9. sinif matematİk konu özetİ - nıf... · pdf file9. sinif matematİk konu...

2012

TOLGA YAVAN

Matematik Öğretmeni

9. SINIF MATEMATİK KONU

ÖZETİ

9. SINIF MATEMATİK KONU ÖZETİ

1

1. ÜNİTE: MANTIK

İnsan diğer canlılardan ayıran en önemli

özelliklerden biri düşünebilme yeteneğidir. Bireyler

karşılaştıkları günlük olayları akıl süzgecinden

geçirerek anlamlı kılarken, analiz ederken ya da

olası sonuçları tahmin ederken düşünce üretirler.

Dolayısı ile bireyler arası yarışmalarda problemlerin

çözümünde düşünce üretiminin öne çıkarılması

önemli bir göstergedir.

Hemen her olguda olduğu gibi doğru düşünme

kurallarının ortaya çıkması da tarih içinde bir

gelişim izlemiştir. Buna bir başlangıç noktası

seçilemez. Ancak, Antik Çağ’dan günümüze gelen

kanıtlarda mantık ile uğraşan düşünürlerin var

olduğu görülmektedir. Bunlar arasında, mantık

biliminin oluşmasında en etkili olanı Aristoteles

(Aristo)’dur. MÖ 600-300 yıllarında ortaya çıkan

usa vurma kurallarını Aristoteles sistemleştirmiştir.

Organon (Alet) adlı 14 “usa vurma kuralı, syllogism

(selocizm)” ortaya koymuştur. Bu kurallar,

bugünkü biçimsel mantığın temellerini

oluşturmaktadır ve 2000 yılı aşkın bir zaman dilimi

içinde insanoğlunun düşünme ve doğruyu bulma

eylemini etkilemiştir. Organon, insanlığa bırakılmış

en büyük miraslardan biridir. Kısacası yaşamımız

boyunca düşünme, hepimiz için çok önemlidir.

Ancak ondan da önemlisi oluşturulan düşüncenin

dayanaklarının doğru, kanıtlanmış, bilinen, görülen

ve elde edilen doğrulardan yola çıkılarak üretilmiş

olmasıdır. Düşüncenin bir başka özelliği

karşısındakini de düşünce üretmeye yöneltmesidir.

Böylesine anlamlı düşünme ve akıl yürütme yoluna

“Mantık” dendiği bilinmektedir.

Öyleyse mantık, temelleri yaklaşık 2500 yıl önce

Aristo tarafından atılan, günümüze kadar

sürekli geliştirilen, anlamlı ve sistemli düşünce

üretme kurallarına dayanan bir yapıdır, denebilir.

Günümüzde mantık, “Aristo Mantığı” ve “Sembolik

Mantık” adlı iki ana başlık altında işlenmektedir.

Yine bilindiği gibi “Sembolik Mantık” da kendi

içinde iki alt başlığa ayrılmaktadır.

Matematikçilerin çok kullandığı bu alt başlıklardan

biri Önermeler Mantığı diğeri de Niceleyiciler

Mantığı’dır.

Bilim dallarının tümünde ana dayanak olarak

mantıklı düşünce kullanılır. Bilimin kavramlarını

oluşturmada, aralarında ilişki kurmada ve onları

yorumlamada mantıklı düşünme öne çıkar. Mantıklı

düşünce ile en iyi uyum sağlayan bilim dalı

matematik olarak bilinir. Ünlü fizikçi Einstein

(Aynştayn)’ın “Matematik mantıklı düşünce

yoludur.” sözü de bilinen bu gerçeği

vurgulamaktadır.

Eğer bir birey mantık kavramını tam olarak öğrenir

ve sembolik mantığı doğru kullanabilirse

matematiği öğrenmede de büyük kolaylık sağlar

düşüncesi vardır. O nedenle bireye mantıklı

düşünme yollarını kazandırma matematik

öğretiminin genel amaçları arasında yerini almıştır.

Terim ve Tanım Bir bilim dalıyla ilgili özel anlam içeren sözcüklere,

o bilim dalının terimleri denir.

Bir terimin anlamını belirlemeye o terimi

tanımlamak denir. Matematikte herhangi bir terim

kendisinden önce tanımlanmış olan terimlerden

yararlanılarak tanımlanırsa bu terime tanımlı terim

adı verilir.

Bazı terimleri ise tanımlayamayız, sezgi yoluyla

kavrarız. Bu terimlere tanımsız terimler adı verilir.

Nokta terimi tanımsız bir terimdir. Buna karşılık

eşkenar üçgen, tüm kenar uzunlukları eşit olan

üçgen şeklinde tanımlanan bir tanımlı terimdir.

Tanımın Özellikleri

1. Tanım, tanımsız terimlere ya da daha önce

tanımlanmış terimlere dayanmalıdır.

2. Tanım, daha önce (başka terimler İçin)

yapılan tanımlarla çelişmemelidir.

3. Tanım, terimi hiçbir şüphe bırakmayacak

kadar kesin olarak tanımlamalıdır.

Önerme: Doğru ya da yanlış bir hüküm bildiren

ifadelere önerme adı verilir.

Önermeler p, q, r, s, t… gibi harflerle isimlendirilir.

Matematiksel mantık önermelerle

uğraşır. Her önerme bir yargı, bir bildirim, bir

bilgidir.

Önermelerin Doğruluk Değeri

Bir önermenin doğru ya da yanlış olması, bu

önermenin doğruluk değeridir. Önerme doğru ise

doğruluk değeri “1” ya da “D” ile, yanlış ise

doğruluk değeri “0” ya da “Y” ile gösterilir.

Doğruluk değerleri genellikle doğruluk tablosu

denilen bir tablo ile gösterilir.


2

Birbirinden bağımsız n tane önermenin doğruluk

tablosunda 2n tane farklı değer satırı bulunur.

Böyle bir tablo oluşturmak için:

1. Önce bağımsız önerme sayısı tespit

edilir. Bağımsız önerme sayısı n ise

tabloya tane değer satırı ve önerme

sayısı kadar sütun çizilir. İlk n sütuna

bağımsız değer alan önermeler yazılır.

2. İlk sütunda satırların ilk yarısı 1, diğer yarısı 0 ile

doldurulur.

3. İkinci sütunda, ilk sütunda 1 olan satırların ilk

yarısı 1, ikince yarısı 0; ilk sütunda 0 olan satırların

ilk yarısı 1, ikinci yarısı 0 olarak doldurulur.

4. Bağımsız değer alan önermelere ait satırlar bir

önceki sütuna bakılarak 3. adıma benzer şekilde

doldurulur.

5. Bağımsız değer alamayan önermelere ait satırlar

bağlaç ve değilleme kurallarına göre doldurulur.

Denk Önermeler Doğruluk değeri aynı olan önermelere denk

önermeler adı verilir. Denklik ≡ şeklinde gösterilir.

"Senenin dokuzuncu ayındayız" önermesi ile "Eylül

ayındayız" denk önermelerdir.

Bir Önermenin Olumsuzu (Değili)

Hükmünün olumsuzu alınarak oluşturulan yeni

önerme, bu önermenin olumsuzu (değili) olarak

adlandırılır. p önermesinin değili veya olumsuzu ve

p' şeklinde gösterilir.

Bir önerme ile değilinin değili denktir: ( ) "Ev sıcak" önermesinin değili, "ev sıcak

değil";

"a = 5" önermesinin değili “a≠5”

önermesidir.

BİLEŞİK ÖNERMELER İki veya daha fazla önermenin ve, veya, ise, ancak

ve ancak gibi bağlaçlarla birleştirilmesinden elde

edilen önermelere bileşik önerme adı verilir.

Bileşik olmayan önermelere basit önerme denir.

p q p∧q p∨q p⇒q p⇔q

1 1 1 1 1 1

1 0 0 1 0 0

0 1 0 1 1 0

0 0 0 0 1 1

0∨0≡0 diğer hallerde 1

1∧1≡1 diğer hallerde 0

1⇒0≡0 diğer hallerde 1

1⟺1≡1 veya 0⟺0≡1 diğer hallerde 0

“VE” İLE “VEYA” BAĞLAÇLARININ

ÖZELLİKLERİ

Her p, q, r önermesi için,

1. p ∨ p ≡ p ve p ∧ p ≡ p (Tek kuvvet özelliği)

2. p ∨ q ≡ q ∨ p ve p ∧ q ≡ q ∧ p (Değişme

özelliği)

3. (p ∨ q) ∨ r ≡ p ∨ (q ∨ r) ve (p ∧ q) ∧ r ≡ p ∧

(q ∧ r) (Birleşme özelliği)

4. p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r) ve p ∨ (q ∧ r)

≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r) (Soldan dağılma özelliği)

özellikleri vardır.

De Morgan Kuralları

Her p ve q önermesi için,

(p ∨ q)ˊ ≡ pˊ ∧ qˊ ve

(p ∧ q)ˊ ≡ pˊ ∨ qˊ dir.

Bu denklikleri ilk bulan Augustus De Morgan

(Ogust Dö Morgın) olduğu için, bu kurallara

De Morgan Kuralları denir.

İSE BAĞLACI (Koşullu Önerme) “⇒”

İse bağlacı ⇒ sembolü ile gösterilir. İse bağlacı ile

bağlanmış p ile q önermeleri p ⇒ q biçiminde

yazılır. p ise q diye okunur. p ⇒ q bileşik

önermesine koşullu önerme denir.

p ⇒ q önermesinde verilen p ve q önermelerinin;

Yerleri değiştirilerek elde edilen önermeye p ⇒ q

önermesinin karşıtı denir. p ⇒ q önermesinin karşıtı

q ⇒ p olarak gösterilir.

Olumsuzları alınarak elde edilen önermeye p ⇒ q

önermesinin tersi denir. p ⇒ q önermesinin tersi

pˊ ⇒ qˊ olarak gösterilir.

Hem olumsuzları alınıp hem de yerleri

değiştirilerek elde edilen önermeye p ⇒ q

önermesinin karşıt tersi denir. p ⇒ q önermesinin

karşıt tersi qˊ ⇒ pˊ olarak gösterilir.

p ve q önermeleri için p ⇒ q ≡ pˊ ∨ q dur.

ANCAK VE ANCAK BAĞLACI (İki Yönlü

Koşullu Önerme) “⇔”

Ancak ve ancak bağlacı ⇔ sembolü ile gösterilir.

Ancak ve ancak bağlacı ile bağlanmış p ile q

önermeleri p ⇔ q biçiminde yazılır. p ancak ve

ancak q diye okunur.

Her p ve q önermeleri için,

p ⇔ q ≡ (p ⇒ q) ∧ (q ⇒ p) dir.

