akışkanlar mekaniği (fluid mechanic)

AKIŞKANLAR MEKANİĞİ

Otomotiv Mühendisliği Bölümü Gazi Üniversitesi Teknoloji Fakültesi

PROF. DR. HALİT KARABULUT

Gazi Üniversitesi Teknoloji Fakültesi Otomotiv Mühendisliği Bölümü

Prof. Dr. Halit KARABULUT Sayfa ii

İÇİNDEKİLER

BÖLÜM 1: GİRİŞ VE TANIMLAMALAR ................................................................................ 1 1.1 Giriş ................................................................................................................................... 1 1.2 Akışkanlar Mekaniğinin Tarihi Gelişimi ........................................................................... 1

1.3 SI Birim Sistemi ...................................................................................................................... 2 1.4.a Akışkan Madde ........................................................................................................................ 2

1.4.b Akışkanlar Mekaniği ............................................................................................................... 3 1.5 Akışkanların Özellikleri ............................................................................................................. 3

Yoğunluk ...................................................................................................................................... 3 Öz Ağırlık ..................................................................................................................................... 3 Relativ Yoğunluk ......................................................................................................................... 4

Özgül Hacim ................................................................................................................................ 4

Dinamik Viskozite ........................................................................................................................ 4 Kinematik Viskozite ..................................................................................................................... 7 Basınç ........................................................................................................................................... 7

Kılcallık ........................................................................................................................................ 7 1.6 Akış Modelleri ............................................................................................................................ 8

BÖLÜM 2: DURGUN AKIŞKANLARIN MEKANİĞİ ............................................................. 9 olarak belirlenir. ............................................................................................................................. 23 2.4 Sıvı Manometreleri ................................................................................................................... 23

2.5 Dalmış ve Yüzen Cisimlere Etkiyen Kaldırma Kuvveti .......................................................... 26 2.6 Basınç Kuvvetinin Momenti .................................................................................................... 28

2.7 Kaldırma Kuvvetinin Yeri ........................................................................................................ 33 2.8 Dalmış Cisimlerin ve Yüzen Cisimlerin Kararlılığı ................................................................. 38 Çözümlü Problemler ...................................................................................................................... 39

BÖLÜM 3: VİSKOZİTESİZ SIKIŞTIRILAMAZ AKIŞKANLARIN DİNAMİĞİ.............. 58 3.1 Tek Boyutlu Süreklilik Denklemi ............................................................................................ 58

3.2 Tek Boyutlu Momentum Denklemi ......................................................................................... 58 3.2.a Hareketsiz bir Kontrol Hacmine Giren ve Çıkan Momentumun

Yarattığı Kuvvetin Analizi .................................................................................................... 59 3.2.b Sabit Hızla Hareket Eden Bir Kontrol Hacmine Giren ve Çıkan Momentumun Yarattığı

Kuvvetin Analizi ................................................................................................................... 63 3.2.c İvmeli Hareket Yapan Bir Kontrol Hacmine Giren ve Çıkan Momentumun yarattığı

kuvvetin Analizi .................................................................................................................... 65 3.2.d Tek Boyutlu Momentum Denkleminin Uygulamaları .......................................................... 67

Yangın Nozullarına Gelen Kuvvetler ......................................................................................... 67

Dirseklere Gelen Kuvvetler ........................................................................................................ 68

3.3 Üç Boyutlu Sıkışmaz Akışın Süreklilik Denklemi .................................................................. 69

3.4 Üç Boyutlu Akışın Momentum Denklemleri ........................................................................... 71 3.5 İki Boyutlu Akışın Bernoully Eşitliği ...................................................................................... 75

Sürekli Rejimde .......................................................................................................................... 75 Geçici Rejimde ........................................................................................................................... 78

3.6 Üç Boyutlu Akışın Bernoully Denklemi .................................................................................. 80 3.7 Potansiyel Akış Yaklaşımı İle Akış Alanının Belirlenmesi ..................................................... 82


Prof. Dr. Halit KARABULUT Sayfa iii

3.7.1 Dönme ve Sirkülasyonun Matematiksel İfadesi ................................................................ 82

Dönme (Rotasyon) ..................................................................................................................... 82 Sirkülasyon ve Vorticity’nin İlişkisi .......................................................................................... 85

3.7.2 Euler Denklemlerinin Vorticity Transport Denklemine Dönüşümü ..................................... 86 3.8 İki Boyutlu Akış Alanlarında Potansiyel Akış Denklemlerinin Çözümü ................................ 90

Streamline Fonksiyonu ............................................................................................................... 90 Hız Potansiyeli Fonksiyonu ....................................................................................................... 93 3.9 Üç Boyutlu Akış Alanlarında Potansiyel Akış Denklemlerinin Çözümü ............................ 98

3.10 Potansiyel Akış Denklemlerinin Kartezyen Koordinat Sisteminden Diğer Koordinat

Sistemlerine Dönüşümü. ..................................................................................................... 101 Silindirik Koordinata Dönüşüm ............................................................................................... 104 Kartezyen Geometride: ............................................................................................................ 110 Silindirik Geometride: .............................................................................................................. 111

Küresel Geometride: ................................................................................................................ 111

3.11 Düzgün Geometrik Cisimler Çevresindeki Potansiyel Akışlar ............................................ 112

3.11.1 Doğrultusu x Eksenine Paralel Uniform Akış ................................................................... 112 3.11.2 Doğrultusu y Eksenine Paralel Uniform Akış ................................................................... 113

3.11.3 Herhangi bir Doğrultuda Uniform Akış ............................................................................ 114 3.11.4 Vortex Hareketi ................................................................................................................. 117

3.11.5 Kaynak ve Batak Noktaların Çevresindeki Radyal Akışlar .............................................. 119 3.11.6 Birleşik Kaynak ve Batak Akışı ........................................................................................ 120 3.11.7 Oval Cisimlerin Çevresindeki Akış ................................................................................... 122

3.11.8 Silindirik Cisimlerin Çevresindeki Akış ........................................................................... 122 3.12 Potansiyel Akış Alanlarında Basınç Dağılımı için Poison eşitliği ....................................... 128

Çözümlü Problemler .................................................................................................................... 129 Çalışma Soruları ........................................................................................................................... 136

BÖLÜM 4: SIKIŞMAZ VİSKOZ AKIŞKANLARIN BİR BOYUTLU

LAMİNER AKIŞI ............................................................................................................. 143

4.1 Paralel Plakalar Arasında Tam Gelişmiş Laminer Akış ......................................................... 143 4.2 Silindirik Borularda Tam Gelişmiş Laminer Akış ................................................................. 148 4.3 İki Silindirik Yüzey Arasında Tam Gelişmiş Laminer Akış .................................................. 151

4.4 Kesiti Tek Düze Olan Kanallarda Tam Gelişmiş Laminer Akış ............................................ 152

Çalışma Soruları ........................................................................................................................... 171 BÖLÜM 5:BOYUT ANALİZİ VE HİDRODİNAMİK BENZEŞİM .................................... 172 5.1 Boyut Analizi ile Deney Sonuçlarının Korelasyonu .............................................................. 173 5.1.a Korelasyonun Sabitlerinin Belirlenmesi .............................................................................. 177 5.2 Sık Görülen Boyutsuz Sayıların Tanıtımı .............................................................................. 179

Reynold Sayısı .......................................................................................................................... 179 Froude Sayısı ............................................................................................................................ 181 Mach Sayısı .............................................................................................................................. 181

Euler Sayısı .............................................................................................................................. 182 5.3 Model Teorisi ......................................................................................................................... 183 Çalışma Soruları ........................................................................................................................... 186 BÖLÜM 6: BORU İÇİ AKIŞLARDA BASINÇ KAYBI ........................................................ 188

6.1 Boru İçi Akışın Enerji Denklemi ........................................................................................... 189 6.2 Laminer Boru Akışında Basınç Kaybının Akışkan Sütunu Olarak İfadesi ............................ 191 6.3 Basınç ve Yükseklik Kaybının Boyut Analizi İle İncelemesi ................................................ 192


Prof. Dr. Halit KARABULUT Sayfa iv

6.4 Laminer Akışta Sürtünme Faktörü ......................................................................................... 194

Silindirik boru .............................................................................................................................. 194 6.5 Türbülanslı Akışta Sürtünme Faktörü .................................................................................... 199

6.6 Boru tasarımı .......................................................................................................................... 200 Çözümlü Problemler .................................................................................................................... 201 Çalışma Soruları ........................................................................................................................... 202 BÖLÜM 7: VİSKOZ AKIŞKANLARIN GENEL HAREKET DENKLEMLERİ .............. 204 7.1 Doğrusal Momentum Denklemleri ......................................................................................... 204

7.2 Açısal Momentum Denklemi ................................................................................................. 208 7.3 Deformasyonlar ...................................................................................................................... 212 7.3.1 Temel Deformasyonlar ve Gerilmeler ................................................................................. 212 7.3.2 Deformasyon Hız İlişkileri .................................................................................................. 215 7.4 Gerilmelerle Deformasyonların İlişkileri ............................................................................... 223

7.5 İki Boyutlu İzotropik Akışlarda Gerilme Deformasyon İlişkileri .......................................... 225

7.6 Viskoz Sabitlerin Viskozite ile İlişkisi ................................................................................... 235

7.7 Viskoz Akış Denklemlerinin Silindirik ve Küresel Şekli ...................................................... 238 Silindirik Şekli .......................................................................................................................... 238

Küresel Şekli ............................................................................................................................ 239 BÖLÜM 8: LAMİNER SINIR TABAKA AKIŞLARI ........................................................... 243

8.1 İki Boyutlu Simetrik Küt Cisimler Çevresindeki Sınır Tabaka Akışı .................................... 244 8.2 Silindir Çevresindeki Sınır Tabaka Akışı ............................................................................... 250 8.3 İnce Düz Levhaların Yüzeylerinde Oluşan Sınır Tabaka İçinde Akış ................................... 253

8.4 İki Paralel Plaka Arasındaki Giriş Bölgesi Akışı ................................................................... 256 8.5 Silindirik Borularda Giriş Bölgesi Akışı ................................................................................ 262

8.6 Dikdörtgen Kesitli Borularda Giriş Bölgesi Akışı ................................................................. 267 BÖLÜM 9: İKİ BOYUTLU VİSKOZ AKIŞ DENKLEMLERİNİN ÇÖZÜMÜ ................. 280 8.1 Hareket Denklemlerinin Streamline Şekli .............................................................................. 280

8.2 Sonlu Fark Denklemine Dönüşüm ......................................................................................... 281

8.3 Örnek Bir Akış Bölgesi İçin Sınır Şartları ve Çözüm ............................................................ 285

BÖLÜM 1: GİRİŞ VE TANIMLAMALAR

1.1 Giriş

Akışkanlar mekaniği teknolojik öneme haiz bir bilim olup bazı mühendislik dalları

tamamı ile akışkanlar mekaniğine dayalıdır. Isıtma, soğutma, termik makinelerin

çalışması, uçak ve gemi gibi ulaştırma araçlarının çalışması tamamen akışkan maddeler

sayesinde mümkün olmaktadır. Sözü edilen makine ve araçların geliştirilmesi akışkan

mekaniği bilimindeki ilerleme ile paralel gitmektedir. Bazı kimyasal olayların analizi de

akışkanlar mekaniği bilimi ile doğrudan ilgilidir. İlerde ayrıntılı sınıflama yapılacağı

üzere ilerlemiş konular akışkanlar mekaniğinin özel dalları içerisinde incelenir.

1.2 Akışkanlar Mekaniğinin Tarihi Gelişimi

İnsanların icat ettiği en eski rotodinamik güç makineleri, su çarkları ve rüzgar

değirmenleridir. Bu makinelerin tarihi bilinmemekle birlikte akışkanlar mekaniği

biliminin doğuşu bu makinelere dayanır. Mevcut yazılı literatürde görülebilen en eski

bilgiler İsmail Cezayir-i' nin su çarkları konusunda 1300 'lü yıllarda yapmış olduğu

analizler olup Topkapı müzesinde mevcuttur. Halihazırda yürürlükte olan akışkanlar

mekaniğinin öncüsü Newton olup viskozitenin matematiksel tanımını yapmış (1687), düz

yüzeylerin çevresindeki hız profilini incelemiş ve sinüs fonksiyonu ile ifade etmiştir.

Enerjinin korunumu ve kütlenin korunumu ilkesine dayanan en eski viskozitesiz akış

analizi Bernoulli (1700-1782) tarafından yapılmıştır. Momentumun ve kütlenin korunumu

ilkesine dayanan en eski viskozitesiz akış analizi Euler (1707-1783) tarafından

yapılmıştır. Viskoz akışın kütlenin korunumu ve momentumun korunumu ilkesine

dayanan ilk analizi Navier (1785-1836) tarafından yapılmıştır. Navier uzama

deformasyonu ve açısal deformasyondan kaynaklanan gerilmeleri hesaplarken iki ayrı

viskoz sabit kullanmıştır. Stokes (1819-1903) tarafından Navierin viskoz sabitleri bire

indirilmiş ve isetropik viskoz akışkanların hareket denklemleri tamamlanmıştır.

Gerek viskozitesiz akışın gerek viskoz akışın hareket denklemleri çözümü kolay olmayan

denklemlerdir. Stokes’ten sonraki çalışmaların büyük bir kısmı bu denklemlerin muhtelif


Prof. Dr. Halit KARABULUT Sayfa 2

şartlar altındaki çözümü ile ilgilenmiştir. Bu denklemlerin vereceği bilgiler bazı

makinelerin tasarımında önemli olduğu için çözüm konusunda kitaplar dolusu bilgi ve

teori üretilmiştir. Ancak bilgisayarın icadından sonra bu bilgi ve teoriler yerini nümerik

matematik ve bilgisayar programlamaya bırakmıştır.

Halihazırda akışkanlar mekaniği konusunda yapılan araştırmalar türbülanslı akışlar ve

akış denklemlerinin sayısal yollarla çözümü konusunda yoğunlaşmıştır.

1.3 SI Birim Sistemi

Gerek akışkanlar mekaniğinde gerek diğer bilim dallarında halihazırda kullanılmakta olan

birim sistemi SI olup, birim sistemini oluşturan temel büyüklükler ve birimleri aşağıda

görülmektedir.

Uzunluk : metre (m)

Kütle : kilogram (kg)

Zaman : saniye (s)

Sıcaklık : Kelvin (K) veya santigrad (C)

Akışkanlar mekaniğinde çok kullanılan basınç, yoğunluk, viskozite, hız, hacim, kütle ve

debi gibi büyüklüklerin birimleri türetme birimler olup yukarıda verilen temel birimler

cinsinden ifade edilmektedir.

1.4.a Akışkan Madde

Günlük hayatın her anında bir akışkanla karşı karşıya olduğumuz için akışkanın ne

olduğunu tanımamamız hemen hemen mümkün değildir. Teneffüs ettiğimiz hava,

içtiğimiz su, en sık rastlanan akışkanlardır. Tam bir bilimsel tarif getirmek gerekirse

molekülleri birbirinden serbest hareket eden maddeler olarak tanımlamak yeterli olacaktır.

Bu çerçevede akışkanları üç guruba ayırmak mümkün olabilir. Bunlar sırası ile sürüngen



(aşırı viskoz) maddeler, sıvı maddeler ve gaz maddelerdir. Sürüngen madde deyince yarı

katı yarı sıvı özellik gösteren asfalt gibi maddeler anlaşılır. Sıvı madde denince belirli bir

hacmi olmasına karşılık şekli olmayan madde anlaşılmalıdır. Gaz madde de ise ne belirli

bir hacim ne de belirli bir şekil mevcuttur. Gazlarda hacim ileride açıklanacağı üzere

tamamen basınca bağlı olarak değer alır.

1.4.b Akışkanlar Mekaniği

Akışkanlar mekaniği hareketli veya hareketsiz akışkanın davranışları ile özellikleri

arasında ilişki kurarak akışkan makinalarının projelendirilmesinde kullanılmak üzere

kriterler oluşturan bir bilim alanıdır. Durgun akışkanlarla ilgili olan kısım Hidrostatik,

hareketli akışkanlarla ilgili olan kısım da Hidrodinamik olarak isimlendirilmektedir.

Akışkanlar mekaniği bilimi akışkanın türüne göre de dallara ayrılmaktadır.

Sıkıştırılamayan maddelerle ilgili olan dala sıkıştırılamaz akışkanlar dinamiği,

sıkıştırılabilir akışkanlarla ilgili olan dala da gaz dinamiği denmektedir.

1.5 Akışkanların Özellikleri

Yoğunluk

Birim hacim içerisindeki maddenin kütlesi olarak tarif edilir ve ile gösterilir. Bilindiği

üzere cisimlerin kütlesini belirlemek için değeri bilinen başka bir kütle ile kıyaslama

yoluna gidilmektedir.

Öz Ağırlık

Birim hacimdeki maddeye etkiyen yer çekimi kuvveti olarak tarif edilir ve , sembolleri

ile gösterilir. Yoğunlukla öz ağırlık arasında g ilişkisi mevcuttur.



Relativ Yoğunluk

Herhangi bir maddenin yoğunluğunun 1 atmosfer basınç altında 4 C deki suyun

yoğunluğuna oranıdır. Relativ yoğunluk maddelerin esneme ve sıcaklıkla genleşmesinin

etkisini dikkate almak için düşünülmüştür.

Özgül Hacim

Birim kütledeki maddenin işgal ettiği hacim olup yoğunluğun tersidir ve v ile gösterilir.

Aralarında v 1

ilişkisi mevcuttur.

Dinamik Viskozite

Şekil 1.1 deki gibi birbirine paralel konumlu iki plakanın arası bir akışkanla doldurulmuş

olsun ve plakalardan birisi sabitken diğeri hareket etsin. Durgun plakaya yapışık olan

akışkan zerreleri hareketsiz iken hareketli plakaya yapışık olan akışkan zerreleri hareketli

plakanın hızı ile hareket etmektedir. Plakaların arasındaki boşluğu dolduran akışkan

ortamı içerisinde Şekil 1.1 deki gibi bir hız profili oluşur. Sabit yada hareketli plakadan

dik uzaklığı aynı olan bütün akışkan zerreleri aynı hızla ve plakaya paralel bir yörünge

üzerinde hareket eder. Akışkanın ince tabakalardan oluştuğu ve tabakaların birbiri

üzerinden kaydığı görünümü arz eder. Hareketli plakayı sabit hızla harekete devam

ettirmek için muayyen bir kuvvet uygulamak gerekmektedir. Burada tarif edilen akış

işleminde akışkan tabakaları birbiri üzerinden kayarak hareket ettiği için tabakaların

arasında kesme gerilmeleri oluşmakta, neticede plakayı sabit hızla harekete devam

ettirmek için gereken kuvvet doğmaktadır.

Akışkanların akışı esnasında birbirine paralel hareket eden akışkan tabakaları arasındaki

kesme gerilmesini yaratan özelliğe akışkanların viskozitesi denmektedir.

Bazı akışkanlarda tabakalar arasındaki kesme gerilmesi tabakalar arasındaki hız gradyantı

ile



du

dy (1.1)

şeklinde lineer değişmektedir.

Bu eşitlikte bulunan dinamik viskozite olarak isimlendirilir. Eşitlik (1.1) Newton

tarafından verilmiş olup Newton’un ikinci kanunu olarak bilinmektedir. Viskozitenin

tarifi çerçevesinde akışkanlar Newtoniyen ve Non-Newtoniyen olmak üzere iki guruba

ayrılır. Eşitlik (1.1) e uygun davranan akışkanlara Newtoniyen akışkan diğerlerine Non-

Newtoniyen akışkan denmektedir. Şekil 1.2 de görülen 1 ve 3 no’lu eğriler Newtoniyen

akışkanların, 2 ve 4 no’lu eğriler Non-Newtoniyen akışkanların tabakaları arasında oluşan

kesme gerilmesinin hız gradyanı ile değişimini göstermektedir.

Bazı Non-Newtoniyen akışkanlarda kayma gerilmesi ile hız gradyanı arasındaki ilişki

k

du

dy

b

(1.2)

şeklinde ifade edilebilmektedir. Son eşitlikte bulunan k ve b deneyle belirlenen sabitlerdir.

Birim olarak k dinamik viskozite () den farklıdır. Şekil 1.2 'deki 2 ve 4 no’lu eğriler

eşitlik (1.2) ile ifade edilebilir.

Bazı Newtoniyen akışkanlarda kayma gerilmesi ile hız gradyantının ilişkisi



0

du

dy (1.3)

şeklinde ifade edilebilmektedir. Şekil 1.2 deki 1 no’lu eğri son eşitlikle ifade edilir. Bu

konuda daha geniş bilgi için Ref.6'a bakınız.

Gazlardaki viskozite ile sıvılardaki viskozite tamamen farklı fiziksel sebeplere

dayanmaktadır. Sıvıların viskozitesi moleküller arasındaki zayıf çekme kuvvetlerinden

kaynaklanmaktadır. Gazların viskozitesi gaz moleküllerinin rastgele hareketlerle birbirine

çarpmasından kaynaklanmaktadır. Viskozite, sıvılarda sıcaklıkla değişim gösterir.

Basıncın etkisi çok azdır. Gazlarda hem sıcaklık hem de basıncın viskozite üzerinde

belirgin etkisi vardır. Bazı endüstriyel akışkanların etiketleri üzerinde dinamik viskozite

birimi olarak POİSE kullanılmaktadır. Poise nin tanımı

10 1P kg m s /

şeklinde verilmektedir.



Kinematik Viskozite

Dinamik viskozitenin yoğunluğa oranı / kinematik viskozite olarak

adlandırılmaktadır. Akış alanlarının analizinde daha çok kinematik viskozite

kullanılmaktadır. Bazı endüstriyel akışkanların etiketlerinde kinematik viskozite birimi

olarak STOKES kullanılmaktadır. Stokes in tanımı

10 1 2St m s /

şeklinde verilmektedir.

Basınç

Birim genişlikteki yüzeye gelen kuvvet olup p ile gösterilir. Sıvılardaki basıncın sebebi

yer çekimi veya benzeri çekim kuvvetleri olabilir. Gazlardaki basıncın sebebi gaz

ortamını oluşturan parçacıkların birbirine ve içerisinde bulundukları kabın çeperlerine

çarparak yön değiştirmesidir. Yer çekimi ve benzeri kuvvetlerin etkisi de mevcuttur.

Hareket halindeki akışkan zerreleri bir yüzeye çarparak hız ve yön değiştirirse yüzeyi iten

bir kuvvet oluşur. Bu kuvvetin birim alana düşen miktarına dinamik basınç denmektedir.

Statik gazların bulundukları kabın çeperlerine yaptığı basınca bazan termodinamik basınç

denmektedir. İdeal gazların termodinamik basıncı genel gaz denklemi ile belirlenen

basınçtır.

İleride tekrar değinileceği üzere basınç ölçmede kullanılan cihazlara manometre

denmektedir. Açık hava basıncını ölçmede kullanılan manometreye barometre

denmektedir.

Kılcallık

İki ucu açık ince bir tüp kendisini ıslatan bir sıvının içerisine düşey pozisyonda

daldırılırsa tüpün içerisindeki sıvı seviyesinin dışındakinden daha yüksek olduğu görülür.



Tüp kendisini ıslatmayan bir akışkana daldırılırsa tüp içindeki sıvı seviyesinin

dışındakinden daha aşağıda olduğu görülür. Bu olay kılcallık olarak adlandırılmaktadır.

1.6 Akış Modelleri

Akışkanlar mekaniği geniş kapsamlı bir bilim dalı olduğu için alt dallara ayırma, elde

edilen bilgileri ve gelişmeleri gruplama ve bilgileri sistematik bir biçimde okuyucuya

aktarma gerekir. Bir radyatörün çevresinde yoğunluk farkından doğan akışla bir taşıtın

hareketi esnasında çevresinde oluşan akış aynı matematik modelle ele alınmaz. Hiç bir

matematik model akışkanların akışını kusursuz bir biçimde temsil etmemektedir.

Kullanılan matematik modelin mükemmelliği yükseldikçe pratiğe uygulaması

zorlaşmaktadır. Matematik modellerin mükemmelliği ihtiyaca göre seçilir. Bir taşıtın

hareketi esnasında çevresinde oluşan akışın taşıtın hareketine etkisi basit bir akış modeli

ile incelenebilirken bir radyatörün çevresinde oluşan doğal akışın radyatörün ısı

aktarımına etkisi daha komplike bir akış modeli ile incelenebilmektedir.

Tabiattaki akışkanların hiç birisi viskozitesiz değildir. Buna rağmen akış alanları viskoz

ve viskoz olmayan olmak üzere iki guruba ayrılmaktadır. Viskozitenin akış üzerindeki

etkisi daha çok katı cidarların yakınında görülmektedir. Bu bölgeye viskoz sınır tabaka

denmektedir. Bir taşıtın hareketi esnasında karşılaştığı rüzgar direncini, viskoz sınır

tabakanın dışındaki akış özellikleri yönetmektedir. Bu sebeple rüzgar direnci viskoz

olmayan akış modeli ile istenilen hassasiyette belirlenebilir.

Viskoz akışkanların düşük hızlardaki akışı esnasında akışkan zerreleri birbirini kesmeyen

çizgiler üzerinde hareket ederler. Bu tür akışlara laminer akış denmektedir. Yüksek

hızlarda akışkan zerreleri birbirini kesen zikzaklı çizgiler üzerinde hareket ederler. Bu tür

akışlara türbülanslı akış denmektedir. Türbülansın şiddeti akış hızı ile artmaktadır.

Laminer akış matematik yöntemlerle modellenebilmekte ancak türbülanslı akışın

matematik yöntemlerle modellenmesi henüz araştırma safhasındadır.



BÖLÜM 2: DURGUN AKIŞKANLARIN MEKANİĞİ

Hidrostatikte incelenen husus bir akışkan ortamı içerisinde oluşan statik kuvvetlerin

büyüklüğü ve dağılımıdır. Bilindiği üzere bu kuvvetin birim alana düşen değerine

hidrostatik basınç denmektedir. Hidrostatik kuvvetin hesabı için hidrostatik basıncın

dağılımının bilinmesi gerekir.

Hidrostatiğin temel kanunlarından birisi Pascal kanunu olup akışkanların temas ettikleri

yüzeylere dik yönde basınç uyguladıklarını ifade eder.

Diğer bir kanun Archimedes kanunu olup akışkanların cisimlere tatbik ettikleri yüzdürme

kuvvetinin cismin hacmi ile akışkanın özgül ağırlığının çarpımına eşit olduğunu ifade

eder.

Hidrostatik basıncın sebebi yer çekimi, magnetik alanlar, elektrik alanları, blok halinde

ivmelenme ve blok halinde dönme olabilir. Burada yer çekimi, blok halinde ivmelenme

ve blok halinde dönmeden doğan basınç alanları incelenecektir.

2.1 Yer Çekimi Kaynaklı Basınç Alanının Analizi

Şekil 1.1 de görüldüğü üzere, yüzeyleri koordinat düzlemlerine paralel duracak şekilde

konumlandırılmış, prizmatik bir hacim elemanına etkiyen kuvvetleri balanslamak sureti

ile yer çekimi kaynaklı basınç alanının temel denklemleri elde edilir.

Göz önünde bulundurulan hacim elemanının geometrik merkezinin (x,y,z) noktasında

olduğu, kenar uzunluklarının 2x, 2y ve 2z olduğu kabul edilmektedir. Koordinat

sisteminin z ekseninin doğrultusu yer çekimi kuvvetinin etkime doğrultusu olarak

seçilmiştir. Elemanın merkezindeki (x,y,z noktası) basıncın p olduğu kabul edilmektedir.

Elemanın yüzeylerine etkiyen basınç kuvvetleri elemanın geometrik merkezindeki basınç

ve türevleri cinsinden aşağıdaki gibi ifade edilir.



zyxx

pp4zyxxF

)+(=),,+( (2.1)

zyxx

pp4zyxxF

)-(=),,-( (2.2)

zxyy

pp4zyyxF

)+(=),+,( (2.3)

zxyy

pp4zyyxF

)-(=),-,( (2.4)

yxzz

pp4zzyxF

)+(=)+,,( (2.5)

yx)zz

pp(4)zz,y,x(F

(2.6)

mg

F(x,y- y,z)

F(x+ x,y,z)

F(x- x,y,z)

F(x,y+ y,z)

F(x,y, z- z)

F(X,Y,Z+ Z)

Sekil 2.1

(x,y,z)

x

y

z



Elemana etkiyen kütle kuvveti

zyxg8gmW (2.7)

olur. Eleman dengede olduğuna göre elemana x ekseni doğrultusunda etkiyen kuvvetlerin

toplamı, y ekseni doğrultusunda etkiyen kuvvetlerin toplamı ve z ekseni doğrultusunda

etkiyen kuvvetlerin toplamı ayrı ayrı sıfıra eşittir.

Fx 0

p

x 0 (2.8)

Fy 0

p

y 0 (2.9)

Fz 0 gz

p

(2.10)

Son üç eşitlik hidrostatik basınç dağılımının hesabında kullanılacak olan ilişkilerdir.

Basınç değişimi yalnız z doğrultusunda mevcut olduğu için son eşitliğin çözümü yeterli

olacaktır.

2.1.a Yoğunluğun ve Yer Çekiminin Sabit Olduğu Hal

Bilindiği üzere yerçekimi ivmesi yer merkezinden uzaklığa bağlıdır. Akışkanların

yoğunluğu da sıcaklık ve basınca bağlı olarak değişim gösterir. Bu sebeple eşitlik (2.10)

un sağ tarafı sabit değildir. Ancak z nin değişim aralığı sınırlı ise ve g de önemli bir

değişiklik göstermiyorsa eşitlik (2.10) un sağ tarafına sabit muamelesi yapılarak çözüm

elde edilir. Bu durumda çözüm

)zz(gpp 00 (2.11)

olur. Sıvı akışkanların yoğunluğu z ile değişmediği için son eşitlik sıvıların içerisindeki

basınç dağılımını belirlemede kullanılabilir. Bunun için 0z ile sıvının atmosferik havaya



temas ettiği yüzey gösterilirse, 0p atmosferik basınç olur. İkinci terim sıvı basıncını

temsil etmektedir. Koordinat orijini olarak sıvı yüzeyi seçilebildiği gibi sıvı içerisinde

bulunan bir nokta’da seçilebilir. Koordinat orijini olarak neresi seçilmiş olursa olsun

)zz( 0 daima basıncın hesaplanacağı yerin su yüzünden derinliğini (h) gösterir.

2.1.b Yoğunluğun Değişken Olduğu Hal

Bilindiği üzere gazların yoğunluğu genel gaz denklemi ile basınç ve sıcaklığa bağlı olarak

RT

p şeklinde ifade edilmektedir. Bu ifade eşitlik (2.10) ile birleştirilirse işlem

RT

pg

z

p

(2.12)

ile neticelenir. Sıcaklığın değişmediği hallerde son eşitliğin çözümü

p

pExp

g

RTz z

0

0

( ) (2.13)

olur. Sıcaklığın değiştiği hallerde T=T(z) bilinmesi gerekir. Sıcaklık z ile bzaT

şeklinde lineer değişiyorsa çözüm

p

p

a bz

a bz

g

bR

0

0

(2.14)

olur. Bir örnek olarak kalınlığı 11 km olan Troposfer içerisindeki sıcaklık dağılımı

T Z 288 65 10 3. şeklinde lineer bir ilişki ile ifade edilirse basınç dağılımı

p

p

z

z00

288 65 10 3

288 65 10 3

5258

.

.

.

(2.15)

olarak belirlenir. Daha üst tabakalar içinde benzer yaklaşımlar yapılabilir.



2.2 Basınç Kuvvetinin Hesabı

2.2.a Yatay Yüzeye Gelen Basınç Kuvveti

Bir akışkan ortam içerisinde bulunan basınç yer çekimi tarafından yaratılıyorsa yer çekimi

doğrultusuna dik yüzeylere gelen basınç kuvvetinin hesabı hiç bir özellik arz etmeyip,

ApF (2.16)

ifadesi ile yapılır. Sıvı ortam içerisinde bulunan yatay yüzeylere gelen basınç eşitlik

(2.11) ile belirlenir.

2.2.b Düşey ve Eğik Düz Yüzeylere Gelen Basınç Kuvveti

Eğer yüzey yer çekimi doğrultusu ile açı yapıyorsa yüzey yere paralel duran elemanlara

ayrılarak elemanlara gelen kuvvetler hesaplanır ve sonra bileşkesi alınır. Veya integral

hesap yapılır.

A

dApF (2.17)

Son eşitlikteki p nin değeri (2.11) eşitliğinden yazılırsa

dAzzgpFA

00

(2.18)

olur. Derin su kütlelerinin altındaki eğik düz yüzeylere gelen kuvvetin hesabı uygulama

alanı bulan önemli bir husustur. Yüzey düzlem olduğu zaman aşağıda ispatlanacağı üzere

integral işleme gerek olmaz. Eşitlik (2.18) de ( )z z h0 yazılırsa eşitlik

dAhgpFA

0

(2.19)



şeklini alır. Burada h ile dA alanının derinliği gösterilmektedir. Cebirsel işlemlere devam

edilerek son eşitlik

A

0 dAhgApF (2.20)

şeklinde düzenlenebilir. Eğik yüzeyin su yüzeyi ile yaptığı açı şekil 2.2 de görüldüğü

üzere ile gösterilirse,

h x sin

yazılabilir. Bu ifade eşitlik (2.20) ye yazılırsa

0sin

A

F p A g xdA (2.21)

elde edilir. Bu eşitlikte bulunan A

dAx integrali A alanının c noktasına göre alan momenti

olup, bu integral belirli geometrik şekiller için hesaplandığında AxdAxA

c şeklinde

hesaplanabileceği görülür. Sonuç olarak eğik yüzeylere gelen basınç kuvvetinin

0 0sin

c c cF p A g x A p A g Ah Ap (2.22)

ile hesaplanabileceği görülmektedir. Bu eşitlikte bulunan hc alanın ağırlık merkezinin su

yüzünden olan derinliği, pc ağırlık merkezinin üzerindeki sıvı basıncıdır.

Basınç kuvvetinin tatbik noktasını bulmak için yüzey doğrultusunun su yüzeyi

doğrultusunu kestiği noktada bulunan bir dönme eksenine göre yayılı basınç kuvvetinin

momenti ile yayılı kuvvete denk bir bileşke kuvvetin momentinin balanslanması yoluna

gidilir.



1R R

A A

x F xdF x xdFF

(2.23)

Son eşitlikte dF yerine dA)sinxgp( 0 yazılırsa

2

0

1 1sin

RA A

x x p dA g x dAF F

dAxsingF

1)xA(p

F

1x

A

2

c0R (2.24)

olur. Son eşitlikte bulunan x dAA

2 integrali A alanının şekil 2.2 de görülen c noktasına

göre alan atalet momentidir. Alan atalet momenti

2 2

0 cA

I x dA I Ax

dA

dxx

1

x0

xc

x

h

c

Sekil 2.2



şeklinde hesaplanır. Burada I0 ile alanın kendi ağırlık merkezinden geçen bir eksene göre

alan atalet momenti gösterilmiştir ve belli başlı geometrik şekiller için teknik formüller el

kitabından alınabilir. Eşitlik (2.24)

0

1( ) sin

R c

Ix p Ax g

F F (2.25)

şeklinde düzenlenebilir.

2.2.c Eğri Yüzeylere Gelen Basınç Kuvveti

Şekil 2.3 dekine benzer eğri yüzeylere gelen basınç kuvvetlerini hesaplamak için şekilde

görüldüğü gibi eğri yüzeyin uçları yatay ve düşey izdüşüm düzlemleri ile birleştirilerek

bir kapalı bölge oluşturulur. Gerek yatay gerek düşey düzlemlere gelen kuvvetler bundan

önceki kısımda işlenen eğik yüzeylerle ilgili bağıntılardan faydalanarak kolayca

hesaplanır. Yatay izdüşüm düzlemine gelen kuvvetle yüzeylerin sınırladığı ara bölgede

kalan akışkanın ağırlığının toplamı eğri yüzeye düşey doğrultuda etkiyen kuvveti verir.

F W Fd z (2.26)

Eğri yüzeye gelen kuvvet yatay ve düşey doğrultuda etkiyen kuvvetlerin bileşkesidir.

F F Fd y 2 2 (2.27)

Ara bölgedeki akışkanın ağırlığının etkime noktası ara bölgenin bize bakan yüzeyinin

ağırlık merkezinden geçer. FZ ve FY nin tatbik noktası önceki bölümde açıklanmıştır. FZ,

FY ve W nin bileşkesinin tatbik noktasını bulmak için b noktası gibi uygun bir noktaya

göre moment alınarak sıfıra eşitlenir. Bileşkenin doğrultusunda bileşenlerin vektörel

toplamı tayin eder.



2.3 İvmelenmeden Kaynaklanan Statik Basıncın Analizi

2.3.a Doğrusal Sabit İvmeli Hareket

Şekil 2.4 te görüldüğü üzere ivmeli hareketi yapan akışkan değil, akışkanı içerisinde

bulunduran tank olup akışkan tanka göre statik durumdadır. Ortasındaki koordinatlar (y,z)

olan ve y, z eksenlerine paralel duran bir hacim elemanına gelen kuvvetlerin dengesinden

tank içerisindeki basınç alanının denklemleri elde edilir.



Elemana y doğrultusunda etkiyen kuvvetler

( , ) ( )2 2

y p yF y z p z

y

(2.28)

F yy

z pp

y

yz( , ( )

2 2

(2.29)

ya azyF (2.30)

olup bunların toplamı sıfıra eşitlenirse

ya

y

p

(2.31)

eşitliği elde edilir. Elemana z doğrultusunda etkiyen kuvvetler

F y zz

pp

z

zy( , ) ( )

2 2

(2.32)



F y zz

pp

z

zy( , ) ( )

2 2

(2.33)

yzgW (2.34)

olup bunların toplamı sıfıra eşitlenirse

gz

p

(2.35)

elde edilir. Basıncın tam diferansiyeli

dpp

ydy

p

zdz

(2.36)

olup Eşitlik (2.31) ve (2.35) le verilen basınç gradyanları son eşitliğe yazılırsa

dzgdyy

adp (2.37)

elde edilir. Şekil 2.4 de bulunan A ve B noktaları her ikisi de sıvı yüzeyinde bulunduğu

için her iki noktadaki sıvı basıncı aynı olup sıfıra eşittir. Bu sebeple bu iki nokta

arasındaki basınç farkı da sıfır olacaktır. Buna göre son eşitlikten safi sıvı yüzeyinde

geçerli olan

dz

dy

a

g

y (2.38)

sonucu elde edilir. Bu eşitliğin y y z z 0 0, sınır şartı ile çözümünden

z za

gy y

y 0 0( ) (2.39)

ifadesi elde edilir. Son eşitlik sıvının yüzey profilini tanımlamaktadır. Sıvı içerisinde

bulunan bir noktadaki sıvı basıncı o noktanın üzerindeki sıvı yüksekliği ile orantılı



olduğundan son eşitlik sıvı basıncını hesaplamak için kullanılabilir. Eğer tankın tabanında

z sıfır olacak biçimde bir koordinat düzeni seçilirse z aynı zamanda sıvı yüksekliğini

gösterir. Şekil 2.4 de gösterilen koordinat düzenine göre z aynı zamanda tankın

içerisindeki sıvı yüksekliğine eşittir. Bu durumda tankın tabanında basınç dağılımı

0

y

0 yyg

azghgp (2.40)

olur. Aynı eşitlik ile tankın yan yüzeylerindeki basınçta hesaplanabilir.

2.3.b Dönen Bir Tank

Dönen bir tankın içerisindeki sıvı sürekli merkeze doğru bir ivmenin etkisi altındadır.

Şekil 2.5 de gösterilen ortasındaki koordinatlar (r,z) olan bir hacim elemanına etkiyen

kuvvetler balanslandığında tankın içerisindeki basınç alanının eşitlikleri elde edilir.

Radyal yönde etkiyen kuvvetler

z)2

rr)(

2

r

r

pp()z,

2

rr(F

(2.41)

z)2

rr)(

2

r

r

pp()z,

2

rr(F

(2.42)

razrra

F (2.43)

olup son eşitlikte bulunan radyal ivme ar nin dönme hızı cinsinden belirlenmesi gerekir.



Şekil 2.6 da görüldüğü üzere bir daire üzerinde dönen bir sıvı elemanının x ve y yönünde

aldığı yollar

t cos rrx

t sin r=y

şeklinde ifade edilebilir. Bu eşitliklerden x ve y doğrultusundaki ivmeler



t cos rdt

xd

2

2

2

t sin r-=dt

yd

2

2

2

olarak belirlenir. Bunların bileşkesi ar yi verir.

2222

r r=tcos+tsinr =a

Bu sonuç eşitlik (2.43) e yazıldıktan sonra eşitlik (2.41,2.42,2.43) ile verilen kuvvetlerin

toplamı sıfıra eşitlendiğinde

r

pr

r

p 2

(2.44)

elde edilir. Elemana z yönünde etkiyen kuvvetler

rr)2

z

z

pp()

2

zz,r(F

(2.45)

rr)2

z

z

pp()

2

zz,r(F

(2.46)

gzrrW (2.47)

olup bunların toplamının sıfıra eşitlenmesinden

gz

p

(2.48)

ifadesi elde edilir. Basıncın diferansiyeli

dp =p

rdr +

p

zdz

(2.49)



olup (2.44) ve (2.48) eşitliklerinden r ve z yönündeki basınç gradyanı yerine yazılırsa

dzg-dr)r

p-2r(=dp (2.50)

olur. Sıvı yüzeyinde bulunan noktalar arasında hem basıncın değişimi hem de sıvı

basıncının kendisi sıfırdır. Buna göre son eşitliğin

2rg

1

r

z

(2.51)

şeklinde yazılması mümkündür. Bu eşitliğin r r z z 0 0, sınır şartı ile çözümü

z zg

r r 0

22

0

2

2

( ) (2.52)

ifadesini verir. Son eşitlikte r0 0 olarak seçilebilir. z nin başlangıcı olarak tankın tabanı

seçilirse z tabanın üzerindeki sıvı yüksekliğini gösterir ve tabandaki radyal basınç

dağılımı

)rr(

g2zghgp 2

0

22

0 (2.53)

olarak belirlenir.

2.4 Sıvı Manometreleri

Bugün basınç ölçmede çok çeşitli modern manometreler kullanılmaktadır. Ancak bunların

kalibrasyonu bir sıvı manometresini kullanmayı gerektirdiği için burada bu çeşit

manometreleri tanıtmak faydalı olacaktır.

Şekil 2.7a da tek katlı bir diferansiyel sıvı manometresi görülmektedir. Tek katlı

manometrelerin ölçebileceği basınç farkı manometrenin U borusunun yüksekliği ve

manometre sıvısı tarafından sınırlanmaktadır. Eğer tek katlı bir manometre yeterli



olmuyorsa şekil 2.7b deki gibi iki katlı bir manometre kullanmak gerekir. Eğer iki katlı

bir manometre de yetmiyorsa daha çok katlı bir manometre kullanılabilir.

