วชา คณตศาสตรธรกจ (3000-1403)

โดย ครยพด นธภากร

หนวยท 5

ความนาจะเปน

กฎเกณฑเบองตนเกยวกบการนบ

กฎขอท 1

ถาสามารถท างานอยางแรกวธตาง ๆ ได n1 วธ แตละวธของการ

ท างานอยางแรก สามารถท างานอยางทสองได n2 วธ ดงนน

จ านวนวธทงหมดทจะเลอกท างานทงสองอยางเทากบ ได n1 n2 วธ

ตวอยาง มเสอ 2 ตว และกางเกง 3 ตว จะมวธแตงตวเปนชดๆ

ไดทงหมดกวธ

วธท า เลอกเสอได = 2 วธ

เลอกกางเกงได = 3 วธ

ดงนน เลอกแตงตวไดทงหมด = 2×3 วธ

= 6 วธ

ตวอยาง สนามกฬาแหงหนงมประตอย 4 ประต ถาจะเดนเขาแลวออกอกประตหนงทไมซ ากบทเดนเขามา จะมวธเดนเขาและออกไดทงหมดกวธ

วธท า เลอกเดนเขาสนามกฬาได = 4 วธ

เลอกเดนออกสนามกฬาได = 3 วธ

จะเดนเขาและออกสนามกฬาไดทงหมด = 4 ×3 วธ

= 12 วธ

กฎขอท 2

ถาสามารถท างานใหเสรจสนใน k ขนตอน โดยทขนตอนแรก สามารถ

ท างานไดโดยวธทแตกตางกน n1 วธ ในแตละวธของการท างานอยางท

หนงเสรจสน สามารถท างานอยางท 2 ได n2 วธ และในแตละวธของ

การท างานอยางทสองเสรจสน สามารถท างานอยางท 3 ได n3 วธ…

จนถงการท างานขนท k ซงสามารถท างานได nk วธ ดงนน จ านวนวธ

ทงหมดทจะเลอกท างานนใหเสรจสนใน k ขนตอนเทากบ n1 n2n3 … nk

วธ

ตวอยาง โยนเหรยญบาท 3 เหรยญ พรอมกน จะเกดหว

หรอกอยไดทงหมดกวธ

วธท า เหรยญท 1 เกดหวหรอกอยได = 2 วธ

เหรยญท 2 เกดหวหรอกอยได = 2 วธ

เหรยญท 3 เกดหวหรอกอยได = 2 วธ

ดงนนจะเกดหวหรอกอยไดทงหมด = 2×2×2 วธ

= 8 วธ

ตวอยาง ถาตองการสรางเลขสามหลก แตละหลกไมซ ากน จากเลขโดด 1,2,3,…,9 จะสรางไดทงหมดกวธ

วธท า เลขหลกรอยเลอกได = 9 วธ

เลขหลกสบเลอกได = 8 วธ

เลขหลกหนวยเลอกได = 7 วธ

ดงนนจะสรางไดทงหมด = 9×8×7 วธ

= 504 วธ

แฟกทอเรยล

แฟกทอเรยล

เมอ n เปนจ านวนเตมบวก แฟกทอเรยล n หมายถง ผลคณของ

จ านวนเตมบวกตงแต 1ถง n แฟกทอเรยล n เขยนแทนดวย n

1= 1

2= 2 × 1

3 = 3 × 2 × 1

4= 4 × 3 × 2 × 1

(n-1 = (n-1)(n-2)(n-3) … 3 × 2 × 1

ตวอยาง จงหาคาของ

1) 7

7 = 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1

2) 8

5

8 = 8× 7 × 6 × 5

5 5= 8 × 7 × 6

= 336

3) 10 3

7

10 3 = 10 × 9 × 8 × 7 × 3 × 2 × 1

7 7= 10 × 9 × 8 × 3 × 2 × 1

= 4,320

วธเรยงสบเปลยน

การจดของ r สง ซงเลอกมาจากของ n สงทแตกตางกน

โดยถอล าดบเปนส าคญ เรยกวา การจดล าดบหรอ

วธเรยงสบเปลยน (Permutation)

