legendre polinomlari legendre polynomials
Post on 02-Aug-2015
818 Views
Preview:
TRANSCRIPT
T.C. SAKARYA ÜNİVERSİTESİ
FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ
LEGENDRE POLİNOMLARI
YÜKSEK LİSANS TEZİ
Pınar TEMUR
Enstitü Anabilim Dalı : MATEMATİK
Tez Danışmanı : Yrd. Doç. Dr. Şevket GÜR
Mayıs 2006
T.C. SAKARYA ÜNİVERSİTESİ
FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ
LEGENDRE POLİNOMLARI
YÜKSEK LİSANS TEZİ
Pınar TEMUR
Enstitü Anabilim Dalı : MATEMATİK
Bu tez 06 / 06 /2006 tarihinde aşağıdaki jüri tarafından Oybirliği ile kabul edilmiştir.
Prof. Dr. Metin BAŞARIR Doç. Dr. Elman ALİYEV Yrd. Doç. Dr. Şevket GÜR
Jüri Başkanı Üye Üye
ii
TEŞEKKÜR
Bana bu çalışmayı vererek beni yönlendiren ve çalışmalarım sırasında benden yakın
ilgi ve alakalarını esirgemeyen değerli hocam sayın Yrd. Doç. Dr. Şevket GÜR’e en
derin teşekkür ve şükranlarımı sunarım.
iii
İÇİNDEKİLER TEŞEKKÜR.............................................................................................................. ii
İÇİNDEKİLER......................................................................................................... iii
SİMGELER VE KISALTMALAR LİSTESİ........................................................... v
ŞEKİLLER LİSTESİ................................................................................................ vi
TABLOLAR LİSTESİ.............................................................................................. vii
ÖZET........................................................................................................................ viii
SUMMARY............................................................................................................. ix
BÖLÜM 1.
GİRİŞ........................................................................................................................ 1
BÖLÜM 2.
TEMEL TANIM VE KAVRAMLAR...................................................................... 3
BÖLÜM 3.
LEGENDRE DİFERENSİYEL DENKLEMİ VE ÇÖZÜMÜ.................................. 14
3.1. Legendre Diferensiyel Denklemi........................................................ 14
3.2. Legendre Diferensiyel Denkleminin Çözümü........................................... 18
3.3. Legendre Polinomları.......................................................................... 25
3.4. Rodrigues Formülü.............................................................................. 29
BÖLÜM 4.
LEGENDRE POLİNOMLARININ ÖZELLİKLERİ 36
4.1. Doğurucu Fonksiyonlar.................................................................... 36
4.2. Diferensiyel İndirgeme Bağıntısı....................................................... 48
iv
4.3. İndirgeme Bağıntıları Yardımıyla Legendre Diferensiyel
Denkleminin Elde Edilmesi ……………………………………… 51
4.4. )(xPn in Hipergeometrik Formu.........................................................
4.5. Legendre Polinomlarının Dikliği.......................................................
53
57
4.6. )(xPn in Yeni Özellikleri.................................................................... 59
4.7. Legendre Polinomlarının İntegral Gösterimi...................................... 62
4.8. Laplace ın ilk integral formu.............................................................. 66
4.9. Fonksiyonların Legendre Polinom Serileri Yardımıyla Gösterimi..... 70
4.10. Legendre Polinomlarının Sıfırları..................................................... 72
4.11. nx Genişlemesi................................................................................ 79
4.12 İkinci Tip Legendre Fonksiyonu....................................................... 82
4.13. Birleştirilmiş Legendre Polinomları................................................ 84
4.14. Birleştirilmiş Legendre Fonksiyonunun Belirsiz İntegrali İçin
Rekürans Bağıntısı..........................................................................
89
BÖLÜM 5.
LEGENDRE POLİNOMLARININ UYGULAMALARI 97
5.1. Legendre Polinomlarının Fiziksel Problerdeki Uygulaması............... 97
BÖLÜM 6.
SONUÇLAR VE ÖNERİLER.................................................................................. 103
KAYNAKLAR......................................................................................................... 104
ÖZGEÇMİŞ.............................................................................................................. 105
v
SİMGELER VE KISALTMALAR LİSTESİ
)(xLn : Basit Laguerre polinomları
),( nmB : Beta fonksiyonu
)(xJ n : Birinci Tür Bessel fonksiyonu
na)( : Faktöriyel fonksiyonu
)(xΓ : Gama Fonksiyonu
),,,( xF γβα : Hipergeometrik fonksiyon
2∇ : Laplace Operatörü
)(xPn : Legendre polinomu
nxD : x e göre n yinci basamaktan türev operatörü
r : yarıçap
vi
ŞEKİLLER LİSTESİ
Şekil 3.1. İlk altı Legendre Polinomu……………………………………... 33
Şekil 4.1. İlk dört İkinci Tip Legendre Fonksiyonu……………………….. 84
vii
TABLOLAR LİSTESİ
Tablo 4.1. Gaussian Quadrature Yardımıyla Elde Edilen Çeşitli
Tamsayılar için Belirli İntegralin Yaklaşık Değerleri…………
72
viii
ÖZET Anahtar Kelimeler: Legendre Diferensiyel Denklemi, Legendre Polinomları, Laplace denklemi, Küresel koordinatlar, Doğurucu fonksiyon. Bu tez 6 bölümden oluşmaktadır. Birinci bölümde Legendre polinomlarının kullanım alanlarından bahsedilmiş teze giriş yapılmıştır. Ayrıca Legendre polinomları ile ilgili ilk çalışmadan bahsedilmiştir. İkinci bölümde tezde kullanılan temel tanım ve kavramlar verilmiştir. Üçüncü bölümde Laplace denkleminin küresel koordinatlardaki ifadesinden yararlanılarak Legendre denklemi elde edilmiştir. Daha sonra Legendre denkleminin çözümleri olan Legendre polinomları üzerinde durulmuştur. Dördüncü bölümde Legendre polinomlarının özellikleri verilmiştir. Beşinci bölümde Legendre polinomlarının fiziksel uygulaması üzerinde durulmuştur. Altıncı bölümde ise tez çalışmasından elde edilen sonuçlar belirtilmiştir.
ix
LEGENDRE POLYNOMIALS SUMMARY Key Words: Legendre Differential Equation, Legendre polynomials, Laplace equation, spherical coordinates, Generating Functions. This thesis is consists of six chapters. In the first chapter , it is mentioned about the using areas of the polinomials and there is an introduction to the thesis. Furthermore, it is discussed about the first study of the Legendre polynomial. In the second chapter, main definitions and concepts used in the thesis are given. In the third chapter, the Legendre equation is obtained by benefiting from the statement of spherical coordinates in the Laplace equation . The Legendre polinomials are emphasized which are the solutions of the Legendre equation. In the fourth part , the features of the Legendre equation are emphasized. In the fifth chapter , it is focused on the physical practice of the Legendre polinomials. Finally in the sixth chapter , the results are stated gained through the study of thesis.
BÖLÜM 1. GİRİŞ
Matematiksel fizik problemleri çoğu zaman katsayıları değişkenlerine bağlı olan Adi
Diferensiyel Denklemler veya Kısmi Türevli Diferensiyel Denklemler yardımıyla
ifade edilmektedir. Bu tipteki denklemlerin özelliği araştırma yapılan bölgede veya
bölgenin sınır çizgisinin üzerinde katsayıların tekil (singüler) olmasıdır. Yani
bölgenin bazı noktalarında katsayıların sıfır olması veya belirsizlik halinde
bulunmasıdır. Böyle tipteki denklemlere dönüşen fiziksel problemlerin analitik
çözümlerini bulmak çok zor olduğu gibi bazı durumlarda çözüme ulaşmakta
mümkün değildir. Problemin zorluğu, denklemin çözümünün sonsuz seri şeklinde
aranmasından kaynaklanmaktadır. Böyle durumlarda ise karşımıza yeni bir problem
çıkmaktadır. Bu da denklemin tüm özel durumları için sonsuz serinin yakınsaklığının
ispatlanması ve özdeğer fonksiyonlarının ortogonalliğinin gösterilmesidir. Ayrıca
matematiksel fizik probleminin çözümünün kararlılığını ispatlamak ve korumakta
gerekir.
Bu cins fiziksel problemlere uyan denklemler Bessel, Legendre, Chebyshev-Hermite,
Chebyshev- Laguerre tipindeki denklemlerdir. Bu tipteki denklemlere fiziksel
problemlerin çözümlerinde sıkça rastlanmaktadır. Örneğin bu uygulama klasik
mekanik problemlerinde başlamış, elektromanyetik teori, kuantum mekaniği,
kuantum fiziği ve termodinamik problemlerinde de kullanılmıştır.
Bu zorlukları aşmak için bilimde birçok önemli özel fonksiyonlar sınıfı
oluşturulmuştur. Bunlardan en çok kullanılanı silindirik fonksiyonlar (Bessel,
Hankel, Weber, Neuman fonksiyonları) , küresel fonksiyonlar (Legendre
polinomları) ve özel polinomlar (Chebyshev-Hermite, Chebyshev- Laguerre
polinomları) nın oluşturduğu sınıflardır. Bu tür denklemlerin yardımıyla ve özel
fonksiyonların kullanılması ile çeşitli fiziksel olaylarda ve tekniğin önemli
2
problemlerinde yaklaşık çözümler bulunmakta ve problemlere açıklık
getirilebilmektedir.
Bu nedenlerle konunun önemi dikkate alınarak bu tezde, Legendre diferensiyel
denklemi, onun çözümü olan Legendre polinomları ve Legendre polinomlarının
özelikleri incelenerek tek bir kaynakta toplanmıştır.
{ })(xPn Legendre polinomları 1785 yılında Legendre tarafından
( ) n
nn txPtxt )(21
0
21
2 ∑∞
=
−=+−
bağıntısı yardımıyla tanımlanmıştır. 1874 yılında Gegenbauer, Legendre
polinomlarını genelleştirmiş ve
( ) n
n
vn
v tCtxt ∑∞
=
−=+−
0
221
bağıntısını sağlayan cümle için { })(xC vn notasyonunu kullanmıştır. Burada v, sıfır ve
negatif tamsayı olmayan herhangi bir reel sayıdır.
BÖLÜM 2. TEMEL TANIM VE KAVRAMLAR
Tanım 2.1. Diferensiyel denklemlerde bilinmeyen fonksiyon ve onun türevleri
üzerinde bağımsız değişkenin aynı değerleri için verilen şartlar altında çözümlerin
bulunması problemine Başlangıç Değer Problemi denir. Verilen şartlara da
Başlangıç Şartları denir. [ ]2
Tanım 2.2. Diferensiyel denklemlerde bilinmeyen fonksiyon ve onun türevleri
üzerinde bağımsız değişkenin farklı değerleri için verilen şartlar altında çözümlerin
bulunması problemine Sınır Değer Problemi denir. Verilen şartlara da Sınır
Şartları denir. [ ]2
Tanım 2.3. Birinci mertebeden bir diferensiyel denklem aranan fonksiyon ile onun
türevine göre lineerse, bu durumda denkleme birinci mertebeden lineer diferensiyel
denklem denir. [ ]2
Tanım 2.4. Reel değişkenli f(x) fonksiyonu, h nin komşuluğunda (x-h) nin
kuvvetlerine göre Taylor serisine açılabiliyorsa bu fonksiyon h de analitiktir. Bir
(a,b) aralığının her noktasında analitik olan bir fonksiyon o aralıkta analitiktir.
