formelsammlung th euk
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Thermodynamik I (Stand: 16.12.2012) Prof. Dr.-Ing. G. Wilhelms
1. Hauptsatz für geschlossene Systeme:
g12
v12 diss12 12 2 1
W
W W Q U U
1. Hauptsatz für offene Systeme:
t12
rev 2 2t12 diss12 12 2 1 2 1 2 1
1
2W
W W Q H H m c c mg z z
2. Hauptsatz für offene Systeme: dissd d dT S Q W
dissd 0S
Längenausdehnungskoeffizient: Volumenausdehnungskoeffizient:
1 d
dT
l
l
1 d
d
V
V T
Druck in der Flüssigkeitstiefe h:
b flp p g h
Spezifische Wärmekapazitäten:
ip vc c R
v
pc
c
v
v
uc
T
p
p
hc
T
i
1v
Rc ,
i
1p
Rc
Zustandsänderungen: Isochore n Isobare 0n
VVVVV 21 const 0d ppppp 21 const 0d
V
p
p2
1
2
p1
V =V1 2
v
S
T
T2
1
2
T1
v
V
p
V2
1 2p p1 2=
V1S
T
T2
1
2
T1
p
Isotherme 1n Isentrope n
TTTTT 21 const 0d SSSSS 21 const 0d
V
p
V2
1
2
p1
V1
Tp2
S
T
T =T1 2
1 2 p2
V
p1p1
V1
s2
V2
Tp2
S
T
T11
2T2
S
T
T11
2T2
Polytrope nn
V
p
n=1n=0
n=
n<0
n
12
1 2
S
T
n=1
n=0
n=n
2
Thermodynamik I Prof. Dr.-Ing. G. Wilhelms
a) Änderung der thermischen Zustandsgrößen:
Thermische Zustandsgleichung des idealen Gases:
ip V m R T m 8314,47J/(kmol K)R
Isochore
1
2
1
2 T
T
p
p
const
T
p
Isobare
1
2
1
2 T
T
V
V
const
TV
Isotherme 2211 VpVp constVp
Isentrope
1
2
1
1
2
2
1
T
T
V
V
p
p const Vp
1
2
11
1
2
1
1
2
p
p
T
T
V
V
1
1
2
1
2
1
2
1
VV
pp
TT
Polytrope
1
2
1
2
1
2
lnln
ln
T
T
p
p
p
p
n
2
1
1
2
2
1
1
2
ln
ln
1
ln
ln
VV
T
T
VV
p
p
n
1
2
1
1
2
2
1
n
nn
TT
VV
pp
const nVp
nn
pp
TT
VV
1
2
11
1
2
1
1
2
1
1
2
1
2
1
2
1
nn
n
VV
pp
TT
Verschiebearbeit: Nutzarbeit:
u12 amb 2 1W p V V n12 v12 u12W W W
b) verrichtete Volumenänderungsarbeit: Definition der Volumenänderungsarbeit:
2
v12
1
dW p V
Isochore
v ich 12 0W
Isobare
v ib 12 1 2W p V V v ib 12 i 1 2W mR T T
Isotherme
1v ith 12 i
2
lnV
W mRTV
1 2
v ith 12 1 1 1 12 1
ln lnV p
W pV pVV p
3
Thermodynamik I Prof. Dr.-Ing. G. Wilhelms
Isentrope 1
1 1 1v isen 12
2
11
pV VW
V
1 1 2
v isen 121
11
pV TW
T
1
1 1 2v isen 12
1
11
pV pW
p
iv isen 12 2 11
mRW T T
v isen 12 2 2 1 1
1
1W p V pV
v isen 12 2 1W U U
2
1v isen 12 m 2 1
tv t
W m c T T
Polytrope
11
1
2
11112 pol
n
v V
V
n
VpW
1
1 1
21112 pol T
T
n
VpWv
11
1
1
21112 pol
n
n
v pp
nVp
W 112212 pol 1
1VpVp
nWv
i pol 12 2 11v
mRW T T
n 12m12 pol 1
12
1TT
ncmW
t
tvv
c) übertragene Wärme: Isochore
ich 12 2 1 diss 12Q U U W 2
1ich 12 m 2 1 diss 12
tv t
Q m c T T W
Isobare
ib 12 2 1 diss 12Q H H W 2
1ib 12 m 2 1 diss 12
t
p tQ m c T T W
Isotherme ith 12 ith12 diss12vQ W W rev
ith12 t ith 12 diss12Q W W
Isentrope isen 12 diss 12Q W
Polytrope
2
1pol 12 m 2 1 diss121
tv t
nQ mc T T W
n
revpol12 pol 12
1 v
nQ W
d) Änderung der innere Energie: Kalorische Zustandsgleichung:
d d dv
T
uu c T v
v
Kalorische Zustandsgleichungen für das ideale Gas:
12m122
1 TTcmUU
t
tv
Isochore
2 1 ich diss 12 12( )U U W Q
Isotherme Isentrope
0ith12 UU 12 isen12 vWUU
4
Thermodynamik I Prof. Dr.-Ing. G. Wilhelms
e) Verrichtete reversible technische Arbeit: Definition der reversiblen technische Arbeit:
2revt12
1
dW V p
Isochore rev
t ich12 2 1W V p p revt ich12 i 2 1W m R T T
Isobare Isotherme
revt ib12 0W rev
t ith12 ith12vW W
rev 2 1t ith12 1 1 1 1
1 2
ln lnp V
W pV pVp V
rev 2t ith12 i
1
lnp
W mRTp
Isentrope
revt isen12 2 1W H H 2
1
revt isen12 m 2 1
t
p tW m c T T
2
1
revt isen12 m 2 1
tv t
W m c T T revt isen12 isen12vW W
Polytrope
revt pol12 pol 12vW n W
Die Formeln für die polytrope reversible technische Arbeit erhält man aus den Formeln für die polytrope Volumenänderungsarbeit durch Multiplikation mit n.
