แผนบริหำรกำรสอนประจ ำบทที่ 6¸šทที่...

56

เอกสารประกอบการสอนรายวิชาระบบจ านวน (Number System) อาจารย์วรรณธิดา ยลวิลาศ

แผนบริหำรกำรสอนประจ ำบทที่ 6

หัวข้อเนื้อหำประจ ำบท 6.1 คุณสมบัติพ้ืนฐานของจ านวนจริง 6.2 เส้นจ านวนและอสมการ 6.3 ค่าสัมบูรณ์ ผลกำรเรียนรู้ที่คำดหวังประจ ำบท

อธิบายระบบจ านวนจริงพร้อมพิสูจน์ทฤษฎีที่ส าคัญและให้เหตุผลได้ทุกขั้นตอนพร้อมทั้ง บอกคุณสมบัติต่างๆของจ านวนจริงได้ วิธีกำรสอนและกิจกรรม

1. บรรยายประกอบเอกสารและใช้เครื่องฉายโปรเจคเตอร์ Ipad หรือ Tablet 2. บรรยาย ยกตัวอย่างประกอบ อภิปรายและตอบข้อค าถาม 3. ให้นักศึกษาท าแบบฝึกหัดบางข้อในชั้นเรียนทั้งรายบุคคลและรายกลุ่มแล้วน าเสนอหน้าชั้น 4. มอบหมายให้นักศึกษาไปท าแบบฝึกหัดท้ายบทเรียน

สื่อกำรสอน 1. เอกสารประกอบการสอนวิชาระบบจ านวน 2. เครื่องฉายโปรเจคเตอร์ IPad และ Tablet

กำรวัดผลและประเมินผล 1. ประเมินจากการตอบค าถาม การอภิปรายและรายงานหน้าชั้น 2. ประเมินจากการตรวจแบบฝึกหัดงานที่ได้รับมอบหมาย 3. ประเมินจากความรับผิดชอบ ซื่อสัตย์และตรงต่อเวลา 4. ประเมินจากการทดสอบย่อย

57


บทท่ี 6 จ ำนวนจริง

ในบทนี้จะกล่าวเกี่ยวกับ เส้นจ านวน การแก้อสมการ ค่าสัมบูรณ์

6.1 คุณสมบัติพื้นฐำนของจ ำนวนจริง บทนิยำมที่ 6.1 ให้ คือเซตของจ านวนจริง เซตของจ านวนจริงเป็นฟิลด์ (field) ประกอบด้วยการด าเนินการทวิภาค (binary operation) การบวก และการคูณ เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ , , ซึ่งมีคุณสมบัติดังต่อไปนี้ การบวก

1P a b สมบัติปิด

2P a b b a สมบัติการสลับที่

3P a b c a b c สมบัติการเปลี่ยนกลุ่ม

4P 0 0a a a สมบัติการมีเอกลักษณ์

5P 0a a a a สมบัติการมีตัวผกผัน การคูณ

6P a b สมบัติปิด

7P a b b a สมบัติการสลับที่

8P ab c a ba สมบัติการเปลี่ยนกลุ่ม

9P 1 1a a a สมบัติการมีเอกลักษณ์

10P 1 11a a a a สมบัติการมีตัวผกผัน การแจกแจง

11P a b c ab ac สมบัติการแจกแจง ดังนั้นจ านวนตรรกยะเป็นฟิลด์ด้วย เซตของจ านวนจริง (Real Numbers) ซึ่งเขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ คือรวมทั้งหมดของเซตของจ านวนตรรกยะและจ านวนอตรรกยะ คุณสมบัติที่ส าคัญที่สุดของเซตของจ านวนจริงสามารถเขียนแทนด้วยจุดบนเส้นจ านวนได้หมด แต่ละจุดบนเส้นจ านวนแทนจ านวนจริง เฉพาะจ านวนใดจ านวนหนึ่ง