วธเรยงสบเปลยนของ n สงทแตกตางกนในแนวตรง

1. จ านวนวธเรยงสบเปลยนของ n สงทแตกตางกน คราวละ n สง

เทากบ n

ตวอยาง ตวเลขโดด 2 , 3 , 4 , 5 , 9 น ามาเรยงสบเปลยนไดทงหมด

กวธ

วธท า n = 5

จ านวนวธเรยงสบเปลยน = 5 วธ= 5× 4 × 3 × 2 × 1 วธ

= 120 วธ

ตวอยาง จะมวธการจดคน 8 คนซงมแดงและขาวรวมอยดวย นงเรยงเปนแถวตรงไดกวธ โดยทแดงและขาวนงตดกนเสมอ

วธท า n = 7

จ านวนวธเรยงสบเปลยนคน 8 คน = 7 วธ

แดงและขาวนงตดกนสลบทกนไดอก = 2 วธ

ดงนนจ านวนวธทงหมด = 7 × 2 วธ= 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 × 2 × 1 วธ

= 10,080 วธ

2. วธเรยงสบเปลยนของ n สงทแตกตางกน

น ามาเรยง คราวละ r สง เมอ 0 ≤ r≤ n แลวจ านวนวธเรยงสบเปลยนเขยนแทนดวย Pn,r โดยท

ตวอยาง จงหาคาของ P10,2

วธท า P10,2 = 10 (10-2)

= 10 8

= 10×9×8 8

= 90

ตวอยาง ในการเลอกคณะกรรรมการชดหนง 4 คน ประกอบดวย ประธาน รองประธาน เลขานการ และเหรญญก ถามผสมครเขารบการเลอกตงทงหมด 8 คน จะมวธจดตงคณะกรรมการชดนไดทงหมดกวธวธท า n = 8 , r = 4จ านวนวธจดตงคณะกรรมการชดน = P8,4 = 8

(8-4)= 8

4= 8×7×6×5×4 = 1,680 วธ

4

วธเรยงสบเปลยนของ n สงทไมแตกตางกนทงหมดในแนวตรง

ถามของอย n สง ในจ านวนนม n1 สงทเหมอนกนเปนกลมท 1ม n2 สงทเหมอนกนเปนกลมท 2… และม nk สงทเหมอนกนเปนกลมท k โดยท n1 + n2 + n3 + … +nk = n จ านวน วธเรยงสบเปลยนในแนวตรงของสงของทงหมด สงเทากบ

n วธn1 n2 n3 … nk

ตวอยาง น าหนงสอคณตศาสตรทเหมอนกน 4 เ ลม หนงสอภาษาองกฤษ

ทเหมอนกน 2 เลม และหนงสอบญชทเหมอนกน 3 เลม มาจดเรยงบน

ชนหนงสอเดยวกน จะมจ านวนวธเรยงสบเปลยนหนงสอทงหมดนไดกวธ

วธท า n = 9 , n1 = 4 , n2 = 2 , n3 = 3

จ านวนวธเรยงหนงสอทงหมด = 9 วธ

4 2 3

= 9 × 8 × 7 × 6 × 4 วธ

4× 2 × 1 × 3 × 2 × 1= 1,260 วธ

วธเรยงสบเปลยนเปนวงกลม

จ านวนวธเรยงสบเปลยนสงของ n สงทแตกตางกนทงหมด

เปนวงกลม เทากบ (n-1)

ตวอยาง จะจดคน 6 คนเขานงประชมโตะกลมไดทงหมดกวธ

วธท า n = 6

จ านวนวธทจดไดทงหมด = (6-1) วธ

= 5 วธ= 5 × 4 × 3 × 2 × 1 วธ

= 120 วธ

ตวอยาง พอ แม และลกอก 4 คน จะมวธนงโตะอาหารกลม

ไดทงหมดกวธ โดยมเงอนไขวาพอและแมตองนงตดกนเสมอ

วธท า พอและแมตองนงตดกน ถอวาเปนหนงหนวยและใหอยคงท

n = 5

จ านวนวธทจดไดทงหมด = (5-1) = 4 วธ

แตพอและแมสลบทกนไดอก = 2 วธ

จะมวธนงโตะอาหารกลมไดทงหมด = 4 2 วธ= 4 × 3 × 2 × 1 × 2 × 1 วธ

= 48 วธ

วธจดหม (Combination)