f) Änderung der Enthalpie: Definition der Enthalpie:
VpUH
1212 UUHH
Kalorische Zustandsgleichungen:
d d dp
T
hh c T p
p
Kalorische Zustandsgleichungen für das ideale Gas:
12m12
2
1
TTcmHHt
tp
Isobare Isotherme
2 1 12 diss 12ibH H Q W 0ith12 HH
Isentrop
rev2 1 t 12 isenisen
H H W
5
Thermodynamik I Prof. Dr.-Ing. G. Wilhelms
g) Änderung der Entropie:
Definition der Entropie: dissd d dT S Q W
Isochore
1
2mich12 ln2
1 T
TcmSS
t
tv
Isobare
1
2mib12 ln2
1 T
TcmSS
t
tp
1
2mib12 ln2
1 T
TcmSS
t
tv
Isotherme
12 diss 12
2 1 ith
Q WS S
T
12 1 i ith
2
lnp
S S mRp
2
2 1 i ith1
lnV
S S mRV
Isentrope Polytrope
0isen 12 SS
1
2mpol12 ln
12
1 T
T
n
ncmSS
t
tv
2
1
2 22 1 m ipol
1 1
ln lnt
p t
T pS S m c mR
T p
6
Thermodynamik I Prof. Dr.-Ing. G. Wilhelms
Kreisprozesse:
Carnot-Prozess: Arbeit des Kreisprozesses:
k gW W Q k tW W Q
Arbeit des reversiblen Kreisprozesses:
rev revk vW W Q rev rev rev
k tW W Q
Wärmekraftmaschine:
Thermischer Wirkungsgrad: WKM,zu k WKM,abQ W Q
k
thzu
W
Q ,
revkrev
th revzu
W
Q
Carnot-Faktor:
car N
c revH12
1W T
TQ
Wärmepumpe:
Leistungszahl der Wärmepumpe: WP,zu k WP,abQ W Q
ab
WPk
Q
W ,
revabrev
WP revk
Q
W
Leistungszahl der als Carnot-Prozess arbeitenden Wärmepumpe:
H
WP carc H N
1 T
T T
Kompressions-Kältemaschine:
Leistungszahl der Kältemaschine: KKM,zu k KKM,abQ W Q
zu
KMk
Q
W ,
revrev zuKM rev
k
Q
W
Leistungszahl der als Carnot-Prozess arbeitenden Kältemaschine:
N
KM carH N
T
T T
7
Thermodynamik I Prof. Dr.-Ing. G. Wilhelms
Drosselung:
Adiabate Drosselung: d 0H
Adiabate Drosselung eines idealen Gases:
Änderung der Enthalpie: Änderung der Temperatur: Änderung der inneren Energie
d 0H d 0T d 0U
Änderung der Entropie: Dissipationsenergie:
22 1 i
1
lnp
S S mRp
2diss12 i
1
ln p
W mRTp
Füllen eines Behälters:
Endtemperatur (Annahme: ideales Gas, T1 = Ta)
2 1
1
2
1 1T T
pp
2
2 11 2
1Tp p
T T
Temperaturausgleich (adiabates System):
isobar, beliebiger Stoff:
Mischtemperatur Änderung der Entropie
ma a mb bMi
ma mb
p p
p p
C t C tt
C C
Mi Mi
Mi, ma mba b
ln lnT p p
T TS C C
T T
isochor, beliebiger Stoff:
Mischtemperatur Änderung der Entropie
ma a mb bMi
ma mb
v v
v v
C t C tt
C C
Mi Mi
Mi, ma mba b
ln lnT v v
T TS C C
T T
Temperaturausgleich (mit Wärmezu- 0Q oder Wärmeabfuhr 0Q ):
isobar, beliebiger Stoff: isochor, beliebiger Gas
Mischtemperatur Mischtemperatur
ma a mb bMi
ma mb
p p
p p
C t C t Qt
C C
ma a mb b
Mima mb
v v
v v
C t C t Qt
C C
Alle Formeln für tMi können auch mit Kelvin-Temperaturen geschrieben werden.
8
Thermodynamik II Prof. Dr.-Ing. G. Wilhelms
Exergie/Anergie:
Exergie eines stationär strömenden Fluids:
1
rev 2t 1b 1 b b b 1 1 12
mE W H H T S S c m g z
2 22 1 2 1 b 2 1 2 1 2 1
1
2E E H H T S S m c c m g z z
Exergie der Enthalpie:
1 1 b b b 1E H H T S S 12b1212 SSTHHEE
v
p
b
Tb
1
2
s
H H1 b-
T (S Sb b 1- )
Qzu
p > p2 b
v
p
b
Tb
1
2
s
H H1 b- T (S Sb b 1- )
Qab
p < p2 b
E1 (+) (+)
(+)
(-)
E1
Exergie der inneren Energie:
g 1 1 b b b 1 b b 1E U U T S S p V V
V
p
btb
t1
1
Eg1
2pb
p1
12b12b121 g2 g VVpSSTUUEE
Exergie der Wärme:
2
diss 12 12 b 2 1 b
1
dq
WE Q T S S T
T
bq 12 121
TE Q
T
Isotherme Zustandsänderung
12 12 b 2 1qE Q T S S Reversible Zustandsänderung
Exergieverlust:
2
dissv 12 b
1
dWE T
T
12b12 v SSTE Adiabates System
bv 12 diss12
TE W
T
Isotherme Zustandsänderung
Exergiebilanz:
1 q12 t12 2 v12E E W E E Offenes System
diss12 n12
g1 q12 g12 u12 g 2 v12
+W W
E E W W E E
geschlossenes System
9
Thermodynamik II Prof. Dr.-Ing. G. Wilhelms
Reales Stoffverhalten: Eis:
Enthalpie: eis eis eish c t ,
Flüssigkeit:
Enthalpie: w w
w 0 m w w m w w0 C 0 C
t t
p ph v p c t c t
, 30 1/999,8 m /kgv
w w w bei h h v p p h t w 4,184 kJ/(kg K)c
Entropie: w w
w m 0 Ctr
lnt
p
Ts c
T
eis 2,04 kJ/(kg K)c
Nassdampf:
' ''m m m , ' ''V V V , ' ''T T T , ' ''p p p V mv , ' ' 'V m v , '' '' ''V m v Dampfgehalt:
mm
mmm
x
Dampfnässe:
mm
mmm
x
1
Hebelgesetz der Massen: vvvv
mm
Spez. Volumen: x ' '' 'v v x v v Spez. Enthalpie: hhxhh x
Spez. Entropie: xs s x s s
Gleichung von Clausius-Clapeyron: vvT
r
T
p
sd
d
Überhitzter Dampf (siehe Lehrbuch T 5.5):
p
pk
ptr
Pk
tk
t
s
v‘ v v‘‘ lg( )v
x
T
s
p
Pk
h
v
p,lg(v)-Diagramm T,s-Diagramm
h
S
p
Pk
T
x
lg( )p
h
T
Pkpk
s
v
h,s-Diagramm lg(p),h-Diagramm
10
Thermodynamik II Prof. Dr.-Ing. G. Wilhelms
Wärmewiderstand: Reihenschaltung Parallelschaltung t
RQ
ges i
i
R R
1 1
ges i iR R
Wärmeleitung:
Fouriersches Gesetz: xt
qq x dd
Ebene Wand:
Temperaturverteilung: 1121 )()( txx
ttxt
x
t t1
t2
x2
x1
dx
q .
