şi maximum două puncte, putem scrie mulţimea A sub forma unei reuniuni

finite de intervale disjuncte şi puncte. Deci A= j

m

1

(aj,bj) K unde K este o mulţime finită. Fie

>0. Trebuie să construim o mulţime C c ca f(A\ C) < . Fie Ij (aj,bj) intervale compacte ca

f((aj,bj) \ Ij) < /m, construite ca mai sus. Atunci mulţimea C= j

m

1

Ij K este în c şi f(A \ C) <

. Condiţia din Propoziţia 6 ca f să fie mărginită nu este esenţială, ci numai cea ca f să fie continuă la dreapta. Putem renunţa la ea. În schimb demonstraţia anterioară nu mai

funcţionează, deoarece f acum nu mai este regulată faţă de familia reuniunilor finite de intervale compacte. Avem nevoie acum de o mică generalizare a criteriului lui Kolmogorov.

Propoziţia 7 (Continuitatea monotonă a unei măsuri). Fie a p() o algebră de părţi ale lui

şi : a [0,+ o funcţie aditivă. Următoarele proprietăţi sunt echivalente:

(p1) este -aditivă.

(p2) (An)n a, An A, A a (An) (A).

Demonstraţie. (p1)(p2). Fie B1 = A1, B2=A2 \ A1, ...,Bn = An \ An-1,.... Toate aceste mulţimi sunt

în a, sunt disjuncte iar B1B2...Bn = An n. De aceea reuniunea lor este chiar A. Cum este

-aditivă rezultă că (A)=( n

1

Bn) = n

1 (Bn) =

limn ((B1)+...+(Bn)) =

limn(B1...Bn) =

limn

(An). (p2)(p1). Fie (An)n un şir de mulţimi disjuncte din a şi A reuniunea lor. Presupunem

A a .Fie Bn=A1...An. Şirul de mulţimi din a,(Bn)n este crecător şi limita sa este chiar A. De

aceea (A)= limn(Bn) =

limn ((A1)+...+(An)) = n

1 (An) deci este -aditivă.

De asemenea, vom folosi rezultatul următor drept criteriu de -aditivitate:

Propoziţia 8. Fie a p() o algebră de părţi ale lui şi : a [0,+ o funcţie aditivă.

Presupunem că satisface următoarele două proprietăţi:

(a1) Există un şir crescător de mulţimi (n)n a ca Aa (An)(A);

(a2) Funcţiile n: a [0,), n(A) := (An) sunt -aditive.

Atunci este de asemenea -aditivă.

Demonstraţie. Vom folosi echivalenţa (p3) (p1) din Propoziţia 7. Fie (Ak)k un şir crescător de

mulţimi din a şi A reuniunea lor. Atunci (A) = limn(An) (din (a1)) =

limn n(A) =

supn1 n(A)

(şirul este crescător!) =supn1

supk 1 n(Ak) (căci Ak A şi n sunt -aditive) =

supk 1

supn1 n(Ak) (două “sup”

comută întotdeauna) =supk 1

supn1 (Akn) =

supk 1 (Ak) (din (a1)). Conform cu “(p3)(p1)” rezultă că

este ea însăşi -aditivă. Acum putem demonstra generalizarea propoziţiei 6 pentru cazul general.

Propoziţia 9. Fie f: o funcţie crescătoare şi continuă la dreapta. Atunci f este -aditivă pe

a şi deci poate fi prelungită la o măsură pe b().

Demonstraţie. Fie n(A)=f(A(-n,n]). Vom arăta că sunt satisfăcute condiţiile (a1) şi (a2) din

propoziţia precedentă. Vrem să arătăm deci că limn n(A)=f(A). Cum A a, A se poate scrie

ca o reuniune de intervale deschise disjuncte la care se mai adaugă, eventual, o mulţime finită şi

n sunt finit aditive, fi suficient deci de demonstrat această convergenţă cînd A este un interval deschis sau A este finită. Să presupunem că A este un interval deschis. Dacă este mărginit şi n este destul de

mare, atunci A (-n,n] deci n(A)=f(A) şi afirmaţia este trivial adevărată. Dacă A=(-,b) şi n>b

atunci n(A)=f((-n,b)) = f(b-0) - f(-n) f(b-0)-f(-) = f(A) . Dacă A=(a,) şi -n < a, atunci

n(A)=f(n-0)-f(a) f()-f(a) deci în cazul că A este interval, problema este rezolvată. Dacă A este o mulţime finită, ea este inclusă în (-n,n] dacă n este destul de mare deci afirmaţia (a1) este verificată. Să arătăm acum că se verifică şi condiţia (a2). Fie n fixat şi g definit astfel: pe intervalul

(-,-n], g(x)=f(-n); pe (-n,n], g coincide cu f iar pentru x(n,), g(x)=f(n). Atunci n(A) (:=

f(A(-n,n]) ) = g(A) pentru orice A a, după cum se vede uşor luînd A un interval deschis

sau un punct. Dar funcţia g este mărginită, continuă la dreapta, deci din Propoziţia 6 g este o

măsură. Restul rezultă din propoziţia anterioară. Funcţia de repartiţie a unei măsuri Stieltjes. Legătura dintre funcţiile crescătoare contiune la dreapta şi măsuri este mai profundă.

Definiţie. Fie :b()[0,] o măsură. Dacă (C)< C compactă, atunci se numeşte o măsură Stieltjes (sau măsură Borel).

Definiţie. Fie o măsură Stieltjes. Funcţia

(2) F(x) =

m ( ,x] daca m este marginita

m (0, x] daca x 0

m (x,0] daca x 0î n caz contrar

se numeşte funcţia de repartiţie a măsurii Stieltjes .

Propoziţia 11. Orice măsură Stieltjes este -finită. Dacă este o măsură Stieltjes, atunci funcţia

F:= F este o funcţie crescătoare, continuă la dreapta şi F = .

Demonstraţie. Cazul 1: mărginită. Evident că F este crescătoare. Pentru continuitatea la

dreapta să remarcăm că F(x+0)=limn F(x+1/n) =

limn ((-,x+1/n]) = ( n1

(-,x+1/n])

(continuitatea monotonă a măsurii ) = ((-,x]) =F(x). Apoi F((a,b])=F(b)-F(a) (conform regulilor

de definire ale lui F) = ((-,b]) - ((-,a]) = ((-,b] \ (-,a]) = ((a,b]), adică coincide cu F

pe mulţimea J a interalelor semideschise la stînga. Deci coincide cu F pe (J).Dar (J)= b() iar J = J d ; rezultă că (J)=( J)= b() deci =F.

Cazul 2. este nemărginită. Monotonia este evidentă . Dacă x 0, continuitatea la dreapta se

demonstrează la fel. Dacă x<0, atunci F(x+0)= limn (-((x+1/n,0]) = - ( n

1

(x+1/n]) (din nou

continuitatea monotonă a măsurii, de data asta monotonia crescătoare) = - ((-,x]) = F(x). Deci

F este continuă la dreapta.. Pentru a demonstra că şi F coincid pe J avem de analizat trei

situaţii. Dacă 0a<b, demonstraţia este la fel ca în cazul mărginit. Dacă a < 0 b, atunci

F((a,b])= F(b)-F(a) = ((0,b])+((a,0])=((0,b](a,0])=((a,b]), deci egalitatea este valabilă şi în

acest caz. În sfîrşit, dacă a<b<0 atunci F(b)-F(a)=((a,0]0-((b,0])=((a,b]).

Exerciţii.

1. Dacă F şi G sunt două funcţii crescătoare de la la cu proprietatea că F=G atunci

F-G=constantă. Dacă şi sunt două măsuri Stieltjes cu aceeaşi funcţie de repartiţie F, atunci

=

2.Fie F: dată prin F(x)=[x]. Atunci F = n

n, adică F(A)=AZA b(),Z fiind

mulţimea numerelor întregi.Dacă F(x)=sign(x), F este aditivă, dar nu -aditivă. Indicaţie. Fie

(an)n un şir strict descrescător de numere pozitive care converge la 0. Verificaţi că F((an+1,an])=0

n dar F( n

1

(an+1,an])=F((0,a1])=1.

3. Fie M mulţimea măsurilor Stieltjes pe (,b()) şi F mulţimea funcţiilor crescătoare continui la

dreapta de la la . Ambele aceste mulţimi sunt conuri. Considerăm funcţiile F: M F şi : F

M date prin F()=F, (F)=F F F, M. . Atunci aceste funcţii sunt liniare (în sensul că

a,b0 F(a1+b2)=a F(1)+b F(2), (aF1+bF2) = a(F1) +b (F2) ) şi F((F))=F+a cu a o

constantă iar ( F())= F F, M. .Indicaţie. Fie F F şi =F. Atunci F(b)-F(a) =

((a,b])=F(b)-F(a) deci F diferă de F((F)) printr-o constantă.

4. Dacă F este numai crescătoare, dar nu continuă la dreapta, atunci F nu este -aditivă.

Indicaţie. Dacă :=F ar fi -aditivă ar trebui ca funcţia sa de repartiţie F() să difere de F

printr-o constantă, deci ar trebui ca F însăşi să fie continuă la dreapta. 5. Dacă F este crescătoare continuă la dreapta mulţimea punctelor sale de discontinuitate este cel mult numărabilă.

Indicaţie.Fie sF(x):=F(x)-F(x-0). Fie Disc(F) ={x sF(x)>0-mulţimea discontinuităţilor lui F.

Arătaţi că dacă F este mărginită, atunci s xF

x S F

( ) F()-F(-)<, deci Disc(F) este cel mult

numărabilă. În cazul general, consideraţi funcţiile Fn:=max(-n, min(n,F)) şi arătaţi că Disc(F)=

n

1

Disc(Fn).

6.Scriem Q, mulţimea numerelor naturale sub forma unui şir, Q =(an)n. Fie (pn)n strict pozitive

ca n

1 pn < . Atunci măsura := n

1 pn(an) este mărginită (aici am notata cu (an) măsura

Dirac concentrată în an). Fie F funcţia sa de repartiţie F(x)=((-,x]). Atunci Disc(F)= Q, . cu alte

cuvinte F este o funcţie crescătoare continuă pe \ Q şi discontinuă pe Q. Indicaţie.

F(x)-F(x-0)=(,x-). În cazul nostru xQ ({x})0 iar x \ Q ({x})=0.

7. Dacă := n

1 pn(an) este o măsură discretă, atunci toate mulţimile sunt -măsurabile.

Indicaţie. Măsura Dirac a este definită pe mulţimea tuturor părţilor lui .

. este măsură şi ({x})=F(x)-F(x-0).

Curs 5. Măsuri pe dreaptă. Integrala.

Măsuri discrete. Măsuri continue.

Există unele măsuri Stieltjes pe dreaptă, , cu proprietatea că ({x})=0 x.

Măsurile acestea, pentru care toate punctele sunt neglijabile se numesc măsuri continue. Ele

admit o caracterizare foarte simplă în termeni de funcţie de repartiţie.

Propoziţia 1. Măsura Stieltjes este continuă dacă şi numai dacă F este continuă.

Demonstraţie. Conform definiţiei, dacă F este o funcţie crescătoare continuă la dreapta, măsura

Stieltjes generată prin regulile R1-R5 din cursul anterior are proprietatea că F({x})=F(x)-F(x-0).

Deci dacă F este continuă, F este continuă. Reciproc, dacă este continuă, funcţia sa de

repartiţi F=F construită în cursul precedent are proprietatea că F=; deci F(x)-F(x-0)=({x})=0

deci F este continuă.

Amintim că măsura se numeşte discretă dacă se poate scrie sub forma =a J

p(a)a

unde J este o mulţime cel mult numărabilă, a sunt măsurile Dirac definite în Cursul 3 prin

a(A)=1A(a) iar p(a) sunt numere pozitive.

Propoziţia 2. Fie o măsură Stieltjes pe deaptă. Atunci se poate descompune sub forma

(1) = c + d

unde c este o măsură continuă iar c una discretă.

Demonstraţie. Fie F funcţia de repartiţie a lui . F este crescătoare, continuă la dreapta şi deci are o mulţime cel mult numărabilă de discontinuităţi. Fie J mulţimea punctelor de

discontinuitate ale lui F. Pentru fiecare aJ fie p(a)=F(a)-F(a-0). Fie d = a J

p(a)a. Vom arăta că

- d este o măsură continuă. Într-adevăr, fie x. Dacă ({x})=0, atunci x este un punct de

continuitate pentru F deci xJ d({x})=0 de unde c({x})=0-0=0. Dacă ({x})>0, atunci x este un

punct de discontinuitate pentru F, deci xJ şi ({x})=F(x)-F(x-0)=p(x)=d({x})

c({x})=p(x)-p(x)=0. Adică c este continuă. Măsura Lebesgue.

Fie funcţia identică F:, f(x)=x x. Evident F este crecătoare şi continuă, deci cu

atît mai ult continuă la dreapta. Măsura Stieltjes corespunzătoare se numeşte măsura Lebesgue

şi se notează cu . Deci ((a,b])=b-a reprezintă lungimea intervalului (a,b+. Din Propoziţia 1

această măsură este continuă deci neglijează punctele. Rezultă că (I)=0 pentru orice mulţime

cel mult numărabilă.

Prin procedeul lui Caratheodory, putem construi măsura exterioară * care este

-aditivă pe o -algebră mai bogată decît B(), şi anume pe mulţimile -măsurabile definite în

cursul 3, Am văzut că orice mulţime A -neglijabilă (deci cu proprietatea că *(A)=0) este şi

măsurabilă Lebesgue. Orice submulţime a unei mulţimi neglijabile Lebesgue este de asemenea

-neglijabilă. Cum există mulţimi de puterea continuului neglijabile Lebesgue (de exemplu

mulţimea numerelor x(0,1) care se pot scrie în baza 10 fără a folosi o anumită cifră) rezultă că

mulţimile -măsurabile sunt o -algebră de cardinalitate 2c, c fiind cardinalitatea lui . Pe de

altă parte se poate arăta că Card(b())=c, deci mulţimile -măsurabile sunt cu mult mai multe

decît cele boreliene. De aceea, dacă vom da un exemplu de mulţime nemăsurabilă Lebesgue, ea

va fi cu atît mai mult neboreliană.

Completarea unei -algebre faţă de o măsură.

Prin procedeul lui Caratheodory am extins o măsură ,-aditivă şi -finită, definită pe o

algebră a la o măsură veritabilă definită pe -algebra a() a mulţimilor -măsurabile.

Procedeul are sens şi dacă măsura de plecare este definită pe o -algebră, deci dacă plecăm

de la un spaţiu cu măsură (,k,). În acest caz -algebra k() se numeşte completata lui k faţă

de . Ea este, de regulă mai mare decît k. Cît de mult diferă ea faţă de ? Pentru a răspunde la

întrebare, vom cerceta mai întîi dacă măsura exterioară generată, * nu se poate exprima mai

uşor în acest caz particular.

Propoziţia 3. Dacă (,k,) este un spaţiu cu măsură, atunci pentru orice E avem

(2) *(E) = inf {(C) C k, EC }

Mai mult, pentru orice E există o mulţime E1 k ca E E1 şi *(E)=(E1).

Demonstraţie. Conform definiţiei, *(E) = inf { n1(An) E n1An, An k }. Fie (An)n o

acoperire a lui E realizată cu mulţimi din k. Fie A reuniunea lor. Atunci *(E) *(A) = (A) (căci

A k) n1(An) (căci este -aditivă), şi acest lucru este valabil pentru orice acoperire a lui

E. Trecînd la infimum, rezultă în acest fel inegalitatea *(E) inf {(A) Ak, EA }. Cealaltă

inegalitate este evidentă.

În legătură cu afirmaţia a doua, dacă *(E)=, punem E1=. Dacă nu, fie (an)n1 un şir

descrescător de numere pozitive care tinde la 0. Pentru orice n există o mulţime Cn ca (Cn) <

*(E)+an şi E Cn . Fie E1 intersecţia acestor mulţimi. Atunci evident că E1 k şi E E1,

(E1)*(E), deci *(E)=(E1).

Observaţie. Mulţimea E1 seamănă cu „aderenţa” mulţimii E în k . Am putea defini analog şi

„interiorul” mulţimii E în k. Relaţia (2) ne sugerează să introducem prin analogie

(3) *(E) = sup {(C) C k, C E }

numită măsura interioară generată de .

Propoziţia 4. Există o mulţime E2 E ca (E2) = *(E) . În plus, dacă A k şi EA, (A)<,

atunci

(4) *(A \ E) + *(E) = *(A \ E) + *(E) =(A)

Demonstraţie. Dacă *(E)=, există un şir de mulţimi Cn E ca (Cn) . Putem pune

E2=n1Cn . Dacă *(E) < , luăm ca mai sus un şir an0 şi CnE ca (Cn)>*(E)-an. Evident

mulţimea E2 = n1Cn convine. În legătură cu a doua afirmaţie, avem

*(A \ E) = sup {(C) C k, C A \ E } = sup {(A)-(A\C) C k, C A\E } = (A) - inf {(A\C)

C k, C A\E }=(A) - inf {(D) D k, D E } (căci C A\E E A \ C, iar dacă E D A,

D k atunci D poate fi scris sub forma D = A\C cu C =A\D A\E) = (A)-*(E), conform cu (2).

Această abordare ne permite să dăm o caracterizare absolut remarcabilă noţiunii de

mulţime -măsurabilă.

Propoziţia 5. (i).Dacă *(A) < , atunci A este -măsurabilă *(A) = *(A).

(ii).Dacă este -finită, atunci A este -măsurabilă există A1, A2 k ca A2 A A1 şi

(A1\A2)=0.

Demonstraţie. (i).Să presupunem că A este măsurabilă. Deci

(5) *(EA)+*(EAc) = *(E) pentru orice E

Fie E k ca (E)< şi AE ( o asemenea mulţime există deoarece am presupus că

*(A)<) . Atunci (5) devine *(A) + *(E\A) = (E) . Dar, din egalitatea (4) rezultă că *(EAc) =

(E) - *(A) de unde imediat rezultă că *(A)=*(A).

Reciproc, să presupunem că *(A) = *(A) < . Vrem să verificăm (5). Fie A1, A2 din k ca

A2 A A1 şi (A2)=*(A)=*(A)=(A1) (deci (A2\A1)=0) . Dacă *(E)=, atunci relaţia este

verificată, deoarece din subaditivitatea măsurii exterioare avem că *(EA) < *(A)< *(EAc)

*(E) - *(EA) = (5) se verifică. Dacă *(E)<, fie >0 arbitrar şi F k ca EF, (F) <

*(E)+ . Fie A1, A2 mulţimile de mai sus. Atunci avem : *(EA)+*(EAc) *(EA1) + *(EA2c)

(căci Ac A2c) (FA1)+(FA2

c) = (FA1 FA2c) + (FA1FA2

c) = (F(A1A2c))+(F(A1\A2))

(F) + (A1\A2) < *(E)+ şi, cum este arbitrar, rezultă că *(EA)+*(EAc) *(E) ceea ce,

coroborat cu subaditivitatea lui * devine exact (5).

(ii). Fie (Cn)n un şir de mulţimi disjuncte din k cu proprietatea că n1Cn = şi (Cn)<. Fie A o

mulţime -măsurabilă. Atunci mulţimile ACn vor fi de asemenea măsurabile şi *(ACn)<. Din (i),

există mulţimile din k An,1 şi An,2 ca An,2 ACn An,1 şi (An,1\An,2)=0. Dacă vom pune A1 =

n1An,1 şi A2 = n1An,2, atunci este clar că A2AA1 şi (A1\A2)=0. Reciproc, Dacă A satisface

condiţia din enunţ şi Cn sunt mulţimile de mai sus, CnA2 CnA CnA1 şi (Cn(A1\A2)) =0

*(CnA)=*(CnA) < deci, din (i), mulţimile CnA sunt -măsurabile. Cum familia mulţimilor

-măsurabile formează o -algebră, A este de asemenea măsurabilă.

Concluzia care se desprinde din Propoziţia 5 este : mulţimile -măsurabile sunt acele

mulţimi care pot fi încadrate între două mulţimi k din a căror diferenţă este neglijabile. Sau, şi

mai intuitiv, mulţimile -măsurabile sunt cele cu „frontiera” neglijabilă, „frontiera” fiind

„aderenţa” \ „interiorul”.

În cazul mulţimilor boreliene ale unui spaţiu metric, putem spune ceva mai mult. Dacă

măsura este mărginită, mulţimile -măsurabile sunt cele care pot fi încadrate între o mulţime

G şi una f avînd aceeaşi măsură. Amintim că o mulţime G este una care se poate scrie ca o

intersecţie numărabilă de deschise iar o mulţime f este una care se poate scrie ca reuniune

numărabilă de închise.

Propoziţia 6. (Regularitatea măsurilor Stieltjes pe spaţii metrice -compacte).

(i).Fie (X,d), un spaţiu metric şi o măsură mărginită pe b (X) . Atunci A este -măsurabilă

există deschisele (Un)n cu intersecţia A1 şi închisele (Fn)n, cu reuniunea A2 astfel încît A2 A

A1 şi (A1\A2) = 0.

(ii).Dacă este o măsură Stieltjes iar X este -compact (adică X se poate scrie ca o reuniune

numărabilă de compacte) atunci (i) se modifică în sensul: orice mulţime măsurabilă se

încadrează între o mulţime f şi una g.

Demonstraţie.(i). Fie f familia acelor submulţimi A ale lui X cu proprietatea

(6) >0 F,G X ca F A G, (G\F)<, F închisă şi G deschisă

Atunci f conţine deschisele ( dacă G este o deschisă şi an este un şir de numere strict pozitive

ca an0, mulţimile Fn={xXd(x,Gc)an} formează un şir crescător de mulţimi închise cu

reuniunea G deci pentru n suficient de mare, continuitatea monotonă a măsurii implică

(G\Fn)<. Dacă AX, d(x,A) înseamnă inf{d(x,y)yA-) şi f este o -algebră. Intr-adevăr, este

evident că A f Ac f. Dacă (An)n este un şir de mulţimi din f cu reuniunea A, fie >0

arbitrar şi fie Fn închise, Gn deschise ca Fn An Gn şi (Gn\Fn) < 2-n. Fie H intersecţia

mulţimilor Fn şi G reuniunea mulţimilor Gn. Fie F= F1F2...Fno cu n0 ales cu proprietatea că

(H \ F) < . Atunci F este închisă, G este deschisă F A G iar (G \ F) = (G \ H) + (H\F)

n1(Gn\Fn) + < 2. Cum este arbitrar, am verificat că A f.

În concluzie f este o -algebră care conţine pe b (X). Deci orice mulţime boreliană A

are proprietatea

(7) există A2 o mulţime f şi A1 una G cu proprietatea că A2AA1 şi (A1\A2)=0

Din propoziţiile 3,4,5, orice mulţime -măsurabilă se încadrează între două boreliene de aceeaşi

măsură. Dacă A este -măsurabilă, există B2 şi B1 boreliene ca B2 A B1 şi (B2\B1)=0. Din (7)

există mulţimile A2 B2 (o mulţime f) şi A1B1 (o mulţime g) ca (A2)=(B2), (A1)=(B1) şi

acest lucru încheie demonstraţia primului punct.

(ii). Dacă X este o reuniune numărabilă de compacte (Kn)n şi A este - măsurabilă, atunci AKn

este -măsurabilă pentru orice compact Kn. Deci Bn, Cn ca BnAKnCn şi (Cn\Bn)=0, Bn sunt

mulţimi f iar Cn sunt g. Concluzia rezultă cu B şi C reuniunea mulţimilor Bn, respectiv Cn.

Corolar 7. Pe spaţiul cu măsură canonic dat pe dreapta reală, (,b(),) mulţimile măsurabile

Lebesgue mărginite sunt exact acele mulţimi care se pot încadra între un g şi un f avînd

acceaşi măsură.

Transportul măsurilor. Mulţimi nemăsurabile Lebesgue.

Fie (,k) şi (X, b ) două spaţii măsurabile, : b [0,+ o funcţie de mulţime şi f:X

o funcţie (k, b )-măsurabilă. Pe (X, b ) considerăm funcţia de mulţime f-1 definită prin relaţia

(*) f-1(B) = (f-1(B)).

Propoziţia 8. Să presupunem că este o măsură pe k .Atunci

(i). funcţia f-1 definită prin (*) este o măsură pe (X, b ). Ea se numeşte imaginea măsurii prin

funcţia măsurabilă f.

(ii).Întotdeauna este valabilă inegalitatea (f-1)* *f

-1, unde ()* înseamnă măsura

exterioară construită în cursul 3.

(iii).Dacă f este bijectivă şi f-1 este (b, k)-măsurabilă (deci f este un izomorfism) atunci

(f-1)*= *f

-1 şi f(k())=(b(f-1)) iar f-1(b(f

-1)) = k(). Altfel spus imaginea unei mulţimi

-măsurabile este o mulţime f-1 - măsurabilă şi preimaginea unei mulţimi f

-1 - măsurabile

este o mulţime -măsurabilă.

Demonstraţie.(i). Fie (Bn)n un şir de mulţimi disjuncte din b. Atunci f-1( n

1

Bn)

= (f-1( n

1

Bn)) = ( n

1

f-1(Bn)) = n

1 (f-1(Bn)) (deoarece mulţimile f-1(Bn) sunt de asemenea

disjuncte iar este -aditivă) = n

1 f

-1(Bn) deci f-1 este -aditivă.

(ii). Fie acum EX oarecare. Prin definiţie

(2) ( f-1 )*(E) = inf { n

1 f

-1 (Bn) : (Bn)n este o b -acoperire a lui E }

= inf { n

1 (f-1 (Bn)) : (Bn)n este o b -acoperire a lui E }

iar

(3) *f-1(E) = inf { n

1 (An) : (An)n este o k -acoperire a lui f-1(E) }

Dar dacă (Bn)n este o b -acoperire a lui E, atunci (f-1(Bn))n este de asemenea k

-acoperire ale lui f-1(E) de unde *f-1 ( f

-1 )* .

(iii). Dacă, în plus, f este bijectivă şi bimăsurabilă şi (An)n este o k -acoperire a lui f-1(E) atunci

(f(An))n este o b -acoperire a lui E deoarece reuniunea acestor mulţimi acoperă pe f(f-1(E))=E şi

este clar că acum avem egalitate între (2) şi (3), deci ( f-1 )*= *f

-1.

Să verificăm acum egalităţile între completatele -algebrelor.

Dacă A este -măsurabilă, atunci *(E) = *(EA)+*(EAc) E. Fie B=f(A). Problema este să

arătăm că ( f-1 )*(F)= ( f

-1 )*(FB)+ ( f-1 )*(FBc) FX deci, ţinînd seama de egalitatea ( f

-1

)*= *f-1, trebuie verificat că *(f-1(F)) = *(f-1(FB)) + *(f-1(FBc)) sau, ţinînd seama de faptul că

f-1(B)=f-1(f(A))=A, că *(f-1(F)) = *(f-1(F)A) + *(f-1(F)Ac) ceea ce rezultă chiar din ipoteză: A a fost

presupusă -măsurabilă. Deci B este f-1 - măsurabilă adică f(k()) (b(f

-1)). Pentru

incluziunea cealaltă se raţionează la fel: dacă B b(f-1), atunci *(f-1(F)) = *(f-1(FB)) +

*(f-1(FBc)) =*(f-1(F)A) + *(f-1(F)Ac) unde A=f-1(B) . Trebuie verificat că A este -măsurabilă,

adică *(E) = *(EA)+*(EAc) E. Or acest lucru este imediat datorită bijectivităţii lui f: f-1(F)

poate fi orice mulţime E. Scriind B=f(A) rezultă că B f(k()). Cealaltă egalitate rezultă

raţionînd analog cu inversa lui f, f-1.

Fie acum =X=, k = b = b() şi =, măsura Lebesgue. O proprietate fundamentală a măsurii Lebesgue este aceea de a fi invariantă la translaţii.

Definiţie. Fie a. Funcţia ta: se numeşte a-translaţie. Dacă A , ta(A):=a+A este a-translatata lui A.

Propoziţia 9. Toate translaţiile sunt izomorfisme boreliene, ta-1 = iar *ta

-1=*. Deci atît

cît şi * sunt invariante la translaţii. În plus, translatata oricărei mulţimi -măsurabile va fi de

asemenea o mulţime -măsurabilă. Demonstraţie. Că translaţiile sunt bijective este evident. Inversa lui ta este t-a deci, fiind

continue, atît ta cît şi inversa t-a sunt măsurabile Borel. Dacă x<y şi A=(x,y) atunci evident

că(ta)-1(A) = (x-a,y-a) ta-1(A) = (x-a,y-a) = y-x = (A) deci ta

-1 şi coincid pe familia

intervalelor deschise. Dacă două măsuri -finite coincid pe o familie de mulţimi închisă la

intersecţii finite, atunci ele coincid pe -algebra generată. Deci ta-1 = . Din Propoziţia 3 rezultă

acum că *ta-1= (ta

-1)* = *. Din Propoziţia 3(iii) rezultă că dacă A este măsurabilă Lebesgue,

atunci şi ta-1(A) = A-a este de asemenea măsurabilă Lebesgue.

Putem da acum un exemplu de mulţimi care nu sunt măsurabilă Lebesgue, şi deci,cu atît mai mult nu este boreliană. Ele se numesc mulţimi de tip Vitali.

Fie G un grup aditiv numărabil şi dens (de exemplu G=Q sau G=Z( 2 )). El defineşte relaţia de echivalenţă

(5) x~y x-yG.

Definiţie. Orice familie de reprezentanţi pentru relaţia de echivalenţă (5) se numeşte mulţime de tip Vitali.

Propoziţia 10.(i). Dacă V este o mulţime de tip Vitali, atunci x G

(x+V) = .

(ii). În orice interval (a,b) există o mulţime de tip Vitali. (iii).Nici o mulţime mărginită de tip Vitali nu este măsurabilă Lebesgue, deci nu este boreliană.

Demonstraţie. (i).Fie t. Cum V este o familie de reprezentanţi există un unic vA ca t~v

x=t-vG t=v+x x+V. (ii). Sensul afirmaţiei este că pentru orice interval (a,b) şi pentru orice

t Ct(a,b), unde Ct este clasa de echivalenţă a lui t. Dar aceasta este evident : Ct = {x :

t~x } ={x : x-tG} = {x : xt+G} = t+G . Cum G este dens, t+G este de asemenea densă,

deci intersectează orice interval deschis într-o infinitate de puncte. (iii). Fie V o mulţime Vitali mărginită. Presupunem prin absurd că ea este măsurabilă Lebesgue. Atunci toate translatatele

x+V vor fi de asemenea -măsurabile, din Propoziţia 4. Mai mult, x,yG,xy

(x+V)(y+V)= (t(x+V)(y+V) u,vV ca x+u=y+v u~v, absurd: într-o familie de reprezentanţi nu există elemente echivalente) deci toate mulţimile din descompunerea de la (i)

sunt disjuncte. Cum pe -algebra mulţimilor -măsurabile * este -aditivă, rezultă că =

*() = * ( x G

(x+V)) = x G

*(x+V) . Dar *(x+V)=*(V), din propoziţia anterioară. Rezultă că

*(V)0, deoarece în caz contrar toate mulţimile x+V ar fi neglijabile, deci ar fi neglijabil, absurd.

Contradicţia apare din faptul că *(V) nu poate fi nici stric pozitiv. Într-adevăr, am

presupus că V este mărginită, deci există a< b ca V (a,b) . Atunci x G ( , )0 1

(x+V) (a,b+1)

*( x G ( , )0 1

(x+V)) *((a,b+1)) = b+1-a < x G

0 1, *(x+V) < *(V)Card(G(0,1)) <

*(V)=0.

Absurditatea obţinută are o singură explicaţie: am presupus că V este măsurabilă

Lebesgue. Deci V nu esta -măsurabilă.

Observaţie. Acest tip de raţionament se poate face la orice măsură de pe dreaptă care nu

încarcă punctele, adică pentru orice măsură cu proprietatea că ({x})=0 x. O teoremă celebră a lui Ulam afirmă că pentru orice măsură continuă de pe dreaptă există mulţimi care

nu sunt -măsurabile. Demonstrarea ei depăşeşte nivelul acestui curs. Ea poate să dea o explicaţie la faptul că teoria măsurii nu se poate face renunţînd la conceptul abstract de

-algebră. Ar fi fost mult mai uşor dacă măsurile s-ar fi putut defini pe p(). Nu ar mai fi apărut complicaţii legate de măsurabilitate. Din nefericire, acest lucru este imposibil Ar fi însemnat să nu se mai studieze măsura Lebesgue, ci numai măsurile discrete.

Repartiţii pe dreaptă.

În cazul particular în care (,k,) este un spaţiu probabilizat şi f este o variabilă

aleatoare ( deci (X, b ) = (, b() ), măsura f-1 are o denumire specială. Ea se numeşte

repartiţia variabilei aleatoare f. Mai general, orice probabilitate pe (, b() ) se numeşte

repartiţie pe dreaptă. O probabilitate pe (n, b(n) ) se numeşte repartiţie pe n . Cum

orice repartiţie pe dreaptă este o măsură mărginită, deci o măsură Stieltjes, ea admite o funcţie

de repartiţie care o determină, anume F(x) = f-1 ((-,x]). Această funcţie se numeşte prin abuz

funcţia de repartiţie a variabilei aleatoare f şi se mai notează Ff. Ca orice funcţie de repartiţie

a unei măsuri Stieltjes, ea este crescătoare şi continuă la dreapta. În plus, cum este

probabilitate, F mai are proprietăţile evidente

(6) F(-)=0, F()=1

Din motive tipografice,de multe ori vom scrie Ff(x)=(fx) în loc de (f-1(-,x+). Este şi o

notaţie mai sugestivă.

Propoziţia 11. Fie o repartiţie pe dreaptă. Atunci există un spaţiu probabilizat (,k,P) şi o

variabilă aleatoare astfel ca Pf-1=.

Demonstraţie. Putem alege =, k = b(), f funcţia identică f(x)=c x şi P=..

Observaţie. De multe ori în Teoria Probabilităţilor şi în Statistică sunt afirmaţii care încep cu

propoziţia “Fie o variabilă aleatoare X cu repartiţia ”. Rostul Propoziţiei 2 a fost de a demonstra

că nu se vorbeşte despre mulţimea vidă : obiectul în cauză (variabila aleatoare cu repartiţia

cutare) există întotdeauna. Din punct de vedere practic, însă Propoziţia 2 nu este foarte utilă.

Problema ar fi următoarea : să se găsească un algoritm pentru a se construi pe un spaţiu

probabilizat standard o variabilă aleatoare f avînd o repartiţie dată. Mulţi algoritmi statistici au

nevoie de o fază prealabilă în care se simulează variabile aleatoare cu o anumită repartiţie dată.

Calculatorul ne pune la dispoziţie ceva care simulează foarte bine spaţiul probabilizat =(0,1), k

= b((0,1)), P=(0,1). Sensul următoarei propoziţii este de a indica un procedeu de a simula o

variabilă aleatoare cu o anumită repartiţie pe acest spaţiu probabilizat.

Fie deci o probabilitate pe (,b()) şi F funcţia sa de repartiţie, F(x)=((-,x]). Pentru

orice 0<y<1 definim funcţia

(7) F+(y) = sup {x : F(x) y} = sup F-1((-,y]) = inf F-1((y,))

Funcţia F+:(0,1) se numeşte pseudoinversa lui F. Din (7) rezultă imediat

(8) x < F+(y) F(x) y x F+(y)

Din (8) rezultă imediat

(9) F(F+(y)) y

deoarece t > F+(y) F(t) > y iar F este continuă la dreapta.

Propoziţia 12. Funcţia F+:(0,1) definită prin (7) este măsurabilă şi P(F+)-1=.

Demonstraţie. Fie a. Atunci

(10) F+(y)a F(F+(y))F(a) y F(a) (din 9).

Pe de altă parte din (8) rezultă şi că

(11) y < F(a) F+(y) a

Combinînd (10) cu (11) rezultă că

(12) (0,F(a)) {F+ a} (0,F(a)]

Din (12) rezultă că

(13) F(a) = ((0,F(a))) = P((0,F(a))) P({F+ a}) P((0,F(a)]) =((0,F(a)]) = F(a)

Fie = P(F+)-1. Din (13) rezultă că ((-,a]) = F(a) = ((-,a]) a . Intervalele de acest

tip formează un sistem de generatori închis la intersecţii finite pentru b() . Rezultă că = =

P(F+)-1.

Observaţie.Cu acelaşi efort se putea demonstra un rezultat mai general: orice măsură Stieltjes

de pe dreaptă este imaginea măsurii Lebesgue de pe un interval deschis I printr-o funcţie F+

crescătoare continuă la dreapta. Nu aveam decît să luăm funcţia F := F şi să-i luăm

pseudoinversa F+:(F(-),F()) . Aceeaşi demonstraţie de la Propoziţia 7 arată că = (F+)-1

datorită faptului că

(14) (F(a),F(b)) { a < F+ b } [F(a),F(b)]

deci

(15) (F+)-1((a,b]) = F(b)-F(a) = ((a,b])

pentru orice interval (a,b], iar aceste intervale formează sistem de generatori închis la intersecţii

finite pentru b() .

Integrala.

