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PROBABILIDAD
CONDICIONAL
Y TEOREMA DE BAYES William Jaime León Velásquez
wjleonv@yahoo.com
ESTADISTICA Y
PROBABILIDADES
Universidad
Nacional Mayor de
San Marcos
7
2
CONTENIDO TEMATICO
Probabilidad Condicional
Independencia estadística
Probabilidad condicional
Teorema de Bayes
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PROBABILIDAD
CONDICIONAL
Ing. William León Velásquez
En forma general la probabilidad condicional de
un evento A dado otro evento B, representada
por P(A|B) es la probabilidad de que el evento
A ocurra cuando sabemos que el evento B
ocurrió.
Esta es la razón por la cual se llama
condicional a esta probabilidad.
PROBABILIDAD CONDICIONAL
26/05/2015
PROBABILIDAD
CONDICIONAL
Ing William León Velásquez 4
La probabilidad de que el evento A ocurra
está condicionada por la ocurrencia de B.
Esta información adicional sobre A se incluye
en el cálculo de su probabilidad condicional
cuando analizamos los resultados posibles
que se pueden observar cuando sabemos
que B ha ocurrido.
PROBABILIDAD CONDICIONAL
26/05/2015
PROBABILIDAD
CONDICIONAL
Ing William León Velásquez 5
PROBABILIDAD CONDICIONAL
26/05/2015
PROBABILIDAD
CONDICIONAL
Dado un espacio muestral Ω, la probabilidad de ocurrencia del evento A,
dado que el evento B ha sucedido, se llama probabilidad condicional de A
respecto de B, y se expresa:
Ing William León Velásquez 6
Sean A, B dos sucesos tal que P(B) > 0.
La probabilidad de A condicionada a la ocurrencia
de B, denotada como P(A/B) :
P(A/B) = P(AB)
P(B)
Propiedades:
1. P(A/B) 0
2. P( /B) = 1
3. P(Ai/B) = P(Ai/B) con Ai Aj = , i, j : i j
PROBABILIDAD CONDICIONAL
26/05/2015 Ing William León Velásquez 7
A
B
PROBABILIDAD CONDICIONAL
Centra el foco de atención en el
hecho que se sabe que han ocurrido
el evento B
Estamos indicando que el espacio
muestral de interés se ha “reducido”
sólo a aquellos resultados que
definen la ocurrencia del evento B
Entonces, P(A | B) “mide” la
probabilidad relativa de A con
respecto al espacio reducido B
26/05/2015 Ing William León Velásquez 8
Se sabe que el 10% de las
piezas manufacturadas
tienen fallas visibles en la
superficie.
Se ha encontrado que el 25% de
las piezas con fallas
superficiales son
funcionalmente defectuosas
100% piezas
Manufacturadas
Por lo tanto el 90% no
tienen fallas visibles
en la superficie.
También se ha encontrado que el 5%
de la piezas que no tienen fallas
superficiales son funcionalmente
defectuosas
Evento A = { pieza funcionalmente defectuosa}
B = { pieza tiene una falla visible en la superficie}
P( A dado B) = P(A | B) ?
PROBABILIDAD CONDICIONAL
26/05/2015 Ing William León Velásquez 9
A B
Si A B = A P(A | B) = = P(A) P(A B )
P(B)
P(A)
P(B)
A B Si A B = B P(A | B) = = = 1
P(A B )
P(B)
P(B)
P(B)
A
B
Si A B = P(A | B) = = = 0 P(A B )
P(B)
P()
P(B)
A
B Si A B P(A | B) = =
P(A B )
P(B)
Casos Probabilidad Condicional
26/05/2015 Ing William León Velásquez 10
Calcular la probabilidad de que un cliente “sí compró” un televisor, dado
que en la entrevista anterior había contestado que “sí tenía planeado
comprar un televisor.
PLANIFICÓ COMPRAR
EN REALIDAD COMPRÓ
TOTAL SI NO
SI 200 50 250
NO 100 650 750
Total . . . 300 700 1,000 26/05/2015 Ing William León Velásquez
Comportamiento de los clientes que compraron televisores según la planificación de compra
EJEMPLO 1:
11
)(
)(
)/(
)/(
BP
ByAP
BAP
comprarplaneosicomprósíPP
26/05/2015
1. Probabilidad de que si compró un tv, dado que haya planeado comprar un televisor en la entrevista anterior
Planteamiento
Sí compró un TV : A
Sí planeó comprar un TV : B
EJEMPLO 1:
Ing William León Velásquez 12
2.01000
200)( ByAPP
25.01000
250)( BPP
26/05/2015
* Los clientes que planearon comprar
un TV y efectivamente sí lo
compraron son 200
* Los clientes que en la entrevista anterior dijeron que sí estaban
planificando comprar un televisor son 250.
PLANIFICÓ COMPRAR
EN REALIDAD COMPRÓ
TOTAL SI NO
SI 200 50
250
NO 100 650 750
Total . . . 300 700 1,000
EJEMPLO 1:
Ing William León Velásquez 13
8.025.0
20.0
)(
)()/(
BP
ByAPBAPP
26/05/2015
El 80% de los clientes que planificaron
comprar hace doce meses, sí compraron el
televisor de pantalla plana.
EJEMPLO 1:
Ing William León Velásquez 14
INDEPENDENCIA ESTADÍSTICA
26/05/2015
Si en una investigación, una de las preguntas es base para la respuesta
de otra de ellas, se establece una dependencia de la segunda con
respecto a la primera.