Wärmestromdichte: 1 2q t t
Wärmestrom: 1 2( )Q A t t
Wärmeleitwiderstand: 1 2t tR
AQ
l
Wärmestrom durch eine mehrschichtige Wand:
)(1
41
3
3
2
2
1
1
ttAQ
Zylindrische Wand:
Temperaturverteilung: 1
1
1
2
21 ln
ln
trr
rr
ttrt
tt1
r
t2
t
t1
r
t2
r
q.
Wärmestromdichte:
r
r
r
ttq
1
ln1
2
21
Wärmestrom:
1
2
21
ln
2
r
r
ttQ
Wärmeleitwiderstand:
2
1
ln
2
r
rR
l l
Wärmestrom durch eine mehrschichtige Wand:
41
3
4
32
3
21
2
1
ln1
ln1
ln1
2tt
rr
rr
rr
Q
Hohlkugelwand:
Temperaturverteilung:
1 21
1 2 1
1 1
1/ 1/
t tt r t
r r r r
Wärmestromdichte:
2
21
21 111 rrr
ttq
Wärmestrom:
21
21
11
4
rr
ttQ
Wärmeleitwiderstand: l
1 21/ 1/
4
r rR
Wärmestrom durch eine mehrschichtige Wand:
41
433322211
111111111
4tt
rrrrrr
Q
11
Thermodynamik II Prof. Dr.-Ing. G. Wilhelms
Wärmeübergang:
f w( )Q A t t Wärmeübergangswiderstand: ü
1R
A
Wärmedurchgang:
)( f2f1 ttAkQ Wärmedurchgangswiderstand: Ak
R1
d
Ebene Wand:
Wärmestrom:
21
f2f1
11
ttA
Q
Wärmedurchgangswiderstand: AAA
R21
d11
Wärmedurchgangskoeffizient:
21
111
k
Zylindrische Wand:
Wärmestrom:
221
2
11
f2f1
1ln
11
2
rr
r
r
ttQ
Wärmedurchgangswiderstand:
221
2
11d
1ln
11
2
1
rr
r
rR
Wärmedurchgangskoeffizient:
221
2
11
1ln
11
2
rrr
r
Ak
Hohlkugelwand:
Wärmestrom:
22 221
21 1
f2f1
11111
4
rrrr
ttQ
Wärmedurchgangswiderstand: d 2 21 21 1 2 2
1 1 1 1 1 1
4R
r rr r
Wärmedurchgangskoeffizient:
22 221
21 1
11111
4
rrrr
kA
Wärmeübertrager:
Wärmestrom: max minm a a1 a2 b b2 b1
max
min
Δ ΔΔ
Δln
Δ
t tQ k A k A t C t t C t t
tt
Mittlere logarithmische Temperaturdifferenz
min
max
minmaxm
lntt
ttt
12
Thermodynamik II Prof. Dr.-Ing. G. Wilhelms
Temperaturverteilungen:
Temperaturverteilung Fluidstrom a
AAk
pCttt
e1
11∆
amaxa1a ,
ba
11
pp CC
Temperaturverteilung Fluidstrom b
AAk
pCttt
e1
11∆
bmaxb1b ,
ba
11
pp CC
tmin
AA
t
ta1
tb2
ta2
tb1
tmax dta
dtb
t
A dA
tmin
AA
t
ta1
tb2
ta2
tb1
tmax
dta
dtb
t
A dA
ba pp CC ba pp CC
tmin
AA
t
ta1
tb2
ta2
tb1
tmax
dta
dtb
t
A dA
tmin
AA
t
ta1
tb1
ta2
tb2
tmax dta
t
A dA
dtb
ba pp CC Gleichstromrekuperator
Kennnzahlen der Dimension eins:
mm
a1 b1
tP
t t
Dimensionslose mittlere Temperaturdifferenz
a1 a2a
a1 b1
t tP
t t
,
b2 b1
ba1 b1
t tP
t t Dimensionslose mittlere Temperaturdifferenz
des Stoffstromes a bzw. b
a
a
kANTU
C , b
b
kANTU
C Anzahl der Übertragungseinheiten
des Stoffstromes a bzw. b
aa
b
CR
C , b
ba
CR
C Wärmekapazitätsstromverhältnis
b
a
1R
R a
ma
PP
NTU b
mb
PP
NTU a
bb a
1PR
P R
13
Thermodynamik II Prof. Dr.-Ing. G. Wilhelms
Wärmestrahlung: Emittierte Strahlungsleistung
Stephan Boltzmann’sches Gesetz: 4SM T 4
1A T
Stephan Boltzmann’sche Strahlungskonstante: 8 2 45,67 10 W/ m K
Wellenlängenabhängigkeit der Strahlungsleistung
Planck’sches Strahlungsgesetz:
1-e
),(2
-5
1S
T
ccTM
c1 =3,7417713722 10-16 W m2 2
2 1,43877512978 10 m Kc
Wien’sches Verschiebungsgesetz: max S 2898 μm KT
14 5
S,max 2 5
kW1,2856 10
m μm KM T
4
S,max 2 5max
kW μm 12627,833
mM
Richtungsabhängigkeit der Strahlungsleistung
Lambert’sches Richtungsgesetz: cosn MM
Raumwinkel: srd
d2
R
A , srddsind
Strahldichte:
n1d cos
dL M
A
Kugel:
srnMM 2O 4A r
In einen Raumwinkel d in Richtung von emittierte Strahlungsleistung
d cosdsr
d 12 A
M
34
3V r
Kirchhoff’sches Gesetz: 11 a
Übertragene Wärmeleistung
4 412 1 1 2 Q C A T T
Strahlungsaustauschkonstante Parallele unendliche Platten: 1
11
21
12
C
Strahlungsaustauschkonstante unendliche koaxiale Zylinder:
1
11
22
1
1
12
A
AC
Strahlungsaustauschkonstante unendliche koaxiale Zylinder ( 2 1A A ):
12 1C
4 41 2 12 11 2
1 2 12 211 1 1
f AQ T T
f f
Einstrahlzahl:
2 1
1 212 1 22
1
cos cos1d d
A A
f A AA r
Wärmeübergangskoeffizient
4 41 u
kon Str kon 121 f
T TC
T T
14
Thermodynamik II Prof. Dr.-Ing. G. Wilhelms
Verbrennung: Brennwert/Heizwert
o /H E m - spezfischer Brennwert om /H E n - molarer Brennwert
on n/H E V - auf das Normvolumen bezogener Brennwert onoom HVmHnH mn
u o aH H w r
wa – ist die durch den Brennstoff verursachte Feuchtigkeitsmenge im Abgas, bezogen auf die Brennstoffmenge.
r = 2442 kJ/(kg H2O) – Kondensationsenthalpie bei 25 C. Brennstoffe Zusammensetzung:
z. B.: m
mc C , kg C
kg Bc - Massenanteil des Kohlenstoffs
1 brennbar nichtbrennbar
wanoshc
m
mw Wasser , kg Wasser
kg Bw - Massenanteil des Wassers
Mindestsauerstoffbedarf: min 12 4 32 32
c h s oo in
B kg
O kmol 2
Mindestluftbedarf: 2
minmin O kmol
L kmol
0,21
o … .
B kg
L kmolmin
Mindestbedarf feuchte Luft: minf min 1 w B kg
fL kmolf min
d d s
L L s-
n p pw
n p p p
L kmolOH kmol 2w
Luftverhältnis:
f
min min,f
Tatsächlich zugeführte Luft: min kmol L
kg B
Luftüberschuss: minmin 1 B kg
L kmolmin
Tatsächlich zugeführte feuchte Luft: w 1f
Verbrennungsgasmenge:
2 2 2 2 2f CO SO H O N Ov v v v v v f
kmol fA
kg Bv
122COc
v in B kg
CO kmol 2
322SOs
v in B kg
SO kmol 2
minOH 1822 w
whv in
B kgOH kmol 2
minN 79,0282
nv in
B kg
N kmol 2
minO 121,02
v in B kgO kmol 2
15
Thermodynamik II Prof. Dr.-Ing. G. Wilhelms
Brenngase Zusammensetzung:
z. B.: bCO
trockenen Brenngas
VCO
V - Raumanteil des Kohlenmonoxid
b b b b b b b b b
2 4 2 4 2 6 n m 2 2 2
Methan Ethen Ethan nicht brennbar
1CO H CH C H C H C H CO N O
Vrebrennungsgas Zusammensetzung:
z. B.: 2COa2 a
t
vCO
v
a 22
kmol CO
kmol t CO
A
a a a a a a a2 2 2 2 4 2
unvollständige Verbrennun
1g
CO SO O N CO CH H
16
Thermodynamik II Prof. Dr.-Ing. G. Wilhelms
Gemische:
allgemein:
aa
Mi
m
m - Massenanteil a
aMi
ny
n - Stoffmengenanteil
aMi
a a
yM
M
Molare Masse des Gemisches:
MiMi
Mi
mM
n
Mi a a b b c cM M y M y M y
a b b
Mi a b b
1
M M M M
Ideale Gemische: Mi a b cV V V V - Gemischvolumen , Gesetz von Amagat
MiMi
Mi
m
V- Gemischdichte
Mi a a b b c cr r r
a b c
Mi a b c
1 Mi a b c
aa
a
m
V - Dichte der ungemischten Komponente
aa
Mi
m
V - Partialdichte a a ar
aa
Mi
Vr
V- Raumanteil a
a aMi
r
Molare Masse des Gemisches: Spez. Wärmekapazität des Gemisches:
a b c
a b cMi Mi a b c
1 1r r r
M M M M Mi a a b b c cc c c c
Mischungsentropie:
Mi m a a b b c cln ln lnS R n y n y n y
Gemische idealer Gase:
Mi Mi Mi
TV m R
p- Gemischvolumen
spezielle Gaskonstante:
a b cMi m
a b c
R RM M M
Mi a a b b c cR R R R
Partialdruck: m
a aMi
R Tp n
V a app y
a a
Mi
p n
p n
a b cp p p p - Gesetz von Dalton
a ar y
Mi
Mi
p
R T- Gemischdichte
a b c
Mia b c
r r rp
T R R R a b c
Mia b c
p p p
R T R T R T
a
a
p
R T- Dichte der ungemisch-
ten Komponente
aa
ap
R T - Partialdichte
17
Thermodynamik II Prof. Dr.-Ing. G. Wilhelms
Feuchte Luft:
Zusammensetzung:
l l 2
Mi d w eisH Om m m m m m m Mi dV V V l
d
dMi
m
V - absolute Feuchte
2
dd
H O
p
R T
2
sd s
H O
p
R T
d d d
ss s
p m
mp - relative Feuchte
l
2H Omx
m - Feuchtegehalt s
s
0,622p
xp p
ss
s
0,622p
xp p
Formeln zur Berechnung von dm , m l und MiV :
2
d sd
Mi H O
m p
V R T s
Mi
m p p
V RT
l
ll
l Mi
1
mm
x
ll
Mi
sMid s
Mi
p pm