Şekil 2.7a daki manometrede U borusu üzerinde bulunan C ve D noktalarında aynı basınç

mevcuttur.

pc

PD (2.54)

C noktasındaki basınç; A haznesindeki basınç ile h1 sıvı sütununun yarattığı basıncın

toplamına eşittir. D noktasındaki basınç; B haznesindeki basınç ile h2 ve h3 sıvı

sütunlarının yarattığı basınçların toplamına eşittir. Buna göre (2.54) eşitliği

1 2 2 3A A B B

p h g p h g h g (2.55)

olarak düzenlenir. Son eşitlikten Ap ve Bp basınçlarının farkı

2 2 3 1A B B A

p p h g h g h g (2.56)

olarak belirlenir.

A

B

h1

2h

h 3

C D

Sekil 2.7 a



Şekil 2.7b de görülen iki katlı manometre için

C D

p p (2.57)

E F

p p (2.58)

G H

p p (2.59)

eşitlikleri yazılabilir. Manometrenin C, D, G, ve H noktalarındaki basınçlar

1C A A

p p g h (2.60)

2D E İ

p p g h (2.61)

3G F J

p p g h (2.62)

4 5H k B B

p g h g h p (2.63)

Şeklinde ifade edilebilir. Eşitlik (2.60) ve (2.61) in eşitlik (2.57 ) ye yazılması ile

1 2A A E İ

p g h p g h (2.64)

A

2h h3

C D

Sekil 2.7 b

B

E F

G H

K

h4

5h

h1

i

j

k



elde edilir. Eşitlik (2.62) ve (2.63) ün eşitlik (2.59) a yazılması ile

3 4 5F J k B B

p g h g h g h p (2.65)

elde edilir. Eşitlik (2.64) ve eşitlik (2.65) in taraf tarafa toplanmasından

1 3 2 4 5A A F J E k B Bİ

p g h p g h p g h g h g h p

(2.66)

elde edilir. Son eşitlikte bulunan E

p ve F

p birbirini götürür. Eşitliğin nihai şekli

2 4 5 1 3A B k B A Jİ

p p g h g h g h g h g h (2.67)

olur.

Üç ve daha çok katlı manometrelerin analizleri benzer şekilde yapılmaktadır.

2.5 Dalmış ve Yüzen Cisimlere Etkiyen Kaldırma Kuvveti

Akışkan içerisinde bulunan cisimler ister kısmen batsın ister tamamen muayyen bir

kuvvetle yer çekimine zıt yönde kaldırılırlar. İstisnasız bütün sıvılar kaldırma kuvvetine

sahiptir. Mesela etrafımızdaki hava bizi her an yukarı doğru bir kuvvetle kaldırmaktadır.



Şekil 2.8a da görülen içi boş cisim harici bir FB kuvveti ile aşağı doğru basılarak bir sıvıya

dalmış pozisyonda tutulmaktadır. Etrafındaki sıvının cisme uyguladığı kaldırma kuvveti

FB ye eşit ve zıt yöndedir. FB yi belirlemek için cismi şekil 2.8.b de görüldüğü gibi bir

kontrol hacminin içerisine aldıktan sonra kontrol hacmine etkiyen kuvvetleri balanslamak

yeterli olacaktır. Kontrol hacmine x ekseni doğrultusunda etkiyen kuvvetler tamamen

kendi aralarında birbirini yok etmektedir. y ekseni doğrultusunda etkiyen kuvvetlerde yine

kendi aralarında birbirini yok etmektedir. Bu sebeple safi z ekseni doğrultusunda bir

kuvvet balansı gerekmektedir. Kontrol hacmine z doğrultusunda; harici kuvvet FB, basınç

kuvveti F1, basınç kuvveti F2 ve kontrol hacmi içinde kalan sıvının ağırlığı W

etkimektedir. Cismin içi boş ve ağırlıksızdır. Kontrol hacmi dengede olduğuna göre

F F W FB1 2 0 (2.68)

olur. FB çekilirse

F F F WB 2 1 (2.69)



olur. Son eşitlikte bulunan F1, F2 ve W yerine matematiksel ifadeleri yazılırsa

2 1 2 1BF g h h AB g h h AB g (2.70)

neticesine gidilir. Son eşitlikte bulunan A kontrol hacminin alt ve üst yüzey alanlarını,

de cismin hacmini göstermektedir. Görüldüğü üzere cisme etkiyen kaldırma kuvveti

cismin yerini değiştirdiği akışkanın hacmine eşittir. Bu sonuç ilk olarak Archimedes

tarafından belirlendiği için Archimedes kanunu olarak isimlendirilmektedir.

2.6 Basınç Kuvvetinin Momenti

Dalmış ve yüzen cisimlerin kararlılık analizleri yapılırken cismin yüzeylerine gelen

basınç kuvvetinin belirli bir noktaya göre momentini almak gerekmektedir. Bu kısımda

statik bir basınç ortamında bulunan bir cismin yüzeylerine gelen basınç kuvvetlerinin

koordinat sisteminin orijinine göre momentinin belirlenmesi için bir yöntem

tanıtılmaktadır.

Şekil 2.9.a deki dalmış cismin kağıt düzlemine dik boyutu 1 m dir. Cismin sınırı üzerinde

bulunan bir A noktasından bir B noktasına gidilirken x koordinatı pozitif bir dx değişimi,

y koordinatı pozitif bir dy değişimi yapsın. AB yayına etkiyen dF kuvveti

x ydF dF i dF j pdy i pdx j 2.71

şeklinde ifade edilebilir. Moment noktasını AB yayına birleştiren yer vektörü

R xi y j 2.72

şeklinde ifade edilir. Moment



0

0

i j k

dM x y k x pdx y pdy

pdy pdx

2.73

olur. Dalmış cisme etkiyen toplam moment

M x pdx y pdy (2.74)

şeklinde ifade edilir.

Bir yüzey integrali olan son eşitlik hacim integraline dönüştürülebilir ve çözümü

kolaylaşır. Boyutları dx ve dy olan prizmatik bir diferansiyel hacim elemanının

yüzeylerine gelen basınçlar şekil 2.9.b de gösterilmiştir. Son eşitlik kullanılarak söz

konusu prizmanın yüzeylerine etkiyen basınç kuvvetlerinin koordinat merkezine göre

toplam momenti

( ) ( )2 2 2 2

p dy p dy p dx p dxdM x p dx x p dx y p dy y p dy

y y x x

y

x

AB

dF

Sekil 2.9.a

R



şeklinde ifade edilebilir. Gerekli götürtmeler yapıldığında işlem

dydx)y

px

x

py(dM

(2.75)

ile neticelenir. Son eşitlik momentin prizmanın hacmine bağlı olduğunu göstermektedir

Boyutları diferansiyel olamayan bir cismin yüzeyine etkiyen basınç kuvvetinin koordinat

merkezine göre momentini bulmak için cisim sonsuz sayıda prizmatik elemana ayrılır.

Elemanların yüzeylerine etkiyen basınç kuvvetlerinin momentleri hesaplanır ve tüm

elemanların momentleri toplanır. Elemanlar ortak yüzeylerde birbirine eşit ve zıt yönde

basınç kuvveti uygularlar. Elemanların ortak yüzeylerindeki basınç kuvvetlerinin

momentleri de sayıca eşit fakat ters işaretlidir. Bu sebeple elemanların ara yüzeylerinde

oluşan basınç kuvvetlerinin momentleri birbirini yok eder. Geriye safi cismin dış

yüzeylerine etkiyen basınç kuvvetlerinin momentlerinin toplamı kalır. Bu sebeple eşitlik

(2.75) ün cismin sınırları dahilinde integrali cismin dış yüzeyine etkiyen basınç

kuvvetinin momentine eşit olacaktır.

p

dx

dy

y

x

p+ py

dy

p- px

dx

p+ px

dx

p- py

dy

Sekil 9.b

2

2

2

2



vdydx)

y

px

x

py(M (2.76)

Bir integral denklem olan son eşitliğin çözümü için cismin içerisinde bir basınç

dağılımının tanımlanması gerekmektedir. Cismin içerisinde bulunan diferansiyel

elemanların ortak yüzeylerindeki basınç kuvvetlerinin momentleri birbirini yok ettiği için

cismin içerisinde basıncın nasıl bir dağılım gösterdiği hiç bir önem arz etmez yeter ki bu

basınç dağılımı cismin sınırlarında cisme dışarıdan etkiyen hidrostatik basıncın yarattığı

fiziki sınır şartlarını sağlansın.

Bir örnek olarak şekil 2.9.c de görülen prizmatik cismin yüzeylerine etkiyen basınç

kuvvetlerinin momentini ele alalım. Eşitlik (2.74) ü kullanarak basınç kuvvetlerinin

koordinat merkezine göre momenti

2

bagdy)yh(yg

dy)yh(ygdx)ah(xgdxhxgM

2a

00

a

00

b

00

b

00

olarak belirlenir. Şimdi aynı momenti eşitlik (2.76) ile belirleyelim. Cismin içerisindeki

basınç dağılımı

)yh(gp 0

olarak ifade edilirse cismin sınırlarındaki basınçların sağlandığı görülür. Bu eşitlikten

p

x 0

gy

p

olarak belirlenir. Bunlar (2.76) eşitliğine yazılır ve integrallenirse



2

bag

2

xygdydxxgM

2b

0

2

v

olarak belirlenir. Birde cismin içerisindeki basınç dağılımını

a2

ysingahgp 0

ile tanımlayalım. Bu eşitlikten

)ah(gp 0ay

00y hgp

p

x x

0

0

p

x x b

0

değerleri elde edilebilir. Bu değerler cismin sınırlarındaki gerçek şartlara denk olduğu

için söz konusu eşitlik cismin yüzeylerine etkiyen basınç kuvvetlerinin koordinat

b

a

ho

y

x

Sekil 2.9.c



merkezine göre momentini hesaplamada kullanılabilir. Söz konusu eşitlikten cismin

içerisindeki basınç gradyanları

p

x 0

a2

ycos

2g

y

p

olarak belirlenir. Bunlar eşitlik (2.76) de yerine yazılır ve integral çözme işlemi yapılırsa

moment

2

bag

a2

ysin

2

xagM

2b

0x

a

0y

2

olarak belirlenir. Görüldüğü üzere cismin içerisindeki basınç dağılımı hiç bir önem arz

etmeyip, cismin içerisinde tanımlanan basınç alanının sınır şartlarını sağlaması yeterli

olmaktadır. Sınır şartları türevselde olabilir doğrudan p nin kendiside olabilir.

2.7 Kaldırma Kuvvetinin Yeri

Şekil 2.9.d de görülen ağırlıksız prizmaya z doğrultusunda etkiyen kuvvetlerin D

noktasından geçen ve z-y düzlemine dik olan bir eksene göre momentleri alınarak FB nin

D ye dik uzaklığı belirlenir. F1 ve F2 kuvvetlerinin D noktasına göre dik uzaklıkları 2

b

olur. BF nin dik uzaklığı dB olsun. 3F ve 4F kuvvetlerinin D noktasına dik uzaklıkları

belirsiz olduğu için bu kuvvetlerin moment integral ile hesaplanmalıdır. Bunun için 3F ve

4F kuvvetlerinin etkidiği yüzeylerdeki basıncın p f z şeklinde tanımlanması

gerekmektedir. Bu tanımlamalar

3 1p g h z

4 1p g h z



şekinde yapılabilirler. D noktasına göre moment denge denklemi

1 2 1 10 0

02 2

a a

B B

b bF F g h z zdz g h z z dz F d

1 2

02 2

B B

b bF F F d

1 2

2

2B

bgh b gh b

bd

gab

(2.77)

eşitliğini verir. Bu eşitlikte 3

F ve 4

F birbirine eşittir. Gerekli yerine yazma ve götürtmeler

yapıldığında

2

B

bd



elde edilir. Bu sonuç kaldırma kuvvetinin yerinin geometrik merkezde olduğunu

göstermektedir.

Moment balansı z-x düzlemine dik bir eksene göre yapılırsa kaldırma kuvvetinin

uygulama noktasını belirleyen diğer bir uzaklık daha bulunmuş olur. Uygulama

noktasının prizmatik kontrol hacminin üst veya alt yüzeyinden uzaklığı bilinmesi gereken

diğer bir uzaklıktır. Cismin pozisyonunu değiştirmeden uygulama noktasının alt veya üst

yüzeyden uzaklığını matematiksel bir yöntemle göstermek mümkün olmamaktadır.

Kaldırma kuvvetinin uygulama noktasının tam dalmış cisimlerde pozisyona bağlı

olmadığını göstermek mümkündür.

Şekil 2.10 da görülen cisim tamamen ağırlıksız, R kuvvetinin zoru ile suya dalmış ve

dengede olsun. Bu durumda kaldırma kuvveti R ye denk ve zıt yönde olur. Mevcut



pozisyonda cisme etkiyen yayılı basınç kuvvetinin A noktasına göre momenti ile R

kuvvetinin A noktasına göre momenti dengededir. Bu dengenin matematiksel ifadesi

eşitlik (2.76) dan yararlanarak

dzdx)z

px

x

pz(dR

v1

(2.78)

şeklinde yazılabilir. Mevcut pozisyon için cismin içerisindeki basınç dağılımının türevleri

p

x 0

gz

p

şeklinde yazılabilir. Bunlar eşitlik (2.76) ya yazılır ve integral çözülürse

2

bag

2

xzgdzdxxgdR

2a

0z

b

0x

2

v1

olur. Arshimedes kanunundan kaldırma kuvveti

baggVR

olarak belirlenir. Son iki eşitlikten kaldırma kuvvetinin A noktasına dik uzaklığı

d b1 2 /

olarak belirlenir.

Cismin A ve C köşelerine bir kuvvet çifti tatbik ederek şekil 2.10.b deki pozisyona

getirelim. Bu yeni pozisyon için cismin içindeki basınç dağılımının türevleri

gx

p



p

z 0

olur. Bunlar eşitlik (2.76) da yazılır ve integrallenirse

2

abg

2

zxgdzdxzgRd

2a

0z

b

0x

2

v2

olur. Yukarda belirlediğimiz R son eşitlikte yerine yazılırsa

d a2 2 /

olarak belirlenir. Cisim şekil 2.10.c de görülen pozisyona getirilirse basınç gradyanları

sing

x

hg

x

p

cosg

z

hg

z

p

olur. Bunlar eşitlik (2.76) da yazılır ve integrallenirse

a

0z

b

0x

22

v3 ||)cos

2

xzsin

2

zx(gdzdx)cosxsinz(gdR

olur. Bu eşitlikten moment kolu

db a

32 2

cos sin

olarak belirlenir. Son eşitlikte açısı küçülürken ilk terim büyüyecek ikinci terim

küçülecek ve moment kolu d b3 2 / olacaktır. Bu değer cismin (a) pozisyonu için

bulduğumuz değerdir. açısı 90 derece olursa moment kolu d a3 2 / olacaktır. Bu

değerde cismin (b) pozisyonu için bulduğumuz değere eşittir. Cismin boyutları ve açısı

b 3

2, a

1

2, 30 seçilirse cismin köşegeni yatay pozisyonda durur ve uzunluğu 1



birim olur. Bu hal için d3 1 4 / olup kaldırma kuvvetinin uygulama noktasının

köşegenlerin kesişme yeri olduğu geometrik olarak gösterilebilmektedir.

Bu inceleme kaldırma kuvvetinin yerinin pozisyona bağlı olmadığını ve cismin geometrik

merkezi olduğunu göstermektedir. Bu noktanın yeri alan momenti ile de belirlenebilir.

2.8 Dalmış Cisimlerin ve Yüzen Cisimlerin Kararlılığı

Tamamen su altında kalan yüzen cisimlerin stabil olması için ağırlık merkezinin aşağıda

kaldırma kuvvetinin uygulama noktasının yukarda olması gerekir. Ağırlık merkezi

yukarda kaldırma kuvvetinin uygulama noktası aşağıda olursa cismin dengesi

bozulduğunda cismi ters döndürmeye çalışan bir kuvvet çifti oluşacak ve ters dönecektir.

Ağırlık merkezi aşağıda kaldırma kuvvetinin uygulama noktası yukarda olduğu zaman

cismin dengesi bozulduğunda yine bir kuvvet çifti oluşacak fakat bu kez oluşan kuvvet

çifti cismi ters döndürmeye çalışmayacak dengeyi yeniden kurmaya çalışacaktır.

Gemilerin ve diğer su taşıtlarının ağırlık merkezini aşağıda kaldırma kuvvetinin uygulama

noktasını yukarda yapmak mümkün olmaz. Ağırlık merkezi yük durumuna göre değişir.

Bu taşıtlar ağırlık merkezi kaldırma kuvvetinin uygulama noktasının yukarısında

olduğunda bile denge bozulduğunda yeniden dengeye dönecek biçimde tasarlanır. Şekil

2.12 da görülen cismin ağırlık merkezi yukarda kaldırma kuvvetinin uygulama noktası



aşağıdadır. Cismin dengesi bozulduğunda şekil 2.12.b de görüldüğü üzere kaldırma

kuvvetinin uygulama noktası dalmış kısmın geometrik merkezine doğru kayar. Oluşan

kuvvet çifti cismin dengesini yeniden kurma yönünde etki eder ve cismin ters dönmesini

önler. Bu durum geniş tabanlı cisimlerde mümkün olmakla birlikte dar tabanlı cisimlerde

gerçekleşmez. Dar tabanlı cisimler mutlaka ağırlık merkezi aşağıda kaldırma kuvvetinin

uygulama noktası yukarda olacak biçimde tasarlanmalıdır.

Çözümlü Problemler

Soru-1

Çapı 120 cm olan bir varilin içerisinde 60 cm yüksekliğinde su bulunmaktadır. Varil 7 rad/s hızla

dönerse varildeki suyun yüzey profili nasıl olur.

Cevap

Taralı hacim elemanının hacmi

2

2 2

0 02 2 ( )2

dV rzdr r z r r drg

olup varil içerisindeki suyun tamamının hacmi

2 2 4 2

2

0 0

0

2 ( )2 2 4 2

R

R R RV z r

g



olur. Yukarıdaki şekle göre 0 0r olduğu için son eşitlik

2 2 4

022 2 4

R RV z

g

olur. Varildeki suyun hacmi bilindiği için son eşitlikten

2 2 4

2

022 2 4

R Rz R z

g

2 2

0 0.150462 2

Rz z m

g

elde edilir. Yüzey profili

2

20.152

z rg

olarak belirlenir. İkinci bir yol ortalama su yükesekliğini

2 2 0

1 12

R

A

z zdA z r drR R

şeklinde hesaplayıp verilen yükseklikle kıyaslamaktır. Bu iş okuyucuya bırakılmıştır.

Soru -2

R

r dr

z0

z1



Aşağıdaki şekilde görülen dikdörtgen ve daire yüzeylerin o noktasına göre yüzey atalet

momentlerini belirleyin.

Cevap

Dikdörtgen yüzeyin atalet momenti:

1

0

2 2 3 3

1 03

x

xA

bI x dA b x dx x x

x x h1 0

I bhx bh x bh 02 2

03

1

3

I bh x hx hbh

0

20

231

4 12



12

3hb2

2

h

0xAI

0

2

c IxAI

Daire yüzeyin atalet momenti:

dxbxdAxI1

0

x

x

2

A

2

Bu eşitlikte

)cosrr(xx 0

sinr2b

dsinrdx

yazılırsa

dsin)cosrrx(r2I 22

00

2

0

224

0

24

0

24

0

2

0

3

0

23

00

222

0

dsincosr2dcossinr4dsinr2

dcossinrx4dsinrx4dsinrx2I

olur. Bu eşitlikte bulunan integral işlemleri tamamlandığında

0

34344

33

0

3

0

22

0

)2

2sin4

1sin(cosr

2

1sinr

3

4)

22sin

4

1(r2

sinrx3

4)

22sin

4

1(rx4)

22sin

4

1(rx2I

olur. Sonuç



0

2

c

42

0

443

0

22

0 IxAr4

)rx(A)r4

1rrx2rx(I

olarak belirlenir.

Soru -3

Genişliği 4x4 metre olan bir kapak 45 derece eğimle su altına yerleştirilmiştir. Kapağın

merkezinin su yüzeyinden derinliği 40 metre ise kapağa gelen su basıncı kuvveti ve

uygulama noktasını belirleyin.

Cevap

Kapağa gelen kuvvet

0A

cF p g Ah

ile hesaplanacaktır. Bu eşitlikte bulunan birinci terim su yüzeyine gelen atmosferik

basıncın sebep olduğu kuvvet olup kapağın arkasınada etkidiğinden hesaptan düşülür.

Buna göre basınç kuvveti

61000 9.81 16 40 6.2784 10F N

olur. Basınç kuvvetinin uygulama noktası

0

1( ) sin

R c

Ix p Ax g

F F

ile verilmekte olup birinci terim su yüzüne gelen atmosferik basınç kuvvetine ilişkin

olduğundan hesaptan düşülür. Kare yüzeylerin alan atalet momenti

4 21

12c

I A x

olup verilen yüzey için I m 512368 4. olarak belirlenir. Basınç kuvvetinin tadbik noktası



51236.8sin 1000 9.81 0.707 56.6

6278400R

Ix g m

F

olarak belirlenir. Bu problemde x cile xR nin çok yakın çıkmasının sebebi kapağın

yeterince derinde olmasıdır.

Soru -4

Aşağıdaki şekilde görülen silindirik eğri yüzeyin kağıt düzlemine dik boyutunu 1 m kabul

ederek basınç kuvvetini, doğrultusunu ve uygulama noktasını belirleyin.

Cevap

Verilen eğri yüzey aşağıda görüldüğü üzere bir çeyrek silindire tamamlanır. Çeyrek

silindirin içerisinde bulunan suyun ağırlığının etkime noktası çeyrek silindirin kesitinin c

ile gösterilen ağırlık merkezidir. c nin OA kenarından uzaklığını belirlemek için çeyrek

dairenin alanı küçük elemanlara ayrılarak bu elemanların OA eksenine göre momenti ile

tüm alanın OA eksenine göre momenti eşitlenir. Tüm alanın OA eksenine göre momentini



hesaplarken moment kolu olarak ağırlık merkezi ile OA ekseni arasındaki dik mesafe z c

kullanılır. Moment balansından c

Z

cA

z A z dA

1c

Az zbdz

A

olarak ifade edilir. Bu eşitlikte b ile elemanının yatay genişliği gösterilmekte olup

büyüklüğü z ye bağlıdır. Silindirik koordinata dönüşüm yapılarak son eşitlikten c

z

/2

0

1 4sin cos cos

3c

rz r r r d

A

olarak belirlenir. Aynı şekilde c noktasının OB eksenine dik uzaklığı

4

3c

ry

olarak belirlenir. Fy , Fz , W ve F kuvvetleri



1000 9.81 20.5 201105y

F N

1000 9.81 20 196200z

F N

221000 9.81 7705

4 4W N

201105 (196200 7705) 286392 0.7022 0.71197y d

F F j F k j k j k

olur. b ve h Fy kuvvetinin etkidiği yüzeyin boyutları olmak üzere Fy nin etkidiği yüzeyin

atalet momenti

3 3

2 2 41 120.5 1 420.3333

12 12c

bhI x A m

olur. Eşitlik (2.17) ye göre Fy kuvvetinin uygulama noktasının su yüzeyinden uzaklığı

420.333

sin 1000 9.81 1 20.504201105

R

y

Ix g m

F

olur. Son eşitlikte belirlenen xR aynı zamanda hR olur çünkü düşey yüzeylerde açısı

90 dere olmaktadır. F Kuvvetinin O noktasından dik uzaklığını belirlemek için O

noktasına göre moment alınabilir. Dik uzaklık

0.504 0.5 0.4244y z

F D F F W

201105 0.504 196200 0.5 7705 0.4244 / 286392D

0.011D

olarak belirlenir. Bu uzaklık

0.011 y zD d j d k



şeklinde bir vektörle ifade edilebilir. F ile D aynı düzlemde olduğu için

0.7022 0.711978 0y zd j d k j k

0.7022 0.711978y z

d d

olur. Ayrıca

21y zd d

olup yeine yazılırsa

20.7022 1 0.711978z z

d d

elde edilir. Son eşitlikten

0.7022zd

elde edilir.

0.711978yd

olarak belirlenir. Bileşke kuvvetin uygulama noktasının O noktasından uzaklığı

0.011 0.7119 0.7022D j k

olarak belirlenir.

Soru -5

Çapı 1 m olan silindirik bir tankın içerisinde 1 m su bulunmaktadır. Tank 30 rad/s hızla sürekli

dönerken yüzey profilini belirleyiniz.



Cevap

Yüzey profili

z zg

r r 0

22

0

2

2

( )

ile verilmektedir. Tankın merkezindeki çap r0 kabul edilirse 0 0r olur. Eşitlik

2

2

02

z z rg

olara düzenlenir. Tankın içerisindeki suyun hacmi yüzey profilinden

0.50.5 0.5 2 2 2 4

2

0 0

0 0 0

0

2 2 22 2 2 4

2 0.125 0.716743

r rV z r dr z r rdr z

g g

z

olarak hesaplanır. Statik şartlardaki hacim

4V

olup, iki hacmin birbirine eşitlenmesinden

0 4.7339z

olduğu görülür. Bu sunuç varilin orta kısmının tamamen boşaldığını göstermektedir.

Aşağıdaki şekle göre hacmi yeniden hesaplamak gerekir.



0 0z olduğu dikkate alınrak hacim

0 0 0

0.50.5 0.5 2 22 2 4

2 2 00

2 2 42 4

0 0

24 2

0.50.5

4 2 4

r r r

r rrV z r dr r r rdr

g g

r r

g

şeklinde hesaplanır. İlk hacimle kıyaslayarak

2 2 44

0 0

2

0.50.5

4 2 4 4

r r g

2 2

0 00.354403, 0.145597r r

elde edilir. 0 0.38157r mdeğerinin doğru 0 0.5953r m

değerinin yalancı kök olduğu

anlaşılmaktadır. Buna göre yüzey profili

r0 rdr

z



2

2

0 0 0.38157

( 0.145597) 0.38157 0.52

r

zr r

g

Soru -6

Aşağıdaki şekli görülen tamamen su içerisine daldırılmış izotropik cisme etkiyen

kaldırma kuvvetinin tadbik noktasını belirleyip cismin stabil olup olmadığını inceleyin.

Cevap

Cismi suya dalmış vaziyette tutmak için bir R kuvveti ile aşağı bastırmak veya yukarı

kaldırmak gerekmektedir. Bu kuvvetin tadbik edildiği nokta seçilirken cisme etkiyen

diğer kuvvetlerin bu noktaya göre momentinin sıfır olması gerekir.

Aşağıdaki şekilde’de görüldüğü üzere cisim iki parçadan uluşmuş gibi kabul edilir, AF ve

FE eksenlerine göre alan momenti alınarak ağırlık merkezinin yeri belirlenir.



Cismin ağırlık merkezinin AF kenarından uzaklığı y c , FE kenarından uzaklığı z c olsun.

AF eksenine göre alan momenti alınarak y c belirlenir.

(0.1 0.1 0.3 0.1) 0.05 0.1 0.1 0.15 0.3 0.1c

y

0.125c

y m

FE eksenine göre alan momenti alınarak z c belirlenir.

(0.1 0.1 0.1 0.3) 0.05 0.1 0.3 0.15 0.1 0.1c

z

0.075c

z m

Cisme etkiyen kaldırma kuvveti

F V g Nb b 392 4.

olur. Kaldırma kuvvetinin cismin F köşesinde bulunan kağıt düzlemine dik bir eksene

göre momenti

1b

M F d



olsun. Kaldırma kuvveti cismin yüzeylerine etkiyen basınç kuvvetinin düşey bileşeni

olduğuna göre aynı momentin hesabında yayılı basınç kuvvetide kullanılabilir. Buna göre

0.3 0.15 ( 0.2) 0.1 0.05 0.2 0.2 ( 0.1) 49.05M h h h g Nm

olur. Son iki eşitlikten kaldırma kuvveti ile F noktası arasındaki dik uzaklık

1

0.125d m

olarak belirlenir. Cisim 90 derce döndürülür ve yeni pozisyon için kaldırma kuvvetinin

FE kenarından dik uzaklığı belirlenirse dik uzaklık

2

0.075d m

olarak bulunur.

Bu sonuçlar kaldırma kuvvetinin tadbik noktası ile cismin ağırlık merkezinin çakıştığını

göstermektedir. Bu durumda cisim kararsız olup su içinde her pozizyonda

durabilmektedir.

Soru -7

Aşağıdaki şekilde görülen bir kısmı dolu bir kısmı boş cismin ağırlık merkezini ve

kaldırma kuvvetinin tadbik noktasını belirleyip cismin denge durumunu inceleyin.

Cisimin tamamen suya batmış olduğu kabul edilecektir.



Cevap

Cismin ağırlık merkezi dolu kısmın geometrik merkezinde bulunmaktadır. Cismin AB

kenarından dolu kısmın geometrik merkezinin dik uzaklığı

0.15c

d m

olarak verilmektedir. Kaldırma kuvvetinin B noktasına göre momenti

1 b

M d F

olsun. Aynı moment basınç kuvvetlerinden hesaplanırsa

0.05 0.1 ( 0.2) 0.15 0.1 ( 0.3) 0.1 0.2 29.43M h h h g Nm

olur. Son iki eşitlikten

1

0.075d m



belirlenir. Birbirine göre zıt olan kaldırma kuvveti ile yer çekimi kuveti arasında 0.075 m

dik mesafe bulunmaktadır. Bu durumda cisim dengede olmayıp serbest bırakıldığında

dönmeye başlayacaktır. Dönme iki kuvvet arasındaki kuvvet kolu sıfır oluncaya kadar

devam edecektir.

Soru -8

Aşağıda yüzen bir cismin iki farklı pozisyonu görülmektedir. Cisme etkiyen kaldırma

kuvvetinin yerini her iki pozisyonda belirleyerek ters dönme ihtimalinin olup olmadığını

inceleyin.

Cevap

Cismi döndürmek için D ve B köşelerine uygulanan kuvvetler eşit ve zıt yönlü olduğu

için bunların bileşkesi sıfır olur ve cismin batan miktarı aynı kalır. Her iki pozisyonda

batan kısmın hacmi aynı olduğu için kaldırma kuvveti her iki pozisyon için aynı olur.

16 1000 9.81 156960b

F N

Birinci pozisyon için kaldırma kuvvetinin B noktasından dik uzaklığı yayılı basınç

kuvvetinin B noktasına göre momentinden belirlenebilir.



8

10

1000 9.81 232 32 4

156960b b b

M gh ghd xdx m

F F F

İkinci pozisyon için kaldırma kuvvetinin B noktasından dik uzaklığı yine yayılı basınç

kuvvetinin B noktasına göre momentinden belirlenebilir.

4 8 4 8

20 0 0 0

1 1

4 8

B B

B B

b b b b

h hM gd ypdA xpdA y h y dy x h x dx

F F F F

2

1000 9.818 8 3.5778 1.7889

156960B

b

gd h m

F

Kaldırma kuvvetinin tadbik noktası cismin BC kenarına doğru kaymış olduğu için cismin

ters dönme ihtimali yoktur.

Çalışma soruları

Problem 1

Yoğunluğu 600 kg/m3 olan bir cisim suya batan kısmının hacmini % olarak hesaplayın.

Problem 2

Merkezinin su yüzeyinden derinliği 60 m olan düşey yerleştirilmiş silindirik bir kapağın

capı 4 m ise basınç kuvvetinin uygulama noktası hangi derinlikte olur.

Problem 3

Boyutları 2x4x4 m olan izotropik yapılı pirizmatik bir cisim suya bırakıldığında şekil (a)

da görüldüğü üzere yarı-yarıya suya batmıştır. Cisme Düşey doğrultuda bir F kuvveti

uygulandığında şekil (b) de görülen yeni denge sağlanıyor. Sırası ile,

a) cisme uygulanan F kuvvetini

b) kaldırma kuvvetinin yerini



c) F kuvetinin yerini belirleyin.

Problem 4

Aşağıdaki şekilde görülen diferansiyel manometrenin kollarında su ve civa

bulunmaktadır. Manometrenin A ve B uçlarının basınç farkını belirleyiniz



Problem 5

Uzunluğu 200 m olan bir petrol tankeri 0.1 m/s2 ivme ile doğrusal olarak hızlanmakta

iken tankerin iki ucu arasındaki petrol yüksekliği farkı ne olur.

Problem 6

İçerisinde su bulunan bir taşıyıcı yarı çapı 30 m olan bir virajı 40 km/s hızla geçerken su

yüzeyi profilinin denklemini belirleyin.

Problem 7

Aşağıdaki grafikte atmosferdeki sıcaklık dağılımı görülmektedir. Grafikten faydalanarak

11-20 ve 20-30 km arasındaki basınç dağılımının matematiksel ifadesini belirleyiniz.



BÖLÜM 3: VİSKOZİTESİZ SIKIŞTIRILAMAZ AKIŞKANLARIN DİNAMİĞİ

Tabiattaki bütün akışkanlar viskoz olmakla birlikte yerine göre viskozitesiz kabul

edilebilir. Viskozitenin etkisi akışkanların katı cisimlere temas ettiği bölgede görülür. Katı

cisimlerin uzağında akışkanlar viskozitesiz gibi davranır. Viskozitesiz akışkanlarda

basınç, atalet ve çekim kuvvetleri mevcuttur. Viskozitesiz akışkanların akışını

modellemede kütle ve momentum balansından elde edilen eşitlikler kullanılmaktadır.

Sıkışır akışkanların akışının analizi termodinamik yasaları da kapsadığı için genel

akışkanlar mekaniğinin dışarısında kalmaktadır.

3.1 Tek Boyutlu Süreklilik Denklemi

Sıkıştırılamayan türden bir akışkanın akışı kesiti değişken bir boru içerisinde oluyorsa

farklı kesitlerde farklı hızlar oluşur. Ancak borunun her kesitinden geçen hacimsel debi

aynı olacaktır. Bu sebeple boru akışlarında süreklilik denklemi

A V Q C (3.1)

şeklinde olacaktır. Boru kesiti değişken olduğundan radyal yönde de bir hız bileşeni

mevcuttur. Ancak bu bileşen akışkan debisini etkilemez.

3.2 Tek Boyutlu Momentum Denklemi

Kütle ile hızın çarpımına

Vm momentum denmektedir. Bir cismin momentumunun birim

zamandaki değişimi cisme uygulanan harici kuvvete eşit olup Newton’un birinci kanunu

olarak bilinir. Newton kanununun matematiksel şekli



( )d

F mVdt

(3.2)

olup, bu eşitlikte F harici kuvveti göstermektedir. Momentum vektör olduğu için x, y ve z

yönündeki hız bileşenleri u, v, w olmak üzere yukarıdaki eşitliğin yerine

( )x

dF mu

dt (3.3)

( )y

dF mv

dt (3.4)

( )z

dF m w

dt (3.5)

şeklinde bir denklem takımı kullanılabilir.

3.2.a Hareketsiz bir Kontrol Hacmine Giren ve Çıkan Momentumun Yarattığı

Kuvvetin Analizi

Bir t anında kontrol hacminin içerisinde kütlesi mcv olan bir miktar akışkan bulunduğunu

kabul edelim. Bu akışkanın kontrol hacmi içerisindeki sirkülasyonunun momentumu

cv

dmV olacaktır.

Zaman (t+dt) olduğunda kontrol hacminden kütlesi )dtm( o

olan bir miktar akışkan çıkmış

ve OV

hızı ile uzaklaşmakta olsun. Kontrol hacminde kalan kütle ile çıkan kütlenin

oluşturduğu sistemin momentumu



dt)dmV(dt

ddmV)dtVm(

cvcv

oo

kadar olur. Kontrol hacminde kalan kütlenin momentumu Taylor serisinin ilk iki terimi

ile belirlenmektedir. Sistemin momentumunun dt süresi içerisinde

dt)dmV(dt

d)dtVm(

cv

oo

kadar değiştiği görülmektedir. Bu miktar dt ile bölünürse eşitlik (3.2) deki momentumun

zamana göre türevi

)dmV(dt

d)Vm(

cv

oo

olarak bulunur. Bu değer, eşitlik (3.2) ye yazılırsa harici kuvvet

( )oo

cv

dF m V V dm

dt

(3.6)

olarak belirlenir.



İkinci bir hal olarak bir t anında sabit duran bir kontrol hacmi ve bu kontrol hacmine

girmek üzere olan kütlesi m dti

ve hızı Vi

olan bir miktar akışkan düşünelim. Kontrol

hacmindeki akışkanla kontrol hacmine girmek üzere olan akışkanın oluşturduğu sistemin t

anındaki momentumu

)dmVVdtm(cv

ii

kadardır. Zaman (t+dt) olduğunda kontrol hacminin dışındaki akışkan kontrol hacmine

girmiş ve momentumu

dt)dmV(dt

ddmV

cvcv

olan yeni bir durum teessüs etmiştir. Sistemin momentumundaki değişme

ii

cv

Vdtmdt)dmV(dt

d

kadardır. Birim zamandaki momentum değişimi hesaplanır ve eşitlik (3.2) ile verilen

Newton kanununa yazılırsa sonuç

( ) i i

cv

dF V dm m V

dt

(3.7)

olur.



Kontrol hacmine aynı anda hem giriş hem de çıkış varsa Şekil 3.1.b deki sistemin t ve

(t+dt) anındaki momentumlarını kıyaslayarak sonuca gitmek mümkündür. Bu şekilde

görüldüğü üzere zaman t iken A kütlesi bir hızla kontrol hacmine yaklaşmakta, C kütlesi

de kontrol hacminin içerisinde durmaktadır. Zaman (t+dt) olduğunda C kütlesi kontrol

hacminden çıkmış ve bir hızla kontrol hacminden uzaklaşmakta, A kütlesi de kontrol

hacmine girmiştir.

Zaman t iken A kütlesinin momentumu )Vdtm( ii

, diğer kütlelerin momentumlarının

toplamı

cv

dmV kadardır. Zaman ( )t dt iken C kütlesinin momentumu

)Vdtm( oo

,

diğer kütlelerin momentumlarının toplamı

dt)dmV(dt

ddmV

cvcv



kadardır. Buna göre sistemin birim zamandaki momentum değişimi

)Vm)dmV(dt

dVm( ii

cv

oo

olacaktır. Bu sonuç, eşitlik (3.2) ye yazılırsa

( ( ) )o o i i

cv

dF m V V dm m V

dt

(3.8)

olur. Kontrol hacminin içindeki momentum zamanla değişmiyorsa ikinci terim yok olur.

Pratikte umumiyetle ikinci terim önemsiz olup ihmal edilir.

Çok sayıda giriş ve çıkış kapısı bulunan sürekli akışlı bir kontrol hacmi için eşitlik (3.8) in

yerine

( ) ( )o o i iF m V m V

(3.9)

kullanılır.

Son eşitlik olduğu gibi yada üç bileşene ayrılarak kullanılabilir. Ayırma işlemi kısım 3.2.d

de gösterilecektir.

3.2.b Sabit Hızla Hareket Eden Bir Kontrol Hacmine Giren ve Çıkan Momentumun

Yarattığı Kuvvetin Analizi

Sabit hızla su veya hava içerisinde hareket eden cisimler çeşitli yönlerden gelen harici

kuvvetlerin etkisi altındadır. Bu kuvvetlerin analizi sözü edilen makinaların tasarımı ve

işletilmesi açısından önemlidir. Çoğu hallerde bileşke kuvvetin şiddeti ve doğrultusu



belirli olup araştırma konusu olan momentum değişiminin x, y ve z yönündeki

bileşenleridir.

Şimdi Şekil 3.1.c' deki gibi bir sistemi ele alalım. Zaman t iken A kütlesi kontrol

hacminin dışında ve momentumu )Vdtm( ii

kadardır. C kütlesi kontrol hacminin

içerisinde ve kontrol hacmi ile birlikte hareket ettiği için momentumu kontrol hacminin

momentumu ile birlikte

)dmV(Vmcv

cvcv

kadardır. Buna göre t anında sistemim toplam momentumu

)dmVVmVdtm(cv

cvcvii

kadardır.

Zaman (t+dt) olduğunda A kütlesi kontrol hacminin içerisine girmiş ve kontrol hacmi ile

birlikte hareket etmektedir. C kütlesi de kontrol hacminden çıkmış ve )dtVm( ooo



momentumu ile hareketine devam etmektedir. Buna göre (t+dt) anında sistemin toplam

yeni momentumu

cv cv

cvcvcvcvoo dt)dmV(dt

ddmVdt)Vm(

dt

dVmVdtm

kadardır. Birim zamandaki momentum değişimi

ii

cv

cvcvoo Vm)dmV(dt

d)Vm(

dt

dVm

olup eşitlik (3.2) ye yazılırsa sabit hızla giden bir kontrol hacmine etkiyen harici kuvvet

ii

cv

cvcvoo Vm)dmV(dt

d)Vm(

dt

dVmF

(3.10)

olarak belirlenir. Kontrol hacmine giren ve çıkan madde miktarları eşitse ikinci ve üçüncü

terimler sıfır olur. Bu eşitlikte bulunan hızlar mutlak hızlar olup bilinmemektedir. Kontrol

hacminin hızı ile kontrol hacmine giren ve çıkan maddenin kontrol hacmine göre verilmiş

rölatif hızları bilinmektedir. Bunlarla mutlak hızın ilişkisi cvR VVV

şeklindedir.

3.2.c İvmeli Hareket Yapan Bir Kontrol Hacmine Giren ve Çıkan Momentumun

yarattığı kuvvetin Analizi

Şekil 3.1.c' deki hareketli kontrol hacminin bir ivme ile gittiğini kabul edelim. Bu

durumda yukarıda analiz edilen hareketli kontrol hacminden farklı olarak kontrol

hacminin kendisinin momentumu da değişecektir. Zaman t iken sistemin toplam

momentumu

cv

cvcvii dmVVmVdtm



olup birinci terim A kütlesinin momentumu, ikinci terim kontrol hacminin kendisinin

momentumu, üçüncü terim kontrol hacminin içindeki akışkanın sirkülasyonunun

momentumudur. Zaman t+dt olduğunda sistemin toplam momentumu

dt)dmV(dt

ddmVdtVm

dt

dVmVdtm

cv cv

cvcvcvcvoo

olup birinci köşeli parantez kontrol hacminin kendisinin momentumunu ikinci köşeli

parantez kontrol hacminin içindeki sirkülasyonun momentumunu göstermektedir. dt

süresi içerisinde sistemin toplam momentumundaki değişme

dtVmdt)dmV(dt

ddtVm

dt

ddtVm ii

cv

cvcvoo

olup bu ifadede bulunan bütün hızlar mutlak hızdır. Kontrol hacmine gelen bileşke kuvvet

ii

cv

cvcvoo Vm)dmV(dt

dVm

dt

dVmF

(3.11)

olarak belirlenir. Bu eşitlikte bulunan Vi

ve Vo

mutlak hızlar olup bunların yerine relatif

hızla kontrol hacminin hızının bileşkesi yazılırsa

)VV(m

)dmV(dt

dVm

dt

d)VV(mF

cvi,Ri

cv

cvcvcvo,Ro

(3.12)

eşitliği elde edilir. Kontrol hacmi içindeki akış sürekli ise üçüncü terim düşer.



3.2.d Tek Boyutlu Momentum Denkleminin Uygulamaları

Yangın Nozullarına Gelen Kuvvetler

Yangın nozulunun hem giriş kesitinden hem de çıkış kesitinden geçen akışkanın kütlesel

debisi aynıdır. Yangın nozulunun girişinde kesit büyük, çıkışında küçüktür, Şekil 3.2. Bu

sebeple akışkan düşük hızla girer ve yüksek hızla çıkar. Giren momentumla çıkan

momentumun farklı olması nedeni ile nozulu akışa göre ters yönde iten bir kuvvet doğar.