Karmaşık değişkenli ve tek değerli bir f fonksiyonu, D nin ancak bazı noktaları hariç
diğer noktalarında türevlenebiliyorsa, bu fonksiyon D de analitiktir. Eğer bu
fonksiyon D nin bütün noktalarında türevlenebiliyorsa buna düzgün analitik
fonksiyon denir. Örneğin,
zzzf
−+
=11)(
fonksiyonu, z=1 noktası hariç her yerde analitiktir. [ ]4
4
Tanım 2.5. 0)()( =+′+′′ yxQyxPy denkleminde P(x) ve Q(x) fonksiyonları 0x
noktasında analitik iseler, 0x noktasına adi nokta denir. [ ]2
Tanım 2.6. Tanım 1.5 deki P(x) ve Q(x) fonksiyonları 0x da analitik değil iseler bu
taktirde 0x noktasına , 0)()( =+′+′′ yxQyxPy denkleminin tekil noktasıdır denir.
[ ]2
Tanım 2.7. λ gerçel (veya karmaşık) parametre olmak üzere
,0)()()( =+−⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ yxyxq
dxdyxp
dxd λρ bxa ≤≤ (2.1)
diferensiyel denklemini ele alalım. L diferensiyel operatörü
yxqdxdyxp
dxdLy )()( +⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛−= (2.2a)
olarak tanımlanırsa (2.1) denklemi bu operatör yardımıyla
0)( =− yxLy λρ (2.2b)
biçiminde yazılabilir. Burada L ye ikinci mertebeden lineer diferensiyel operatör,
λ sayısına spektral parametre, )(xq fonksiyonuna ise potansiyel fonksiyonu
denir.
(2.2a,b) denkleminin
0)()( 111 =′+= ayBayAyU
0)()( 222 =′+= ayBayAyU (2.3)
5
sınır koşullarını sağlayan çözümünün bulunması problemine Sturm-Liouville sınır
değer problemi adı verilir. [ ]5
Tanım 2.8. (2.1) ifadesi, λ spektral parametresine bağlı bir denklemler
ailesidir.y(x)=0 fonksiyonu λ nın her bir değerinde denklemi ve verilmiş sınır
koşullarını sağladığına göre aşikar bir çözümdür. Eğer bu homojen denklemin,λ nın
herhangi bir değerinde (2.3) homojen sınır koşullarını sağlayan sıfırdan farklı
çözümü varsa, λ nın bu değerine sınır değer probleminin özdeğeri , bu özdeğere
karşılık gelen çözüme ise özfonksiyon denir. [ ]5
Tanım 2.9. xyz uzayında bir P(x,y,z) noktası verilmiş olsun. P noktasının orjine olan
uzaklığı ρ , OP doğru parçasının oz-ekseni ile pozitif yönde yaptığı açının ölçüsü θ
olsun. OP doğru parçasının xoy düzlemindeki dik izdüşümü [ ]PO ′ , ve [ ]PO ′ doğru
parçasının ox-ekseni ile pozitif yönde yaptığı açının ölçüsü ϕ olsun.
[ ]PO ′ = ρ sinθ
olduğundan,
ϕθρ cossin=x
y= θρ sin ϕsin
θρ cos=z
olur.Böylece xyz-koordinat sisteminden ρθϕ koordinat sistemine bir bölge
dönüşümü elde edilmiş olur. Bu durumda P noktasının ρθϕ sistemindeki
koordinatları ( ρθϕ ) olur. Bu sayılara P noktasının küresel koordinatları adı
verilir. [ ]3
Tanım 2.10. naaa ,,, 21 K sabit gerçel sayılar olmak üzere
6
)(11
11
1 xfyadxdyxa
dxydxa
dxydx nnn
nn
n
nn =+⋅⋅++⋅+⋅ −−
−− K
şeklindeki diferensiyel denkleme Euler-Cauchy diferensiyel denklemi denir. [ ]2
Tanım 2.11. RA ⊂ ve V bir vektör uzayı olsun. A nın her bir elemanına V nin bir
ve yalnız bir elemanını karşılık getiren fonksiyona bir vektör değerli fonksiyon adı
verilir. [ ]2
Tanım 2.12. F ve G vektör değerli fonksiyonlar olsun.
∀ t∈ A için F(t).G(t)=0 ise F ile G , A üzerinde ortogonaldir(diktir) denir.
Tanım 2.13.
0)()()( =+−⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ yxyxq
dxdyxp
dxd λρ
denklemi uygulamalarda karşılaşılan ve özfonksiyonlarına özel fonksiyon denilen
bir dizi denklemin genel biçimidir. Regüler Sturm-Liouville probleminden farklı
olarak, p(x) fonksiyonunun [ ]ba, aralığının uç noktalarında sıfır olması veya bu
aralığın sonsuz olması halinde bu denklemler için tanımlanan sınır değer problemi
tekil Sturm-Liouville problemi olarak adlandırılır. O halde özel fonksiyonlar, tekil
Sturm-Liouville sınır değer probleminin çözümleri olan fonksiyonlardır. [ ]8
Tanım 2.14. a herhangi bir reel sayı ve n bir doğal sayı olmak üzere na)(
faktöriyel fonksiyonu,
( )1()2)(1() −+++= naaaaa n K 1≥n
7
şeklinde tanımlanır. Böylece na)( sembolü, a çarpanından başlayarak her bir
çarpanın bir öncekinden bir fazla olduğu n tane çarpanın çarpımını göstermektedir.
Özel olarak,
1)( 0 =a 0≠a için
olarak tanımlanır. Faktöriyel fonksiyonu
!3.2.1)1( nnn == K için bilinen faktöriyelin genişletilmişidir. [ ]9
Tanım 2.15. x >0 olmak üzere Gamma fonksiyonu
dtetx tx −∞
−∫=Γ0
1)(
ile tanımlanır.
)()1( xxx Γ=+Γ 0>x
bağıntısı vardır ve bu bağıntının tekrar tekrar kullanılmasıyla bir n tamsayısı için
na
aanana
nanana
nanana
)(
)()()2)(1(
)2()2)(1(
)1()1()(
=
Γ−+−+=
−+Γ−+−+=
−+Γ−+=+Γ
L
M
ifadesi elde edilir. Faktöriyel fonksiyonu ile Gamma fonksiyonu arasında
)(
)()(a
naa n Γ+Γ
= , n tamsayı 0>n ve 0>a
8
bağıntısı vardır. 1≥n tamsayısı için nx = alırsak,
)1(!)1()1()()1( Γ==−Γ−=Γ=+Γ nnnnnnn K
ve
1)1(0
==Γ ∫∞
− dte t
olduğundan
!)1( nn =+Γ
bulunur. [ ]9
Tanım 2.16. p bir sabit olmak üzere,
0)( 222
22 =−++ ypx
dxdyx
dxydx (2.4)
diferensiyel denklemine p inci mertebeden Bessel denklemi denir. (2.4)
denklemin çözümü
n
n
n xn
axy2
0201 2)!(
)1()( ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−
= ∑∞
=
şeklindedir. Eğer 10 =a olarak alınırsa, denklemin özel çözümü, 0J ile gösterilen ve
sıfırıncı mertebeden birinci tip Bessel fonksiyonu olarak adlandırılan
n
n
n xn
xJ2
020 2)!(
)1()( ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−
= ∑∞
=
9
fonksiyonudur. [ ]9
Tanım 2.17. a, b, c sabit parametreler olmak üzere,
[ ] 0)1()1( =−′++−+′′− abyyxbacyxx (2.5)
denklemine Hipergeometrik denklem adı verilir. (2.5) denkleminin bir özel çözümü
∑∞
=
+=1
1 !)()()(
1n n
nnn
ncxba
y
şeklindedir. Bu özel çözüm hipergeometrik fonksiyon olarak adlandırılır ve
);;,( xcbaF sembolü ile gösterilir. Yani,
);;,( xcbaF = ∑∞
=
+1 !)(
)()(1
n n
nnn
ncxba
(2.5) denkleminin bir çözümüdür. [ ]9
Tanım 2.18. ),( nmB ile gösterilen Beta fonksiyonu Gamma fonksiyonu yardımıyla
dxxxnmnmnmB nm .)1.()()().(),( 1
1
0
1 −− −=+ΓΓΓ
= ∫
şeklinde tanımlanır. [ ]9
Tanım 2.19.
0)1( =+′−+′′ nyyxyx (2.6)
10
diferensiyel denklemi Laguerre denklemi olarak adlandırılır ve bu denklemin bir
özel çözümü Laguerre polinomu olarak adlandırılan
∑=
−=
n
k
kk
kxn
y0
21 )!()(
,
fonksiyonudur Burada
)!(!)1()(
knnn
k
k −−
=−
dir. Laguerre polinomu )(xLn ile gösterilir ve
∑∑== −
−=
−=
n
k
kkn
k
kk
n knkxn
kxn
xL0
20
2 )!()!(!)1(
)!()(
)(
şeklinde tanımlanır. n=0, 1, 2,K için Laguerre polinomları
)(!
)( xnn
nx
n exdxd
nexL −=
şeklinde de yazılabilir. [ ]9
Tanım 2.20. n bir parametre olmak üzere
022 =+′−′′ nyyxy
diferensiyel denklemine Hermite denklemi adı verilir. Bu denklemin çözümü tüm
sonlu x ve 1,0 aa keyfi değerleri için
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −+−+−−+= ∑
∞
=1
2
0 1)2()22()2)((21
k
kk
kxknnnay L
11
+ ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+
−+−+−−+∑
∞
=
+
1
12
1 )!12()221()21)(1(2
k
kk
kxknnnxa L (2.7)
şeklindedir.Eğer n sıfır veya pozitif tamsayı ise Hermite denklemi daima n inci
dereceden (2.7) şeklinde polinomsal bir çözüme sahiptir. Bu polinomsal çözüm;
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ n21 , n
21 den büyük ya da eşit olan en büyük tamsayı olmak üzere, )(xH n ile
gösterilir ve
∑⎥⎦⎤
⎢⎣⎡
=
−
−−
=n
k
knk
n knkxnxH
21
0
2
)!2(!)2(!)1()(
fonksiyonu ile tanımlanır ve Hermite polinomu olarak bilinir. [ ]9
Tanım 2.21. { })(xfn şeklinde gösterilen fonksiyonlar kümesi için doğurucu
fonksiyon
∑∞
=
=0
)(),(n
nnn txfctxG
şeklindedir. Burada nc , { })(xfn kümesinin parametrelerini içeren n nin bir
fonksiyonu x ve t ise bağımsız değişkenlerdir. Örnek olarak { }KK ,,,,,1 2 nxxx
fonksiyon kümesinin bir doğurucu fonksiyonu { }xtexp dir. Çünkü
{ } nn
n n
n
txnn
xtxt ∑ ∑∞
=
∞
=
==0 0 !
1!)(exp
yazılabilmektedir. Burada G(x,t) yerine exp{ }xt , nc yerine !
1n
ve )(xfn yerine nx
gelmiştir. [ ]7
12
Teorem 2.1. )(xnϕ , a<x<b üzerinde 0)( >xω olacak şeklinde reel ortogonal
polinomların bir kümesi olsun. nh
1)( −+= nn
nn xhx πϕ
olacak şekilde bir katsayı olsun ve
( ) dxxxgb
akkkk )()(, 2∫== ϕωϕϕ
olsun. Bu durumda
xyyxxy
hgh
yxg nnnn
nn
nkk
n
kk −
−⋅= ++
+=
−∑ )()()()()()( 11
10
1 ϕϕϕϕϕϕ
dır. [ ]6
Teorem 2.2. )(xnψ polinomları )(xω >0 olacak şekilde (a,b) aralığında ortonormal
bir küme ise ve
dxxfx )()( 2∫ω
mevcut ise
∫ =∞→
0)()()(lim dxxxfx nnψω (2.8)
dir. Eğer (2.8) ortogonal polinomlara göre belirlenmek istenirse
∫=b
ann dxxxg )()( 2ϕω
13
ve (2.8) de
0)()()(lim 21
=∫−
∞→dxxxfxg
b
annn
ϕω
olarak alınmalıdır. [ ]6
BÖLÜM 3. LEGENDRE DİFERENSİYEL DENKLEMİ VE
ÇÖZÜMÜ
3.1. Legendre Diferensiyel Denklemi
2
22
x∂∂
≡∂ψψ 02
2
2
2
=∂∂
+∂∂
+xyψψ (3.1.1)
Laplace denkleminin küresel koordinatlardaki ifadesinden yararlanılarak Legendre
denklemi elde edilebilir.