V R T - Gemischdichte
2H O
J461,52
kg KR
Spezifisches Volumen:
2
MiMi
H O
Vv
m m
l
Mi1+x
Vv
m
l
1+ Mi1xv x v 1+ 10,622x
R T xv
p
l
Spezifische Enthalpie:
1+x Mi /h H m l 21+x H Oh h x h l
ungesättigte feuchte Luft
1
kJ kJ kJ1,004 2500,9 1,86
kg K kg kg Kxh t x t
gesättigte feuchte Luft
1 ss
kJ kJ kJ1,004 2500,9 1,86
kg K kg kg Kxh t x t
übersättigte feuchte Luft, nur Wasser
1 s s
kJ kJ kJ kJ1,004 2500,9 1,86 4,18
kg K kg kg K kg Kxh t x t x x t
übersättigte feuchte Luft, nur Eis
1 s s
kJ kJ kJ kJ kJ1,004 2500,9 1,86 333,5 2,04
kg K kg kg K kg kg Kxh t x t x x t
Isobare Wärmeübertragung bei konstantem Feuchtegehalt:
1 2x x 12 1 12 1x xQ m h h
l kon 1 sm m x x l
Taupunkt:
s1
s 1
p t
p t , d1 sp p t
Isobare Mischung feuchter Luft:
1 1 2 23
1 2
m x m xx
m m
l l
l l
1 2 3 1 3 11 21 3
2 1
x xx
h x x h x xh
x x
Adiabater Zusatz von Wasser oder Wasserdampf:
l
2H O2 1
mx x
m, 2
2
H O1 H O 12 1x x
mh h h
m
l
, w
kJ4,18
kg Kh t , d
kJ kJ2500,9 1,86
kg kg Kh t
Druckänderung bei konstanten Stoffmengenanteilen:
2d2 d1
1
pp p
p
18
Kältetechnik Prof. Dr.-Ing. G.Wilhelms
Kälteleistung:
0n R 0 3Q m h h Nettokälteleistung lg( )p
2pc
h
p0
4
wt12
0
3
q0n
q0g
tctcu
t0t0h
0’’
3’
V1
20 °C
1
0g R 1 3Q m h h Gesamtkälteleistung
0e KT KT KT2 KT1pQ m c t t Nutzkälteleistung
0v R 1V 1V 3'Q m h h Verdichterkälteleistung
korr0v R 1 3'Q m h h Sauggastemperaturkor-
rigierte Verdichterkälte- leistung
Bewertungszahlen:
0KM
k
Q
W
Leistungszahl der wirklichen Kältemaschine (KM)
0KM car
c 0
T
T T
Leistungszahl des als KM arbeitenden Carnot-Prozesses
KMg KM car
KM car
Carnot-Gütegrad
vergl. 0KM
k
Q
W Leistungszahl des Vergleichsprozesses
KMg KM vergl.
KM
Gütegrad der Kältemaschine
0n
el ges
EERQ
P
Energy Efficiency Ratio
19
Kältetechnik Prof. Dr.-Ing. G.Wilhelms
Kolbenverdichter
p
V
2
Wind Wt12
rev
pD
pA
3
4
VA
VHubVS
11’
2’3’
4’
p2
p1
pD
pS
2
Hub Hub 1 34
DV V V
l Hubvolumen
2
Hub Hub 4
DV n z
l Hubvolumenstrom
30
Hub
V
V Relativer Schadraum
A 1 4
Hub Hub
V V V
V V
= ,
R
1
20
1
1 1np
p
Füllungsgrad
gef
Hub A
m
V
Liefergrad
1 A 1 4
P AA 1 Hub
p T V V
p T V
Liefergrad ( R v 2 3 n n T T )
1
rev i 1 2t isen12 2 1
1
11
RT pw h h
pisentrope Vergleichsarbeit
revKV isen
isen VKV
W
W isentroper Verdichterwirkungsgrad
R 2isen 12isen 1
isen V2 1 m e KV
m h hh h
h h P
isentroper Verdichterwirkungsgrad (adiabate Verdichtung)
KVm V
e KV
W
W mechanischer Verdichterwirkungsgrad
e KV
elKl
W
P Verdichterwirkungsgrad des Elektromotors
rev revKV ind t12 t34W W W indizierte Arbeit des Kolbenverdichters
revKV isen
isen indKV ind
W
W isentroper indizierter Wirkungsgrad
KV ind
m inde KV
W
W mechanischer indizierter Wirkungsgrad
Verdichterleistungsdaten: Gegeben: e KVW , korr0vQ
korr0v
R1 3'
Qm
h h
Geförderter Massenstrom
mV 1 3' e KV mV e KV2 1 1korr
R0v
h h P Ph h h
mQ
Enthalpie nach der Verdichtung (adiabater Verdichter)
20
Kältetechnik Prof. Dr.-Ing. G.Wilhelms
Ideale Gemisch
22
Mi
m
m Konzentration des gelösten Stoffes: 2m
11
Mi
1m
m Massenanteil des Lösungsmittels: 1m
Mi,id 1 2 1v v v v spezifisches Volumen
Mi,id 1 2 1h h h h spezifische Enthalpie
Mi
Mi,
pp
hc
T
spezifische Wärmekapazität
Reale Gemische E
Mi Mi,idv v v spezifisches Exzess-Volumen, E 0v Volumenkontraktion
ET Mi Mi,idq h h h isotherme spezifische Mischungswärme, (spezifische Exzes-
senthalpie) T 0q Beim Mischen tritt eine Erwärmung auf.