58


6.2 เส้นจ ำนวนและกำรแก้อสมกำร ถ้าลากเส้นตรงเส้นหนึ่งแล้วเลือกจุดๆหนึ่ง เรียกว่าจุด 0 ให้จุดนี้แทนจ านวนศูนย์ เลือกหน่วยความยาวให้จุดทางขวาของ 0 ซึ่งอยู่ห่างจาก 0 เท่ากับ 1,2,3,…หน่วย แทนจ านวน 1,2,3,…ตามล าดับ ให้จุดทางซ้ายซึ่งอยู่ห่างจาก 0 เท่ากับ -1,-2,-3,…หน่วย แทนจ านวน-1,-2,-3,… ตามล าดับ จ านวนจริงทุกจ านวนจะมีจุดบนเส้นตรงนี้จับคู่ด้วยเพียงจุดเดียว และในทางตรงข้ามทุกจุดบนเส้นตรงนี้จะจับคู่กับจ านวนจริงเพียงจ านวนเดียว เรียกเส้นตรงนี้ว่าเส้นจ านวน แต่ละจุดบนเส้นจ านวนมีจ านวนต่าง ๆ เป็นพิกัด ศูนย์บนเส้นจ านวนเรียกว่า จุดก าเนิด (origin) จ านวนที่อยู่ทางขวา

ของจุดก าเนิด เรียกว่า จ านวนจริงบวก (positive numbers) ซึ่งเขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ เช่น 1

1, , 32

จ านวนที่อยู่ทางซ้ายของจุดก าเนิดเรียกว่าจ านวนจริงลบ (negative numbers) ซึ่งเขียน

แทนด้วยสัญลักษณ์ เช่น 1, , 3

ภาพที่ 6.1 เส้นจ านวน

จ านวนตรรกยะมีความหนาแน่น (dense) แต่อัตราส่วน (rational) ไม่สามารถบรรจุให้เต็มบนเส้นจ านวนได้ นั่นหมายความว่า เส้นของจุดอัตราส่วนไม่ต่อเนื่องและเซตของจ านวนตรรกยะไม่สมบูรณ์ ตัวอย่างเช่น ด้านทแยงที่มีความยาว 2

ภาพที่ 6.2 ความยาวของด้านทแยง

รู้ว่า 2 ไม่ใช่จ านวนตรรกยะ แต่มีจุดบนเส้นจ านวนที่มีพิกัดเป็น 2 ดังนั้น ถ้าจะให้จุดทุกจุดบนเส้นจ านวนมี พิกัดจ าเป็นจะต้องใช้เซตของจ านวนจริง ดังนั้นในเซตของจ านวนจริง เส้นของจุดจริงจึงต่อเนื่อง และเซตของจ านวนจริงจึงมีท้ังความหนาแน่นและสมบูรณ์

59


เซตของจ านวนเต็ม เซตของจ านวนตรรกยะ และเซตของจ านวนอตรรกยะ เป็นเซตย่อยของจ านวนจริง ถ้า x เป็นจ านวนเต็ม ใด สมการ 2 2 0x ก็เป็นเซตว่าง (empty set) เพ่ือที่จะหาค่าของ x ได้เมื่อ 2 2 0x เราจะเป็นต้องขยายจ านวนไปจนถึงจ านวนอตรรกยะ ทศนิยม (decimals) นั้น เป็นเซตย่อยของจ านวนจริง โดยทั่วไป ทศนิยม แบ่งออกเป็น 3 ประเภท คือ

1. ทศนิยมรู้จบ (terminating decimals)

เช่น 10.25

4

2. ทศนิยมไม่รู้จบแบบซ้ า (repeating decimals)

เช่น 10.333

3

3. ทศนิยมไม่รู้จบแบบไม่ซ้ า (non-terminating decimals)

เช่น 2 1.1412... 3.14159265...