Curs 6. Integrala

Marea reuşită a teoriei măsurii a fost să generalizeze integrala Riemann, care se

cunoştea deja. S-a găsit condiţia necesară şi suficientă ca o funcţie f:*a,b+ să fie integrabilă

Riemann şi s-au găsit multe funcţii care nu sunt integrabile Riemann dar sunt integrabile

Lebesgue, cum ar fi funcţia lui Dirichlet 1Q.

Principiul fundamental al lui Lebesgue a fost : dacă f =1A, atunci fd = (A). Chiar dacă cititorul va uita restul cursului, reţinerea acestui principiu va ajuta la reconstituirea uşoară a teoriei. Paşii esenţiali în construcţia integralei sunt trei: Pasul 1. Integrarea funcţiilor simple pozitive. Pasul 2. Integrarea funcţiilor pozitive. Pasul 3. Integrarea funcţiilor oarecare.

Integrarea funcţiilor simple pozitive.

Fie (,k,) un spaţiu cu măsură şi f o variabilă aleatoare simplă. Fie de asemenea Im(f) =

{a1,a2,...,an- şi Ai=f-1({ai}):={f=ai}.

Definiţie. Scrierea f = i

n

1 ai

1Ai se numeşte scrierea canonică a variabilei aleatoare simple f.

Notaţie. Fie S+ = S+(,k,) = { f: + : f este variabilă aleatoare simplă}. Evident că dacă

f,gS+ şi a,b0 atunci af+bgS+, adică S+ este un con pozitiv.

Definiţie. Fie f = i

n

1 ai

1Ai o variabilă aleatoare simplă în scriere canonică. Numărul

(1) I(f)= i

n

1 ai(Ai)

se numeşte integrala lui f faţă de şi se notează fd..

Propoziţia 1. Funcţia I: S+ are următoarele proprietăţi:

(I1). f g I(f) I(g) (monotonie)

(I2). a,b0, f,gS+ I(af+bg)=aI(f)+bI(g) (liniaritate)

(I3). Dacă f S+, atunci funcţia de mulţime (A):= I(f1A) este o nouă măsură pe k notată f. Demonstraţie.

(I1). Scriem f şi g canonic: f = i

n

1 ai

1Ai , g = j

m

1 bj

1B j. Familiile {A1,...,An- şi ,B1,...,Bm} formează

partiţii ale lui cu mulţimi din k. Din condiţia f g rezultă că xAiBj f(x)g(x) aibj. Deci

(2) AiBj ai bj

Atunci I(f) = i

n

1 ai(Ai) = I(f)= i

n

1 j

m

1 ai(AiBj) ( {B1,...,Bm- partiţie ( Ai)=

j

m

1 (AiBj) )

= j

m

1 i

n

1 ai(AiBj) (am schimbat ordinea de sumare) j

m

1 i

n

1 bj(AiBj) (din (15) : în sumă

contează numai acele perechi (i,j) pentru care AiBj ) = j

m

1 bj(Bj) (căci {A1,...,An} este de

asemenea partiţie a lui ) = I(g). (I2). Arătăm mai întîi că

(3) a0 I(af) =aI(f) (omogenitatea lui I).

Ca mai sus, scriem canonic f = i

n

1 ai

1Ai , cu Ai = {f=ai} . Dacă a>0, {f=ai} = {af=aai} deci af se

scrie de asemenea canonic af= i

n

1 (aai)

1Ai deci I(af) = i

n

1 aai(Ai) = aI(f). Dacă a=0, atunci

af=01 I(af) = 0 =0I(f) deci în acest caz omogenitatea este şi mai evidentă. Arătăm acum

(4) f,gS+ I(f+g) = I(f)+I(g) (aditivitatea lui I).

Scriem f şi g canonic: f = i

n

1 ai

1Ai , g = j

m

1 bj

1B j. Familiile {A1,...,An- şi ,B1,...,Bm} formează

partiţii ale lui cu mulţimi din k. Fie {c1,...,cp- imaginea lui f+g şi Ck={f+g=ck}. Fie Jk={(i,j) : 1in,

1jm, ai+bj=ck }. Atunci Ck= i j J k,

AiBj şi evident J1J2...Jp={1,2,...,n}{1,2,...,m}. Din

definiţia integralei avem I(f+g) = k

p

1 ck(Ck) = k

p

1 ck( i j Jk,

AiBj) = k

p

1 ( , )i j Jk

ck(AiBj) = k

p

1 ( , )i j Jk

(ai+bj)(AiBj) (deoarece (i,j)Jk ck=ai+bj ) =( , ) ...i j J J J p

1 2 (ai+bj)(AiBj) = i

n

1 j

m

1 (ai+bj)(AiBj)

= i

n

1 j

m

1 ai(AiBj) + i

n

1 j

m

1 bj(AiBj) = i

n

1 ai

j

m

1 (AiBj) + j

m

1 bj i

n

1 (AiBj) = I(f)+ I(g).

(I3). Este suficient de demonstrat afirmaţia pentru f=c1C deoarece o sumă finită de măsuri este

de asemenea o măsură. Dar aceasta este evident.

Observaţie. Dacă în (I2) b=0, pproprietatea devine I(af) = aI(f) a0, f simplă. Dacă a=0,

membrul stîng este 0 deoarece I(af)= I(0)= I(1)=()=0. Dacă I(f)= membrul drept

devine 0 . În analiză, aceasta este operaţie fără sens. În teoria măsurii se face convenţia că

0=0, prin această înţelegîndu-se exact faptul că I(0.f)=0I(f)=0 chiar dacă I(f)=.

Vom continua acum construcţia, scopul fiind de a putea integra şi alte funcţii măsurabile, nu neapărat simple.

Integrarea funcţiilor pozitive.

Fie L+(,k) mulţimea funcţiilor f: k -măsurabile şă pozitive. Este imediat de observat că

L+(,k) este un con de funcţii care conţine pe S+ (,k).

Definiţie. Numărul

(5) I(f) := sup { s d s f, s S+ (,k) }

se numeşte integrala funcţiei f din L+(,k) şi se notează fd.

Propoziţia 2. Operatorul I: L+ (,k) definit de (1) este monoton.

Demonstraţie. Fie f g măsurabile şi pozitive. Dacă s este o funcţie simplă şi pozitivă sf

s g deci în calculul lui I(g) apare supremul unei familii mai bogate de funcţii decît în calculul lui

I(f).

Propoziţia 3. (Teorema lui Beppo-Levi ). Operatorul I este monoton continuu în snsul că

(6) fn L+(,k), fn f I fn) I(f) Demonstraţie. Din Propoziţia 1 fn f I(fn) I(f) n sup I(fn) I(f). Problema este să

demonstrăm inegalitatea inversă. Fie kn=I(fn) şi k=lim kn = sup kn. Dacă există n ca kn=, nu este

nimic de demonstrat. Presupunem deci că kn< n.

Fie s o funcţie simplă pozitivă cu proprietatea că s f. Dacă vom putea demonstra că

s d k, atunci din (1) ar rezulta că fd k, deci propoziţia ar fi demonstrată. Fie >0

arbitrar. Construim mulţimile En (= En() ) definite prin En = { fn > (1-)s }. Din cursul 2, aceste

mulţimi sunt în -algebra . Ele au proprietatea că

(7) En {f >0}

Într-adevăr En fn() > (1-)s() 0 f() fn()>0 {f>0}.

Reciproc,fie {f>0} oarecare. Vrem să arătăm că En

n

1

, adică există n ca fn()>(1-)s().

Apar două situaţii. Dacă s()>0, atunci lim

n fn() = f() s() > (1-)s() deci pentru n suficient

de mare fn() > (1-)s() adică pentru n suficient de mare En En

n

1

. Dacă s()=0,

atunci există n ca fn()>0 = (1-)s() deci afirmaţia este adevărată şi în acest caz.

Atunci f dn

f dn En1 (deoarece f0 ff1E E şi, conform Propoziţiei

1integrala este un operator monoton) ( )s1 1 En

d (deoarece din definiţia mulţimilor En

En fn()>(1-)s() şi aplicăm iarăşi monotonia lui I) =(1-)s dEn1 (proprietatea (I2):

pentru funcţii simple I este omogen) = (1-)(s)(En) (definiţia de la (I3)). Rezultă că k = lim

n kn

= lim

n sd

limn (1-)(s)(En) = (1-)(s)({f>0}) (En {f>0} din (3), s este

măsură conform cu proprietatea (I3) şi orice măsură este monoton continuă ) = (1-) s df

10

= (1-)sd ( căci s>0 f>0 deci s=s1{s>0}=s1{f>0}) sau, altfel spus

(8) k (1-) sd > 0

Cum este arbitrar, din (4) rezultă imediat că k=lim kn = sup f dn

sd . Trecînd la

supremum după toate funcţiile simple pozitive s cu proprietetea că sf rezultă că lim

nf dn

fd . O consecinţă a teoremei Beppo-Levi este următoarea formulă de calcul a integralei:

Corolar 4. Fie f L+(,k) şi (sn)n un şir de funcţii simple pozitive cu proprietatea că snf (de

exemplu sn=

2

2

n

n

f

). Atunci fd =

limn

s dn .

Demonstraţie. Este un caz particular al Propoziţiei 3.

Corolar 5. Operatorul I: L+ (,k,) definit prin I(f)= fd are următoarele proprietăţi:

(J1) f g I(f) I(g) (Monotonie)

(J2) f,g L+ (,k,) şi a,b0 I(af+bg) = a I(f)+b I(g) (linearitate)

(J3) (fn)n L+ (,k,), fnf I(fn) I(f) (continuitate monotonă)

(J4) Dacă f L+ (,k,) atunci funcţia de mulţime f: k [0,) definită prin (f)(A)=

f dA1 este o nouă măsură pe k, numită măsura de densitate f. Demonstraţie. (J1) şi (J3) au fost deja demonstrate. Demonstrăm (J2). Fie (fn)n şi (gn)n două şiruri

de funcţii simple pozitive cu proprietatea că fnf şi gng. Atunci afn+bgn af+bg. Din (J3) avem

atunci: I(af+bg) = lim

n I(afn +bgn) = lim

n (aI(fn) + b I(gn)) (pentru funcţii simple I este deja liniară

din (I2)) =alim

n I(fn) +blim

n I(gn) = a I(f)+b I(g) (iarăşi (J3)). În ceea ce priveşte demonstraţia lui (J4),

fie (An)n un şir de mulţimi disjuncte din . Fie Bn=A1A2...An. Atunci (f)(An

n

1

) =

f dA

nn

1

1

=

f dB

nn

1

1

=lim

nBf d

n1

(şirul de mulţimi (Bn)n este crescător şi BnAn

n

1

) =

limn

f dBn1

(căci f Bn1

f1B şi aplicăm Teorema Beppo-Levi) =lim

n

f dAj

n

j1

1

=lim

nj

n

Af dj

1

1

(din

proprietatea (J2) aplicată repetat) = n

1 (f)(An).

Integrarea funcţiilor măsurabile oarecare.

Fie f: măsurabilăoarecare. Ea se poate scrie întotdeauna sub forma

(9) f=f+ - f- unde f+=max(f,0)=f1{f>0} şi f- = -min(f,0) = -f1{f<0}

Cum funcţiile x x+ şi x x- sunt măsurabile Borel (sunt continue) rezultă că

dacă f este variabilă aleatoare, atunci f+ şi f- sunt de asemenea variabile aleatoare. Avantajul

este că acestea sunt acum pozitive, deci ştim să le integrăm.

Definiţie. Fie f: măsurabilă oarecare. Atunci

(10) fd f - f -

Def

d d

Funcţiile pentru care definiţia are sens (adică nu apare operaţia - ) se numesc

funcţii care admit -integrală, sau -sumabile iar formula (10) defineşte integrala lui f faţă de

. Pentru ca o funcţie să admită integrală faţă de trebuie ca integrala părţii sale pozitive sau cea a părţii negative să fie finită. Dacă atît integrala părţii pozitive cît şi a celei negative sunt

finite, f se numeşte -integrabilă. Familia funcţiilor -integrabile se notează cu L1(,k,). În

caz că nu va fi pericol de confuzie, se va omite (,k ) şi se va nota mai scurt, L1(). Integrala

devine atunci un operator

(11) I : L1() , I(f)= fd

Propoziţia 6. f L1() fd < .

Demonstraţie. Rezultă din identitatea f=f+ + f- . Dacă f L1(), atunci din definiţie f+d

< şi f-d< f+d + f-d < (f++ f-)d< (Proprietatea (J2)) fd<

. Reciproc, dacă fd< atunci (f++ f-)d< f+d + f-d < f+d < şi

f-d< (căci a,b0, a+b < a<,b<) f L1().

Propoziţia 7. Să acceptăm prin convenţie că 0 = 0. Dacă f are integrală faţă de şi c

atunci şi cf are integrală faţă de şi

(12) (cf)d = c fd. Demonstraţie. Dacă c=0 şi acceptăm convenţia noastră, ambii membri din (12) devin egali cu 0.

Dacă c>0, atunci (cf)+ = c(f+) şi (cf)- = c(f-). Din (6) avem (cf)d = (cf)+d - (cf)-d = c

f+ d-c f- d (proprietatea (J2)). Am presupus că f are integrală faţă de , deci ultima

diferenţă are sens, nu este -. Atunci putem da pe c factor comun şi obţinem în continuare

(cf)d =c( f+ d- f- d) = c fd. (conform definiţiei (10)). Dacă c<0 avem: (cf)+ =-c(f-),

(cf)- =-c(f+) (cf)d = (cf)+d - (cf)-d = -c f- d + c f+ d = c( f+ d- f-

d) = c fd..

Propoziţia 8. Fie f o funcţie care are integrală faţă de . Considerăm funcţia de mulţime

(13) (A):= f1A d

Atunci funcţia :k este aditivă. Ea se notează =(f).

Demonstraţie. Fie A,B k două mulţimi disjuncte. Se verifică uşor egalităţile 1AB = 1A +1B ,

(f1AB)+ = f+1AB şi (f1AB)-= f-1AB . Atunci (AB) = f1AB d = (f1AB)+ d - (f1AB)-

d = f +1AB d - f- 1AB d = (f+)(AB) - (f-)(AB) = (f+)(A) + (f+)(B) - (f-)(A)

-(f-)(B) (căci pentru funcţii pozitive afirmaţia din enunţ este (J4) ) =((f+)(A) - (f-)(A)) + (

(f+)(B) -(f-)(B) ) = f1A d+ f1B d (conform definiţiei (6) =(A)+(B).

Propoziţia 9. Dacă f,g au integrală iar numerele a= fd [-,+ şi b= gd [-,] au proprietatea că a+b are sens, atunci f+g are de asemenea integrală şi

(14) (f+g)d = fd + gd Demonstraţie. Fie h=f+g. Considerăm următoarele mulţimi

(15) A++ = {f>0,g>0}, A+-+= {f>0,g0,f+g>0}, A+-+={f>0,g0,f+g0}

A-++= {f0,g>0,f+g>0}, A-+- = {f0,g>0,f+g0}, A-- = {f0,g0}

Vom arăta că

(16) (f+g)1A d = f1A d + g1A d dacă A este una din cele 6 mulţimi definite la (15). Pe mulţimea A = A++ nu este nici o problemă. Atît h, cît şi f,g sunt pozitive deci (16) este chiar proprietatea (J2).

Dacă A = A+-+, atunci f0,g0,h0 şi f+g=h f=(-g)+h. Funcţia (-g) are semnul +, deci f1A d

= ((-g)+h)1A d = (-g)1A d + h1A d (conform cu (J2)) =- g1A d + h1A d

(Propoziţia 6 cu c=-1) h1A d = f1A d + g1A d.

Dacă A = A+-- atunci scriem -g =f +(-h); cele trei funcţii sunt pozitive deci din (J2) avem că

(-g)1A d = f1A d + (-h)1A d şi aplicînd iar Propoziţia 6, c=-1, rezultă - g1A d + f1A

d - f1A d de unde rezultă (16). Dacă A = A-++ scriem g = h +(-f) şi raţionăm la fel. Dacă A = A-+- scriem -f=(-h)+g şi aplicăm aceleaşi proprietăţi în aceeaşi ordine. Dacă A = A-- scriem -h = (-f)+(-g) . Mai rămîne de verificat că (16) are sens pe fiecare din cele 6 mulţimi, adică nu apare o

nedeterminare de tipul - sau (-)+ . Dacă ar apare de exemplu undeva “-“, ar putea

apare numai pe mulţimile A+-+ sau A+--. Ar însemna ca f d = şi g d = -, ceea ce noi

am negat .

Definiţie. Fie X un spaţiu vectorial. O aplicaţie N:X [0,) se numeşte seminormă dacă

(i) N(x+y+ N(x)+N(y) x,y X

(ii) N(ax)=aN(x) x X

Corolar 10 . L1() este un spaţiu vectorial, aplicaţia I : L1() , I(f) = fd este liniară iar

funcţia N1(f)= I(f) este o seminormă ; f L1() N1(f) <

Demonstraţie. Ultima afirmaţie este o reformulare a Propoziţiei 6 . Dacă f,g L1() şi

a,b, atunci N1(af+bg) = I(af+bg) I(af+bg) (proprietatea de monotonie (J1)!) =

I(af)+ I(bg) (Propoziţia 8) = I(af) + I(bg) =aI(f) + bI(g) (propoziţia 5) <

(căci N1(f)<,N1(g)<) ceea ce înseamnaă că af+bg L1(). Deci L1() este un spaţiu vectorial.

Că N1 este seminormă şi I este linearărezultă imediat din propoziţiile 6 şi 9: I(af+bg) = I(af)+

I(bg) = a I(f)+b I(g) deci I este aplicaţie lineară iar N1(af)= I( af ) = I(af)=aI(f) =

aN1(f), N1(f+g)= I( f+g ) I( f+g ) = I(f) + I(g) = N1(f) + N1(g).

Proprietăţile fundamentale ale operatorului I(f) = fd

Vom studia acum generalizarea proprietăţilor (J1)-(J4).Considerăm spaţiul I(,k,) :=

I() format din mulţimea tuturor variabilelor aleatoare care admit integrală faţă de . I() nu

este un spaţiu vectorial dar conţine toate variabilele aleatoare pozitive precum şi spaţiul

vectorial L1().Această mulţime este domeniu maxim de definiţie al operatorului I.

Propoziţia 11. Operatorul I: I() [-,] are următoarele proprietăţi

(R1) (Monotonie) f g I(f) I(g)

(R2) (Continuitate monotonă; teorema Beppo-Levi)

(17) fn f, I(f1) - I(fn) I(f)

(18) fn f, I(f1) I(fn) I(f)

(R3) (Principiul lui Lebesgue de convergenţă dominată )

Dacă (fn) L1(), fn f şi există g0, g L1() ca fn g, atunci I(fn) I(f)

(R4) (măsură cu semn)

Dacă f I() atunci f : k [-,] definită la fel ca în (J4) este -aditivă

( -aditivă înseamnă că dacă (An)n este un şir de mulţimi disjuncte din k, atunci seria n 1

(f)(An) are limită şi această limită este exact (f)(n =1

An ) ).

Demonstraţie.

Monotonia. Fie f g două funcţii care admit integrală. Atunci f+ g+ (căci funcţia x x+ este

crescătoare) şi f- g- (căci funcţia x x- este descrescătoare) . Deci I(f) = I(f+)- I(f-) I(g+)- I(f-) (f+

g+ şi pe funcţii pozitive I este monoton) I(g+)- I(g-) (căci f- g-) = I(g) Continuitatea monotonă. Fie (fn)n un şir crescător de variabile aleatoare şi fie de asemenea f =lim fn = sup fn. Atunci fn-f1 este de asemenea un şir crescător şe funcţii pozitive care converge la

functia f-f1.Dacă I(f1) = nu este nimic de demonstrat. Dacă nu, I(f1) este un număr real. Aplicăm atunci teorema Beppo Levi şirului (fn-f1) şi găsim că limita lim I(fn-f1) = I(f-f1) de unde lim (

I(fn)- I(f1)) = I(f)- I(f1) . Cum I(f1) operaţiile de scădere au sens şi rezultă că (lim I(fn))- I(f1) = I(f)

- I(f1) lim I(fn) = I(f). Dacă şirul (fn)n este descrescător şi I(f1)=- nu este nimic de demonstrat, datorită monotoniei lui I. Dacă nu, I(f1) este un număr real. Şirul (f1 - fn)n este un şir crescător de variabile aleatoare pozitive deci, din teorema Beppo-Levi lim I(f1-fn) = I(f1-f) de unde

I(f1) - lim I(fn) = I(f1) - I(f) lim I(fn)= I(f). Convergenţa dominată. Fie (fn)n un şir convergent de variabile aleatoare şi f limita sa.

Presupunem, conform ipotezei că există o funcţie integrabilă pozitivă g ca -g fn g n. Fiind convergent, şirul (fn)n are proprietatea că limsup fn = liminf fn = f. Fie gn = inf{fn,fn+1,fn+2,....- şi hn = sup{fn,fn+1,fn+2,...-. Şirul (gn)n este crescător iar (hn)n este descrescător. Din definiţia limitei

superioare şi inferioare, f = sup gn = inf hn. Mai mult, -ggnhng deci atît I(g1) cît şi I(h1) sunt cuprinse între - I(g) şi I(g), adică sunt numere reale. Din (17) şi (18) rezultă atunci că (19) lim I(gn) = I(f) = lim I(hn).

Pe de altă parte, cum gn fn+j hn j0 şi I este monoton, rezultă că şi I(gn ) I(fn+j)

I( hn) j. Înseamnă că

(20) I(gn ) inf{ I(fn), I(fn+1), I(fn+2),...} sup{I(fn), I(fn+1), I(fn+2),...} I( hn)

Atunci limsup I(fn) = inf

n sup{I(fn), I(fn+1), I(fn+2),...} inf

n I( hn) (din (20)) = lim I( hn) (căci (I( hn))n

este descrescător) = I(f) = lim I(gn) (din (19)) =sup

n I(gn) (căci (I(gn))n este un şir crescător) sup

n inf{ I(fn), I(fn+1), I(fn+2),...} = liminf fn. Deci

(21) limsup I(fn) I(f) liminf fn

Afirmaţia rezultă acum din faptul că întotdeauna liminf fn limsup fn .

Demonstrăm acum, în sfîrşit,faptul că =f este -aditivă. Fie f o funcţie care admite integrală

faţă de . Deci sau I(f+) sau I(f-) . Ca să facem o alegere, să ne plasăm în primul caz. Fie

1 = f+ şi 2 = f-. Conform proprietăţii (J4), 1 şi 2 sunt măsuri pe k, prima din ele fiind

mărginită. În plus, (A)=1(A) - 2(A) A k. Fie acum (An)n un şir de mulţimi disjuncte din k

şi fie A reuniunea lor. Fie Bn = A1A2...An şi fie sn = 1(Bn), tn=2(Bn). Cum 1 şi 2 sunt măsuri

obişnuite 1(A) = lim sn şi 2(A) = lim tn . Limitele există, căci şirurile (sn)n şi (tn)n sunt crescătoare

şi pozitive. Mai mult, prima este finită. Atunci şirul (sn-tn)n are de asemenea limită (eventual

-) . Deci lim (sn - tn) =

lim (Bn) =lim j

n

1 (Aj) există şi coincide cu 1(A) - 2(A), deci cu (A). Cazul în care I(f-) se

tratează la fel.

Definiţie. Fie (,k) un spaţiu măsurabil. O funcţie : k [-, ] care este -aditivă se

numeşte măsură cu semn. Dacă imaginea (k) , adică (A) A k spunem că este măsură mărginită cu semn. Ceea ce am demonstrat la (R4) a fost că toate funcţiile de mulţime

de tipul f unde f sunt funcţii care admit -integrală sunt măsuri cu semn. Sintetizăm acum unele proprietăţi ale acestor măsuri.

Corolar 12. Măsurile cu semn f: k [-, ] au următoarele proprietăţi: (i). Dacă f L1(), atunci f este o măsură mărginită cu semn.

(ii) Dacă f 0, atunci f este o măsură.

(iii) Dacă f L1() şi f 0 atunci f este o măsură mărginită.

(iv) Dacă f0 şi fd = 1 atunci f este o probabilitate. În acest caz funcţia f se numeşte densitate de probabilitate.

Demonstraţie.(i). Dacă f L1() atunci fd < f(A)= f1A d f1Ad

fd < deci (f)(A). Celelalte afirmaţii sunt evidente.

Propoziţia 14. Măsurile mărginite cu semn pe spaţiul măsurabil (,k) formează un spaţiu

vectorial notat m(,k) în care m+(,k), mulţimea măsurilor mărginite este un con pozitiv.

Aplicaţia : L1() m(,k) dată prin (f)=f este un operator linear.

Demonstraţie. Fie f,g L1() şi a,b . Atunci (af+bg) este o măsură cu semn care lucrează

astfel: dac[ A k atunci (af+bg) (A) = ((af+bg)) (A) = (af+bg)1Ad = a f1Ad + b g1A

d = (a(f)+b(g))(A) .

O paralelă între integrala Lebesgue şi integrala Riemann

Se pune problema firească : ce legătură este între integrala Lebesgue, construită mai

sus şi diversele tipuri de integrale învăţate anterior: integrala Riemann din liceu, integralele

pe domenii sau drumuri studiate la analiză sau integrala din cadrul analizei complexe ? În

esenţă diferenţa este: la toate aceste integrale aproximarea funcţiei f care se integrează se face

în domeniul de definiţie al lui f, pe cîtă vreme la integrala Lebesgue ea se face în codomeniu.

Ne propunem să clarificăm aceasta în cazul cel mai simplu, al integralei Riemann studiată în

liceu.

Fie f:[a,b] o funcţie oarecare. Orice submulţime finită care se poate scrie sub

forma D = {a=x0<x1<...<xn=b- se numeşte diviziune a intervalului [a,b]. Norma diviziunii D (

notată cu ║D║ )este cea mai mare dintre lungimile intervalelor [xi-1, xi] . Un sistem de puncte

intermediare este orice vector E(D) unde am notat cu E(D) produsul E(D) = [x0,x1]

[x1,x2] ... [xn-1,xn]. Prin suma Riemann ataşată diviziunii D şi sistemului de puncte intermediare

se înţelege suma

(22) S(f,;D) := f x xi i i

i

n

( )

1

1

Definiţie. Funcţia f se numeşte integrabilă Riemann pe intervalul [a,b] dacă există un număr I

( notat cu I = f x dx

a

b

( )) cu proprietatea că

(23) >0 =() ca D diviziune a lui [a,b], E(D) I-S(f,;D)<

Observaţie. Să comparăm aceasta cu integrala J= fd unde (A)=(A *a,b+) este restricţia

măsurii Lebesgue la intervalul [a,b]. Ca J să aibă sens trebuie numai ca f să fie o funcţie boreliană

şi una din integralele f+d, f-d să fie finite. Ca J să fie un număr real, trebuie ca ambele integrale să fie finite. Cele două integrale au sens întotdeauna, cu condiţia să putem lămuri în ce condiţii o funcţie este măsurabilă Borel. Dimpotrivă,(23) pare să fie mai complicat: nu este clar de ce un asemenea I ar exista, şi mai ales, în ce condiţii există, făcînd abstracţie de cazul banal în care f este continuă. Integrala Lebesgue nu are nevoie de nici o condiţie de continuitate. Problemă. Care sunt criteriile de a recunoaşte dacă f este integrabilă Riemann? Un prim pas în vederea găsirii unor criterii de integrabilitate Riemann ar fi simplificarea definiţiei prin

eliminarea punctelor intermediare. Acesta este criteriul lui Darboux.

Definiţie. Dacă , sunt numere reale cu proprietatea a b să notăm

M(f; ,) = sup { f(x)x - şi m(f; ,) = inf { f(x)x }. Atunci sumele

(24) S(f,D) = i

n

1 M(f;xi-1,xi)(xi-xi-1) şi s(f,D) = i

n

1 m(f;xi-1,xi)(xi-xi-1)

se vor numi respectiv suma Darboux superioară (inferioară) ataşate diviziunii D şi funcţiei f. Este uşor de văzut că

(25) S(f,D) = sup { S(f,;D) E(D) }, s(f,D) = inf { S(f,;D) E(D) } şi că, dacă D1 şi D2 sunt două diviziuni ale intervalului [a,b] atunci

(26) D1 D2 S(f,D1) S(f,D2) s(f,D2) s(f,D1) Propoziţia 15. (Criteriul lui Darboux). Funcţia f este integrabilă Riemann pe [a,b] dacă şi numai dacă

(27) >0 =() ca ║D║< S(f,D)-s(f,D) <

Demonstraţie. Să presupunem că f este integrabilă Riemann. Atunci, din (23) rezultă că >0

=() ca D diviziune a lui [a,b], E(D) I - < S(f,;D) < I + . Trecînd la supremum şi

infimum după E(D) şi aplicînd (25) rezultă că

(28) I- s(f,D) S(f,D) I+ deci S(f,D) - s(f,D) 2 ceea ce implică evident (27) Reciproc, să presupunem că (27) este adevărată. Trebuie să arătăm că f este integrabilă

Riemann, adică să construim I care să verifice (23). Fie în acest scop (Dn)n un şir de diviziuni

ale lui [a,b] cu proprietatea că D1 D2 ... şi ║Dn║ 0. Din (26) rezultă că

(29) S(f,D1)S(f,D2)....S(f,Dn) s(f,Dn) ....s(f,D1) Şirul (S(f,Dn))n este descrescător, deci are o limită I1. La fel, (s(f,Dn))n, fiind crescător, are o limită I2. Din (29) rezultă că

(30) S(f,Dn) I1 I2 s(f,Dn) n1

Fie n cu proprietatea că ║Dn║<. Din (27) şi (28) rezultă atunci că

I1-I2 S(f,Dn)-s(f,Dn) şi, cum este arbitrar, rezultă că I1=I2. Notăm această valoare cu I.

Pretindem că I = f x dx

a

b

( ).

Mai întîi să observăm că limita I nu depinde de şirul particular de diviziuni (Dn)n ales. Într-adevăr,

să presupunem că (D’n)n este un alt şir crescător de diviziuni cu proprietatea că ║D’n║ 0. Fie I’

limita şirului (S(f,D’n))n . Fie D*n=DnD’n şi I* limita şirului (S(f,D*n))n . Atunci s(f,Dn)s(f,D’n)

s(f,D*n) I* S(f,D*n) S(f,Dn)S(f,D’n) deci s(f,Dn) I* S(f,Dn) şi s(f,D’n) I* S(f,D’n). Cum

s(f,Dn) I S(f,Dn) şi la fel s(f,D’n) I’ S(f,D’n) rezultă că I-I* S(f,Dn)-s(f,Dn) şi I’-I*

S(f,D’n)-s(f,D’n) pentru orice n. Dacă n este destul de mare. ║Dn║< şi ║D’n║< deci, din (27)

rezultă că I-I* , I’-I* . Cum este arbitrar rezultă că I = I’ = I*. Mai mult, rezultă că

(31) s(f,D) I S(f,D) D diviziune a lui [a,b]

(nu avem decît să înlocuim şirul (Dn)n cu (DnD)n ). Fie acum o diviziune D cu ║D║< şi E(D)

un sistem de puncte intermediare. Atunci s(f,D) S(f,;D) S(f,D) deci, din (31) rezultă că I -

S(f,;D) S(f,D) - s(f,D) de unde I = f x dx

a

b

( ).

Importanţa criteriului lui Darboux este relevată de următorul corolar

Propoziţia 16. Să presupunem că f este integrabilă Riemann pe [a,b]. Atunci f este mărginită şi există două funcţii măsurabile Borel f1 şi f2 cu proprietatea că

(32) f1 f f2 şi f1d = f x dx

a

b

( ) = f2d

În consecinţă f1 = f2 (mod ) Demonstraţie. Fie (Dn)n un şir crescător de diviziuni ale intervalului [a,b] cu proprietatea că

║Dn║ 0. Fie Dn = {a=xn,0 < xn,1 < ...<xn,k(n) = b- şi A(n,j)=(xn,j-1, xn,j], 1 j k(n). Fie de

asemenea Mn,j = M(f;xn,j-1,xn,j), mn,j = m(f;xn,j-1,xn,j). Să considerăm funcţiile simple gn = j

k n

1

( )

Mn,j1A(n,j) şi hn= j

k n

1

( )

mn,j1A(n,j). Atunci este evident că

(33) x(a,b] hn (x) f(x) gn(x), (34) şirul (hn)n este crescător şi (gn)n este descrescător (deoarece orice interval A(n,j) este o reuniune finită de intervale A(n+1,i) ). Mai mult, cum

(An,j) = xn,j - xn,j-1 avem că hnd = j

k n

1

( )

mn,j(A(n,j)), gnd = j

k n

1

( )

Mn,j(A(n,j)) deci

(35) hnd = s(f,Dn) şi gnd = S(f,Dn) Relaţiile (33) - (35) sunt valabile întotdeauna, fără nici o ipoteză suplimentară asupra funcţiei f. Dacă însă ştim că f este integrabilă Riemann, atunci sumele s(f,Dn) şi S(f,Dn) trebuie să fie finite începînd de la un rang n0 deoarece, conform propoziţiei de mai sus, limita lor comună este

f x dxa

b

( ), care este un număr real. Este evident că dacă f este nemărginită superior, atunci

S(f,D)= pentru orice diviziune D iar dacă f este nemărginită inferior, atunci s(f,D)=-. Înseamnă că funcţia f trebuie să fie mărginită.

Mai mult, fie f1 = lim hn şi f2 = lim gn. Limitele există datorită relaţiei (34). Din (33), f1 f

f2 . Din teorema Beppo-Levi avem că f1d = lim hnd = lim hnd = lim s(f,Dn) =

f x dxa

b

( ) şi analog f1d = lim S(f,Dn) =

f x dxa

b

( ). Pentru a demonstra că f1=f2(mod ) nu

avem decît să remarcăm că f2-f1 0 şi (f2 - f1)d = 0. Corolar 17. Dacă f este integrabilă Riemann pe [a,b], atunci f este mărginită, măsurabilă Lebesgue şi integrala sa Riemann coincide cu integrala Lebesgue.

Demonstraţie. Nu avem decît să observăm că f coincide cu f1 -aproape sigur, iar f1 este

măsurabilă Borel. Rezultă că orice funcţie integrabilă Riemann este integrabilă Lebesgue, adică integrala Lebesgue este o generalizare a celei Riemann. Se poate pune întrebarea dacă nu este valabilă şi reciproca: nu cumva şi orice funcţie integrabilă Lebesgue se poate integra şi în sensul Riemann? Răspunsul este negativ.

Propoziţia 18. (Teorema lui Lebesgue de caracterizare a integrabilităţii Riemann). Fie

f:[a,b] o funcţie oarecare. Atunci

(36) f este integrabilă Riemann f este mărginită şi continuă aproape peste tot („continuă a.p.t.” înseamnă că mulţimea punctelor de discontinuitate ale lui f este

neglijabilă Lebesgue).

Demonstraţie. „”. Fie (Dn)n un şir crecător de diviziuni de normă tinzînd la 0. Că f este

mărginită, s-a văzut. Fie E mulţimea punctelor de discontinuitate ale lui f şi D reuniunea

mulţimilor Dn. D este o mulţime numărabilă, deci neglijabilă Lebesgue. Fie de asemenea f1 şi f2

funcţiile construite în *Propoziţia 2. Observaţia decisivă este

(37) E \ D {f1f2} E D

Într-adevăr, fie xE \ D. Cum x nu este un punct al niciunei diviziuni Dn, el se află într-unul din

intervalele deschise (xn,j-1, xn,j) . Fie j(n,x) acel unic 1jk(n) cu această proprietate. Pe de altă

parte, x este un punct de discontinuitate pentru f, deci există un şir (xi)i care converge la x şi

limsup f(xi) > liminf f(xi). Pentru fiecare n fixat avem: f2(x) = Mn,j(n,x) limsup f(xi) (căci pentru i

destul de mare xi (xn,j-1, xn,j) ) > liminf f(xi) mn,j(n,x) = f1(x) f1(x)f2(x), de unde prima

incluziune din (37).

În continuare, să presupunem că x[a,b] are proprietatea că f1(x)f2(x). Dacă x D nu

este nimic de demonstrat. Să presupunem că xD. Dacă prin absurd xE, atunci x ar fi un punct

de continuitate pentru f. Deci pentru orice >0 există ca

x-x’< f(x)-f(x’)<. Fie n suficient de mare ca ║Dn║< . Atunci

f2(x)-f1(x) = Mn,j(n,x) - mn,j(n,x) = sup{f(y)-f(z) y,z[xn,j(n,x)-1, xn,j(n,x)] }

sup{f(y)-f(x)+f(x)-f(z) y,z[xn,j(n,x)-1, xn,j(n,x)] } 2

(căci x-y<║Dn║< şi la fel x-z<) . Cum este arbitrar rezultă că f1(x) = f2(x), fals. Deci (37)

este verificată. În continuare, dacă f este integrabilă Riemann, atunci am văzut că f1=f2 (

a.p.t.) Deci {f1f2} este neglijabilă. Din (37) rezultă că (E) = (E \ D) + (ED) = (E\D) ({f1f2})

= 0 .