TOTOLOJİ VE ÇELİŞKİ Bileşenlerinin doğruluk değerlerinden bağımsız

olarak, her zaman doğru olan bileşik önermelere

p q

1 1

1 0

0 1

0 0

p pˊ

1 0

0 1


3

totoloji; bileşenlerinin doğruluk değerlerinden

bağımsız olarak, her zaman yanlış olan bileşik

önermelere ise çelişki denir.

AÇIK ÖNERMELER İçinde en az bir değişken bulunduran ve bu

değişkenin aldığı değerlere göre doğru ya da yanlış

hüküm bildiren önermelere açık önerme denir.

Değişkenin açık önermeyi doğrulayan değerlerinin

kümesine açık önermenin doğruluk kümesi denir.

Denklem ve eşitsizlikler de birer açık önermedir.

“HER” VE “BAZI” NİCELEYİCİLERİ “∀” VE

“∃”

Bazı niceleyicisi ∃ sembolü ile gösterilir, en az bir

anlamına da gelir. Bu niceleyiciye varlıksal

niceleyici denir.

Her niceleyicisi ∀ sembolü ile gösterilir. Bu

niceleyiciye evrensel niceleyici denir.

Bazı niceleyicisinin olumsuzu her niceleyicisi, her

niceleyicisinin olumsuzu da bazı niceleyicisidir.

İSPAT YÖNTEMLERİ, TANIM, AKSİYOM

VE TEOREM Doğruluğu ispatsız kabul edilen önermelere

aksiyom adı verilir.

p≡1 olmak şartıyla, p⇒q koşullu önermesi doğru ise

bu önermeye teorem denir.

p⇒q teoreminde, p önermesi hipotez, q önermesi

hüküm olarak isimlendirilir.

0⇒1 koşullu önermesi doğru olmasına karşın bir

teorem değildir.

Çünkü bir koşullu önermenin teorem olabilmesi için

hem kendinin hem de hipotezinin doğru olması

gerekir.

Bir teoremin hükmünün, hipotezinden elde

edilebileceğini, veya başka bir deyişle hükmün,

hipotezin bir sonucu olduğunu göstermeye ispat adı

verilir.

Bir teoremin ispatlanması için kullanılan çeşitli

yöntemler vardır.

Teoremin hipotezinin doğruluğundan yola çıkarak

hükmünün de doğru olduğunun gösterilmesine

doğrudan ispat yöntemi denir.

Hükmün olumsuzundan hareketle hipotezin

olumsuzunu elde etmeye olmayana ergi yöntemi

ile ispat denir.

Hipotezin doğru olduğu kabul edilip hükmün

olumsuzunun hipotez ile çeliştiğinin gösterilmesine

çelişki yöntemi ile ispat denir.

Bir önermenin yanlışlığı için olumsuz bir örnek

bulunarak ispatlama yöntemine aksine örnek

vererek ispat yöntemi denir.

Önemli Kurallar:

1. p∨1≡1

2. p∧1≡p

3. p∨0≡p

4. p∧0≡0

5. ∨

6. ∧

7. ⇒ ∨

8. p⇒q≡q'⇒p'

9. p⟺q≡(p⇒q)∧(q⇒p)

2. ÜNİTE: KÜMELER

Kümeler, matematiğin nesnelerden oluşan, iyi

tanımlanmış toplulukların özelliklerini inceleyen

dalıdır. Söz konusu nesneler matematiksel nitelikli

(ör. sayılar ya da fonksiyonlar) olabileceği

gibi böyle bir niteliği taşımıyor da olabilir. Kümeler

kuramı günlük yaşamda da kullanılmaktadır.

Ancak kuramın, karmaşık matematiksel

kavramların oluşturulmasında bir araç olarak

kullanımı daha önemlidir. Sezgisel olarak küme

kavramı, sayı kavramından daha önce

geliştirilmiştir. Bir sürüdeki hayvanların, hiçbir

sayma işlemi yapmaksızın bir torbadaki taş

parçalarıyla ya da bir çubuğa açılan çentiklerle

eşleştirilmesi buna bir örnek oluşturur. Matematik

dilinde uluslararası birlik sağlama gereksinimi on

dokuzuncu yüzyıl sonlarına doğru zorunlu hâle

geldi. Alman matematikçi George Cantor (Corç

Kantor) (1845 - 1918) sonlu ve sonsuz kümeleri

oluşturmak amacıyla ilk çalışmaları yapanlardan

biridir. Cantor matematiksel küme kavramı ile

uğraşmıştır. Aynı dönemlerde Bernard Bolzano

(Bernart Balzano) (1851), sayılabilme problemini

ortaya koyan sonsuz kümeler üzerine çalışmalar

yapmış ve yayımlamıştır.

Frege (Frek) 1893 yılında Aritmetiğin Temel

Yasaları isimli yapıtının ilk cildinde Cantor’unkine


4

çok yakın bir küme kavramı oluşturmuştur. Frege

çalışmalarında sayıların tanımını küme kavramına

dayalı olarak yeniden vermeyi denemiştir.

Küme, matematiğin en temel terimlerinden birisi

olmasına rağmen tanımsız bir terimdir.

Kümeleri göstermek için üç farklı yöntem vardır:

1. Liste Yöntemi: Liste yönteminde; küme adı

büyük harfle yazılır, küme parantezi

oluşturulur ({ >), kümenin elemanları

aralarına virgül koymak suretiyle parantez

içine sıralanır.

2. Venn Şeması yöntemi: Venn şeması

yönteminde; Venn şeması adı verilen kapalı

eğri çizilir, küme adı eğrinin dışına büyük

harfle yazılır, küme elemanları irice

noktalarla belirtilir, bu noktaların yanına

adları yazılır.

3. Ortak Özellik Yöntemi: Ortak özellik

yönteminde; küme adı büyük harfle yazılır,

küme parantezi oluşturulur ({ >), küme

elemanlarını temsil eden değişken yazılır ve

"öyle ki" şeklinde okunan “:” konur, küme

elemanlarının ortak özelliklerinin tamamı

yazılır.

Bir a elemanının, bir A kümesine:

1. Ait olduğunu göstermek için sembolü

kullanılır: a A

2. Ait olmadığını göstermek için de sembolü

kullanılır: a A

SONLU VE SONSUZ KÜME

Sonlu sayıda elemandan oluşan kümelere sonlu

küme, sonlu sayıda elemandan oluşmayan

kümelere de sonsuz küme denir. Sonlu bir A

kümesinin eleman sayısı s(A) ile gösterilir.

BOŞ KÜME

Hiçbir elemanı olmayan kümeye boş küme denir ve

veya {} şeklinde gösterilir. Boş küme asla {0}

şeklinde gösterilmez.

ALT KÜME

Bir A kümesinin her elemanı, bir B kümesinin de

elemanı ise A kümesi B kümesinin alt kümesidir. A

kümesi, B kümesinin alt kümesi olduğunda B

kümesinin A kümesini kapsadığı söylenir.

A B işareti A kümesinin B kümesinin alt kümesi

olduğu; B A işareti ise B kümesinin A kümesini

kapsadığı anlamına gelir.

Her küme kendinin bir alt kümesidir. Boş küme her

kümenin alt kümesidir.

Bir kümenin kendisinden farklı alt kümelerine öz alt

kümeleri adı verilir.

Bir A kümenin bütün alt kümelerinin kümesine

A’nın kuvvet kümesi denir ve P(A) ile gösterilir.

Alt Küme Sayısına Ait Temel Değerler

1. n elemanlı bir kümenin k elemanlı alt

kümelerinin sayısı C(n,k) kombinasyonuna

eşittir.

( ) ( )

( )

2. Eleman sayısı n olan bir kümenin toplam 2n

tane alt kümesi, 2n

− 1 tane öz alt kümesi

vardır.

Özellikleri

1. ( ) (

)

2. ( ) (

)

3. ( ) (

) (

)

Özel Alt Küme Sayılarının Bulunmasına Dair

Teoremler

1. n elemanlı herhangi bir A kümesinin

herhangi bir a elemanı, kümenin tüm alt

kümelerinin yarısında bulunur, diğer

yarısında bulunmaz.


herhangi bir a elemanının bulunduğu alt

kümelerin yarısında herhangi bir b elemanı

bulunur, diğer yarısında bulunmaz.


herhangi bir a elemanı, k elemanlı alt

kümelerin

( ) kadarında bulunur,

gerisinde bulunmaz (n > k).

4. s(A) = k, s(B) = n ve k < n olmak üzere,

AKB olacak şekilde tane farklı K

kümesi yazılabilir.

Örnek: 5 elemanlı A = {1,2,3,4,5} kümesinin

toplam alt kümesinin yarısında, yani 16

tanesinde 1 elemanı bulunur, 16 tanesinde ise

bulunmaz.

A kümesinin 1 elemanını bulunduran 16 alt

kümesinin yarısında, yani 8 tanesinde 2 elemanı

bulunur, 8 tanesinde ise bulunmaz.


5

A kümesinin 1 elemanını bulundurup 2 elemanını

bulundurmayan 8 alt kümesinin yarısında, yani 4

tanesinde 3 elemanı bulunur, 4 tanesinde bulunmaz.

4 elemanlı A = {a, b, c, d} kümesinin c elemanı 3

elemanlı alt kümelerin

( )

( )

tanesinde bulunur; C(4,3)-3=1 tanesinde bulunmaz.

Örnek: A = {a, b, c, d, e} kümesinin kaç tane alt

kümesinde a ve c elemanlarından en az birinin

bulunacağını bulalım.

A kümesinin tane alt kümesi vardır. Buna

göre, 32:2 = 16 alt kümede a elemanı; 16:2 = 8 alt

kümede a ve c elemanı bulunmaz. Öyleyse 32-8=24

alt kümede a ve c elemanlarından en az biri

bulunur.

Örnek: A = {1,2,3} ve B = {1,2,3,4,5} olmak

üzere, ACB şartını sağlayan kaç farklı C kümesi

yazılabileceğini bulalım.

s(A) = 3, s(B) = 5 olduğuna göre, C kümesi

farklı şekilde oluşturulabilir.

DENK VE EŞİT KÜMELER Aynı elemanlardan oluşan kümelere eşit kümeler;

eleman sayıları aynı olan kümelere denk kümeler

denir.

Herhangi A ve B kümesinin eşitliği A = B, denkliği

ise A ≡ B biçiminde ifade edilir.

Eşit iki küme daima denktir.

KÜMELERDE İŞLEMLER

A ve B kümelerinin elemanları ile oluşturulabilen

en geniş kümeye A ve B kümelerinin birleşim

kümesi adı verilir ve A∪B şeklinde gösterilir.