.
Ing William León Velásquez
Existe independencia estadística, si una de
las preguntas no afecta en nada la respuesta
de la otra
15
)()/( APBAP
INDEPENDENCIA ESTADÍSTICA
26/05/2015
La independencia estadística se puede definir como:
Entonces, dos eventos A y B son estadísticamente
independientes si y solo sí P(A/B)=P(A)
Ing William León Velásquez
16
PLANIFICÓ COMPRAR
COMPRÓ
TOTAL SI NO
SI 75 175 250
NO 225 525 750
Total . . . . 300 700 1,000 26/05/2015
Determinar si el evento si planificó
comprar y si compró un nuevo televisor
son estadísticamente independientes.
EJEMPLO 2:
Ing William León Velásquez 17
PLANIFICÓ COMPRAR
EN REALIDAD COMPRÓ
TOTAL SI NO
SI 75 175 250
NO 225 525 750
Total . . . . 300 700 1,000
26/05/2015
30.0250
75
1000
2501000
75
)/( ComprarPlaneócompróSíP
Determinar si el evento si planificó comprar y si compró un nuevo
televisor son estadísticamente independientes.
Alternativa 1:
EJEMPLO 2:
Ing William León Velásquez 18
PLANIFICÓ COMPRAR
EN REALIDAD COMPRÓ
TOTAL SI NO
SI 75 175 250
NO 225 525 750
Total . . . . 300 700 1,000
26/05/2015
30.01000
300)( compróSíP
Determinar si el evento si planificó comprar y si compró un nuevo
televisor son estadísticamente independientes.
Alternativa 2:
EJEMPLO 2:
Ing William León Velásquez 19
26/05/2015
30.0250
75)/( ComprarPlaneócompróSíP
30.01000
300)( compróSíP
Ambos resultados son iguales, el hecho de haber
Planeado comprar no afectó el resultado.
Los eventos son independientes.
Determinar si el evento si planificó comprar y si compró un nuevo
televisor son estadísticamente independientes. Resumen:
Análisis:
Conclusión:
EJEMPLO 2:
Ing William León Velásquez 20
)()/()( BPBAPByAP
REGLA DE MULTIPLICACIÓN
26/05/2015
La regla de la multiplicación resulta de la
Probabilidad condicional.
Ing William León Velásquez
21
TIPO DE
TELEVISION
¿SATISFECHO CON
LA COMPRA? Total
Si No
HDTV 64 16 80
No HDTV 176 44 220
Total 240 60 300
En el estudio de seguimiento de 300 hogares que realmente compraron una televisión de pantalla grande, se preguntó a los encuestados si estaban satisfechos con sus compras.
26/05/2015
EJEMPLO 3:
Ing William León Velásquez 22
8.0
80
64
)º1(
P
P
compralaconsatisfechoestasiclientePP
Suponga que se seleccionan al azar dos clientes que compraron un televisor HDTV, calcular la probabilidad de que ambos clientes estén satisfechos con su compra.
26/05/2015
Calcular la probabilidad para el primer cliente
EJEMPLO 3:
Ing William León Velásquez 23
797.0
79
63
)º1/º2(
p
P
satisfechoestasisatisfechoestásiPP
26/05/2015
Calcular la probabilidad para el segundo cliente
De la muestra, ya solo se le puede preguntar a 79
De los que están satisfechos con la compra solo son 63
EJEMPLO 3:
Ing William León Velásquez 24
6376.0
)8.0)(797.0(
)80
64)(
79
63(
)º1/º2()º2(
P
P
P
satisfechosisatisfechosiPsatisfechosiPP
26/05/2015
Calcular la probabilidad de que el cliente este satisfecho, dado que el primero también esta satisfecho.
Hay 63.76% de probabilidad de que ambos clientes muestreados
estén satisfechos con sus compras.
EJEMPLO 3:
Ing William León Velásquez 25
UNA REPRESENTACIÓN RELACIONADA
Se ha tomado una muestra al azar de 100 estudiantes y se obtiene los siguientes resultados:
26/05/2015
PROBABILIDAD
CONDICIONAL
Otra forma de representar la probabilidad condicional se puede ver en el siguiente ejemplo.
EJEMPLO 4:
Ing William León Velásquez 26
UNA REPRESENTACIÓN RELACIONADA
15 mujeres reciben ayuda económica y trabajan
45 mujeres reciben ayuda económica
20 mujeres trabajan
55 de los estudiantes son mujeres
25 estudiantes reciben ayuda económica y trabajan
60 estudiantes reciben ayuda económica
40 estudiantes trabajan
26/05/2015
PROBABILIDAD
CONDICIONAL
EJEMPLO 4:
Ing William León Velásquez 27
5
10 5
DIAGRAMA DE VENN
Donde el conjunto
M representa todas las mujeres en la muestra,
A el conjunto representa los estudiantes que reciben ayuda económica y
T el conjunto de estudiantes en la muestra que trabajan.
26/05/2015
PROBABILIDAD
CONDICIONAL
EJEMPLO 4:
5 15
10
30
M
T A
Se puede traducir estos datos en proporciones o porcentajes y representar en un DIAGRAMA DE VENN.
Ing William León Velásquez 28
Se desea seleccionar al azar una persona de estos
100 estudiantes en la muestra. Entonces podemos
hablar acerca de la probabilidad que la persona
seleccionada es una mujer, por ejemplo.