„”. Este imediat din (37). Dacă f este continuă -a.p.t., atunci ({f1f2}) (ED) = (E) = 0

f1 = f2 (mod ) f este integrabilă Riemann datorită Propoziţiei 2.

Exerciţii.

1. Dacă = x cu x , atunci fd =f(x).

2. Fie f o funcţie măsurabilă mărginită. Aplicaţia : m+(,k) dată prin ()= fd este liniară.

3.Dacă x1,x2,...xn şi p1,...,pn 0 şi = pn

n=1

xn

, atunci fd =

pn

n=1

f(xn).

Indicaţie la 1.,2.,3. Verificaţi afirmaţiile întîi pentru funcţii indicator, apoi pentru funcţii simple, apoi pozitive (folosind Teorema Beppo-Levi) şi apoi în general.

4. Fie =N*( mulţimea numerelor naturale nenule) şi k familia tuturor părţilor lui . Stabiliţi în

acest caz cine este m(,k) şi m+(,k).

Răspuns. Toate măsurile sunt de forma = pn

n=1

n cu pn 0. Dacă sunt mărginite, seria

pn

n=1

este convergentă. Dacă sunt măsuri mărginite cu semn, numerele pn pot fi negative, dar seria

pn

n=1

este absolut convergentă. Dacă sunt numai măsuri cu semn, una din seriile

pn

n=1

+ sau

pn

n=1

- sunt finite.

5. Măsura cardinal. În contextul de la ex.4., alegem pn=1 n. Atunci se numeşte măsura

cardinal. Găsiţi formulă de calcul pentru fd, cercetaţi cine este L1() şi care funcţii admit

integrală. Răspuns. Funcţiile măsurabile sunt toate şirurile de numere reale, integrala este suma seriei, funcţiile integrabile sunt seriile absolut convergente, funcţiile cu integrală sunt cele pentru care seria termenilor pozitivi sau cea a termenilor negativi sunt finite.

6. Formulă de integrare faţă de o măsură dată prin densitate. Fie (,k,) un spaţiu măsurabil,

0 o variabilă aleatoare . Atunci fd() = fd f 0 măsurabilă.

Indicaţie. Aceeaşi de la 1,2,3. Dacă f=1A, A k, afirmaţia este adevărată chiar din definiţie.

7. Fie (,k,) = (N,p(N), cardinal) şi fn=1{n,n+1,n+2,...}. Arătaţi că fn0 dar fn d = . De ce nu se respectă continuitatea monotonă?

Răspuns. În Teorema Beppo-Levi pentru şiruri descrescătoare este condiţia ca f1 d . 8. Aceeaşi întrebare pentru funcţiile gn=-fn care formează un şir crescător convergent la 0.

9. Pe acelaşi spaţiu de probabilitate funcţiile fn=1{n} au proprietatea că fn 0 dar fn d =1 . De ce nu putem comuta limita cu integrala?

Răspuns . Se încalcă principiul dominării. Dacă g ar fi o funcţie cu proprietatea că fn g n ar

trebui ca g1, deci g nu ar mai putea fi integrabilă.

10. Fie (,k,) = (,b(),) cu măsura Lebesgue şi fn=n1(0,1/n]. Calculaţi lim fn şi verificaţi că

fn d =1. Răspuns . Lim fn = 0 . Acelaşi fenomen de la exerciţiul precedent.

11. Fie (,k,) un spaţiu cu măsură cu 0. Este funcţia I:L1() , I(f)= f d injectivă?

Dar surjectivă? Răspuns. Nu este injectivă, dar este surjectivă.

12. Fie (,k,) = (N,p(N), cardinal) . Atunci N1 definită la Corolar 9 este o normă.

13. Fie (,k,) = (N,p(N), cardinal) şi : L1() m(,k) dată prin (f)=f . Atunci este

izomorfism de spaţii vectoriale.

Indicaţie. Dacă este o măsură mărginită cu semn, fie f(n)=({n}) . Fie J+={n f(n) 0}. Atunci

N1(f)=(J+) - (J+c) < deci f L1(). Apoi, (f)({n}) = f 1{n} d =f(n) (exerciţiul 5) = ({n}) n

(f)=, deci este surjectivă. Din cele de mai sus ecuaţia (f)= are soluţie unică, f, m(,k). Liniaritatea este evidentă.

14. Dacă în Ex. 13 înlocuim măsura cardinal cu =n1 pnn cu pn >0 n, afirmaţia se păstrează.

Dar dacă n ca pn=0?

Răspuns. Dacă există ponderi pn=0, nu mai este injectivă. Dacă f(j)=g(j) pentru jn, pn=0 dar

f(n—g(n), atunci (f)=(g).

15. Funcţia Dacă A este o mulţime numărabilă densă în , atunci f =1A nu este integrabilă

Riemann pe nici un interval [a,b] dar este integrabilă Lebesgue pe orice interval.

Indicaţie. f este discontinuă în orice punct şi f=0(mod ).

16. Dacă este vorba de integrala Riemann improprie, atunci este posibil ca f să fie integrabilă

Riemann fără a fi integrabilă Lebesgue. Arătaţi că funcţia f: dată prin f(x)=

sin( )x

xdaca x

daca x

0

1 0 este integrabilă Riemann pe dar nu Lebesgue.

Indicaţie. Din definiţie, f este integrabilă Riemann pe dacă limita lim ( )

,a b a

b

f x dx

există

Arătaţi că în cazul nostru limita există, dar f nu are integrală Lebesgue deoarece f+d =

f-d = .

Curs 7. Teorema Radon - Nikodym.

Fie (,k,) un spaţiu cu măsură, L1() spaţiul vectorial al funcţiilor -integrabile şi

m(,k) spaţiul vectorial al măsurilor mărginite cu semn pe spaţiul măsurabil (,k).. În cursul

precedent am construit un operator liniar =, : L1() m(,k) dat prin (f) = f.

Ne propunem să determinăm spaţiile Ker() şi Im().

Definiţii. Relativizarea noţiunilor de egalitate, inegalitate şi incluziune. Fie f,g: două

funcţii măsurabile. Spunem că f şi g coincid -aproape peste tot dacă ({f()g()}) =

0, deci dacă mulţimea pe care cele două funcţii diferă este neglijabilă faţă de măsura . Vom

nota pe scurt acest lucru prin “ f = g a.s. “ sau “f = g a.s.” (dacă măsura se subînţelege) sau “f

= g (mod ) ” . Analog o scriere de tipul “ f g (mod ) ” (respectiv “ f > g (mod ) ”, “ f g

(mod ) ”,

“ f < g (mod ) ”, “A = B (mod ) ”, “ A B (mod ) ”,“A B (mod ) ”) va însemna “ ({f <

g})=0 ” (respectiv “ ({f g} ) = 0 ”, “ ({f > g})=0 ”, “ ({f g})=0 ”, “ 1A= 1B (mod ) ” , “ 1A 1B

(mod ) ”, “ 1A 1B (mod ) ”.

Lema 1. Fie f 0 măsurabilă. Atunci fd = 0 f=0 (mod ).

Demonstraţie. ““. Fie E={f>0}. Presupunem prin absurd că (E)>0. Să remarcăm că E= n1

E(n) cu E(n)=,f > 1/n-. Mai mult, şirul de mulţimi (E(n))n este crescător deci şirul (f1E(n))n va fi un şir crescător de funcţii măsurabile. Pe de altă parte, din continuitatea monotonă a oricărei

măsuri, rezultă că (E)=lim (En) > 0 n(0) ca (E(n(0))) > 0. Atunci avem : fd =

f1E d =lim f1E(n) d (teorema Beppo-Levi) = sup f1E(n) d f1E(n(0)) d

1

n ( 0 )1E(n(0)) d (deoarece E(n(0)) f() > 1/n(0) ) = (E(n(0))) / n(0) >0, absurd.

““. Fie fn = min(f,n). Atunci (fn)n este un şir crescător de funcţii măsurabile. Pe de altă parte,

f=0 (mod ) fn=0 (mod ) şi 0 fnd = fn 1

0fn d n 10fn d (căci fnn)

=n({fn>0}) =0 fnd =0 n. În concluzie, folosind iarăşi teorema Beppo-Levi fd = lim

fnd=0.

Lema 2. Fie f o funcţie care admite -integrală. Atunci

f1A d 0 A k f0 (mod ).

Demonstraţie. ““. Să presupunem prin absurd că ({f<0}) > 0, atunci există n ca

({f<-1/n})>0. Fie A = {f<-1/n}. Atunci f1A d (-1/n)(A) < 0, absurd.

““. Fie E=,f<0-. Prin ipoteză (E)=0. Atunci f1A d = f1E1A d + f1\E 1A d. Funcţia

-f()1EA() este nenegativă şi egală cu 0 -a.s. Din Lema 1 rezultă atunci că f1E1A d = 0

f1A d = f1\E 1A d 0 deoarece funcţia f1\E 1A() este nenegativă. .

Propoziţia 3. f Ker() f=0 (mod ).

Demonstraţie. ““.Dacă f Ker(), atunci f = 0 f1A d = 0 A k f=0 (mod )

(am aplicat lema 2 pentru f şi pentru -f). ““.Dacă f=0 (mod ) atunci aplicînd Lema 2 rezultă că

f1A d = 0 A k. deci f=0

Corolar 4. (f)=(g) f=g (mod ).

Corolar 5. Dacă f=g (mod ), atunci fd = gd.

Convergenţa -aproape sigură. Plasarea teoremelor Beppo-Levi şi Lebesgue în

context natural.

Definiţie. Fie (fn)n un şir de variabile aleatoare. Spunem că (fn) converge la 0 -aproape sigur şi scriem fn 0 -a.s. (sau fn 0 (mod ), sau încă fn(x) 0 aproape pentru toţi x ) dacă

({ fn() 0 }c) = 0, adică dacă mulţimea acelor puncte pentru care şirul fn() nu converge

la 0 este -neglijabilă. Dacă pentru orice >0 măsura mulţimii acelor puncte pentru care

fn()> tinde la 0, spunem că fn converge la 0 în măsură şi scriem fn

0 . Să remarcăm

echivalenţele „fn() nu converge la 0” „ >0 ca fn() de o infinitate de ori” „

k 1 ca fn() 1/k de o infinitate de ori” „ k 1 ca n 1 p0 cafn+p() 1/k” . Cu alte cuvinte

(1) fn 0 (mod ) ( k

1

n

1

p

0

{fn+p1/k)=0

(2) fn

0 lim ({fn) = 0 >0

Definiţie. Spunem că fn f -aproape sigur dacă fn-f 0 (mod ).

Dacă fn-f

0 spunem că fn converge la f în măsură.

Observaţie.În general nu este nici o implicaţie între aceste două tipuri de convergenţă . De

exemplu, dacă (,k,)=(,b(),) cu măsura Lebesgue, atunci şirul fn=1[n,) converge la 0

aproape sigur (de fapt, peste tot), dar nu în măsură căci ({fn>1/2})= n. Pe de altă parte,

dacă an este un şir crescător cu lim an=, lim(an+1-an)=0 şi An={x-[x] ; an x < an+1 - atunci funcţiile

fn=1An converg în măsură la 0 (căci <1 ({fn > }) = (An) ([an,an+1)) 0) dar fn nu

converge la 0 (mod ) deoarece pentru orice x(0,1), fn(x)=1 de o infinitate de ori: pentru

fiecare n cu proprietatea că [an,an+1){x,x+1,x+2,...}. Totuşi, dacă măsura este mărginită, există o implicaţie.

Propoziţia 6. Dacă este o măsură mărginită, atunci convergenţa -aproape sigură o implică

pe cea în măsură.

Demonstraţie. Fie (fn)n un şir de variabile aleatoare care converge aproape sigur la f. Înlocuind

pe fn cu fn-f putem presupune că f=0. Fie Ek = n

1

p

0

{fn+p1/k- . Mulţimile Ek formează un

şir crescător şi din (1) avem că ( k

1

Ek)= 0 (Ek)=0 k. Dar Ek este intersecţia unui şir

descrescător de mulţimi : Ek= n

1

Bk,n cu Bk,n = p

0

{fn+p1/k}. Cum (Bk,1) , continuitatea

monotonă a unei măsuri implică 0 =(Ek)=limn (Bk,n) de unde limn ({fn1/k}) limn

(Bk,n) = 0 ceea ce, evident implică (2).

Corolar 7. Dacă este o măsură mărginită, atunci

fn f (mod ) limn ({supkfn+k-f1/k})=0 k1.

Demonstraţie. Din raţionamentul precedent avem: fn f (mod ) ( n

1

p

0

{fn+p-f>1/k})=0 ( n

1

{suppfn+p-f>1/k})=0 (căci sup ap > p ca ap > ) limn

({supkfn+k-f1/k})=0 (din continuitatea monotonă a măsurii.

Teorema 8 (Beppo-Levi). Fie (fn)n un şir de variabile aleatoare.

(i). Dacă m<n fm fn (mod ) şi f1 d - atunci (fn) este un şir convergent

-aproape sigur şi lim fn d = limfn d unde prin lim fn se înţelege o variabilă aleatoare cu

proprietatea că fnf (mod ).

(ii). Dacă m < n fm fn (mod ) şi f1 d atunci (fn) este un şir convergent

-aproape sigur şi lim fn d = limfn d unde lim fn are aceeaşi semnificaţie ca la (i).

Demonstraţie.Vom dovedi numai prima afirmaţie, deoarece cealaltă se obţine imediat din ea.

Fie m n şi Nm,n={ fm()>fn()}. Din ipoteză Nm,n sunt toate neglijabile. Fie E reuniunea

acestor mulţimi. E este de asemenea neglijabilă. Fie gn=fn1 \ E . Atunci gn=fn (mod ), (gn)n

formează un şir crescător şi din Corolarul 5 fnd = gnd. Fiind un şir crescător, (gn)n are o

limită, f. Atunci fn converge aproape sigur la f deoarece mulţimea punctelor pentru care fn()

nu converge la f() este inclusă în E, deci este neglijabilă. Şirului (gn)n îi aplicăm teorema Beppo

Levi clasică, din cursul anterior .

Teorema 9.(Principiul dominării) Dacă fnf (mod ) şi există g L 1(), g0 ca fn g (mod

) n, atunci fd = lim fnd.

Demonstraţie. Similară cu cea anterioară. Punem E={ fn() nu converge la f() sau

există k ca fk()>g() -. Mulţimea E este neglijabilă şi înlocuind funcţiile fn cu fn1 \ E putem

aplica teorema Lebesgue clasică.

Ne va preocupa acum să găsim imaginea operatorului introdus în cursul anterior.

Pentru fiecare f L 1() ştim deja că (f) := f va fi o măsură mărginită cu semn.

Măsuri cu semn. Descompunerea Hahn - Jordan .

Fie : k o măsură cu semn mărginită.

Lema 11. (Continuitatea monotonă). Dacă AnA (respectiv AnA) atunci (An)A.

Demonstraţie. Este o consecinţă a -aditivităţii. Demonstraţia este aceeaşi ca în cazul

măsurilor.

Propoziţia 11. Există o mulţime E k - măsurabilă cu proprietatea că

(E) = sup{(A) A k }

Demonstraţie. Fie k= sup{(A) A k - şi An k ca (An)k . Dacă am şti că (An)n este un şir

crescător de mulţimi, ar fi foarte simplu: am pune E reuniunea mulţimilor An. Neavînd nici o

garanţie a faptului acesta, va trebui să adoptăm o altă cale.

Fie dn partiţiile generate de mulţimile ,A1,A2,...,An}. Atomii lor sunt de forma

(3) (I,n)=A Ai

i I

i

c

i I,1 i n

, I {1,2,...,n}

Partiţiile dn sunt din ce în ce mai fine în sensul că orice atom al lui dn se împarte în atomi ai lui

dn+1. Deci dacă dn şi * dn+1, atunci nu sunt decît două posibilităţi: sau * , sau

*c. Dintre atomii lui dn, unii vor avea măsura pozitivă, alţii negativă. Să-i numim pe primii atomi pozitivi şi pe ceilalţi atomi negativi.

Fie En reuniunea tuturor atomilor pozitivi ai partiţiei dn. Cum mulţimile Aj, 1jn la rîndul

lor se compun din atomi, cu unii posibil negativi, (Aj) (En) 1jn. Nici despre şirul de mulţimi (En) nu putem garanta că este crescător, dar putem demonstra că

(4) (EnEn+1...En+p) (En) p1.

Într-adevăr, putem scrie En,p := EnEn+1...En+p sub forma

(5) En,p = En C1 ...Cp unde C1 este reuniunea atomilor pozitivi care nu sunt în En, C2 reuniunea atomilor pozitivi care nu sunt nici în En şi nici în En+1, ...,Cp reuniunea atomilor pozitivi care sunt numai în En+p. Atunci

(En,p)=(En) +(C1)+...+(Cp) iar numărul din dreapta este mai mare sau egal cu (En) căci 1jp

(Cj) este o sumă de măsuri de atomi pozitivi. Fie

(6) Fn = p

0

En,p

Cum şirul de mulţimi (En,p)p este crescător. (Fn)=limp(En,p) (En) (An). În plus, (Fn)n este

un şir descrescător de mulţimi. Fie E reuniunea lor. Din continuitatea monotonă a măsurii

(7) (E) = limn(Fn) limn(An) = k

deci (E)=k datorită definiţiei lui k.

Propoziţia 12. Mulţimea E construită mai sus are proprietăţile

(7) A k, A E (A) 0

(8) A k,, A Ec (A) 0

Demonstraţie.Fie AE. Dacă (A)<0, atunci (E\A)=(E)-(A)>(E), ceea ce contrazice faptul că

(E)(B) B k . La fel, dacă A Ec şi (A)>0, atunci (E A)=(E)+(A) >(E) contradicţie.

Definiţie. Mulţimea E construită la Propoziţia 1 se numeşte mulţimea lui Hahn ataşată

măsurii şi o vom nota E=H().

Propoziţia 13. H() este unică în sensul că dacă D k este o altă mulţime ca (D)=sup (k) şi

A D E, atunci (A)=0.

Demonstraţie. Dacă ar exista A k ca A (D \ E) (E \ D) şi (A)0, atunci sau (ADEc)0 sau

(AEDc)0. Ambele situaţii sunt absurde. Într-adevăr, dacă de exemplu (ADEc)>0, atunci (E

ADEc)>(E), absurd. Dacă (ADEc) < 0, atunci (D \ ADEc) > (D) şi la fel se întîmplă în celelalte

două situaţii.

Teorema 14 (Descompunerea lui Hahn).Orice măsură cu semn mărginită se poate scrie sub

forma

(9) = + - -

unde + şi - sunt două măsuri obişnuite mărginite. Mai mult, + şi - pot fi alese ca să satisfacă

(10) +(A) = sup{(B) BA, Bk}, --(A) = inf {(B) BA, Bk}

În plus, dacă se respectă condiţia (10),descompunerea (9) este unică.

Demonstraţie. Fie E=H() mulţimea lui Haar. Punem +(A)=(AE) şi - (A)=-(AEc). Cele două

măsuri sunt pozitive datorită Propoziţiei 12 şi evident este satisfăcută relaţia 9. Să verificăm

(10). Să presupunem prin absurd că există BA ca +(A) < (B) adică (AE) <(B). Cum

(B)=(BE)+(BEc) şi al doileatermen este negativ, rezultă că (BE) (B) > (AE) de unde ((A \

B)E)=(AE)-(BE)<0 ceea ce este absurd datorită lui (7) : (A\B)E E. Deci condiţiile (10) sunt

verificate. Unicitatea este acum evidentă deoarece (10) introduce o nouă definiţie pentru + şi

-.

Definiţie. Măsura =++- se numeşte variaţia lui . Funcţia ║.║: m(,k) definită

prin ║║ := +()+-() este o normă se numeşte norma variaţie a lui .

Legătura între aceste noţiuni şi funcţia este dată de

Propoziţia 15. Fie (,k,) un spaţiu cu măsură oarecare şi f L1().

Atunci (f)+ = (f+), (f)- = (f-), şi f=f.

Demonstraţie. Este clar că pentru măsura f mulţimea sa Hahn H(f) este chiar mulţimea

{f>0}.

Propoziţia 16. Dacă este o măsură mărginită cu semn, atunci =f unde

f = 1E -1 \ E = 21E - 1 cu E=E().

Demonstraţie. Este o consecinţă imediată a propoziţiei anterioare.

Teorema Radon-Nikodym.

Revenim acum la problema determinării imaginii lui . O observaţie imediată este că

dacă f este o funcţie care admite integrală, atunci măsura cu semn = f are proprietatea

(11) A k, (A)=0 (A) = 0

(Într-adevăr, (A)= f1Ad iar f1A = 0 (mod ) de unde (11) rezultă din Lema 2 aplicată pentru f şi -f)

Definiţie. Fie o măsură şi o măsură cu semn . Dacă se verifică relaţia (11) vom spune că

este absolut continuă faţă de şi vom nota acest lucru prin “ << “. Este imediat că

întotdeauna << şi că dacă 1, 2 şi 3 sunt măsuri cu proprietatea că 1 << 2 şi 2 << 3,

atunci 1 << 3. O consecinţă imediată a definiţiei este

Propoziţia 17. Fie o măsură oarecare şi : L1() m(,k) dat prin (f) = f.

Atunci Im() { m(,k) <<}. Interesant este că uneori este valabilă şi incluziunea inversă. Aceasta este celebra teoremă Radon-Nikodym.

Lema 18. Fie o măsură oarecare şi o măsură mărginită. Fie f(,) = {f0f }. Atunci

(f(,),) este o mulţime inductiv ordonată, unde “ fg “ înseamnă

“ fg” (mod )

Demonstraţie. Fie m f(,) o familie total ordonată. Trebuie să demonstrăm că orice

familie total ordonată admite un majorant. Fie k = sup{ fd f m }. Atunci există un şir de

funcţii (fn)n m ca şirul ( fn d)n k. Rezultă că m < n fm fn. Într-adevăr, familia fd

fiind total ordonată, nu sunt decît două posibilităţi : fm fn sau fn fm. Dar m<n fm d

fn d deci a doua variantă este exclusă. În concluzie şirul (fn)n este crescător. Deci are o limită

aproape sigură, f. Pentru orice A k teorema Beppo Levi arată că f1A d = limn

fn1A d = limn (fn)(A) (A) f sau, altfel spus f f(,). Să arătăm că f este un

majorant pentru m. Fie g m. Să presupunem prin absurd că nu este adevărat că g f. Atunci

mulţimea A=,g > f- va avea măsura (A)>0. Cum fnf rezultă că ({g>fn})>0 n fn g n

(căci m este total ordonată) f g k = fd g d . Dar g d - fd

(g - f)1A d >0 ceea ce este absurd căci ar rezulta că g d > k ceea ce contrazice

proprietatea de supremum a lui k= fd.

Propoziţia 19. Fie şi două măsuri mărginite ca <<. Atunci există f 0, f L1() ca

=f .

Demonstraţie. Din Lema lui Zorn mulţimea f(,) din Lema 18 admite elemente maximale. Fie

f unul din ele, fixat. Vom arăta că f = .

Să admitem contrariul. Oricum, f f(,) deci f . Fie = - f. Atunci este o

măsură obişnuită, fără semn. Nefiind identic nulă, () > 0. Deci pentru k suficient de mare

k() > (). Măsura = k - are semn (în caz contrar 0 k - kf (f+1/n)

ceea ce contrazice alegerea lui f ca fiind maximal în f(,)). Fie E=E(k - ) mulţimea lui Haar .

Deci (AE) 0 Ak (din definiţia lui E) k(AE)-(AE) 0 Ak deci

(12) Ak (AE)/k (AE)

Mai mult, (E) > 0. Într-adevăr, (E)=0 (f)(E)=0 (din (11) şi (E)=0 (din ipoteză)

(E)=0 (k-)(E)=0 (E)=0. Dar (E)() (din definiţia lui E) = k()-() > 0, absurd.

(Aici este singurul loc unde am avut nevoie ca << ! ) Fie atunci

(13) f1 = f +

1

k

E

Vom arăta că f1 f(,), ceea ce este o absurditate căci f era presupus element

maximal în f(,) iar f1 > f pe o mulţime de măsură strict pozitivă.

Într-adevăr, A k (f1)(A) = (f)(A) + (AE)/k (f)(A) + (AE) (din (12)) =

(f)(A) + ( - f)(AE) = (f)(A) - (f)(AE) + (AE) = (f)(AEc) + (AE) (Aec) + (AE)

(căci f f(,)) = (A) f1 , absurd.

Teorema 20 (Radon-Nikodym).Fie şi -finite. Dacă <<, atunci există f 0 ca =f .

Demonstraţie. Să presupunem mai întîi mărginită. Fie (Cn )n o partiţie a lui cu mulţimi

din k cu proprietatea că 0<(Cn)<. Pentru orice n definim măsurile A k n(A)=(ACn), Ele

sunt absolut continue faţă de şi suma lor este . Fie fn 0 ca n=fn şi f= n 1

fn. Atunci (f)(A)=

( n 1

fn)d = n 1

fnd (Beppo-Levi) = n 1

(fn)(A) = n 1

n(A) = (A) deci afirmaţia este

adevărată în acest caz.

În cazul general, fie (Cn)n o partiţie cu proprietatea că 0<(Cn)<. Definim măsurile n şi

n prin

(14) A k n(A)=(ACn), n(A) = (ACn)

Atunci = n 1

n, = n 1

n şi n<<n (deoarece n(A)=0 (ACn)=0 (ACn)=0 n(A)=0 ).

Fie fn densităţile garantate la pasul precedent. Deci n = fnn n 1. Fie f = n 1

fn

1Cn . Cum este

uşor de observat că g 0 gdn = g1Cn d rezultă imediat că (f)(A) = f1A d

= n 1

fn

1Cn 1A d = n 1

fn1A1Cn d = n 1

fn 1A dn = n 1

( fnn)(A) = n 1

n(A) =

(A) pentru orice A k deci în consecinţă = f.

Corolar 21. Dacă este o măsură -finită atunci Im() = { m(,k) <<}

Demonstraţie. Datorită propoziţiei 17 este suficient de demonstrat că orice măsură cu semn

mărginită, admite densitate faţă de . Descompunem sub forma = + - - . Dacă E = E()

atunci observăm că (A)=0 (AE)=0 (AE)=0 +(A)=0 deci +<<. Analog -<< . Deci

există densităţile f+ şi f- ca + = f+, - = f-. Rezultă că = + - - = (f+ -f-).

Definiţie. Fie şi două măsuri -finite astfel ca <<. Atunci densitatea f garantată de

teorema Radon Nikodym se notează f = d / d şi se mai numeşte derivata Radon - Nikodym a

lui faţă de . Ea este unică (mod ) deoarece f = g f=g (mod ). Raţiunea acestei definiţii este

Propoziţia 22. Fie (,k,) = (,b(), ) cu măsura Lebesgue. Fie o măsură Stieltjes şi F

funcţia sa de repartiţie. Presupunem că F este de clasă C1. Atunci << şi d / d = F’, deci

derivata Radon-Nikodym este chiar derivata funcţiei de repartiţie. Afirmaţia se menţine şi dacă F este numai de clasă C1 pe porţiuni.

Demonstraţie. Fiind de clasă C1, F’ este continuă şi deci (F’)((a,b+) = (F’)([a,b]) F’1[a,b]d =

a

b

F’(x)dx ( se verifică imediat că pentru funcţii continue integrala Riemann pe intervale

compacte coincide cu integrala Lebesgue) = F(b)-F(a) (Leibniz-Newton) = ((a,b]). Intervalele de

acest gen formează un sistem de generatori pentru b().

Spaţiile Lp.

Fie X un spaţiu vectorial. O aplicaţie N:X [0,) se numeşte seminormă dacă

N(x+y)N(x)+N(y) x,yX şi N(ax)=aN(x). Dacă, în plus, ea are proprietatea că N(x)=0 x=0

atunci N este chiar o normă. Orice seminormă induce o semidistanţă pe X, (adică o funcţie d

care satisface proprietatea triunghiului , este simetrică şi d(x,x)=0) prin relaţia d(x,y):=N(x-y).

Perechea (X,N) unde X este un spaţiu vectorial şi N o seminormă pe el se numeşte spaţiu

seminormat. Un şir (xn)n din X se numeşte şir Cauchy dacă >0 n ca m,n>n N(xm-xn)

. Un spaţiu seminormat în care orice şir Cauchy este convergent se numeşte spaţiu seminormat

complet. În orice spaţiu seminormat relaţia xy N(x-y)=0 este în mod evident o relaţie de

echivalenţă. Această relaţie de echivalenţă este compatibilă cu structura de spaţiu vectorial în

sensul că

(1) xx’, yy’ a,b ax+by ax’+by’

(căci 0 N((ax+by)-(ax’+by’)) =N(a(x-x’)+b(y-y’)) aN(x-x’)+bN(y-y’) = 0)

şi deci toate elementele unei clase de echivalenţă x*:={yX yx- au aceeaşi seminormă,

adică

(2) xy N(x)=N(y)

Lucrînd eventual cu o familie de reprezentanţi, X*:= X/ devine un nou spaţiu vectorial

pe care funcţia N* definită prin N*(x*)=N(x) unde xx* este un reprezentant (definiţia are sens

datorită lui (2) ) este chiar o normă (căci N*(x*)=0 N(x)=0 x0 x*=0). Cu alte cuvinte

oricărui spaţiu seminormat i se ataşează spaţiul factor X* care este spaţiu normat. Dacă X este

spaţiu normat complet, atunci X* devine spaţiu normat complet, adică spaţiu Banach.

Vom introduce acum o familie de spaţii clasice seminormate complete construite cu

ajutorul unui spaţiu cu măsură (, k, ) şi anume spaţiile notate tradiţional cu Lp (, k, ). Prin

factorizare la relaţia de echivalenţă definită de relaţia f g f=g (mod P) ele devin spaţiile

Banach clasice Lp (, k, ).

Definiţie. Fie p [1,+ şi f : o variabilă aleatoare. Numărul

(17) Np(f)

f d daca p

M f M daca p

p p

1

0 0inf

se numeşte ( prin abuz de limbaj ) „ norma p a lui f ”. Vom arăta că, de fapt, funcţiile Np sunt seminorme.

Propoziţia 23. Inegalitatea lui HÖlder. Fie p,q [1,] două numere cu proprietatea că

(18)

1 1

p q

= 1

(cu convenţia că 1/ = 0; asemenea numere se numesc conjugate). Fie f,g două variabile aleatoare. Atunci este valabilă următoarea inegalitate (numită Inegalitatea lui HÖlder):

(19) fgd Np(f)Nq(g)

Demonstraţie. Avem de analizat două cazuri:

Cazul 1. p = 1 q = . Fie M>0 ca

(20) ({g> M }) = 0

adică g M (mod ). Atunci fgd fMd = MN1(f). Trecînd la infimum după toţi

M care satisfac (20) rezultă fgd N1(f) N(f), adică exact (19).

Cazul 2. 1 < p,q < . Cazul Np(f)=0 sau Nq(f)=0 este banal: atunci f = 0 (mod ) sau g=0 (mod )

fg = 0 (mod ) deci (19) devine 0 0, ceea ce este adevărat. De asemenea, dacă Np(f) Nq(f)=

nu este nimic de demonstrat. Vom presupune de aceea că 0 < Np(f), Nq(f) < . Să considerăm inegalitatea elementară

(21) x,y 0 xy

x

p

y

q

p q

(care rezultă imediat calculînd maximul funcţiei x xy -

x

p

p

) în care punem însă x:=

f

N f

p

p

şi y:=

g

N g

q

q . Integrînd inegalitatea obţinută găsim inegalitatea

fgd N f N gf d

pN f

g d

qN gp q

p

p

p

q

q

q

= Np(f)Nq(g)(

1 1

p q

) = Np(f)Nq(g) (datorită condiţiei

(18) ).

Propoziţia 24. (Inegalitatea lui Minkowski). Pentru orice p 1 avem

(22) Np(f+g) Np(f) + Np(g)

Demonstraţie. Cazul p = 1 s-a demonstrat deja. Cazul 1<p< rezultă astfel : Np(f+g)p =

Np(f+g)p = f g dp

f g f g dp

1

Np(f)Nq(f+gp-1) + Np(g) Nq(f+gp-1) =

(Np(f)+Nq(g))Nq(f+gp-1), iar pe de altă parte Nq(f+gp-1) = f g d

p q q

( )1

1

=

f g dp

p

p

1

(deoarece q =

p

p 1 ) = (Np(f+g))p-1. A rezultat deci

(23) (Np(f+g))p (Np(f) + Np(g)) (Np(f+g))p-1

de unde rezultă exact (22). Cazul p= rezultă mai simplu: din definiţia (17) este clar că f N(f)

(mod ) şi g N(g) (mod ). Deci f+g f + g N(f) + N(g) (mod ) N(f+g) N(f)

+ N(g) (căci N(f+g) este cea mai mică constantă C cu proprietatea că f+g C ).

Notaţie. Spaţiile Lp(,k,) . Norma ║.║p. Fie 1 p . Mulţimea variabilelor aleatoare f:

cu proprietatea că N(f) < se notează cu Lp(,k,) iar mulţimea claselor de echivalenţă de

variabile aleatoare f Lp(,k,) faţă de relaţia de echivalenţă f g f = g (mod ) se notează

cu Lp(,k,). În acest caz se obişnuieşte a se nota ║f║p în loc de Np(f).

Propoziţia 25. Fie 1 p . Mulţimile Lp(,k,) sunt spaţii vectoriale iar aplicaţiile Np:

Lp(,k,) + sunt seminorme.

Demonstraţie. Este uşor de văzut că a Np(af) = aNp(f). Deci, dacă a,b şi f,g

Lp(,k,), atunci Np(af+bg) Np(af) + Np(bg) (din inegalitatea Minkowski) = aNp(f) + bNp(g)

< af+bg Lp(,k,). Că Np este o seminormă este implicit.

Propoziţia 26. Fie 1 p . Seminormele Np au proprietatea că

(24) Np( n –1

fn) n –1

Np(fn)

Demonstraţie. Fie p<. Să notăm cu s suma din dreapta. Dacă s= nu avem nimic de

demonstrat. Dacă s<, fie Sn = f1+f2+...+fn. Şirul Sn este crescător, deci are o limită finită

sau infinită, S. Din inegalitatea Minkowski avem că Np(Sn) s n0. Pe de altă parte Np(Sn)p =

(f1+f2+...+fn)pd (Np(f1)+...+Np(fn))p sp n . Din teorema Beppo-Levi, (Sn)S

Np(Sn)p Spd sp < Np(S) < S < (mod ). Înseamnă că seria f1+f2+... este absolut

convergentă, deci convergentă. Fie f = n –1

fn limita sa . Funcţia f este finită (mod ) . Fie rn = fn+1

+ fn+2 + ... restul seriei. Cum rn S – Sn iar (S–Sn)0 din teorema Beppo – Levi rezultă acum

că Np(rn) 0 dacă n . Înseamnă că Np( n –1

fn) = Np(f1+...+fn+rn) Np(f1) + Np(f2) + ...+ Np(fn) +

Np(rn) s + rn n fixat. Făcînd n rezultă exact (24).

Pentru cazul p= demonstraţia este imediată : inegalitatea modulelor implică inegalitatea f =

n –1

fn n –1

fn n –1

N(fn) (mod ) iar N( n –1

fn) este cea mai mică constantă C cu

proprietatea că fC (mod ). Cu ajutorul propoziţiei 26 putem acum demonstra

Propoziţia 27. Spaţiile Lp(,k,) sunt spaţii seminormate complete iar Lp(,k,) sunt spaţii

Banach.

Demonstraţie. Fie (fn)n Lp(,k,) un şir Cauchy în norma ║.║p. Cu preţul trecerii la un subşir,

putem presupune că Np(fn–fn+1) 2-n, unde am pus prin convenţie f0 = 0. Din demonstraţia

anterioară, seria n –1

(fn–fn-1) este absolut convergentă la o limită f. În plus, tot din propoziţia

anterioară f–fn = j

1 (fn+j–fn+j–1) Np(f–fn) j

1 2–n–j = 2–n 0 dacă n deci fn f în

Lp(,k,). Înseamnă că orice şir Cauchy este convergent, deci Lp(,k,) este un spaţiu

seminormat complet.

Observaţie. În general nu există nici o incluziune 1ntre spaţiile Lp. Totuşi, dacă este o măsură mărginită, se poate demonstra

Propoziţia 27 (inegalitatea normelor). Dacă ()<, atunci avem inegalitatea

(25) 1 p < q Np(f)p Nq(f)q q p

q

–

deci în particular rezultă că Lp(,k,) Lq(,k,)

Demonstraţie. Fie f Lq(,k,). Atunci Np(f)p – fp.1 d Nr(f)Ns(1) (din inegalitatea lui

Holder) . Alegem r =

q

p şi rezultă exact (25).

Exerciţii.

1. Formulă de integrare. Să se arate că

fd() =

(f)d dacă 0 şi f este în aşa fel încît f

L1(,k,). Indicaţie. Se urmează procedeul standard: verificaţi pentru f indicator, apoi funcţie simplă, apoi pozitivă şi apoi măsurabilă oarecare.