A∪B={x: x A ∨ x B}

A ve B kümelerinin ortak elemanları ile oluşturulan

kümeye A ve B kümelerinin kesişim kümesi adı

verilir ve A∩B şeklinde gösterilir.

A∩B={x: x A ∧ x B}

İkiden fazla kümenin kesişimi benzer şekilde

tanımlanır. Kesişim kümeleri boş olan kümeler

ayrık kümeler olarak adlandırılır.

Kümelerde Birleşim ve Kesişim İşleminin

Özellikleri

1. Tek kuvvet özelliği

A∪A=A ve A∩A=A

2. Değişme özelliği

A∪B=B∪A ve A∩B=B∩A

3. Birleşme özelliği

A∪(B∪C)=(A∪B)∪C ve

A∩(B∩C)=(A∩B)∩C

4. Dağılma özelliği

A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C) ve

A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)

Boş küme ilişkileri

A∪ = ∪A=A ve A∩ = ∩A=

Kapsama ilişkileri

1. A∪B=B⟺A⊂B

2. A∩B=A⟺A⊂B

3. A⊂A∪B ve B⊂A∪B

4. A∩B⊂A ve A∩B⊂B

BİRLEŞİM KÜMESİNİN ELEMAN SAYISI

A ve B kümesinin birleşim kümesinin eleman

sayısı,

s(A∪B)=s(A)+s(B) – s(A∩B)

A, B ve C kümelerinin birleşim kümesinin eleman

sayısı,

s(A∪B∪C)= s(A)+s(B)+s(C) – s(A∩B) – s(A∩C) –

s(B∩C)+s(A∩B∩C) bağıntıları ile bulunur.

EVRENSEL KÜME VE TÜMLEME

Kümelerle yapılan işlemlerde işleme katılan, tüm

kümeleri kapsayan en geniş kümeye evrensel küme

denir ve E ile gösterilir.

A kümesinde olmayan fakat E kümesinde olan

elemanların oluşturduğu kümeye A kümesinin

tümleyeni denir ve bu küme A' ile gösterilir. A

kümesi ve A' kümesinin hiç ortak elemanı yoktur.

A kümesi ile A' kümesinin eleman sayıları ile E

kümesinin eleman sayıları arasında s(A)+s(A')=s(E)

bağıntısı vardır.

Evrensel kümenin özellikleri

1. E'= ve '=E

2. A∪E=E ve A∩E=A

Tümleyen Küme

A kümesinin elemanı olmayan evrensel küme

elemanlarının oluşturduğu kümeye A kümesinin

tümleyen kümesi denir ve A' şeklinde gösterilir.

A'={x : x E ˄ x∉A}


6

Tümleyen kümenin özellikleri

1. (A') = A

2. A∪A'=E s(A) + s(A') = E

3. A∩A'=

De Morgan kuralları

1. (A∪B)'=A'∩B'

2. (A∩B)'=A'∪B'

İKİ KÜMENİN FARKI

A kümesinde olan fakat B kümesinde olmayan

elemanların kümesine A fark B kümesi denir ve

A – B biçiminde gösterilir. B kümesinde olan fakat

A kümesinde olmayan elemanları n kümesine de B

fark A kümesi denir ve B – A biçiminde gösterilir.

3. ÜNİTE: BAĞINTI - FONKSİYON – İŞLEM

Fonksiyon terimi, “bir çokluğun bir başkasına bağlı

olarak değişmesi” anlamıyla ilk kez 1673 yılında

Leibniz (Laybniz) tarafından kullanıldı. Leibniz

buna örnek olarak,

• Dairenin alanının r yarıçapına bağlı olarak r nin

bir fonksiyonu,

• Serbest düşen bir topun hızının yere değinceye

kadar geçen t zamanına bağlı olduğunu, hızın

zamanının fonksiyonu olduğunu göstermiştir. Aynı

yıllarda Euler (Öylır), fonksiyonu harflerle

göstermek için formüller arıyordu. Sonunda, f

fonksiyonu göstermek üzere, y = f(x) bağıntısını

uygun buldu. Bunun “y, x in bir fonksiyonudur.”

biçiminde okunmasını istemiştir. Buradaki x e “f

nin bağımsız değişkeni” ve y ye “f nin bağımlı

değişkeni” denir.

Dirichlet (Dirihle) de fonksiyonu, bir kural içermesi

ve bir kümenin her bir elemanını, diğer kümenin

sadece bir elemanı ile eşleme olarak tanımladı.

1939’da fonksiyon ile ilgili matematik

programlarında kullanılan en iyi tanım Bourbaki

(Burbek)’in küme teorisi anlamında düzenlediği bir

tanımdır. Bu tanım şöyle idi:

“A ile B ayrık olan ya da ayrık olmayan ve boş

olmayan iki küme olsun. Eğer A kümesindeki

tüm x lerin her birine, f ile verilen bağıntı ile B

kümesindeki sadece bir tek y karşılık geliyorsa

verilen bağıntı, A nın x değişken elemanları ile B

nin y değişken elemanları arasındaki fonksiyon

olarak adlandırılır.” Günümüzde kullandığımız

fonksiyon tanımı Dirichlet - Bourbaki tanımı olarak

bilinmektedir.

SIRALI İKİLİ

(a, b) sıralı ikilisinde a ya sıralı ikilinin birinci

bileşeni, b ye ise ikinci bileşeni denir. (a, b) sıralı

ikilisi ile (b, a) sıralı ikilisi birbirinden farklıdır.

Sıralı ikililerin eşitliği,

(a, b) = (c, d) ⇔ a = c ∧ b = d biçiminde ifade

edilir.

İKİ KÜMENİN KARTEZYEN ÇARPIMI

Boş kümeden farklı A ve B kümeleri için 1. bileşeni

A kümesinden, 2. bileşeni B kümesinden olmak

üzere yazılan tüm sıralı ikililerin kümesine A ile B

kümelerinin kartezyen çarpım kümesi denir ve

A x B ile gösterilir.

Bu durum, A x B = { (x, y) | x A ∧ y B }

biçiminde ifade edilir.

Ayrıca s(A x B) = s(A).s(B) dir.

Kartezyen çarpımının özellikleri:

A, B ve C boş kümeden farklı kümeler olmak üzere,

1. A x B ≠ B x A

2. A x = x A =

3. A x (B ∪ C) = (A x B) ∪ (A x C)

4. A x (B ∩ C) = (A x B) ∩ (A x C)

5. A x B = ⇒ A = veya B = özellikleri

vardır.

BAĞINTI

A x B kümesinin alt kümelerinin her birine A dan B

ye bir bağıntı denir. β kümesi A dan B ye bir

bağıntı ise β ⊂ (A x B) olarak ifade edilir. (x, y) β

ise y elemanı β bağıntısı ile x e bağlıdır ve bu

durum y β x şeklinde gösterilir.

Eğer β, A x A nın bir alt kümesi ise β ya A dan A

ya bağıntıdır veya β, A da tanımlı bir bağıntıdır

denir.

A x B kümesinin alt kümelerinin her biri A dan B

ye bağıntı sayısı, AxB kümesinin alt küme sayısına

eşittir. O hâlde A dan B ye bağıntı sayısı: 2s(A).s(B)

dir.

BİR BAĞINTININ TERSİ

A ve B boş kümeden farklı olmak üzere β, A dan B

ye bir bağıntı olsun. β bağıntısındaki elemanların

bileşenlerinin yerleri değiştirilerek elde edilen yeni

bağıntıya β bağıntısının tersi denir ve β−1

ile

gösterilir. β−1

bağıntısı B den A ya tanımlıdır. Bu

durumda,

β = { ( x, y) | x A ∧ y B } ⊂ A x B

β−1

= { ( y, x) | x A ∧ y B } ⊂ B x A olur.


7

Her β bağıntısının grafiği aynı düzlemde y = x

doğrusuna göre simetriği β−1

bağıntısının grafiğidir.

BAĞINTININ ÖZELLİKLERİ

A ≠ olmak üzere, β ⊂ A x A olsun.

1. Yansıma özelliği: ∀x A için (x, x) β

oluyorsa β bağıntısına yansıyan bağıntı veya

β bağıntısının yansıma özelliği vardır denir.

Analitik düzlemde y=x doğrusu üzerinde

bulunan tüm elemanlar β bağıntısına ait ise

β yansıyandır.

s(A)=n ise A’ da ( ) tane yansıyan,

( ) tane yansıyan olmayan

bağıntı vardır.

2. Simetri özelliği: ∀(x, y) β iken (y , x) β

oluyorsa β bağıntısına simetrik bağıntı veya

β bağıntısının simetri özelliği vardır denir.

Analitik düzlemde β simetrik ise β ve β-1

aynı kümededir. Analitik düzlemde β ;

köşegene göre simetrik ise β simetriktir.

s(A)=n ise A’ da ( )

tane simetrik,

( )

tane simetrik olmayan

bağıntı vardır.

3. Ters simetri özelliği: ∀(x, y) β iken (y ,

x) ∉ β ve y ≠ x ise β bağıntısına ters simetrik

bağıntı veya β bağıntısının ters simetri

özelliği vardır denir.

β simetrik değilse ters – simetriktir

denilemez. Ters – simetrik bir bağıntının

grafiğinde köşegene göre simetrik elemanlar

bulunamaz. Köşegen üzerinde eleman

bulunması ise ters simetri özelliğini bozmaz.

s(A)=n ise A’ da ( )

tane

ters – simetrik bağıntı vardır.

4. Geçişme özelliği: ∀(x, y) β ve ∀(y, z) β

iken (x, z) β oluyorsa β bağıntısına

geçişken bağıntı veya β bağıntısının

geçişme özelliği vardır denir. (a, b) β

olmasına karşılık, β bağıntısında b ile

başlayan bir eleman yoksa β bağıntısı

geçişken olmaya devam eder.

Denklik Bağıntısı

1. Yansıma

2. Simetri

3. Geçişme

Sıralama Bağıntısı

1. Yansıma

2. Ters - Simetri

3. Geçişme

FONKSİYONLAR

A ≠ ve B ≠ olmak üzere, A kümesinin her

elemanını B kümesinin bir ve yalnız bir elemanına

eşleyen f bağıntısına A dan B ye bir fonksiyondur

denir.

Yukarıdaki şemada verilen A dan B ye f

fonksiyonu, f : A → B, A → veya f : x → y

biçiminde gösterilir. y = f(x) yazılır.

x A ve y = f(x) B dir.

A kümesine fonksiyonun tanım kümesi,

B kümesine fonksiyonun değer kümesi ve

f(A) kümesine de fonksiyonun görüntü kümesi

denir.