ถ้าเป็นทศนิยมรู้จบสามารถเขียนให้เป็นรูปเศษส่วนได้ โดยที่ส่วนเป็นผลคูณของก าลัง 10

เช่น ถ้า 0.75N ดังนั้น 75

100N

ทศนิยมรู้จบ ถ้าสามารถเขียนเป็นรูปเศษส่วนได้ ส่วนจะต้องอยู่ในรูป 2 5m n ส าหรับ m และ n ไม่ใช่จ านวนเต็มลบ

เช่น 40.8

5 , 5

0.312516

, 30.75

4 , 3

0.1225

จะเห็นว่า 0 15 2 5 , 4 016 2 5 , 2 04 2 5 , 0 225 2 5

ถ้าหากส่วนไม่ได้อยู่ในรูป 2 5m n จ านวนนั้นก็จะเป็นทศนิยมไม่รู้จบ

เช่น 20.6666...

3 , 5

0.454545...11

ตัวอย่ำงท่ี 6.1 ถ้า 0.2727...N จงท าให้ N อยู่ในรูปเศษส่วนธรรมดา วิธีท ำ 0.2727...N

100 27.2727...N 100 27N N 99 27N 27

99N

3

11N

60



1000 364.6464...N 10 3.646464..N 990 361N 361

990N


1000 2351.5151....N 10 23.515151....N 990 2328N 2328 388

990 165N

บทนิยำมที่ 6.2 ถ้า a และ b เป็นจ านวนจริงซึ่ง a b เขียนสัญลักษณ์ต่อไปนี้แทนสับเซตของ ,a b x a x b เรียกว่าช่วงเปิด ,a b x a x b เรียกว่าช่วงปิด ,a b x a x b เรียกว่าช่วงก่ึงเปิด ,a b x a x b เรียกว่าช่วงก่ึงปิด ,a x a x เรียกว่าช่วงอนันต์แบบเปิด ,a x a x เรียกว่าช่วงอนันต์แบบปิด ,a x x a เรียกว่าช่วงอนันต์แบบเปิด , |a x x a เรียกว่าช่วงอนันต์แบบปิด เมื่อก าหนดค่าของ a และ b อาจแสดงช่วงต่าง ๆ บนเส้นจ านวนและเรียกกราฟของช่วงนั้น ๆ เช่น

61


กราฟช่วง 1,4 คือ กราฟช่วง 1,4 คือ กราฟช่วง 2,2 คือ กราฟช่วง 2, คือ กราฟช่วง ,3 คือ ความรู้เกี่ยวกับ คุณสมบัติ , , , และ สามารถน ามาใช้แก้อสมการ ตัวอย่ำงที่ 6.4 จงหาเซตค าตอบของอสมการ 2 5 3 1x x วิธีท ำ

2 5 5 3 1 5

2 5 5 3 1 5

2 3 4

2 3 3 3 4

5 4

4

5

x x

x x

x x

x x x x

x

x

ดังนั้นเซตค าตอบของอสมการคือ 4,

5

ซึ่งมีกราฟดังนี้

1 2 3 6 1

2 3 4 5 6 4 0 5

1 2 3 6 1

2 3 4 5 6 4 0 5

1 2 3 6 1

2 3 4 5 6 4 0 5

1 2 3 6 1

2 3 4 5 6 4 0 5

1 2 3 6 1

2 3 4 5 6 4 0 5

62


ตัวอย่ำงที่ 6.5 จงหาเซตค าตอบของอสมการ 2 3 4 0x x วิธีท ำ เนื่องจาก 2 3 4 4 1x x x x ดังนั้น 4 1 0x x จ านวนจริงที่จะเป็นค าตอบของอสมการนี้ จะต้องเป็นจ านวนที่ท าให้ 4x และ 1x เป็นจ านวนจริงบวกหนึ่งจ านวนและจ านวนจริงลบอีกจ านวนหนึ่ง กรณีแรก 4 0x และ 1 0x นั่นคือ 4x และ 1x เนื่องจากไม่มีจ านวนจริง x ที่ 4x และ 1x ดังนั้นกรณีนี้ไม่มีค าตอบ กรณีสอง 4 0x และ 1 0x นั่นคือ 4x และ 1x เนื่องจากไม่มีจ านวนจริง x ที่ 4x และ 1x ดังนั้นเซตค าตอบคือ 1,4 ตัวอย่ำงที่ 6.6 จงหาเซตค าตอบของอสมการ