EMi
1 2, ,
1 p pp p
h hc c
T T
spezifische Wärmekapazität
Mischungsregel im h,-Diagramm: Der Mischpunkt liegt auf der Ver-bindungsgeraden von a und b und teilt diese Strecke im Verhältnis der Massenströme.
a 01 2
1
hb
h
ha
hMi
tb
tM i
ta
b Mi
a mb
ma
. .
Mi b
Hebelgesetz der Phasenmengen: Der Mischpunkt liegt auf der Ver-bindungsgeraden von a und b und teilt diese Strecke im Verhältnis der Massenströme.
0 1 2
1
h
ts1
ts1
r1( )p ts2
ts2
r p2( )
h1
h1
h2
h2
‘
‘
‘‘ ‘‘
t
t 6
’m
’’m
1 2
4
8 3
7
5
constp =
9
21
Kältetechnik Prof. Dr.-Ing. G.Wilhelms
Absorptionskälteanlagen
H20-LiBr-AKA Konzentration:
A
4Verdampfer
Kondensator3
0
Drossel
2
Lösungs-pumpe
Drossel
A
D
Absorber
Austreiber
q0
qc qH
qA
..
..
a r
D
BH
wP
.
1
2H O,r
rr
m
m
, 2H O,a
aa
m
m
Spezifischer Lösungsmassenstrom ar
r0 r a
1mf
m
, a r
a0 r a
1mf
m
r a 1f f
r a - Entgasungsbreite
Spezifische Austreiberwärme: H 2 H r H Bq h h f h h
H 2 H r H Aq h h f h h kein WÜ, Pumpe vernachlässigt
Spezifische Absorberwärme: A D 1 r A Dq h h f h h
A H 1 r B Hq h h f h h kein WÜ, Pumpe vernachlässigt
Spezifische Wärmeübetragerleistung: r B A r HWÜ D1q f h h f h h
rB H D A
r
1fh h h h
f
rB H AD
r
1fh h h h
f
Pumpe vernachlässigt
Spezifische Kälteleistung: Spezifische Verflüssigungsleistung: 0 0 3q h h c 3 2q h h
Gesamtbilanz:
0 H P c Aq q w q q
Wärmeverhältnis: 0
H
q
q
22
Energietechnik Prof. Dr.-Ing. G.Wilhelms
Bewertungszahlen: Thermodynamische Bewertung von Kreisprozessen:
kth
zu
W
Q
thermischer Wirkungsgrad des wirklichen Prozesses
revkrev
th revzu
W
Q
Thermische Wirkungsgrad des Vergleichsprozesses
rev( ) k
w w rev(-)t
Wr r
W Arbeitsverhältnis
rev( ) kw rev(+)
t
Wr
W ( ) ( )
w w
1 11
r r
Bewertung der Irreversibilität von Kreisprozessen:
ki rev
k
W
W
innerer Wirkungsgrad
revth th i
für rev
zu zuQ Q
Bewertung der Anlage:
ekm
k
W
W
mechanischer Wirkungsgrad
eke
zu
W
Q
Nutzwirkungsgrad (Gesamtwirkungsgrad)
reve th i m für rev
zu zuQ Q
Vergleichprozesse der Gasturbinenanlagen:
Joule Prozess
V
1’
2’ 3’
4’
p
Wj
Q2’3’
Q4’1’
T3’
T1’
rev
rev
S
T
1’
p1’
Wj
2’
3’
4’
p2’ 1
2 '2 ' 1'
1'
pT T
p
1
1'4 ' 3 '
2 '
pT T
p
3 '2 '
1' 4 '
TT
T T
j m 2' 1' 4 ' 3 '' pW m c T T T T Nutzarbeit
ij 1' 3 ' 1' 3 '
2
1
RW m T T T T Maximale Nutzarbeit
2'* 4'* 1' 3 'T T T T , rev 1'
th w2'*
1T
rT
1
rev 1' 1'th
2 ' 2 '
1 1T p
T p Thermischer Wirkungsgrad
revrev th
b 3'
3 ' 2' 2'
1 lnT T
T T T
Exergetischer Wirkungsgrad
2w
3
1T
rT
Arbeitsverhältnis
23
Energietechnik Prof. Dr.-Ing. G.Wilhelms
Ericsson Prozess
V
1’
2’ 3’
4’
p
Wer
T3’
T1’
Q3’4’
Q1’2’
rev
rev
rev revQ Q2´3’ 4’1’= | |
Wer
rev
rev rev
revQ3’4’
Q1’2’
S
T
1’
p1’
2’
3’4’
p2’
Q Q2’3’ 4’1’ = | |
2
er i 1 31
lnp
W m R T Tp
Nutzarbeit
rev 1th c
3
1T
T Thermischer
Wirkungsgrad
rev 3 ' 1'
c3' b
T T
T T Exergetischer
Wirkungsgrad
rev1'w th c
3 '
1T
rT
Arbeitsverhältnis
Wirklicher Prozesse der Gasturbinenanlagen:
m = mj
s
T
2’4’
2 4
S = Sj
p1
p2
3 = 3’
1 = 1’
Nutzarbeit:
k t tV 12 tT 34W W W W
tV 12k T tT 34
V
WW W
k m 2 1 4 3pW m c T T T T (adiabate Maschinen)
1
22 1
1
pT T
p
, 2 12 1
isen V
T TT T
(adiabate Maschinen)
1
14 3
2
pT T
p
, 4 isen T 4 3 3T T T T (adiabate Maschinen)
revtV isen12 2 1
isen VtV 12 2 1
W T T
W T T isentroper Verdichterwirkungsgrad
tT 34 4 3
isen T rev4 3tT isen34
W T T
T TW isentroper Turbinenwirkungsgrad
gen
genek
W
W Generator-
Wirkungsgrad kl
eigen
W
W Eigenbedarfs-
Wirkungsgrad
ek
mk
W
W Mechanischer Anla-
genwirkungsgrad kl
gesb u
P
m H
