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Funciones polinómicas
6/19/2019 1Footer Text
Función de potenciasUna función de potencia es una función
• con un solo término
• es el producto de un coeficiente y una variable
elevada a un número real fijo.
Ejemplo: La fórmula para calcular el área de un
círculo es una función de potencia.
A(r) = 𝜋𝑟2
Una función de potencia se puede representar en la
forma f (x) = kxp
donde k y p son números reales, y k se conoce como
el coeficiente.
6/19/2019Footer Text 2
Funciones Polinómicas
• La ecuación general de una función polinómica de
grado n con coeficientes reales está dada por
f(x) = anxn + an-1xn-1 + ··· + a1x + a0x
0, an ≠ 0 .
• Por ejemplo,
𝒇 𝒙 = 𝟐𝒙𝟒 − 𝟒𝒙𝟑 + 𝟑𝒙𝟐 + 𝒙 − 𝟕
𝒈 𝒙 = −𝟑𝒙𝟔 + 𝟓𝒙𝟒 − 𝒙𝟐 − 𝟗
Funciones Polinómicas
• Los casos n = 0, 1, y 2 ya se han discustido:
Gráficas de funciones polinómicas
• Las funciones polinómicas son contínuas.
• Las gráficas de las funciones polinómicas son curvas
suaves, sin huecos ni filos.
Teorema del Valor Intermedio
los ceros reales de f(x) son interceptos en x; la función cambia de signo en los extremos del intervalo
• Si f(a) y f(b) tienen signos opuestos, existe al menos
un valor x= c entre a y b tal que f(c) = 0 .
Si f tiene un cero en [1,3], entonces f(1) y f(3) tendrán signos diferentes.
f(1) = 1 + 1 – 4 – 4 = - 6f(3) = 27 + 9 – 12 – 4 = 20
Como f(1) y f(3) tienen signos opuestos, concluímos que f(x) = 0 para algún valor de x en [1,3].
Usando el teorema de valor intermedioMostrar que f(x) tiene un cero en [1,3]:
Características de polinomios de grado 3; grado impar
𝒂𝒏 > 𝟎 𝒂𝒏 < 𝟎
puntos de retorno: donde la gráfica cambia de forma de crecimiento;
son A LO MAS n – 1, donde n es el grado del polinomio.
interceptos en x: son A LO MAS n, donde n es el grado del polinomio.
)2)(5()( xxxxf
Esta es la factorización final del polinomio. Los interceptos en x de la gráfica de f(x) son:
El intercepto en y es:f(0) = 0, el punto (0,0).
)107()( 2 xxxxf
Gráficas de polinomios de grado > 2
)0,2(y (5,0) 0,0)(
xxxxf 107)( 23
Trace la gráfica del polinomio:
Solución: Factorizamos el polinomio para hallar los interceptos en x.
)2)(5()( xxxxf
Ejemplo (cont.) xxxxf 107)( 23
Como 𝒂𝒏 > 𝟎, en el extremos izquierdo𝒇 𝒙 → −∞ 𝒄𝒖𝒂𝒏𝒅𝒐 𝒙 → −∞
extremo derecho𝒇 𝒙 → ∞ 𝒄𝒖𝒂𝒏𝒅𝒐 𝒙 → ∞
Puntos adicionalesen (0,2)f(1) =
en (2, 5)f(3)=
Características de polinomios de grado 3; grado par
puntos de retorno: donde la
gráfica cambia de forma de
crecimiento; son A LO MAS
n – 1, donde n es el grado del
polinomio.
interceptos en x: son A LO
MAS n, donde n es el grado
del polinomio.
comportamiento en los
extremos: Si a>0, la gráfica es
decreciente en el extremo
izquierdo y creciente en otro.
Si a <0, la gráfica es creciente
en el extremo izquierdo y
decreciente en otro.
¿Qué sabemos?
• La ecuación está en su forma factorizada.
• grado:
• número de interceptos en x:
• número de puntos de retorno:
• 𝒂𝒏 =
• Los ceros son:
• Los interceptos en x:
• El intercepto en y es:
Trace la gráfica del polinomio:
𝑔 𝑥 = (𝑥 + 1)(𝑥 − 1)(𝑥 + 3)(𝑥 − 2)
Trace la gráfica del polinomio:
𝑔 𝑥 = (𝑥 + 1)(𝑥 − 1)(𝑥 + 3)(𝑥 − 2)¿Qué sabemos?• grado es
o Par
• coeficiente principal eso positivo
• comportamiento en los extremoso misma dirección (↑)
o 𝒇 𝒙 → ∞ 𝒄𝒖𝒂𝒏𝒅𝒐 𝒙 → −∞
o 𝒇 𝒙 → ∞ 𝒄𝒖𝒂𝒏𝒅𝒐 𝒙 → ∞
• Los interceptos en x sono (-1,0), (1,0), (-3,0), (2,0)
• El intercepto en y eso (0,6)
• puntos de retornoo a lo más 3
• evaluar para x en -3<x<-1 o f(-2)= - 12
• evaluar para x en -1<x<1 o f(0) = 6
• evaluar para x en 1<x< 2o f(1.5) ≈ −𝟑
Multiplicidad
• Si c es un cero real multiplicidad m , entonces
o uno de los factores de f(x) es (x – c)m y
o la gráfica de f tiene un intercepto en x en c .
