akışkanlar mekaniği (fluid mechanic)
Post on 22-Dec-2015
432 Views
Preview:
DESCRIPTION
TRANSCRIPT
AKIŞKANLAR MEKANİĞİ
Otomotiv Mühendisliği Bölümü Gazi Üniversitesi Teknoloji Fakültesi
PROF. DR. HALİT KARABULUT
Gazi Üniversitesi Teknoloji Fakültesi Otomotiv Mühendisliği Bölümü
Prof. Dr. Halit KARABULUT Sayfa ii
İÇİNDEKİLER
BÖLÜM 1: GİRİŞ VE TANIMLAMALAR ................................................................................ 1 1.1 Giriş ................................................................................................................................... 1 1.2 Akışkanlar Mekaniğinin Tarihi Gelişimi ........................................................................... 1
1.3 SI Birim Sistemi ...................................................................................................................... 2 1.4.a Akışkan Madde ........................................................................................................................ 2
1.4.b Akışkanlar Mekaniği ............................................................................................................... 3 1.5 Akışkanların Özellikleri ............................................................................................................. 3
Yoğunluk ...................................................................................................................................... 3 Öz Ağırlık ..................................................................................................................................... 3 Relativ Yoğunluk ......................................................................................................................... 4
Özgül Hacim ................................................................................................................................ 4
Dinamik Viskozite ........................................................................................................................ 4 Kinematik Viskozite ..................................................................................................................... 7 Basınç ........................................................................................................................................... 7
Kılcallık ........................................................................................................................................ 7 1.6 Akış Modelleri ............................................................................................................................ 8
BÖLÜM 2: DURGUN AKIŞKANLARIN MEKANİĞİ ............................................................. 9 olarak belirlenir. ............................................................................................................................. 23 2.4 Sıvı Manometreleri ................................................................................................................... 23
2.5 Dalmış ve Yüzen Cisimlere Etkiyen Kaldırma Kuvveti .......................................................... 26 2.6 Basınç Kuvvetinin Momenti .................................................................................................... 28
2.7 Kaldırma Kuvvetinin Yeri ........................................................................................................ 33 2.8 Dalmış Cisimlerin ve Yüzen Cisimlerin Kararlılığı ................................................................. 38 Çözümlü Problemler ...................................................................................................................... 39
BÖLÜM 3: VİSKOZİTESİZ SIKIŞTIRILAMAZ AKIŞKANLARIN DİNAMİĞİ.............. 58 3.1 Tek Boyutlu Süreklilik Denklemi ............................................................................................ 58
3.2 Tek Boyutlu Momentum Denklemi ......................................................................................... 58 3.2.a Hareketsiz bir Kontrol Hacmine Giren ve Çıkan Momentumun
Yarattığı Kuvvetin Analizi .................................................................................................... 59 3.2.b Sabit Hızla Hareket Eden Bir Kontrol Hacmine Giren ve Çıkan Momentumun Yarattığı
Kuvvetin Analizi ................................................................................................................... 63 3.2.c İvmeli Hareket Yapan Bir Kontrol Hacmine Giren ve Çıkan Momentumun yarattığı
kuvvetin Analizi .................................................................................................................... 65 3.2.d Tek Boyutlu Momentum Denkleminin Uygulamaları .......................................................... 67
Yangın Nozullarına Gelen Kuvvetler ......................................................................................... 67
Dirseklere Gelen Kuvvetler ........................................................................................................ 68
3.3 Üç Boyutlu Sıkışmaz Akışın Süreklilik Denklemi .................................................................. 69
3.4 Üç Boyutlu Akışın Momentum Denklemleri ........................................................................... 71 3.5 İki Boyutlu Akışın Bernoully Eşitliği ...................................................................................... 75
Sürekli Rejimde .......................................................................................................................... 75 Geçici Rejimde ........................................................................................................................... 78
3.6 Üç Boyutlu Akışın Bernoully Denklemi .................................................................................. 80 3.7 Potansiyel Akış Yaklaşımı İle Akış Alanının Belirlenmesi ..................................................... 82
Gazi Üniversitesi Teknoloji Fakültesi Otomotiv Mühendisliği Bölümü
Prof. Dr. Halit KARABULUT Sayfa iii
3.7.1 Dönme ve Sirkülasyonun Matematiksel İfadesi ................................................................ 82
Dönme (Rotasyon) ..................................................................................................................... 82 Sirkülasyon ve Vorticity’nin İlişkisi .......................................................................................... 85
3.7.2 Euler Denklemlerinin Vorticity Transport Denklemine Dönüşümü ..................................... 86 3.8 İki Boyutlu Akış Alanlarında Potansiyel Akış Denklemlerinin Çözümü ................................ 90
Streamline Fonksiyonu ............................................................................................................... 90 Hız Potansiyeli Fonksiyonu ....................................................................................................... 93 3.9 Üç Boyutlu Akış Alanlarında Potansiyel Akış Denklemlerinin Çözümü ............................ 98
3.10 Potansiyel Akış Denklemlerinin Kartezyen Koordinat Sisteminden Diğer Koordinat
Sistemlerine Dönüşümü. ..................................................................................................... 101 Silindirik Koordinata Dönüşüm ............................................................................................... 104 Kartezyen Geometride: ............................................................................................................ 110 Silindirik Geometride: .............................................................................................................. 111
Küresel Geometride: ................................................................................................................ 111
3.11 Düzgün Geometrik Cisimler Çevresindeki Potansiyel Akışlar ............................................ 112
3.11.1 Doğrultusu x Eksenine Paralel Uniform Akış ................................................................... 112 3.11.2 Doğrultusu y Eksenine Paralel Uniform Akış ................................................................... 113
3.11.3 Herhangi bir Doğrultuda Uniform Akış ............................................................................ 114 3.11.4 Vortex Hareketi ................................................................................................................. 117
3.11.5 Kaynak ve Batak Noktaların Çevresindeki Radyal Akışlar .............................................. 119 3.11.6 Birleşik Kaynak ve Batak Akışı ........................................................................................ 120 3.11.7 Oval Cisimlerin Çevresindeki Akış ................................................................................... 122
3.11.8 Silindirik Cisimlerin Çevresindeki Akış ........................................................................... 122 3.12 Potansiyel Akış Alanlarında Basınç Dağılımı için Poison eşitliği ....................................... 128
Çözümlü Problemler .................................................................................................................... 129 Çalışma Soruları ........................................................................................................................... 136
BÖLÜM 4: SIKIŞMAZ VİSKOZ AKIŞKANLARIN BİR BOYUTLU
LAMİNER AKIŞI ............................................................................................................. 143
4.1 Paralel Plakalar Arasında Tam Gelişmiş Laminer Akış ......................................................... 143 4.2 Silindirik Borularda Tam Gelişmiş Laminer Akış ................................................................. 148 4.3 İki Silindirik Yüzey Arasında Tam Gelişmiş Laminer Akış .................................................. 151
4.4 Kesiti Tek Düze Olan Kanallarda Tam Gelişmiş Laminer Akış ............................................ 152
Çalışma Soruları ........................................................................................................................... 171 BÖLÜM 5:BOYUT ANALİZİ VE HİDRODİNAMİK BENZEŞİM .................................... 172 5.1 Boyut Analizi ile Deney Sonuçlarının Korelasyonu .............................................................. 173 5.1.a Korelasyonun Sabitlerinin Belirlenmesi .............................................................................. 177 5.2 Sık Görülen Boyutsuz Sayıların Tanıtımı .............................................................................. 179
Reynold Sayısı .......................................................................................................................... 179 Froude Sayısı ............................................................................................................................ 181 Mach Sayısı .............................................................................................................................. 181
Euler Sayısı .............................................................................................................................. 182 5.3 Model Teorisi ......................................................................................................................... 183 Çalışma Soruları ........................................................................................................................... 186 BÖLÜM 6: BORU İÇİ AKIŞLARDA BASINÇ KAYBI ........................................................ 188
6.1 Boru İçi Akışın Enerji Denklemi ........................................................................................... 189 6.2 Laminer Boru Akışında Basınç Kaybının Akışkan Sütunu Olarak İfadesi ............................ 191 6.3 Basınç ve Yükseklik Kaybının Boyut Analizi İle İncelemesi ................................................ 192
Gazi Üniversitesi Teknoloji Fakültesi Otomotiv Mühendisliği Bölümü
Prof. Dr. Halit KARABULUT Sayfa iv
6.4 Laminer Akışta Sürtünme Faktörü ......................................................................................... 194
Silindirik boru .............................................................................................................................. 194 6.5 Türbülanslı Akışta Sürtünme Faktörü .................................................................................... 199
6.6 Boru tasarımı .......................................................................................................................... 200 Çözümlü Problemler .................................................................................................................... 201 Çalışma Soruları ........................................................................................................................... 202 BÖLÜM 7: VİSKOZ AKIŞKANLARIN GENEL HAREKET DENKLEMLERİ .............. 204 7.1 Doğrusal Momentum Denklemleri ......................................................................................... 204
7.2 Açısal Momentum Denklemi ................................................................................................. 208 7.3 Deformasyonlar ...................................................................................................................... 212 7.3.1 Temel Deformasyonlar ve Gerilmeler ................................................................................. 212 7.3.2 Deformasyon Hız İlişkileri .................................................................................................. 215 7.4 Gerilmelerle Deformasyonların İlişkileri ............................................................................... 223
7.5 İki Boyutlu İzotropik Akışlarda Gerilme Deformasyon İlişkileri .......................................... 225
7.6 Viskoz Sabitlerin Viskozite ile İlişkisi ................................................................................... 235
7.7 Viskoz Akış Denklemlerinin Silindirik ve Küresel Şekli ...................................................... 238 Silindirik Şekli .......................................................................................................................... 238
Küresel Şekli ............................................................................................................................ 239 BÖLÜM 8: LAMİNER SINIR TABAKA AKIŞLARI ........................................................... 243
8.1 İki Boyutlu Simetrik Küt Cisimler Çevresindeki Sınır Tabaka Akışı .................................... 244 8.2 Silindir Çevresindeki Sınır Tabaka Akışı ............................................................................... 250 8.3 İnce Düz Levhaların Yüzeylerinde Oluşan Sınır Tabaka İçinde Akış ................................... 253
8.4 İki Paralel Plaka Arasındaki Giriş Bölgesi Akışı ................................................................... 256 8.5 Silindirik Borularda Giriş Bölgesi Akışı ................................................................................ 262
8.6 Dikdörtgen Kesitli Borularda Giriş Bölgesi Akışı ................................................................. 267 BÖLÜM 9: İKİ BOYUTLU VİSKOZ AKIŞ DENKLEMLERİNİN ÇÖZÜMÜ ................. 280 8.1 Hareket Denklemlerinin Streamline Şekli .............................................................................. 280
8.2 Sonlu Fark Denklemine Dönüşüm ......................................................................................... 281
8.3 Örnek Bir Akış Bölgesi İçin Sınır Şartları ve Çözüm ............................................................ 285
BÖLÜM 1: GİRİŞ VE TANIMLAMALAR
1.1 Giriş
Akışkanlar mekaniği teknolojik öneme haiz bir bilim olup bazı mühendislik dalları
tamamı ile akışkanlar mekaniğine dayalıdır. Isıtma, soğutma, termik makinelerin
çalışması, uçak ve gemi gibi ulaştırma araçlarının çalışması tamamen akışkan maddeler
sayesinde mümkün olmaktadır. Sözü edilen makine ve araçların geliştirilmesi akışkan
mekaniği bilimindeki ilerleme ile paralel gitmektedir. Bazı kimyasal olayların analizi de
akışkanlar mekaniği bilimi ile doğrudan ilgilidir. İlerde ayrıntılı sınıflama yapılacağı
üzere ilerlemiş konular akışkanlar mekaniğinin özel dalları içerisinde incelenir.
1.2 Akışkanlar Mekaniğinin Tarihi Gelişimi
İnsanların icat ettiği en eski rotodinamik güç makineleri, su çarkları ve rüzgar
değirmenleridir. Bu makinelerin tarihi bilinmemekle birlikte akışkanlar mekaniği
biliminin doğuşu bu makinelere dayanır. Mevcut yazılı literatürde görülebilen en eski
bilgiler İsmail Cezayir-i' nin su çarkları konusunda 1300 'lü yıllarda yapmış olduğu
analizler olup Topkapı müzesinde mevcuttur. Halihazırda yürürlükte olan akışkanlar
mekaniğinin öncüsü Newton olup viskozitenin matematiksel tanımını yapmış (1687), düz
yüzeylerin çevresindeki hız profilini incelemiş ve sinüs fonksiyonu ile ifade etmiştir.
Enerjinin korunumu ve kütlenin korunumu ilkesine dayanan en eski viskozitesiz akış
analizi Bernoulli (1700-1782) tarafından yapılmıştır. Momentumun ve kütlenin korunumu
ilkesine dayanan en eski viskozitesiz akış analizi Euler (1707-1783) tarafından
yapılmıştır. Viskoz akışın kütlenin korunumu ve momentumun korunumu ilkesine
dayanan ilk analizi Navier (1785-1836) tarafından yapılmıştır. Navier uzama
deformasyonu ve açısal deformasyondan kaynaklanan gerilmeleri hesaplarken iki ayrı
viskoz sabit kullanmıştır. Stokes (1819-1903) tarafından Navierin viskoz sabitleri bire
indirilmiş ve isetropik viskoz akışkanların hareket denklemleri tamamlanmıştır.
Gerek viskozitesiz akışın gerek viskoz akışın hareket denklemleri çözümü kolay olmayan
denklemlerdir. Stokes’ten sonraki çalışmaların büyük bir kısmı bu denklemlerin muhtelif
Gazi Üniversitesi Teknoloji Fakültesi Otomotiv Mühendisliği Bölümü
Prof. Dr. Halit KARABULUT Sayfa 2
şartlar altındaki çözümü ile ilgilenmiştir. Bu denklemlerin vereceği bilgiler bazı
makinelerin tasarımında önemli olduğu için çözüm konusunda kitaplar dolusu bilgi ve
teori üretilmiştir. Ancak bilgisayarın icadından sonra bu bilgi ve teoriler yerini nümerik
matematik ve bilgisayar programlamaya bırakmıştır.
Halihazırda akışkanlar mekaniği konusunda yapılan araştırmalar türbülanslı akışlar ve
akış denklemlerinin sayısal yollarla çözümü konusunda yoğunlaşmıştır.
1.3 SI Birim Sistemi
Gerek akışkanlar mekaniğinde gerek diğer bilim dallarında halihazırda kullanılmakta olan
birim sistemi SI olup, birim sistemini oluşturan temel büyüklükler ve birimleri aşağıda
görülmektedir.
Uzunluk : metre (m)
Kütle : kilogram (kg)
Zaman : saniye (s)
Sıcaklık : Kelvin (K) veya santigrad (C)
Akışkanlar mekaniğinde çok kullanılan basınç, yoğunluk, viskozite, hız, hacim, kütle ve
debi gibi büyüklüklerin birimleri türetme birimler olup yukarıda verilen temel birimler
cinsinden ifade edilmektedir.
1.4.a Akışkan Madde
Günlük hayatın her anında bir akışkanla karşı karşıya olduğumuz için akışkanın ne
olduğunu tanımamamız hemen hemen mümkün değildir. Teneffüs ettiğimiz hava,
içtiğimiz su, en sık rastlanan akışkanlardır. Tam bir bilimsel tarif getirmek gerekirse
molekülleri birbirinden serbest hareket eden maddeler olarak tanımlamak yeterli olacaktır.
Bu çerçevede akışkanları üç guruba ayırmak mümkün olabilir. Bunlar sırası ile sürüngen
Gazi Üniversitesi Teknoloji Fakültesi Otomotiv Mühendisliği Bölümü
Prof. Dr. Halit KARABULUT Sayfa 3
(aşırı viskoz) maddeler, sıvı maddeler ve gaz maddelerdir. Sürüngen madde deyince yarı
katı yarı sıvı özellik gösteren asfalt gibi maddeler anlaşılır. Sıvı madde denince belirli bir
hacmi olmasına karşılık şekli olmayan madde anlaşılmalıdır. Gaz madde de ise ne belirli
bir hacim ne de belirli bir şekil mevcuttur. Gazlarda hacim ileride açıklanacağı üzere
tamamen basınca bağlı olarak değer alır.
1.4.b Akışkanlar Mekaniği
Akışkanlar mekaniği hareketli veya hareketsiz akışkanın davranışları ile özellikleri
arasında ilişki kurarak akışkan makinalarının projelendirilmesinde kullanılmak üzere
kriterler oluşturan bir bilim alanıdır. Durgun akışkanlarla ilgili olan kısım Hidrostatik,
hareketli akışkanlarla ilgili olan kısım da Hidrodinamik olarak isimlendirilmektedir.
Akışkanlar mekaniği bilimi akışkanın türüne göre de dallara ayrılmaktadır.
Sıkıştırılamayan maddelerle ilgili olan dala sıkıştırılamaz akışkanlar dinamiği,
sıkıştırılabilir akışkanlarla ilgili olan dala da gaz dinamiği denmektedir.
1.5 Akışkanların Özellikleri
Yoğunluk
Birim hacim içerisindeki maddenin kütlesi olarak tarif edilir ve ile gösterilir. Bilindiği
üzere cisimlerin kütlesini belirlemek için değeri bilinen başka bir kütle ile kıyaslama
yoluna gidilmektedir.
Öz Ağırlık
Birim hacimdeki maddeye etkiyen yer çekimi kuvveti olarak tarif edilir ve , sembolleri
ile gösterilir. Yoğunlukla öz ağırlık arasında g ilişkisi mevcuttur.
Gazi Üniversitesi Teknoloji Fakültesi Otomotiv Mühendisliği Bölümü
Prof. Dr. Halit KARABULUT Sayfa 4
Relativ Yoğunluk
Herhangi bir maddenin yoğunluğunun 1 atmosfer basınç altında 4 C deki suyun
yoğunluğuna oranıdır. Relativ yoğunluk maddelerin esneme ve sıcaklıkla genleşmesinin
etkisini dikkate almak için düşünülmüştür.
Özgül Hacim
Birim kütledeki maddenin işgal ettiği hacim olup yoğunluğun tersidir ve v ile gösterilir.
Aralarında v 1
ilişkisi mevcuttur.
Dinamik Viskozite
Şekil 1.1 deki gibi birbirine paralel konumlu iki plakanın arası bir akışkanla doldurulmuş
olsun ve plakalardan birisi sabitken diğeri hareket etsin. Durgun plakaya yapışık olan
akışkan zerreleri hareketsiz iken hareketli plakaya yapışık olan akışkan zerreleri hareketli
plakanın hızı ile hareket etmektedir. Plakaların arasındaki boşluğu dolduran akışkan
ortamı içerisinde Şekil 1.1 deki gibi bir hız profili oluşur. Sabit yada hareketli plakadan
dik uzaklığı aynı olan bütün akışkan zerreleri aynı hızla ve plakaya paralel bir yörünge
üzerinde hareket eder. Akışkanın ince tabakalardan oluştuğu ve tabakaların birbiri
üzerinden kaydığı görünümü arz eder. Hareketli plakayı sabit hızla harekete devam
ettirmek için muayyen bir kuvvet uygulamak gerekmektedir. Burada tarif edilen akış
işleminde akışkan tabakaları birbiri üzerinden kayarak hareket ettiği için tabakaların
arasında kesme gerilmeleri oluşmakta, neticede plakayı sabit hızla harekete devam
ettirmek için gereken kuvvet doğmaktadır.
Akışkanların akışı esnasında birbirine paralel hareket eden akışkan tabakaları arasındaki
kesme gerilmesini yaratan özelliğe akışkanların viskozitesi denmektedir.
Bazı akışkanlarda tabakalar arasındaki kesme gerilmesi tabakalar arasındaki hız gradyantı
ile
Gazi Üniversitesi Teknoloji Fakültesi Otomotiv Mühendisliği Bölümü
Prof. Dr. Halit KARABULUT Sayfa 5
du
dy (1.1)
şeklinde lineer değişmektedir.
Bu eşitlikte bulunan dinamik viskozite olarak isimlendirilir. Eşitlik (1.1) Newton
tarafından verilmiş olup Newton’un ikinci kanunu olarak bilinmektedir. Viskozitenin
tarifi çerçevesinde akışkanlar Newtoniyen ve Non-Newtoniyen olmak üzere iki guruba
ayrılır. Eşitlik (1.1) e uygun davranan akışkanlara Newtoniyen akışkan diğerlerine Non-
Newtoniyen akışkan denmektedir. Şekil 1.2 de görülen 1 ve 3 no’lu eğriler Newtoniyen
akışkanların, 2 ve 4 no’lu eğriler Non-Newtoniyen akışkanların tabakaları arasında oluşan
kesme gerilmesinin hız gradyanı ile değişimini göstermektedir.
Bazı Non-Newtoniyen akışkanlarda kayma gerilmesi ile hız gradyanı arasındaki ilişki
k
du
dy
b
(1.2)
şeklinde ifade edilebilmektedir. Son eşitlikte bulunan k ve b deneyle belirlenen sabitlerdir.
Birim olarak k dinamik viskozite () den farklıdır. Şekil 1.2 'deki 2 ve 4 no’lu eğriler
eşitlik (1.2) ile ifade edilebilir.
Bazı Newtoniyen akışkanlarda kayma gerilmesi ile hız gradyantının ilişkisi
Gazi Üniversitesi Teknoloji Fakültesi Otomotiv Mühendisliği Bölümü
Prof. Dr. Halit KARABULUT Sayfa 6
0
du
dy (1.3)
şeklinde ifade edilebilmektedir. Şekil 1.2 deki 1 no’lu eğri son eşitlikle ifade edilir. Bu
konuda daha geniş bilgi için Ref.6'a bakınız.
Gazlardaki viskozite ile sıvılardaki viskozite tamamen farklı fiziksel sebeplere
dayanmaktadır. Sıvıların viskozitesi moleküller arasındaki zayıf çekme kuvvetlerinden
kaynaklanmaktadır. Gazların viskozitesi gaz moleküllerinin rastgele hareketlerle birbirine
çarpmasından kaynaklanmaktadır. Viskozite, sıvılarda sıcaklıkla değişim gösterir.
Basıncın etkisi çok azdır. Gazlarda hem sıcaklık hem de basıncın viskozite üzerinde
belirgin etkisi vardır. Bazı endüstriyel akışkanların etiketleri üzerinde dinamik viskozite
birimi olarak POİSE kullanılmaktadır. Poise nin tanımı
10 1P kg m s /
şeklinde verilmektedir.
Gazi Üniversitesi Teknoloji Fakültesi Otomotiv Mühendisliği Bölümü
Prof. Dr. Halit KARABULUT Sayfa 7
Kinematik Viskozite
Dinamik viskozitenin yoğunluğa oranı / kinematik viskozite olarak
adlandırılmaktadır. Akış alanlarının analizinde daha çok kinematik viskozite
kullanılmaktadır. Bazı endüstriyel akışkanların etiketlerinde kinematik viskozite birimi
olarak STOKES kullanılmaktadır. Stokes in tanımı
10 1 2St m s /
şeklinde verilmektedir.
Basınç
Birim genişlikteki yüzeye gelen kuvvet olup p ile gösterilir. Sıvılardaki basıncın sebebi
yer çekimi veya benzeri çekim kuvvetleri olabilir. Gazlardaki basıncın sebebi gaz
ortamını oluşturan parçacıkların birbirine ve içerisinde bulundukları kabın çeperlerine
çarparak yön değiştirmesidir. Yer çekimi ve benzeri kuvvetlerin etkisi de mevcuttur.
Hareket halindeki akışkan zerreleri bir yüzeye çarparak hız ve yön değiştirirse yüzeyi iten
bir kuvvet oluşur. Bu kuvvetin birim alana düşen miktarına dinamik basınç denmektedir.
Statik gazların bulundukları kabın çeperlerine yaptığı basınca bazan termodinamik basınç
denmektedir. İdeal gazların termodinamik basıncı genel gaz denklemi ile belirlenen
basınçtır.
İleride tekrar değinileceği üzere basınç ölçmede kullanılan cihazlara manometre
denmektedir. Açık hava basıncını ölçmede kullanılan manometreye barometre
denmektedir.
Kılcallık
İki ucu açık ince bir tüp kendisini ıslatan bir sıvının içerisine düşey pozisyonda
daldırılırsa tüpün içerisindeki sıvı seviyesinin dışındakinden daha yüksek olduğu görülür.
Gazi Üniversitesi Teknoloji Fakültesi Otomotiv Mühendisliği Bölümü
Prof. Dr. Halit KARABULUT Sayfa 8
Tüp kendisini ıslatmayan bir akışkana daldırılırsa tüp içindeki sıvı seviyesinin
dışındakinden daha aşağıda olduğu görülür. Bu olay kılcallık olarak adlandırılmaktadır.
1.6 Akış Modelleri
Akışkanlar mekaniği geniş kapsamlı bir bilim dalı olduğu için alt dallara ayırma, elde
edilen bilgileri ve gelişmeleri gruplama ve bilgileri sistematik bir biçimde okuyucuya
aktarma gerekir. Bir radyatörün çevresinde yoğunluk farkından doğan akışla bir taşıtın
hareketi esnasında çevresinde oluşan akış aynı matematik modelle ele alınmaz. Hiç bir
matematik model akışkanların akışını kusursuz bir biçimde temsil etmemektedir.
Kullanılan matematik modelin mükemmelliği yükseldikçe pratiğe uygulaması
zorlaşmaktadır. Matematik modellerin mükemmelliği ihtiyaca göre seçilir. Bir taşıtın
hareketi esnasında çevresinde oluşan akışın taşıtın hareketine etkisi basit bir akış modeli
ile incelenebilirken bir radyatörün çevresinde oluşan doğal akışın radyatörün ısı
aktarımına etkisi daha komplike bir akış modeli ile incelenebilmektedir.
Tabiattaki akışkanların hiç birisi viskozitesiz değildir. Buna rağmen akış alanları viskoz
ve viskoz olmayan olmak üzere iki guruba ayrılmaktadır. Viskozitenin akış üzerindeki
etkisi daha çok katı cidarların yakınında görülmektedir. Bu bölgeye viskoz sınır tabaka
denmektedir. Bir taşıtın hareketi esnasında karşılaştığı rüzgar direncini, viskoz sınır
tabakanın dışındaki akış özellikleri yönetmektedir. Bu sebeple rüzgar direnci viskoz
olmayan akış modeli ile istenilen hassasiyette belirlenebilir.
Viskoz akışkanların düşük hızlardaki akışı esnasında akışkan zerreleri birbirini kesmeyen
çizgiler üzerinde hareket ederler. Bu tür akışlara laminer akış denmektedir. Yüksek
hızlarda akışkan zerreleri birbirini kesen zikzaklı çizgiler üzerinde hareket ederler. Bu tür
akışlara türbülanslı akış denmektedir. Türbülansın şiddeti akış hızı ile artmaktadır.
Laminer akış matematik yöntemlerle modellenebilmekte ancak türbülanslı akışın
matematik yöntemlerle modellenmesi henüz araştırma safhasındadır.
Gazi Üniversitesi Teknoloji Fakültesi Otomotiv Mühendisliği Bölümü
Prof. Dr. Halit KARABULUT Sayfa 9
BÖLÜM 2: DURGUN AKIŞKANLARIN MEKANİĞİ
Hidrostatikte incelenen husus bir akışkan ortamı içerisinde oluşan statik kuvvetlerin
büyüklüğü ve dağılımıdır. Bilindiği üzere bu kuvvetin birim alana düşen değerine
hidrostatik basınç denmektedir. Hidrostatik kuvvetin hesabı için hidrostatik basıncın
dağılımının bilinmesi gerekir.
Hidrostatiğin temel kanunlarından birisi Pascal kanunu olup akışkanların temas ettikleri
yüzeylere dik yönde basınç uyguladıklarını ifade eder.
Diğer bir kanun Archimedes kanunu olup akışkanların cisimlere tatbik ettikleri yüzdürme
kuvvetinin cismin hacmi ile akışkanın özgül ağırlığının çarpımına eşit olduğunu ifade
eder.
Hidrostatik basıncın sebebi yer çekimi, magnetik alanlar, elektrik alanları, blok halinde
ivmelenme ve blok halinde dönme olabilir. Burada yer çekimi, blok halinde ivmelenme
ve blok halinde dönmeden doğan basınç alanları incelenecektir.
2.1 Yer Çekimi Kaynaklı Basınç Alanının Analizi
Şekil 1.1 de görüldüğü üzere, yüzeyleri koordinat düzlemlerine paralel duracak şekilde
konumlandırılmış, prizmatik bir hacim elemanına etkiyen kuvvetleri balanslamak sureti
ile yer çekimi kaynaklı basınç alanının temel denklemleri elde edilir.
Göz önünde bulundurulan hacim elemanının geometrik merkezinin (x,y,z) noktasında
olduğu, kenar uzunluklarının 2x, 2y ve 2z olduğu kabul edilmektedir. Koordinat
sisteminin z ekseninin doğrultusu yer çekimi kuvvetinin etkime doğrultusu olarak
seçilmiştir. Elemanın merkezindeki (x,y,z noktası) basıncın p olduğu kabul edilmektedir.
Elemanın yüzeylerine etkiyen basınç kuvvetleri elemanın geometrik merkezindeki basınç
ve türevleri cinsinden aşağıdaki gibi ifade edilir.
Gazi Üniversitesi Teknoloji Fakültesi Otomotiv Mühendisliği Bölümü
Prof. Dr. Halit KARABULUT Sayfa 10
zyxx
pp4zyxxF
)+(=),,+( (2.1)
zyxx
pp4zyxxF
)-(=),,-( (2.2)
zxyy
pp4zyyxF
)+(=),+,( (2.3)
zxyy
pp4zyyxF
)-(=),-,( (2.4)
yxzz
pp4zzyxF
)+(=)+,,( (2.5)
yx)zz
pp(4)zz,y,x(F
(2.6)
mg
F(x,y- y,z)
F(x+ x,y,z)
F(x- x,y,z)
F(x,y+ y,z)
F(x,y, z- z)
F(X,Y,Z+ Z)
Sekil 2.1
(x,y,z)
x
y
z
Gazi Üniversitesi Teknoloji Fakültesi Otomotiv Mühendisliği Bölümü
Prof. Dr. Halit KARABULUT Sayfa 11
Elemana etkiyen kütle kuvveti
zyxg8gmW (2.7)
olur. Eleman dengede olduğuna göre elemana x ekseni doğrultusunda etkiyen kuvvetlerin
toplamı, y ekseni doğrultusunda etkiyen kuvvetlerin toplamı ve z ekseni doğrultusunda
etkiyen kuvvetlerin toplamı ayrı ayrı sıfıra eşittir.
Fx 0
p
x 0 (2.8)
Fy 0
p
y 0 (2.9)
Fz 0 gz
p
(2.10)
Son üç eşitlik hidrostatik basınç dağılımının hesabında kullanılacak olan ilişkilerdir.
Basınç değişimi yalnız z doğrultusunda mevcut olduğu için son eşitliğin çözümü yeterli
olacaktır.
2.1.a Yoğunluğun ve Yer Çekiminin Sabit Olduğu Hal
Bilindiği üzere yerçekimi ivmesi yer merkezinden uzaklığa bağlıdır. Akışkanların
yoğunluğu da sıcaklık ve basınca bağlı olarak değişim gösterir. Bu sebeple eşitlik (2.10)
un sağ tarafı sabit değildir. Ancak z nin değişim aralığı sınırlı ise ve g de önemli bir
değişiklik göstermiyorsa eşitlik (2.10) un sağ tarafına sabit muamelesi yapılarak çözüm
elde edilir. Bu durumda çözüm
)zz(gpp 00 (2.11)
olur. Sıvı akışkanların yoğunluğu z ile değişmediği için son eşitlik sıvıların içerisindeki
basınç dağılımını belirlemede kullanılabilir. Bunun için 0z ile sıvının atmosferik havaya
Gazi Üniversitesi Teknoloji Fakültesi Otomotiv Mühendisliği Bölümü
Prof. Dr. Halit KARABULUT Sayfa 12
temas ettiği yüzey gösterilirse, 0p atmosferik basınç olur. İkinci terim sıvı basıncını
temsil etmektedir. Koordinat orijini olarak sıvı yüzeyi seçilebildiği gibi sıvı içerisinde
bulunan bir nokta’da seçilebilir. Koordinat orijini olarak neresi seçilmiş olursa olsun
)zz( 0 daima basıncın hesaplanacağı yerin su yüzünden derinliğini (h) gösterir.
2.1.b Yoğunluğun Değişken Olduğu Hal
Bilindiği üzere gazların yoğunluğu genel gaz denklemi ile basınç ve sıcaklığa bağlı olarak
RT
p şeklinde ifade edilmektedir. Bu ifade eşitlik (2.10) ile birleştirilirse işlem
RT
pg
z
p
(2.12)
ile neticelenir. Sıcaklığın değişmediği hallerde son eşitliğin çözümü
p
pExp
g
RTz z
0
0
( ) (2.13)
olur. Sıcaklığın değiştiği hallerde T=T(z) bilinmesi gerekir. Sıcaklık z ile bzaT
şeklinde lineer değişiyorsa çözüm
p
p
a bz
a bz
g
bR
0
0
(2.14)
olur. Bir örnek olarak kalınlığı 11 km olan Troposfer içerisindeki sıcaklık dağılımı
T Z 288 65 10 3. şeklinde lineer bir ilişki ile ifade edilirse basınç dağılımı
p
p
z
z00
288 65 10 3
288 65 10 3
5258
.
.
.
(2.15)
olarak belirlenir. Daha üst tabakalar içinde benzer yaklaşımlar yapılabilir.
Gazi Üniversitesi Teknoloji Fakültesi Otomotiv Mühendisliği Bölümü
Prof. Dr. Halit KARABULUT Sayfa 13
2.2 Basınç Kuvvetinin Hesabı
2.2.a Yatay Yüzeye Gelen Basınç Kuvveti
Bir akışkan ortam içerisinde bulunan basınç yer çekimi tarafından yaratılıyorsa yer çekimi
doğrultusuna dik yüzeylere gelen basınç kuvvetinin hesabı hiç bir özellik arz etmeyip,
ApF (2.16)
ifadesi ile yapılır. Sıvı ortam içerisinde bulunan yatay yüzeylere gelen basınç eşitlik
(2.11) ile belirlenir.
2.2.b Düşey ve Eğik Düz Yüzeylere Gelen Basınç Kuvveti
Eğer yüzey yer çekimi doğrultusu ile açı yapıyorsa yüzey yere paralel duran elemanlara
ayrılarak elemanlara gelen kuvvetler hesaplanır ve sonra bileşkesi alınır. Veya integral
hesap yapılır.
A
dApF (2.17)
Son eşitlikteki p nin değeri (2.11) eşitliğinden yazılırsa
dAzzgpFA
00
(2.18)
olur. Derin su kütlelerinin altındaki eğik düz yüzeylere gelen kuvvetin hesabı uygulama
alanı bulan önemli bir husustur. Yüzey düzlem olduğu zaman aşağıda ispatlanacağı üzere
integral işleme gerek olmaz. Eşitlik (2.18) de ( )z z h0 yazılırsa eşitlik
dAhgpFA
0
(2.19)
Gazi Üniversitesi Teknoloji Fakültesi Otomotiv Mühendisliği Bölümü
Prof. Dr. Halit KARABULUT Sayfa 14
şeklini alır. Burada h ile dA alanının derinliği gösterilmektedir. Cebirsel işlemlere devam
edilerek son eşitlik
A
0 dAhgApF (2.20)
şeklinde düzenlenebilir. Eğik yüzeyin su yüzeyi ile yaptığı açı şekil 2.2 de görüldüğü
üzere ile gösterilirse,
h x sin
yazılabilir. Bu ifade eşitlik (2.20) ye yazılırsa
0sin
A
F p A g xdA (2.21)
elde edilir. Bu eşitlikte bulunan A
dAx integrali A alanının c noktasına göre alan momenti
olup, bu integral belirli geometrik şekiller için hesaplandığında AxdAxA
c şeklinde
hesaplanabileceği görülür. Sonuç olarak eğik yüzeylere gelen basınç kuvvetinin
0 0sin
c c cF p A g x A p A g Ah Ap (2.22)
ile hesaplanabileceği görülmektedir. Bu eşitlikte bulunan hc alanın ağırlık merkezinin su
yüzünden olan derinliği, pc ağırlık merkezinin üzerindeki sıvı basıncıdır.
Basınç kuvvetinin tatbik noktasını bulmak için yüzey doğrultusunun su yüzeyi
doğrultusunu kestiği noktada bulunan bir dönme eksenine göre yayılı basınç kuvvetinin
momenti ile yayılı kuvvete denk bir bileşke kuvvetin momentinin balanslanması yoluna
gidilir.
Gazi Üniversitesi Teknoloji Fakültesi Otomotiv Mühendisliği Bölümü
Prof. Dr. Halit KARABULUT Sayfa 15
1R R
A A
x F xdF x xdFF
(2.23)
Son eşitlikte dF yerine dA)sinxgp( 0 yazılırsa
2
0
1 1sin
RA A
x x p dA g x dAF F
dAxsingF
1)xA(p
F
1x
A
2
c0R (2.24)
olur. Son eşitlikte bulunan x dAA
2 integrali A alanının şekil 2.2 de görülen c noktasına
göre alan atalet momentidir. Alan atalet momenti
2 2
0 cA
I x dA I Ax
dA
dxx
1
x0
xc
x
h
c
Sekil 2.2
Gazi Üniversitesi Teknoloji Fakültesi Otomotiv Mühendisliği Bölümü
Prof. Dr. Halit KARABULUT Sayfa 16
şeklinde hesaplanır. Burada I0 ile alanın kendi ağırlık merkezinden geçen bir eksene göre
alan atalet momenti gösterilmiştir ve belli başlı geometrik şekiller için teknik formüller el
kitabından alınabilir. Eşitlik (2.24)
0
1( ) sin
R c
Ix p Ax g
F F (2.25)
şeklinde düzenlenebilir.
2.2.c Eğri Yüzeylere Gelen Basınç Kuvveti
Şekil 2.3 dekine benzer eğri yüzeylere gelen basınç kuvvetlerini hesaplamak için şekilde
görüldüğü gibi eğri yüzeyin uçları yatay ve düşey izdüşüm düzlemleri ile birleştirilerek
bir kapalı bölge oluşturulur. Gerek yatay gerek düşey düzlemlere gelen kuvvetler bundan
önceki kısımda işlenen eğik yüzeylerle ilgili bağıntılardan faydalanarak kolayca
hesaplanır. Yatay izdüşüm düzlemine gelen kuvvetle yüzeylerin sınırladığı ara bölgede
kalan akışkanın ağırlığının toplamı eğri yüzeye düşey doğrultuda etkiyen kuvveti verir.
F W Fd z (2.26)
Eğri yüzeye gelen kuvvet yatay ve düşey doğrultuda etkiyen kuvvetlerin bileşkesidir.
F F Fd y 2 2 (2.27)
Ara bölgedeki akışkanın ağırlığının etkime noktası ara bölgenin bize bakan yüzeyinin
ağırlık merkezinden geçer. FZ ve FY nin tatbik noktası önceki bölümde açıklanmıştır. FZ,
FY ve W nin bileşkesinin tatbik noktasını bulmak için b noktası gibi uygun bir noktaya
göre moment alınarak sıfıra eşitlenir. Bileşkenin doğrultusunda bileşenlerin vektörel
toplamı tayin eder.
Gazi Üniversitesi Teknoloji Fakültesi Otomotiv Mühendisliği Bölümü
Prof. Dr. Halit KARABULUT Sayfa 17
2.3 İvmelenmeden Kaynaklanan Statik Basıncın Analizi
2.3.a Doğrusal Sabit İvmeli Hareket
Şekil 2.4 te görüldüğü üzere ivmeli hareketi yapan akışkan değil, akışkanı içerisinde
bulunduran tank olup akışkan tanka göre statik durumdadır. Ortasındaki koordinatlar (y,z)
olan ve y, z eksenlerine paralel duran bir hacim elemanına gelen kuvvetlerin dengesinden
tank içerisindeki basınç alanının denklemleri elde edilir.
Gazi Üniversitesi Teknoloji Fakültesi Otomotiv Mühendisliği Bölümü
Prof. Dr. Halit KARABULUT Sayfa 18
Elemana y doğrultusunda etkiyen kuvvetler
( , ) ( )2 2
y p yF y z p z
y
(2.28)
F yy
z pp
y
yz( , ( )
2 2
(2.29)
ya azyF (2.30)
olup bunların toplamı sıfıra eşitlenirse
ya
y
p
(2.31)
eşitliği elde edilir. Elemana z doğrultusunda etkiyen kuvvetler
F y zz
pp
z
zy( , ) ( )
2 2
(2.32)
Gazi Üniversitesi Teknoloji Fakültesi Otomotiv Mühendisliği Bölümü
Prof. Dr. Halit KARABULUT Sayfa 19
F y zz
pp
z
zy( , ) ( )
2 2
(2.33)
yzgW (2.34)
olup bunların toplamı sıfıra eşitlenirse
gz
p
(2.35)
elde edilir. Basıncın tam diferansiyeli
dpp
ydy
p
zdz
(2.36)
olup Eşitlik (2.31) ve (2.35) le verilen basınç gradyanları son eşitliğe yazılırsa
dzgdyy
adp (2.37)
elde edilir. Şekil 2.4 de bulunan A ve B noktaları her ikisi de sıvı yüzeyinde bulunduğu
için her iki noktadaki sıvı basıncı aynı olup sıfıra eşittir. Bu sebeple bu iki nokta
arasındaki basınç farkı da sıfır olacaktır. Buna göre son eşitlikten safi sıvı yüzeyinde
geçerli olan
dz
dy
a
g
y (2.38)
sonucu elde edilir. Bu eşitliğin y y z z 0 0, sınır şartı ile çözümünden
z za
gy y
y 0 0( ) (2.39)
ifadesi elde edilir. Son eşitlik sıvının yüzey profilini tanımlamaktadır. Sıvı içerisinde
bulunan bir noktadaki sıvı basıncı o noktanın üzerindeki sıvı yüksekliği ile orantılı
Gazi Üniversitesi Teknoloji Fakültesi Otomotiv Mühendisliği Bölümü
Prof. Dr. Halit KARABULUT Sayfa 20
olduğundan son eşitlik sıvı basıncını hesaplamak için kullanılabilir. Eğer tankın tabanında
z sıfır olacak biçimde bir koordinat düzeni seçilirse z aynı zamanda sıvı yüksekliğini
gösterir. Şekil 2.4 de gösterilen koordinat düzenine göre z aynı zamanda tankın
içerisindeki sıvı yüksekliğine eşittir. Bu durumda tankın tabanında basınç dağılımı
0
y
0 yyg
azghgp (2.40)
olur. Aynı eşitlik ile tankın yan yüzeylerindeki basınçta hesaplanabilir.
2.3.b Dönen Bir Tank
Dönen bir tankın içerisindeki sıvı sürekli merkeze doğru bir ivmenin etkisi altındadır.
Şekil 2.5 de gösterilen ortasındaki koordinatlar (r,z) olan bir hacim elemanına etkiyen
kuvvetler balanslandığında tankın içerisindeki basınç alanının eşitlikleri elde edilir.
Radyal yönde etkiyen kuvvetler
z)2
rr)(
2
r
r
pp()z,
2
rr(F
(2.41)
z)2
rr)(
2
r
r
pp()z,
2
rr(F
(2.42)
razrra
F (2.43)
olup son eşitlikte bulunan radyal ivme ar nin dönme hızı cinsinden belirlenmesi gerekir.
Gazi Üniversitesi Teknoloji Fakültesi Otomotiv Mühendisliği Bölümü
Prof. Dr. Halit KARABULUT Sayfa 21
Şekil 2.6 da görüldüğü üzere bir daire üzerinde dönen bir sıvı elemanının x ve y yönünde
aldığı yollar
t cos rrx
t sin r=y
şeklinde ifade edilebilir. Bu eşitliklerden x ve y doğrultusundaki ivmeler
Gazi Üniversitesi Teknoloji Fakültesi Otomotiv Mühendisliği Bölümü
Prof. Dr. Halit KARABULUT Sayfa 22
t cos rdt
xd
2
2
2
t sin r-=dt
yd
2
2
2
olarak belirlenir. Bunların bileşkesi ar yi verir.
2222
r r=tcos+tsinr =a
Bu sonuç eşitlik (2.43) e yazıldıktan sonra eşitlik (2.41,2.42,2.43) ile verilen kuvvetlerin
toplamı sıfıra eşitlendiğinde
r
pr
r
p 2
(2.44)
elde edilir. Elemana z yönünde etkiyen kuvvetler
rr)2
z
z
pp()
2
zz,r(F
(2.45)
rr)2
z
z
pp()
2
zz,r(F
(2.46)
gzrrW (2.47)
olup bunların toplamının sıfıra eşitlenmesinden
gz
p
(2.48)
ifadesi elde edilir. Basıncın diferansiyeli
dp =p
rdr +
p
zdz
(2.49)
Gazi Üniversitesi Teknoloji Fakültesi Otomotiv Mühendisliği Bölümü
Prof. Dr. Halit KARABULUT Sayfa 23
olup (2.44) ve (2.48) eşitliklerinden r ve z yönündeki basınç gradyanı yerine yazılırsa
dzg-dr)r
p-2r(=dp (2.50)
olur. Sıvı yüzeyinde bulunan noktalar arasında hem basıncın değişimi hem de sıvı
basıncının kendisi sıfırdır. Buna göre son eşitliğin
2rg
1
r
z
(2.51)
şeklinde yazılması mümkündür. Bu eşitliğin r r z z 0 0, sınır şartı ile çözümü
z zg
r r 0
22
0
2
2
( ) (2.52)
ifadesini verir. Son eşitlikte r0 0 olarak seçilebilir. z nin başlangıcı olarak tankın tabanı
seçilirse z tabanın üzerindeki sıvı yüksekliğini gösterir ve tabandaki radyal basınç
dağılımı
)rr(
g2zghgp 2
0
22
0 (2.53)
olarak belirlenir.
2.4 Sıvı Manometreleri
Bugün basınç ölçmede çok çeşitli modern manometreler kullanılmaktadır. Ancak bunların
kalibrasyonu bir sıvı manometresini kullanmayı gerektirdiği için burada bu çeşit
manometreleri tanıtmak faydalı olacaktır.
Şekil 2.7a da tek katlı bir diferansiyel sıvı manometresi görülmektedir. Tek katlı
manometrelerin ölçebileceği basınç farkı manometrenin U borusunun yüksekliği ve
manometre sıvısı tarafından sınırlanmaktadır. Eğer tek katlı bir manometre yeterli
Gazi Üniversitesi Teknoloji Fakültesi Otomotiv Mühendisliği Bölümü
Prof. Dr. Halit KARABULUT Sayfa 24
olmuyorsa şekil 2.7b deki gibi iki katlı bir manometre kullanmak gerekir. Eğer iki katlı
bir manometre de yetmiyorsa daha çok katlı bir manometre kullanılabilir.
Şekil 2.7a daki manometrede U borusu üzerinde bulunan C ve D noktalarında aynı basınç
mevcuttur.
pc
PD (2.54)
C noktasındaki basınç; A haznesindeki basınç ile h1 sıvı sütununun yarattığı basıncın
toplamına eşittir. D noktasındaki basınç; B haznesindeki basınç ile h2 ve h3 sıvı
sütunlarının yarattığı basınçların toplamına eşittir. Buna göre (2.54) eşitliği
1 2 2 3A A B B
p h g p h g h g (2.55)
olarak düzenlenir. Son eşitlikten Ap ve Bp basınçlarının farkı
2 2 3 1A B B A
p p h g h g h g (2.56)
olarak belirlenir.
A
B
h1
2h
h 3
C D
Sekil 2.7 a
Gazi Üniversitesi Teknoloji Fakültesi Otomotiv Mühendisliği Bölümü
Prof. Dr. Halit KARABULUT Sayfa 25
Şekil 2.7b de görülen iki katlı manometre için
C D
p p (2.57)
E F
p p (2.58)
G H
p p (2.59)
eşitlikleri yazılabilir. Manometrenin C, D, G, ve H noktalarındaki basınçlar
1C A A
p p g h (2.60)
2D E İ
p p g h (2.61)
3G F J
p p g h (2.62)
4 5H k B B
p g h g h p (2.63)
Şeklinde ifade edilebilir. Eşitlik (2.60) ve (2.61) in eşitlik (2.57 ) ye yazılması ile
1 2A A E İ
p g h p g h (2.64)
A
2h h3
C D
Sekil 2.7 b
B
E F
G H
K
h4
5h
h1
i
j
k
Gazi Üniversitesi Teknoloji Fakültesi Otomotiv Mühendisliği Bölümü
Prof. Dr. Halit KARABULUT Sayfa 26
elde edilir. Eşitlik (2.62) ve (2.63) ün eşitlik (2.59) a yazılması ile
3 4 5F J k B B
p g h g h g h p (2.65)
elde edilir. Eşitlik (2.64) ve eşitlik (2.65) in taraf tarafa toplanmasından
1 3 2 4 5A A F J E k B Bİ
p g h p g h p g h g h g h p
(2.66)
elde edilir. Son eşitlikte bulunan E
p ve F
p birbirini götürür. Eşitliğin nihai şekli
2 4 5 1 3A B k B A Jİ
p p g h g h g h g h g h (2.67)
olur.