Eşitlik (3.1) den çıkış hızı

1212 u)A/A(u

olarak belirlenir. Eşitlik (3.2) den nozulu kullanan kişiye gelen kuvvetin

)A/A(1umF 211

olduğu görülür. Akışkanın nozula tatbik ettiği kuvvet büyüklükçe burada hesaplanan

kuvvete denk olup yönü zıt olur.



Dirseklere Gelen Kuvvetler

Dirsekler akışkanların yön değiştirmesini sağlayan elemanlardır. Bazı dirseklerde giriş ve

çıkış kesitleri aynı olmakla birlikte değişken olanlarda mevcuttur. Şekil 3.3 de değişken

kesitli bir dirsek görülmektedir. Dirseğin yapısı gereği giriş ve çıkış hızının doğrultusu

belirlidir. Giriş hızının doğrultu vektörü in , çıkış hızının doğrultu vektörü on olsun. Giriş

ve çıkışta kütlesel debi aynı olacağından 0im m m yazılabilir. Sıkışmaz akışta

i i o oAV A V şartı da dikkate alınarak eşitlik (3.9)

i ii o i i o io o i i o o i i i

o o

A AV n V n n nF m V mV m V n V n m mV

A A

şeklinde düzenlenebilir. Statik dersinden bilindiği üzere doğrultu vektörleri

cos cos cosx y zn i j k

şeklinde verilemektedir. Son eşitlikte bulunan cos x , cos y ve cos z akış doğrultusunun

x, y ve z eksenleri ile yaptığı açılardır.

x

y

n i

n o



3.3 Üç Boyutlu Sıkışmaz Akışın Süreklilik Denklemi

Eğer akış üç boyutlu bir uzayda oluyorsa, akış bölgesi içerisinde yüzeyleri koordinat

düzlemlerine paralel duran bir hacim elemanı seçip üzerinde kütle balansı yaparak

süreklilik denklemi elde edilir. Şekil 3.4 deki hacim elemanının boyutları 2 x , 2 y ve

2 z olsun. Elemanın ortasında akış hızının x,y,z doğrultusundaki bileşenleri u,v ve w ile

gösterilsin.

Elemana x doğrultusunda giren kütle,

2 2ix

um u x z y t

x

(3.13)

y doğrultusunda giren kütle,

y

x

z

mix mox

miy

moy

miz

moz

Sekil 3.4

(x,y,z)



2 2iy

vm v y z x t

y

(3.14)

z doğrultusunda giren kütle,

2 2iz

wm w z x y t

z

(3.15)

olarak ifade edilebilir.

Elemandan x doğrultusunda çıkan kütle,

2 2ox

um u x z y t

x

(3.16)

y doğrultusunda çıkan kütle,

2 2oy

vm v y x z t

y

(3.17)

z doğrultusunda çıkan kütle,

2 2oz

wm w z x y t

z

(3.18)

olarak ifade edilebilir. Akış sürekli olduğu için elemana giren kütle çıkan kütleye eşit

olacaktır.

m m m m m mix iy iz ox oy oz (3.19)

Eşitlik (3.13,14,15,16,17,18) de verilen değerler eşitlik (3.19) da yerine yazılırsa ve

gerekli götürtmeler yapılırsa

u

x

v

y

w

z 0 (3.20)



ifadesi elde edilir. Bu eşitlik sıkışmaz akışın süreklilik denklemi olarak

isimlendirilmektedir.

3.4 Üç Boyutlu Akışın Momentum Denklemleri

Kontrol hacmi metodu

Önceden görüldüğü üzere yeri değişmeyen bir kontrol hacmine sürekli akış şartlarında

etkiyen harici kuvvet

( ) ( )o o i i

cv

dF m V m V V dm

dt

şeklinde hesaplanmaktadır. Bu eşitlik

o ix y z o o o i i i

cv

F i F j F k m u i v j w k m u i v j w k

dui v j wk dm

dt

(3.21)

şeklinde düzenlenebilir. Son eşitlik

x o o i i

cv

dF m u mu udm

dt

(3.22)

y o o i i

cv

dF m v m v vdm

dt

(3.23)

z o o i i

cv

dF m w m w wdm

dt

(3.24)

şeklinde üç bileşene ayrılır. Şekil 3.5 deki diferansiyel hacim elemanında bulunan f, r, s,

e, b, t ve c harfleri sırası ile ön, arka, sol, sağ, taban ve üst yüzeyleri; c harfi elemanın

merkezini göstermektedir. Hacim elemanının boyutları x , y ve z kabul edilmektedir.

Elemanın merkezinin yer koordinatları x, y ve z değerlerine haizdir. Elemanın



merkezindeki basınç p, hız bileşenleri u, v ve w değerlerine haizdir. Söz konusu hacim

elemanı için Eşitlik (3.22)

s e e e t t r r s s b b f fp p dydz dm u dm u dm u dm u dm u dm u

udm

t

(3.25)

şeklinde düzenlenebilir. Son eşitlikte bulunan basınç, hız, ve kütlesel akılar Şekil 3.5 de

görülen hacim elemanının ortasındaki basınç ve hızlar cinsinden hesaplanarak

2 2 2 2

( )2 2 2 2

2 2 2

p dx p dx u dx u dxp p dy dz u dy dz u

x x x x

w dz u dz v dy u dyw dxdy u v dx dz u

z z y y

u dx u dx w dzu dy dz u w dx

x x z

2

2 2

u dzdy u

z

v dy u dy uv dxdz u dxdydz

y y t

(3.26)

2 2

2

2

2

2 2

2

1

4

2 2 4

2 2 4

4

2

p u u dxdxdy dz u u dx dy dz

x x x

u dz w dz w u dzuw w u dxdy

z z z z

u dy v dy v u dyuv v u dx dz

y y y y

u u dxu u dx dy dz

x x

u dz wwu w u

z

2

2

2 4

2 2 4

dz w u dzdxdy

z z z

u dy v dy v u dy uuv v u dxdz dxdydz

y y y y t

(3.27)

1

2p u u w u v u

u w u v ux x z z y y t

(3.28)



1 p u u u u u w u

u w v ux x z y x y z t

(3.29)

elde edilir. Akış sıkışmaz olduğu zaman

1 p u u u u

u w vx x z y t

(3.30)

olur.

Maddesel türev metodu

Viskozitesiz akışkanın taneciklerden oluştuğunu kabul edelim ve taneciklerden birisinin

hareketini dinamik yönden inceleyelim. Tanecik x,y,z uzayında hareket ederken onun

(u,v ,w)

x

y

z

f

r

b

t

s e(x,y ,z)

c

Sekil 3.5



hızının x,y,z doğrultusundaki bileşenlerini u,v ve w ile gösterelim. Taneciğin ivmesinin x

doğrultusundaki bileşeni

adu

dtx (3.31)

olarak yazılabilir. Hızın u bileşeninin zamana ve yere göre tam diferansiyeli

duu

tdt

u

xdx

u

ydy

u

zdz

(3.32)

olup bütün terimler dt ile bölünür ve du

dtax ,

dx

dtu ,

dy

dtv

dz

dtw yazılırsa neticede

au

t

u

xu

u

yv

u

zwx

(3.33)

elde edilir. Şimdi akış bölgesi içerisinde boyutları x, y, z olan bir hacim elemanı

düşünelim. Hacim elemanının ortasındaki basınç p olsun. Bu hacim elemanının

içerisinden herhangi bir anda geçmekte olan sonsuz sayıdaki taneciğin tümüne birden x

doğrultusunda etkiyen basınç kuvveti

2 2X

p x p x pF p z y p y z x y z

x x x

(3.34)

olacaktır. Bu kuvvet o anda Newton kanununa göre taneciklerin tamamının atalet kuvveti

ile dengelenecektir. Taneciklerin tamamının kütlesi )zyx( olup tümüne etkiyen atalet

kuvveti

)wz

uv

y

uu

x

u

t

u(zyxazyxF xi

(3.35)

olur. Son iki eşitliğin sağ taraflarının birbirine eşitlenmesinden x momentum denklemi

olarak isimlendirilen



u

tu

u

xv

u

yw

u

z

p

x

(3.36)

eşitliği elde edilir. Aynı yaklaşımla y ve z momentum denklemleri de elde edilir.

v

tu

v

xv

v

yw

v

z

p

y

(3.37)

gz

p

z

ww

y

wv

z

wu

t

w

(3.38)

Eşitlik (3.20), (3.36), (3.37) ve (3.38) viskozitesiz ve sıkışmaz akışkanların hareketini

modellemektedir. Bu eşitliklerden son üçü ilk olarak Euler tarafından türetildiği için

literatürde Euler denklemleri olarak adlandırılmaktadır. Bu denklemler takım olarak

çözülür ve akış alanı belirlenir. Denklemlerin akış çizgisi üzerindeki çözümü Bernoully

denklemi olarak bilinen eşitliği verir.

3.5 İki Boyutlu Akışın Bernoully Eşitliği

Sürekli Rejimde

Sürekli akış şartlarında x,y uzayında bulunan bir akış alanını tanımlayan denklemler

süreklilik, x momentum ve y momentum olup,

u

x

v

y 0 (3.39)

u

u

xv

u

y

p

x

(3.40)

u

v

xv

v

y

p

y

(3.41)



şeklinde yazılır. Bu eşitlikler u, v ve p olmak üzere üç bağımlı değişken içermektedir.

Bernoully denklemi safi Eşitlik (3.40) ve (3.41) ile verilen momentum denklemlerinden

elde edilir. Şimdi bir akışkan taneciğinin akış çizgisi üzerinde ds kadar yol aldığını kabul

edelim. Bu yol;

( ) ( ) ( )ds dx dy2 2 2 (3.42)

şeklinde koordinat değişimleri cinsinden ifade edilebilir. Bu eşitlikteki ds, dx ve dy

mesafeleri

dtVds (3.43)

dtudx (3.44)

dtvdy (3.45)

olarak hesaplanır. Bunlar (3.42) ye yazılırsa

V u v2 2 2 (3.46)

olduğu görülür. Eşitlik (3.44) ve (3.45) taraf tarafa bölünürse

dx

dy

u

v (3.47)

olarak belirlenir. Son eşitliği kullanarak (3.40) da bulunan v yok edilirse

uu

x

u

yu

dy

dx

p

x

1 (3.48)

olur. Yine Eşitlik (3.47) kullanılarak eşitlik (3.41) deki u yok edilirse

vv

x

dx

dyv

v

y

p

y

1 (3.49)



olur. Son iki eşitliği yeniden düzenleyerek

1

2

1

2

12 2

u

xdx

u

ydy

p

xdx (3.50)

1

2

1

2

12 2

v

xdx

v

ydy

p

ydy (3.51)

elde edilir. Son iki eşitlik taraf tarafa toplanırsa

1

2

1

2

12 2 2 2

xu v dx

yu v dy

p

xdx

p

ydy

(3.52)

sonucuna ulaşılır. Son eşitlik

0dy)p1

V2

1(

ydx)p

1V

2

1(

x

22

(3.53)

şeklinde düzenlenebilir. Bir tam diferansiyel olan son eşitliğin integrali

Cp

V2

1 2

(3.54)

olur. İki nokta arasında kullanmak için

Cp

vu2

1pvu

2

1 02

0

2

0

22

(3.55)

şeklinde düzenlenebilir. Bernoully denklemi olarak bilinen bu eşitlik ancak aynı akış

çizgileri üzerindeki noktalar arasında uygulanabilir. Çünkü momentum denklemlerini

çözerken kullanılan

v

u

dy

dx



şartlı, ancak aynı akış çizgileri üzerinde geçerlidir. Ancak integral sabiti C nin değeri

bütün akış çizgileri üzerinde aynı ise Bernoully denklemi farklı akış çizgileri üzerinde

bulunan noktalar arasında da uygulanabilir.

Geçici Rejimde

Bir (x,y) uzayında geçici rejimde oluşan iki boyutlu akışın momentum denklemleri

x

p1

y

uv

x

uu

t

u

(3.56)

y

p1

y

vv

x

vu

t

v

(3.57)

olur. Eşitlik (3.56) da bulunan v ve eşitlik (3.57) de bulunan u

v

u

dy

dx

eşitliği yardımı ile yok edilir ve düzenlenirse

dxx

p1dy

y

u

2

1dx

x

u

2

1dx

t

u 22

(3.58)

dyy

p1dy

y

v

2

1dx

x

v

2

1dy

t

v 22

(3.59)

olur. Son iki eşitlik taraf tarafa toplanır ve düzenlenirse işlem

dy

y

pdx

x

p1dy

y

)vu(dx

x

)vu(

2

1dy

t

vdx

t

u2222

(3.60)



ile neticelenir. Son eşitlikte birinci terimde bulunan dx' in yerine udt , ikinci terimde

bulunan dy' nin yerine vdt ve )vu( 22 nin yerine 2V yazılırsa

dy

y

pdx

x

p1dyV

ydxV

x2

1dt

t

vvdt

t

uu 22 (3.61)

olur. Son eşitlik

dy

y

pdx

x

pdyV

ydxV

xdtV

t2

222 (3.62)

şeklinde düzenlenebilir. Son eşitliğin sağ tarafında dtt

p

terimi mevcut olmadığı için sağ

taraf p nin (x,y,t) uzayında tam diferansiyeli değildir. Bu sebeple son eşitlik integralle

çözülemez. Fakat eşitliği bir integral denkleme dönüştürmek mümkündür. dsdtV olduğu

dikkate alınırsa son eşitlik

dy

y

pdx

x

pdyV

ydxV

x2ds

t

V 22 (3.63)

şeklinde yazılabilir. Soldaki parantezin içerisi akış geçici rejimde devam ederken V 2 nin

ds yayı üzerinde zamana tabi olmayan değişimini göstermektedir. Sağdaki parantezin

içerisi ds üzerinde basıncın zamana tabi olmayan değişimini göstermektedir. Bu sebeple

son eşitlik

dss

pds

s

V

2ds

t

V 2

(3.64)

şeklinde düzenlenebilir. Eşitlik )y,x( 11 ve )y,x( 22 noktaları arasında integrallenirse

)pp()VV(2

dst

V11221122

22

11y,xy,x

2

y,x

2

y,x

y,x

y,x

(3.65)



neticesine gidilir. t

V

nin akış çizgileri üzerinde tanımlı olmadığı akış olaylarında son

eşitlik bir kullanışlılık arzetmez.

3.6 Üç Boyutlu Akışın Bernoully Denklemi

Üç boyutlu akışın modellemesi için (3.36), (3.37) ve (3.38) ile verilen momentum

denklemleri türetilmişti. Üç boyutlu uzayda akışkan taneciğinin dt zamanı zarfında aldığı

yol

ds dx dy dz2 2 2 2 (3.66)

olup ,

dx udt (3.67)

dy vdt (3.68)

dtwdz (3.69)

Eşitlikleri kullanıldığında

V u v w2 2 2 2 (3.70)

olduğu görülür. Bir akış çizgisi üzerinde hareket eden bir akışkan taneciğinin x, y ve z

doğrultusunda kat ettiği yollarların oranları ile taneciğin hız bileşenlerinin oranları

arasında aşağıdaki ilişkiler vardır.

v

u

dy

dx (3.71)

w

u

dz

dx (3.72)



w

v

dz

dy (3.73)

Eşitlik (3.71) ve (3.72) yi kullanarak x momentum eşitliğindeki v yi ve w yi yok etmek

mümkündür. Buna göre x momentum eşitliği

dxx

p1dz

z

u

2

1dy

y

u

2

1dx

x

u

2

1 222

(3.74)

olur. Aynı şekilde y momentum eşitliğindeki u ve w yi eşitlik (3.71 ve (3.73) ü kullanarak

yok edersek

dyy

p1dz

z

v

2

1dy

y

v

2

1dx

x

v

2

1 222

(3.75)

elde edilir. Yine z momentum eşitliğindeki u ve v yi eşitlik (3.72) ve (3.73) ü kullanarak

yok edersek

dzgdzz

p1dz

z

w

2

1dy

y

w

2

1dx

x

w

2

1 222

(3.76)

elde edilir. Son üç eşitlik taraf tarafa toplandığında işlem

dzg)dzz

pdy

y

pdx

x

p(

1dz)wvu(

z2

1

dy)wvu(y2

1dx)wvu(

x2

1

222

222222

(3.77)

denklemi ile neticelenir. Son eşitliğin çözümü

Czgp

)wvu(2

1 222

(3.78)

olup bir akış çizgisi üzerinde bulunan iki nokta arasında yazılırsa



0

02

0

2

0

2

0

222 zgp

)wvu(2

1zg

p)wvu(

2

1

(3.79)

olur. Son eşitlik üç boyutlu x,y,z uzayındaki bir akış çizgisi üzerinde bulunan noktalar

arasında uygulanır. Bernoully eşitliği geniş uygulama alanı bulan bir eşitliktir.

Venturimetreler ve Pitot tüpleri ile ölçülen basınç farkı Bernoully eşitliğinde kullanılarak

borulardan geçen akışkan hızı ve debisi belirlenebilir. Uçları arasında farklı z değerleri

bulunan boruların taşıdığı akışkan miktarının tahmininde, barajların tabanında bulunan

menfezlerden suyun akış hızının belirlenmesi gibi konularda Bernoully eşitliği yararlılık

sağlamaktadır. Bu eşitlik çapı ince borularda doğru netice vermez. Çünkü çapı ince

borularda viskozitenin akış üzerindeki etkisi göz ardı edilecek kadar az değildir.

3.7 Potansiyel Akış Yaklaşımı İle Akış Alanının Belirlenmesi

Euler eşitliklerinin akış çizgileri üzerindeki çözümünü yaptık ve Bernoully eşitliğini elde

ettik. Ancak bir akış alanı içerisinde bir akış çizgisinin hangi noktalardan geçeceğini, akış

alanında hız ve basınç dağılımının nasıl olacağını henüz bilmiyoruz. Bunu belirlemek için

potansiyel akış yaklaşımı olarak isimlendirilen bir akış modelleme metodu

kullanılmaktadır. Akış esnasında akış alanı içerisinde belirlenmiş prizmatik hacim

elemanları dönmeden hareket ediyorsa bu tür akışlara potansiyel akış denmektedir.

Potansiyel akış; içerisinde sirkülasyon olmayan akış olarak ta tanımlanmaktadır. Bu

noktada dönme ve sirkülasyon mefhumunun matematiksel tarifine ihtiyaç vardır.

3.7.1 Dönme ve Sirkülasyonun Matematiksel İfadesi

Dönme (Rotasyon)

Bir akış ortamı içerisinde kenarları x, y ve z olan bir hacim elemanı seçelim. Seçilen

hacim elemanının kenarları koordinat düzlemlerine paralel olsun. Seçilen hacim elemanı

bir t zamanı içerisinde bir miktar yer değiştirecek ve elemanın prizmatik geometrisi

bozulacaktır. Bir de eleman x, y ve z eksenleri etrafında dönecektir. Elemanın z ekseni

etrafındaki dönmesi; elemana z ekseni doğrultusunda, z eksenine zıt yönde bakıldığında



görülen dönmedir. Bu dönme elemanın farklı yerlerinde farklı miktarlarda oluşabilir.

Elemanın köşegeninin dönmesi esas alınarak dönmenin matematiksel tanımı yazılmıştır.

Bir t anında akış alanı içerisinde (x,y) düzleminde bir OBCA dikdörtgeni işaretleyelim,

Şekil 3.6. Bir t zamanı içinde dikdörtgenin AOB açısı değişmeden OB ve OA kenarları

açısı kadar ters saat yönünde dönsün ve OB' ve OA' pozisyonlarına gelsinler. AOB

açısı değişmediğinden dikdörtgenin köşegeninin O noktası etrafında dönme miktarı

kadardır. Bu işlemde eleman açısal bozulmaya maruz kalmadığından bu tür dönmeler

blok dönme olarak isimlendirilmektedir. Elemanın köşegeninin dönme miktarı OA ve OB

kenarlarının dönmelerinin ortalaması alınarak

/ 2 (2.80)

şeklinde hesaplanır. İkinci bir hal olarak OA kenarı ters saat yönünde açısı kadar

dönsün ve OA" pozisyonuna gelsin, OB kenarı da yine ters saat yönünde açısı kadar

dönsün ve OB" pozisyonuna gelsin. Bu durumda da dikdörtgenin köşegeninin dönme

miktarı OA ve OB kenarlarının dönmelerinin ortalaması alınarak,

2/)( (3.81)

y

x

O

A"

BC

O

A'

CB

A

B'

C'

B"

A

C"

Sekil 3.6

(a) (b)



şeklinde hesaplanabilir. Son eşitlik dönmenin genel tanımı olup ve ister pozitif

olsun ister negatif her durum için geçerlidir. Mesela 0 3. , 0 3. radyan ise dönme

0 3 0 3 2 0 0. . / . radyan olacaktır. Bu sayısal örnekte elemanın kenarları eşit fakat

birbirine zıt dönmüş olduğu için elemanın merkezi dönmemektedir. Akışkan

elemanlarının dönmesiz açısal deformasyonuna dayanan akışlara irrotasyonel akışlar

denmektedir.

Şekil 3.6.b ye göre elemanın OA kenarının dönme miktarı akışkanın hız bileşenleri

cinsinden

( )

vx t

AA vxtg tx xOA

(3.82)

şeklinde ifade edilebilir. OB kenarının dönme miktarı

( )

uy t

yBB utg t

y yOB

(3.83)

şeklinde ifade edilebilir. Saatin tersi pozitif olduğuna göre, OB kenarının pozitif bir

açısı oluşturması için O dan B ye giderken u nun azalması gerekir. Yani O noktasının B

den daha hızlı gitmesi gerekir. Bu durumda y

u

nin sayısal değeri negatif işaretli

olacaktır. Bu sebeple son eşitlikte y

u

yi mutlak değer işaretinin dışarısına çıkartırken

önüne bir eksi işareti konulmuştur. Elemanın t süresi içerisindeki dönme miktarı

)y

u

x

v(

2

t)(

2

1

(3.84)

olarak ifade edilir. Dönme hızı



)y

u

x

v(

2

1z

(3.85)

olur. Aynı yaklaşımla x ve y ekseni etrafındaki dönme hızları

)z

v

y

w(

2

1x

(3.86)

)x

w

z

u(

2

1y

(3.87)

olarak belirlenir. Dönme hızının iki katına vorticity adı verilmektedir.

Sirkülasyon ve Vorticity’nin İlişkisi

Akış alanı içerisinde bulunan kapalı bir eğri üzerinde akış hızının eğriye teğet bileşeninin

çizgisel integrali sirkülasyon olarak isimlendirilmektedir. Matematiksel ifadesi

dsv t (3.88)

olarak yazılabilir. Şekil 3.7 de görülen diferansiyel büyüklükteki dikdörtgen biçimli

kapalı eğrinin üzerindeki teğet hız dağılımı geometrik merkezdeki hız bileşenleri

cinsinden verilmektedir. Sirkülasyon hesaplanırsa

y

x

u,v

uyu +

y

uyu - y

vx

xv+

vx

xv -

Sekil 3.7

2

2

2

2



( )2 2

( )2 2

OACB

u dy v dxu dx v dy

y x

u dy v dxu dx v dy

y x

dxdy)y

u

x

v(OACB

(3.89)

olur. Bir akış alanı içerisinde bulunan bir kapalı eğrinin oluşturduğu bir kontrol hacmi için

son eşitlik

( )t

R R

v uV ds dydx

x y

(3.90)

şeklinde verilebilir. Bu eşitlikte R ile kapalı eğrinin sınırladığı bölge gösterilmektedir.

Stockes teoremi olarak bilinen bu ifade rotasyonun nun bir alan üzerindeki integralinin

sirkülasyona eşit olduğunu göstermektedir.

3.7.2 Euler Denklemlerinin Vorticity Transport Denklemine Dönüşümü

Vorticity akışkan tarafından taşınabilir bir büyüklük olduğuna göre vorticitynin

taşınmasını yöneten bir matematiksel ilişkinin mevcut olması gerekir. Bu eşitlik Euler

denklemlerinden türetilebilmektedir. Sırası ile x momentum denkleminin terimleri y ile, y

momentum denkleminin terimleri x ile türetilirse,

yx

p1

y

u

y

v

y

uv

x

u

y

u

yx

uu

2

2

22

(3.91)

yx

p1

y

v

x

v

xy

vv

x

v

x

u

x

vu

22

2

2

(3.92)

denklemleri elde edilir. Bu denklemlerden birisi diğerinden çıkartılırsa



0)x

v

y

u)(

y

v

x

u()

x

v

y

u(

yv)

x

v

y

u(

xu

(3.93)

elde edilir. Bu denklemin son terimi süreklilik denkleminin gereği olarak sıfır olur.

Denklemin terimlerinin işareti değiştirilerek

ux

v

x

u

yv

y

v

x

u

y

( ) ( ) 0 (3.94)

şeklinde düzenlenebilir. Bu denklemde bulunan parantezlerin içerisi yukarıda vorticity

olarak tanıtılan büyüklüğe eşittir. Bir akış çizgisi üzerinde v/udy/dx olduğunu

biliyoruz. Bunu kullanarak eşitlik (3.94) de v yok edilirse

0dy)y

u

x

v(

yudx)

y

u

x

v(

xu

(3.95)

olur. Eşitlik (3.95) e göre akış çizgileri üzerinde vorticity’nin tam diferansiyeli sıfırdır.

0)y

u

x

v(d

(3.96)

Son eşitlikten

C)y

u

x

v(

(3.97)

elde edilir. Son eşitlikte bulunan C yi belirlemek için bir balığın çevresindeki açık bölge

akışını inceleyelim. Balığın çevresinde dikdörtgen şeklinde bir kapalı eğri ile sınırlanmış

bir bölge düşünelim. Şekil 3.8.a da görülen teğet hızlar dikkate alınarak

0 0 ( )B C B D

A B A C R

v uU dx dy U dx dy dydx

x y

(3.98)

0R

v udxdy

x y

(3.99)



0v u

x y

(3.100)

neticesi elde edilir. Son eşitlik balığın çevresindeki açık bölge akışında viskozitesiz akışın

irrotasyonel olduğunu göstermektedir. Şekil 3.8.b de görülen kapalı bölge akışı için C nin

belirlenmesinde akış çizgilerinin kanalın iki ucundaki davranışları dikkate alınabilir.

Kanalın her iki ucunda akış x doğrultusunda ve tekdüze olduğu için

0v u

x y

olduğu görülmekte olup bu hal C nin sıfır olduğunu göstermektedir.

A B

CD

Sekil 3.8.a

Vt=U8

Vt=U8

Vt =

0

Vt =

0U 8

x

y



Bir (x,y) düzlemindeki akış sürekli değilse x ve y momentum denklemlerinden

0dyy

u

x

v

yudx

y

u

x

v

xudx

y

u

x

v

t

(3.101)

elde edilir. Son eşitlikte birinci terimde dtudx yazılır ve düzenlenirse

0dyy

u

x

v

ydx

y

u

x

v

xdt

y

u

x

v

t

(3.102)

olur. Vorticity’nin tam diferansiyeli olan son eşitlikten sürekli olmayan sıkışmaz

viskozitesiz akışın’da dönmesiz olduğu görülmektedir. Bu durum dönmenin tarif

eşitliklerinde (3.85,3.86,3.87) kullanılarak

( )

v

x

u

y 0 (3.103)

( )

w

y

v

z 0 (3.104)

( )

u

z

w

x 0 (3.105)

Sekil 3.8.b

x

y

A B

CD

EF

akis çizgisi



sonuçları elde edilir. Bu eşitlikler Euler denklemlerinin ortaya çıkardığı sonuçlar olup

süreklilik denklemi ile beraber sıkışmaz viskozitesiz akış alanlarının simülasyonunda

kullanılmaktadır. Bernoulli denkleminden bilindiği üzere viskozitesiz akışta 2

2

V pgz

sabit kalmaktadır. Bu büyüklük 1 kg viskozitesiz sıkışmaz akışkanın toplam enerji

potansiyeli olup, akış esnasında değişmediği için viskozitesiz sıkışmaz akışlara potansiyel

akış da denmektedir.

3.8 İki Boyutlu Akış Alanlarında Potansiyel Akış Denklemlerinin Çözümü

Yukarıda verilen bilgilere göre bir (x,y) uzayında zuhur eden potansiyel akışın

simülasyon denklemleri

0y

v

x

u

(3.106)

0)y

u

x

v(

(3.107)

olarak yazılabilir. Bu iki denklemi tek denkleme indirgemek için akış çizgisi fonksiyonu

(streamline) ve hız potansiyeli fonksiyonu olmak üzere iki farklı transformasyon

mevcuttur.

Streamline Fonksiyonu

Eşitlik (3.106) ve (3.107) den oluşan denklem takımını tek denkleme dönüştürmenin bir

yöntemi hız bileşenlerini

yu

(3.108)

xv

(3.109)



şeklinde bir fonksiyondan elde etmektir. Bu fonksiyon akış çizgisi fonksiyonu olarak

isimlendirilmekte ve yalnız iki boyutlu akışlar için uygulanabilmektedir. Neticede (3.106)

denklemi yok olur (3.107) denklemi aşağıdaki şekle dönüşür.

0yx 2

2

2

2

(3.110)

Denklemin eşit aralıklı gridler için sonlu fark şekli

)(4

11j,i1j,ij,1ij,1ij,i (3.111)

eşit olmayan aralıklı gridler için sonlu fark şekli

2

yy

2

yyxx

2

xx

2

xxyy

/2

yy

2

yyxx

2

xx

2

xxyy

2

P

N

2

N

PPN

2

P

N

2

N

PPN

2

P

N

2

N

PJ,1İPJ,1İN

2

P

N

2

N

P1J,İP1J,İNj,i

(3.112)

olarak elde edilir. Çözüm bölgesi Şekil 3.7’ deki gibi düzgün olmayan bir bölge ise son

eşitlik kaçınılmaz olur. Eşitlik (3.110) un sınır şartlarını belirlemek için streamline

fonksiyonunun fiziki manasının belirlenmesine gerek vardır. Streamline fonksiyonunun

(x,y) uzayındaki tam diferansiyeli,

dyy

dxx

d

(3.113)

olup eşitlik (3.108) ve (3.109) da verilen hız bileşenleri yerine yazılırsa

dyudxvd (3.114)



eşitliği elde edilir. Şimdi Şekil (3.9) de görülen ve kesiti dik üçgen olan hacim elemanının

yüzeylerinden geçen akışkan miktarlarını inceleyelim. Hacim elemanının kağıt düzlemine

dik boyutu 1 metre olsun. Üçgenin AC kenarından dışa çıkan akışkan debisi )dxv( , BC

kenarından dışa çıkan akışkan debisi )dyu( olacaktır. Üçgenin AC ve BC kenarlarından

çıkan debilerin toplamı )dyudxv( olup AB kenarından giren debiye eşit olmalıdır. AB

kenarından giren )dyudxv( debisinin eşitlik (3.114) ün sağ tarafına eşit olduğu

görülmektedir. Buradan streamline fonksiyonunun A ve B noktaları arasındaki

değişiminin bu iki nokta arasından geçen akışkan debisine eşit olduğu görülmektedir.

Bu sonuca göre bir çözüm bölgesinin sınırlarının akışkan geçirmeyen kısımlarında nin

sabit kaldığı açıktır. Akışkanı geçiren kısımlarda nin değişiminin akışkan debisine eşit

olduğu görülmektedir. Bu durumda bir çözüm bölgesinin bütün çevresindeki sınır şartları

nin sayısal değerlerinden ibarettir.

Çözüm bölgesinin içerisinde bulunan gridlerde j,i nin belirlenmesi için yukarıda verilen

discretize eşitliklerden her bir grid için bir denklem elde edilir ve elde edilen eşitlikler eş

zamanlı olarak çözülür. Yada doğrudan doğruya discretize eşitlikleri kullanarak Jacoby

yöntemi ile iteratif çözümleme yapılır.



Streamline fonksiyonunun grid noktalarındaki değeri belirlendikten sonra komşu

noktaların arasındaki streamline değişiminden u ve v hızları belirlenerek çözümleme

işlemi tamamlanır. Çözüm bölgesinde bulunan gridler arasındaki basınç farkını

belirlemek içinde Bernoulli denklemi kullanılır.

Hız Potansiyeli Fonksiyonu

Denklem (3.106) ve (3.107) yi tek denkleme dönüştürmenin yollarından birisi de hız

bileşenlerinin )y,x( olmak üzere

xu

(3.115)

yv

(3.116)

şeklinde bir fonksiyondan elde edilmesi olup bu fonksiyona hız potansiyeli fonksiyonu

denmektedir. Bu eşitlikler (3.106) denkleminde kullanıldığında

0yx 2

2

2

2

(3.117)

B

A C

Qy=-v dx

Qy=u dy

x

y

Sekil 3.9



şeklinde ikinci mertebeden bir denkleme dönüşür. Denklem (3.107) tamamen yok olur.

Denklem (3.117) nin analitik çözümleri mevcut olmakla birlikte pratikte karşılaşılan akış

alanlarının simülasyonu açısından bir değeri yoktur. Bu sebeple burada sayısal bir çözüm

tanıtılacaktır. Bir örnek olarak Şekil 3.6' da görülen taşıtın çevresindeki akışın

simülasyonu yapılacaktır. Sayısal çözüm için çözüm bölgesinde Şekil 3.6' da görüldüğü

üzere grid noktaları oluşturulur. Sayısal çözüm için denklem (3.117) nin discretize edilmiş

şekli gerekmektedir. Eşit aralıklı gridler için denklem (3.117) nin discretize edilmiş şekli

)(4

11j,i1j,ij,1ij,1ij,i (3.118)

olur. Bu örnekte gridler hep eşit aralıklı yerleştirilebildiği için (3.118) denklemi çözüm

için yeterlidir. Discretize etme konusunda daha geniş bilgi için Referans 16, 17, 18, 19,

20, 21, 22, 23 ve 25'e bakınız.

Çözüm için sınır şartları gerekmektedir. Sınır şartları çözümün yapılacağı bölgenin

bulunduğu yere ve çözüm bölgesinin şekline göre farklılık arzeder. Ele alınan örnekte

çözüm bölgesinin sınırları taşıttan çok uzakta seçilirse, çözüm bölgesinin sınırlarında

hızın y bileşeni sıfır, x bileşeni U olacaktır. Hız potansiyeli fonksiyonunun diferansiyeli



dx

dxy

dy udx vdy

(3.119)

olup çözüm bölgesinin OP kenarında v sıfır olduğundan d nin sıfır olduğu görülür. O

noktasındaki sıfır seçilirse P noktasında da sıfır olacaktır. PR kenarında xU

olduğu eşitlik (3.119) dan görülür. Burada x in başlangıç noktası O olarak seçilmiştir.

Yine eşitlik (3.119) dan RS kenarı boyunca R deki nin geçerli olduğu görülür. SO

kenarında yine xU olacaktır. Taşıtın yüzeyi de çözüm bölgesinin sınırlarından bir

kısmını oluşturmaktadır. Burada türevsel sınır şartları mevcuttur. AB arasında u sıfır olup

buradan 0x

, BC arasında v sıfır olup 0

y

, CD arasında u sıfır olup 0

x

, DE

arasında v sıfır olup 0y

, EF arasında u sıfır olup 0

x

, FA arasında v sıfır olup

şartları yazılır. Sonuç olarak çözüm bölgesinin dış sınırlarında kendisi, iç

sınırlarda da türevleri verilmektedir.

A

B C

D E

F

O

P R

S

Sekil 3.10

0y



Sınırda olmayan noktaların her biri için eşitlik (3.118) den bir denklem elde edilir. Ayrıca

taşıtın yüzeyindeki grid noktaları için verilen türevsel sınır şartlarını discretize ederek bu

noktaların her biri için denklemler elde edilir. Sonra denklemler eş zamanlı çözülerek grid

noktalarında hız potansiyeli belirlenir. Denklemler Jacoby iterasyonu ile de çözülebilir.

Aşağıda verilen POTENTIAL isimli program bu poblemin çözümünü yapmaktadır.



3.9 Üç Boyutlu Akış Alanlarında Potansiyel Akış Denklemlerinin Çözümü

Potansiyel akış denklemleri (3.20) (3.103) (3.104) ve (3.105) üç boyutlu bir akış alanında

çözülecekse iki boyutlu akış alanlarında yapıldığı gibi önce tek denkleme dönüştürülür.

Dönüşüm için hız potansiyeli fonksiyonu kullanılabilir. Bunun için hız bileşenleri

xu

,

yv

,

zw

şeklinde tanımlanır. Bu tanımlar (3.103) (3.104) ve (3.105) eşitliklerini yok eder. Eşitlik

(3.20) ile verilen üç boyutlu süreklilik denklemi

0zyx 2

2

2

2

2

2

(3.120)

olur. Denklemin eşit aralıklı gridler için discretize edilmiş şekli

1k,j,i1k,j,ik,1j,ik,1j,ik,j,1ik,j,1ik,j,i

6

1 (3.121)

olur. Eşit olmayan aralıklarla yerleştirilmiş gridler için discretize eşitlik

z

PN

y

PN

X

PN

Z

1k,j,iP1k,j,iN

y

k,1j,iPk,1j,iN

X

k,j,1iPk,j,1iN

k,j,i

R

zz

R

yy

R

xx

/R

zz

R

yy

R

xx

(3.122)

olur. Bu eşitlikte bulunan xR , yR ve zR kısaltmaları aşağıdaki gibidir.



p

2

N

N

2

p

x x2

xx

2

xR

,

,

p

2

N

N

2

p

z z2

zx

2

zR

.

Sınır şartlarının belirlenmesi ve discretize denklemlerden sayısal sonuçların elde edilmesi

iki boyutlu halde olduğundan çok farklı değildir. Bunun için;

dzwdyvdxud

eşitliği kullanılır. Şekil 3.11 de y doğrultusunda V

hızı ile akan bir akış ortamı içerisine

yerleştirilmiş bir cisim görülmektedir. Cismin çevresindeki çözüm bölgesinin sınırlarını

şekilde görülen hayali prizmatik hacmin yüzeyleri teşkil etmektedir. Çözüm bölgesinin

ABCD yüzeyinde dy, u ve w sıfır olduğu için d sıfır olur. Bu durum ABCD yüzeyinde

nin sabit olduğunu göstermektedir. Herhangi bir sayı olarak seçilmesi mümkün olup

tercihen sıfır seçilir. Dolayısı ile ABCD yüzeyindeki bütün gridlerde nin değeri sıfırdır.

BCFE yüzeyinde mevcut olan yegane hız bileşeni V

olup bu yüzeyde dx de sıfır olduğu

için d V dy

olur. Bu eşitliğin integralinden V y C

elde edilir. 0y da 0

kabul ettiğimiz için C nin değeri sıfır olacaktır. Netice olarak V y

ile BCFE

yüzeyinde bulunan gridlerin değerinin hesaplanabileceği görülmektedir.

p

2

N

N

2

p

y y2

yy

2

yR



Şekil 3.11 de görülen çözüm bölgesinin ABEH, BEFC, CFGD, ve DGHA yüzeylerinde

de V y

eşitliği geçerlidir.

Cismin x eksenine dik yüzeylerinde bulunan grid noktalarındaki nin hesabı için 0x

şartı kullanılır. Cismin y eksenine dik yüzeylerinde bulunan grid noktalarındaki nin

hesabı için 0y

şartı kullanılır. Cismin z eksenine dik yüzeylerinde bulunan grid

noktalarındaki nin hesabı için 0z

şartı kullanılır. Cismin koordinat eksenlerine

eğik duran yüzeylerinde bulunan grid noktalarındaki nin hesabı için

x

yz

Sekil 3.11A B

C

D

E

FG

H

I

J

K

L

M

N

P

R

C



0Vn

z

zn

y

yn

x

xn

(3.123)

şartı kullanılır. Son eşitlikte bulunan nV akışın sözkonusu grid ile eğik konumlu yüzey

arasındaki yüzeye dik hızıdır. Bu hız sıfır olup buradan Şekil 3.12 da görülen eğik

yüzeydeki C ve B gridleri için AC , AB sonuçları elde edilir.

Hava sıkışır akışkan olmakla birlikte, hava içerisinde ses altı hızlarda hareket eden

cisimlerin çevresindeki akış alanının belirlenmesinde, sıkışmaz akışkanın potansiyel akış

modeli kullanılmaktadır. Buna bir örnek olarak motorlu kara taşıtları gösterilebilir.

3.10 Potansiyel Akış Denklemlerinin Kartezyen Koordinat Sisteminden Diğer

Koordinat Sistemlerine Dönüşümü.

Mevcut hali ile (x,y) uzayında verilen bir diferansiyel denklemi bir ( , ) uzayına taşımak

isteyelim. Bunun için x ve y nin yeni uzayın koordinatları cinsinden

),(xx (3.124)

A

Vn

B

C

D

E

H

I

GF

Sekil 3.12



),(yy (3.125)

şeklinde ifade edilmesine gerek vardır. Verilen bir diferansiyel denklemin ihtiva ettiği x e

göre birinci mertebe türev

xxx

(3.126)

şeklinde ifade edilebilir. Son eşitlikte bulunan

x ve

x türevleri eşitlik (3.124) ve

(3.125) den elde edilebilir. Sözkonusu eşitlikler x e göre türetilirse

1x

x

x

x

(3.127)

0x

y

x

y

(3.128)

eşitlikleri elde edilir. Son iki eşitlikte bulunan

x,

x,

y ve

y değeri bilinen

büyüklüklerdir. Son iki eşitlikten

xyyx

y

yy

xx

y0

x1

x (3.129)



xyyx

y

yy

xx

0y

1x

x

(3.130)

elde edilir. Bu sonuçlar (3.126) ya yazılırsa

xyyx

y

xyyx

y

x (3.131)

eşitliği elde edilir.

Verilen bir diferansiyel denklemde bulunan y ye göre türev de aynı yöntemle yeni uzayın

koordinatları cinsinden ifade edilebilir. Bu maksatla Eşitlik (3.124) ve (3.125) den

0y

x

y

x

(3.132)

1y

y

y

y

(3.133)

ifadeleri elde edilir. Son eşitliklerden

y ve

y çekilirse işlem

xyyx

x

y (3.134)

xyyx

x

y (3.135)



ile neticelenir. Sonuç olarak

y için

xyyx

x

xyyx

x

y (3.136)


Silindirik Koordinata Dönüşüm

Şimdi (3.106) ve (3.107) den oluşan iki boyutlu potansiyel akış denklemlerini iki boyutlu

silindirik uzaya aktaralım. Silindirik uzayın koordinatları (r,) olduğu için yukarıdaki

eşitliklerde bulunan yerine r gelecektir. Eski ve yeni koordinatlar arasında

cosrx (3.137)

sinry (3.138)

ilişkisi mevcuttur. Bu eşitliklerde bulunan r ve bir noktanın koordinatları olup bu

noktadadaki hız bileşenleri Vrve V

dır. Bu eşitliklerden kısmi türev alarak

cos

r

x (3.139)

sinr

x (3.140)

sin

r

y (3.141)

cosr

y (3.142)

ifadeleri elde edilir. Bu ifadeler Eşitlik (3.131) ve (3.136) da yerine yazılırsa



r

sin

rcos

x (3.143)

r

cos

rsin

y (3.144)

neticeleri elde edilir. Bunlar kullanılarak süreklilik denklemi

0v

r

cos

r

vsin

u

r

sin

r

ucos

(3.145)

şekline dönüştürülür. Son eşitlikte bulunan bağımsız değişkenler r ve silindirik uzayın

koordinatları olmakla birlikte bağımlı değişkenler u ve v (x,y) uzayının hız bileşenleridir.

