Álgebra linear cap1.matrizes

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Aula 2 ........................................................................................................................................................................................13

Aula 3 ........................................................................................................................................................................................17

Álgebra Linear

Capítulo 1: Matrizes

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1.1. A linguagem das matrizes

Uma matriz é entendida como um quadro retangular completo de valores – escalares – com um certo número de filas

horizontais – linhas – e um certo número de filas verticais – colunas.

Em

;

Uma m-upla de números reais corresponde a uma matriz coluna com linhas. Neste seguimento,

uma matriz com dimensão representa n vetores em .

Definição: Uma matriz A de dimensão sobre um corpo é um quadro de dupla entrada, com m

linhas e n colunas, contendo os elementos , com e , representada por

.

O elemento genérico da matriz representa o escalar que se encontra na linha i e na coluna j. Diz-se que

.

Aula 1

3

Designações atribuídas às matrizes:

Igualdade de matrizes

Os elementos que ocupam a mesma posição em duas matrizes quaisquer dizem-se homólogos. Duas matrizes são

iguais quando têm a mesma dimensão e os mesmos elementos homólogos.

Exemplo: Dimensão e entradas da matriz A:

.

A matriz A tem 3 linhas e 4 colunas, dizendo-se de dimensão e os seus elementos são escalares reais;

;

Por exemplo, é o elemento da matriz que se encontra na 3ª linha e 2ª coluna;

Exemplo:

;

;

4

Matriz quadrada

Uma matriz quadrada é uma matriz com igual número de linhas e de colunas (matriz de ordem n). Os

elementos , com , constituem a diagonal principal da matriz, sendo a outra diagonal designada por diagonal secundária.

Matriz linha e matriz coluna

A matriz linha e a matriz coluna caracterizam-se por ter uma única linha, pertencendo a , e uma única coluna,

pertencendo a , respetivamente.

Exemplo:

A matriz é uma matriz linha: .

A matriz é uma matriz coluna: .

Exemplo: :

.

5

Matriz nula

Uma matriz de qualquer dimensão com , isto é, em que todos os seus elementos são nulos, é designada por

matriz nula e representa-se por ou (caso seja uma matriz quadrada).

Matriz nula de diversas dimensões:

;

;

.

[Scilab] _Construir a matriz nula .

Matriz diagonal, matriz escalar e matriz identidade

Uma matriz quadrada , cujos elementos acima e abaixo da diagonal principal são todos nulos designa-se

por matriz diagonal. Numa matriz diagonal, caso os elementos da diagonal principal sejam todos iguais, a matriz pode-se

designar por matriz escalar. No caso particular deste escalar ser igual a 1, diz-se que é a matriz identidade, representando-se,

atendendo à ordem da matriz, por .

6

Exemplo:

Matriz diagonal:

[Scilab] _Construir a matriz diagonal .

Matriz identidade:

[Scilab] _Construir a matriz identidade .

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Matriz triangular

Uma matriz quadrada é designada matriz triangular superior ou triangular inferior se os elementos abaixo

ou acima da diagonal principal, respetivamente, são nulos.

Matriz transposta e matriz simétrica

Quando se trocam as linhas de uma matriz A pelas suas colunas, obtém-se a matriz transposta de A e denota-se por .

Se , com e A uma matriz quadrada, então , dizendo-se que A é uma matriz simétrica.

Exemplo:

Matriz transposta:

;

Exemplo: Matriz triangular superior:

.

8

[Scilab] _Obter a matriz transposta de .

Matriz simétrica:

.

Matriz na forma escalonada e matriz na forma canónica reduzida por linhas

diz-se na forma escalonada se:

todas as linhas contendo apenas zeros devem ser as últimas linhas da matriz;

a primeira entrada não nula de cada linha (pivô) deve estar à direita da primeira entrada não nula da linha anterior.

diz-se na forma canónica reduzida por linhas se é uma matriz na forma escalonada e, adicionalmente:

o pivô de cada linha é 1;

o pivô é o único elemento não nulo na sua coluna.

9

Exemplo:

Matrizes na forma escalonada:

;

Matrizes na forma canónica reduzida por linhas:

[Scilab] _Reduzir por linhas uma matriz .

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Ex 1.2. Preencha o quadro, completando as matrizes ou assinalando com X o tipo de matriz.

Matriz Matriz

quadrada

Matriz

nula

Matriz

diagonal

Matriz

triangular

Matriz

escalar

Matriz

simétrica

X X X X X

Ex 1.4. Utilizando uma matriz genérica , verifique que .

Ex 1.5. Indique se as seguintes matrizes estão na forma escalonada, forma canónica reduzida por linhas ou nenhuma das situações:

a.

;

b.

;

c.

;

d.

;

e.

.

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1.2. Operações com matrizes

Adição de matrizes e multiplicação de uma matriz por um escalar

A adição de matrizes e a multiplicação de uma matriz por um número (escalar) são operações intuitivas e próximas das

operações conhecidas e similares com vetores.

.

.

.

Para quaisquer matrizes , a soma é uma matriz ainda de dimensão e resultando da adição

entre os seus elementos homólogos. Para um escalar e uma matriz , o produto resulta da multiplicação

de por cada elemento da matriz A.

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Exemplo:

;

;

.

Algumas operações possíveis:

;

.

[Scilab] _Efetuar operações elementares.