Üç ve daha çok katlı manometrelerin analizleri benzer şekilde yapılmaktadır.
2.5 Dalmış ve Yüzen Cisimlere Etkiyen Kaldırma Kuvveti
Akışkan içerisinde bulunan cisimler ister kısmen batsın ister tamamen muayyen bir
kuvvetle yer çekimine zıt yönde kaldırılırlar. İstisnasız bütün sıvılar kaldırma kuvvetine
sahiptir. Mesela etrafımızdaki hava bizi her an yukarı doğru bir kuvvetle kaldırmaktadır.
Gazi Üniversitesi Teknoloji Fakültesi Otomotiv Mühendisliği Bölümü
Prof. Dr. Halit KARABULUT Sayfa 27
Şekil 2.8a da görülen içi boş cisim harici bir FB kuvveti ile aşağı doğru basılarak bir sıvıya
dalmış pozisyonda tutulmaktadır. Etrafındaki sıvının cisme uyguladığı kaldırma kuvveti
FB ye eşit ve zıt yöndedir. FB yi belirlemek için cismi şekil 2.8.b de görüldüğü gibi bir
kontrol hacminin içerisine aldıktan sonra kontrol hacmine etkiyen kuvvetleri balanslamak
yeterli olacaktır. Kontrol hacmine x ekseni doğrultusunda etkiyen kuvvetler tamamen
kendi aralarında birbirini yok etmektedir. y ekseni doğrultusunda etkiyen kuvvetlerde yine
kendi aralarında birbirini yok etmektedir. Bu sebeple safi z ekseni doğrultusunda bir
kuvvet balansı gerekmektedir. Kontrol hacmine z doğrultusunda; harici kuvvet FB, basınç
kuvveti F1, basınç kuvveti F2 ve kontrol hacmi içinde kalan sıvının ağırlığı W
etkimektedir. Cismin içi boş ve ağırlıksızdır. Kontrol hacmi dengede olduğuna göre
F F W FB1 2 0 (2.68)
olur. FB çekilirse
F F F WB 2 1 (2.69)
Gazi Üniversitesi Teknoloji Fakültesi Otomotiv Mühendisliği Bölümü
Prof. Dr. Halit KARABULUT Sayfa 28
olur. Son eşitlikte bulunan F1, F2 ve W yerine matematiksel ifadeleri yazılırsa
2 1 2 1BF g h h AB g h h AB g (2.70)
neticesine gidilir. Son eşitlikte bulunan A kontrol hacminin alt ve üst yüzey alanlarını,
de cismin hacmini göstermektedir. Görüldüğü üzere cisme etkiyen kaldırma kuvveti
cismin yerini değiştirdiği akışkanın hacmine eşittir. Bu sonuç ilk olarak Archimedes
tarafından belirlendiği için Archimedes kanunu olarak isimlendirilmektedir.
2.6 Basınç Kuvvetinin Momenti
Dalmış ve yüzen cisimlerin kararlılık analizleri yapılırken cismin yüzeylerine gelen
basınç kuvvetinin belirli bir noktaya göre momentini almak gerekmektedir. Bu kısımda
statik bir basınç ortamında bulunan bir cismin yüzeylerine gelen basınç kuvvetlerinin
koordinat sisteminin orijinine göre momentinin belirlenmesi için bir yöntem
tanıtılmaktadır.
Şekil 2.9.a deki dalmış cismin kağıt düzlemine dik boyutu 1 m dir. Cismin sınırı üzerinde
bulunan bir A noktasından bir B noktasına gidilirken x koordinatı pozitif bir dx değişimi,
y koordinatı pozitif bir dy değişimi yapsın. AB yayına etkiyen dF kuvveti
x ydF dF i dF j pdy i pdx j 2.71
şeklinde ifade edilebilir. Moment noktasını AB yayına birleştiren yer vektörü
R xi y j 2.72
şeklinde ifade edilir. Moment
Gazi Üniversitesi Teknoloji Fakültesi Otomotiv Mühendisliği Bölümü
Prof. Dr. Halit KARABULUT Sayfa 29
0
0
i j k
dM x y k x pdx y pdy
pdy pdx
2.73
olur. Dalmış cisme etkiyen toplam moment
M x pdx y pdy (2.74)
şeklinde ifade edilir.
Bir yüzey integrali olan son eşitlik hacim integraline dönüştürülebilir ve çözümü
kolaylaşır. Boyutları dx ve dy olan prizmatik bir diferansiyel hacim elemanının
yüzeylerine gelen basınçlar şekil 2.9.b de gösterilmiştir. Son eşitlik kullanılarak söz
konusu prizmanın yüzeylerine etkiyen basınç kuvvetlerinin koordinat merkezine göre
toplam momenti
( ) ( )2 2 2 2
p dy p dy p dx p dxdM x p dx x p dx y p dy y p dy
y y x x
y
x
AB
dF
Sekil 2.9.a
R
Gazi Üniversitesi Teknoloji Fakültesi Otomotiv Mühendisliği Bölümü
Prof. Dr. Halit KARABULUT Sayfa 30
şeklinde ifade edilebilir. Gerekli götürtmeler yapıldığında işlem
dydx)y
px
x
py(dM
(2.75)
ile neticelenir. Son eşitlik momentin prizmanın hacmine bağlı olduğunu göstermektedir
Boyutları diferansiyel olamayan bir cismin yüzeyine etkiyen basınç kuvvetinin koordinat
merkezine göre momentini bulmak için cisim sonsuz sayıda prizmatik elemana ayrılır.
Elemanların yüzeylerine etkiyen basınç kuvvetlerinin momentleri hesaplanır ve tüm
elemanların momentleri toplanır. Elemanlar ortak yüzeylerde birbirine eşit ve zıt yönde
basınç kuvveti uygularlar. Elemanların ortak yüzeylerindeki basınç kuvvetlerinin
momentleri de sayıca eşit fakat ters işaretlidir. Bu sebeple elemanların ara yüzeylerinde
oluşan basınç kuvvetlerinin momentleri birbirini yok eder. Geriye safi cismin dış
yüzeylerine etkiyen basınç kuvvetlerinin momentlerinin toplamı kalır. Bu sebeple eşitlik
(2.75) ün cismin sınırları dahilinde integrali cismin dış yüzeyine etkiyen basınç
kuvvetinin momentine eşit olacaktır.
p
dx
dy
y
x
p+ py
dy
p- px
dx
p+ px
dx
p- py
dy
Sekil 9.b
2
2
2
2
Gazi Üniversitesi Teknoloji Fakültesi Otomotiv Mühendisliği Bölümü
Prof. Dr. Halit KARABULUT Sayfa 31
vdydx)
y
px
x
py(M (2.76)
Bir integral denklem olan son eşitliğin çözümü için cismin içerisinde bir basınç
dağılımının tanımlanması gerekmektedir. Cismin içerisinde bulunan diferansiyel
elemanların ortak yüzeylerindeki basınç kuvvetlerinin momentleri birbirini yok ettiği için
cismin içerisinde basıncın nasıl bir dağılım gösterdiği hiç bir önem arz etmez yeter ki bu
basınç dağılımı cismin sınırlarında cisme dışarıdan etkiyen hidrostatik basıncın yarattığı
fiziki sınır şartlarını sağlansın.
Bir örnek olarak şekil 2.9.c de görülen prizmatik cismin yüzeylerine etkiyen basınç
kuvvetlerinin momentini ele alalım. Eşitlik (2.74) ü kullanarak basınç kuvvetlerinin
koordinat merkezine göre momenti
2
bagdy)yh(yg
dy)yh(ygdx)ah(xgdxhxgM
2a
00
a
00
b
00
b
00
olarak belirlenir. Şimdi aynı momenti eşitlik (2.76) ile belirleyelim. Cismin içerisindeki
basınç dağılımı
)yh(gp 0
olarak ifade edilirse cismin sınırlarındaki basınçların sağlandığı görülür. Bu eşitlikten
p
x 0
gy
p
olarak belirlenir. Bunlar (2.76) eşitliğine yazılır ve integrallenirse
Gazi Üniversitesi Teknoloji Fakültesi Otomotiv Mühendisliği Bölümü
Prof. Dr. Halit KARABULUT Sayfa 32
2
bag
2
xygdydxxgM
2b
0
2
v
olarak belirlenir. Birde cismin içerisindeki basınç dağılımını
a2
ysingahgp 0
ile tanımlayalım. Bu eşitlikten
)ah(gp 0ay
00y hgp
p
x x
0
0
p
x x b
0
değerleri elde edilebilir. Bu değerler cismin sınırlarındaki gerçek şartlara denk olduğu
için söz konusu eşitlik cismin yüzeylerine etkiyen basınç kuvvetlerinin koordinat
b
a
ho
y
x
Sekil 2.9.c
Gazi Üniversitesi Teknoloji Fakültesi Otomotiv Mühendisliği Bölümü
Prof. Dr. Halit KARABULUT Sayfa 33
merkezine göre momentini hesaplamada kullanılabilir. Söz konusu eşitlikten cismin
içerisindeki basınç gradyanları
p
x 0
a2
ycos
2g
y
p
olarak belirlenir. Bunlar eşitlik (2.76) de yerine yazılır ve integral çözme işlemi yapılırsa
moment
2
bag
a2
ysin
2
xagM
2b
0x
a
0y
2
olarak belirlenir. Görüldüğü üzere cismin içerisindeki basınç dağılımı hiç bir önem arz
etmeyip, cismin içerisinde tanımlanan basınç alanının sınır şartlarını sağlaması yeterli
olmaktadır. Sınır şartları türevselde olabilir doğrudan p nin kendiside olabilir.
2.7 Kaldırma Kuvvetinin Yeri
Şekil 2.9.d de görülen ağırlıksız prizmaya z doğrultusunda etkiyen kuvvetlerin D
noktasından geçen ve z-y düzlemine dik olan bir eksene göre momentleri alınarak FB nin
D ye dik uzaklığı belirlenir. F1 ve F2 kuvvetlerinin D noktasına göre dik uzaklıkları 2
b
olur. BF nin dik uzaklığı dB olsun. 3F ve 4F kuvvetlerinin D noktasına dik uzaklıkları
belirsiz olduğu için bu kuvvetlerin moment integral ile hesaplanmalıdır. Bunun için 3F ve
4F kuvvetlerinin etkidiği yüzeylerdeki basıncın p f z şeklinde tanımlanması
gerekmektedir. Bu tanımlamalar
3 1p g h z
4 1p g h z
Gazi Üniversitesi Teknoloji Fakültesi Otomotiv Mühendisliği Bölümü
Prof. Dr. Halit KARABULUT Sayfa 34
şekinde yapılabilirler. D noktasına göre moment denge denklemi
1 2 1 10 0
02 2
a a
B B
b bF F g h z zdz g h z z dz F d
1 2
02 2
B B
b bF F F d
1 2
2
2B
bgh b gh b
bd
gab
(2.77)
eşitliğini verir. Bu eşitlikte 3
F ve 4
F birbirine eşittir. Gerekli yerine yazma ve götürtmeler
yapıldığında
2
B
bd
Gazi Üniversitesi Teknoloji Fakültesi Otomotiv Mühendisliği Bölümü
Prof. Dr. Halit KARABULUT Sayfa 35
elde edilir. Bu sonuç kaldırma kuvvetinin yerinin geometrik merkezde olduğunu
göstermektedir.
Moment balansı z-x düzlemine dik bir eksene göre yapılırsa kaldırma kuvvetinin
uygulama noktasını belirleyen diğer bir uzaklık daha bulunmuş olur. Uygulama
noktasının prizmatik kontrol hacminin üst veya alt yüzeyinden uzaklığı bilinmesi gereken
diğer bir uzaklıktır. Cismin pozisyonunu değiştirmeden uygulama noktasının alt veya üst
yüzeyden uzaklığını matematiksel bir yöntemle göstermek mümkün olmamaktadır.
Kaldırma kuvvetinin uygulama noktasının tam dalmış cisimlerde pozisyona bağlı
olmadığını göstermek mümkündür.
Şekil 2.10 da görülen cisim tamamen ağırlıksız, R kuvvetinin zoru ile suya dalmış ve
dengede olsun. Bu durumda kaldırma kuvveti R ye denk ve zıt yönde olur. Mevcut
Gazi Üniversitesi Teknoloji Fakültesi Otomotiv Mühendisliği Bölümü
Prof. Dr. Halit KARABULUT Sayfa 36
pozisyonda cisme etkiyen yayılı basınç kuvvetinin A noktasına göre momenti ile R
kuvvetinin A noktasına göre momenti dengededir. Bu dengenin matematiksel ifadesi
eşitlik (2.76) dan yararlanarak
dzdx)z
px
x
pz(dR
v1
(2.78)
şeklinde yazılabilir. Mevcut pozisyon için cismin içerisindeki basınç dağılımının türevleri
p
x 0
gz
p
şeklinde yazılabilir. Bunlar eşitlik (2.76) ya yazılır ve integral çözülürse
2
bag
2
xzgdzdxxgdR
2a
0z
b
0x
2
v1
olur. Arshimedes kanunundan kaldırma kuvveti
baggVR
olarak belirlenir. Son iki eşitlikten kaldırma kuvvetinin A noktasına dik uzaklığı
d b1 2 /
olarak belirlenir.
Cismin A ve C köşelerine bir kuvvet çifti tatbik ederek şekil 2.10.b deki pozisyona
getirelim. Bu yeni pozisyon için cismin içindeki basınç dağılımının türevleri
gx
p
Gazi Üniversitesi Teknoloji Fakültesi Otomotiv Mühendisliği Bölümü
Prof. Dr. Halit KARABULUT Sayfa 37
p
z 0
olur. Bunlar eşitlik (2.76) da yazılır ve integrallenirse
2
abg
2
zxgdzdxzgRd
2a
0z
b
0x
2
v2
olur. Yukarda belirlediğimiz R son eşitlikte yerine yazılırsa
d a2 2 /
olarak belirlenir. Cisim şekil 2.10.c de görülen pozisyona getirilirse basınç gradyanları
sing
x
hg
x
p
cosg
z
hg
z
p
olur. Bunlar eşitlik (2.76) da yazılır ve integrallenirse
a
0z
b
0x
22
v3 ||)cos
2
xzsin
2
zx(gdzdx)cosxsinz(gdR
olur. Bu eşitlikten moment kolu
db a
32 2
cos sin
olarak belirlenir. Son eşitlikte açısı küçülürken ilk terim büyüyecek ikinci terim
küçülecek ve moment kolu d b3 2 / olacaktır. Bu değer cismin (a) pozisyonu için
bulduğumuz değerdir. açısı 90 derece olursa moment kolu d a3 2 / olacaktır. Bu
değerde cismin (b) pozisyonu için bulduğumuz değere eşittir. Cismin boyutları ve açısı
b 3
2, a
1
2, 30 seçilirse cismin köşegeni yatay pozisyonda durur ve uzunluğu 1
Gazi Üniversitesi Teknoloji Fakültesi Otomotiv Mühendisliği Bölümü
Prof. Dr. Halit KARABULUT Sayfa 38
birim olur. Bu hal için d3 1 4 / olup kaldırma kuvvetinin uygulama noktasının
köşegenlerin kesişme yeri olduğu geometrik olarak gösterilebilmektedir.
Bu inceleme kaldırma kuvvetinin yerinin pozisyona bağlı olmadığını ve cismin geometrik
merkezi olduğunu göstermektedir. Bu noktanın yeri alan momenti ile de belirlenebilir.
2.8 Dalmış Cisimlerin ve Yüzen Cisimlerin Kararlılığı
Tamamen su altında kalan yüzen cisimlerin stabil olması için ağırlık merkezinin aşağıda
kaldırma kuvvetinin uygulama noktasının yukarda olması gerekir. Ağırlık merkezi
yukarda kaldırma kuvvetinin uygulama noktası aşağıda olursa cismin dengesi
bozulduğunda cismi ters döndürmeye çalışan bir kuvvet çifti oluşacak ve ters dönecektir.
Ağırlık merkezi aşağıda kaldırma kuvvetinin uygulama noktası yukarda olduğu zaman
cismin dengesi bozulduğunda yine bir kuvvet çifti oluşacak fakat bu kez oluşan kuvvet
çifti cismi ters döndürmeye çalışmayacak dengeyi yeniden kurmaya çalışacaktır.
Gemilerin ve diğer su taşıtlarının ağırlık merkezini aşağıda kaldırma kuvvetinin uygulama
noktasını yukarda yapmak mümkün olmaz. Ağırlık merkezi yük durumuna göre değişir.
Bu taşıtlar ağırlık merkezi kaldırma kuvvetinin uygulama noktasının yukarısında
olduğunda bile denge bozulduğunda yeniden dengeye dönecek biçimde tasarlanır. Şekil
2.12 da görülen cismin ağırlık merkezi yukarda kaldırma kuvvetinin uygulama noktası
Gazi Üniversitesi Teknoloji Fakültesi Otomotiv Mühendisliği Bölümü
Prof. Dr. Halit KARABULUT Sayfa 39
aşağıdadır. Cismin dengesi bozulduğunda şekil 2.12.b de görüldüğü üzere kaldırma
kuvvetinin uygulama noktası dalmış kısmın geometrik merkezine doğru kayar. Oluşan
kuvvet çifti cismin dengesini yeniden kurma yönünde etki eder ve cismin ters dönmesini
önler. Bu durum geniş tabanlı cisimlerde mümkün olmakla birlikte dar tabanlı cisimlerde
gerçekleşmez. Dar tabanlı cisimler mutlaka ağırlık merkezi aşağıda kaldırma kuvvetinin
uygulama noktası yukarda olacak biçimde tasarlanmalıdır.
Çözümlü Problemler
Soru-1
Çapı 120 cm olan bir varilin içerisinde 60 cm yüksekliğinde su bulunmaktadır. Varil 7 rad/s hızla
dönerse varildeki suyun yüzey profili nasıl olur.
Cevap
Taralı hacim elemanının hacmi
2
2 2
0 02 2 ( )2
dV rzdr r z r r drg
olup varil içerisindeki suyun tamamının hacmi
2 2 4 2
2
0 0
0
2 ( )2 2 4 2
R
R R RV z r
g
Gazi Üniversitesi Teknoloji Fakültesi Otomotiv Mühendisliği Bölümü
Prof. Dr. Halit KARABULUT Sayfa 40
olur. Yukarıdaki şekle göre 0 0r olduğu için son eşitlik
2 2 4
022 2 4
R RV z
g
olur. Varildeki suyun hacmi bilindiği için son eşitlikten
2 2 4
2
022 2 4
R Rz R z
g
2 2
0 0.150462 2
Rz z m
g
elde edilir. Yüzey profili
2
20.152
z rg
olarak belirlenir. İkinci bir yol ortalama su yükesekliğini
2 2 0
1 12
R
A
z zdA z r drR R
şeklinde hesaplayıp verilen yükseklikle kıyaslamaktır. Bu iş okuyucuya bırakılmıştır.
Soru -2
R
r dr
z0
z1
Gazi Üniversitesi Teknoloji Fakültesi Otomotiv Mühendisliği Bölümü
Prof. Dr. Halit KARABULUT Sayfa 41
Aşağıdaki şekilde görülen dikdörtgen ve daire yüzeylerin o noktasına göre yüzey atalet
momentlerini belirleyin.
Cevap
Dikdörtgen yüzeyin atalet momenti:
1
0
2 2 3 3
1 03
x
xA
bI x dA b x dx x x
x x h1 0
I bhx bh x bh 02 2
03
1
3
I bh x hx hbh
0
20
231
4 12
Gazi Üniversitesi Teknoloji Fakültesi Otomotiv Mühendisliği Bölümü
Prof. Dr. Halit KARABULUT Sayfa 42
12
3hb2
2
h
0xAI
0
2
c IxAI
Daire yüzeyin atalet momenti:
dxbxdAxI1
0
x
x
2
A
2
Bu eşitlikte
)cosrr(xx 0
sinr2b
dsinrdx
yazılırsa
dsin)cosrrx(r2I 22
00
2
0
224
0
24
0
24
0
2
0
3
0
23
00
222
0
dsincosr2dcossinr4dsinr2
dcossinrx4dsinrx4dsinrx2I
olur. Bu eşitlikte bulunan integral işlemleri tamamlandığında
0
34344
33
0
3
0
22
0
)2
2sin4
1sin(cosr
2
1sinr
3
4)
22sin
4
1(r2
sinrx3
4)
22sin
4
1(rx4)
22sin
4
1(rx2I
olur. Sonuç
Gazi Üniversitesi Teknoloji Fakültesi Otomotiv Mühendisliği Bölümü
Prof. Dr. Halit KARABULUT Sayfa 43
0
2
c
42
0
443
0
22
0 IxAr4
)rx(A)r4
1rrx2rx(I
olarak belirlenir.
Soru -3
Genişliği 4x4 metre olan bir kapak 45 derece eğimle su altına yerleştirilmiştir. Kapağın
merkezinin su yüzeyinden derinliği 40 metre ise kapağa gelen su basıncı kuvveti ve
uygulama noktasını belirleyin.
Cevap
Kapağa gelen kuvvet
0A
cF p g Ah
ile hesaplanacaktır. Bu eşitlikte bulunan birinci terim su yüzeyine gelen atmosferik
basıncın sebep olduğu kuvvet olup kapağın arkasınada etkidiğinden hesaptan düşülür.
Buna göre basınç kuvveti
61000 9.81 16 40 6.2784 10F N
olur. Basınç kuvvetinin uygulama noktası
0
1( ) sin
R c
Ix p Ax g
F F
ile verilmekte olup birinci terim su yüzüne gelen atmosferik basınç kuvvetine ilişkin
olduğundan hesaptan düşülür. Kare yüzeylerin alan atalet momenti
4 21
12c
I A x
olup verilen yüzey için I m 512368 4. olarak belirlenir. Basınç kuvvetinin tadbik noktası
Gazi Üniversitesi Teknoloji Fakültesi Otomotiv Mühendisliği Bölümü
Prof. Dr. Halit KARABULUT Sayfa 44
51236.8sin 1000 9.81 0.707 56.6
6278400R
Ix g m
F
olarak belirlenir. Bu problemde x cile xR nin çok yakın çıkmasının sebebi kapağın
yeterince derinde olmasıdır.
Soru -4
Aşağıdaki şekilde görülen silindirik eğri yüzeyin kağıt düzlemine dik boyutunu 1 m kabul
ederek basınç kuvvetini, doğrultusunu ve uygulama noktasını belirleyin.
Cevap
Verilen eğri yüzey aşağıda görüldüğü üzere bir çeyrek silindire tamamlanır. Çeyrek
silindirin içerisinde bulunan suyun ağırlığının etkime noktası çeyrek silindirin kesitinin c
ile gösterilen ağırlık merkezidir. c nin OA kenarından uzaklığını belirlemek için çeyrek
dairenin alanı küçük elemanlara ayrılarak bu elemanların OA eksenine göre momenti ile
tüm alanın OA eksenine göre momenti eşitlenir. Tüm alanın OA eksenine göre momentini
Gazi Üniversitesi Teknoloji Fakültesi Otomotiv Mühendisliği Bölümü
Prof. Dr. Halit KARABULUT Sayfa 45
hesaplarken moment kolu olarak ağırlık merkezi ile OA ekseni arasındaki dik mesafe z c
kullanılır. Moment balansından c
Z
cA
z A z dA
1c
Az zbdz
A
olarak ifade edilir. Bu eşitlikte b ile elemanının yatay genişliği gösterilmekte olup
büyüklüğü z ye bağlıdır. Silindirik koordinata dönüşüm yapılarak son eşitlikten c
z
/2
0
1 4sin cos cos
3c
rz r r r d
A
olarak belirlenir. Aynı şekilde c noktasının OB eksenine dik uzaklığı
4
3c
ry
olarak belirlenir. Fy , Fz , W ve F kuvvetleri
Gazi Üniversitesi Teknoloji Fakültesi Otomotiv Mühendisliği Bölümü
Prof. Dr. Halit KARABULUT Sayfa 46
1000 9.81 20.5 201105y
F N
1000 9.81 20 196200z
F N
221000 9.81 7705
4 4W N
201105 (196200 7705) 286392 0.7022 0.71197y d
F F j F k j k j k
olur. b ve h Fy kuvvetinin etkidiği yüzeyin boyutları olmak üzere Fy nin etkidiği yüzeyin
atalet momenti
3 3
2 2 41 120.5 1 420.3333
12 12c
bhI x A m
olur. Eşitlik (2.17) ye göre Fy kuvvetinin uygulama noktasının su yüzeyinden uzaklığı
420.333
sin 1000 9.81 1 20.504201105
R
y
Ix g m
F
olur. Son eşitlikte belirlenen xR aynı zamanda hR olur çünkü düşey yüzeylerde açısı
90 dere olmaktadır. F Kuvvetinin O noktasından dik uzaklığını belirlemek için O
noktasına göre moment alınabilir. Dik uzaklık
0.504 0.5 0.4244y z
F D F F W
201105 0.504 196200 0.5 7705 0.4244 / 286392D
0.011D
olarak belirlenir. Bu uzaklık
0.011 y zD d j d k
Gazi Üniversitesi Teknoloji Fakültesi Otomotiv Mühendisliği Bölümü
Prof. Dr. Halit KARABULUT Sayfa 47
şeklinde bir vektörle ifade edilebilir. F ile D aynı düzlemde olduğu için
0.7022 0.711978 0y zd j d k j k
0.7022 0.711978y z
d d
olur. Ayrıca
21y zd d
olup yeine yazılırsa
20.7022 1 0.711978z z
d d
elde edilir. Son eşitlikten
0.7022zd
elde edilir.
0.711978yd
olarak belirlenir. Bileşke kuvvetin uygulama noktasının O noktasından uzaklığı
0.011 0.7119 0.7022D j k
olarak belirlenir.
Soru -5
Çapı 1 m olan silindirik bir tankın içerisinde 1 m su bulunmaktadır. Tank 30 rad/s hızla sürekli
dönerken yüzey profilini belirleyiniz.
Gazi Üniversitesi Teknoloji Fakültesi Otomotiv Mühendisliği Bölümü
Prof. Dr. Halit KARABULUT Sayfa 48
Cevap
Yüzey profili
z zg
r r 0
22
0
2
2
( )
ile verilmektedir. Tankın merkezindeki çap r0 kabul edilirse 0 0r olur. Eşitlik
2
2
02
z z rg
olara düzenlenir. Tankın içerisindeki suyun hacmi yüzey profilinden
0.50.5 0.5 2 2 2 4
2
0 0
0 0 0
0
2 2 22 2 2 4
2 0.125 0.716743
r rV z r dr z r rdr z
g g
z
olarak hesaplanır. Statik şartlardaki hacim
4V
olup, iki hacmin birbirine eşitlenmesinden
0 4.7339z
olduğu görülür. Bu sunuç varilin orta kısmının tamamen boşaldığını göstermektedir.
Aşağıdaki şekle göre hacmi yeniden hesaplamak gerekir.
Gazi Üniversitesi Teknoloji Fakültesi Otomotiv Mühendisliği Bölümü
Prof. Dr. Halit KARABULUT Sayfa 49
0 0z olduğu dikkate alınrak hacim
0 0 0
0.50.5 0.5 2 22 2 4
2 2 00
2 2 42 4
0 0
24 2
0.50.5
4 2 4
r r r
r rrV z r dr r r rdr
g g
r r
g
şeklinde hesaplanır. İlk hacimle kıyaslayarak
2 2 44
0 0
2
0.50.5
4 2 4 4
r r g
2 2
0 00.354403, 0.145597r r
elde edilir. 0 0.38157r mdeğerinin doğru 0 0.5953r m
değerinin yalancı kök olduğu
anlaşılmaktadır. Buna göre yüzey profili
r0 rdr
z
Gazi Üniversitesi Teknoloji Fakültesi Otomotiv Mühendisliği Bölümü
Prof. Dr. Halit KARABULUT Sayfa 50
2
2
0 0 0.38157
( 0.145597) 0.38157 0.52
r
zr r
g
Soru -6
Aşağıdaki şekli görülen tamamen su içerisine daldırılmış izotropik cisme etkiyen
kaldırma kuvvetinin tadbik noktasını belirleyip cismin stabil olup olmadığını inceleyin.
Cevap
Cismi suya dalmış vaziyette tutmak için bir R kuvveti ile aşağı bastırmak veya yukarı
kaldırmak gerekmektedir. Bu kuvvetin tadbik edildiği nokta seçilirken cisme etkiyen
diğer kuvvetlerin bu noktaya göre momentinin sıfır olması gerekir.
Aşağıdaki şekilde’de görüldüğü üzere cisim iki parçadan uluşmuş gibi kabul edilir, AF ve
FE eksenlerine göre alan momenti alınarak ağırlık merkezinin yeri belirlenir.
Gazi Üniversitesi Teknoloji Fakültesi Otomotiv Mühendisliği Bölümü
Prof. Dr. Halit KARABULUT Sayfa 51
Cismin ağırlık merkezinin AF kenarından uzaklığı y c , FE kenarından uzaklığı z c olsun.
AF eksenine göre alan momenti alınarak y c belirlenir.
(0.1 0.1 0.3 0.1) 0.05 0.1 0.1 0.15 0.3 0.1c
y
0.125c
y m
FE eksenine göre alan momenti alınarak z c belirlenir.
(0.1 0.1 0.1 0.3) 0.05 0.1 0.3 0.15 0.1 0.1c
z
0.075c
z m
Cisme etkiyen kaldırma kuvveti
F V g Nb b 392 4.
olur. Kaldırma kuvvetinin cismin F köşesinde bulunan kağıt düzlemine dik bir eksene
göre momenti
1b
M F d
Gazi Üniversitesi Teknoloji Fakültesi Otomotiv Mühendisliği Bölümü
Prof. Dr. Halit KARABULUT Sayfa 52
olsun. Kaldırma kuvveti cismin yüzeylerine etkiyen basınç kuvvetinin düşey bileşeni
olduğuna göre aynı momentin hesabında yayılı basınç kuvvetide kullanılabilir. Buna göre
0.3 0.15 ( 0.2) 0.1 0.05 0.2 0.2 ( 0.1) 49.05M h h h g Nm
olur. Son iki eşitlikten kaldırma kuvveti ile F noktası arasındaki dik uzaklık
1
0.125d m
olarak belirlenir. Cisim 90 derce döndürülür ve yeni pozisyon için kaldırma kuvvetinin
FE kenarından dik uzaklığı belirlenirse dik uzaklık
2
0.075d m
olarak bulunur.
Bu sonuçlar kaldırma kuvvetinin tadbik noktası ile cismin ağırlık merkezinin çakıştığını
göstermektedir. Bu durumda cisim kararsız olup su içinde her pozizyonda
durabilmektedir.
Soru -7
Aşağıdaki şekilde görülen bir kısmı dolu bir kısmı boş cismin ağırlık merkezini ve
kaldırma kuvvetinin tadbik noktasını belirleyip cismin denge durumunu inceleyin.
Cisimin tamamen suya batmış olduğu kabul edilecektir.
Gazi Üniversitesi Teknoloji Fakültesi Otomotiv Mühendisliği Bölümü
Prof. Dr. Halit KARABULUT Sayfa 53
Cevap
Cismin ağırlık merkezi dolu kısmın geometrik merkezinde bulunmaktadır. Cismin AB
kenarından dolu kısmın geometrik merkezinin dik uzaklığı
0.15c
d m
olarak verilmektedir. Kaldırma kuvvetinin B noktasına göre momenti
1 b
M d F
olsun. Aynı moment basınç kuvvetlerinden hesaplanırsa
0.05 0.1 ( 0.2) 0.15 0.1 ( 0.3) 0.1 0.2 29.43M h h h g Nm
olur. Son iki eşitlikten
1
0.075d m
Gazi Üniversitesi Teknoloji Fakültesi Otomotiv Mühendisliği Bölümü
Prof. Dr. Halit KARABULUT Sayfa 54
belirlenir. Birbirine göre zıt olan kaldırma kuvveti ile yer çekimi kuveti arasında 0.075 m
dik mesafe bulunmaktadır. Bu durumda cisim dengede olmayıp serbest bırakıldığında
dönmeye başlayacaktır. Dönme iki kuvvet arasındaki kuvvet kolu sıfır oluncaya kadar
devam edecektir.
Soru -8
Aşağıda yüzen bir cismin iki farklı pozisyonu görülmektedir. Cisme etkiyen kaldırma
kuvvetinin yerini her iki pozisyonda belirleyerek ters dönme ihtimalinin olup olmadığını
inceleyin.
Cevap
Cismi döndürmek için D ve B köşelerine uygulanan kuvvetler eşit ve zıt yönlü olduğu
için bunların bileşkesi sıfır olur ve cismin batan miktarı aynı kalır. Her iki pozisyonda
batan kısmın hacmi aynı olduğu için kaldırma kuvveti her iki pozisyon için aynı olur.
16 1000 9.81 156960b
F N
Birinci pozisyon için kaldırma kuvvetinin B noktasından dik uzaklığı yayılı basınç
kuvvetinin B noktasına göre momentinden belirlenebilir.
Gazi Üniversitesi Teknoloji Fakültesi Otomotiv Mühendisliği Bölümü
Prof. Dr. Halit KARABULUT Sayfa 55
8
10
1000 9.81 232 32 4
156960b b b
M gh ghd xdx m
F F F
İkinci pozisyon için kaldırma kuvvetinin B noktasından dik uzaklığı yine yayılı basınç
kuvvetinin B noktasına göre momentinden belirlenebilir.
4 8 4 8
20 0 0 0
1 1
4 8
B B
B B
b b b b
h hM gd ypdA xpdA y h y dy x h x dx
F F F F
2
1000 9.818 8 3.5778 1.7889
156960B
b
gd h m
F
Kaldırma kuvvetinin tadbik noktası cismin BC kenarına doğru kaymış olduğu için cismin
ters dönme ihtimali yoktur.
Çalışma soruları
Problem 1
Yoğunluğu 600 kg/m3 olan bir cisim suya batan kısmının hacmini % olarak hesaplayın.
Problem 2
Merkezinin su yüzeyinden derinliği 60 m olan düşey yerleştirilmiş silindirik bir kapağın
capı 4 m ise basınç kuvvetinin uygulama noktası hangi derinlikte olur.
Problem 3
Boyutları 2x4x4 m olan izotropik yapılı pirizmatik bir cisim suya bırakıldığında şekil (a)
da görüldüğü üzere yarı-yarıya suya batmıştır. Cisme Düşey doğrultuda bir F kuvveti
uygulandığında şekil (b) de görülen yeni denge sağlanıyor. Sırası ile,
a) cisme uygulanan F kuvvetini
b) kaldırma kuvvetinin yerini
Gazi Üniversitesi Teknoloji Fakültesi Otomotiv Mühendisliği Bölümü
Prof. Dr. Halit KARABULUT Sayfa 56
c) F kuvetinin yerini belirleyin.
Problem 4
Aşağıdaki şekilde görülen diferansiyel manometrenin kollarında su ve civa
bulunmaktadır. Manometrenin A ve B uçlarının basınç farkını belirleyiniz
Gazi Üniversitesi Teknoloji Fakültesi Otomotiv Mühendisliği Bölümü
Prof. Dr. Halit KARABULUT Sayfa 57
Problem 5
Uzunluğu 200 m olan bir petrol tankeri 0.1 m/s2 ivme ile doğrusal olarak hızlanmakta
iken tankerin iki ucu arasındaki petrol yüksekliği farkı ne olur.
Problem 6
İçerisinde su bulunan bir taşıyıcı yarı çapı 30 m olan bir virajı 40 km/s hızla geçerken su
yüzeyi profilinin denklemini belirleyin.
Problem 7
Aşağıdaki grafikte atmosferdeki sıcaklık dağılımı görülmektedir. Grafikten faydalanarak
11-20 ve 20-30 km arasındaki basınç dağılımının matematiksel ifadesini belirleyiniz.
Gazi Üniversitesi Teknoloji Fakültesi Otomotiv Mühendisliği Bölümü
Prof. Dr. Halit KARABULUT Sayfa 58
BÖLÜM 3: VİSKOZİTESİZ SIKIŞTIRILAMAZ AKIŞKANLARIN DİNAMİĞİ
Tabiattaki bütün akışkanlar viskoz olmakla birlikte yerine göre viskozitesiz kabul
edilebilir. Viskozitenin etkisi akışkanların katı cisimlere temas ettiği bölgede görülür. Katı
cisimlerin uzağında akışkanlar viskozitesiz gibi davranır. Viskozitesiz akışkanlarda
basınç, atalet ve çekim kuvvetleri mevcuttur. Viskozitesiz akışkanların akışını
modellemede kütle ve momentum balansından elde edilen eşitlikler kullanılmaktadır.
Sıkışır akışkanların akışının analizi termodinamik yasaları da kapsadığı için genel
akışkanlar mekaniğinin dışarısında kalmaktadır.
3.1 Tek Boyutlu Süreklilik Denklemi
Sıkıştırılamayan türden bir akışkanın akışı kesiti değişken bir boru içerisinde oluyorsa
farklı kesitlerde farklı hızlar oluşur. Ancak borunun her kesitinden geçen hacimsel debi
aynı olacaktır. Bu sebeple boru akışlarında süreklilik denklemi
A V Q C (3.1)
şeklinde olacaktır. Boru kesiti değişken olduğundan radyal yönde de bir hız bileşeni
mevcuttur. Ancak bu bileşen akışkan debisini etkilemez.
3.2 Tek Boyutlu Momentum Denklemi
Kütle ile hızın çarpımına
Vm momentum denmektedir. Bir cismin momentumunun birim
zamandaki değişimi cisme uygulanan harici kuvvete eşit olup Newton’un birinci kanunu
olarak bilinir. Newton kanununun matematiksel şekli
Gazi Üniversitesi Teknoloji Fakültesi Otomotiv Mühendisliği Bölümü
Prof. Dr. Halit KARABULUT Sayfa 59
( )d
F mVdt
(3.2)
olup, bu eşitlikte F harici kuvveti göstermektedir. Momentum vektör olduğu için x, y ve z
yönündeki hız bileşenleri u, v, w olmak üzere yukarıdaki eşitliğin yerine
( )x
dF mu
dt (3.3)
( )y
dF mv
dt (3.4)
( )z
dF m w
dt (3.5)
şeklinde bir denklem takımı kullanılabilir.
3.2.a Hareketsiz bir Kontrol Hacmine Giren ve Çıkan Momentumun Yarattığı
Kuvvetin Analizi
Bir t anında kontrol hacminin içerisinde kütlesi mcv olan bir miktar akışkan bulunduğunu
kabul edelim. Bu akışkanın kontrol hacmi içerisindeki sirkülasyonunun momentumu
cv
dmV olacaktır.
Zaman (t+dt) olduğunda kontrol hacminden kütlesi )dtm( o
olan bir miktar akışkan çıkmış
ve OV
hızı ile uzaklaşmakta olsun. Kontrol hacminde kalan kütle ile çıkan kütlenin
oluşturduğu sistemin momentumu
Gazi Üniversitesi Teknoloji Fakültesi Otomotiv Mühendisliği Bölümü
Prof. Dr. Halit KARABULUT Sayfa 60
dt)dmV(dt
ddmV)dtVm(
cvcv
oo
kadar olur. Kontrol hacminde kalan kütlenin momentumu Taylor serisinin ilk iki terimi
ile belirlenmektedir. Sistemin momentumunun dt süresi içerisinde
dt)dmV(dt
d)dtVm(
cv
oo
kadar değiştiği görülmektedir. Bu miktar dt ile bölünürse eşitlik (3.2) deki momentumun
zamana göre türevi
)dmV(dt
d)Vm(
cv
oo
olarak bulunur. Bu değer, eşitlik (3.2) ye yazılırsa harici kuvvet
( )oo
cv
dF m V V dm
dt
(3.6)
olarak belirlenir.
Gazi Üniversitesi Teknoloji Fakültesi Otomotiv Mühendisliği Bölümü
Prof. Dr. Halit KARABULUT Sayfa 61
İkinci bir hal olarak bir t anında sabit duran bir kontrol hacmi ve bu kontrol hacmine
girmek üzere olan kütlesi m dti
ve hızı Vi
olan bir miktar akışkan düşünelim. Kontrol
hacmindeki akışkanla kontrol hacmine girmek üzere olan akışkanın oluşturduğu sistemin t
anındaki momentumu
)dmVVdtm(cv
ii
kadardır. Zaman (t+dt) olduğunda kontrol hacminin dışındaki akışkan kontrol hacmine
girmiş ve momentumu
dt)dmV(dt
ddmV
cvcv
olan yeni bir durum teessüs etmiştir. Sistemin momentumundaki değişme
ii
cv
Vdtmdt)dmV(dt
d
kadardır. Birim zamandaki momentum değişimi hesaplanır ve eşitlik (3.2) ile verilen
Newton kanununa yazılırsa sonuç
( ) i i
cv
dF V dm m V
dt
(3.7)
olur.
Gazi Üniversitesi Teknoloji Fakültesi Otomotiv Mühendisliği Bölümü
Prof. Dr. Halit KARABULUT Sayfa 62
Kontrol hacmine aynı anda hem giriş hem de çıkış varsa Şekil 3.1.b deki sistemin t ve
(t+dt) anındaki momentumlarını kıyaslayarak sonuca gitmek mümkündür. Bu şekilde
görüldüğü üzere zaman t iken A kütlesi bir hızla kontrol hacmine yaklaşmakta, C kütlesi
de kontrol hacminin içerisinde durmaktadır. Zaman (t+dt) olduğunda C kütlesi kontrol
hacminden çıkmış ve bir hızla kontrol hacminden uzaklaşmakta, A kütlesi de kontrol
hacmine girmiştir.
Zaman t iken A kütlesinin momentumu )Vdtm( ii
, diğer kütlelerin momentumlarının
toplamı
cv
dmV kadardır. Zaman ( )t dt iken C kütlesinin momentumu
)Vdtm( oo
,
diğer kütlelerin momentumlarının toplamı
dt)dmV(dt
ddmV
cvcv
Gazi Üniversitesi Teknoloji Fakültesi Otomotiv Mühendisliği Bölümü
Prof. Dr. Halit KARABULUT Sayfa 63
kadardır. Buna göre sistemin birim zamandaki momentum değişimi
)Vm)dmV(dt
dVm( ii
cv
oo
olacaktır. Bu sonuç, eşitlik (3.2) ye yazılırsa
( ( ) )o o i i
cv
dF m V V dm m V
dt
(3.8)
olur. Kontrol hacminin içindeki momentum zamanla değişmiyorsa ikinci terim yok olur.
Pratikte umumiyetle ikinci terim önemsiz olup ihmal edilir.
Çok sayıda giriş ve çıkış kapısı bulunan sürekli akışlı bir kontrol hacmi için eşitlik (3.8) in
yerine
( ) ( )o o i iF m V m V
(3.9)
kullanılır.
Son eşitlik olduğu gibi yada üç bileşene ayrılarak kullanılabilir. Ayırma işlemi kısım 3.2.d
de gösterilecektir.
3.2.b Sabit Hızla Hareket Eden Bir Kontrol Hacmine Giren ve Çıkan Momentumun
Yarattığı Kuvvetin Analizi
Sabit hızla su veya hava içerisinde hareket eden cisimler çeşitli yönlerden gelen harici
kuvvetlerin etkisi altındadır. Bu kuvvetlerin analizi sözü edilen makinaların tasarımı ve
işletilmesi açısından önemlidir. Çoğu hallerde bileşke kuvvetin şiddeti ve doğrultusu
Gazi Üniversitesi Teknoloji Fakültesi Otomotiv Mühendisliği Bölümü
Prof. Dr. Halit KARABULUT Sayfa 64
belirli olup araştırma konusu olan momentum değişiminin x, y ve z yönündeki
bileşenleridir.
Şimdi Şekil 3.1.c' deki gibi bir sistemi ele alalım. Zaman t iken A kütlesi kontrol
hacminin dışında ve momentumu )Vdtm( ii
kadardır. C kütlesi kontrol hacminin
içerisinde ve kontrol hacmi ile birlikte hareket ettiği için momentumu kontrol hacminin
momentumu ile birlikte
)dmV(Vmcv
cvcv
kadardır. Buna göre t anında sistemim toplam momentumu
)dmVVmVdtm(cv
cvcvii
kadardır.
Zaman (t+dt) olduğunda A kütlesi kontrol hacminin içerisine girmiş ve kontrol hacmi ile
birlikte hareket etmektedir. C kütlesi de kontrol hacminden çıkmış ve )dtVm( ooo
Gazi Üniversitesi Teknoloji Fakültesi Otomotiv Mühendisliği Bölümü
Prof. Dr. Halit KARABULUT Sayfa 65
momentumu ile hareketine devam etmektedir. Buna göre (t+dt) anında sistemin toplam
yeni momentumu
cv cv
cvcvcvcvoo dt)dmV(dt
ddmVdt)Vm(
dt
dVmVdtm
kadardır. Birim zamandaki momentum değişimi
ii
cv
cvcvoo Vm)dmV(dt
d)Vm(
dt
dVm
olup eşitlik (3.2) ye yazılırsa sabit hızla giden bir kontrol hacmine etkiyen harici kuvvet
ii
cv
cvcvoo Vm)dmV(dt
d)Vm(
dt
dVmF
(3.10)
olarak belirlenir. Kontrol hacmine giren ve çıkan madde miktarları eşitse ikinci ve üçüncü
terimler sıfır olur. Bu eşitlikte bulunan hızlar mutlak hızlar olup bilinmemektedir. Kontrol
hacminin hızı ile kontrol hacmine giren ve çıkan maddenin kontrol hacmine göre verilmiş
rölatif hızları bilinmektedir. Bunlarla mutlak hızın ilişkisi cvR VVV
şeklindedir.
3.2.c İvmeli Hareket Yapan Bir Kontrol Hacmine Giren ve Çıkan Momentumun
yarattığı kuvvetin Analizi
Şekil 3.1.c' deki hareketli kontrol hacminin bir ivme ile gittiğini kabul edelim. Bu
durumda yukarıda analiz edilen hareketli kontrol hacminden farklı olarak kontrol
hacminin kendisinin momentumu da değişecektir. Zaman t iken sistemin toplam
momentumu
cv
cvcvii dmVVmVdtm
Gazi Üniversitesi Teknoloji Fakültesi Otomotiv Mühendisliği Bölümü
Prof. Dr. Halit KARABULUT Sayfa 66
olup birinci terim A kütlesinin momentumu, ikinci terim kontrol hacminin kendisinin
momentumu, üçüncü terim kontrol hacminin içindeki akışkanın sirkülasyonunun
momentumudur. Zaman t+dt olduğunda sistemin toplam momentumu
dt)dmV(dt
ddmVdtVm
dt
dVmVdtm
cv cv
cvcvcvcvoo
olup birinci köşeli parantez kontrol hacminin kendisinin momentumunu ikinci köşeli
parantez kontrol hacminin içindeki sirkülasyonun momentumunu göstermektedir. dt
süresi içerisinde sistemin toplam momentumundaki değişme
dtVmdt)dmV(dt
ddtVm
dt
ddtVm ii
cv
cvcvoo
olup bu ifadede bulunan bütün hızlar mutlak hızdır. Kontrol hacmine gelen bileşke kuvvet
ii
cv
cvcvoo Vm)dmV(dt
dVm
dt
dVmF
(3.11)
olarak belirlenir. Bu eşitlikte bulunan Vi
ve Vo
mutlak hızlar olup bunların yerine relatif
hızla kontrol hacminin hızının bileşkesi yazılırsa
)VV(m
)dmV(dt
dVm
dt
d)VV(mF
cvi,Ri
cv
cvcvcvo,Ro
(3.12)
eşitliği elde edilir. Kontrol hacmi içindeki akış sürekli ise üçüncü terim düşer.
Gazi Üniversitesi Teknoloji Fakültesi Otomotiv Mühendisliği Bölümü
Prof. Dr. Halit KARABULUT Sayfa 67
3.2.d Tek Boyutlu Momentum Denkleminin Uygulamaları
Yangın Nozullarına Gelen Kuvvetler
Yangın nozulunun hem giriş kesitinden hem de çıkış kesitinden geçen akışkanın kütlesel
debisi aynıdır. Yangın nozulunun girişinde kesit büyük, çıkışında küçüktür, Şekil 3.2. Bu
sebeple akışkan düşük hızla girer ve yüksek hızla çıkar. Giren momentumla çıkan
momentumun farklı olması nedeni ile nozulu akışa göre ters yönde iten bir kuvvet doğar.
Eşitlik (3.1) den çıkış hızı
1212 u)A/A(u
olarak belirlenir. Eşitlik (3.2) den nozulu kullanan kişiye gelen kuvvetin
)A/A(1umF 211
olduğu görülür. Akışkanın nozula tatbik ettiği kuvvet büyüklükçe burada hesaplanan
kuvvete denk olup yönü zıt olur.