Bunlarıda silindirik uzayın hız bileşenleri rV , ve V ya dönüştürmek gerekmektedir. Şekil

3.13’den faydalanarak (x,y) uzayının hız bileşenleri (r,) uzayının hız bileşenleri

cinsinden aşağıdaki gibi ifade edilir.

2 1cos sin

ru u u V V

(3.146)

2 1sin cos

rv v v V V

(3.147)



Bunlar (3.145) da yerine yazılır ve gerekli işlemler yapılırsa

0V

r

1

r

V

r

V rr

(3.148)

eşitliği elde edilir. Son eşitlik süreklilik denkleminin polar silindirik şekli olarak

isimlendirilmektedir.

Eşitlik (3.131) ve (3.136) ile verilen dönüşüm formüllerini kullanarak vorticity denklemi

(3.107) aşağıdaki şekilde ifade edilir.

x

y

v2

v1

u2u1

r

Vrv

Sekil 3.13



0u

r

cos

r

usin

v

r

sin

r

vcos

(3.149)

Eşitlik (3.146) ve (3.147) ile verilen hız bileşenleri son eşitliğe yazılır ve gerekli işlemler

yapılırsa aşağıdaki silindirik vorticity denklemi elde edilir.

0V

)Vr(r

r

(3.150)

Eşitlik (3.148) ve (3.150) viskoz olmayan sıkışmaz akışkanların silindirik geometride

potansiyel akışını modellemektedir. Bu denklemleri tek denkleme dönüştürmek için,

streamline fonksiyonu olmak üzere, hızlar

r

1Vr (3.151)

rV

(3.152)

şeklinde ifade edilir. Bunlar yerine yazılırsa

0r

1

rrr

2

2

2

2

(3.153)

denklemi elde edilir. Son eşitlik Laplace denkleminin silindirik şekli olup, Eşitlik (3.110)

un (x,y) uzayından ( , )r uzayına taşınması ile de aynı eşitliğe varılabilir.

Şekil 3.14 te bir silindir çevresindeki potansiyel akış bölgesinin gridlendirilmesi

görülmektedir. Çözüm bölgesinin sınırları şekilde görüldüğü üzere 0 , , wr R ve

r R ile gösterilmiştir. 0 , ve wr R sınırlarının her üçünde 0 şartı

kullanılabilir. Çözüm bölgesin r R sınırında kullanılabilecek olan sınır şartı (3.146) ve

(3.147) denklemlerinden elde edilebilir. Bu sınırda 0v , u U olduğu dikkate alınarak

söz konusu denklemler



cos sin

sin cos 0

rV U

V

(1.154)

şeklinde düzenlenebilir. Bu matriks denklemden

cosrV U (3.155)

1

cosUR

(3.156)

elde edilir. Son eşitliğin geri fark türevi alınarak grid noktalarında kullanılmak üzere

, 1, cosi j i j R U (3.157)

eşitliği elde edilir. Son eşitlikte bulunan i ve j sırası ile açısal ve radyal grid sayıcılarıdır.

Eşitlik (3.148) ve (3.150) den oluşan silindirik geometride potansiyel akış denklemlerini

tek denkleme dönüştürmek için hız potansiyeli fonksiyonu da kullanılabilir. Bunun için,

hız potansiyeli olmak üzere, hız bileşenleri

rVr

(3.158)

r

1V (3.159)



şeklinde ifade edilir. Bunlar silindirik potansiyel akış denklemlerinde yerine yazılırsa

işlem

0r

1

rrr

2

2

2

2

(3.160)

ile neticelenir. Yine Laplace denkleminin silindirik şekli olan son eşitlik, Eşitlik (3.117)

nin (x,y) uzayından ),r( uzayına taşınması ile de elde edilebilir. Şekil 3.15 te silindirik

bir cismin çevresindeki akış bölgesinin gridlendirilmesi görülmektedir. Çözüm bölgesinin

sınırları wr R , r R , 0 ve 2 ile gösterilmiştir. Çözüm bölgesi tam daire

olduğu için 0 ve 2 deki sınırlar örtüşmektedir. wr R sınırında 0rVr

sınır

şartı kullanılabilir. 0 ve 2 sınırlarında 1

0Vr

şartı kullanılabilir. r R

sınırında kullanılacak olan sınır şartı (3.155) eşitliğinden elde edilebilir. Söz konusu

eşitlik cosrV Ur

şeklinde yazılabilir.

Kartezyen geometride verilmiş potansiyel akış denklemlerinin silindirik geometriye

dönüşümü burada bir örnek olarak detaylı bir şekilde izah edilmiştir. Üç boyutlu

potansiyel akış denklemlerinin kartezyen geometriden silindirik yada küresel yada başka

u 8

r=R 8

Sekil 3.14

r = RW



bir geometriye dönüşümü metot olarak bir farklılık arzetmez. Bu sebeple bunlar teker

teker ele alınmayacaktır. Üç boyutlu sürtünmesiz akışın süreklilik, vorticity ve Laplace

denklemlerinin kartezyen, silindirik ve küresel şekli topluca aşağıda verilmiştir.

Kartezyen Geometride:

u

x

v

y

w

z 0 , (3.161)

( )

v

x

u

y 0 , (3.162)

( )

w

y

v

z 0 , (3.163)

( )

u

z

w

x 0 . (3.164)

u 8

r=R 8

Sekil 3.15

r=Rw



0zyx 2

2

22

2

(3.165)

Silindirik Geometride:

0z

VV

r

1)rV(

rr

1 Zr

, (3.166)

0z

VV

r

1 Z

, (3.167)

0r

V

z

V Zr

, (3.168)

0V

r

1)rV(

rr

1 r

, (3.169)

1 10

2 2

2

2r rr

r r z

(3.170)

Küresel Geometride:

0V

sinr

1)sinV(

sinr

1)Vr(

r

1

r

1r

2

2

, (3.171)

0V

sinr

1)sinV(

1

sinr

1

, (3.172)

0)rV(rr

1V

sinr

1 r

, (3.172)

0V

r

1)rV(

rr

1 r

, (3.174)

0sinr

1sin

sinr

1

rr

rr

12

2

222

2

2

(3.175)



3.11 Düzgün Geometrik Cisimler Çevresindeki Potansiyel Akışlar

Yukarıda tanıttığımız nümerik yöntemlerle potansiyel akış denklemleri düzgün geometrik

cisimler etrafındaki akış bölgelerinde kolayca çözülebilir. Bununla birlikte silindirik boru,

elips boru, küre, köşe gibi bazı düzgün geometrik cisimlerin çevresindeki akışın analitik

fonksiyonlarla tanımlanması daha karmaşık olayların analizinde kolaylık ve hızlılık

sağlamaktadır. Bu kısımda yapılacak olan işlemler Laplace denklemini ve akış alanının

sınır şartlarını sağlayan fonksiyonlar aramak olacaktır. Laplace denklemi lineer bir

denklem olduğu için Laplace denklemini sağlayan birden fazla fonksiyonun toplamıda

yine çözüm olur. Birden fazla fonksiyonun toplanması sınır şartlarının sağlatılması için

gereklidir.

Genel çözümü oluşturan fonksiyonlar tek boyutlu basit akışları tanımlayan ifadelerdir. Üç

çeşit basit akışla diğer karmaşık akışların tanımlanması mümkün olmaktadır. Bunlardan

birisi akışkan üreten ve kaynak olarak isimlendirilen bir nokta çevresindeki tek boyutlu

akış, diğeri akış çizgilerinin birbirine paralel düz çizgiler olduğu uniform akış, üçüncüsü

vortex olarak adlandırılan bir nokta çevresindeki dönme hareketidir.

3.11.1 Doğrultusu x Eksenine Paralel Uniform Akış

Şekil 3.16 de x eksenine paralel tekdüze akışın akış çizgileri görülmektedir. Streamline

fonksiyonu x doğrultusunda sabit kaldığı için akış çizgilerinin dağılımını yöneten Laplace

denkleminin kartezyen formu

0y2

2

(3.176)

şeklinde kısalır. Son denklemin çözümü

ByA (3.177)



olur. Akışın bulunduğu bölgenin tamamında Uy

olduğundan A U olur. B sabiti

0y sınırındaki ye eşit olup sıfır olarak seçilebilir. Neticede akış fonksiyonu nin y

cinsinden ifadesi

yU (3.178)

olarak belirlenir.

3.11.2 Doğrultusu y Eksenine Paralel Uniform Akış

Şekil 3.17' te y eksenine paralel tekdüze akışın akış çizgileri görülmektedir. Akış

fonksiyonu y doğrultusunda değişiklik arzetmediği için akış fonksiyonunun dağılımını

yöneten Laplace denkleminin kartezyen formu

0x 2

(3.179)

şeklinde kısalır. Genel çözüm

x

y

Sekil 3.16

U



BxA (3.180)

olup, akış alanının tamamında Vx

olduğundan VA olur. Yukarıda açıklandığı

üzere B nin değeri sıfır olarak seçilebilir. Netice

xV (3.181)

olarak belirlenir.

3.11.3 Herhangi bir Doğrultuda Uniform Akış

Şekil 3.18' de, (x,y) düzleminde pozitif yönde bir uniform akış görülmektedir. Akışın hızı

ve doğrultusu her yerde aynı olduğu için hızın her iki bileşeni birer sabit olacaktır. Hız

bileşenlerinin tanımı olan

V

x

y

Sekil 3.17



Vx

(3.182)

Uy

(3.183)

eşitliklerinden

0x 2

2

(3.184)

0y2

2

(3.185)

olduğu sonucuna gidilir. Buradan sabit hız bileşenlerine sahip bir akışın

0yx 2

2

2

2

(3.186)

V

x

y

Sekil 3.18

U



denklemini sağlanmakta olduğu görülmektedir. Bu sebeple böyle bir akış için nin

belirlenmesinde (3.182) ve (3.183) denklemleri kullanılabilir. Denklem (3.182) nin

integralinden

)y(fxV (3.187)

elde edilir. Son eşitliğin y ile türevi alınırsa

dy

df

y

(3.188)

olur. Son eşitlikte bulunan y

nin U olduğunu biliyoruz.

Udy

df . (3.189)

Son denklemden

yUf (3.190)

olarak belirlenir. Bu sonuç Eşitlik (3.187) de kullanılarak streamline dağılımının

matematiksel ifadesi

xVyU (3.191)

olarak belirlenir.

Tek düze akışın özel halleri için elde ettiğimiz (3.178) ve (3.181) eşitliklerinin sağ

taraflarının toplamıda yine son eşitliğin sağ tarafını vermektedir. Buradan özel basit

akışların matematiksel tanımlarının toplamını alarak karmaşık akışların tanımlanabileceği

görülmektedir. Bu metoda süperpozisyon metodu denmekte ve çok kullanılmaktadır.



3.11.4 Vortex Hareketi

Akışkanın bir nokta çevresinde dönmesi olan vortex hareketi Şekil 3.19.a ve 3.19.b'de

gösterilmektedir. Şekil 3.19.a'da görülen vortex serbest vortex olarak isimlendirilen,

dönme merkezi istisna irrotasyonel olan bir akış türüdür. Şekil 3.19.b de görülen vortex

akışkanın topyekün bir nokta etrafında dönmesinden oluşan, rotasyonel bir harekettir. Bu

tür hareketler zorlanmış vortex olarak isimlendirilmektedir. Serbest vortexte dönme

merkezinde teğet hız sonsuza giderken zorlanmış vortexte sonlu olmaktadır. Her iki

vortex te radyal hızlar sıfır, teğet hızlar yalnız r ye bağlıdır.

Şekil 3.19.a'da bulunan ABCD diferansiyel elemanının merkezindeki hız bileşenleri rv ve

v olarak kabul edilirse çevresindeki sirkülasyon

( )( )2 2

( )2 2

r

ABCD r

r

r

vv d drv dr v r dr d

r

vv d drv dr v r d

r

(3.192)

şeklinde hesaplanabilir. Hızın radyal bileşeninin sıfır olduğu ve v nın yalnız r ye bağlı

olduğu dikkate alınarak eşitlik

Sekil 3.19

(a) (b)

r+dr

r

d

r

V

AB

C

D

V



( ) ( )2 2 2

ABCD

dv dv dvdr dr drv r r v dr dr d v r d

dr dr dr

(3.193)

şeklinde düzenlenir. Gerekli sadeleştirmeler ve götürtmeler yapılırsa

( )ABCD

dv dr v drd rv dr d

dr dr

(3.194)

olur. Akış irrotasyonel olduğundan ABCD hacim elemanının çevresindeki sirkülasyon

sıfır olacaktır. Buna göre son eşitlikten

( ) 0d rv , (3.195)

rv C (3.196)

neticesine gidilir. Vortex merkezinin çevresindeki dairesel akış çizgileri üzerinde

sirkülasyon sıfır olmaz çünkü integral bölgesinin içerisinde bir tekil nokta bulunmaktadır.

Hesap

2C

v ds v r d r v

(3.197)

neticesini verir. Son eşitlikten

2

Cr v

(3.198)

elde edilir. Eşitlik (3.196) ile (3.198) kıyaslanırsa 2

C

nin bir sabit olduğu görülür. Vortex

akışının hız dağılımını vermekte olan son eşitlikte, önceki kısımlarda tanıttığımız

vr

transformasyonu kullanılırsa



2

C

r r

(3.199)

ifadesi elde edilir. Son eşitliğin integralinden streamline dağılımı

ln2

C r C

(3.200)

olarak belirlenir. Bir potansiyel akış bölgesinde belirlenecek olan büyüklük hılar olduğu

için son eşitlikte bulunan C nin sayısal değerinin bir önemi yoktur. Bu sebeple herhangi

bir sınır şartı kullanarak C yi belirleyebiliriz. Mesela 1r de 0 sınır şartı

kullanıldığında son eşitlikte bulunan integral sabiti C sıfır olarak belirlenir. 1r in

ilerisinde nin negatif değerler alması v üzerinde herhangi bir farklılık yaratmaz.

3.11.5 Kaynak ve Batak Noktaların Çevresindeki Radyal Akışlar

Burada kaynak kelimesi akışkanın doğduğu bir yer, batak kelimesi de akışkanın yok

olduğu bir yer anlamında kullanılmıştır. Bu tür akışlarda hızın safi r

v bileşeni mevcuttur.

Doğan veya yok olan akışkanın debisi q ile gösterilirse hız dağılımı,

2r

qv

r (3.201)

olur. Önceki kısımlarda tanıttığımız

1r

vr

transformasyonu kullanılırsa son eşitlik

2

q

(3.202)

olur. Son eşitliğin integrali alınırsa



2

qC

(3.203)

neticesi elde edilir. 0 da 0 sınır şartı kullanılırsa son eşitlikte bulunan C sıfır

olarak belirlenir.

Akış bir kaynak çevresinde değilde bir batak çevresinde oluyorsa hız dağılımı

2r

qv

r (3.204)

olur. Batak akışının streamline fonksiyonunun dağılımı

2

q

(3.205)

şeklinde olur.

3.11.6 Birleşik Kaynak ve Batak Akışı

Bir (x,y) düzleminde bulunan aynı debiye sahip bir kaynak ve bir bataktan oluşan birleşik

sistemin akış çizgileri Şekil 3.20 da gösterilmiştir. Kaynaktan çıkan akış çizgileri batak

noktasında kaybolmaktadır. Şekilde görülen A noktasında streamline fonksiyonunun

değeri

2 1( )

2

q

(3.206)

olarak yazılabilir. A noktasının koordinatları cinsinden 1 ve

2 açıları

1 1

y ytg Arctg

x a x a

(3.207)

2 2

y ytg Arctg

x a x a

(3.208)



olarak belirlenir.

Eşitlik (3.202) de bulunan 2 1

( ) açı farkı

2 1

2 1 2 2 2 2

1 2

2 2

2( )

11

y ytg tg yax a x atg

ytg tg x a y

x a

,

2 1 2 2 2

2( )

yaArctg

x a y

(3.209)

olarak belirlenir. Buna göre eşitlik (3.206)

2 2 2

2

2

q yaArctg

x a y

(3.210)

olarak düzenlenir.

y

x

a a

A

Sekil 3.20



3.11.7 Oval Cisimlerin Çevresindeki Akış

Şekil 3.21 de bir oval cisim ve çevresindeki akış çizgileri görülmektedir. Önceki

kısımlarda işlediğimiz x eksenine paralel düzgün akışla kaynak-batak çiftinin süper

pozisyonu alınırsa

2 2 2

2

2

q yaU y Arctg

x a y

(3.211)

eşitliği elde edilir. Son eşitlik kullanılarak akış çizgileri oluşturulursa, 0 eğrisinin Şekil

3.21 de görülen oval olduğu görülür. 0 eğrisinin oluşturduğu ovalin boyutlarını

istediğimiz gibi düzenleyebilmek için eşitlik (3.210) da ki a ve q sabitlerini kullanmak

gerekir.

3.11.8 Silindirik Cisimlerin Çevresindeki Akış

Silindirik bir cismin çevresindeki potansiyel akışın modellenmesinde bir uniform akış, bir

kaynak ve bir de batak çevresindeki akışların süper pozisyonu kullanılabilir. Ancak bu

kısımda yeni bir yöntem tanıtılacaktır.

Potansiyel akışın matematik modeli olan Laplace denkleminin silindirik şeklinin

Streamline fonksiyonu cinsinden ifadesi eşitlik (3.153) ile tanıtılmıştır. Silindirik bir

y

x

Sekil 3.21



cismin çevresindeki çözüm bölgesi Şekil 3.14 te gösterilmiştir. Eşitlik (3.153) ün sınır

şartları aynı kısımda tanıtılmıştır.

/ oR r r şeklinde bir dönüşüm kullanılırsa söz konusu eşitlik

2 2

2

2 20R R

R R

(3.212)

olur. Burada or ile silindirik cismin yarıçapı gösterilmektedir. Son eşitliğe 2 terimini

ekleyip çıkartarak

2 2

2 2 2

2 2

0 0

0R RR R

(3.213)

şeklinde iki kısma ayrılabilen bir eşitliğe dönüştürülür. İkinci kısım sabit katsayılı bir

denklem olup se şeklinde bir çözümün var olduğu kabul edilirse karakteristiği 2 0s

olur. Çözüm

sin cosU R V R (3.214)

olarak belirlenir. Çözüme 0, 0 sınır şartı eklenirse ( ) 0V R olduğu görülür.

Çözümün kalan kısmına , 0 sınır şartını uygulayarak

sin 0U R (3.215)

elde edilir. Son eşitlikten

1,2,3,4,5,...,n (3.216)

olduğu görülür. Bu durumda nın her değeri için bir çözüm mevcut olup bunların

toplamı da çözümdür.



1 2...

n

(3.217)

1 2sin sin 2 .... sinnU R U R U R n

(3.218)

Son eşitlik

1

sinn

k k

k

U R

(3.219)

şeklinde kısaltılabilir. kU R lerin belirlenmesi için (3.213) eşitliğinin birinci kısmı

2

2 2

20k k

k kR RR R

(3.220)

kullanılır. Bu eşitlik Euler-Cauchi diferansiyel denklemi olup tR e dönüşümü yapılarak

sabit katsayılı denkleme dönüştürülmektedir. Gerekli işlemler yapılarak son eşitlik

2

2

20k

k k

d

dt

(3.221)

şeklinde sabit katsayılı bir denkleme dönüştürülür. Son eşitlikte

sin( ) sin( )k k k k k

o

rU UR

r

kullanılırsa

0 0

k k

k

r rU A B

r r

(3.222)

elde edilir. Silindirin yüzeyinde 0 sınır şartı mevcuttur. Bu şart , 0o kr r U şeklinde

bir şarta dönüşmektedir. Bu şart son eşitliğe uygulandığında B A olduğu görülür. Bu

hal dikkate alınarak son eşitlik yeniden



0 0 0 0

k k k k

k k

r r r rU A A C

r r r r

(3.223)

şeklinde düzenlenir. Bu durumda (3.219) eşitliği ile verilen çözüm

0 01

sin

n k k

k k

k

r rC

r r

(3.224)

şekline gelir. Son eşitlik ile verilen çözüm şekil 3.14 te görülen çözüm bölgesinin o

r r ,

0 ve deki sınırları için verilen 0 şartını sağlamaktadır. Ancak r daki

sınır şartı henüz impoze edilmemiştir. Söz konusu sınırda cosrV U şartının

sağlatılması gerekmektedir. Bu şart, m yeterince büyük olmak kaydı ile

0

0

1, cos

rr mr V U

mr

(3.225)

şeklinde düzenlenebilir. Bu şartın uygulanabilmesi için eşitlik (3.224) ile verilen çözümün

türevini almak gerekmektedir. Türev

0 01

cos

n kk

k k k

k

r rC

r r

(3.226)

olur. Son eşitlikte o

r r m yazılırsa

0

1

cos

n

k k

k k k

mrk

C m m

(3.227)

elde edilir. nm çok küçük olduğundan son eşitlik



01

cos

n

kk k k

mrk

C m

(3.228)

şeklinde kısalır. Eşitlik (3.225) ile tanıtılan sınır şartı yerine yazılarak

0

1

cos cos

n

kk k k

k

mr U C m

(3.229)

elde edilir. Sol taraftaki sabitler sağa atılarak son eşitlik

01

cos cos

nk

kk k

k

mC

mr U

(3.230)

şeklinde düzenlenir. Son eşitlik cos fonksiyonunun Fourier açınımından başka bir şey

değildir. 0

k

kk k

mC a

mr U

kısaltması yapılırsa son eşitlik

1

cos cos

n

k

k

a k

(3.231)

1 2cos cos cos2 ... cosna a a n (3.232)

Şekline dönüşür. Son eşitlik sağlı sollu cos ile çarpılarak sağlı sollu

aralığında integrallenirse

1

1 1 1 1cos cos cos 2

2 2a d d

(3.233)

1

1 1 1 1sin 2 1

2 4 2 2a

(3.234)



elde edilir. Eşitlik (3.232) sağlı sollu cos2 ile çarpılarak aralığında

integrallenirse

2

1cos cos 2a d

(3.235)

elde edilir. İşlemlere devam ederek

20a (3.236)

belirlenir. Genelleştirilmiş olarak k

a ların hesabı için

1 1 1

sin 1 sin( 1)2 1 1

ka k k

k k

(3.237)

formülü elde edilir. Bu eşitlik diğer k

a lerin sfır olduğunu göstermektedir. k

ok k

m r UC a

k m

kullanılarak

1 11 01 1

1.0 o or U r UC r U

m m

(3.238)

belirlenir. Diğer kC lar sıfırdır. Belirlenen kC lar eşitlik (3.224) de kullanılarak

Çözümün nihai şekli olan

2

0

21 sin

rU r

r

(3.239)

Eşitliği elde edilir.



3.12 Potansiyel Akış Alanlarında Basınç Dağılımı için Poison eşitliği

Potansiyel akış alanlarındaki basınç dağılımını yöneten eşitlik momentum

denklemlerinden elde edilebilir. Bir (x,y) düzleminde zuhur eden geçici bir potansiyel

akışın x momentum denkleminin terimleri x ile, y momentum denkleminin terimleri y ile

ve z momentum denkleminin terimleri z ile türetilirse

2

22

2

22

x

p1

y

u

x

v

xy

uv

x

u

x

u

x

uu

xt

u

(3.240)

2

2

2

222

y

p1

y

v

y

v

y

vv

x

v

y

u

yx

vu

yt

v

(3.241)

olur. Son iki denklem taraf tarafa toplanırsa

2

2

2

222

y

p

x

p1

x

v

y

u2

y

v

x

u

y

v

x

u

yv

y

v

x

u

xu

y

v

x

u

t (3.242)

eşitliği elde edilir. Son eşitliğin sol tarafına y

v

x

u2

terimi eklenir çıkartılırsa

2

2

2

22

y

p

x

p1

y

v

x

u

x

v

y

u2

y

v

x

u

y

v

x

u

yv

y

v

x

u

xu

y

v

x

u

t (3.243)

elde edilir. Bu eşitlikte bulunan birinci ikinci ve üçüncü parantezlerin içerisi sıkışmaz

akışkanların süreklilik denkleminin gereği olarak akış alanının her noktasında sıfıra eşittir.

Bu sebeple eşitlik

2

2

2

2

y

p

x

p1

y

v

x

u

x

v

y

u2 (3.244)



şeklinde bir Poison denklemine dönüşür. Aynı işlemler üç boyutlu akışın x, y ve z

momentum denklemine uygulanırsa

2 2 2

2 2 2

2

1

u v u v u w u w w v v w

y x x y z x x z y z y z

p p p

x y z

(3.245)

denklemi elde edilir. Bu analizden gerek sürekli gerek süreksiz bütün sıkışmaz akışların

potansiyel akış alanlarındaki basınç dağılımının Poison denklemi tarafından yönetilmekte

olduğu anlaşılmaktadır. Eğer akış süreksiz ise denklem (3.245) nin vereceği basınç

dağılımı anlık bir basınç dağılımı olacak, zaman ilerledikce basınç dağılımı değişecek

fakat anlık yeni basınç dağılımı aynı denklemin anlık yeni sınır şartları ile çözümünden

tekrar elde edilebilecektir. Bununla birlikte bazı potansiyel akış bölgelerinin sınırlarında

denklem (3.245) in sınır şartları mevcut değildir.


Problem 1

Aşağıdaki şekilde bir potansiyel akış alanı verilmektedir. Verilen akış alanında streamline

fonksiyonunu nin dağılımını belirleyip sonucu grafik olarak verin.



Çözüm

Akış fonksiyonunun dağılımını (3.55.c) denklemi vermektedir. Denklemin çözümü için

AB, BC ve CD sınırında akış fonksiyonunu nin değeri 0 olarak seçilirse şekilde verilen

giriş hızına göre EF sınırında

125.00Uy0 in

olacaktır. AF ve DE sınırlarında Streamline fonksiyonunun x e göre türevi sıfır olur.

Aşağıda verilen PFLOW1 proğramı (3.55.c) denkleminin problemde verilen akış

bölgesindeki çözümüdür. Müteakip şekildeki grafik sonuçları göstermektedir.



Problem 2

Problem 1'de verilen iki boyutlu akış bölgesinde hız potansiyeli fonksiyonu ' nin

dağılımını belirleyip sonucu grafik olarak gösterin.

Çözüm

Hız potansiyeli fonksiyonu nin dağılımını (3.54.c) denklemi vermektedir. AF sınırında

sıfır olarak seçilebilir. FE, AB ve CD sınırlarında 0vy

şartı mevcuttur. DE



sınırında OUx

şartı kullanılabilir. UO süreklilik denklemi OOii UAUA ile

belirlenebilir. DE sınırında OUx

sınır şartına alternatif olarak nin atma bir

değeride kullanılabilir. DE sınırında nin sabit bir değeri vardır. Bu sabit değer peşinen

bilinen bir değer deyildir. Bu sebeple atma değerlerle denklemi çözüp DE sınırında

OUx

şartının sağlanıp sağlanmadığı kontrol edilerek deneme yanılma ile’de neticeye

gidilebilir. Aşağıda verilen PFLOW2 proğramında DE sınırı için OUx

şartı

kullanılmıştır. Sonuçlar müteakip şekilde görülmektedir.



Problem 3

Şekil 3.14’deki akış alanında 10 /U m s , 0.03wr m , 0.13r m alarak streamline

fonksiyonu ile sayısal çözümleme yapınız

Çözüm

Örnek program



Problem 4

Şekil 3.15’deki akış alanında 10 /U m s , 0.05wr m , 0.25r m alarak streamline

fonksiyonu ile çözümleme yapınız

Çözüm

Örnek program



Çalışma Soruları

Problem 1

Yukarıdaki şekilde verilen nozuldan suyun çıkış hızı 50 m/s, arabanın ilerleme hızı 25

m/s, nozulun kesit alanı 25 cm2 olarak veriliyor. Araba içerisindeki akışın skalar hızını

sabit kabul ederek, arabaya etkiyen harici kuvveti ve doğrultusunu belirleyiniz.

Problem 2

Yukarıdaki şekilde verilen nozulun içerisinde bulunan mutlak basınç 4 bar, nozuldan

geçen suyun debisi 50 lit/s ve borunun kesiti nozulun çıkışının 4 katı olarak veriliyor.

Nozula gelen basınç kuvvetini ve harici kuvveti doğrultusu ile birlikte belirleyiniz.



Problem 3

Yukarıdaki şekilde görülen gemi jet kuvveti ile tahrik edilmekte olup, jetin debisi 25 lit/s,

gemiden relatif çıkış hızı 50 m/s ve geminin hızı 30 15/m/s olarak veriliyor. Jetin tepki

kuvvetini ve doğrultusunu belirleyin. Geminin enerji kullanma verimini tespit ediniz.

Problem 4

Yukarıdaki şekilde görülen pitot tüpü ile bir boru içerisindeki hava akışının dinamik

basıncı ile statik basıncın farkı 0.13 bar olarak ölçülmüştür. akışın hızını belirleyiniz.



Problem 5

Aşağıdaki şekilde görülen su tankından suyun çıkış hızını ve tankın boşalma süresini

belirleyiniz.

Problem 6

Aşağıdaki şekilde görülen Ventürimetreye bağlı u borusunun içerisinde çiva

bulunmaktadır. Civa için 6.13 gr/cm3 verildiğine göre u borusunun kollarındaki civa

yüksekliği farkını bulunuz.



Problem 7

Kartezyen geometride üç boyutlu akışın süreklilik denklemini türetiniz.

Problem 8

İki boyutlu viskozitesiz akışın Bernoully denklemini aşağıda verilen eşitlikleri kullanarak

elde ediniz.

u

x

v

y 0 ,



uu

xv

u

y

p

x

1,

uv

xv

v

y

p

y

1

Problem 9

Aşağıdaki şekilde görülen su borusunun çıkış ucunun çapı 30 mm ise suyun viskozitesiz

olduğunu kabul ederek borunun saatte ne kadar su aktaracağını belirleyiniz.

Problem 10

Aşağıdaki dirseğe gelen harici kuvveti, basınç kuvvetini ihmal ederek, doğrultusu ile

birlikte belirleyiniz.



Problem 11

Aşağıdaki şekilde görülen kürenin A noktasındaki efektif basıncı belirleyin. Hava için

125. kg/m2

Problem 12

Üç boyutlu akışın Bernoully denklemini elde ediniz

uu

xv

u

yw

u

z

p

x

1, u

v

xv

v

yw

v

z

p

y

1,

uw

xv

w

yw

w

z

p

z

1.



Problem 13

Aşağıdaki şekilde görülen iki boyutlu potansiyel akış bölgesinde

2

2

2

20

x y

denkleminin sınır şartlarını sayıca belirleyiniz.

Problem 14

Aşağıdaki şekilde görülen iki boyutlu potansiyel akış bölgesinde

0yx 2

2

2

2

denkleminin sınır şartlarını belirleyin ve sayısal yöntemle çözün



BÖLÜM 4: SIKIŞMAZ VİSKOZ AKIŞKANLARIN BİR BOYUTLU

LAMİNER AKIŞI

Viskoz akışkanların akışı esnasında akış çizgileri birbirini kesmiyorsa bu tür akışlara

laminer akış denmektedir. Laminer akış ancak düşük hızlarda görülür. Hız belirli bir

değerin üzerine çıkınca akış laminerle türbülanslı akışın arasında belirsiz bir statü

gösterir. Daha yüksek hızlarda türbülanslı akış oluşur. Akışın laminerden türbilanslıya

geçişi boru pürüzlülüğü, viskozite, boru çapı, boru geometrisi gibi bir çok faktöre

bağlıdır.

Akış çizgileri doğru ise bu tür akışlara tek boyutlu akış denir. Değişmez kesitli düz

kanallardaki akış girişten itibaren belirli bir mesafeden sonra tek boyutlu akışa dönüşür.

Değişmez kesitli kanallarda kanal düz olmasa bile kanalın eğrilik yarıçapı kanalın

kesitinin ölçülerinden yeterince büyükse akış tek boyutlu kabul edilir.

4.1 Paralel Plakalar Arasında Tam Gelişmiş Laminer Akış

Paralel plakalar arasındaki akışı, akış özellikleri açısından iki bölgeye ayırmak gerekir.

Girişten itibaren akış yönünde belirli bir yere kadar enine hız dağılımı değişiklik gösterir.

Kanalın hemen girişindeki parabolik hız dağılımı ile ilerisindeki parabolik hız dağılımı

farklılık arz eder. Bu değişme belirli bir mesafeden sonra kaybolur ve bundan sonra

parabolik dağılımın şekli kanal boyunca sabit kalır. Hız profillerinin değişiklik gösterdiği

bu bölge giriş bölgesi olarak isimlendirilmektedir. Giriş bölgesinin ilerisinde bulunan akış

bölgesi tam gelişmiş akış olarak isimlendirilmektedir. Tam gelişmiş akış bölgesinde akış

çizgileri kanal cidarına paralel kalır. Tam gelişmiş akış bölgesindeki akışın matematiksel

tanımını yapmak için akış bölgesi içerisinde bir kontrol hacmi seçilerek Newton’un

birinci kanunu olarak bilinen hareket kanunu uygulanır. Bölüm 3 ten bilindiği üzere sabit

bir kontrol hacmine Newton’un hareket kanunu uygulanırsa



iiO0 VmVmF

ifadesi elde edilir. Tam gelişmiş akış bölgesinde x yönünde hız değişmediği için kontrol

hacmine giren ve çıkan momentum aynı olacaktır. Buna göre Newton’un hareket kanunu

0F (4.1)

şeklini alacaktır. Şekil 4.1' de gösterildiği üzere kontrol hacmine x doğrultusunda hem

normal hem de teğet kuvvetler etkimektedir. Akış yönündeki kuvvetler pozitif ters

yöndekiler negatif işaretli kabul edilerek x doğrultusundaki kuvvetlerin bileşkesi sıfıra

eşitlenirse işlem



0cosgdxdy

dx)dyy

(dxdy)dxx

pp(dyp

(4.2)

ile neticelenir. Gerekli götürmeler ve kısaltmalar yapıldığında

0cosgyx

p

(4.3)

eşitliği elde edilir. Kayma gerilmesi Newtonun ikinci kanunu ile

dy

du

şeklinde tanımlanmıştır. Bu ifade eşitlik (4.3) yerine yazılırsa

0cosgy

u

x

p2

2

(4.4)

denklemi elde edilir. İki plaka arasındaki akışın hız profili son eşitliğin çözümünden elde

edilir. Tam gelişmiş akış bölgesinde x yönünde hız değişmediği için atalet kuvvetleri sıfır

olup dx

dp safi viskoz sürtünmelerin ve yer çekiminin üstesinden gelecek büyüklüktedir.

Tam gelişmiş akış bölgesinde akışın hız profili x yönünde değişiklik göstermediği için

viskoz sürtünmede değişiklik göstermez. Bu sebeple dx

dp sabit kalır. Buna göre son

eşitliğin genel çözümü

21

2

CyC2

y)cosg

x

p(

1u

(4.5)

olur.



Akış viskoz olduğu için her iki plakada hız sıfırdır. Koordinat eksenlerinin orijini kanalın

ortası seçilir ve iki plaka arasındaki mesafe h ile gösterilirse sınır şartları aşağıdaki gibi

düzenlenir.

0u,2/hy)2

0u,2/hy)1

Neticede integral sabitleri

0C1

8

h)cosg

x

p(C

2

2

olarak belirlenir. Buna göre hız profili

)8

h

2

y)(cosg

x

p(

1u

22

(4.6)

olur. Bu eşitlikte bulunan basınç gradyanı dx

dpin hacimsel debi veya ortalama hız

cinsinden ifade edilmesi mümkündür. Bunun için akışın zuhur ettiği kanalın, Şekil 4.2,

akış kesitinin )1h( m2 lik bir parçasından geçen debi



2/h

2/h

3h)cosgx

p(

12

1dyuQ

olarak hesaplanır. Son eşitlikten basınç gradyanı çekilirse

Qh

12cosg

dx

dp3

(4.7)

elde edilir. Bu sonuç eşitlik 4.6 da yerine yazılırsa

)2

y

8

h(Q

h

12u

22

3 (4.8)

olur. Debi ile ortalama hızın ilişkisi hVQ olduğundan son eşitlik

)h

y41(V

2

3u

2

2

(4.9)

olarak düzenlenebilir. Sınır şartları

0u,hy)2

0u,0y)1

şeklinde düzenlenirse hız profili

u Vy

h

y

h 6

2

2( )

olur. Kanalın ortasından geçen bir eksene göre hız profili simetrik olduğundan kanalın

ortasında du

dy 0 şartı da mevcuttur.



Bu kısımda ele alınan iki plaka arasındaki akış olayı bazı ısı eşanjörlerinde

kullanılmaktadır.

4.2 Silindirik Borularda Tam Gelişmiş Laminer Akış

Silindirik borularda da borunun giriş kısmında iki boyutlu bir giriş bölgesi akışı oluşur.

Borunun girişinden itibaren belirli bir mesafeden sonra tam gelişmiş akış oluşur. Borunun

geri kalan kısmında akışın özellikleri değişmez. Tam gelişmiş akışı analiz etmek için tam

gelişmiş akış bölgesinde bir hacim elemanına Newtonun birinci kanununu

uygulanmaktadır. Seçilen hacim elemanının bir halka gibi olması, Şekil 4.3, analizi

kolaylaştırmaktadır.

Seçilen elemana etkiyen gerilmeler Şekil 4.3' te gösterilmiştir. Elemana etkiyen

kuvvetlerin bileşkesi sıfıra eşitlenirse

0cosgrdxdrr

dxdr)dr)(rr

(dxrdrrdx)x

p(pdrrp



eşitliği elde edilir. Gerekli kısaltma ve götürmeler yapıldığında

0cosgr)r(rx

pr

(4.10)

eşitliği elde edilir. Newton'un ikinci kanunu olan r

u

eşitlik (4.10) yerine yazılırsa

0cosgr)r

ur(

rx

pr

(4.11)

neticesine varılır. Son eşitlikte bulunan basınç gradyanı tamamen sabittir. Son eşitlikte

bulunan Şekil 4.32 te görüldüğü üzere akış yönü ile yer çekimi doğrultusu arasındaki

açıdır. Bu açı x le değişebilir fakat x ile değişmesi eşitliğin terim terim integrallenerek

çözümünü engellemez. Buna göre genel çözüm

21

2

CrlnC4

r)cosg

x

p(u

(4.12)

şeklinde olur. İntegral sabitlerinin yok edilmesi için iki tane sınır şartı gerekmektedir.

Akış viskoz olduğu için borunun cidarında hız sıfırdır. Borunun merkezinde hız

maksimum olup hızın r ile değişimi sıfırdır. Bu durumda sınır şartları

0u,rr)2

0r

u,0r)1

w

şeklinde düzenlenebilir. İntegral sabitleri

0C1



4

r)cosg

x

p(C

2

w

2

olarak belirlenir. İntegral sabitleri yerine yazıldığında hız profili

)rr(4

1)cosg

x

p(u 2

w

2

(4.13)

olarak belirlenir. Bu eşitlikte bulunan basınç gradyanını hacimsel debi veya ortalama hız

cinsinden ifade etmek mümkündür. Borudan geçen hacimsel debi

wr

0drr2uQ (4.14)

ile hesaplanabilir. Eşitlik (4.13) ten u yerine yazılırsa

drr)rr(2

)cosgx

p(Q

wr

0

2

w

2

(4.15)

olur. İntegral işlemi yapılır ve çıkan eşitlikten basınç gradyanı çekilirse

4

wr

8Qcosg

x

p

(4.16)

olur. Basınç gradyanı eşitlik (4.13) ile verilen hız profili eşitliğine yazılırsa

)rr(r

Q2u 22

w4

w

(4.17)

neticesi elde edilir. Son eşitlikte bulunan hacimsel debi VrQ 2 şeklinde ifade edilirse

hız profili

)r

r1(V2u

2

w

2

(4.18)



olur. Borularda laminer akış Reynold sayısı olarak adlandırılan

Vd

R ed şeklindeki

boyutsuz sayının 2300 den küçük olduğu hallerde gerçekleşir. Reynolds sayısı 2300 ile

4000 arasında ise akış laminer ile türbülanslı arasında olup kararlılık göstermez.

4.3 İki Silindirik Yüzey Arasında Tam Gelişmiş Laminer Akış

İki silindirik boru arasındaki akışta giriş bölgesi ve tam gelişmiş akış bölgesi olmak üzere

iki kısımda incelenir. Tam gelişmiş akışı (4.11) denklemi yönetmektedir. Bu denklemin

genel çözümü olan (4.12) eşitliğinde uygun sınır şartları kullanıldığında akışın hız profili

elde edilir. Sınır şartları

0urr)2

0u,rr)1

2

1

şeklinde verilebilir. Bu sınır şartları ile integral sabitleri belirlenirse

)r/rln(4

rr)cosg

x

p(C

21

2

1

2

21

1

21

2

1

2

2

2

12 rln

)r/rln(4

rr

4

r)cosg

x

p(C

olur. Bu sabitler hız profili eşitliğine yazılırsa işlem

112

2

1

2

2

2

1

2

r

rln

)r/rln(4

rr

4

rr)cosg

x

p(u

ile neticelenir. Basınç gradyanı hacimsel debi cinsinden ifade edilirse son eşitlik



112

2

1

2

22

1

2

12

22

1

2

2

4

2

4

1 r

rln

)r/rln(

rrrr

)r/rln(4

)rr(

4

rr

Q

2

1u

olur.

Bilindiği üzere ısı eşanjörlerinde iç-içe geçmiş silindirik borular arasından akış sık

kullanılan bir tasarım seçeneğidir. Akışın türünü belirlemek için verilmiş bir kriter

mevcut değildir. İç borunun çapı iki boru arasındaki boşluktan yeterince büyükse akış iki

plaka arasındaki akışın özelliklerini gösterir.

4.4 Kesiti Tek Düze Olan Kanallarda Tam Gelişmiş Laminer Akış

Bu kanallar dikdörtgen, kare, üçgen veya herhangi bir şekilde olabilir. Bü tür kanallara

özellikle ısı cihazlarında çok rastlanmaktadır. Aşağıda bunların hepsi için geçerli olan bir

momentum denklemi türetilmiştir. Türetilen denklem silindirik borular içinde geçerlidir

ancak, silindirik borudaki akışı yukarıda en kolay yöntemi kullanarak modellemiş

bulunuyoruz.