Gesamtwirkungsgrad des Kraftwerkes
23 2'3'Q Q → 3 2j
3 ' 2'
t tm m
t t
, jm m Massenstrom des Vergleichsprozesses
Kennzahlen: Verdichtung: – Verdichtungsverhältnis isochore Wärmezufuhr: – Druckverhältnis
isobare Wärmezufuhr: – Einspritzverhältnis
24
Energietechnik Prof. Dr.-Ing. G.Wilhelms
Vergleichsprozess des Heißgasmotors:
Stirling Prozess
V
1’
2’
3’
4’
p
T3’
T1’
Q3’4’
Q1’2’
Q2’3’ 4’1’= |Q |
V1’ V2’
rev
rev
rev rev
Wst
VK VHub
S
1’2’
3’ 4’
T Q3’4’
Q1’2’
V1’
V2’ rev
rev
Wst
Q2’3’ 4’1’= |Q |rev rev
2' 1'T T 2' 1'p p
3' 1'T T 3 ' 1'p p
4 ' 1'T T 4 ' 1'p p
1'
2'
V
V , 3 '
2'
p
p
2'
St i 3 ' 1' i 3 ' 1'1'
' ln ' lnp
W m R T T m R T Tp
Nutzarbeit
rev 1'th c
3'
1T
T Thermischer
Wirkungsgrad
rev 3' 1'
c3 ' b'
T T
T T
Exergetischer Wirkungsgrad
w
revth
11 1
ln
r
Arbeitsverhältnis
Vergleichsprozesse der Verbrennungsmotoren:
Viertakt: t t 2
nP W , Zweitakt: t tP W n
Otto Prozess
V
1’
2’
3’
4’
p
T3’
T1’
Q4’1’
Q2’3’
V1’ V2’
VHub
s
s
VK
rev
rev Wo
S
1’
2’
3’
4’
T
V1’
V2’
Q2’3’
Q4’1’
rev
rev
Wo
12' 1'T T 2' 1'p p
13' 1'T T 3' 1'p p
4' 1'T T 4' 1'p p
1'
2'
V
V , 3 '
2'
p
p , 3'2'
1' 4 '
TT
T T
io 1' 2' 3 ' 4 '1
m RW T T T T
Nutzarbeit
io 1' 3 ' 1' 3 '2
1
RW m T T T T
Maximale Nutzarbeit
2'* 4'* 1' 3 'T T T T
1
rev 1' 1'th 1
2' 2'
11 1 1
T p
T p
Thermischer Wirkungsgrad
revrev 1' 2' 3 ' 4 ' th
3 ' b 3'3 ' 2' b
2' 3 ' 2' 2'
ln 1 ln
T T T T
T T TT T T
T T T T
Exergetischer Wirkungsgrad
1' 2' 3 ' 4 '
w3' 1' 4 ' 1'
3 'th
2'
11
11
T T T Tr
T T T TT
T
Arbeitsverhältnis
25
Energietechnik Prof. Dr.-Ing. G.Wilhelms
Diesel Prozess
V
1’
2’3’
4’
p
T3’
T1’
Q4’1’
Q2’3’
V1’ V2’
Wd
VHub
s
s
VK
rev
rev
S
1’
2’
3’
4’
T
V1’
p2’
Q2’3’
Q4’1’
Wd
rev
rev
12' 1'T T 2' 1'p p
13' 1'T T 3 ' 1'p p
4 ' 1'T T 4 ' 1'p p
1 1
11' 2 ' 2 '
2 ' 1' 1'
V p T
V p T
3 ' 3 '
2 ' 2 '
T V
T V, 1 3 '2 '
1' 4 '
TT
T T
id 1 2 3 4
'
1
m RW T T T T
Nutzarbeit
rev 4' 1'th 1
3' 2'
1 11 1
1
T T
T T
Thermischer Wirkungsgrad
rev
1
1 11
1
Exergetischer Wirkungsgrad
revth
w
1
1
1r
Arbeitsverhältnis
Seiliger Prozess
Q5’1’
Q2’3’
V
1’
2’
4’
5’
p
V2’
VHub
s
s
VK
3’
V1’
Q3’4’
rev
rev
rev
WS
S
1’
2’
3’
5’
T
V1’
V2’
4’
p3’
WS
12' 1'T T 2' 1'p p
13 ' 1'T T 3 ' 1'p p
14' 1'T T 4' 1'p p
5' 1'T T 5 ' 1'p p
1'
2'
V
V , 3 '
2'
p
p , 4 '
3 '
T
T
s m 1' 2 ' 3 ' 4 ' 5 '' 1vW m c T T T T T Nutzarbeit
rev 5' 1'th
3 ' 2' 4 ' 3 '
1
1
1 1 1
1 1
T T
T T T T
Thermischer Wirkungsgrad
1' 2' 3 ' 4 ' 5 'rev
3' 4 '3 ' 2' b 4' 3 ' b
2' 3 '
1 1
1b
1'
1
ln ln
1 1
1 1 ln ln
T T T T T
T TT T T T T T
T T
T
T
Exergetischer Wirkungsgrad
1' 2' 3 ' 4 ' 5 'w
4' 1' 5' 1'
1T T T T Tr
T T T T
Arbeitsverhältnis
26
Energietechnik Prof. Dr.-Ing. G.Wilhelms
Wirklicher Prozesse der Verbrennungsmotoren
v
1’
2’ 3’
4’
p
2
4
m = mj
s
T
1’
2’
3’
4’
2 4’
Sj = S
1 Hub1
V V
1 1 2
nV V - Viertakt
1 1V V n - Zweitakt
1 1
i 1
pV
mRT
Dampfkraftanlagen: Clausius-Rankine-Prozess:
Arbeit des Kreisprozesses: T
pPk
S
3 2
4
1
x
h
s
1
2
34
p
Pk
T
c/r 2 1 4 3W H H H H
Thermischer Wirkungsgrad: c/r 2 3
thzu 1 4
1W H H
Q H H
Exergetischer Wirkungsgrad: th
1 4b
1 4
1S S
TH H
Arbeitsverhältnis: c/r 4 3
wt 12 1 2
1w
W H Hr r
W H H
Enthalpie nach der Speisewasserpumpe: 4 3 3 4 3 3h h v p p h
Vernachlässigung der Arbeit der Speise-wasserpumpe:
Arbeit des Kreisprozesses: c/r t 12 2 1W W H H
Thermischer Wirkungsgrad:
t 12 1 2 1 2c/r
41 1 4 1 3
W H H H H
Q H H H H
27
Energietechnik Prof. Dr.-Ing. G.Wilhelms
Realer Prozess in Dampfkraftanlagen:
Kesselwirkungsgrad:
d k wd
kb ub