Se usará los nombres A, T y M para denotar el
evento que la persona seleccionada recibe ayuda
económica, trabaja o es una mujer,
respectivamente.
DIAGRAMA DE VENN
26/05/2015
PROBABILIDAD
CONDICIONAL
EJEMPLO 4:
Entonces
P (M)= .05 + .30 + .05 + .15 = .55, por ejemplo.
Ing William León Velásquez 29
De este diagrama de Venn se puede contestar rápidamente muchas
preguntas que a primera vista parecen ser muy complicados, tal
como,
¿Qué proporción de estudiantes son mujeres que no trabajan y
reciben ayuda económica?
DIAGRAMA DE VENN
26/05/2015
PROBABILIDAD
CONDICIONAL
EJEMPLO 4:
Esta pregunta es equivalente a encontrar
P (M y A y no T).
La solución, .30 se encuentra en la
intersección de los tres conjuntos M, no T,
A. Ing William León Velásquez 30
La probabilidad condicional se ve en situaciones donde queremos saber.
Por ejemplo: Qué proporción de estudiantes que trabajan son mujeres.
Esto es equivalente a encontrar P (W | J).
La proporción de estudiantes que trabajan es .40, la proporción de mujeres que trabajan es .20.
De esta manera la proporción de mujeres de entre todos los estudiantes que trabajan es:
.20/ .40= .50
Es decir, la mitad de los estudiantes que trabajan son mujeres.
DIAGRAMA DE VENN
26/05/2015
PROBABILIDAD
CONDICIONAL
EJEMPLO 4:
Ing William León Velásquez 31
Si lanzamos dos dados balanceados, uno rojo y el otro
verde.
El espacio muestral de este experimento consta de 36
pares ordenados tal como en la tabla siguiente.
PROBABILIDAD CONDICIONAL Y EL
CONTEO DE RESULTADOS
26/05/2015
PROBABILIDAD
CONDICIONAL
Ing William León Velásquez 32
Se deja que R y G denoten el valor observado en la cara del dado rojo y en el dado verde, respectivamente y X la suma de los valores observados, es decir, X = R + G.
Si se supone que los dados están balanceados, entonces los 36 resultados distintos del experimento son igualmente probables.
PROBABILIDAD CONDICIONAL Y EL CONTEO DE
RESULTADOS
26/05/2015
PROBABILIDAD
CONDICIONAL
Ing William León Velásquez 33
Por la forma como se lleva a cabo el experimento, se ve que
el valor observado en un dado no está relacionado con el
valor en el otro dado, es decir. el valor obtenido en un dado
es independiente del obtenido en el otro.
De estas suposiciones se tiene que
P (R = r) = P (G = g) = 1/ 6 y que
P (R= r, G= g)= 1/ 36 para r, g= 1,2, ..., 6.
PROBABILIDAD CONDICIONAL Y EL CONTEO DE
RESULTADOS
26/05/2015
PROBABILIDAD
CONDICIONAL Ing William León Velásquez
34
Muchas preguntas acerca de la
probabilidad de eventos particulares se
pueden reducir a contar el número de
elementos en el conjunto apropiado.
PROBABILIDAD CONDICIONAL Y EL CONTEO DE
RESULTADOS
26/05/2015
PROBABILIDAD
CONDICIONAL
Ing William León Velásquez 35
PREGUNTA
Encontrar la probabilidad que el número de
puntos en el dado rojo es menor o igual a 3:
P(R <= 3).
PROBABILIDAD CONDICIONAL Y EL CONTEO DE
RESULTADOS
26/05/2015
PROBABILIDAD
CONDICIONAL Ing William León Velásquez
36
Para encontrar esta probabilidad debemos contar el número de pares en la tabla para los cuales R <= 3.
Vemos que hay 18 de estos pares de un total de 36 pares posibles así obtenemos:
P (R <= 3)= 18/ 36= 1/2.
PROBABILIDAD CONDICIONAL Y EL CONTEO DE
RESULTADOS
26/05/2015
PROBABILIDAD
CONDICIONAL Ing William León Velásquez
37
Suponer que estás en tu casa y un amigo te invita a jugar un juego donde se lanzan dos dados, tal como en el Ludo.
A ti te interesa que la suma de los puntos en los dados sea 9.
Tiras los dados, pero no miras el resultado.
Tu amigo te dice que la suma de los dados es mayor de 7
PROBABILIDAD CONDICIONAL Y EL CONTEO DE
RESULTADOS
26/05/2015
PROBABILIDAD
CONDICIONAL
Ing William León Velásquez 38
¿Te dice algo este dato?
¿Cuáles son ahora tus oportunidades de haber
obtenido 9?
Si hubiera dicho que la suma era menor de
siete sabrías de seguro que perdiste.
PROBABILIDAD CONDICIONAL Y EL CONTEO DE
RESULTADOS
26/05/2015
PROBABILIDAD
CONDICIONAL
Ing William León Velásquez 39
Necesitamos calcular
P ( X= 9 | X> 7).
Antes de tirar los dados, sabías que la probabilidad de ganar, P(X=9) era igual a 4/ 36.
¿Cambió esto?
En la siguiente Tabla están señalados todos los pares donde
X > 7 y los pares donde X = 9.