จ านวนวธจดหมสงของ n สงทแตกตางกน คราวละ

r สง เมอ r≤ n แลว วธจดหมจะไดเทากบ Cn,r

โดยท Cn,r = n = n

r (n-r)r

ตวอยาง จงหาคาของ C4,2

วธท า C4,2 = 4 (4-2) 2

= 4 2 2

= 4 × 3 × 2 2 × 2 × 1

= 6

ตวอยาง นกเรยนกลมหนงม 10 คน ตองการเลอกผแทนของกลม 3 คน

จะเลอกไดทงหมดกวธ

วธท า n = 10 , r = 3

จ านวนวธจดตงคณะกรรมการชดน = C10,3 = 10

(10-3)3

= 10

7 3

= 10 × 9 × 8 × 7 = 120 วธ

7 × 3 × 2 × 1

นยาม

ให S เปนแซมเปลสเปซ โดยสมาชกแตละตวมโอกาสเกดขน

เทา ๆ กนและจ านวนสมาชกของเหตการณ E เปนสบเซตของ

แซมเปลสเปซ (E S )ความนาจะเปนของเหตการณ E = จ านวนสมาชกของเหตการณ E

จ านวนสมาชกของแซมเปลสเปซ

P(E) = n(E)

n(S)

สมบตของความนาจะเปน

1. 0 ≤ P(E) ≤ 1

2. ถา E = แลว P(E) = 0 แสดงวาเหตการณ E ไมเกดขน3. ถา E = S แลว P(E) = 1 แสดงวาเหตการณ E เกดขนแนนอน

4. ความนาจะเปนทไมใชเหตการณ E จะได

P(E) = 1 - P(E)

ตวอยาง ดาวท าสลาก 20 ใบ โดยสลากทงหมดอยในกลอง สมหยบ

ขนมา 1 ใบ จงหาความนาจะเปนทจะไดสลากทหารดวย 3 หรอ 5 ลงตว

วธท า S = 1 , 2 , 3 , … , 20 n (S) = 20ให E แทนเหตการณทจะไดสลากทหารดวย 3 หรอ 5 ลงตว

E = 3 , 5 , 6 , 9 , 10 , 12 , 15 , 18 , 20 n (E) = 9P(E) = n(E) = 9

n(S) 20

ดงนนความนาจะเปนทจะไดสลากทหารดวย 3 หรอ 5 ลงตว = 9

20

ตวอยาง มตวอกษร 4 ตวคอ E , O , T , N น ามาเรยงสบเปลยนกน จงหา

ความนาจะเปนทเรยงแลวไดค าวา “ NOTE ”

วธท า S = 4 วธ n (S) = 24ให E แทนเหตการณทเรยงแลวไดค าวา “ NOTE ”

E = NOTE n (E) = 1P(E) = n(E) = 1

n(S) 24

ดงนนความนาจะเปนทเรยงแลวไดค าวา “ NOTE ” = 1

24

ตวอยาง ถานกเรยนกลมหนงม 10 คน เปนชาย 4 คน และหญง 6 คน ตองการเลอกเปนตวแทน 4 คน จงหาความนาจะเปนทเปนชาย 2 คน และหญง 2 คน วธท า นกเรยนกลมหนงม 10 คน ตองการเลอกเปนตวแทน 4 คน จ านวนวธทงหมด = C10,4 = 10 = 210 วธ