2. Regulă pentru înmulţirea densităţilor. Arătaţi că dacă 1<<2 şi 2<<3 atunci 1<<3 şi

d

d

d

d

d

d

1

3

1

2

2

3

Indicaţie. Se aplică eserciţiul 1. Dacă 1=

d

d

1

2 şi 2=

d

d

2

3 atunci

(f12)d3 =

(f1)d(23) =

(f1)d2 =

fd(12) =

fd1 .

3. Dacă = p j x

j Jj

este o măsură discretă, atunci f–g (mod ) f(xj)=g(xj) jJ.

4. Fie cel mult numărabilă, o măsură pe p(), p():=({-) . Definim mulţimea Supp():= {

p()>0 }. Arătaţi că << Supp() Supp().

5. Dacă = = măsura Lebesgue pe dreapta reală şi f(x) =

1 1[ , ) ( ) x

x , g(x)=

1 0 1( , ] ( )x

x , atunci arătai că f

L2 \ L1 iar g L1 \ L2 ; deci nu există incluziuni ţntre spaţiile Lp dacă măsura este nemşrginită.

6. Orice măsură este absolut continuă faţă de măsura cardinal. Are densitate măsura Lebesgue faţă de măsura cardinal pe dreaptă? Indicaţie. Nu. Teorema Radon Nikodym nu funcţionează deoarece măsura cardinal pe dreaptă nu este

–finită. Dacă =card ar trebui ca mulţimea A=,f>0- să fie cel mult numărabilă, deci (A)=0 ceea ce este absurd.

7. Totuşi, dacă este cel mult numărabilă, atunci orice măsură are densitate faţă de card. Care este ea?

Indicaţie. Fie p: funcţia p():=({-). Verificaţi că = pcard.

8. Dacă << şi << spunem că măsurile ţi sunt echivalente şi scriem . Să presupunem că

ambele sunt -finite. Din Teorema Radon–Nikodym, există densităţile f

d

d

,

gd

d

. Arătaţi că şi

au aceleaşi mulţimi neglijabile şi că fg = 1 (mod ).

Curs 8. Teorema ergodică.

În liceu s-a studiat următoarea problemă: fie I un interval şi t: I I o funcţie . Pe

baza ei construim şirul

(1) x0 = x, xn = t(xn-1) = tn(x) (tn înseamnă tt...t de n ori )

S-a demonstrat că dacă t este crescătoare şi continuă, atunci şirul definit prin (1) este

monoton şi deci are o limită. Dacă t este descrescătoare, atunci şirurile termenilor pari şi al celor

impari sunt monotone, deci au limite, nu neapărat egale. Cercetarea acestui tip de probleme

duce la teoremele de punct fix (Banach, Brouwer). În multe cazuri şirul (1) nu este convergent.

Dar ne putem pune şi problema cercetării convergenţei Césaro a şirului (xn)n, adică a

şirului

(2) tn(x) =

x x ...

n 1

0 1 n

x

=

x t x ... t x

n 1

n

(Am notat aici tn(x) în loc de tn(x). Aceasta este notaţia ce va fi folosită în continuare) Cu studiul şirurilor de acest tip începe teoria ergodică.

Definiţie. Fie (,k,) un spaţiu cu măsură mărginită. Fie t: o funcţie măsurabilă. Dacă

(3) t-1 =

spunem că t invariază pe .

Propoziţia 1. Formula de transport. Fie(,k,) un spaţiu cu măsură şi (X,b) un alt spaţiu

măsurabil. Fie t: X o funcţie măsurabilă şi f o variabilă aleatoare pe . Atunci

(4) fd(t-1) = f(t)d

Demonstraţie. Se verifică (4) întîi pentru funcţii indicator f =1A (se va remarca faptul că 1A(t) =

1

t A-1

) apoi pentru funcţii simple, apoi pentru funcţii pozitive folosind teorema Beppo-Levi şi

apoi în general.

Corolar 2. Dacă t invariază pe atunci

(5) fd = f(t)d

Demonstraţie. În (4) folosim faptul că t-1=.

Lema 3 (Lema ergodică maximală). Fie f L1(,k,) o variabilă aleatoare integrabilă. Fie t:

o funcţie care invariază măsura şi (6) s0 = f, s1 = f + f(t),..., sn = f + f(t) +f(t2) + ...+ f(tn) Fie de asemenea

(7) A = { n 0 ca sn() > 0 } Atunci

(8) f1Ad 0

Demonstraţie. Fie C0 ={s0 >0}, C1 = {s0 0, s1 > 0-,...şi în general,,Cn ={s0 0, s1 0, ...,sn-1 0, sn > 0}.. Din (6) se poate observa că

(9) sn = s0 + sn-1(t) = s1 + sn-2(t2) = ...= sj-1 + sn-j(tj) 1 j n

Fie atunci An = C0 C1 ... Cn . Este clar că A = n 0

An . De asemenea este imediat că

(10) { f(tn) > 0 } An Să mai observăm că

(11) tj(Cn) An-j 1 j n

Într-adevăr, Cn sn() > 0 dar j-1 < n sj-1() 0. Dar (7) implică faptul că sn() = sj-1() +

sn-j(tj()) deci sn-j(t

j()) = sn()-sj-1())>0 deci din(10) rezultă că tj() An-j. Fie acum

(12) gn = f1An +(f1An-1 )(t)+(f1An-2 )(t2)+...+(f1A0 )(tn) : = f1 tA

j

j 0

n

n j

Vom arăta că gn 0. Demonstraţia va fi prin inducţie după n.

Dacă n=0, g0 = f1A0 = f1{f>0} =f+ 0.

Presupunem afirmaţia adevărată pentru toţi j<n şi o demonstrăm pentru n.

Dacă C0 atunci

(13) gn()=f()+gn-1(t()) = s0()+gn-1(t()) > 0

Dacă Cj 1 j n-1, atunci din (11) rezultă că ti()Aj-i An-i 1ij deci (f1An- i

)(ti())=f(ti()) (f1An +(f1An-1 )(t)+...+(f1A n - j )(tj))() =sj() de unde

(14) Cj 1jn-1 gn() = sj() + gn-j-1(tj+1)

Dacă Cn, din (10) rezultă că

(15) Cn gn() = sn()

În sfîrşit, dacă An, atunci

(16) An gn() = gn-1(t()).

Din definiţia mulţimilor Cj rezultă că sj1C j 0.Folosind acest fapt şi ipoteza de inducţie, din

relaţiile (13)-(16) rezultă scrierea lui gn ca o sumă de funcţii pozitive:

(17) gn = j

n

0 sj

1C j +g t 1 g t1n j

j

C n 1 Aj 1

n

j 1 nc

de unde rezultă că într-adevăr

(18) gn 0 n 0 Trecem acum la demonstrarea lui (8). Avem

f1 dA =

f1 dA

n =1n

=(f)(An

n 1

) = limn (f)(An) (deoarece şirul (An)n este crescător şi

măsurile cu semn sunt monoton continue) = limn

f A f A ... f A

n 1

0 1 n

(am aplicat Lema Cesaro - Stolz). Deci

(19) f1 dA = limn

f A f A ... f A

n 1

0 1 n

Pînă acum nu am aplicat nicăieri faptul că t invariază pe . Inegalitatea (18) este valabilă

întotdeauna, pentru orice pereche de funcţii f şi t. Acum o vom folosi astfel: fie 0 j n. Atunci

(f)(Aj) = f1 dA j

=f1 dA j

t 1

(căci t invariază pe ) = f1 tdA j

(formula de transport)

=...= f1 t dA

n- j

j

(am aplicat formula de transport în mod repetat). Rezultă că j

n

0 (f)(Aj) =

j

n

0 f1 t dA

n- j

j

= f1 t dA

n- j

j

n

j

0 = gnd (din 12). Atunci (19) inplică mai departe

(20) f1 dA

= limn gnd

ceea ce încheie demonstraţia datorită inegalităţii (18).

Orice funcţie măsurabilă t: pune în evidenţă o -algebră foarte importantă,

anume -algebra mulţimilor t-invariante.

Definiţie. Spunem că Ak este t-invariantă dacă t-1(A)=A. Notăm cu I (t) familia acestor

mulţimi.

Lema 4. (i). I (t) este o -algebră inclusă în k . (ii). f: este I (t) măsurabilă ft = f Demonstraţie.

(i). Rezultă imediat din egalităţile t-1(Ac) = (t-1(A))c şi t-1(An

n 1

)=

t (A-1

n

n 1

)

.

(ii). Avem că f: este I (t) măsurabilă f-1(B) I (t) B b () t-1 (f-1(B)) = f-1(B)

B b () (ft)-1(B) = f-1(B) B b () şi este clar că ultima relaţie implică faptul că ft=f

(luăm B={y}, y).

Lema 5. Fie f,t şi sn ca mai sus. Fie şirul de funcţii

(21) fn =

s

n + 1

n

şi fie f =limsup fn, f = liminf fn. Atunci f şi f sunt I (t) măsurabile.

Demonstraţie. Vom folosi următorul rezultat elementar

Lema 6. Fie (an)n, (bn)n şi (cn)n trei şiruri astfel ca an şi cn sunt convergente iar lim an > 0. Atunci (22) Limsup (anbn + cn) = (lim an)(limsup bn) + lim cn (22’) Liminf (anbn + cn) = (lim an)(liminf bn) + lim cn Demonstraţia Lemei 6. Lucrul esenţial este caracterizarea limitei superioare ca cel mai mare punct limită, adică

(23) limsup an a, există un subşir (nk)k ca a an kk limsup an = a

Să notăm pentru orice şir (xn)n cu xn = sup{xn,xn+1,...}. Atunci xn limsup xn. Cum pentru orice

n sup{xn+yn, xn+1 + yn+1, ...} xn + yn rezultă că

(24) limsup(xn+yn) limsup xn + limsup yn

pentru orice două şiruri cu proprietatea că expresia din dreapta are sens (nu este - ). Dacă

ştim că şirul (xn)n este convergent la x, atunci putem alege un şir (nk)k ca y yn kk cu

y:=limsup yn de unde rezultă că x+y este un punct limită pentru (xn+yn)n Din (23) şi (24) rezultă atunci în cazul nostru că

(25) limsup(anbn + cn) = limsup anbn + c cu c = limcn Cum a=lim an > 0 rezultă că an > 0 pentru n destul de mare. Atunci pentru n destul de mare avem

că anbn anbn limsup anbn limsup(anb

n ) = lim anbn (căci ambele şiruri au acum limită)

=a(limsup bn). Alegînd un subşir al lui bn care converge la limsup bn şi aplicînd principiul (23) rezultă că

(26) limsup anbn =alimsup bn dacă a>0, a=lim an

de unde rezultă (22). Analog rezultă şi (22’).

Pentru demonstrarea Lemei 5, aplicăm acum Lema 4(ii). Avem de demonstrat că f(t) = f. Dar

f(t) = (limsup fn)(t) = limsup fn(t) = limsup ( fn+1

n 2

n 1

f

n 1

) = limsup(fn+1) lim

n 2

n 1

- lim f

n 1 (am aplicat lema 6 ) = limsup(fn+1) = limsup fn = f şi analog se arată că f(t) = f.

Propoziţia 7. Fie f L1(,k,) cu o măsură mărginită. Fie t: o funcţie care invariază

măsura. Fie sn(f) = f + ft + ft2 + ...+ ftn. Atunci şirul (fn : =

s f

n 1

n

)n converge -a.s. la o limită

L(f) care este o funcţie I (t) - măsurabilă.

Demonstraţie.Fie, ca în Lema 5, f= limsup fn şi f= liminf fn. Vrem să arătăm că f=f (mod ) sau

că ({f > f}) = 0. Fir p,q două numere raţionale ca p>q şi Ap,q = {f >p >q > f}. Cum este evident

că reuniunea acestor mulţimi este chiar ,f > f} va fi suficient să demonstrăm că

(27) p,q raţionale, p > q (Ap,q) = 0 deoarece ele formează o familie numărabilă de mulţimi. Este important de observat că, datorită

măsurabilităţii funcţiilor f şi f Ap,q I (t) . Fie p > q fixate şi B = Ap,q . Din Lema 4(ii)

(28) 1Bt = 1B Fie acum (29) g = (f - p)1B şi h = (q - f)1B Vom arăta că

(30) gd 0 şi hd 0

Să observăm mai întîi că sn(g) = (f-p)1B + ((f-p)1B)t + ((f-p)1B) t2 + ...+ ((f-p)1B) t

n = sn(f)1B

- (n+1)p1B (am aplicat (28)!) = (sn(f) - (n+1)p)1B. Fie A = { n0 ca sn(g)()>0} = {

n0 ca (fn()-p)1B() > 0-. Atunci A = B. Într-adevăr, B limsup fn() > p fn()>p de o

infinitate de ori n 0 ca fn()-p > 0 A. Apoi B (fn()-p)1B()=0 deci A. Deci

A=B. Aplicînd Lema ergodică maximală găsim că g1A d 0 de unde prima inegalitate din (30) (căci g1A=g1B=g).

În mod analog, sn(h) = ((n+1)q - sn(f))1B. Dacă acum A = { n0 ca sn(h)()>0} se arată la fel că A = B de unde, aplicînd lema ergodică maximală rezultă şi a doua inegalitate din

(30). Adunînd cele două inegalităţi rezultă (g+h)d 0 (f-p+q-f)1B d 0 adică

(q-p)(B) 0. Cum q-p<0, acest lucru nu se poate întîmpla decît dacă (B)=0.

Vom studia acum proprietăţile aplicaţiei L1(,k,) f L(f)

Propoziţia 8. Aplicaţia L este liniară şi contractantă, adică ║L(f)║1 ║f║1 . Mai mult

(31) Im(L) = L1(,i (t),) iar f L1(,i (t),) L(f) = f

Demonstraţie. Fie f,g L1(,k,) şi a,b. Atunci se verifică imediat că sn(af+bg) = asn(f) + bsn(g) de unde L(af+bg) = a.s.-lim (sn(af+bg)/(n+1)) = a.s.-lim((asn(f)+bsn(g))/(n+1)) = aL(f) + bL(g) deci L este lineară. Verificăm acum contractivitatea lui L. Fie fn = sn /(n+1). Atunci avem ║L(f)║1 =

a.s.-limn fnd = a.s.-limn fnd = liminfn fnd (deoarece L(f) coincide

a.s. cu liminf fn ) = supn inf(fn,fn+1,.....) d = supn inf(fn,fn+1,.....) d

(Beppo-Levi) supn( fnd, fn+1d,.....) = liminfn fnd = liminfn ║fn║1 . Dar

fnd =( f +f(t)+f(t2)+...+f(tn)d)/(n+1) ( j 0

n

f(tj)d)/(n+1) = ( j 0

n

fd(tj)-1)/(n+1) (formula de transport) =( j 0

n

fd)/(n+1) (căci t invariază pe ) = ║f║1 şi

deci ║L(f)║1 ║f║1 adică L este o contracţie faţă de norma din L1.

Pentru a demonstra (31) să observăm că putem alege de exemplu L(f) (care nu este unic

seterminată, ci numai unică (mod ) să fie L(f)=liminf fn care din Lema 5 este i (t) - măsurabilă.

Deci L(f) L1(,i (t),). Reciproc, dacă f L1(,i (t),), atunci f = f(t) = f(t2) =...= f(tn) deci sn(f) = f

L(f)=f de unde rezultă şi a doua parte din (31). Putem acum demonstra mai mult. Convergenţa din Propoziţia 7 nu este numai aproape sigură, ci şi în L1. Să reţinem din demonstraţia contractivităţii lui L următoarea inegalitate

(32) ║sn(f)║1 (n+1)║f║1

Propoziţia 9. Dacă f L1(,k,) atunci ║L(f)-fn║1 converge la 0.

Demonstraţie. Fie > 0 arbitrar şi C >0 astfel ca f1{f>C} d < . Un asemenea C există

deoarece integrala din stînga coincide cu (f)({f>C-) care, cînd C converge la

(f)({f=}) (continuitatea monotonă a măsurii) iar ultima cantitate este egală cu 0 (altfel f

nu ar fi integrabilă). Fie atunci g = f1{fC} . Funcţia g este mărginită (căci gC) şi ║f-g║1 =

f1{f>C} d < . Mai mult, din (32) deducem

(33) ║sn(f) - sn(g)║1 =║sn(f-g)║1 (n+1)║f-g║1

Fie gn = sn(g)/(n+1). Atunci ║L(f)-fn║1 ║L(f)-L(g)║1 + ║L(g)-gn║1 +║gn - fn║1 ║f-g║1

+║L(g)-gn║1 + ║f-g║1 (din contractivitatea lui L şi din (33) 2 + ║L(g)-gn║1 deci

(34) ║L(f)-fn║1 2 + ║L(g)-gn║1

Dar şirul L(g)-gn este dominat de 2C (într-adevăr, sn(g)g+g(t)...+g(tn) (n+1)C

gn C iar gn L(g). Din teorema lui Lebesgue de convergenţă dominată lim║L(g)-gn║1 = lim

L(g)-gnd = limL(g)-gnd = 0. Ţinînd seama de acest lucru şi de (34) rezultă că

(35) limsupn ║L(f)-fn║1 2 + limn║L(g)-gn║1 = 2

ceea ce încheie demonstraţia, deoarece este arbitrar. Ţinînd seama de aceste fapte, putem acum demonstra

Teorema 10 (Teorema ergodică Birkhoff). Fie f L1(,k,) cu o măsură mărginită. Fie t:

o funcţie care invariază măsura. Fie sn(f) = f + ft + ft2 + ...+ ftn. Atunci şirul (fn : =

s f

n 1

n

)n

converge -a.s. şi în L1 la o limită L(f) care satisface următoarele proprietăţi

(i). L(f) L1(,I (t),)

(ii). Dacă f L1(,I (t),), atunci L(f) = f

(iii). Dacă B I (t) atunci (f)(B) = (L(f))(B) . În particular L(f)d = fd Demonstraţie. Singurul lucru care a rămas nedemonstrat este (iii). De fapt acesta este o consecinţă a unui rezultat mai general:

Lema 11. Dacă ║fn-f║1 0, atunci fn1Ad f1Ad A k

Demonstraţie. f1Ad - fn1Ad= (f - fn)1Ad f - fn 1Ad ║fn-f║1.

Fie deci B I (t). Atunci (L(f))(B) = L(f)1Bd = limn fn 1Bd = limn fn 1Bd (din

Lema 11) . Dar ftj 1Bd = ftj 1B t

j d (deoarece B este t - invariantă) = f1Bd(tj)-1

(formula de transport) = f1Bd (căci t invariază pe ). De aceea din definiţia lui sn rezultă că

sn 1Bd = (n+1) f1Bd fn 1Bd = f1Bd limn fn 1Bd =

f1Bd = (f)(B)

Definiţie. Fie t o transformare care invariază pe . Dacă B I (t) (B) = 0 sau (B)=(), atunci t se numeşte transformare ergodică. În cazul transformărilor ergodice teorema lui Birkhoff capătă următoarea formă foarte simplă

Corolar 12. Dacă t este o transformare ergodică atunci

(36)

s f

n 1

n

fd

atît aproape sigur cît şi în L1. Cu alte cuvinte, în acest caz L(f) =

fd

.

Demonstraţie. L(f) trebuie să fie I (t)-măsurabilă. Toate mulţimile din I (t) sunt neglijabile sau

coneglijabile. Deci pentru fiecare y M(y)={L(f)<y} sunt neglijabile sau coneglijabile. Cum intersecţia acestor mulţimi cu y întreg este neglijabilă, ele nu pot fi toate neglijabile. Dar reuniunea lor este coneglijabilă, deci ele nu pot fi toate neglijabile. Mai mult, ele formează o

familie crescătoare de mulţimi. Deci există o constancă c ca y<c M(y) este neglijabilă şi y>c

M(y) este coneglijabilă. Atunci L(f)=c (mod ) căci ({L(f)c}) = ({L(f)<c}) + ({L(f)>c}) = 0.

Deci L(f) = c (mod ). Din punctul (iii) al teoremei ergodice, fd = L(f)d = cd =

c() de unde rezultă (36).

Exerciţii.

1. Dacă t este ergodică, atunci pentru orice A,B k avem că

(37) limn

BA Bt A Bt A

n

n

1

1

...

=

A B

Indicaţie. În teorema ergodică se ia f=1A . L(f)=(A)/(), fn1B d este fracţia din stînga iar

L(f)1B d este cea din dreapta.

2. Presupunem k =(c) cu c stabilă la intersecţii finite.Dacă t invariază măsura şi (37) se

verifică A,B din c, atunci t este ergodică.

Indicaţie. Fie A c şi e(A) = {BkB verifică (37)}. Se arată că e(A) este un U-sistem care

conţine pe c deci e(A)= k. Apoi fie e = {AkA verifică (37) B k }. Se arată că şi e este un

U-sistem care conţine pe c deci e = k. Altfel spus, (37) este adevărat pentru orice A,B k de

unde, luînd Ai (t) rezultă că Ai (t) (BA)() = (A)(B). Alegînd B=A rezultă

(A)()=(A)2 (A)=0 sau (A)=().

3. Fie =[0,1), k = b(), = (măsura Lebesgue) p un număr natural p2 şi t(x) = ,px-:=

px-*px+ (partea fracţionară a lui px). Atunci t este ergodică. Arătaţi că (x+t(x)+...+tn(x))/(n+1) 0.5 a.s.

Indicaţie. Verificaţi (37) pentru a=*0,a), B=*0,b) şi aplicaţi exerciţiul 2. Apoi aplicaţi teorema

ergodică funcţiei f(x)=x.

Curs 9. Produse de spaţii cu măsură.

Vrem să dăm acum cel mai important caz de aplicare a teoremei ergodice: cazul shiftului pe un

produs infinit de spaţii probabilizate. Avem nevoie însă mai înainte să definim ce înseamnă aceasta.

Fie (j,kj,j)jJ o familie de spaţii cu măsură. Fie = j J

j produsul cartezian al mulţimilor

(j)jJ în sensul definit în cursul 2, prj: j proiecţiile canonice date prin

(1) prj() = j

şi k=j J kj produsul -algebrelor kj, adică

(2) j J kj = (prj jJ)

Dacă pe (,k) există o măsură cu proprietatea că

(3) ( j J

Aj) = j J

j(Aj) Aj kj

atunci spunem că este produsul măsurilor (j)jJ şi notăm aceasta prin =j Jj . Să observăm că dacă J

este infinită, termenul drept al egalităţii (3) s-ar putea să nu aibă sens, deci va trebui precizat ce înţelegem printr-un produs infinit.

Pasul 1. J={1,2}.

Cazul 1.1. 1 şi 2 sunt mărginite. Fie A k1k2 . Definim := 12 prin

(4) (A) = ( 1A(1, 2)d2(2))d1(1) Să arătăm întîi că definiţia are sens.

Propoziţia 1. (i).Fie A k1k2. Fie jj, jJ:=,1,2- fixaţi.Definim

(5) A(1,.) = {y2 (1,y)A - şi A(.,2) = {x1 (x,2)A }

ca fiind secţiunea verticală (respectiv orizontală ) a lui A prin 1(respectiv 2). Atunci secţiunile sunt măsurabile: mai precis avem

(6) A(1,.) k2 şi A(.,2) k1

(ii). Fie f : 12 o funcţie k1k2- măsurabilă. Fie 11 şi 22 fixaţi. Definim secţiunile lui f prin

(7) f(1,.)(2) = f(.,2)(1) = f(1,2)

Atunci f(1,.):2 este k2-măsurabilă şi f(.,2):1 este k1-măsurabilă. Mai mult, dacă f = 1A cu

A k1k2 atunci

(8) f(1,.) = 11A ,. şi f(.,2)= 1

2A .,

Demonstraţie.(i).Fie e ={ A k1k2 A(1,.) k2 11}. Cum (A(1,.))c = Ac(1,.) şi ( n1

An)(1,.) = n1

An(1,.) rezultă că e este o -algebră. Dacă A=A1A2 cu Aj kj, j=1,2 atunci avem A(1,.)

=

A daca A

daca A

2 1 1

1 1

k2 1 1 deci A e deci e este o -algebră care conţine

dreptunghiurile A1A2. Rezultă că e = k1k2 sau altfel spus A k1k2 A(1,.) k2 11. Analog se arată că şi secţiunile orizontale sunt măsurabile. (ii). Egalitatea (8) se verifică imediat. Deci dacă f este un indicator, (ii) este o consecinţă nemijlocită a lui

(i). Dacă f este o funcţie simplă, f = j

n

1 aj

1A j , atunci f(1,.) = j

n

1 aj

11A j ,. , deci f(1,.) este

k2-măsurabilă. În cazul general, folosim faptul că orice funcţie măsurabilă se poate aproxima cu un şir de

funcţii simple. Cazul secţiunilor orizontale se tratează la fel. Din Propoziţia 1 rezultă că (4) are sens şi că

(9) (A) = 2(A(1,.))d1(1)

Propoziţia 2. Teorema lui Fubini. este o măsură pe k1k2 şi (A1A2) = 1(A1)2(A2) Aj kj, j=1,2.

Deci =12 conform definiţiei (3). Mai mult, dacă f 0 atunci

(10) fd12 = ( f(1, 2)d2(2))d1(1) = ( f(1, 2) d1(1)) d2(2)

cu alte cuvinte ordinea de integrare nu contează. Relaţia (10) se păstrează şi dacă fL1(12) .

Demonstraţie. Fie (An)n un şir de mulţimi disjuncte din k1k2 şi A reuniunea lor. Atunci rezultă că

1A(1,.) = 1

11

An

n ,.

2(A(1,.) = 1A(1,.)d2 =

11

12A

nn

d

,.

(teorema Beppo-Levi) = n

1

2(An(1,.)) (A) = 2(A(1,.)d1(1) = n

1 2(An(1,.))d1(1) = n

1

2(An(1,.))d1(1) (din

nou Beppo-Levi) = n

1 (An) . Deci este o măsură. Dacă

A= A1A2, atunci A(1,.) =

A daca A

daca A

2 1 1

1 1

deci 2(A(1,.))=2(A2)

11 1A

. Integrînd această funcţie

după 1 găsim exact că (A)= 1(A1)2(A2).

Arătăm acum că putem schimba ordinea de integrare în integralele iterate. Dacă f=1A cu A= A1A2, atunci

( f(1, 2) d1(1)) d2(2) = 1(A(.,2)d2(2) = 1(A1) 1

2 2A d2(2) =1(A1)2(A2). Deci

(10) se verifică în acest caz. Înseamnă că (10) se verifică pentru funcţii simple de unde, cum orice variabilă aleatoare este limita unui şir crescător de variabile aleatoare pozitive, aplicînd teorema

Beppo-Levi rezultă că (10) este valabil pentru orice f 0. Dacă fL1(12) atunci scriem f = f+ - f- de

unde rezultă (10). Aici folosim faptul că lucrăm numai cu numere finite.

Observaţie. În definiţia (4) am stabilit că produsul 12 se calculează integrînd măsura secţiunilor

verticale după măsura 1. Obţinem astfel o măsură cu proprietatea că (A1A2) = 1(A1)2(A2). La fel

de bine puteam defini o altă măsură integrînd măsura secţiunilor orizontale după 2, adică punînd

(A) = ( 1A(1, 2)d1(1))d2(2). Obţineam o altă măsură cu aceeaşi proprietate. Cele două

măsuri coincid pe mulţimea dreptunghiurilor. Dacă ele coincid vom spune că produsul 12 are sens. Aşadar am stabilit Corolar 3. Produsul a două măsuri mărginite are sens întotdeauna.

Cazul 1.2. Măsurile sunt -finite.

Propoziţia 4. Dacă 1 şi 2 sunt -finite, atunci produsul lor are sens. Mai mult, 12 are proprietatea (10) - verifică teorema lui Fubini.

Demonstraţie. Fie (Bn)n1 k1 şi (Cn)n1 k2 două partiţii ale lui cu proprietatea că 1(Bm)< şi

2(Cn)< m,n1. Fie noile măsuri 1,m şi 2,n definite prin

(11) 1,m(B) = 1(BBm) şi 2,n(C) = 1(CCn) Bk1 şi Ck2

Atunci măsurile 1,m şi 2,n sunt mărginite m,n1 şi 1 = m

1 1,m, 2 = n

1 2,n

Vrem să arătăm că

(12) A k1k2 2(A(1,.))d1(1) = 1(A(.,2))d2(2)

Dar 2(A(1,.))d1(1) = n

1 2,n(A(1,.))d1(1) = n

1

2,n(A(1,.))d1(1 ) (teorema

Beppo-Levi) = n

1

2,n(A(1,.))d(m

1 1,m )(1) = n

1 m

1

2,n(A(1,.))d1,m (1) (integrala unei

funcţii pozitive faţă de o sumă de măsuri este suma integralelor: se verifică întîi pentru indicatori, apoi pentru funcţii simple, apoi se trece la limită folosind teorema Beppo-Levi). Pe de altă parte

1(A(.,2))d2(2) = m

1 1,m(A(.,2))d2(2) = m

1

1,m(A(.,2))d2(2) = m

1

1,m(A(.,2))d(

n

1 2,n) (2) = m

1 n

1

1,m(A(.,2))d2,n(2)

Cum măsurile 1,m şi 2,n sunt mărginite, din (10) rezultă că

(13) 2,n(A(1,.))d1,m (1) = 1,m(A(.,2))d2,n(2) : = Im,n Rezultă că

(14) 2(A(1,.))d1(1) = n

1 m

1 Im,n şi 1(A(.,2))d2(2) = m

1 n

1 Im,n

Cum într-o serie dublă de numere pozitive putem schimba ordinea de sumare rezultă că

(15) 2(A(1,.))d1(1) = 1(A(.,2))d2(2) = 12(A) A k1k2

adică relaţia (10) este adevărată pentru f = 1A. Restul se verifică prin procedura obişnuită : funcţii

simple, funcţii pozitive, funcţii integrabile.

Observaţie.Deci produsul a două măsuri -finite are sens. Nu putem spune la fel dacă vreuna din măsuri

nu este -finită. De exemplu, să luăm 1=2=(0,1), k1 = k2 = b((0,1)), 1 = card (măsura cardinal), 2 =

(măsura Lebesgue). Atunci 12 nu are sens. Într-adevăr, fie A={ (x,x)x(0,1)}. Atunci 2(A(1,.)) =

2({1}) = ({1}) = 0 2(A(1,.))d1(1) = 0d1 = 0 iar 1(A(.,2)) = 1({2}) = 1

1(A(.,2))d2(2) = 1d2 = 2(2) =1 deci 12(A) este egal cu 0 după un algoritm şi cu 1 după celălalt.

Observaţie. Dacă 1 şi 2 sunt chiar probabilităţi, = 12 este o măsură pe spaţiul produs cu

proprietatea că prj-1 = j j=1,2. Spunem că j sunt repartiţiile marginale ale lui . Pot exista măsuri

diferite pe k1k2 cu aceleaşi repartiţii marginale, ceea ce nu este nimic surprinzător. Pasul 2. J este finită. J=[1,2,...,n}

Propoziţia 5. Produsul unei familii finite de măsuri -finite are sens. Deci există o unică măsură [J] pe k

cu proprietatea că

(16) [J] (A1A2...An) =1(A1)2(A2)...n(An) Aj kj, 1jn.

Mai mult, dacă J = J1 J2 cu J1 şi J2 disjuncte atunci

(17) [J](A) = ( 1A(1, 2)d[J1] (1))d[J2](2) = ( 1A(1, 2)d[J2] (2))d[J1](1).

(unde 1[J1]:= j J1

j, 2 [J2] := j J2

j iar A k)

adică [J] = [J1][J2]

Demonstraţie. Prin inducţie după n. Definim [{1,2,...,n}] = [{1,2,...,n-1}]n . Definită astfel, [J] este o

măsură cu proprietatea (16). Fie apoi măsura = [J1][J2+. Atît *J+ cît şi sunt măsuri -finite care

coincid pe mulţimi de tipul A = A1A2...An deci şi pe algebra generată de ele. Din teorema

Caratheodory ştim că dacă două măsuri -finite coincid pe o algebră, atunci ele coincid şi pe -aşgebra

generată de ea . În cazul nostru această -algebră este chiar k . Deci [J] = [J1][J2] de unde (17) apare ca un caz particular al teoremei lui Fubini.

Notaţie. Dacă toate spaţiile măsurabile (j,kj,j)jJ coincid cu un acelaşi spaţiu cu măsură (,k,) atunci

spaţiul cu măsură produs se va nota (J,kJ, J) sau încă (n,kn, n) cu n =J. În cazul particular în care

(,k,) = (,b(),) cu măsura Lebesgue, măsura n se numeşte măsura Lebesgue n-dimensională.

Dacă n=1 măsura Lebesgue (A) este “lungimea” unei mulţimi A. Dacă n=2, 2(A) este “aria” lui A iar dacă

n=3, 3(A) este “volumul” lui A. Teorema Fubini ne arată că pentru a calcula volumul trebuie să integrăm lungimile secţiunilor verticale în “corpul” A sau, ceea ce ne va da acelaşi lucru, să integrăm ariile secţiunilor orizontale. Mai precis

(18) 3(A) =

( 1A(x,y,z)d(x)) d2(y,z) = ( 1A(x,y,z)d2(y,z))d(x)

Observaţie. Să presupunem că j sunt toate probabilităţi. Fie I J. Să numim aplicaţia prJ: [J] dată

prin prJ() = I (restricţia lui la I ) proiecţia pe componentele din I. O consecinţă imediată a lui (17) este

(19) (prI)-1 = [I]

Într-adevăr, dacă A j I kj atunci prI

-1(A) = A[J\I] ( prI-1(A)) = [I](A)[J\I]([J\I]) = [I](A).

Pasul 3. J este numărabilă. J = {1,2,....}. Produsul unui şir de spaţii probabilizate.

Aceasta nu este o extindere imediată a cazului finit. De altfel, în marea majoritate a cazurilor un

şir de mulţimi nu se poate înmulţi deoarece în egalitatea ( j J

Aj) = j J

j(Aj) singurul sens al

termenului drept este limn 1 j n

j(Aj), limită care nu are motiv să existe în general. Totuşi, dacă

măsurile j sunt probabilităţi, atunci limita există. Vom arăta că produsul unui şir de probabilităţi are sens şi este o probabilitate pe spaţiul produs. Ideea de bază a construcţiei este conţinută în relaţia (19).

Pentru fiecare I J notăm cu ([I], k*I+) spaţiile măsurabile ( j I

j,j I kj ). Dacă I este finită

notăm [I] probabilitatea j Ij despre care ştim că există conform pasului anterior. Fie IK.

Definim proiecţiile de la K la I prI

K

:[K] [I] prin prI

K

() = I. În cazul foarte important cînd

I=,1,2,...,n- proiecţiile prI se vor nota n iar probabilităţile [{1,2,...,n}] le vom nota cu n . În acelaşi caz,

dacă A şi x *I+ secţiunea în A prin x se va nota cu A(x):

(20) A(x) = { [{n+1,n+2,...,}] (x,) A }

Deci x[{1,2,...,n}] A(x) [{n=1,n+2,...}].

Definiţie. O mulţime de tipul A = A1A2...Ann+1n+2... = n-1(A1A2...An) se numeşte bloc.

Algebra generată de blocuri se notează cu A. O mulţime de tipul A= prI-1(B) cu B k*I+ se numeşte

cilindru. Evident că orice bloc este şi cilindru.

Lema 6. (i) Dacă I K atunci prI

K

prK = prI. Dacă A= prI-1(B) cu B k[I] atunci

(21) A = prK-1(B[K\I])

(ii). Mulţimea c a tuturor cilindrilor este o algebră.

(iii). Dacă A este un cilindru şi are proprietatea că A(n()) n1, atunci A.

(iv). A c şi (A)=(c )= k

Demonstraţie. (i).Fie . Atunci prK()= K prI

K

(prK()) = prI

K

(K) = (K)I = I =prI(). Atunci

A = (prI

K

prK)-1(B) = (prK)-1((prI

K

)-1(B)) = prK-1(B[K\I]).

(ii).Fie A = prI-1(B) şi A’ =prK

-1(D) doi cilindri. Fie n destul de mare ca I K ,1,2,...,n-. Atunci, aplicînd

primul punct, putem scrie A = n-1(B*) şi A’=n

-1(C*) cu B*, C* k[1,2,..,n]. Rezultă atunci că A A’ =

n-1(B*C*) adică AA’ este de asemenea un cilindru. Faptul că Ac este cilindru este imediat deoarece

(prI-1(B))c = prI

-1(Bc).

(iii). Fie n suficient de mare ca A să se poată scrie sub forma A=n-1(B) cu B k[1,2,..,n]. Rezultă că A

n() B (1,2,...,n) B. Fie atunci k > n. Dacă A(k()) rezultă că există (yj)j>k ca

(1,2,...,k,yk+1,yk+2,...) A (1,...,n) B A. (iv) este evident.