PROBABILIDAD CONDICIONAL Y EL CONTEO DE
RESULTADOS
26/05/2015
PROBABILIDAD
CONDICIONAL
Ing William León Velásquez 40
PROBABILIDAD CONDICIONAL Y EL CONTEO DE
RESULTADOS
26/05/2015
PROBABILIDAD
CONDICIONAL
Ing William León Velásquez 41
Como sabemos que X > 7 el resultado observado debe estar dentro del triángulo cyan.
Allí hay 15 pares distintos de los cuales cuatro son consistentes con X= 9,
Por esto
P (X = 9| X> 7)= 4/ 15‚
Esto significa que tus oportunidades de haber ganado han aumentado.
PROBABILIDAD CONDICIONAL Y EL CONTEO DE
RESULTADOS
26/05/2015
PROBABILIDAD
CONDICIONAL
Ing William León Velásquez 42
El resultado se puede obtener de la siguiente forma.
La proporción de pares donde X > 7 es 15/ 36.
La proporción de pares donde X > 7 y X = 9 es 4/ 36,
Siguiendo las ideas anteriores tenemos que:
P ( X = 9| X > 7) = (4/36) / (15/ 36) = 4/ 15.
PROBABILIDAD CONDICIONAL Y EL CONTEO
DE RESULTADOS
26/05/2015
PROBABILIDAD
CONDICIONAL
Ing William León Velásquez 43
Esta forma de visualizar el
experimento es particularmente
pertinente cuando éste se ejecuta
en etapas.
PROBABILIDAD CONDICIONAL Y
ÁRBOLES
26/05/2015
PROBABILIDAD
CONDICIONAL
Ing William León Velásquez 44
Ejemplo:
El experimento consiste en seleccionar a la
vez dos bolas al azar de una caja que
contiene 2 rojas y 3 azules.
PROBABILIDAD CONDICIONAL Y ÁRBOLES
26/05/2015
PROBABILIDAD
CONDICIONAL
Este experimento es equivalente al de seleccionar al azar una
bola, y entonces, sin reemplazar la primera, seleccionar al
azar otra bola.
Este proceso se puede visualizar fácilmente por medio de un
árbol. Ing William León Velásquez 45
PROBABILIDAD CONDICIONAL Y ÁRBOLES
26/05/2015
PROBABILIDAD
CONDICIONAL
Diagrama de árbol que muestra el experimento de seleccionar dos bolas
de una caja Ing William León Velásquez 46
En cada nodo del árbol representamos el número de bolas rojas y azules que quedan en la caja.
Las ramas que emanan de cada nodo representan los dos resultados posibles que se pueden obtener cuando se selecciona una bola al azar: rojo o azul.
Cada rama es rotulada por el resultado obtenido y por la probabilidad condicional de observar ese resultado.
PROBABILIDAD CONDICIONAL Y ÁRBOLES
26/05/2015
PROBABILIDAD
CONDICIONAL
Ing William León Velásquez 47
Los nodos al final representan los estados
finales posibles que podemos obtener como
resultado del experimento.
Estos nodos finales se llaman hojas.
PROBABILIDAD CONDICIONAL Y ÁRBOLES
26/05/2015
PROBABILIDAD
CONDICIONAL
Ing William León Velásquez 48
PREGUNTA
¿Cuál es la probabilidad que la segunda bola seleccionada sea
roja dado que la primera es azul?
PROBABILIDAD CONDICIONAL Y ÁRBOLES
26/05/2015
PROBABILIDAD
CONDICIONAL
Ing William León Velásquez 49
Si la primera bola fue azul, ahora quedan en la caja dos bolas rojas y dos azules.
De ahí seleccionamos otra bola. La probabilidad de que una bola seleccionada de esa caja sea roja es 2/4.
PROBABILIDAD CONDICIONAL Y ÁRBOLES
26/05/2015
PROBABILIDAD
CONDICIONAL
Ing William León Velásquez 50
Para facilitar el trabajo indicamos que el evento de que la
primera bola seleccionada es roja por R1 y el evento de que la
segunda sea roja por R2.
Hacemos lo propio para las bolas azules.
Esta representación es útil para encontrar probabilidades
conjuntas y marginales.
PROBABILIDAD CONDICIONAL Y ÁRBOLES
26/05/2015
PROBABILIDAD
CONDICIONAL
Ing William León Velásquez 51
Ejemplo:
La probabilidad que la primera bola sea roja y la segunda azul, expresada por P (R1 y B2)
Es el producto de las probabilidades que rotulan el camino de la raíz del árbol y que son consistentes con los resultados R1 y B2. .
PROBABILIDAD CONDICIONAL Y ÁRBOLES
26/05/2015
PROBABILIDAD
CONDICIONAL
Ing William León Velásquez 52
Entonces P (R1 y B2) = 2/5 x 3/4 = 6/20.
PROBABILIDAD CONDICIONAL Y ÁRBOLES
26/05/2015
PROBABILIDAD
CONDICIONAL
Ing William León Velásquez 53
Estos dos caminos dependen del resultado que se observó
cuando seleccionamos la primera bola, que pudo haber sido
rojo o azul
PROBABILIDAD CONDICIONAL Y ÁRBOLES
26/05/2015
PROBABILIDAD
CONDICIONAL
Ing William León Velásquez 54
Si nos interesamos por la probabilidad marginal de que la segunda bola sea roja, P(R2), hay que darse cuenta de que hay dos caminos posibles en que la segunda bola es roja.