Tek düze kanallarda hız akış doğrultusunda değişmezken akışa dik olan diğer iki

doğrultuda değişir. Bu akışı yöneten momentum denklemi akışa paralel konumlu

prizmatik bir hacim elemanı üzerinde kuvvet balansı yaparak elde edilebilir. İncelemekte

olduğumuz akış içerisinde bulunan bir hacim elemanına etkiyen yüzey gerilmeleri Şekil

4.4' te gösterilmiştir. Yer çekimini hesap dışı bırakmak için analizler yatay bir kanal için

yapılabilir. Basınç yalnız akış doğrultusunda bir değişim göstermektedir. Basıncın akış

doğrultusundaki gradyanı dp

dx

bir sabittir. Yukarıda incelediğimiz tam gelişmiş

akışlarda olduğu gibi incelemekte olduğumuz tam gelişmiş akışta da ivme sıfır olup

hacim elemanına etkiyen kuvvetlerin bileşkesi sıfır olacaktır. Şekil 4.4' de gösterilen

gerilmelere göre yatay bir kanal içerisindeki akışta hacim elemanına etkiyen kuvvetlerin

balansı



0

zxzx zx

yx

yx yx

dpp dz dy p dx dz dy dx dy dz dx dy

dx z

dz dx dy dz dxy

(4.19)

olur. Bu eşitliklerde kullanılan alt indislerden birincisi gerilmenin etkidiği yüzeyin

normalini, ikincisi gerilmenin doğrultusunu göstermektedir. Gerekli götürtmeler

yapıldığında eşitlik

0yxzxdp

dx z y

(4.20)

şeklinde kısalır. Bu eşitlikte bulunan sürtünme gerilmeleri Nevton'un ikinci kanununa

göre



zx

u

z (4.21)

yx

u

y (4.22)

şeklinde ifade edilir. Gerilmeler eşitlik (4.20) de yerine yazıldığında

2 2

2 20

dp u u

dx z y

(4.23)

2 2

2 2

10

u u dp

z y dx

(4.24)

neticesi elde edilir. Son eşitlik Poison denklemi olarak isimlendirilen türden bir

diferansiyel denklemdir. Analitik veya sayısal yöntemlerle çözümü yapılabilir.

4.4.1 Dikdörtgen kesitli kanal için çözüm

Eşitlik (4.24) ün çözümden önce boyutsuzlaştırılması faydalı görülmektedir. Akışın zuhur

ettiği kanalın y ve z doğrultusundaki boyutları H ve L olsun. Bu durumda

u

ULH dp

dx

(4.25)

şeklinde bir birimsiz hız tanımlanabilir. Son eşitlikte bulunan kesrin paydasındaki

büyüklüklerin hepsi sabit değerlerdir. Eşitlik (4.24) ün ihtiva ettiği türevler

2 2

2 2

u LH dp U

y dx y

(4.26)

2 2

2 2

u LH dp U

z dx z

(4.27)



şeklinde düzenlenebilirler. Akışa dik koordinatlar z

ZL

ve y

YH

şeklinde

boyutsuzlaştırılırsa son iki eşitlik

2 2 2

2 2 2 2

1u LH dp U L dp U

y dx H Y H dx Y

(4.28)

2 2 2

2 2 2 2

1u LH dp U H dp U

z dx L Z L dx Z

(4.29)

şeklinde düzenlenir. Bu türevler eşitlik (4.24) e yazılırsa

2 2

2 2

10

H dp U L dp U dp

L dx Z H dx Y dx

(4.30)

2 2

2 21 0

H U L U

L Z H Y

(4.31)

eşitliği elde edilir. Eğer borunun akış kesiti kare şeklinde ise 1L

H olacaktır.

Boyutsuzlaştırılmış denklemin çözümü kanalın ölçülerini kullanmayı gerektirmemektedir.

Elde edilen bir çözüm /L H oranı aynı olan bütün kanallar için geçerlidir.

Analitik çözüm

Eşitlik (4.31) in analitik çözümü bölüm 3 te tanıtılan değişkenlere ayrıştırma yöntemi ile

yapılmaktadır. Ancak, eşitlik (4.31) sağ taraflı bir denklem olduğu için elde edilen çözüm

minimal düzeyde bir hata ihtiva edecektir.

Eşitlik (4.31) e 2U terimi eklenir çıkarılırsa

2 2

2 2

2 21 0

H U L UU U

L Z H Y

(4.32)



olur. Denklemin terimleri

2 2

2 2

2 21 0

H U L UU U

L Z H Y

(4.33)

şeklinde gruplanarak

2

2

20

U LU

Z H

(4.34)

2

2

2

U H HU

Y L L

(4.35)

denklemleri elde edilir. Denklem (4.34) ün karakteristiği 2 2 0L

sH olup kökler

1,2

Ls i

H şeklinde belirlenir. Çözüm

sin cosL L

U f Y Z g Y ZH H

(4.36)

olur. Koordinat düzenlemesi Şekil (4.5) de görüldüğü gibi yapılabilir. Bu durumda sınır

şartları



0, 0Z U (4.37)

1, 0Z U (4.38)

0, 0Y U (4.39)

1, 0Y U (4.40)

şeklinde verilebilir. Eşitlik (4.37) ile verilen sınır şartı eşitlik (4.36) ya uygulanırsa

( ) 0g y olduğu görülür. Bu durumda eşitlik (4.36) ile verilen çözüm

sinL

U f Y ZH

(4.41)

e dönüşür. 0f y kaydı ile son eşitliğe, eşitlik (4.38) ile verilen sınır şartı uygulanırsa

sin 0, 0, , 2 ,...L L

H H

(4.42)

olduğu görülür. Buradan

y

z

L

Sekil 4.5

H



, 2 ,3 ,....H H H

L L L (4.43)

değerleri belirlenir. Eşitlik (4.41) ile verilen çözüm

1 2sin sin 2 ....L H L H

U f Y Z f Y ZH L H L

(4.44)

1 2sin sin 2 .... sinnU f Y Z f Y Z f Y n Z (4.45)

şeklinde bir Fourier serisine dönüşür. Serinin herhangi bir terimi

sin sink k k k

LU f Y k Z f Y Z

H

(4.46)

şeklinde ifade edilebilir. kf Y leri belirlemek için eşitlik (4.35) kullanılacaktır. Son

eşitlik Y ye göre iki kere türetilerek

2 2

2 2sink kU f

k ZY Y

(4.47)

elde edilir. Son iki eşitlik, eşitlik (4.35) de kullanılarak

2

2

2

sin

kk k

k

f H Hf

Y L LL Z

H

(4.48)

elde edilir. Eşitlik (4.48) sağ taraflı bir denklem olduğu için çözüm, sağ tarafsız

denklemin çözümü ( khf ) ile bir tekil fonksiyon ( kpf ) nin toplamı şeklinde olacaktır. Bu

çözüm

hk k kpf f f (4.49)



şeklinde ifade edilir. Sağ tarafsız denklem

2

2

20kh

k kh

f Hf

Y L

(4.50)

olup, karakteristiği 2 2 0k

Hs

L olur. Kökler 1,2 k

Hs

L olarak belirlenir. Sağ

tarafsız denklemin çözümü

/ /

1 2k kH L Y H L Y

hf C e C e

(4.51)

olur. Eşitlik (4.48) i sağlayacak bir pf nin belirlenmesi oldukça zor görülmektedir. Bu

zorluğu aşmanın yolu eşitlik (4.48) yerine eşitlik (4.35) i sağlayacak bir PU tekil

fonksiyonu belirleyip, belirlenen PU yi pf nin yerine kullanmaktır. Bu durumda

k kh kPf f U (4.52)

olacaktır. Şüphesiz eşitlik (4.48) in sağlanmamış olması çözümün küçük bir hata ihtiva

etmesine sebep olacaktır.

2 ...kPU a bY cY (4.53)

şeklinde bir kabul yapılırsa, 2

1

k

a

, 0b , 0c olduğu görülür. Bu durumda

2

1kP

k

U

(4.53)

/ /

1 2 2

1k kH L Y H L Y

k

k

f C e C e

(4.54)

olur. Son eşitliğin eşitlik (4.39) ve (4.40) ile verilen sınır şartlarını sağlaması

gerekmektedir. Bu şartlar uygulandığında



1 2 2

1

k

C C

(4.55)

/ /

1 2 2

1k kH L H L

k

C e C e

(4.56)

eşitlikleri elde edilir. Bu eşitliklerin ortak çözümünden

/

2/ / 2

1k

k k

H L

H L H L

k

eC

e e

(4.57)

/

1/ / 2

1 k

k k

H L

H L H L

k

eC

e e

(4.58)

belirlenir. Bunlar yerine yazılarak

/ / / /

2/ / / /2 2

1 1 1k k k k

k k k k

H L H L Y H L H L Y

kH L H L H L H L

kk k

e e e ef

e e e e

(4.59)

/ /

/ / 2

/ /

2/ / 2

1

sin1 1

k k

k k

k k

k k

H L H L Y

H L H L

k

k kH L H L Y

H L H Lkk

e e

e eL

U ZHe e

e e

(4.60)

elde edilir. Son eşitlikte k

Hk

L yazılarak



/ /

/ /

2 2/ /

/ /

1

sin1

1

k H L k HY L

k H L k H L

k k H L k HY L

k H L k H L

e e

e e LU k Z

k He e

e e

(4.61)

elde edilir. Çözümün nihai şekli

/ /

/ /

2 2/ /

/ /

1

1

sin1

1

nk H L k HY L

k H L k H L

k H L k HY L

k H L k H L

k

e e

e e LU k Z

k He e

e e

(4.62)

olarak belirlenir. Bu eşitlikten elde edilen boyutsuz hız U eşitlik (4.25) de kullanılarak

gerçek hız u belirlenir.

Sayısal çözüm

Z doğrultusundaki grid sayıcısı i , Y doğrultusundaki grid sayıcısı j olmak üzere eşitlik

(4.31) in sonlu fark şekli

1, , 1, , 1 , , 1

2 2

2 21

i j i j i j i j i j i jU U U U U UH L

L Z H Y

(4.63)

olur. Bu eşitlikten ,i j

U çekilirse

1, 1, , 1 , 1

2 2

,

2 2

1

2 2

i j i j i j i j

i j

U U U UH L

L Z H YU

H L

L Z H Y

(4.64)



olur. Çözüm bölgesinin sınırlarında ,i j

U belirli olup son eşitlik sınırların içerisinde kalan

gridlere iteratif olarak uygulandığında çözüm elde edilir. Aşağıda görülen KARE isimli

program kare şeklindeki bir kanal için yapılmış sayısal bir çözüm örneğidir.



4.4.2 Kesiti ikizkenar dik üçgen olan kanal için çözüm

İkizkenar dik üçgen şeklindeki bir kanalda oluşan tam gelişmiş akışın hız dağılımını

belirlemek için Eşitlik (4.24) ün mevcut hali kullanılabilir. Çözüm işleminin sayısal

olarak yapılması gerekmektedir. Söz konusu denklemi ikizkenar dik üçgen şeklinde bir

kanal içerisinde çözmek için geliştirilecek olan FORTRAN programı düzensiz gridler

sebebi ile biraz uzunca olmaktadır. Programın kısa olması için verilen çözüm bölgesini

normalize etmek gerekmektedir. Yani üçgen şeklindeki çözüm bölgesini dikdörtgen yada

kare şekline dönüştüren bir koordinat transformasyonu kullanmak gerekmektedir.

Şekil 4.7 de görüldüğü üzere çözüm bölgesinde z eksenine paralel herhangi bir çizgi

üzerinde z nin değişme aralığı 0m

z z şeklinde ifade edilebilir. Söz konusu çizgi

üzerinde

m

z

z y (4.65)



şeklinde bir değişken tanımlanırsa nın değişme aralığı 0 1 olacaktır. Şekil 4.8 de

nın sabit kaldığı çizgiler görülmektedir. Bu çizgiler , y koordinat düzleminde şekil 4.9

daki gibi olacaktır. Verilen üçgen ikizkenar dik üçgen olduğu için

mz y y

şeklinde ifade edilebilir. Bu durunda son eşitlik

z

y (4.66)

olur. Verilen üçgenin y doğrultusundaki dik kenarının uzunluğu L olmak üzere

y

L (4.67)

şeklinde bir koordinat dönüşümü daha yapılırsa çözüm bölgesi şekil 4.10 da görüldüğü

üzere bir kareye dönüşmektedir.

Dönüştürme işlemi bölüm 3 de yapıldığı gibi yapılabilir. Son iki eşitlikten eski

koordinatlar

z y L (4.68)

z

y

zm

Sekil 4.7



y L (4.69)

şeklinde ifade edildikten sonra her iki eşitlik z ye göre kısmi türev işlemine tabi tutulursa

1L Lz Z

(4.70)

0Lz

(4.71)

elde edilir. Son iki eşitlikten

0z

1

z L

olduğu görülür. Hızın z ye göre kısmi türevi

1u u u u

z z z L

(4.72)

olarak belirlenir. Hızın z e göre ikinci kısmi türevi

2 2

22 2

1 1 1 1u u u u

z z L L L L

(4.73)

olur. Eşitlik (4.68) ve (4.69) y ye göre kısmi türev işlemine tabi tutulursa

y L

(4.74)

1

y L

(4.75)

elde edilir. Hızın y ye göre kısmi türevi

1u u u u u

y y y L L

(4.76)



olarak belirlenir. Hızın y ye göre ikinci kısmi türevi

2

2

1 1

1 1

u u u u u

y y L L L L L

u u

L L L

(4.77)

2

2

1 1 1u u u u u

y L L L L L L

(4.78)

2 2 2

2 2

2 2

2 2

1 1

1 1

u u u u

y L L L L

u u u

L L L L

(4.79)

22 2 2 2

22 2 2 2 2

12 2

u u u u u

y L L LL

(4.80)

olur. Eşitlik (4.24)

2 2 2 2

2 22 2 2 2

1 1 12 2 0

u u u u dp

L L dxL L

(4.81)

şeklinde düzenlenir. U boyutsuz hız olmak üzere son eşitlikte

2L dp

u Udx

(4.82)

dönüşümü yapılırsa

2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

2 2

1 1 1 1

U U U U

(4.83)




Son eşitliğin sınır şartları

0, 0U

1, 0U

0, 0U

1, 0U

şeklinde belirmektedir.

Sekil 4.8

z

y



Sekil 4.9

y

Sekil 4.10



Eşitlik (4.83) in sonlu fark şekli

1,

1, 1,2 2 2 2

, 1, , 1 1, 12 2

2 22

, 1 , 12 2 2 2 2

2 2 1 1 2

1 1

2 1 2 1

1 1

2 1

1 1 1

i j

i j i j

i j i j i j i j

i j i j

UU U

U U U U

U U

(4.83)

olur. Bu eşitlikte yönünde i sayıcısı, yönünde j sayıcısı kullanılmıştır. Görüldüğü

üzere son eşitlikte kanalın gerçek ölçülerini gösteren hiçbir değer yoktur. Bu sebeple elde

edilen çözüm aynı geometriyi taşıyan farklı büyüklüklerdeki bütün kanallar için geçerli

olmaktadır.




Soru 1

Yatay konumlu iki paralel plaka arasındaki tam gelişmiş laminer akışı

p

x

u

x

2

20

denklemi yönetmektedir. Hız profilini belirleyin.

Soru 2

Yatay konumlu silindirik bir boru içerisindeki tam gelişmiş laminer akışı



0)r

ur(

rx

pr

denklemi yönetmektedir. Hız profilini belirleyin.

Soru 3

Dikdörtgen kesitli eğik konumlu düz kanallardaki akışı yöneten momentum denklemini

yer çekimini hesaba katarak türetiniz.

Soru 4

Boyutları 20x20 mm olan bir kanaldan 2 m/s ortalama hızla su geçmektedir. Kanalın dik

kesitindeki hız dağılımını belirleyiniz.

Soru 5

Çapı 50 mm olan yarım daire kesitli bir kanaldan 1 m/s ortalama hızla su geçmektedir.

Akış yönündeki basınç gradyanını belirleyin.

Soru 6

Kenarlarının uzunluğu 50 mm olan, eşkenar üçgen şeklindeki bir borunun içerisinden 1

m/s ortalama hızla su geçmektedir. Akış yönündeki basınç gradyanını belirleyin.

BÖLÜM 5:

BOYUT ANALİZİ VE HİDRODİNAMİK BENZEŞİM

Makinelerin ve yapıların mühendislik hesapları yapılırken lüzumlu olan teknik verilerin

bir kısmı literatürden alınabilir. Bazıları da analize dayanan yöntemlerle elde edilebilir.

Mesela bir otomobilin ihtiyaç duyduğu motor gücü hesaplanırken taşıtın karşılaşacağı

rüzgar direnci gerekli olur. Bunu belirlemek için daha önceden gördüğümüz potansiyel

akış yaklaşımı bir araç olarak kullanılabilir. Hakikatte bir taşıtın çevresindeki akış

türbülanslı viskoz akıştır. Teorik yaklaşımlarla elde edilen rüzgar direnci çok güvenilir

olmadığı için daha çok deneysel veriler kullanılmaktadır. Deneysel veriler bir model

üzerinde ölçme yapmak suretiyle elde edilmektedir. Modelden alınan veriler doğrudan



tasarımda ihtiyaç duyulan veriler olmayıp ihtiyaç duyulan verilerin deneysel ham

verilerden çıkarılması boyut analizi sayesinde mümkün olmaktadır. Modelin

hazırlanmasında ve model üzerinde yapılacak deneylerde kullanılacak parametrelerin

belirlenmesinde boyut analizinin önemi büyüktür.

5.1 Boyut Analizi ile Deney Sonuçlarının Korelasyonu

Bilumum fiziki süreçler bir takım bağımsız dış etkenlere tabidir. Bunlara kısaca girdi

denmektedir. Fiziki sürecin neticeleri veya süreç esnasında görülen bir takım fiziki

değerlerde çıktılar olarak tabir edilmektedir. Mesela bir cismin hava içerisinde serbest

düşmesini ele alırsak, yer çekimi ivmesi, havanın yoğunluğu, havanın viskozitesi, düşme

yüksekliği ve düşen cismin geometrisi gibi faktörler girdilerdir. Düşme olayının süresi,

yere çarpma hızı ve çarpma anındaki kinetik enerji gibi büyüklüklerde sürecin çıktılarıdır.

Halihazırda kullanmakta olduğumuz SI birim sisteminde uzunluk (L), kütle (M), zaman

(T) ve sıcaklık )( temel boyutlar olup bunların haricinde kalan fiziki büyüklükler buların

muhtelif kombinasyonlarıdır. Bir akış sürecinin girdileri ile çıktılarının ilişkisini kurmak

için Buckingham ın Teoremi olarak bilinen bir metot geliştirilmiştir. Bu maksatla girdi

ve çıktıların üsleri belirlenir ve sonra üssü aynı olan büyüklükleri sınıflayarak boyutsuz

sayılardan oluşan bir eşitlik elde edilir. Elde edilen eşitlikte değeri belirsiz sabitler

bulunmaktadır. Bunların değeri deneysel çalışma ile tayin edilir.

Bir örnek olarak şekil 5.1 deki sabit kesitli borudan geçen suyun ortalama hızını ele

alalım. Hız suyun viskozitesine, yoğunluğuna, boru çapına, boru boyuna, yükseklik

farkına, suyun yoğunluğuna ve yer çekimi ivmesine bağlıdır.

V f D h g ( , , , , , ) (5.1)

Bu eşitlikte bulunan büyüklüklerin LMT boyutları



u L T 1 (5.2)

L (5.3)

D L (5.4)

h L (5.5)

M L T1 1 (5.6)

M L 3 (5.7)

g L T 2 (5.8)

şeklinde olacaktır. Boru içindeki ortalama hızı , , , ,d h ve g nin

V K D h ga b c d e f (5.9)

şeklinde bir fonksiyonu olarak düşünebiliriz. Son eşitlikte bulunan K boyutsuz bir sabittir.

Bu eşitlikte büyüklüklerin yerine boyutları yazılırsa işlem



L T L L L M L T M L L Ta b c d e f 1 1 1 3 2( ) ( ) ( ) (5.10)

şeklinde bir boyut denklemi ile neticelenir. Son denklemin iki tarafının boyutça denk

olması için iki taraftaki L, M ve T nin üslerinin kıyaslamasından sırası ile,

a b c d e f 3 1 (5.11)

d e 0 (5.12)

d f 2 1 (5.13)

denklemleri elde edilir. Bu eşitliklerde bulunan a, b ve c yi bilinen kabul edip d, e ve f yi

çözelim.

e a b c 2

3

1

3( ) ,

d a b c 1

3

2

3( ) ,

f a b c 1

3

1

3( )

olarak belirlenir. Bunlar eşitlik (5.9) da yerine yazılır ve üssü bilinen büyüklükler eşitliğin

solunda üssü bilinmeyenler sağında toplanırsa

)cba(

3

13

2

cba

3

1

ghDKg

V

(5.14)



eşitliğine varılır. Son eşitliğin sağ tarafı cbaD çarpılır ve bölünürse

cba

3

13

2ca

3

1

gDD

h

DK

gV

(5.15)

elde edilir. Eşitlik (5.15) de bulunan (a+b+c) yerine yeni bir sembol koymak faydalı

olacaktır, (a+b+c)=s denilirse eşitlik

s

3

13

2ca

3

1

gDD

h

DK

gV

(5.16)

olur. Eşitliğin sağında bulunan her boyutsuz gurup bir bağımsız değişken olarak

görülebilir. Bu eşitlikte bulunan K, a, c, ve s sabitleri deneyle belirlendiğinde ortalama

hızın bir ampirik formülü elde edilir. Ancak bu tür formüller deneylerde kullanılan

değerlerden uzaklaştıkça doğruluğunu kaybeder.

Eşitliğin sağında 4 tane sabit bulunduğu için farklı girdilerle en az 4 tane deney yapmak

gerekir. Eşitliğin sağında bulunan boyutsuz gurupların değişik değerlerinde çok sayıda

deney yapılabiliyorsa sabitleri Least-Square metodu ile belirleyerek boyutsuz sayıların

geniş aralığında kullanılabilen ampirik eşitlikler elde edilebilir. Eşitlikte bulunan boyutsuz

sayı adedi arttıkça eşitliğin elde edilmesi zorlaşır. Böyle hallerde sadece grafik

verilmektedir.

Bu yolla elde edilen ampirik bağıntılar boyutsuz sayılardan oluştuğu için herhangi bir

akışkanı kullanarak oluşturulan ampirik bağıntı her akışkan için geçerlidir.



5.1.a Korelasyonun Sabitlerinin Belirlenmesi

Örnek olarak eşitlik (5.16) da bulunan K, a, c ve s sabitlerini ele alalım. Eşitlik (5.16) yi

3

1

gVI

, (5.17)

JD

, (5.18)

Mh

D , (5.19)

2

13

3D gN

(5.20)

kısaltmalarını kullanarak

I K J a c s M N (5.21)

şeklinde yazalım. Her iki tarafın logaritması alındığında

ln I ln K a ln J c ln M s ln N

olur. Son eşitlikteki lnK yı ile değiştirip, eşitliği yeniden düzenleyerek cebirsel

denklemlerin standart şekline getirelim,

a ln J c ln M s ln N ln I . (5.22)



Şimdi sırası ile 1, 2, 3 ve 4 numaralı deneylerin girdi ve sonuçlarını son eşitliğe yazarsak

a ln J c ln M s ln N ln I1 1 1 1 (5.23)




şeklinde bir denklem takımı elde edilir. Denklem takımı matris formunda yazılırsa

1

1

1

1

1 1 1

2 2 2

3 3 3

4 4 4

1

2

3

4

ln ln ln

ln ln ln

ln ln ln

ln ln ln

ln

ln

ln

ln

J M N

J M N

J M N

J M N

a

c

s

I

I

I

I

(5.27)

olur. Son eşitlikten , a, c, ve s sabitleri belirlenir. Bunlar eşitlik (5.16) da yerine

yazıldığında istenilen korelasyon belirlenmiş olur. Bu korelasyon deneylerde kullanılan J,

M ve N değerlerinden uzaklaştıkça doğruluğunu yitirir.

Boyutsuz sayılar J, M ve N nin geniş aralığında yapılmış çok sayıda deneysel data var ise

bu datalar’ın tamamını kapsayan bir korelasyon oluşturmak mümkündür. Bu durumda ,

a, c, ve s sabitlerinin belirlenmesinde Least-Square yöntemini kullanmak gerekir. Bu

yöntemin uygulanışı burada açıklanmayacaktır. Bunun için okuyucular bir sayısal analiz

kitabına başvurması gerekir.



5.2 Sık Görülen Boyutsuz Sayıların Tanıtımı

Yukarda olduğu gibi korelasyon amacı ile bir boyut analizi yapıldığında boyutsuz

sayılardan oluşan bir eşitlik ortaya çıkar. Ayrıca akışkan hareketini yöneten eşitlikler

boyutsuzlaştırıldığında yine boyutsuz sayılar görülür. Bu sayılar deneysel akışkanlar

mekaniğinde büyük öneme haizdir.

Reynold Sayısı

Atalet kuvvetleri viskoz kuvvetlere oranlandığında Reynold sayısı bir parametre olarak

ortaya çıkar. Kesiti değişen bir boru içerisindeki akışın ivmesinden doğan kuvvetin cidar

sürtünmesine oranı alınarak Reynold

sayısının genel şekli belirlenebilir. Uzunluğu olan şekil 5.2 deki gibi sabit bir elemana

etkiyen atalet kuvveti elemanın içerisindeki ivme ile elemanın içerisindeki kütlenin

çarpımına eşittir.

Vdx

dV

4

dF

2

a

(5.28)

Elemana etkiyen viskoz kuvvet elemanın boru cidarına temas eden yan yüzeyindeki

sürtünme olup Newton’un ikinci kanunu ile hesaplanır.

l

Sekil 5.2



dr

dVdFvis (5.29)

Bu kuvvetlerin oranı alınırsa

Vd

dr

dVdx

dV

F

F

vis

a (5.30)

olur. Akışın zuhur ettiği değişken kesitli borunun belirli bir yerindeki çapı karakteristik

uzunluk Dc, yine belirli bir yerindeki hızı karakteristik hız Vc kabul etmek sureti ile son

eşitlik boyutsuz formda

cc

vis

a VDVd

dr

dV

dx

dV

F

F (5.31)

şeklinde yazılabilir. Bu eşitlikte bulunan D Vc c

boyutsuz gurubu Reynold sayısı olarak

isimlendirilir. Reynold sayısını göstermede R e sembolü kullanılmaktadır.

Gaz akışlarının hızını ölçmede kullanılan ventürimetreler Reynold sayısının kullanıldığı

yerlere bir örnek olarak verilebilir. Bilindiği üzere Ventürimetrelerde Ventüri boğazı

olarak isimlendirilen bir kısım mevcuttur. Bu boğazdan gecen akışkan hızı /PCV

ile hesaplanmaktadır. Bu eşitlikte bulunan C deneysel belirlenen bir sabittir. Boğazdaki

akış Reynold sayısı ile değişim gösterir. Bununla birlikte C nin belirlenen bir değeri

Reynold sayısının belirli bir aralığında kullanılabilmektedir. Aynı Ventürimetre ile çok

farklı debilerde hız ölçümü yapabilmek için geometrik olarak tam benzer farklı çapta



boğazlar kullanılmaktadır. Boğazlardan birisi için belirlenen C sabiti diğerleri içinde

doğrudur. Farklı çaplarda boğazlar kullanmanın gayesi Reynold sayısını belirli bir aralıkta

sınırlı tutmaktır.

Froude Sayısı

Atalet kuvvetinin yerçekimi kuvvetine oranı alındığında beliren bir boyutsuz

parametredir. Bir akışkan elemanına etkiyen atalet kuvveti yerçekimi ile bölünürse

F F a ga G/ / (5.32)

olur. Eşitlik

F FdV

ds

V

ga G/ (5.33)

şeklinde düzenlenebilir. Hız V V Vc , yol s s olmak üzere son eşitlik yeniden

düzenlenirse

ds

dVV

g

VF/F

2

c

Ga

(5.34)

yazılabilir. Son ilişkinin sağ tarafında bulunan g

V 2

c

Froude sayısı olup Fr sembolü ile

gösterilir.

Mach Sayısı



Akışkan hızının aynı akışkanın içerisinde sesin yayılma hızına oranı V C/ mach sayısı

olarak isimlendirilmektedir. Mach sayısını göstermede M kullanılmaktadır. Sıkıştırılabilir

akışkanların hareketinin incelenmesinde mach sayısı önem arz etmektedir.

Euler Sayısı

Basınç kuvvetinin atalet kuvvetine oranı Euler sayısı olarak isimlendirilmektedir. Bir akış

çizgisi üzerinde akışa dik kesit alanı dA uzunluğu ds olan prizmatik bir hacim elemanına

etkiyen anlık basınç kuvvetinin atalet kuvvetine oranını

ds

dVV

ds

dp

ds

dVVsA

Asds

dp

F/F aP

(5.35)

şeklinde hesaplanabilir. Basınç P P Pc , hız V V Vc , yol s s olmak üzere son

eşitlik düzenlenirse

2

c

c

aPV

p

ds

dVV

ds

dp

F/F

(5.36)

elde edilir. Son eşitlikte bulunan 2

c

c

V

p

Euler sayısı olup E u sembolü ile gösterilmektedir.

Akışkanlar mekaniğinde çok miktarda boyutsuz sayı olup burada değinilenler safi

birkaçıdır.



Boru içi viskoz akışlarda basınç kaybının hesabında boyutsuz sayılar cinsinden verilmiş

deneysel bilgiler kullanılmaktadır. Bundan sonraki bölümde boru içi viskoz akışa ait

deneysel bilgilerin boyutsuz sayılar cinsinden taktim edilmesi ve kullanılması

açıklanacaktır.

5.3 Model Teorisi

Bir fiziki sistemin modeli söz konusu fiziki sistemin belirli şartlar altındaki davranışlarını

belirlemek üzere yapılmış bir örneğidir. Modeller fiziki sistemin tam benzeri olması

gerekir ancak bazı hallerde tam benzerini yapmak mümkün olmaz ve farklılık kabul edilir.

Gerçek sistemin hangi özelliği tahmin edilmek isteniyorsa ona etki eden parametreler

arasında bir boyut analizi yapılır. Boyut analizi aranan özelliği boyutsuz sayılar cinsinden

ifade eder. Boyut analizinde beliren boyutsuz sayıların sayısal değeri hem model hem de

prototipte aynı olmak zorundadır. Bu sayıların denk olması modeldeki akışın gerçek

sistemdeki akışa benzerliğini garanti edecektir.

Şekil 5.3 de bulunan A noktasının büyük küreye göre pozisyonu ile B noktasının küçük

küreye göre pozisyonu aynıdır. A noktasındaki akışkan taneciğinin yörüngesi ile B

noktasındaki akışkan taneciğinin yörüngesinin benzer olması için her iki noktadaki

akışkan taneciklerinin ivme vektörü benzer olmalıdır. İvme vektörünü tayin eden

kuvvetlerden birisi viskoz kuvvet olup Reynold sayısı ivme ile viskoz kuvvet arasında bir

ilişkidir. Bu sebeple yörüngelerin yada akış çizgilerinin benzer olması için her iki küre

çevresindeki akışın Reynold sayısı eşit olmak zorundadır.

Deneyde kullanılması gereken akışkanın hız, yoğunluk, basınç, viskozite gibi değerleri

boyutsuz sayıların denkliğinden faydalanarak belirlenir ve deneyler yapılır. Sonra deney

sonuçları değerlendirilerek tasarlanacak sistemin verileri elde edilir.



Bir örnek olarak hava akımına karşı duran büyük bir kürenin önceden bilinen bir akış

hızında göreceği rüzgar kuvvetini ele alalım. Rüzgar kuvveti; rüzgar hızının, havanın

yoğunluğunun, havanın viskozitesinin ve küre çapının bir fonksiyonudur.

F f V dD ( , , , ) (5.37)

Bu eşitlikten boyut analizi ile

d VKF

2D (5.38)

ifadesi elde edilir. Son eşitlikte boyutsuz sayı olarak sadece Reynold sayısı

bulunmaktadır. Bu sebeple gerçek küredeki Reynold sayısının modeldekine eşit olması

kinematik ve dinamik benzerlik için yeterli olacaktır. Hava akımına karşı duran kürenin

maruz olduğu akış hızından Reynold sayısı belirlidir. Aynı Reynold sayısı ile modelin

teste tabi tutulması gerekir.

Bu şarttan faydalanarak deneyde kullanılacak akışkanın özellikleri ve hızı belirlenir. Alt

indis m, modele ait değerleri göstermek üzere Reynold sayılarının denkliğinden hız;

A

B

Sekil 5.3



Vd

dVm

m

m m

(5.39)

olarak çekilir. Burada gaye bir korelasyon elde etmek olmadığına göre K ve sabitlerini

belirlemek üzere çok sayıda deney yapmaya gerek yoktur. Yukarda belirlenen hızda

yapılan bir deneyle modele gelen kuvvet ölçülür. Sonra,

F FD D m

m

m

2 2 (5.40)

eşitliğinden gerçek küreye söz konusu akış hızında gelen rüzgar kuvveti FD hesaplanır.

Küre geometrik olarak her bakış açısından simetrik bir cisim olup bir tek boyutu (d)

mevcut olduğu için bu örnekte bir tek boyutsuz sayı R e belirdi. Boyut analizi yapıldığında

diğer cisimlerde geometrik benzerliğin gerektirdiği başka boyutsuz sayılarda ortaya çıkar.

Ölçüleri h ve w olan dikdörtgen biçimindeki bir levhanın akış doğrultusuna dik olacak

şekilde durması halinde levhaya gelecek rüzgar kuvvetini bir model çalışması ile

belirlemeye çalışalım. Levhaya gelecek olan kuvvet;

F f h w UD ( , , , , ) (5.41)

şeklinde düşünülebilir. Boyut analizi yapıldığında işlem

F KU h U w

D

2

(5.42)

ile neticelenir. Eşitlik (5.42) aşağıdaki cebirsel işlemlerle daha kısa bir forma

dönüştürülmektedir.



FU h

KU h U w U h

D

2

,

FU h

KU h w

hD

2

,

F KU h w

hD

2

. (5.43)

Eşitlik (5.43) ün gereği olarak

U h U h

m

(5.44)

w

h

w

hm

(5.45)

neticeleri yazılabilir. Eşitlik (5.44) akışın dinamik yönden benzerliğini garanti ederken

eşitlik (5.45) modelin geometrik yönden benzerliğini gerekli göstermektedir. Gerçek

sistemde Reynold sayısı bilinmektedir. Bu değer eşitlik (5.44) de kullanılarak deneyde

işletilecek U belirlenir.

Sıkıştırılabilir akışkanların ses ve ses üstü hızlardaki akışını model çalışması ile simüle

etmek mümkün değildir. Çünki ses ve ses üstü hızlarda boyutsuz sayılarla dinamik

benzerliği garanti etmek mümkün değildir.


Soru 1

Boyut analizi ile debiyi yoğunluk, basınç ve yarıçapın fonksiyonu Q f p d ( , , ) olarak

ifade edin.



Soru 2

Hava akımına karşı duran dikdörtgen biçimli bir plakaya gelen rüzgar kuvvetini boyut

analizi ile ifade edin. F f h w UD ( , , , , ) , h ve w plakanın boyutlarıdır.

Soru 3

Küre şeklinde bir cisim içerisinden su geçen silindirik bir borunun merkezine

yerleştiriliyor. Küresel cisme gelen sürükleme kuvvetini boyut analizi ile

F f V d DD ( , , , , ) şeklinde ifade edin.

Soru 4

Çapları 50 mm ve 200 mm olan iki küre yapın. Her iki küreyi rüzgar tünelinde 10 m/s

rüzgar hızına karşı test ederek rüzgar kuvvetini belirleyin. Küçük kürenin deneysel

sonuçlarını kullanarak büyük küreye gelen rüzgar kuvvetini hesaplayın ve deneysel

yoldan bulduğunuz kuvvetle kıyaslayın.

Soru 5

Sesin havada yayılma hızını C f R T ( , , , ) kabul ederek boyut analizi ile inceleyin.

Yoğunluğun ve dinamik viskozitenin etkisiz olduğunu gösterin.



BÖLÜM 6: BORU İÇİ AKIŞLARDA BASINÇ KAYBI

Boru içi akışlar mühendisliğin her dalında önem taşıyan bir akışkanlar mekaniği problemidir. Su

şebekeleri, ısıtma ve soğutma sistemleri, petrol ve doğal gaz boru hatları, kanalizasyon sistemleri

boru içi akışın örnekleridir. Boruların akış kesiti geometrisi kullanım alanına göre değişiklik

gösterir. Basınç kaybının az olması isteniyorsa silindirik boru tercih edilir. Boruların pürüzlülük

derecesi, akışın hızı ve akışkanın viskozitesi basınç kaybını tayin eden etkenlerdir. Boru

tasarımında daha çok deneysel bilgi kullanılmaktadır. Mevcut deneysel bilgiler silindirik borular

için verilmekte ancak silindirik olmayan borularda da kullanılabilmektedir.

Boru içi akış problemin de üzerinde durulan husus viskoz sürtünmenin sebep olduğu basınç

değişiminin belirlenmesidir. Borunun giriş ucundan çıkış ucuna doğru azalan bir basınç dağılımı

mevcuttur. Borunun iki ucu arasındaki basınç farkı akışkanlar mekaniğinde yük kaybı veya

basınç kaybı olarak isimlendirilmektedir. Laminer akışta akışkan parçacıkları birbirini kesmeyen

çizgiler üzerinde hareket ederken türbülanslı akışta akışkan parçacığının izlediği yol son derece

karmaşıktır. Türbülanslı akışta basınç farkı daha çok olup akışkanı pompalamak için daha fazla

güç harcamak gerekir.

Bölüm 4 te bir boyutlu laminer akış konusu işlenirken boru içi akış, giriş bölgesi ve tam gelişmiş

akış bölgesi olmak üzere iki kısma ayrılmıştı. Boru içindeki akış ister laminer olsun ister

türbülanslı giriş bölgesi ve tam gelişmiş akış bölgesi mevcuttur. Ancak türbülanslı akışta giriş

bölgesi daha kısa olur. Deneysel çalışmaların sonucu olarak laminer ve türbülanslı akışın giriş

bölgesi uzunluğu e nin boru çapına oranı sırası ile,

0.06eeR

d (6.1)

1/64.4eeR

d (6.2)



şeklinde belirlenmiştir. Borunun giriş ucu geniş bir rezerve açılıyorsa giriş bölgesi akışı laminerle

başlayıp türbülanslı ile devam edebilir. Pratikte özel amaçlarla silindirik olmayan borularda

kullanılmaktadır. Literatürde bunlar için verilmiş giriş uzunluğu kriterlerine rastlanmamaktadır.

Isıtma ve soğutma tekniğinde türbülans lehte çalışan bir özellik olup boru içindeki akışta ısı

iletimini kuvvetlendirmektedir. Isı transferinde boru içi akışın hız profili de önem arz etmektedir.

6.1 Boru İçi Akışın Enerji Denklemi

Şekil 6.1 de görülen boru bölmesine sıkışmaz bir akışkanın sürekli akışı için bir dt zaman dilimi

içerisinde 1 kesitinden giren ve 2 kesitinden çıkan enerjileri balanslayalım.

Borunun 1 kesitinden boru bölmesine dt süresinde giren hacim üzerinde harici kuvvetin (

hacmi göstermek üzere) yaptığı iş,

W p din in 1( ) (6.3)

olup bu iş boru bölmesine giren enerji sınıfına dahildir. Boru bölmesine giren akışkan hızından

dolayı bir kinetik enerjiye, yüksekliğinden dolayı bir potansiyel enerjiye ve sıcaklığına bağlı

olarak muayyen bir iç enerjiye de sahiptir. Bunlar akışkanın akarken beraberinde taşıdığı enerjiler

olup birim kütle başına



uzgV2

1e 2 (6.4)

olur. Boru bölmesine dt süresinde 1 kesitinden giren toplam enerji

in11

2

1in1in )d()uzgV2

1()d(pE (6.5)

olarak belirlenir. Aynı yaklaşımla 2 kesitinden çıkan enerji

O22

2

2O2o )d()uzgV2

1()d(pE (6.6)

olarak yazılır. Boru cidarı ısı geçirmez bir malzeme olarak düşünülürse 1 kesitinden giren toplam

enerji ile 2 kesitinden çıkan toplam enerji birbirine eşit olmak zorundadır. Çünkü 1 ve 2

kesitlerinin arasında herhangi bir enerji kaynağı yoktur. Sonuç,

O22

2

2

O2in11

2

1in1

)d()uzgV2

1(

)d(p)d()uzgV2

1()d(p

(6.7)

olur. Akışın sürekli ve sıkışmaz olması nedeni ile boru bölmesine giren ve çıkan hacimler eşittir.

Buna göre eşitlik,

)uzgV2

1(p)uzgV

2

1(p 22

2

2211

2

11 (6.8)

olarak kısalır. Borunun sabit kesitli olması nedeni ile 1 ve 2 kesitlerindeki hızlar da eşittir. Son

eşitlik bu şart dikkate alınarak düzenlenirse,

)g

uu(z

g

pz

g

p 122

21

1

(6.9)

elde edilir. Son eşitlikte bulunan ( )u u2 1 terimi viskoz sürtünme nedeni ile sıkışmaz akışkanın

iç enerjisindeki artışı göstermektedir. Eşitlik (6.9) un terimleri uzunluk boyutunda olduğu için

( ) /u u g2 1 yerine hf gibi bir yükseklik konulabilir.



f2

21

1 hzg

pz

g

p

(6.10)

Son eşitlikte bulunan h f viskoz sürtünmenin sebep olduğu basınç kaybını sıvı sütununa

dönüştüren yüksekliktir. Aynı yükseklik viskoz sürtünmenin sebep olduğu enerji kaybını

potansiyel enerji cinsinden gösteren bir yükseklik olarak ta düşünülebilir. Akışın türü ister

laminer olsun ister türbülanslı son eşitlik geçerlidir. Eşitlik

f1221 h)zz(

g

pp

(6.11)

yada t21 hg/)pp( olmak üzere

f12t h)zz(h (6.12)

şeklinde düzenlenebilir. Bu eşitlikte sağdaki birinci terim borunun iki ucu arasındaki yükseklik

farkını, ikinci terim viskoz sürtünmeden doğan basınç kaybının karşılığı olan sıvı sütunu

yüksekliğini göstermektedir. Akışkanı pompalamak için kullanılacak olan pompanın basma

yüksekliği son eşitlik ile belirlenir.

6.2 Laminer Boru Akışında Basınç Kaybının Akışkan Sütunu Olarak İfadesi

Bölüm 4 de silindirik bir boru içerisindeki laminer akışın hız profili belirlenmiş ve basınç

gradyanı

4

wr

8Qcosg

x

p

(6.13)

şeklinde ifade edilmişti. cos / dz dx olmak üzere son eşitlik

4

wr

8Q

dx

dzg

x

p

(6.14)

şeklinde yazılabilir. Son eşitlik x1 ve x2 arasında integrallenirse



)xx(r

8Q)zz(g)pp( 124

w

1212

(6.15)

elde edilir. Bu eşitlikte ( )x x2 1 ve 4

dVQ

2 dönüşümleri yapılırsa işlem

22

21

1

dg

V32z

g

pz

g

p

(6.16)

ile neticelenir. Son eşitlik ile eşitlik (6.10) kıyaslandığında viskoz sürtünmenin sebep olduğu

yükseklik kaybının

2f

dg

V32h

(6.17)

olduğu görülür. Son eşitlikten görüldüğü üzere laminer akışta yükseklik kaybı ve V ile lineer

orantılıdır.