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Multiplicação de matrizes

Tarefa 1

“Algoritmo

para a

multiplicação

de matrizes”

Considere as seguintes matrizes A e B e o produto obtido, com recurso ao Scilab:

;

.

[Scilab] _Multiplicar as matrizes e .

Em , por exemplo, o produto interno dos vetores

e

em termos das suas coordenadas é igual à

soma do produto das primeiras coordenadas com o produto das segundas coordenadas e com o produto das terceiras

coordenadas, ou seja,

.

Estabeleça um algoritmo para a determinação do produto AB a partir de uma escolha conveniente das linhas e/ou

colunas das matrizes e a aplicação, sobre estas, do conceito de produto interno.

Aula 2

14

Dadas duas matrizes e , uma matriz C de dimensão representa o produto AB,

garantido por o número de colunas da matriz A ser igual ao número de linhas da matriz B, e cada elemento de C é o produto de

uma linha de A por uma coluna de B.

O elemento , em particular, obtém-se da seguinte forma:

.

Exemplo:

;

.

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Ex 1.7. Considere as seguintes matrizes:

;

;

;

; .

Calcule:

a. ;

c. ;

d. .

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Ex 1.10. Recorrendo ao Scilab, ilustre as seguintes propriedades de operações com matrizes, escolhendo adequadamente as matrizes , e e os

parâmetros e .

a. ;

b. ;

c. ;

d. ;

e. ;

f. ;

g. ;

h. ;

i. ;

j. ;

k. .

l.

m.

Exemplo: Considerem-se as matrizes de ordem 3, tais que

.

Ilustração de algumas propriedades sobre a multiplicação de matrizes (Scilab)

A multiplicação de matrizes não é comutativa.

A lei do anulamento do produto não é válida: se o produto AB for a matriz nula, não se pode concluir que ou .

As leis de corte não são válidas na multiplicação de matrizes: não significa necessariamente que .

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Matriz ortogonal

,

Matriz ortogonal:

[Scilab] _Multiplicar a matriz por

, à esquerda e à direita.

Aula 3

18

Matriz inversa

.

.

A matriz procurada tem que ser uma matriz quadrada de ordem para ser possível a multiplicação pela matriz A, à

esquerda e à direita. Assim, uma matriz B, tal que:

ou

.

A matriz inversa de A, quando existir, é única e denotar-se-á por e diz-se A é uma matriz invertível ou não singular.

Uma matriz que não admita inversa diz-se não invertível ou singular.

Exemplo:

[Scilab] _Determinar a inversa de :

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Ex 1.9. Considere as seguintes matrizes:

;

.

Resolva em ordem a X, com , a equação matricial .

Ex 1.11. Dada uma matriz , com colunas , e uma matriz coluna , tal que

,

tem-se e diz-se que é uma combinação linear das colunas de A.

Considere as matrizes

e

.

Escreva o produto como combinação linear das colunas de A e determine-o.

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1.3. Matrizes como representação de situações concretas

I. Supõe-se que no início de 2011, dos 5450 consumidores de energia de uma determinada região, 5300 têm energia fornecida

unicamente por um distribuidor com cota única de mercado, enquanto 150 consumidores têm unicamente produção própria

por meio de energias renováveis. Durante 2011, a probabilidade de um consumidor tornar-se produtor de energia é de 3% e

não se prevê que um consumidor, que é produtor de energia, se torne cliente do distribuidor. Qual o número de produtores e

de clientes do distribuidor estimado para o ano de 2012?

Cálculos associados:

O número de clientes do distribuidor (D) em 2012 será igual à soma

do número de clientes que permaneceram fidelizados com o número

de novos clientes:

O número de produtores de energia (P) em 2012 será igual à soma do

número de produtores que permaneceram de 2011 com o número de

novos produtores:

Representação matricial:

Seja A a matriz das probabilidades

(o elemento representa a probabilidade dos clientes do

distribuidor continuarem clientes; o elemento representa a

probabilidade dos produtores se tornarem clientes do distribuidor;

etc.) e B a matriz que representa o número de clientes por tipo de

consumidor em 2011

.

O número estimado obtém-se pelo produto :

=

.

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II. Escolha convenientemente as coordenadas dos vértices de uma letra maiúscula e represente-os numa matriz A.

Qual o efeito gráfico provocado pela multiplicação pela matriz

?

Representação geométrica:

Considerem-se os pontos , , ,

, , , e .

Representação matricial:

A matriz representa os pontos da

figura, dada por:

.

Intuitivamente, obteve-se um “T” em “itálico”.

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III. Represente o seguinte circuito elétrico por meio de um grafo orientado e por meio da matriz de adjacência.

Grafo:

Matriz de adjacência ,:

Note-se que no caso de o grafo ser orientado o atributo 1

significa a existência de uma aresta orientada, atendendo ao

vértice de partida e ao vértice de chegada.

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Ex 1.12. A matriz estocástica P indica a probabilidade de numa empresa se mudar, no presente ano civil, de tipo de lâmpada, entre lâmpadas

incandescentes, de halogéneo e LED.

.

Sabendo que a empresa tem instaladas 90 lâmpadas incandescentes, 470 lâmpadas de halogéneo e 210 lâmpadas LED, determine quantas lâmpadas

de cada tipo se estima para o início do próximo ano.

Ex 1.13. Construa a figura no plano associada à matriz A, tal que:

.

a. Determine e represente a matriz no plano. O que conclui?

b. Determine a soma de A com a matriz T, dada por

.

O que conclui?