Así observamos una bola roja en la segunda selección cuando
cualquiera de los dos eventos conjuntos (B1 y R2) ó (R1 y R2)
ocurren.
Estos son eventos son disjuntos por lo cual
P ( R2 ) = P (B1 y R2) + P (R1 y R2) =
6/20+ 2/20 = 8/20.
PROBABILIDAD CONDICIONAL Y ÁRBOLES
26/05/2015
PROBABILIDAD
CONDICIONAL
3/5*2/4 2/5*1/4
Ing William León Velásquez 55
Los árboles son especialmente útiles para encontrar probabilidades condicionales tal como P( R1 | B2 ).
Esta probabilidad se puede entender si pensamos en un experimento donde escogemos una bola al azar, sin mirarla, la escondemos y luego seleccionamos al azar otra bola.
Si la segunda bola seleccionada es azul, ¿cuál es la probabilidad que la bola que escogimos primero era roja?
PROBABILIDAD CONDICIONAL Y ÁRBOLES
26/05/2015
PROBABILIDAD
CONDICIONAL
Ing William León Velásquez 56
Una forma de contestar esta pregunta es usando la Regla de Bayes, que aún no se ha estudiado. Otra forma es la siguiente.
Imaginemos que antes de comenzar el experimento quitamos una bola azul. Esa será la bola azul que escogeremos como segunda selección, la hemos reservado de antemano.
PROBABILIDAD CONDICIONAL Y ÁRBOLES
26/05/2015
PROBABILIDAD
CONDICIONAL
Ing William León Velásquez 57
Ahora, en esta caja imaginaria hay 2 bolas rojas y 2 azules,
por esta razón la probabilidad
P (R1 | B2) debe ser igual a
(número de bolas rojas) / (número total de bolas) = 2/4.
PROBABILIDAD CONDICIONAL Y ÁRBOLES
26/05/2015
PROBABILIDAD
CONDICIONAL
Ing William León Velásquez 58
Sean B1, B2,....,Bn eventos mutuamente
excluyentes : P( ) = 1
Entonces
P(A) =
Consecuencia (Regla de Bayes):
P(Bi/A) = P(A/Bi) P(Bi)
P(A)
n
i
iB1
n
i
ii BPBAP1
)()/(
Probabilidad Total
26/05/2015 Ing William León Velásquez 59
B1 B2
B3 B4
AB4
AB3
AB1
AB2
B5
Sean B1, B2,....,Bn eventos mutuamente excluyentes
P( Bi ) = 1
Entonces P(A) = P(A | Bi) P(Bi)
A Equipo
Fallado
Equipo Manufacturado
en Planta B2
n
i 1 =
n
Probabilidad Total
26/05/2015 Ing William León Velásquez 60
i=1
P (Bi | A ) =
P (Bi) P (A | Bi )
P (Bi) P (A | Bi )
BiBj = ; i j
Bi = S j
Supongamos de que se elige aleatoriamente un Equipo y se encuentra
que está fallado. ¿cuál es la probabilidad que sea manufacturado en
Planta B3 ?
• Se pide P(B3 | A); pero sólo se conoce P(A Bi), i = 1, 2, 3, .. , k
• Sabemos que P(A Bi) = P( A | Bi ) P(Bi) = P(Bi | A) P(A)
j
TEOREMA DE BAYES
26/05/2015 Ing William León Velásquez 61
TEOREMA DE BAYES
26/05/2015
La probabilidad condicional se basa en el resultado de
un hecho para describir otra probabilidad específica.
Este concepto de puede extender cada vez que se tiene
nueva información con la cual determinar si una
probabilidad se debe a una causa específica.
Este procedimiento recibe el nombre de Teorema y
Bayes
Ing William León Velásquez 62
El gerente de mercadotecnia de una compañía fabricante de juguetes
estudia el lanzamiento de un juguete nuevo. En el pasado, el 40% de los
juguetes introducidos por la compañía han tenido éxito y 60% han
fracasado.
26/05/2015
EJEMPLO:
Ing William León Velásquez 63
¿Qué se busca? : La probabilidad de que el juguete tenga éxito. ¿Qué condiciones tenemos? : Resultados de un informe favorable P(Éxito/Favorable)
26/05/2015
Análisis previo
EJEMPLO:
Ing William León Velásquez 64
26/05/2015
Análisis previo
EJEMPLO:
Ing William León Velásquez 65
Juguetes que tuvieron éxito y previamente les habían reportado un informe favorable 80% P(Éxito/Favorable) = 0.8 Juguetes que fueron un fracaso y previamente les habían reportado un informe favorable 30% P(Fracaso/Favorable) = 0.3
26/05/2015
Análisis previo
EJEMPLO:
Ing William León Velásquez 66
)()/()()/(
)()/(
FracasoPFracasoFavorablePÉxitoPÉxitoFavorableP
ÉxitoPÉxitoFavorableP
La aplicación del teorema de Bayes indica que se busca la probabilidad de que un juguete sea un éxito, siendo que el dictamen que se tiene es favorable; el enunciado es el siguiente:
26/05/2015
Propósito
P(Éxito/Favorable)
EJEMPLO:
Ing William León Velásquez 67
)()/()()/(
)()/(
FracasoPFracasoFavorablePÉxitoPÉxitoFavorableP
ÉxitoPÉxitoFavorableP
26/05/2015
)18.0()32.0(
)32.0(
)6.0)(3.0()4.0)(8.0(
)4.0)(8.0(
64.05.0
32.0 64%
Desarrollo
EJEMPLO:
Ing William León Velásquez 68
La probabilidad de que una persona tenga una enfermedad es de 0.03. Se dispone de pruebas de diagnóstico médico para determinar si una persona en realidad padece la enfermedad. Si la enfermedad de hecho está presente, la probabilidad de que la prueba de diagnóstico médico de un resultado positivo es de 0.9. Si la enfermedad no está presente, la probabilidad de un resultado positivo en la prueba de diagnóstico médico es de 0.02.