Gazi Üniversitesi Teknoloji Fakültesi Otomotiv Mühendisliği Bölümü
Prof. Dr. Halit KARABULUT Sayfa 68
Dirseklere Gelen Kuvvetler
Dirsekler akışkanların yön değiştirmesini sağlayan elemanlardır. Bazı dirseklerde giriş ve
çıkış kesitleri aynı olmakla birlikte değişken olanlarda mevcuttur. Şekil 3.3 de değişken
kesitli bir dirsek görülmektedir. Dirseğin yapısı gereği giriş ve çıkış hızının doğrultusu
belirlidir. Giriş hızının doğrultu vektörü in , çıkış hızının doğrultu vektörü on olsun. Giriş
ve çıkışta kütlesel debi aynı olacağından 0im m m yazılabilir. Sıkışmaz akışta
i i o oAV A V şartı da dikkate alınarak eşitlik (3.9)
i ii o i i o io o i i o o i i i
o o
A AV n V n n nF m V mV m V n V n m mV
A A
şeklinde düzenlenebilir. Statik dersinden bilindiği üzere doğrultu vektörleri
cos cos cosx y zn i j k
şeklinde verilemektedir. Son eşitlikte bulunan cos x , cos y ve cos z akış doğrultusunun
x, y ve z eksenleri ile yaptığı açılardır.
x
y
n i
n o
Gazi Üniversitesi Teknoloji Fakültesi Otomotiv Mühendisliği Bölümü
Prof. Dr. Halit KARABULUT Sayfa 69
3.3 Üç Boyutlu Sıkışmaz Akışın Süreklilik Denklemi
Eğer akış üç boyutlu bir uzayda oluyorsa, akış bölgesi içerisinde yüzeyleri koordinat
düzlemlerine paralel duran bir hacim elemanı seçip üzerinde kütle balansı yaparak
süreklilik denklemi elde edilir. Şekil 3.4 deki hacim elemanının boyutları 2 x , 2 y ve
2 z olsun. Elemanın ortasında akış hızının x,y,z doğrultusundaki bileşenleri u,v ve w ile
gösterilsin.
Elemana x doğrultusunda giren kütle,
2 2ix
um u x z y t
x
(3.13)
y doğrultusunda giren kütle,
y
x
z
mix mox
miy
moy
miz
moz
Sekil 3.4
(x,y,z)
Gazi Üniversitesi Teknoloji Fakültesi Otomotiv Mühendisliği Bölümü
Prof. Dr. Halit KARABULUT Sayfa 70
2 2iy
vm v y z x t
y
(3.14)
z doğrultusunda giren kütle,
2 2iz
wm w z x y t
z
(3.15)
olarak ifade edilebilir.
Elemandan x doğrultusunda çıkan kütle,
2 2ox
um u x z y t
x
(3.16)
y doğrultusunda çıkan kütle,
2 2oy
vm v y x z t
y
(3.17)
z doğrultusunda çıkan kütle,
2 2oz
wm w z x y t
z
(3.18)
olarak ifade edilebilir. Akış sürekli olduğu için elemana giren kütle çıkan kütleye eşit
olacaktır.
m m m m m mix iy iz ox oy oz (3.19)
Eşitlik (3.13,14,15,16,17,18) de verilen değerler eşitlik (3.19) da yerine yazılırsa ve
gerekli götürtmeler yapılırsa
u
x
v
y
w
z 0 (3.20)
Gazi Üniversitesi Teknoloji Fakültesi Otomotiv Mühendisliği Bölümü
Prof. Dr. Halit KARABULUT Sayfa 71
ifadesi elde edilir. Bu eşitlik sıkışmaz akışın süreklilik denklemi olarak
isimlendirilmektedir.
3.4 Üç Boyutlu Akışın Momentum Denklemleri
Kontrol hacmi metodu
Önceden görüldüğü üzere yeri değişmeyen bir kontrol hacmine sürekli akış şartlarında
etkiyen harici kuvvet
( ) ( )o o i i
cv
dF m V m V V dm
dt
şeklinde hesaplanmaktadır. Bu eşitlik
o ix y z o o o i i i
cv
F i F j F k m u i v j w k m u i v j w k
dui v j wk dm
dt
(3.21)
şeklinde düzenlenebilir. Son eşitlik
x o o i i
cv
dF m u mu udm
dt
(3.22)
y o o i i
cv
dF m v m v vdm
dt
(3.23)
z o o i i
cv
dF m w m w wdm
dt
(3.24)
şeklinde üç bileşene ayrılır. Şekil 3.5 deki diferansiyel hacim elemanında bulunan f, r, s,
e, b, t ve c harfleri sırası ile ön, arka, sol, sağ, taban ve üst yüzeyleri; c harfi elemanın
merkezini göstermektedir. Hacim elemanının boyutları x , y ve z kabul edilmektedir.
Elemanın merkezinin yer koordinatları x, y ve z değerlerine haizdir. Elemanın
Gazi Üniversitesi Teknoloji Fakültesi Otomotiv Mühendisliği Bölümü
Prof. Dr. Halit KARABULUT Sayfa 72
merkezindeki basınç p, hız bileşenleri u, v ve w değerlerine haizdir. Söz konusu hacim
elemanı için Eşitlik (3.22)
s e e e t t r r s s b b f fp p dydz dm u dm u dm u dm u dm u dm u
udm
t
(3.25)
şeklinde düzenlenebilir. Son eşitlikte bulunan basınç, hız, ve kütlesel akılar Şekil 3.5 de
görülen hacim elemanının ortasındaki basınç ve hızlar cinsinden hesaplanarak
2 2 2 2
( )2 2 2 2
2 2 2
p dx p dx u dx u dxp p dy dz u dy dz u
x x x x
w dz u dz v dy u dyw dxdy u v dx dz u
z z y y
u dx u dx w dzu dy dz u w dx
x x z
2
2 2
u dzdy u
z
v dy u dy uv dxdz u dxdydz
y y t
(3.26)
2 2
2
2
2
2 2
2
1
4
2 2 4
2 2 4
4
2
p u u dxdxdy dz u u dx dy dz
x x x
u dz w dz w u dzuw w u dxdy
z z z z
u dy v dy v u dyuv v u dx dz
y y y y
u u dxu u dx dy dz
x x
u dz wwu w u
z
2
2
2 4
2 2 4
dz w u dzdxdy
z z z
u dy v dy v u dy uuv v u dxdz dxdydz
y y y y t
(3.27)
1
2p u u w u v u
u w u v ux x z z y y t
(3.28)
Gazi Üniversitesi Teknoloji Fakültesi Otomotiv Mühendisliği Bölümü
Prof. Dr. Halit KARABULUT Sayfa 73
1 p u u u u u w u
u w v ux x z y x y z t
(3.29)
elde edilir. Akış sıkışmaz olduğu zaman
1 p u u u u
u w vx x z y t
(3.30)
olur.
Maddesel türev metodu
Viskozitesiz akışkanın taneciklerden oluştuğunu kabul edelim ve taneciklerden birisinin
hareketini dinamik yönden inceleyelim. Tanecik x,y,z uzayında hareket ederken onun
(u,v ,w)
x
y
z
f
r
b
t
s e(x,y ,z)
c
Sekil 3.5
Gazi Üniversitesi Teknoloji Fakültesi Otomotiv Mühendisliği Bölümü
Prof. Dr. Halit KARABULUT Sayfa 74
hızının x,y,z doğrultusundaki bileşenlerini u,v ve w ile gösterelim. Taneciğin ivmesinin x
doğrultusundaki bileşeni
adu
dtx (3.31)
olarak yazılabilir. Hızın u bileşeninin zamana ve yere göre tam diferansiyeli
duu
tdt
u
xdx
u
ydy
u
zdz
(3.32)
olup bütün terimler dt ile bölünür ve du
dtax ,
dx
dtu ,
dy
dtv
dz
dtw yazılırsa neticede
au
t
u
xu
u
yv
u
zwx
(3.33)
elde edilir. Şimdi akış bölgesi içerisinde boyutları x, y, z olan bir hacim elemanı
düşünelim. Hacim elemanının ortasındaki basınç p olsun. Bu hacim elemanının
içerisinden herhangi bir anda geçmekte olan sonsuz sayıdaki taneciğin tümüne birden x
doğrultusunda etkiyen basınç kuvveti
2 2X
p x p x pF p z y p y z x y z
x x x
(3.34)
olacaktır. Bu kuvvet o anda Newton kanununa göre taneciklerin tamamının atalet kuvveti
ile dengelenecektir. Taneciklerin tamamının kütlesi )zyx( olup tümüne etkiyen atalet
kuvveti
)wz
uv
y
uu
x
u
t
u(zyxazyxF xi
(3.35)
olur. Son iki eşitliğin sağ taraflarının birbirine eşitlenmesinden x momentum denklemi
olarak isimlendirilen
Gazi Üniversitesi Teknoloji Fakültesi Otomotiv Mühendisliği Bölümü
Prof. Dr. Halit KARABULUT Sayfa 75
u
tu
u
xv
u
yw
u
z
p
x
(3.36)
eşitliği elde edilir. Aynı yaklaşımla y ve z momentum denklemleri de elde edilir.
v
tu
v
xv
v
yw
v
z
p
y
(3.37)
gz
p
z
ww
y
wv
z
wu
t
w
(3.38)
Eşitlik (3.20), (3.36), (3.37) ve (3.38) viskozitesiz ve sıkışmaz akışkanların hareketini
modellemektedir. Bu eşitliklerden son üçü ilk olarak Euler tarafından türetildiği için
literatürde Euler denklemleri olarak adlandırılmaktadır. Bu denklemler takım olarak
çözülür ve akış alanı belirlenir. Denklemlerin akış çizgisi üzerindeki çözümü Bernoully
denklemi olarak bilinen eşitliği verir.
3.5 İki Boyutlu Akışın Bernoully Eşitliği
Sürekli Rejimde
Sürekli akış şartlarında x,y uzayında bulunan bir akış alanını tanımlayan denklemler
süreklilik, x momentum ve y momentum olup,
u
x
v
y 0 (3.39)
u
u
xv
u
y
p
x
(3.40)
u
v
xv
v
y
p
y
(3.41)
Gazi Üniversitesi Teknoloji Fakültesi Otomotiv Mühendisliği Bölümü
Prof. Dr. Halit KARABULUT Sayfa 76
şeklinde yazılır. Bu eşitlikler u, v ve p olmak üzere üç bağımlı değişken içermektedir.
Bernoully denklemi safi Eşitlik (3.40) ve (3.41) ile verilen momentum denklemlerinden
elde edilir. Şimdi bir akışkan taneciğinin akış çizgisi üzerinde ds kadar yol aldığını kabul
edelim. Bu yol;
( ) ( ) ( )ds dx dy2 2 2 (3.42)
şeklinde koordinat değişimleri cinsinden ifade edilebilir. Bu eşitlikteki ds, dx ve dy
mesafeleri
dtVds (3.43)
dtudx (3.44)
dtvdy (3.45)
olarak hesaplanır. Bunlar (3.42) ye yazılırsa
V u v2 2 2 (3.46)
olduğu görülür. Eşitlik (3.44) ve (3.45) taraf tarafa bölünürse
dx
dy
u
v (3.47)
olarak belirlenir. Son eşitliği kullanarak (3.40) da bulunan v yok edilirse
uu
x
u
yu
dy
dx
p
x
1 (3.48)
olur. Yine Eşitlik (3.47) kullanılarak eşitlik (3.41) deki u yok edilirse
vv
x
dx
dyv
v
y
p
y
1 (3.49)
Gazi Üniversitesi Teknoloji Fakültesi Otomotiv Mühendisliği Bölümü
Prof. Dr. Halit KARABULUT Sayfa 77
olur. Son iki eşitliği yeniden düzenleyerek
1
2
1
2
12 2
u
xdx
u
ydy
p
xdx (3.50)
1
2
1
2
12 2
v
xdx
v
ydy
p
ydy (3.51)
elde edilir. Son iki eşitlik taraf tarafa toplanırsa
1
2
1
2
12 2 2 2
xu v dx
yu v dy
p
xdx
p
ydy
(3.52)
sonucuna ulaşılır. Son eşitlik
0dy)p1
V2
1(
ydx)p
1V
2
1(
x
22
(3.53)
şeklinde düzenlenebilir. Bir tam diferansiyel olan son eşitliğin integrali
Cp
V2
1 2
(3.54)
olur. İki nokta arasında kullanmak için
Cp
vu2
1pvu
2
1 02
0
2
0
22
(3.55)
şeklinde düzenlenebilir. Bernoully denklemi olarak bilinen bu eşitlik ancak aynı akış
çizgileri üzerindeki noktalar arasında uygulanabilir. Çünkü momentum denklemlerini
çözerken kullanılan
v
u
dy
dx
Gazi Üniversitesi Teknoloji Fakültesi Otomotiv Mühendisliği Bölümü
Prof. Dr. Halit KARABULUT Sayfa 78
şartlı, ancak aynı akış çizgileri üzerinde geçerlidir. Ancak integral sabiti C nin değeri
bütün akış çizgileri üzerinde aynı ise Bernoully denklemi farklı akış çizgileri üzerinde
bulunan noktalar arasında da uygulanabilir.
Geçici Rejimde
Bir (x,y) uzayında geçici rejimde oluşan iki boyutlu akışın momentum denklemleri
x
p1
y
uv
x
uu
t
u
(3.56)
y
p1
y
vv
x
vu
t
v
(3.57)
olur. Eşitlik (3.56) da bulunan v ve eşitlik (3.57) de bulunan u
v
u
dy
dx
eşitliği yardımı ile yok edilir ve düzenlenirse
dxx
p1dy
y
u
2
1dx
x
u
2
1dx
t
u 22
(3.58)
dyy
p1dy
y
v
2
1dx
x
v
2
1dy
t
v 22
(3.59)
olur. Son iki eşitlik taraf tarafa toplanır ve düzenlenirse işlem
dy
y
pdx
x
p1dy
y
)vu(dx
x
)vu(
2
1dy
t
vdx
t
u2222
(3.60)
Gazi Üniversitesi Teknoloji Fakültesi Otomotiv Mühendisliği Bölümü
Prof. Dr. Halit KARABULUT Sayfa 79
ile neticelenir. Son eşitlikte birinci terimde bulunan dx' in yerine udt , ikinci terimde
bulunan dy' nin yerine vdt ve )vu( 22 nin yerine 2V yazılırsa
dy
y
pdx
x
p1dyV
ydxV
x2
1dt
t
vvdt
t
uu 22 (3.61)
olur. Son eşitlik
dy
y
pdx
x
pdyV
ydxV
xdtV
t2
222 (3.62)
şeklinde düzenlenebilir. Son eşitliğin sağ tarafında dtt
p
terimi mevcut olmadığı için sağ
taraf p nin (x,y,t) uzayında tam diferansiyeli değildir. Bu sebeple son eşitlik integralle
çözülemez. Fakat eşitliği bir integral denkleme dönüştürmek mümkündür. dsdtV olduğu
dikkate alınırsa son eşitlik
dy
y
pdx
x
pdyV
ydxV
x2ds
t
V 22 (3.63)
şeklinde yazılabilir. Soldaki parantezin içerisi akış geçici rejimde devam ederken V 2 nin
ds yayı üzerinde zamana tabi olmayan değişimini göstermektedir. Sağdaki parantezin
içerisi ds üzerinde basıncın zamana tabi olmayan değişimini göstermektedir. Bu sebeple
son eşitlik
dss
pds
s
V
2ds
t
V 2
(3.64)
şeklinde düzenlenebilir. Eşitlik )y,x( 11 ve )y,x( 22 noktaları arasında integrallenirse
)pp()VV(2
dst
V11221122
22
11y,xy,x
2
y,x
2
y,x
y,x
y,x
(3.65)
Gazi Üniversitesi Teknoloji Fakültesi Otomotiv Mühendisliği Bölümü
Prof. Dr. Halit KARABULUT Sayfa 80
neticesine gidilir. t
V
nin akış çizgileri üzerinde tanımlı olmadığı akış olaylarında son
eşitlik bir kullanışlılık arzetmez.
3.6 Üç Boyutlu Akışın Bernoully Denklemi
Üç boyutlu akışın modellemesi için (3.36), (3.37) ve (3.38) ile verilen momentum
denklemleri türetilmişti. Üç boyutlu uzayda akışkan taneciğinin dt zamanı zarfında aldığı
yol
ds dx dy dz2 2 2 2 (3.66)
olup ,
dx udt (3.67)
dy vdt (3.68)
dtwdz (3.69)
Eşitlikleri kullanıldığında
V u v w2 2 2 2 (3.70)
olduğu görülür. Bir akış çizgisi üzerinde hareket eden bir akışkan taneciğinin x, y ve z
doğrultusunda kat ettiği yollarların oranları ile taneciğin hız bileşenlerinin oranları
arasında aşağıdaki ilişkiler vardır.
v
u
dy
dx (3.71)
w
u
dz
dx (3.72)
Gazi Üniversitesi Teknoloji Fakültesi Otomotiv Mühendisliği Bölümü
Prof. Dr. Halit KARABULUT Sayfa 81
w
v
dz
dy (3.73)
Eşitlik (3.71) ve (3.72) yi kullanarak x momentum eşitliğindeki v yi ve w yi yok etmek
mümkündür. Buna göre x momentum eşitliği
dxx
p1dz
z
u
2
1dy
y
u
2
1dx
x
u
2
1 222
(3.74)
olur. Aynı şekilde y momentum eşitliğindeki u ve w yi eşitlik (3.71 ve (3.73) ü kullanarak
yok edersek
dyy
p1dz
z
v
2
1dy
y
v
2
1dx
x
v
2
1 222
(3.75)
elde edilir. Yine z momentum eşitliğindeki u ve v yi eşitlik (3.72) ve (3.73) ü kullanarak
yok edersek
dzgdzz
p1dz
z
w
2
1dy
y
w
2
1dx
x
w
2
1 222
(3.76)
elde edilir. Son üç eşitlik taraf tarafa toplandığında işlem
dzg)dzz
pdy
y
pdx
x
p(
1dz)wvu(
z2
1
dy)wvu(y2
1dx)wvu(
x2
1
222
222222
(3.77)
denklemi ile neticelenir. Son eşitliğin çözümü
Czgp
)wvu(2
1 222
(3.78)
olup bir akış çizgisi üzerinde bulunan iki nokta arasında yazılırsa
Gazi Üniversitesi Teknoloji Fakültesi Otomotiv Mühendisliği Bölümü
Prof. Dr. Halit KARABULUT Sayfa 82
0
02
0
2
0
2
0
222 zgp
)wvu(2
1zg
p)wvu(
2
1
(3.79)
olur. Son eşitlik üç boyutlu x,y,z uzayındaki bir akış çizgisi üzerinde bulunan noktalar
arasında uygulanır. Bernoully eşitliği geniş uygulama alanı bulan bir eşitliktir.
Venturimetreler ve Pitot tüpleri ile ölçülen basınç farkı Bernoully eşitliğinde kullanılarak
borulardan geçen akışkan hızı ve debisi belirlenebilir. Uçları arasında farklı z değerleri
bulunan boruların taşıdığı akışkan miktarının tahmininde, barajların tabanında bulunan
menfezlerden suyun akış hızının belirlenmesi gibi konularda Bernoully eşitliği yararlılık
sağlamaktadır. Bu eşitlik çapı ince borularda doğru netice vermez. Çünkü çapı ince
borularda viskozitenin akış üzerindeki etkisi göz ardı edilecek kadar az değildir.
3.7 Potansiyel Akış Yaklaşımı İle Akış Alanının Belirlenmesi
Euler eşitliklerinin akış çizgileri üzerindeki çözümünü yaptık ve Bernoully eşitliğini elde
ettik. Ancak bir akış alanı içerisinde bir akış çizgisinin hangi noktalardan geçeceğini, akış
alanında hız ve basınç dağılımının nasıl olacağını henüz bilmiyoruz. Bunu belirlemek için
potansiyel akış yaklaşımı olarak isimlendirilen bir akış modelleme metodu
kullanılmaktadır. Akış esnasında akış alanı içerisinde belirlenmiş prizmatik hacim
elemanları dönmeden hareket ediyorsa bu tür akışlara potansiyel akış denmektedir.
Potansiyel akış; içerisinde sirkülasyon olmayan akış olarak ta tanımlanmaktadır. Bu
noktada dönme ve sirkülasyon mefhumunun matematiksel tarifine ihtiyaç vardır.
3.7.1 Dönme ve Sirkülasyonun Matematiksel İfadesi
Dönme (Rotasyon)
Bir akış ortamı içerisinde kenarları x, y ve z olan bir hacim elemanı seçelim. Seçilen
hacim elemanının kenarları koordinat düzlemlerine paralel olsun. Seçilen hacim elemanı
bir t zamanı içerisinde bir miktar yer değiştirecek ve elemanın prizmatik geometrisi
bozulacaktır. Bir de eleman x, y ve z eksenleri etrafında dönecektir. Elemanın z ekseni
etrafındaki dönmesi; elemana z ekseni doğrultusunda, z eksenine zıt yönde bakıldığında
Gazi Üniversitesi Teknoloji Fakültesi Otomotiv Mühendisliği Bölümü
Prof. Dr. Halit KARABULUT Sayfa 83
görülen dönmedir. Bu dönme elemanın farklı yerlerinde farklı miktarlarda oluşabilir.
Elemanın köşegeninin dönmesi esas alınarak dönmenin matematiksel tanımı yazılmıştır.
Bir t anında akış alanı içerisinde (x,y) düzleminde bir OBCA dikdörtgeni işaretleyelim,
Şekil 3.6. Bir t zamanı içinde dikdörtgenin AOB açısı değişmeden OB ve OA kenarları
açısı kadar ters saat yönünde dönsün ve OB' ve OA' pozisyonlarına gelsinler. AOB
açısı değişmediğinden dikdörtgenin köşegeninin O noktası etrafında dönme miktarı
kadardır. Bu işlemde eleman açısal bozulmaya maruz kalmadığından bu tür dönmeler
blok dönme olarak isimlendirilmektedir. Elemanın köşegeninin dönme miktarı OA ve OB
kenarlarının dönmelerinin ortalaması alınarak
/ 2 (2.80)
şeklinde hesaplanır. İkinci bir hal olarak OA kenarı ters saat yönünde açısı kadar
dönsün ve OA" pozisyonuna gelsin, OB kenarı da yine ters saat yönünde açısı kadar
dönsün ve OB" pozisyonuna gelsin. Bu durumda da dikdörtgenin köşegeninin dönme
miktarı OA ve OB kenarlarının dönmelerinin ortalaması alınarak,
2/)( (3.81)
y
x
O
A"
BC
O
A'
CB
A
B'
C'
B"
A
C"
Sekil 3.6
(a) (b)
Gazi Üniversitesi Teknoloji Fakültesi Otomotiv Mühendisliği Bölümü
Prof. Dr. Halit KARABULUT Sayfa 84
şeklinde hesaplanabilir. Son eşitlik dönmenin genel tanımı olup ve ister pozitif
olsun ister negatif her durum için geçerlidir. Mesela 0 3. , 0 3. radyan ise dönme
0 3 0 3 2 0 0. . / . radyan olacaktır. Bu sayısal örnekte elemanın kenarları eşit fakat
birbirine zıt dönmüş olduğu için elemanın merkezi dönmemektedir. Akışkan
elemanlarının dönmesiz açısal deformasyonuna dayanan akışlara irrotasyonel akışlar
denmektedir.
Şekil 3.6.b ye göre elemanın OA kenarının dönme miktarı akışkanın hız bileşenleri
cinsinden
( )
vx t
AA vxtg tx xOA
(3.82)
şeklinde ifade edilebilir. OB kenarının dönme miktarı
( )
uy t
yBB utg t
y yOB
(3.83)
şeklinde ifade edilebilir. Saatin tersi pozitif olduğuna göre, OB kenarının pozitif bir
açısı oluşturması için O dan B ye giderken u nun azalması gerekir. Yani O noktasının B
den daha hızlı gitmesi gerekir. Bu durumda y
u
nin sayısal değeri negatif işaretli
olacaktır. Bu sebeple son eşitlikte y
u
yi mutlak değer işaretinin dışarısına çıkartırken
önüne bir eksi işareti konulmuştur. Elemanın t süresi içerisindeki dönme miktarı
)y
u
x
v(
2
t)(
2
1
(3.84)
olarak ifade edilir. Dönme hızı
Gazi Üniversitesi Teknoloji Fakültesi Otomotiv Mühendisliği Bölümü
Prof. Dr. Halit KARABULUT Sayfa 85
)y
u
x
v(
2
1z
(3.85)
olur. Aynı yaklaşımla x ve y ekseni etrafındaki dönme hızları
)z
v
y
w(
2
1x
(3.86)
)x
w
z
u(
2
1y
(3.87)
olarak belirlenir. Dönme hızının iki katına vorticity adı verilmektedir.
Sirkülasyon ve Vorticity’nin İlişkisi
Akış alanı içerisinde bulunan kapalı bir eğri üzerinde akış hızının eğriye teğet bileşeninin
çizgisel integrali sirkülasyon olarak isimlendirilmektedir. Matematiksel ifadesi
dsv t (3.88)
olarak yazılabilir. Şekil 3.7 de görülen diferansiyel büyüklükteki dikdörtgen biçimli
kapalı eğrinin üzerindeki teğet hız dağılımı geometrik merkezdeki hız bileşenleri
cinsinden verilmektedir. Sirkülasyon hesaplanırsa
y
x
u,v
uyu +
y
uyu - y
vx
xv+
vx
xv -
Sekil 3.7
2
2
2
2
Gazi Üniversitesi Teknoloji Fakültesi Otomotiv Mühendisliği Bölümü
Prof. Dr. Halit KARABULUT Sayfa 86
( )2 2
( )2 2
OACB
u dy v dxu dx v dy
y x
u dy v dxu dx v dy
y x
dxdy)y
u
x
v(OACB
(3.89)
olur. Bir akış alanı içerisinde bulunan bir kapalı eğrinin oluşturduğu bir kontrol hacmi için
son eşitlik
( )t
R R
v uV ds dydx
x y
(3.90)
şeklinde verilebilir. Bu eşitlikte R ile kapalı eğrinin sınırladığı bölge gösterilmektedir.
Stockes teoremi olarak bilinen bu ifade rotasyonun nun bir alan üzerindeki integralinin
sirkülasyona eşit olduğunu göstermektedir.
3.7.2 Euler Denklemlerinin Vorticity Transport Denklemine Dönüşümü
Vorticity akışkan tarafından taşınabilir bir büyüklük olduğuna göre vorticitynin
taşınmasını yöneten bir matematiksel ilişkinin mevcut olması gerekir. Bu eşitlik Euler
denklemlerinden türetilebilmektedir. Sırası ile x momentum denkleminin terimleri y ile, y
momentum denkleminin terimleri x ile türetilirse,
yx
p1
y
u
y
v
y
uv
x
u
y
u
yx
uu
2
2
22
(3.91)
yx
p1
y
v
x
v
xy
vv
x
v
x
u
x
vu
22
2
2
(3.92)
denklemleri elde edilir. Bu denklemlerden birisi diğerinden çıkartılırsa
Gazi Üniversitesi Teknoloji Fakültesi Otomotiv Mühendisliği Bölümü
Prof. Dr. Halit KARABULUT Sayfa 87
0)x
v
y
u)(
y
v
x
u()
x
v
y
u(
yv)
x
v
y
u(
xu
(3.93)
elde edilir. Bu denklemin son terimi süreklilik denkleminin gereği olarak sıfır olur.
Denklemin terimlerinin işareti değiştirilerek
ux
v
x
u
yv
y
v
x
u
y
( ) ( ) 0 (3.94)
şeklinde düzenlenebilir. Bu denklemde bulunan parantezlerin içerisi yukarıda vorticity
olarak tanıtılan büyüklüğe eşittir. Bir akış çizgisi üzerinde v/udy/dx olduğunu
biliyoruz. Bunu kullanarak eşitlik (3.94) de v yok edilirse
0dy)y
u
x
v(
yudx)
y
u
x
v(
xu
(3.95)
olur. Eşitlik (3.95) e göre akış çizgileri üzerinde vorticity’nin tam diferansiyeli sıfırdır.
0)y
u
x
v(d
(3.96)
Son eşitlikten
C)y
u
x
v(
(3.97)
elde edilir. Son eşitlikte bulunan C yi belirlemek için bir balığın çevresindeki açık bölge
akışını inceleyelim. Balığın çevresinde dikdörtgen şeklinde bir kapalı eğri ile sınırlanmış
bir bölge düşünelim. Şekil 3.8.a da görülen teğet hızlar dikkate alınarak
0 0 ( )B C B D
A B A C R
v uU dx dy U dx dy dydx
x y
(3.98)
0R
v udxdy
x y
(3.99)
Gazi Üniversitesi Teknoloji Fakültesi Otomotiv Mühendisliği Bölümü
Prof. Dr. Halit KARABULUT Sayfa 88
0v u
x y
(3.100)
neticesi elde edilir. Son eşitlik balığın çevresindeki açık bölge akışında viskozitesiz akışın
irrotasyonel olduğunu göstermektedir. Şekil 3.8.b de görülen kapalı bölge akışı için C nin
belirlenmesinde akış çizgilerinin kanalın iki ucundaki davranışları dikkate alınabilir.
Kanalın her iki ucunda akış x doğrultusunda ve tekdüze olduğu için
0v u
x y
olduğu görülmekte olup bu hal C nin sıfır olduğunu göstermektedir.
A B
CD
Sekil 3.8.a
Vt=U8
Vt=U8
Vt =
0
Vt =
0U 8
x
y
Gazi Üniversitesi Teknoloji Fakültesi Otomotiv Mühendisliği Bölümü
Prof. Dr. Halit KARABULUT Sayfa 89
Bir (x,y) düzlemindeki akış sürekli değilse x ve y momentum denklemlerinden
0dyy
u
x
v
yudx
y
u
x
v
xudx
y
u
x
v
t
(3.101)
elde edilir. Son eşitlikte birinci terimde dtudx yazılır ve düzenlenirse
0dyy
u
x
v
ydx
y
u
x
v
xdt
y
u
x
v
t
(3.102)
olur. Vorticity’nin tam diferansiyeli olan son eşitlikten sürekli olmayan sıkışmaz
viskozitesiz akışın’da dönmesiz olduğu görülmektedir. Bu durum dönmenin tarif
eşitliklerinde (3.85,3.86,3.87) kullanılarak
( )
v
x
u
y 0 (3.103)
( )
w
y
v
z 0 (3.104)
( )
u
z
w
x 0 (3.105)
Sekil 3.8.b
x
y
A B
CD
EF
akis çizgisi
Gazi Üniversitesi Teknoloji Fakültesi Otomotiv Mühendisliği Bölümü
Prof. Dr. Halit KARABULUT Sayfa 90
sonuçları elde edilir. Bu eşitlikler Euler denklemlerinin ortaya çıkardığı sonuçlar olup
süreklilik denklemi ile beraber sıkışmaz viskozitesiz akış alanlarının simülasyonunda
kullanılmaktadır. Bernoulli denkleminden bilindiği üzere viskozitesiz akışta 2
2
V pgz
sabit kalmaktadır. Bu büyüklük 1 kg viskozitesiz sıkışmaz akışkanın toplam enerji
potansiyeli olup, akış esnasında değişmediği için viskozitesiz sıkışmaz akışlara potansiyel
akış da denmektedir.
3.8 İki Boyutlu Akış Alanlarında Potansiyel Akış Denklemlerinin Çözümü
Yukarıda verilen bilgilere göre bir (x,y) uzayında zuhur eden potansiyel akışın
simülasyon denklemleri
0y
v
x
u
(3.106)
0)y
u
x
v(
(3.107)
olarak yazılabilir. Bu iki denklemi tek denkleme indirgemek için akış çizgisi fonksiyonu
(streamline) ve hız potansiyeli fonksiyonu olmak üzere iki farklı transformasyon
mevcuttur.
Streamline Fonksiyonu
Eşitlik (3.106) ve (3.107) den oluşan denklem takımını tek denkleme dönüştürmenin bir
yöntemi hız bileşenlerini
yu
(3.108)
xv
(3.109)
Gazi Üniversitesi Teknoloji Fakültesi Otomotiv Mühendisliği Bölümü
Prof. Dr. Halit KARABULUT Sayfa 91
şeklinde bir fonksiyondan elde etmektir. Bu fonksiyon akış çizgisi fonksiyonu olarak
isimlendirilmekte ve yalnız iki boyutlu akışlar için uygulanabilmektedir. Neticede (3.106)
denklemi yok olur (3.107) denklemi aşağıdaki şekle dönüşür.
0yx 2
2
2
2
(3.110)
Denklemin eşit aralıklı gridler için sonlu fark şekli
)(4
11j,i1j,ij,1ij,1ij,i (3.111)
eşit olmayan aralıklı gridler için sonlu fark şekli
2
yy
2
yyxx
2
xx
2
xxyy
/2
yy
2
yyxx
2
xx
2
xxyy
2
P
N
2
N
PPN
2
P
N
2
N
PPN
2
P
N
2
N
PJ,1İPJ,1İN
2
P
N
2
N
P1J,İP1J,İNj,i
(3.112)
olarak elde edilir. Çözüm bölgesi Şekil 3.7’ deki gibi düzgün olmayan bir bölge ise son
eşitlik kaçınılmaz olur. Eşitlik (3.110) un sınır şartlarını belirlemek için streamline
fonksiyonunun fiziki manasının belirlenmesine gerek vardır. Streamline fonksiyonunun
(x,y) uzayındaki tam diferansiyeli,
dyy
dxx
d
(3.113)
olup eşitlik (3.108) ve (3.109) da verilen hız bileşenleri yerine yazılırsa
dyudxvd (3.114)
Gazi Üniversitesi Teknoloji Fakültesi Otomotiv Mühendisliği Bölümü
Prof. Dr. Halit KARABULUT Sayfa 92
eşitliği elde edilir. Şimdi Şekil (3.9) de görülen ve kesiti dik üçgen olan hacim elemanının
yüzeylerinden geçen akışkan miktarlarını inceleyelim. Hacim elemanının kağıt düzlemine
dik boyutu 1 metre olsun. Üçgenin AC kenarından dışa çıkan akışkan debisi )dxv( , BC
kenarından dışa çıkan akışkan debisi )dyu( olacaktır. Üçgenin AC ve BC kenarlarından
çıkan debilerin toplamı )dyudxv( olup AB kenarından giren debiye eşit olmalıdır. AB
kenarından giren )dyudxv( debisinin eşitlik (3.114) ün sağ tarafına eşit olduğu
görülmektedir. Buradan streamline fonksiyonunun A ve B noktaları arasındaki
değişiminin bu iki nokta arasından geçen akışkan debisine eşit olduğu görülmektedir.
Bu sonuca göre bir çözüm bölgesinin sınırlarının akışkan geçirmeyen kısımlarında nin
sabit kaldığı açıktır. Akışkanı geçiren kısımlarda nin değişiminin akışkan debisine eşit
olduğu görülmektedir. Bu durumda bir çözüm bölgesinin bütün çevresindeki sınır şartları
nin sayısal değerlerinden ibarettir.
Çözüm bölgesinin içerisinde bulunan gridlerde j,i nin belirlenmesi için yukarıda verilen
discretize eşitliklerden her bir grid için bir denklem elde edilir ve elde edilen eşitlikler eş
zamanlı olarak çözülür. Yada doğrudan doğruya discretize eşitlikleri kullanarak Jacoby
yöntemi ile iteratif çözümleme yapılır.
Gazi Üniversitesi Teknoloji Fakültesi Otomotiv Mühendisliği Bölümü
Prof. Dr. Halit KARABULUT Sayfa 93
Streamline fonksiyonunun grid noktalarındaki değeri belirlendikten sonra komşu
noktaların arasındaki streamline değişiminden u ve v hızları belirlenerek çözümleme
işlemi tamamlanır. Çözüm bölgesinde bulunan gridler arasındaki basınç farkını
belirlemek içinde Bernoulli denklemi kullanılır.
Hız Potansiyeli Fonksiyonu
Denklem (3.106) ve (3.107) yi tek denkleme dönüştürmenin yollarından birisi de hız
bileşenlerinin )y,x( olmak üzere
xu
(3.115)
yv
(3.116)
şeklinde bir fonksiyondan elde edilmesi olup bu fonksiyona hız potansiyeli fonksiyonu
denmektedir. Bu eşitlikler (3.106) denkleminde kullanıldığında
0yx 2
2
2
2
(3.117)
B
A C
Qy=-v dx
Qy=u dy
x
y
Sekil 3.9
Gazi Üniversitesi Teknoloji Fakültesi Otomotiv Mühendisliği Bölümü
Prof. Dr. Halit KARABULUT Sayfa 94
şeklinde ikinci mertebeden bir denkleme dönüşür. Denklem (3.107) tamamen yok olur.
Denklem (3.117) nin analitik çözümleri mevcut olmakla birlikte pratikte karşılaşılan akış
alanlarının simülasyonu açısından bir değeri yoktur. Bu sebeple burada sayısal bir çözüm
tanıtılacaktır. Bir örnek olarak Şekil 3.6' da görülen taşıtın çevresindeki akışın
simülasyonu yapılacaktır. Sayısal çözüm için çözüm bölgesinde Şekil 3.6' da görüldüğü
üzere grid noktaları oluşturulur. Sayısal çözüm için denklem (3.117) nin discretize edilmiş
şekli gerekmektedir. Eşit aralıklı gridler için denklem (3.117) nin discretize edilmiş şekli
)(4
11j,i1j,ij,1ij,1ij,i (3.118)
olur. Bu örnekte gridler hep eşit aralıklı yerleştirilebildiği için (3.118) denklemi çözüm
için yeterlidir. Discretize etme konusunda daha geniş bilgi için Referans 16, 17, 18, 19,
20, 21, 22, 23 ve 25'e bakınız.
Çözüm için sınır şartları gerekmektedir. Sınır şartları çözümün yapılacağı bölgenin
bulunduğu yere ve çözüm bölgesinin şekline göre farklılık arzeder. Ele alınan örnekte
çözüm bölgesinin sınırları taşıttan çok uzakta seçilirse, çözüm bölgesinin sınırlarında
hızın y bileşeni sıfır, x bileşeni U olacaktır. Hız potansiyeli fonksiyonunun diferansiyeli
Gazi Üniversitesi Teknoloji Fakültesi Otomotiv Mühendisliği Bölümü
Prof. Dr. Halit KARABULUT Sayfa 95
dx
dxy
dy udx vdy
(3.119)
olup çözüm bölgesinin OP kenarında v sıfır olduğundan d nin sıfır olduğu görülür. O
noktasındaki sıfır seçilirse P noktasında da sıfır olacaktır. PR kenarında xU
olduğu eşitlik (3.119) dan görülür. Burada x in başlangıç noktası O olarak seçilmiştir.
Yine eşitlik (3.119) dan RS kenarı boyunca R deki nin geçerli olduğu görülür. SO
kenarında yine xU olacaktır. Taşıtın yüzeyi de çözüm bölgesinin sınırlarından bir
kısmını oluşturmaktadır. Burada türevsel sınır şartları mevcuttur. AB arasında u sıfır olup
buradan 0x
, BC arasında v sıfır olup 0
y
, CD arasında u sıfır olup 0
x
, DE
arasında v sıfır olup 0y
, EF arasında u sıfır olup 0
x
, FA arasında v sıfır olup
şartları yazılır. Sonuç olarak çözüm bölgesinin dış sınırlarında kendisi, iç
sınırlarda da türevleri verilmektedir.
A
B C
D E
F
O
P R
S
Sekil 3.10
0y
Gazi Üniversitesi Teknoloji Fakültesi Otomotiv Mühendisliği Bölümü
Prof. Dr. Halit KARABULUT Sayfa 96
Sınırda olmayan noktaların her biri için eşitlik (3.118) den bir denklem elde edilir. Ayrıca
taşıtın yüzeyindeki grid noktaları için verilen türevsel sınır şartlarını discretize ederek bu
noktaların her biri için denklemler elde edilir. Sonra denklemler eş zamanlı çözülerek grid
noktalarında hız potansiyeli belirlenir. Denklemler Jacoby iterasyonu ile de çözülebilir.
Aşağıda verilen POTENTIAL isimli program bu poblemin çözümünü yapmaktadır.
Gazi Üniversitesi Teknoloji Fakültesi Otomotiv Mühendisliği Bölümü
Prof. Dr. Halit KARABULUT Sayfa 97
Gazi Üniversitesi Teknoloji Fakültesi Otomotiv Mühendisliği Bölümü
Prof. Dr. Halit KARABULUT Sayfa 98
3.9 Üç Boyutlu Akış Alanlarında Potansiyel Akış Denklemlerinin Çözümü
Potansiyel akış denklemleri (3.20) (3.103) (3.104) ve (3.105) üç boyutlu bir akış alanında
çözülecekse iki boyutlu akış alanlarında yapıldığı gibi önce tek denkleme dönüştürülür.
Dönüşüm için hız potansiyeli fonksiyonu kullanılabilir. Bunun için hız bileşenleri
xu
,
yv
,
zw
şeklinde tanımlanır. Bu tanımlar (3.103) (3.104) ve (3.105) eşitliklerini yok eder. Eşitlik
(3.20) ile verilen üç boyutlu süreklilik denklemi
0zyx 2
2
2
2
2
2
(3.120)
olur. Denklemin eşit aralıklı gridler için discretize edilmiş şekli
1k,j,i1k,j,ik,1j,ik,1j,ik,j,1ik,j,1ik,j,i
6
1 (3.121)
olur. Eşit olmayan aralıklarla yerleştirilmiş gridler için discretize eşitlik
z
PN
y
PN
X
PN
Z
1k,j,iP1k,j,iN
y
k,1j,iPk,1j,iN
X
k,j,1iPk,j,1iN
k,j,i
R
zz
R
yy
R
xx
/R
zz
R
yy
R
xx
(3.122)
olur. Bu eşitlikte bulunan xR , yR ve zR kısaltmaları aşağıdaki gibidir.
Gazi Üniversitesi Teknoloji Fakültesi Otomotiv Mühendisliği Bölümü
Prof. Dr. Halit KARABULUT Sayfa 99
p
2
N
N
2
p
x x2
xx
2
xR
,
,
p
2
N
N
2
p
z z2
zx
2
zR
.
Sınır şartlarının belirlenmesi ve discretize denklemlerden sayısal sonuçların elde edilmesi
iki boyutlu halde olduğundan çok farklı değildir. Bunun için;
dzwdyvdxud
eşitliği kullanılır. Şekil 3.11 de y doğrultusunda V
hızı ile akan bir akış ortamı içerisine
yerleştirilmiş bir cisim görülmektedir. Cismin çevresindeki çözüm bölgesinin sınırlarını
şekilde görülen hayali prizmatik hacmin yüzeyleri teşkil etmektedir. Çözüm bölgesinin
ABCD yüzeyinde dy, u ve w sıfır olduğu için d sıfır olur. Bu durum ABCD yüzeyinde
nin sabit olduğunu göstermektedir. Herhangi bir sayı olarak seçilmesi mümkün olup
tercihen sıfır seçilir. Dolayısı ile ABCD yüzeyindeki bütün gridlerde nin değeri sıfırdır.
BCFE yüzeyinde mevcut olan yegane hız bileşeni V
olup bu yüzeyde dx de sıfır olduğu
için d V dy
olur. Bu eşitliğin integralinden V y C
elde edilir. 0y da 0
kabul ettiğimiz için C nin değeri sıfır olacaktır. Netice olarak V y
ile BCFE
yüzeyinde bulunan gridlerin değerinin hesaplanabileceği görülmektedir.
p
2
N
N
2
p
y y2
yy
2
yR
Gazi Üniversitesi Teknoloji Fakültesi Otomotiv Mühendisliği Bölümü
Prof. Dr. Halit KARABULUT Sayfa 100
Şekil 3.11 de görülen çözüm bölgesinin ABEH, BEFC, CFGD, ve DGHA yüzeylerinde
de V y
eşitliği geçerlidir.
Cismin x eksenine dik yüzeylerinde bulunan grid noktalarındaki nin hesabı için 0x
şartı kullanılır. Cismin y eksenine dik yüzeylerinde bulunan grid noktalarındaki nin
hesabı için 0y
şartı kullanılır. Cismin z eksenine dik yüzeylerinde bulunan grid
noktalarındaki nin hesabı için 0z
şartı kullanılır. Cismin koordinat eksenlerine
eğik duran yüzeylerinde bulunan grid noktalarındaki nin hesabı için
x
yz
Sekil 3.11A B
C
D
E
FG
H
I
J
K
L
M
N
P
R
C
Gazi Üniversitesi Teknoloji Fakültesi Otomotiv Mühendisliği Bölümü
Prof. Dr. Halit KARABULUT Sayfa 101
0Vn
z
zn
y
yn
x
xn
(3.123)
şartı kullanılır. Son eşitlikte bulunan nV akışın sözkonusu grid ile eğik konumlu yüzey
arasındaki yüzeye dik hızıdır. Bu hız sıfır olup buradan Şekil 3.12 da görülen eğik
yüzeydeki C ve B gridleri için AC , AB sonuçları elde edilir.
Hava sıkışır akışkan olmakla birlikte, hava içerisinde ses altı hızlarda hareket eden
cisimlerin çevresindeki akış alanının belirlenmesinde, sıkışmaz akışkanın potansiyel akış
modeli kullanılmaktadır. Buna bir örnek olarak motorlu kara taşıtları gösterilebilir.
3.10 Potansiyel Akış Denklemlerinin Kartezyen Koordinat Sisteminden Diğer
Koordinat Sistemlerine Dönüşümü.
Mevcut hali ile (x,y) uzayında verilen bir diferansiyel denklemi bir ( , ) uzayına taşımak
isteyelim. Bunun için x ve y nin yeni uzayın koordinatları cinsinden
),(xx (3.124)
A
Vn
B
C
D
E
H
I
GF
Sekil 3.12
Gazi Üniversitesi Teknoloji Fakültesi Otomotiv Mühendisliği Bölümü
Prof. Dr. Halit KARABULUT Sayfa 102
),(yy (3.125)
şeklinde ifade edilmesine gerek vardır. Verilen bir diferansiyel denklemin ihtiva ettiği x e
göre birinci mertebe türev
xxx
(3.126)
şeklinde ifade edilebilir. Son eşitlikte bulunan
x ve
x türevleri eşitlik (3.124) ve
(3.125) den elde edilebilir. Sözkonusu eşitlikler x e göre türetilirse
1x
x
x
x
(3.127)
0x
y
x
y
(3.128)
eşitlikleri elde edilir. Son iki eşitlikte bulunan
x,
x,
y ve
y değeri bilinen
büyüklüklerdir. Son iki eşitlikten
xyyx
y
yy
xx
y0
x1
x (3.129)
Gazi Üniversitesi Teknoloji Fakültesi Otomotiv Mühendisliği Bölümü
Prof. Dr. Halit KARABULUT Sayfa 103
xyyx
y
yy
xx
0y
1x
x
(3.130)
elde edilir. Bu sonuçlar (3.126) ya yazılırsa
xyyx
y
xyyx
y
x (3.131)
eşitliği elde edilir.
Verilen bir diferansiyel denklemde bulunan y ye göre türev de aynı yöntemle yeni uzayın
koordinatları cinsinden ifade edilebilir. Bu maksatla Eşitlik (3.124) ve (3.125) den
0y
x
y
x
(3.132)
1y
y
y
y
(3.133)
ifadeleri elde edilir. Son eşitliklerden
y ve
y çekilirse işlem
xyyx
x
y (3.134)
xyyx
x
y (3.135)
Gazi Üniversitesi Teknoloji Fakültesi Otomotiv Mühendisliği Bölümü
Prof. Dr. Halit KARABULUT Sayfa 104
ile neticelenir. Sonuç olarak
y için
xyyx
x
xyyx
x
y (3.136)
eşitliği elde edilir.
Silindirik Koordinata Dönüşüm
Şimdi (3.106) ve (3.107) den oluşan iki boyutlu potansiyel akış denklemlerini iki boyutlu
silindirik uzaya aktaralım. Silindirik uzayın koordinatları (r,) olduğu için yukarıdaki
eşitliklerde bulunan yerine r gelecektir. Eski ve yeni koordinatlar arasında
cosrx (3.137)
sinry (3.138)
ilişkisi mevcuttur. Bu eşitliklerde bulunan r ve bir noktanın koordinatları olup bu
noktadadaki hız bileşenleri Vrve V
dır. Bu eşitliklerden kısmi türev alarak
cos
r
x (3.139)
sinr
x (3.140)
sin
r
y (3.141)
cosr
y (3.142)
ifadeleri elde edilir. Bu ifadeler Eşitlik (3.131) ve (3.136) da yerine yazılırsa
Gazi Üniversitesi Teknoloji Fakültesi Otomotiv Mühendisliği Bölümü
Prof. Dr. Halit KARABULUT Sayfa 105
r
sin
rcos
x (3.143)
r
cos
rsin
y (3.144)
neticeleri elde edilir. Bunlar kullanılarak süreklilik denklemi
0v
r
cos
r
vsin
u
r
sin
r
ucos
(3.145)
şekline dönüştürülür. Son eşitlikte bulunan bağımsız değişkenler r ve silindirik uzayın
koordinatları olmakla birlikte bağımlı değişkenler u ve v (x,y) uzayının hız bileşenleridir.
Bunlarıda silindirik uzayın hız bileşenleri rV , ve V ya dönüştürmek gerekmektedir. Şekil
3.13’den faydalanarak (x,y) uzayının hız bileşenleri (r,) uzayının hız bileşenleri
cinsinden aşağıdaki gibi ifade edilir.
2 1cos sin
ru u u V V
(3.146)
2 1sin cos
rv v v V V
(3.147)
Gazi Üniversitesi Teknoloji Fakültesi Otomotiv Mühendisliği Bölümü
Prof. Dr. Halit KARABULUT Sayfa 106
Bunlar (3.145) da yerine yazılır ve gerekli işlemler yapılırsa
0V
r
1
r
V
r
V rr
(3.148)
eşitliği elde edilir. Son eşitlik süreklilik denkleminin polar silindirik şekli olarak
isimlendirilmektedir.