(3.1.1) ile verilen üç boyutlu Laplace denklemi için (x,y,z) düzleminde
ϕϑϕϑϕ
cossinsinsincos
rzryrx
===
dönüşümleri ile ),,( ϑϕr küresel koordinatlarına geçilirse,
0sin1sin
sin11
2
2
2222
22 =
∂∂
+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂
∂∂
+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂
∂∂
=∇ϕψ
ϑϑψϑ
ϑϑψψ
rrrr
rr (3.1.2)
denklemi elde edilir.Bu denklemin,
)().().(),,( ϕϑϕϑψ ΦΘ= rRr
şeklinde değişkenlerine ayrılabilir çözümünü bulmak için
15
ΘΦ
=∂∂
ΦΘ
=∂∂
ΘΦ=∂∂
Rdd
Rdd
drdR
r
ϕϑψ
ϑϑψ
ψ
türevleri (3.1.2) de yerine yazılırsa,
0)(sin
)()()()(sinsin
)()()()(2
2
22 =
ΦΘ+Φ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ Θ
+ΦΘ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
ϕϕ
ϑϑϕ
ϑϑϑ
ϑϑϕϑ
ddrR
dd
ddrR
drrdRr
drd
elde edilir. 0sin)()( 2 ≠Θ ϑϑrR olduğundan bulunan son denklemin ϑ2sinΘR ile
bölünmesiyle ,
0)(sin)(1
)(sinsin)(
1)()(
1
2
2
2
2
=Φ
Φ+
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ Θ
Θ+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
ϕϕ
ϑϕ
ϑϑϑ
ϑϑϑ
dd
dd
dd
drrdRr
drd
rR (3.1.3)
elde edilir. Bu denklemde ilk terim yalnızca r ye bağlı olduğundan ve son iki terim
de r den bağımsız olduğundan ilk terim bir sabite eşit olur. Bu sabit n(n+1) olarak
alınırsa,
)1()()(
1 2 +=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ nn
drrdRr
drd
rR (3.1.4)
veya
0)()1()(2 =+−⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ rRnn
drrdRr
dRd
16
elde edilir. Buradan
0)()1()()(2 2
22 =+−+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ rRnn
drrRdr
drrdRr
Euler diferensiyel denklemi elde edilmiş olur. Euler diferensiyel denkleminin
çözümü ise
cn
nnraR +
∞
=∑=
0
yardımıyla
R(r)=A )1( +−+ nn Brr
şeklinde bulunabilir.
(3.1.4) ün (3.1.3) de yerine yazılmasıyla,
0)()(
1
)(sin)(
sinsin)1(
2
2
2
=Φ
Φ+
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ Θ
Θ++
ϕϕ
ϕ
ϑϑϑ
ϑϑϑϑ
dd
dd
ddnn
(3.1.5)
denklemi elde edilir.
(3.1.5) in sol tarafındaki son ifade yalnızca ϕ nin bir fonksiyonu olduğundan bir
sabite eşittir. Bu sabiti -m 2 olarak seçilirse,
22
2 )()(
1 md
d−=
ΦΦ ϕ
ϕϕ
17
veya
0)()( 22
2
=Φ+Φ ϕϕϕ m
dd
elde edilir.
(3.1.5) in her iki tarafı )(ϑΘ ile çarpılırsa,
n(n+1) 0)()(
1)(sinsin)(sin 2
22 =Θ
ΦΦ
+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ Θ
+Θ ϑϕϕϑ
ϑϑϑ
ϑϑϑdd
dd
dd
elde edilir.
Bu son ifadede
22
2 )()(
1 md
d−=
ΦΦ ϕ
ϕϕ
değeri yerine yazılırsa,
( ) 0)(sinsin)(sin)1( 22 =⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ Θ
+Θ−+ϑϑϑ
ϑϑϑϑ
dd
ddmnn (3.1.6)
elde edilir.
(3.1.5) de ϑcos=u dönüşümü yapılırsa,
ϑϑ
sin−=ddu ve
dud
ddu
dud
dd ϑ
ϑϑsin−==
olur ve ϑ22 sin1 =− u yardımıyla
18
( ) 0)()1()1()(1)(1( 2222 =⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ Θ
−−+Θ−−+du
udududuumunn
elde edilir. Son denklemin düzenlenmesiyle de
0)()1()(2)()1( 2
22 =Θ++
Θ−
Θ− unn
duudu
duudu
Legendre diferensiyel denklemi elde edilir.
3.2.Legendre Diferensiyel Denkleminin Çözümü
0)1(2)1( 2 =++′+′′− ynnyxyx (3.2.1)
denklemine n. dereceden Legendre denklemi denir. Burada n herhangi bir pozitif
reel sayıdır.
(3.2.1) denklemi
01
)1(1
222 =
−+
+′−
−′′ yx
nnyxxy
şeklinde yazılırsa 1±=x noktaları düzgün tekil noktalar olacaktır. Ayrıca s= x1
dönüşümü yapıldığında , (3.2.1) denklemi
0)1(
)1()1(
222222
2
=−+
+⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−
−+ yssnn
dsdy
sssdsyd
şeklinde yazılabilir. Böylece, diferensiyel denklem sonsuzda da bir düzgün
singüleriteye sahiptir. Öyle ise bu noktalar dışında,
21 12)(
xxxP
−−= ve 22 1
)1()(x
nnxP−+
=
19
fonksiyonları analitik fonksiyonlardır. Bu nedenle , 0=x noktası komşuluğunda
1⟨x aralığında (3.2.1) denkleminin,
k
kk xcy ∑
∞
=
=0
şeklinde bir çözümü bulunabilir. y nin kendisi ve
1
1
−∞
=∑=′ k
kk xkcy
∑∞
=
−−=′′2
2)1(k
kk xckky
türevleri (3.2.1) de yerine yazılır ve gerekli düzenlemeler yapılırsa
0)1(2)1()1(012
2
2
=++−−−− ∑∑∑∑∞
=
∞
=
∞
=
−∞
= k
kk
k
kk
k
kk
k
kk xcnnxkcxckkxckk
elde edilir.
Bu denklemde x in aynı kuvvetlerinin katsayıları sıfıra eşitlenirse
0)1()1(2: 020 =++ cnncx
veya
02 )1(21 cnnc +−= .
[ ]0)2)(1()2(302)1()2(30)1(2)2(3:
13
13
1131
=+−+=−++=++−
cnnccnnccnnccx
20
veya
.)2)(1(3.2
113 cnnc +−−=
[ ]0)3)(2()3(4
06)1()3(40)1()2(2)1(2)3(4:
24
24
22242
=+−+=−++=++−−
cnnccnnccnncccx
veya
.)3)(2(4.3
124 cnnc +−−=
[ ]0)4)(3()4(5012)1()4(50)1()3(2)2(3)4(5:
35
35
33353
=+−+=−++=++−−
cnnccnnccnncccx
veya
35 )4)(3(5.4
1 cnnc +−−=
[ ][ ] 0)1()1)(2(
0)1(2)1()1)(2(2
2
2:
=+−++++
=++−−−+++
+
+
kk
kkk
ckknnckk
cnnkkkckkx
0)1)(()1)(2( 2 =++−+++ + kk cknknckk
veya
0,)2)(1(
)1)((2 ≥
++++−
−=+ kckk
knknc kk (3.2.2)
yazılabilir.
21
,
!9)8)(6)(4)(2)(1)(3)(5)(7()1(
9.8)8)(7(
,!8
)7)(5)(3)(1()2)(4)(6()1(8.7
)7)(6(
,!7
)6)(4)(2)(1)(3)(5()1(7.6
)6)(5(
,!6
)5)(3)(1()2)(4()1(6.5
)5)(4(
,!5
)4)(2)(1)(3()1(5.4
)4)(3(
,!4
)3)(1()2()1(4.3
)3)(2(
1
4
79
0
4
68
1
3
57
0
3
46
1
2
35
0
2
24
cnnnnnnnn
cnnc
cnnnnnnnn
cnnc
cnnnnnn
cnnc
cnnnnnn
cnnc
cnnnn
cnnc
cnnnn
cnnc
++++−−−−−=
+−−=
++++−−−−=
+−−=
+++−−−−=
+−−=
+++−−−=
+−−=
++−−−=
+−−=
++−−=
+−−=
olur.
Bu şekilde devam edilirse 11 <<− x aralığında iki lineer bağımsız çözümü ;
22
şeklinde bulunur.
Eğer n çift ise 1y için sonsuz seri sınırlandırılır ve n. dereceden bir polinom elde
edilir. Eğer n tek ise bu kez 2y sınırlandırılır ve yine n. dereceden bir polinom elde
edilir. 0c ve 1c keyfi sabitler olduğundan her bir n için onların değerlerini seçebiliriz.
Böylece çözüm x=1 de 1 değerine sahiptir. Bu şekilde elde edilen çözüm Legendre
polinomu olarak adlandırılır. Aşağıda ilk dört Legendre polinomu verilmiştir.
,1:0 0 == cn ve 1y çözümü
1)(0 =xP (3.2.3)
,1:1 1 == cn ve 2y çözümü
xxP =)(1 (3.2.4)
,21:2 0 −== cn ve 1y çözümü
).13(21)( 2
2 −= xxP (3.2.5)
)!9
)8)(6)(4)(2)(1)(3)(5)(7(!7
)6)(4)(2)(1)(3)(5(!5
)4)(2)(1)(3(!3
)2)(1(()(
)!8
)7)(5)(3)(1()2)(4)(6(!6
)5)(3)(1()2)(4(!4
)3)(1()2(!2
)1(1()(
9
7
5
312
8
6
4
201
L
L
−++++−−−−
+
+++−−−−
++−−+
+−−=
−++++−−−
+
+++−−−
++−+
+−=
xnnnnnnnn
xnnnnnn
xnnnn
xnnxcxy
xnnnnnnnn
xnnnnnn
xnnnn
xnncxy
23
,23:3 1 −== cn ve 2y çözümü
).35(21)( 3
3 xxxP −= (3.2.6)
olarak bulunur.
Genel olarak, =n 2, 4, 6, ,K için
0c = ,...4.2
)1...(3.1)1( 2⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ −
−n
nn (3.2.7)
ve =n 1, 3, 5, ,K için
.)1(4.2
3.1)1( 2)1(1 ⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡−
−= −
nnc n
K
K (3.2.8)
(3.2.7) ve (3.2.8) deki 0c ve 1c değerleri )(1 xy ve )(2 xy formüllerinde yerine
yazılırsa çeşitli Legendre polinomları elde edilir.
Örneğin n=4 için,
83
4.23.1)1( 2
0 =⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−=c ,
bulunur ve 1y çözümü
( ).33035
81
335101
83)(
24
424
+−=
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +−=
xx
xxxP
olarak bulunur.
24
Her Legendre polinomu Legendre diferensiyel denkleminin özel bir çözümüdür.