Definim acum probabilitatea produs =j Jj pe algebra c a cilindrilor astfel

(22) A c, A= prI-1(B) cu B k[I] (A) = [I](B)

Lema 7. Relaţia (22) defineşte o măsură finit aditivă pe c. Ea are proprietatea că

(23) I finită (prI)-1 = [I]

Demonstraţie. Trebuie arătat că definiţia (22) nu este contradictorie, adică dacă A se scrie în două feluri

A = prI-1(B)= prK

-1(C) [I](B)=[K](C). Fie n destul de mare ca I K {1,2,...,n}. Din (21) A se scrie sub

forma A=n-1(B*) = n

-1(C*) cu B*= B[{1,2,...,n}\I], C* = B[{1,2,...,n}\K+. Cum funcţia n-1: p

([{1,2,...,n}]) p() este injectivă, avem că B* = C*. Aplicînd atunci (19) cu n în loc de găsim că

n(B*) = [I](B) iar n(C*) = [K](C) . Cum B*=C* rezultă că [I](B)=[K](C) deci este bine definită.

Fie acum [n,] = *,n,n+1,....-+ şi a n algebra generată de blocurile spaţiului [n,+ Aşa cum

am definit măsura finit aditivă pe a definim şi măsurile finit aditive n pe a n . Deci 1= şi

(24) I {n,n+1,..} finită n( j I

Aj) = j I

j(Aj) Aj k j

Lema 8. Dacă A a atunci

(25) (A) = n+1(A(1,2,...,n)) dn(1,2,...,n)

pentru orice n 1.

Demonstraţie. Mulţimea A este o reuniune finită de blocuri disjuncte. Cum n+1 este o măsură finit

aditivă pe a n+1 este suficient de verificat (25) pentru blocuri. Fie deci A=A1A2...Akk+1... . Apar două cazuri. Dacă n < k atunci

A(1,...,n) =

A A daca A j n

daca j n ca A

n k k j j

j j

1 1 1

1

... ...

deci n+1(A(1,2,...,n)) =

n+1(An+1)...k(Ak) 1 1 1

1 21 2A A A nn ...

de unde rezultă că n+1(A(1,2,...,n))

dn(1,2,...,n) = n+1(An+1)...k(Ak) n(A1...An) = j

k

1 j(Aj) = (A).

Dacă n k atunci n+1(A(1,2,...,n)) = 1 1 1

1 21 2A A A kk ...

şi rezultatul este acelaşi.

Corolar 9. Dacă A a n atunci

(26) n(A) = n+1(A(n)) dn(n)

Demonstraţie. Este un caz particular al lui (25) pentru n=1.

Propoziţia 9. (Kolmogorov). este -aditivă pe a. Demonstraţie. Vom verifica criteriul lui Kolmogorov din Cursul 3. Fie (An)n un şir descrescător de

mulţimi din a cu proprietatea că n

1

An = . Trebuie să arătăm că limn (An) = 0. Vom demonstra

aceasta prin absurd. Să remarcăm că şirul ((An))n este descrescător. Dacă limita sa nu ar fi egală cu 0, ar

trebui ca să existe un >0 ca (An)> n 1. Din (25) avem

(27) (An) = 2(An (1)) d1(1) n1

Şirul (2(An (1)))n este de asemenea descrescător, deci din teorema Beppo-Levi

limn (An) = limn 2(An (1)) d1(1) > 0 . Atunci există 11 ca limn 2(An (1)) > 0. Aplicînd

acum (26) găsim că limn 2(An (1)) = limn 3(An (1,2)) d2(2) =

limn 3(An (1,2)) d2(2) > 0 deci există un 22 ca limn 3(An (1,2)) > 0. Aplicînd

succesiv (26) găsim un şir =(k)k1 ca

(28) limn k+1(An (1,2,...,k)) > 0 k 1

deci k+1(An (1,2,...,k)) > 0 k,n 1 de unde

(29) An (1,2,...,k) k,n 1

Toate mulţimile An sunt cilindri. Din Lema 6(iii) rezultă atunci că An n deci n

1

An. Înseamnă

că n

1

An ceea ce contrazice ipoteza.

Teorema 10. Există o probabilitate pe spaţiul măsurabil (,k) cu proprietatea că ( j J

Aj) = j J

j(Aj) Aj kj deci în cazul J=,1,2,...- probabilitatea produs =j Jj există.

Demonstraţie. Din Teorema lui Caratheodory măsura definită pe algebra generată de blocuri din

Propoziţia 9 se extinde în mod unic la o probabilitate pe k. Dacă (Aj)j este un şi de mulţimi, Aj kj atunci

( j J

Aj) = (

( ... )An

jj n

n1

1

1

) = limn

( ...)A jj n

n1

1

(deoarece intersecţia este

descrescătoare) = limn

( )A jj n1

(deoarece

( ...)A jj n

n1

1

sunt blocuri) = j J

j(Aj).

Produs tensorial de densităţi.

Ne va interesa acum răspunsul la următoarea întrebare: să presupunem că (i)1in sunt măsuri

-finite pe spaţiile măsurabile (i, k i). Fie (i)1in alte măsuri pe aceleaşi spaţii astfel ca i<<i 1in.

Fie =1...n şi = 1...n . Mai este absolut continuă faţă de ? Dacă da, care este

densitatea d/d?

Propoziţia 11. Fie i=di/di. Atunci << şi dacă notăm cu densitatea d/d, atunci

(30) (1,2,...,n) = 1(1)2(2)...n(n) (mod )

Demonstraţie. Vom arăta că = de unde va rezulta şi că << datorită unicităţii produsului tensorial.

Fie A k1 k2 ...k n. Atunci, din definiţia produsului măsurilor avem (A) =

1Ad1...n =

...

1A(1,2,...,n)d1(1)d2(2)...dn(n) (din teorema Fubini)

=

...

1A(1,2,...,n)d(11)(1)d(22)(2)...d(nn)(n)

=

...

1A(1,2,...,n)1(1)2(2)...n(n) d1(1)d2(2)...dn(n) (căci întotdeauna

fd() =

fd ) =

1Ad1...n = ()(A).

Definiţie. Funcţia definită la (30) se numeşte produsul tensorial al funcţiilor i.

Caz particular : toate spaţiile probabilizate coincid.Shiftul.

Vom nota atunci spaţiul probabilizat produs cu (,k,). Probabilitatea o vom nota şi cu P.

Definiţie. Funcţia t : dată de

(31) t(1,2,....) = (2,3,...) (sau prin proiecţii : prjt = prj+1 j 1)

se numeşte shift.

Propoziţia 12. Shiftul este (k, k) măsurabil şi invariază măsura P: Pt-1=P. Mai mult, shiftul t este o

aplicaţie ergodică.

Demonstraţie. Fie A = A1A2...An.... un bloc. Atunci t-1(A)=A1A2...An... deci

preimaginea oricărui bloc este de asemenea un bloc. Rezultă că t-1(a) k, de unde rezultă că avem

t-1(k) = t-1((a)) = (t-1(a)) ( k) = k. Deci dacă A este un bloc, Pt-1(A)=()(A1)...(An) =

(A1)...(An) = P(A). Cele două probabilităţi, P şi Pt-1 coincid pe blocuri ; acestea formează un sistem de

generatori stabil la intersecţii finite pentru k deci P = Pt-1. Arătăm acum că t este ergodică. Din

exerciţiul 1 curs 8 rezultă că este suficient de verificat că

(32) E,F blocuri

lim

( ) ( ) ... ( )

n

nP F E P F t E P F t E

n

1

1 = P(E)P(F)

ceea ce rezultă imediat din faptul că P(Ft-n(E)) devine chiar egal cu P(E)P(F) dacă n este destul de

mare.

Corolar 12. Fie f : o funcţie din L1(P). Atunci

(33) lim

...

n

nf f t f t

n

1 = fdP

convergenţa avînd loc atît aproape sigur cît şi în L1(P).

Demonstraţie. Este un caz particular al teoremei ergodice (Corolar 12) din cursul alterior.

Exerciţii.

1. Dacă f : 12 nu este 12 integrabilă, se poate ca integralele iterate să nu coincidă. Fie

1=2=[0,) şi 1 = 2 = = măsura Lebesgue. Fie d1, d2 şi d3 semidreptele paralele cu prima bisectoare a

primului cadran care pleacă din punctele (1,0), (0,0) şi (0,1). Definim f = 1A - 1B unde A este fîşia

cuprinsă între d1 şi d2 iar B este cea cuprinsă între d2 şi d3. Atunci

( f(x,y)d(y))d(x) = -.5 iar ( f(x,y)d(x))d(y) = .5

2. Să se arate că dacă , sunt măsuri -finite pe spaţiile măsurabile (X,b), (Y, c) şi f:X , g:Y

sunt măsurabile şi pozitive, atunci fgd() = ( fd)( gd). Generalizare.

Curs 10. Spaţii probabilizate.

Vom aplica acum cunoştinţele acumulate despre un spaţiu cu măsură în cazul unui spaţiu

probabilizat (,k,P) . Mai întîi să trecem în revistă ce le individualizează printre spaţiile cu

măsură. Ca o problemă de notaţie: variabilele aleatoare se noteză mai frecvent cu litere

majuscule (X,Y,Z...) decît cu minuscule (f,g,...). Noi vom folosi ambele notaţii.

Proprietatea 1. Operatorul de integrare f fdP se notează cu Ef sau, dacă este pericol de confuzie asupra probabilităţii P, cu Epf. El are proprietatea fundamentală că invariază

constantele : Ea = aP() = a a. Deci toate constantele sunt în L1(,k,P). De aceea

(1) a f b (mod P) a Ef b adică Ef este o valoare situată între essinf (f) şi esssup(f) unde (2) essinf(f) = sup{a f a (mod P)}, esssup(f) = inf{b f b(mod P)}

Acesta este un motiv pentru care Ef se numeşte media (teoretică) a variabilei aleatoare f. Notaţia E provine de la “Expectation” (în engleză), “Esperance” (în franceză) sau “Erwartungswert” (în germană) şi semnifică “valoarea medie aşteptată / prezisă“ pentru f. Alt motiv pentru a gîndi Ef ca o medie este că dacă f este o variabilă aleatoare simplă scrisă în forma

canonică f =x j A

j

n

j1

1

(deci Aj ={f = xj} ) atunci Ef = j

n

1 xjP(Aj) este într-adevăr o

medie ponderată a valorilor (xj)j deoarece j

n

1 P(Aj) = 1.

Proprietatea 2. Inegalitatea mediilor. Dacă 1p<q atunci ║f║p ║f║q. Rezultă imediat din

inegalitatea lui Hölder : (║f║p) p = E(fp)║fp

║q/p║1║q/(q-p) = (E(fq))p/q ║f║p ║f║q (în

cazul q<). Dacă q= este o consecinţă imediată a lui (1). O consecinţă a acestei inegalităţi este

că spaţiile vectoriale (Lp(,k,P))1p formează o familie descrescătoare. Dacă există o infinitate de mulţimi de probabilitate strict pozitivă disjuncte, atunci aceste spaţii sunt toate diferite iar

intersecţia lor este diferită de L(,k,P). Într-adevăr, există atunci un şir de mulţimi (An)n1

disjuncte ca 0 < P(An)<

1

n ! . Atunci pentru orice 1p<q< variabilele aleatoare f =

1

2

11

A

n

npn

n

P A

este în Lp(,k,P) dar nu în Lq(,k,P) iar variabila aleatoare f = n A

nn

11

este în toate spaţiile

Lp(,k,P) cu p dar nu în L(,k,P).

Definiţie. Momente. Fie X o variabilă aleatoare şi n un număr natural. Dacă E(Xn) < spunem că X are moment de ordin n. Numărul E(Xn) se numeşte momentul de ordin n al lui X;

E(Xn) este momentul absolut de ordin n al lui X; E((X-EX)n) este momentul centrat de ordin n

iar E(X-EXn) este momentul centrat absolut de ordin n. Inegalitatea mediilor arată că dacă o

variabilă aleatoare are moment de ordin n atunci are momente de orice ordin k n. Există

cazuri în care cunoaşterea momentelor determină cunoaşterea repartiţiei PX-1 (problema momentelor) dar nu insistăm aici.

Proprietatea 3. Inegalitatea lui Jensen. Fie X L1(,k,P) o variabilă aleatoare şi I un interval

deschis cu proprietatea că Im(X) I. Fie f : I o funcţie convexă. Atunci

(3) f(X) L1(,k,P) Ef(X) f(EX) Pentru demonstrarea proprietăţii 3 avem nevoie de unele rezultate privind funcţiile convexe peste care cititorul familiar cu noţiunea de convexitate poate să treacă.

Definiţie. Fie I un interval deschis. Funcţia f : I se numeşte convexă dacă

(4) 0p1, x,yI f((1-p)x+py) (1-p)f(x) + pf(y)

Lema 1. Fie f : I convexă. Atunci

(i). Funcţia da: I \ {a} dată prin relaţia da(x) =

f x f

x a

( ) (a)

este crescătoare. În particular,

da(a-0) da(a+0). (ii). Funcţia f este continuă, deci măsurabilă Borel.

(iii). Pentru orice m [da(a-0),da(a+0)+ funcţia h(x) = f(a) + m(x-a) are proprietatea că h f.

(iv). Fie f = { h:I h este afină şi h f } . Atunci f(x) = sup { h(x)h f }

Demonstraţie. (i). Fie x1< x2 . Arătăm că da(x1)da(x2). Pot apare trei situaţii.

Cazul 1. a x1 < x2. Fie p=

x a

x a

1

2

. Atunci x1=(1-p)a + px2 deci

da(x1) =

f x f

x a

( ) (a)1

1

=

f p px f

p x a

(( )a ) (a)1 2

2

1 2

2

p f a pf x f a

p x a =

f x f

x a

( ) (a)2

2

= da(x2).

Cazul 2. x1 < x2 a. Analog, dar acum x2=(1-p)x1 + pa cu p =

x x

a x

2 1

1

.

Cazul 3. x1 < a < x2. Acum a = (1-p)x1 + px2 cu p =

a x

x x

1

2 1 . Inegalitatea da(x1) da(x2) este

echivalentă cu

f a f x

a x

1

1

f x f a

x a

2

2

f a f x

p

1

f x f a

p

2

1

ceea ce este

echivalent cu f(a) (1-p)f(x1) + pf(x2) ceea ce este adevărat datorită definiţiei convexităţii.

(ii). Fie aI. Cum I este deschis, există x1, x2 I ca x1 < a < x2 . Fie x (x1, x2), x a. Din (i), ştim că

da(x1) da(x) da(x2) adică

f x f a

x a

f x f a

x a

f x f a

x a

1

1

2

2

. Notînd cu A expresia din

stînga şi cu B pe cea din dreapta găsim că x (x1, x2), xa A

f x f a

x a

B deci pe intervalul (x1, x2) funcţia f este chiar lipschitziană deci continuă.

(iii). Fie m ca în enunţ. Inegalitatea h(x) f(x) este echivalentă cu f(x)-f(a) m(x-a). Dacă x a

aceata este echivalentă cu da(x) m ceea ce este adevărat deoarece m da(a0) da(x) . Dacă x <

a inegalitatea este echivalentă cu da(x) m care rezultă din nou din (i): da(x)da(a-0)m.

(iv).Este evident deoarece h de la (iii) are proprietatea că ha=f(a). x (x1, x2)

Demonstraţia inegalităţii lui Jensen. Folosim ultimul punct al Lemei 1. Avem

Ef(X) = E (sup { h(X)h f }) sup {E( h(X))h f }. Dar dacă h este afină, atunci h(x)=ax+b cu

a,b E(h(X)) = E(aX+b) = aEX + b (datorită liniarităţii operatorului de integrare şi

Proprietăţii 1) = h(EX). Înseamnă că sup {E( h(X))h f } = sup { h(E(X))h f } = f(EX) (datorită

lui (iv) din Lema 1).

Proprietatea 4. Dispersia. Proprietatea de optim a mediei.

O consecinţă a inegalităţii lui Jensen este că E(X2) (EX)2 pentru orice variabilă

aleatoare X L2(,k,P) (nu avem decît să luăm funcţia convexă f(x)=x2 ). În acest caz cantitatea

(4) (X) = ║X-EX║2

se numeşte dispersia lui X. Variabilele aleatoare din L1(,k,P) se numesc variabile aleatoare

care au medie iar cele din L2(,k,P) sunt variabile aleatoare care au dispersie. Pătratul

dispersiei se numeşte varianţa lui X şi se notează Var(X). Ţinînd seama că operatorul de medie

invariază constantele este imediat de verificat că

(5) Var(X) = E((X-EX)2) = E(X2-2XEX +(EX)2) = E(X2) - (EX)2

O întrebare este următoarea: dacă am înlocui X cu o constantă a (la urma urmei X fiind

variabilă aleatoare nu putem şti ce valoare va lua!), care este “constanta cea mai bună” la care

putem spera? În limbaj natural : care este constanta “optimă” ? Evident că răspunsul depinde

de criteriul de optim ales. Dacă îl alegem să fie norma din L2 atunci întrebarea are următorul

sens precis:

Să considerăm funcţia f: dată de f(x) = ║X-x║2. Care este constanta x pentru care f este

minimă?

Propoziţia 2. Funcţia f de mai sus îşi atinge minimul în x=EX şi fmin = (X).

Demonstraţie. Funcţia f îşi atinge minimul o dată cu f2 iar f2 este o funcţie de gradul 2, f2(x) =

x2-2xEX + (EX)2. Deci xmin = EX.

Observaţie. Din punct de vedere terminologic, “dispersie” înseamnă “împrăştiere în jurul valorii

medii”. Formula (4) este un candidat pentru a măsura acest lucru deoarece (X)=0 X =

EX (mod P) deci X este aproape sigur constantă. Singurele variabile aleatoare cu dispersie 0 sunt

constantele (mod P). În teoria probabilităţilor suntem interesaţi de a măsura “cît de aleatoare

este o variabilă aleatoare”. Dispersia este un instrument de măsură util (nu şi unicul).

Propoziţia 3. Inegalitatea lui Cebîşev. Fie X o variabilă aleatoare care are dispersie. Atunci

(6) P(X-EX>a)

2

2

X

a

deci dacă a = k(X) avem

(7) P(X-EX>k(X))

12k

Demonstraţie. 2(X) = (X-EX)2dP (X-EX)2 1X EX a dP a2 P(X-EX>a).

Deci putem estima probabilitatea ca X să se abată de la media sa cu k dispersii. Inegalitatea lui Cebîşev, fiind foarte generală, este şi cea mai slabă. Pentru repartiţii speciale folosite în statistică, ea se poate îmbunătăţi foarte mult. De exemplu, pentru k=3 (7) devine

P(X-EX>3(X))1/9 11.1%. La multe repartiţii se poate coborî acest prag pînă la 1%. Oricum, inegalitatea Cebîşev arată că o variabilă aleatoare este cu atît mai “previzibilă” cu cît dispersia sa este mai mică. De aceea calculul dispersiei unei variabile aleatoare ce trebuie studiată este printre primii paşi care trebuie făcuţi Observaţie. Să revenim la inegalitatea lui Jensen. Şi aici dispersia are o anumită semnificaţie. Să presupunem că funcţia convexă f este derivabilă de două ori . Atunci este interesantă şi următoarea demonstraţie a inegalităţii lui Jensen care ne arată cît de mare este abaterea între f(EX) şi E(f(X)).

Propoziţia 4. Presupunem că X are dispersie . Fie I un interval deschis ca Im(f) I. Să

presupunem că f:I este derivabilă de două ori şi m f ”(x) M . Atunci

(8) m 2(X) Ef(X) - f(EX) M2(X)

Demonstraţie. Fie a=EX. Dezvoltăm în serie pe f în jurul lui a: f(x)=f(a)+f’(a)(x-a)+f”((x))(x-a)2/2

cu (x) undeva între a şi x. Atunci f(X) = f(a) + f’(a)(X-a)+f”((X))(X-a)2/2. Integrînd această

identitate după măsura P găsim Ef(X) = f(a) + f’(a)E(X-a) + E(f”((X))(X-a)2)/2. Cum a = EX al doilea

termen dispare şi găsim că Ef(X)-f(a) = E(f”((X))(X-a)2)/2. Restul rezultă din: observaţia că

m(X-a)2 f”((X))(X-a)2 M(X-a)2.

Repartiţia unei variabile aleatoare. Funcţia de repartiţie.

Fie X o variabilă aleatoare. Probabilitatea X = PX-1 se numeşte repartiţia lui X. Orice

repartiţie, fiind o măsură Stieltjes, are o funcţie de repartiţie definită în cursul 4: F(x) =FX(x) =

X((-,x+). Ea se numeşte, prin abuz de limbaj, funcţia de repartiţie a variabilei aleatoare X.

Deci

(9) FX(x) = P({X x})

În cazul în care X << (măsura Lebesgue) şi X = dX/d, atunci X se numeşte, tot prin abuz

de limbaj, densitatea variabilei aleatoare X. Se mai spune şi că X are densitate. Este evident că

dacă FX este derivabilă pe porţiuni, derivata F’X poate fi luată ca X.

Ca un mijloc de cverificare a calculelor, este utilă următoarea observaţie: dacă este o

densitate de probabilitate, atunci trebuie ca

(x)dx = 1.

Observaţie. În problemele de teoria probabilităţilor şi statistică nu ne interesează forma

concretă a variabilei aleatoare X şi nici spaţiul probabilizat (,k,P) ci numai funcţia sa de repartiţie. Dacă o cunoaştem spunem că X este probabilistic determinată . De obicei acesta este un caz rar. Cunoaşterea lui FX implică posibilitatea calculelor în care este implicată X, prin formula de transport.

Propoziţia 5. Fie X o variabilă aleatoare, X repartiţia sa şi F funcţia sa de repartiţie. Fie f: o funcţie măsurabilă.

(i). E(f(X)) = fdX ;

(ii). Dacă f este continuă şi f(X) este integrabilă, atunci E(f(X)) =

f(x)dF(x)

unde

f(x)dF(x) înseamnă

lima ,b a

b

f(x)dF(x) (integrala Stieltjes-Riemann improprie) iar

a

b

f(x)dF(x) înseamnă lim (f(0)(F(x1)-F(x0))+ f(1)(F(x2)-F(x1))+... +f(n-1)(F(xn)-F(xn-1))) adică limita

sumelor Stieltjes-Riemann (a=x0<x1<....<xn=b este o diviziune a intervalului compact [a,b],

j[xj,xj+1+ ) cînd norma diviziunii tinde la 0, în sensul studiat în anul I.

(iii). EX =

xdF(x) şi 2(X) =

(x-EX)2 dF(x)

(iv). Dacă X << (măsura Lebesgue) şi X = dX/d atunci Ef(X) = fX d; dacă, în plus f şi

X sunt continui pe porţiuni, atunci Ef(X) =

f(x)X(x)dx în sensul integralei Riemann

obişnuite. Deci în acest caz se obţine formula mai simplă

EX =

xX(x)dx şi 2(X) =

(x-EX)2 (x)dx.

(v). Dacă X este discretă, X = p j x

j 1j

atunci Ef(X) =

p j

j 1

f(xj). În particular, EX =

p j

j 1

j iar

2(X) =

p j

j 1

(j-EX)2. De obicei, în loc de notaţia X =

p j x

j 1j

se preferă notaţia mai intuitivă X

x x x

p p p

1 2 3

1 2 3

...

...

Demonstraţiile se bazează pe formula de transport şi pe egalitatea între integrala Lebesgue şi cea Stieltjes-Riemann pentru funcţii mărginite şi continui pe porţiuni. Sunt lăsate ca exerciţii.

O regulă de calcul a momentelor pentru variabile aleatoare cu valori întregi nenegative.

Funcţia generatoare de momente.

Vom presupune aici că X

0 1 2

0 1 2

...

...p p p

. Funcţia X :[0,1] dată prin

(10) X (t) = E(tX) se numeşte funcţia generatoare a lui X. (Convenţie : 00 = 1 ! ).

Propoziţia 6. Fie X o variabilă aleatoare cu valori numere naturale şi = X funcţia sa

generatoare. Atunci are următoarele proprietăţi:

(i). 0 t 1 (t) = n

0 pntn deci (0) = p0 = P(X=0), (1) = 1 .

(ii). este convexă, crescătoare, şi analitică pe [0,1].

(iii). EX = ‘(1), E(X2) = “(1) + ‘(1), 2(X) = “(1) + ‘(1) - (‘(1))2 (unde derivatele înseamnă derivatele la stînga)

Demonstraţie. (i): (t) = E( n

0 tn1{X=n}) = n

0 E(tn1{X=n}) (Beppo-Levi !) = n

0 tnP(X=n) =

n

0 pntn . Deci (1) = n

0 pn = 1 de unde vedem că t = 1 este în interiorul domeniului de

convergenţă al seriei de puteri . (ii) şi (iii): Din anul I se ştie că o serie de puteri se poate deriva

termen cu termen în domeniul său de convergenţă. Deci ‘(t) = n

1 npn tn-1, “(t) = n

2

n(n-1)pntn-2. Înseamnă că ‘(1)= n

0 npn = EX (din Propoziţia 5(v)) etc.

Variabile aleatoare pozitive. Metodă de calcul a momentelor.

Prezentăm o aplicaţie spectaculoasă a teoremei lui Fubini, care ne permite să înlocuim

integrala Stieltjes-Riemann cu integrala Riemann, care este mai uşor de folosit.

Fie X o variabilă aleatoare pozitivă, F funcţia sa de repartiţie şi f:*0,) o funcţie

derivabilă cu derivata continuă cu proprietatea că f(X) are medie. Fie de asemenea = PX-1

repartiţia lui X.

Propoziţia 7. Cu notaţiile de mai sus avem

(11) Ef(X) = f(0) + 0

f’(f)(1-F(t))dt unde integrala este integrală Riemann improprie.

Demonstraţie. Din formula Leibniz - Newton f(x)-f(0) = 0

x

f’(t)dt = f’1[0,x]d (pentru funcţii

contiunui integrala Riemann coincide cu integrala Lebesgue) = f’1[0,x)d (deoarece măsura

Lebesgue neglijează punctele) . Apoi, din formula de transport Ef(X) = f(x)d(x) . Înlocuind pe

f(x) cu f(0)+ f’1[0,x)d găsim f(x)d(x) = ( f(0)+ f’1[0,x)d)d(x) = f(0) + (

f’1[0,x)d)d(x)

= f(0) + f’1Ad cu A ={(t,x)0t<x, x0} (teorema Fubini)

= f(0) + ( f’(t)1[0,x)(t)d(x))d(t) (am inversat ordinea de integrare conform teoremei Fubini)

= f(0) + f’(t)( 1[0,x)(t)d(x))d(t) = f(0) + f’(t)( 1(t,)(x)d(x))d(t) (deoarece

1[0,x)(t) = 1 t<x x>t 1(t,)(x) = 1 )

= f(0) + f’(t)((t,))d(t) = f(0) + f’(t)(1-F(t))d(t)

= f(0) + 0

f’(f)(1-F(t))dt (am înlocuit integrala Lebesgue cu integrala Riemann). Corolar 8. Cazuri particulare. Dacă păstrăm notaţiile din propoziţia anterioară, atunci

(12) EX = 0

(1-F(t))dt = 0

P( X>t )dt

(13) EX = 0

(P(X>t) + P(X<-t))dt

(14) E(X2) = 0

2tP(X>t)dt

Demonstraţie. (12) este (11) cu f(t)=t ; (13) este (12) unde am înlocuit variabila aleatoare X cu

X şi am folosit faptul evident că P(X>t) = P(X>t) + P(X<-t). În sfîrşit, (14) este (11) cu f(t)=t2. Interpretare geometrică. Analizînd formula (12) se vede că în cazul unei variabile aleatoare pozitive EX este aria cuprinsă între graficul lui F, axa Oy şi dreapta y=1.

Mediana. Proprietatea de optim a medianei.

Analizînd Proprietatea 4, ne putem pune întrebarea dacă nu cumva, schimbînd criteriul

de optim nu există alte constante “mai bune” decît media. Într-adevăr, aşa stau lucrurile. Dacă

vom considera criteriul de optim ca fiind ║.║1 în loc de ║.║2 vom găsi altă caracteristică

numerică a unei variabile aleatoare : mediana.

Fie X o variabilă aleatoare. Considerăm funcţia h: dată de

(15) h(t) = ║X-t║1 = E(X-t)

Cum h(t)-h(s) = ║X-t║1-║X-s║1 ║(X-t)-(X-s) = t-s, funcţia h este continuă . Ne

interesează minimul lui h şi, mai ales, unde se atinge.

Propozţia 9. Fie a=sup{t F(t) < 1/2 - şi b = inf,t F(t) > 1/2 }

(i).Pe intervalul (-,a) funcţia h scade iar pe intervalul (b,) creşte.

(ii).Dacă a=b atunci a este unicul punct de minim al lui h. El are proprietatea că F(a)=1/2.

(iii).Dacă a<b atunci F(t)=1/2 pentru orice a t b .

Demonstraţie. Fie repartiţia lui X. Atunci

h(t) = x-td(x) = (t-x)1(-,t](x)d(x) + (x-t)1(t,)(x)d(x)

= tF(t) - x1(-,t ](x)d(x) + x1(t,)(x)d(x) - t(1-F(t)) =

= 2tF(t) - t - EX + 2 x1(t,)(x) d(x) (căci EX = x1(-,t](x)d(x) + x1(t,)(x)d(x) )

Fie acum s < t. Atunci h(t)-h(s) = 2tF(t) - 2sF(s) -(t-s) - 2( x1(s,)(x) d(x) - x1(t,)(x) d(x)) =

2F(t)(t-s) + 2s(F(t)-F(s)) - (t-s) - 2 x1(s,t](x) d(x) (am scăzut şi am adunat 2sF(t)) = (2F(t)-1)

(t-s) + 2s(F(t)-F(s)) - 2 x1(s,t](x) d(x) de unde, cum F(t)-F(s) = ((s,t]) = 1(s,t](x) d(x) rezultă

(16) s < t h(t) - h(s) = (2F(t)-1) (t-s) +2 (s-x)1(s,t](x) d(x) Calcule analoge, dar cu artificiul “scade şi adună 2tF(s)” ne duc la

(17) s < t h(t) - h(s) = (2F(s)-1) + 2 (t-x)1(s,t](x) d(x)

Dacă F(s)>1/2 atunci (17) arată că h(t)>h(s). Cu alte cuvinte pe intervalul (s,) h este crescătoare dacă ştim că F(s)>1/2. Dacă F(t)<1/2, atunci (16) ne arată că h(t)<h(s) adică h este

descrescătoare pe intervalul (-,t] dacă F(t)<1/2.

Definiţie. Mărimea M(X) =

a daca a b

a bdaca a b

2 se numeşte mediana variabilei aleatoare X. Mediana este deci cea mai bună constantă cu care putem aproxima pe X în L1(P). Un avantaj al

medianei este că ea există întotdeauna. Dezavantaje: nu este unică (dacă ab puteam alege

drept M(X) orice număr c*a,b+ şi se lucrează mai greu cu ║.║1 decît cu ║.║2 (operaţiile cu modul sunt întotdeauna mai complicate decît cele care implică pătrate. Pentru calculator, însă acest dezavantaj nu există. Există tendinţa ultimilor ani de a se face statistică şi cu mediana, nu numai cu media.

Curs 11. Independenţa . Legea numerelor mari.

Fie (, k, P) un spaţiu probabilizat şi (mi)iI mai multe familii de submulţimi ale lui k indexate

după o familie arbitrară de indici I.

Definiţie.Familiile de mulţimi (mi)iI sunt independente dacă pentru orice JI finită şi orice sistem de

mulţimi Aj mj j J avem că P( j J

Aj) = j J

P(Aj).

Observaţii imediate.

1. Dacă (mi)iI sunt independente şi J I atunci familiile (mi)iJ sunt de asemenea independente.

2. (mi)iI sunt independente (mi)iJ sunt independente J I finită.

3. Dacă (mi)iI sunt independente şi ni mi atunci (ni)iI sunt de asemenea independente.

4. Dacă (mi)iJ conţin toate spaţiul total şi J este finită, atunci

(1) (mi)iJ sunt independente P( j J

Aj) = j J

P(Aj) pentru orice Aj mj .

5. (mi)iI sunt independente (mi {})iJ sunt independente

Singura mai puţin evidentă este observaţia 4. Trebuie demonstrat că P( j K

Aj) = j K

P(Aj)

pentru orice K J şi Aj mj . Dar noi putem completa familia de mulţimi (Aj)jK şi pentru indici care nu

sunt în K punînd jK Aj = şi să folosim faptul că P()=1: P( j K

Aj) = P( j J

Aj) = j J

P(Aj) =(

j K

P(Aj))( j K

P()) = j K

P(Aj) . Observaţia 5 se demonstrează la fel.

-Algebre independente.

Propoziţia 1. Fie (mi)iI independente şi ( mi) U-sistemele generate de ele. Atunci (( mi))iI sînr de

asemenea independente. În consecinţă dacă mi =( mi)d, atunci ((mi))iI vor fi -algebre independente.

Demonstraţie. Conform cu Observaţia 2 este suficient să presupunem I finită. Deci I={1,2,...,n}.

Din Observaţia 5 putem presupune că mi 1 in. Fie

(2) e1 ={A1 k P(A1A2...An) = P(A1)P(A2)...P(An) Aj mj, j2}

Din ipoteză rezultă că m1 e1. Arătăm că e1 este un U-sistem. Într-adevăr e1 în mod evident. Dacă

A1 e1 atunci P(A1c A2...An) = P(A2...An \ A1A2...An) = P( A2...An) - P(A1A2...An) =

P(A2)...P(An) - P(A1)P(A2)...P(An) (căci (mi)i2 sunt independente) =(1-P(A1)) P(A2)...P(An)

= P(A1c)P(A2)...P(An) deci A1

c e1 . În sfîrşit, dacă (A1,j)j sunt disjuncte şi A1,j e1 atunci,notînd cu A1

reuniunea lor avem P(A1 A2 ...An) = j 1

P(A1,j A2...An) (căci (A1,j A2...An)j este de

asemenea un şir de mulţimi disjuncte) = j 1

P(A1,j)P(A2)...P(An) = ( j 1

P(A1,j)) P(A2)...P(An)

= P(A1)P(A2)...P(An) deci A1 e1 . În concluzie e1 este într-adevăr un U-sistem care conţine pe m1

deci conţine şi ( m1 )adică, ţinînd seama de observaţia 4 rezultă că

(3) ( m1 ), m2, m3, .... mn sunt independente. Fie acum

(4) e2 ={A2 k P(A1A2...An) = P(A1)P(A2)...P(An) Aj mj, j3, A1 ( m1 ) }

Ca mai sus se arată că e2 este un U-sistem . Din (3) rezultă că m2 e2 (m2) e2 deci

(5) ( m1 ), (m2 ), m3, .... mn sunt independente. Repetînd acest raţionament din aproape în aproape rezultă că

(6) ( m1 ), (m2 ),(m3), ....(mn ) sunt independente adică exact ce doream. Restul rezultă din Propoziţia 8 Curs 1 : U-sistemul generat de o familie stabilă

la intersecţii finite coincide cu -algebra generată.

Probabilitate condiţionată. Argument pentru cuvîntul “independent”.

Să luăm cazul cel mai simplu. m1 şi m2 au o singură mulţime : m1 ={A}, m2 ={B}. Atunci, conform

definiţiei m1 şi m2 sunt independente P(AB) = P(A)P(B). Ppropoziţia 1 ne arată că atunci şi

U-sistemele generate - deci {,A,Ac,- şi ,,A,Ac,} vor fi independente. În mod tradiţional spunem

atunci că “Evenimentele A şi B sunt independente”. Întrebarea este: ce legătură este între acest concept

matematic şi cel din limbajul obişnuit?

Definiţie. Presupunem că P(A)0. Atunci numărul P(AB)/P(A) se numeşte probabilitatea lui B

condiţionată de A şi se notează PA(B) sau P(BA).

Este evident faptul că probabilitatea condiţionată de A privită ca o funcţie PA: k [0,1] (deci

dată prin PA(B) = P(AB)/P(A) este o nouă probabilitate pe spaţiul măsurabil (,k). De ce se numeşte

aşa?

Este bine să gîndim probabilitatea unui eveniment ca o frecvenţă idealizată, un procentaj, o proporţie. Aşa o gîndesc oamenii de ştiinţă care o aplică : fizicienii, biologii, chimiştii. De exemplu “Probabilitatea ca un nou născut să fie băiat” este, mai mult sau mai puţin (discuţia este mai lungă, se va relua la cursul de statistică) raportul dintre numărul băieţilor născuţi pe glob într-un interval de timp - de exemplu o lună sau un an - şi numărul total de nou născuţi în aceeaşi perioadă (fiindcă veni

vorba, acesta este un număr inexplicabil de stabil : 50.5% - regula lui 0.5%) . Deci dacă, de exemplu, =“mulţimea nou născuţilor în ianuarie 1996”,evenimentul B = “mulţimea băieţilor nou născuţi în ianuarie

1996”, atunci P(B)=

B

. Fie acum A =“mulţimea celor nou născuţi în România în ianuarie 1996”.

Atunci AB =“mulţimea băieţilor nou născuţi în România în ianuarie 1996”. Dacă vrem să

calculăm probabilitatea ca un nou născut român să fie băiat, este firesc să calculăm raportul

A B

A

adică

A B

A

/

/

iar ultimul număr este chiar P(AB)/P(A) . Am ajuns iarăşi la P(BA), număr pe care îl citim “Probabilitatea ca un nou născut să fie băiat ştiind că/ dacă/ condiţionată de faptul că nou născutul este român ”

În acest context, ce ar însemna faptul că A este independent de B? Înseamnă că P(BA) = P(B) .