Eşitlik (3.131) ve (3.136) ile verilen dönüşüm formüllerini kullanarak vorticity denklemi
(3.107) aşağıdaki şekilde ifade edilir.
x
y
v2
v1
u2u1
r
Vrv
Sekil 3.13
Gazi Üniversitesi Teknoloji Fakültesi Otomotiv Mühendisliği Bölümü
Prof. Dr. Halit KARABULUT Sayfa 107
0u
r
cos
r
usin
v
r
sin
r
vcos
(3.149)
Eşitlik (3.146) ve (3.147) ile verilen hız bileşenleri son eşitliğe yazılır ve gerekli işlemler
yapılırsa aşağıdaki silindirik vorticity denklemi elde edilir.
0V
)Vr(r
r
(3.150)
Eşitlik (3.148) ve (3.150) viskoz olmayan sıkışmaz akışkanların silindirik geometride
potansiyel akışını modellemektedir. Bu denklemleri tek denkleme dönüştürmek için,
streamline fonksiyonu olmak üzere, hızlar
r
1Vr (3.151)
rV
(3.152)
şeklinde ifade edilir. Bunlar yerine yazılırsa
0r
1
rrr
2
2
2
2
(3.153)
denklemi elde edilir. Son eşitlik Laplace denkleminin silindirik şekli olup, Eşitlik (3.110)
un (x,y) uzayından ( , )r uzayına taşınması ile de aynı eşitliğe varılabilir.
Şekil 3.14 te bir silindir çevresindeki potansiyel akış bölgesinin gridlendirilmesi
görülmektedir. Çözüm bölgesinin sınırları şekilde görüldüğü üzere 0 , , wr R ve
r R ile gösterilmiştir. 0 , ve wr R sınırlarının her üçünde 0 şartı
kullanılabilir. Çözüm bölgesin r R sınırında kullanılabilecek olan sınır şartı (3.146) ve
(3.147) denklemlerinden elde edilebilir. Bu sınırda 0v , u U olduğu dikkate alınarak
söz konusu denklemler
Gazi Üniversitesi Teknoloji Fakültesi Otomotiv Mühendisliği Bölümü
Prof. Dr. Halit KARABULUT Sayfa 108
cos sin
sin cos 0
rV U
V
(1.154)
şeklinde düzenlenebilir. Bu matriks denklemden
cosrV U (3.155)
1
cosUR
(3.156)
elde edilir. Son eşitliğin geri fark türevi alınarak grid noktalarında kullanılmak üzere
, 1, cosi j i j R U (3.157)
eşitliği elde edilir. Son eşitlikte bulunan i ve j sırası ile açısal ve radyal grid sayıcılarıdır.
Eşitlik (3.148) ve (3.150) den oluşan silindirik geometride potansiyel akış denklemlerini
tek denkleme dönüştürmek için hız potansiyeli fonksiyonu da kullanılabilir. Bunun için,
hız potansiyeli olmak üzere, hız bileşenleri
rVr
(3.158)
r
1V (3.159)
Gazi Üniversitesi Teknoloji Fakültesi Otomotiv Mühendisliği Bölümü
Prof. Dr. Halit KARABULUT Sayfa 109
şeklinde ifade edilir. Bunlar silindirik potansiyel akış denklemlerinde yerine yazılırsa
işlem
0r
1
rrr
2
2
2
2
(3.160)
ile neticelenir. Yine Laplace denkleminin silindirik şekli olan son eşitlik, Eşitlik (3.117)
nin (x,y) uzayından ),r( uzayına taşınması ile de elde edilebilir. Şekil 3.15 te silindirik
bir cismin çevresindeki akış bölgesinin gridlendirilmesi görülmektedir. Çözüm bölgesinin
sınırları wr R , r R , 0 ve 2 ile gösterilmiştir. Çözüm bölgesi tam daire
olduğu için 0 ve 2 deki sınırlar örtüşmektedir. wr R sınırında 0rVr
sınır
şartı kullanılabilir. 0 ve 2 sınırlarında 1
0Vr
şartı kullanılabilir. r R
sınırında kullanılacak olan sınır şartı (3.155) eşitliğinden elde edilebilir. Söz konusu
eşitlik cosrV Ur
şeklinde yazılabilir.
Kartezyen geometride verilmiş potansiyel akış denklemlerinin silindirik geometriye
dönüşümü burada bir örnek olarak detaylı bir şekilde izah edilmiştir. Üç boyutlu
potansiyel akış denklemlerinin kartezyen geometriden silindirik yada küresel yada başka
u 8
r=R 8
Sekil 3.14
r = RW
Gazi Üniversitesi Teknoloji Fakültesi Otomotiv Mühendisliği Bölümü
Prof. Dr. Halit KARABULUT Sayfa 110
bir geometriye dönüşümü metot olarak bir farklılık arzetmez. Bu sebeple bunlar teker
teker ele alınmayacaktır. Üç boyutlu sürtünmesiz akışın süreklilik, vorticity ve Laplace
denklemlerinin kartezyen, silindirik ve küresel şekli topluca aşağıda verilmiştir.
Kartezyen Geometride:
u
x
v
y
w
z 0 , (3.161)
( )
v
x
u
y 0 , (3.162)
( )
w
y
v
z 0 , (3.163)
( )
u
z
w
x 0 . (3.164)
u 8
r=R 8
Sekil 3.15
r=Rw
Gazi Üniversitesi Teknoloji Fakültesi Otomotiv Mühendisliği Bölümü
Prof. Dr. Halit KARABULUT Sayfa 111
0zyx 2
2
22
2
(3.165)
Silindirik Geometride:
0z
VV
r
1)rV(
rr
1 Zr
, (3.166)
0z
VV
r
1 Z
, (3.167)
0r
V
z
V Zr
, (3.168)
0V
r
1)rV(
rr
1 r
, (3.169)
1 10
2 2
2
2r rr
r r z
(3.170)
Küresel Geometride:
0V
sinr
1)sinV(
sinr
1)Vr(
r
1
r
1r
2
2
, (3.171)
0V
sinr
1)sinV(
1
sinr
1
, (3.172)
0)rV(rr
1V
sinr
1 r
, (3.172)
0V
r
1)rV(
rr
1 r
, (3.174)
0sinr
1sin
sinr
1
rr
rr
12
2
222
2
2
(3.175)
Gazi Üniversitesi Teknoloji Fakültesi Otomotiv Mühendisliği Bölümü
Prof. Dr. Halit KARABULUT Sayfa 112
3.11 Düzgün Geometrik Cisimler Çevresindeki Potansiyel Akışlar
Yukarıda tanıttığımız nümerik yöntemlerle potansiyel akış denklemleri düzgün geometrik
cisimler etrafındaki akış bölgelerinde kolayca çözülebilir. Bununla birlikte silindirik boru,
elips boru, küre, köşe gibi bazı düzgün geometrik cisimlerin çevresindeki akışın analitik
fonksiyonlarla tanımlanması daha karmaşık olayların analizinde kolaylık ve hızlılık
sağlamaktadır. Bu kısımda yapılacak olan işlemler Laplace denklemini ve akış alanının
sınır şartlarını sağlayan fonksiyonlar aramak olacaktır. Laplace denklemi lineer bir
denklem olduğu için Laplace denklemini sağlayan birden fazla fonksiyonun toplamıda
yine çözüm olur. Birden fazla fonksiyonun toplanması sınır şartlarının sağlatılması için
gereklidir.
Genel çözümü oluşturan fonksiyonlar tek boyutlu basit akışları tanımlayan ifadelerdir. Üç
çeşit basit akışla diğer karmaşık akışların tanımlanması mümkün olmaktadır. Bunlardan
birisi akışkan üreten ve kaynak olarak isimlendirilen bir nokta çevresindeki tek boyutlu
akış, diğeri akış çizgilerinin birbirine paralel düz çizgiler olduğu uniform akış, üçüncüsü
vortex olarak adlandırılan bir nokta çevresindeki dönme hareketidir.
3.11.1 Doğrultusu x Eksenine Paralel Uniform Akış
Şekil 3.16 de x eksenine paralel tekdüze akışın akış çizgileri görülmektedir. Streamline
fonksiyonu x doğrultusunda sabit kaldığı için akış çizgilerinin dağılımını yöneten Laplace
denkleminin kartezyen formu
0y2
2
(3.176)
şeklinde kısalır. Son denklemin çözümü
ByA (3.177)
Gazi Üniversitesi Teknoloji Fakültesi Otomotiv Mühendisliği Bölümü
Prof. Dr. Halit KARABULUT Sayfa 113
olur. Akışın bulunduğu bölgenin tamamında Uy
olduğundan A U olur. B sabiti
0y sınırındaki ye eşit olup sıfır olarak seçilebilir. Neticede akış fonksiyonu nin y
cinsinden ifadesi
yU (3.178)
olarak belirlenir.
3.11.2 Doğrultusu y Eksenine Paralel Uniform Akış
Şekil 3.17' te y eksenine paralel tekdüze akışın akış çizgileri görülmektedir. Akış
fonksiyonu y doğrultusunda değişiklik arzetmediği için akış fonksiyonunun dağılımını
yöneten Laplace denkleminin kartezyen formu
0x 2
(3.179)
şeklinde kısalır. Genel çözüm
x
y
Sekil 3.16
U
Gazi Üniversitesi Teknoloji Fakültesi Otomotiv Mühendisliği Bölümü
Prof. Dr. Halit KARABULUT Sayfa 114
BxA (3.180)
olup, akış alanının tamamında Vx
olduğundan VA olur. Yukarıda açıklandığı
üzere B nin değeri sıfır olarak seçilebilir. Netice
xV (3.181)
olarak belirlenir.
3.11.3 Herhangi bir Doğrultuda Uniform Akış
Şekil 3.18' de, (x,y) düzleminde pozitif yönde bir uniform akış görülmektedir. Akışın hızı
ve doğrultusu her yerde aynı olduğu için hızın her iki bileşeni birer sabit olacaktır. Hız
bileşenlerinin tanımı olan
V
x
y
Sekil 3.17
Gazi Üniversitesi Teknoloji Fakültesi Otomotiv Mühendisliği Bölümü
Prof. Dr. Halit KARABULUT Sayfa 115
Vx
(3.182)
Uy
(3.183)
eşitliklerinden
0x 2
2
(3.184)
0y2
2
(3.185)
olduğu sonucuna gidilir. Buradan sabit hız bileşenlerine sahip bir akışın
0yx 2
2
2
2
(3.186)
V
x
y
Sekil 3.18
U
Gazi Üniversitesi Teknoloji Fakültesi Otomotiv Mühendisliği Bölümü
Prof. Dr. Halit KARABULUT Sayfa 116
denklemini sağlanmakta olduğu görülmektedir. Bu sebeple böyle bir akış için nin
belirlenmesinde (3.182) ve (3.183) denklemleri kullanılabilir. Denklem (3.182) nin
integralinden
)y(fxV (3.187)
elde edilir. Son eşitliğin y ile türevi alınırsa
dy
df
y
(3.188)
olur. Son eşitlikte bulunan y
nin U olduğunu biliyoruz.
Udy
df . (3.189)
Son denklemden
yUf (3.190)
olarak belirlenir. Bu sonuç Eşitlik (3.187) de kullanılarak streamline dağılımının
matematiksel ifadesi
xVyU (3.191)
olarak belirlenir.
Tek düze akışın özel halleri için elde ettiğimiz (3.178) ve (3.181) eşitliklerinin sağ
taraflarının toplamıda yine son eşitliğin sağ tarafını vermektedir. Buradan özel basit
akışların matematiksel tanımlarının toplamını alarak karmaşık akışların tanımlanabileceği
görülmektedir. Bu metoda süperpozisyon metodu denmekte ve çok kullanılmaktadır.
Gazi Üniversitesi Teknoloji Fakültesi Otomotiv Mühendisliği Bölümü
Prof. Dr. Halit KARABULUT Sayfa 117
3.11.4 Vortex Hareketi
Akışkanın bir nokta çevresinde dönmesi olan vortex hareketi Şekil 3.19.a ve 3.19.b'de
gösterilmektedir. Şekil 3.19.a'da görülen vortex serbest vortex olarak isimlendirilen,
dönme merkezi istisna irrotasyonel olan bir akış türüdür. Şekil 3.19.b de görülen vortex
akışkanın topyekün bir nokta etrafında dönmesinden oluşan, rotasyonel bir harekettir. Bu
tür hareketler zorlanmış vortex olarak isimlendirilmektedir. Serbest vortexte dönme
merkezinde teğet hız sonsuza giderken zorlanmış vortexte sonlu olmaktadır. Her iki
vortex te radyal hızlar sıfır, teğet hızlar yalnız r ye bağlıdır.
Şekil 3.19.a'da bulunan ABCD diferansiyel elemanının merkezindeki hız bileşenleri rv ve
v olarak kabul edilirse çevresindeki sirkülasyon
( )( )2 2
( )2 2
r
ABCD r
r
r
vv d drv dr v r dr d
r
vv d drv dr v r d
r
(3.192)
şeklinde hesaplanabilir. Hızın radyal bileşeninin sıfır olduğu ve v nın yalnız r ye bağlı
olduğu dikkate alınarak eşitlik
Sekil 3.19
(a) (b)
r+dr
r
d
r
V
AB
C
D
V
Gazi Üniversitesi Teknoloji Fakültesi Otomotiv Mühendisliği Bölümü
Prof. Dr. Halit KARABULUT Sayfa 118
( ) ( )2 2 2
ABCD
dv dv dvdr dr drv r r v dr dr d v r d
dr dr dr
(3.193)
şeklinde düzenlenir. Gerekli sadeleştirmeler ve götürtmeler yapılırsa
( )ABCD
dv dr v drd rv dr d
dr dr
(3.194)
olur. Akış irrotasyonel olduğundan ABCD hacim elemanının çevresindeki sirkülasyon
sıfır olacaktır. Buna göre son eşitlikten
( ) 0d rv , (3.195)
rv C (3.196)
neticesine gidilir. Vortex merkezinin çevresindeki dairesel akış çizgileri üzerinde
sirkülasyon sıfır olmaz çünkü integral bölgesinin içerisinde bir tekil nokta bulunmaktadır.
Hesap
2C
v ds v r d r v
(3.197)
neticesini verir. Son eşitlikten
2
Cr v
(3.198)
elde edilir. Eşitlik (3.196) ile (3.198) kıyaslanırsa 2
C
nin bir sabit olduğu görülür. Vortex
akışının hız dağılımını vermekte olan son eşitlikte, önceki kısımlarda tanıttığımız
vr
transformasyonu kullanılırsa
Gazi Üniversitesi Teknoloji Fakültesi Otomotiv Mühendisliği Bölümü
Prof. Dr. Halit KARABULUT Sayfa 119
2
C
r r
(3.199)
ifadesi elde edilir. Son eşitliğin integralinden streamline dağılımı
ln2
C r C
(3.200)
olarak belirlenir. Bir potansiyel akış bölgesinde belirlenecek olan büyüklük hılar olduğu
için son eşitlikte bulunan C nin sayısal değerinin bir önemi yoktur. Bu sebeple herhangi
bir sınır şartı kullanarak C yi belirleyebiliriz. Mesela 1r de 0 sınır şartı
kullanıldığında son eşitlikte bulunan integral sabiti C sıfır olarak belirlenir. 1r in
ilerisinde nin negatif değerler alması v üzerinde herhangi bir farklılık yaratmaz.
3.11.5 Kaynak ve Batak Noktaların Çevresindeki Radyal Akışlar
Burada kaynak kelimesi akışkanın doğduğu bir yer, batak kelimesi de akışkanın yok
olduğu bir yer anlamında kullanılmıştır. Bu tür akışlarda hızın safi r
v bileşeni mevcuttur.
Doğan veya yok olan akışkanın debisi q ile gösterilirse hız dağılımı,
2r
qv
r (3.201)
olur. Önceki kısımlarda tanıttığımız
1r
vr
transformasyonu kullanılırsa son eşitlik
2
q
(3.202)
olur. Son eşitliğin integrali alınırsa
Gazi Üniversitesi Teknoloji Fakültesi Otomotiv Mühendisliği Bölümü
Prof. Dr. Halit KARABULUT Sayfa 120
2
qC
(3.203)
neticesi elde edilir. 0 da 0 sınır şartı kullanılırsa son eşitlikte bulunan C sıfır
olarak belirlenir.
Akış bir kaynak çevresinde değilde bir batak çevresinde oluyorsa hız dağılımı
2r
qv
r (3.204)
olur. Batak akışının streamline fonksiyonunun dağılımı
2
q
(3.205)
şeklinde olur.
3.11.6 Birleşik Kaynak ve Batak Akışı
Bir (x,y) düzleminde bulunan aynı debiye sahip bir kaynak ve bir bataktan oluşan birleşik
sistemin akış çizgileri Şekil 3.20 da gösterilmiştir. Kaynaktan çıkan akış çizgileri batak
noktasında kaybolmaktadır. Şekilde görülen A noktasında streamline fonksiyonunun
değeri
2 1( )
2
q
(3.206)
olarak yazılabilir. A noktasının koordinatları cinsinden 1 ve
2 açıları
1 1
y ytg Arctg
x a x a
(3.207)
2 2
y ytg Arctg
x a x a
(3.208)
Gazi Üniversitesi Teknoloji Fakültesi Otomotiv Mühendisliği Bölümü
Prof. Dr. Halit KARABULUT Sayfa 121
olarak belirlenir.
Eşitlik (3.202) de bulunan 2 1
( ) açı farkı
2 1
2 1 2 2 2 2
1 2
2 2
2( )
11
y ytg tg yax a x atg
ytg tg x a y
x a
,
2 1 2 2 2
2( )
yaArctg
x a y
(3.209)
olarak belirlenir. Buna göre eşitlik (3.206)
2 2 2
2
2
q yaArctg
x a y
(3.210)
olarak düzenlenir.
y
x
a a
A
Sekil 3.20
Gazi Üniversitesi Teknoloji Fakültesi Otomotiv Mühendisliği Bölümü
Prof. Dr. Halit KARABULUT Sayfa 122
3.11.7 Oval Cisimlerin Çevresindeki Akış
Şekil 3.21 de bir oval cisim ve çevresindeki akış çizgileri görülmektedir. Önceki
kısımlarda işlediğimiz x eksenine paralel düzgün akışla kaynak-batak çiftinin süper
pozisyonu alınırsa
2 2 2
2
2
q yaU y Arctg
x a y
(3.211)
eşitliği elde edilir. Son eşitlik kullanılarak akış çizgileri oluşturulursa, 0 eğrisinin Şekil
3.21 de görülen oval olduğu görülür. 0 eğrisinin oluşturduğu ovalin boyutlarını
istediğimiz gibi düzenleyebilmek için eşitlik (3.210) da ki a ve q sabitlerini kullanmak
gerekir.
3.11.8 Silindirik Cisimlerin Çevresindeki Akış
Silindirik bir cismin çevresindeki potansiyel akışın modellenmesinde bir uniform akış, bir
kaynak ve bir de batak çevresindeki akışların süper pozisyonu kullanılabilir. Ancak bu
kısımda yeni bir yöntem tanıtılacaktır.
Potansiyel akışın matematik modeli olan Laplace denkleminin silindirik şeklinin
Streamline fonksiyonu cinsinden ifadesi eşitlik (3.153) ile tanıtılmıştır. Silindirik bir
y
x
Sekil 3.21
Gazi Üniversitesi Teknoloji Fakültesi Otomotiv Mühendisliği Bölümü
Prof. Dr. Halit KARABULUT Sayfa 123
cismin çevresindeki çözüm bölgesi Şekil 3.14 te gösterilmiştir. Eşitlik (3.153) ün sınır
şartları aynı kısımda tanıtılmıştır.
/ oR r r şeklinde bir dönüşüm kullanılırsa söz konusu eşitlik
2 2
2
2 20R R
R R
(3.212)
olur. Burada or ile silindirik cismin yarıçapı gösterilmektedir. Son eşitliğe 2 terimini
ekleyip çıkartarak
2 2
2 2 2
2 2
0 0
0R RR R
(3.213)
şeklinde iki kısma ayrılabilen bir eşitliğe dönüştürülür. İkinci kısım sabit katsayılı bir
denklem olup se şeklinde bir çözümün var olduğu kabul edilirse karakteristiği 2 0s
olur. Çözüm
sin cosU R V R (3.214)
olarak belirlenir. Çözüme 0, 0 sınır şartı eklenirse ( ) 0V R olduğu görülür.
Çözümün kalan kısmına , 0 sınır şartını uygulayarak
sin 0U R (3.215)
elde edilir. Son eşitlikten
1,2,3,4,5,...,n (3.216)
olduğu görülür. Bu durumda nın her değeri için bir çözüm mevcut olup bunların
toplamı da çözümdür.
Gazi Üniversitesi Teknoloji Fakültesi Otomotiv Mühendisliği Bölümü
Prof. Dr. Halit KARABULUT Sayfa 124
1 2...
n
(3.217)
1 2sin sin 2 .... sinnU R U R U R n
(3.218)
Son eşitlik
1
sinn
k k
k
U R
(3.219)
şeklinde kısaltılabilir. kU R lerin belirlenmesi için (3.213) eşitliğinin birinci kısmı
2
2 2
20k k
k kR RR R
(3.220)
kullanılır. Bu eşitlik Euler-Cauchi diferansiyel denklemi olup tR e dönüşümü yapılarak
sabit katsayılı denkleme dönüştürülmektedir. Gerekli işlemler yapılarak son eşitlik
2
2
20k
k k
d
dt
(3.221)
şeklinde sabit katsayılı bir denkleme dönüştürülür. Son eşitlikte
sin( ) sin( )k k k k k
o
rU UR
r
kullanılırsa
0 0
k k
k
r rU A B
r r
(3.222)
elde edilir. Silindirin yüzeyinde 0 sınır şartı mevcuttur. Bu şart , 0o kr r U şeklinde
bir şarta dönüşmektedir. Bu şart son eşitliğe uygulandığında B A olduğu görülür. Bu
hal dikkate alınarak son eşitlik yeniden
Gazi Üniversitesi Teknoloji Fakültesi Otomotiv Mühendisliği Bölümü
Prof. Dr. Halit KARABULUT Sayfa 125
0 0 0 0
k k k k
k k
r r r rU A A C
r r r r
(3.223)
şeklinde düzenlenir. Bu durumda (3.219) eşitliği ile verilen çözüm
0 01
sin
n k k
k k
k
r rC
r r
(3.224)
şekline gelir. Son eşitlik ile verilen çözüm şekil 3.14 te görülen çözüm bölgesinin o
r r ,
0 ve deki sınırları için verilen 0 şartını sağlamaktadır. Ancak r daki
sınır şartı henüz impoze edilmemiştir. Söz konusu sınırda cosrV U şartının
sağlatılması gerekmektedir. Bu şart, m yeterince büyük olmak kaydı ile
0
0
1, cos
rr mr V U
mr
(3.225)
şeklinde düzenlenebilir. Bu şartın uygulanabilmesi için eşitlik (3.224) ile verilen çözümün
türevini almak gerekmektedir. Türev
0 01
cos
n kk
k k k
k
r rC
r r
(3.226)
olur. Son eşitlikte o
r r m yazılırsa
0
1
cos
n
k k
k k k
mrk
C m m
(3.227)
elde edilir. nm çok küçük olduğundan son eşitlik
Gazi Üniversitesi Teknoloji Fakültesi Otomotiv Mühendisliği Bölümü
Prof. Dr. Halit KARABULUT Sayfa 126
01
cos
n
kk k k
mrk
C m
(3.228)
şeklinde kısalır. Eşitlik (3.225) ile tanıtılan sınır şartı yerine yazılarak
0
1
cos cos
n
kk k k
k
mr U C m
(3.229)
elde edilir. Sol taraftaki sabitler sağa atılarak son eşitlik
01
cos cos
nk
kk k
k
mC
mr U
(3.230)
şeklinde düzenlenir. Son eşitlik cos fonksiyonunun Fourier açınımından başka bir şey
değildir. 0
k
kk k
mC a
mr U
kısaltması yapılırsa son eşitlik
1
cos cos
n
k
k
a k
(3.231)
1 2cos cos cos2 ... cosna a a n (3.232)
Şekline dönüşür. Son eşitlik sağlı sollu cos ile çarpılarak sağlı sollu
aralığında integrallenirse
1
1 1 1 1cos cos cos 2
2 2a d d
(3.233)
1
1 1 1 1sin 2 1
2 4 2 2a
(3.234)
Gazi Üniversitesi Teknoloji Fakültesi Otomotiv Mühendisliği Bölümü
Prof. Dr. Halit KARABULUT Sayfa 127
elde edilir. Eşitlik (3.232) sağlı sollu cos2 ile çarpılarak aralığında
integrallenirse
2
1cos cos 2a d
(3.235)
elde edilir. İşlemlere devam ederek
20a (3.236)
belirlenir. Genelleştirilmiş olarak k
a ların hesabı için
1 1 1
sin 1 sin( 1)2 1 1
ka k k
k k
(3.237)
formülü elde edilir. Bu eşitlik diğer k
a lerin sfır olduğunu göstermektedir. k
ok k
m r UC a
k m
kullanılarak
1 11 01 1
1.0 o or U r UC r U
m m
(3.238)
belirlenir. Diğer kC lar sıfırdır. Belirlenen kC lar eşitlik (3.224) de kullanılarak
Çözümün nihai şekli olan
2
0
21 sin
rU r
r
(3.239)
Eşitliği elde edilir.
Gazi Üniversitesi Teknoloji Fakültesi Otomotiv Mühendisliği Bölümü
Prof. Dr. Halit KARABULUT Sayfa 128
3.12 Potansiyel Akış Alanlarında Basınç Dağılımı için Poison eşitliği
Potansiyel akış alanlarındaki basınç dağılımını yöneten eşitlik momentum
denklemlerinden elde edilebilir. Bir (x,y) düzleminde zuhur eden geçici bir potansiyel
akışın x momentum denkleminin terimleri x ile, y momentum denkleminin terimleri y ile
ve z momentum denkleminin terimleri z ile türetilirse
2
22
2
22
x
p1
y
u
x
v
xy
uv
x
u
x
u
x
uu
xt
u
(3.240)
2
2
2
222
y
p1
y
v
y
v
y
vv
x
v
y
u
yx
vu
yt
v
(3.241)
olur. Son iki denklem taraf tarafa toplanırsa
2
2
2
222
y
p
x
p1
x
v
y
u2
y
v
x
u
y
v
x
u
yv
y
v
x
u
xu
y
v
x
u
t (3.242)
eşitliği elde edilir. Son eşitliğin sol tarafına y
v
x
u2
terimi eklenir çıkartılırsa
2
2
2
22
y
p
x
p1
y
v
x
u
x
v
y
u2
y
v
x
u
y
v
x
u
yv
y
v
x
u
xu
y
v
x
u
t (3.243)
elde edilir. Bu eşitlikte bulunan birinci ikinci ve üçüncü parantezlerin içerisi sıkışmaz
akışkanların süreklilik denkleminin gereği olarak akış alanının her noktasında sıfıra eşittir.
Bu sebeple eşitlik
2
2
2
2
y
p
x
p1
y
v
x
u
x
v
y
u2 (3.244)
Gazi Üniversitesi Teknoloji Fakültesi Otomotiv Mühendisliği Bölümü
Prof. Dr. Halit KARABULUT Sayfa 129
şeklinde bir Poison denklemine dönüşür. Aynı işlemler üç boyutlu akışın x, y ve z
momentum denklemine uygulanırsa
2 2 2
2 2 2
2
1
u v u v u w u w w v v w
y x x y z x x z y z y z
p p p
x y z
(3.245)
denklemi elde edilir. Bu analizden gerek sürekli gerek süreksiz bütün sıkışmaz akışların
potansiyel akış alanlarındaki basınç dağılımının Poison denklemi tarafından yönetilmekte
olduğu anlaşılmaktadır. Eğer akış süreksiz ise denklem (3.245) nin vereceği basınç
dağılımı anlık bir basınç dağılımı olacak, zaman ilerledikce basınç dağılımı değişecek
fakat anlık yeni basınç dağılımı aynı denklemin anlık yeni sınır şartları ile çözümünden
tekrar elde edilebilecektir. Bununla birlikte bazı potansiyel akış bölgelerinin sınırlarında
denklem (3.245) in sınır şartları mevcut değildir.
Çözümlü Problemler
Problem 1
Aşağıdaki şekilde bir potansiyel akış alanı verilmektedir. Verilen akış alanında streamline
fonksiyonunu nin dağılımını belirleyip sonucu grafik olarak verin.
Gazi Üniversitesi Teknoloji Fakültesi Otomotiv Mühendisliği Bölümü
Prof. Dr. Halit KARABULUT Sayfa 130
Çözüm
Akış fonksiyonunun dağılımını (3.55.c) denklemi vermektedir. Denklemin çözümü için
AB, BC ve CD sınırında akış fonksiyonunu nin değeri 0 olarak seçilirse şekilde verilen
giriş hızına göre EF sınırında
125.00Uy0 in
olacaktır. AF ve DE sınırlarında Streamline fonksiyonunun x e göre türevi sıfır olur.
Aşağıda verilen PFLOW1 proğramı (3.55.c) denkleminin problemde verilen akış
bölgesindeki çözümüdür. Müteakip şekildeki grafik sonuçları göstermektedir.
Gazi Üniversitesi Teknoloji Fakültesi Otomotiv Mühendisliği Bölümü
Prof. Dr. Halit KARABULUT Sayfa 131
Problem 2
Problem 1'de verilen iki boyutlu akış bölgesinde hız potansiyeli fonksiyonu ' nin
dağılımını belirleyip sonucu grafik olarak gösterin.
Çözüm
Hız potansiyeli fonksiyonu nin dağılımını (3.54.c) denklemi vermektedir. AF sınırında
sıfır olarak seçilebilir. FE, AB ve CD sınırlarında 0vy
şartı mevcuttur. DE
Gazi Üniversitesi Teknoloji Fakültesi Otomotiv Mühendisliği Bölümü
Prof. Dr. Halit KARABULUT Sayfa 132
sınırında OUx
şartı kullanılabilir. UO süreklilik denklemi OOii UAUA ile
belirlenebilir. DE sınırında OUx
sınır şartına alternatif olarak nin atma bir
değeride kullanılabilir. DE sınırında nin sabit bir değeri vardır. Bu sabit değer peşinen
bilinen bir değer deyildir. Bu sebeple atma değerlerle denklemi çözüp DE sınırında
OUx
şartının sağlanıp sağlanmadığı kontrol edilerek deneme yanılma ile’de neticeye
gidilebilir. Aşağıda verilen PFLOW2 proğramında DE sınırı için OUx
şartı
kullanılmıştır. Sonuçlar müteakip şekilde görülmektedir.
Gazi Üniversitesi Teknoloji Fakültesi Otomotiv Mühendisliği Bölümü
Prof. Dr. Halit KARABULUT Sayfa 133
Problem 3
Şekil 3.14’deki akış alanında 10 /U m s , 0.03wr m , 0.13r m alarak streamline
fonksiyonu ile sayısal çözümleme yapınız
Çözüm
Örnek program
Gazi Üniversitesi Teknoloji Fakültesi Otomotiv Mühendisliği Bölümü
Prof. Dr. Halit KARABULUT Sayfa 134
Problem 4
Şekil 3.15’deki akış alanında 10 /U m s , 0.05wr m , 0.25r m alarak streamline
fonksiyonu ile çözümleme yapınız
Çözüm
Örnek program
Gazi Üniversitesi Teknoloji Fakültesi Otomotiv Mühendisliği Bölümü
Prof. Dr. Halit KARABULUT Sayfa 135
Gazi Üniversitesi Teknoloji Fakültesi Otomotiv Mühendisliği Bölümü
Prof. Dr. Halit KARABULUT Sayfa 136
Çalışma Soruları
Problem 1
Yukarıdaki şekilde verilen nozuldan suyun çıkış hızı 50 m/s, arabanın ilerleme hızı 25
m/s, nozulun kesit alanı 25 cm2 olarak veriliyor. Araba içerisindeki akışın skalar hızını
sabit kabul ederek, arabaya etkiyen harici kuvveti ve doğrultusunu belirleyiniz.
Problem 2
Yukarıdaki şekilde verilen nozulun içerisinde bulunan mutlak basınç 4 bar, nozuldan
geçen suyun debisi 50 lit/s ve borunun kesiti nozulun çıkışının 4 katı olarak veriliyor.
Nozula gelen basınç kuvvetini ve harici kuvveti doğrultusu ile birlikte belirleyiniz.
Gazi Üniversitesi Teknoloji Fakültesi Otomotiv Mühendisliği Bölümü
Prof. Dr. Halit KARABULUT Sayfa 137
Problem 3
Yukarıdaki şekilde görülen gemi jet kuvveti ile tahrik edilmekte olup, jetin debisi 25 lit/s,
gemiden relatif çıkış hızı 50 m/s ve geminin hızı 30 15/m/s olarak veriliyor. Jetin tepki
kuvvetini ve doğrultusunu belirleyin. Geminin enerji kullanma verimini tespit ediniz.
Problem 4
Yukarıdaki şekilde görülen pitot tüpü ile bir boru içerisindeki hava akışının dinamik
basıncı ile statik basıncın farkı 0.13 bar olarak ölçülmüştür. akışın hızını belirleyiniz.
Gazi Üniversitesi Teknoloji Fakültesi Otomotiv Mühendisliği Bölümü
Prof. Dr. Halit KARABULUT Sayfa 138
Problem 5
Aşağıdaki şekilde görülen su tankından suyun çıkış hızını ve tankın boşalma süresini
belirleyiniz.
Problem 6
Aşağıdaki şekilde görülen Ventürimetreye bağlı u borusunun içerisinde çiva
bulunmaktadır. Civa için 6.13 gr/cm3 verildiğine göre u borusunun kollarındaki civa
yüksekliği farkını bulunuz.
Gazi Üniversitesi Teknoloji Fakültesi Otomotiv Mühendisliği Bölümü
Prof. Dr. Halit KARABULUT Sayfa 139
Problem 7
Kartezyen geometride üç boyutlu akışın süreklilik denklemini türetiniz.
Problem 8
İki boyutlu viskozitesiz akışın Bernoully denklemini aşağıda verilen eşitlikleri kullanarak
elde ediniz.
u
x
v
y 0 ,
Gazi Üniversitesi Teknoloji Fakültesi Otomotiv Mühendisliği Bölümü
Prof. Dr. Halit KARABULUT Sayfa 140
uu
xv
u
y
p
x
1,
uv
xv
v
y
p
y
1
Problem 9
Aşağıdaki şekilde görülen su borusunun çıkış ucunun çapı 30 mm ise suyun viskozitesiz
olduğunu kabul ederek borunun saatte ne kadar su aktaracağını belirleyiniz.
Problem 10
Aşağıdaki dirseğe gelen harici kuvveti, basınç kuvvetini ihmal ederek, doğrultusu ile
birlikte belirleyiniz.
Gazi Üniversitesi Teknoloji Fakültesi Otomotiv Mühendisliği Bölümü
Prof. Dr. Halit KARABULUT Sayfa 141
Problem 11
Aşağıdaki şekilde görülen kürenin A noktasındaki efektif basıncı belirleyin. Hava için
125. kg/m2
Problem 12
Üç boyutlu akışın Bernoully denklemini elde ediniz
uu
xv
u
yw
u
z
p
x
1, u
v
xv
v
yw
v
z
p
y
1,
uw
xv
w
yw
w
z
p
z
1.
Gazi Üniversitesi Teknoloji Fakültesi Otomotiv Mühendisliği Bölümü
Prof. Dr. Halit KARABULUT Sayfa 142
Problem 13
Aşağıdaki şekilde görülen iki boyutlu potansiyel akış bölgesinde
2
2
2
20
x y
denkleminin sınır şartlarını sayıca belirleyiniz.
Problem 14
Aşağıdaki şekilde görülen iki boyutlu potansiyel akış bölgesinde
0yx 2
2
2
2
denkleminin sınır şartlarını belirleyin ve sayısal yöntemle çözün
Gazi Üniversitesi Teknoloji Fakültesi Otomotiv Mühendisliği Bölümü
Prof. Dr. Halit KARABULUT Sayfa 143
BÖLÜM 4: SIKIŞMAZ VİSKOZ AKIŞKANLARIN BİR BOYUTLU
LAMİNER AKIŞI
Viskoz akışkanların akışı esnasında akış çizgileri birbirini kesmiyorsa bu tür akışlara
laminer akış denmektedir. Laminer akış ancak düşük hızlarda görülür. Hız belirli bir
değerin üzerine çıkınca akış laminerle türbülanslı akışın arasında belirsiz bir statü
gösterir. Daha yüksek hızlarda türbülanslı akış oluşur. Akışın laminerden türbilanslıya
geçişi boru pürüzlülüğü, viskozite, boru çapı, boru geometrisi gibi bir çok faktöre
bağlıdır.
Akış çizgileri doğru ise bu tür akışlara tek boyutlu akış denir. Değişmez kesitli düz
kanallardaki akış girişten itibaren belirli bir mesafeden sonra tek boyutlu akışa dönüşür.
Değişmez kesitli kanallarda kanal düz olmasa bile kanalın eğrilik yarıçapı kanalın
kesitinin ölçülerinden yeterince büyükse akış tek boyutlu kabul edilir.
4.1 Paralel Plakalar Arasında Tam Gelişmiş Laminer Akış
Paralel plakalar arasındaki akışı, akış özellikleri açısından iki bölgeye ayırmak gerekir.
Girişten itibaren akış yönünde belirli bir yere kadar enine hız dağılımı değişiklik gösterir.
Kanalın hemen girişindeki parabolik hız dağılımı ile ilerisindeki parabolik hız dağılımı
farklılık arz eder. Bu değişme belirli bir mesafeden sonra kaybolur ve bundan sonra
parabolik dağılımın şekli kanal boyunca sabit kalır. Hız profillerinin değişiklik gösterdiği
bu bölge giriş bölgesi olarak isimlendirilmektedir. Giriş bölgesinin ilerisinde bulunan akış
bölgesi tam gelişmiş akış olarak isimlendirilmektedir. Tam gelişmiş akış bölgesinde akış
çizgileri kanal cidarına paralel kalır. Tam gelişmiş akış bölgesindeki akışın matematiksel
tanımını yapmak için akış bölgesi içerisinde bir kontrol hacmi seçilerek Newton’un
birinci kanunu olarak bilinen hareket kanunu uygulanır. Bölüm 3 ten bilindiği üzere sabit
bir kontrol hacmine Newton’un hareket kanunu uygulanırsa
Gazi Üniversitesi Teknoloji Fakültesi Otomotiv Mühendisliği Bölümü
Prof. Dr. Halit KARABULUT Sayfa 144
iiO0 VmVmF
ifadesi elde edilir. Tam gelişmiş akış bölgesinde x yönünde hız değişmediği için kontrol
hacmine giren ve çıkan momentum aynı olacaktır. Buna göre Newton’un hareket kanunu
0F (4.1)
şeklini alacaktır. Şekil 4.1' de gösterildiği üzere kontrol hacmine x doğrultusunda hem
normal hem de teğet kuvvetler etkimektedir. Akış yönündeki kuvvetler pozitif ters
yöndekiler negatif işaretli kabul edilerek x doğrultusundaki kuvvetlerin bileşkesi sıfıra
eşitlenirse işlem
Gazi Üniversitesi Teknoloji Fakültesi Otomotiv Mühendisliği Bölümü
Prof. Dr. Halit KARABULUT Sayfa 145
0cosgdxdy
dx)dyy
(dxdy)dxx
pp(dyp
(4.2)
ile neticelenir. Gerekli götürmeler ve kısaltmalar yapıldığında
0cosgyx
p
(4.3)
eşitliği elde edilir. Kayma gerilmesi Newtonun ikinci kanunu ile
dy
du
şeklinde tanımlanmıştır. Bu ifade eşitlik (4.3) yerine yazılırsa
0cosgy
u
x
p2
2
(4.4)
denklemi elde edilir. İki plaka arasındaki akışın hız profili son eşitliğin çözümünden elde
edilir. Tam gelişmiş akış bölgesinde x yönünde hız değişmediği için atalet kuvvetleri sıfır
olup dx
dp safi viskoz sürtünmelerin ve yer çekiminin üstesinden gelecek büyüklüktedir.
Tam gelişmiş akış bölgesinde akışın hız profili x yönünde değişiklik göstermediği için
viskoz sürtünmede değişiklik göstermez. Bu sebeple dx
dp sabit kalır. Buna göre son
eşitliğin genel çözümü
21
2
CyC2
y)cosg
x
p(
1u
(4.5)
olur.
Gazi Üniversitesi Teknoloji Fakültesi Otomotiv Mühendisliği Bölümü
Prof. Dr. Halit KARABULUT Sayfa 146
Akış viskoz olduğu için her iki plakada hız sıfırdır. Koordinat eksenlerinin orijini kanalın
ortası seçilir ve iki plaka arasındaki mesafe h ile gösterilirse sınır şartları aşağıdaki gibi
düzenlenir.
0u,2/hy)2
0u,2/hy)1
Neticede integral sabitleri
0C1
8
h)cosg
x
p(C
2
2
olarak belirlenir. Buna göre hız profili
)8
h
2
y)(cosg
x
p(
1u
22
(4.6)
olur. Bu eşitlikte bulunan basınç gradyanı dx
dpin hacimsel debi veya ortalama hız
cinsinden ifade edilmesi mümkündür. Bunun için akışın zuhur ettiği kanalın, Şekil 4.2,
akış kesitinin )1h( m2 lik bir parçasından geçen debi
Gazi Üniversitesi Teknoloji Fakültesi Otomotiv Mühendisliği Bölümü
Prof. Dr. Halit KARABULUT Sayfa 147
2/h
2/h
3h)cosgx
p(
12
1dyuQ
olarak hesaplanır. Son eşitlikten basınç gradyanı çekilirse
Qh
12cosg
dx
dp3
(4.7)
elde edilir. Bu sonuç eşitlik 4.6 da yerine yazılırsa
)2
y
8
h(Q
h
12u
22
3 (4.8)
olur. Debi ile ortalama hızın ilişkisi hVQ olduğundan son eşitlik
)h
y41(V
2
3u
2
2
(4.9)
olarak düzenlenebilir. Sınır şartları
0u,hy)2
0u,0y)1
şeklinde düzenlenirse hız profili
u Vy
h
y
h 6
2
2( )
olur. Kanalın ortasından geçen bir eksene göre hız profili simetrik olduğundan kanalın
ortasında du
dy 0 şartı da mevcuttur.
Gazi Üniversitesi Teknoloji Fakültesi Otomotiv Mühendisliği Bölümü
Prof. Dr. Halit KARABULUT Sayfa 148
Bu kısımda ele alınan iki plaka arasındaki akış olayı bazı ısı eşanjörlerinde
kullanılmaktadır.
4.2 Silindirik Borularda Tam Gelişmiş Laminer Akış
Silindirik borularda da borunun giriş kısmında iki boyutlu bir giriş bölgesi akışı oluşur.
Borunun girişinden itibaren belirli bir mesafeden sonra tam gelişmiş akış oluşur. Borunun
geri kalan kısmında akışın özellikleri değişmez. Tam gelişmiş akışı analiz etmek için tam
gelişmiş akış bölgesinde bir hacim elemanına Newtonun birinci kanununu
uygulanmaktadır. Seçilen hacim elemanının bir halka gibi olması, Şekil 4.3, analizi
kolaylaştırmaktadır.
Seçilen elemana etkiyen gerilmeler Şekil 4.3' te gösterilmiştir. Elemana etkiyen
kuvvetlerin bileşkesi sıfıra eşitlenirse
0cosgrdxdrr
dxdr)dr)(rr
(dxrdrrdx)x
p(pdrrp
Gazi Üniversitesi Teknoloji Fakültesi Otomotiv Mühendisliği Bölümü
Prof. Dr. Halit KARABULUT Sayfa 149
eşitliği elde edilir. Gerekli kısaltma ve götürmeler yapıldığında
0cosgr)r(rx
pr
(4.10)
eşitliği elde edilir. Newton'un ikinci kanunu olan r
u
eşitlik (4.10) yerine yazılırsa
0cosgr)r
ur(
rx
pr
(4.11)
neticesine varılır. Son eşitlikte bulunan basınç gradyanı tamamen sabittir. Son eşitlikte
bulunan Şekil 4.32 te görüldüğü üzere akış yönü ile yer çekimi doğrultusu arasındaki
açıdır. Bu açı x le değişebilir fakat x ile değişmesi eşitliğin terim terim integrallenerek
çözümünü engellemez. Buna göre genel çözüm
21
2
CrlnC4
r)cosg
x
p(u
(4.12)
şeklinde olur. İntegral sabitlerinin yok edilmesi için iki tane sınır şartı gerekmektedir.
Akış viskoz olduğu için borunun cidarında hız sıfırdır. Borunun merkezinde hız
maksimum olup hızın r ile değişimi sıfırdır. Bu durumda sınır şartları
0u,rr)2
0r
u,0r)1
w
şeklinde düzenlenebilir. İntegral sabitleri
0C1
Gazi Üniversitesi Teknoloji Fakültesi Otomotiv Mühendisliği Bölümü
Prof. Dr. Halit KARABULUT Sayfa 150
4
r)cosg
x
p(C
2
w
2
olarak belirlenir. İntegral sabitleri yerine yazıldığında hız profili
)rr(4
1)cosg
x
p(u 2
w
2
(4.13)
olarak belirlenir. Bu eşitlikte bulunan basınç gradyanını hacimsel debi veya ortalama hız
cinsinden ifade etmek mümkündür. Borudan geçen hacimsel debi
wr
0drr2uQ (4.14)
ile hesaplanabilir. Eşitlik (4.13) ten u yerine yazılırsa
drr)rr(2
)cosgx
p(Q
wr
0
2
w
2
(4.15)
olur. İntegral işlemi yapılır ve çıkan eşitlikten basınç gradyanı çekilirse
4
wr
8Qcosg
x
p
(4.16)
olur. Basınç gradyanı eşitlik (4.13) ile verilen hız profili eşitliğine yazılırsa
)rr(r
Q2u 22
w4
w
(4.17)
neticesi elde edilir. Son eşitlikte bulunan hacimsel debi VrQ 2 şeklinde ifade edilirse
hız profili
)r
r1(V2u
2
w
2
(4.18)
Gazi Üniversitesi Teknoloji Fakültesi Otomotiv Mühendisliği Bölümü
Prof. Dr. Halit KARABULUT Sayfa 151
olur. Borularda laminer akış Reynold sayısı olarak adlandırılan
Vd
R ed şeklindeki
boyutsuz sayının 2300 den küçük olduğu hallerde gerçekleşir. Reynolds sayısı 2300 ile
4000 arasında ise akış laminer ile türbülanslı arasında olup kararlılık göstermez.
4.3 İki Silindirik Yüzey Arasında Tam Gelişmiş Laminer Akış
İki silindirik boru arasındaki akışta giriş bölgesi ve tam gelişmiş akış bölgesi olmak üzere
iki kısımda incelenir. Tam gelişmiş akışı (4.11) denklemi yönetmektedir. Bu denklemin
genel çözümü olan (4.12) eşitliğinde uygun sınır şartları kullanıldığında akışın hız profili
elde edilir. Sınır şartları
0urr)2
0u,rr)1
2
1
şeklinde verilebilir. Bu sınır şartları ile integral sabitleri belirlenirse
)r/rln(4
rr)cosg
x
p(C
21
2
1
2
21
1
21
2
1
2
2
2
12 rln
)r/rln(4
rr
4
r)cosg
x
p(C
olur. Bu sabitler hız profili eşitliğine yazılırsa işlem
112
2
1
2
2
2
1
2
r
rln
)r/rln(4
rr
4
rr)cosg
x
p(u
ile neticelenir. Basınç gradyanı hacimsel debi cinsinden ifade edilirse son eşitlik
Gazi Üniversitesi Teknoloji Fakültesi Otomotiv Mühendisliği Bölümü
Prof. Dr. Halit KARABULUT Sayfa 152
112
2
1
2
22
1
2
12
22
1
2
2
4
2
4
1 r
rln
)r/rln(
rrrr
)r/rln(4
)rr(
4
rr
Q
2
1u
olur.
Bilindiği üzere ısı eşanjörlerinde iç-içe geçmiş silindirik borular arasından akış sık
kullanılan bir tasarım seçeneğidir. Akışın türünü belirlemek için verilmiş bir kriter
mevcut değildir. İç borunun çapı iki boru arasındaki boşluktan yeterince büyükse akış iki
plaka arasındaki akışın özelliklerini gösterir.
4.4 Kesiti Tek Düze Olan Kanallarda Tam Gelişmiş Laminer Akış
Bu kanallar dikdörtgen, kare, üçgen veya herhangi bir şekilde olabilir. Bü tür kanallara
özellikle ısı cihazlarında çok rastlanmaktadır. Aşağıda bunların hepsi için geçerli olan bir
momentum denklemi türetilmiştir. Türetilen denklem silindirik borular içinde geçerlidir
ancak, silindirik borudaki akışı yukarıda en kolay yöntemi kullanarak modellemiş
bulunuyoruz.