Örneğin
2P ( )x ,
(1- ,062)2 =+′−′′ yyxyx
denkleminin özel çözümü,
)(3 xP ,
(1- ,0122)2 =+′−′′ yyxyx
denkleminin özel çözümü,
Genel olarak )(xPn ise
(1- 0)1(2)2 =++′−′′ ynnyxyx
denkleminin özel çözümüdür.
n. dereceden Legendre polinomunun toplam formülü
knN
k
k
nn xknknk
knxP 2
0 )!()!2(!)!22()1(
21)( −
=∑ ⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡−−
−−= (3.2.9)
dir. Burada eğer n çift ise 2nN = eğer n tek ise 2)1( −= nN dir.
Örnek: )(3 xP i (3.2.9) u kullanarak bulalım.
Çözüm: Burada 12)13( =−=N dir.
25
( )
( ).3521
122081
!2!1!1!4
!3!3!0!6
81
)!3()!23(!)!26()1(
81)(
3
3
3
231
03
xx
xx
xx
xkkk
kxP k
k
k
−=
−=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−−
−−= −
=∑
3.3. Legendre Polinomları
Legendre polinomunun doğurucu fonksiyonu
(1- n
nn txPtxt )()2
0
21
2 ∑∞
=
−=+
bağıntısı ile tanımlanır. Legendre polinomunun serisel ifadesi bu bağıntıdan
yararlanılarak elde edilir.
na 2)( ifadesi.
[ ] [ ])12()3)(1()22()2()( 2 −+++−++= naaanaaaa n KK
nn
n aa⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=
21
222 (3.3.1)
şeklinde ifade edilebilir.
Bu özdeşlikte 1=a alınmasıyla
!212)!2( 2 nn
n
n ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛= (3.3.2)
26
elde edilir.
kna −)( değeri ise
[ ][ ])1()(
)1()_()1()1()(−+−+
−++−−++=− nakna
naknaknaaaa knK
KK
=k
kn
naa
)1()1()(
−−− (3.3.3)
şeklinde hesaplanabilir. (3.3.3) de 1=a alınmasıyla
kk nnkn
)()1(!)!(−−
=− (3.3.4)
elde edilir. at −− )1( ifadesi binom açılımı yardımıyla
(1-t) a− nn
nt
nnaaa )1(
!)1()1)((
0−
++−−−−= ∑
∞
=
K
=∑∞
=
−+++
0 !)1()2)(1)((
n nnaaaa K nt
= n
n
n tna∑
∞
=0 !)(
(3.3.5)
şeklinde yazılabilir.
Ayrıca serilerin özelliklerinden bilinmektedir ki, çift indisli ve A( ),nk genel terimli
bir seri
∑∑∑∑∞
= =
∞
=
∞
=
−=0 00 0
),(),(n
n
kn kknkAnkA (3.3.6)
27
∑∑∑∑∞
=
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡
=
∞
=
∞
=
−=0
2
00 0)2,(),(
n
n
kn kknkAnkA (3.3.7)
bağıntılarını sağlar. Burada 2
,2
nn⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ ye eşit olan ya da
2n den küçük olan en büyük
tamsayıyı göstermektedir.
(3.3.6) ve (3.3.7) nin bir sonucu olarak ve A( ),(), nkCknk =− konularak
(3.3.8)
yazılabilir. Bu notasyonlar
(1- n
nn txPtxt )()2
0
21
2 ∑∞
=
−=+
bağıntısıyla verilen )(xPn Legendre polinomunun serisel ifadesinin elde edilmesinde
kullanılabilir. İfadenin sol tarafı,
( [ ]!
)2(21)2(1)21
2
0
21
221
2
ntxttxttxt
n
nn
−⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=−−=+− ∑
∞
=
−−
şeklinde yazılabilir. Binom açılımı kullanılarak,
(1-n
n
n
n
xtxt
ntxt ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
=+ ∑∞
=
−
21)2(
!21
)20
21
2
=kn
k
kn
n
n
xt
kn
xtn
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∑∑=
∞
= 2!)(
)2(!
21
00
∑∑∑∑∞
=
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡
=
∞
= =
−=0
2
00 0),(),(
n
n
kn
n
kknkCnkC
28
eşitliği elde edilir. (3.3.8) eşitliğinin ve )!(
)1(!)(
knnn k
k
−−
=−
ifadesinin kullanılmasıyla
( ) ∑∑∞
=
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡
=
−
−−
−
−⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
=+−0
2
0
2
21
2
!)!2(
)1()2(21
21n
n
k
n
kkn
kn tkkn
xtxt
yazılabilir.
)!(2)!22(
21
22 knkn
knkn −
−=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
−−
olduğundan
(1-2 n
n
n
kkn
kkn
tknkkn
xkntxt ∑∑∞
=
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡
=−
−−
−−−−
=+0
2
022
221
2
)!(2!)!2()1()2()!22() (3.3.9)
yazılır.
(1-2 n
nn txPtxt )()
0
21
2 ∑∞
=
−=+
ifadesi ile (3.3.9) karşılaştırılır nt in katsayıları eşitlenise
kn
n
kn
k
n xknknk
knxP 22
0 )!2()!(!2)!22()1()( −
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡
=∑ −−
−−=
elde edilir.
29
3.4. Rodrigues Formülü
Legendre polinomları Rodrigues formülü adı verilen bir formül yardımıyla bulunur.
(3.4.1)
ifadesi elde edilmişti.
Eğer dxdD = olarak alınır ve
D⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧
>
≤−==
−
ms
msxsm
mx
dxdx
smm
s
sms
,0
,)!(
!
olduğu göz önünde bulundurulursa ,
)!(!
smxmxD
smms
−=
−
ifadesi yardımıyla (3.4.2)
(3.4.1) denklemindeki )!2(
)!22( 2
knxkn kn
−− −
ifadesi
)!2()!22( 2
22
knxknxD
knknn
−−
=−
−
şeklinde yazılabilir.
Bu nedenle (3.4.1) serisel ifadesi,
∑⎥⎦⎤
⎢⎣⎡
=
−
−−−−
=2
0
2
)!2()!(!2)!22()1()(
n
k
knn
k
n xknknk
knxP
30
∑=
−
−−
=]
2[
0
22
)!(!2)1()(
n
kn
knnk
n knkxDxP (3.4.3)
şeklinde yazılabilir.
)!(!!
, knknC kn −
= olduğundan
(3.4.3) denklemi
∑⎥⎦⎤
⎢⎣⎡
=
−−=
2
0
22,
!.2)1(
)(
n
kn
knkn
nk
n nxCD
xP (3.4.4)
olarak yazılır. Buradan
∑⎥⎦⎤
⎢⎣⎡
=
−−=2
0
22,)1(
!2)(
n
k
knkn
kn
n
n xCn
DxP
şeklinde yazılabilir.
nknnkn<−≤≤<⎥⎦
⎤⎢⎣⎡ 220,2
olacak şekilde
k nın bütün değerleri için 022 =− knn xD dır. Böylece (3.4.4) ün sağ taraftaki toplam
k=0 dan k=n ye kadar genişletilebilir ve
∑=
−−=n
k
knkn
kn
n
n xCn
DxP0
22,)1(
!2)( (3.4.5)
veya binom açılımından yararlanarak,
31
knn
k
kn xknk
nx 22
0
2
)!(!!)1()1( −
= −−=− ∑
ifadesi (3.4.5) denkleminde yerine yazılırsa,
nnnn xDn
xP )1(!2
1)( 2 −= (n=0,1,2,3,...) (3.4.6)
şeklinde Rodrigues formülü elde edilir. (3.4.6)
n
nn
nn dxxd
nxP )1(
!21)(
2 −= (3.4.7)
şeklinde de yazılabilir.
Bu formül Legendre polinomları hesaplamak için kolay bir yöntem vermektedir. Bu
formülle hesaplanan ilk altı Legendre polinomu
)5105315231(161)( 246
6 −+−= xxxxP
)157063(81)(
)33035(81)(
)5(21)(
)13(21)(
)(
1)(
355
244
33
22
1
xxxxP
xxxP
xxxP
xxP
xxP
xPo
+−=
+−=
−=
−=
=
=
32
şeklindedir. x in kuvvetleri
)(1 xPx =
[ ])(2)(31
202 xPxPx +=
[ ])(2)(351
313 xPxPx +=
[ ])(8)(20)(7351
4204 xPxPxPx ++=
[ ])(8)(28)(27631
5315 xPxPxPx ++=
[ ])(16)(72)(110)(332311
64206 xPxPxPxPx +++=
şeklinde bulunur. Genel olarak
)(!!)1(!)(
212
!)12(,4,2, 2)(
xPnlln
nlx lnnnl ln
n ∑−−= − ++⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −
+=
K
şeklinde yazılır.
33
Şekil 3.1
)(xPn için diğer formülleri elde etmek için (3.4.6) denklemi kullanılabilir.
dxdD = olmak üzere
Leibnitz formülünden
)()2()1()( ......!2
)1().().( nnnnnn uvvunnvnuvuvuvuD ++′′−
+′+== −−
veya
∑=
−=n
k
knkkn
n vDuDCuvD0
)(, ))(()( (3.4.8)
olduğundan Rodrigues formülü
[ ]nnnnn nxDn
xP )1()1(!2
1)( +−=
34
olarak alındığında
nxu )1( −= , nxv )1( += olmak üzere,
!21)(n
xP nn = ( )nknn
k
nkkn xDxDC )1())1((
0, +− −
=∑
!)1(!
)!()1(!
!21)(
0, k
xnkn
xnCn
xPkknn
kknnn
+−−
=−
=∑
olur. Veya,
)!(!!
, knknC kn −
= olduğundan
∑=
−
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
=n
k
kkn
knnxxCxP
0
2, 2
12
1)(
bulunur.
Örnek: Denklem (3.4.8) i kullanarak )(3 xP i bulunuz.
Çözüm: Denklem (3.4.8) de 0=n yazılırsa,
35
( )
( )xx
xx
xxdxd
xxxdxd
xxxdxd
xdxdxP
3521
)72120(481
63630481
)6126(481
)133(481
)1(!32
1)(
3
3
24
352
2
2463
3
323
3
33
−=
−=
+−=
+−=
−+−=
−=
olarak bulunur.
36
BÖLÜM 4. LEGENDRE POLİNOMLARININ ÖZELLİKLERİ
4.1. Doğurucu Fonksiyonlar
Küresel fonksiyonlar matematiksel fizik problemlerinin çözümünde çok önemli rol
oynarlar. Legendre polinomları ise R1 Laplace denkleminin temel çözümü ile
ilgilidir. Burada ,R M ve 0M noktaları arasındaki mesafedir. Ayrıca r ve 0r , M
ve 0M noktalarının yarıçap vektörleri, ϕ ise onların arasındaki açı olsun.
Bu durumda
⎪⎪⎭
⎪⎪⎬
⎫
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
>+−
<+−=
+−=
içinrrttxr
içinrrttxr
rrrrRo 02
020
20
2
21112111
cos2
11
ϕ
yazılabilir. Burada ϕcos=x ( )11 ≤≤− x ve 10
<=rrt veya 10 <=
rr
t dir.
)10,10(,211),(
2≤≤<<
+−=Ψ xt
ttxxt
fonksiyonuna Legendre polinomlarının doğurucu fonksiyonu denir.
),( xtΨ fonksiyonunun t ye göre açılımı
37
n
nn txP
ttxxt )(
211),(
02 ∑
∞
=
=+−
=Ψ (4.1.1)
şeklindedir. Bu açılım keyfi x ler ve 12 −±< xxz ler için geçerlidir. (4.1.1)
açılımının )(xPn katsayıları n-yinci dereceden polinomlardır ve bunlara Legendre
polinomları denir. Buradan R1 ifadesi
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎨
⎧
>⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
<⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
=∑
∑∞
=
∞
=
00
0
00
00
;)(cos1
;)(cos1
1
nn
n
nn
n
rrPrr
r
rrPrr
r
R ϕ
ϕ
biçiminde yazılabilir.