vom Dampf aufgenommene Wärmeleistung
Brennstoffleistung
m h hQ
m HQ
Rohrleitungswirkungsgrad:
rev
zu zu 1 wr
k wd d
der Turbine zugeführte Leistung
vom Dampf aufgenommene Leistung
Q Q h h
h hQ Q
Thermischer Wirkungsgrad des Vergleichsprozesses:
rev
krev 1 2isenth
1 wzu
von der idealen Maschine abgegebene Leistung
der Turbine zugeführte Leistung
W h h
h hQ
innerer Wirkungsgrad des Kreisprozesses:
k 1 2i rev
1 2isenk
von der realen Maschine abgegebene Leistung
von der idealen Maschine abgegebene Leistung
W h h
h hW
mechanischer Wirkungsgrad:
ekm
k
Leistung an der Kupplung
von der realen Maschine abgegebene Leistung
W
W
Generatorwirkungsgrad:
gengen
ek
vom Generator abgegebene Leistung
Leistung an der Kupplung
P
W
Eigenbedarfswirkungsgrad: kl
eigen
ans Netz abgegebene Leistung
vom Generator abgegebene Leistung
P
P
Thermischer Wirkungsgrad des wirklichen Prozesses: Gesamtwirkungsgrad:
krev
th th izu
W
Q
klges
u
P
m H
Isentroper Turbinenwirkungsgrad: 1 2
isen T1 2isen
h h
h h
28
Strömungsprozesse:
m constm Ac Kontinuitätsgleichung: mV Ac inkompressibel Kontinuitätsgleichung: Arbeitsprozess:
2 2t12 2 1 2 1 2 1 12
1
2w h h c c g z z q 1. HS
revt12
2rev 2 2t12 2 1 2 1
1
1 d
2
w
w v p c c g z z
1. HS ohne kalorische Zustandsgrößen
Strömungsprozess:
2 212 2 1 2 1 2 1
1
2q h h c c g z z 1. HS
revt12
22 22 1 2 1 diss12
1
10 d
2
w
v p c c g z z w
1. HS ohne kalorische Zustandsgrößen
2 22 2 1 1
2 12 2
p c p cgz gz
inkompressibel
reibungsfrei Bernoulli-Gleichung
i 1 2F m c c Impulskraft e1 1 n1 e2 2 n2pF p A e p A e
Druckkraft
res i pF F F
resultierende Kraft
Hauptgleichung der Strömungsmaschinen:
Sch 2 2u 1 1uP m u c u c Radialmaschine Sch 2u 1uP mu c c Axialmaschine
u r 2 n
Düsenströmung:
1 2isen Dü
1 2'
h h
h h
Isentroper Düsenwirkungsgrad
2
2'
c
c Düsenbeiwert
isentrope Zustandsgleichung, ideales Gas, 1 0 c
1
1 11
21
1x
x x
pc p p v
p
1
11
11
11 11
221
1
xx x
x
pmv
p mA p
pp vp vp
Durchflussfunktion:
2 1
x x
1 11
p p
p p
1
L 1
2
1p p
L 1 1 i 1
2 2
1 1c p v RT
1
1
max
2
1 1
1
2 1L 1
minL 1
1
2
v vA m m
p p
s i L L L Lc RT p v c
29
Energietechnik Prof. Dr.-Ing. G.Wilhelms
Kombiniertes Gas-Dampf-Kraftwerk (GUD-Prozess):
I
II
III
1
2 3
4
5
PkG
PkD G
G
PeD
PeG PgenG
PgenD PD
PG
PeiG
PeiD
..
. .
GTA
DKA
.
PkG
PkD
.
.
.
GTA
DKA
T
S
p
1
2
3
4
5
p2
p1
.
. I
IIIII.
.
.
.
bGQ Brennstoffleistung der GTA
23 bGQ Q Der GTA zugeführte Wärmeleistung
kG tT34 tV12P P P Nutzleistung der Gasturbine GP Nettoleistung der Gasturbine
45Q Vom Abgas im Dampferzeuger abgegebene Wärmeleistung
Wird an Wasser/Dampf abgegeben (keine Verluste)
bDQ Brennstoffleistung der DKA
dDQ Nutzwärmeleistung der Zusatzfeuerung
III,I
45 dDQ Q Q Von der DKA aufgenommene Wärmeleistung
41Q Vom Abgas maximal abgebbare Wärmeleistung
Ausnutzungsgrad:
45 dD III,Ia
41 bD 41 bD
Q Q Q
Q Q Q Q
a
Von der DKA aufgenommene Wärmeleistung
aufgewendete Wärmeleistung
bD bG/Q Q Verhältnis der Brennstoffleistungen,
0 2 3
I,IIkD t T P P Nutzleistung der Dampfturbine (Pumpe vernachlässigt)
DP Nettoleistung der DKA GUD G DP P P Kraftwerksnettoleistung
kl GUDGUD
bG bD
P
Q Q
Gesamtwirkungsgrad des GUD-Prozesses (Kraftwerksnettowirkungsgrad)
G D G DGUD
bG bG bG
1
11
P P P P
Q Q Q
G a DGUD a D
mG genG eiG
11
GG
bG
P
Q Gesamtwirkungsgrad des GTA
III,I
D
D
P
Q Wärmetechnischer Gesamtwirkungsgrad der DKA
DgesD a D
41 bDQ
P
Q
Gesamtwirkungsgrad einer vergleichbaren DKA
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