ing. vladimíra michalcová lph 407/1 tel. 59 732 1348...

PRUŽNOST A PLASTICITA

Ing. Vladimíra Michalcová

LPH 407/1

tel. 59 732 1348

vladimira.michalcova@vsb.cz

http://fast10.vsb.cz/michalcova

Povinná literatura

http:// mi21.vsb.cz/modul/pruznost-plasticita

Doporu čená literatura

Benda:Stavební statika I.VŠB-TU Ostrava2005

Šmířák:Pružnost a plasticita IVUT Brno 1999

Šmířák, Hlavinková: Pružnost a plasticita IPříkladyVUT Brno 2000

Podmínky zápo čtu: - Stavební statika (zápočet)

- aktivní účast na cvičeních 70%- znalosti (bodové ohodnocení 18-35 bodů)

*nepovinné testy bez opravných termínů*3 zápočtové testy správně vypracované

s možnosti dvou opravných termínů- vypracované a odevzdané programy bez bodového ohodnocení

Jurčíková, Krejsa,Lausová, Michalcová:Stavební statikaVŠB-TU Ostrava2013

4

Vnější síly :• objemové (působí v elementech objemu), patří k nim:vlastní tíha, odstředivé síly atd.

• povrchové síly působí jako zatížení na ploše a to jako:spojité zatížení na ploše a na čáře (přímce) a bodové síly (singulární síly).

Objemové a plošné zatížení je reálné, bodové zatížení a zatížení na čáře je abstraktní, idealizuje zatížení plošné.

Vnit řní síly vznikají vlivem vnějšího zatížení, jsou jím indukovány.

Vnější a vnit řní síly (opakování Stavební statika)

Název Vnitřní síla Napětí

(intenzita vnitřních sil)

Osové namáhání(tah, prostý tlak)

Nx σx

Ohyb My σx

Smyk Vz τxy, τxz

KrouceníT

(někdy také značení Mx)τ

Základní typy namáhání v rovin ě xz (indexy vnitřních sil):

Výchozí p ředpoklady klasické lineární pružnosti:

Kapitola 1.2. skript v četně poznámek

Tyto p ředpoklady jsou velmi hrubým obrazem objektivní skutečnosti,

umožňují ale uplatnění některých zásadních matematicko-fyzikálních

principů ve výpočtech jako např. principu superpozice (skládání

účinků), který je založen na linearitě všech matematických závislostí.

7

Látka tělesa je• homogenní, může být přitom

a) izotropní b) anizotropní• dokonale pružná a to

a) lineárně b) nelineárně (nebudeme se zatím zabývat)

• deformace tělesa působením vnějších vlivů jsou malé –geometricky lineární teorie pružnosti

• počáteční napjatost je nulová, nepůsobí-li na těleso vnější síly.

Výchozí p ředpoklady klasické lineární pružnosti:

1) Princip akce a reakce: Každá akce vyvoláváreakci stejně velikou, ale opačného smyslu. Tlačí-li těleso tíhy G na podložku (základ), musí tato působit na těleso stejně velikou, ale opačného smyslu.

2) Princip superpozice (skládání) účinků (platí pouze v lineární oblasti): Rozdělíme-li obecnou soustavu sil působící na těleso do dílčích silových soustav (dále jen SS) 1, 2, ... n , od každé stanovíme účinky R1, R2, ... Rn , pak výsledný účinek obdržíme vektorovým součtem účinků od jednotlivých dílčích SS.

3) Princip úm ěrnosti: Působí-li na těleso SS F1 , F2 , ... , Fn

vyvolávající výsledný účinek R , potom SS k.F1 , k.F2 , ... , k.Fn vyvolává výsledný účinek k.R pro k = konst.

Základní zákony statiky - zopakovat

Issac Newton(1642 - 1727)

Typy namáhání

Základní typy namáhání:a) prosté (osové, ohyb, kroucení, smyk)b) složené

Kombinace základních p řípadů namáhání:

• prostorový (obecný) ohyb• excentrický tah a tlak(kombinace ohybu s tahem nebo tlakem)

• kroucení s tahem nebo tlakem a s ohybem

Díky principu superpozice , který platí v lineárn ě pružném oboru , pak lze řešit složené případy namáhání rozkladem na základní stavy a výsledné účinky složit – superponovat.

Saint - Venant ův princip lokálního ú činku

F

F oblast poruchy

neovlivněná část

F

q

oblast blízkého okolí

Usnadňuje řešení napjatosti těles.