UYARI: Bir bağıntının fonksiyon olabilmesi için

gerekli şartları akılda tutmak için aşağıdaki yöntem

düşünülebilir.

Bir anaokulunda anne ve çocukları arasında bir

eşleme yapılmaktadır. Çocuklar tanım, anneler

değer kümesinde olmak üzere.

Bir çocuğun iki annesi olamaz.

Annesiz çocuk olmaz.

f : A → B ve g : A → B iki fonksiyon olmak üzere,

∀x A için f(x) = g(x) ise f ile g fonksiyonlarına

eşit fonksiyonlar denir. f = g şeklinde gösterilir.

Dikey doğru kriteri: Bir fonksiyonun grafiğinde y

eksenine çizilen her paralel doğru, eğriyi yalnız ve

yalnız bir noktada keser. Verilen bir grafiğin

fonksiyon grafiği olup olmadığını anlamak için, y

eksenine paralel çizilen doğruların bu grafiği kaç

noktada kestiğine bakmak yeterlidir.


8

FONKSİYON ÇEŞİTLERİ

BİRE BİR FONKSİYON (1 - 1)

Tanım kümesinin farklı elemanlarını görüntü

kümesindeki farklı elemanlara eşleyen fonksiyona

bire bir fonksiyon denir.

f : A → B fonksiyonu 1-1 ise bu durum,

∀x1, x2 A için,

x1 ≠ x2 ⇒ f(x1) ≠ f(x2) veya f(x1) = f(x2) ⇒ x1 = x2

dir.

Yatay Doğru Kriteri: f:A→B fonksiyonunun,

örten, içine veya bire bir olduğunu anlamak için,

değer kümesindeki elemanlardan OX eksenine

paralel doğrular çizilir.

a) ∀a B için, denklemi y=a olan doğrular,

fonksiyonun grafiğini daima keserse

fonksiyon örtendir.

b) ∀a B için, denklemi y=a olan doğrular,

fonksiyonun grafiğini bazen keser bazen

kesmezse fonksiyon içinedir.

c) ∀a B için, denklemi y=a olan doğruların

eğriyi kesmesi durumunda, kesim noktası

daima bir tane ise fonksiyon bire bir, birden

fazla ise bire bir değildir.

ÖRTEN FONKSİYON

Görüntü kümesi değer kümesine eşit olan

fonksiyona örten fonksiyon denir.

f:A→B, ∀y B için, f(x)=y olacak biçimde ∃x A

dır.

Örten olmayan fonksiyona içine fonksiyon denir.

BİRİM (ÖZDEŞLİK) FONKSİYONU A boş kümeden farklı bir küme olmak üzere, A dan

A ya (A da) tanımlı her elemanı kendine eşleyen

fonksiyona birim fonksiyon denir.

I: A → A, I(x) = x biçiminde ifade edilir.

SABİT FONKSİYON

Görüntü kümesi bir elemanlı olan fonksiyonlara

sabit fonksiyon denir.

f sabit fonksiyon ise f: R→R, ∀x R için f(x) = c

(c R) şeklinde ifade edilir.

UYARI: a, b, c, d R ve a≠0, c≠0 için

( )

sabit fonksiyon ise

dir.

DOĞRUSAL FONKSİYON

Elemanları bir doğru üzerinde bulunan fonksiyona

doğrusal fonksiyon denir. Doğrusal fonksiyon

m, n R olmak üzere f: R → R, f(x) = mx + n

biçiminde ifade edilir.

UYARI: s(A)=n, s(B)=m olmak üzere;

A’dan B’ye fonksiyon sayısı mn dir.

A’dan B’ye fonksiyon olmayan bağıntı

sayısı 2n.m

− mn dır.

A’dan B’ye birebir fonksiyonların sayısı

i) n ≤ m ise P(m,n)

ii) n > m ise 0 dır.

A’dan A’ya tanımlanan birebir ve örten

fonksiyonların sayısı n! dir.

A’dan A’ya tanımlanan içine fonksiyonların

sayısı nn − n! dir.

A’dan B’ye tanımlanan sabit fonksiyonların

sayısı m dir.

İŞLEM

A ≠ olmak üzere A x A nın boş olmayan bir β alt

kümesinden herhangi bir B kümesine tanımlı her

fonksiyona bir ikili işlem veya kısaca işlem denir.

A x A nın boş kümeden farklı bir β alt kümesinden

A kümesine tanımlı her fonksiyona da A da bir ikili

işlem ya da kısaca A da işlem denir.

İŞLEMİN ÖZELLİKLERİ

1. Kapalılık Özelliği: Herhangi bir A

kümesinde Δ işlemi tanımlandığında, ∀x, y

A için x Δ y A oluyorsa Δ işleminin A

kümesinde kapalılık özelliği vardır ya da A

kümesi Δ işlemine göre kapalıdır denir.

2. Değişme Özelliği: Herhangi bir A

kümesinde � işlemi tanımlandığında,

∀x, y A için x � y = y � x oluyorsa A

kümesinde � işleminin değişme özelliği

vardır denir.


9

3. Birleşme Özelliği: Herhangi bir A

kümesinde Δ işlemi tanımlandığında,

∀x, y, z A için (x Δ y) Δ z = x Δ (y Δ z)

oluyorsa A kümesinde Δ işleminin birleşme

özelliği vardır denir.

4. Dağılma Özelliği: Herhangi bir A

kümesinde Δ ve � işlemleri

tanımlandığında,

∀x, y, z A için

x Δ (y � z) = (x Δ y) � (x Δ z) oluyorsa A

kümesinde Δ işleminin � işlemi üzerine

soldan dağılma özelliği vardır denir.

∀x, y, z A için

(y � z) Δ x = (y Δ x) � (z Δ x) oluyorsa A

kümesinde Δ işleminin � işlemi üzerine

sağdan dağılma özelliği vardır denir.

5. Etkisiz (Birim) Eleman Özelliği: Boş

olmayan bir A kümesinde Δ işlemi verilsin.

∀x A için x Δ e = e Δ x = x koşulunu

sağlayan e A sayısına Δ işleminin etkisiz

(birim) elemanı denir. İşlemin varsa etkisiz

elemanı bir tanedir. İşlemin birleşme

özelliği yoksa etkisiz elemanı yoktur.

6. Ters Eleman Özelliği: Boş kümeden farklı

bir A kümesinde Δ işlemi verilsin. İşlemin

etkisiz elemanı e olsun.

∀x A için x Δ x−1 = x−1 Δ x = e koşulunu

sağlayan x−1 sayısına x in tersi denir. Bir

elemanın tersi varsa bir tanedir.

7. Yutan Eleman Özelliği: Boş kümeden

farklı bir A kümesinde � işlemi

tanımlandığında eğer,

∀x A için x � m = m � x = m olacak

şekilde m A varsa bu m elemanına �

işleminin yutan elemanı denir. Yutan

elemanın tersi yoktur.

A = { a, b, c, d } kümesinde tanımlı � işlemi tablo

ile verildiğinde,

Sonuçlarda görünen baş sütun ile baş satırın

kesiştiği noktadaki eleman etkisiz elemandır.

Bir b elemanının � işlemine göre tersi bulunurken

baş sütundaki b den satırca hareketle etkisiz eleman

c ye ulaşılır. Buradan sütunca hareketle baş satıra

çıkıldığında b nin tersi elde edilir. b−1

= d dir.

Tablodaki elemanlar köşegene göre simetrik ise

işlemin değişme özelliği, işlemin sonuçlarının

tamamı A kümesinin elemanı ise işlemin kapalılık

özelliği vardır.


10

FONKSİYONLARDA BİLEŞKE İŞLEMİ

f: A→B, g: B→C tanımlı fonksiyonlar olmak üzere

A→C yazılabilecek fonksiyona g bileşke f

fonksiyonu denir ve gof biçiminde gösterilir ve

(gof )(x) = g [ f(x) ] dir.

f ve g fonksiyonlarını gerçek sayılar üzerinde işlem

yapan makineler olarak düşünürsek girdi x, çıktı

(gof )(x) olur.

UYARI:

1. fog ≠ gof

2. fo(goh) = (fog)oh

BİR FONKSİYONUN BİLEŞKE İŞLEMİNE

GÖRE TERSİ

Genel olarak f: A→B, 1-1 ve örten fonksiyonunun

görüntü kümesindeki elemanları A kümesindeki

aynı elemanlara eşleyen g: B→A, 1-1 ve örten

fonksiyona f fonksiyonunun tersi denir ve g = f −1

biçiminde gösterilir.

Buna göre aşağıdaki şemadan da görülebileceği

gibi, f(x) = y ⇔ f −1

(y) = x ve (f −1

)−1

= f olur.

Bir f fonksiyonunun grafiği ile f

−1 fonksiyonunun

grafiği y = x doğrusuna göre simetriktir.

Kuralı verilen bir fonksiyonun tersini bulmak için

y = f(x) denkleminden x çekilip sonra y nin yerine x

yazılır.

Özel olarak; a, b, c, d R ve a≠0, c≠0 olsun.

( )

⇒ ( )

dır.

UYARI:

1. (fog)–1

= g–1

of–1

2. fof–1

= f–1

of = I ( I: birim fonksiyon )

3. fog = h ⟹ f = hog–1

ve g = f–1

oh

GRAFİĞİ VERİLEN BİR FONKSİYONUN

BAZI DEĞERLERİNİ BULMA

y = f(x) fonksiyonunun grafiği üzerindeki bir nokta

(a , b) ise b = f(a) dır.

A sonlu veya sonsuz aralık olmak üzere f: A→R

fonksiyonu verilsin.

Eğer ∀ x1, x2 A, x1 < x2 için f(x1) < f(x2) ise f

fonksiyonuna kesin artan fonksiyon denir.

Eğer ∀ x1, x2 A, x1 < x2 için f(x1) > f(x2) ise f

fonksiyonuna kesin azalan fonksiyon denir.

Kesin artan ve kesin azalan fonksiyonlar bire bir ve

örtendir.


11

4. ÜNİTE: SAYILAR

Matematik öğrenirken gelişme sağlayabilmek için

kavramlardan birini diğeri ile ilişkilendirmek çok

önemlidir. Sayı kavramı, matematiksel kavramların

başında yer alır. Eğer sayı kavramı tam olarak

algılanır ise sonraki öğrenmelerde karşılaşılacak

pek çok sıkıntı başlangıçta giderilmiş olacaktır.

Sayılar ilk çağlardan beri insanların yaşamında çok

önemli bir yer tutmuştur. İlk Çağ insanları, sayılar

için kil tabletler üzerine çizikler kazımaya ya da

kesilmiş ağaç dalına çentik yapmaya başlamakla ilk

kez sayıları yazılı olarak ifade etmiş oluyorlardı.