6.3 Basınç ve Yükseklik Kaybının Boyut Analizi İle İncelemesi

Yatay ve pürüzsüz bir boruda basınç kaybı hızın, boru çapının, boru uzunluğunun ve

dinamik viskozitenin bir fonksiyonu olarak düşünülebilir.

p f V d ( , , , ) (6.18)

Boyut analizi ile bu parametrelerin ilişkisi

d

V

dKp

(6.19)

şeklinde belirlenir. Tam gelişmiş akışta akışın özellikleri boru uzunluğu ile değişiklik arz etmez.

Bu sebeple tam gelişmiş akışta viskoz sürtünmeden doğan basınç gradyanı boru uzunluğu ile

değişmez. Uzunlukları istisna bütün özellikleri aynı olan iki boru düşünelim. Her iki borudaki

akışkan hızı eşitse tam gelişmiş bölgede hız profilleri de eşit olur. Hız profilleri eşitse her iki



boruda birim uzunluk başına basınç değişimi de eşit olur. Bu fiziki durum son eşitlikte bulunan

nin 1 e eşit olmasını gerektirir. Buna göre son eşitlik,

d

V

dKp

(6.20)

şeklinde düzenlenir. Eşitlik (6.20) nin her iki tarafı dinamik basınç ( )1

2

2V ile bölünürse

dR

2K

2/)V(

p

d,e

2

(6.21)

olur. Dinamik basıncı sağ tarafa atarak eşitlik yeniden yazılırsa

2

V

dR

2Kp

2

d,e

(6.22)

olur. Son eşitliğin pay ve paydasında bulunan 2 rakamları dinamik basıncın standart ifadesini

bozmamak için sadeleştirilmemiştir. Eşitlik (6.22) nin sağında bulunan KR e

2

,d

boyutsuz gurubu

sürtünme faktörü olarak isimlendirilmekte ve f ile gösterilmektedir. Buna göre yatay boru için

basınç kaybı eşitliğinin nihai şekli

2

V

dp

2

f (6.23)

olur. Son denklem Darcy bağıntısı olarak isimlendirilmektedir. Sürtünme faktörü f akışın

türüne göre farklılık arz eder. Eşitlik (6.23) de p yerine h gf yazılır ve gerekli götürtmeler

yapılırsa, basınç kaybı yükseklik kaybı cinsinden ifade edilir.

g2

V

dh

2

f

f (6.24)

Son eşitlikte verilen fh , yukarda verilen (6.10) numaralı enerji denkleminde yerine yazılırsa

basınç kaybı ifadesi genelleştirilmiş olur. Yani elde edilen ifade her konumdaki boru için geçerli

olur.



2

1 21 2

d 2

p p Vz z

g g g

f (6.25)

6.4 Laminer Akışta Sürtünme Faktörü

Silindirik boru

Sürtünme faktörü f laminer akış için teorik analizle belirlenmektedir. Kesiti değişmeyen

silindirik bir boru içindeki tam gelişmiş laminer akışta basıncın akış yönünde lineer değiştiği

bölüm 4 te belirtilmiş ve basınç değişimi için (4.16) eşitliği verilmişti. Yatay boru için söz

konusu eşitlik

24

w d

V32

r

8Q

p (6.22)

şeklinde düzenlenir. Son eşitliğin her iki tarafını dinamik basınçla çarparak, yatay borudaki

laminer akışta viskoz sürtünmenin sebep olduğu basınç düşmesi için

2

V

dR

64

2

V

ddV

64-

2

d,e

2

p (6.23)

eşitliği elde edilir. Bu eşitlik (6.20) ile kıyaslandığında laminer akışta

f 64

R e d,

(6.24)

olduğu görülür. Eşitlik (6.24) te verilen sürtünme faktörü pürüzsüz borular için geçerli olup

pürüzlü borularda da düşük hızlarda laminer akış mevcuttur fakat pürüzlü borulardaki laminer

akışın sürtünme faktörünün teorik bir analizle belirlenmesi mümkün değildir.

Üçgen kanal

Isı değiştiricilerinde dairesel olmayan kanallara da rastlanmaktadır. Bu sebeple burada eşkenar

dik üçgen şeklindeki bir kanaldaki laminer akışta sürtünme faktörü tanıtılacaktır. Bu akış bölüm 4

te incelenmiş olup burada safi f nin hesabı tanıtılacaktır.



Çözüm bölgesini dikdörtgen şeklinde bir bölgeye dönüştürmek için bölüm 4 te

z y

(6.25)

y L

(6.26)

şeklinde yeni koordinatlar tanımlanmıştı. Şekil 6.2 de görülen dA alanı

dA P Q

(6.27)

şeklinde hesaplanabilir. P vektörü

P dzi dy j

(6.28)

şeklinde ifade edilir. P üzerinde z ve y nin değişimleri

z zdz d d

(6.29)

y ydy d d

(6.30)

olur. P üzerinde nın değişmediği dikkate alınarak son iki eşitlikten

zdz d

(6.31)

ydy d

(6.31)

elde edilir. Bunlar yerine yazılarak

z y

P d i d j

(6.32)

elde edilir. Aynı mantıkla hareket ederek

Q zi y j

(6.33)



0

z zdz d d

(6.34)

0

z zz d d

(6.35)

z yQ d i d j

(6.36)

elde edilir. Bu durumda diferansiyel alan

2

0

0

i j k

z ydA d d

z yd d

z y z yd d yL d d L d d

(6.37)

olur. İntegrali 1 1

2 2

0 0

1

2A L d d L

(6.38)

olur. Ortalama hız

1 1

2

0 0

2

2

L u d d

uL

(6.39)

şeklinde hesaplanır. Hidrolik çap

2

2 2

4 4

2h

A LD

P L L L L

(6.40)

olur. Sürtünme faktörü



2

2h

Ddpf

dx u (6.41)

şeklinde hesaplanır. Aşağıdaki UCGEN isimli program sürtünme faktörünü hesaplamaktadır.

Hidrolik çapa göre hesaplanmış Reynold sayısı kullanılırsa 56.61e

f R olmaktadır.



6.5 Türbülanslı Akışta Sürtünme Faktörü

Türbülanslı akış durumunda f deneysel yöntemlerle belirlenmektedir. Boru akışları endüstriyel

bir konu olduğu için f in kapsamlı araştırmaları yapılmış ve bu konuda hem ampirik formüller

verilmiş hem de Moody diyagramı olarak bilinen grafikler oluşturulmuştur. Boru tasarımında

veya boru içi akışla ilgili hesaplar yapılırken f Moody diyagramından belirlenir ve (6.24)

eşitliğinde kullanılarak viskoz sürtünmenin sebep olduğu yükseklik kaybı h f belirlenir.

Belirlenen h f kullanılarak akış hızı hesaplanır.

Sürtünme faktörü üzerinde etkili olan fiziki faktörlerden biriside boru cidarının pürüzlülüğü

dur. ile boru içindeki yüzey çıkıntılarının yüksekliği gösterilmektedir. Çıkıntılar arasındaki

mesafelerin de mertebesinde olduğu düşünülür. Pürüzlü bir boruda basınç kaybı

z

y

P

Q

Sekil 6.2

dA



p f V d ( , , , , ) (6.42)

şeklinde ifade edilebilir. Bu ifadeden boyut analizi ile

p Kd d

Vd Va b c

2

2

2

(6.43)

elde edilir. Yukarıda da açıklandığı üzere basınç kaybı ile lineer orantılıdır. Buna göre son

eşitlik

2

,2

ac

e d

Vp K R

d d

(6.44)

olarak düzenlenebilir. Son eşitlik ile Darcy bağıntısı (6.23) kıyaslanarak sürtünme faktörünün

f = K Re,d

ca

d

(6.45)

olduğu görülmektedir. Boru içi türbülanslı akışın deneysel analizi yapılırken boruların içerisine

kumla belirli bir rölatif pürüzlülük / d verilir. Farklı R e d, sayılarında p ölçümle belirlenir.

Belirlenen p ler eşitlik (6.44) de kullanılarak karşılığı olan belirlenir. Belirlenen ler bir

Re d, f koordinatında işaretlenerek Moody diyagramları oluşturulur.

6.6 Boru tasarımı

Boruların tasarımı yapılırken Moody ile verilen deneysel bilgiler kullanılır. Tasarımcıya düşen

görev, en ekonomik şartlarda istenilen yere istenilen debide akışkan pompalayacak bir sistemi

belirlemektir. Bu iş yapılırken aşağıdaki üç durumla karşılaşılır.

1) Borunun çapı ve akışkan debisine göre borunun iki ucu arasındaki basınç farkını

belirlemek.

2) Borunun iki ucu arasındaki basınç farkı ve akışkan debisine göre borunun çapını

belirlemek.



3) Borunun iki ucu arasındaki basınç farkı ve borunun çapına göre borudan geçen akışkan

debisini belirlemek.

Burada belirtilen üç hal aşağıda verilen çözümlü problemlerde tatminkar seviyede ele alınmıştır.

Eğer tasarımı yapılan boru silindirik boru değilse Reynold sayısının hesabında karakteristik

uzunluk olarak

P

A4

çevresiBoru

alanıkesitBoruDH (6.46)

eşitliğinden hesaplanan hidrolik çap olarak isimlendirilen HD kullanılır. Ancak bu kabul ile

yapılan hesapların tam doğru olması beklenemez.


Soru 1

Çapı 60 mm, uzunluğu 1000 m olan yatay bir plastik boru ile 1.5 Lit/s debide kinematik

viskozitesi 10 10 6 2. / m s olan bir akışkan taşınmaktadır. Viskoz sürtünmenin sebep olduğu

yükseklik kaybını belirleyin.

Cevap

Akışkan hızı 0.536 m/s, Reynold sayısı 32194 olarak belirlenir. Belirlenen Reynold sayısına

karşılık Moody diyagramından =0.023 olarak belirlenir. Belirlenen Darcy eşitliğinde

kullanılırsa yükseklik kaybı 5.65 m olarak belirlenir.

Soru 2

Çapı 60 mm, uzunluğu 1500 m olan yatay bir plastik boruya bir bar basınçta su

pompalanmaktadır. Suyun kinematik viskozitesi 10 10 6 2. / m s olarak veriliyor. Borunun

diğer ucu atmosferik havaya açıktır. Borudan geçen su debisini belirleyin.

Cevap

Debi 2.25 Lit/s kabul edilirse Reynold sayısı 36218 olarak, in değeri 0.022 olarak belirlenir.

Basınç kaybı Darcy eşitliğinden yaklaşık 1 bar olarak belirlenir.



Soru 3

İki bar pompa basıncı ile 2000 m yatay uzaklığa 3 Lit/s debide suyu taşıyacak olan plastik

borunun çapını belirleyin. Kinematik viskozite10 10 6 2. / m s olarak veriliyor.

Cevap

Boru çapı 62 mm kabul edilirse reynold sayısı 46733 olarak, in değeri 0.021 olarak, basınç

kaybı 1.96 bar olarak belirlenir. Bu değer istenildiği kadar yakındır.


Soru 1

600 m uzunluğunda 32 mm çapında plastik bir boru ile yatay doğrultuda 2 Lit/s debide su

nakledilecektir. Dinamik viskozite 1308 10 3 2. /Ns m olarak veriliyor. Basınç kaybı ne olur.

Soru 2

Yüksekliği 60 m olan bir depoya iç çapı 40 mm olan 700 m uzunluğundaki bir plastik boru ile su

pompalanacaktır. Debinin en az 3 Lit/s olması gerekmektedir. Suyun kinematik viskozitesi

13 10 6 2. / m s olarak veriliyor. Pompanın basma yüksekliği ne olmalıdır.

Soru 3

Aşağıdaki grafikte bir santrifüj pompanın yükseklik-debi ilişkisi görülmektedir. İç çapı 32 mm

olan 450 m uzunluğundaki bir pürüzsüz boru ile 10 m yüksekliği olan bir yere su

pompalanacaktır. Debiyi belirleyin



Soru 4

Hacmi 150 litreden az olmayan ve 2 bar basınca dayanabilen bir tanka aşağıdaki şekilde

görüldüğü gibi bir manometre monte ediniz. Varilin tabanına yakın bir yere 15 mm çapında bir

menfez açıp bir vana ve 30 metre uzunluğunda bir plastik boru bağlayın. Varilin içerisine bir

miktar su doldurup kalan hacme hava basın ve mevcut basınçta suyun borudan akış hızını

belirleyin. Belirleme sürecinde varilin içerisindeki basıncın % 2 den daha fazla değişmesine

zaman bırakmayın. Belirlediğiniz basınç ve hızı

p KR d

V

e d

2

2

2

,

eşitliğinde kullanarak K yi belirleyin. Belirlediğiniz K nin Reynolds sayısının hangi değerleri

arasında geçerli olduğunu deneylere devam ederek inceleyin.

Deney sisteminizin çalışma limitleri arasında çok sayıda deney yaparak plastik boru için R e

eğrisini elde ediniz.



BÖLÜM 7: VİSKOZ AKIŞKANLARIN GENEL HAREKET DENKLEMLERİ

Viskozitenin matematiksel tanımı ilk Newton tarafından verilmiştir. Bu tanımda iki plaka

arasındaki tek boyutlu akışın fiziki mekanizması göz önünde bulundurulmuştur.

Akışkanın tabakalar halinde olduğu ve tabakaların birbiri üzerinden kayarak akışı

gerçekleştirdiği kabul edilmiştir. Tabakalar arasındaki sürtünme gerilmesi, tabakalar

arasındaki hız gradyanı ile orantılı olup orantı katsayısı dinamik viskozite olarak

isimlendirilmektedir. Akış iki veya üç boyutlu olduğunda tabaka varsayımı yapılamaz.

Üç boyutlu viskoz akışta akışın hareket denklemlerini elde etmek için viskoz olmayan

akışta olduğu gibi Newton’un birinci kanunu kullanılır. Akış ortamı içerisinde bir akışkan

elemanı seçilerek bu elemana Newton’un birinci kanunu uygulanır. Viskoz bir akış ortamı

içerisinde bulunan akışkan elemanlarının iki çeşit hareket yaptığı kabul edilir. Bunlar

elemanın çizgisel yer değiştirmesi ve elemanın kendi merkezi etrafında dönmesidir.

7.1 Doğrusal Momentum Denklemleri

Newton hareket kanununa göre bir kütleye herhangi bir doğrultuda etkiyen kuvvetlerin

bileşkesi onun söz konusu doğrultudaki ivmesi ile kütlesinin çarpımına eşittir. Akışkan

elemanları her ne kadar akış esnasında şeklini kaybedip dağılırsa da bu olay dt gibi çok

kısa bir sürede oluşmaz. Üç boyutlu bir akış ortamı içerisinde koordinatlara paralel

konumlu prizmatik bir akışkan elemanının dinamik dengesi

xx amF (7.1)

yy amF (7.2)

zz amF (7.3)



eşitlikleri ile ifade edilir. Şekil 7.1' de bir elemana x doğrultusunda etkiyen yüzey ve

çekim kuvvetleri görülmektedir. Çekim kuvvetlerinin başında yer çekimi olmakla birlikte

bir elektrik yada manyetik alanın çekimi de olabilir. Elemanın yüzeylerine gelen

kuvvetler de normal kuvvetler ve teğet kuvvetler olmak üzere iki guruba ayrılmaktadır.

Normal kuvvetler elemanın yüzeylerine dik etkiyen çekme ve basma gerilmelerinden

doğmaktadır. Teğet kuvvetler de elemanın yüzeylerine etkiyen sürtünme kuvvetleridir.

Teğet kuvvetlerin birim alana düşen değerine kesme gerilmesi denmektedir. Newton’un

birinci kanununa göre, bir akış elemanına x doğrultusunda etkiyen normal ve teğet harici

kuvvetlerin bileşkesi x doğrultusundaki ivme ile kütlenin çarpımına eşittir. Kısaca x

momentum denklemi olarak isimlendirilen bu eşitlik

xam)X(F)zz,y,x(F)zz,y,x(F)z,yy,x(F

)z,yy,x(F)z,y,xx(F)z,y,xx(F

(7.4)

olur. Elemanın yüzeylerine etkiyen kuvvetler gerilmeler cinsinden yazılırsa işlem



z2y2)xx

()z,y,xx(F xxxx

(7.5)

z2y2)xx

()z,y,xx(F xxxx

(7.6)

x2z2)yy

()z,yy,x(Fyx

yx

(7.7)

x2z2)yy

()z,yy,x(Fyx

yx

(7.8)

y2x2)zz

()zz,y,x(F zxzx

(7.9)

y2x2)zz

()zz,y,x(F zxzx

(7.10)

eşitlikleri ile sonuçlanır. Bu eşitliklerde bulunan alt indislerden birincisi gerilmenin

etkidiği yüzeyin normalinin doğrultusunu, ikincisi gerilmenin doğrultusunu

göstermektedir. Çekim kuvveti

z2y2x2g)X(F x (7.11)

olup negatif yönde etkidiği kabul edilir. Akışkan elemanının kütlesi elemanın boyutları

cinsinden

z2y2x2m (7.12)

eşitliği ile tanımlıdır. Denklem (7.4) de bulunan büyüklüklerin karşılıkları (7.3), (7.4),

(7.5), (7.6), (7.7), (7.8), (79), (7.10), (7.11) ve (7.12) eşitliklerinden yerine yazılarak x

doğrultusundaki momentum denklemi

yxxx zx

x xg a

x y z

(7.13)



şeklinde düzenlenir. Benzer işlemlerle (7.2) ve (7.3) eşitlikleri ile verilen y ve z

momentum denklemleri

yy xy zy

y yg a

y x z

(7.14)

yzxzzz

z zg a

z x y

(7.15)

şeklinde düzenlenir. Bu eşitliklerde bulunan xx

, yy ve zz

normal gerilmeleri her biri

basınç ve normal viskoz gerilme olmak üzere iki ayrı gerilmenin bileşkesidir.

pxxxx (7.16)

pyyyy (7.17)

pzzzz (7.18)

Viskoz olmayan akışkanlarda xx

, yy ve zz

sıfır olup son üç eşitliğin taraf tarafa

toplanmasından

p3zzyyxx (7.19)

elde edilir. İleride görüleceği üzere G. Stokes gazlarda xx

, yy

ve zz

nin değerlerini sıfır

kabul ederek viskoz akışın momentum denklemlerini basitleştirmiştir.

Yukarıda verilen (7.13), (7.14) ve (7.15) denklemlerinde bulunan ax, ay ve az ivmelerinin

hız bileşenleri ile ilişkisi Euler denklemlerinde olduğu gibidir. Görüldüğü üzere viskoz

gerilmeler ihmal edilirse bu denklemler Euler denklemlerine dönüşebilmektedir.



7.2 Açısal Momentum Denklemi

Şekil 7.2.a' da prizmatik bir akışkan elemanını z ekseni etrafında döndürmeye etkisi olan

viskoz gerilmeler gösterilmiştir. Elemanın dönme ekseni ile koordinat sisteminin z ekseni

üst üste getirilmiştir. Prizmatik bir akışkan elemanının viskoz gerilmelerin etkisi altında

bir eksen etrafında ivmeli dönme hareketi yapması ile prizmatik bir katı cismin bir eksen

etrafında ivmeli dönme hareketi yapması fiziki yönden farklılık arz etmez. Konunun daha

kolay anlaşılması için matematik modelin yazılmasında katı cismin ivmeli dönmesini

incelemek uygun olur.



Şekil 7.2.b de görülen prizmatik cismin z doğrultusundaki kalınlığı w olsun. Cisme bir

moment uygulansın ve ivmeli olarak dönmesi sağlansın. Newton kanununun gereği olarak

bu harekette harici momentle cismin kütlesel dönme atalet momenti mI eşit olmalıdır.

mIM (7.20)

Cismin üzerinde kenarları x, y, z koordinat eksenlerine paralel duran bir hacim elemanı

seçilmiştir. Bu elemanın kütlesi )dy dx w( , daire merkezli çizgisel ivmesi

2

2

dt

d ra

(7.21)

atalet kuvveti

2

2

dt

d r dy dx wdF

(7.22)

ve dönme eksenine göre atalet momenti

2

22

mdt

d r dy dx wdI

(7.23)

büyüklüğündedir. Bu eşitliklerde r elemanın dönme eksenine uzaklığı olup r2 yerine

)yx( 22 yazılabilir. Neticede elemanın kütle atalet momenti

2

222

mdt

d )yx( dy dx wdI

(7.24)



olarak hesaplanır. Cismin tamamının kütle atalet momentini bulmak için son eşitliğin

ABCD bölgesinde integrallenmesi gerekir. İşlem

)3

xy

3

yx(

dt

d w4I

33

2

2

m

(7.25)

ile neticelenir. Son eşitlik ile eşitlik 7.20 birleştirilirse

)3

xy

3

yx(

dt

d w4M

33

2

2

(7.26)

elde edilir. Son eşitlik ivmeli dönme hareketi yapan prizmatik bir cismin hareket denklemi

olup boyutları 2x, 2y ve w olan bir cisim düşünülerek türetilmiştir. Bu eşitlik boyutları

2dx, 2dy ve 2dz olan diferansiyel boyuttaki bir cisim için düzenlenirse

)3

dxdy

3

dydx(

dt

d dz8dM

33

2

2

(7.27)

olur. Eşitlik 7.27 de bulunan dM , Şekil 7.2 de gösterilen akışkan elemanının yan

yüzeylerine etkiyen gerilmelerden hesaplanır ve yerine yazılırsa ivmeli dönme hareketi



yapan diferansiyel akışkan elemanının hareket denklemi elde edilir. Hacim elemanının

AB, BC, CD ve DA yüzeylerine gelen sürtünme kuvvetlerinin z eksenine göre

momentleri sırası ile

xd dzy d 4)dxx

(dMxy

xyAB

(7.28)

yd dzx d 4)dyy

(dMyx

yxBC

(7.29)

dx dzy d 4)dxx

(dMxy

xyCD

(7.30)

yd dzx d 4)dyy

(dMyx

yxDA

(7.31)

şeklinde hesaplanır. Bu eşitliklerde saat yönü negatif kabul edilmiştir. Eşitlik (7.28),

(7.29), (7.30) ve (7.31) ile hesaplanan değerler eşitlik (7.27) de yerine yazılırsa

2

2 2

2( )

3xy yx

ddx dy

dt

(7.32)

neticesine varılır. Son eşitliğin sağında bulunan büyüklükler ikinci mertebeden olduğu

için, elemanın boyutları sıfıra giderken 0,0 yx eşitliğin sağında bulunan terim

ihmal edilir. Bu kısmın sonucu olarak

yxxy (7.33)

neticesine varılır. Aynı yaklaşımla akışkan elemanının x ve y ekseni etrafındaki dönme

hareketlerinin incelenmesinden

xz zx (7.34)

zyyz (7.35)



sonuçları elde edilir. Bu sonuçlar eşitlik 7.13, 7.14 ve 7.15 ile verilen doğrusal momentum

denklemlerinde kullanıldığında doğrusal momentum denklemlerinde bulunan 9 adet

viskoz gerilme bileşeni 6 ya düşer.

7.3 Deformasyonlar

Viskoz bir akış bölgesi içerisinde, herhangi bir anda, hayali sınırları olan prizmatik bir

diferansiyel eleman düşünelim. Zaman ilerlerken eleman yer değiştirme, kendi merkezi

etrafında dönme, şekil değiştirme işlemlerini yapacak ve bir süre sonra da tamamen

dağılacaktır. Şekil değiştirme elemanın x , y , z boyutlarının ve köşe açılarının

değişmesi olmak üzere iki sebebe dayanır. Prizmatik bir hacim elemanının bir köşesi

elemanın üç yüzeyinin kesişme noktası olduğu için bir köşede birbirinden bağımsız üç açı

mevcuttur. Bunların her birinin değişimi elemanda oluşan gerilmeye katkı yapmaktadır.

Elemanın yer değiştirmesi, dönmesi, boyutlarının değişmesi ve köşe açılarının değişmesi

aynı zaman zarfında zuhur eden olaylar olup aralarında etkileşim de mevcuttur. Elemanın

boyutlarının değişmesi hacimsel deformasyon olarak, köşe açılarının değişmesi açısal

deformasyon olarak isimlendirilmektedir. Bu değişimlerin ortak sebebi elemanın değişik

noktalarında değişik hızların mevcut olmasıdır. Bir elemanın blok olarak yer değiştirmesi

ve blok olarak dönmesi herhangi bir gerilme yaratmaz. İç gerilmeleri elemanın hacimsel

ve açısal deformasyonu yaratmaktadır.

7.3.1 Temel Deformasyonlar ve Gerilmeler

Pratikte akışkan elemanlarının tek boyutlu hacimsel deformasyonuna dayanan bir viskoz

akış mevcut değildir. Fakat akışkan elemanlarının tek boyutlu açısal deformasyonuna

dayanan akış türleri mevcuttur. Şekil 7.3.a'da görüldüğü üzere aralarında viskoz bir

akışkan bulunan iki plakadan birisi sabit tutulur diğeri sabit plakaya paralel olarak

kaydırılırsa iki plaka arasındaki akışkan elemanları rotasyon ve açısal deformasyona

maruz olurlar. Şekilde görülen açısı, rotasyon ve açısal deformasyon nın

toplamıdır.



(7.36)

Elemanın ABCD durumundan A B C D'' '' '' durumuna geçişini iki ayrı sürecin süper

pozisyonu olarak düşünmek mümkündür. Birinci süreç açısal deformasyon olmaksızın

elemanın blok olarak dönmesi, ikinci süreç rotasyon olmaksızın elemanın açılarının

değişmesidir. Bu süreçler Şekil 7.3.a' da adım adım gösterilmiştir. Birinci sürecin sonunda

elemanın AD kenarı şekilde görüldüğü üzere

plakaların dışına taşmaktadır. Fakat gerçek akış durumunda elemanın AD kenarı alt

plakadaki yerinden ayrılmaz. O halde elemanın AD kenarını ikinci süreçte eski yerine

çekmek gerekir ki iki sürecin süper pozisyonu elemanın değişiminin tabiatına uysun. Bu

şart AD kenarının ikinci süreçte yaptığı açısı ile birinci süreçte yaptığı açısının

birbirine eşit olmasını gerektirir. Buna göre

2 (7.37)



2 (7.38)

yazılabilir. Ayrıca şekil 7.3.a ya göre

''P

duy

BB U t dy dut t

y y y dy

,

du

dy

(7.39)

yazılabilir. Eşitlik 7.38 ve 7.39 un birlikte değerlendirilmesinden

1

2

du

dy

(7.40)

olduğu görülür. Bölüm 1 de açıklandığı üzere Newtonun ikinci kanunu olarak bilinen ve

deneysel olarak ta teyit edilen

du

dy

eşitliği Şekil 7.3.a' da görülen hal için akışkan elemanlarına etkiyen teğet gerilmeyi

belirlemektedir. Son iki eşitlik birlikte değerlendirilerek,

2

(7.41)

elde edilir. Viskoz akışkanlarda gerilmelerin sebebi olan deformasyonlardan birisinin

olduğu son eşitlikten görülmektedir.

Akışkanların safi hacimsel deformasyonuna dayanan bir akış türü mevcut olmadığı için

gerilme ile hacimsel deformasyon arasında deneysel esasa dayanan bir eşitlik

kurulamamıştır. Ancak katılardaki gerilmelerin deformasyon miktarı ile, akışkanlardaki

gerilmelerin ise deformasyon hızı ile orantılı olduğu dikkate alındığında benzerlik esasına

göre akışkanlardaki normal deformasyonla gerilmelerin ilişkisini kurmak mümkündür.



Kesiti tek düze olan bir metal çubuk bir F kuvveti ile çekmeye zorlandığında F kuvvetinin

çubuğun uzama miktarı ile orantılı, ilk uzunluğu ile ters orantılı olduğu görülür. Orantı

katsayısı k olmak üzere

kkF

(7.42)

yazılabilir. Bu eşitlikte AF yazılırsa

EA

k (7.43)

olur. Son eşitlikte bulunan E malzemenin bir özelliği olup elastik modül olarak

isimlendirilmektedir. E nin birimi gerilmenin birimine eşittir. Buna göre akışkanlardaki

tek boyutlu normal gerilme ile tek boyutlu normal deformasyon arasındaki ilişki

(7.44)

şeklinde bir ilişki olması gerekir. Bu eşitlikte bulunan akışkanın bir özelliği,

bir

akışkan elemanının bir boyutunun birim zamandaki değişiminin deformasyondan önceki

boyuta oranıdır.

un birimi 1/ s olup yukarda tanıttığımız açısal deformasyon hızı

un

biriminin aynısıdır.

7.3.2 Deformasyon Hız İlişkileri

Bir akışkan elemanının diferansiyel bir zaman dilimi içerisinde gördüğü yer değiştirme,

hacimsel deformasyon, dönme ve açısal deformasyondan oluşan gerçek süreci dört ayrı

imajiner sürecin süper pozisyonu olarak ele almak mümkündür.

1- Hacimsel deformasyon, dönme ve açısal deformasyon olmaksızın elemanın yer

değiştirmesi.



2-Yer değiştirme, dönme ve açısal deformasyon olmaksızın elemanın hacimsel deformasyonu.

3-Yer değiştirme, hacimsel deformasyon ve açısal deformasyon olmaksızın elemanın blok

olarak dönmesi.

4-Yer değiştirme, hacimsel deformasyon ve dönme olmaksızın elemanın açısal deformasyonu.

Şekil 7.3.b de birinci imajiner sürece uygun olarak iki boyutlu bir uzayda yer değiştiren

bir hacim elemanının ilk ve son durumu görülmektedir. Eleman üzerinde bulunan

muhtelif noktaların birbirine göre konumu değişmemiştir. Bu sebeple eleman üzerinde

herhangi bir gerilme doğmaz. Bu hareket esnasında elemanın her noktasında aynı hız

vektörü bulunmaktadır.

Şekil 7.3.c de ikinci imajiner sürece uygun olarak iki boyutlu bir uzayda hacimsel

deformasyon gören hacim elemanının ilk ve son durumu görülmektedir. Yeri değişmeden

elemanın hacimsel deformasyon görmesi için C D' ' kenarı pozitif x yönünde, A B' ' kenarı

negatif x yönünde eşit miktarda kaymalıdır. Yine B C' ' kenarı pozitif y yönünde, D A' '

kenarı negatif y yönünde eşit miktarda kaymalıdır.



Bu imajiner süreçte elemanın yeri değişmediğine göre merkezinde u 0 olacaktır.

Elemanın A B' ' kenarı ile C D' ' kenarı birbirine paralel kaldığı için yani açısal

deformasyon görmediği için merkezinde

u

y 0 olacaktır. Buna göre elemanın

köşelerindeki yatay hızlar merkezindeki hız ve türevleri cinsinden yazılırsa

uu

x

dxA '

2

uu

x

dxB'

2

uu

x

dxC'

2

uu

x

dxD '

2

olur. Son eşitliklere göre elemanın A B' ' ve C D' ' kenarlarının birbirinden uzaklaşma hızı



xx

uuuuu 'BC'A'D '

olur. Elemanın t süresi içerisinde x boyutunun değişme miktarı

x

u

xx t

olur. Elemanın x doğrultusundaki hacimsel deformasyon oranının hızı

xx

x

x t

u

x (7.45)

olarak belirlenir. Benzer operasyonlarla

yy

v

y (7.46)

elde edilir. Akış üç boyutlu olursa bunlara ilaveten

zz

w

z (7.47)

mevcut olur. Bunlar viskoz gerilmelere sebep olan hacimsel deformasyonlardır.

Şekil 7.3.d de üçüncü imajiner sürece uygun olarak iki boyutlu bir uzayda rotasyona

maruz olan hacim elemanının ilk ve son durumu görülmektedir. Elemanın y

doğrultusundaki simetri ekseninin dönme miktarı



1

2

2

2

2

e e

O e

g g

O g

u

y

yt

y

u

y

yt

y

u

yt

' '

(7.48)

olarak u cinsinden belirlenir. Elemanın y doğrultusundaki simetri ekseninin dönme hızı

1

u

y (7.49)

olur. Şekil 7.3.d ye göre

u

y nin sayısal değeri negatiftir. Bu sebeple son eşitlik

1

u

y (7.50)

şeklinde düzenlenir. Elemanın x doğrultusundaki simetri ekseninin dönme miktarı



2

2

2

2

2

f f

O f

h h

h O

v

x

xt

x

v

x

xt

x

v

xt

' '

(7.51)

olur. Elemanın x doğrultusundaki simetri ekseninin dönme hızı

2

v

x (7.52)

olarak belirlenir. Şekil 7.3.d ye göre

v

x in sayısal değeri pozitiftir. Bu sebeple son eşitlik

2

v

x (7.53)

olarak düzenlenir. Elemanın açısal deformasyon görmeden dönebilmesi için 1 2

olması gerekir. Buna göre (7.50) ve (7.53) eşitliklerinden rotasyon hızı

2 21 2

v

x

u

y (7.54)

olarak belirlenir. Mevcut durumda dönme z ekseni etrafında olduğundan son eşitliği

z

v

x

u

y

1

2 (7.55)

şeklinde vermek daha kullanışlı olmaktadır. Dönme olayı üçüncü bölümde de ele alınmış,

döndürme işlemi sol alt köşe etrafında yapılarak aynı netice elde edilmişti. Burada

döndürme merkezi olarak elemanın merkezinin seçilmesinin sebebi elemanın merkezinin

yerini sabit tutmaktır. Rotasyonla ilgili detaylı bilgiler Bölüm 3 de verilmiş olup burada

tekrarlanmayacaktır.

Rotasyonu takiben dördüncü imajiner sürece uygun olarak bir açısal deformasyon gören

elemanın ilk ve son durumu Şekil 7.3.e' de görülmektedir. Açısal deformasyon



neticesinde elemanın düşey simetri ekseninin dönme miktarları hız cinsinden aşağıdaki

gibi hesaplanır.

1

2

2

2

2

e e

e O

g g

g O

u

y

yt

y

u

y

yt

y

u

yt

' ''

'

' ' '

'

(7.56)

Düşey simetri ekseninin açısal deformasyon esnasında dönme hızı

1

u

y (7.57)

olur. Şekil 7.3.e' ye göre

u

y nin sayısal değeri pozitiftir. Düşey eksen saat yönünde

dönmektedir. Bu sebeple son eşitlik

1

u

y

(7.58)

olarak düzenlenir. Elemanın yatay ekseninin açısal deformasyon neticesinde dönme

miktarı

2

2

2

2

2

f f

f O

h h

h O

v

x

xt

x

v

x

xt

x

v

xt

' ''

'

' ' '

'

(7.59)



olur. Yatay eksenin açısal deformasyon esnasında dönme hızı

x

v2

(7.60)

olur. Şekil 7.3.e' ye göre

v

x in sayısal değeri pozitiftir. Buna göre son eşitlik

x

v2

(7.61)

olarak düzenlenir. Elemanın rotasyon yapmadan açısal deformasyon görmesi için

1 2

veya 1 2

gerekir. Elemanın köşe açısının değişme hızı (açısal

deformasyonun hızı)

1 2 1 2

u v

y x

olur. Son eşitlikten



x

v

y

u

2

121 (7.62)

neticesi elde edilir. Birinci alt indis dönen kenarın normalinin doğrultusunu, ikinci alt

indis dönen kenarın kendisinin doğrultusunu göstermek üzere son eşitlik

x

v

y

u

2

1yxxy (7.63)

olarak düzenlenebilir. Son eşitlikten faydalanarak üç boyutlu bir akış bölgesindeki diğer

açısal deformasyonlar

)x

w

z

u(

2

1zxxz

(7.64)

yz zy

v

z

w

y

1

2( ) (7.65)

şeklinde yazılır. Son üç eşitlikte verilen açısal deformasyonlar viskoz gerilmeleri yaratan

sebeplerdir.

Bu kısımda gerçek bir bileşik deformasyon ve yer değiştirme sürecini dört basit sürece

ayırarak basit deformasyonlarla hız bileşenleri arasındaki ilişkileri kurmuş bulunuyoruz.

7.4 Gerilmelerle Deformasyonların İlişkileri

Katı maddelerin şekil değiştirmesi halinde madde içerisinde oluşan gerilmelerin

deformasyon miktarı ile orantılı olduğu kabul edilerek Hook hipotezleri olarak bilinen

deformasyon-gerilme ilişkileri yazılmıştır. Sıvıların akışı esnasında sıvı elemanları sürekli

şekil değiştirmekte olup gerilmelerin şekil değiştirme hızı ile orantılı olduğu kabul



edilerek Hook eşitliklerine benzer biçimde akışkanların Navier-Stock denklemleri olarak

isimlendirilen hareket denklemleri elde edilmiştir.

Yukarıda tanıtılan hacimsel ve açısal deformasyonların gerilmeler üzerinde muayyen

lineer etkilerinin mevcut olduğu kabul edilerek

yz16xz15xy14zz13yy12xx11xx CCCCCCp

(7.66)

yz26xz25xy24zz23yy22xx21yy CCCCCCp

(7.67)

yz36xz35xy34zz33yy32xx31zz CCCCCCp

(7.68)

yz46xz45xy44zz43yy42xx41xy CCCCCC

(7.69)

yz56xz55xy54zz53yy52xx51xz CCCCCC

(7.70)

yz66xz65xy64zz63yy62xx61yz CCCCCC

(7.71)

eşitlikleri yazılır. Son altı denklem ile verilen gerilme deformasyon ilişkileri bir x,y

düzlemindeki iki boyutlu akış için

xy13yy12xx11xx CCCp

(7.72)

xy23yy22xx21yy CCCp

(7.73)

xy33yy32xx31xy CCC

(7.74)

şeklinde kısalır.

Akış esnasında akışkan moleküllerin komşu moleküllerle olan etkileşimi akışkanların bir

kısmında her doğrultu ve yönde aynı kalır veya az değişir. Bu tür akışkanlara izotropik

akışkan denmektedir. İzotropik akışkanların davranışları hesaba katıldığında (7.66),



(7.67), (7.68), (7.69), (7.70) ve (7.71) eşitliklerde bulunan 36 adet C i j, sabitleri ikiye

düşmektedir. C i j, sabitleri arasındaki ilişkiler aşağıda iki boyutlu akış için incelenmiştir.

Üç boyutlu halin incelenmesi çok zaman aldığından okuyucuya bırakılmıştır.

7.5 İki Boyutlu İzotropik Akışlarda Gerilme Deformasyon İlişkileri

Şekil 7.4.a' da iki boyutlu simetrik bir akış bölgesinin simetri ekseni üzerinde bulunan bir

akışkan elemanı görülmektedir. Koordinat sisteminin x elemanı batıdan doğuya, y

elemanı güneyden kuzeye doğru yönelmiştir. Elemen simetri çizgisi üzerinde olduğu için

0xy

ve 0xy

olur. Bu durum dikkate alınarak (7.72), (7.73) ve (7.74) denklem

takımından

11 12DB KGDBp C C

(7.75)

21 22DB KGKGp C C

(7.76)

31 320DB KGC C

(7.77)

x

y

Sekil 7.4.a



eşitlikleri elde edilir. Şekil 7.4.b’ de aynı akış bölgesinde aynı hacim elemanı görülmekte

ancak koordinatların doğrultu ve yönleri değiştirilmiştir. Koordinat siteminin x elemanı

güneyden kuzeye, y elemanı doğudan batıya yönelmiştir. (7.72), (7.73) ve (7.74) denklem

setinden

11 12KG DBKGp C C

(7.78)

21 22KG DBDBp C C

(7.79)

31 320KG DBC C

(7.80)

elde edilir. Eşitlik (7.75) ile (7.79) , (7.76) ile (7.78) kıyaslandığında

21 22 11 12KG DB DB KGC C C C

(7.81)

21 22 11 12DB KG KG DBC C C C

(7.82)

elde edilir. Eşitlik (7.80), (7.81) ve (7.82) kullanılarak

x

y

Sekil 7.4.b



31

0C , 32

0C , 21 12

C C , 22 11

C C

olduğu gösterilebilir. Bu incelemeden bazı sabitlerin sıfır olduğu bazılarının da birbirine

eşit olduğu görülmektedir. İki boyutlu akışta sabitlerin arasındaki ilişkilerin sistematik bir

şekilde incelenmesi için aşağıda matematiksel bir yöntem tanıtılmaktadır.

Akış ortamı içerisinde bulunan herhangi bir konuma sahip bir yüzeye etkiyen normal ve

teğet gerilmeleri asal gerilmeler cinsinden belirlemek için bu yüzeyi Şekil 7.5' deki gibi

bir hacim elemanın sınırı yaparız. Hacim elemanına yüzeyin normali doğrultusunda

etkiyen kuvvetler kendi aralarında dengelendiğinde normal gerilmeyi veren bir eşitlik elde

edilir. Aynı şekilde hacim elemanına yüzeyin teğeti doğrultusunda etkiyen kuvvetler

kendi aralarında dengelendiğinde teğet doğrultusundaki gerilmeyi veren bir eşitlik elde

edilir.

Şekil 7.5 deki hacim elemanının yüzeylerine etkiyen kuvvetlerin n doğrultusundaki

bileşenlerinin balansı

y

x

xy

y x

ns

nn

xx

y y

O

A

B

Sekil 7.5



cos( ) cos( )

cos( ) cos( )

AB nn OA xx xn xy yn

OB yy yn yx xn n

A A

A ma

(7.83)

eşitliğini verir.Son eşitlikteki eksi işaretleri gerilmelerin yönlerinden gelmektedir.

Elemanın O köşesinde birleşen birbirine dik yüzeylerinin alanları

cos( )OA AB xn

A A (7.84)

cos( )OB AB yn

A A (7.85)

şeklinde eğik yüzeyin alanı cinsinden hesaplanır. Bunlar eşitlik (7.83) de yerine yazılır ve

eşitliğin her iki tarafı AB

A ile bölünürse işlem

cos( ) cos( ) cos( )


nn xn xx xn xy yn

n

yn yy yn yx xn

AB

ma

A

(7.86)

ile sonuçlanır. Bu incelemenin amacı akış ortamı içerisinde bulunan herhangi bir

noktadaki gerilmelerin ilişkisini kurmak olduğuna göre, üzerinde kuvvet balansı yapılan

hacim elemanının boyutlarını sıfıra yaklaştırmak gerekir. Son eşitliğin sağında bulunan

kesrin ihtiva ettiği m iki diferansiyel uzunluğun çarpımı ile orantılı iken, AB

A bir

diferansiyel uzunluktan ibarettir. Bu sebeple elemanın boyutları sıfıra giderken kesrin

değeri sıfıra çok daha hızlı yaklaşır. Önceden gösterildiği üzere yxxy ilişkisi

mevcuttur. Buna göre son eşitlik



nn xn xx xn xy yn

yn yy yn xy xn

(7.87)

şeklinde düzenlenebilir.



Hacim elemanına Şekil 7.5 deki AB yüzeyinin teğeti doğrultusunda etkiyen kuvvetlerin

balansı



ns xn xx xs xy ys

yn yy ys xy xs

(7.88)

eşitliğinde sonuçlanır.

Yeni koordinat sistemine göre asal deformasyonları tanımlamak için denklemlere ihtiyaç

vardır. Bunun için eşitlik (7.87) ve (7.88) de bulunan gerilmelerin yerine aynı indisli

deformasyonlar konularak aşağıdaki eşitlikler elde edilir.



nn xn xx xn xy yn

yn yy yn xy xn

(7.89)



ns xn xx xs xy ys

yn yy ys xy xs

(7.90)

Şimdi Şekil 7.6 da görüldüğü gibi orijinleri ortak olan ( , )x y koordinat sistemi ile bir

( , )x y koordinat sistemine göre verilmiş gerilme denklemlerini kıyaslayarak ijC leri

belirleyelim.