Tek düze kanallarda hız akış doğrultusunda değişmezken akışa dik olan diğer iki
doğrultuda değişir. Bu akışı yöneten momentum denklemi akışa paralel konumlu
prizmatik bir hacim elemanı üzerinde kuvvet balansı yaparak elde edilebilir. İncelemekte
olduğumuz akış içerisinde bulunan bir hacim elemanına etkiyen yüzey gerilmeleri Şekil
4.4' te gösterilmiştir. Yer çekimini hesap dışı bırakmak için analizler yatay bir kanal için
yapılabilir. Basınç yalnız akış doğrultusunda bir değişim göstermektedir. Basıncın akış
doğrultusundaki gradyanı dp
dx
bir sabittir. Yukarıda incelediğimiz tam gelişmiş
akışlarda olduğu gibi incelemekte olduğumuz tam gelişmiş akışta da ivme sıfır olup
hacim elemanına etkiyen kuvvetlerin bileşkesi sıfır olacaktır. Şekil 4.4' de gösterilen
gerilmelere göre yatay bir kanal içerisindeki akışta hacim elemanına etkiyen kuvvetlerin
balansı
Gazi Üniversitesi Teknoloji Fakültesi Otomotiv Mühendisliği Bölümü
Prof. Dr. Halit KARABULUT Sayfa 153
0
zxzx zx
yx
yx yx
dpp dz dy p dx dz dy dx dy dz dx dy
dx z
dz dx dy dz dxy
(4.19)
olur. Bu eşitliklerde kullanılan alt indislerden birincisi gerilmenin etkidiği yüzeyin
normalini, ikincisi gerilmenin doğrultusunu göstermektedir. Gerekli götürtmeler
yapıldığında eşitlik
0yxzxdp
dx z y
(4.20)
şeklinde kısalır. Bu eşitlikte bulunan sürtünme gerilmeleri Nevton'un ikinci kanununa
göre
Gazi Üniversitesi Teknoloji Fakültesi Otomotiv Mühendisliği Bölümü
Prof. Dr. Halit KARABULUT Sayfa 154
zx
u
z (4.21)
yx
u
y (4.22)
şeklinde ifade edilir. Gerilmeler eşitlik (4.20) de yerine yazıldığında
2 2
2 20
dp u u
dx z y
(4.23)
2 2
2 2
10
u u dp
z y dx
(4.24)
neticesi elde edilir. Son eşitlik Poison denklemi olarak isimlendirilen türden bir
diferansiyel denklemdir. Analitik veya sayısal yöntemlerle çözümü yapılabilir.
4.4.1 Dikdörtgen kesitli kanal için çözüm
Eşitlik (4.24) ün çözümden önce boyutsuzlaştırılması faydalı görülmektedir. Akışın zuhur
ettiği kanalın y ve z doğrultusundaki boyutları H ve L olsun. Bu durumda
u
ULH dp
dx
(4.25)
şeklinde bir birimsiz hız tanımlanabilir. Son eşitlikte bulunan kesrin paydasındaki
büyüklüklerin hepsi sabit değerlerdir. Eşitlik (4.24) ün ihtiva ettiği türevler
2 2
2 2
u LH dp U
y dx y
(4.26)
2 2
2 2
u LH dp U
z dx z
(4.27)
Gazi Üniversitesi Teknoloji Fakültesi Otomotiv Mühendisliği Bölümü
Prof. Dr. Halit KARABULUT Sayfa 155
şeklinde düzenlenebilirler. Akışa dik koordinatlar z
ZL
ve y
YH
şeklinde
boyutsuzlaştırılırsa son iki eşitlik
2 2 2
2 2 2 2
1u LH dp U L dp U
y dx H Y H dx Y
(4.28)
2 2 2
2 2 2 2
1u LH dp U H dp U
z dx L Z L dx Z
(4.29)
şeklinde düzenlenir. Bu türevler eşitlik (4.24) e yazılırsa
2 2
2 2
10
H dp U L dp U dp
L dx Z H dx Y dx
(4.30)
2 2
2 21 0
H U L U
L Z H Y
(4.31)
eşitliği elde edilir. Eğer borunun akış kesiti kare şeklinde ise 1L
H olacaktır.
Boyutsuzlaştırılmış denklemin çözümü kanalın ölçülerini kullanmayı gerektirmemektedir.
Elde edilen bir çözüm /L H oranı aynı olan bütün kanallar için geçerlidir.
Analitik çözüm
Eşitlik (4.31) in analitik çözümü bölüm 3 te tanıtılan değişkenlere ayrıştırma yöntemi ile
yapılmaktadır. Ancak, eşitlik (4.31) sağ taraflı bir denklem olduğu için elde edilen çözüm
minimal düzeyde bir hata ihtiva edecektir.
Eşitlik (4.31) e 2U terimi eklenir çıkarılırsa
2 2
2 2
2 21 0
H U L UU U
L Z H Y
(4.32)
Gazi Üniversitesi Teknoloji Fakültesi Otomotiv Mühendisliği Bölümü
Prof. Dr. Halit KARABULUT Sayfa 156
olur. Denklemin terimleri
2 2
2 2
2 21 0
H U L UU U
L Z H Y
(4.33)
şeklinde gruplanarak
2
2
20
U LU
Z H
(4.34)
2
2
2
U H HU
Y L L
(4.35)
denklemleri elde edilir. Denklem (4.34) ün karakteristiği 2 2 0L
sH olup kökler
1,2
Ls i
H şeklinde belirlenir. Çözüm
sin cosL L
U f Y Z g Y ZH H
(4.36)
olur. Koordinat düzenlemesi Şekil (4.5) de görüldüğü gibi yapılabilir. Bu durumda sınır
şartları
Gazi Üniversitesi Teknoloji Fakültesi Otomotiv Mühendisliği Bölümü
Prof. Dr. Halit KARABULUT Sayfa 157
0, 0Z U (4.37)
1, 0Z U (4.38)
0, 0Y U (4.39)
1, 0Y U (4.40)
şeklinde verilebilir. Eşitlik (4.37) ile verilen sınır şartı eşitlik (4.36) ya uygulanırsa
( ) 0g y olduğu görülür. Bu durumda eşitlik (4.36) ile verilen çözüm
sinL
U f Y ZH
(4.41)
e dönüşür. 0f y kaydı ile son eşitliğe, eşitlik (4.38) ile verilen sınır şartı uygulanırsa
sin 0, 0, , 2 ,...L L
H H
(4.42)
olduğu görülür. Buradan
y
z
L
Sekil 4.5
H
Gazi Üniversitesi Teknoloji Fakültesi Otomotiv Mühendisliği Bölümü
Prof. Dr. Halit KARABULUT Sayfa 158
, 2 ,3 ,....H H H
L L L (4.43)
değerleri belirlenir. Eşitlik (4.41) ile verilen çözüm
1 2sin sin 2 ....L H L H
U f Y Z f Y ZH L H L
(4.44)
1 2sin sin 2 .... sinnU f Y Z f Y Z f Y n Z (4.45)
şeklinde bir Fourier serisine dönüşür. Serinin herhangi bir terimi
sin sink k k k
LU f Y k Z f Y Z
H
(4.46)
şeklinde ifade edilebilir. kf Y leri belirlemek için eşitlik (4.35) kullanılacaktır. Son
eşitlik Y ye göre iki kere türetilerek
2 2
2 2sink kU f
k ZY Y
(4.47)
elde edilir. Son iki eşitlik, eşitlik (4.35) de kullanılarak
2
2
2
sin
kk k
k
f H Hf
Y L LL Z
H
(4.48)
elde edilir. Eşitlik (4.48) sağ taraflı bir denklem olduğu için çözüm, sağ tarafsız
denklemin çözümü ( khf ) ile bir tekil fonksiyon ( kpf ) nin toplamı şeklinde olacaktır. Bu
çözüm
hk k kpf f f (4.49)
Gazi Üniversitesi Teknoloji Fakültesi Otomotiv Mühendisliği Bölümü
Prof. Dr. Halit KARABULUT Sayfa 159
şeklinde ifade edilir. Sağ tarafsız denklem
2
2
20kh
k kh
f Hf
Y L
(4.50)
olup, karakteristiği 2 2 0k
Hs
L olur. Kökler 1,2 k
Hs
L olarak belirlenir. Sağ
tarafsız denklemin çözümü
/ /
1 2k kH L Y H L Y
hf C e C e
(4.51)
olur. Eşitlik (4.48) i sağlayacak bir pf nin belirlenmesi oldukça zor görülmektedir. Bu
zorluğu aşmanın yolu eşitlik (4.48) yerine eşitlik (4.35) i sağlayacak bir PU tekil
fonksiyonu belirleyip, belirlenen PU yi pf nin yerine kullanmaktır. Bu durumda
k kh kPf f U (4.52)
olacaktır. Şüphesiz eşitlik (4.48) in sağlanmamış olması çözümün küçük bir hata ihtiva
etmesine sebep olacaktır.
2 ...kPU a bY cY (4.53)
şeklinde bir kabul yapılırsa, 2
1
k
a
, 0b , 0c olduğu görülür. Bu durumda
2
1kP
k
U
(4.53)
/ /
1 2 2
1k kH L Y H L Y
k
k
f C e C e
(4.54)
olur. Son eşitliğin eşitlik (4.39) ve (4.40) ile verilen sınır şartlarını sağlaması
gerekmektedir. Bu şartlar uygulandığında
Gazi Üniversitesi Teknoloji Fakültesi Otomotiv Mühendisliği Bölümü
Prof. Dr. Halit KARABULUT Sayfa 160
1 2 2
1
k
C C
(4.55)
/ /
1 2 2
1k kH L H L
k
C e C e
(4.56)
eşitlikleri elde edilir. Bu eşitliklerin ortak çözümünden
/
2/ / 2
1k
k k
H L
H L H L
k
eC
e e
(4.57)
/
1/ / 2
1 k
k k
H L
H L H L
k
eC
e e
(4.58)
belirlenir. Bunlar yerine yazılarak
/ / / /
2/ / / /2 2
1 1 1k k k k
k k k k
H L H L Y H L H L Y
kH L H L H L H L
kk k
e e e ef
e e e e
(4.59)
/ /
/ / 2
/ /
2/ / 2
1
sin1 1
k k
k k
k k
k k
H L H L Y
H L H L
k
k kH L H L Y
H L H Lkk
e e
e eL
U ZHe e
e e
(4.60)
elde edilir. Son eşitlikte k
Hk
L yazılarak
Gazi Üniversitesi Teknoloji Fakültesi Otomotiv Mühendisliği Bölümü
Prof. Dr. Halit KARABULUT Sayfa 161
/ /
/ /
2 2/ /
/ /
1
sin1
1
k H L k HY L
k H L k H L
k k H L k HY L
k H L k H L
e e
e e LU k Z
k He e
e e
(4.61)
elde edilir. Çözümün nihai şekli
/ /
/ /
2 2/ /
/ /
1
1
sin1
1
nk H L k HY L
k H L k H L
k H L k HY L
k H L k H L
k
e e
e e LU k Z
k He e
e e
(4.62)
olarak belirlenir. Bu eşitlikten elde edilen boyutsuz hız U eşitlik (4.25) de kullanılarak
gerçek hız u belirlenir.
Sayısal çözüm
Z doğrultusundaki grid sayıcısı i , Y doğrultusundaki grid sayıcısı j olmak üzere eşitlik
(4.31) in sonlu fark şekli
1, , 1, , 1 , , 1
2 2
2 21
i j i j i j i j i j i jU U U U U UH L
L Z H Y
(4.63)
olur. Bu eşitlikten ,i j
U çekilirse
1, 1, , 1 , 1
2 2
,
2 2
1
2 2
i j i j i j i j
i j
U U U UH L
L Z H YU
H L
L Z H Y
(4.64)
Gazi Üniversitesi Teknoloji Fakültesi Otomotiv Mühendisliği Bölümü
Prof. Dr. Halit KARABULUT Sayfa 162
olur. Çözüm bölgesinin sınırlarında ,i j
U belirli olup son eşitlik sınırların içerisinde kalan
gridlere iteratif olarak uygulandığında çözüm elde edilir. Aşağıda görülen KARE isimli
program kare şeklindeki bir kanal için yapılmış sayısal bir çözüm örneğidir.
Gazi Üniversitesi Teknoloji Fakültesi Otomotiv Mühendisliği Bölümü
Prof. Dr. Halit KARABULUT Sayfa 163
4.4.2 Kesiti ikizkenar dik üçgen olan kanal için çözüm
İkizkenar dik üçgen şeklindeki bir kanalda oluşan tam gelişmiş akışın hız dağılımını
belirlemek için Eşitlik (4.24) ün mevcut hali kullanılabilir. Çözüm işleminin sayısal
olarak yapılması gerekmektedir. Söz konusu denklemi ikizkenar dik üçgen şeklinde bir
kanal içerisinde çözmek için geliştirilecek olan FORTRAN programı düzensiz gridler
sebebi ile biraz uzunca olmaktadır. Programın kısa olması için verilen çözüm bölgesini
normalize etmek gerekmektedir. Yani üçgen şeklindeki çözüm bölgesini dikdörtgen yada
kare şekline dönüştüren bir koordinat transformasyonu kullanmak gerekmektedir.
Şekil 4.7 de görüldüğü üzere çözüm bölgesinde z eksenine paralel herhangi bir çizgi
üzerinde z nin değişme aralığı 0m
z z şeklinde ifade edilebilir. Söz konusu çizgi
üzerinde
m
z
z y (4.65)
Gazi Üniversitesi Teknoloji Fakültesi Otomotiv Mühendisliği Bölümü
Prof. Dr. Halit KARABULUT Sayfa 164
şeklinde bir değişken tanımlanırsa nın değişme aralığı 0 1 olacaktır. Şekil 4.8 de
nın sabit kaldığı çizgiler görülmektedir. Bu çizgiler , y koordinat düzleminde şekil 4.9
daki gibi olacaktır. Verilen üçgen ikizkenar dik üçgen olduğu için
mz y y
şeklinde ifade edilebilir. Bu durunda son eşitlik
z
y (4.66)
olur. Verilen üçgenin y doğrultusundaki dik kenarının uzunluğu L olmak üzere
y
L (4.67)
şeklinde bir koordinat dönüşümü daha yapılırsa çözüm bölgesi şekil 4.10 da görüldüğü
üzere bir kareye dönüşmektedir.
Dönüştürme işlemi bölüm 3 de yapıldığı gibi yapılabilir. Son iki eşitlikten eski
koordinatlar
z y L (4.68)
z
y
zm
Sekil 4.7
Gazi Üniversitesi Teknoloji Fakültesi Otomotiv Mühendisliği Bölümü
Prof. Dr. Halit KARABULUT Sayfa 165
y L (4.69)
şeklinde ifade edildikten sonra her iki eşitlik z ye göre kısmi türev işlemine tabi tutulursa
1L Lz Z
(4.70)
0Lz
(4.71)
elde edilir. Son iki eşitlikten
0z
1
z L
olduğu görülür. Hızın z ye göre kısmi türevi
1u u u u
z z z L
(4.72)
olarak belirlenir. Hızın z e göre ikinci kısmi türevi
2 2
22 2
1 1 1 1u u u u
z z L L L L
(4.73)
olur. Eşitlik (4.68) ve (4.69) y ye göre kısmi türev işlemine tabi tutulursa
y L
(4.74)
1
y L
(4.75)
elde edilir. Hızın y ye göre kısmi türevi
1u u u u u
y y y L L
(4.76)
Gazi Üniversitesi Teknoloji Fakültesi Otomotiv Mühendisliği Bölümü
Prof. Dr. Halit KARABULUT Sayfa 166
olarak belirlenir. Hızın y ye göre ikinci kısmi türevi
2
2
1 1
1 1
u u u u u
y y L L L L L
u u
L L L
(4.77)
2
2
1 1 1u u u u u
y L L L L L L
(4.78)
2 2 2
2 2
2 2
2 2
1 1
1 1
u u u u
y L L L L
u u u
L L L L
(4.79)
22 2 2 2
22 2 2 2 2
12 2
u u u u u
y L L LL
(4.80)
olur. Eşitlik (4.24)
2 2 2 2
2 22 2 2 2
1 1 12 2 0
u u u u dp
L L dxL L
(4.81)
şeklinde düzenlenir. U boyutsuz hız olmak üzere son eşitlikte
2L dp
u Udx
(4.82)
dönüşümü yapılırsa
2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
2 2
1 1 1 1
U U U U
(4.83)
eşitliği elde edilir.
Gazi Üniversitesi Teknoloji Fakültesi Otomotiv Mühendisliği Bölümü
Prof. Dr. Halit KARABULUT Sayfa 167
Son eşitliğin sınır şartları
0, 0U
1, 0U
0, 0U
1, 0U
şeklinde belirmektedir.
Sekil 4.8
z
y
Gazi Üniversitesi Teknoloji Fakültesi Otomotiv Mühendisliği Bölümü
Prof. Dr. Halit KARABULUT Sayfa 168
Sekil 4.9
y
Sekil 4.10
Gazi Üniversitesi Teknoloji Fakültesi Otomotiv Mühendisliği Bölümü
Prof. Dr. Halit KARABULUT Sayfa 169
Gazi Üniversitesi Teknoloji Fakültesi Otomotiv Mühendisliği Bölümü
Prof. Dr. Halit KARABULUT Sayfa 170
Eşitlik (4.83) in sonlu fark şekli
1,
1, 1,2 2 2 2
, 1, , 1 1, 12 2
2 22
, 1 , 12 2 2 2 2
2 2 1 1 2
1 1
2 1 2 1
1 1
2 1
1 1 1
i j
i j i j
i j i j i j i j
i j i j
UU U
U U U U
U U
(4.83)
olur. Bu eşitlikte yönünde i sayıcısı, yönünde j sayıcısı kullanılmıştır. Görüldüğü
üzere son eşitlikte kanalın gerçek ölçülerini gösteren hiçbir değer yoktur. Bu sebeple elde
edilen çözüm aynı geometriyi taşıyan farklı büyüklüklerdeki bütün kanallar için geçerli
olmaktadır.
Gazi Üniversitesi Teknoloji Fakültesi Otomotiv Mühendisliği Bölümü
Prof. Dr. Halit KARABULUT Sayfa 171
Çalışma Soruları
Soru 1
Yatay konumlu iki paralel plaka arasındaki tam gelişmiş laminer akışı
p
x
u
x
2
20
denklemi yönetmektedir. Hız profilini belirleyin.
Soru 2
Yatay konumlu silindirik bir boru içerisindeki tam gelişmiş laminer akışı
Gazi Üniversitesi Teknoloji Fakültesi Otomotiv Mühendisliği Bölümü
Prof. Dr. Halit KARABULUT Sayfa 172
0)r
ur(
rx
pr
denklemi yönetmektedir. Hız profilini belirleyin.
Soru 3
Dikdörtgen kesitli eğik konumlu düz kanallardaki akışı yöneten momentum denklemini
yer çekimini hesaba katarak türetiniz.
Soru 4
Boyutları 20x20 mm olan bir kanaldan 2 m/s ortalama hızla su geçmektedir. Kanalın dik
kesitindeki hız dağılımını belirleyiniz.
Soru 5
Çapı 50 mm olan yarım daire kesitli bir kanaldan 1 m/s ortalama hızla su geçmektedir.
Akış yönündeki basınç gradyanını belirleyin.
Soru 6
Kenarlarının uzunluğu 50 mm olan, eşkenar üçgen şeklindeki bir borunun içerisinden 1
m/s ortalama hızla su geçmektedir. Akış yönündeki basınç gradyanını belirleyin.
BÖLÜM 5:
BOYUT ANALİZİ VE HİDRODİNAMİK BENZEŞİM
Makinelerin ve yapıların mühendislik hesapları yapılırken lüzumlu olan teknik verilerin
bir kısmı literatürden alınabilir. Bazıları da analize dayanan yöntemlerle elde edilebilir.
Mesela bir otomobilin ihtiyaç duyduğu motor gücü hesaplanırken taşıtın karşılaşacağı
rüzgar direnci gerekli olur. Bunu belirlemek için daha önceden gördüğümüz potansiyel
akış yaklaşımı bir araç olarak kullanılabilir. Hakikatte bir taşıtın çevresindeki akış
türbülanslı viskoz akıştır. Teorik yaklaşımlarla elde edilen rüzgar direnci çok güvenilir
olmadığı için daha çok deneysel veriler kullanılmaktadır. Deneysel veriler bir model
üzerinde ölçme yapmak suretiyle elde edilmektedir. Modelden alınan veriler doğrudan
Gazi Üniversitesi Teknoloji Fakültesi Otomotiv Mühendisliği Bölümü
Prof. Dr. Halit KARABULUT Sayfa 173
tasarımda ihtiyaç duyulan veriler olmayıp ihtiyaç duyulan verilerin deneysel ham
verilerden çıkarılması boyut analizi sayesinde mümkün olmaktadır. Modelin
hazırlanmasında ve model üzerinde yapılacak deneylerde kullanılacak parametrelerin
belirlenmesinde boyut analizinin önemi büyüktür.
5.1 Boyut Analizi ile Deney Sonuçlarının Korelasyonu
Bilumum fiziki süreçler bir takım bağımsız dış etkenlere tabidir. Bunlara kısaca girdi
denmektedir. Fiziki sürecin neticeleri veya süreç esnasında görülen bir takım fiziki
değerlerde çıktılar olarak tabir edilmektedir. Mesela bir cismin hava içerisinde serbest
düşmesini ele alırsak, yer çekimi ivmesi, havanın yoğunluğu, havanın viskozitesi, düşme
yüksekliği ve düşen cismin geometrisi gibi faktörler girdilerdir. Düşme olayının süresi,
yere çarpma hızı ve çarpma anındaki kinetik enerji gibi büyüklüklerde sürecin çıktılarıdır.
Halihazırda kullanmakta olduğumuz SI birim sisteminde uzunluk (L), kütle (M), zaman
(T) ve sıcaklık )( temel boyutlar olup bunların haricinde kalan fiziki büyüklükler buların
muhtelif kombinasyonlarıdır. Bir akış sürecinin girdileri ile çıktılarının ilişkisini kurmak
için Buckingham ın Teoremi olarak bilinen bir metot geliştirilmiştir. Bu maksatla girdi
ve çıktıların üsleri belirlenir ve sonra üssü aynı olan büyüklükleri sınıflayarak boyutsuz
sayılardan oluşan bir eşitlik elde edilir. Elde edilen eşitlikte değeri belirsiz sabitler
bulunmaktadır. Bunların değeri deneysel çalışma ile tayin edilir.
Bir örnek olarak şekil 5.1 deki sabit kesitli borudan geçen suyun ortalama hızını ele
alalım. Hız suyun viskozitesine, yoğunluğuna, boru çapına, boru boyuna, yükseklik
farkına, suyun yoğunluğuna ve yer çekimi ivmesine bağlıdır.
V f D h g ( , , , , , ) (5.1)
Bu eşitlikte bulunan büyüklüklerin LMT boyutları
Gazi Üniversitesi Teknoloji Fakültesi Otomotiv Mühendisliği Bölümü
Prof. Dr. Halit KARABULUT Sayfa 174
u L T 1 (5.2)
L (5.3)
D L (5.4)
h L (5.5)
M L T1 1 (5.6)
M L 3 (5.7)
g L T 2 (5.8)
şeklinde olacaktır. Boru içindeki ortalama hızı , , , ,d h ve g nin
V K D h ga b c d e f (5.9)
şeklinde bir fonksiyonu olarak düşünebiliriz. Son eşitlikte bulunan K boyutsuz bir sabittir.
Bu eşitlikte büyüklüklerin yerine boyutları yazılırsa işlem
Gazi Üniversitesi Teknoloji Fakültesi Otomotiv Mühendisliği Bölümü
Prof. Dr. Halit KARABULUT Sayfa 175
L T L L L M L T M L L Ta b c d e f 1 1 1 3 2( ) ( ) ( ) (5.10)
şeklinde bir boyut denklemi ile neticelenir. Son denklemin iki tarafının boyutça denk
olması için iki taraftaki L, M ve T nin üslerinin kıyaslamasından sırası ile,
a b c d e f 3 1 (5.11)
d e 0 (5.12)
d f 2 1 (5.13)
denklemleri elde edilir. Bu eşitliklerde bulunan a, b ve c yi bilinen kabul edip d, e ve f yi
çözelim.
e a b c 2
3
1
3( ) ,
d a b c 1
3
2
3( ) ,
f a b c 1
3
1
3( )
olarak belirlenir. Bunlar eşitlik (5.9) da yerine yazılır ve üssü bilinen büyüklükler eşitliğin
solunda üssü bilinmeyenler sağında toplanırsa
)cba(
3
13
2
cba
3
1
ghDKg
V
(5.14)
Gazi Üniversitesi Teknoloji Fakültesi Otomotiv Mühendisliği Bölümü
Prof. Dr. Halit KARABULUT Sayfa 176
eşitliğine varılır. Son eşitliğin sağ tarafı cbaD çarpılır ve bölünürse
cba
3
13
2ca
3
1
gDD
h
DK
gV
(5.15)
elde edilir. Eşitlik (5.15) de bulunan (a+b+c) yerine yeni bir sembol koymak faydalı
olacaktır, (a+b+c)=s denilirse eşitlik
s
3
13
2ca
3
1
gDD
h
DK
gV
(5.16)
olur. Eşitliğin sağında bulunan her boyutsuz gurup bir bağımsız değişken olarak
görülebilir. Bu eşitlikte bulunan K, a, c, ve s sabitleri deneyle belirlendiğinde ortalama
hızın bir ampirik formülü elde edilir. Ancak bu tür formüller deneylerde kullanılan
değerlerden uzaklaştıkça doğruluğunu kaybeder.
Eşitliğin sağında 4 tane sabit bulunduğu için farklı girdilerle en az 4 tane deney yapmak
gerekir. Eşitliğin sağında bulunan boyutsuz gurupların değişik değerlerinde çok sayıda
deney yapılabiliyorsa sabitleri Least-Square metodu ile belirleyerek boyutsuz sayıların
geniş aralığında kullanılabilen ampirik eşitlikler elde edilebilir. Eşitlikte bulunan boyutsuz
sayı adedi arttıkça eşitliğin elde edilmesi zorlaşır. Böyle hallerde sadece grafik
verilmektedir.
Bu yolla elde edilen ampirik bağıntılar boyutsuz sayılardan oluştuğu için herhangi bir
akışkanı kullanarak oluşturulan ampirik bağıntı her akışkan için geçerlidir.
Gazi Üniversitesi Teknoloji Fakültesi Otomotiv Mühendisliği Bölümü
Prof. Dr. Halit KARABULUT Sayfa 177
5.1.a Korelasyonun Sabitlerinin Belirlenmesi
Örnek olarak eşitlik (5.16) da bulunan K, a, c ve s sabitlerini ele alalım. Eşitlik (5.16) yi
3
1
gVI
, (5.17)
JD
, (5.18)
Mh
D , (5.19)
2
13
3D gN
(5.20)
kısaltmalarını kullanarak
I K J a c s M N (5.21)
şeklinde yazalım. Her iki tarafın logaritması alındığında
ln I ln K a ln J c ln M s ln N
olur. Son eşitlikteki lnK yı ile değiştirip, eşitliği yeniden düzenleyerek cebirsel
denklemlerin standart şekline getirelim,
a ln J c ln M s ln N ln I . (5.22)
Gazi Üniversitesi Teknoloji Fakültesi Otomotiv Mühendisliği Bölümü
Prof. Dr. Halit KARABULUT Sayfa 178
Şimdi sırası ile 1, 2, 3 ve 4 numaralı deneylerin girdi ve sonuçlarını son eşitliğe yazarsak
a ln J c ln M s ln N ln I1 1 1 1 (5.23)
a ln J c ln M s ln N ln I2 2 2 2 (5.24)
a ln J c ln M s ln N ln I3 3 3 3 (5.25)
a ln J c ln M s ln N ln I4 4 4 4 (5.26)
şeklinde bir denklem takımı elde edilir. Denklem takımı matris formunda yazılırsa
1
1
1
1
1 1 1
2 2 2
3 3 3
4 4 4
1
2
3
4
ln ln ln
ln ln ln
ln ln ln
ln ln ln
ln
ln
ln
ln
J M N
J M N
J M N
J M N
a
c
s
I
I
I
I
(5.27)
olur. Son eşitlikten , a, c, ve s sabitleri belirlenir. Bunlar eşitlik (5.16) da yerine
yazıldığında istenilen korelasyon belirlenmiş olur. Bu korelasyon deneylerde kullanılan J,
M ve N değerlerinden uzaklaştıkça doğruluğunu yitirir.
Boyutsuz sayılar J, M ve N nin geniş aralığında yapılmış çok sayıda deneysel data var ise
bu datalar’ın tamamını kapsayan bir korelasyon oluşturmak mümkündür. Bu durumda ,
a, c, ve s sabitlerinin belirlenmesinde Least-Square yöntemini kullanmak gerekir. Bu
yöntemin uygulanışı burada açıklanmayacaktır. Bunun için okuyucular bir sayısal analiz
kitabına başvurması gerekir.
Gazi Üniversitesi Teknoloji Fakültesi Otomotiv Mühendisliği Bölümü
Prof. Dr. Halit KARABULUT Sayfa 179
5.2 Sık Görülen Boyutsuz Sayıların Tanıtımı
Yukarda olduğu gibi korelasyon amacı ile bir boyut analizi yapıldığında boyutsuz
sayılardan oluşan bir eşitlik ortaya çıkar. Ayrıca akışkan hareketini yöneten eşitlikler
boyutsuzlaştırıldığında yine boyutsuz sayılar görülür. Bu sayılar deneysel akışkanlar
mekaniğinde büyük öneme haizdir.
Reynold Sayısı
Atalet kuvvetleri viskoz kuvvetlere oranlandığında Reynold sayısı bir parametre olarak
ortaya çıkar. Kesiti değişen bir boru içerisindeki akışın ivmesinden doğan kuvvetin cidar
sürtünmesine oranı alınarak Reynold
sayısının genel şekli belirlenebilir. Uzunluğu olan şekil 5.2 deki gibi sabit bir elemana
etkiyen atalet kuvveti elemanın içerisindeki ivme ile elemanın içerisindeki kütlenin
çarpımına eşittir.
Vdx
dV
4
dF
2
a
(5.28)
Elemana etkiyen viskoz kuvvet elemanın boru cidarına temas eden yan yüzeyindeki
sürtünme olup Newton’un ikinci kanunu ile hesaplanır.
l
Sekil 5.2
Gazi Üniversitesi Teknoloji Fakültesi Otomotiv Mühendisliği Bölümü
Prof. Dr. Halit KARABULUT Sayfa 180
dr
dVdFvis (5.29)
Bu kuvvetlerin oranı alınırsa
Vd
dr
dVdx
dV
F
F
vis
a (5.30)
olur. Akışın zuhur ettiği değişken kesitli borunun belirli bir yerindeki çapı karakteristik
uzunluk Dc, yine belirli bir yerindeki hızı karakteristik hız Vc kabul etmek sureti ile son
eşitlik boyutsuz formda
cc
vis
a VDVd
dr
dV
dx
dV
F
F (5.31)
şeklinde yazılabilir. Bu eşitlikte bulunan D Vc c
boyutsuz gurubu Reynold sayısı olarak
isimlendirilir. Reynold sayısını göstermede R e sembolü kullanılmaktadır.
Gaz akışlarının hızını ölçmede kullanılan ventürimetreler Reynold sayısının kullanıldığı
yerlere bir örnek olarak verilebilir. Bilindiği üzere Ventürimetrelerde Ventüri boğazı
olarak isimlendirilen bir kısım mevcuttur. Bu boğazdan gecen akışkan hızı /PCV
ile hesaplanmaktadır. Bu eşitlikte bulunan C deneysel belirlenen bir sabittir. Boğazdaki
akış Reynold sayısı ile değişim gösterir. Bununla birlikte C nin belirlenen bir değeri
Reynold sayısının belirli bir aralığında kullanılabilmektedir. Aynı Ventürimetre ile çok
farklı debilerde hız ölçümü yapabilmek için geometrik olarak tam benzer farklı çapta
Gazi Üniversitesi Teknoloji Fakültesi Otomotiv Mühendisliği Bölümü
Prof. Dr. Halit KARABULUT Sayfa 181
boğazlar kullanılmaktadır. Boğazlardan birisi için belirlenen C sabiti diğerleri içinde
doğrudur. Farklı çaplarda boğazlar kullanmanın gayesi Reynold sayısını belirli bir aralıkta
sınırlı tutmaktır.
Froude Sayısı
Atalet kuvvetinin yerçekimi kuvvetine oranı alındığında beliren bir boyutsuz
parametredir. Bir akışkan elemanına etkiyen atalet kuvveti yerçekimi ile bölünürse
F F a ga G/ / (5.32)
olur. Eşitlik
F FdV
ds
V
ga G/ (5.33)
şeklinde düzenlenebilir. Hız V V Vc , yol s s olmak üzere son eşitlik yeniden
düzenlenirse
ds
dVV
g
VF/F
2
c
Ga
(5.34)
yazılabilir. Son ilişkinin sağ tarafında bulunan g
V 2
c
Froude sayısı olup Fr sembolü ile
gösterilir.
Mach Sayısı
Gazi Üniversitesi Teknoloji Fakültesi Otomotiv Mühendisliği Bölümü
Prof. Dr. Halit KARABULUT Sayfa 182
Akışkan hızının aynı akışkanın içerisinde sesin yayılma hızına oranı V C/ mach sayısı
olarak isimlendirilmektedir. Mach sayısını göstermede M kullanılmaktadır. Sıkıştırılabilir
akışkanların hareketinin incelenmesinde mach sayısı önem arz etmektedir.
Euler Sayısı
Basınç kuvvetinin atalet kuvvetine oranı Euler sayısı olarak isimlendirilmektedir. Bir akış
çizgisi üzerinde akışa dik kesit alanı dA uzunluğu ds olan prizmatik bir hacim elemanına
etkiyen anlık basınç kuvvetinin atalet kuvvetine oranını
ds
dVV
ds
dp
ds
dVVsA
Asds
dp
F/F aP
(5.35)
şeklinde hesaplanabilir. Basınç P P Pc , hız V V Vc , yol s s olmak üzere son
eşitlik düzenlenirse
2
c
c
aPV
p
ds
dVV
ds
dp
F/F
(5.36)
elde edilir. Son eşitlikte bulunan 2
c
c
V
p
Euler sayısı olup E u sembolü ile gösterilmektedir.
Akışkanlar mekaniğinde çok miktarda boyutsuz sayı olup burada değinilenler safi
birkaçıdır.
Gazi Üniversitesi Teknoloji Fakültesi Otomotiv Mühendisliği Bölümü
Prof. Dr. Halit KARABULUT Sayfa 183
Boru içi viskoz akışlarda basınç kaybının hesabında boyutsuz sayılar cinsinden verilmiş
deneysel bilgiler kullanılmaktadır. Bundan sonraki bölümde boru içi viskoz akışa ait
deneysel bilgilerin boyutsuz sayılar cinsinden taktim edilmesi ve kullanılması
açıklanacaktır.
5.3 Model Teorisi
Bir fiziki sistemin modeli söz konusu fiziki sistemin belirli şartlar altındaki davranışlarını
belirlemek üzere yapılmış bir örneğidir. Modeller fiziki sistemin tam benzeri olması
gerekir ancak bazı hallerde tam benzerini yapmak mümkün olmaz ve farklılık kabul edilir.
Gerçek sistemin hangi özelliği tahmin edilmek isteniyorsa ona etki eden parametreler
arasında bir boyut analizi yapılır. Boyut analizi aranan özelliği boyutsuz sayılar cinsinden
ifade eder. Boyut analizinde beliren boyutsuz sayıların sayısal değeri hem model hem de
prototipte aynı olmak zorundadır. Bu sayıların denk olması modeldeki akışın gerçek
sistemdeki akışa benzerliğini garanti edecektir.
Şekil 5.3 de bulunan A noktasının büyük küreye göre pozisyonu ile B noktasının küçük
küreye göre pozisyonu aynıdır. A noktasındaki akışkan taneciğinin yörüngesi ile B
noktasındaki akışkan taneciğinin yörüngesinin benzer olması için her iki noktadaki
akışkan taneciklerinin ivme vektörü benzer olmalıdır. İvme vektörünü tayin eden
kuvvetlerden birisi viskoz kuvvet olup Reynold sayısı ivme ile viskoz kuvvet arasında bir
ilişkidir. Bu sebeple yörüngelerin yada akış çizgilerinin benzer olması için her iki küre
çevresindeki akışın Reynold sayısı eşit olmak zorundadır.
Deneyde kullanılması gereken akışkanın hız, yoğunluk, basınç, viskozite gibi değerleri
boyutsuz sayıların denkliğinden faydalanarak belirlenir ve deneyler yapılır. Sonra deney
sonuçları değerlendirilerek tasarlanacak sistemin verileri elde edilir.
Gazi Üniversitesi Teknoloji Fakültesi Otomotiv Mühendisliği Bölümü
Prof. Dr. Halit KARABULUT Sayfa 184
Bir örnek olarak hava akımına karşı duran büyük bir kürenin önceden bilinen bir akış
hızında göreceği rüzgar kuvvetini ele alalım. Rüzgar kuvveti; rüzgar hızının, havanın
yoğunluğunun, havanın viskozitesinin ve küre çapının bir fonksiyonudur.
F f V dD ( , , , ) (5.37)
Bu eşitlikten boyut analizi ile
d VKF
2D (5.38)
ifadesi elde edilir. Son eşitlikte boyutsuz sayı olarak sadece Reynold sayısı
bulunmaktadır. Bu sebeple gerçek küredeki Reynold sayısının modeldekine eşit olması
kinematik ve dinamik benzerlik için yeterli olacaktır. Hava akımına karşı duran kürenin
maruz olduğu akış hızından Reynold sayısı belirlidir. Aynı Reynold sayısı ile modelin
teste tabi tutulması gerekir.
Bu şarttan faydalanarak deneyde kullanılacak akışkanın özellikleri ve hızı belirlenir. Alt
indis m, modele ait değerleri göstermek üzere Reynold sayılarının denkliğinden hız;
A
B
Sekil 5.3
Gazi Üniversitesi Teknoloji Fakültesi Otomotiv Mühendisliği Bölümü
Prof. Dr. Halit KARABULUT Sayfa 185
Vd
dVm
m
m m
(5.39)
olarak çekilir. Burada gaye bir korelasyon elde etmek olmadığına göre K ve sabitlerini
belirlemek üzere çok sayıda deney yapmaya gerek yoktur. Yukarda belirlenen hızda
yapılan bir deneyle modele gelen kuvvet ölçülür. Sonra,
F FD D m
m
m
2 2 (5.40)
eşitliğinden gerçek küreye söz konusu akış hızında gelen rüzgar kuvveti FD hesaplanır.
Küre geometrik olarak her bakış açısından simetrik bir cisim olup bir tek boyutu (d)
mevcut olduğu için bu örnekte bir tek boyutsuz sayı R e belirdi. Boyut analizi yapıldığında
diğer cisimlerde geometrik benzerliğin gerektirdiği başka boyutsuz sayılarda ortaya çıkar.
Ölçüleri h ve w olan dikdörtgen biçimindeki bir levhanın akış doğrultusuna dik olacak
şekilde durması halinde levhaya gelecek rüzgar kuvvetini bir model çalışması ile
belirlemeye çalışalım. Levhaya gelecek olan kuvvet;
F f h w UD ( , , , , ) (5.41)
şeklinde düşünülebilir. Boyut analizi yapıldığında işlem
F KU h U w
D
2
(5.42)
ile neticelenir. Eşitlik (5.42) aşağıdaki cebirsel işlemlerle daha kısa bir forma
dönüştürülmektedir.
Gazi Üniversitesi Teknoloji Fakültesi Otomotiv Mühendisliği Bölümü
Prof. Dr. Halit KARABULUT Sayfa 186
FU h
KU h U w U h
D
2
,
FU h
KU h w
hD
2
,
F KU h w
hD
2
. (5.43)
Eşitlik (5.43) ün gereği olarak
U h U h
m
(5.44)
w
h
w
hm
(5.45)
neticeleri yazılabilir. Eşitlik (5.44) akışın dinamik yönden benzerliğini garanti ederken
eşitlik (5.45) modelin geometrik yönden benzerliğini gerekli göstermektedir. Gerçek
sistemde Reynold sayısı bilinmektedir. Bu değer eşitlik (5.44) de kullanılarak deneyde
işletilecek U belirlenir.
Sıkıştırılabilir akışkanların ses ve ses üstü hızlardaki akışını model çalışması ile simüle
etmek mümkün değildir. Çünki ses ve ses üstü hızlarda boyutsuz sayılarla dinamik
benzerliği garanti etmek mümkün değildir.
Çalışma Soruları
Soru 1
Boyut analizi ile debiyi yoğunluk, basınç ve yarıçapın fonksiyonu Q f p d ( , , ) olarak
ifade edin.
Gazi Üniversitesi Teknoloji Fakültesi Otomotiv Mühendisliği Bölümü
Prof. Dr. Halit KARABULUT Sayfa 187
Soru 2
Hava akımına karşı duran dikdörtgen biçimli bir plakaya gelen rüzgar kuvvetini boyut
analizi ile ifade edin. F f h w UD ( , , , , ) , h ve w plakanın boyutlarıdır.
Soru 3
Küre şeklinde bir cisim içerisinden su geçen silindirik bir borunun merkezine
yerleştiriliyor. Küresel cisme gelen sürükleme kuvvetini boyut analizi ile
F f V d DD ( , , , , ) şeklinde ifade edin.
Soru 4
Çapları 50 mm ve 200 mm olan iki küre yapın. Her iki küreyi rüzgar tünelinde 10 m/s
rüzgar hızına karşı test ederek rüzgar kuvvetini belirleyin. Küçük kürenin deneysel
sonuçlarını kullanarak büyük küreye gelen rüzgar kuvvetini hesaplayın ve deneysel
yoldan bulduğunuz kuvvetle kıyaslayın.
Soru 5
Sesin havada yayılma hızını C f R T ( , , , ) kabul ederek boyut analizi ile inceleyin.
Yoğunluğun ve dinamik viskozitenin etkisiz olduğunu gösterin.
Gazi Üniversitesi Teknoloji Fakültesi Otomotiv Mühendisliği Bölümü
Prof. Dr. Halit KARABULUT Sayfa 188
BÖLÜM 6: BORU İÇİ AKIŞLARDA BASINÇ KAYBI
Boru içi akışlar mühendisliğin her dalında önem taşıyan bir akışkanlar mekaniği problemidir. Su
şebekeleri, ısıtma ve soğutma sistemleri, petrol ve doğal gaz boru hatları, kanalizasyon sistemleri
boru içi akışın örnekleridir. Boruların akış kesiti geometrisi kullanım alanına göre değişiklik
gösterir. Basınç kaybının az olması isteniyorsa silindirik boru tercih edilir. Boruların pürüzlülük
derecesi, akışın hızı ve akışkanın viskozitesi basınç kaybını tayin eden etkenlerdir. Boru
tasarımında daha çok deneysel bilgi kullanılmaktadır. Mevcut deneysel bilgiler silindirik borular
için verilmekte ancak silindirik olmayan borularda da kullanılabilmektedir.
Boru içi akış problemin de üzerinde durulan husus viskoz sürtünmenin sebep olduğu basınç
değişiminin belirlenmesidir. Borunun giriş ucundan çıkış ucuna doğru azalan bir basınç dağılımı
mevcuttur. Borunun iki ucu arasındaki basınç farkı akışkanlar mekaniğinde yük kaybı veya
basınç kaybı olarak isimlendirilmektedir. Laminer akışta akışkan parçacıkları birbirini kesmeyen
çizgiler üzerinde hareket ederken türbülanslı akışta akışkan parçacığının izlediği yol son derece
karmaşıktır. Türbülanslı akışta basınç farkı daha çok olup akışkanı pompalamak için daha fazla
güç harcamak gerekir.
Bölüm 4 te bir boyutlu laminer akış konusu işlenirken boru içi akış, giriş bölgesi ve tam gelişmiş
akış bölgesi olmak üzere iki kısma ayrılmıştı. Boru içindeki akış ister laminer olsun ister
türbülanslı giriş bölgesi ve tam gelişmiş akış bölgesi mevcuttur. Ancak türbülanslı akışta giriş
bölgesi daha kısa olur. Deneysel çalışmaların sonucu olarak laminer ve türbülanslı akışın giriş
bölgesi uzunluğu e nin boru çapına oranı sırası ile,
0.06eeR
d (6.1)
1/64.4eeR
d (6.2)
Gazi Üniversitesi Teknoloji Fakültesi Otomotiv Mühendisliği Bölümü
Prof. Dr. Halit KARABULUT Sayfa 189
şeklinde belirlenmiştir. Borunun giriş ucu geniş bir rezerve açılıyorsa giriş bölgesi akışı laminerle
başlayıp türbülanslı ile devam edebilir. Pratikte özel amaçlarla silindirik olmayan borularda
kullanılmaktadır. Literatürde bunlar için verilmiş giriş uzunluğu kriterlerine rastlanmamaktadır.
Isıtma ve soğutma tekniğinde türbülans lehte çalışan bir özellik olup boru içindeki akışta ısı
iletimini kuvvetlendirmektedir. Isı transferinde boru içi akışın hız profili de önem arz etmektedir.
6.1 Boru İçi Akışın Enerji Denklemi
Şekil 6.1 de görülen boru bölmesine sıkışmaz bir akışkanın sürekli akışı için bir dt zaman dilimi
içerisinde 1 kesitinden giren ve 2 kesitinden çıkan enerjileri balanslayalım.
Borunun 1 kesitinden boru bölmesine dt süresinde giren hacim üzerinde harici kuvvetin (
hacmi göstermek üzere) yaptığı iş,
W p din in 1( ) (6.3)
olup bu iş boru bölmesine giren enerji sınıfına dahildir. Boru bölmesine giren akışkan hızından
dolayı bir kinetik enerjiye, yüksekliğinden dolayı bir potansiyel enerjiye ve sıcaklığına bağlı
olarak muayyen bir iç enerjiye de sahiptir. Bunlar akışkanın akarken beraberinde taşıdığı enerjiler
olup birim kütle başına
Gazi Üniversitesi Teknoloji Fakültesi Otomotiv Mühendisliği Bölümü
Prof. Dr. Halit KARABULUT Sayfa 190
uzgV2
1e 2 (6.4)
olur. Boru bölmesine dt süresinde 1 kesitinden giren toplam enerji
in11
2
1in1in )d()uzgV2
1()d(pE (6.5)
olarak belirlenir. Aynı yaklaşımla 2 kesitinden çıkan enerji
O22
2
2O2o )d()uzgV2
1()d(pE (6.6)
olarak yazılır. Boru cidarı ısı geçirmez bir malzeme olarak düşünülürse 1 kesitinden giren toplam
enerji ile 2 kesitinden çıkan toplam enerji birbirine eşit olmak zorundadır. Çünkü 1 ve 2
kesitlerinin arasında herhangi bir enerji kaynağı yoktur. Sonuç,
O22
2
2
O2in11
2
1in1
)d()uzgV2
1(
)d(p)d()uzgV2
1()d(p
(6.7)
olur. Akışın sürekli ve sıkışmaz olması nedeni ile boru bölmesine giren ve çıkan hacimler eşittir.
Buna göre eşitlik,
)uzgV2
1(p)uzgV
2
1(p 22
2
2211
2
11 (6.8)
olarak kısalır. Borunun sabit kesitli olması nedeni ile 1 ve 2 kesitlerindeki hızlar da eşittir. Son
eşitlik bu şart dikkate alınarak düzenlenirse,
)g
uu(z
g
pz
g
p 122
21
1
(6.9)
elde edilir. Son eşitlikte bulunan ( )u u2 1 terimi viskoz sürtünme nedeni ile sıkışmaz akışkanın
iç enerjisindeki artışı göstermektedir. Eşitlik (6.9) un terimleri uzunluk boyutunda olduğu için
( ) /u u g2 1 yerine hf gibi bir yükseklik konulabilir.
Gazi Üniversitesi Teknoloji Fakültesi Otomotiv Mühendisliği Bölümü
Prof. Dr. Halit KARABULUT Sayfa 191
f2
21
1 hzg
pz
g
p
(6.10)
Son eşitlikte bulunan h f viskoz sürtünmenin sebep olduğu basınç kaybını sıvı sütununa
dönüştüren yüksekliktir. Aynı yükseklik viskoz sürtünmenin sebep olduğu enerji kaybını
potansiyel enerji cinsinden gösteren bir yükseklik olarak ta düşünülebilir. Akışın türü ister
laminer olsun ister türbülanslı son eşitlik geçerlidir. Eşitlik
f1221 h)zz(
g
pp
(6.11)
yada t21 hg/)pp( olmak üzere
f12t h)zz(h (6.12)
şeklinde düzenlenebilir. Bu eşitlikte sağdaki birinci terim borunun iki ucu arasındaki yükseklik
farkını, ikinci terim viskoz sürtünmeden doğan basınç kaybının karşılığı olan sıvı sütunu
yüksekliğini göstermektedir. Akışkanı pompalamak için kullanılacak olan pompanın basma
yüksekliği son eşitlik ile belirlenir.