[ ] ϕϕπ
π
dxxxPn
n ∫ −+=0
2 cos11)(
integral gösteriminden yararlanarak (4.1.1) açılımı
( )[ ]n
nn
nn txxtxP ∫∑∑
∞
=
∞
=
−+=π
ϕπ 0 0
2
0cos11)(
= ( )∫−+−
π
ϕ
ϕπ 0
2 cos111
txxd
= ∫−
−
−−
π
ϕ
ϕ
π 02
2cos
111
1
xtxt
dxt
(4.1.2)
38
biçiminde yazılır.
1cos 2
0 −=
−∫ zzd π
ϕϕπ
formülünü göz önüne alalım. Bu bağıntıda z, [ ]1,1 +− aralığında olmadığı kabul
edilir ve 12 −z belirlenmiş sabit değerini alması gerekir ki ( )112 <−− zz
eşitsizliği sağlansın. Bu koşullar çerçevesinde (4.1.2) nin sağ tarafı
221
1ttx +−
ye eşit olur.
(4.1.1) serisi 1<x ve 1<z koşullarında düzgün yakınsaktır. Çünkü 11 ≤≤− x
aralığında 1)( ≤xPn dir. Buna göre
nnn ttxP ≤)(
olur. Eğer 1>t ise bu durumda t
t 11 = dönüşümü yardımıyla 11 <t olduğundan
∑∑∞
=+
∞
=+ ==
+−=
+− 01
0112
11
1
2
)()(
21211
nn
n
nn
n
txP
txP
ttxt
t
txt
elde edilir. Böylece sonuç olarak
39
)11(
1,)(
1,)(
211
01
0
2≤≤−
⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
>
<
=+−
∑
∑
∞
=+
∞
=
x
tt
xP
ttxP
txt
nn
n
n
nn
yazılabilir.
21
2 )21(−
+− txt doğurucu fonksiyonu Legendre polinomunu t nin kuvvetleri
cinsinden ifade etmek için kullanılabilir.
Örneğin,
21
2 )21(−
+− txt [ ] 21
222 )1()1( −−−−= xtxt
eşitliğinin sağ tarafı 2)1( xt− parantezine alınırsa,
21
2 )21(−
+− txt21
2
222
)1()1()1(
−
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
−+=
xtxtxt
elde edilir. Buradan,
21
2 )21(−
+− txt21
2
221
)1()1(1)1(
−
−⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−
−−−=
xtxtxt
bulunur. Son ifade de hipergeometrik fonksiyonlar yardımıyla ,
21
2 )21(−
+− txt ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−
−−−= −
2
22
011
)1()1(;;
21)1(
xtxtFxt
40
şeklinde yeniden yazılabilir.
21
2 )21(−
+− txt n
nn txP∑
∞
=
=0
)( (4.1.3)
olduğundan,
∑∞
=
− =⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−
−−−
02
22
011 )(
)1()1(;;
21)1(
n
nn txP
xtxtFxt
dir. Bu ifade ise
∑∞
=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
−⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−
−−
0
2
22
2
22
01 !)1(
)1(21
)1()1(;;
21
k
k
k
kxt
xt
xtxtF
yardımıyla
∑
∑
∞
=+
∞
=
−
−
−⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
−⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
−=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡−
−−−
012
22
0
2
22
2
22
011
)1(!
)1(21
!)1(
)1(21
)1(1
)1()1(;;
21)1(
kk
kk
k
k
k
k
xtk
xt
kxt
xt
xtxtxtFxt
(4.1.4)
şeklinde yazılabilir.
∑∞
=
+−+
+=−=
− 0
)12(12 !
)()12()1(
)1(1
n
nnk
k nxtk
xtxt
ifadesi (4.1.4) denkleminde yerine yazılırsa
41
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−
−−− −
2
22
011
)1()1(;;
21)1(
xtxtFxt ∑ ∑
∞
=
∞
=
+−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
=0 0
22
!)()12(
!
)1(21
k n
nn
kk
k
nxtk
k
xt
=∑∑∞
=
∞
=
+−+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
0 0
22
!!
)1()12(21
k n
nnkkn
k
nk
xtxk
elde edilir. Bu eşitliğin sağ tarafı
=+ nk )12()!2(
)!2(k
kn +
yardımıyla
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−
−−− −
2
22
011
)1()1(;;
21)1(
xtxtFxt =∑∑
∞
=
∞
=
+−+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
0 0
22
)!2(!!
)1()!2(21
n k
knnk
k
knk
txxkn
şeklinde yazılabilir. Ayrıca
∑∑ ∑∑∞
=
∞
=
∞
=
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡
=
−=0 0 0
2
0)2,(),(
n k n
n
kknkAnkA olduğundan ,
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−
−−− −
2
22
011
)1()1(;;
21)1(
xtxtFxt =∑∑
∞
=
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡
=
−
−
−⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
0
2
0
22
)!2()!2(!
)1(!21
n
n
k
nknk
k
knkk
txxn
olup
( )!2!2
21
2 kkk
k
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ile
42
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−
−−− −
2
22
011
)1()1(;;
21)1(
xtxtFxt =∑∑
∞
=
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡
=
−
−−
0
2
022
22
)!2()!(2)1(!
n
n
kk
nknk
knktxxn (4.1.5)
elde edilir.
(4.1.3) ve (4.1.5) denklemlerinde nt nin katsayıları eşitlenerek )(xPn için yeni bir
∑⎥⎦⎤
⎢⎣⎡
=
−
−−
=2
022
22
)!2()!(2)1(!)(
n
kk
knk
n knkxxnxP
formülü elde edilir
)(xPn için yeni bir doğurucu fonksiyon elde etmek için
)(xPn ∑⎥⎦⎤
⎢⎣⎡
=
−
−−
=2
022
22
)!2()!(2)1(!
n
kk
knk
knkxxn (4.1.6)
ifadesi ele alınarak keyfi bir c sabiti için
∑ ∑∑∞
=
∞
=
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡
=
−
−−
=0 0
2
022
22
)!2()!(2)1()(
!)()(
n n
n
k
nk
knkn
nnn t
knkxxc
ntxPc
yazılabilir.
∑∑ ∑∑∞
=
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡
=
∞
=
∞
=
+=0
2
0 0 0)2,(),(
n
n
k n kknkAnkB
olduğundan ,
43
∑∞
=0 !)()(
n
nnn
ntxPc
=∑∑∞
=
∞
=
++ −
0 0
222
2
!)!(2)1()(
n k
knk
nkkn t
nkxxc
knkn ckcc 22 )()2()( +=+ yardımıyla,
∑∞
=0 !)()(
n
nnn
ntxPc
=∑∑∞
=
∞
=
−+
0 02
222
!2)1()(
!)()2(
n kk
kkk
nn
ntxc
nxtkc
bulunur.
kk
kk
ccc ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=
21
22)( 2
2 ve
∑∞
=
−+=+
001 );;2(
!)()2(
n
nn xtkcF
nxtkc
olduğundan ,
∑∞
=0 !)()(
n
nnn
ntxPc
=∑∑∞
=
∞
=
−+
0 02
222
!2)1()(
!)()2(
n kk
kkk
nn
ntxc
nxtkc
=∑∞
=
−⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
−+0
2
22
1 )!(
)1(21
21
21
);;2(k
kk
kko k
txccxtkcF
dir.
)2(
01 )1();;2( kcxtxtkcF +−−=−+ olduğundan
∑∞
=
−⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
−+0
2
22
1 )!(
)1(21
21
21
);;2(k
kk
kko k
txccxtkcF
44
=∑∞
=
+−
−⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
−0
2
22
)2(
)!(
)1(21
21
21
)1(k
kk
kkkc
k
txccxt
∑∞
=+−
−⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
=0
22
22
)1()!(
)1(21
21
21
kkc
kk
kk
xtk
txcc
=
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−
+
− −
;1)1(
)1(
;21
21,
21
)1( 2
22
12 xtxt
cc
Fxt c (4.1.7)
=∑∞
=0 !)()(
n
nnn
ntxPc
yazılır. Burada c herhangi bir kompleks sayı olabilir.
21
2 )21( txtp +−=
olarak alırsa (4.1.7) için denklik formu şöyle kurulur:
∑∞
=
− =
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −−
−
012 !
)()(
;1
1121
;1,
n
nnna
ntxPc
pxt
cc
Fp .
Şimdi (4.1.6) denklemine geri dönüp
∑ ∑∑∞
=
∞
=
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡
=
−
−−
=0 0
2
022
22
)!2()!(2)1(
!)(
n n
n
nk
nknknn
knktxx
ntxP
45
= ∑∞
=
+−
0,22
22
!)!(2)1(
knk
knnk
nktxx
= ))1(21;1;( 22
10 −− xtFext
toplamı ele alınırsa
))1(21;1;( 22
10 −− xtFext =∑∞
=0 !)(
n
n
nxP
bağıntısı elde edilir. Bu bağıntı,
)41;1;()( 2
100 zFzJ −−=
ile
∑∞
=
=−0
20 !
)()1(
n
nnxt
ntxP
xtJe (4.1.8)
Bessel fonksiyonu olarak da yazılabilir.
(4.1.8) de x yerine ρ
)( tx − , t yerineρty
− alınıp, her bir terim 1−ρ ile çarpılırsa,
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
−
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −−−
;14
)1(;
)(exp 4
222
1021
ρρρ xtyFtxty =∑
∞
=
−−⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −−
0
1
!
)1(
n
nnn
nn
n
yttxPρ
ρ (4.1.9)
elde edilir.
46
Burada
∑∞
=
+−− +=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −
0
1
!!)()!(
k
kkn
nn
nktxPkntxP
ρρ
olduğundan (4.1.9) un sağ tarafı
∑∑∞
=
∞
=
+++−
0 02)!(!
)()!()1(n k
nknkn
n
nkytxPkn
olarak da yazılabilir.
∑∑∑∑∞
= =
∞
=
∞
=
−=0 00 0
),(),(n
n
kn k
knkAnkA
ifadesi kullanılarak
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
−
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −−−
;14
)1(;
)(exp 4
222
1021
ρρρ xtyFtxty
=[ ]∑∑
∞
= =
−−
−
−
0 02)!(!
)(!)1(n
n
k
nn
knkn
knktxPyn
=∑∑∞
= = −−
0 02 )!()!(
)(!)1(n
n
k
nn
kk
knktxPyn
(4.1.10)
elde edilir.
47
Hipergeometrik fonksiyonların
∑∞
=
=0
11 !)()(
);;(n n
nn
nbza
zbaF
şeklindeki gösteriminden yararlanılarak,
∑∞
=
−=−
011 !)1(
)();1;(
k k
kk
kyn
ynF
yazılabilir. Ayrıca
(-)!()1(
!)kn
nn kk −−= ve (1) !kk = olduklarından
∑∞
= −−
=−0
211 )!()!(!)1();1;(
k
kk
knkynynF
yazılır. Bu ifade (4.1.10) de yerine yazılırsa,
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
−
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −−−
;14
)1(;
)(exp 4
222
1021
ρρρ xtyFtxty
=[ ]∑∑
∞
= =
−−
−
−
0 02)!(!
)(!)1(n
n
k
nn
knkn
knktxPyn
=∑∑∞
= = −−
0 02 )!()!(
)(!)1(n
n
k
nn
kk
knktxPyn
= n
nn txPynF )();1;(
011∑
∞
=
− (4.1.11)
48
ifadesi elde edilir.