26/05/2015
EJEMPLO 2:
Ing William León Velásquez 69
Suponga que la prueba de diagnóstico médico ha dado un resultado positivo. ¿Cuál es la probabilidad de que la enfermedad esté presente en realidad.
¿Qué se busca? : La probabilidad de que el paciente esté enfermo ¿Qué condiciones tenemos? : Diagnóstico positivo
26/05/2015
EJEMPLO 2:
Ing William León Velásquez 70
Se busca calcular : P(Enfermo/Positivo) Pacientes enfermos : 0.03 P(Enfermo) = 0.03 Pacientes sanos : 0.97 P(Sano) = 0.97 Datos de pacientes en el pasado: Resultado positivo y estaban enfermos 0.90 Resultado positivo y estaban sanos 0.02
26/05/2015
EJEMPLO 2:
Ing William León Velásquez 71
Resultado positivo y estaban enfermos 0.90 P(Positivo/Enfermo) = 0.9 Resultado positivo, y estaban sanos 0.02 P(Positivo/Sano) = 0.02
26/05/2015
Análisis previo
EJEMPLO 2:
Ing William León Velásquez 72
)()/()()/(
)()/(
PositivoPPositivoSanoPPositivoPPositivoEnfermoP
PositivoPPositivoEnfermoP
La aplicación del teorema de Bayes indica que se busca la probabilidad de que un paciente dé un resultado positivo y los datos anteriores indican que está enfermo, el planteamiento es el siguiente:
26/05/2015
Propósito
P(Positivo/Enfermo)
EJEMPLO 2:
Ing William León Velásquez 73
)()/()()/(
)()/(
PositivoPPositivoSanoPPositivoPPositivoEnfermoP
PositivoPPositivoEnfermoP
26/05/2015
)0194.0(027.0(
)027.0(
)97.0)(02.0()03.0)(9.0(
)03.0)(9.0(
5819.00464.0
027.0 58%
Desarrollo
EJEMPLO 2:
Ing William León Velásquez 74
El parte meteorológico ha anunciado tres
posibilidades para el fin de semana:
a) Que llueva: probabilidad del 50%.
b) Que nieve: probabilidad del 30%
c) Que haya niebla: probabilidad del 20%.
TEOREMA DE BAYES
26/05/2015
TEOREMA DE BAYES
Según estos posibles estados meteorológicos, la posibilidad de que ocurra un
accidente es la siguiente:
a) Si llueve: probabilidad de accidente del 20%.
b) Si nieva: probabilidad de accidente del 10%
c) Si hay niebla: probabilidad de accidente del 5%.
EJEMPLO 3:
Ing William León Velásquez 75
Resulta que efectivamente ocurre un accidente
y como no estábamos en la ciudad no sabemos
que tiempo hizo (llovió, nevó o hubo niebla).
El teorema de Bayes nos permite calcular estas
probabilidades:
TEOREMA DE BAYES
26/05/2015
TEOREMA DE BAYES
EJEMPLO 3:
Ing William León Velásquez 76
Las probabilidades que manejamos antes de
conocer que ha ocurrido un accidente se
denominan "probabilidades a priori" (lluvia con
el 50%, nieve con el 30% y niebla con el 20%).
TEOREMA DE BAYES
26/05/2015
TEOREMA DE BAYES
EJEMPLO 3:
Ing William León Velásquez 77
Una vez que incorporamos la información de que ha ocurrido un
accidente, las probabilidades del suceso A cambian: son probabilidades
condicionadas
P(A/B), que se denominan "probabilidades a posteriori".
TEOREMA DE BAYES
26/05/2015
TEOREMA DE BAYES
EJEMPLO 3:
Vamos a aplicar la fórmula:
Ing William León Velásquez 78
a) Probabilidad de que estuviera lloviendo:
TEOREMA DE BAYES
26/05/2015
TEOREMA DE BAYES
La probabilidad de que efectivamente estuviera lloviendo el día
del accidente (probabilidad a posteriori) es del 71,4%.
EJEMPLO 3:
Ing William León Velásquez 79
b) Probabilidad de que estuviera nevando:
TEOREMA DE BAYES
26/05/2015
TEOREMA DE BAYES
La probabilidad de que estuviera nevando es del 21,4%.
EJEMPLO 3:
Ing William León Velásquez 80
c) Probabilidad de que hubiera niebla:
TEOREMA DE BAYES
26/05/2015
TEOREMA DE BAYES
La probabilidad de que hubiera niebla es del 7,1%
EJEMPLO 3:
Ing William León Velásquez 81
En una etapa de la producción de un artículo se aplica soldadura y para eso se usan tres diferentes robots.
La probabilidad de que la soldadura sea defectuosa varía para cada uno de los tres, así como la proporción de artículos que cada uno procesa, de acuerdo a la siguiente tabla.
