econometria 2. modelo de regresión lineal simple prof. ma. isabel santana

Econometria2. Modelo de Regresión Lineal Simple

Prof. Ma. Isabel Santana

FRP Y FRM

• La diferencia entre los Yi poblacionales y los Y^ estimados es lo que llamaremos residuos

EStimación de β1 y β2

• El objetivo es determinar la FRM de tal manera que esté lo más cerca posible a la Y observada.

• Una posibilidad sería minimizar la sumatoria de los residuos

• Sin embargo, este método no es factible ya que da el mismo peso a todos los residuos sin considerar qué tan cerca o qué tan dispersas están las observaciones de la FRM.

YY iiiˆ

EStimación de β1 y β2

• Esto se puede evitar adoptando el criterio de mínimos cuadrados

• Adicionalmente, este método posee propiedades estadísticas deseables (que veremos más adelante

YY iiiˆˆ

22

XY iii 212 ˆˆˆ

2

21ˆ,ˆ2ˆ f

i

Derivación

XY iii 212min ˆˆˆ

2

0ˆˆ

1

2

i

0ˆ

ˆ

2

2

i

0ˆ

ˆ2

1

22

i

0ˆ

ˆ22

22

i

CNPO

CNSO

01ˆˆ2ˆˆ

21

1

2

iii XY

0ˆˆ21 ii XY

0ˆ1ˆ21 ii XY

12ˆˆ ii XY

12 ˆ

ˆ

n

X

n

Y ii

Resolviendo para :1

(1)

Derivación

01ˆˆ2ˆ

ˆ21

2

2

iiii XXY

0ˆˆ 2

21 iiii XXXY

0ˆˆ 2

22 iiii XXXYXY

0ˆˆ 2

22 iiiii XXXXYXY

n

nXXX

n

nXYXY iiiii 2

22

ˆˆ

22

22

ˆˆ XnXXYnXY iii

222

ˆ XnXXYnXY iii

222

XnX

XYnXY

i

ii

Resolviendo para :2

(2)

Sustituyendo XY 21ˆˆ

Derivación

01ˆ2ˆˆ

1

2

i

i

0ˆ i

01ˆ2ˆ

ˆ

2

2

ii

i X

(1) También es igual a:

0ˆ iiX

(2) También se puede expresar como:

Ejemplo

• Supongamos que conocemos los datos de producción y horas trabajadas dee 10 trabajadores de una fábrica en un momento de tiempo (corte transversal).

• Definimos Y= producto, X= horas de trabajo.

Ejemplo8X

6.9Y

iii uXY ˆˆˆ21

222ˆ

XnX

XYnXY

i

ii

XY 21ˆˆ

XXY ii 75.06.3ˆˆˆ21

75.0810688

6.9810789ˆ22

8ˆ6.9ˆ21

6.3875.06.91

MICO expresado en desvíos

• Existe otra manera de representar 2

XXx ii

YYy ii

22ˆ

i

ii

x

yx

Si Las variables en minisculas representan desvios respecto a la media de la variable

Entonces:

Propiedades de la regresión MICO

1. Pasa a través de las medias muestrales de Y y X.

0ˆ iiii uXY ˆˆˆ21

iii uXY ˆˆˆ21

nn

X

n

n

n

Y ii 0ˆˆ21

XY 21ˆˆ

X

Y

FRMii XY 21

ˆˆˆ

X

Y

Propiedades de la regresión MICO

2. El valor promedio del Y estimado= , es igual al valor medio del Y real para:

Y

ii XY 21ˆˆˆ

ii XXYY 22ˆˆˆ

XXYY ii 2ˆˆ

XnXYnY ii 22ˆˆˆ

n

Xn

n

X

n

Yn

n

Y ii 22ˆˆˆ

XXYY 22ˆˆˆ

YY ˆ

Propiedades de la regresión MICO3. El valor de la media de los residuos es ceroi

CNPO 01ˆˆ2ˆˆ

21

1

2

iii XY

Dado que iii XYu 21ˆˆˆ

0ˆ2 i

0ˆ i

iii uXY ˆˆˆ21

iii uXnY ˆˆˆ21

ii XnY 21ˆˆ

XY 21ˆˆ

iii XXYY ˆˆ2

iii xy ˆˆ2

La regresión muestral puede ser expresada como desviaciones de Y y X.