Basit Laguerre polinomları
);1;()( 11 xnFxLn −=
şeklinde gösterilir. Bu notasyon (4.1.11) de yerine yazılırsa,
∑∞
=
−=
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
+−−
−
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡
+−−−
+−0
22
222
10221
2 )()(
;1)21(4)1(
;
21)(exp)21(
n
nnn txPyL
txtxtyF
txttxtytxt
ifadesi elde edilir. Böylece
[ ] nn
nn txPyLxtyJxtty )()()1()(exp
0
220
21 ∑∞
=
−−− =−− ρρρ
ifadesi elde edilmiş olur. Burada,
21
2 )21( txt +−=ρ
dir.
4.2. Diferensiyel İndirgeme Bağıntısı
F(x,t)=(1-2xt+t 2 ) 21
=∑∞
=0nnP (x)t n (4.2.1)
İfadesinde her iki tarafının t ye göre türevinin alınmasıyla,
49
-21 (1-2xt+t 2 ) − 2
3
(-2x+2t)= 1
0)( −
∞
=∑ n
nn txnP
elde edilir. Her iki taraf (1-2xt+t 2 ) ile çarpılırsa,
1
1
2
2)()21(
21−
∞
=∑+−=
+−
− n
nn txnPtxt
txttx
elde edilir. Bu son eşitlik de (4.2.1) yardımıyla
(x-t) 1
1
2
0
)()21()( −∞
=
∞
=∑∑ +−= n
nn
n
nn txnPtxttxP (4.2.2)
şeklinde yazılabilir. (4.2.2) ifadesi,
∑∑∑ ∑ ∑∞
=
+∞
=
∞
=
∞
=
∞
=
−+ +−=−0
1
00 0 1
11 )()(2)()()(n
nn
n
nn
n n n
nn
nn
nn txnPtxnPxtxnPtxPtxPx
veya bu ifadenin düzenlenmesiyle,
( )[ ] 0)()()12()(12
11 =−+++−∑∞
=−+
k
kkkk txkPxxPkxPk
şeklinde yazılabilir. t nin aynı kuvvetlerinin katsayılarının karşılaştırılmasıyla,
(n+1)P 1+n )(x -(2n+1) 0)()()( 1 =++ − xnPxnPxxP nnn ....3,2,1=n (4.2.3)
elde edilir.
Benzer indirgeme bağıntıları Legendre polinomlarının türevleri arasında da
bulunmaktadır. Bu bağıntıları bulmak için önce (4.2.1) in x e göre türevi alınırsa,
50
n
nn txPxtxt )(2.)21(
21
0
23
2′
=+−− ∑∞
=
−
bulunur. Eşitliğin her iki tarafı (1-2xt+t 2 ) ile çarpılırsa,
n
nn txPtxt
txtt )()21(
21 1
2
2
′+−=
+−∑∞
=
(4.2.4)
veya
t n
nn txP )(
0∑∞
=
1
0
2 )()21( −∞
=∑ ′+−= n
nn txPtxt (4.2.5)
elde edilir. t nin aynı derecelerdeki katsayılarının karşılaştırılmasıyla bu kez
)(2)()()( 11 xPxxPxPxP nnnn ′−′+′= −+ (4.2.6)
bağıntısına ulaşılır.
(4.2.3) ifadesinin bir kez türevi alınırsa,
0)()()12()()1( 11 =′+′+−′+ −+ xPnxPnxPn nnn
elde edilir. Son denklemden )(1 xPn+′ in değeri (4.2.6) da yerine yazılırsa
)()()( '1 xPxxPxnP nnn −−′= (4.2.7)
elde edilir.
(4.2.6) ve (4.2.7) den )(' xxPn in yok edilmesiyle
51
)()()()12( '1
'1 xPxPxPn nnn −+ −=+ (4.2.8)
bulunur. Şimdi
0)('1 =− xP
alınır ve (4.2.8) formülünde n=0,1,2,3,...,n yazılarak elde edilen bağlantılar
toplanırsa,
∑=
+ +=+n
knnk xPxPxPk
0
''1 )()()()12( (4.2.9)
şeklindeki indirgeme bağıntısı elde edilir.
(4.2.6) ve (4.2.8) denklemleri bağımsız indirgeme bağıntılarıdır. Böylece bu iki
denklemden çeşitli bağıntılar elde edilebilir. (4.2.6) ve (4.2.8) in birleştirilmesiyle
)()1()()( 1 xPnxPxPx nnn +−′=′ +
bulunur.
4.3. İndirgeme Bağıntıları Yardımıyla Legendre Diferensiyel Denkleminin Elde
Edilmesi
Legendre diferensiyel denklemi indirgeme bağıntıları kullanılarak elde edilebilir.
)()()( '1 xPxnPxxP nnn −+=′ (4.3.1)
)()1()()( '1
' xPnxPxxP nnn +−= + (4.3.2)
bağıntıları elde edilmişti.
52
Şimdi sadece )(xPn ve onun türevlerini içeren bir bağıntı bulmak için (4.3.2)
denkleminde n yerine (n-1) yazılırsa
)()()( 1''
1 xnPxPxxP nnn −− −= (4.3.3)
elde edilir.
(4.3.3) de türev alınırsa,
)()1()()( 11 xPnxPxPx nnn −− ′+−′′=′′ (4.3.4)
bulunur.
(4.3.1) denkleminden ,
)()()(1 xnPxPxxP nnn −′=′−
yazılır ve türev alınırsa
)()()()(1 xnPxPxxPxP nnnn −′′+′=′′−
bulunur.
Bu ifadeler (4.3.4) denkleminde yerine yazılırsa,
[ ] [ ])()()1()()()()(( xnPxPxnxPxnPxPxxPx nnnnnn −′+−′′=−′′+′
elde edilir.
Terimlerin yeniden düzenlenmesiyle )(xPn için
53
0)()1()(2)()1( 2 =++′−′′− xPnnxPxxPx nnn
Legendre diferensiyel denklemi elde edilir.
4.4. )(xPn in Hipergeometrik Formu
Öncelikle
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
;
;,
cz
baF =
!)()()(
0 nz
cba n
n n
nn∑∞
=
şeklinde tanımlanan hipergeometrik fonksiyonu ve onun genelleştirmesi olan
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
;,,,
;,,
21
2,1
q
p
qp
bbbz
aaa
FK
K
=∑∞
=0 21
21
!)()()()()()(
n
n
nqnn
npnn
nz
bbbaaa
K
K
eşitliğini verelim. Burada hiçbir payda parametresi sıfır ya da negatif tamsayı
değildir. Buna rağmen p veya q nun sıfırdan farklı olmasına gerek yoktur.
Şimdi qp F notasyonunu )(xPn Legendre polinomlarının gösterilmesinde kullanalım.
Legendre polinomlarının,
∑⎥⎦⎤
⎢⎣⎡
=
−
−
−
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−
=2
0
2
)!2(!
)2(21)1(
)(
n
k
kn
kn
k
n knk
xxP
ifadesinde
54
k
k
n
kn n⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −−
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
−
21)1(
21
21
knnkn
2)(!)!2(
−=−
kk
kk
nnn ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +−
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−=−
21
22)( 2
2
değerlerinin yazılmasıyla,
∑⎥⎦⎤
⎢⎣⎡
= ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +−
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
=2
0 2 )(21!!
21
2)2(
21
)(
n
k k
k
kk
n
nn
xnnk
nnxxP
=
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
+−−
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
;21
1
;2
1,2
!
)2(21
212
n
x
nn
Fn
x n
n
elde edilir.
)(xPn Legendre polinomunun
∑∞
=
−=+−
0
21
2 )()21(n
nn txPtxt (4.4.1)
eşitliğini verelim.Burada,
55
[ ] 21
221
2 )1(2)1()21( −−−−−=+− xtttxt -
şeklinde yazılabilir.Eşitliğin sağ tarafı ( )21 t− parantezine alınırsa
21
21
21
222
12
)1()1(21)1(
)1()1(21)1()21(
−
−
−−
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−−
−−=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−−
−−=+−t
xttt
xtttxt (4.4.2)
sonucuna varılır.
Hipergeometrik fonksiyonların özelliklerinden
∑∞
=
=−0
1 !)(
);;(n
nn
o nza
zaF ve
ao zzaF −−=− )1();;(1
oldukları bilinmektedir.
Buna göre
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−−
−=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−−
−−
21
21
2 )1()1(2;;
21
)1()1(21
txtF
txt
o ve
∑∞
=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−−
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−−
−0
2
21 !)1(
)1(221
)1()1(2;;
21
n
n
no n
txt
txtF (4.4.3)
dir.
(4.4.3) (4.4.2) de yerine yazılırsa,
56
∑ ∑ ∑∞
=
∞
=
∞
=+−
−⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
=−
−⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
−=
0 0 0122 )1(!
)1(221
)1(!
)1(221
)1(1)(
n k kk
kkk
kk
kkk
knn tk
xt
tk
xt
ttxP
elde edilir. Buradan
∑ ∑∑∞
=
∞
=
∞
=
+−+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
=0 0 0 !)!2(!
)1()!2(221
)(n n k
knkk
knn nkk
tnkntxP
bulunur.
!2)!2(
21
2 nnn
k
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ değerinin yerine yazılmasıyla
∑ ∑∑∞
=
∞
=
∞
=
+−+=
0 0 0 !!2!)1()!2()(
n n kk
knkn
n nkktnkntxP
elde edilir.
n yerine (n-k) yazılırsa
∑ ∑∑∞
=
∞
=
∞
= −−+
=0 0 0 )!(!2!
)1()!()(n n k
k
nkn
n knkktnkntxP
olur.
kk nnkn
)()1(!)!(−−
=− değeri yazılırsa
∑ ∑∑∞
=
∞
=
∞
=
−+−−=
0 0 02)!(2
)1()!()()1()(
n n kk
nkk
kn
n ktxknn
txP
57
elde edilir .Buradan
∑ ∑∑∞
=
∞
=
∞
=
−+−−=
0 0 02)!(2
)1()()()1()(
n n kk
nkkk
kn
n ktxknn
txP
bulunur. Bu nedenle
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡−
+−
=
;12
1;1,
)( 12x
nn
FxPn dir.
)()1()( xPxP nn
n −=− olduğundan;
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡+
+−
−=
;12
1;1,
)1()( 12x
nn
FxP nn
bulunur.
4.5. Legendre Polinomlarının Dikliği
)(xPn ve )(xPm polinomları Legendre denkleminin birer çözümleri olduklarından
)( nm ≠
0)()1()(2)()1( '2 =++−′′− xPnnxxPxPx nnn (4.5.1)
0)()1()(2)()1( '2 =++−′′− xPmmxxPxPx mmm (4.5.2)
bağıntılarını sağlamaktadırlar. Bu bağıntılar
58
[ ] 0)()1()()1( 2 =++′′− xPnnxPx nn (4.5.3)
[ ] 0)()1()()1( 2 =++′′− xPmmxPx mm (4.5.4)
şeklinde yazılabilir. (4.5.3) )(xPm ile ve (4.5.4) de )(xPn ile çarpılır taraf tarafa
çıkarılırsa,
)(xPm [ ] 0)()()1()()1( 2 =++′′− xPxPnnxPx mnn
)(xPn [ ] 0)()()1()()1( 2 =++′′− xPxPmmxPx nmm
)(xPm [ ] −′′− )()1( 2 xPx n )(xPn [ ] +′′− )()1( 2 xPx m [ ])1()1( +−+ mmnn )(xPn )(xPm =0
elde edilir.
)()()1( 2 xPxPx nm ′′− + )(xPn [ ]′′− )()1( 2 xPx m - )()()1( 2 xPxPx nm ′′− -
)(xPm [ ]′′− )()1( 2 xPx n (4.5.5)
olduğundan (4.5.5) denklemi
)1)(( −+− mnmn )(xPn )(xPm = { }[ ]′′−′− )()()()()1( 2 xPxPxPxPx nmnm (4.5.6)
olarak yazılabilir.