TEOREMA DE BAYES
26/05/2015
TEOREMA DE BAYES
EJEMPLO 4:
robot defectuosos art. procesados
A 0.002 18 %
B 0.005 42 %
C 0.001 40 % Ing William León Velásquez 82
Ahora se puede hacer un par de preguntas:
a) ¿Cuál es la proporción global de defectos producida por las tres máquinas. ?
b) Si tomo un artículo al azar y resulta con defectos en la soldadura, ¿Cuál es la probabilidad de que haya sido soldado por el robot C. ?
TEOREMA DE BAYES
26/05/2015
TEOREMA DE BAYES
EJEMPLO 4:
Ing William León Velásquez 83
a) La primera pregunta nos va a llevar a lo que se conoce con el nombre de fórmula de la probabilidad total.
Se desea calcular la proporción global de defectos de los tres robots.
Después de reflexionar un momento se ve que si todas las soldaduras las pusiera el robot C, habría pocos defectos, serían 0.001 o 0.1%.
En cambio, si todas se pone el B, ¡sería un desastre!, se tendría cinco veces más: 0.005 o 0.5%.
De modo que en la respuesta se debe tener en cuenta las diferentes proporciones de lo maquinado en cada robot.
TEOREMA DE BAYES
26/05/2015
TEOREMA DE BAYES
EJEMPLO 4:
Ing William León Velásquez 84
Nuestra idea es empezar por descomponer el evento “defectuoso'' en “viene del robot A y es defectuoso” o “viene del robot B y es defectuoso” o “viene del robot C y es defectuoso”.
En símbolos tendremos
P(d) = P(A y d) + P(B y d) + P(C y d)
ó
P(d) = P(A) P( d|A) + P(B) P( d|B) + P(C) P( d|C)
TEOREMA DE BAYES
26/05/2015
TEOREMA DE BAYES
EJEMPLO 4:
Ing William León Velásquez 85
Antes de ponerle números y resolver nuestro problema fíjese en la fórmula
Hay tres eventos A, B y C que son ajenos y cubren todo el espacio muestral.
Conocemos las probabilidades de cada uno de ellos.
Además, conocemos las probabilidades condicionales de otro evento dado cada uno de ellos.
TEOREMA DE BAYES
26/05/2015
TEOREMA DE BAYES
P(d) =
P(d) = P(A) P( d|A) + P(B) P( d|B) + P(C) P( d|C)
EJEMPLO 4:
Ing William León Velásquez 86
La fórmula anterior se llama fórmula de la probabilidad total.
Llenando con nuestros números, tenemos que
P(d) = (0.18)(0.002) + (0.42)(0.005) + (0.40)(0.001)
o sea que P(d) = 0.00286 casi 3 piezas por cada mil.
TEOREMA DE BAYES
26/05/2015
TEOREMA DE BAYES
P(d) =
EJEMPLO 4:
Ing William León Velásquez 87
Es bueno comparar este resultado con
los porcentajes de soldaduras
defectuosas de cada robot por
separado.
Podemos ver que el resultado se
encuentra entre todas ellas y se
encuentra relativamente cerca de los
porcentajes de los robots más utilizados
(el B y el C). Esto es muy razonable.
TEOREMA DE BAYES
26/05/2015
TEOREMA DE BAYES
P(d) = 0.00286 casi 3 piezas por cada mil. EJEMPLO 4:
Ing William León Velásquez 88
b) La segunda pregunta es, a la vez más simple y más complicada. Nos va a
llevar a lo que se conoce con el nombre de teorema de Bayes.
La probabilidad que buscamos es una condicional pero al revés de las
que tenemos.
Buscamos P( C | d)
TEOREMA DE BAYES
26/05/2015
TEOREMA DE BAYES
EJEMPLO 4:
para calcularla usamos la definición de probabilidad
condicional:
P( C | d) = [P(C y d)] / [P( d )]
El numerador (lo de arriba) lo calculamos con
P( C y d ) = P(C) P(d|C) Ing William León Velásquez 89
y el denominador lo calculamos con la fórmula de probabilidad total
P(d) = P(A) P( d|A) + P(B) P( d|B) + P(C) P( d|C)
juntando las dos tenemos la fórmula de Bayes:
TEOREMA DE BAYES
26/05/2015
TEOREMA DE BAYES
P( C|d) = [P(A) P( d|A) + P(B) P( d|B) + P(C) P( d|C)]
[P(C) P(d|C)]
EJEMPLO 4:
Ing William León Velásquez 90
Aplicándola a nuestro caso tenemos
TEOREMA DE BAYES
26/05/2015
TEOREMA DE BAYES
[(0.18)(0.002) + (0.42)(0.005) + (0.40)(0.001)]
o sea P(C|d) = [0.0004]/[0.00286] = 0.1399 casi 14%.
[(0.40)(0.001)] P(C|d) =
EJEMPLO 4:
Ing William León Velásquez 91
Es decir si se toma una pieza al azar, la probabilidad de que haya sido soldada por el robot C es alta, 40%.
Pero, como ese robot produce sólo 1 de cada mil soldaduras defectuosas, al saber que la pieza seleccionada es defectuosa, la probabilidad de que provenga del robot C disminuye a solamente 14%.
Esto quiere decir que, en este caso el saber que la soldadura es defectuosa, nos provee con una gran cantidad de información.