Herhangi bir noktadaki gerilmeler ( , )x y koordinat sistemine göre

x

yy'

x'

Sekil 7.6



xy13yy12xx11xx CCCp

(7.91)

xy23yy22xx21yy CCCp

(7.92)

xy33yy32xx31xy CCC

(7.93)

şeklinde tanımlanır. Aynı noktadaki gerilmeler ( , )x y koordinat sistemine göre

11 12 13x x y y x yx x p C C C

(7.94)

21 22 23x x y y x yy y p C C C

(7.95)

31 32 33x x y y x yx y C C C

(7.96)

şeklinde tanımlanır.

Eşitlik (9.87) de n yerine x yazılırsa

x x xx (7.97)

elde edilir. Yine eşitlik (9.87) de n yerine y yazılırsa

y y yy (7.98)

elde edilir. Eşitlik (7.88) de n yerine x , s yerine y yazılırsa

x y xy (7.99)

elde edilir. Eşitlik (7.89) da n yerine x yazılarak

x x xx (7.100)

elde edilir. Yine aynı eşitlikte n yerine y



y y yy (7.101)

elde edilir. Eşitlik (7.90) da n yerine x , s yerine y yazılarak

x y xy (7.102)

elde edilir. Eşitlik (7.97), (7.98), (7.99), (7.100), (7.101) ve (7.102) ile verilen gerilme ve

deformasyonlar eşitlik (7.94), (7.95) ve (7.96) da kullanılırsa

11 12 13xx xx yy xyp C C C (7.103)

21 22 23yy xx yy xyp C C C (7.104)

31 32 33xy xx yy xyC C C (7.105)

eşitlikleri elde edilir. Eşitlik (7.103), (7.104) ve (7.105) yukarıda verilen (7.91), (7.92) ve

(7.93) eşitlikleri ile sıralı olarak kıyaslandığında

13 23 31 32 0C C C C (7.106)

olduğu görülür.

Geri kalan sabitleri incelemek için şekil 7.7 de görülen koordinat ikilisinin gerilmelerini

kıyaslayalım. Gerilme ve deformasyonların ilişkisi

x x yy

(7.107)

x

yx'

y'

Sekil 7.7



' 'y y xx (7.108)

x y xy

(7.109)

' 'x x yy

(7.110)

' 'y y xx

(7.111)

x y xy (7.112)

şeklinde olur. Bu değerler eşitlik (7.94), (7.95) ve (7.96) ya yazılırsa

11 12yy yy xxp C C

21 22xx yy xxp C C

33 xyxy C

eşitlikleri elde edilir. Son eşitlikler sırası ile eşitlik (7.92), (7.91) ve (7.93) ile kıyaslanırsa

yukardakilere ilave olarak

21 12C C ,

22 11C C (7.113)

olduğu görülmektedir. Bu değerler son üç eşitliğe yazılırsa

11 12yy yy xxp C C (7.114)

12 11xx yy xxp C C (7.115)

33 xyxy C

(7.116)

olur. Son eşitliklerde bulunan ,i j

C lerin aralarında ilişkilerin olup olmadığını belirlemek

için bir de şekil 7.8 de görülen koordinat ikilisine göre inceleme yapalım.



Şekil 8.8 deki koordinat ikilisinin gerilme ve deformasyonları arasında

1 1

2 2x x xx xy yy

(7.117)

1 1

2 2y y xx xy yy

(7.118)

1 1

2 2x y xx yy

(7.119)

1 1

2 2x x xx yy xy (7.120)

1 1

2 2y y xx xy yy

(7.121)

1 1

2 2x y xx yy

(7.122)

ilişkileri bulunmaktadır. Şekil 7.8 için elde edilen bu gerilme ve deformasyonlar eşitlik

(7.94) de yerine yazılırsa

11

12 13

1 1 1 1

2 2 2 2

1 1 1 1

2 2 2 2

xx xy yy xx yy xy

xx xy yy xx yy

p C

C C

(7.123)

Sekil 7.8

x

x'

y

y'



olur. Son eşitlikte 13

0C yazılırsa

11

12

1 1 1 1

2 2 2 2

1 1

2 2

xx xy yy xx yy xy

xx xy yy

p C

C

(7.124)

elde edilir. Son eşitlikte bulunan gerilmelerin karşılıkları (7.114), (7.115) ve (7.116) dan

yerin e yazılırsa

12 11 11 12

11 12

1 1

2 2

1 1 1 1

2 2 2 2

yy xx xy yy xx

xx yy xy xx xy yy

p C C p C C

p C C

11 12xy xyC C (7.125)

elde edilir. Ayrıca

33xy xyC (7.126)

olduğunu biliyoruz.. Son iki eşitlikten

11 12 33C C C (7.127)

olduğu görülür. Buraya kadar elde edilen ,i j

C sabitleri kullanılarak iki boyutlu akışın

gerilmeleri

11 12xx xx yyp C C (7.128)

12 11yy xx yyp C C (7.129)

11 12xy xyC C (7.130)

şeklinde düzenlenebilir. Görüldüğü üzere son eşitlikler safi iki adet sabit ihtiva

etmektedir.



7.6 Viskoz Sabitlerin Viskozite ile İlişkisi

İki paralel plaka arasındaki tam gelişmiş laminer akışta akışkan elemanları normal

deformasyona maruz olmazlar. Yegane deformasyon açısal deformasyondur. Bir x,y

düzlemindeki iki boyutlu akışın teğet gerilmesi

3333 ( )

2xy xy

C v uC

x y

(7.131)

olarak belirlenir. İki plaka arasındaki akışta 0x

v

olduğu dikkate alınırsa son eşitlik

33

2xy

C u

y

(7.132)

olur. Öte yandan aynı akış için Newton

y

uxy

(7.133)

ilişkisini vermektedir. Son iki eşitliği kıyaslayarak

33 11 12 2C C C (7.134)

elde edilir. İki boyutlu akışın gerilmeleri yeniden

)y

u

x

v(xy

(7.135)

12 12 122 2xx xx yy

u u vp C C p C

x x y

(7.136)

12 12 122 2yy xx yy

v u vp C C p C

y x y

(7.137)



şeklinde düzenlenebilir. Bu gerilmeler hem sıkışmaz hem de sıkışır akışkanlar için

geçerlidir.

Sıkışmaz akışkan durumunda bu eşitliklerde bulunan parantezin içerisi süreklilik

denkleminin gereği olarak sıfır olmaktadır. Bu sebeple 12C safi sıkışır akışkanlarla ilgili

bir özelliktir. 12C nin belirlenmesi konusunda G. Stokes tarafından aşağıdaki hipotez

kullanılmıştır.

Üç boyutlu akışın normal gerilmeleri

122xx xx xx yy zzp C (7.138)

122yy yy xx yy zzp C (7.139)

122zz zz xx yy zzp C (7.140)

şeklinde ortaya çıkmaktadır. Bu eşitlikler taraf tarafa toplanarak

123 2 ( ) 3 ( )

xx yy zz xx yy zz xx yy zzp C (7.141)

elde edilir. Son eşitlik ile (7.19) eşitliği birlikte değerlendirilirse

122 ( ) 3 ( ) 0

xx yy zz xx yy zzC (7.142)

3

2C

3

1C 4412 (7.143)

elde edilir.

İki boyutlu akışın teğet ve normal gerilmeleri yukarıda (7.135), (7.136) ve (7.137)

eşitlikleri ile verilmişti. Bu bölümün başında verilen lineer momentum denklemleri iki

boyutlu akış için

yxxx

x xg a

x y

(7.144)



yy xy

y yg a

y x

(7.145)

şeklinde düzenlenir. Bu eşitlerin kapsadığı ivmeler viskozitesiz akışlar bölümünde

verilmiştir. Gerilmeler ve ivmeler yerine yazılırsa

2 2

2 2

1x

u u u p u uu v g

t x y x x y

(7.146)

2 2

2 2

1y

v v v p v vu v g

t x y y x y

(7.147)

olur. Üç boyutlu akış için momentum denklemleri

x2

2

2

2

2

2

gz

u

y

u

x

u

x

p1

z

uw

y

uv

x

uu

t

u

(7.148)

y2

2

2

2

2

2

gz

v

y

v

x

v

y

p1

z

vw

y

vv

x

vu

t

v

(7.149)

z2

2

2

2

2

2

gz

w

y

w

x

w

z

p1

z

ww

y

wv

x

wu

t

w

(7.150)

olup süreklilik denklemi ile birlikte kullanıldığında üç boyutlu akış alanını simüle

etmektedir

Eğer (7.148) denklemi x e göre (7.149) denklemi y ye göre (7.150) denklemi z e göre

türetilerek taraf tarafa toplanır ve süreklilik denklemi dikkate alınarak gerekli kısaltmalar

yapılırsa

z

w

y

v

z

v

y

w

z

w

x

u

x

w

z

u

y

v

x

u

x

v

y

u2

1

z

p

y

p

x

p2

2

2

2

2

2

(7.151)



elde edilir. Basınç alanının sınır şartları belirli ise son eşitlik kullanılarak basınç alanı

belirlenebilir.

Bu denklemler sıkışmaz akışkanların yanı sıra ses altı hızlarda sıkışır akışkanlara da

uygulanmaktadır. Viskoz akış denklemlerinin silindirik ve küresel formu Bölüm 3'te

yapıldığı gibi koordinat transformasyonu metodu ile elde edilebilmekte olup analizleri

doğrudan bir silindirik veya küresel geometride yaparak ta elde edilebilir. Denklemleri

tam takım kısaltmadan çözmek kolay olmadığı için özel akış şartlarına göre birtakım

kısaltmalar yaparak çözüme ulaşılabilmektedir.

7.7 Viskoz Akış Denklemlerinin Silindirik ve Küresel Şekli

Üçüncü bölümde tanıtılan koordinat transformasyonları kullanılarak viskoz akışın

kartezyen geometri için elde ettiğimiz süreklilik ve momentum denklemleri silindirik ve

küresel geometriye dönüştürülebilirler.

Silindirik Şekli

Süreklilik denklemi

0vz

vr

1rv

rr

1zr

(7.152)

r momentum denklemi

r2

r

2

22

r

2

2r

rz

2

rrr

r

gz

vv

r

2v

r

1vr

rr

1

r

r

p1

z

vv

r

vv

r

v

r

vv

t

v

(7.153)

momentum denklemi



gz

vv

r

2v

r

1rv

rr

1

r

p

r

1

z

vv

r

vvv

r

v

r

vv

t

v

2

2

r

22

2

2

zr

r

(7.154)

z momentum denklemi

z2

z

2

2

z

2

2

z

zz

zzr

z

gz

vv

r

1

r

vr

rr

1

z

p1

z

vv

v

r

v

r

vv

t

v

(7.155)

Küresel Şekli

Süreklilik denklemi

0vsinr

1sinv

sinr

1vr

rr

1r

2

2

(7.156)

r momentum denklemi

r2

r

2

22

r

2r

2

2

2

2

22

rrrr

r

gv

sinr

1vsin

sinr

1vr

rr

1

r

p1

r

vvv

sinr

vv

r

v

r

vv

t

v

(7.157)

momentum denklemi

gv

sin

cos

r

2v

r

2v

sinr

1

sinvsin

1

r

1

r

vr

rr

1p

r

1

r

cotv

r

vvv

sinr

vv

r

v

r

vv

t

v

22

r

2

2

22

2

2

2

2

r

r

(7.158)

momentum denklemi



gv

sin

cos

r

2v

sinr

2v

sinr

1

sinvsin

1

r

1

r

vr

rr

1p

sinr

1

cotr

vv

r

vvv

sinr

vv

r

v

r

vv

t

v

22

r

22

2

22

2

2

2

r

r

(7.159)

7.8 Viskoz Akış Denklemlerinin Boyutsuz Şekli

Viskoz akışın hareket denklemlerinin analitik çözümü çok özel ve sınırlı sayıdaki haller

için mevcut olup diğer haller için sayısal çözüm gerekmektedir. Belirli bir hal için elde

edilen sayısal çözümün başka haller için geçerli olması ancak bazı şartların yerine gelmesi

ile mümkündür. Akış alanının simulasyonunda kullanılan denklemlerin boyutsuz hali elde

edildiğinde ortaya çıkan boyutsuz sayılar yerine getirilmesi gereken şartları tayin

etmektedir. Ayrıca hareket denklemlerinin boyutsuzlaştırılması ile denklemlerde yer alan

sabitlerin sayısı minimuma indirgenmektedir.

Bağımsız değişkenler olan x, y ve z nin boyutsuzlaştırılmasında karakteristik bir )L(

uzunluğu kullanılmaktadır. Bazen x, y ve z nin her biri için farklı bir uzunlukta

kullanılabilir. İç yüzey akışlarında karakteristik uzunluk olarak boru çapı, hidrolik çap

veya kanalın herhangi bir boyutu kullanılabilir. Eksenel simetrik cisimlerin çevresindeki

dış yüzey akışlarında cismin akışa dik boyutu karakteristik uzunluk olarak kullanılabilir.

Eksenel simetrik olmayan cisimlerde farklı şekillerde tanımlanan hidrolik çaplar

kullanılmaktadır. Hidrolik çap eksenel simetrik cisimler içinde kullanılabilir.

Hız bileşenlerinin boyutsuzlaştırılmasında bir )V( 0 karakteristik hızı kullanılmaktadır. İç

yüzey akışlarında karakteristik hız olarak umumiyetle ortalama hız, dış yüzey akışlarında

ise cismin uzağındaki cisimden etkilenmemiş hız kullanılmaktadır. Basıncın

boyutsuzlaştırılmasında dinamik basınç olarak tabir edilen )2/V( 0 büyüklüğü

kullanılmaktadır.



Sürekli olmayan akışlarda hareket denklemleri bağımsız değişken olarak zamanı da

ihtiva etmektedir. Zamanın boyutsuzlaştırılmasında )V/L( 0 kullanılmaktadır. Reynolds

sayısı ve boyutsuz basınç

LVRe 0 , (7.160)

2/V

pp

2

0 , (7.170)

olmak üzere yukarıda verilen (7.148), (7.149), (7.150) ve (7.151) denklemlerinin

boyutsuz şekli

2 2 2

2 2 2 2

0

1

2

1

Rex

u u u u pu v w

t x y z x

u u u Lg

Vx y z

(7.171)

2 2 2

2 2 2 2

0

1

2

1

Rey

v v v v pu v w

t x y z y

v v v Lg

Vx y z

(7.172)

2 2 2

2 2 2 2

0

1

2

1

Rez

w w w w pu v w

t x y z z

w w w Lg

Vx y z

(7.173)

2 2 2

2 2 24(

)

p p p u v u v u w

x y y x x zx y z

u w v w w v

z x y z y z

(7.174)



olmaktadır. Süreklilik denklemi

0z

w

y

v

x

u

(7.174)

olur.



BÖLÜM 8: LAMİNER SINIR TABAKA AKIŞLARI

Yeterince geniş bir akış ortamı içerisine Şekil 8.1 deki gibi bir cisim yerleştirildiğini

kabul edelim. Cismin çevresindeki akışın simülasyonunu yapmak için akla gelen ilk iş

cismin çevresinde geniş bir bölgede süreklilik ve momentum denklemlerini çözmek

olacaktır. Ancak bu denklemleri eş zamanlı olarak cismin çevresindeki bölgede çözmek

kolay bir iş değildir. Bu iş ancak bilgisayarın sayısal çözümleme alanında kullanıma

girmesinden sonra başarılabilmiştir.

Cismin cidarında akışkan hızı sıfır olup cidara dik yönde akışkan hızı şekil 8.1 deki gibi

bir dağılım gösterir. cismin uzağındaki serbest akış hızını göstermek üzere, cidardan

itibaren bir mesafesi içerisinde olur. Bu mesafeye hidrodinamik sınır tabaka

denmektedir. Hidrodinamik sınır tabakanın dışında kalan bölgedeki akışın hız ve basınç

dağılımı potansiyel akışın hız ve basınç dağılımı ile hemen hemen aynıdır. Bu sebeple bu

bölgeye potansiyel akış bölgesi denilmektedir.

Şekil 8.1 de görüldüğü üzere cismin ileri ucundan itibaren gittikçe kalınlaşan sınır tabaka

içinde belirli bir yerde bir ters akış oluşur. Bu nokta sınır tabakanın cidardan ayrılma

noktası olarak isimlendirilmektedir. Sınır tabaka yaklaşımı bu noktanın ilerisinde

kullanışlılık arz etmez.

Hidrodinamik sınır tabaka içerisinde maksimum hız gradyanı cidarda olduğu için

maksimum kesme gerilmesi de cidarda olur. mesafesinin ötesinde hız gradyanı ile

birlikte kesme gerilmesi de sıfıra gider. Bu nın ötesinde viskozitenin akışa etkisinin

olmadığı anlamına gelir.

CU

99.0U

u

C

y

u



Sınır tabaka içindeki laminer viskoz akışın denklemleri, bölüm 7 de türetilen genel viskoz

akış denklemlerinin sınır tabaka akışının özelliklerine göre basitleştirilmesi ile elde edilir.

Bu denklemlerin çözümü komple denklemlere göre daha basit olduğundan istenilen

sonuca daha çabuk götürmektedir. Bazı hallerde de genel denklemlerin çözümü için sınır

şartları yeterli olmayabilir. Bu durumlarda sınır tabaka yaklaşımı yapmak kaçınılmaz olur.

Hidrodinamik ve ısıl makinelerin tasarımında deneysel verilerin mevcut olmadığı

durumlarda sınır tabaka analizlerinden yararlanılmaktadır. Mesela türbo makinelerin

kanatçıklarının akış yönündeki uzunluğunu sınır tabaka ayrılması olmayacak biçimde

tanzim etmek gerekir. Sınır tabaka ayrılmasının yerini sınır tabaka denklemlerini çözerek

bulmak mümkün olmaktadır.

8.1 İki Boyutlu Simetrik Küt Cisimler Çevresindeki Sınır Tabaka Akışı

Şekil 8.2' de görülen akışa dik konumlu silindirik cisim iki boyutlu küt cisme bir örnektir.

Silindirin kâğıt düzlemine dik boyutu çapına kıyasla yeterince büyüktür. Bu sebeple kâğıt

düzlemine dik doğrultuda akışın özellikleri değişmemektedir. Akışın özellikleri safi x-y

düzleminde değişiklik arz ettiğinden akış iki boyutluya indirgenir. Bu akışın tam

denklemleri



2

2

2

2

y

u

x

u

x

p1

y

uv

x

uu (8.1)

2

2

2

2

y

v

x

v

y

p1

y

vv

x

vu (8.2)

0y

v

x

u

(8.3)

olup, sınır tabakanın kalınlığı cismin boyutlarına kıyasla çok küçük olduğundan sınır

tabaka içinde katı cidara dik yönde oluşan basınç gradyanı akış yönünde oluşan basınç

gradyanına kıyasla ihmal edilebilir mertebededir. Basınç hariç denklem (8.2) nin ihtiva

ettiği bütün büyüklükler katı cidarda sıfırdır. Bu sebeple sınır tabakanın içerisine veya

dışarısına (8.2) denklemi ile y=0 daki sınırdan momentum transferi sıfırdır. Sınır

tabakanın bittiği yerde yani , (8.2) denkleminin terimleri yine önemsiz olduğundan

sınırından hidrodinamik sınır tabakanın içine veya dışına momentum transfer

etmede (8.2) denkleminin bir önemi yoktur. Hidrodinamik sınır tabakanın x=0 ve x=L de

bulunan sınırlarında da (8.2) denklemi ile yapılan momentum transferi sıfır veya önemsiz

olduğundan (8.2) denklemi tamamen hesap dışı bırakılabilir.

Sınır tabaka ile potansiyel akış bölgesini ayıran sınırda bulunan akış çizgisi üzerinde

Bernoulli denklemi

Cp1

U2

1 2

C

olup, türev alınarak

dx

dUU

x

p1 C

C

(8.4)

y

y



elde edilir. Burada potansiyel akışın katı cidara teğet hızı olup üçüncü bölümde

görülen potansiyel akış yaklaşımı ile belirlenmektedir. Sınır tabaka içerisindeki basınç

değişimi Eşitlik (8.4) ile tanımlanmaktadır.

Bunlara ilaveten eşitlik (8.1) de bulunan terimi teriminden çok-çok küçük

olduğundan sınır şartı bulmadaki zorluktan dolayı ihmal edilir. Son şekli ile iki

boyutlu simetrik küt cisimlerin sınır tabaka denklemleri

dx

dUU

y

u

y

uv

x

uu C

C2

2

(8.5)

0y

v

x

u

(8.6)

olarak düzenlenebilir. Genel hareket denklemlerinin sınır tabaka akışına göre kısaltılması

hususunda daha geniş bilgi için Referans 8, 26 ve 27'ye bakınız. Son iki denklemin

çözümü için gerekli olan sınır şartları

0u,0x (8.7)

CU

2

2

x

u

2

2

y

u

2

2

x

u



0v,0u,0y (8.8)

CUu,y (8.9)

olarak tanzim edilebilir.

Bu denklemlere similarity transformasyonu kullanarak, x yönünde seriye açarak, sonlu

fark eşitliklerine dönüştürerek sayısal çözüm bulmak mümkündür. Ancak similarity

transformasyonu kullanma ve x yönünde seriye açma yöntemleri bilgisayar öncesi devirde

kullanılan yöntemler olup bugün için bir değeri yoktur. Aşağıda bu denklemlerin bir

silindirin çevresinde oluşan sınır tabaka için sonlu fark metodu ile çözümü izah

edilmektedir.

Aşağıda (8.5) ve (8.6) denklemlerinin ihtiva ettiği türevlerin sonlu fark ifadeleri

verilmiştir.

x

uu

x

u j,ij,1i

fd

(8.10)

x

uu

x

u j,1ij,i

bd

(8.11)

y

uu

y

u j,i1j,i

fd

(8.12)

y

uu

y

u 1j,ij,i

bd

(8.13)

2

1j,ij,i1j,i

cd

2

2

y

uu2u

y

u

(8.14)

(8.15)

y

vv

y

v 1j,ij,i

bd

(8.16)

y

vv

y

v j,i1j,i

fd



Yukarıdaki eşitliklerden türevinin bir tek sonlu fark şeklinin olduğu görülmektedir.

Bu türevin sonlu fark şekli (8.5) denklemine konduğunda nin işareti pozitif

olmaktadır. (8.5) denkleminde bulunan diğer türevlerin sonlu fark şekli seçilirken nin

işaretinin her terimde aynı olmasına dikkat edilir. Hız bileşenleri u ve v nin pozitif işaretli

olduğu bölgede seçim

dx

dUU

y

u

y

uv

x

uu C

C

cd

2

2

bdbd

(8.17)

şeklinde yapılır ve sonuçta

dx

dUUuu

yu

y

vu

x

u

y

2

y

v

x

uu C

C1j,i1j,i21j,ij,1i2j,i

(8.18)

Sonlu fark eşitliği elde edilir. Aynı mantıkla v nin negatif, u nun pozitif olduğu bölge için

türevlerin sonlu fark seçimi

dx

dUU

y

u

y

uv

x

uu C

C

cd

2

2

fdbd

(8.19)

şeklinde yapılır ve neticede

dx

dUUuu

yu

y

vu

x

u

y

2

y

v

x

uu C

C1j,i1j,i21j,ij,1i2j,i

(8.20)

denklemi elde edilir. Sınır tabaka içerisinde hızın bileşeninin negatif olduğu bölge

ayrılma noktasının ilerisinde oluşmakta olup, kullanılan denklemler bu bölgede zaten

geçersiz olduğundan u nun negatif olduğu bölge için sonlu fark denklemi elde etmek

lüzumsuzdur. Yukarıdaki eşitliklerde bulunan indissiz u ve v hızları (i,j) noktasında

tanımlı değerler olup hesaba başlarken bunlar için sınır şartlarından faydalanarak makul

atma değerler kullanılır.

2

2

y

u

j,iu

j,iu

u



Hızın v bileşeni için safi y=0 da bir sınır şartı mevcut olduğundan (8.6) denkleminde

bulunan türevi için eşitlik (8.13) ile verilen geri fark seçeneğini kullanmak gerekir.

Aynı eşitlikte bulunan türevi içinde (8.11) ile verilen geri fark yaklaşımını kullanmak

gerekir çünkü u için x e bağlı yegâne sınır şartı x=0 da verilmektedir. Bu durumda Eşitlik

(8.6) sonlu fark şekli

j,ij,1i1j,ij,i uux

yvv

(8.21)

olur.

Her ne kadar x ekseni bir eğri olsa da eğrilik yarıçapı sınır tabakanın kalınlığına göre çok

büyük olduğundan çözüm bölgesi Şekil 8.3' de görüldüğü üzere düzgün bir bölge gibi

kabul edilebilir. Çözüm bölgesinde gridler oluşturulurken y doğrultusunda daha sık

tarama yapılır.

Şekil 8.3' de görülen düğüm noktalarındaki ve hız bileşenlerinin belirlenmesi için

(8.18), (8.20) ve (8.21) denklemleri iteratif olarak kullanılacaktır. Çözümleme işlemine

I=2 çizgisinden başlanır. I=1 çizgisi sınırda olup bu çizgi üzerinde u bileşeni sıfır olarak

zaten verilmekte, v bileşeni hesaba başlamak için discretize eşitliklerden görüldüğü üzere

lüzumlu olmamaktadır. I=1 çizgisi üzerinde bulunan j=2,3,4,5,6,7 nolu düğüm

y

v

x

u

j,iu j,iv



noktalarındaki hız bileşenleri hesaplanır. j=1 ve j=8 nolu düğüm noktaları sınırda

olduğundan bu noktalardaki u bileşeni sınır şartlarından belirli, keza j=1 deki v bileşeni

de sınır şartından belirli, j=8 deki v bileşeni ise hesap işlemlerinin yürümesi için yukarıda

verilen denklemlerde lüzumlu değildir. j=2,3,4,5,6,7 noktaları için birinci turdan

hesaplanan u ve v değerlerinin doğru olması mümkün değildir. Çünkü hesaba u ve v için

atma değerle başladık. Ancak hesaplanan değerler atma değerlerden daha doğrudur.

Birinci tur hesaptan çıkan değerler kullanılarak hesap tekrarlanırsa daha doğru sonuçlar

elde edilir. İşleme devam edilirse neticede turdan tura değişmeyen doğru değerlere

ulaşılır. Sonra I=3 ve müteakip çizgiler üzerindeki noktalara aynı metot uygulanarak sınır

tabakanın katı cidardan ayrıldığı yere kadar gidilir. Ayrılma noktasının ötesinde ne sınır

tabaka mevcut ne de sınır tabaka denklemlerinin geçerliği mevcuttur. Hesaba başlarken

çözüm bölgesinin y yönündeki boyutu bilinmediğinden tahmini bir değerle başlanır.

Eğer işletilen yetersiz ise u nun y yönündeki profilinin ucunda gerçekleşmez.

Hesabı daha büyük bir ile yenilemek gerekir. Gereğinden fazla kullanmak gerek

iteratif çözümleme işleminin süresini uzatması gerek sınır tabaka kavramının esasları ile

çelişmesi nedeni ile tercih edilmez.

8.2 Silindir Çevresindeki Sınır Tabaka Akışı

Akışa dik yerleştirilmiş bir silindirin çevresinde oluşan sınır tabakanın içerisindeki akışın

simülasyonunun yapılabilmesi için önce silindirin çevresindeki potansiyel akış hızı

nin belirlenmesi gerekir. Potansiyel akış modelinden elde edilen denklem (3.239) nin r ye

göre türevi alınır sonra yazılırsa, potansiyel akışın teğet hızının dağılımı

U U U x DC 2 2 2sin sin( / ) (8.22)

olarak belirlenir.

0y

u

UC

r ro



Şekil 8.4' de atmosferik basınç ve yoğunlukta, 20 m/s lik hıza sahip bir hava akımı

içerisine yerleştirilen 20 mm çapındaki bir silindirin çevresinde oluşan sınır tabaka

içindeki hız profilleri görülmektedir.

Görüldüğü üzere 91.88 derece için verilen hız profilinde cidardan itibaren 0.30 mm nin

ilerisinde hız değişiklik arz etmemektedir. Sınır tabaka kalınlığı olarak isimlendirdiğimiz

bu mesafe 101 derece için verilen eğride 0.6 mm gibi bir değere ulaşmaktadır. Hatta sınır

tabakanın serbest akış bölgesinden kesin hatlarla ayrılmadığı görülmektedir. Üstelik 101

derece için verilen eğride y=0 civarında olduğu görülmektedir. Bu durum 101

derece civarında sınır tabakanın cidardan ayrıldığı anlamına gelir. Blasius serisi ile

yapılan çözümlemelerde silindir çevresindeki sınır tabakanın ayrılma noktası 108 derece

olarak belirlenmiştir. Burada kullanılan sonlu fark yöntemi ile de 108 dereceye yaklaşmak

mümkündür. Ancak y doğrultusunda daha sık grid kullanmak gerekir. Ayrılma noktasını

müteakip bir vortex oluşur ve vortex’ten sonra tekrar bir sınır tabaka daha gelişmeye

başlar. Ancak vortex akışı karıştırdığı için vortexten sonra gelişen sınır tabaka türbülanslı

olmak zorundadır. Şekil 8.4 te verilen hız profilleri aşağıda verilen CYLINDER isimli

bilgisayar programından elde edilmiştir.

0.0y

u



8.3 İnce Düz Levhaların Yüzeylerinde Oluşan Sınır Tabaka İçinde Akış

Akışa paralel yerleştirilmiş ince düz levhaların ileri ucundan başlayarak geri doğru bir

sınır tabaka gelişir. Sınır tabakanın ileri uçtaki kalınlığı sıfır olup ileri uçta akışın teğet

hızının profili Şekil 8.5' te görüldüğü gibi üniform kabul edilmektedir. Sınır tabaka

içerisindeki akışı yöneten eşitlikler küt cisimlerin çevresindeki sınır tabaka akışını

yöneten eşitliklerden farklılık arz etmektedir. Cisim ince olduğu için x doğrultusunda

basınç değişimi olmaz. Hareket denklemleri



2

2

y

u

y

uv

x

uu

(8.23)

u

x

v

y 0 (8.24)

şeklinde kısalır. Denklem (8.23) ün

uu

x

v

y y

u

xu

v

yu

yu ui j i j i j i j i j, , , , ,

22 1 1 2 1 1

(8.25)

şeklinde discretize edilmesi mümkündür. Görüldüğü üzere x momentum denklemi aynen

küt cisimlerin x momentum denklemi gibi discretize edilmektedir. Süreklilik denklemi

küt cisimlerin süreklilik denklemi gibi discretize edilirse netice vermemektedir. Pleyt

üzerindeki akışta küt cisimlerin sınır şartlarına ilaveten

y v , 0

şeklinde bir sınır şartı daha mevcut olduğu için süreklilik denklemini

v vy

xu ui j i j i j i j, , , , 1 1

(8.26)

şeklinde discretize etmekte mümkündür. Bu yaklaşım çözümleme açısından avantajlı

olmakla birlikte sonuçlar tartışılabilir. Çünkü bu algoritim y doğrultusunda cidara doğru



asılsız bir v hızı yaratmaktadır. Kusursuz netice elde etmek için çok fazla grid kullanmak

gerekmektedir.

Şekil 8.6 da hava akımı içerisine yerleştirilmiş bir pleytin yüzeylerinde oluşan

hidrodinamik sınır tabaka içerisinde oluşan teğet hız profilleri verilmiştir. Akışın geldiği

tarafta bulunan uçtan itibaren 10. ve 20. mm için belirlenen hız profillerinin birbirini

kestiği görülmektedir. Bunun sebebi sınır tabaka içerisinde hafif bir çalkantının olmasıdır.

Akış yönünde uzaklaştıkça bu çalkantı yok olmaktadır. Görüldüğü üzere akışın geldiği

tarafta bulunan uçtan diğer uca doğru uzaklaştıkça teğet hız profili değişmekte y=0 daki

hız gradyanı azalmaktadır. İleri uçtan belirli bir uzaklıkta hız gradyanı sıfır olacak ve sınır

tabaka ayrılması zuhur edecektir. Pleyt üzeri akışta sınır tabaka ayrılması küt cisimlere

göre daha geç olmaktadır. Bunun sebebi basınç gradyanının sınır tabaka ayrılmasını

çabuklaştıran etkisinin ortadan kalkmasıdır. Şekil 8.6 da görülen hız profilleri aşağıda

verilen PLATE isimli programın sonuçlarıdır.



8.4 İki Paralel Plaka Arasındaki Giriş Bölgesi Akışı

Bölüm 4 de açıklandığı üzere paralel düz yüzeyler arasındaki kanallarda zuhur eden

akışı, giriş bölgesi ve tam gelişmiş akış bölgesi olmak üzere iki bölüme ayırmak

mümkündür. Tam gelişmiş akış tek boyutlu bir akış olup hâlihazırda Bölüm 4 de

incelenmiştir. İki boyutlu bir akış türü olan giriş bölgesi akışı bu kısımda ele alınmaktadır.

Bu bölgedeki akış sınır tabaka denklemleri ile simülasyon yapılabilmektedir.

Pleyt üzerindeki akışta olduğu gibi düz yüzeyler arasındaki giriş bölgesi akışında da

kanalın girişinden itibaren yüzeyler üzerinde sınır tabaka gelişmeye başlar ve akış



istikametinde kalınlaşır. Kanalın girişinden itibaren belirli bir yerde bu iki sınır tabaka

birbirine kavuşur ve sınır tabaka akışı tam gelişmiş akışa dönüşür.

Küt cisimlerin çevresindeki akışta basıncın sınır tabaka içinde akış doğrultusundaki

değişimi potansiyel akıştan belirlenmekte, pleyt çevresindeki akışta da akışın fiziki

şartlarından dolayı sıfır olmakta idi. Fakat giriş bölgesi akışlarında basıncın değişiminin

öncelikle belirlenmesi mümkün değildir.

İki pleyt arasındaki giriş bölgesi akışlarının simülasyonunda

uu

xv

u

y

u

y

p

x

2

2

1 (8.27)

u

x

v

y 0 (8.28)

denklemleri kullanılmaktadır. Basıncın akış doğrultusundaki değişimi de bir

bilinmeyen olduğu için bir denkleme daha ihtiyaç vardır. Bu boşluğu doldurmak için

integral süreklilik denklemi

uh

udyh

1

0 (8.29)

kullanılabilir. İntegral süreklilik denkleminde ortalama hızı göstermekte olup kanalın

girişindeki üniform hıza eşittir. Denklem (8.27) ve (8.28) in discretize edilmiş şekli

, 1, , 1 , 1 , 12 2

2 1i j i j i j i j i j

u v u v dpu u u u u

x y y x y y dx

(8.30)

j,ij,1i1j,ij,i uu

x

yvv

(8.31)

olur. Bu eşitlikte bulunan indis verilmemiş hız bileşenleri u ve v, (i,j) noktasına ait

değerlerdir. Denklem (8.29) de bulunan integral sayısal olarak çözülebilir. Bunun için

trapezoid dönüşümü

p

x

u



uh

u uy

i j i j

j

j

1

21

1

( ), ,

max (8.32)

kullanılabilir. Problemin sınır şartları

x u Ui 0, (8.33)

y u v 0 0 0, , (8.34)

y h u , 0 (8.35)

şeklinde tanzim edilebilir. Kanalın girişinde her şey sınır şartlarından belirli olduğu için

çözümlemeye den başlanır. belirsiz olduğu için atma bir değer kullanılır. Bu

atma değere göre de u ve v nin dağılımı belirlenir. Sonra eşitlik (8.29) u

kullanarak ortalama hız belirlenir. Belirlenen bu ortalama hız kanalın girişindeki uniform

hıza eşit değilse için yeni bir değer atılır ve işlem tekrarlanır. Bu sürecin sonunda

deki u, v ve belirlenir. Sonra aynı işlemler de tekrarlanır. Bu tarzda

devam ederek giriş bölgesinin tamamında u, v ve in dağılımı belirlenir. Belirli bir

yerden sonra in değişimi sıfır olmamakla birlikte yeterince küçülecektir. Bu sonuç

giriş bölgesinin bittiği anlamına gelir. Hakikatte in değişimi asimptotik olarak

sonsuza kadar devam eder. Şekil 8.7 görülen u profilleri ve Şekil 8.8' de görülen

profili aşağıda verilen INLET isimli programdan elde edilen sonuçlardır. Bu sonuçlar

genişliği 1 mm olan ve içerisinden atmosferik yoğunlukta ve viskozitede hava akan bir

kanalın giriş bölgesi için elde edilmiştir. Şekil 8.8' de kanalın girişinde in sonsuz

olduğu görülmektedir. Bunun sebebi kanalın girişinde nin sonsuz olmasıdır.

x x

p

x

x x

p

x

x x

p

xx x 2

p

x

p

x

p

x

p

x

p

x

( )

u

yrw



Kanalın girişinde nin sonsuz olmasını yaratan fiziki sebep de kullanılan sınır

şartıdır. Akışkan viskoz olduğu sürece kanalın girişinde üniform hız dağılımı mümkün

değildir. Buradaki hız dağılımı belirsiz olduğundan zorunlu olarak üniform hız varsayımı

yapılmaktadır.

( )

u

yrw



8.5 Silindirik Borularda Giriş Bölgesi Akışı

Bir silindirik boru bir serbest akış ortamında akışa paralel duracak şekilde

konumlandırılırsa buruya bir uçtan girip diğer uçtan çıkan akışkan borunun girişinden

başlayıp içeri doğru giderken gittikçe kalınlaşan bir sınır tabaka oluşturur. Sınır tabakanın

kalınlığı borunun içerisinde bir yerde borunun yarıçapına eşitlenir. Bu noktadan itibaren

akış tam gelişmiş akış olup, boru içindeki tam gelişmiş akış bölüm 4 te incelenmiştir. Tam

gelişmiş akıştan önceki akışa giriş bölgesi akışı denilmekte olup bu akışın mevcut olduğu

yerin uzunluğu 5L

D şeklinde bir eşitlik ile tanımlanmaktadır. Bu eşitlikte bulunan L ile

borunun girişinden itibaren akış yönündeki mesafe D ile borunun çapı gösterilmektedir.

Bölüm 7 de silindirik geometride zuhur eden 3 boyutlu laminer akışın momentum, r

momentum, z momentum ve süreklilik denklemleri sırası ile

gz

vv

r

2v

r

1rv

rr

1

r

p

r

1

z

vv

r

vvv

r

v

r

vv

t

v

2

2

r

22

2

2

zr

r

(8.36)

r2

r

2

22

r

2

2r

rz

2

rrr

r

gz

vv

r

2v

r

1vr

rr

1

r

r

p1

z

vv

r

vv

r

v

r

vv

t

v

(8.37)

z2

z

2

2

z

2

2

z

zz

zzr

z

gz

vv

r

1

r

vr

rr

1

z

p1

z

vv

v

r

v

r

vv

t

v

(8.38)

0vz

vr

1rv

rr

1zr

(8.39)



şeklinde verilmiştir. Buru ekseninin doğrultusu ile akışın doğrultusu aynı olduğu sürece

silindirik borunun girişindeki akışta hızın bileşeni mevcut değildir. Bu sebeple eşitlik

(8.36) işlem dışı kalır. Boru girişindeki sınır tabaka içerisine yada dışarısına r momentum

denklemi ile taşınan momentum, z momentum denklemi ile taşınan momentumdan çok

daha az olduğundan eşitlik (8.37) de işlem dışı kalmaktadır. Giriş bölgesindeki akışta V

nın mevcut olmadığı, akışın sürekli olduğu, yönünde hız değişimi olmadığı, ayrıca

2

2

1z z

v vr

r r r z

olduğu dikkate alınarak eşitlik (8.38) ve (8.39)

v

r

v

r

v

z

r r z 0 (8.40)

vv

rv

v

z

v

r r

v

r

p

zr

z

z

z z z

2

2

1 1 (8.41)

şeklinde kısaltılır. Kısaltma konusunda detaylı bilgi için referans 8, 26 ve 27'ye bakınız.

Bu eşitliklerde bulunan de bir bilinmeyen olduğu için bir denklem daha

gerekmektedir. Bu maksatla integral süreklilik denklemi

drrv2Qwr

0z (8.42)

kullanılabilir. Sınır şartları

z v Vz i 0, (8.43)

rv

rvz

r 0 0 0, ,

(8.44)

r r vw z , 0 (8.45)

şeklinde düzenlenebilir. Burada boru girişindeki üniform hızdır.

p

z

Vi



Denklem (8.40) ve (8.41) stability ve sınır şartlarına riayet ederek discretize edilirse

vr r z

v vr

vr i j z i j z i j r i j( , ) ( , ) ( , ) ( , )( )1 1 1 1

1 1

(8.46)

)1j,i(z)1j,i(z)1j,i(z2)j,1i(zz

)1j,i(zr

2

zr)j,i(z

vrr

vvr

vz

v

vr

v

z

p1)

rrr

2

z

v

r

v(v

(8.47)

neticeleri elde edilir. Denklem (8.42) de verilen integralin Trapezoit dönüşümü

Q r v vr

i

j

j

z i j z i j

221

1max

( , ) ( , )

(8.48)

olur. Discretize denklemlerin kullanım prosedürü iki pleyt arasındaki giriş bölgesi akışı

için verilen prosedürden hiç bir farklılık arz etmediğinden burada tekrarlanmayacaktır.

Şekil 8.9 da görülen profilleri, Şekil 8.10 da görülen profilleri ve Şekil 8.11 de

görülen profili aşağıda verilen INLETTUB isimli programdan elde edilen sonuçlardır.

Bu sonuçlar çapı 2 mm olan ve içerisinden atmosferik yoğunlukta ve viskozitede hava

akan bir kanalın giriş bölgesi için elde edilmiştir.

v z v r

p

x



8.6 Dikdörtgen Kesitli Borularda Giriş Bölgesi Akışı

Dikdörtgen kesitli bir kanal bir serbest akış ortamına akışa paralel biçimde yerleştirilirse,

kanala akışkan uniform bir hız dağılımı ile girer ve kanala dik olan her iki koordinatta

yavaş yavaş tam gelişmiş parabolik şekle dönüşür. Bu akış otomobil radyatörlerinin ve

kompakt ısı eşanjörlerinin tasarımında önem arz etmektedir.

Akış yönünde girişten itibaren kanalın cidarlarında viskoz sınır tabaka gelişmesi

olmaktadır (Şekil 8.12). Girişte viskoz sınır tabakanın kalınlığı sıfır olup akış yönünde

büyümektedir. Eğer kanalın akış yönündeki boyutu yeterince uzunsa her dört cidarda



oluşan sınır tabakalar bir yerde birleşecektir. Bu noktadan itibaren akış tam gelişmiş olup

hız profilinde herhangi bir

Şekil 8.12

değişme söz konusu değildir. Hem kanalın girişinde hem de tam gelişmiş bölgede hızın

cidarlara dik bileşenleri mevcut değildir. Radyatörlerde ve hava soğutmalı kompakt ısı

eşanjörlerinde kanalın boyu tam gelişmiş akışın oluşacağı kadar uzun değildir. Basınç

değişimi safi akış doğrultusunda olmaktadır. Kanal içerisinde hâkim hız bileşeni kanal

eksenine paralel olan hız bileşenidir. Dar kanallardaki bu tür akışlara laminer sıkışmaz

akış muamelesi yapılabilir.