Deci A este independent de B înseamnă că P(BA) este chiar P(B). Omul de ştiinţă interpretează aceasta prin propoziţia “Cunoaşterea sau necunoaşterea lui A nu influenţează asupra lui B”. Pe exemplul

nostru cu nou născuţii, evenimentele A şi B ar fi independente dacă rapoartele

nou n scut b iat

nou n scut

şi

nou n scut b iat î n România

nou n scut î n România

nu diferă.Mai bine zis, nu diferă prea mult. Cu acest “prea mult ” începe statistica.

Asociativitatea independenţei

O proprietate fundamentală a independenţei este următoarea (asociativitatea independenţei):

Propoziţia 2. Fie (ft)tT o familie de -algebre independente. Fie (Ti)iI o partiţie a mulţimii de indici T.

Fie, în sfîrşit

(7) gi = ( t Ti

ft )

Atunci -algebrele (gi)iI vor fi din nou independente.

Demonstraţie. Pentru fiecare iI fie mi ={ t J

At J Ti, J finită, At ft }. Atunci familiile mi sunt

independente. Într-adevăr, dacă K I este finită şi Bk mk kK, atunci există mulţimile finite de indici

Jk Tk şi mulţimile At ft, t Jk astfel ca Bk = t Jk

At. Atunci P(k K

Bk) = P(k K

t Jk

At)

= P(t Jk

k K

At) = t Jk

k K

P(At) (datorită independenţei -algebrelor ft) =k K

t J k

P(At) =k K

P(Bk)

(deoarece, datorită independenţei -algebrelor P(Bk) = t J k

P(At)). Deci (mi )iI sunt independente. Pe de

altă parte mi =( mi )d în mod evident. Înseamnă că (mi) = (mi) = gi. Restul rezultă din Ppropoziţia

1.

Variabile aleatoare independente.

Definiţie. Fie (Xt)tT o familie de variabile aleatoare. Spunem că variabilele aleatoare (Xt)tT sunt

independente dacă ((Xt))tT sunt -algebre independente.

Propoziţia 3. (i). Dacă la o familie de variabile aleatoare independente adăugăm constante, vom obţine

o nouă familie de variabile aleatoare independente.

(ii). Fie (Xn)n1 un şir de variabile aleatoare. Atunci ele sunt independente dacă şi numai dacă

(8) P(X1x1,X2x2,...,Xnxn) = P(X1x1)P(X2x2)...P(Xnxn) n1, x1,...,xn

(iii). (Xn)n1 un şir de variabile aleatoare. Fie (Fn)n1 funcţiile lor de repartiţie. Atunci variabilele aleatoare

sunt independente dacă şi numai dacă

(9) P(X1x1,X2x2,...,Xnxn) = F1(x1)F2(x2)....F(xn) n1, x1,...,xn

(iv). Dacă (Xn)n sunt toate variabile aleatoare discrete şi Qn = Im(Xn), atunci ele sunt independente dacă şi

numai dacă

(10) P(X1=x1,X2=x2,...,Xn=xn) = P(X1=x1)P(X2=x2)...P(Xn=xn) n1, x1Q1,...,xnQn

(v). Fie (Xn)n1 un şir de variabile aleatoare. Să considerăm vectorul aleator X: dat prin

(11) X() = (X1(),X2(),....)

Atunci variabilele aleatoare sunt independente dacă şi numai dacă

(12) PX-1 = n 1PXn

-1 (legătura între independenţă şi probabilitatea produs)

(vi). (Xn)n1 un şir de variabile aleatoare. Fie (Ik)kK o partiţie a mulţimii numerelor naturale şi pentru

fiecare k fie fk:Ik funcţii măsurabile. Fie, în sfîrşit Yk =fk(

X n n I k ) Atunci variabilele aleatoare

(Yk)kK sunt independente. În particular, dacă fn: s]nt m[surabile, variabilalele aleatoare (fn(Xn))n1 s]nt de asemenea independente.

Demonstraţie. (i).Fie (Xt)tT o familie de variabile aleatoare şi (cs)sS o familie de constante. Considerăm

mulţimile de indici S şi T disjuncte. Fie I = S T şi Yi = Xi dacă iT, Yi = ci dacă iS. Fie J I o mulţime

finită de indici. Fie (Bj)jJ mulţimi boreliene şi A = ,Yj Bj jJ}. Dacă există jJS ca cj Bj, atunci A=

şi P(YjBj)=0 deci 0 = P() = P(A) = P(Yj Bj jJ) = j J

P(Yj Bj). Dacă, dimpotrivă, cj Bj jJS

atunci P(Yj Bj) = 1 jJS şi A = ,Yj Bj jJT} = {Xj Bj jJT- de unde, ţinînd cont de

independenţa variabilelor (Xt)tT avem P(A)= P ({Xj Bj jJT}) = j J T

P(XjBj) = j J T

P(YjBj) = j J

P(YjBj).

(ii). Să presupunem că (Xn)n1 sunt independente. Fie x1,x2,...,xn şi Aj =Xj-1((-,xj]) 1jn. Cum

-algebrele Xj-1(b()) sunt independente, P(A1A2...An)=P(A1)P(A2)...P(An),. adică exact (8). Reciproc,

să presupunem (8) devărat. Fie j ={(-,x]x- şi mn = Xn-1(j), n1. Cum mn n 1, (8) nu

înseamnă altceva decît faptul că (mn)n1 sunt independente. Din Propoziţia 1 rezultă că şi ((mn))n1 sunt

de asemenea independente. Dar (mn)d = Xn-1((j)d) = Xn

-1(j) = mn ( mn) = ( mn) = (Xn) de unde

concluzia. În ce priveşte (iii), nu este decît o reformulare utilă a lui (ii). (iv). Dac (Xn)n sunt independente, atunci este evident că (10) este adevărată : luăm mulţimile Ai =

{Xi=xi}. Reciproc, să presupunem că (10) este adevărată. Fie ci={B b()BQi este finită}. Evident că

(ci)d = ci deci (ci)=(ci) = b() (orice mulţime boreliană B este o reuniune cel mult numărabilă de

mulţimi din ci : B = B \ Q xi

x Q i

) . Deci este suficient de arătat că familiile (Xi

-1(ci))i 1 sunt

independente ceea ce este imediat: dacă mulţimile Bi Qi sunt finite, atunci

P(X1B1, X2B2,...,XnBn) = P( x B Q1 1 1

x B Q2 2 2

...x B Qn n n

{X1=x1, X2=x2,...,Xn=xn} )

= x B Q1 1 1

x B Q2 2 2

...x B Qn n n

P(X1=x1, X2=x2,...,Xn=xn)

= x B Q1 1 1

x B Q2 2 2

...x B Qn n n

P(X1=x1)P( X2=x2)...P(Xn=xn) (din (10) )

=( x B Q1 1 1

P(X1=x1))(x B Q2 2 2

P( X2=x2))...(x B Qn n n

P( Xn=xn) ) = P(X1B1)P(X2B2)...P(XnBn) şi, cum

acest lucru este valabil pentru orice n rezultă că (Xn)n sunt independente.

(v). Fie B blocul B = B1B2...Bn...... unde B1, B2, ...,Bn sunt mulţimi boreliene oarecare. Atunci

PX-1(B) = P(XB) =P(X1B1,X2B2,...,XnBn). Dacă (Xn)n sunt independente această cantitate este egală cu

P(X1B1)P(X2B2)...P(XnBn). Pe de altă parte, din chiar definiţia probabilităţii produs avem că n 1

PXn-1(B1B2...Bn...) = PX1

-1(B1) PX2-1(B2)... PXn

-1(Bn) PXn+1-1()... = P(X1B1)P(X2B2)...P(XnBn)

deci probabilităţile PX-1 şi n 1PXn

-1 coincid pe blocuri, ceea ce este suficient căci blocurile generează borelianul produs şi sunt stabile la intersecţii finite. Aceleaşi calcule arată că şi reciproc, (12) implică independenţa variabilelor aleatoare (Xn)n.

(vi). Este o aplicaţie imediată a principiului asociativităţii independenţei Corolar 4. Variabilele aleatoare (X1, X2, ..., Xn) sunt independente dacă şi numai dacă

(13) P(X1x1,X2x2,...,Xnxn) = F1(x1)F2(x2)....F(xn) x1, x2, ...,xn unde Fj sunt funcţiile de repartiţie ale lui Xj. Mai mult, condiţia (13) este echivalentă cu

(14) PX-1 = (PX1-1) (PX2

-1) ... (PXn-1)

unde X: d este vectorul X=(X1, X2, ..., Xn). În cazul particular în care variabilele aleatoare Xi admit o

densitate i (adică PXi-1=i cu măsura Lebesgue) atunci

(15) (Xi)1in sunt independente PX-1 = (12...n)n

unde n este măsura Lebesgue n-dimensională şi 1...n este produsul tensorial al densităţilor i :

(16) (12...n)(x1,x2,...xn) = 1(x1)2(x2)...n(xn)

Demonstraţie. Demonstrăm relaţia (15). Fie j = PXj-1. Din propoziţia anterioară PX-1 = 1...n iar

din Propoziţia 11 curs 9 1...n = (1)...(n) = (1...n)n.

Se poate pune întrebarea : dîndu-se un şir de repartiţii pe dreaptă, (n)n1 există oare un spaţiu

măsurabil (,k) şi un şir de variabile aleatoare independente (Xn)n1 pe astfel ca PXn-1=n n1?

Răspunsul este afirmativ.

Propoziţia 5. Fie = spaţiul şirurilor de numere reale şi k = b() borelianul produs. Fie P=n 1n. Fie

Xn = prn proiecţiile canonice. Atunci variabilele aleatoare (Xn)n sunt independente şi PXn-1 = n .

Demonstraţie. Fie n un număr natural şi (Bj)1jn mulţimi boreliene. Atunci este uşor de văzut că

mulţimea A = ,X1()B1,...,Xn()Bn}coincide cu B1B2...Bn.... de unde, din definiţia

probabilităţii produs P(A) =n 1n(A) = 1(B1)...n(Bn). Pe de altă parte PXj

-1 =(n 1n)prj

-1 = j(B) (din cursul

9) deci P(X1B1,...,XnBn) = P(X1B1)...P(XnBn) adică variabilele aleatoare (Xn)n sunt independente.

Variabile aleatoare independente şi identic repartizate. Legea numerelor mari.

Definiţie. Fie (Xn)n un şir de variabile aleatoare independente. Variabilele aleatoare (Xn)n se numesc

identic repartizate dacă PXn-1 = nu depinde de n. Notăm aceasta mai scurt prin “Xn sunt i.i.d.” (de la

independent and identically distributed).

Propoziţia 6. Pentru orice repartiţie de pe dreaptă, , există un spaţiu probabilizat (,k,P) pe care să se

poată construi un şir de variabile aleatoare i.i.d., (Xn)n astfel ca PX-1 = n 1. Fie f: o funcţie

măsurabilă cu proprietatea că f(X1,X2,...) este integrabilă. În acest caz E(f(Xn,Xn+1,....)) nu depinde de n

. Mai precis

(17) E(f(Xn,Xn+1,....)) = f d

unde este produsul probabilităţilor j = j 1. Demonstraţie. Faptul că un asemenea spaţiu probabilizat există este o consecinţă a Propoziţiei 5: de fapt

putem alege (,k,P) = (,b(), ). Fie t:

shiftul introdus în cursul 9. Deci f(t(x)) = f(x2,x3,...)

de unde f(tn-1(x)) = f(xn,xn+1,...) n1. Deducem că E(f(Xn,Xn+1,....)) = E(f(tn-1(X))) unde X este vectorul aleator (X1,X2,...). Aplicînd formula de transport găsim apoi :

E(f(tn-1(X))) = f(tn-1(X))dP = ftn-1 dPX

-1 = ftn-1 d = f d(t

n-1)-1 = f d (căci

shiftul invariază pe , după cum s-a demonstrat în cursul 9)

Teorema 7. Fie (Xn)n un şir de variabile aleatoare i.i.d. cu PXn-1 = . Fie f: o funcţie

măsurabilă cu proprietatea că f(X1,X2,...) este integrabilă. Atunci

(18)

f X X f X X f X X

n

n n1 2 2 3 1, ,... , ,... ... , ,...

f d

Convergenţa are loc atît aproape sigur cît şi în L1(,k,P)

Demonstraţie. Fie X: vectorul aleator X=(X1,X2,...). Fie sn termenul din stînga relaţiei (18). Atunci

(19) sn =

f X f t X f t X

n

n( ) ( ( )) ... ( ( )) 1

= fn(X) unde

(20) fn(x) =

f x f t x f t x

n

n( ) ( ( )) ... ( ( )) 1

, fn:

Fie a= f d. Fie E = { sn() nu converge la a- şi B = ,x fn(x) nu converge la a} .

Atunci este clar că X-1(B) = E (căci X-1(B) X() B fn(X())nu converge la a sn()nu converge

la a) deci P(E)=P(X-1(B)) = (B) . Dar shiftul t este o transformare ergodică (curs 9) deci (B) = 0 datorită

teoremei ergodice Birkhoff (Curs 8). Înseamnă că sn converge a.s. la f d. Convergenţa în L1 reazultă

din aceleaşi motive : ║sn - f d║1 = ║sn -a║1 = E(sn-a) = E(fn(X)-a) = fn-a d (formula de

transport) = ║fn - a ║1 0 din teorema ergodică. Corolar 8. Legea tare a numerelor mari. Fie (Xn)n un şir de variabile aleatoare i.i.d. şi

(21) sn =

X X ... X

n

1 2 n

Dacă X1 este integrabilă, atunci Xn EX1 atît a.s. cît şi în L1(,k,P).

Demonstraţie. Este un caz particular al Propoziţiei 8 cînd f(x1,x2,....) = x1.

Corolar 9. Fie (An)n un şir de variabile aleatoare independente avînd toate aceeaşi probabilitate. Fie fn()

={1jnAj}/n . Atunci fn P(A1) a.s. şi în L1(,k,P).

Demonstraţie. Fie Xn indicatorul lui An. Atunci (Xn)n sunt i.i.d. şi aplicăm Corolarul 8. Corolar 10. Teorema lui Glivenko. Fie (Xn)n variabile aleatoare i.i.d. şi F funcţia lor de repartiţie,

F(x)=P(X1 x) . Fie x şi

(22) Fn()(x)={1jnXj() x}/ n

Atunci Fn(.)(x) F(x) a.s. x. Mai mult, P({ x ca Fn()(x) nu converge la F(x)}) = 0.

Demonstraţie. Fie x fixat şi Yn = 1(-,x](Xn). Din Propoziţia 3(vi) variabilele aleatoare Yn vor fi de

asemenea independente. Ele sunt şi identic repartizate deoarece P(Yn=1) = P(Xnx) = F(x) n1. Mai

mult, Y1+Y2+...+Yn = {1jnXjn}=nF(.)(x) . Aplicînd legea numerelor mari variabilelor i.i.d. (Yn)n

rezult[ că Fn(.)(x) EY1 = P(Y1=1) = F(x). Pentru fiecare xQ (mulţimea numerelor naturale) sau sau x

punct de discontinuitate al lui F (adică F(x)F(x-0) ) fie Ex={Fn()(x) nu converge la F(x)}. Din cele de mai sus, toate mulţimile Ex sunt neglijabile. Fie E reuniunea lor. Cum mulţimea punctelor de discontinuitate a lui F este cel mult numărabilă şi Q este o mulţime numărabilă rezultăcă P(E)=0 . În

concluzie mulţimea E are proprietatea că E Fn()(x) F(x) xQ sau x ca F(x)F(x-0). Vom

arăta mai mult, şi anume că E Fn()(x) F(x) x ceea ce va încheia demonstraţia. Fie deci

x oarecare. Dacă x este raţional sau punct de iscontinuitate al lui F nu avem ce demonstra.

Presupunem deci că x este un punct de continuitate al lui F. Fie atunci >0 arbitrar şi p,q numere

raţionale cu proprietatea că p<x<q şi F(q)-F(p)<. Cum atît F cît şi Fn() sunt crescătoare avem

(23) Fn()(p) Fn()(x) Fn()(q) n 1 şi F(p) F(x) F(q) Scăzînd aceste inegalităţi găsim că

(24) F(x)-Fn()(x) max(Fn()(q)-F(p), F(q)-Fn()(p)) de unde trecînd la limită, rezultă că

limsupnF(x)-Fn()(x) limsupn( max(Fn()(q)-F(p), F(q)-Fn()(p))) = F(q)-F(p) <

ceea ce încheie demonstraţia, fiind arbitrar. Observaţie. Legea numerelor mari este rezultatul central al teoriei probabilităţilor şi al statisticii. În cazul cel mai simplu (Corolarul 9) ea face legătura între noţiunea de frecvenţă şi cea de probabilitate. Să presupunem că vrem să estimăm probabilitatea unui eveniment (de exemplu aruncăm un zar măsluit şi vrem să vedem probabilitatea ca să apară un “6”). Pentru aceasta aruncăm zarul respectiv de multe ori. Ceea ce trebuie să acceptăm este că aruncările sunt independente între ele şi probabilitatea apariţiei feţei în cauză nu se modifică de la aruncare la aruncare. Numărăm de cîte ori a apărut faţa “6 ” după n aruncări şi împărţim rezultatul la n, numărul total al aruncărilor. Obţinem astfel variabila aleatoare fn din Corolarul 9, numită “frecvenţa apariţiei evenimentului”. Corolarul 9 ne spune că fn va converge la “adevărata probabilitate” de apariţie a lui “6”. Discuţia este mult mai complicată, căci nu ni se spune de

cîte ori trebuie să aruncăm zarul pînă să aproximăm “adevărata probabilitate” la un prag de toleranţă, . Cu aceste probleme se ocupă statistica matematică. În ceea ce priveşte Teorema lui Glivenko, numită şi “Teorema fundamentală a statisticii”, se

poate demonstra mai mult: Fn() (numită şi funcţia de repartiţie empirică după n observaţii) converge la F uniform a.s., dar nu insistăm. Ea este fundamentală din punct de vedere epistemologic şi este un pas înainte faţă de Corolarul 9 deoarece ni se spune că putem estima prin observaţii şi repartiţia unei variabile aleatoare. Pe exemplul anterior, din observaţiile noastre putem estima probabilitatea de apariţie a fiecărei feţe a zarului, nu numai a lui “6” fără să facem pentru aceasta 6 experimente.

Legea slabă a numerelor mari. Coeficientul de corelaţie a două variabile aleatoare.

Dezavantajul legii tari a numerelor mari este că se cere ca variabilele aleatoare (Xn)n să fie

independente. Se pune întrebarea dacă nu poate fi înlăturat. Răspunsul este că se poate evita

independenţa, dar nu vom mai obţine convergenţă a.s., ci convergenţă în probabilitate, care este mai

slabă.

Definiţie. Fie X,Y două variabile aleatoare care au dispersie. Numărul

(25) (X,Y) =

E X EX Y EY

X Y

se numeşte coeficientul de corelaţie între X şi Y. Iată principalele lui proprietăţi.

Propoziţia 11.(i).(X,Y) este cosinusul unghiului dintre vectorii X-EX şi Y-EY în spaţiul Hilbert L2(P). Deci

întotdeauna -1 (X,Y) 1.

(ii) Mai mult, (X,Y) {-1,1} Y = aX+b cu a,b

(iii). Dacă (X,Y)=0, spunem că X şi Y sunt necorelate. Deci X şi Y sunt necorelate E(XY) = EXEY. Orice două variabile aleatoare independente sunt necorelate. Demonstraţie. L2(P) este spaţiu Hilbert cu produsul scalar <X,Y> = E(XY). În orice spaţiu Hilbert

funcţionează inegalitatea lui Schwartz <x,y>║x║║y║ care în cazul nostru devine E(XY)║X║2║Y║2.

Cosinusul unghiului între x şi y este prin definiţie cos = <x,y> /(║x║║y║) Înlocuind x xu X-EX şi y cu Y-EY găsim primul punct . Al doilea este de asemenea o consecinţă a unui rezultat mai general: cînd avem egalitate în inegalitatea lui Schwartz? Cum funcţia de gradul 2 dată prin f(t)=║tx-y║2 = <tx-y,tx-y> = t2

║x║2 -2t<x,y> + ║y║2 este nenegativă şi discriminantul ei este dat de

= <x,y>2 - ║x║2║y║2 rezultă că =0 t ca ║tx-y║=0 x şi y sunt vectori coliniari. În cazul nostru,

(X,Y)=1 <X-EX,Y-EY>2 = ║X-EX║2║Y-EY║2 Y-EY = t(X-EX) Y = aX+b cu a=t, b=EY-tEX.

Este interesant punctul (iii): independenţa implică necorelare. Dacă X şi Y sunt independente,

atunci E(XY)=EXEY (o consecinţă imediată a faptului că P(X,Y)-1 = PX-1PY

-1 şi a exerciţiului 2, Curs 9)

deci dacă a=EX şi b=EY atunci E((X -EX)(Y-EY))= E(XY-aX-bY +ab) = E(XY)-ab-ab+ab=E(XY)-EXEY=0. Observaţie. Se pot da uşor exemple de variabile aleatoare necorelate dar nu independente. De exemplu

dacă Z=(X,Y) are repartiţia 2 cu (x,y)=1C(x,y) unde C este o mulţime convexă din plan care admite ca

axe de simetrie dreptele x=0, y=0 şi are aria egală cu 1, atunci EX=

x1C(x,y)d2(x,y) =

(

x1C(x,y)d(x))d(y) =

0d(y)= 0 =EY iar EXY=

y(

x 1C(x,y)d(x))d(y) =

0d(y)=0. (am folosit echivalenţa - pentru funcţii continui şi mărginite - între integrala Lebesgue şi cea Riemann, simetria lui C şi imparitatea funcţiei f(x)=x ).

Lema 12. Fie (Xn)n un şir de variabile aleatoare. Presupunem că ║Xn-X║2 0 (adică Xn converge la X în L2) . Atunci Xn converge la X în probabilitate.

Demonstraţie. Fie >0. Atunci (║Xn-X║2 )2 = E((X-Xn)2) E((X-Xn)2 1

X X n ) 2P(X-Xn>) de unde

P(X-Xn>) (║Xn-X║2 / )2 0 cînd n. Propoziţia 13. Legea slabă a numerelor mari sau Teorema lui Bernoulli. Fie (Xn)n un şir de variabile aleatoare identic repartizate, necorelate două cîte două şi avînd dispersie.

Fie sn =

X X ... X

n

1 2 n

.

Atunci sn EX1 în L2(P) deci cu atît mai mult în probabilitate.

Demonstraţie. Fie a=EX1. Atunci sn-a =

Y Y ... Y

n

1 2 n

cu Yj = Xj -a . Vom arăta că ║sn-a║2 0. Avem

n2║sn-a║2

2 = E(( j

n

1 Yj)

2) = j

n

1 E(Yj

2) + i j i j, :

E(YiYj) = n2 (X1) + 0 (căci Xi şi Xj sunt necorelate)

de unde ║sn-a║2 =

X

n

1

0. Observaţie. Faptul că variabilele aleatoare Xn sunt necorelate două cîte două este o condiţie mai slabă decît “independente două cîte două” care la rîndul ei este mul mai slabă decît “(Xn)n independente”. Într-adevăr, pentru orice număr natural n se pot da exemple de n+1 variabile aleatoare care nu sunt independente, dar fiecare n din ele sunt independente.

Curs 12. Reguli de calcul cu repartiţiile. Convoluţia.

Vom da acum unele reguli de calcul prin care, cunoscînd repartiţia unui vector aleator X putem

calcula repartiţia unei variabile aleatoare f(X).

Mai precis, fie (,k,P) un spaţiu probabilizat şi X: d un vector aleator . Fie f:d: o

funcţie măsurabilă. Presupunem că se cunoaşte repartiţia lui X, PX-1 := X. Se cere să se calculeze

repartiţia variabilei aleatoare f(X). Cum Pf(X)-1(B) =P( X-1(f-1(B))) = X(f-1(B)) pentru orice mulţime

boreliană de pe dreaptă, B rezultă relaţia

(1) f(X) = X f-1

unde f(X) = Pf(X)-1. Problema este să se calculeze această repartiţie.

În general este greu de spus ceva concret despre aceasta. Ne vom situa într-o ipoteză mai

restrictivă şi anume vom presupune că X << d, adică X este absolut continuă faţă de măsura

Lebesgue d-dimensională. Din teorema Radon - Nikodym, în acest caz X admite o densitate faţă de d,

notată X. Deci vom accepta ipoteza suplimentară

(2) X = Xd

Chiar şi aşa este greu de spus ceva concret în legătură cu problema noastră. Dacă însă vom

accepta şi ipoteza

(3) X este integrabilă Riemann pe d

atunci vom putea folosi noiunile din anul I privind schimbarea de variabilă în integrala Riemann.

Într-adevăr, este uşor de văzut că pentru funcţii pozitive integrabile Riemann, integrala Riemann coincide

cu cea Lebesgue (în definitiv dacă o funcţie pozitivă este integrabilă Riemann ea este limita (mod d) a

unui şir de variabile aleatoare simple de forma

f = f D

DD

1 unde este o partiţie a lui d (diviziune) realizată cu mulţimi speciale de tipul

(a1,b1](a2,b2]...(ad,bd+ şi D D ). Aşadar, dacă acceptăm ipotezele (2) şi (3), atunci

(4) X(A) = A

X(x1,x2,...,xd)dx1dx2.....dxd

dacă A este o mulţime suficient de regulată.

Propoziţia 1. Să presupunem că funcţia f:d este derivabilă şi are proprietatea că funcţia u:d

d dată prin (5) u1(x1,...,xd) = f(x1,...,xd), u2(x1,...,xd)= x2,...,ud(x1,...,xd) = xd

este bijectivă. Fie = (1,...,d) inversa ei. Atunci f(X) este de asemenea absolut continuă faţă de şi densitatea ei este dată de

(6) f(X) =

X d d

d

d

u x x x x

f x x

x

dx dxd

1 2 2

1

1

21

, ..., , ,...,

,...,...

Demonstraţie. Fie g: o funcţie pozitivă integrabilă Riemann. Atunci E(g(f(X)) = g(f(X))dP =

g(f)dPX-1 (formula de transport) = g(f)dX = g(f)Xdd (deoarece din ipoteză X = X

d) =

d

g(f(x1,...,xd))X(x1,...,xd)dx1...dxd =

d g(u1)X((u1,...,ud))

D x x

D u u

d

d

( ,...,

,...,

1

1 du1...dud (formula de schimbare de

variabilă la integrala Riemann :

D x x

D u u

d

d

( ,...,

,...,

1

1 este modulul iacobianului transformării de coordonate

xu) =

g u u u

D u u

D x x

du duX d

d

d

dd

1 1

1

1

1

, ...,

, ...,

, ...,

...

=

g u u x x x x

f x x

x

du dx dxX d d

d

dd

1 1 1 2 2

1

1

1 2

, ..., , , ...,

, ...,...

(căci j 2 uj=xj ,

D x x

D u u

d

d

( ,...,

,...,

1

1 =

1

1

1

D u u

D x x

d

d

, ...,

, ...,, u1=f(x1,...,xd) deci

D u u

D x x

d

d

1

1

, ...,

, ..., =

f x x

x

d1

1

, ...,

)

=

g u

u x x x x

f x x

x

dx dx duX d d

d

dd

1 2 2

1

1

21

, ..., , ,...,

,...,...

. Să notăm cu funcţia

(u)=

X d d

d

d

u x x x x

f x x

x

dx dxd

1 2 2

1

1

21

, ..., , ,...,

,...,...

. Atunci rezultă că

(7) E(g(f(X)) =

g(u)(u)du = gd.

Dacă luăm g=1(-,a] (7) devine

(8) P(f(X) a) = 1(-,a] d

adică f(X)((-,a]) = ()((-,a]) de unde, cum intervalele de această formă formează un sistem de

generatori închis la intersecţii finite pentru b() rezultă că f(X) = . Exemple de aplicare.

1.Dacă f(x) = x1+x2+...+xd, atunci

f x x

x

d1

1

, ...,

=1, x1=u-x2-...-xd deci (6) ne dă o formulă pentru repartiţia sumei a d variabile aleatoare:

(9) X X Xd1 2 ... (u) =

X d d du x x x x dx dxd

2 2 21

... , ,..., ...

2. În propoziţia 1 se poate face o mică generalizare. Anume, nu este nevoie ca funcţia u să fie chiar

bijectivă. Este suficient ca să existe E,F d mulţimi cu frontiera Jordan neglijabilă ca

d(Ec) = d(Fc)=0 şi u:E F să fie bijectivă şi afirmaţia se păstrează. De exemplu dacă f(x) = x1...xd,

atunci funcţia u1= x1...xd, u2=x2, ...,ud=xd este o bijecţie de (*)d la (*)d,

f x x

x

d1

1

, ...,

= x2...xd şi, cum

complementara lui (*)d este neglijabilă şi (6) ne dă repartiţia produsului a d variabile aleatoare

(10) X X Xd1 2... (u) =

X

d

d

d

d

u

x xx x

x xdx dx

d

2

2

2

21

...,, , ...,

...,...

3. Dacă d=2 şi f(x,y)=x/y găsim repartiţia raportului X1/X2 (presupunem că X20)

(11) X X1 2/ (u) =

x ux x dxX2 2 2 2 ,

În cazul în care ştim că variabilele X1,...,Xd sunt idependente, lucrurile se simplifică . Atunci

cunoaşterea repartiţiilor PXj-1 antrenează cunoaşterea repartiţiei vectorului X : X =

1

1

j djP X

. Deci,

dacă PXj-1=j, atunci PX

-1=Xd cu X = 12...d (cursul anterior). În acest caz formulele

(9),(10),(11) devin

(12) X X Xd1 2 ... (u) =

1 2 2 2 21

u x x x x dx dxd d d dd

... ... ...

(13) X X Xd1 2... (u) =

1

2

2 2

2

21

u

x xx x

x xdx dx

d

d d

d

dd

...,...

...,...

(14) X X1 2/ (u) =

x ux x dx2 1 2 2 2 2

Cel mai elementar este cazul d=1. Aici se poate lucra şi direct, calculînd funcţia de repartiţie a

variabilei f(X) (să o notăm Ff(X) : Ff(X) (x) = P(f(X) x). Dacă ea este continuă şi derivabilă, atunci am arătat (cursul ? ) că derivata sa este chiar densitatea

(15) f(X) = (Ff(X))’ Obţinem astfel relaţii utile cum ar fi

(16) aX+b (u) =

X

u b

a

a

(17) X(u) =(X(u)+(-u))1(0,)(u)

(18)

Xu

u u

uu2

21

0

,( )

(19) {X}(u) = X

k

k u u( ) ( )[ , )

1 0 1

(20) sinX(u) =

X Xk

k u k u

uu

( arcsin ) ( arcsin )

( )( , )

2 2

11

2 11

Exemplu de aplicare. Fie U,V două variabile aleatoare independente uniform repartizate (adică U = V = 1(0,1) ). Se cere să se găsească repartiţia variabilei aleatoare

(21) Z = 2 2ln sinU V

Soluţie. Fie X= 2lnU şi Y=sin(2V). Variabilele aleatoare X şi Y vor fi independente.

Calculăm funcţia de repartiţie. Fie x0. Atunci FX(x) =P(X x) = P(-2lnU x2)= P(lnU -x2/2) = P(U

e

x

2

2 ) = 1- FU(e

x

2

2 ) deci x>0 X(x) = (FX)’(x) = xe

x

2

2 U(e

x

2

2 ) =xe

x

2

2 (căci 0e

x

2

2 1) de unde

(22) X(x) = xe

x

2

2 1(0,)(x)

Ţinînd seama că 2V(x) =

1 (x)(0,2

)

2 (din (16)) din (20) rezultă că

(23) Y(x) =

1

11

2 1 1

u

u( , ) ( )

Vom aplica acum relaţia (12). Deci XY(u) =

X Y

u

xx

xdx

=

Y X

u

xx

xdx

(datorită

comutativităţii înmulţirii). Vom prefera a doua relaţie. Cum

Y

u

x

=

x

x u

u

x 2 2 111

( , )( ) =

x

x ux

u 2 2

1

( , )( )

=

x

x ux

u u 2 2

1

, ( , )

( ) rezultă

că

Y

u

x

X(x) =

x xe

x ux

x

u

2

2

2 21

,

=

x e

x ux

x

u

2 2

2 2

2

1

,

de unde

(24) XY(u) =

xe

x udx

x

u

2

2

2 2

Efectuînd o integrare prin părţi (căci XY(u) =

x u edx

x

u

2 2 2

2

) găsim că

(25) XY(u) =

x x u edx

x

u

2 2 2

2

Facem acum schimbarea de variabilă x2-u2 = 2t dt=xdx. Atunci (25) devine

(26) Z(u) = XY(u) =

2

2 2

2

0

tedt

u t

=e

u

2

2

2

0

te dtt

= ce

u

2

2

Rămîne să găsim constanta c. Cum ştim că Z este densitate de probabilitate rezultă că

(27) c=

12

2e du

u

Rămîne să calculăm integrala I = e du

u

2

2

. Ridicînd-o la pătrat şi aplicînd teorema lui Fubini rezultă că

(28) I2 =

e dxdy

x y

2 2

2

2

Pentru a o putea calcula - căci nu are o primitivă elementară - trecem la coordonate polare: x=rcost,

y=rsint, t[0,2), r[0,). Atunci se ştie că dxdy=rdrdt deci

(29) I2 = ( )drre dt

r

2

2

0

2

0

= 2 de unde rezultă forma finală a densităţii lui Z:

(30) Z(u) =

e

u

2

2

2 Această repartiţie este foarte importantă. Ea se numeşte repartiţia normală standard. Metoda aleasă de a ajunge la ea are avantajul că se poate simula foarte uşor pe calculator. Într-adevăr, la fiecare apelare a funcţiei rnd (în BASIC) sau random (în PASCAL) se produce o variabilă aleatoare uniform repartizată, independentă de celelalte.(De fapt se simulează o variabilă aleatoare uniform repartizată, căci ea se produce conform unui algoritm generator de numere aleatoare, dar aceasta este o altă discuţie). Atunci secvenţa (în BASIC)

u=rnd : v=rnd : x=sin(8*atn(1)*u):y=sqr(-2*ln(v)):z=x*y simulează o variabilă aleatoare z repartizată normal standard. Repartiţia normală standard se notează

N(0,1) (alţi autori o noteză 0,1) . Deci N(0,1)=Z cu măsura Lebesgue.

Convoluţia.

Cazul particular al problemei (1) în care d=2, X1, X2 sunt independente şi f(x,y)=x+y este foarte

important şi se pretează la o abordare mai generală decît cea în care presupunem că X1 şi X2 sunt absolut

continue. Dacă 1, 2 sunt repartiţiile lui X1, X2, F1 şi F2 funcţiile lor de repartiţie, atunci funcţia de

repartiţia a sumei lor S = X1+ X2 este

FS(u) = P(X1+X2 u ) = 1( , ] u (x+y)d(12)(x,y) (din formula de transport) = (

1( , ] u

(x+y)d(1(x))d2(y) (Fubini) = (1( , ] u y (x)d(1(x))d2(y)

= 1((-,u-y])d2(y) = F1(u-y)d2(y) şi, schimbînd ordinea de integrare, vedem că acceaşi valoare

o are şi integrala F2(u-x)d1(x). Repartiţia lui S se numeşte convoluţia lui 1 cu 2 şi se notează

12. Deci din cele de mai sus rezultă relaţia

(31) 12(B) = 1(B-y)d2(y) = 2(B-x)d1(x) B borelian Observaţie. Convoluţia definită în (31) are sens pentru orice două măsuri mărginite de pe dreaptă, nu

neapărat probabilităţi. De asemenea, este uşor de văzut că (1+2)=1 + 2, deci convoluţia este distributivă faţă de adunarea măsurilor. De aceea se mai numeşte şi produs de convoluţie.

Propoziţia 2. (i). Fie m1 mulţimea repartiţiilor pe dreapta reală. Atunci (m1,) este un monoid

comutativ cu elementul neutru 0.

(ii). Dacă 1 şi 2 sunt absolut continue faţă de , cu densităţile 1 şi 2 atunci 12 este de asemenea absolut continuă şi densitatea sa este

(32) 12(u) =

1(u-t)2(t)dt =

2(u-t)1(t)dt

Densitatea 12 se numeşte produsul de convoluţie al densităţilor 1 şi 2.

(iii). Dacă 1 şi 2 sunt discrete, atunci 12 este de asemenea discretă.

(iv). Dacă 1 şi 2 sunt sunt repartiţii pe mulţimea numerelor naturale cu funcţiile generatoare i=n

0

i({n})xn, i=1,2 atunci funcţia generatoare a repartiţiei 12 este

(33) 1 2 1 2

(v). Dacă (Xi)1in sunt variabile aleatoare independente cu valori numere naturale, şi funcţiile lor

generatoare sunt i atunci funcţia generatoare a sumei lor S este produsul funcţiilor i :

(34) S = 12...n .