• Rovnovážná soustava ovlivní stavnapjatosti jen v blízkém okolí

• Ve vzdálenějších bodech mázanedbatelné účinky

Jean Claude Saint-Venant(1797-1886)

F

Po provedení výpočtu, zejména jsou-li vyčíslena i napětí v průřezech, je nutno provést korekce napětí s ohledem na provedené idealizace.

b) skutečné rozměry prutu možno idealizovat do střednice.(síla působí na střednici prutu nikoliv na horní nebo spodní líc)

Raz

Rbz

F

Raz Rbz

oblast blízkého okolí, nutno provést korekci

Používá se:

a) ke zjednodušení povrchového zatížení jeho náhradou - staticky ekvivalentním, pro výpočet výhodnějším zatížením(spojité zatížení na malé ploše lze nahradit osamělým břemenem)

Schwedlerovy vztahy – opakování ze Stavební statiky

Teorie vychází ze Schwedlerových vztahů, zopakovat ze stavební statiky,nebo kapitola 1.3.2 ve skriptech:

zy V

x

M=

d

d

Materiál

Lineárně pružný materiál – Hookeův zákon – dnešní hodina

Nepružný materiál – Plasticita – částečně dnešní hodina

Zatížení (namáhání)

Vnější silové zatížení – částečně dnešní hodina

Zatížení teplotou – dnešní hodina

Základní pojmy p ředmětu Pružnost a plasticita

Napětí (míra intenzity vnitřních sil) – dnešní hodina

Deformace – dnešní hodina

Stabilita (štíhlé tlačené pruty – kapitola 9. skript)

Popuštění podpor (předmět SSKI)

14

Napětí

Poměr elementární síly a velikosti plošky je napětí na této plošce:

n

n

n

n

An dA

Fd

A

Fp

rrr =

∆∆=

→∆lim

0

Základní jednotkou napětí je Pascal Pa [N/m 2], jeho násobky pak:

MPa [N/mm 2] nebo [MN/m 2], kPa [kN/m 2]

Míra intenzity vnitřních sil

Směr napětí je shodný se směrem síly působící na danou plošku.

Napětí

A

Fp n

n ∆∆=r

r

Zmenšuje-li se velikost plošky ∆A k nule, získá se napětí pn v bodě:

15

Napětí, pokra čování

dA

dV

dA

dNn == nv τσ

Při rozložení síly dFn do směru normály n a stopy v plošky dA je:

22

nvnnp τσ +=

Platí přitom:

σn je normálové napětí, působí ve směru normály n

τnv je smykové napětí, působí v rovině plošky dAve směru stopy v síly dFn

Vnit řní síly, nap ětí

Indexy napětí

Znaménková konvence:Pravidlo pravé rukyKonvence dle Stavební statiky

Stav napjatosti t ělesa

Znaménková konvence,indexy u napětí

Stav napjatosti t ělesa

Věta o vzájemnosti smykových nap ětí - důležité

Věta o vzájemnosti smykových nap ětí - důležité

Posuny (p řemíst ění) konkrétních bod ů zkoumaného t ělesa

Deformace a posuny v t ělese

Poměrné deformace (přetvoření)

Posuny (přemístění) konkrétních bodů zkoumaného tělesa

Poměrné deformace (p řetvo ření)Délkové pom ěrné deformace

Poměrné deformace (p řetvo ření)

Úhlové pom ěrné deformace

Geometrické rovnice

Popisují vztahy mezi složkamipoměrných deformací tělesa asložkami posunů libovolnýchbodů v tomto tělese.

Vysvětlení budena osově namáhaném prutu.

Materiál - Pracovní diagramy ( tady oceli a betonu – osově namáhaný prut)

vyjad řují vztah mezi nap ětím a deformací (pom ěrnou)kapitola 2.2 skript nebo Stavební hmoty

Plasticita : schopnost materiálu deformovat se trvale bez porušení.

Tažnost : plastické protažení přetržené tyče (vzdálenost /OT/), ocel 15%.

Pracovní diagram ideáln ě pružnoplastického materiáluv tahu i tlaku (platí i pro smyk – viz dále)

E.xx ε=σ

E…Modul pružnosti v tahu a tlaku [MPa] (jedna ze tří materiálových konstant)

fy napětí na mezi kluzu εx

V pružné (lineární) oblasti (do hodnoty napětí na mezi kluzu) platí Hookeův zákon:

Platí pro kladné hodnoty napětí (tah) i záporné (tlak)

Lineárn ě pružný materiál - Hooke ův zákon

αααα = arctg E

σσσσx ... normálové napětí [Pa]

εεεεx ... poměrné deformace [-](prodloužení, zkrácení)

E ... Youngův modul pružnostiv tahu a tlaku [Pa](jedna ze tří materiálových konstant)

Hookeův zákon - definuje vztahy mezi napětími a deformacemi, závisí na fyzikálních a mechanických vlastnostech materiálu, platí pouze v lineární oblasti.Matematicky ho popisují fyzikální rovnice.

Y

++++σσσσx

fy mez kluzu

εelast.

