วชา คณตศาสตรธรกจ (3000-1403)

โดย ครยพด นธภากร

หนวยท 2

เมทรกซ

ความหมายของเมทรกซ

ความหมายของเมทรกซ

เมทรกซ คอ การจดล าดบกลมของจ านวนใดๆ โดยน ามา

เรยงกนเปนแถวและหลก ภายใตเครองหมาย [ ] หรอ ( )

เชน 1 -3 5 , 0 2 4 -1 0 6 8

สญลกษณของเมทรกซ

สญลกษณของเมทรกซ

1. ใชตวอกษรภาษาองกฤษตวพมพใหญ เชน A, B, C,…,Z

เปนชอของเมทรกซ

2. จ านวนทอยภายในเมทรกซ A เรยกวา “สมาชกของเมทรกซ”

3. เมทรกซ A ประกอบดวย m แถว และ n หลก เรยกวา m × n

เมทรกซ หรอเมทรกซทมขนาด (มต) m × n นยมเขยนสญลกษณ เปน A = aij m×n

เมอ aij เปนสมาชกของเมทรกซ A ทอยในต าแหนงแถวท i

และหลกท j

ก าหนดให A เปนเมทรกซขนาด m×n เขยนแบบแจกแจง

สมาชกไดดงน

A = aij m×n

เมอ aij เปนสมาชกของเมทรกซ A ทอยในต าแหนงแถวท i

และหลกท j

A = a11 a12 a13 … a1n

a21 a22 a23 … a2n

a31 a32 a33 … a3n

am1 am2 am3 … amn.

ชนดของเมทรกซ

1. เมทรกซแถว คอ เมทรกซทมสมาชกเพยงแถวเดยวเทานน

เชน A = -2 5 0 1

2. เมทรกซหลก คอ เมทรกซทมสมาชกเพยงหลกเดยวเทานน

เชน A = 3

-4

3. เมทรกซศนย คอ เมทรกซทมสมาชกทกตวมคาเปนศนยทงหมดเชน A = 0 0 B = 0 0 0

0 0 , 0 0 0

4. เมทรกซจตรส คอ เมทรกซทมจ านวนแถวเทากบจ านวนหลก เชน A = 3 1 1 5 -7

-4 9 , B = 3 4 10 -2 6

5. เมทรกซทแยงมม คอ เมทรกซจตรสทมสมาชกทอยเหนอและใต

เสนทแยงมมหลก มคาเปนศนยทงหมด

เชน A = 4 0 B = 1 0 0

0 -1 , 0 7 0

0 0 3

6. เมทรกซเชงสเกลาร คอ เมทรกซทแยงมมทมสมาชกในต าแหนง

เสนทแยงมมหลก มคาเทากนทกตว

เชน A = -1 0 1 0 0

0 -1 , B = 0 7 0

0 0 3

7. เมทรกซเอกลกษณ คอ เมทรกซเชงสเกลารทมสมาชกใน

ต าแหนงเสนทแยงมมหลก เปน 1 ทกตว

เชน A = 1 0 1 0 0

0 1 , B = 0 1 0

0 0 1

8. เมทรกซสามเหลยมบน คอ เมทรกซจตรสมสมาชกใน

ต าแหนงใตเสนทแยงมมหลก มคาเปน 0 ทงหมด

เชน A = 2 5 3 -2 -1

0 -1 , B = 0 4 7

0 0 8

9. เมทรกซสามเหลยมลาง คอ เมทรกซจตรสมสมาชกใน

ต าแหนงเหนอเสนทแยงมมหลก มคาเปน 0 ทงหมด

เชน A = 1 0 3 0 0

3 -1 , B = -1 4 0

2 1 6

การเทากนของเมทรกซ

นยาม เมทรกซ 2 เมทรกซเทากน กตอเมอ เมทรกซทงสอง

มขนาดหรอมตเทากน และสมาชกในต าแหนงเดยวกนมคาเทากน

ทกค

ตวอยาง ก าหนดให A = -1 6 B = -3+2 7-1

-3 0 , 5-8 -4+4

จะไดวา A = B

ตวอยาง ก าหนดให A = x-1 0 y

8 2z 1

B = 5 0 8

8 4 1

จะหาคาของ x, y, z

วธท า x-1 = 5

x = 5+1

x = 6

y = 8

2z = 4

z = 2

ดงนน x = 6 , y = 8 , z = 2

เมทรกซสลบเปลยน

หรอ

ทรานสโพสของเมทรกซ

เมทรกซสลบเปลยน A เปนเมทรกซทมขนาด m × n

เมทรกซสลบเปลยนของ A เขยนแทนดวย At เปนเมทรกซท

เกดจากการสลบแถวเปนหลกของเมทรกซ A

ตวอยาง A = 3 -7 จงหา At

1 4

วธท า At = 3 1

-7 4

ตวอยาง A = 0 4 1 จงหา At

6 -3 -2

วธท า At = 0 6

4 -3

1 -2

การบวกและการลบเมทรกซ

การบวกเมทรกซ นยาม ถา A และ B เปนเมทรกซสองเมทรกซทมขนาด (มต) เทากน ผลบวกของเมทรกซ A และ B เขยนแทนดวย A + B การลบเมทรกซ นยาม ถา A และ B เปนเมทรกซสองเมทรกซทมขนาด (มต) เทากน ผลลบของเมทรกซ A และ B เขยนแทนดวย A - B

ตวอยาง A = 5 -7 และ B = 6 -4 0 3 -1 2

จงหา 1) A+B 2) A-B 3) A+ Bt

วธท า 1) A+B = 5+6 (-7)+(-4)0+(-1) 3+2

= 11 -11-1 5

A = 5 -7 และ B = 6 -4 0 3 -1 2

2) A-B วธท า 2) A-B = 5-6 (-7)-(-4)

0-(-1) 3-2

= -1 -3 1 1

A = 5 -7 และ Bt = 6 -10 3 -4 2

3) A+ Bt

วธท า 3) A+ Bt = 5+6 (-7)+(-1)0+(-4) 3+2

= 11 -8-4 5

สมบตของการบวกเมทรกซ

การคณเมทรกซ

การคณจ านวนคงทกบเมทรกซ

นยาม ถา k เปนจ านวนจรงใดๆ

และเมทรกซ A = aij m×n แลว kA = k aij m×n

ตวอยาง A = 5 -7 และ B = 6 -4 0 3 -1 2

จงหา 1) 4A 2) 2A-3B วธท า 1) 4A = 4 5 (-7)

0 3 = 20 -28

0 12

ตวอยาง A = 5 -7 และ B = 6 -4 0 3 -1 2

2) 2A-3B วธท า 2A-3B = 2 5 (-7) - 3 6 -4

0 3 -1 2

= 10 -14 - 18 -12 = -8 -20 6 -3 6 3 0

การคณเมทรกซดวยเมทรกซ

นยาม

เมทรกซ A = aij m×n และ B = bij n×p

เมทรกซ A คณเมทรกซ B เขยนแทนดวย AB

AB = C = cij m×p

ตวอยาง A = 3 5 และ B = -3 -5

2 3 2 -3

จงหา AB

วธท า

ตวอยาง ก าหนดให A = 1 4 , B = 4 7

2 3 1 0

จงหา AB (AB)t

วธท า

ตวอยาง A = 1 2

3 -1

จงหา 1. A2

ขอขอบคณภาพจาก Internet