Kullanılan bu işaretler, rakam ve sayıların ilk yazılı

ifadeleridir. Bunların yanında, sayıları belirtmek

için değişik ses ve kelimeler de kullanmışlardır.

Bilinen en eski sayma sistemlerinden biri, Eski

Mısırlılara aittir. Eski Mısırlıların kullandıkları

resim yazısının (hiyeroglif) başlangıç tarihi, MÖ

3300 yılına kadar gider. Bir başka deyişle Mısırlılar

yaklaşık 5300 yıl önce, milyona kadar olan sayıları

kapsayan bir sistem geliştirmişlerdir. Mısırlılara ait

sayma sistemi, İlk Çağ mağara insanının önceleri

kullandığı sayma sisteminin gelişmiş şeklidir.

Eski Mısır aritmetiği hakkındaki bilgilerimiz,

zamanımıza kadar ulaşmış papirüs tomarlarından

elde edilmektedir. Bugün bu papirüsler bilim

tarihinde, MÖ 1900-1800 yılları için adlandırılan,

Kahun (Kaun) ve Berlin papirüsleri ile MÖ 1700 ile

1600 yılları için adlandırılan, Hiksoslar devrinden

(MÖ 1788-1580) kalma Rhind (Rind) ve Moskova

papirüsleridir.

Mezopotamyalılarda rakamlar, çivi yazısında

görülen çivi ya da oduncu kamasına benzeyen

şekillerden oluşmaktadır. Bu işaretlerin

(sembollerin) uygun biçimde, yan yana ya da büyük

sayıları gösterebilmek için toplu olarak yazılması

suretiyle 60’a kadarki sayıların gösterimi

yapılabiliyordu. Bu tür yazım biçiminde, 0.1 ile

0.01 gibi rakamların arasındaki farkı anlamak bir

hayli güçtü. Bunu anlayabilmek için metin ve konu

yardımıyla sonuç çıkarma yollarına gidilirdi.

Mezopotamyalılar, sıfır sembolünü

kullanmamışlardır. Ancak astronomide bu amaçla

özel bir sembol kullandıkları anlaşılmaktadır.

MÖ 2000 yıllarında Mezopotamya’da yaşayan

Babillilerin, bilimin birçok dalında oldukça ileri bir

seviyeye ulaşmış oldukları bilinmektedir. Öyle ki

Babil şehrini zamanın bilim merkezi hâline

getirmişlerdir. Özellikle matematik ve astronomide

çok ilerlemişlerdir.

Babilliler, 59’dan büyük sayıları da basamak

düşüncesinden yararlanarak yazdılar. 60 sayısını

taban olarak kullandılar. Gruplamalarını 60’lık

olarak yani 60x2=120 ... şeklinde yaptılar.

Böylece ilk kez sayılarda basamak düşüncesini

geliştirmiş oldular. Babilliler, sayıları yazarken iki

tane sembol ve bulunmayan basamakların yerini

doldurmak için de (( : )) işaretini kullanmışlardır.

Babil rakamları arasında da sıfır rakamını gösteren

bir sembol yoktur. Buradan Babillilerin rakamları

sağdan sola doğru yazarak ifade ettikleri

anlaşılmaktadır.

Bilindiği gibi günümüzde, sayıları belirten standart

hâlde rakam ve sözcükler vardır. Sayılar, hem 1, 2,

3, ... gibi sembollerle hem de bir, iki, üç, ... gibi

kelimelerle ifade edilebilmektedir. Dört adet

kalemi, “dört kalem” kelimesi ile belirtip “4”

rakam› ile gösterebiliyoruz.

DOĞAL SAYILAR

Doğal sayılar, N={0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, …} şeklinde

sıralanan tam sayılardır. Negatif değer almazlar.

Bazı kaynaklarda "0" doğal sayı olarak alınmaz.

Matematikte hala sıfırın bir doğal sayı alınıp

alınmayacağı tartışma konusudur, ancak eğer

cebirsel yapılar yapılmak isteniyorsa "0" sayısının

doğal sayı olarak alınması avantaj sağlayabilir.

Matematiğin diğer dallarında da problem hangi

durumda daha kolay ifade edilebilecekse doğal

sayılar kümesi de o şekilde alınır.

Doğal sayının Peano belitleri tanımı;

Sıfır bir doğal sayıdır.

Her doğal sayının, yine bir doğal sayı olan

bir ardılı vardır.

Ardılı sıfır olan hiç bir doğal sayı yoktur.

Ardılları eşit olan doğal sayılar da birbirine

eşittir.

Doğal sayılardan oluşan bir küme, sıfırı ve

her doğal sayının ardılını içeriyorsa o küme

doğal sayılar kümesine eşittir.

Rakam: Sayıları yazmaya yarayan sembollerdir.

Onluk sayma sisteminde 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9

rakamları kullanılır.

Sayı: Bir çokluğu ifade edecek şekilde, rakamların

tek başına ya da birlikte kullanılmasıyla oluşturulan

ifadelerdir. 2, –5, 19, 0,

,

, √ , π, e, √

ifadeleri

birer sayıyı gösterir.


12

Sayma Sayıları Kümesi (N+ )

N+ = S = {1, 2, 3, ..... }

Doğal Sayılar Kümesi (N)

N = {0, 1, 2, 3, ..... }

Tam Sayılar Kümesi (Z)

Z– = {..., –3, –2, –1} negatif tam sayılar kümesi,

Z+ = {1, 2, 3, ... } pozitif tam sayılar kümesidir.

Z = Z– ∪ {0 } ∪ Z

+ = {..., –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, ... }

Rasyonel Sayılar Kümesi (Q)

Q = {

: a Z, b Z ve b ≠ 0 }

İrrasyonel Sayılar Kümesi (Q' )

Rasyonel olmayan sayılar kümesidir.

√ √

, π, e , ..... gibi

Reel (Gerçel) Sayılar Kümesi (R)

Rasyonel sayılarla irrasyonel sayıların birleşimine

reel (gerçel) sayılar kümesi denir.

R = Q ∪ Q'

N+ ⊂ N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R

Q' ⊂ R

BİR DOĞAL SAYININ POZİTİF DOĞAL

SAYI KUVVETİ

a N ve n N+ olmak üzere n tane a nın çarpımı,

an biçiminde yazılır. a üssü n veya a nın n. kuvveti

diye ifade edilir. an ifadesinde a ya taban, n ye üs

denir.

Özel olarak;

a2 : “a nın karesi”

a3: “a nın küpü” diye okunur.

UYARI: x, y, m ve n N+ olmak üzere,

1) xm

.xn = x

m + n

2) xn.y

n = (x.y)

n

3) (xm

)n

= (xn)m

= xm.n

dir.

BİR DOĞAL SAYININ HERHANGİ BİR

TABANA GÖRE YAZILMASI

10 tabanında verilen bir sayı bölme

işleminden faydalanarak değişik tabanlarda

yazılabilir.

132 sayısının 5 tabanındaki yazılışını bulalım.

132 = (1012)5 bulunur.

a N+ − {1}, x ≠ 0 ve x, y, z N olmak

üzere a tabanındaki (xyz)a sayısının 10

tabanındaki eşiti x.a2 + y.a

1 + z.a

0 dır.

(xyz)a sayısı için x < a, y < a ve z < a dır.

5 tabanındaki (1423)5 sayısının basamaklarını

yazarak çözümleyelim.

(1423)5 = 1.5

3 + 4.5

2 + 2.5

1 + 3.5

0=

125 + 100 + 10 + 3 = 238 olur.

Herhangi bir tabanda toplama işlemi

yapılırken birler basamağındaki rakamlar

toplamı, tabana bölünür. Kalan, birler

basamağına yazılır. Bölüm ise bir sonraki

basamaktaki rakamlar toplamına eklenir ve

toplama işlemine bu şekilde devam edilir.

O hâlde, sonuç (3112)4 olur.


13

Çarpma işleminin her adımında rakamların

çarpımı tabana bölünerek kalan, basamağa

yazılır. Bölüm ise bir sonraki çarpıma “elde

var” diyerek eklenir.

Benzer işlem basamakları takip edilerek, f = 3, e = 2

ve d = 1 olur.

bulunur.

ASAL SAYILAR

1 den büyük, 1 ve kendisinden başka pozitif tam

böleni olmayan doğal sayılara asal sayı denir.

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, ...... asal sayılardır.

En küçük asal sayı 2 dir.

2 den başka çift asal sayı yoktur.

Herhangi Bir n Doğal Sayısına Kadar Olan Asal

Sayıları Bulmak

1 den n ye kadar olan doğal sayılar yazılır. √

sayısından küçük olan bütün asal sayıların katları

ile 1 çizilir. Çizilmemiş olan sayılar asal sayılardır.

BİR DOĞAL SAYININ POZİTİF BÖLENLERİ

İLE İLGİLİ FORMÜLLER

Herhangi bir A sayısı A = an.b

m şeklinde asal

çarpanlarına ayrılmış olsun.

A nın pozitif tam sayı bölenlerinin sayısı

(n + 1).(m + 1) dir.

(Negatif bölenlerinin sayısı da aynıdır.

Bölenlerinin sayısı iki katıdır.)

A nın pozitif tam sayı bölenlerinin

toplamı (a

0 + a

1 + ... + a

n).(b

0 + b

1 + ... + b

m) dir.

A nın pozitif tam sayı bölenlerinin

çarpımı A( )( )

dir.

Ortak doğal sayı bölenleri yalnız 1 olan doğal

sayılara aralarında asal sayılar denir.

FAKTÖRİYEL

n N+ olmak üzere, 1 den n ye kadar olan tüm

doğal sayıların çarpımına n faktöriyel denir ve n!


n! = 1.2.3 ....... n

0! = 1 ve

1! = 1 olarak kabul edilir.

2! = 1.2 = 2

3! = 1.2.3 = 6

4! = 1.2.3.4 = 24

5! = 1.2.3.4.5 = 120

.......................................

n! = (n – 1)!.n

n! = (n – 2)!.(n – 1).n

UYARI: n N+ , m N

+ m<n olmak üzere n!

içindeki m çarpanlarının sayısını bulmak için;

a) m asal sayı ise, n, m sayısına bölünür.

Bölüm m sayısından küçük oluncaya kadar

bölme işlemine devam edilir. Bölümlerin

toplamı n! içindeki m çarpanlarının

sayısıdır.

b) m asal sayı değilse, m’ nin en büyük asal

çarpanı k olsun. n, k sayısına bölünür.

Bölüm k sayısından küçük oluncaya kadar

bölme işlemine devam edilir. Bölümlerin

toplamı n! içindeki m çarpanlarının

sayısıdır.