( 1)( 4) 0

( 1)( 4) 0

( 1)( 4) 0

( 1)( 4) 0

x x

x x

x x

x x

วิธีท ำ ค าตอบของสมการ ( 1)( 4) 0x x คือ 1 และ 4

1 4

ดังนั้นเซตค าตอบของอสมการ ( 1)( 4) 0x x คือ ,1 4, ( 1)( 4) 0x x คือ 1,4 ( 1)( 4) 0x x คือ ,1 4, ( 1)( 4) 0x x คือ 1,4

1 2 3 6 1

2 3 4 5 6 4 0 5

1 2 3 6 1

2 3 4 5 6 4 0 5

63


ตัวอย่ำงที่ 6.7 จงหาเซตค าตอบของอสมการ (2 1)(3 1) 0x x วิธีท ำ (2 1)(3 1) 0x x

1 22 3 0

2 3x x

1 26 0

2 3x x

1 20

2 3x x

1

2

2

3

ดังนั้นเซตค าตอบของอสมการ 2 1 3 1 0x x คือ 1 2, ,

2 3

ตัวอย่ำงที่ 6.8 จงหาเซตค าตอบของอสมการ 4( 1)( 2) ( 3) 0x x x

วิธีท ำ ถ้า 2x แล้ว 4

2 0x ดังนั้นยกเว้น 2x แล้วค าตอบของสมการ

4( 1)( 2) ( 3) 0x x x จะเหมือนกับค าตอบของอสมการ ( 1)( 3) 0x x ค าตอบของสมการ ( 1)( 3) 0x x คือ 1 และ 3

1 3

ดังนั้น เซตค าตอบของอสมการ ( 1)( 3) 0x x คือ 1,3 เนื่องจากเมื่อ 2x แล้ว 4( 1)( 2) ( 3) 0x x x ดังนั้น เซตค าตอบของอสมการ 4( 1)( 2) ( 3) 0x x x คือ 1,2 2,3 ตัวอย่ำงที่ 6.9 จงหาเซตค าตอบของอสมการ 5( 1)( 2) ( 3) 0x x x

วิธีท ำ ถ้า 2x แล้ว 4

2 0x ดังนั้นยกเว้น 2x แล้วค าตอบของสมการ

64


5( 1)( 2) ( 3) 0x x x จะเหมือนกับค าตอบของอสมการ ( 1)( 2)( 3) 0x x x ค าตอบของสมการ ( 1)( 2)( 3) 0x x x คือ -1 2 และ 3

-1 2 3

ดังนั้น เซตค าตอบของอสมการ ( 1)( 2)( 3) 0x x x คือ , 1 2,3 เพราะฉะนั้น เซตค าตอบของอสมการ 5( 1)( 2) ( 3) 0x x x คือ , 1 2,3

ตัวอย่ำงที่ 6.10 จงหาเซตค าตอบของอสมการ 3

( 1)( 4)0

( 2)

x x

x

วิธีท ำ เนื่องจาก ถ้า 2x แล้ว 3

( 1)( 4)

( 2)

x x

x

ไม่มีความหมาย

ดังนั้นเซตค าตอบของอสมการ 3

( 1)( 4)0

( 2)

x x

x

ต้องเป็นสับเซตของ 2R

ถ้า 2x แล้ว 6

2 0x

ดังนั้น ยกเว้นที่ 2x แล้วค าตอบของอสมการ 3

( 1)( 4)0

( 2)

x x

x

เหมือนกับค าตอบของ 6

3

( 1)( 2) ( 4)0

( 2)

x x x

x

เหมือนกับค าตอบของ 3( 1)( 2) ( 4) 0x x x ซึ่งเหมือนกับค าตอบของ เหมือนกับค าตอบของ ( 1)( 2)( 4) 0x x x ค าตอบของสมการ ( 1)( 2)( 4) 0x x x คือ -1, 2 และ 4 ดังนั้นเซตค าตอบของอสมการ ( 1)( 2)( 4) 0x x x คือ , 1 2,4 เนื่องจาก เซตค าตอบนี้ไม่มี 2 อยู่แล้ว