TEOREMA DE BAYES
26/05/2015
TEOREMA DE BAYES
EJEMPLO 4:
Ing William León Velásquez 92
TEOREMA DE BAYES
26/05/2015
TEOREMA DE BAYES
Una fabrica produce un articulo en tres diferentes maquinas. Del total
de la producción el 30% es producido por la maquina A, el 50% en la B
y el 20% lo produce la maquina C.
La probabilidad de que un articulo producido por una máquina
especifica sea de primera calidad, se muestra en la siguiente tabla:
Maquina Probabilidad
A 0.8
B 0.7
C 0.9
1. Si se selecciona un articulo aleatoriamente de la línea de producción:
a) Cual es la probabilidad de que sea de primera calidad?
b) Si el articulo seleccionado es de primera calidad, cual es la probabilidad de que
haya sido producido por la maquina A?
EJEMPLO 5:
Ing William León Velásquez 93
TEOREMA DE BAYES
26/05/2015
TEOREMA DE BAYES
Una fabrica produce un articulo en tres diferentes maquinas. De total
de la producción el 30% es producido en la maquina A, el 50% en la B y
el 20% lo produce la maquina C.
EJEMPLO 5:
P(B)=0.5
Ing William León Velásquez 94
TEOREMA DE BAYES
26/05/2015
TEOREMA DE BAYES
La probabilidad de que un articulo producido por una máquina específica
sea de primera calidad, Se muestra en la tabla siguiente:
P(Q´/A)=1-P(Q/A)
P(Q´/A)=1-0.8=0.2
Maquina Probabilidad
A 0.8
B 0.7
C 0.9
EJEMPLO 5:
P(B)=0.5
Ing William León Velásquez 95
TEOREMA DE BAYES
26/05/2015
TEOREMA DE BAYES
La probabilidad de que un articulo producido por una máquina específica
sea de primera calidad,
Maquina Probabilidad
A 0.8
B 0.7
C 0.9
EJEMPLO 5:
P(B)=0.5
P(Q/B)=0.7 P(Q´/B)=1-P(Q/B)
P(Q´/B)=1-0.7=0.3
Ing William León Velásquez 96
TEOREMA DE BAYES
26/05/2015
TEOREMA DE BAYES
La probabilidad de que un articulo producido por una máquina específica sea de
primera calidad,
P(Q´/C)=1-P(Q/C)
P(Q´/C)=1-0.9=0.1
Maquina Probabilidad
A 0.8
B 0.7
C 0.9
EJEMPLO 5:
P(B)=0.5
P(Q/B)=0.7
P(Q/C)=0.9
Ing William León Velásquez 97
TEOREMA DE BAYES
26/05/2015
TEOREMA DE BAYES
Para responder las preguntas planteadas en el problema es necesario obtener las probabilidades
conjuntas del árbol, esto es las intersecciones respectivas, lo que significa, calcular la
probabilidad de que sucedan dos eventos al mismo tiempo.
P(AΩQ)=P(A)P(Q/A)=(0.3)(0.8)=0.24
P(AΩQ´)=P(A)P(Q´/A)=(0.3)(0.2)=0.06
P(BΩQ)=P(B)P(Q/B)=(0.5)(0.7)=0.35
P(BΩQ´)=P(B)P(Q´/B)=(0.5)(0.3)=0.15
P(CΩQ)=P(C)P(Q/C)=(0.2)(0.9)=0.18
P(CΩQ´)=P(C)P(Q´/C)=(0.2)(0.1)=0.02
EJEMPLO 5:
P(B)=0.5
P(Q/B)=0.7
P(Q/C)=0.9
Ing William León Velásquez 98
TEOREMA DE BAYES
26/05/2015
TEOREMA DE BAYES
Si se selecciona un artículo aleatoriamente de la línea de producción:
a)¿Cuál es la probabilidad de que sea de primera calidad?
Lo que significa que: la probabilidad de obtener un artículo de primera calidad
es del 77%
P(AΩQ)=P(A)P(Q/A)=(0.3)(0.8)=0.24
P(AΩQ´)=P(A)P(Q´/A)=(0.3)(0.2)=0.06
P(BΩQ)=P(B)P(Q/B)=(0.5)(0.7)=0.35
P(BΩQ´)=P(B)P(Q´/B)=(0.5)(0.3)=0.15
P(CΩQ)=P(C)P(Q/C)=(0.2)(0.9)=0.18
P(CΩQ´)=P(C)P(Q´/C)=(0.2)(0.1)=0.02
P(Q)=P(A ΩQ)+P(B ΩQ)+P(C ΩQ)
P(Q)=0.24+0.35+0.18=0.77
EJEMPLO 5:
Ing William León Velásquez 99
TEOREMA DE BAYES
26/05/2015
TEOREMA DE BAYES
Si se selecciona un artículo aleatoriamente de la línea de producción:
b) Si el articulo seleccionado en la primera calidad, ¿Cual es la
probabilidad de que ha haya sido producido por la maquina A?
EJEMPLO 5:
)()()()(
)()/(
QCPQBPQAPQP
QAPQAP
P(Q)=0.24 + 0.35 + 0.18 = 0.77
31.077.0
24.0)/( QAP
Del árbol de probabilidad
Por lo tanto podemos concluir que la probabilidad de que la máquina A haya producido un
artículo de primera calidad elegido al azar es del 31% Ing William León Velásquez 100
FIN wjleonv@yahoo.com
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