Akışı modellemede

2

2

2

2

y

u

x

u

x

p1

z

uw

y

uv

x

uu (8.49)

2

2

2

2

y

v

x

v

y

p1

z

vw

y

vv

x

vu (8.50)

2

2

2

2

y

w

x

w

z

p1

z

ww

y

wv

x

wu (8.51)

z

w

y

v

z

v

y

w

z

w

x

u

x

w

z

u

y

v

x

u

x

v

y

u2

1

z

p

y

p

x

p2

2

2

2

2

2

(8.52)



CAC dydxwAW (8.53)

denklemleri kullanılabilir. Son eşitlikte bulunan cA kanalın akış kesitini göstermektedir.

Problemin çözüm bölgesi Şekil 8.13 de görülmektedir.

Akış yönü (W)Şekil 8.13

hD hidrolik çap olmak üzere hD/xX , hD/yY , hD/zZ boyutsuz koordinatları ve,

2/W

pP

2

,

hDW

Re boyutsuz değerleri kullanılarak (8.49,8.50,8.51,8.52,8.53)

denklemleri

2

2

2

2

Y

U

X

U

Re

1

X

P

2

1

Z

UW

Y

UV

X

UU , (8.54)

2

2

2

2

Y

V

X

V

Re

1

Y

P

2

1

Z

VW

Y

VV

X

VU , (8.55)



2

2

2

2

Y

W

X

W

Re

1

Z

P

2

1

Z

WW

Y

WV

X

WU , (8.56)

)Z

V

Y

W

Z

W

Y

V

X

W

Z

U

Z

W

X

U

X

V

Y

U

Y

V

X

U(4

Z

P

Y

P

X

P2

2

2

2

2

2

(8.57)

2

h

C

D

AdYdXW (8.58)

şeklinde boyutsuzlaştırılır. U, V, W ve P nin hesabında sırası ile (8.54), (8.55), (8.56) ve

(8.57) eşitliklerinin sonlu fark şekli kullanılmaktadır. Sonlu fark denklemlerinin

çözümünde Newton-Raphson metodu daha avantajlı olmaktadır.

Denklem (8.54) nın sonlu fark şeklini kullanarak Newton-Raphson metodu ile U yu

hesaplamak için,

1n

k,j,i

1n

k,j,i

n

k,j,i

U

Ru

RuUU

(8.59)

düzenlemesi yapılır. Burada 1n

k,j,iU ve n

k,j,iU ile U nun iteratif olarak düzeltilen nodal

değerleri gösterilmektedir. Giriş bölgesi akışlarında W daima pozitif değerler almaktadır.

Hızın diğer bileşenleri pozitif veya negatif değerler alabilir. Denklem (8.54) dan Ru yu

elde etmek için U nun X ve Y ye göre ikinci mertebe türevleri merkezi fark yaklaşımları

ile ifade edilir. U nun Z ye göre birinci mertebe türevi geri fark yaklaşımı ile ifade edilir

çükü Unun sınır şartı kanalın girişinde verilmektedir. U’ nun X ve Y ye göre birinci

mertebe türevlerinin sonlu fark şekli yazılırken, U ve V nin negatif mi pozitif mi olduğu

dikkate alınır. U nun birinci mertebe türevleri geri fark yaklaşımı ile ifade edilerek, U ve

V nin pozitif değerleri için denklem (8.54) den



).PP(X4

1

)UU2U(YRe

1

)UU2U(XRe

1)UU(

Z

W

)UU(Y

V)UU(

X

URu

1n

k,j,1i

1n

k,j,1i

1n

k,1j,i

1n

k,j,i

1n

k,1j,i2

1n

k,j,1i

1n

k,i,i

1n

k,j,1i2

1n

1k,j,i

1n

k,j,i

1n

k,j,i

1n

k,1j,i

1n

k,j,i

1n

k,j,i1n

k,j,1i

1n

k,j,i

1n

k,j,i

(8.60)

22

1n

k,j,i

1n

k,j,i

1n

k,j,i

1n

k,j,i YRe

2

XRe

2

Z

W

Y

V

X

U

U

Ru

(8.61)

elde edilir. U nun birinci mertebe türevleri ileri fark yaklaşımı ile ifade edilerek, U ve V

nin negatif değerleri için,

).PP(X4

1

)UU2U(YRe

1

)UU2U(XRe

1)UU(

Z

W

)UU(Y

V)UU(

X

URu

1n

k,j,1i

1n

k,j,1i

1n

k,1j,i

1n

k,j,i

1n

k,1j,i2

1n

k,j,1i

1n

k,i,i

1n

k,j,1i2

1n

1k,j,i

1n

k,j,i

1n

k,j,i

1n

k,j,i

1n

k,1j,i

1n

k,j,i1n

k,j,i

1n

k,j,1i

1n

k,j,i

(8.62)

22

1n

k,j,i

1n

k,j,i

1n

k,j,i

1n

k,j,i YRe

2

XRe

2

Z

W

Y

V

X

U

U

Ru

. (8.63)

elde edilir. U ve V nin değeri ister pozitif olsun ister negatif aynı veriler kullanıldığı

zaman denklem (8.60) ve (8.62) birbirine son derece yakın Ru değerleri vermektedir. Bu

sebeple Ru nun hesabında bu eşitliklerden herhangi biri kullanılabilir.

Denklem (8.61) ve (8.63) kullanılarak 1n

k,j,iU

Ru

hesaplanırsa farklı sonuçlar ortaya çıkar.

Katsayı durumundaki U ve V nin pozitif olması durumunda geri fark, negatif olması



durumunda ileri fark kullanmanın önemi burada ortaya çıkmaktadır. Yukarda dikkate

alınan iki hale ilaveten birde U nun negatif V nin pozitif ve U nun pozitif V nin negatif

olduğu halleri dikkate alırsak 1n

k,j,iU

Ru

nun hesabında 4 farklı denklemin şartlı olarak

kullanılması gerektiği ortaya çıkar. Öte yandan 1n

k,j,iU

Ru

yu

22

1n

k,j,i

1n

k,j,i

1n

k,j,i

1n

k,j,i YRe

2

XRe

2

Z

W

Y

V

X

U

U

Ru

(8.64)

şeklinde ifade edersek 1n

k,j,iU

Ru

nin hesabında dört farklı denklemin şartlı kullanımı

gereksiz olacaktır. Newton-Raphson metodunu kullanmanın avantajı burada ortaya

çıkmaktadır. Denklem (8.55) ve (8.57) nin sonlu fark şeklinin elde edilmesi hiçbir

farklılık arz etmeyip işlemin neticesinde aşağıdaki denklemeler elde edilmektedir.

1n

k,j,i

1n

k,j,i

n

k,j,i

V

Rv

RvVV

(8.65)

).PP(Y4

1

)VV2V(YRe

1

)VV2V(XRe

1)VV(

Z

W

)VV(Y

V)VV(

X

URv

1n

k,1j,i

1n

k,1j,i

1n

k,1j,i

1n

k,j,i

1n

k,1j,i2

1n

k,j,1i

1n

k,i,i

1n

k,j,1i2

1n

1k,j,i

1n

k,j,i

1n

k,j,i

1n

k,j,i

1n

k,1j,i

1n

k,j,i1n

k,j,i

1n

k,j,1i

1n

k,j,i

(8.66)

22

1n

k,j,i

1n

k,j,i

1n

k,j,i

1n

k,j,i YRe

2

XRe

2

Z

W

Y

V

X

U

V

Rv

(8.67)



1n

k,j,i

1n

k,j,i

n

k,j,i

W

Rw

RwWW

(8.68)

).PP(Z4

1

)WW2W(YRe

1

)WW2W(XRe

1)WW(

Z

W

)WW(Y

V)WW(

X

URw

1n

1k,j,i

1n

1k,j,i

1n

k,1j,i

1n

k,j,i

1n

k,1j,i2

1n

k,j,1i

1n

k,i,i

1n

k,j,1i2

1n

1k,j,i

1n

k,j,i

1n

k,j,i

1n

k,j,i

1n

k,1j,i

1n

k,j,i1n

k,j,i

1n

k,j,1i

1n

k,j,i

(8.69)

22

1n

k,j,i

1n

k,j,i

1n

k,j,i

1n

k,j,i YRe

2

XRe

2

Z

W

Y

V

X

U

W

Rw

(8.70)

Basınç alanının hesabında kullanılacak olan (8.57) denkleminin nin sonlu fark şekli,

1n

k,j,i

1n

k,j,i

n

k,j,i

P

Rp

RpPP

(8.71)

k,j,i

1n

2k,j,1i

1n

1k,j,i

1n

k,j,i2

1n

k,1j,i

1n

k,j,i

1n

k,1j,i2

1n

k,j,1i

1n

k,j,i

1n

k,j,1i2

)PP2P(Z

1

)PP2P(Y

1

)PP2P(X

1Rp

(8.72)

2221n

k,j,iZ

1

Y

2

X

2

P

Rp

. (8.73)

olur. Sınır şartları boyutsuz koordinatlar için



wm

w

wm

w

i

PP,0W,0V,0U,YY

PP,0W,0V,0U,0Y

PP,0W,0V,0U,XX

PP,0W,0V,0U,0X

0Z

P,PP,1W,0V,0U,0Z

şeklinde düzenlenebilir. Denklem (8.58) nin nodal değerler cinsinden ifadesi

)1jm)(1im(4WWWW 1j,1i1j,ij,1ij,i

jm

1j

im

1i

(8.74)

olur.

Bu problem Z koordinatında bir başlangıç değer problemi olup kanalın girişinde basınç

alanı için iki sınır şartı verilmektedir. Bu sebeple grid düzlemlerinden ikisi kanalın

dışarısında kalacak biçimde bir gridlendirme yapılır. İlk iki düzlemdeki hız ve basınç

alanları sınır şartları ile verilmektedir. Çözümleme işlemine üçüncü düzlemden başlanır.

Üçüncü düzlem kanalın tam girişinde bulunmaktadır. Üçüncü düzlemin sınırlarında

çepeçevre basıncın aynı olduğu kabul edilerek bir değer tahmin edilir ve ilgili eşitlikler

kullanılarak nodal basınç değerleri belirlenir. Müteakiben belirlenen nodal basınç

değerleri kullanılarak nodal hız bileşenleri belirlenir. Eşitlik (8.74) in sağlanıp

sağlanmadığı kontrol edilir. Eğer sağlanmıyorsa düzlemin sınırlarındaki basınç için

yapılan tahmin yenilenerek işlemler tekrarlanır. Denklem (3.18) sağlandıktan sonra

dördüncü düzleme geçilir. Dördüncü düzlemde yapılacak iş üçüncü düzlemde yapılanların

tekrarından başka bir şey değildir. Şekil 8.14 ve 8.15de dikdörtgen kanalın ardışık iki

kesitindeki eksenel hız dağılımı görülmektedir. Bu bölümün sonuna eklenen STOCK

isimli FORTRAN programı dikdörtgen kesitli kanallardaki giriş bölgesi akışının

simülasyonudur.



Şekil 8.14

Şekil 8.15



PROGRAM STOCK

DIMENSION U(21,61,51),V(21,61,51),W(21,61,51),P(21,61,51),

*F(21,61,51)

OPEN(UNIT=17,FILE='G1.DAT')

XM=1.0/1000.0

YM=3.0/1000.0

ZM=45.0/1000.0

A=XM*YM

HP=2.0*XM+2.0*YM

HD=4.0*A/HP

X=XM/HD

Y=YM/HD

Z=ZM/HD

IM=21

JM=61

KM=51

DX=X/(IM-1)

DY=Y/(JM-1)

DZ=Z/30.0

CV=20.0E-06

PZF=-0.183

RE=250.0

PRINT*,'RE=',RE,DZ,HD

DO K=1,KM

DO I=1,IM

DO J=1,JM

W(I,J,K)=0.0

U(I,J,K)=0.0

V(I,J,K)=0.0

END DO

END DO

END DO

DO K=1,KM

DO I=1,IM

DO J=1,JM

P(I,J,1)=100.0

P(I,J,2)=99.024

P(I,J,3)=98.583

P(I,J,4)=98.243

P(I,J,5)=97.93

P(I,J,6)=97.631

P(I,J,7)=97.340

P(I,J,8)=97.053

P(I,J,9)=96.768

P(I,J,10)=96.484

P(I,J,11)=96.203

P(I,J,12)=95.923

P(I,J,13)=95.644

P(I,J,14)=95.365

P(I,J,15)=95.087

P(I,J,16)=94.81

P(I,J,17)=94.534

P(I,J,18)=94.256

P(I,J,19)=93.98

P(I,J,20)=93.705

P(I,J,21)=93.43

P(I,J,22)=93.152

P(I,J,23)=92.877

P(I,J,24)=92.603

P(I,J,25)=92.327

P(I,J,26)=92.052



P(I,J,27)=91.777

P(I,J,28)=91.502

P(I,J,29)=91.227

P(I,J,30)=90.952

P(I,J,31)=90.677

P(I,J,32)=90.402

P(I,J,33)=90.127

P(I,J,34)=89.852

P(I,J,35)=89.578

P(I,J,36)=89.304

P(I,J,37)=89.03

P(I,J,38)=88.754

P(I,J,39)=88.479

P(I,J,40)=88.206

P(I,J,41)=87.930

P(I,J,42)=87.656

P(I,J,43)=87.382

P(I,J,44)=87.107

END DO

END DO

END DO

DO K=2,42

GRP=-(P(1,1,K)-P(1,1,K-1))/DZ

PRINT*,GRP

WRITE(17,35)GRP

END DO

DO I=2,IM-1

DO J=2,JM-1

W(I,J,1)=1.0

END DO

END DO

C------------------------

C CALL FULLY(RE,DX,DY,W,IM,JM,KM,PZF,WA)

DO 1 K=2,2

2 DO L=1,2

CALL PRES(DX,DY,DZ,P,F,IM,JM,K)

CALL UVW(RE,DX,DY,DZ,U,V,W,K,P,IM,JM,WA)

CALL FONK(DX,DY,DZ,U,V,W,IM,JM,F,K)

END DO

DIF=ABS(1.0-WA)

IF(DIF.GT.0.0025)THEN

PRINT*,'INTRODUCE PW',' WA',WA,' PW=',P(1,1,K)

READ*,PW

DO I=1,IM

DO J=1,JM

P(I,J,K)=PW

END DO

END DO

GO TO 2

END IF

1 CONTINUE

35 FORMAT(F7.4)

STOP

END



C----------------------------

SUBROUTINE PRES(DX,DY,DZ,P,F,IM,JM,K)

DIMENSION P(21,61,51),F(21,61,51)

DO N=1,500

DO I=2,IM-1

DO J=2,JM-1

IF(K.EQ.2)THEN

RAT=(P(I+1,J,K)-2.0*P(I,J,K)+P(I-1,J,K))/DX**2+

*(P(I,J+1,K)-2.0*P(I,J,K)+P(I,J-1,K))/DY**2+

*(P(I,J,K)-2.0*100.0+100.0)/DZ**2+F(I,J,K)

ELSE

RAT=(P(I+1,J,K)-2.0*P(I,J,K)+P(I-1,J,K))/DX**2+

*(P(I,J+1,K)-2.0*P(I,J,K)+P(I,J-1,K))/DY**2+

*(P(I,J,K)-2.0*P(I,J,K-1)+P(I,J,K-2))/DZ**2+F(I,J,K)

END IF

P(I,J,K)=P(I,J,K)-RAT/(-2.0/DX**2-2.0/DY**2)

END DO

END DO

C PRINT*,P(11,31,K),N

END DO

RETURN

END

C-------------------

SUBROUTINE FONK(DX,DY,DZ,U,V,W,IM,JM,F,K)

DIMENSION F(21,61,51),U(21,61,51),V(21,61,51),W(21,61,51)

DO I=2,IM-1

DO J=2,JM-1

F(I,J,K)=2.0*(((U(I+1,J,K)-U(I-1,J,K))/(2.0*DX))**2+

*((V(I,J+1,K)-V(I,J-1,K))/(2.0*DY))**2+

*((W(I,J,K)-W(I,J,K-1))/DZ)**2+

*2.0*((U(I,J+1,K)-U(I,J-1,K))*(V(I+1,J,K)-V(I-1,J,K))/(4.0*DX*DY)+

*(U(I,J,K)-U(I,J,K-1))*(W(I+1,J,K)-W(I-1,J,K))/(2.0*DZ*DX)+

*(V(I,J,K)-V(I,J,K-1))*(W(I,J+1,K)-W(I,J-1,K))/(2.0*DZ*DY)))

END DO

END DO

RETURN

END

C------------------------------------------------------

SUBROUTINE UVW(RE,DX,DY,DZ,U,V,W,K,P,IM,JM,WA)

DIMENSION U(21,61,51),V(21,61,51),W(21,61,51),P(21,61,51)

DO N=1,150

DO I=2,IM-1

DO J=2,JM-1

RW1=((P(I,J,K)-P(I,J,K-1))/(2.0*DZ)+

*U(I,J,K)*(W(I,J,K)-W(I-1,J,K))/DX+

*V(I,J,K)*(W(I,J,K)-W(I,J-1,K))/DY+

*W(I,J,K)*(W(I,J,K)-W(I,J,K-1))/DZ-

*(W(I+1,J,K)-2.0*W(I,J,K)+W(I-1,J,K))/(RE*DX**2)-

*(W(I,J+1,K)-2.0*W(I,J,K)+W(I,J-1,K))/(RE*DY**2))

DW1=(ABS(U(I,J,K)/DX)+ABS(V(I,J,K)/DY)+W(I,J,K)/DZ+

*2.0/(RE*DX**2)+2.0/(RE*DY**2))

C------------------------

RV1=(P(I,J+1,K)-P(I,J-1,K))/(4.0*DY)+

*U(I,J,K)*(V(I,J,K)-V(I-1,J,K))/DX+

*V(I,J,K)*(V(I,J,K)-V(I,J-1,K))/DY+

*W(I,J,K)*(V(I,J,K)-V(I,J,K-1))/DZ-

*(V(I+1,J,K)-2.0*V(I,J,K)+V(I-1,J,K))/(RE*DX**2)-

*(V(I,J+1,K)-2.0*V(I,J,K)+V(I,J-1,K))/(RE*DY**2)

DV1=(ABS(U(I,J,K)/DX)+ABS(V(I,J,K)/DY)+W(I,J,K)/DZ+

*2.0/(RE*DX**2)+2.0/(RE*DY**2))

C--------------------------



RU1=(P(I+1,J,K)-P(I-1,J,K))/(4.0*DX)+

*U(I,J,K)*(U(I,J,K)-U(I-1,J,K))/DX+

*V(I,J,K)*(U(I,J,K)-U(I,J-1,K))/DY+

*W(I,J,K)*(U(I,J,K)-U(I,J,K-1))/DZ-

*(U(I+1,J,K)-2.0*U(I,J,K)+U(I-1,J,K))/(RE*DX**2)-

*(U(I,J+1,K)-2.0*U(I,J,K)+U(I,J-1,K))/(RE*DY**2)

DU1=(ABS(U(I,J,K)/DX)+ABS(V(I,J,K)/DY)+W(I,J,K)/DZ+

*2.0/(RE*DX**2)+2.0/(RE*DY**2))

C---------------------------------

W(I,J,K)=W(I,J,K)-RW1/DW1

V(I,J,K)=V(I,J,K)-RV1/DV1

U(I,J,K)=U(I,J,K)-RU1/DU1

END DO

END DO

C PRINT*,W(6,31,K),W(11,31,K),W(16,31,K)

END DO

WA=0.0

DO I=1,IM-1

DO J=1,JM-1

WA=WA+(W(I,J,K)+W(I+1,J,K)+W(I,J+1,K)+W(I+1,J+1,K))/

*(4.0*(IM-1)*(JM-1))

END DO

END DO

C PRINT*,'WA=',WA,' K=',K

RETURN

END

C------------------------------------------------------------

SUBROUTINE FULLY(RE,DX,DY,W,IM,JM,KM,PZF,WA)

DIMENSION W(21,61,51)

DO L=1,1500

DO I=2,IM-1

DO J=2,JM-1

RES=(W(I+1,J,KM)-2.0*W(I,J,KM)+W(I-1,J,KM))/(RE*DX**2)+

*(W(I,J+1,KM)-2.0*W(I,J,KM)+W(I,J-1,KM))/(RE*DY**2)-PZF/2.0

DW=-2.0/(RE*DX**2)-2.0/(RE*DY**2)

W(I,J,KM)=W(I,J,KM)-RES/DW

END DO

END DO

END DO

WAF=0.0

DO I=1,IM-1

DO J=1,JM-1

WA=WA+(W(I,J,KM)+W(I+1,J,KM)+W(I,J+1,KM)+W(I+1,J+1,KM))/

*(4.0*(IM-1)*(JM-1))

END DO

END DO

RETURN

END



BÖLÜM 9: İKİ BOYUTLU VİSKOZ AKIŞ DENKLEMLERİNİN ÇÖZÜMÜ

Sıkıştırılamaz viskoz akışın Bölüm 7 de verilen genel hareket denklemleri bu bölümde iki

boyutlu akış alanlarının simülasyonu için kullanılacaktır. Akışın z doğrultusunda değişim

göstermediği kabul edilirse denklemler

0y

v

x

u

(9.1)

2

2

2

2

y

u

x

u

x

p1

y

uv

x

uu (9.2)

2

2

2

2

y

v

x

v

y

p1

y

vv

x

vu (9.3)

şeklinde düzenlenir. Bu denklemler mevcut şekli ile sonlu fark denklemlerine

dönüştürülerek bilgisayar yardımı ile çözülebilmektedir. Denklemlerin mevcut şekli ile

çözümü bazı zorluklar ihtiva ettiği için burada önce tek denkleme dönüştürülecek sonra

çözülecektir.

8.1 Hareket Denklemlerinin Streamline Şekli

Bu kısımda (9.1), (9.2) ve (9.3) eşitlikleri ile verilen hareket denklemlerinin tek bir

denkleme dönüşümü yapılacaktır. Eşitlik (9.2) nin bütün terimleri y ile türetilirse

3

3

2

32

2

22

y

u

yx

u

yx

p1

y

u

y

v

y

uv

x

u

y

u

yx

uu (9.4)

olur. Süreklilik denkleminin gereği olarak son eşitlikte bulunan ikinci ve dördüncü

terimlerin toplamı sıfırdır. Denklem (9.3) ün bütün terimleri x ile türetilirse



xy

v

x

v

xy

p1

y

v

x

v

xy

vv

x

v

x

u

x

vu

2

3

3

322

2

2

(9.5)

olur. Süreklilik denkleminin gereği olarak son denklemde bulunan ikinci ve dördüncü

terimlerin toplamı sıfırdır. Denklem (9.4) den (9.5) çıkartılırsa

)

x

v

y

u(

y)

x

v

y

u(

x)

x

v

y

u(

yv)

x

v

y

u(

xu

2

2

2

2

(9.6)

elde edilir. Son denklemde bulunan küçük parantezlerin içerisi önceden vorticity olarak

tanıdığımız büyüklüğüdür. Denklem (9.1, 9.2, 9.3) den oluşan denklem seti şimdi (9.1)

ve (9.6) olmak üzere iki denkleme indirgenmiş bulunmaktadır. Streamline fonksiyonu da

kullanılırsa denklem (9.1) yok olurken denklem (9.6)

0yx

2yxy

vxy

vyx

ux

u22

4

4

4

4

4

3

3

2

3

2

3

3

3

(9.7)

şeklini alır. Son denklem iki boyutlu akış alanlarının simulasyonunda kullanılacak olan

denklemdir. Denklemin sınır şartları çözüm yapılacak bölgeye göre değişiklik arz eder.

8.2 Sonlu Fark Denklemine Dönüşüm

Denklem (9.7) nin ihtiva ettiği türevler nodal değerler cinsinden aşağıdaki gibi ifade

edilir.

3

j,1ij,ij,1ij,2i

fd

3

3

x

33

x

(9.8)

3

j,2iJ,1ij,1ij,2i

cd

3

3

x2

22

x

(9.9)



3

j,2iJ,1ij,ij,1i

bd

3

3

x

33

x

(9.10)

2

1j,ij,i1j,i1j,1ij,1i1j,1i

fd

2

3

yx

22

yx

(9.11)

2

1j,1ij,1i1j,1i1j,1ij,1i1j,1i

cd

2

3

yx2

22

yx

(9.12)

2

1j,1ij,1i1j,1i1j,ij,i1j,i

bd

2

3

yx

22

yx

(9.13)

3

1j,ij,i1j,i2j,i

fd

3

3

y

33

y

(9.14)

3

2j,i1J,i1j,i2j,i

cd

3

3

y2

22

y

(9.15)

3

2j,i1J,ij,i1j,i

bd

3

3

y

33

y

(9.16)

yx

22

yx 2

j,1ij,ij,1i1j,1i1j,i1j,1i

fd

2

3

(9.17)

yx2

22

yx 2

1j,1i1j,i1j,1i1j,1i1j,i1j,1i

cd

2

3

(9.18)

yx

22

yx 2

1j,1i1j,i1j,1ij,1ij,ij,1i

bd

2

3

(9.19)

4

j,2ij,1ij,ij,1ij,2i

cd

4

4

x

464

x

(9.20)

4

2j,i1j,ij,i1j,i2j,i

cd

4

4

y

464

y

(9.21)



1j,1ij,1i1j,1i1j,ij,i

1j,i1j,1ij,1i1j,1i22

cd

22

4

224

22yx

1

yx

(9.22)

Bu dönüşümlerde kullanılan fd, cd ve bd alt indisleri sırası ile; ileri fark, merkezi fark ve

geri farkı göstermektedir. Görüldüğü üzere üçüncü mertebe türevlerin üç seçeneği

mevcutken dördüncü mertebe türevlerin bir tek seçeneği mevcuttur.

Denklem (9.7) de bu seçeneklerden hangisinin kullanılacağını u ve v nin işareti tayin

edecektir.

Önce seçeneği tek olan dördüncü mertebe türevler denkleme yazılır ve j,i nin önündeki

işarete bakılır. İşaretin negatif olduğu görülür. Bu durum u ve v nin pozitif olduğu

hallerde üçüncü mertebe türevlerin hepsinin geri fark dönüşümlerinin kullanılmasını

gerektirir. Çünkü geri fark dönüşümü kullanıldığında üçüncü mertebe türevlerde bulunan

j,i nin önündeki işaret dördüncü mertebe türevlerde bulunan j,i nin önündeki işaretle

uyumlu hale gelmektedir. Buna göre u ve v nin pozitif olduğu bölgede denklem (9.7) nin

kullanışlı sonlu fark dönüşümü

1j,1ij,1i1j,1i1j,i1j,i1j,1ij,1i1j,1i22

2j,i1j,i1j,i2j,i4j,2ij,1ij,1ij,2i4

2j,i1j,i1j,i31j,1i1j,i1j,1ij,1ij,1i2

1j,1ij,1i1j,1i1j,i1j,i2j,2ij,1ij,1i3

22443223j,i

2222yx

2

44y

44x

3y

v2

xy

v

2yx

u3

x

u

yx

8

y

6

x

6

y

v3

xy

v2

yx

u2

x

u3

(9.23)



olur. Hız bileşenleri u ve v nin birisinin ya da her ikisinin negatif olması durumunda son

eşitliğin sol tarafında bulunan köşeli parantezin içerisi sıfır olabilir. Eşitlikten j,i

çekilecek olursa, j,i sonsuza gider. Iraksama olarak tabir edilen bu olay sayısal

çözümlemenin en büyük dezavantajıdır. Hız bileşenlerinin her ikisinin negatif olduğu

bölgede üçüncü mertebe türevlerin ileri fark şekli kullanılarak



1j,i1j,i2j,i3j,1ij,1i1j,1i1j,i1j,1i2

1j,i1j,i1j,1ij,1i1j,1i2j,1ij,1ij,2i3

22443223j,i

2222yx

2

44y

44x

3y

v2

xy

v

2yx

u3

x

u

yx

8

y

6

x

6

y

v3

xy

v2

yx

u2

x

u3

(9.24)

discretize denklemi elde edilir. Hız bileşenlerinden u nun pozitif v nin negatif olduğu hal

için discretize denklem



1j,i1j,i2j,i3j,1ij,1i1j,1i1j,i1j,1i2

1j,1ij,1i1j,1i1j,i1j,i2j,2ij,1ij,1i3

22443223j,i

2222yx

2

44y

44x

3y

v2

xy

v

2yx

u3

x

u

yx

8

y

6

x

6

y

v3

xy

v2

yx

u2

x

u3

(9.25)

olur. Hız bileşenlerinden u nun negatif v nin pozitif olduğu bölgeler için discretize

denklem





2j,i1j,i1j,i31j,1i1j,i1j,1ij,1ij,1i2

1j,i1j,i1j,1ij,1i1j,1i2j,1ij,1ij,2i3

22443223j,i

2222yx

2

44y

44x

3y

v2

xy

v

2yx

u3

x

u

yx

8

y

6

x

6

y

v3

xy

v2

yx

u2

x

u3

(9.26)

olur. Burada verilen discretize denklemler tavsiye edilen şartların dışında kullanıldığında

yakınsak olmayabilir.

8.3 Örnek Bir Akış Bölgesi İçin Sınır Şartları ve Çözüm

Şekil 9.1 de bir akış bölgesi görülmektedir. Akış bölgesi sabit kesitli yeterince uzun bir

kanal ve kanalın içerisine yerleştirilmiş akışa dik bir engelden ibarettir. Kanalın kağıt

düzlemine dik boyutu sonsuz olup kanaldan atmosferik basınç ve sıcaklıktaki viskoz

özellikleri taşıyan hava geçmektedir.

Görülen akış bölgesinde denklem (9.7) nin çözümü için akış bölgesini çepeçevre kuşatan

iki kat sınır şartı gerekmektedir. İki cidar arasından geçen debi belirli olduğu için



streamline fonksiyonunun her iki cidardaki değeri sayıca belirlidir. Tercihen alt cidardaki

sıfır olarak seçilir. Üst cidardaki

dyu2

1 (9.27)

ile hesaplanır. Ayrıca her iki cidarda cidara teğet hız bileşeni sıfır olup bunun sağlanması

için

yw

0 (9.28)

yazmak gerekir. Son eşitlikten alt cidara komşu gridlerdeki lerin alt cidardakilere, üst

cidara komşu gridlerdeki lerin üst cidardakilere eşit olduğu anlaşılmaktadır. Çözüm

bölgesinin A-B ve C-D sınırları engelden yeterince uzak seçilerek her iki sınırda nin

dağılımı

6

2 3

2 3

2U

y

h

y

h (9.29)

eşitliğinden belirlenir. Ayrıca A-B ve C-D sınırlarında hızın v bileşeni mevcut olmadığı

için

x 0 (9.30)

şartı da mevcuttur. Burada A-B ve C-D sınırlarının engelden yeterince uzak olması önem

arz etmektedir.

Çözümleme işlemi iteratif olarak yapılabilir. İlk iterasyonda u ve v çözüm bölgesinin

tamamında sıfır olarak seçilir ve nin dağılımı belirlenir. nin belirlenen dağılımından u

ve v nin dağılımı belirlenir. Belirlenen u ve v dağılımı kullanılarak nin dağılımı yeniden

belirlenir. Bu şekilde aynı işlemler ardı sıra tekrarlanarak çözüme ulaşılır.



Aşağıda FIN adı ile verilen programda, Şekil 9.1 de verilen engelin çevresinde bulunan

çözüm bölgesinde denklem (9.7) nin çözümü yapılmaktadır. Akış bölgesi içerisinde akış

fonksiyonu nin aynı değeri aldığı noktalar belirlenip birleştirilerek Şekil 9.2 de görülen

akış çizgileri elde edilmiştir. Çözüm bölgesi içerisinde nin aynı değeri aldığı noktaların

el ile belirlenmesi çok zaman aldığı için bilgisayarla belirlenmesi yoluna gidilmiştir.

Aşağıda verilen SELECTOR isimli program seçme işlemini yapmaktadır.

Şekil 9.2'de görülen akış çizgilerinin nihayetinin cidara paralel olmadığı görülmektedir.

Bunun sebebi kanalın engelden sonraki kısmının yeterince uzun olmayışıdır. Engelden

sonra akışın bir süre aşağı yukarı çalkantı yaptığı görülmektedir. Ayrıca engelin hemen

arkasında ve biraz ileride girdapların oluştuğu görülmektedir. Eğer engelin arkasındaki

akışın girdapsız olması isteniyorsa girdabın oluştuğu yerin dolu yapılması gerekir.

Girdapsız akışlar özellikle taşıt teknolojisinde önem arz etmektedir. Bu kısımda ele alınan

akış taşıtların karoseri tasarımında kullanılmaktadır. Çevresinde girdap oluşmayan

taşıtlara “STREAMLINE DESİGNED” taşıt denmektedir.



PROGRAM FIN

DIMENSION F(201,21),U(201,21),V(201,21)

OPEN(UNIT=14,FILE='FIN1.DAT',STATUS='NEW')

CV=25.0E-06

DX=0.002

DY=0.001

UIN=10.0

H=DY*20

DO J=1,21

Y=DY*(J-1)

F(1,J)=6.0*UIN*(Y**2/(2.0*H)-Y**3/(3.0*H**2))

F(2,J)=F(1,J)

F(201,J)=6.0*UIN*(Y**2/(2.0*H)-Y**3/(3.0*H**2))

F(200,J)=F(201,J)

END DO

DO I=1,201

F(I,21)=F(1,21)

F(I,20)=F(1,21)

F(I,1)=0.0

F(I,2)=0.0

END DO

DO 1 K=1,6

DO 2 L=1,8000

DO I=3,199

DO J=3,19

DN1=-3.0*U(I,J)/DX**3-2.0*U(I,J)/(DX*DY**2)-2.0*V(I,J)/(DY*DX**2)-

*3.0*V(I,J)/DY**3-6.0*CV/DX**4-6.0*CV/DY**4-8.0*CV/(DX**2*DY**2)

DN2=3.0*U(I,J)/DX**3+2.0*U(I,J)/(DX*DY**2)+2.0*V(I,J)/(DY*DX**2)+


DN3=-3.0*U(I,J)/DX**3-2.0*U(I,J)/(DX*DY**2)+2.0*V(I,J)/(DY*DX**2)+


DN4=3.0*U(I,J)/DX**3+2.0*U(I,J)/(DX*DY**2)-2.0*V(I,J)/(DY*DX**2)-


P0=CV*(F(I+2,J)-4.0*F(I+1,J)-4.0*F(I-1,J)+

*F(I-2,J))/DX**4+CV*(F(I,J+2)-4.0*F(I,J+1)-4.0*F(I,J-1)+

*F(I,J-2))/DY**4+2.0*CV*(F(I+1,J+1)-2.0*F(I+1,J)+F(I+1,J-1)-

*2.0*F(I,J+1)-2.0*F(I,J-1)+F(I-1,J+1)-2.0*F(I-1,J)+

*F(I-1,J-1))/(DX**2*DY**2)

P1=-U(I,J)*(F(I+1,J)+3.0*F(I-1,J)-F(I-2,J))/DX**3-

*U(I,J)*(F(I,J+1)+F(I,J-1)-F(I-1,J+1)+2.0*F(I-1,J)-

*F(I-1,J-1))/(DX*DY**2)-V(I,J)*(F(I+1,J)+F(I-1,J)-F(I+1,J-1)+

*2.0*F(I,J-1)-F(I-1,J-1))/(DY*DX**2)-V(I,J)*(F(I,J+1)+3.0*F(I,J-1)-

*F(I,J-2))/DY**3+P0

P2=-U(I,J)*(F(I+2,J)-3.0*F(I+1,J)-F(I-1,J))/DX**3-

*U(I,J)*(F(I+1,J+1)-2.0*F(I+1,J)+F(I+1,J-1)-F(I,J+1)-

*F(I,J-1))/(DX*DY**2)-V(I,J)*(F(I+1,J+1)-2.0*F(I,J+1)+F(I-1,J+1)-

*F(I+1,J)-F(I-1,J))/(DY*DX**2)-V(I,J)*(F(I,J+2)-3.0*F(I,J+1)-

*F(I,J-1))/DY**3+P0

P3=-U(I,J)*(F(I+1,J)+3.0*F(I-1,J)-F(I-2,J))/DX**3-

*U(I,J)*(F(I,J+1)+F(I,J-1)-F(I-1,J+1)+2.0*F(I-1,J)-

*F(I-1,J-1))/(DX*DY**2)-V(I,J)*(F(I+1,J+1)-2.0*F(I,J+1)+F(I-1,J+1)-

*F(I+1,J)-F(I-1,J))/(DY*DX**2)-V(I,J)*(F(I,J+2)-3.0*F(I,J+1)-

*F(I,J-1))/DY**3+P0

P4=-U(I,J)*(F(I+2,J)-3.0*F(I+1,J)-F(I-1,J))/DX**3-

*U(I,J)*(F(I+1,J+1)-2.0*F(I+1,J)+F(I+1,J-1)-F(I,J+1)-

*F(I,J-1))/(DX*DY**2)-V(I,J)*(F(I+1,J)+F(I-1,J)-F(I+1,J-1)+

*2.0*F(I,J-1)-F(I-1,J-1))/(DY*DX**2)-V(I,J)*(F(I,J+1)+3.0*F(I,J-1)-

*F(I,J-2))/DY**3+P0



PROGRAM SELECTOR

DIMENSION F(201,51),Y1(400),Y2(400)

OPEN(UNIT=13,FILE='FIN.DAT',STATUS='OLD')

OPEN(UNIT=14,FILE='STREAM.DAT',STATUS='NEW')

CR=-0.0002

DY=1.0

DO I=1,201

DO J=1,21

READ(13,32)F(I,J)

END DO

END DO

DO I=1,201

DO J=1,21

IF(F(I,J).LT.CR.AND.F(I,J+1).GT.CR)Y1(I)=DY*(J-1)+

*(CR-F(I,J))/(F(I,J+1)-F(I,J))

IF(F(I,J).GT.CR.AND.F(I,J+1).LT.CR)Y2(I)=DY*(J-1)+

*(CR-F(I,J))/(F(I,J+1)-F(I,J))

PRINT*,Y1(I),I

END DO

END DO

DO I=1,201

K=(I-1)*2

WRITE(14,33)Y1(I),Y2(I),K

END DO

32 FORMAT(F9.6,2X,F9.6,2X,F9.6,2X,I3,2X,I3)

33 FORMAT(F9.6,2X,F9.6,2X,I3)

STOP

END

IF(U(I,J).GT.0.AND.V(I,J).GT.0)F(I,J)=P1/DN1

IF(U(I,J).LE.0.AND.V(I,J).LE.0)F(I,J)=P2/DN2

IF(U(I,J).GT.0.AND.V(I,J).LE.0)F(I,J)=P3/DN3

IF(U(I,J).LE.0.AND.V(I,J).GT.0)F(I,J)=P4/DN4

IF(J.LE.6)F(50,J)=0.0

IF(J.LE.6)F(51,J)=0.0

END DO

END DO

PRINT*,L,K

2 CONTINUE

DO I=3,199

DO J=3,19

U(I,J)=(F(I,J+1)-F(I,J-1))/(2.0*DY)

V(I,J)=-(F(I+1,J)-F(I-1,J))/(2.0*DX)

END DO

END DO

1 CONTINUE

DO I=1,201

DO J=1,21

WRITE(14,32)F(I,J),U(I,J),V(I,J),J,I

END DO

END DO

32 FORMAT(F9.6,2X,F9.6,2X,F9.6,2X,I3,2X,I3)

STOP

END



REFERANSLAR

1 B. R. Mounson, D.F. Young, and T.H. Okiishi, Fluid Mechanics, first edition, Jhon

Wiley and Sons, New York, 1990.

2 F. M. White, Fluid Mechanics, third edition, McGraw-Hill, New York,

1994.

3 R. H. Sabersky et al., Fluid Flow, second edition, Macmillan Publishing Co. Inc.,

New York, 1971.

4 R. Crowe, Engineering Fluid Mechaniccs, fifth edition, Houghton Mifflin Co.,

Boston, 1993.

5 J. F. Douglas et al., Fluid Mechanics, second edition, Longman Scientific &

Technical, U.K., 1987.

6 R. B. Bird et al., Transport Phenomena, John Wiley & Sons, New York, 1960.

7 D. J. Acheson, Elementary Fluid Dynamics, Clarendon Press, Oxford, 1990.

8 H. Schlichting, Boundary-Layer Theory, Seventh Edition, McGraw-Hill, New

York, 1979.

9 I. H. Shames, Mechanics of Fluids, Third Edition, McGraw-Hill, New York, 1992

10 S. Goldstein, Modern Developments in Fluid Dynamics, Vol. 1 and 2, Dover

Publication, New York, 1965

11 I. A. Khan, Fluid Mechanics, Saunders College Publication, New York, 1987.

12 V. L. Streeter, Fluid Mechanics, Eight Edition, McGraw-Hill, New York, 1985.

13 Y. Ersoy ve M. Mert, Boyut Analizi ve Fiziksel Ölçmeler, ODTÜ Yayını, Ankara,

1977.



14 E. P. Popov, Engineering Mechanics of Solids, Prentice Hall, Englewood Cliffs,

New Jersey, 1990.

15 E. L. Houghton and N. B. Carruthers, Aerodynamics for Engineering Students,

Third Edition, Scotland, 1990.

16 M. B. Abbott & D. R. Basco, Computational Fluid Dynamics, Longman Scientific

& Technical, UK Limited, 1989.

17 C. Hirsch, Numerical Computation of Internal and External Flows

Vol.1:Fundamentals of Numerical Discretization, John Wiley & Sons,Chichester,

1991.

18 C. Hirsch, Numerical Computation of Internal and External Flows

Vol.2:Computational Methods for Inviscid and Viscous Flows, John Wiley &

Sons, Chichester, 1991.

19 C. F. Gerald, Applied Numerical Analysis, Second Edition, Addison-Wesley

Puplishing Company, 1980.

20 M. L. James et al., Applied Nomerical Methods for Digital Computation, Fourth

Edition, Harper Collins College Publishers, New York, 1993.

21 D. Kincaid and W. Cheney, Numerical Analysis, Brooks/Cole Publishing

Company, California, 1991.

22 R. L. Burden and J. D. Faires, Numerical Analysis, Fourth Edition, PWS-KENT

Publishing Company, Boston, 1989.

23 W. Shyy, Elements of Pressure-Based Computational Algorithms for Complex

Fluid Flow and Haet Transfer, Advances in Heat Transfer, Volume 24, Academic

Press, Inc.,1994.

24 B. K.Shivamoggi, Theoretical fluid dynamics, Martinus Nijhoff Publişhers,

Netherlands, 1985

25 M.. N. Özişik, Finite Difference Methods in Heat Transfer, CRC Press, USA,

1994.

26 A. Bejan, Convection Heat Transfer, Jhon Wiley & Sons, New York, 1984.



27 Z. U. A. Warsi, Fluid Dynamics, Theoretical and Computational Approaches, CRC

Press, Boca Raton, 1993.

29 M. D. Greenberg, Advanced Engineering Mathematics, Prentice Hall, Second

Edition, New Jersey 07458, 1998.

akışkanlar mekaniği (fluid mechanic)

Documents