ดังนั้นเซตค าตอบของอสมการ 3

( 1)( 4)0

( 2)

x x

x

คือ , 1 2,4

65


6.3 ค่ำสัมบูรณ์ จ านวนที่ไม่ค านึงถึงเครื่องหมาย ซึ่งเรียกว่า ค่าสัมบูรณ์ (Absolute) แนวคิดเกี่ยวกับ ค่าสัมบูรณ์นี้คล้ายกับการหาระยะทาง

ภาพที่ 6.3 ค่าสัมบูรณ์

จากรูปข้างบนนี้ สมมติว่า a เป็นระยะทางถึงจุด A บนเส้นจ านวน ดังนั้น ค่าสัมบูรณ์ของ a เขียนแทนด้วย a ก็คือระยะทาง 0A ถ้า 3a ดังนั้น 3a ถ้า 2b ดังนั้น 2b

บทนิยำมที่ 6.3 ส าหรับจ านวนจริง x ทุกตัว ค่าสัมบูรณ์ของ x ซึ่งเขียนแทนด้วย x มีความหมายดังนี้

; 0

0 ; 0

; 0

x x

x x

x x

ข้อสังเกต ; 0

; 0

x xx

x x

และ

; 0

; 0

x xx

x x

ตัวอย่ำง 6.11 4 4 0 0 3 ( 3) 3

ประโยคที่ว่า 5x หมายความว่า ระยะทางระหว่าง x และจุดก าเนิด น้อยกว่า 5 นั่นคือ x จะต้องอยู่ระหว่า 5 และ 5 บนเส้นจ านวน อาจกล่าวได้อีกอย่างว่า 5x ก็คือ

5 5a นั่นเอง ในท านองเดียวกัน 5x ก็หมายถึง 5 5a

เมื่อ เมื่อ เมื่อ

เมื่อ เมื่อ

เมื่อ เมื่อ

66


ตัวอย่ำงที่ 6.12 จงหาเซตค าตอบของอสมการ 2 0x วิธีท ำ 2 0x

2 0x 2x

เพราะฉะนั้นเซตค าตอบของสมการ 2 0x คือ 2 ตัวอย่ำงที่ 6.13 จงหาเซตค าตอบของอสมการ 4 2x วิธีท ำ 4 2x

2 4 2x 2 6x

2x เพราะฉะนั้นเซตค าตอบของสมการ 4 2x คือ | 2 6x x ตัวอย่ำงที่ 6.14 จงหาเซตค าตอบของอสมการ 2 10 6x วิธีท ำ 2 10 6x

26 10 6x 24 16x

จากนี้เราพิจารณาได้ 2 อย่าง คือ 1. 2 4x ถ้า 0x

2. 2 4x ถ้า 0x

หรือ 0x นั่นคือ 2 4x หรือ 4 2x เพราะฉะนั้น เซตค าตอบของอสมการ คือ | 2 4x x หรือ 4 2x

สรุป

มีสมบัติครอบคลุม จ านวนนับ จ านวนเต็ม จ านวน ตรรกยะและอตรรกยะ ต้องบอกความสามารถ ใช้จ านวนจริงอย่างไร ค านวณเนื้อหา อย่างไร ส่วนแรก เซตของจ านวนจริง (Real Numbers) คือรวมทั้งหมดของเซตของจ านวนตรรกยะและจ านวนอตรรกยะ

67


แบบฝึกหัด

จงหาเซตค าตอบของอสมการ

1 . 3 4 0x x 2 . 3 2 3 1 0x x 3 .

22 3 7 0x x x

4 . 3

1 4 5 7 0x x x x 5 . 4 2x

6 . 4 2x

แผนบริหำรกำรสอนประจ ำบทที่ 6¸šทที่...

Documents