Örnek: 25! = 3n.A eşitliğinde A ve n doğal

sayılardır. Buna göre, n nin alabileceği en büyük

değeri bulalım.

n doğal sayısı en çok 25! içindeki 3 çarpanlarının

sayısı kadardır. 25 sayısını 3 e böleriz. Bölüm tekrar

3 e bölünür. Bu işleme bölüm 3 ten küçük çıkana

kadar devam edilir. Bölümlerin toplamı 25! içindeki

bütün 3 çarpanlarının sayısını verir.

25! de 8+2=10 tane 3 çarpanı vardır.

Yani n nin en büyük değeri 10 dur.

Örnek: 24! = 6n.A eşitliğinde A ve n doğal

sayılardır. Buna göre, n nin alabileceği en büyük

değeri bulalım.

6n = (2.3)

n = 2

n.3

n olduğundan, 24! sayısının içinde

kaç tane 6 çarpanı olduğunu bulmak için 3

çarpanlarının sayısını bulmak yeterlidir. Çünkü 3

çarpanı 2 çarpanından daha azdır. Belirleyici olan 3

çarpanıdır.


14

24! de 8+2=10 tane 6 çarpanı vardır.

Yani n nin en büyük değeri 10 dur.

Örnek: 73! sayısının sondan kaç basamağı sıfırdır?

Verilen soru;

“A, n N, 73! = 10n.A ise n en çok kaçtır?”

şeklinde de sorulabilirdi.

10n = (2.5)

2 = 2

n.5

n olduğundan, 5 çarpanlarının

sayısı kadar sondan basamağı sıfırdır.

73! sayısının sondan 14+2=16

basamağı sıfırdır.

Örnek: 35! – 1 sayısının sonunda kaç tane 9 rakamı

vardır?

35! sayısının sondan kaç basamağı sıfırsa,

35! – 1 sayısının da sonunda o kadar 9 rakamı

vardır.

35! – 1 sayısının sondan 7+1=8

basamağında 9 rakamı vardır.

Örnek: 24! = 4a.B eşitliğinde B bir tam sayı ise a

nın alabileceği en büyük tam sayı değeri kaçtır?

4a = (2

2)a = 2

2a

12 + 6 + 3 + 1 = 22

2a = 22 ⟹ a = 11 dir.

BÖLÜNEBİLME KURALLARI

2 İle Bölünebilme

Birler basamağındaki rakamı çift olan doğal sayılar

2 ile tam bölünür.

2 ile tam bölünemeyen sayılar 1 kalanını verirler.


Rakamlarının sayı değerleri toplamı 3 ün katı olan

sayılar 3 ile tam bölünebilir.

Bir sayının 3 ile bölümünden kalan, o sayının

rakamlarının sayı değerleri toplamının 3 ile

bölümünden kalana eşittir.


Son iki rakamı (onlar ve birler basamağı) 00 ya da 4

ün katı olan sayılar 4 ile tam bölünür.

Son iki rakamının 4 ile bölümünden elde edilen

kalan, sayının 4 ile bölümünden elde edilen

kalanına eşittir.


Birler basamağı 0 ya da 5 olan sayılar 5 ile tam

bölünür. Birler basamağındaki rakamın 5 ile

bölümünden kalan, sayının 5 ile bölümünden elde

edilen kalanına eşittir.

7 ile bölünebilme: Sayının son rakamının 2 katı bir

önceki rakamdan çıkarılır. Elde edilen sayının 2 katı

gene bir önceki rakamdan çıkarılır. Son basamağa

kadar işleme devam edilir. Elde edilen sayı 7 ile

bölünürse, bu sayı 7 ile bölünür.


Bir doğal sayının son üç (yüzler, onlar, birler)

basamağındaki üç basamaklı sayı 8 ile tam

bölünürse bu doğal sayı 8 ile tam bölünür. Bir doğal

sayının 8 ile bölümünden kalan bu doğal sayının

son üç basamağındaki üç basamaklı sayının 8 ile



Rakamlarının sayı değerleri toplamı 9 un katı olan

sayılar 9 ile tam bölünebilir.

Bir sayının 9 ile bölümünden kalan, o sayının

rakamlarının sayı değerleri toplamının 9 ile



Sayının rakamları birler basamağından başlanarak

+ ve – işaretleri ile sınıflandırılır. + lı rakamların

toplamı ile – li rakamların toplamının farkı 11 in

katı ise sayı 11 ile tam bölünür.

Sayı 11 ile tam bölünemiyorsa, kalanı bulmak için,

+ lı rakamlar ile – li rakamların farkının 11 ile

bölümünden kalan bulunur.

UYARI: Aralarında asal iki sayıya tam bölünebilen

bir sayı, bu iki sayının çarpımına da tam bölünür.

2 ve 3 ile bölünebilen sayı 6 ile bölünür.







15

EN KÜÇÜK ORTAK KAT (EKOK) VE EN

BÜYÜK ORTAK BÖLEN (EBOB)

İki veya daha çok doğal sayının en küçük ortak

katları bulunurken, verilen sayılar asal çarpanlarına

ayrılır ve üslü biçimde yazılır. Ortak asal

çarpanlardan üssü en büyük olanlar ile ortak

olmayan asal çarpanların çarpımı, en küçük ortak

kat olur.

İki veya daha çok doğal sayının en büyük ortak

böleni bulunurken verilen sayılar asal çarpanlarına

ayrılır ve üslü biçimde yazılır. Ortak asal

çarpanlardan üssü en küçük olanların çarpımı en

büyük ortak bölen olur.

TAM SAYILAR

Doğal sayılar kümesi ile 0 sayısının solundaki

noktalara eşlenen { −1, −2, −3, … } kümesinin

birleşimine tam sayılar kümesi denir.

Pozitif tam sayılar kümesi Z+ = { 1, 2, 3, … }

Negatif tam sayılar kümesi Z− = { −1, −2, −3, … }

Çift tam sayılar kümesi Ç = {… , −4, −2, 0, 2, 4,…}

Tek tam sayılar kümesi T = { … , −3, −1, 1, 3, … }

ve

Tam sayılar kümesi Z = Z− ∪ {0} ∪ Z+ biçiminde

ifade edilir.

Pozitif iki tam sayının toplamı pozitif; negatif iki

tam sayının toplamı negatiftir. Ters işaretli iki tam

sayının toplamında ise mutlak değerce büyük

olandan küçük olan çıkarılır, sonucun önüne

büyüğün işareti yazılır.

∀a, b, c Z için,

1) (a + b) Z (Toplama işleminin kapalılık

özelliği)

2) a + b = b + a (Toplama işleminin değişme

özelliği)

3) (a + b) + c = a + (b + c) (Toplama işleminin

birleşme özelliği)

4) a + 0 = 0 + a = a (Toplama işlemine göre

etkisiz (birim) eleman özelliği)

5) a + (−a) = (−a) + a = 0 (Toplama işlemine

göre ters eleman özelliği) dir.

Aynı işaretli iki tam sayının çarpımının sonucu

pozitif, ters işaretli iki tam sayının çarpımının

sonucu negatif işaretlidir.

∀a, b, c Z için,

1) (a.b) Z (Çarpma işleminin kapalılık

özelliği)

2) a.b = b.a (Çarpma işleminin değişme

özelliği)

3) (a.b).c = a.(b.c) (Çarpma işleminin birleşme

özelliği)

4) a.1 = 1.a = a (Çarpma işlemine göre etkisiz

(birim) eleman özelliği)

5) a.0 = 0.a = 0 (Çarpma işleminin yutan

eleman özelliği) dir.

∀a, b Z olmak üzere a – b = a + (−1).b = a + (−b)

dir.

Aynı işaretli iki tam sayının bölümünün sonucu

pozitif, ters işaretli iki tam sayının bölümünün

sonucu negatif işaretlidir.

(+ . + = +) (+ . − = −) (− . − = +)

(+ : + = +) (+ : − = −) (− : − = +)

MODÜLER ARİTMETİK

Yansıma, simetri ve geçişme özelliklerini sağlayan

bağıntıya denklik bağıntısı denir. β denklik

bağıntısına göre aynı kümede bulunan elemanlar

birbirine denktir. Bu durumda,

{ 0, 2, 4 } kümesinden 0 ≡ 2 ≡ 4

{ 1, 3, 5 } kümesinden 1 ≡ 3 ≡ 5 tir.

x e bağlı olan denk elemanların kümesi x in denklik

sınıfı (kalan sınıfı) diye adlandırılır ve ile

gösterilir.

Genel olarak x in denklik sınıfı: β, A da bir denklik

bağıntısı olmak üzere, = { y | (x, y) β ve y A }


Buna göre incelediğimiz örnekteki denklik bağıntısı

için = { 0, 2, 4 } ve = { 1, 3, 5 } olur.

Bu durumu,

biçiminde gösteririz.

A kümesindeki sayıları 2 ile böldüğümüzde 0

kalanını veren sayılar nda; 1 kalanını veren

sayılar da nda bulunurlar.

m Z+ olmak üzere denklik sınıflarının kümesi

Z/m = { , , ... , } dir.

x, y, n Z ve m Z+ olmak üzere


16

ise x = m.n + y dir.

Dolayısıyla x − y = m.n olur.

O hâlde, x − y sayısı m sayısına tam bölünür. Bu

durum (x ile y aynı denklik sınıfında olduğundan)

x ≡ y (mod m) biçiminde ifade edilir.

Kısaca x ≡ y (mod m) ⇔ m ⎪ (x – y) dir.

MODÜLER ARİTMETİKTE İŞLEMLER

∀a, b, c, d Z ve m Z+ için,

a ≡ b (mod m)

c ≡ d (mod m)

ise

a + c ≡ b + d (mod m) ve a.c ≡ b.d (mod m) dir.

a, b, n, x, m Z+ olmak üzere, (a

b) ≡ 1 (mod m) ise

(ab)n ≡ 1 (mod m) dir.

a, b Z/m için ⊕ = ve ⊗ = dir.

m Z+ olmak üzere Z/m kümesinde,

∀ , , Z/m için,

1. ⊕ Z/m, ⊗ Z/m (kapalılık

özelliği)

2. ⊕ = ⊕ , ⊗ = ⊗ (değişme

özelliği)

3. ⊕ ( ⊕ ) = ( ⊕ ) ⊕ ,

⊗ ( ⊗ ) = ( ⊗ ) ⊗ (birleşme

özelliği)

4. ⊕ = ⊕ = , ⊗ = ⊗ =

(etkisiz eleman özelliği)

5. ⊕ = ⊕ = , (ters eleman özelliği) (

ile , ⊕ işlemine göre birbirinin tersi)

⊗ = ⊗ = (ters eleman özelliği) (

ile , ⊗ işlemine göre birbirinin tersi)

6. ⊗ = ⊗ = (yutan eleman özelliği)

dir.