(4.5.6) denkleminde integralin herhangi sonlu aralığı için,
)1)(( −+− mnmn ∫ =b
amn dxxPxP )()( { }[ ]banmnm xPxPxPxPx )()()()()1( 2 ′−′− (4.5.7)
59
elde edilir.
x=1 ve x=-1 için )1( 2x− =0 olduğundan,
)1)(( −+− mnmn ∫−
=1
1
)()( dxxPxP mn 0
yazılabilir.
m ve n negatif olmayan tamsayılar olsun.Bu durumda 01 ≠++ mn dır.
Ayrıca 0, ≠−≠ mnmn ise
∫−
=1
1
)()( dxxPxP mn 0 , nm ≠ (4.5.8)
elde edilir.
Eğer nm = ise
[ ]12
2)(21
1 +=∫
− ndxxPn (4.5.9)
olarak bulunur.
(4.5.8) ifadesi -1<x<1 aralığı üzerinde )(xPn polinomlar kümesinin dik olduğunu
ifade eder. Böylece Legendre polinomları ortogonal polinomların sağladığı
özelliklere sahiptir denilebilir.
4.6. )(xPn in Yeni Özellikleri
∑∞
=
=−0
20 !
)()1(
n
nnxt
ntxP
xtJe (4.6.1)
60
ifadesi elde edilmişti.
(4.6.1) de ilk önce αα sin,cos vtx == ikinci olarakta ,cosβ=x αsinvt =
dönüşümleri yapılarak
αcosexp(v ββ sin()sin 0 vJ =)sinα ∑∞
=0 !sin)(cos
n
nnn
nvP βα
(4.6.2)
exp( =)sinsin()sincos 0 βααβ vJv ∑∞
=0 !sin)(cos
n
nnn
nvP αβ
(4.6.3)
bağıntıları elde edilebilir.
sin αβαβαβ sincoscossin)( −=−
olduğundan,
exp [ ] [ ]αβαββα sincosexp)sin(exp)sincos( vvv −= (4.6.4)
dir. (4.6.2), (4.6.3) ve (4.6.4) yardımıyla
[ ]∑∑∞
=
∞
=
−=00 !
sin)(cos)sin(exp
!sin)(cos
n
nnn
n
nnn
nvP
vnvP αβ
αββα
=∑∑∞
= =
−
−−
0 0 )!(!)(cossin)(sin
n
n
k
nk
kkn
knkvP βααβ
elde edilir. Buradan
)(cossin)(sin)(cossin0
, βααβαβ kkkn
n
kknn
n PCP −= −
=∑
61
dir. Burada knC , binom katsayısıdır. Bu son denklem
)(cossin
)sin(sinsin)(cos
0, β
ααβ
βαα k
knn
kkn
n
n PCP−
=⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ −
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛= ∑ (4.6.5)
şeklinde yazılabilir.
)(xPn in orijinal tanımı ele alınır ve uygunluk için 21
2 )21( txt +−=ρ olarak alınırsa
1
0)( −
∞
=
=∑ ρn
nn txP (4.6.6)
olarak yazılabilir.
(4.6.6) denkleminde ,ρvt =
ρ)( txx −
= olarak alınırsa
21
2
2
20
)(21−
−∞
=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+
−−=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −∑ ρρρ
ρvvtxvtxP nn
nn
= [ ] 21
22 )(2 −+−− vvtxρρ
elde edilir.
Burada nv lerin katsayıları eşitlenirse
∑∞
=
+−− +=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −
0
1
!!)()!(
k
kkn
nn
nktxPkntxP
ρρ (4.6.7)
elde edilir.
62
4.7. Legendre Polinomlarının İntegral Gösterimi
Legendre polinomlarının integral gösterilimi
φφπ
πdxxxP n
n )cos1(1)(0
2∫ −+= (4.7.1)
biçimindedir. Bu formülü gerçeklemek için önce integral altındaki ifadeyi binom
serisi şeklinde yazalım. Buradan
φφπ
π
dxx n
o
)cos11 2∫ −+ = φφπ
π
dxxkn kkkn
o
n
kcos)1(1 22
0−⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −
=∫ ∑
= ∫∑ −⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −
=
π
φφπ 0
22
0cos1)1( dxx
kn kkkn
n
k
elde edilir.
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
+=
==∫
120
2)!(2
)!2(cos1 22
0 mk
mkmm
d mk φφπ
π
olduğundan
φφπ
π
dxx n
o
)cos11 2∫ −+[ ]∑=
−
−−
=2
022
22
)!()!2(2)1(!
n
kk
kkn
kknxxn (4.7.2)
elde edilir. Sağ taraftaki ifadenin Legendre polinomu olduğunu kanıtlamak için
21
2
2)21(
21
1),(−
+−=+−
= txttxt
txF
doğurucu fonksiyonunu düzenleyelim.
63
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−
−−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛−
=+−=−
2
2221
2
)1()1(1
11)21(),(
xtxt
xttxttxF (4.7.3)
şeklinde yazalım. (4.7.3) ün sağ tarafındaki ilk ifade
∑∞
=
=− 0
)(1
1s
sxtxt
(4.7.4)
şeklinde yazılabilir. (4.7.3) ün sağ tarafındaki ikinci çarpan ise
k
kk
k
k
xtxt
kxtxt
2
22
0
21
2
22
)1()1(21
)1()1(
)1(1−
−⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−−=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡−
−− ∑
∞
=
−
(4.7.5)
şeklinde seriye açılabilir.
n
n
nk xt
nk
xt)(
2)1(
)1(1
02 ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−−=
− ∑∞
=
(4.7.6)
olduğundan (4.7.6) serisi (4.7.5) yardımıyla
nkn
k n
kn txxnk
kxtxt +
∞
=
∞
=
+
−
−⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−−=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡−
−− ∑∑ 22
0 0
21
2
22
)1(221
)1()1(
)1(1 (4.7.7)
şeklinde yazılır. Son ifade knn 2−→ alınarak t nin kuvvetlerine göre düzenlenirse
[ ]nkkn
n
n
k
kn txxkn
kkxt
xt )1(2
221)1(
)1()1(1 22
0
2
0
21
2
22
−⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
−⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−−=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡−
−− −
∞
= =
−
−
∑∑ (4.7.8)
veya
64
∑∞
=
−
=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−
−−
0
21
2
22
)1()1(1
n
nntA
xtxt (4.7.9)
elde edilir. Burada
[ ]
kknn
k
knn xx
knk
kA )1(
2221
)1( 222
0−⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
−⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−−= −
=
−∑ (4.7.10)
dir.
(4.7.4) ve (4.7.9) (4.7.3) de yerine yazılırsa
∑∑∑∑∞
=
∞
=
+∞
=
∞
=
==0 000
)(),(n s
snsn
n
nn
s
s txAtAxttxF
elde edilir. snn −→ alarak son ifade t nin kuvvetlerine göre düzenlenirse
n
n
sn
s
ssn txAtxF ∑ ∑
∞
=
−
=− ⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛=
0 0),( (4.7.11)
veya
∑∞
=
=0
)(),(n
nn txPtxF (3.7.12)
elde edilmiş olur. Burada
n
nn txPtxttxF )()21(),(
0
21
2 ∑∞
=
−=+−=
açılımı uyarınca )(xPn ler Legendre polinomlarıdır. Devam edecek olunursa
65
ssn
ssnn xAxP ∑
−
=−=
0
)(
veya (4.7.10) göz önünde bulundurulursa
[ ]
ssn
s
sn
k
kksnksnn xxx
ksnk
kxP ∑ ∑
−
=
−
=
−−−−⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−−
−⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−−=
0
2)(
0
22 )1(2
221)1()(
=[ ]
∑ ∑=
−
=
−−−
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−−
−−⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−−
2
0
2
0
22 )1(2
2)1(
21)1(
n
k
kn
s
kknsnk xxksn
kk
(4.7.13)
olduğu görülür. Son bağıntıyı sadeleştirmek için
(-1) ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−−−
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−−
−−
121
22
ksn
ksnksn
ve
)!2()!2(
!212
12
0 knkn
kn
ksnkn
s −=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−−−
∑−
=
ifadesinden yararlanılırsa (4.7.13)
[ ]
∑=
−−
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
−⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−−=
2
0
22 )1()!2()!2(
!21)1()(
n
k
kknkn xx
knkn
kxP
=[ ]
kknn
kk xx
knkn
kk )1(
)!2()!2(!
)!(2)!2( 22
2
022 −
−−
=∑
=[ ]
kknn
kk xx
knkn )1(
)!2()!(2! 22
2
022 −
−−
=∑
66
şeklinde yeniden yazılabilir. Bu ifade (4.7.2) ile karşılaştırılarak (4.7.1) ifadesi elde
edilir.
4.8. Laplace ın ilk integral formu
∑⎥⎦⎤
⎢⎣⎡
=
−
−−
=2
022
22
)!2()!(2)1(!)(
n
kk
kkn
n knkxxnxP (4.8.1)
ifadesi elde edilmişti. Bu ifade
!2)!2(
21
2 kkk
k
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
olduğundan,
( )∑
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡
=
−
−
−⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
=2
0
22
)!2()!2(!
121!
)(
n
k
kkn
kn knkk
xxnxP (4.8.2)
şeklinde de yazılabilir.
Gamma ve Beta fonksiyonlarının tanım ve özellikleri yardımıyla (4.8.2) deki !
21
kk⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
ifadesi
( ) ( ) ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +=
+Γ
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +Γ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛Γ
=+Γ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛Γ
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +Γ
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
kBk
k
k
k
kk
21,
211
121
21
121
21
!21
ππ
= ∫∫ =π
π
ϕϕπ
ϕϕπ 0
221
0
2 cos1cos2 dd kk
67
yazılabilir. Buradan (4.8.2)
ϕϕπ
π
dknk
xxnxPo
k
n
k
kkn
n ∫∑⎥⎦⎤
⎢⎣⎡
=
−
−−
= 22
02
22
cos)!2()!()1(!1)( (4.8.3)
şeklinde yeniden yazılabilir.
m tek sayı olduğunda 0cos =∫ ϕϕπ
do
m olduğundan (4.8.3) denkleminin sağ
tarafındaki toplamda k ile 2 k yer değiştirebilir. Böylece (4.8.3) den
ϕϕπ
dknk
xxnxP kn
k
kkn
n ∫∑=
−
−−
= cos)!(!
)1(!1)(0
21
2
(4.8.4)
elde edilir. Burada k tek sayısını içeren her bir terim sıfırdır. Böylece (4.8.4) ifadesi
ϕϕπ
π
dxxxPn
n ∫ ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−+=
0
21
2 cos)1(1)( (4.8.5)
şeklinde Laplace ın ilk integralini verir.
(4.8.5) den )(xPn in bazı basit özellikleri elde edilebilir.
-1< x <1 aralığında
ϕϕ 22221
2 cos)1(cos)1( −+=−+ xxxx
= ϕϕ 222 cossin +x dir. (4.8.6)
68
dır. Bu yüzden -1< x < 1 için
ϕϕ 2221
2 sin)1(1cos)1( xxx −−=−+
olur. (4.8.6) denkleminden 0=ϕ ve πϕ = noktaları dışında
1cos)1( 21
2 <−+ ϕxx
olduğundan
∫∫ <−+≤ππ
ϕπ
ϕϕπ 00
21
2 .11cos)1(1)( ddxxxPn
n
bulunur.
Teorem 4.8.1. 11 <<− x için 1)( <xPn dir.