6 4n (S) = 210

นกเรยนชาย 4 คนเลอกมา 2 คน ได C4,2 = 4 = 6 วธ2 2

นกเรยนหญง 6 คนเลอกมา 2 คน ได C6,2 = 6 = 15 วธ

4 2

จ านวนวธทเลอกเปนชาย 2 คน และหญง 2 คน = 6 15 = 90 วธn (E) = 90

P(E) = n(E) = 90 = 3

n(S) 210 7

ดงนนความนาจะเปนทเปนชาย 2 คน และหญง 2 คน = 3

7

ทฤษฎความนาจะเปนทส าคญ

ถา E1 และ E2 เปนเหตการณสองเหตการณ แลว E1 S และ E2 S

1. P(E1 E2 ) = P(E1 ) + P( E2 ) - P(E1 E2 )

2. P(E1 E2 ) = P(E1 ) + P( E2 ) เมอ E1 E2 =

3. P(E) + P(E) = 1

ตวอยาง มสลาก 20 ใบ โดยสลากทงหมดอยในกลอง สมหยบ

ขนมา 1 ใบ จงหาความนาจะเปนทจะไดสลากทหารดวย 2 หรอ 7

ลงตว

วธท า S = 1 , 2 , 3 , … , 20 n (S) = 20ให E1 แทนเหตการณทจะไดสลากทหารดวย 2 ลงตว

E1 = 2 , 4 , 6 , 8 , 10 , 12 , 14 , 16 , 18 , 20 n (E1) = 10ให E2 แทนเหตการณทจะไดสลากทหารดวย 7 ลงตว

E2 = 7 , 14 n (E2) = 2

E1 E2 = 14 n ( E1 E2 ) = 1

P(E1 E2 ) = P(E1 ) + P( E2 ) - P(E1 E2 )ความนาจะเปนทจะไดสลากทหารดวย 2 หรอ 7 ลงตว P(E1 E2 )

P(E1 E2 ) = 10 + 2 - 120 20 20

= 1120

= 0.55ความนาจะเปนทจะไดสลากทหารดวย 2 หรอ 7 ลงตว = 11 หรอ 0.55

20

ความนาจะเปนแบบมเงอนไข

ความนาจะเปนแบบมเงอนไขความนาจะเปนแบบมเงอนไข คอความนาจะเปนทเหตการณ B

จะเกดขนเมอเหตการณ A เกดขนแลว เขยนแทนดวยสญลกษณ P(BA)

P(BA) = P(AB)P(A)

หรอ P(AB) = P(AB)P(B)

ตวอยาง ในการโยนลกเตา 2 ลก 1 ครง จงหาความนาจะเปนทจะไดผลบวกของแตมลกเตาเปน 10 เมอก าหนดวาลกเตาลกทหนงขนแตม 6วธท า ให A แทนเหตการณทจะไดผลรวมของลกเตาเปน 10

B แทนเหตการณทลกเตาขนแตม 6n(S) = 36A = ( 4 , 6) , ( 5 , 5 ) , ( 6 , 4 ) B = ( 6 , 1) , ( 6 , 2 ) , ( 6 , 3 ) , ( 6 , 4 ) , ( 6 , 5 ) ) , ( 6 , 6 ) A B = ( 6 , 4 ) P( A B ) = 1

36 และ P( B ) = 6

36

P(AB) = P(AB)P(B)

= 1 ÷ 636 36

= 1 × 3636 6

= 1 6

ตวอยาง จากการรายงานผลการเรยนของนกเรยนชน ปวส.1 ของ

โรงเรยนแหงหนง ปรากฎวาสอบไมผานวชาบญชชนสง 30%

สอบไมผานวชาคณตศาสตรธรกจ 20% และสอบไมผานวชา

ทงสองวชาเทากบ 5% ถานกเรยนคนหนงสอบวชาบญชชนสง

ไมผาน จงหาความนาจะเปนทนกเรยนคนนจะสอบวชา

คณตศาสตรธรกจไมผาน

วธท า ให A และ B แทนเหตการณของเหตการณ

A เปนเหตการณทนกเรยนสอบไมผานวชาบญชชนสง

B เปนเหตการณทนกเรยนสอบไมผานวชาคณตศาสตรธรกจ

A B เปนเหตการณทนกเรยนสอบไมผานทงสองวชาP( A ) = 0.3 , P( B ) = 0.2

P( A B ) = 0.15

P(BA) = P(AB)P(A)