Dividiendo por n

0ˆ i*

**

Restando ** de *

Propiedades de la regresión MICO4. Los residuos no están correlacionados con el valor

predicho de Yi, lo cual puede ser verificado utilizando la forma de desviación.

i

iiii xy ˆˆˆ 2

iiiii xyxy 22ˆˆˆ 22

22ˆˆˆ iiiii xyxy

22

ˆi

ii

x

yx

222

222

ˆˆˆ iiii xxy

0ˆ iiy

5. Los residuos no están correlacionados con Xi. Esto es:i0ˆ iix

1. El modelo de regresión es lineal en los parámetros2. Los valores de X son fijos en muestreo repetido3. El valor medio de es igual a cero. 4. Homocedasticidad o igual varianza de . 5. No autocorrelación entre los .6. La covarianza entre y Xi es cero. 7. El número de observaciones debe ser mayor que el

de parámetros8. Variabilidad en los valores de X.9. El modelo de regresión está correctamente

especificado10. No hay multicolinealidad perfecta

Supuestos Clásicos de los MICO

i 0/ ii X

i 2/var sX ii

i 0,cov ji

i

i 0,cov ji X

Supuestos Clásicos de los MICO

1. El modelo de regresión es lineal en los parámetros

2. Los valores de X son fijos en muestreo repetido– Supone que las variables X no son aleatorias– Es posible mantener fijo el valor de X, y repetir el

experimento, obteniendo en cada observación un valor de la variable distinto aleatoria Y.

– El análisis de regresión es un análisis de regresión condicional, es decir, condicionado a los valores dados de los regresores X.

Supuestos Clásicos de los MICO

3. El valor medio de es igual a cero. – Los residuos no son más que las desviaciones de

la muestra aleatoria con respecto a la FRP.

– Los factores que no están incluidos en el modelo, no afectan sistemáticamente el valor esperado de Y.

– Los valores positivos de se cancelan con los valores negativos, de tal manera que su efecto promedio sobre Y es cero.

–

i

i

XXYE 21/

Supuestos Clásicos de los MICO

4. Homocedasticidad o igual varianza de .

– La variación alrededor de la recta de regresión es la misma para los valores de X, es decir, las perturbaciones se distribuyen con igual dispersión respecto a la media.

– y dado el supuesto 2 es equivalente a 22

iii EEV

i

2/var sX ii

22 iE

Homocedasticidad

Heterocestadisticidad

Supuestos Clásicos de los MICO

5. No autocorrelación entre los .

- No existe tendencia de que los errores asociados a una observación estén relacionados a los errores de otra.

- Si en un momento de tiempo o en un individuo de la muestra se genera un error positivo, esto no nos da información alguna sobre si el próximo error será positivo o negativo.

- Los errores no tienen un patrón de comportamiento sistemático.

- Si y están correlacionados, Yt no sólo depende de Xt, sino también de .

t

i 0,cov ji

1ˆ t1ˆ t

Supuestos Clásicos de los MICO

Supuestos Clásicos de los MICO

Supuestos Clásicos de los MICO

6. La covarianza entre y Xi es cero.

– Si hay correlación, no es posible saber como afecta individualmente y a la variable Y i.

– Este supuesto se cumple inmediatamente si X no es una variable aleatoria (sino que es fija).

7. El número de observaciones debe ser mayor que el de parámetros

i

i 0,cov ji X

iX

Supuestos Clásicos de los MICO

8. Variabilidad en los valores de X.– El modelo de MCO requiere que exista una

dispersión entre las X para poder calcular los valores de los coeficientes, pues si no, éstos serían una cantidad infinita.

– Ejemplo.

22ˆ

i

ii

x

yx

02 ix

XX i Si todos los valores de X son idénticos, entonces

Por lo cual

Y entonces,

Supuestos Clásicos de los MICO

9. El modelo de regresión está correctamente especificado

– La forma de la FRM es igual a la FRP– El modelo posee las variables correctas: no se

incluyen variables irrelevante ni se excluyen relevantes.

– La forma funcional es la correcta

10. No hay multicolinealidad perfecta– No hay una relación perfectamente lineal entre las X