Demonstraţie.(i).Fie , , trei repartiţii pe dreaptă şi X,Y,Z trei variabile aleatoare independente astfel

ca =PX-1, =PY-1, =PZ-1. Atunci este repartiţia lui X+Y. Cum X+Y este independentă de Z, rezultă

că () este repartiţia sumei X+Y+Z. Pe de altă parte variabilele aleatoare X şi Y+Z sunt iarăşi

independente şi au repartiţiile şi deci () este repartiţia aceleiaşi variabile aleatoare.

Aşadar produsul de convoluţie este asociativ. Elementul neutru este 0 deoarece aceasta este repartiţia variabilei aleatoare X=0 (mod P).

(iii). Este uşor de văzut că ab = a+b deci, datorită distributivităţii faţă de adunare a convoluţiei avem

că

p q p qi ai

m

j bj

n

i j a bj

n

i

m

i j i j

1 1 11 . (iv). Fie X şi Y două variabile aleatoare independente cu valori numere naturale cu proprietatea că

1=PX-1 şi 2=PY-1. Fie j funcţiile generatoare ale repartiţiilor j, j=1,2. Atunci 1(x)=E(xX) şi 2(x)=E(xY)

0x1. Pentru fiecare x variabilele aleatoare xX şi xY sunt iarăşi independente, deci 1(x)2(x) =

E(xX)E(xY)=E(xXxY)=E(xX+Y)=X+Y(x) = 1 2 ( )x

. (v). Aceeaşi demonstraţie: media unui produs de variabile aleatoare independente este produsul

mediilor.

Exemplu de aplicare. Repartiţia binomială. Fie Xj, 1jn variabile i.i.d. cu repartiţia comună =p1+q0. Deci P(Xj=1)=p, P(Xj=0)=q, cu q=1- p. Se cere să se găsească repartiţia sumei lor, S. Funcţia generatoare a variabilelor Xj este q+px, deci din punctul (v) al propoziţiei anterioare

(35) S(x)=(q+px)n =

C p q xn

j

j

nj n j j

0

deci, identificînd termenii asemenea din S rezultă că P(S=j)= C p qn

j j n j

. Aceasta este repartiţia binomială de parametri n şi p. Simbolizăm faptul că o variabilă aleatoare X este binomial repartizată prin X ~ B(n,p). Interpretarea este următoarea: dacă repetăm de n ori un experiment cu în care rezultatul poate să fie doar 0(pierdere) sau 1(succes), şi anume P(succes)=p, iar rezultatele experimentului sunt

independente, atunci probabilitatea ca să avem exact succese este C p qn

j j n j

. De exemplu,

probabilitatea ca aruncînd o monedă de n ori să obţinem j steme este

Cn

j

n2 iar probabilitatea de a obţine

de j ori “6” în n aruncări cu zarul este

5

6

n j

n

j

n

C

. Derivînd funcţia generatoare (35) găsim imediat media şi dispersia unei variabile aleatoare binomiale:

(36) X ~ B(n,p) EX=np, 2(X)=npq Repartiţia hipergeometrică. O urnă conţine a bile albe şi n bile negre, în total t=a+n bile. Se extrag k bile

(deci kt). Notăm cu X numărul de bile albe. X este o variabilă aleatoare care poate lua valorile 0,1,...,k.

Spaţiul de selecţie este ={{1,...,t} =k }. Acceptăm că toate submulţimile au aceeaşi

probabilitate de apariţie, deci ne plasăm în cadrul clasic. Atunci P(,}) =

1

C t

k

. Înseamnă că pj:= P(X=j)=

C C

C

a

j

n

k j

t

k

, căci cele j bile albe pot fi alese în C a

j

feluri iar cele k-j bile negre în C n

k j

feluri. Vrem să calculăm

media şi dispersia lui X. Fie p=a/t proporţia bilelor albe şi q=1-p = n/t cea a bilelor negre. Fie a,t,k(x) =

j

k

0 pjx

j funcţia generatoare Atunci ‘a,t,k(x) =

C C

Cjxa

j

n

k j

t

k

j

j

k

1

1 = 1

11

1

C

a

j a jC x

t

kj

k

n

k j j!

! !

=

1

C t

kaC Ca

j

j

k

n

k j

1

1

1 xj-1 =kp

C C x

C

a

j

j

k

n

k j j

t

k

10

11

1

1

de unde rezultă relaţia de recurenţă

(37) ‘a,t,k(x) = kpa-1,t-1,k-1(x)

Pentru a găsi dispersia folosim formula 2(X) = ”(1)+‘(1)-(‘(1)2 (unde = a,t,k) şi relaţia de recurenţă

(37). Rezultă 2(X) = k(k-1)p

a

t

1

1 + kp - k2p2 = kp((k-1)

a

t

1

1 + 1 - k

a

t ) = kpq

t k

t

1 de unde

(38) EX = ‘a,t,k(1) =kp, 2(X) = kpq

t k

t

1 Repartiţia Poisson. Se mai numeşte ”legea evenimentelor rare” şi se obţine din repartiţia binomială

pentru care np. Se notează cu . Prin definiţie o variabilă aleatoare X este repartizată Poisson cu

parametrul dacă

(39) P(X=k)=

k

ke

!

Funcţia sa generatoare este (x)= e(x-1) de unde I se calculează imediat media şi dispersia

(40) X ~ EX = 2(X) = l Repartiţia geometrică. Este repartiţia timpului de aşteptare pînă la producerea unui eveniment care are probabilitatea p de a se produce. Adică

(41) P(T=k) = pqk-1 cu k1, q=1-p

Funcţia generatoare este (x)=

px

qx1 din derivarea căreia se obţine imediat

(42) ET =

1

p , 2(X) =

q

p 2

Teorema limită centrală. Apariţia firească a repartiţiei normale.

Dacă vom avea curiozitatea să convolutăm o repartiţie absolut continuă cu ea însăşi de mai multe ori şi

vom face graficul densităţilor care se obţin, vom observa cum aceste densităţi capătă o formă de

lopot, semănînd cu graficul funcţiei care dă densitatea repartiţiei normale x e

x

2

2 . Demonstrarea acestui fapt depăşeşte cadrul cursului de faţă. Vom da de aceea fără demonstraţie următorul rezultat, care este a doua teoremă fundamentală a teoriei probabilităţilor - după legea numerelor mari.

Teorema limită centrală. Fie (Xn)n un şir de variabile aleatoare i.i.d. avînd media m şi dispersia . Fie Sn variabilele aleatoare

(43) Sn =

X X X nm

n

n1 2 ...

Fie Fn funcţia de repartiţie a variabile aleatoare Sn şi funcţia de r epartiţie a normalei standard N(0,1).

Atunci Fn(x) (x) x

Interpretarea statistică este : indiferent de repartiţia a unei variabile aleatoare X, mediile de selecţie tind să fie normal repartizate.

Exerciţii

1. n+1 variabile aleatoare independente cîte n dar nu independente.Fie (G,b,) un spaţiu probabilizat

cu structură de grup. Presupunem că grupul (G,+) are proprietatea că funcţia de translaţie ta(x)=x+a

păstrează măsura pentru orice aG, adică ta-1= aG. Fie atunci =Gn, k = b n,P=n. Pe acest spaţiu

probabilizat considerăm variabilele aleatoare Xj = prj dacă 1jn şi X=X1+...+Xn. Aceste n+1 variabile

aleatoare sunt identic repartizate, repartiţia lor fiind , oricare n din ele sunt independente dar dacă G

are cel puţin două elemente, ele nu sunt independente.

Indicaţie. Cum (A+a)=(A) aG, A b, rezultă că (A)=

(A-x)d(x) )=

(A)d(x) =(A). Din

aproape în aproape rezultă că PX-1 = n = , deci cele n+1 variabile aleatoare sunt identic repartizate.

Arătăm că (X1,...,Xn-1,X) sunt independente. Fie f : măsurabilă mărginită. Atunci, din formula de

transport şi Fubini Ef(X1,...,Xn-1,X)=

f(x1,...,xn-1,x1+x2+...+xn)d(x1)...d(xn). Pentru x1,...,xn-1 fixaţi fie

g(x)= f(x1,...,xn-1,x). Cum invariază pe ta avem

gd =

gdta-1 =

g(ta)d adică

g(x)d(x) =

g(x+a)d(x) aG. Pentru a=x1+...+xn-1 rezultă că

g(x1+...+xn-1+xn)d(xn) =

g(xn)d(xn) deci

Ef(X1,...,Xn-1,X)=

f(x1,...,xn-1, xn)d(x1)...d(xn) =

f dn . Înlocuind f cu indicatorul mulţimii

B1B2...Bn, Bj b rezultă

P(X1B1,...,Xn-1Bn-1,XBn)=P(X1B1)..P(Xn-1 Bn-1) P(XBn) adică X1,...,Xn-1,X sunt independente. Cele

n+1 variabile aleatoare nu sunt independente deoarece (X) (X1,...,Xn). Din asociativitatea

independenţei, ar trebui ca aceste două -algebre să fie independente. Ar rezulta că (X) este

independentă de ea însăşi,deci A(X) P(A)=P(AA) = P(A)P(A) P(A){0,1} adică X ar fi constantă

(mod ). Dar X este suma proiecţiilor. Dacă ar fi constantă ar trebui ca =a pentru un anume aG. Însă o

măsură Dirac nu are cum să invarieze translaţia căci a({a})=1, a({a+b})=0 b0. 2. Fie Z=(X,Y) un punct aleator uniform repartizat, adică X,Y sunt independente şi uniform repartizate. Arătaţi că :

X+Y(x)=x1(0,1)(x)+(2-x)1(1,2)(x),

X-Y(x)=(1-x)1(-1,1)(x),

X-Y(x)= min(X,Y)(x)=(2-2x)1(0,1)(x)

max(X,Y)(x)=2x1(0,1)(x) =

X (x)

XY(x)=-ln(x)1(0,1)(x)

X / Y(x)=1(0,1)(x)/2 +

1 x

2x

1,

2

X2arctg

Yx

x xx x x

2

1

22 1 1

0 1 2

1 2

,

, Calculaţi apoi mediile şi medianele acestor variabile aleatoare.

Indicaţie. Mediile sunt : 1,0,1/3,2/3,1/4, nu are medie,

2 1 2

3

ln

.

O paralelă între integrala Lebesgue şi integrala Riemann

Se pune problema firească : ce legătură este între integrala Lebesgue, construită mai

sus şi diversele tipuri de integrale învăţate anterior: integrala Riemann din liceu, integralele

pe domenii sau drumuri studiate la analiză sau integrala din cadrul analizei complexe ? În

esenţă diferenţa este: la toate aceste integrale aproximarea funcţiei f care se integrează se face

în domeniul de definiţie al lui f, pe cîtă vreme la integrala Lebesgue ea se face în codomeniu.

Ne propunem să clarificăm aceasta în cazul cel mai simplu, al integralei Riemann studiată în

liceu.

Fie f:[a,b] o funcţie oarecare. Orice submulţime finită care se poate scrie sub

forma D = {a=x0<x1<...<xn=b- se numeşte diviziune a intervalului [a,b]. Norma diviziunii D (

notată cu ║D║ )este cea mai mare dintre lungimile intervalelor [xi-1, xi] . Un sistem de puncte

intermediare este orice vector E(D) unde am notat cu E(D) produsul E(D) = [x0,x1]

[x1,x2] ... [xn-1,xn]. Prin suma Riemann ataşată diviziunii D şi sistemului de puncte intermediare

se înţelege suma

(c+1) S(f,;D) := f x xi i i

i

n

( )

1

1

Definiţie. Funcţia f se numeşte integrabilă Riemann pe intervalul [a,b] dacă există un număr I

( notat cu I = f x dx

a

b

( )) cu proprietatea că

*c+2) >0 =() ca D diviziune a lui [a,b], E(D) I-S(f,;D)<

Observaţie. Să comparăm aceasta cu integrala J= fd unde (A)=(A *a,b+) este restricţia

măsurii Lebesgue la intervalul [a,b]. Ca J să aibă sens trebuie numai ca f să fie o funcţie boreliană

şi una din integralele f+d, f-d să fie finite. Ca J să fie un număr real, trebuie ca ambele integrale să fie finite. Cele două integrale au sens întotdeauna, cu condiţia să putem lămuri în ce condiţii o funcţie este măsurabilă Borel. Dimpotrivă,(*c+2) pare să fie mai complicat: nu este clar de ce un asemenea I ar exista, şi mai ales, în ce condiţii există, făcînd abstracţie de cazul banal în care f este continuă. Integrala Lebesgue nu are nevoie de nici o condiţie de continuitate. Problemă. Care sunt criteriile de a recunoaşte dacă f este integrabilă Riemann? Un prim pas în vederea găsirii unor criterii de integrabilitate Riemann ar fi simplificarea definiţiei prin eliminarea punctelor intermediare. Acesta este criteriul lui Darboux.

Definiţie. Dacă , sunt numere reale cu proprietatea a b să notăm

M(f; ,) = sup { f(x)x - şi m(f; ,) = inf { f(x)x }. Atunci sumele

*c+3) S(f,D) = i

n

1 M(f;xi-1,xi)(xi-xi-1) şi s(f,D) = i

n

1 m(f;xi-1,xi)(xi-xi-1)

se vor numi respectiv suma Darboux superioară (inferioară) ataşate diviziunii D şi funcţiei f. Este uşor de văzut că

*c+4) S(f,D) = sup { S(f,;D) E(D) }, s(f,D) = inf { S(f,;D) E(D) } şi că, dacă D1 şi D2 sunt două diviziuni ale intervaluui [a,b] atunci

*c+5 D1 D2 S(f,D1) S(f,D2) s(f,D2) s(f,D1) Propoziţia *1. (Criteriul lui Darboux). Funcţia f este integrabilă Riemann pe [a,b] dacă şi numai dacă

*c+6 >0 =() ca ║D║< S(f,D)-s(f,D) <

Demonstraţie. Să presupunem că f este integrabilă Riemann. Atunci, din *c+2 rezultă că >0

=() ca D diviziune a lui [a,b], E(D) I - < S(f,;D) < I + . Trecînd la supremum şi

infimum după E(D) şi aplicînd *c+4 rezultă că

*c+7 I- s(f,D) S(f,D) I+ deci S(f,D) - s(f,D) 2 ceea ce implică evident *c+6. Reciproc, să presupunem că *c+6 este adevărată. Trebuie să arătăm că f este integrabilă

Riemann, adică să construim I care să verifice *c+2. Fie în acest scop (Dn)n un şir de diviziuni

ale lui [a,b] cu proprietatea că D1 D2 ... şi ║Dn║ 0. Din *c+5 rezultă că

*c+8 S(f,D1)S(f,D2)....S(f,Dn) s(f,Dn) ....s(f,D1) Şirul (S(f,Dn))n este descrescător, deci are o limită I1. La fel, (s(f,Dn))n, fiind crescător, are o limită I2. Din *c8 rezultă că

*c+9 S(f,Dn) I1 I2 s(f,Dn) n1

Fie n cu proprietatea că ║Dn║<. Din *c+6 şi *c+9 rezultă atunci că

I1-I2 S(f,Dn)-s(f,Dn) şi, cum este arbitrar, rezultă că I1=I2. Notăm această valoare cu I.

Pretindem că I = f x dx

a

b

( ).

Mai întîi să observăm că limita I nu depinde de şirul particular de diviziuni (Dn)n ales. Într-adevăr,

să presupunem că (D’n)n este un alt şir crescător de diviziuni cu proprietatea că ║D’n║ 0. Fie I’

limita şirului (S(f,D’n))n . Fie D*n=DnD’n şi I* limita şirului (S(f,D*n))n . Atunci s(f,Dn)s(f,D’n)

s(f,D*n) I* S(f,D*n) S(f,Dn)S(f,D’n) deci s(f,Dn) I* S(f,Dn) şi s(f,D’n) I* S(f,D’n). Cum

s(f,Dn) I S(f,Dn) şi la fel s(f,D’n) I’ S(f,D’n) rezultă că I-I* S(f,Dn)-s(f,Dn) şi I’-I*

S(f,D’n)-s(f,D’n) pentru orice n. Dacă n este destul de mare. ║Dn║< şi ║D’n║< deci, din *c+6)

rezultă că I-I* , I’-I* . Cum este arbitrar rezultă că I = I’ = I*. Mai mult, rezultă că

*c+10 s(f,D) I S(f,D) D diviziune a lui [a,b]

(nu avem decît să înlocuim şirul (Dn)n cu (DnD)n ). Fie acum o diviziune D cu ║D║< şi E(D)

un sistem de puncte intermediare. Atunci s(f,D) S(f,;D) S(f,D) deci, din *c+10 rezultă că I

- S(f,;D) S(f,D) - s(f,D) de unde I = f x dx

a

b

( ).

Importanţa criteriului lui Darboux este relevată de următorul corolar Propoziţia *2. Să presupunem că f este integrabilă Riemann pe [a,b]. Atunci f este mărginită şi există două funcţii măsurabile Borel f1 şi f2 cu proprietatea că

*c+11 f1 f f2 şi f1d = f x dx

a

b

( ) = f2d

În consecinţă f1 = f2 (mod ) Demonstraţie. Fie (Dn)n un şir crescător de diviziuni ale intervalului [a,b] cu proprietatea că

║Dn║ 0. Fie Dn = {a=xn,0 < xn,1 < ...<xn,k(n) = b- şi A(n,j)=(xn,j-1, xn,j], 1 j k(n). Fie de

asemenea Mn,j = M(f;xn,j-1,xn,j), mn,j = m(f;xn,j-1,xn,j). Să considerăm funcţiile simple gn = j

k n

1

( )

Mn,j1A(n,j) şi hn= j

k n

1

( )

mn,j1A(n,j). Atunci este evident că

*c+12 x(a,b] hn (x) f(x) gn(x), *c+13 şirul (hn)n este crescător şi (gn)n este descrescător (deoarece orice interval A(n,j) este o reuniune finită de intervale A(n+1,i) ). Mai mult, cum

(An,j) = xn,j - xn,j-1 avem că hnd = j

k n

1

( )

mn,j(A(n,j)), gnd = j

k n

1

( )

Mn,j(A(n,j)) deci

*c+14 hnd = s(f,Dn) şi gnd = S(f,Dn) Relaţiile *c+12 - *c+14 sunt valabile întotdeauna, fără nici o ipoteză suplimentară asupra funcţiei f. Dacă însă ştim că f este integrabilă Riemann, atunci sumele s(f,Dn) şi S(f,Dn) trebuie să fie finite începînd de la un rang n0 deoarece, conform propoziţiei de mai sus, limita lor comună

este f x dx

a

b

( ), care este un număr real. Este evident că dacă f este nemărginită superior,

atunci S(f,D)= pentru orice diviziune D iar dacă f este nemărginită inferior, atunci s(f,D)=-. Înseamnă că funcţia f trebuie să fie mărginită. Mai mult, fie f1 = lim hn şi f2 = lim gn. Limitele există datorită relaţiei *c+13. Din *c+12, f1

f f2 . Din teorema Beppo-Levi avem că f1d = lim hnd = lim hnd = lim s(f,Dn) =

f x dxa

b

( ) şi analog f1d = lim S(f,Dn) =

f x dxa

b

( ). Pentru a demonstra că f1=f2(mod ) nu

avem decît să remarcăm că f2-f1 0 şi (f2 - f1)d = 0. Corolar 3. Dacă f este integrabilă Riemann pe [a,b], atunci f este mărginită, măsurabilă Lebesgue şi integrala sa Riemann coincide cu integrala Lebesgue.

Demonstraţie. Nu avem decît să observăm că f coincide cu f1 -aproape sigur, iar f1 este

măsurabilă Borel. Rezultă că orice funcţie integrabilă Riemann este integrabilă Lebesgue, adică integrala Lebesgue este o generalizare a celei Riemann. Se poate pune întrebarea dacă nu este valabilă şi reciproca: nu cumva şi orice funcţie integrabilă Lebesgue se poate integra şi în sensul Riemann? Răspunsul este negativ.

Propoziţia 4. (Teorema lui Lebesgue de caracterizare a integrabilităţii Riemann). Fie f:[a,b] o funcţie oarecare. Atunci

*c+15 f este integrabilă Riemann f este mărginită şi continuă aproape peste tot („continuă a.p.t.” înseamnă că mulţimea punctelor de discontinuitate ale lui f este neglijabilă Lebesgue).

Demonstraţie. „”. Fie (Dn)n un şir crecător de diviziuni de normă tinzînd la 0. Că f este mărginită, s-a văzut. Fie E mulţimea punctelor de discontinuitate ale lui f şi D reuniunea mulţimilor Dn. D este o mulţime numărabilă, deci neglijabilă Lebesgue. Fie de asemenea f1 şi f2 funcţiile construite în *Propoziţia 2. Observaţia decisivă este

*c+16 E \ D {f1f2} E D

Într-adevăr, fie xE \ D. Cum x nu este un punct al niciunei diviziuni Dn, el se află într-unul din

intervalele deschise (xn,j-1, xn,j) . Fie j(n,x) acel unic 1jk(n) cu această proprietate. Pe de altă parte, x este un punct de discontinuitate pentru f, deci există un şir (xi)i care converge la x şi

limsup f(xi) > liminf f(xi). Pentru fiecare n fixat avem: f2(x) = Mn,j(n,x) limsup f(xi) (căci pentru i

destul de mare xi (xn,j-1, xn,j) ) > liminf f(xi) mn,j(n,x) = f1(x) f1(x)f2(x), de unde prima incluziune din *c+16.

În continuare, să presupunem că x[a,b] are proprietatea că f1(x)f2(x). Dacă x D nu este

nimic de demonstrat. Să presupunem că xD. Dacă prin absurd xE, atunci x ar fi un punct de

continuitate pentru f. Deci pentru orice >0 există ca

x-x’< f(x)-f(x’)<. Fie n suficient de mare ca ║Dn║< . Atunci f2(x)-f1(x) = Mn,j(n,x) - mn,j(n,x)

= sup{f(y)-f(z) y,z[xn,j(n,x)-1, xn,j(n,x)] }

sup{f(y)-f(x)+f(x)-f(z) y,z[xn,j(n,x)-1, xn,j(n,x)] } 2

(căci x-y<║Dn║< şi la fel x-z<) . Cum este arbitrar rezultă că f1(x) = f2(x), fals. Deci *c+16 este verificată.

Dacă f este integrabilă Riemann, atunci am văzut că f1=f2 ( a.p.t.) Deci {f1f2} este neglijabilă.

Din *c+16 rezultă că (E) = (E \ D) + (ED) = (E\D) ({f1f2}) = 0 .

„”. Este imediat din *c+16. Dacă f este continuă -a.p.t., atunci ({f1f2}) (ED) = (E) = 0

f1 = f2 (mod ) f este integrabilă Riemann datorită Propoziţiei 2. Exerciţii

*1. Funcţia Dacă A este o mulţime numărabilă densă în , atunci f =1A nu este integrabilă Riemann pe nici un interval [a,b] dar este integrabilă Lebesgue pe orice interval.

Indicaţie. f este discontinuă în orice punct şi f=0(mod ). *2. Dacă este vorba de integrala Riemann improprie, atunci este posibil ca f să fie integrabilă

Riemann fără a fi integrabilă Lebesgue. Arătaţi că funcţia f: dată prin f(x)=

sin( )x

xdaca x

daca x

0

1 0 este integrabilă Riemann pe dar nu Lebesgue.

Indicaţie. Din definiţie, f este integrabilă Riemann pe dacă limita lim ( )

,a b a

b

f x dx

există

Arătaţi că în cazul nostru limita există, dar f nu are integrală Lebesgue deoarece f+d =

f-d = .

Exerciţii

1.Izomorfisme de spaţii măsurabile. Două spaţii măsurabile (1,k1) şi (2, k 2) se numesc izomorfe dacă

există f:1 2 bijectivă şi bimăsurabilă (scriem atunci . (1,k1) (2, k 2) Arătaţi că

(i). Dacă 1 şi 2 sunt numărabile şi -algebrele coincid cu mulţimea părţilor, atunci

(1,k1) (2, k 2);

(ii). (, b ()) nu este izomorf cu (, k ) unde k = ({x}x}) ;

(iii). (, b ()) ((0,1), b (0,1)) .

(iv). Fie I numărabilă . Atunci (, b ()) ( \ I, b ( \ I)) ;

(v). ((0,1), b (0,1)) ( [0,1], b ([0,1]) )

2. Scrierea numerelor în baza p. Izomorfismul dintre spaţiul măsurabil ( [0,1), b(*0,1)) ) şi un produs de

spaţii finite.Fie E = {0,1,...,p-1} cu p2 număr natural, f = p(E), =

j

j

p

p

0

1

. Fie apoi = E, k = f şi P =

.

(i). Arătaţi că k conţine toate mulţimile cu un punct.

(ii). Dacă I este cel mult numărabilă, atunci (,k) (,k \ I ).

(iii). Fie I0 = { nN ca n =n+1 = n+2 = ....= p-1 }

(iv). Aplicaţia f : \ I0 [0,1) dată prin f() =

k

kk p

1 este un izomorfism.

(v). Fie 0 = \ I0 şi Xn : 0 E proiecţiile canonice, Xn() = n .Atunci Xn sunt variabile aleatoare i.i.d. şi

PXn-1 = . În plus, f =

X

p

k

kk

1 .

(vi). Fie g:[0,1) 0, g = (Cn)n unde aplicaţiile Cn : [0,1) E se construiesc astfel : C1(x) = [px] ; R1(x) = px - C1(x) = {px}; C2(x) = [pR1(x)] ; R2(x) = pR1(x) - C2(x) ={pR1(x)}; ............................................................... Cn(x) = [pRn-1(x)] ; Rn(x) = pRn-1(x) - Cn(x) = {pRn-1(x)} ............................ (algoritmul de generare a cifrelor p-adice ale numărului x). Verificaţi că definiţia este bună (în sensul că nu poate apare un număr de tipul x=0,C1...Cn-1,aaaaa.... cu a = p-1; aceasta nu este o dezvoltare p-adică legitimă). Verificaţi apoi că g = f -1 unde f este funcţia de la (iv).

(vii). Pe spaţiul probabilizat ( *0,1), b ([0,1)), [0,1) ) variabilele aleatoare Cn sunt independente şi identic

repartizate. Repartiţia lor comună este . ( Cifrele sunt independente faţă de măsura Lebesgue în orice bază de numeraţie ! )

(viii). Verificaţi că Pf-1 = [0,1) .

(ix).Două spaţii cu măsură (j,kj,j) j=1,2 se numesc izomorfe dacă există j(0) j măsurabile astfel ca

j(j \ j(0)) = 0 şi o funcţie bijectivă bimăsurabilă f: 1

(0) 2(0) cu proprietatea că 1f

-1 = 2.

Deduceţi atunci că spaţiile probabilizate ( *0,1+, b ([0,1]), [0,1] ) şi (E, p (E), ) sunt izomorfe.

3.Un exerciţiu auxiliar. Fie p2 număr natural şi y[0,p-1]. Construim următoarele două şiruri:

c1=0, s1=0; ...;cn+1 =

0

1

dacas

ny

p dacas

ny

n

n

, sn+1 = sn + cn+1 . Arătaţi că

(i). Dacă a = max(y,p-1-y) şi xn =

s

n

n

, atunci xn+1 - y max(

a

n

n

nx yn

1 1

,).

(ii). Deduceţi că k n-1 xn+1 - y max(

a

n

n k

nx yn k

1 1

,).

(iii). Demonstraţi pe această bază că

s

n

n

y dacă n . 4. O funcţie surjectivă constantă a.s. Reluăm notaţiile de la exerciţiul 2.Fie Sn = C1+...+Cn . Considerăm funcţiile

g,h: [0,1) [0,p-1] date prin g(x) =

lim sup

n

nS x

n , f(x) =

lim inf

n

nS x

n . (i). Funcţiile g şi h sunt surjective şi periodice: orice număr diadic este perioadă. (ii).Mulţimile de nivel ,g=y-, ,h=y- sunt toate nenumărabile.

(iii).Pentru orice interval I=(a,b) [0,1) g(I)=h(I)=[0,p-1].

(iv). Dacă x,x' au proprietatea că mulţimea ,nN Cn(x)Cn(x') } este finită, atunci g(x)=g(xţ) şi h(x)=h(xţ).

(v). Totuşi funcţiile g şi h coincid a.s. : g = h =

p 1

2 (mod ). 5. Dacă două spaţii cu măsură sunt izomorfe, atunci cele două măsuri au aceeaşi masă totală.

6 Compacte de tip Cantor. Cu notaţiile din exerciţiul precedent, fie Ej = E \ ,j- şi Cj = Ej.

(i). Cj este nenumărabilă şi P(Cj) = 0.

(ii). Fie Kp = f(Cp-1). Atunci Kp [0,1] este un compact nenumărabil neglijabil Lebesgue (compact de tip Cantor).

(iii). Dacă j p-1, f(Cj) nu este compactă - nu este închisă.

7. Compactul Cantor clasic. Fie f:{0,2} [0,1] dată prin f =

prn

nn 31

. Atunci

(i). Funcţia f este injectivă. (ii). K := Im(f) este un compact nenumărabil neglijabil Lebesgue.

(iii). Notînd a+A =,a+x xA- şi aA = ,axxA}, avem egalitatea 3K = K (2+K).

(iv). Fie e1,...,en {0,2}, E(e1,...,en) = { pr1 =e1,..., prn = en - şi a =

e j

jj

n

31

. Atunci

f-1([a,a+3-n]) = E(e1,...,en) . Mai mult, că en = 2, atunci f-1((a-3-n,a)) = , adică K se poate obţine prin procedeul de ştergere a treimii din mijloc: se împarte segmentul I = *0,1+ în trei segmente egale; intervalul deschis din mijloc se şterge; se repetă procedeul cu cele două segmente rămase etc.

8. Funcţia lui Cantor. Fie E ={0,2},f =p(E), =

0 1

2

, = E, k =f ,P = , f =

prn

nn 31

. Fie de

asemenea = Pf-1 repartiţia lui f şi F(x) = ((-,x+) funcţia sa de repartiţie.

(i). Fie K compactul lui Cantor din exerciţiul precedent. Atunci (K) = 0 dar (Kc) = 0, deci măsurile şi

sunt singulare ( se notează ) . (ii). Funcţia F este continuă iar intervale de tipul (a - 3-n, a) unde numărul a se scrie în baza 3 cu ultima cifră egală cu 2, (a = 0,e1e2...en-12 ) F este constantă .

(iii). Dacă x K atunci F este derivabilă în x şi F'(x) = 0; deci F este derivabilă -a.s. dar integrala

Lebesgue a lui F' pe intervalul (-,x] nu coincide cu F(x).

(iv).Dacă x K, x =

e j

jj 31

cu ej E, atunci F(x) =

e j

jj 2 1

1

9. O familie de probabilităţi singulare una faţă de cealaltă.

Fie E ={0,1},f =p(E),p = q0 + p1 cu p,q > 0, p+q=1. Fie = E, k =f ,Pp = p, f =

prn

nn 21

, p = Ppf

-1 şi

Fp funcţia de repartiţie a lui p . (i). Funcţiile (prn)n sunt variabile aleatoare i.i.d.. Calculaţi-le media şi dispersia. Calculaţi media şi dispersia lui f.

(ii). Im(f) = [0,1] iar dacă x [0,1], atunci f-1({x}) are două puncte dacă x este raţional diadic (adică se

poate scrie în baza 2 cu un număr finit de cifre) şi un singur punct în caz contrar. Deci p ({x}) = 0

x[0,1] F este continuă. (iii). Aplicaţi legea numerelor mari pentru a deduce că probabilităţile Pp sunt singulare una faţă de cealaltă.

(iv) Calculaţi Fp(

i

8 ) cu 0i7. (v). Arătaţi că F este strict crescătoare. 10. O familie de repartiţii continue pe dreaptă singulare între ele şi faţă de măsura Lebesgue. Cu

notaţiile din exerciţiul precedent, fie I ={ kN ca k+j = 1 j0 }. Fie * = \ I, k*= k * . Arătaţi că

(i). Funcţia f : * *0,1) este o bijecţie imăsurabilă. (ii). f-1(x) = (Cn(x))n unde Cn(x) s]nt cifrele diadice ale lui x.

(iii). Faţă de probabilitatea p funcţiile (Cn)n sunt variabile aleatoare i.i.d şi pCn-1 = p.

(iv). Fie Sn = C1 + C2 + ...+ Cn . Atunci Sn este repartizată binomial : pSn-1 = B(n,p).

(v). Fie g(x) =

lim sup

n

nS x

n . Atunci g este surjectivă pe *0,1+ şi coincide cu p ( p a.s.).

(vi). Dacă p= .5, atunci p = [0,1).

(vii). Dacă p r, atunci p r . (viii). Funcţiile de repartiţie Fp sunt continue şi pe mulţimea numerelor diadice se pot calcula prin

recurenţă astfel : Fp(0)=0, Fp(1)=1, Fp(

2 1

2

in

) = pFp(

in2 1

) + qFp(

in

1

2 1). Deci dacă x este diadic, Fp(x) va fi

un polinom în p cu coeficienţi depinzînd de x. 11. n+1 variabile aleatoare neindependente dar oricare n din ele sunt independente.

(i). Fie U1,...,Un variabile uniforme independente, S suma lor şi Un+1 ={S}. Atunci variabilele (Uj)1jn+1 au această proprietate. (ii). Acelaşi lucru se poate spune despre următoarele variabile aleatoare: se aruncă o monedă de n ori.

Fie Xj rezultatul aruncării nr. j şi Xn+1 definit prin Xn+1 = 1 dacă numărul de steme apărut este impar, Xn+1 = 0 dacă numărul de steme este par. (iii). Variabilele C1,...,Cn de la exerciţiul 2 şi Cn+1 = C1+...+Cn (mod p) au aceeaşi proprietate, 12. Proprietăţi ale independenţei. Cînd X este independentă de f(X)?

Fie (,k,P) un spaţiu probabilizat şi X,Y variabile aleatoare. (i). Dacă X este constantă a.s. atunci X este independentă de Y. (ii). Dacă X este independentă de f(X) cu f măsurabilă, atunci f(X) este constantă a.s.

(iii). Dacă f o(P) atunci este independentă de orice altă sub -algebră a lui k .

(iv). Dacă f g sunt două -algebre şi f este independentă de g atunci este f este trivial. (v). Dacă X este independentă de X2 atunci X nu poate lua decît valorile -1,0,1.

(vi). Dacă f:n este măsurabilă şi (X1,....,Xn, f(X1,...,Xn)) sunt independente, atunci f(X1,X2,...,Xn) este constantă a.s.

13. Polinoamele lui Bernstein - consecinţă a legii numerelor mari. Fie f:[0,1] continuă. Arătaţi că

polinoamele fn(x) = f

k

nC x xn

k k n k

k

n

10 converg uniform la f.

14.Lema Borel - Cantelli. Partea evidentă. Fie (,k,P) un spaţiu probabilizat şi (An)n un şir de mulţimi din

k.Presupunem că P An

n

( )

1 < . Atunci P(limsup An) =0.

15. Lema Borel - Cantelli.Cazul evenimentelor independente. Dacă (An)n sunt independente şi P An

n

( )

1

= atunci P(limsup An) =1.

16. Varianţa în cazul discret.Fie X o variabilă aleatoare cu repartiţia X ~

x x x

p p p

n

n

1 2

1 2

...

...

. Arătaţi că

Var(X) = p p x xj k j k

j k j k

, :

2

17. O inegalitate care generalizează uneori inegalitatea lui Jensen. Fie f:[a,b] derivabilă de două

ori. Presupunem că există c1 < c2 ca x[a,b] c1 f”(x) c2 . Fie (pj)1jn o combinaţie convexă . Atunci

c1 p p x xj k j k

j k j k

, :

2

2

p f x f p xj j j j

j

n

j

n

11 c2

p p x xj k j k

j k j k

, :

2

18. Un caz particular. Fie p,q 0, p+q =1. Atunci, în ipotezele de la exerciţiul precedent este valabilă

inegalitatea c1pq(x-y)2 2(pf(x)+qf(y) - f(px+qy)) c2pq(x-y)2. 19. Cazuri şi mai particulare. Fie 0 < a < b . Atunci

(i). 4(a+b)3 - 3b(a-b)2 (a+b)3 4(a+b)3 - 3a(a-b)2

(ii) a

b

aa b ab b

b

aln ln

2 2

4 8

20. Problemă fără sens.Care este probabilitatea ca, extrăgînd un număr la întîmplare, acesta să fie par ? 21. Probabilitatea naivă pe N. Fie In = {1,2,...,n} .

(i). Definim P(A) = limn

nA I

n

. Arătaţi că definiţia nu are sens. Într-adevăr, dacă luăm mulţimea A =

{n N [log2(n)+ este par - şi an = AIn, atunci liminf an =

1

3 , limsup an =

2

3 . Deci limita în cauză poate să nu existe.

(ii). Dacă definim P(A) = limsup

n

nA I

n

, definiţia are sens dar P este numai subaditivă, nu şi aditivă. (iii). Dacă definim probabilitatea ca la (i), dar renunţăm la pretenţia ca orice mulţime să aibă o

probabilitate, atunci fie c = {A N limn

nA I

n

există }. Atunci :

- toate mulţimile finite F aparţin la c şi P(F) = 0.

- Dacă A c atunci şi Ac c.

- Dacă A,B c şi sunt disjuncte, atunci AB c .

- Este posibil ca A,B c dar AB c.