• El comportamiento que tiene la gráfica de f cerca
de (c, 0) se describe en la siguiente pantalla.
Multiplicidad (cont)
Ejemplo• Para la función polinómica
𝑔 𝑥 = (𝑥 + 1)2(𝑥 − 1)(𝑥 + 3)(𝑥 − 2)
Los ceros de la función y sus multiplicidades son:
x = -1 tiene multiplicidad 2
x = 1, x = -3 y x = 2 tienen multiplicidad 1
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Hallar una posible ecuación para la gráfica
¿Qué sabemos?
• grado es
• coeficiente principal es
• comportamiento en losextremos
• Los interceptos en x son
• El intercepto en y es
𝑔 𝑥 = 𝑘(𝑥 + 1)2(𝑥 − 1)(𝑥 + 3)(𝑥 − 2)
Hallar una posible ecuación para la gráfica
Para obtener k, sustituir(0,6) y despejar para k.
𝑔 𝑥 = (𝑥 + 1)2(𝑥 − 1)(𝑥 + 3)(𝑥 − 2)
6= 𝑘 0 + 1 2 0 − 1 0 + 3 0 − 26= 𝑘(1) −1 3 −26= 6𝑘k = 1
𝑔 𝑥 = 𝑘(𝑥 + 1)2(𝑥 − 1)(𝑥 + 3)(𝑥 − 2)
División Sintética• Dividir un polinomio entre x – c se puede realizar
mediante un algoritmo conocido como división
sintética.
• Para dividir anxn + an-1xn-1 + ··· + a1x + a0 , entre
x – c utilizando división sintética , trabajamos
únicamente con los coeficientes del polinomio
como se muestra:
Colocar «0» cuando falta alguna potencia de x
r
se suma
Ejemplo: Dividir f(x) = 2x2 – 5x – 1 entre x – 3
Coeficientes de f(x) 2 – 5 – 1
c 3
Se opera:2 – 5 – 1
3
Hemos obtenido que: f(x) = 2x2 – 5x – 1 = (2x + 1 ) (x – 3) + 2
2
6 3
21
se multiplica por c
División Sintética: dividirentre x - c
r
se suma
Ejemplo: Dividir P = 2x3 – 7x2 – 4x + 14 entre x + 2
Coeficientes de P 2 – 7 – 4 14
c – 2
Se opera:2 – 7 – 4 14
– 2
Hemos obtenido que: P = 2x3 – 7x2 – 4x + 14 = (2x2 – 11x +18) (x + 2) + (-22)
2
– 4 22 -36
-22–11 18
se multiplica por c
División Sintética: dividirentre x - c
Ejemplo: Factorizar f(x) = x4 + 3x3 – x2 – 3x
Se saca factor común x: x(x3 + 3x2 – x – 3)
Factorizar: x3 + 3x2 – x – 3
Para factorizar probamos con los divisores positivos y
negativos de 3 ±3,±1 , eligiendo cualquiera de ellos.
1 3 –1 -31 1 4 3
1 4 3 0
Factorizar x2 +4x + 3
f(x) = x(x – 1)(x + 1)(x + 3)
División Sintética parafactorizar
x3 + 3x2 – x – 3 = (x – 1)(x2 + 4x + 3)
x2 + 4x + 3 = (x + 1)(x + 3)
Teoremas
• Los dos ejemplos anteriores ilustran el siguiente
teorema.
• Como consecuencia de este teorema tenemos:
Teorema del Factor• Demostrar que x – 2 es un factor de
f(x)= x3 - 4x2 + 3x + 2
• f(2) = 8 – 16 + 6 + 2 = 0
• Por el teorema del factor, x – 2 es un factor de f(x).
• También podemos dividir f(x) entre x – 2, usando
división larga o división sintética.
1 -4 3 22 2
1 -2-4-1
-20
La división sintética nos dice que un factor es (x – 2) y otro factor es: x2 – 2x - 1
Ceros Racionales• Las posibilidades para los ceros racionales de un
polinomio con coeficientes enteros se limitan a
valores racionales,𝒄
𝒅donde
o c es un factor del término constante a0
o d es un factor del coeficiente principal an
Ceros racionales
𝑷𝒐𝒔𝒊𝒃𝒍𝒆𝒔 𝒄𝒆𝒓𝒐𝒔 𝒓𝒂𝒄𝒊𝒐𝒏𝒂𝒍𝒆𝒔 =𝒇𝒂𝒄𝒕𝒐𝒓𝒆𝒔 𝒅𝒆 𝒂𝟎𝒇𝒂𝒄𝒕𝒐𝒓𝒆𝒔 𝒅𝒆 𝒂𝒏
Ejemplo: Hallar los posibles ceros racionales de
f(x) = x3 – 4x – 2
factores de ao : 2, -2, 1, -1
factores de an : 1, -1
posibles ceros: 𝟐
𝟏,−𝟐
𝟏,𝟏
𝟏,−𝟏
𝟏,𝟐
−𝟏,−𝟐
−𝟏,𝟏
−𝟏,−𝟏
−𝟏
ó 𝟐,−𝟐, 𝟏, −𝟏
esto es, 𝟐,1
EjemploEjemplo: Demostrar que f(x) = x3 – 4x – 2
NO tiene ceros racionales
Teorema del FactorEjemplo: Hallar un polinomio, f(x), de grado 3 cuyos
ceros son 2, -1 y 3 y que cumple la condición que
f(1)=8.
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