6.2 Laminer Boru Akışında Basınç Kaybının Akışkan Sütunu Olarak İfadesi
Bölüm 4 de silindirik bir boru içerisindeki laminer akışın hız profili belirlenmiş ve basınç
gradyanı
4
wr
8Qcosg
x
p
(6.13)
şeklinde ifade edilmişti. cos / dz dx olmak üzere son eşitlik
4
wr
8Q
dx
dzg
x
p
(6.14)
şeklinde yazılabilir. Son eşitlik x1 ve x2 arasında integrallenirse
Gazi Üniversitesi Teknoloji Fakültesi Otomotiv Mühendisliği Bölümü
Prof. Dr. Halit KARABULUT Sayfa 192
)xx(r
8Q)zz(g)pp( 124
w
1212
(6.15)
elde edilir. Bu eşitlikte ( )x x2 1 ve 4
dVQ
2 dönüşümleri yapılırsa işlem
22
21
1
dg
V32z
g
pz
g
p
(6.16)
ile neticelenir. Son eşitlik ile eşitlik (6.10) kıyaslandığında viskoz sürtünmenin sebep olduğu
yükseklik kaybının
2f
dg
V32h
(6.17)
olduğu görülür. Son eşitlikten görüldüğü üzere laminer akışta yükseklik kaybı ve V ile lineer
orantılıdır.
6.3 Basınç ve Yükseklik Kaybının Boyut Analizi İle İncelemesi
Yatay ve pürüzsüz bir boruda basınç kaybı hızın, boru çapının, boru uzunluğunun ve
dinamik viskozitenin bir fonksiyonu olarak düşünülebilir.
p f V d ( , , , ) (6.18)
Boyut analizi ile bu parametrelerin ilişkisi
d
V
dKp
(6.19)
şeklinde belirlenir. Tam gelişmiş akışta akışın özellikleri boru uzunluğu ile değişiklik arz etmez.
Bu sebeple tam gelişmiş akışta viskoz sürtünmeden doğan basınç gradyanı boru uzunluğu ile
değişmez. Uzunlukları istisna bütün özellikleri aynı olan iki boru düşünelim. Her iki borudaki
akışkan hızı eşitse tam gelişmiş bölgede hız profilleri de eşit olur. Hız profilleri eşitse her iki
Gazi Üniversitesi Teknoloji Fakültesi Otomotiv Mühendisliği Bölümü
Prof. Dr. Halit KARABULUT Sayfa 193
boruda birim uzunluk başına basınç değişimi de eşit olur. Bu fiziki durum son eşitlikte bulunan
nin 1 e eşit olmasını gerektirir. Buna göre son eşitlik,
d
V
dKp
(6.20)
şeklinde düzenlenir. Eşitlik (6.20) nin her iki tarafı dinamik basınç ( )1
2
2V ile bölünürse
dR
2K
2/)V(
p
d,e
2
(6.21)
olur. Dinamik basıncı sağ tarafa atarak eşitlik yeniden yazılırsa
2
V
dR
2Kp
2
d,e
(6.22)
olur. Son eşitliğin pay ve paydasında bulunan 2 rakamları dinamik basıncın standart ifadesini
bozmamak için sadeleştirilmemiştir. Eşitlik (6.22) nin sağında bulunan KR e
2
,d
boyutsuz gurubu
sürtünme faktörü olarak isimlendirilmekte ve f ile gösterilmektedir. Buna göre yatay boru için
basınç kaybı eşitliğinin nihai şekli
2
V
dp
2
f (6.23)
olur. Son denklem Darcy bağıntısı olarak isimlendirilmektedir. Sürtünme faktörü f akışın
türüne göre farklılık arz eder. Eşitlik (6.23) de p yerine h gf yazılır ve gerekli götürtmeler
yapılırsa, basınç kaybı yükseklik kaybı cinsinden ifade edilir.
g2
V
dh
2
f
f (6.24)
Son eşitlikte verilen fh , yukarda verilen (6.10) numaralı enerji denkleminde yerine yazılırsa
basınç kaybı ifadesi genelleştirilmiş olur. Yani elde edilen ifade her konumdaki boru için geçerli
olur.
Gazi Üniversitesi Teknoloji Fakültesi Otomotiv Mühendisliği Bölümü
Prof. Dr. Halit KARABULUT Sayfa 194
2
1 21 2
d 2
p p Vz z
g g g
f (6.25)
6.4 Laminer Akışta Sürtünme Faktörü
Silindirik boru
Sürtünme faktörü f laminer akış için teorik analizle belirlenmektedir. Kesiti değişmeyen
silindirik bir boru içindeki tam gelişmiş laminer akışta basıncın akış yönünde lineer değiştiği
bölüm 4 te belirtilmiş ve basınç değişimi için (4.16) eşitliği verilmişti. Yatay boru için söz
konusu eşitlik
24
w d
V32
r
8Q
p (6.22)
şeklinde düzenlenir. Son eşitliğin her iki tarafını dinamik basınçla çarparak, yatay borudaki
laminer akışta viskoz sürtünmenin sebep olduğu basınç düşmesi için
2
V
dR
64
2
V
ddV
64-
2
d,e
2
p (6.23)
eşitliği elde edilir. Bu eşitlik (6.20) ile kıyaslandığında laminer akışta
f 64
R e d,
(6.24)
olduğu görülür. Eşitlik (6.24) te verilen sürtünme faktörü pürüzsüz borular için geçerli olup
pürüzlü borularda da düşük hızlarda laminer akış mevcuttur fakat pürüzlü borulardaki laminer
akışın sürtünme faktörünün teorik bir analizle belirlenmesi mümkün değildir.
Üçgen kanal
Isı değiştiricilerinde dairesel olmayan kanallara da rastlanmaktadır. Bu sebeple burada eşkenar
dik üçgen şeklindeki bir kanaldaki laminer akışta sürtünme faktörü tanıtılacaktır. Bu akış bölüm 4
te incelenmiş olup burada safi f nin hesabı tanıtılacaktır.
Gazi Üniversitesi Teknoloji Fakültesi Otomotiv Mühendisliği Bölümü
Prof. Dr. Halit KARABULUT Sayfa 195
Çözüm bölgesini dikdörtgen şeklinde bir bölgeye dönüştürmek için bölüm 4 te
z y
(6.25)
y L
(6.26)
şeklinde yeni koordinatlar tanımlanmıştı. Şekil 6.2 de görülen dA alanı
dA P Q
(6.27)
şeklinde hesaplanabilir. P vektörü
P dzi dy j
(6.28)
şeklinde ifade edilir. P üzerinde z ve y nin değişimleri
z zdz d d
(6.29)
y ydy d d
(6.30)
olur. P üzerinde nın değişmediği dikkate alınarak son iki eşitlikten
zdz d
(6.31)
ydy d
(6.31)
elde edilir. Bunlar yerine yazılarak
z y
P d i d j
(6.32)
elde edilir. Aynı mantıkla hareket ederek
Q zi y j
(6.33)
Gazi Üniversitesi Teknoloji Fakültesi Otomotiv Mühendisliği Bölümü
Prof. Dr. Halit KARABULUT Sayfa 196
0
z zdz d d
(6.34)
0
z zz d d
(6.35)
z yQ d i d j
(6.36)
elde edilir. Bu durumda diferansiyel alan
2
0
0
i j k
z ydA d d
z yd d
z y z yd d yL d d L d d
(6.37)
olur. İntegrali 1 1
2 2
0 0
1
2A L d d L
(6.38)
olur. Ortalama hız
1 1
2
0 0
2
2
L u d d
uL
(6.39)
şeklinde hesaplanır. Hidrolik çap
2
2 2
4 4
2h
A LD
P L L L L
(6.40)
olur. Sürtünme faktörü
Gazi Üniversitesi Teknoloji Fakültesi Otomotiv Mühendisliği Bölümü
Prof. Dr. Halit KARABULUT Sayfa 197
2
2h
Ddpf
dx u (6.41)
şeklinde hesaplanır. Aşağıdaki UCGEN isimli program sürtünme faktörünü hesaplamaktadır.
Hidrolik çapa göre hesaplanmış Reynold sayısı kullanılırsa 56.61e
f R olmaktadır.
Gazi Üniversitesi Teknoloji Fakültesi Otomotiv Mühendisliği Bölümü
Prof. Dr. Halit KARABULUT Sayfa 198
Gazi Üniversitesi Teknoloji Fakültesi Otomotiv Mühendisliği Bölümü
Prof. Dr. Halit KARABULUT Sayfa 199
6.5 Türbülanslı Akışta Sürtünme Faktörü
Türbülanslı akış durumunda f deneysel yöntemlerle belirlenmektedir. Boru akışları endüstriyel
bir konu olduğu için f in kapsamlı araştırmaları yapılmış ve bu konuda hem ampirik formüller
verilmiş hem de Moody diyagramı olarak bilinen grafikler oluşturulmuştur. Boru tasarımında
veya boru içi akışla ilgili hesaplar yapılırken f Moody diyagramından belirlenir ve (6.24)
eşitliğinde kullanılarak viskoz sürtünmenin sebep olduğu yükseklik kaybı h f belirlenir.
Belirlenen h f kullanılarak akış hızı hesaplanır.
Sürtünme faktörü üzerinde etkili olan fiziki faktörlerden biriside boru cidarının pürüzlülüğü
dur. ile boru içindeki yüzey çıkıntılarının yüksekliği gösterilmektedir. Çıkıntılar arasındaki
mesafelerin de mertebesinde olduğu düşünülür. Pürüzlü bir boruda basınç kaybı
z
y
P
Q
Sekil 6.2
dA
Gazi Üniversitesi Teknoloji Fakültesi Otomotiv Mühendisliği Bölümü
Prof. Dr. Halit KARABULUT Sayfa 200
p f V d ( , , , , ) (6.42)
şeklinde ifade edilebilir. Bu ifadeden boyut analizi ile
p Kd d
Vd Va b c
2
2
2
(6.43)
elde edilir. Yukarıda da açıklandığı üzere basınç kaybı ile lineer orantılıdır. Buna göre son
eşitlik
2
,2
ac
e d
Vp K R
d d
(6.44)
olarak düzenlenebilir. Son eşitlik ile Darcy bağıntısı (6.23) kıyaslanarak sürtünme faktörünün
f = K Re,d
ca
d
(6.45)
olduğu görülmektedir. Boru içi türbülanslı akışın deneysel analizi yapılırken boruların içerisine
kumla belirli bir rölatif pürüzlülük / d verilir. Farklı R e d, sayılarında p ölçümle belirlenir.
Belirlenen p ler eşitlik (6.44) de kullanılarak karşılığı olan belirlenir. Belirlenen ler bir
Re d, f koordinatında işaretlenerek Moody diyagramları oluşturulur.
6.6 Boru tasarımı
Boruların tasarımı yapılırken Moody ile verilen deneysel bilgiler kullanılır. Tasarımcıya düşen
görev, en ekonomik şartlarda istenilen yere istenilen debide akışkan pompalayacak bir sistemi
belirlemektir. Bu iş yapılırken aşağıdaki üç durumla karşılaşılır.
1) Borunun çapı ve akışkan debisine göre borunun iki ucu arasındaki basınç farkını
belirlemek.
2) Borunun iki ucu arasındaki basınç farkı ve akışkan debisine göre borunun çapını
belirlemek.
Gazi Üniversitesi Teknoloji Fakültesi Otomotiv Mühendisliği Bölümü
Prof. Dr. Halit KARABULUT Sayfa 201
3) Borunun iki ucu arasındaki basınç farkı ve borunun çapına göre borudan geçen akışkan
debisini belirlemek.
Burada belirtilen üç hal aşağıda verilen çözümlü problemlerde tatminkar seviyede ele alınmıştır.
Eğer tasarımı yapılan boru silindirik boru değilse Reynold sayısının hesabında karakteristik
uzunluk olarak
P
A4
çevresiBoru
alanıkesitBoruDH (6.46)
eşitliğinden hesaplanan hidrolik çap olarak isimlendirilen HD kullanılır. Ancak bu kabul ile
yapılan hesapların tam doğru olması beklenemez.
Çözümlü Problemler
Soru 1
Çapı 60 mm, uzunluğu 1000 m olan yatay bir plastik boru ile 1.5 Lit/s debide kinematik
viskozitesi 10 10 6 2. / m s olan bir akışkan taşınmaktadır. Viskoz sürtünmenin sebep olduğu
yükseklik kaybını belirleyin.
Cevap
Akışkan hızı 0.536 m/s, Reynold sayısı 32194 olarak belirlenir. Belirlenen Reynold sayısına
karşılık Moody diyagramından =0.023 olarak belirlenir. Belirlenen Darcy eşitliğinde
kullanılırsa yükseklik kaybı 5.65 m olarak belirlenir.
Soru 2
Çapı 60 mm, uzunluğu 1500 m olan yatay bir plastik boruya bir bar basınçta su
pompalanmaktadır. Suyun kinematik viskozitesi 10 10 6 2. / m s olarak veriliyor. Borunun
diğer ucu atmosferik havaya açıktır. Borudan geçen su debisini belirleyin.
Cevap
Debi 2.25 Lit/s kabul edilirse Reynold sayısı 36218 olarak, in değeri 0.022 olarak belirlenir.
Basınç kaybı Darcy eşitliğinden yaklaşık 1 bar olarak belirlenir.
Gazi Üniversitesi Teknoloji Fakültesi Otomotiv Mühendisliği Bölümü
Prof. Dr. Halit KARABULUT Sayfa 202
Soru 3
İki bar pompa basıncı ile 2000 m yatay uzaklığa 3 Lit/s debide suyu taşıyacak olan plastik
borunun çapını belirleyin. Kinematik viskozite10 10 6 2. / m s olarak veriliyor.
Cevap
Boru çapı 62 mm kabul edilirse reynold sayısı 46733 olarak, in değeri 0.021 olarak, basınç
kaybı 1.96 bar olarak belirlenir. Bu değer istenildiği kadar yakındır.
Çalışma Soruları
Soru 1
600 m uzunluğunda 32 mm çapında plastik bir boru ile yatay doğrultuda 2 Lit/s debide su
nakledilecektir. Dinamik viskozite 1308 10 3 2. /Ns m olarak veriliyor. Basınç kaybı ne olur.
Soru 2
Yüksekliği 60 m olan bir depoya iç çapı 40 mm olan 700 m uzunluğundaki bir plastik boru ile su
pompalanacaktır. Debinin en az 3 Lit/s olması gerekmektedir. Suyun kinematik viskozitesi
13 10 6 2. / m s olarak veriliyor. Pompanın basma yüksekliği ne olmalıdır.
Soru 3
Aşağıdaki grafikte bir santrifüj pompanın yükseklik-debi ilişkisi görülmektedir. İç çapı 32 mm
olan 450 m uzunluğundaki bir pürüzsüz boru ile 10 m yüksekliği olan bir yere su
pompalanacaktır. Debiyi belirleyin
Gazi Üniversitesi Teknoloji Fakültesi Otomotiv Mühendisliği Bölümü
Prof. Dr. Halit KARABULUT Sayfa 203
Soru 4
Hacmi 150 litreden az olmayan ve 2 bar basınca dayanabilen bir tanka aşağıdaki şekilde
görüldüğü gibi bir manometre monte ediniz. Varilin tabanına yakın bir yere 15 mm çapında bir
menfez açıp bir vana ve 30 metre uzunluğunda bir plastik boru bağlayın. Varilin içerisine bir
miktar su doldurup kalan hacme hava basın ve mevcut basınçta suyun borudan akış hızını
belirleyin. Belirleme sürecinde varilin içerisindeki basıncın % 2 den daha fazla değişmesine
zaman bırakmayın. Belirlediğiniz basınç ve hızı
p KR d
V
e d
2
2
2
,
eşitliğinde kullanarak K yi belirleyin. Belirlediğiniz K nin Reynolds sayısının hangi değerleri
arasında geçerli olduğunu deneylere devam ederek inceleyin.
Deney sisteminizin çalışma limitleri arasında çok sayıda deney yaparak plastik boru için R e
eğrisini elde ediniz.
Gazi Üniversitesi Teknoloji Fakültesi Otomotiv Mühendisliği Bölümü
Prof. Dr. Halit KARABULUT Sayfa 204
BÖLÜM 7: VİSKOZ AKIŞKANLARIN GENEL HAREKET DENKLEMLERİ
Viskozitenin matematiksel tanımı ilk Newton tarafından verilmiştir. Bu tanımda iki plaka
arasındaki tek boyutlu akışın fiziki mekanizması göz önünde bulundurulmuştur.
Akışkanın tabakalar halinde olduğu ve tabakaların birbiri üzerinden kayarak akışı
gerçekleştirdiği kabul edilmiştir. Tabakalar arasındaki sürtünme gerilmesi, tabakalar
arasındaki hız gradyanı ile orantılı olup orantı katsayısı dinamik viskozite olarak
isimlendirilmektedir. Akış iki veya üç boyutlu olduğunda tabaka varsayımı yapılamaz.
Üç boyutlu viskoz akışta akışın hareket denklemlerini elde etmek için viskoz olmayan
akışta olduğu gibi Newton’un birinci kanunu kullanılır. Akış ortamı içerisinde bir akışkan
elemanı seçilerek bu elemana Newton’un birinci kanunu uygulanır. Viskoz bir akış ortamı
içerisinde bulunan akışkan elemanlarının iki çeşit hareket yaptığı kabul edilir. Bunlar
elemanın çizgisel yer değiştirmesi ve elemanın kendi merkezi etrafında dönmesidir.
7.1 Doğrusal Momentum Denklemleri
Newton hareket kanununa göre bir kütleye herhangi bir doğrultuda etkiyen kuvvetlerin
bileşkesi onun söz konusu doğrultudaki ivmesi ile kütlesinin çarpımına eşittir. Akışkan
elemanları her ne kadar akış esnasında şeklini kaybedip dağılırsa da bu olay dt gibi çok
kısa bir sürede oluşmaz. Üç boyutlu bir akış ortamı içerisinde koordinatlara paralel
konumlu prizmatik bir akışkan elemanının dinamik dengesi
xx amF (7.1)
yy amF (7.2)
zz amF (7.3)
Gazi Üniversitesi Teknoloji Fakültesi Otomotiv Mühendisliği Bölümü
Prof. Dr. Halit KARABULUT Sayfa 205
eşitlikleri ile ifade edilir. Şekil 7.1' de bir elemana x doğrultusunda etkiyen yüzey ve
çekim kuvvetleri görülmektedir. Çekim kuvvetlerinin başında yer çekimi olmakla birlikte
bir elektrik yada manyetik alanın çekimi de olabilir. Elemanın yüzeylerine gelen
kuvvetler de normal kuvvetler ve teğet kuvvetler olmak üzere iki guruba ayrılmaktadır.
Normal kuvvetler elemanın yüzeylerine dik etkiyen çekme ve basma gerilmelerinden
doğmaktadır. Teğet kuvvetler de elemanın yüzeylerine etkiyen sürtünme kuvvetleridir.
Teğet kuvvetlerin birim alana düşen değerine kesme gerilmesi denmektedir. Newton’un
birinci kanununa göre, bir akış elemanına x doğrultusunda etkiyen normal ve teğet harici
kuvvetlerin bileşkesi x doğrultusundaki ivme ile kütlenin çarpımına eşittir. Kısaca x
momentum denklemi olarak isimlendirilen bu eşitlik
xam)X(F)zz,y,x(F)zz,y,x(F)z,yy,x(F
)z,yy,x(F)z,y,xx(F)z,y,xx(F
(7.4)
olur. Elemanın yüzeylerine etkiyen kuvvetler gerilmeler cinsinden yazılırsa işlem
Gazi Üniversitesi Teknoloji Fakültesi Otomotiv Mühendisliği Bölümü
Prof. Dr. Halit KARABULUT Sayfa 206
z2y2)xx
()z,y,xx(F xxxx
(7.5)
z2y2)xx
()z,y,xx(F xxxx
(7.6)
x2z2)yy
()z,yy,x(Fyx
yx
(7.7)
x2z2)yy
()z,yy,x(Fyx
yx
(7.8)
y2x2)zz
()zz,y,x(F zxzx
(7.9)
y2x2)zz
()zz,y,x(F zxzx
(7.10)
eşitlikleri ile sonuçlanır. Bu eşitliklerde bulunan alt indislerden birincisi gerilmenin
etkidiği yüzeyin normalinin doğrultusunu, ikincisi gerilmenin doğrultusunu
göstermektedir. Çekim kuvveti
z2y2x2g)X(F x (7.11)
olup negatif yönde etkidiği kabul edilir. Akışkan elemanının kütlesi elemanın boyutları
cinsinden
z2y2x2m (7.12)
eşitliği ile tanımlıdır. Denklem (7.4) de bulunan büyüklüklerin karşılıkları (7.3), (7.4),
(7.5), (7.6), (7.7), (7.8), (79), (7.10), (7.11) ve (7.12) eşitliklerinden yerine yazılarak x
doğrultusundaki momentum denklemi
yxxx zx
x xg a
x y z
(7.13)
Gazi Üniversitesi Teknoloji Fakültesi Otomotiv Mühendisliği Bölümü
Prof. Dr. Halit KARABULUT Sayfa 207
şeklinde düzenlenir. Benzer işlemlerle (7.2) ve (7.3) eşitlikleri ile verilen y ve z
momentum denklemleri
yy xy zy
y yg a
y x z
(7.14)
yzxzzz
z zg a
z x y
(7.15)
şeklinde düzenlenir. Bu eşitliklerde bulunan xx
, yy ve zz
normal gerilmeleri her biri
basınç ve normal viskoz gerilme olmak üzere iki ayrı gerilmenin bileşkesidir.
pxxxx (7.16)
pyyyy (7.17)
pzzzz (7.18)
Viskoz olmayan akışkanlarda xx
, yy ve zz
sıfır olup son üç eşitliğin taraf tarafa
toplanmasından
p3zzyyxx (7.19)
elde edilir. İleride görüleceği üzere G. Stokes gazlarda xx
, yy
ve zz
nin değerlerini sıfır
kabul ederek viskoz akışın momentum denklemlerini basitleştirmiştir.
Yukarıda verilen (7.13), (7.14) ve (7.15) denklemlerinde bulunan ax, ay ve az ivmelerinin
hız bileşenleri ile ilişkisi Euler denklemlerinde olduğu gibidir. Görüldüğü üzere viskoz
gerilmeler ihmal edilirse bu denklemler Euler denklemlerine dönüşebilmektedir.
Gazi Üniversitesi Teknoloji Fakültesi Otomotiv Mühendisliği Bölümü
Prof. Dr. Halit KARABULUT Sayfa 208
7.2 Açısal Momentum Denklemi
Şekil 7.2.a' da prizmatik bir akışkan elemanını z ekseni etrafında döndürmeye etkisi olan
viskoz gerilmeler gösterilmiştir. Elemanın dönme ekseni ile koordinat sisteminin z ekseni
üst üste getirilmiştir. Prizmatik bir akışkan elemanının viskoz gerilmelerin etkisi altında
bir eksen etrafında ivmeli dönme hareketi yapması ile prizmatik bir katı cismin bir eksen
etrafında ivmeli dönme hareketi yapması fiziki yönden farklılık arz etmez. Konunun daha
kolay anlaşılması için matematik modelin yazılmasında katı cismin ivmeli dönmesini
incelemek uygun olur.
Gazi Üniversitesi Teknoloji Fakültesi Otomotiv Mühendisliği Bölümü
Prof. Dr. Halit KARABULUT Sayfa 209
Şekil 7.2.b de görülen prizmatik cismin z doğrultusundaki kalınlığı w olsun. Cisme bir
moment uygulansın ve ivmeli olarak dönmesi sağlansın. Newton kanununun gereği olarak
bu harekette harici momentle cismin kütlesel dönme atalet momenti mI eşit olmalıdır.
mIM (7.20)
Cismin üzerinde kenarları x, y, z koordinat eksenlerine paralel duran bir hacim elemanı
seçilmiştir. Bu elemanın kütlesi )dy dx w( , daire merkezli çizgisel ivmesi
2
2
dt
d ra
(7.21)
atalet kuvveti
2
2
dt
d r dy dx wdF
(7.22)
ve dönme eksenine göre atalet momenti
2
22
mdt
d r dy dx wdI
(7.23)
büyüklüğündedir. Bu eşitliklerde r elemanın dönme eksenine uzaklığı olup r2 yerine
)yx( 22 yazılabilir. Neticede elemanın kütle atalet momenti
2
222
mdt
d )yx( dy dx wdI
(7.24)
Gazi Üniversitesi Teknoloji Fakültesi Otomotiv Mühendisliği Bölümü
Prof. Dr. Halit KARABULUT Sayfa 210
olarak hesaplanır. Cismin tamamının kütle atalet momentini bulmak için son eşitliğin
ABCD bölgesinde integrallenmesi gerekir. İşlem
)3
xy
3
yx(
dt
d w4I
33
2
2
m
(7.25)
ile neticelenir. Son eşitlik ile eşitlik 7.20 birleştirilirse
)3
xy
3
yx(
dt
d w4M
33
2
2
(7.26)
elde edilir. Son eşitlik ivmeli dönme hareketi yapan prizmatik bir cismin hareket denklemi
olup boyutları 2x, 2y ve w olan bir cisim düşünülerek türetilmiştir. Bu eşitlik boyutları
2dx, 2dy ve 2dz olan diferansiyel boyuttaki bir cisim için düzenlenirse
)3
dxdy
3
dydx(
dt
d dz8dM
33
2
2
(7.27)
olur. Eşitlik 7.27 de bulunan dM , Şekil 7.2 de gösterilen akışkan elemanının yan
yüzeylerine etkiyen gerilmelerden hesaplanır ve yerine yazılırsa ivmeli dönme hareketi
Gazi Üniversitesi Teknoloji Fakültesi Otomotiv Mühendisliği Bölümü
Prof. Dr. Halit KARABULUT Sayfa 211
yapan diferansiyel akışkan elemanının hareket denklemi elde edilir. Hacim elemanının
AB, BC, CD ve DA yüzeylerine gelen sürtünme kuvvetlerinin z eksenine göre
momentleri sırası ile
xd dzy d 4)dxx
(dMxy
xyAB
(7.28)
yd dzx d 4)dyy
(dMyx
yxBC
(7.29)
dx dzy d 4)dxx
(dMxy
xyCD
(7.30)
yd dzx d 4)dyy
(dMyx
yxDA
(7.31)
şeklinde hesaplanır. Bu eşitliklerde saat yönü negatif kabul edilmiştir. Eşitlik (7.28),
(7.29), (7.30) ve (7.31) ile hesaplanan değerler eşitlik (7.27) de yerine yazılırsa
2
2 2
2( )
3xy yx
ddx dy
dt
(7.32)
neticesine varılır. Son eşitliğin sağında bulunan büyüklükler ikinci mertebeden olduğu
için, elemanın boyutları sıfıra giderken 0,0 yx eşitliğin sağında bulunan terim
ihmal edilir. Bu kısmın sonucu olarak
yxxy (7.33)
neticesine varılır. Aynı yaklaşımla akışkan elemanının x ve y ekseni etrafındaki dönme
hareketlerinin incelenmesinden
xz zx (7.34)
zyyz (7.35)
Gazi Üniversitesi Teknoloji Fakültesi Otomotiv Mühendisliği Bölümü
Prof. Dr. Halit KARABULUT Sayfa 212
sonuçları elde edilir. Bu sonuçlar eşitlik 7.13, 7.14 ve 7.15 ile verilen doğrusal momentum
denklemlerinde kullanıldığında doğrusal momentum denklemlerinde bulunan 9 adet
viskoz gerilme bileşeni 6 ya düşer.
7.3 Deformasyonlar
Viskoz bir akış bölgesi içerisinde, herhangi bir anda, hayali sınırları olan prizmatik bir
diferansiyel eleman düşünelim. Zaman ilerlerken eleman yer değiştirme, kendi merkezi
etrafında dönme, şekil değiştirme işlemlerini yapacak ve bir süre sonra da tamamen
dağılacaktır. Şekil değiştirme elemanın x , y , z boyutlarının ve köşe açılarının
değişmesi olmak üzere iki sebebe dayanır. Prizmatik bir hacim elemanının bir köşesi
elemanın üç yüzeyinin kesişme noktası olduğu için bir köşede birbirinden bağımsız üç açı
mevcuttur. Bunların her birinin değişimi elemanda oluşan gerilmeye katkı yapmaktadır.
Elemanın yer değiştirmesi, dönmesi, boyutlarının değişmesi ve köşe açılarının değişmesi
aynı zaman zarfında zuhur eden olaylar olup aralarında etkileşim de mevcuttur. Elemanın
boyutlarının değişmesi hacimsel deformasyon olarak, köşe açılarının değişmesi açısal
deformasyon olarak isimlendirilmektedir. Bu değişimlerin ortak sebebi elemanın değişik
noktalarında değişik hızların mevcut olmasıdır. Bir elemanın blok olarak yer değiştirmesi
ve blok olarak dönmesi herhangi bir gerilme yaratmaz. İç gerilmeleri elemanın hacimsel
ve açısal deformasyonu yaratmaktadır.
7.3.1 Temel Deformasyonlar ve Gerilmeler
Pratikte akışkan elemanlarının tek boyutlu hacimsel deformasyonuna dayanan bir viskoz
akış mevcut değildir. Fakat akışkan elemanlarının tek boyutlu açısal deformasyonuna
dayanan akış türleri mevcuttur. Şekil 7.3.a'da görüldüğü üzere aralarında viskoz bir
akışkan bulunan iki plakadan birisi sabit tutulur diğeri sabit plakaya paralel olarak
kaydırılırsa iki plaka arasındaki akışkan elemanları rotasyon ve açısal deformasyona
maruz olurlar. Şekilde görülen açısı, rotasyon ve açısal deformasyon nın
toplamıdır.
Gazi Üniversitesi Teknoloji Fakültesi Otomotiv Mühendisliği Bölümü
Prof. Dr. Halit KARABULUT Sayfa 213
(7.36)
Elemanın ABCD durumundan A B C D'' '' '' durumuna geçişini iki ayrı sürecin süper
pozisyonu olarak düşünmek mümkündür. Birinci süreç açısal deformasyon olmaksızın
elemanın blok olarak dönmesi, ikinci süreç rotasyon olmaksızın elemanın açılarının
değişmesidir. Bu süreçler Şekil 7.3.a' da adım adım gösterilmiştir. Birinci sürecin sonunda
elemanın AD kenarı şekilde görüldüğü üzere
plakaların dışına taşmaktadır. Fakat gerçek akış durumunda elemanın AD kenarı alt
plakadaki yerinden ayrılmaz. O halde elemanın AD kenarını ikinci süreçte eski yerine
çekmek gerekir ki iki sürecin süper pozisyonu elemanın değişiminin tabiatına uysun. Bu
şart AD kenarının ikinci süreçte yaptığı açısı ile birinci süreçte yaptığı açısının
birbirine eşit olmasını gerektirir. Buna göre
2 (7.37)
Gazi Üniversitesi Teknoloji Fakültesi Otomotiv Mühendisliği Bölümü
Prof. Dr. Halit KARABULUT Sayfa 214
2 (7.38)
yazılabilir. Ayrıca şekil 7.3.a ya göre
''P
duy
BB U t dy dut t
y y y dy
,
du
dy
(7.39)
yazılabilir. Eşitlik 7.38 ve 7.39 un birlikte değerlendirilmesinden
1
2
du
dy
(7.40)
olduğu görülür. Bölüm 1 de açıklandığı üzere Newtonun ikinci kanunu olarak bilinen ve
deneysel olarak ta teyit edilen
du
dy
eşitliği Şekil 7.3.a' da görülen hal için akışkan elemanlarına etkiyen teğet gerilmeyi
belirlemektedir. Son iki eşitlik birlikte değerlendirilerek,
2
(7.41)
elde edilir. Viskoz akışkanlarda gerilmelerin sebebi olan deformasyonlardan birisinin
olduğu son eşitlikten görülmektedir.
Akışkanların safi hacimsel deformasyonuna dayanan bir akış türü mevcut olmadığı için
gerilme ile hacimsel deformasyon arasında deneysel esasa dayanan bir eşitlik
kurulamamıştır. Ancak katılardaki gerilmelerin deformasyon miktarı ile, akışkanlardaki
gerilmelerin ise deformasyon hızı ile orantılı olduğu dikkate alındığında benzerlik esasına
göre akışkanlardaki normal deformasyonla gerilmelerin ilişkisini kurmak mümkündür.
Gazi Üniversitesi Teknoloji Fakültesi Otomotiv Mühendisliği Bölümü
Prof. Dr. Halit KARABULUT Sayfa 215
Kesiti tek düze olan bir metal çubuk bir F kuvveti ile çekmeye zorlandığında F kuvvetinin
çubuğun uzama miktarı ile orantılı, ilk uzunluğu ile ters orantılı olduğu görülür. Orantı
katsayısı k olmak üzere
kkF
(7.42)
yazılabilir. Bu eşitlikte AF yazılırsa
EA
k (7.43)
olur. Son eşitlikte bulunan E malzemenin bir özelliği olup elastik modül olarak
isimlendirilmektedir. E nin birimi gerilmenin birimine eşittir. Buna göre akışkanlardaki
tek boyutlu normal gerilme ile tek boyutlu normal deformasyon arasındaki ilişki
(7.44)
şeklinde bir ilişki olması gerekir. Bu eşitlikte bulunan akışkanın bir özelliği,
bir
akışkan elemanının bir boyutunun birim zamandaki değişiminin deformasyondan önceki
boyuta oranıdır.
un birimi 1/ s olup yukarda tanıttığımız açısal deformasyon hızı
un
biriminin aynısıdır.
7.3.2 Deformasyon Hız İlişkileri
Bir akışkan elemanının diferansiyel bir zaman dilimi içerisinde gördüğü yer değiştirme,
hacimsel deformasyon, dönme ve açısal deformasyondan oluşan gerçek süreci dört ayrı
imajiner sürecin süper pozisyonu olarak ele almak mümkündür.
1- Hacimsel deformasyon, dönme ve açısal deformasyon olmaksızın elemanın yer
değiştirmesi.
Gazi Üniversitesi Teknoloji Fakültesi Otomotiv Mühendisliği Bölümü
Prof. Dr. Halit KARABULUT Sayfa 216
2-Yer değiştirme, dönme ve açısal deformasyon olmaksızın elemanın hacimsel deformasyonu.
3-Yer değiştirme, hacimsel deformasyon ve açısal deformasyon olmaksızın elemanın blok
olarak dönmesi.
4-Yer değiştirme, hacimsel deformasyon ve dönme olmaksızın elemanın açısal deformasyonu.
Şekil 7.3.b de birinci imajiner sürece uygun olarak iki boyutlu bir uzayda yer değiştiren
bir hacim elemanının ilk ve son durumu görülmektedir. Eleman üzerinde bulunan
muhtelif noktaların birbirine göre konumu değişmemiştir. Bu sebeple eleman üzerinde
herhangi bir gerilme doğmaz. Bu hareket esnasında elemanın her noktasında aynı hız
vektörü bulunmaktadır.
Şekil 7.3.c de ikinci imajiner sürece uygun olarak iki boyutlu bir uzayda hacimsel
deformasyon gören hacim elemanının ilk ve son durumu görülmektedir. Yeri değişmeden
elemanın hacimsel deformasyon görmesi için C D' ' kenarı pozitif x yönünde, A B' ' kenarı
negatif x yönünde eşit miktarda kaymalıdır. Yine B C' ' kenarı pozitif y yönünde, D A' '
kenarı negatif y yönünde eşit miktarda kaymalıdır.
Gazi Üniversitesi Teknoloji Fakültesi Otomotiv Mühendisliği Bölümü
Prof. Dr. Halit KARABULUT Sayfa 217
Bu imajiner süreçte elemanın yeri değişmediğine göre merkezinde u 0 olacaktır.
Elemanın A B' ' kenarı ile C D' ' kenarı birbirine paralel kaldığı için yani açısal
deformasyon görmediği için merkezinde
u
y 0 olacaktır. Buna göre elemanın
köşelerindeki yatay hızlar merkezindeki hız ve türevleri cinsinden yazılırsa
uu
x
dxA '
2
uu
x
dxB'
2
uu
x
dxC'
2
uu
x
dxD '
2
olur. Son eşitliklere göre elemanın A B' ' ve C D' ' kenarlarının birbirinden uzaklaşma hızı
Gazi Üniversitesi Teknoloji Fakültesi Otomotiv Mühendisliği Bölümü
Prof. Dr. Halit KARABULUT Sayfa 218
xx
uuuuu 'BC'A'D '
olur. Elemanın t süresi içerisinde x boyutunun değişme miktarı
x
u
xx t
olur. Elemanın x doğrultusundaki hacimsel deformasyon oranının hızı
xx
x
x t
u
x (7.45)
olarak belirlenir. Benzer operasyonlarla
yy
v
y (7.46)
elde edilir. Akış üç boyutlu olursa bunlara ilaveten
zz
w
z (7.47)
mevcut olur. Bunlar viskoz gerilmelere sebep olan hacimsel deformasyonlardır.
Şekil 7.3.d de üçüncü imajiner sürece uygun olarak iki boyutlu bir uzayda rotasyona
maruz olan hacim elemanının ilk ve son durumu görülmektedir. Elemanın y
doğrultusundaki simetri ekseninin dönme miktarı
Gazi Üniversitesi Teknoloji Fakültesi Otomotiv Mühendisliği Bölümü
Prof. Dr. Halit KARABULUT Sayfa 219
1
2
2
2
2
e e
O e
g g
O g
u
y
yt
y
u
y
yt
y
u
yt
' '
(7.48)
olarak u cinsinden belirlenir. Elemanın y doğrultusundaki simetri ekseninin dönme hızı
1
u
y (7.49)
olur. Şekil 7.3.d ye göre
u
y nin sayısal değeri negatiftir. Bu sebeple son eşitlik
1
u
y (7.50)
şeklinde düzenlenir. Elemanın x doğrultusundaki simetri ekseninin dönme miktarı
Gazi Üniversitesi Teknoloji Fakültesi Otomotiv Mühendisliği Bölümü
Prof. Dr. Halit KARABULUT Sayfa 220
2
2
2
2
2
f f
O f
h h
h O
v
x
xt
x
v
x
xt
x
v
xt
' '
(7.51)
olur. Elemanın x doğrultusundaki simetri ekseninin dönme hızı
2
v
x (7.52)
olarak belirlenir. Şekil 7.3.d ye göre
v
x in sayısal değeri pozitiftir. Bu sebeple son eşitlik
2
v
x (7.53)
olarak düzenlenir. Elemanın açısal deformasyon görmeden dönebilmesi için 1 2
olması gerekir. Buna göre (7.50) ve (7.53) eşitliklerinden rotasyon hızı
2 21 2
v
x
u
y (7.54)
olarak belirlenir. Mevcut durumda dönme z ekseni etrafında olduğundan son eşitliği
z
v
x
u
y
1
2 (7.55)
şeklinde vermek daha kullanışlı olmaktadır. Dönme olayı üçüncü bölümde de ele alınmış,
döndürme işlemi sol alt köşe etrafında yapılarak aynı netice elde edilmişti. Burada
döndürme merkezi olarak elemanın merkezinin seçilmesinin sebebi elemanın merkezinin
yerini sabit tutmaktır. Rotasyonla ilgili detaylı bilgiler Bölüm 3 de verilmiş olup burada
tekrarlanmayacaktır.
Rotasyonu takiben dördüncü imajiner sürece uygun olarak bir açısal deformasyon gören
elemanın ilk ve son durumu Şekil 7.3.e' de görülmektedir. Açısal deformasyon
Gazi Üniversitesi Teknoloji Fakültesi Otomotiv Mühendisliği Bölümü
Prof. Dr. Halit KARABULUT Sayfa 221
neticesinde elemanın düşey simetri ekseninin dönme miktarları hız cinsinden aşağıdaki
gibi hesaplanır.
1
2
2
2
2
e e
e O
g g
g O
u
y
yt
y
u
y
yt
y
u
yt
' ''
'
' ' '
'
(7.56)
Düşey simetri ekseninin açısal deformasyon esnasında dönme hızı
1
u
y (7.57)
olur. Şekil 7.3.e' ye göre
u
y nin sayısal değeri pozitiftir. Düşey eksen saat yönünde
dönmektedir. Bu sebeple son eşitlik
1
u
y
(7.58)
olarak düzenlenir. Elemanın yatay ekseninin açısal deformasyon neticesinde dönme
miktarı
2
2
2
2
2
f f
f O
h h
h O
v
x
xt
x
v
x
xt
x
v
xt
' ''
'
' ' '
'
(7.59)
Gazi Üniversitesi Teknoloji Fakültesi Otomotiv Mühendisliği Bölümü
Prof. Dr. Halit KARABULUT Sayfa 222
olur. Yatay eksenin açısal deformasyon esnasında dönme hızı
x
v2
(7.60)
olur. Şekil 7.3.e' ye göre
v
x in sayısal değeri pozitiftir. Buna göre son eşitlik
x
v2
(7.61)
olarak düzenlenir. Elemanın rotasyon yapmadan açısal deformasyon görmesi için
1 2
veya 1 2
gerekir. Elemanın köşe açısının değişme hızı (açısal
deformasyonun hızı)
1 2 1 2
u v
y x
olur. Son eşitlikten
Gazi Üniversitesi Teknoloji Fakültesi Otomotiv Mühendisliği Bölümü
Prof. Dr. Halit KARABULUT Sayfa 223
x
v
y
u
2
121 (7.62)
neticesi elde edilir. Birinci alt indis dönen kenarın normalinin doğrultusunu, ikinci alt
indis dönen kenarın kendisinin doğrultusunu göstermek üzere son eşitlik
x
v
y
u
2
1yxxy (7.63)
olarak düzenlenebilir. Son eşitlikten faydalanarak üç boyutlu bir akış bölgesindeki diğer
açısal deformasyonlar
)x
w
z
u(
2
1zxxz
(7.64)
yz zy
v
z
w
y
1
2( ) (7.65)
şeklinde yazılır. Son üç eşitlikte verilen açısal deformasyonlar viskoz gerilmeleri yaratan
sebeplerdir.
Bu kısımda gerçek bir bileşik deformasyon ve yer değiştirme sürecini dört basit sürece
ayırarak basit deformasyonlarla hız bileşenleri arasındaki ilişkileri kurmuş bulunuyoruz.
7.4 Gerilmelerle Deformasyonların İlişkileri
Katı maddelerin şekil değiştirmesi halinde madde içerisinde oluşan gerilmelerin
deformasyon miktarı ile orantılı olduğu kabul edilerek Hook hipotezleri olarak bilinen
deformasyon-gerilme ilişkileri yazılmıştır. Sıvıların akışı esnasında sıvı elemanları sürekli
şekil değiştirmekte olup gerilmelerin şekil değiştirme hızı ile orantılı olduğu kabul
Gazi Üniversitesi Teknoloji Fakültesi Otomotiv Mühendisliği Bölümü
Prof. Dr. Halit KARABULUT Sayfa 224
edilerek Hook eşitliklerine benzer biçimde akışkanların Navier-Stock denklemleri olarak
isimlendirilen hareket denklemleri elde edilmiştir.
Yukarıda tanıtılan hacimsel ve açısal deformasyonların gerilmeler üzerinde muayyen
lineer etkilerinin mevcut olduğu kabul edilerek
yz16xz15xy14zz13yy12xx11xx CCCCCCp
(7.66)
yz26xz25xy24zz23yy22xx21yy CCCCCCp
(7.67)
yz36xz35xy34zz33yy32xx31zz CCCCCCp
(7.68)
yz46xz45xy44zz43yy42xx41xy CCCCCC
(7.69)
yz56xz55xy54zz53yy52xx51xz CCCCCC
(7.70)
yz66xz65xy64zz63yy62xx61yz CCCCCC
(7.71)
eşitlikleri yazılır. Son altı denklem ile verilen gerilme deformasyon ilişkileri bir x,y
düzlemindeki iki boyutlu akış için
xy13yy12xx11xx CCCp
(7.72)
xy23yy22xx21yy CCCp
(7.73)
xy33yy32xx31xy CCC
(7.74)
şeklinde kısalır.
Akış esnasında akışkan moleküllerin komşu moleküllerle olan etkileşimi akışkanların bir
kısmında her doğrultu ve yönde aynı kalır veya az değişir. Bu tür akışkanlara izotropik
akışkan denmektedir. İzotropik akışkanların davranışları hesaba katıldığında (7.66),
Gazi Üniversitesi Teknoloji Fakültesi Otomotiv Mühendisliği Bölümü
Prof. Dr. Halit KARABULUT Sayfa 225
(7.67), (7.68), (7.69), (7.70) ve (7.71) eşitliklerde bulunan 36 adet C i j, sabitleri ikiye
düşmektedir. C i j, sabitleri arasındaki ilişkiler aşağıda iki boyutlu akış için incelenmiştir.
Üç boyutlu halin incelenmesi çok zaman aldığından okuyucuya bırakılmıştır.
7.5 İki Boyutlu İzotropik Akışlarda Gerilme Deformasyon İlişkileri
Şekil 7.4.a' da iki boyutlu simetrik bir akış bölgesinin simetri ekseni üzerinde bulunan bir
akışkan elemanı görülmektedir. Koordinat sisteminin x elemanı batıdan doğuya, y
elemanı güneyden kuzeye doğru yönelmiştir. Elemen simetri çizgisi üzerinde olduğu için
0xy
ve 0xy
olur. Bu durum dikkate alınarak (7.72), (7.73) ve (7.74) denklem
takımından
11 12DB KGDBp C C
(7.75)
21 22DB KGKGp C C
(7.76)
31 320DB KGC C
(7.77)
x
y
Sekil 7.4.a
Gazi Üniversitesi Teknoloji Fakültesi Otomotiv Mühendisliği Bölümü
Prof. Dr. Halit KARABULUT Sayfa 226
eşitlikleri elde edilir. Şekil 7.4.b’ de aynı akış bölgesinde aynı hacim elemanı görülmekte
ancak koordinatların doğrultu ve yönleri değiştirilmiştir. Koordinat siteminin x elemanı
güneyden kuzeye, y elemanı doğudan batıya yönelmiştir. (7.72), (7.73) ve (7.74) denklem
setinden
11 12KG DBKGp C C
(7.78)
21 22KG DBDBp C C
(7.79)
31 320KG DBC C
(7.80)
elde edilir. Eşitlik (7.75) ile (7.79) , (7.76) ile (7.78) kıyaslandığında
21 22 11 12KG DB DB KGC C C C
(7.81)
21 22 11 12DB KG KG DBC C C C
(7.82)
elde edilir. Eşitlik (7.80), (7.81) ve (7.82) kullanılarak
x
y
Sekil 7.4.b
Gazi Üniversitesi Teknoloji Fakültesi Otomotiv Mühendisliği Bölümü
Prof. Dr. Halit KARABULUT Sayfa 227
31
0C , 32
0C , 21 12
C C , 22 11
C C
olduğu gösterilebilir. Bu incelemeden bazı sabitlerin sıfır olduğu bazılarının da birbirine
eşit olduğu görülmektedir. İki boyutlu akışta sabitlerin arasındaki ilişkilerin sistematik bir
şekilde incelenmesi için aşağıda matematiksel bir yöntem tanıtılmaktadır.
Akış ortamı içerisinde bulunan herhangi bir konuma sahip bir yüzeye etkiyen normal ve
teğet gerilmeleri asal gerilmeler cinsinden belirlemek için bu yüzeyi Şekil 7.5' deki gibi
bir hacim elemanın sınırı yaparız. Hacim elemanına yüzeyin normali doğrultusunda
etkiyen kuvvetler kendi aralarında dengelendiğinde normal gerilmeyi veren bir eşitlik elde
edilir. Aynı şekilde hacim elemanına yüzeyin teğeti doğrultusunda etkiyen kuvvetler
kendi aralarında dengelendiğinde teğet doğrultusundaki gerilmeyi veren bir eşitlik elde
edilir.
Şekil 7.5 deki hacim elemanının yüzeylerine etkiyen kuvvetlerin n doğrultusundaki
bileşenlerinin balansı
y
x
xy
y x
ns
nn
xx
y y
O
A
B
Sekil 7.5
Gazi Üniversitesi Teknoloji Fakültesi Otomotiv Mühendisliği Bölümü
Prof. Dr. Halit KARABULUT Sayfa 228
cos( ) cos( )
cos( ) cos( )
AB nn OA xx xn xy yn
OB yy yn yx xn n
A A
A ma
(7.83)
eşitliğini verir.Son eşitlikteki eksi işaretleri gerilmelerin yönlerinden gelmektedir.
Elemanın O köşesinde birleşen birbirine dik yüzeylerinin alanları
cos( )OA AB xn
A A (7.84)
cos( )OB AB yn
A A (7.85)
şeklinde eğik yüzeyin alanı cinsinden hesaplanır. Bunlar eşitlik (7.83) de yerine yazılır ve
eşitliğin her iki tarafı AB
A ile bölünürse işlem
cos( ) cos( ) cos( )
cos( ) cos( ) cos( )
nn xn xx xn xy yn
n
yn yy yn yx xn
AB
ma
A
(7.86)
ile sonuçlanır. Bu incelemenin amacı akış ortamı içerisinde bulunan herhangi bir
noktadaki gerilmelerin ilişkisini kurmak olduğuna göre, üzerinde kuvvet balansı yapılan
hacim elemanının boyutlarını sıfıra yaklaştırmak gerekir. Son eşitliğin sağında bulunan
kesrin ihtiva ettiği m iki diferansiyel uzunluğun çarpımı ile orantılı iken, AB
A bir
diferansiyel uzunluktan ibarettir. Bu sebeple elemanın boyutları sıfıra giderken kesrin
değeri sıfıra çok daha hızlı yaklaşır. Önceden gösterildiği üzere yxxy ilişkisi
mevcuttur. Buna göre son eşitlik
cos( ) cos( ) cos( )
cos( ) cos( ) cos( )
nn xn xx xn xy yn
yn yy yn xy xn
(7.87)
şeklinde düzenlenebilir.