22. Urma unei -algebre. Fie (,k) un spăţiu măsurabil şi A .

(i).Fie m1 = {B k BA- şi m 2 = {ABB k }. Coincide m1 cu m 2?

(ii). Fie A . Definim k (A) = {B k B Ac sau A B }. Arătaţi că k (A) este o -algebră şi o variabilă

aleatoare f este k (A) -măsurabilă fA este constantă.

23. Spaţiile Lp(,k, ) cu mulţime finită. Fie = ,1,2,...n- şi =pi i

i

n

1 , pi>0. Arătaţi că

(i).

fd = pi

i

n

1 f(i); f = g(mod ) f=g ; seminormele Np sunt chiar norme .

(ii). ║f║pp = (

pi

i

n

1 f(i))p dacă p< şi ║f║ = max {f(i) 1in -. Toate spaţiile Lp coincid între ele şi

sunt spaţii Banach homeomorfe cu n echipat cu distanţa euclidiană. Convergenţa în măsură, aproape sigură şi în Lp este aceeaşi .

(iii). Să presupunem acum că ponderile pi pot fi şi nule. Fie J() := Supp() = {j pj > 0 }. Atunci f =

g(mod ) f(i)=g(i) iJ; dacă J , atunci spaţiile L p nu mai sunt spaţii normate, nefiind separate, iar

spaţiile Lp coincid toate cu spaţiul euclidian J(). În sfîrşit, ║.║ depinde de măsura numai prin

intermediul mulţimii Supp(), în sensul că dacă şi sunt două măsuri cu acelaşi suport, normele ║.║

calculate cu şi coincid.

24. Spaţiul vectorial al măsurilor cu semn în cazul finit. Păstrăm notaţiile din exerciţiul precedent . Fie

X mulţimea măsurilor cu semn pe (,p()), X+ măsurile pozitive şi Pn mulţimea probabilităţilor. Dacă

X, fie J+() = {j pj > 0}, unde =pi i

i

n

1 . Verificaţi că:

(i). + = j J

pjj ; - = j J J

\ (-pj )j, = i

n

1 pjj, ║║ = i

n

1 pj. Deci aplicaţia T:X

n dată prin

T() =(p1,...,pn), (unde pe n considerăm norma 1, ║x║:= i

n

1 xj) este o izometrie.

(ii).Dacă şi sunt măsuri din X atunci << Supp() Supp(), Supp()=Supp(),

Supp()Supp() = şi toate măsurile din X sunt absolut continui faţă de măsura cardinal card. Cine

este densitatea

d

dcard

?

(iii). Dacă = i

n

1 pjj, = i

n

1 qjj şi << arătaţi că = f cu f(j) =

q

pdaca j Supp

arbitrar altfel

j

j

deci densitatea garantată de Teorema Radon Nikodym nu este în general unică.

(iv). În cazul particular n=3 reprezentaţi mulţimile T(X+), T(P3), T(j), T(card), T({<<}) cu =p1+q2 .

25. Spaţiile l p . Acestea sunt spaţiile Lp(N,p(N), ) cu măsura cardinal, = card. Arătaţi că

(i). Dacă f 0, atunci

fd = n

1 f(n). Dacă f nu este neapărat pozitivă, fie I+(f)={n1f(n)>0- şi I-(f) = {

n1f(n)<0 }. Atunci f are integrală n I f

f(n) < sau n I f

f(n) > - iar f este integrabilă

seria n

1 f(n) este absolut convergentă.

(ii). Dacă p < q atunci l p l q l . Mai mult, f l p ║f║ = limp║f║p.

(iii). Toate spaţiile l p sunt diferite unul de altul iar p1 l p c0 c l unde c0 reprezintă

spaţiul şirurilor convergente la 0 iar c reprezintă spaţiul şirurilor convergente.

(iv). Fie fn un şir de funcţii definite pe - deci de şiruri. Atunci

fn f (în măsură) fn f (în l .) fn f (uniform) fn f ( a.s.).

(v). Şirul fn := 1{n} converge la 0 aproape sigur dar nu convergeîn măsură.

(vi). Toate măsurile cu proprietatea că ({n})< n sunt -finite şi admit densitatea faţă de . Care este aceasta?

26. Spaţiile L p(N,p(N), ) cu o măsură -finită oarecare. Fie = n

1 pnn cu pj 0 şi fie Supp() =

{n1 pn > 0 }. Arătaţi că

(i).

fd = n

1 pnf(n) . Funcţia f este integrabilă seria este absolut convergentă.

(ii). ║f║p = p f nn

p

n

p

( )

1

1

dacă p<, ║f║ = sup { f(n) n Supp() }.

(iii). Dacă Supp() este finit atunci toate spaţiile (L p(N,p(N), ))p1 coincid .

(iv). Dacă f p1

L

p(N,p(N), ) atunci ║f║ = limp║f║p (deci limita din dreapta există).

(v). Dacă este mărginită atunci sunt valabile incluziunile p < q L q( ) L

p( ) .

(vi). Să presupunem că Supp() = N şi că pn 0 cînd n . Fie k1 < k2<k3<...... astfel ca p

nkn

1

! .

Fie An ={kn-şi fie 1 p < q < . Fie fp =

1

2

11

A

n

k

pn

n

np

. Atunci fpL p( ) \ L

q( ) deci toate spaţiile acestea

sunt diferite. În aceleaşi ipoteze funcţia f = n A

nn

11

L

( ) dar f1p< L p( ).

(vii). Întotdeauna mulţimile Lp() pot fi gîndite ca submulţimi ale lui . Verificaţi că dacă este o

probabilitate Supp() = N, atunci acestea formează o familie descrescătoare de mulţimi din b () şi că

intersecţia lor conţine pe L (). Coincide intersecţia cu L () ?

(viii). Dacă (N) = se poate ca între aceste spaţii să nu fie nici o incluziune. Dacă, de exemplu, ({n})

=

1

n atunci funcţia f = n

nn

1 2

1

este în L 1() \ L 2() iar funcţia g definită prin g =

1 2

2

n

n n nlog

este

în L 2() \ L 1().

(ix). Totuşi, întotdeauna familia de mulţimi din dată prin Ap = L p() L () este crescătoare : p < q

Ap Aq .

27. Spaţiile L p(,k, ) cu măsura cardinal, nenumărabilă. Atunci

(i). nu mai este -finită.

(ii). Pentru fiecare variabilă aleatoare f fie Supp(f) = {x f(x) 0 }.Arătaţi că Supp(f)k şi că dacă f este integrabilă, atunci Supp(f) este o mulţime cel mult numărabilă.

(ii). Dacă f admite -integrală, atunci cel puţin una din mulţimile ,f >0- sau , f<0- este cel mult numărabilă.

(iii). f = g (mod ) f=g. Deduceţi că L p(,k, ) deja sunt spaţii Banach (nu mai trebuie factorizate).

Incluziunile dintre ele sunt la fel ca în cazul numărabil : cel mai mare este L .

(iv). Orice măsură pe (,k) este absolut continuă faţă de dar teorema Radon-Nikodym nu mai

funcţionează. Demonstraţi că măsura Lebesgue pe (,b()) nu este de forma f cu f 0, deşi este

-finită. De ce? 28. O măsură absolut contiună faţă de o probabilitate care nu admite densitate .

Fie = [0,1], k = b ([0,1]), = măsura Lebesgue pe . Fie : k [0,] măsura dată prin (A) =

0 0daca A

altfel

( )

. arătaţi că << dar nu este de forma = f cu f 0 măsurabilă.

29. Spaţiile L p (,b (), ) cu măsura Lebesgue.

(i). Fie X = { f : f măsurabilă şi (Supp(f)) < . Atunci X este un spaţiu vectorial şi 1 p q

X L q (,b (), ) X L p (,b (), ).

(ii). Dimpotrivă, în aceleaşi ipoteze L () L p ( ) L () L q ( ).

(iii). Funcţia f(x) =

1

21

1 1 0x

x , \{ }

( )

este în L 1 ( ) \ L 2 ( ) iar g(x)=min(1,

1

x ) este în L 2 ( ) \ L

1 ( ). Deci în general nu este nici o incluziune între spaţiile L p ().

(iv). Funcţia f(x) = e x 2

este în toate spaţiile L p(). Calculaţi ║f║p .

(v). Dacă f 1p L p() atunci ║f║ = limp ║f║p .

(vi). Dacă notăm cu f = {g : g măsurabilă Lebesgue, f = g (mod ) } care este cardinalitatea lui f?

(vii). Arătaţi că funcţia f: , fa(x) =

sin x

x 1(0,)(x) este integrabilă Riemann pe [0,) dar nu este integrabilă Lebesgue.

(viii). Daţi exemple de şiruri de funcţii măsurabile (fn)n care să conveargă în măsură, dar nu -a.s. şi nici în

L p(); care să conveargă -a.s. dar nu în măsură; să conveargă în L 1 () dar nu în L 2 (); în general, să

conveargă în L p().dar nu în L q().

30.Contraexemplu la Teoremei lui Fubini. O bijecţie de la N la N2. Fie f: N N N dată prin f(i,j) =

2i(2j+1). Pe (N,p (N)) considerăm măsura =

j

j j

1 . Atunci

(i). Funcţia f este bijectivă şi i1i2, j1j2 f(i1, j1) f(i2, j2).

(ii). Aplicaţia m: p (N) [0,] dată prin m(A) = (f(A)) este o măsură de tip produs : există măsurile m 1,

m 2 pe N ca m = m 1 m 2 . Să notăm ri,j = m({i,j}) = piqj. aplicînd Teorema lui Fubini pentru funcţii

pozitive deduceţi că dacă pi, qj sunt nenegative, atunci

p q p qi ji j

ii

jj,

0 0 0 .

(iii). Fie funcţia g = f i i f i i

i i i iii

( , ) ( , )( , ) ( , )

1 1 11

0

. Verificaţi atunci că integralele iterate există :

g m n( , )dm 1 (m)dm 2(n) =

p g m n qm nnm

( ( , ) )

00 = 1 dar

g m n( , )dm 1 (m)dm 2(n) =

q g m n pn mmn

( ( , ) )

00 = 0. De ce nu coincid ?

31. Produsul de măsuri discrete este de asemenea măsură discretă. Fie (i,ki), i=1,2 două spaţii

măsurabile . Fie A={xii I} 1 şi B=,yjj J} 2 două mulţimi cel mult numărabile. Fie (pi)iI şi

(qj)jJ numere pozitive. Considerăm măsurile = p i x

i Ii

(pe 1) şi =

q j yj J

j

(pe 2) . Verificaţi

că atunci =

p qi j x yi j i j

,

,

0 . În particular (x,y)=xy .

32. Exemple în care integralele iterate nu coincid sau coincid deşi funcţia nu este integrabilă

(i). (N,p (N)) considerăm măsura cardinal . Fie A = {(i,i)i N }, B = {(i.i+1)i N -şi fie f=1A-1B. Atunci

f x y d x d y( , ) ( ) ( ) = 1 dar

f x y d y d x( , ) ( ) ( ) = 0.

(ii). În acelaşi context de mai sus fie

f(x,y) =

1

1 1 1

0

daca x y

daca y x x impar sau y x x par

altfel

, ,

. Arătaţi că în acest caz, deşi f nu este - integrabilă, integralele itereate există şi coincid.

(iii). Fie = [-1,1]2, k = b ([-1,1]2 ), şi f(x,y) =

xy

x ydaca x y

altfel

2 2 20 0

0

,

. Atunci f este

măsurabilă, nu este integrabilă faţă de 2 dar integralele iterate coincid.

33. O măsură pu semn de tip produs. Fie q (-1,1) şi m măsura pe N2 definită prin m({(i,j)}) = qi+j. Este

m o măsură produs ? Cine este m +, m -, m , ║ m ║? 34. O măsură cu semn absolut continuă depinzînd de parametri.

Fie = {(x,y)2x2 + y2 1}. Fie f:2 , f(x,y) = ax+by+c, a,b,c şi = (f1)2

.

(i). Este o măsură cu semn? care este norma sa? Cum trebuie să fie numerele a,b,c, pentru ca să fie o măsură veritabilă? (ii). Dar o probabilitate? Dar o măsură de tip produs?

(iii). Fie pe variabilele aleatoare X = pr1, Y = pr2. Să presupunem că a,b,c sunt aleşi astfel ca să fie probabilitate. Arătaţi că X şi Y nu sunt niciodată independente.

(iv). Dacă a=b=0 şi este probabilitate arătaţi că X şi Y sunt necorelate.

34.Generalizare pentru p1 .

(i). Fie Ip = 1

0

11

x dxpp

. Dezvoltaţi pe (1 - xp)1/p în serie, aplicaţi teorema de Lebesgue de convergenţă

dominată şi arătaţi că Ip =

11

1 2 1 1 1

12

p

p

p p n p

n p npnn

... ( )

! .

Estimaţi apoi restul şi deduceţi că

Ip p

p

p p pp

1

1

1

1

2 2 1

1

32( )

(ii). Fie Sp ={(x,y)2x

p +yp 1} discul unitate din 2 faţă de norma ║.║p şi s(p) aria sa. Arătaţi

că p<q Sp Sq deci funcţia s:*1,) este crescătoare. Verificaţi că s(1) = 2, s(2) = , s() = 4 şi că s(p) = 4Ip de unde deduceţi estimări pentru s(3) şi s(4).

(iii). Pe = 2, k = b (2) măsurile Pp : =

1Sp

s p( ) 2 sunt probabilităţi. Variabilele aleatoare de la

exerciţiul precedent (adică X= pr1,Y= pr2) sunt necorelate dar, cu excepţia cazului p= ele nu sunt independente.

35. Generalizarea la n. Volumul sferei euclidiene n-dimensionale şi volumul simplexului

n-dimensional. Acum = n, k = b (n), Xj = prj . S(n,p) = {x║x║p1} = {xn x j

p

j

n

11 },

s(n.p) = n(S(n,p)) iar probabilităţile Pp =

1S n p

s n p

( , )

( , ) . n .

(i). Dacă p , variabilele aleatoare (Xj)1jn sunt necorelate două cîte două dar nu sunt independente.

(ii). Arătaţi prin inducţie după n că s(n,1) =

2n

n! , s(n,) = 2n.

(iii). Fie Sr(n,p) = {x║x║p r} sfera de centru 0 şi rază r şi sr(n,p) volumul său. Arătaţi atunci că

sr(n,p) = rns(n,p) iar secţiunea în Sr(n,p) prin hiperplanul xn = x (cu x<r ) este S n p

r xp p p

1 1( , )

. Deduceţi de aici că numerele sr(n,p) verifică ralaţiile de recurenţă

sr(n,p) =rsr(n-1,p)( )1

1

1

1

x dx

p

n

p

. În particular, volumul sferei unitate este dat de realţia de recurenţă

s(n,p) = 2s(n-1,p) 1

1

0

1

x dxp

n

p

. Deduceţi de aici volumul sferei euclidiene (cazul p=2) care este dat de

relaţia de recurenţă s(n,2)=s(n-1,2)sinn xdx

0

, s(2,2) = . Rezultă s(n,2) =

m

m mm

daca n m

mdaca n m

!

...

2

2

1 3 5 2 12 1

1

. 36. Inegalităţile lui Bonferoni. (i). Fie n şi k două numere naturale. arătaţi, prin inducţie după k identitatea

C C C C Cn n n

k

n

k k

n

k0 1 2

11 1 ... ( ) . Pentru n k, Cn

k

1 = 0 deci membrul drept coincide cu 0.

(ii). Deduceţi că C C Cn n

k

n

k1 2 11 ... ( ) 1 ( k impar) şi C C Cn n

k

n

k1 2 11 ... ( ) 1 pentru k

par. Dacă nk inegalităţile devin egalităţi.

(iii). Fie A1,...,An submulţimi ale unui spaţiu oarecare . Fie A reuniunea lor şi pentru k n, fie fk =

11 2

AJ n J k

j

j J

, ,..., , . Arătaţi folosind (ii) că 1A f1-f2+...+(-1)k-1fk (k impar ) şi, dacă k este par este

valabilă inegalitatea inversă : 1A f1-f2+...+(-1)k-1fk . De exemplu, indicatorul lui A verifică cleştele f1 - f2

1A min(f1, f1-f2+f3).

(iv). Să presupunem acum că (,k,) este un spaţiu cu măsură şi că A1,...,An au toate măsura finită. Fie Sk

=

A jj JJ n J k

1 2, ,..., , . Atunci sunt valabile următoarele inegalităţi (inegalităţile lui Bonferonni) : (A)

S1-S2+...+(-1)k-1Sk (k impar ) iar pentru k par este valabilă inegalitatea contrară : (A)

S1-S2+...+(-1)k-1Sk . De exemplu (A) S1 - S2+S3 şi (A) S1-S2.

(v). Dacă, de exemplu, (,k,P) este un spaţiu probabilizat şi A1,...,An sunt independente două cîte două şi

P(Ak)=p 1kn, inegalitatea Bonferroni ne poate da o margine inferioară pentru P(A): np - n(n-1)p2/2

P(A) np. Pentru n=3 obţinem P(A) 3p -1.5p2 iar pentru n=4 rezultă 4p - 6p2 P(A) 4p. Dacă p este

mic, ele sunt destul de satisfăcătoare: dacă p=.1 şi n=4 obţinem, în ipotezele de mai sus că .34 P(A) .4

; dacă cele patru evenimente ar fi toate independente, s-ar obţine valoarea exactă P(A) = 1 - .94 .355 . 37. Funcţia de repartiţie a unei măsuri mărginite în plan.

Fie = 2, k = b (2) şi o măsură mărginită. Definim F(x,y) = ((-,x](-,y]), F1 := F1,(x) =

((-,x]),F2 := F2,(y) = ((-,y]) . Arătaţi că

(i). F1 şi F2 sunt funcţii de repartiţie pentru măsurile 1 = (pr1)-1 şi 2 = (pr2)-1 .

(ii). Dacă şi ‘ sunt două măsuri mărginite, atunci F+‘ = F + F‘ .

(iii). Dacă = (a,b), atunci F(x,y) = 1(-,x](a)1(-,y](b).

(iv). Dacă = 12 cu 1,2 măsuri mărginite pe dreaptă, atunci F = F F 1 2

.

(v). Reciproc, dacă F1 şi F2 sunt funcţii crescătoare, continui la dreapta şi mărginite, astfel încît

F1(-)=F2(-)=0 şi F = F1F2, atunci este o măsură de tip produs.

(vi).Fie o măsură mărginită şi F funcţia sa de repartiţie. Atunci F are următoarele proprietăţi:

(a). F(-,y) = F(x,-) = 0

(b). xx’, yy’ F(x,y) F(x’,y’) (monotonie) (c).F(x+0,y) = F(x,y+0) = F(x+0,y+0) = F(x,y) (continuitate la dreapta).

(d).F(x+h,y) - F(x,y) =((x,x+h]), F(x,y+k) - F(x,y) = (((y,y+k]).

(e).F(x-0,y) = ((-,x)(-,y]), F(x,y-0) = ((-,x](-,y)) .

(f). F(x-0,y-0) = ((-,x)(-,y)).

(g). Dacă F1 şi F2 sunt funcţiile de la (i), atunci F1(x) = F(x,), F2(y) = F(,y) .

(h). ((x,x+h](y,y+k])=F(x+h,y+k)-F(x+h,y)-F(x,y+k)+F(x,y).

(i). F(x,y) - F(x-0,y) = ({x}(-,y]), F(x,y)-F(x,y-0) = ((-,x]{y}).

(j). F(x,y)-F(x-0,y-0) = ((-,x]{y} {x}(-,y]).

(k). F(x,y)-F(x-0,y)-F(x,y-0)+F(x-0,y-0) = ({(x,y)}).

(vii). Reciproc, dacă F: 2 [0,) este o funcţie mărginită care satisface proprietăţile a,b,c,e,f (limite) şi

în membrul drept al egalităţii (h) cantitatea este pozitivă (mai precis, dacă definim F(x,y;h,k) :=

F(x+h,y+k)-F(x+h,y)-F(x,y+k)+F(x,y), atunci F(x,y;h,k) 0 pentru x,y , h,k 0 ) atunci există o

măsură mărginită în plan ca funcţia sa de repartiţie F să coincidă cu F. (viii). Dacă F1 şi F2 sunt două funcţii de repartiţie pe dreaptă, este adevărat că funcţia F definită prin F(x,y) = F1(x) + F2(y) este funcţie de repartiţie pentru o măsură planară?

(ix). Este funcţia F(x,y) = min(x+y, x+1, y+1)1(0,)(x)1(0,)(y) funcţie de repartiţie pentru vreo măsură planară ?

(x). Densitatea unei măsuri faţă de 2. Fie o măsură mărginită planară. Fresupunem că funcţia F este

derivabilă de două ori. Atunci <<2 şi, mai precis, = F”x,y

2. 38. Exemple şi contraexemple de funcţii de repartiţie planare.

(i).Găsiţi funcţia de repartiţie a măsurii (A) = (pr1( DA)) cu măsura Lebesgue unidimensională şi D =

{(x,x) 0 x 1 }. Dar a măsurii (A) = (pr1( EA)) cu E fiind segmentul care uneşte punctele (1,0) şi (0,1)

? Arătaţi că aceste măsuri, deşi continue (adică neglijează punctele) nu sunt absolut continue faţă de 2 (fiind concentrate pe mulţimi neglijabile), ba mai mult, deci sunt singulare faţă de ea. Înseamnă că funcţia lor de repartiţie, deşi continue, nu sunt derivabile.

(ii). Fie funcţiile F1 (x,y) = min(x,y)1[0,)(x) 1[0,)(y) şi F2(x,y) = max(x,y) 1[0,)(x) 1[0,)(y). Pot ele fi funcţii de repartiţie pentru măsuri planare?. Dar suma lor este funcţie de repartiţie?

39. Repartiţia unui vector aleator .Densitatea unui vector aleator. Fie (,k,P) un spaţiu probabilizat şi

Z=(X,Y) un punct aleator. Spunem că Z are densitate dacă PZ-1 este absolut continuă faţă de 2 .

(i). Arătaţi că dacă X este o variabilă aleatoare uniform repartizată, atunci punctul aleator Z=(X,X) nu are densitate, deşi ambele sale coordonate au densitate. Deci nu este suficient ca ambele coordonate ale

unui punct să aibă densitate faţă de ca el să aibă densitate.

(ii). Fie X un vector aleator n-dimensional cu densitatea X. Fie A o matrice nn şi bn. Atunci AX+b

are de asemenea densitate şi AX+b (x) =

X A x b

A

1

det( ) .

(iii) Dacă X este vector aleator de componente (Xi)1in atunci media sa este vectorul dat prin EX =

(EXj)1jn . Arătaţi că, dacă A este o matrice cu m linii şi n coloane iar bm atunci E(AX+b) = AEX + b.

40..Repartiţii simetrice n-dimensionale. Fie X un vector aleator n-dimensional . Fie = X repartiţia sa.

Pentru fiecare permutare Sn fie f: n n funcţia definită prin permutarea componentelor: f(x) =

( x(!), x(2), ..., x(n) ) . Spunem că este simetrică dacă f-1 = . Dacă g : n este o funcţie

măsurabilă, spunem că g este simetrică dacă gf = g. Dacă C b (n) spunem că C este simetrică dacă

1C este o funcţie simetrică. În sfîrşit, un vector aleator X este simetric dacă repatiţia sa X este simetrică.

(i). Dacă = n cu o repartiţie pe dreaptă, atunci este simetrică. Deci dacă (Xj)1jn sunt variabile aleatoare i.i.d., atunci X este un vector aleator simetric.

(ii). Să presupunem că = n . Atunci este simetrică este simetrică.

(iii). Dacă X este un vector aleator simetric atunci componentele sale (Xj)1jn sunt identic repartizate. Rezultă că EX = (a,a,...,a) cu a=EX1 .

(iv). Mai mult, dacă X este un vector simetric şi J ,1,2,...,n- este o mulţime cu k elemente, vectorul X(J)

de componente (Xj)jJ este de asemenea simetric şi PX(J)-1 = PX({1,2,...,k})-1. Deduceţi de aici că E(XiXk) =

E(X1X2) 1i,jn deci matricea coeficienţilor de corelaţie R=(rij)1i,j1 are forma R=

1

1

1

r r

r r

r r

...

...

... ... ... ...

...

cu r = (X1, X2) . 41. Repartiţia uniformă în cazul unei mulţimi finite. Să presupunem că X este o variabilă aleatoare

simplă. Fie C = Im(X). Spunem că X este repartizată uniform dacă P(X=x)=

1

C xC. Arătaţi că dacă X şi

Y sunt variabile aleatoare simple independente uniform repartizate, atunci vectorul (X,Y) este de asemenea uniform repartizat. Mai rămîne afirmaţia adevărată dacă X şi Y nu sunt independente? Verificaţi că dacă C=,0,1,2- punctul aleator Z cu repaertiţia Z~

( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , )0 0 01 0 2 1 0 11 1 2 2 0 21 2 2

0 0 0 2 0p p p p p

cu p=

1

6 are ambele componente uniform repartizate şi necorelate deşi el nu este uniform repartizat.

42. Repartiţia uniformă pe un compact. Fie C n o mulţime compactă neneglijabilă Lebesgue .

Probabilitatea U(C) = (a1C)n cu 1/a = n(C) se numeşte repartiţia uniformă pe C. Dacă vectorul aleator

X: C are repartiţia U(C) atunci X se numeşte uniform repartizat pe C. Deci dacă X ~ U(C) atunci

P(X B) =

n

n

BC

B( ) . Dacă C = [0,1]n atunci X se numeşte pur şi simplu uniform repartizat. Arătaţi că

(i).Dacă X ~ U(B),Y ~ U(C) şi X este independent de Y atunci (X,Y) ~ U(BC) unde B m şi Cn sunt compacte neneglijabile Lebesgue. (ii). Dacă X ~ U(C), media sa EX se numeşte baricentrul lui C. Arătaţi că dacă C are un centru de simetrie

(adică un punct aC cu proprietatea că xC 2a-x C) atunci EX=a.

(iii). Folosind formula de transport arătaţi că dacă X ~ U(C) şi g:n este măsurabilă mărginită atunci

Eg(X) =

11

n C

n

Cf d

( )

(iv). Calculaţi EX dacă X este uniform repartizat într-un cerc, sferă, triunghi.

(v). Să presupunem că X ~ U(C) cu C n compact neneglijabil Lebesgue. Fie T: n n o transformare

afină nesingulară, adică T(x) = Ax + b cu A matrice nesingulară, bn . Atunci T(X) ~ U(T(C))

(vi). Dacă X ~U(C) cu C un compact simetric atunci X este vector simetric. Deci baricentrul lui C, EX =(a,a,...,a) cu a=EX1.

43. Repartiţia uniformă într-un simplex. Fie x(0),x(1),...,x(n) n. Acoperirea convexă a acestor vectori

C = co(,x(0),x(1),...,x(n)-) se numeşte simplexul de vîrfuri (x(j))0jn cu condiţia ca interiorul acestei

mulţimi să fie nevid (altfel se numeşte simplex degenerat) . Dacă x(0)=0 şi x(j)=ej unde (ej)1jn este baza

canonică din n, atunci C se numeşte simplexul canonic şi se notează cu Pn.

(i). Simplexul C este imaginea simplexului canonic Pn prin aplicaţia afină T:n n dată de relaţia T(x) = Ax+b unde b=x(0) iar A este matricea avînd coloanele (x(1) -x(0),x(2) - x(0),...,x(n) - x(0)) (vectorii x(j) îi gîndim ca vectori coloană).

(ii). Dacă X ~ U(Pn) atunci X este simetric şi densitatea lui X este X = n Pn!1

iar dacă X~U(C) cu C =

co({x(0),x(1),...,x(n)}) atunci x = n!1C /det(A)unde matricea A este A = (x(1)-x (0),x(2) -

x(0),...,x(n) - x(0)), (x(j))0jn fiind vîrfurile simplexului.

(iii). Dacă X ~ U(Pn) atunci EX =

1

1

1

1

1

1n n n

, , ..., n iar coeficienţii de corelaţie (Xi,Xj)1ijn

coincid cu (X1,X2) =

1

n . Verificaţi apoi că E(X1X2) =

1

1 2n n În general, dacă C =

co({x(0),x(1),...,x(n)}) atunci EX =

1

10 1

nx x x n

( ( ) ( ) ... ( ))

este centrul de greutate obişnuit al celor n+1 vectori.

44. Statistici de ordine. Fie X un vector n-dimensional cu densitatea X faţă de n. Ordonăm

componentele lui X în ordine crescătoare X(1) X(2) ... X(n) . Variabila aleatoare X(j) se numeşte statistica de ordine nr. j a lui X. Fie Y vectorul (X(1), X(2), ..., X(n)).

(i).Y are de asemenea densitate Y dată de formala Y(x) =

X

S

Df x xn

1 ( )

unde, dacă este o

permutare din Sn, f(x) = (x(j))1jn .

(ii). Dacă X este simetrică, atunci Y=n!X1D . În particular dacă (Xj)1jn sunt variabile aleatoare i.i.d.,

atunci Y(x) = n!(x1)(x2)...(xn)1D(x), unde am presupus că PXj-1 = . Dacă X este şi uniform repartizat

pe [0,1]n, atunci Y este uniform repartizat în simplexul Qn := co(0,en,en+en-1,en+en-1+en-2,....,e1+e2+...+en).

Cum acesta este congruent cu Pn rezultă că Y = n Qn!1

.

(iii). Media.Deduceţi din (ii) că dacă X ~ U([0,1]n) , atunci EY =

1

1

2

1 1n n

n

n

, , ...,

. (iv). Repartiţia statisticii de ordine nr. j în cazul uniform. Dacă X este uniform repartizat în *0,1+n

atunci

X(j) ~ j cu j(x) = nC x xn

j j n j

1

1 1 11(0,1)(x). Deduceţi apoi de aici că EX(j) =

j

n 1 , E(X(j)2) =

j j

n n

1

1 2, 2(X(j)) =

j n j

n n

1

1 22

(v). Ecarturile -Diferenţele statisticilor de ordine. Fie X ~ U([0,1]n), Y statistica sa de ordine şi Z vectorul

Z =(Y1, Y2-Y1,...,Yn - Yn-1 ). Arătaţi că Z ~ U(Pn) deci diferenţele au toate aceeaşi medie EZj = (n+1)-1. Reciproc, dacă Z ~ U(Pn) atunci vectorul Y*=(Z1,Z1+Z2,...,Z1+...+Zn) are aceeaşi repartiţie cu Y. (vi). Corelaţia între două statistici de ordine. Deduceţi din (v) că dacă X este uniform repartizat în *0,1+n

atunci E(X(i)X(j)) =

i j

n n

1

1 2 şi că (X(i), X(j)) =

i n j

j n i

1

1. Deci (X(1), X(n)) =

1

n

45. Repartiţia uniformă pe cercul trigonometric. Fie S o variabilă uniform repartizate pe [0,2].

Atunci spunem că Z=(cosS,sinS) este uniform repartizat pe cerc.

(i). Dacă Z=(X,Y) este uniform repartizat pe cerc, atunci X,Y sunt necorelate dar nu independente.

Repartiţia Z fiind concentrată pe cerc este singulară faţă de 2.

(ii). Dacă Z1 şi Z2 sunt uniform repartizate pe cerc, atunci Z1+Z2 are o densitate faţă de 2 şi anume

(x,y)=

2

42 2 r r cu r = r(x,y) = x y2 2 (iii). Ce face următorul program BASIC? cls: screen 9: window(-3,-3)-(3,3): pi = 4*atn(1) 1 s = 2*pi*rnd : t = 2*pi*rnd : x = cos(s) +cos(t) : y=sin(s)+sin(t) pset(x,y),14 goto 1 46. Un punct aleator ]n interiorul unui cerc care nu este uniform repartizat.

Fie R ~U(0,1) şi T ~ U(0,2). Fie X = RcosT, Y=RsinT . Atunci P(X,Y)-1 = 2 cu (x,y)=

1

2 2

C x y

x y

( , )

deci

(X,Y) nu este uniform repartizat în descul C=,(x,y)2x2+y2

1}. Variabilele X ;i Y s]nt necorelate dar nu independente.

Bibliografie

Cei care doresc aprofundarea cunoştinţelor din acest curs mai pot consulta lucrările

1. Patrick Billinsley, Probability and Measure, Editura John Wiley & Sons, New York 1995

2. George Ciucu, Constantin Tudor, Probabilităţi şi procese stochastice, Editura Academiei,

Bucureşti 1978

3. George Ciucu, Constantin Tudor, Teoria probabilităţilor şi aplicaţii.

4. Ion Cuculescu, Curs de teoria probabilităţilor, Tipografia Universităţii, Bucureşti 1976.

5. William Feller, An Introduction to Pprobability Theory and its Applications, vol I, Editura

John Wiley & Sons, New York 1957.

6. Michel Loeve, Probability Theory, Van Nastrand 1963

Cuprins

Curs 1. Familii de submulţimi ale unui spaţiu ....................................... 1

Algebră, -algebră, U-sistem, mulţimi boreliene

Curs 2.Măsurabilitate ....................................... 5

Preimagine, spaţiu măsurabil, funcţie măsurabilă,-algebră generată de

funcţii, spaţiu măsurabil produs, urma unui spaţiu măsurabil pe o mulţime,

variabilă aleatoare, vector aleator

Curs 3.Măsura. Prelungirea lui Caratheodory ....................................... 15

Măsură, măsură pe o algebră, criteriul de -aditivitate Kolmogorov,

măsura exterioară, mulţimi -măsurabile, prelungirea măsurii la

mulţimile -măsurabile, unicitatea prelungirii în cazul măsurilor -finite.

Curs 4.Regularitate faţă de familii semicompacte. Măsura Lebesgue ...... 24

Regularitatea faţă de o familie semicompactă implică -aditivitatea,

măsura Stieltjes generată de ofuncţie crescătoare continuă la dreapta,

continuitatea monotonă a măsurii, funcţia de repartiţie a unei măsuri Stieltjes.

Curs 5.Măsura Lebesgue. Completarea unei -algebre faţă de o măsură .. 30

Măsura Lebesgue, completarea unei -algebre faţă de o măsură,

regularitatea măsurilor Stieltjes pe spaţii metrice -compacte,

transportul măsurilor, mulţimi nemăsurabile Lebesgue, repartiţii

pe dreaptă, pseudoinversa.

Curs 6.Integrala ....................................... 39

Integrarea funcţiilor simple, integrarea funcţiilor pozitive,

Teorema Beppo-Levi, integrarea funcţiilor măsurabile oarecare,

spaţiul L1, proprietăţile fundamentale ale operatorului de integrare,

comparaţie între integrala Lebesgue şi integrala Riemann,

criteriul lui Lebesgue de integrabilitate Riemann

Curs 7.Teorema Radon - Nikodym ....................................... 52

Egalitatea aproape sigură, convergenţa aproape sigură, teorema

de convergenţă dominată, măsuri cu semn, descompunerea

Hahn - Jordan, spaţiul normat al măsurilor mărginite cu semn,

absolut continuitate, teorema Radon - Nikodym, spaţiile Lp,

inegalitatea lui Hölder, inegalitatea Minkowski, completitudinea

spaţiilor Lp, inegalitatea normelor.

Curs 8.Teorema ergodică ....................................... 63

Lema ergodică maximală, funcţii care invariază măsura,

teorema ergodică, transformare ergodică, criterii de ergodicitate.

Curs 9.Produs de spaţii cu măsură ....................................... 70

Produsul a două măsuri, produs finit de măsuri -finite, teorema Fubini,

măsura Lebesgue n-dimensională, produsul unui şir de probabilităţi,

teorema Kolmogorov, produs tensorial de densităţi, puterea unei măsuri,

shiftul ca aplicaţie ergodică.

Curs 10.Spaţii probabilizate ....................................... 78

Media unei variabile aleatoare, momente, dispersia, inegalitatea mediilor,

inegalitatea Jensen, proprietatea de optim a mediei, inegalitatea Cebîşev,

repartiţia unei variabile aleatoare, funcţia de repartiţie, variabile aleatoare

discrete, funcţia generatoare de momente, variabile aleatoare pozitive,

interpretarea geometrică a mediei, mediana, proprietatea de optim a medianei.

Curs 11.Independenţa. Legea numerelor mari ....................................... 86

Familii independente de mulţimi, evenimente independente, -algebre

independente,asociativitatea independenţei, probabilitate condiţionată,

variabile aleatoare independente, criterii de independenţă a variabilelor

aleatoare, legătura independenţă -probabilitate produs, variabile i.i.d.,

legea tare a numerelor mari - caz particular al teoremei ergodice,

legea slabă a numerelor mari, convergenţă în probabilitate,

coeficient de corelaţie, variabile necorelate, convergenţa în L2.

Curs 12.Reguli de calcul cu repartiţiile. Convoluţia ................................. 95

Repartiţia sumei, produsului, raportului a două variabile aleatoare,

simularea repartiţiei normale prin două uniforme independente,

proprietăţile repartiţiei normale, convoluţia, comportarea funcţiei

generatoare faţă de convoluţie, repartiţia binomială B(n,p),

repartiţia hipergeometrică, repartiţia Poisson, repartiţia geometrică,

teorema limită centrală.

Exerciţii ....................................... 105