RASYONEL SAYILAR

a, b Z, b ≠ 0 ve a ile b aralarında asal olmak üzere

biçimindeki sayıya rasyonel sayı denir.

a, b, c, d Z, b ≠ 0 ve d ≠ 0 olmak üzere

ise

b.c = a.d dir.

Verilen iki rasyonel sayının toplamı;

Q için

olarak ifade edilir.

İki rasyonel sayının farkı ise;

Q için


İki rasyonel sayının çarpımında, payların çarpımı

paya, paydaların çarpımı da paydaya yazılır.

Verilen iki rasyonel sayının çarpımı;

Q için


rasyonel sayısının sıfırdan farklı

rasyonel

sayısına bölümü

olarak yazılır.

Bu durum;

Q, ( c≠ 0) olmak üzere


RASYONEL SAYILARDA TOPLAMA VE

ÇARPMA İŞLEMLERİNİN

ÖZELLİKLERİ

∀

Q için,

1) (

) Q (Kapalılık özelliği)

2)

(Değişme özelliği)

3) (

)

(

)

(Birleşme özelliği)

4)

(Etkisiz eleman özelliği)

5)

(

) (

)

(Ters eleman özelliği)

∀

Q içi

1) (

) Q (Kapalılık özelliği)

2)

(Değişme özelliği)

3) (

)

(

) (Birleşme özelliği)

4)

(Etkisiz eleman özelliği)

5)

(Ters eleman özelliği)

6)

(Yutan eleman özelliği)

RASYONEL SAYILARDA SIRALAMA

Payları eşit olan rasyonel sayılarda paydası

küçük olan daha büyüktür.

Paydaları eşit pozitif rasyonel sayılardan

payı büyük olan daha büyüktür.

Payları eşit negatif rasyonel sayılar

sıralanırken (−) işareti paydaya taşınır.

Paydalar karşılaştırılır ve paydası küçük

olan daha büyüktür, denir.


17

Paydaları eşit negatif rasyonel sayılar

sıralanırken (−) işareti paya taşınır. Paylar

karşılaştırılır ve payı büyük olan daha

büyüktür, denir.

Birbirinden farklı iki rasyonel sayı arasında

en az bir rasyonel sayı bulunur. Bu durum

bize rasyonel sayılar kümesinin yoğun

olduğunu gösterir.

Her bir rasyonel sayının bir devirli ondalık

açılımı vardır.

Her devirli ondalık açılım bir rasyonel

sayıdır.

GERÇEK SAYILAR

Rasyonel olmayan sayılara irrasyonel (rasyonel

olmayan) sayılar denilmekte ve Q' ile

gösterilmektedir. Buna göre sayı doğrusunda

rasyonel olmayan sayılar da bulunmaktadır.

Rasyonel sayılar kümesi ile irrasyonel sayılar

kümesinin birleşimi, gerçek (reel) sayılar kümesini

oluşturur. Böylece sayı doğrusu üzerindeki her

noktaya bir gerçek say›, her gerçek sayıya da sayı

doğrusunda bir nokta karşılık gelir, diyebiliriz. Bu

durum gerçek sayılar kümesinin elemanları ile sayı

doğrusunun noktaları arasında bire bir ve örten bir

eşleme olduğunu gösterir.

Bir sayının irrasyonel olduğuna ondalık açılımına

bakarak karar verilir.

GERÇEK SAYILARDA TOPLAMA VE

ÇARPMA İŞLEMLERİNİN

ÖZELLİKLERİ

∀ x, y, z R olmak üzere,

1) (x + y) R (Kapalılık özelliği)

2) x + y = y + x (Değişme özelliği)

3) (x + y) + z = x + (y + z) (Birleşme özelliği)

4) x + 0 = 0 + x = x (Etkisiz eleman özelliği)

5) x + (−x) = (−x) + x = 0 (Ters eleman

özelliği)

∀ x, y, z R olmak üzere,

1) (x.y) R (Kapalılık özelliği)

2) x.y = y.x (Değişme özelliği)

3) (x.y).z = x.(y.z) (Birleşme özelliği)

4) x.1 = 1.x = x (Etkisiz eleman özelliği)

5)

(x≠0) (Ters eleman özelliği)

6) x.0 = 0.x = 0 (Yutan eleman özelliği)

GERÇEK SAYILARDA EŞİTSİZLİĞİN

ÖZELLİKLERİ

∀a, b, c, d R için,

1) a < b ⇒ a + c < b + c

2) (a < b ∧ c > 0) ⇒ a.c < b.c

3) (a < b ∧ c < 0) ⇒ a.c > b.c

4) a < b ∧ b < c ⇒ a < c

5) (a < b ∧ c < d) ⇒ a + c < b + d

6) a, b, c, d R+ için

(a < b ∧ c < d) ⇒ a.c < b.d

7) a ve b aynı işaretli iki gerçek sayı ve

a < b ⇒

dir.

AÇIK, KAPALI VE YARI AÇIK ARALIKLAR

a, b R olmak üzere,

{ x | a < x < b, x R } kümesi a ve b den açık aralık

denir ve (a, b) biçiminde gösterilir.

{ x | a ≤ x ≤ b, x R } kümesi a ve b den kapalı

aralık denir ve [a, b] biçiminde gösterilir.

{ x | a < x ≤ b, x R } kümesi a dan açık, b den

kapalı aralık denir ve (a, b] biçiminde gösterilir.

{ x | a ≤ x < b, x R } kümesi a dan kapalı, b den

açık aralık denir ve [a, b) biçiminde gösterilir.

MUTLAK DEĞER

Bir x gerçek sayısının sayı doğrusu üzerinde

eşlendiği noktanın başlangıç noktasına (sıfıra) olan

uzaklığına x sayısının mutlak değeri denir ve | x | ile

gösterilir.

∀x R için, | | { i

i olur.

Mutlak değer içindeki ifade pozitifse, dışarıya

aynen çıkar; negatifse işaret değiştirerek çıkar.

MUTLAK DEĞER ÖZELLİKLERİ

∀ x, y R, a, b R+ için

1) | x | ≥ 0 , | f(x) | ≥ 0 ise | x | ve | f(x) |

ifadelerinin en küçük değeri sıfırdır.

2) | x | ≥ 0

3) −| x | ≤ x ≤ | x |

4) | x | = | –x | , | x – y | = | y – x |

5) | x.y | = | x |.| y |

6) |

|

| |

| | , (y ≠ 0)

7) | xn | = | x |

n , (n N

+)

8) | x | = a ⟹ (x = a veya x = –a) , (a ≥ 0)

9) | x | ≤ a ⇔ −a ≤ x ≤ a

10) | x | ≥ a ⇔ ( x ≥ a ∨ x ≤ −a )

11) a ≤ | x | ≤ b ⇔ ( a ≤ x ≤ b ∨ −b ≤ x ≤ −a )

12) | f(x) | + | g(x) | = 0 ⟺ f(x) = 0 ve g(x) = 0


18

13) | | x | – | y | | ≤ | x + y | ≤ | x | + | y |

(üçgen eşitsizliği)

14) | x | < | y | ⟹ – | y | < x < | y |

ÜSLÜ İFADELER

a R ve n Z+ olmak üzere, n tane a nın çarpımı

olan an ye üslü ifade denir.

an = a.a........a

n tane

an ifadesinde, a ya taban, n ye üs veya kuvvet denir.

Üslü İfadelerin Özelikleri

a, b R ve m, n Z+ olmak üzere,

1) a1 = a , a

0 = 1 , 0

n = 0 dır. ( 0

0 belirsizdir. )

2) a.an + b.a

n – c.a

n = (a + b – c).a

n

3) an.a

m = a

n+m

4) an.b

n = (a.b)

n

5) (an)m

= an.m

= (am

)n

6)

7)

(

)

8) Negatif sayıların tek kuvvetleri negatif, çift

kuvvetleri pozitiftir. Pozitif sayıların ise tüm

kuvvetleri pozitiftir.

ÜSLÜ DENKLEMLER

1) a R – {−1, 0, 1}, m, n Z+ için a

m = a

n ⇔

m = n dir.

2) an = 1 denkleminde,

a) n = 0 dır. (a ≠ 0 ise)

b) a = 1 dir. (n R ise)

c) a = –1 dir. (n çift ise)

3) a, b R ve n Z+ için, a

n = b

n

⇒{ i

çi i

ÜSLÜ İFADELERDE EŞİTSİZLİK

1) a > 1 iken an < a

m ⟹ n < m dir.

2) 0 < a < 1 iken an < a

m ⟹ n > m dir.

KÖKLÜ İFADELER

Kök sembolünün kullanılması çok eski dönemlere

dayanmaktadır. Mısırlılar, Babilliler, Çinliler ve

Hintliler bunun için özel işaretler kullanmışlardır.

Bugün kullanılan kök işareti, kök anlamına gelen

“radix” sözcüğünün baş harfi olan “r” den

gelmektedir. Bu yüzden Latin yazarlar da kök için

“R” harfini kullanmışlardır. Bu işaret zamanla

bugünkü şeklini almıştır.

n, 1 den büyük pozitif tam sayı olmak üzere, xn = a

denklemini sağlayan x sayısına, a nın n. dereceden

kökü denir ve x = √

şeklinde gösterilir.

xn = a ⟹ x {

√

i

√

çi i

√

√ 2. dereceden (kare) kök a

√

3. dereceden (küp) kök a

√

4. dereceden kök a diye okunur.

n Z+ ve a R

+ için √

R dir.

n pozitif tek tam sayı ve b R– için √

R dir.

n pozitif çift tam sayı ve c R– için √

∉ R dir.

a, b R, b ≠ 0 ve a ile b aralarında asal olmak üzere

biçiminde yazılamayan sayılara irrasyonel

sayılar denir.

Köklü İfadelerin Özellikleri

1) √

2) √

3) √ {

i | | çi i

4) (√

)

√

5) √ √

(k Z+)

6) √

√

( n çift ise a > 0 olmalıdır. )

7) √

√ √

8) √

√ √

( y ≠ 0 )

9) √

√

√

( ) √

10) √ √

√

Paydanın Rasyonel Yapılması

Çarpımları rasyonel sayı olan iki reel sayıdan her

birine diğerinin eşleniği denir.

(√ √ ) (√ √ ) olduğundan

(√ √ ) ile (√ √ ) eşlenik ifadelerdir.