Pružná oblast

Oblast platnosti Hookeova zákona

E.xx ε=σ

ε

σσσσ

εεεεx = ∆l/l

E==εσϕtan

Fyzikální rovnice pro tah a prostý tlak (zakresleno pouze pro tah):

Hookeův zákon

Strmost přímky (arctg E) závisí na pružnosti materiálu

Lineárn ě pružný materiáljiné zn ění Hookeova zákona

αααα = arctg E

Y

++++σσσσx

fy mez kluzu

εelast.

Pružná oblast

Oblast platnosti Hookeova zákona

E.xx ε=σ

ε

σσσσ

εεεεx = ∆l/l

E==εσϕtan

Odvození pro tah a prostý tlak(zakresleno pouze pro tah):

do Hookeova zákona dosadit co již známo:

,A

Nx =σ

EA

Nll =∆

l

lx

∆ε =

jiné zn ěníHookeova zákona

Hookeův zákon

αααα = arctan G

ττττxz... smykové napětí [Pa]

γγγγxz... zkosení

G ... modul pružnosti ve smyku [Pa]

ττττxz

γγγγxz

G==γτϕtan

Gxzxz γτ =

(jedna ze tří materiálových konstant)

Lineárn ě pružný materiál - Hook ův zákon ve smyku

Hookeův zákon - definuje vztahy (fyzikální) mezi nap ětími a deformacemi, závisí na fyzikálních a mechanických vlastnostech materiálu, platí pouze v lineární oblasti

1. Vnější zatížení Osa x vždy osa prutu – pozor u sloupu!!!

R

+N

Vnější osové zatížení F → vnit řní síla N →normálové nap ětí σx

(intenzita vnit řních sil)[MPa]

Tah, tlak – pozor jednotky!!! ( řády)

x

lF

Př.: Jak velké nap ětí vznikne, je-li N=10kN a A=10cm 2?

a) Napětí taženého (tlačeného) prutu

Zatížení osov ě namáhaného prutu – napětí a deformace

b) deformace taženého (tlačeného) prutu(geometrické rovnice) naučit kap.1.3 u čebnice

rozměrové zm ěny:

l

lx

∆ε =

xzy υεεε −==

deformace podélná(bezrozm ěrná veli čina)

deformace p říčná

b´ = b+∆bh´ = h+∆h

b

by

∆ε =h

hz

∆ε =

l´= l + ∆l

50,≤≤≤≤νPoissonův součinitel příčné deformace(jedna ze tří materiálových konstant)

Kruhový pr ůřez průměr d?

Tento obrázek nyní nelze zobrazit.

Tento obrázek nyní nelze zobrazit.

x

F

l

Tento obrázek nyní nelze zobrazit.

∆l

z

b

h

b´

h´y

Materiálové konstanty

(((( ))))υGE ++++==== 12

2) Změna teploty

TTzTyTxT ∆αεεε ===

Tα - součinitel teplotní roztažnosti [°C -1]

lTl T ..∆α∆ =

není-li bráněno deformaci → napětí = 0 → neplatí Hookeův zákonbude vysvětleno zachvíli

+∆T

εxT = ∆l/l = ∆b/b = ∆h/h = ∆d/d

l´= l + ∆lb´ = b+∆bh´ = h+∆h

a) napětí

b) deformace

ba

Nosník se v podpo ře b posune,nevznikne N ani nap ětí

+∆T

Určete rozměrové změny a napětí v oceli a v betonu. Konstrukce dle obrázku.

Příklad domácí úkol

1

2

h1=

0,5m

h2=

0,2m

P1=150kN

P2=165kN P2

a = 0,15m

b =

0,1m

d1 = 0,03mE1 = 210 000MPaν1 = 0,3

E2=33 500MPaν2 = 0,2

N

--

ocel

beton

d´= 30,009mm, a´= 150,029mm, b´= 100,019mm, h1´=499,495mm, h 2´=199,809mm, h´= 699,304mmσ1= -212,21MPa, σ2= -32,0MPa … normálové nap ětí

Okruhy problém ů k ústní části zkoušky

1. Pružnost a pevnost ve stavebním inženýrstvíVýchozí předpoklady klasické lineární pružnostiPojem plasticita, teorie malých deformací,teorie II.řáduNapětí, stav napjatosti tělesa

2. Vztahy mezi napětími a vnitřními silami v průřezu prutu, diferenciální podmínky rovnováhyZákladní typy namáhání - prosté a složenéSaint - Venantův princip lokálního účinku

3. Deformace a posuny v tělese, geometrické rovnice4. Fyzikální rovnice, Hookeův zákon, lineárně pružný materiál

5. Pracovní diagramy stavebních materiálůNepružný a ideálně pružno-plastický materiál, tažnost

6. Deformace od změny teploty

7. Napětí při osovém tahu a tlaku

8. Přetvoření taženého a tlačeného prutu

9. Materiálové konstanty