Gazi Üniversitesi Teknoloji Fakültesi Otomotiv Mühendisliği Bölümü
Prof. Dr. Halit KARABULUT Sayfa 229
Hacim elemanına Şekil 7.5 deki AB yüzeyinin teğeti doğrultusunda etkiyen kuvvetlerin
balansı
cos( ) cos( ) cos( )
cos( ) cos( ) cos( )
ns xn xx xs xy ys
yn yy ys xy xs
(7.88)
eşitliğinde sonuçlanır.
Yeni koordinat sistemine göre asal deformasyonları tanımlamak için denklemlere ihtiyaç
vardır. Bunun için eşitlik (7.87) ve (7.88) de bulunan gerilmelerin yerine aynı indisli
deformasyonlar konularak aşağıdaki eşitlikler elde edilir.
cos( ) cos( ) cos( )
cos( ) cos( ) cos( )
nn xn xx xn xy yn
yn yy yn xy xn
(7.89)
cos( ) cos( ) cos( )
cos( ) cos( ) cos( )
ns xn xx xs xy ys
yn yy ys xy xs
(7.90)
Şimdi Şekil 7.6 da görüldüğü gibi orijinleri ortak olan ( , )x y koordinat sistemi ile bir
( , )x y koordinat sistemine göre verilmiş gerilme denklemlerini kıyaslayarak ijC leri
belirleyelim.
Herhangi bir noktadaki gerilmeler ( , )x y koordinat sistemine göre
x
yy'
x'
Sekil 7.6
Gazi Üniversitesi Teknoloji Fakültesi Otomotiv Mühendisliği Bölümü
Prof. Dr. Halit KARABULUT Sayfa 230
xy13yy12xx11xx CCCp
(7.91)
xy23yy22xx21yy CCCp
(7.92)
xy33yy32xx31xy CCC
(7.93)
şeklinde tanımlanır. Aynı noktadaki gerilmeler ( , )x y koordinat sistemine göre
11 12 13x x y y x yx x p C C C
(7.94)
21 22 23x x y y x yy y p C C C
(7.95)
31 32 33x x y y x yx y C C C
(7.96)
şeklinde tanımlanır.
Eşitlik (9.87) de n yerine x yazılırsa
x x xx (7.97)
elde edilir. Yine eşitlik (9.87) de n yerine y yazılırsa
y y yy (7.98)
elde edilir. Eşitlik (7.88) de n yerine x , s yerine y yazılırsa
x y xy (7.99)
elde edilir. Eşitlik (7.89) da n yerine x yazılarak
x x xx (7.100)
elde edilir. Yine aynı eşitlikte n yerine y
Gazi Üniversitesi Teknoloji Fakültesi Otomotiv Mühendisliği Bölümü
Prof. Dr. Halit KARABULUT Sayfa 231
y y yy (7.101)
elde edilir. Eşitlik (7.90) da n yerine x , s yerine y yazılarak
x y xy (7.102)
elde edilir. Eşitlik (7.97), (7.98), (7.99), (7.100), (7.101) ve (7.102) ile verilen gerilme ve
deformasyonlar eşitlik (7.94), (7.95) ve (7.96) da kullanılırsa
11 12 13xx xx yy xyp C C C (7.103)
21 22 23yy xx yy xyp C C C (7.104)
31 32 33xy xx yy xyC C C (7.105)
eşitlikleri elde edilir. Eşitlik (7.103), (7.104) ve (7.105) yukarıda verilen (7.91), (7.92) ve
(7.93) eşitlikleri ile sıralı olarak kıyaslandığında
13 23 31 32 0C C C C (7.106)
olduğu görülür.
Geri kalan sabitleri incelemek için şekil 7.7 de görülen koordinat ikilisinin gerilmelerini
kıyaslayalım. Gerilme ve deformasyonların ilişkisi
x x yy
(7.107)
x
yx'
y'
Sekil 7.7
Gazi Üniversitesi Teknoloji Fakültesi Otomotiv Mühendisliği Bölümü
Prof. Dr. Halit KARABULUT Sayfa 232
' 'y y xx (7.108)
x y xy
(7.109)
' 'x x yy
(7.110)
' 'y y xx
(7.111)
x y xy (7.112)
şeklinde olur. Bu değerler eşitlik (7.94), (7.95) ve (7.96) ya yazılırsa
11 12yy yy xxp C C
21 22xx yy xxp C C
33 xyxy C
eşitlikleri elde edilir. Son eşitlikler sırası ile eşitlik (7.92), (7.91) ve (7.93) ile kıyaslanırsa
yukardakilere ilave olarak
21 12C C ,
22 11C C (7.113)
olduğu görülmektedir. Bu değerler son üç eşitliğe yazılırsa
11 12yy yy xxp C C (7.114)
12 11xx yy xxp C C (7.115)
33 xyxy C
(7.116)
olur. Son eşitliklerde bulunan ,i j
C lerin aralarında ilişkilerin olup olmadığını belirlemek
için bir de şekil 7.8 de görülen koordinat ikilisine göre inceleme yapalım.
Gazi Üniversitesi Teknoloji Fakültesi Otomotiv Mühendisliği Bölümü
Prof. Dr. Halit KARABULUT Sayfa 233
Şekil 8.8 deki koordinat ikilisinin gerilme ve deformasyonları arasında
1 1
2 2x x xx xy yy
(7.117)
1 1
2 2y y xx xy yy
(7.118)
1 1
2 2x y xx yy
(7.119)
1 1
2 2x x xx yy xy (7.120)
1 1
2 2y y xx xy yy
(7.121)
1 1
2 2x y xx yy
(7.122)
ilişkileri bulunmaktadır. Şekil 7.8 için elde edilen bu gerilme ve deformasyonlar eşitlik
(7.94) de yerine yazılırsa
11
12 13
1 1 1 1
2 2 2 2
1 1 1 1
2 2 2 2
xx xy yy xx yy xy
xx xy yy xx yy
p C
C C
(7.123)
Sekil 7.8
x
x'
y
y'
Gazi Üniversitesi Teknoloji Fakültesi Otomotiv Mühendisliği Bölümü
Prof. Dr. Halit KARABULUT Sayfa 234
olur. Son eşitlikte 13
0C yazılırsa
11
12
1 1 1 1
2 2 2 2
1 1
2 2
xx xy yy xx yy xy
xx xy yy
p C
C
(7.124)
elde edilir. Son eşitlikte bulunan gerilmelerin karşılıkları (7.114), (7.115) ve (7.116) dan
yerin e yazılırsa
12 11 11 12
11 12
1 1
2 2
1 1 1 1
2 2 2 2
yy xx xy yy xx
xx yy xy xx xy yy
p C C p C C
p C C
11 12xy xyC C (7.125)
elde edilir. Ayrıca
33xy xyC (7.126)
olduğunu biliyoruz.. Son iki eşitlikten
11 12 33C C C (7.127)
olduğu görülür. Buraya kadar elde edilen ,i j
C sabitleri kullanılarak iki boyutlu akışın
gerilmeleri
11 12xx xx yyp C C (7.128)
12 11yy xx yyp C C (7.129)
11 12xy xyC C (7.130)
şeklinde düzenlenebilir. Görüldüğü üzere son eşitlikler safi iki adet sabit ihtiva
etmektedir.
Gazi Üniversitesi Teknoloji Fakültesi Otomotiv Mühendisliği Bölümü
Prof. Dr. Halit KARABULUT Sayfa 235
7.6 Viskoz Sabitlerin Viskozite ile İlişkisi
İki paralel plaka arasındaki tam gelişmiş laminer akışta akışkan elemanları normal
deformasyona maruz olmazlar. Yegane deformasyon açısal deformasyondur. Bir x,y
düzlemindeki iki boyutlu akışın teğet gerilmesi
3333 ( )
2xy xy
C v uC
x y
(7.131)
olarak belirlenir. İki plaka arasındaki akışta 0x
v
olduğu dikkate alınırsa son eşitlik
33
2xy
C u
y
(7.132)
olur. Öte yandan aynı akış için Newton
y
uxy
(7.133)
ilişkisini vermektedir. Son iki eşitliği kıyaslayarak
33 11 12 2C C C (7.134)
elde edilir. İki boyutlu akışın gerilmeleri yeniden
)y
u
x
v(xy
(7.135)
12 12 122 2xx xx yy
u u vp C C p C
x x y
(7.136)
12 12 122 2yy xx yy
v u vp C C p C
y x y
(7.137)
Gazi Üniversitesi Teknoloji Fakültesi Otomotiv Mühendisliği Bölümü
Prof. Dr. Halit KARABULUT Sayfa 236
şeklinde düzenlenebilir. Bu gerilmeler hem sıkışmaz hem de sıkışır akışkanlar için
geçerlidir.
Sıkışmaz akışkan durumunda bu eşitliklerde bulunan parantezin içerisi süreklilik
denkleminin gereği olarak sıfır olmaktadır. Bu sebeple 12C safi sıkışır akışkanlarla ilgili
bir özelliktir. 12C nin belirlenmesi konusunda G. Stokes tarafından aşağıdaki hipotez
kullanılmıştır.
Üç boyutlu akışın normal gerilmeleri
122xx xx xx yy zzp C (7.138)
122yy yy xx yy zzp C (7.139)
122zz zz xx yy zzp C (7.140)
şeklinde ortaya çıkmaktadır. Bu eşitlikler taraf tarafa toplanarak
123 2 ( ) 3 ( )
xx yy zz xx yy zz xx yy zzp C (7.141)
elde edilir. Son eşitlik ile (7.19) eşitliği birlikte değerlendirilirse
122 ( ) 3 ( ) 0
xx yy zz xx yy zzC (7.142)
3
2C
3
1C 4412 (7.143)
elde edilir.
İki boyutlu akışın teğet ve normal gerilmeleri yukarıda (7.135), (7.136) ve (7.137)
eşitlikleri ile verilmişti. Bu bölümün başında verilen lineer momentum denklemleri iki
boyutlu akış için
yxxx
x xg a
x y
(7.144)
Gazi Üniversitesi Teknoloji Fakültesi Otomotiv Mühendisliği Bölümü
Prof. Dr. Halit KARABULUT Sayfa 237
yy xy
y yg a
y x
(7.145)
şeklinde düzenlenir. Bu eşitlerin kapsadığı ivmeler viskozitesiz akışlar bölümünde
verilmiştir. Gerilmeler ve ivmeler yerine yazılırsa
2 2
2 2
1x
u u u p u uu v g
t x y x x y
(7.146)
2 2
2 2
1y
v v v p v vu v g
t x y y x y
(7.147)
olur. Üç boyutlu akış için momentum denklemleri
x2
2
2
2
2
2
gz
u
y
u
x
u
x
p1
z
uw
y
uv
x
uu
t
u
(7.148)
y2
2
2
2
2
2
gz
v
y
v
x
v
y
p1
z
vw
y
vv
x
vu
t
v
(7.149)
z2
2
2
2
2
2
gz
w
y
w
x
w
z
p1
z
ww
y
wv
x
wu
t
w
(7.150)
olup süreklilik denklemi ile birlikte kullanıldığında üç boyutlu akış alanını simüle
etmektedir
Eğer (7.148) denklemi x e göre (7.149) denklemi y ye göre (7.150) denklemi z e göre
türetilerek taraf tarafa toplanır ve süreklilik denklemi dikkate alınarak gerekli kısaltmalar
yapılırsa
z
w
y
v
z
v
y
w
z
w
x
u
x
w
z
u
y
v
x
u
x
v
y
u2
1
z
p
y
p
x
p2
2
2
2
2
2
(7.151)
Gazi Üniversitesi Teknoloji Fakültesi Otomotiv Mühendisliği Bölümü
Prof. Dr. Halit KARABULUT Sayfa 238
elde edilir. Basınç alanının sınır şartları belirli ise son eşitlik kullanılarak basınç alanı
belirlenebilir.
Bu denklemler sıkışmaz akışkanların yanı sıra ses altı hızlarda sıkışır akışkanlara da
uygulanmaktadır. Viskoz akış denklemlerinin silindirik ve küresel formu Bölüm 3'te
yapıldığı gibi koordinat transformasyonu metodu ile elde edilebilmekte olup analizleri
doğrudan bir silindirik veya küresel geometride yaparak ta elde edilebilir. Denklemleri
tam takım kısaltmadan çözmek kolay olmadığı için özel akış şartlarına göre birtakım
kısaltmalar yaparak çözüme ulaşılabilmektedir.
7.7 Viskoz Akış Denklemlerinin Silindirik ve Küresel Şekli
Üçüncü bölümde tanıtılan koordinat transformasyonları kullanılarak viskoz akışın
kartezyen geometri için elde ettiğimiz süreklilik ve momentum denklemleri silindirik ve
küresel geometriye dönüştürülebilirler.
Silindirik Şekli
Süreklilik denklemi
0vz
vr
1rv
rr
1zr
(7.152)
r momentum denklemi
r2
r
2
22
r
2
2r
rz
2
rrr
r
gz
vv
r
2v
r
1vr
rr
1
r
r
p1
z
vv
r
vv
r
v
r
vv
t
v
(7.153)
momentum denklemi
Gazi Üniversitesi Teknoloji Fakültesi Otomotiv Mühendisliği Bölümü
Prof. Dr. Halit KARABULUT Sayfa 239
gz
vv
r
2v
r
1rv
rr
1
r
p
r
1
z
vv
r
vvv
r
v
r
vv
t
v
2
2
r
22
2
2
zr
r
(7.154)
z momentum denklemi
z2
z
2
2
z
2
2
z
zz
zzr
z
gz
vv
r
1
r
vr
rr
1
z
p1
z
vv
v
r
v
r
vv
t
v
(7.155)
Küresel Şekli
Süreklilik denklemi
0vsinr
1sinv
sinr
1vr
rr
1r
2
2
(7.156)
r momentum denklemi
r2
r
2
22
r
2r
2
2
2
2
22
rrrr
r
gv
sinr
1vsin
sinr
1vr
rr
1
r
p1
r
vvv
sinr
vv
r
v
r
vv
t
v
(7.157)
momentum denklemi
gv
sin
cos
r
2v
r
2v
sinr
1
sinvsin
1
r
1
r
vr
rr
1p
r
1
r
cotv
r
vvv
sinr
vv
r
v
r
vv
t
v
22
r
2
2
22
2
2
2
2
r
r
(7.158)
momentum denklemi
Gazi Üniversitesi Teknoloji Fakültesi Otomotiv Mühendisliği Bölümü
Prof. Dr. Halit KARABULUT Sayfa 240
gv
sin
cos
r
2v
sinr
2v
sinr
1
sinvsin
1
r
1
r
vr
rr
1p
sinr
1
cotr
vv
r
vvv
sinr
vv
r
v
r
vv
t
v
22
r
22
2
22
2
2
2
r
r
(7.159)
7.8 Viskoz Akış Denklemlerinin Boyutsuz Şekli
Viskoz akışın hareket denklemlerinin analitik çözümü çok özel ve sınırlı sayıdaki haller
için mevcut olup diğer haller için sayısal çözüm gerekmektedir. Belirli bir hal için elde
edilen sayısal çözümün başka haller için geçerli olması ancak bazı şartların yerine gelmesi
ile mümkündür. Akış alanının simulasyonunda kullanılan denklemlerin boyutsuz hali elde
edildiğinde ortaya çıkan boyutsuz sayılar yerine getirilmesi gereken şartları tayin
etmektedir. Ayrıca hareket denklemlerinin boyutsuzlaştırılması ile denklemlerde yer alan
sabitlerin sayısı minimuma indirgenmektedir.
Bağımsız değişkenler olan x, y ve z nin boyutsuzlaştırılmasında karakteristik bir )L(
uzunluğu kullanılmaktadır. Bazen x, y ve z nin her biri için farklı bir uzunlukta
kullanılabilir. İç yüzey akışlarında karakteristik uzunluk olarak boru çapı, hidrolik çap
veya kanalın herhangi bir boyutu kullanılabilir. Eksenel simetrik cisimlerin çevresindeki
dış yüzey akışlarında cismin akışa dik boyutu karakteristik uzunluk olarak kullanılabilir.
Eksenel simetrik olmayan cisimlerde farklı şekillerde tanımlanan hidrolik çaplar
kullanılmaktadır. Hidrolik çap eksenel simetrik cisimler içinde kullanılabilir.
Hız bileşenlerinin boyutsuzlaştırılmasında bir )V( 0 karakteristik hızı kullanılmaktadır. İç
yüzey akışlarında karakteristik hız olarak umumiyetle ortalama hız, dış yüzey akışlarında
ise cismin uzağındaki cisimden etkilenmemiş hız kullanılmaktadır. Basıncın
boyutsuzlaştırılmasında dinamik basınç olarak tabir edilen )2/V( 0 büyüklüğü
kullanılmaktadır.
Gazi Üniversitesi Teknoloji Fakültesi Otomotiv Mühendisliği Bölümü
Prof. Dr. Halit KARABULUT Sayfa 241
Sürekli olmayan akışlarda hareket denklemleri bağımsız değişken olarak zamanı da
ihtiva etmektedir. Zamanın boyutsuzlaştırılmasında )V/L( 0 kullanılmaktadır. Reynolds
sayısı ve boyutsuz basınç
LVRe 0 , (7.160)
2/V
pp
2
0 , (7.170)
olmak üzere yukarıda verilen (7.148), (7.149), (7.150) ve (7.151) denklemlerinin
boyutsuz şekli
2 2 2
2 2 2 2
0
1
2
1
Rex
u u u u pu v w
t x y z x
u u u Lg
Vx y z
(7.171)
2 2 2
2 2 2 2
0
1
2
1
Rey
v v v v pu v w
t x y z y
v v v Lg
Vx y z
(7.172)
2 2 2
2 2 2 2
0
1
2
1
Rez
w w w w pu v w
t x y z z
w w w Lg
Vx y z
(7.173)
2 2 2
2 2 24(
)
p p p u v u v u w
x y y x x zx y z
u w v w w v
z x y z y z
(7.174)
Gazi Üniversitesi Teknoloji Fakültesi Otomotiv Mühendisliği Bölümü
Prof. Dr. Halit KARABULUT Sayfa 242
olmaktadır. Süreklilik denklemi
0z
w
y
v
x
u
(7.174)
olur.
Gazi Üniversitesi Teknoloji Fakültesi Otomotiv Mühendisliği Bölümü
Prof. Dr. Halit KARABULUT Sayfa 243
BÖLÜM 8: LAMİNER SINIR TABAKA AKIŞLARI
Yeterince geniş bir akış ortamı içerisine Şekil 8.1 deki gibi bir cisim yerleştirildiğini
kabul edelim. Cismin çevresindeki akışın simülasyonunu yapmak için akla gelen ilk iş
cismin çevresinde geniş bir bölgede süreklilik ve momentum denklemlerini çözmek
olacaktır. Ancak bu denklemleri eş zamanlı olarak cismin çevresindeki bölgede çözmek
kolay bir iş değildir. Bu iş ancak bilgisayarın sayısal çözümleme alanında kullanıma
girmesinden sonra başarılabilmiştir.
Cismin cidarında akışkan hızı sıfır olup cidara dik yönde akışkan hızı şekil 8.1 deki gibi
bir dağılım gösterir. cismin uzağındaki serbest akış hızını göstermek üzere, cidardan
itibaren bir mesafesi içerisinde olur. Bu mesafeye hidrodinamik sınır tabaka
denmektedir. Hidrodinamik sınır tabakanın dışında kalan bölgedeki akışın hız ve basınç
dağılımı potansiyel akışın hız ve basınç dağılımı ile hemen hemen aynıdır. Bu sebeple bu
bölgeye potansiyel akış bölgesi denilmektedir.
Şekil 8.1 de görüldüğü üzere cismin ileri ucundan itibaren gittikçe kalınlaşan sınır tabaka
içinde belirli bir yerde bir ters akış oluşur. Bu nokta sınır tabakanın cidardan ayrılma
noktası olarak isimlendirilmektedir. Sınır tabaka yaklaşımı bu noktanın ilerisinde
kullanışlılık arz etmez.
Hidrodinamik sınır tabaka içerisinde maksimum hız gradyanı cidarda olduğu için
maksimum kesme gerilmesi de cidarda olur. mesafesinin ötesinde hız gradyanı ile
birlikte kesme gerilmesi de sıfıra gider. Bu nın ötesinde viskozitenin akışa etkisinin
olmadığı anlamına gelir.
CU
99.0U
u
C
y
u
Gazi Üniversitesi Teknoloji Fakültesi Otomotiv Mühendisliği Bölümü
Prof. Dr. Halit KARABULUT Sayfa 244
Sınır tabaka içindeki laminer viskoz akışın denklemleri, bölüm 7 de türetilen genel viskoz
akış denklemlerinin sınır tabaka akışının özelliklerine göre basitleştirilmesi ile elde edilir.
Bu denklemlerin çözümü komple denklemlere göre daha basit olduğundan istenilen
sonuca daha çabuk götürmektedir. Bazı hallerde de genel denklemlerin çözümü için sınır
şartları yeterli olmayabilir. Bu durumlarda sınır tabaka yaklaşımı yapmak kaçınılmaz olur.
Hidrodinamik ve ısıl makinelerin tasarımında deneysel verilerin mevcut olmadığı
durumlarda sınır tabaka analizlerinden yararlanılmaktadır. Mesela türbo makinelerin
kanatçıklarının akış yönündeki uzunluğunu sınır tabaka ayrılması olmayacak biçimde
tanzim etmek gerekir. Sınır tabaka ayrılmasının yerini sınır tabaka denklemlerini çözerek
bulmak mümkün olmaktadır.
8.1 İki Boyutlu Simetrik Küt Cisimler Çevresindeki Sınır Tabaka Akışı
Şekil 8.2' de görülen akışa dik konumlu silindirik cisim iki boyutlu küt cisme bir örnektir.
Silindirin kâğıt düzlemine dik boyutu çapına kıyasla yeterince büyüktür. Bu sebeple kâğıt
düzlemine dik doğrultuda akışın özellikleri değişmemektedir. Akışın özellikleri safi x-y
düzleminde değişiklik arz ettiğinden akış iki boyutluya indirgenir. Bu akışın tam
denklemleri
Gazi Üniversitesi Teknoloji Fakültesi Otomotiv Mühendisliği Bölümü
Prof. Dr. Halit KARABULUT Sayfa 245
2
2
2
2
y
u
x
u
x
p1
y
uv
x
uu (8.1)
2
2
2
2
y
v
x
v
y
p1
y
vv
x
vu (8.2)
0y
v
x
u
(8.3)
olup, sınır tabakanın kalınlığı cismin boyutlarına kıyasla çok küçük olduğundan sınır
tabaka içinde katı cidara dik yönde oluşan basınç gradyanı akış yönünde oluşan basınç
gradyanına kıyasla ihmal edilebilir mertebededir. Basınç hariç denklem (8.2) nin ihtiva
ettiği bütün büyüklükler katı cidarda sıfırdır. Bu sebeple sınır tabakanın içerisine veya
dışarısına (8.2) denklemi ile y=0 daki sınırdan momentum transferi sıfırdır. Sınır
tabakanın bittiği yerde yani , (8.2) denkleminin terimleri yine önemsiz olduğundan
sınırından hidrodinamik sınır tabakanın içine veya dışına momentum transfer
etmede (8.2) denkleminin bir önemi yoktur. Hidrodinamik sınır tabakanın x=0 ve x=L de
bulunan sınırlarında da (8.2) denklemi ile yapılan momentum transferi sıfır veya önemsiz
olduğundan (8.2) denklemi tamamen hesap dışı bırakılabilir.
Sınır tabaka ile potansiyel akış bölgesini ayıran sınırda bulunan akış çizgisi üzerinde
Bernoulli denklemi
Cp1
U2
1 2
C
olup, türev alınarak
dx
dUU
x
p1 C
C
(8.4)
y
y
Gazi Üniversitesi Teknoloji Fakültesi Otomotiv Mühendisliği Bölümü
Prof. Dr. Halit KARABULUT Sayfa 246
elde edilir. Burada potansiyel akışın katı cidara teğet hızı olup üçüncü bölümde
görülen potansiyel akış yaklaşımı ile belirlenmektedir. Sınır tabaka içerisindeki basınç
değişimi Eşitlik (8.4) ile tanımlanmaktadır.
Bunlara ilaveten eşitlik (8.1) de bulunan terimi teriminden çok-çok küçük
olduğundan sınır şartı bulmadaki zorluktan dolayı ihmal edilir. Son şekli ile iki
boyutlu simetrik küt cisimlerin sınır tabaka denklemleri
dx
dUU
y
u
y
uv
x
uu C
C2
2
(8.5)
0y
v
x
u
(8.6)
olarak düzenlenebilir. Genel hareket denklemlerinin sınır tabaka akışına göre kısaltılması
hususunda daha geniş bilgi için Referans 8, 26 ve 27'ye bakınız. Son iki denklemin
çözümü için gerekli olan sınır şartları
0u,0x (8.7)
CU
2
2
x
u
2
2
y
u
2
2
x
u
Gazi Üniversitesi Teknoloji Fakültesi Otomotiv Mühendisliği Bölümü
Prof. Dr. Halit KARABULUT Sayfa 247
0v,0u,0y (8.8)
CUu,y (8.9)
olarak tanzim edilebilir.
Bu denklemlere similarity transformasyonu kullanarak, x yönünde seriye açarak, sonlu
fark eşitliklerine dönüştürerek sayısal çözüm bulmak mümkündür. Ancak similarity
transformasyonu kullanma ve x yönünde seriye açma yöntemleri bilgisayar öncesi devirde
kullanılan yöntemler olup bugün için bir değeri yoktur. Aşağıda bu denklemlerin bir
silindirin çevresinde oluşan sınır tabaka için sonlu fark metodu ile çözümü izah
edilmektedir.
Aşağıda (8.5) ve (8.6) denklemlerinin ihtiva ettiği türevlerin sonlu fark ifadeleri
verilmiştir.
x
uu
x
u j,ij,1i
fd
(8.10)
x
uu
x
u j,1ij,i
bd
(8.11)
y
uu
y
u j,i1j,i
fd
(8.12)
y
uu
y
u 1j,ij,i
bd
(8.13)
2
1j,ij,i1j,i
cd
2
2
y
uu2u
y
u
(8.14)
(8.15)
y
vv
y
v 1j,ij,i
bd
(8.16)
y
vv
y
v j,i1j,i
fd
Gazi Üniversitesi Teknoloji Fakültesi Otomotiv Mühendisliği Bölümü
Prof. Dr. Halit KARABULUT Sayfa 248
Yukarıdaki eşitliklerden türevinin bir tek sonlu fark şeklinin olduğu görülmektedir.
Bu türevin sonlu fark şekli (8.5) denklemine konduğunda nin işareti pozitif
olmaktadır. (8.5) denkleminde bulunan diğer türevlerin sonlu fark şekli seçilirken nin
işaretinin her terimde aynı olmasına dikkat edilir. Hız bileşenleri u ve v nin pozitif işaretli
olduğu bölgede seçim
dx
dUU
y
u
y
uv
x
uu C
C
cd
2
2
bdbd
(8.17)
şeklinde yapılır ve sonuçta
dx
dUUuu
yu
y
vu
x
u
y
2
y
v
x
uu C
C1j,i1j,i21j,ij,1i2j,i
(8.18)
Sonlu fark eşitliği elde edilir. Aynı mantıkla v nin negatif, u nun pozitif olduğu bölge için
türevlerin sonlu fark seçimi
dx
dUU
y
u
y
uv
x
uu C
C
cd
2
2
fdbd
(8.19)
şeklinde yapılır ve neticede
dx
dUUuu
yu
y
vu
x
u
y
2
y
v
x
uu C
C1j,i1j,i21j,ij,1i2j,i
(8.20)
denklemi elde edilir. Sınır tabaka içerisinde hızın bileşeninin negatif olduğu bölge
ayrılma noktasının ilerisinde oluşmakta olup, kullanılan denklemler bu bölgede zaten
geçersiz olduğundan u nun negatif olduğu bölge için sonlu fark denklemi elde etmek
lüzumsuzdur. Yukarıdaki eşitliklerde bulunan indissiz u ve v hızları (i,j) noktasında
tanımlı değerler olup hesaba başlarken bunlar için sınır şartlarından faydalanarak makul
atma değerler kullanılır.
2
2
y
u
j,iu
j,iu
u
Gazi Üniversitesi Teknoloji Fakültesi Otomotiv Mühendisliği Bölümü
Prof. Dr. Halit KARABULUT Sayfa 249
Hızın v bileşeni için safi y=0 da bir sınır şartı mevcut olduğundan (8.6) denkleminde
bulunan türevi için eşitlik (8.13) ile verilen geri fark seçeneğini kullanmak gerekir.
Aynı eşitlikte bulunan türevi içinde (8.11) ile verilen geri fark yaklaşımını kullanmak
gerekir çünkü u için x e bağlı yegâne sınır şartı x=0 da verilmektedir. Bu durumda Eşitlik
(8.6) sonlu fark şekli
j,ij,1i1j,ij,i uux
yvv
(8.21)
olur.
Her ne kadar x ekseni bir eğri olsa da eğrilik yarıçapı sınır tabakanın kalınlığına göre çok
büyük olduğundan çözüm bölgesi Şekil 8.3' de görüldüğü üzere düzgün bir bölge gibi
kabul edilebilir. Çözüm bölgesinde gridler oluşturulurken y doğrultusunda daha sık
tarama yapılır.
Şekil 8.3' de görülen düğüm noktalarındaki ve hız bileşenlerinin belirlenmesi için
(8.18), (8.20) ve (8.21) denklemleri iteratif olarak kullanılacaktır. Çözümleme işlemine
I=2 çizgisinden başlanır. I=1 çizgisi sınırda olup bu çizgi üzerinde u bileşeni sıfır olarak
zaten verilmekte, v bileşeni hesaba başlamak için discretize eşitliklerden görüldüğü üzere
lüzumlu olmamaktadır. I=1 çizgisi üzerinde bulunan j=2,3,4,5,6,7 nolu düğüm
y
v
x
u
j,iu j,iv
Gazi Üniversitesi Teknoloji Fakültesi Otomotiv Mühendisliği Bölümü
Prof. Dr. Halit KARABULUT Sayfa 250
noktalarındaki hız bileşenleri hesaplanır. j=1 ve j=8 nolu düğüm noktaları sınırda
olduğundan bu noktalardaki u bileşeni sınır şartlarından belirli, keza j=1 deki v bileşeni
de sınır şartından belirli, j=8 deki v bileşeni ise hesap işlemlerinin yürümesi için yukarıda
verilen denklemlerde lüzumlu değildir. j=2,3,4,5,6,7 noktaları için birinci turdan
hesaplanan u ve v değerlerinin doğru olması mümkün değildir. Çünkü hesaba u ve v için
atma değerle başladık. Ancak hesaplanan değerler atma değerlerden daha doğrudur.
Birinci tur hesaptan çıkan değerler kullanılarak hesap tekrarlanırsa daha doğru sonuçlar
elde edilir. İşleme devam edilirse neticede turdan tura değişmeyen doğru değerlere
ulaşılır. Sonra I=3 ve müteakip çizgiler üzerindeki noktalara aynı metot uygulanarak sınır
tabakanın katı cidardan ayrıldığı yere kadar gidilir. Ayrılma noktasının ötesinde ne sınır
tabaka mevcut ne de sınır tabaka denklemlerinin geçerliği mevcuttur. Hesaba başlarken
çözüm bölgesinin y yönündeki boyutu bilinmediğinden tahmini bir değerle başlanır.
Eğer işletilen yetersiz ise u nun y yönündeki profilinin ucunda gerçekleşmez.
Hesabı daha büyük bir ile yenilemek gerekir. Gereğinden fazla kullanmak gerek
iteratif çözümleme işleminin süresini uzatması gerek sınır tabaka kavramının esasları ile
çelişmesi nedeni ile tercih edilmez.
8.2 Silindir Çevresindeki Sınır Tabaka Akışı
Akışa dik yerleştirilmiş bir silindirin çevresinde oluşan sınır tabakanın içerisindeki akışın
simülasyonunun yapılabilmesi için önce silindirin çevresindeki potansiyel akış hızı
nin belirlenmesi gerekir. Potansiyel akış modelinden elde edilen denklem (3.239) nin r ye
göre türevi alınır sonra yazılırsa, potansiyel akışın teğet hızının dağılımı
U U U x DC 2 2 2sin sin( / ) (8.22)
olarak belirlenir.
0y
u
UC
r ro
Gazi Üniversitesi Teknoloji Fakültesi Otomotiv Mühendisliği Bölümü
Prof. Dr. Halit KARABULUT Sayfa 251
Şekil 8.4' de atmosferik basınç ve yoğunlukta, 20 m/s lik hıza sahip bir hava akımı
içerisine yerleştirilen 20 mm çapındaki bir silindirin çevresinde oluşan sınır tabaka
içindeki hız profilleri görülmektedir.
Görüldüğü üzere 91.88 derece için verilen hız profilinde cidardan itibaren 0.30 mm nin
ilerisinde hız değişiklik arz etmemektedir. Sınır tabaka kalınlığı olarak isimlendirdiğimiz
bu mesafe 101 derece için verilen eğride 0.6 mm gibi bir değere ulaşmaktadır. Hatta sınır
tabakanın serbest akış bölgesinden kesin hatlarla ayrılmadığı görülmektedir. Üstelik 101
derece için verilen eğride y=0 civarında olduğu görülmektedir. Bu durum 101
derece civarında sınır tabakanın cidardan ayrıldığı anlamına gelir. Blasius serisi ile
yapılan çözümlemelerde silindir çevresindeki sınır tabakanın ayrılma noktası 108 derece
olarak belirlenmiştir. Burada kullanılan sonlu fark yöntemi ile de 108 dereceye yaklaşmak
mümkündür. Ancak y doğrultusunda daha sık grid kullanmak gerekir. Ayrılma noktasını
müteakip bir vortex oluşur ve vortex’ten sonra tekrar bir sınır tabaka daha gelişmeye
başlar. Ancak vortex akışı karıştırdığı için vortexten sonra gelişen sınır tabaka türbülanslı
olmak zorundadır. Şekil 8.4 te verilen hız profilleri aşağıda verilen CYLINDER isimli
bilgisayar programından elde edilmiştir.
0.0y
u
Gazi Üniversitesi Teknoloji Fakültesi Otomotiv Mühendisliği Bölümü
Prof. Dr. Halit KARABULUT Sayfa 252
Gazi Üniversitesi Teknoloji Fakültesi Otomotiv Mühendisliği Bölümü
Prof. Dr. Halit KARABULUT Sayfa 253
8.3 İnce Düz Levhaların Yüzeylerinde Oluşan Sınır Tabaka İçinde Akış
Akışa paralel yerleştirilmiş ince düz levhaların ileri ucundan başlayarak geri doğru bir
sınır tabaka gelişir. Sınır tabakanın ileri uçtaki kalınlığı sıfır olup ileri uçta akışın teğet
hızının profili Şekil 8.5' te görüldüğü gibi üniform kabul edilmektedir. Sınır tabaka
içerisindeki akışı yöneten eşitlikler küt cisimlerin çevresindeki sınır tabaka akışını
yöneten eşitliklerden farklılık arz etmektedir. Cisim ince olduğu için x doğrultusunda
basınç değişimi olmaz. Hareket denklemleri
Gazi Üniversitesi Teknoloji Fakültesi Otomotiv Mühendisliği Bölümü
Prof. Dr. Halit KARABULUT Sayfa 254
2
2
y
u
y
uv
x
uu
(8.23)
u
x
v
y 0 (8.24)
şeklinde kısalır. Denklem (8.23) ün
uu
x
v
y y
u
xu
v
yu
yu ui j i j i j i j i j, , , , ,
22 1 1 2 1 1
(8.25)
şeklinde discretize edilmesi mümkündür. Görüldüğü üzere x momentum denklemi aynen
küt cisimlerin x momentum denklemi gibi discretize edilmektedir. Süreklilik denklemi
küt cisimlerin süreklilik denklemi gibi discretize edilirse netice vermemektedir. Pleyt
üzerindeki akışta küt cisimlerin sınır şartlarına ilaveten
y v , 0
şeklinde bir sınır şartı daha mevcut olduğu için süreklilik denklemini
v vy
xu ui j i j i j i j, , , , 1 1
(8.26)
şeklinde discretize etmekte mümkündür. Bu yaklaşım çözümleme açısından avantajlı
olmakla birlikte sonuçlar tartışılabilir. Çünkü bu algoritim y doğrultusunda cidara doğru
Gazi Üniversitesi Teknoloji Fakültesi Otomotiv Mühendisliği Bölümü
Prof. Dr. Halit KARABULUT Sayfa 255
asılsız bir v hızı yaratmaktadır. Kusursuz netice elde etmek için çok fazla grid kullanmak
gerekmektedir.
Şekil 8.6 da hava akımı içerisine yerleştirilmiş bir pleytin yüzeylerinde oluşan
hidrodinamik sınır tabaka içerisinde oluşan teğet hız profilleri verilmiştir. Akışın geldiği
tarafta bulunan uçtan itibaren 10. ve 20. mm için belirlenen hız profillerinin birbirini
kestiği görülmektedir. Bunun sebebi sınır tabaka içerisinde hafif bir çalkantının olmasıdır.
Akış yönünde uzaklaştıkça bu çalkantı yok olmaktadır. Görüldüğü üzere akışın geldiği
tarafta bulunan uçtan diğer uca doğru uzaklaştıkça teğet hız profili değişmekte y=0 daki
hız gradyanı azalmaktadır. İleri uçtan belirli bir uzaklıkta hız gradyanı sıfır olacak ve sınır
tabaka ayrılması zuhur edecektir. Pleyt üzeri akışta sınır tabaka ayrılması küt cisimlere
göre daha geç olmaktadır. Bunun sebebi basınç gradyanının sınır tabaka ayrılmasını
çabuklaştıran etkisinin ortadan kalkmasıdır. Şekil 8.6 da görülen hız profilleri aşağıda
verilen PLATE isimli programın sonuçlarıdır.
Gazi Üniversitesi Teknoloji Fakültesi Otomotiv Mühendisliği Bölümü
Prof. Dr. Halit KARABULUT Sayfa 256
8.4 İki Paralel Plaka Arasındaki Giriş Bölgesi Akışı
Bölüm 4 de açıklandığı üzere paralel düz yüzeyler arasındaki kanallarda zuhur eden
akışı, giriş bölgesi ve tam gelişmiş akış bölgesi olmak üzere iki bölüme ayırmak
mümkündür. Tam gelişmiş akış tek boyutlu bir akış olup hâlihazırda Bölüm 4 de
incelenmiştir. İki boyutlu bir akış türü olan giriş bölgesi akışı bu kısımda ele alınmaktadır.
Bu bölgedeki akış sınır tabaka denklemleri ile simülasyon yapılabilmektedir.
Pleyt üzerindeki akışta olduğu gibi düz yüzeyler arasındaki giriş bölgesi akışında da
kanalın girişinden itibaren yüzeyler üzerinde sınır tabaka gelişmeye başlar ve akış
Gazi Üniversitesi Teknoloji Fakültesi Otomotiv Mühendisliği Bölümü
Prof. Dr. Halit KARABULUT Sayfa 257
istikametinde kalınlaşır. Kanalın girişinden itibaren belirli bir yerde bu iki sınır tabaka
birbirine kavuşur ve sınır tabaka akışı tam gelişmiş akışa dönüşür.
Küt cisimlerin çevresindeki akışta basıncın sınır tabaka içinde akış doğrultusundaki
değişimi potansiyel akıştan belirlenmekte, pleyt çevresindeki akışta da akışın fiziki
şartlarından dolayı sıfır olmakta idi. Fakat giriş bölgesi akışlarında basıncın değişiminin
öncelikle belirlenmesi mümkün değildir.
İki pleyt arasındaki giriş bölgesi akışlarının simülasyonunda
uu
xv
u
y
u
y
p
x
2
2
1 (8.27)
u
x
v
y 0 (8.28)
denklemleri kullanılmaktadır. Basıncın akış doğrultusundaki değişimi de bir
bilinmeyen olduğu için bir denkleme daha ihtiyaç vardır. Bu boşluğu doldurmak için
integral süreklilik denklemi
uh
udyh
1
0 (8.29)
kullanılabilir. İntegral süreklilik denkleminde ortalama hızı göstermekte olup kanalın
girişindeki üniform hıza eşittir. Denklem (8.27) ve (8.28) in discretize edilmiş şekli
, 1, , 1 , 1 , 12 2
2 1i j i j i j i j i j
u v u v dpu u u u u
x y y x y y dx
(8.30)
j,ij,1i1j,ij,i uu
x
yvv
(8.31)
olur. Bu eşitlikte bulunan indis verilmemiş hız bileşenleri u ve v, (i,j) noktasına ait
değerlerdir. Denklem (8.29) de bulunan integral sayısal olarak çözülebilir. Bunun için
trapezoid dönüşümü
p
x
u
Gazi Üniversitesi Teknoloji Fakültesi Otomotiv Mühendisliği Bölümü
Prof. Dr. Halit KARABULUT Sayfa 258
uh
u uy
i j i j
j
j
1
21
1
( ), ,
max (8.32)
kullanılabilir. Problemin sınır şartları
x u Ui 0, (8.33)
y u v 0 0 0, , (8.34)
y h u , 0 (8.35)
şeklinde tanzim edilebilir. Kanalın girişinde her şey sınır şartlarından belirli olduğu için
çözümlemeye den başlanır. belirsiz olduğu için atma bir değer kullanılır. Bu
atma değere göre de u ve v nin dağılımı belirlenir. Sonra eşitlik (8.29) u
kullanarak ortalama hız belirlenir. Belirlenen bu ortalama hız kanalın girişindeki uniform
hıza eşit değilse için yeni bir değer atılır ve işlem tekrarlanır. Bu sürecin sonunda
deki u, v ve belirlenir. Sonra aynı işlemler de tekrarlanır. Bu tarzda
devam ederek giriş bölgesinin tamamında u, v ve in dağılımı belirlenir. Belirli bir
yerden sonra in değişimi sıfır olmamakla birlikte yeterince küçülecektir. Bu sonuç
giriş bölgesinin bittiği anlamına gelir. Hakikatte in değişimi asimptotik olarak
sonsuza kadar devam eder. Şekil 8.7 görülen u profilleri ve Şekil 8.8' de görülen
profili aşağıda verilen INLET isimli programdan elde edilen sonuçlardır. Bu sonuçlar
genişliği 1 mm olan ve içerisinden atmosferik yoğunlukta ve viskozitede hava akan bir
kanalın giriş bölgesi için elde edilmiştir. Şekil 8.8' de kanalın girişinde in sonsuz
olduğu görülmektedir. Bunun sebebi kanalın girişinde nin sonsuz olmasıdır.
x x
p
x
x x
p
x
x x
p
xx x 2
p
x
p
x
p
x
p
x
p
x
( )
u
yrw
Gazi Üniversitesi Teknoloji Fakültesi Otomotiv Mühendisliği Bölümü
Prof. Dr. Halit KARABULUT Sayfa 259
Kanalın girişinde nin sonsuz olmasını yaratan fiziki sebep de kullanılan sınır
şartıdır. Akışkan viskoz olduğu sürece kanalın girişinde üniform hız dağılımı mümkün
değildir. Buradaki hız dağılımı belirsiz olduğundan zorunlu olarak üniform hız varsayımı
yapılmaktadır.
( )
u
yrw
Gazi Üniversitesi Teknoloji Fakültesi Otomotiv Mühendisliği Bölümü
Prof. Dr. Halit KARABULUT Sayfa 260
Gazi Üniversitesi Teknoloji Fakültesi Otomotiv Mühendisliği Bölümü
Prof. Dr. Halit KARABULUT Sayfa 261
Gazi Üniversitesi Teknoloji Fakültesi Otomotiv Mühendisliği Bölümü
Prof. Dr. Halit KARABULUT Sayfa 262
8.5 Silindirik Borularda Giriş Bölgesi Akışı
Bir silindirik boru bir serbest akış ortamında akışa paralel duracak şekilde
konumlandırılırsa buruya bir uçtan girip diğer uçtan çıkan akışkan borunun girişinden
başlayıp içeri doğru giderken gittikçe kalınlaşan bir sınır tabaka oluşturur. Sınır tabakanın
kalınlığı borunun içerisinde bir yerde borunun yarıçapına eşitlenir. Bu noktadan itibaren
akış tam gelişmiş akış olup, boru içindeki tam gelişmiş akış bölüm 4 te incelenmiştir. Tam
gelişmiş akıştan önceki akışa giriş bölgesi akışı denilmekte olup bu akışın mevcut olduğu
yerin uzunluğu 5L
D şeklinde bir eşitlik ile tanımlanmaktadır. Bu eşitlikte bulunan L ile
borunun girişinden itibaren akış yönündeki mesafe D ile borunun çapı gösterilmektedir.
Bölüm 7 de silindirik geometride zuhur eden 3 boyutlu laminer akışın momentum, r
momentum, z momentum ve süreklilik denklemleri sırası ile
gz
vv
r
2v
r
1rv
rr
1
r
p
r
1
z
vv
r
vvv
r
v
r
vv
t
v
2
2
r
22
2
2
zr
r
(8.36)
r2
r
2
22
r
2
2r
rz
2
rrr
r
gz
vv
r
2v
r
1vr
rr
1
r
r
p1
z
vv
r
vv
r
v
r
vv
t
v
(8.37)
z2
z
2
2
z
2
2
z
zz
zzr
z
gz
vv
r
1
r
vr
rr
1
z
p1
z
vv
v
r
v
r
vv
t
v
(8.38)
0vz
vr
1rv
rr
1zr
(8.39)
Gazi Üniversitesi Teknoloji Fakültesi Otomotiv Mühendisliği Bölümü
Prof. Dr. Halit KARABULUT Sayfa 263
şeklinde verilmiştir. Buru ekseninin doğrultusu ile akışın doğrultusu aynı olduğu sürece
silindirik borunun girişindeki akışta hızın bileşeni mevcut değildir. Bu sebeple eşitlik
(8.36) işlem dışı kalır. Boru girişindeki sınır tabaka içerisine yada dışarısına r momentum
denklemi ile taşınan momentum, z momentum denklemi ile taşınan momentumdan çok
daha az olduğundan eşitlik (8.37) de işlem dışı kalmaktadır. Giriş bölgesindeki akışta V
nın mevcut olmadığı, akışın sürekli olduğu, yönünde hız değişimi olmadığı, ayrıca
2
2
1z z
v vr
r r r z
olduğu dikkate alınarak eşitlik (8.38) ve (8.39)
v
r
v
r
v
z
r r z 0 (8.40)
vv
rv
v
z
v
r r
v
r
p
zr
z
z
z z z
2
2
1 1 (8.41)
şeklinde kısaltılır. Kısaltma konusunda detaylı bilgi için referans 8, 26 ve 27'ye bakınız.
Bu eşitliklerde bulunan de bir bilinmeyen olduğu için bir denklem daha
gerekmektedir. Bu maksatla integral süreklilik denklemi
drrv2Qwr
0z (8.42)
kullanılabilir. Sınır şartları
z v Vz i 0, (8.43)
rv
rvz
r 0 0 0, ,
(8.44)
r r vw z , 0 (8.45)
şeklinde düzenlenebilir. Burada boru girişindeki üniform hızdır.
p
z
Vi
Gazi Üniversitesi Teknoloji Fakültesi Otomotiv Mühendisliği Bölümü
Prof. Dr. Halit KARABULUT Sayfa 264
Denklem (8.40) ve (8.41) stability ve sınır şartlarına riayet ederek discretize edilirse
vr r z
v vr
vr i j z i j z i j r i j( , ) ( , ) ( , ) ( , )( )1 1 1 1
1 1
(8.46)
)1j,i(z)1j,i(z)1j,i(z2)j,1i(zz
)1j,i(zr
2
zr)j,i(z
vrr
vvr
vz
v
vr
v
z
p1)
rrr
2
z
v
r
v(v
(8.47)
neticeleri elde edilir. Denklem (8.42) de verilen integralin Trapezoit dönüşümü
Q r v vr
i
j
j
z i j z i j
221
1max
( , ) ( , )
(8.48)
olur. Discretize denklemlerin kullanım prosedürü iki pleyt arasındaki giriş bölgesi akışı
için verilen prosedürden hiç bir farklılık arz etmediğinden burada tekrarlanmayacaktır.
Şekil 8.9 da görülen profilleri, Şekil 8.10 da görülen profilleri ve Şekil 8.11 de
görülen profili aşağıda verilen INLETTUB isimli programdan elde edilen sonuçlardır.
Bu sonuçlar çapı 2 mm olan ve içerisinden atmosferik yoğunlukta ve viskozitede hava
akan bir kanalın giriş bölgesi için elde edilmiştir.
v z v r
p
x
Gazi Üniversitesi Teknoloji Fakültesi Otomotiv Mühendisliği Bölümü
Prof. Dr. Halit KARABULUT Sayfa 265
Gazi Üniversitesi Teknoloji Fakültesi Otomotiv Mühendisliği Bölümü
Prof. Dr. Halit KARABULUT Sayfa 266
Gazi Üniversitesi Teknoloji Fakültesi Otomotiv Mühendisliği Bölümü
Prof. Dr. Halit KARABULUT Sayfa 267
8.6 Dikdörtgen Kesitli Borularda Giriş Bölgesi Akışı
Dikdörtgen kesitli bir kanal bir serbest akış ortamına akışa paralel biçimde yerleştirilirse,
kanala akışkan uniform bir hız dağılımı ile girer ve kanala dik olan her iki koordinatta
yavaş yavaş tam gelişmiş parabolik şekle dönüşür. Bu akış otomobil radyatörlerinin ve
kompakt ısı eşanjörlerinin tasarımında önem arz etmektedir.