= 0.15 = 10.30 2

= 0.5 ความนาจะเปนทนกเรยนคนนจะสอบวชาคณตศาสตรธรกจไมผานเทากบ 0.5

ตวอยาง หยบไพ 2 ใบจากส ารบหนง 52 ใบ โดยหยบมาทละใบ

เมอใบแรกแลวไมไดคนส ารบเมอหยบใบทสอง

จงหาความนาจะเปนทหยบไพทงสองใบแลวไดโพแดงทง 2 ครง

วธท า ให A และ B แทนเหตการณของเหตการณ

A เปนเหตการณทหยบไพครงแรกแลวไดโพแดง

B เปนเหตการณทหยบไพครงทสองแลวไดโพแดง

A B เปนเหตการณทหยบไพไดโพแดงทงสองครง

P( A ) = 13 , P( B A ) = 1252 51

จาก P(BA) = P(AB)P(A)

P(AB) = P(A) • P(BA) = 13 • 12 = 1

52 51 17ความนาจะเปนทหยบไพทงสองใบแลวไดโพแดงทง 2 ครง = 1

17

เหตการณทเปนอสระตอกน

เหตการณทเปนอสระตอกน

เหตการณสองเหตการณใดๆ ทเปนอสระตอกน

หมายถง ถาเกดเหตการณหนงขน จะไมมผลกระทบท าให

อกเหตการณหนงเกดขนเปลยนแปลงไป

เหตการณ A และ B เปนอสระตอกนเมอ P(AB) = P(A) • P(B)

ตวอยางท 1 โยนลกเตา 3 ลกพรอมกน จงหาความนาจะเปนของ

เหตการณแตมลกเตาทงสามลกขนแตมเหมอนกนหรอผลบวกของแตมของลกเตาทงสามลกเปนจ านวนค

วธท า

n(S) = 6 × 6 × 6 = 216

ให E1 เปนเหตการณทลกเตาขนแตมเหมอนกนทงสามลก

E1 = ( 1 , 1) , ( 2 , 2 ) , ( 3 , 3 ) , ( 4 , 4 ) , ( 5 , 5 ) ) , ( 6 , 6 ) n(E1) = 6

ให E2 เปนเหตการณทผลบวกของแตมลกเตาทงสามลกเปนจ านวนค

E2 = 3 3 3 3 3 3 1 1 1 1 1 1

n(E2) = ( 3 × 3 × 3 ) ( 3 × 3 × 3 )

= 27 81 = 108

ดงนน E1 E2 = ( 2 , 2 , 2 ) , ( 4 , 4 , 4 ) , ( 6, 6 , 6 )

n(E1 E2 ) = 3

ดงนน ความนาจะเปนทลกเตาทงสามลกขนแตมเหมอนกนหรอผลบวกของ

แตมของลกเตาทงสามลกเปนจ านวนค

P(E1 E2 ) = P(E1 ) + P( E2 ) - P(E1 E2 )= 6 + 108 - 3

216 216 216

= 111

216

= 3772

ตวอยางท 2 โยนเหรยญบาท 1 เหรยญ 1 ครง จงหาความนาจะเปนท

1.ขนกอยทง 3 ครง2.ขนกอยในครงท 1 และ 2 สวนครงท 3 ขนหว

วธท า ให E1 เปนเหตการณทขนกอยในการโยนครงแรกE2 เปนเหตการณทขนกอยในการโยนครงทสองE3 เปนเหตการณทขนกอยในการโยนครงทสาม

ดงนน P(E1 ) = 1 , P(E2 ) = 1 , P(E3 ) = 12 2 2

1. P(E1 E2 E3 ) = P (E1 ) × P ( E2 ) × P (E3 )= 1 × 1 × 1 = 1

2 2 2 8

ความนาจะเปนทขนกอยทง 3 ครง เทากบ 1

8

2. P(E1 E2 E3) = P (E1 ) × P ( E2 ) × P (E3

)= 1 × 1 × 1 = 1

2 2 2 8

ความนาจะเปนทในครงท 1 และ 2 สวนครงท 3 ขนหว = 1

8