Aşağıdaki tabloda sıklıkla kullanacağımız bazı

ifadeler ve eşlenikleri verilmiştir.

x y x.y

√ √

a

√ √ √ √ a − b

√

√

√ √

√

a + b

√

√

√ √

√

a − b


19

√ √ veya √ √ ifadeleri verildiğinde

} olacak şekilde m, n R+ varsa

√ √ , √ √ biçiminde

ifade edebiliriz.

Sonsuz Kökler

1) √ √ √

√

2) √ √ √

√

3) √ ( ) √ ( )

ORAN - ORANTI

ORAN

Birimleri aynı olan iki çokluğun bölümüne

(karşılaştırılmasına) oran denir. En az biri sıfırdan

farklı olan a ve b büyüklükleri verildiğinde a nın b

ye oranı a : b veya

biçiminde gösterilir. Oran bir

sayı belirtmekte olup birimi yoktur. Kesirlerde de

olduğu gibi oranın payı ve paydası sıfırdan farklı bir

sayı ile genişletilebilir veya sadeleştirilebilir.

ORANTI

İki veya daha fazla oranın eşitliğine orantı denir.

veya a : b = c : d ikili orantısında b ve c ye

içler, a ve d ye dışlar denir.

orantısında k orantı sabitidir.

biçimindeki üçlü orantı

biçiminde de gösterilebilir. Bu gösterimde a ile b, c

ile d ve e ile f doğru orantılıdır.

Orantının Özelikleri

1) İçler çarpımı, dışlar çarpımına eşittir.

⟺ b.c = a.d

2) İçler veya dışlar yer değiştirebilir.

⟺

⟺

3) m ≠ 0, n ≠ 0 olmak üzere,

⟺

dır.

4) m, n, p aynı anda sıfır olmamak üzere,

⟺

dır.

5)

⟹ a = b.k , c = d.k , e = f.k

6) n N+ olmak üzere,

⟹

dir.

Doğru Orantı

Herhangi bir şekilde birbirlerine bağlı olan iki

büyüklükten birisi değiştirildiğinde, ikisindeki

değişme oranı da aynı ise bu iki büyüklüğe doğru

orantılıdır ya da kısaca orantılıdır denir.

Doğru orantılı iki büyüklükten biri artarken diğeri

de orantılı olarak artar veya biri azalırken diğeri de

orantılı olarak azalır.

Doğru orantılı iki büyüklüğün oranı sabittir. k > 0

olmak üzere,

ise x ile y doğru orantılıdır.

x ile y doğru orantılı ve k R+ ise

veya y = k.x tir.

y = k.x doğru orantı denkleminin grafiği

x, y, z sayıları sırası ile a, b, c sayıları ile doğru

orantılı ise

dir.

Ters Orantı

x ve y herhangi iki büyüklük olsun. Eğer x ile

doğru orantılı ise x ile y ters orantılıdır denir.

k R+ olmak üzere; x ile y ters orantılı ise

x. y = k veya

dir.

Ters orantılı iki büyüklükten biri arttıkça diğeri

azalır.

ters orantı denkleminin grafiği


20

x, y, z sayıları sırası ile a, b, c sayıları ile ters

orantılı ise a.x = b.y = c.z = k dır.

Bileşik Orantı

Bir orantının içinde hem doğru hem de ters orantı

varsa bu orantıya bileşik orantı denir.

x ile y doğru orantılı, x ile z ters orantılı ise

dır.

ARİTMETİK ORTALAMA

a1, a2, a3 ...... an reel sayılar olmak üzere,

A

sayısına a1, a2, a3 .......an sayılarının aritmetik

ortalaması ya da kısaca ortalaması denir.

a ve b nin aritmetik ortalaması:

dir.

a, b ve c nin aritmetik ortalaması:

tür.

GEOMETRİK ORTALAMA

a1, a2, a3, ...., an gibi n tane pozitif sayının geometrik

ortalaması; √ dir.

√ ifadesine a ve b nin geometrik ortası veya orta

orantısı denir.

√

ifadesine a, b ve c nin geometrik ortası

denir.

HARMONİK ORTALAMA

a1, a2, a3,...,an gibi n tane pozitif sayının harmonik

ortalaması H ile gösterilirse

(

) dir.

a ve b nin harmonik ortalaması,

(

) ⟹

dir.

İki sayının aritmetik ortalaması A, geometrik

ortalaması G, harmonik ortalaması H ise

G2 = A.H dir.

PROBLEMLER

DENKLEM KURMA

Bu konuyu sayı, kesir, yaş, işçi-havuz, yüzde,

karışım ve hareket problemleri gibi alt başlıklar

altında örneklerle inceleyeceğiz. Bir problemi

çözebilmek için, verilen ifadenin matematiksel

olarak yazılmasına denklem kurma denir. Semboller

kullanılarak kurulan denklemlerin çözülmesi ile

problemde istenen bulunur.

Bilinmeyen sayısı ne kadar az olursa, çözüm o

oranda kolay olacağından eğer mümkünse

bilinmeyenleri bir biri cinsinden yazmaya

çalışmalıyız.

Örneğin; herhangi bir sayı x olsun.

Bir sayının 5 fazlası: x + 5

Bir sayının üç katı: 3x

Bir sayının üçte ikisi :

Bir sayının karesi: x2

Bir sayının karesinin üç katı: 3x2

Bir sayının 3 katının karesi: (3x)2

Bir sayının 2 katının 1 eksiği: 2x – 1

Bir sayının 2 eksiğinin

ü : ( )

Bir sayının karesinin 3 eksiğinin yarısı:

İki sayının toplamı 5 ise bu sayılar:

x ve 5 – x

İki sayıdan birinin 2 katı diğerinin 3 katına

eşitse bu sayılar sırasıyla, 3x ve 2x tir.

Bir sayının karesinin 6 eksiği kendisine

eşitse, x2 – 6 = x şeklinde denklemler

kurulur.

YAŞ PROBLEMLERİ

Bir kişinin yaşı x ise;

k yıl sonraki yaşı: x + k,

k yıl önceki yaşı: x − k

İki kişinin yaşları toplamı x ise;

k yıl sonraki yaşları toplamı: x + 2k

k yıl önceki yaşları toplamı: x − 2k

a tane kişinin yaşları toplamı A ise;

k yıl sonraki yaşları toplamı: A + a.k

k yıl önceki yaşları toplamı: A − a.k

İki kişinin yaşları arasındaki fark sabittir.

YÜZDE VE KÂR-ZARAR PROBLEMLERİ

Yüzde deyimi, paydası 100 olan kesirler için

kullanılır.

Bir A sayısının % x i: A

% x i a olan sayı:

dir

Bir malın satışındaki kâr-zarar durumu alış

(maliyet) fiyatı üzerinden hesaplanır. Zam ya da

indirim ise satış fiyatı üzerinden hesaplanır.

Kâr = Satış fiyatı – Alış fiyatı

Zarar = Alış fiyatı – Satış fiyatı

F: faiz miktarı

A: ana para

n: faiz yüzdesi

t: zaman olmak üzere;


21

Yıllık faiz:

Aylık faiz:

Günlük faiz:

Bileşik faiz: A (

)

A dır.

UYARI: t her zaman yıl olarak alınmalıdır.

KARIŞIM PROBLEMLERİ

Tuz oranı % x olan A litrelik tuzlu su

karışımındaki tuz miktarını bu karışıma saf

su ilave ederek veya karışımdan su

buharlaştırarak değiştiremeyiz. Her iki

durumda değişen tuzun yüzdesidir.

Çapraz Kuralı:

oranı karışımdaki madde miktarlarının

oranıdır.

İşlem yaparken denklem kurma ve yüzde

hesaplarındaki metotlardan faydalanırız

x miktar maddenin % a sı tuz,

y miktar maddenin % b si tuz,

z miktar maddenin % c si tuz

Bu maddelerin karıştırılmasıyla oluşan

karışımın tuz yüzdesi

dir.

HAREKET PROBLEMLERİ

Yol = Hız.Zaman

Yol = X, Hız = V, Zaman = t ⟹ X = V.t

veya V1, V2 hızları

için

1) Aynı yöndeki hareketliler için hızların farkı

alınır. (V1 − V2)

2) Zıt yöndeki hareketliler için hızların toplamı

alınır. (V1 + V2)

3) Giderken alınan yol dönerken alınan yola

eşittir.

4) Akıntı problemlerinde; Hareketlinin hızı VH,

Akıntının hızı VA olsun.

Akıntıya zıt yönde hız = VH − VA dır.

Akıntı yönünde hız = VH + VA dır.

İŞÇİ VE HAVUZ PROBLEMLERİ

İşçi ve havuz problemlerinde birim zamanda

yapılan iş üzerinden işlem yapılır.

Birim zaman problemde kullanılan birimdir.

(1 dakika, 1 saat, 1 gün, 1 ay,... gibi)

Bir işçi işin tamamını x günde yapıyorsa bir

günde bu işin

ini yapar.

Bir işçi bir işi a günde, ikinci işçi aynı işi b

günde, ikisi birlikte x günde yapıyorlarsa;

bağıntısı yazılır.

Havuz problemleri de işçi problemleri gibi

yorumlanarak çözülür.

Havuz problemlerinde dolduran muslukların

birim zamanda yaptıkları işin toplamından

boşaltan muslukların yaptığı iş çıkarılır.

Örneğin; birinci musluk bir havuzu a saatte

dolduruyor, ikinci musluk b saatte boşaltıyor

ve ikisi birlikte x saatte dolduruyorsa,

bağıntısı yazılır.

SAAT PROBLEMLERİ

Saat bir çember oluşturduğu için tamamı

360° lik bir yaydır.

12 eşit aralıktan oluştuğu için her aralık

360 : 12 = 30° dir.

Yelkovan 1 saatte bir tam tur yaptığından

dolayı 360° lik yol alır.

1 dakikada ise 360 : 60 = 6° lik yol alır.

Akrep 1 saatte 30° lik,

1 dakikada ise 30 : 60 = (0,5)° lik yol alır.

UYARI: Yelkovan 1 dakikada 6° lik, Akrep 1

dakikada (0,5)° lik yol aldığından 1 dakikada

Yelkovan, akrepten (6 − 0,5) = (5,5)° lik fazla yol

almış olur. 10 lik fazla yolu :

dakikada alır.

Saat problemlerinin çözümünde yelkovanı

12 ye getirmekle kolaylık sağlanır.

Yelkovanın akrepten kaç derece fazla yol

aldığı bulunur ve fazla açı

çarpılarak

dakikaya çevrilir.

Bilinmeyeni (x, y, z, a, ....) gibi sembollerle

ifade ederek denklem çözümü yapılır.

9. sinif matematİk konu özetİ - nıf... · pdf file9. sinif matematİk konu...

Documents