Akış yönünde girişten itibaren kanalın cidarlarında viskoz sınır tabaka gelişmesi
olmaktadır (Şekil 8.12). Girişte viskoz sınır tabakanın kalınlığı sıfır olup akış yönünde
büyümektedir. Eğer kanalın akış yönündeki boyutu yeterince uzunsa her dört cidarda
Gazi Üniversitesi Teknoloji Fakültesi Otomotiv Mühendisliği Bölümü
Prof. Dr. Halit KARABULUT Sayfa 268
oluşan sınır tabakalar bir yerde birleşecektir. Bu noktadan itibaren akış tam gelişmiş olup
hız profilinde herhangi bir
Şekil 8.12
değişme söz konusu değildir. Hem kanalın girişinde hem de tam gelişmiş bölgede hızın
cidarlara dik bileşenleri mevcut değildir. Radyatörlerde ve hava soğutmalı kompakt ısı
eşanjörlerinde kanalın boyu tam gelişmiş akışın oluşacağı kadar uzun değildir. Basınç
değişimi safi akış doğrultusunda olmaktadır. Kanal içerisinde hâkim hız bileşeni kanal
eksenine paralel olan hız bileşenidir. Dar kanallardaki bu tür akışlara laminer sıkışmaz
akış muamelesi yapılabilir.
Akışı modellemede
2
2
2
2
y
u
x
u
x
p1
z
uw
y
uv
x
uu (8.49)
2
2
2
2
y
v
x
v
y
p1
z
vw
y
vv
x
vu (8.50)
2
2
2
2
y
w
x
w
z
p1
z
ww
y
wv
x
wu (8.51)
z
w
y
v
z
v
y
w
z
w
x
u
x
w
z
u
y
v
x
u
x
v
y
u2
1
z
p
y
p
x
p2
2
2
2
2
2
(8.52)
Gazi Üniversitesi Teknoloji Fakültesi Otomotiv Mühendisliği Bölümü
Prof. Dr. Halit KARABULUT Sayfa 269
CAC dydxwAW (8.53)
denklemleri kullanılabilir. Son eşitlikte bulunan cA kanalın akış kesitini göstermektedir.
Problemin çözüm bölgesi Şekil 8.13 de görülmektedir.
Akış yönü (W)Şekil 8.13
hD hidrolik çap olmak üzere hD/xX , hD/yY , hD/zZ boyutsuz koordinatları ve,
2/W
pP
2
,
hDW
Re boyutsuz değerleri kullanılarak (8.49,8.50,8.51,8.52,8.53)
denklemleri
2
2
2
2
Y
U
X
U
Re
1
X
P
2
1
Z
UW
Y
UV
X
UU , (8.54)
2
2
2
2
Y
V
X
V
Re
1
Y
P
2
1
Z
VW
Y
VV
X
VU , (8.55)
Gazi Üniversitesi Teknoloji Fakültesi Otomotiv Mühendisliği Bölümü
Prof. Dr. Halit KARABULUT Sayfa 270
2
2
2
2
Y
W
X
W
Re
1
Z
P
2
1
Z
WW
Y
WV
X
WU , (8.56)
)Z
V
Y
W
Z
W
Y
V
X
W
Z
U
Z
W
X
U
X
V
Y
U
Y
V
X
U(4
Z
P
Y
P
X
P2
2
2
2
2
2
(8.57)
2
h
C
D
AdYdXW (8.58)
şeklinde boyutsuzlaştırılır. U, V, W ve P nin hesabında sırası ile (8.54), (8.55), (8.56) ve
(8.57) eşitliklerinin sonlu fark şekli kullanılmaktadır. Sonlu fark denklemlerinin
çözümünde Newton-Raphson metodu daha avantajlı olmaktadır.
Denklem (8.54) nın sonlu fark şeklini kullanarak Newton-Raphson metodu ile U yu
hesaplamak için,
1n
k,j,i
1n
k,j,i
n
k,j,i
U
Ru
RuUU
(8.59)
düzenlemesi yapılır. Burada 1n
k,j,iU ve n
k,j,iU ile U nun iteratif olarak düzeltilen nodal
değerleri gösterilmektedir. Giriş bölgesi akışlarında W daima pozitif değerler almaktadır.
Hızın diğer bileşenleri pozitif veya negatif değerler alabilir. Denklem (8.54) dan Ru yu
elde etmek için U nun X ve Y ye göre ikinci mertebe türevleri merkezi fark yaklaşımları
ile ifade edilir. U nun Z ye göre birinci mertebe türevi geri fark yaklaşımı ile ifade edilir
çükü Unun sınır şartı kanalın girişinde verilmektedir. U’ nun X ve Y ye göre birinci
mertebe türevlerinin sonlu fark şekli yazılırken, U ve V nin negatif mi pozitif mi olduğu
dikkate alınır. U nun birinci mertebe türevleri geri fark yaklaşımı ile ifade edilerek, U ve
V nin pozitif değerleri için denklem (8.54) den
Gazi Üniversitesi Teknoloji Fakültesi Otomotiv Mühendisliği Bölümü
Prof. Dr. Halit KARABULUT Sayfa 271
).PP(X4
1
)UU2U(YRe
1
)UU2U(XRe
1)UU(
Z
W
)UU(Y
V)UU(
X
URu
1n
k,j,1i
1n
k,j,1i
1n
k,1j,i
1n
k,j,i
1n
k,1j,i2
1n
k,j,1i
1n
k,i,i
1n
k,j,1i2
1n
1k,j,i
1n
k,j,i
1n
k,j,i
1n
k,1j,i
1n
k,j,i
1n
k,j,i1n
k,j,1i
1n
k,j,i
1n
k,j,i
(8.60)
22
1n
k,j,i
1n
k,j,i
1n
k,j,i
1n
k,j,i YRe
2
XRe
2
Z
W
Y
V
X
U
U
Ru
(8.61)
elde edilir. U nun birinci mertebe türevleri ileri fark yaklaşımı ile ifade edilerek, U ve V
nin negatif değerleri için,
).PP(X4
1
)UU2U(YRe
1
)UU2U(XRe
1)UU(
Z
W
)UU(Y
V)UU(
X
URu
1n
k,j,1i
1n
k,j,1i
1n
k,1j,i
1n
k,j,i
1n
k,1j,i2
1n
k,j,1i
1n
k,i,i
1n
k,j,1i2
1n
1k,j,i
1n
k,j,i
1n
k,j,i
1n
k,j,i
1n
k,1j,i
1n
k,j,i1n
k,j,i
1n
k,j,1i
1n
k,j,i
(8.62)
22
1n
k,j,i
1n
k,j,i
1n
k,j,i
1n
k,j,i YRe
2
XRe
2
Z
W
Y
V
X
U
U
Ru
. (8.63)
elde edilir. U ve V nin değeri ister pozitif olsun ister negatif aynı veriler kullanıldığı
zaman denklem (8.60) ve (8.62) birbirine son derece yakın Ru değerleri vermektedir. Bu
sebeple Ru nun hesabında bu eşitliklerden herhangi biri kullanılabilir.
Denklem (8.61) ve (8.63) kullanılarak 1n
k,j,iU
Ru
hesaplanırsa farklı sonuçlar ortaya çıkar.
Katsayı durumundaki U ve V nin pozitif olması durumunda geri fark, negatif olması
Gazi Üniversitesi Teknoloji Fakültesi Otomotiv Mühendisliği Bölümü
Prof. Dr. Halit KARABULUT Sayfa 272
durumunda ileri fark kullanmanın önemi burada ortaya çıkmaktadır. Yukarda dikkate
alınan iki hale ilaveten birde U nun negatif V nin pozitif ve U nun pozitif V nin negatif
olduğu halleri dikkate alırsak 1n
k,j,iU
Ru
nun hesabında 4 farklı denklemin şartlı olarak
kullanılması gerektiği ortaya çıkar. Öte yandan 1n
k,j,iU
Ru
yu
22
1n
k,j,i
1n
k,j,i
1n
k,j,i
1n
k,j,i YRe
2
XRe
2
Z
W
Y
V
X
U
U
Ru
(8.64)
şeklinde ifade edersek 1n
k,j,iU
Ru
nin hesabında dört farklı denklemin şartlı kullanımı
gereksiz olacaktır. Newton-Raphson metodunu kullanmanın avantajı burada ortaya
çıkmaktadır. Denklem (8.55) ve (8.57) nin sonlu fark şeklinin elde edilmesi hiçbir
farklılık arz etmeyip işlemin neticesinde aşağıdaki denklemeler elde edilmektedir.
1n
k,j,i
1n
k,j,i
n
k,j,i
V
Rv
RvVV
(8.65)
).PP(Y4
1
)VV2V(YRe
1
)VV2V(XRe
1)VV(
Z
W
)VV(Y
V)VV(
X
URv
1n
k,1j,i
1n
k,1j,i
1n
k,1j,i
1n
k,j,i
1n
k,1j,i2
1n
k,j,1i
1n
k,i,i
1n
k,j,1i2
1n
1k,j,i
1n
k,j,i
1n
k,j,i
1n
k,j,i
1n
k,1j,i
1n
k,j,i1n
k,j,i
1n
k,j,1i
1n
k,j,i
(8.66)
22
1n
k,j,i
1n
k,j,i
1n
k,j,i
1n
k,j,i YRe
2
XRe
2
Z
W
Y
V
X
U
V
Rv
(8.67)
Gazi Üniversitesi Teknoloji Fakültesi Otomotiv Mühendisliği Bölümü
Prof. Dr. Halit KARABULUT Sayfa 273
1n
k,j,i
1n
k,j,i
n
k,j,i
W
Rw
RwWW
(8.68)
).PP(Z4
1
)WW2W(YRe
1
)WW2W(XRe
1)WW(
Z
W
)WW(Y
V)WW(
X
URw
1n
1k,j,i
1n
1k,j,i
1n
k,1j,i
1n
k,j,i
1n
k,1j,i2
1n
k,j,1i
1n
k,i,i
1n
k,j,1i2
1n
1k,j,i
1n
k,j,i
1n
k,j,i
1n
k,j,i
1n
k,1j,i
1n
k,j,i1n
k,j,i
1n
k,j,1i
1n
k,j,i
(8.69)
22
1n
k,j,i
1n
k,j,i
1n
k,j,i
1n
k,j,i YRe
2
XRe
2
Z
W
Y
V
X
U
W
Rw
(8.70)
Basınç alanının hesabında kullanılacak olan (8.57) denkleminin nin sonlu fark şekli,
1n
k,j,i
1n
k,j,i
n
k,j,i
P
Rp
RpPP
(8.71)
k,j,i
1n
2k,j,1i
1n
1k,j,i
1n
k,j,i2
1n
k,1j,i
1n
k,j,i
1n
k,1j,i2
1n
k,j,1i
1n
k,j,i
1n
k,j,1i2
)PP2P(Z
1
)PP2P(Y
1
)PP2P(X
1Rp
(8.72)
2221n
k,j,iZ
1
Y
2
X
2
P
Rp
. (8.73)
olur. Sınır şartları boyutsuz koordinatlar için
Gazi Üniversitesi Teknoloji Fakültesi Otomotiv Mühendisliği Bölümü
Prof. Dr. Halit KARABULUT Sayfa 274
wm
w
wm
w
i
PP,0W,0V,0U,YY
PP,0W,0V,0U,0Y
PP,0W,0V,0U,XX
PP,0W,0V,0U,0X
0Z
P,PP,1W,0V,0U,0Z
şeklinde düzenlenebilir. Denklem (8.58) nin nodal değerler cinsinden ifadesi
)1jm)(1im(4WWWW 1j,1i1j,ij,1ij,i
jm
1j
im
1i
(8.74)
olur.
Bu problem Z koordinatında bir başlangıç değer problemi olup kanalın girişinde basınç
alanı için iki sınır şartı verilmektedir. Bu sebeple grid düzlemlerinden ikisi kanalın
dışarısında kalacak biçimde bir gridlendirme yapılır. İlk iki düzlemdeki hız ve basınç
alanları sınır şartları ile verilmektedir. Çözümleme işlemine üçüncü düzlemden başlanır.
Üçüncü düzlem kanalın tam girişinde bulunmaktadır. Üçüncü düzlemin sınırlarında
çepeçevre basıncın aynı olduğu kabul edilerek bir değer tahmin edilir ve ilgili eşitlikler
kullanılarak nodal basınç değerleri belirlenir. Müteakiben belirlenen nodal basınç
değerleri kullanılarak nodal hız bileşenleri belirlenir. Eşitlik (8.74) in sağlanıp
sağlanmadığı kontrol edilir. Eğer sağlanmıyorsa düzlemin sınırlarındaki basınç için
yapılan tahmin yenilenerek işlemler tekrarlanır. Denklem (3.18) sağlandıktan sonra
dördüncü düzleme geçilir. Dördüncü düzlemde yapılacak iş üçüncü düzlemde yapılanların
tekrarından başka bir şey değildir. Şekil 8.14 ve 8.15de dikdörtgen kanalın ardışık iki
kesitindeki eksenel hız dağılımı görülmektedir. Bu bölümün sonuna eklenen STOCK
isimli FORTRAN programı dikdörtgen kesitli kanallardaki giriş bölgesi akışının
simülasyonudur.
Gazi Üniversitesi Teknoloji Fakültesi Otomotiv Mühendisliği Bölümü
Prof. Dr. Halit KARABULUT Sayfa 275
Şekil 8.14
Şekil 8.15
Gazi Üniversitesi Teknoloji Fakültesi Otomotiv Mühendisliği Bölümü
Prof. Dr. Halit KARABULUT Sayfa 276
PROGRAM STOCK
DIMENSION U(21,61,51),V(21,61,51),W(21,61,51),P(21,61,51),
*F(21,61,51)
OPEN(UNIT=17,FILE='G1.DAT')
XM=1.0/1000.0
YM=3.0/1000.0
ZM=45.0/1000.0
A=XM*YM
HP=2.0*XM+2.0*YM
HD=4.0*A/HP
X=XM/HD
Y=YM/HD
Z=ZM/HD
IM=21
JM=61
KM=51
DX=X/(IM-1)
DY=Y/(JM-1)
DZ=Z/30.0
CV=20.0E-06
PZF=-0.183
RE=250.0
PRINT*,'RE=',RE,DZ,HD
DO K=1,KM
DO I=1,IM
DO J=1,JM
W(I,J,K)=0.0
U(I,J,K)=0.0
V(I,J,K)=0.0
END DO
END DO
END DO
DO K=1,KM
DO I=1,IM
DO J=1,JM
P(I,J,1)=100.0
P(I,J,2)=99.024
P(I,J,3)=98.583
P(I,J,4)=98.243
P(I,J,5)=97.93
P(I,J,6)=97.631
P(I,J,7)=97.340
P(I,J,8)=97.053
P(I,J,9)=96.768
P(I,J,10)=96.484
P(I,J,11)=96.203
P(I,J,12)=95.923
P(I,J,13)=95.644
P(I,J,14)=95.365
P(I,J,15)=95.087
P(I,J,16)=94.81
P(I,J,17)=94.534
P(I,J,18)=94.256
P(I,J,19)=93.98
P(I,J,20)=93.705
P(I,J,21)=93.43
P(I,J,22)=93.152
P(I,J,23)=92.877
P(I,J,24)=92.603
P(I,J,25)=92.327
P(I,J,26)=92.052
Gazi Üniversitesi Teknoloji Fakültesi Otomotiv Mühendisliği Bölümü
Prof. Dr. Halit KARABULUT Sayfa 277
P(I,J,27)=91.777
P(I,J,28)=91.502
P(I,J,29)=91.227
P(I,J,30)=90.952
P(I,J,31)=90.677
P(I,J,32)=90.402
P(I,J,33)=90.127
P(I,J,34)=89.852
P(I,J,35)=89.578
P(I,J,36)=89.304
P(I,J,37)=89.03
P(I,J,38)=88.754
P(I,J,39)=88.479
P(I,J,40)=88.206
P(I,J,41)=87.930
P(I,J,42)=87.656
P(I,J,43)=87.382
P(I,J,44)=87.107
END DO
END DO
END DO
DO K=2,42
GRP=-(P(1,1,K)-P(1,1,K-1))/DZ
PRINT*,GRP
WRITE(17,35)GRP
END DO
DO I=2,IM-1
DO J=2,JM-1
W(I,J,1)=1.0
END DO
END DO
C------------------------
C CALL FULLY(RE,DX,DY,W,IM,JM,KM,PZF,WA)
DO 1 K=2,2
2 DO L=1,2
CALL PRES(DX,DY,DZ,P,F,IM,JM,K)
CALL UVW(RE,DX,DY,DZ,U,V,W,K,P,IM,JM,WA)
CALL FONK(DX,DY,DZ,U,V,W,IM,JM,F,K)
END DO
DIF=ABS(1.0-WA)
IF(DIF.GT.0.0025)THEN
PRINT*,'INTRODUCE PW',' WA',WA,' PW=',P(1,1,K)
READ*,PW
DO I=1,IM
DO J=1,JM
P(I,J,K)=PW
END DO
END DO
GO TO 2
END IF
1 CONTINUE
35 FORMAT(F7.4)
STOP
END
Gazi Üniversitesi Teknoloji Fakültesi Otomotiv Mühendisliği Bölümü
Prof. Dr. Halit KARABULUT Sayfa 278
C----------------------------
SUBROUTINE PRES(DX,DY,DZ,P,F,IM,JM,K)
DIMENSION P(21,61,51),F(21,61,51)
DO N=1,500
DO I=2,IM-1
DO J=2,JM-1
IF(K.EQ.2)THEN
RAT=(P(I+1,J,K)-2.0*P(I,J,K)+P(I-1,J,K))/DX**2+
*(P(I,J+1,K)-2.0*P(I,J,K)+P(I,J-1,K))/DY**2+
*(P(I,J,K)-2.0*100.0+100.0)/DZ**2+F(I,J,K)
ELSE
RAT=(P(I+1,J,K)-2.0*P(I,J,K)+P(I-1,J,K))/DX**2+
*(P(I,J+1,K)-2.0*P(I,J,K)+P(I,J-1,K))/DY**2+
*(P(I,J,K)-2.0*P(I,J,K-1)+P(I,J,K-2))/DZ**2+F(I,J,K)
END IF
P(I,J,K)=P(I,J,K)-RAT/(-2.0/DX**2-2.0/DY**2)
END DO
END DO
C PRINT*,P(11,31,K),N
END DO
RETURN
END
C-------------------
SUBROUTINE FONK(DX,DY,DZ,U,V,W,IM,JM,F,K)
DIMENSION F(21,61,51),U(21,61,51),V(21,61,51),W(21,61,51)
DO I=2,IM-1
DO J=2,JM-1
F(I,J,K)=2.0*(((U(I+1,J,K)-U(I-1,J,K))/(2.0*DX))**2+
*((V(I,J+1,K)-V(I,J-1,K))/(2.0*DY))**2+
*((W(I,J,K)-W(I,J,K-1))/DZ)**2+
*2.0*((U(I,J+1,K)-U(I,J-1,K))*(V(I+1,J,K)-V(I-1,J,K))/(4.0*DX*DY)+
*(U(I,J,K)-U(I,J,K-1))*(W(I+1,J,K)-W(I-1,J,K))/(2.0*DZ*DX)+
*(V(I,J,K)-V(I,J,K-1))*(W(I,J+1,K)-W(I,J-1,K))/(2.0*DZ*DY)))
END DO
END DO
RETURN
END
C------------------------------------------------------
SUBROUTINE UVW(RE,DX,DY,DZ,U,V,W,K,P,IM,JM,WA)
DIMENSION U(21,61,51),V(21,61,51),W(21,61,51),P(21,61,51)
DO N=1,150
DO I=2,IM-1
DO J=2,JM-1
RW1=((P(I,J,K)-P(I,J,K-1))/(2.0*DZ)+
*U(I,J,K)*(W(I,J,K)-W(I-1,J,K))/DX+
*V(I,J,K)*(W(I,J,K)-W(I,J-1,K))/DY+
*W(I,J,K)*(W(I,J,K)-W(I,J,K-1))/DZ-
*(W(I+1,J,K)-2.0*W(I,J,K)+W(I-1,J,K))/(RE*DX**2)-
*(W(I,J+1,K)-2.0*W(I,J,K)+W(I,J-1,K))/(RE*DY**2))
DW1=(ABS(U(I,J,K)/DX)+ABS(V(I,J,K)/DY)+W(I,J,K)/DZ+
*2.0/(RE*DX**2)+2.0/(RE*DY**2))
C------------------------
RV1=(P(I,J+1,K)-P(I,J-1,K))/(4.0*DY)+
*U(I,J,K)*(V(I,J,K)-V(I-1,J,K))/DX+
*V(I,J,K)*(V(I,J,K)-V(I,J-1,K))/DY+
*W(I,J,K)*(V(I,J,K)-V(I,J,K-1))/DZ-
*(V(I+1,J,K)-2.0*V(I,J,K)+V(I-1,J,K))/(RE*DX**2)-
*(V(I,J+1,K)-2.0*V(I,J,K)+V(I,J-1,K))/(RE*DY**2)
DV1=(ABS(U(I,J,K)/DX)+ABS(V(I,J,K)/DY)+W(I,J,K)/DZ+
*2.0/(RE*DX**2)+2.0/(RE*DY**2))
C--------------------------
Gazi Üniversitesi Teknoloji Fakültesi Otomotiv Mühendisliği Bölümü
Prof. Dr. Halit KARABULUT Sayfa 279
RU1=(P(I+1,J,K)-P(I-1,J,K))/(4.0*DX)+
*U(I,J,K)*(U(I,J,K)-U(I-1,J,K))/DX+
*V(I,J,K)*(U(I,J,K)-U(I,J-1,K))/DY+
*W(I,J,K)*(U(I,J,K)-U(I,J,K-1))/DZ-
*(U(I+1,J,K)-2.0*U(I,J,K)+U(I-1,J,K))/(RE*DX**2)-
*(U(I,J+1,K)-2.0*U(I,J,K)+U(I,J-1,K))/(RE*DY**2)
DU1=(ABS(U(I,J,K)/DX)+ABS(V(I,J,K)/DY)+W(I,J,K)/DZ+
*2.0/(RE*DX**2)+2.0/(RE*DY**2))
C---------------------------------
W(I,J,K)=W(I,J,K)-RW1/DW1
V(I,J,K)=V(I,J,K)-RV1/DV1
U(I,J,K)=U(I,J,K)-RU1/DU1
END DO
END DO
C PRINT*,W(6,31,K),W(11,31,K),W(16,31,K)
END DO
WA=0.0
DO I=1,IM-1
DO J=1,JM-1
WA=WA+(W(I,J,K)+W(I+1,J,K)+W(I,J+1,K)+W(I+1,J+1,K))/
*(4.0*(IM-1)*(JM-1))
END DO
END DO
C PRINT*,'WA=',WA,' K=',K
RETURN
END
C------------------------------------------------------------
SUBROUTINE FULLY(RE,DX,DY,W,IM,JM,KM,PZF,WA)
DIMENSION W(21,61,51)
DO L=1,1500
DO I=2,IM-1
DO J=2,JM-1
RES=(W(I+1,J,KM)-2.0*W(I,J,KM)+W(I-1,J,KM))/(RE*DX**2)+
*(W(I,J+1,KM)-2.0*W(I,J,KM)+W(I,J-1,KM))/(RE*DY**2)-PZF/2.0
DW=-2.0/(RE*DX**2)-2.0/(RE*DY**2)
W(I,J,KM)=W(I,J,KM)-RES/DW
END DO
END DO
END DO
WAF=0.0
DO I=1,IM-1
DO J=1,JM-1
WA=WA+(W(I,J,KM)+W(I+1,J,KM)+W(I,J+1,KM)+W(I+1,J+1,KM))/
*(4.0*(IM-1)*(JM-1))
END DO
END DO
RETURN
END
Gazi Üniversitesi Teknoloji Fakültesi Otomotiv Mühendisliği Bölümü
Prof. Dr. Halit KARABULUT Sayfa 280
BÖLÜM 9: İKİ BOYUTLU VİSKOZ AKIŞ DENKLEMLERİNİN ÇÖZÜMÜ
Sıkıştırılamaz viskoz akışın Bölüm 7 de verilen genel hareket denklemleri bu bölümde iki
boyutlu akış alanlarının simülasyonu için kullanılacaktır. Akışın z doğrultusunda değişim
göstermediği kabul edilirse denklemler
0y
v
x
u
(9.1)
2
2
2
2
y
u
x
u
x
p1
y
uv
x
uu (9.2)
2
2
2
2
y
v
x
v
y
p1
y
vv
x
vu (9.3)
şeklinde düzenlenir. Bu denklemler mevcut şekli ile sonlu fark denklemlerine
dönüştürülerek bilgisayar yardımı ile çözülebilmektedir. Denklemlerin mevcut şekli ile
çözümü bazı zorluklar ihtiva ettiği için burada önce tek denkleme dönüştürülecek sonra
çözülecektir.
8.1 Hareket Denklemlerinin Streamline Şekli
Bu kısımda (9.1), (9.2) ve (9.3) eşitlikleri ile verilen hareket denklemlerinin tek bir
denkleme dönüşümü yapılacaktır. Eşitlik (9.2) nin bütün terimleri y ile türetilirse
3
3
2
32
2
22
y
u
yx
u
yx
p1
y
u
y
v
y
uv
x
u
y
u
yx
uu (9.4)
olur. Süreklilik denkleminin gereği olarak son eşitlikte bulunan ikinci ve dördüncü
terimlerin toplamı sıfırdır. Denklem (9.3) ün bütün terimleri x ile türetilirse
Gazi Üniversitesi Teknoloji Fakültesi Otomotiv Mühendisliği Bölümü
Prof. Dr. Halit KARABULUT Sayfa 281
xy
v
x
v
xy
p1
y
v
x
v
xy
vv
x
v
x
u
x
vu
2
3
3
322
2
2
(9.5)
olur. Süreklilik denkleminin gereği olarak son denklemde bulunan ikinci ve dördüncü
terimlerin toplamı sıfırdır. Denklem (9.4) den (9.5) çıkartılırsa
)
x
v
y
u(
y)
x
v
y
u(
x)
x
v
y
u(
yv)
x
v
y
u(
xu
2
2
2
2
(9.6)
elde edilir. Son denklemde bulunan küçük parantezlerin içerisi önceden vorticity olarak
tanıdığımız büyüklüğüdür. Denklem (9.1, 9.2, 9.3) den oluşan denklem seti şimdi (9.1)
ve (9.6) olmak üzere iki denkleme indirgenmiş bulunmaktadır. Streamline fonksiyonu da
kullanılırsa denklem (9.1) yok olurken denklem (9.6)
0yx
2yxy
vxy
vyx
ux
u22
4
4
4
4
4
3
3
2
3
2
3
3
3
(9.7)
şeklini alır. Son denklem iki boyutlu akış alanlarının simulasyonunda kullanılacak olan
denklemdir. Denklemin sınır şartları çözüm yapılacak bölgeye göre değişiklik arz eder.
8.2 Sonlu Fark Denklemine Dönüşüm
Denklem (9.7) nin ihtiva ettiği türevler nodal değerler cinsinden aşağıdaki gibi ifade
edilir.
3
j,1ij,ij,1ij,2i
fd
3
3
x
33
x
(9.8)
3
j,2iJ,1ij,1ij,2i
cd
3
3
x2
22
x
(9.9)
Gazi Üniversitesi Teknoloji Fakültesi Otomotiv Mühendisliği Bölümü
Prof. Dr. Halit KARABULUT Sayfa 282
3
j,2iJ,1ij,ij,1i
bd
3
3
x
33
x
(9.10)
2
1j,ij,i1j,i1j,1ij,1i1j,1i
fd
2
3
yx
22
yx
(9.11)
2
1j,1ij,1i1j,1i1j,1ij,1i1j,1i
cd
2
3
yx2
22
yx
(9.12)
2
1j,1ij,1i1j,1i1j,ij,i1j,i
bd
2
3
yx
22
yx
(9.13)
3
1j,ij,i1j,i2j,i
fd
3
3
y
33
y
(9.14)
3
2j,i1J,i1j,i2j,i
cd
3
3
y2
22
y
(9.15)
3
2j,i1J,ij,i1j,i
bd
3
3
y
33
y
(9.16)
yx
22
yx 2
j,1ij,ij,1i1j,1i1j,i1j,1i
fd
2
3
(9.17)
yx2
22
yx 2
1j,1i1j,i1j,1i1j,1i1j,i1j,1i
cd
2
3
(9.18)
yx
22
yx 2
1j,1i1j,i1j,1ij,1ij,ij,1i
bd
2
3
(9.19)
4
j,2ij,1ij,ij,1ij,2i
cd
4
4
x
464
x
(9.20)
4
2j,i1j,ij,i1j,i2j,i
cd
4
4
y
464
y
(9.21)
Gazi Üniversitesi Teknoloji Fakültesi Otomotiv Mühendisliği Bölümü
Prof. Dr. Halit KARABULUT Sayfa 283
1j,1ij,1i1j,1i1j,ij,i
1j,i1j,1ij,1i1j,1i22
cd
22
4
224
22yx
1
yx
(9.22)
Bu dönüşümlerde kullanılan fd, cd ve bd alt indisleri sırası ile; ileri fark, merkezi fark ve
geri farkı göstermektedir. Görüldüğü üzere üçüncü mertebe türevlerin üç seçeneği
mevcutken dördüncü mertebe türevlerin bir tek seçeneği mevcuttur.
Denklem (9.7) de bu seçeneklerden hangisinin kullanılacağını u ve v nin işareti tayin
edecektir.
Önce seçeneği tek olan dördüncü mertebe türevler denkleme yazılır ve j,i nin önündeki
işarete bakılır. İşaretin negatif olduğu görülür. Bu durum u ve v nin pozitif olduğu
hallerde üçüncü mertebe türevlerin hepsinin geri fark dönüşümlerinin kullanılmasını
gerektirir. Çünkü geri fark dönüşümü kullanıldığında üçüncü mertebe türevlerde bulunan
j,i nin önündeki işaret dördüncü mertebe türevlerde bulunan j,i nin önündeki işaretle
uyumlu hale gelmektedir. Buna göre u ve v nin pozitif olduğu bölgede denklem (9.7) nin
kullanışlı sonlu fark dönüşümü
1j,1ij,1i1j,1i1j,i1j,i1j,1ij,1i1j,1i22
2j,i1j,i1j,i2j,i4j,2ij,1ij,1ij,2i4
2j,i1j,i1j,i31j,1i1j,i1j,1ij,1ij,1i2
1j,1ij,1i1j,1i1j,i1j,i2j,2ij,1ij,1i3
22443223j,i
2222yx
2
44y
44x
3y
v2
xy
v
2yx
u3
x
u
yx
8
y
6
x
6
y
v3
xy
v2
yx
u2
x
u3
(9.23)
Gazi Üniversitesi Teknoloji Fakültesi Otomotiv Mühendisliği Bölümü
Prof. Dr. Halit KARABULUT Sayfa 284
olur. Hız bileşenleri u ve v nin birisinin ya da her ikisinin negatif olması durumunda son
eşitliğin sol tarafında bulunan köşeli parantezin içerisi sıfır olabilir. Eşitlikten j,i
çekilecek olursa, j,i sonsuza gider. Iraksama olarak tabir edilen bu olay sayısal
çözümlemenin en büyük dezavantajıdır. Hız bileşenlerinin her ikisinin negatif olduğu
bölgede üçüncü mertebe türevlerin ileri fark şekli kullanılarak
1j,1ij,1i1j,1i1j,i1j,i1j,1ij,1i1j,1i22
2j,i1j,i1j,i2j,i4j,2ij,1ij,1ij,2i4
1j,i1j,i2j,i3j,1ij,1i1j,1i1j,i1j,1i2
1j,i1j,i1j,1ij,1i1j,1i2j,1ij,1ij,2i3
22443223j,i
2222yx
2
44y
44x
3y
v2
xy
v
2yx
u3
x
u
yx
8
y
6
x
6
y
v3
xy
v2
yx
u2
x
u3
(9.24)
discretize denklemi elde edilir. Hız bileşenlerinden u nun pozitif v nin negatif olduğu hal
için discretize denklem
1j,1ij,1i1j,1i1j,i1j,i1j,1ij,1i1j,1i22
2j,i1j,i1j,i2j,i4j,2ij,1ij,1ij,2i4
1j,i1j,i2j,i3j,1ij,1i1j,1i1j,i1j,1i2
1j,1ij,1i1j,1i1j,i1j,i2j,2ij,1ij,1i3
22443223j,i
2222yx
2
44y
44x
3y
v2
xy
v
2yx
u3
x
u
yx
8
y
6
x
6
y
v3
xy
v2
yx
u2
x
u3
(9.25)
olur. Hız bileşenlerinden u nun negatif v nin pozitif olduğu bölgeler için discretize
denklem
Gazi Üniversitesi Teknoloji Fakültesi Otomotiv Mühendisliği Bölümü
Prof. Dr. Halit KARABULUT Sayfa 285
1j,1ij,1i1j,1i1j,i1j,i1j,1ij,1i1j,1i22
2j,i1j,i1j,i2j,i4j,2ij,1ij,1ij,2i4
2j,i1j,i1j,i31j,1i1j,i1j,1ij,1ij,1i2
1j,i1j,i1j,1ij,1i1j,1i2j,1ij,1ij,2i3
22443223j,i
2222yx
2
44y
44x
3y
v2
xy
v
2yx
u3
x
u
yx
8
y
6
x
6
y
v3
xy
v2
yx
u2
x
u3
(9.26)
olur. Burada verilen discretize denklemler tavsiye edilen şartların dışında kullanıldığında
yakınsak olmayabilir.
8.3 Örnek Bir Akış Bölgesi İçin Sınır Şartları ve Çözüm
Şekil 9.1 de bir akış bölgesi görülmektedir. Akış bölgesi sabit kesitli yeterince uzun bir
kanal ve kanalın içerisine yerleştirilmiş akışa dik bir engelden ibarettir. Kanalın kağıt
düzlemine dik boyutu sonsuz olup kanaldan atmosferik basınç ve sıcaklıktaki viskoz
özellikleri taşıyan hava geçmektedir.
Görülen akış bölgesinde denklem (9.7) nin çözümü için akış bölgesini çepeçevre kuşatan
iki kat sınır şartı gerekmektedir. İki cidar arasından geçen debi belirli olduğu için
Gazi Üniversitesi Teknoloji Fakültesi Otomotiv Mühendisliği Bölümü
Prof. Dr. Halit KARABULUT Sayfa 286
streamline fonksiyonunun her iki cidardaki değeri sayıca belirlidir. Tercihen alt cidardaki
sıfır olarak seçilir. Üst cidardaki
dyu2
1 (9.27)
ile hesaplanır. Ayrıca her iki cidarda cidara teğet hız bileşeni sıfır olup bunun sağlanması
için
yw
0 (9.28)
yazmak gerekir. Son eşitlikten alt cidara komşu gridlerdeki lerin alt cidardakilere, üst
cidara komşu gridlerdeki lerin üst cidardakilere eşit olduğu anlaşılmaktadır. Çözüm
bölgesinin A-B ve C-D sınırları engelden yeterince uzak seçilerek her iki sınırda nin
dağılımı
6
2 3
2 3
2U
y
h
y
h (9.29)
eşitliğinden belirlenir. Ayrıca A-B ve C-D sınırlarında hızın v bileşeni mevcut olmadığı
için
x 0 (9.30)
şartı da mevcuttur. Burada A-B ve C-D sınırlarının engelden yeterince uzak olması önem
arz etmektedir.
Çözümleme işlemi iteratif olarak yapılabilir. İlk iterasyonda u ve v çözüm bölgesinin
tamamında sıfır olarak seçilir ve nin dağılımı belirlenir. nin belirlenen dağılımından u
ve v nin dağılımı belirlenir. Belirlenen u ve v dağılımı kullanılarak nin dağılımı yeniden
belirlenir. Bu şekilde aynı işlemler ardı sıra tekrarlanarak çözüme ulaşılır.
Gazi Üniversitesi Teknoloji Fakültesi Otomotiv Mühendisliği Bölümü
Prof. Dr. Halit KARABULUT Sayfa 287
Aşağıda FIN adı ile verilen programda, Şekil 9.1 de verilen engelin çevresinde bulunan
çözüm bölgesinde denklem (9.7) nin çözümü yapılmaktadır. Akış bölgesi içerisinde akış
fonksiyonu nin aynı değeri aldığı noktalar belirlenip birleştirilerek Şekil 9.2 de görülen
akış çizgileri elde edilmiştir. Çözüm bölgesi içerisinde nin aynı değeri aldığı noktaların
el ile belirlenmesi çok zaman aldığı için bilgisayarla belirlenmesi yoluna gidilmiştir.
Aşağıda verilen SELECTOR isimli program seçme işlemini yapmaktadır.
Şekil 9.2'de görülen akış çizgilerinin nihayetinin cidara paralel olmadığı görülmektedir.
Bunun sebebi kanalın engelden sonraki kısmının yeterince uzun olmayışıdır. Engelden
sonra akışın bir süre aşağı yukarı çalkantı yaptığı görülmektedir. Ayrıca engelin hemen
arkasında ve biraz ileride girdapların oluştuğu görülmektedir. Eğer engelin arkasındaki
akışın girdapsız olması isteniyorsa girdabın oluştuğu yerin dolu yapılması gerekir.
Girdapsız akışlar özellikle taşıt teknolojisinde önem arz etmektedir. Bu kısımda ele alınan
akış taşıtların karoseri tasarımında kullanılmaktadır. Çevresinde girdap oluşmayan
taşıtlara “STREAMLINE DESİGNED” taşıt denmektedir.
Gazi Üniversitesi Teknoloji Fakültesi Otomotiv Mühendisliği Bölümü
Prof. Dr. Halit KARABULUT Sayfa 288
PROGRAM FIN
DIMENSION F(201,21),U(201,21),V(201,21)
OPEN(UNIT=14,FILE='FIN1.DAT',STATUS='NEW')
CV=25.0E-06
DX=0.002
DY=0.001
UIN=10.0
H=DY*20
DO J=1,21
Y=DY*(J-1)
F(1,J)=6.0*UIN*(Y**2/(2.0*H)-Y**3/(3.0*H**2))
F(2,J)=F(1,J)
F(201,J)=6.0*UIN*(Y**2/(2.0*H)-Y**3/(3.0*H**2))
F(200,J)=F(201,J)
END DO
DO I=1,201
F(I,21)=F(1,21)
F(I,20)=F(1,21)
F(I,1)=0.0
F(I,2)=0.0
END DO
DO 1 K=1,6
DO 2 L=1,8000
DO I=3,199
DO J=3,19
DN1=-3.0*U(I,J)/DX**3-2.0*U(I,J)/(DX*DY**2)-2.0*V(I,J)/(DY*DX**2)-
*3.0*V(I,J)/DY**3-6.0*CV/DX**4-6.0*CV/DY**4-8.0*CV/(DX**2*DY**2)
DN2=3.0*U(I,J)/DX**3+2.0*U(I,J)/(DX*DY**2)+2.0*V(I,J)/(DY*DX**2)+
*3.0*V(I,J)/DY**3-6.0*CV/DX**4-6.0*CV/DY**4-8.0*CV/(DX**2*DY**2)
DN3=-3.0*U(I,J)/DX**3-2.0*U(I,J)/(DX*DY**2)+2.0*V(I,J)/(DY*DX**2)+
*3.0*V(I,J)/DY**3-6.0*CV/DX**4-6.0*CV/DY**4-8.0*CV/(DX**2*DY**2)
DN4=3.0*U(I,J)/DX**3+2.0*U(I,J)/(DX*DY**2)-2.0*V(I,J)/(DY*DX**2)-
*3.0*V(I,J)/DY**3-6.0*CV/DX**4-6.0*CV/DY**4-8.0*CV/(DX**2*DY**2)
P0=CV*(F(I+2,J)-4.0*F(I+1,J)-4.0*F(I-1,J)+
*F(I-2,J))/DX**4+CV*(F(I,J+2)-4.0*F(I,J+1)-4.0*F(I,J-1)+
*F(I,J-2))/DY**4+2.0*CV*(F(I+1,J+1)-2.0*F(I+1,J)+F(I+1,J-1)-
*2.0*F(I,J+1)-2.0*F(I,J-1)+F(I-1,J+1)-2.0*F(I-1,J)+
*F(I-1,J-1))/(DX**2*DY**2)
P1=-U(I,J)*(F(I+1,J)+3.0*F(I-1,J)-F(I-2,J))/DX**3-
*U(I,J)*(F(I,J+1)+F(I,J-1)-F(I-1,J+1)+2.0*F(I-1,J)-
*F(I-1,J-1))/(DX*DY**2)-V(I,J)*(F(I+1,J)+F(I-1,J)-F(I+1,J-1)+
*2.0*F(I,J-1)-F(I-1,J-1))/(DY*DX**2)-V(I,J)*(F(I,J+1)+3.0*F(I,J-1)-
*F(I,J-2))/DY**3+P0
P2=-U(I,J)*(F(I+2,J)-3.0*F(I+1,J)-F(I-1,J))/DX**3-
*U(I,J)*(F(I+1,J+1)-2.0*F(I+1,J)+F(I+1,J-1)-F(I,J+1)-
*F(I,J-1))/(DX*DY**2)-V(I,J)*(F(I+1,J+1)-2.0*F(I,J+1)+F(I-1,J+1)-
*F(I+1,J)-F(I-1,J))/(DY*DX**2)-V(I,J)*(F(I,J+2)-3.0*F(I,J+1)-
*F(I,J-1))/DY**3+P0
P3=-U(I,J)*(F(I+1,J)+3.0*F(I-1,J)-F(I-2,J))/DX**3-
*U(I,J)*(F(I,J+1)+F(I,J-1)-F(I-1,J+1)+2.0*F(I-1,J)-
*F(I-1,J-1))/(DX*DY**2)-V(I,J)*(F(I+1,J+1)-2.0*F(I,J+1)+F(I-1,J+1)-
*F(I+1,J)-F(I-1,J))/(DY*DX**2)-V(I,J)*(F(I,J+2)-3.0*F(I,J+1)-
*F(I,J-1))/DY**3+P0
P4=-U(I,J)*(F(I+2,J)-3.0*F(I+1,J)-F(I-1,J))/DX**3-
*U(I,J)*(F(I+1,J+1)-2.0*F(I+1,J)+F(I+1,J-1)-F(I,J+1)-
*F(I,J-1))/(DX*DY**2)-V(I,J)*(F(I+1,J)+F(I-1,J)-F(I+1,J-1)+
*2.0*F(I,J-1)-F(I-1,J-1))/(DY*DX**2)-V(I,J)*(F(I,J+1)+3.0*F(I,J-1)-
*F(I,J-2))/DY**3+P0
Gazi Üniversitesi Teknoloji Fakültesi Otomotiv Mühendisliği Bölümü
Prof. Dr. Halit KARABULUT Sayfa 289
PROGRAM SELECTOR
DIMENSION F(201,51),Y1(400),Y2(400)
OPEN(UNIT=13,FILE='FIN.DAT',STATUS='OLD')
OPEN(UNIT=14,FILE='STREAM.DAT',STATUS='NEW')
CR=-0.0002
DY=1.0
DO I=1,201
DO J=1,21
READ(13,32)F(I,J)
END DO
END DO
DO I=1,201
DO J=1,21
IF(F(I,J).LT.CR.AND.F(I,J+1).GT.CR)Y1(I)=DY*(J-1)+
*(CR-F(I,J))/(F(I,J+1)-F(I,J))
IF(F(I,J).GT.CR.AND.F(I,J+1).LT.CR)Y2(I)=DY*(J-1)+
*(CR-F(I,J))/(F(I,J+1)-F(I,J))
PRINT*,Y1(I),I
END DO
END DO
DO I=1,201
K=(I-1)*2
WRITE(14,33)Y1(I),Y2(I),K
END DO
32 FORMAT(F9.6,2X,F9.6,2X,F9.6,2X,I3,2X,I3)
33 FORMAT(F9.6,2X,F9.6,2X,I3)
STOP
END
IF(U(I,J).GT.0.AND.V(I,J).GT.0)F(I,J)=P1/DN1
IF(U(I,J).LE.0.AND.V(I,J).LE.0)F(I,J)=P2/DN2
IF(U(I,J).GT.0.AND.V(I,J).LE.0)F(I,J)=P3/DN3
IF(U(I,J).LE.0.AND.V(I,J).GT.0)F(I,J)=P4/DN4
IF(J.LE.6)F(50,J)=0.0
IF(J.LE.6)F(51,J)=0.0
END DO
END DO
PRINT*,L,K
2 CONTINUE
DO I=3,199
DO J=3,19
U(I,J)=(F(I,J+1)-F(I,J-1))/(2.0*DY)
V(I,J)=-(F(I+1,J)-F(I-1,J))/(2.0*DX)
END DO
END DO
1 CONTINUE
DO I=1,201
DO J=1,21
WRITE(14,32)F(I,J),U(I,J),V(I,J),J,I
END DO
END DO
32 FORMAT(F9.6,2X,F9.6,2X,F9.6,2X,I3,2X,I3)
STOP
END
Gazi Üniversitesi Teknoloji Fakültesi Otomotiv Mühendisliği Bölümü
Prof. Dr. Halit KARABULUT Sayfa 290
REFERANSLAR
1 B. R. Mounson, D.F. Young, and T.H. Okiishi, Fluid Mechanics, first edition, Jhon
Wiley and Sons, New York, 1990.
2 F. M. White, Fluid Mechanics, third edition, McGraw-Hill, New York,
1994.
3 R. H. Sabersky et al., Fluid Flow, second edition, Macmillan Publishing Co. Inc.,
New York, 1971.
4 R. Crowe, Engineering Fluid Mechaniccs, fifth edition, Houghton Mifflin Co.,
Boston, 1993.
5 J. F. Douglas et al., Fluid Mechanics, second edition, Longman Scientific &
Technical, U.K., 1987.
6 R. B. Bird et al., Transport Phenomena, John Wiley & Sons, New York, 1960.
7 D. J. Acheson, Elementary Fluid Dynamics, Clarendon Press, Oxford, 1990.
8 H. Schlichting, Boundary-Layer Theory, Seventh Edition, McGraw-Hill, New
York, 1979.
9 I. H. Shames, Mechanics of Fluids, Third Edition, McGraw-Hill, New York, 1992
10 S. Goldstein, Modern Developments in Fluid Dynamics, Vol. 1 and 2, Dover
Publication, New York, 1965
11 I. A. Khan, Fluid Mechanics, Saunders College Publication, New York, 1987.
12 V. L. Streeter, Fluid Mechanics, Eight Edition, McGraw-Hill, New York, 1985.
13 Y. Ersoy ve M. Mert, Boyut Analizi ve Fiziksel Ölçmeler, ODTÜ Yayını, Ankara,
1977.
Gazi Üniversitesi Teknoloji Fakültesi Otomotiv Mühendisliği Bölümü
Prof. Dr. Halit KARABULUT Sayfa 291
14 E. P. Popov, Engineering Mechanics of Solids, Prentice Hall, Englewood Cliffs,
New Jersey, 1990.
15 E. L. Houghton and N. B. Carruthers, Aerodynamics for Engineering Students,
Third Edition, Scotland, 1990.
16 M. B. Abbott & D. R. Basco, Computational Fluid Dynamics, Longman Scientific
& Technical, UK Limited, 1989.
17 C. Hirsch, Numerical Computation of Internal and External Flows
Vol.1:Fundamentals of Numerical Discretization, John Wiley & Sons,Chichester,
1991.
18 C. Hirsch, Numerical Computation of Internal and External Flows
Vol.2:Computational Methods for Inviscid and Viscous Flows, John Wiley &
Sons, Chichester, 1991.
19 C. F. Gerald, Applied Numerical Analysis, Second Edition, Addison-Wesley
Puplishing Company, 1980.
20 M. L. James et al., Applied Nomerical Methods for Digital Computation, Fourth
Edition, Harper Collins College Publishers, New York, 1993.
21 D. Kincaid and W. Cheney, Numerical Analysis, Brooks/Cole Publishing
Company, California, 1991.
22 R. L. Burden and J. D. Faires, Numerical Analysis, Fourth Edition, PWS-KENT
Publishing Company, Boston, 1989.
23 W. Shyy, Elements of Pressure-Based Computational Algorithms for Complex
Fluid Flow and Haet Transfer, Advances in Heat Transfer, Volume 24, Academic
Press, Inc.,1994.
24 B. K.Shivamoggi, Theoretical fluid dynamics, Martinus Nijhoff Publişhers,
Netherlands, 1985
25 M.. N. Özişik, Finite Difference Methods in Heat Transfer, CRC Press, USA,
1994.
26 A. Bejan, Convection Heat Transfer, Jhon Wiley & Sons, New York, 1984.
Gazi Üniversitesi Teknoloji Fakültesi Otomotiv Mühendisliği Bölümü
Prof. Dr. Halit KARABULUT Sayfa 292
27 Z. U. A. Warsi, Fluid Dynamics, Theoretical and Computational Approaches, CRC
Press, Boca Raton, 1993.
29 M. D. Greenberg, Advanced Engineering Mathematics, Prentice Hall, Second
Edition, New Jersey 07458, 1998.
top related