ϕϕπ
π
dxxxP nn ∫ ⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡−+=
0
21
2 cos)1(1)( (4.8.7)
denklemini elde etmek için bu denklem (4.8.6) ile birleştirilirse
[ ] ϕϕπ
π
dxxPn
n
21
0
22 sin)1(11)( ∫ −−≤
veya
69
[ ] ϕϕπ
π
dxxP
n
n
21
21
0
22 sin)1(12)( ∫ −−≤
elde edilir. Burada πϕ210 << ve πϕϕ 2sin > dir. 0>y için )exp(1 yy −<−
kullanılırsa
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −−<
−−<−− 2
22
2
2222 )1(4exp)1(41sin)1(1
πϕ
πϕϕ xxx
elde edilir. Buradan
ϕπ
ϕπ
dxnxPn ∫ ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −−< 2
22 )1(2exp2)(
< ϕπ
ϕπ
dxn∫∞
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −−
02
22 )1(2exp2
yazılabilir.
[ ] ∫
∞
−=−
−⋅<
02
2
21
2 )1(2)exp(
)1(2
2xn
dxn
Pnπββπ
π
ifadesinin elde edilmesi için [ ]21
2 )1(2)( xn −= πϕβ yazılarak integralin yeni bir
türü elde edilir.
Teorem 4.8.2. Eğer -1<x<1 ve n herhangi bir pozitif tamsayı ise
70
21
2 )1(2)( ⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡−
<xn
xPnπ
dir.
4.9. Fonksiyonların Legendre Polinom Serileri Yardımıyla Gösterimi
Analitik fonksiyonların kuvvet serileri şeklindeki çözümleri
∑∞
=
=0
)(n
nn xcxf
olarak gösterilir. Burada !/)0()( nfc nn = dir.
f fonksiyonu ;
)()(0
xPbxf nn
n∑∞
=
= (4.9.1)
şeklinde yazılabilir. Burada -1 < x <1 ve )(xPn n. dereceden Legendre polinomudur.
(4.9.1) ifadesine Legendre polinom serilerinin f cinsinden gösterilmesi denir.
(4.9.1) deki nb katsayısının hesaplanması için (4.9.1) ün her iki tarafı )(xPk ile
çarpılır ve integre edilirse;
∑ ∫∫∞
= −−⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
0
1
1
1
1
)()()()(n
knnk dxxPxPbdxxPxf
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
+=
122
kbk
elde edilir. Böylece
71
∫−
+=
1
1
)()(2
12 dxxPxfkb kk (4.9.2)
olarak elde edilir. Bu formül denklem (4.9.1) de kullanılan kb nın katsayısını verir.
ÖRNEK:
⎩⎨⎧
<<<<−
=10,101,0
)(xx
xf
fonksiyonunun Legendre polinomları yardımıyla serisel çözümünü bulunuz.
ÇÖZÜM: (4.9.2) kullanılarak Legendre katsayıları hesaplanabilir.
,21)1)(1(
21 1
00 ∫ == dxb
,43))(1(
23 1
01 ∫ == dxxb
,0)13(21)1(
25 2
1
02 =−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛= ∫ dxxb
,167)35(
21)1(
27 3
1
03 −=−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛= ∫ dxxxb
,0)33035(81)1(
29 24
1
04 =+−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛= ∫ dxxxb
,3211)157063(
81)1(
1211 35
1
05 =+−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛= ∫ dxxxxb
72
ve bu şekilde devam edilebilir. Bu yüzden
L−+−+= )(3211)(
167)(
43)(
21)( 531 xPxPxPxPxf o
bulunur.
4.10. Legendre Polinomlarının Sıfırları
Legendre polinomlarının sıfırları Gaussian quadrature olarak bilinen belirli integral
yaklaşımları için kullanılan nümerik metotlarda kısmi olarak faydalıdır.
∫b
a
dxxf )( integrali yaklaşık olarak uygun
)(1
i
n
ii xfa∑
=
(4.10.1)
toplamı yardımıyla hesaplanır.
Legendre polinomunun sıfırları ix ve ia lerin hesaplanması için kullanılır.
(4.10.1) formülü )(xf polinomu 2n-1 ya da daha küçük dereceden polinom
olduğunda tam sonuç verir. Metodun uygulanabilmesi için )(xPn in sıfırlarının reel
olduğunun bilinmesine ihtiyaç vardır.
73
Tablo 4.1. Gaussian Quadrature Kullanılarak Çeşitli Tamsayılar için Belirli İntegralin Yaklaşık Değerleri
n Kök Katsayı
2 0.5773502692 1.0000000000 -0.5773502692 1.0000000000 3 0.7745966692 0.5555555556 0.0000000000 0.8888888889 -0.7745966692 0.5555555556 4 0.8611363116 0.3478548451 0.3399810436 0.6521451549 - 0.3399810436 0.6521451549 - 0.8611363116 0.3478548451 5 0.9061798459 0.2369268850 0.5384693101 0.4786286705 0.0000000000 0.5688888889 -0.5384693101 0.4786286705 -0.9061798459 0.2369268850
Teorem 4.10.1 : )(xPn legendre polinomları -1<x<1 aralığı üzerinde n tane farklı
köke sahiptir.
Tablo (4.1) de, (4.10.1) deki denklemin ia katsayıları ile birlikte n nin çeşitli
değerleri için legendre polinomlarının kökleri listelenmiştir.
)()(1
1 1i
n
ii xfadxxf∫ ∑
− =
≈ (4.10.2)
belirli integrali )( ixf her bir kökü için hesaplandığında yaklaşık olarak bulunabilir.
ÖRNEK: n nin 2 farklı değeri için quadratürler yardımıyla belirli integrali
hesaplayalım.
74
n=2: ( ) ( )[ ]25773502692.025773502692.01
1
222
2
21
2−
−
−
+≈∫ eedxe x
ππ
= )69296345.1(21π
=0.6753946993.
n=5 ππ 2
12
1
1
22
≈∫−
−
dxe x [ 2)9061798459.0( 2
)2369268850.0( e
+(0.4786286705) 2)5384693101.0( 2
e
+(0.5688888889)(1)
+(0.4786286705) 2)5384693101.0( 2−e
+(0.2369268850) ]2)9061798459.0( 2−e
= 711249393.1(21π
)
=0.6826897354
bulunur.
Teorem 4.10.2 : 11 ≤≤− x aralığı üzerinde )(xf sonlu süreksizlik noktaları
dışında sürekli ise 11 ≤≤− x aralığı üzerinde )(xf ′ mevcut ise burada )(xf
sürekli ve süreksizlik noktalarında sağ ve sol türevleri mevcuttur ve eğer
dyyPyfna nn )()(21 1
1∫−
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ += (4.10.3)
ise bu durumda )(xf in sürekli olduğu noktalarda
75
)()(0
xfxPa nn
n =∑∞
=
, 11 <<− x (4.10.4)
dir. (4.10.4) in sol tarafındaki seri, f in süreksizlik noktalarında
[ ])0()0(21
−++ xfxf
orta değerine yakınsaktır.
İspat: (4.10.4) in sol tarafı (4.10.3) yardımıyla
dyyPyPyfnxPa nnnn
nn )()()(21)(
1
100∫∑∑−
∞
=
∞
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +=
= dyxPyPyfkn
kkkn
)()()(21lim
0
1
1∑ ∫= −
∞→⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
= dyyPxPkyfn
kkkn
)()(21)(lim
1
1 0∫ ∑− =
∞→⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
yazılabilir.
(4.10.4) in sol tarafındaki seri )(xf toplamına yakınsar ancak ve ancak
)(),()(lim1
1
xfdyyxKyf nn=∫
−∞→
(4.10.5)
dir. Burada
)()(21),(
0
yPxPkyxK kk
n
kn ∑
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ += (4.10.6)
dir.
76
(4.10.4) ün sağ tarafındaki serinin toplamı için Teorem 2.1.1. den yaralanılarak
(4.10.5)
10
1 )()(+=
− =∑nn
nk
n
kkk hg
hyxg ϕϕ .
xyyxxy nnnn
−− ++ )()()()( 11 ϕϕϕϕ
(4.10.7)
21
112
2)(1
1
2
+=
+== ∫
− kkdxxPg kk
şeklinde yazılır.
Burada
!212
nh n
n
n
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
=
dir. Böylece
)1(21
)1(+=
+n
hgh
nn
n
olur ve (4.10.7) den
yxyPxPyPxPnyxK nnnn
n −−+
= ++ )()()()(2
1),( 11 (4.10.8)
elde edilir.
(4.10.4) koşulu
77
0),()()(lim1
1
=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡− ∫
−∞→
dyyxKyfxf nn (4.10.9)
şeklinde yeniden yazılabilir.
0)(1
1
=∫−
dyyPk k>0
olduğundan
dyyPxPkdyyxK k
n
kkn )()(
21),(
1
1 0
1
1∫∑∫− =−
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +=
= ∫ ∑− =
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡++
1
1 1
)()()21(
21 n
kkk dyyPxPk
= ∫−
=1
1
121 dy
şeklinde yazılabilir.
(4.10.9)
[ ] 0),()()(lim1
1
=−∫−
∞→dyyxKyfxf nn
ifadesinde yerine yazılırsa
[ ] 0)()()()()()(2
1lim 11
1
1
=−−−+
++−
∞→ ∫ dyyPxPyPxPyx
yfxfnnnnnn
(4.10.10)
elde edilir.
78
Teorem 2.1.2 yardımıyla
dyyg )(1
1
2∫−
olacak şekilde herhangi bir )(yg için
0)()(21lim
1
1
21
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ + ∫
−∞→
dyyPygn nn (4.10.11)
elde edilir. Böylece
yxyfxfyg
−−
=)()()( ile birlikte dyyg )(
1
1
2∫−
mevcuttur.
(4.10.11) den
0)()()(21lim
1
1
21
=−−
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ + ∫
−∞→
dyyPyx
yfxfn nn (4.10.12)
ve
0)()()(23lim 1
1
1
21
=−−
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ + +
−∞→ ∫ dyyP
yxyfxfn nn
(4.10.13)
elde edilir.
Böylece eğer ∞→n için
)(21
21
1
21
xPnnn+
−
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
+ , )(23
21 2
1
xPnnn
−
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
+
ifadeleri sınırlı ise 11 <<− x aralığında )(xf in sürekli olduğu noktalarda
(4.10.10) sağlanır.
79
Teorem 4.8.2 kullanılarak 11 <<− x aralığı üzerinde
21
2
2
1
21
)1)(1(2.
214
)1()(21
21
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
+<⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ +
++
−
xnn
nxPnnn
π
21
2
21
2 )1(4)1)(12(4)1(
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−
<⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−+
+<
xxnn ππ
ve
21
2
221
)1(2.
234
)1()(23
21
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
+<⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ +
+ −
xnn
nxPnnn
π
21
2
21
22
2
)1(4)1)(32(4)12(
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−
<⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−+++
<xxnn
nn ππ
ifadeleri sağlanır.
Böylece )(xf in sürekli olduğu noktalarda Teorem 4.10.2 deki (5) in (4.10.3)
denklemini sağladığı görülür.
4.11. nx Genişlemesi
Herhangi bir polinom legendre polinomları cinsinden seriye açılabilir.Katsayıların
belirlenmesinde )(xPn in ortogonalliği rol oynar.
21
221
221
2
0 121)1()21()(
−−−∞
=⎥⎦⎤
⎢⎣⎡
+−+=+−=∑ t
xtttxttxP n
nn
80
∑∞
= ++
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
=0 2
12 )1(!
)2(21
n n
nn
n
tn
tx
ifadesini ele alalım. Buradan
n
nn
nn
nn
n txPttn
tx)()1(
)1(!
)2(21
0
21
2
02 ∑∑
∞
=
∞
=
+=+
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
= (4.11.1)
elde edilir.
2411
2t
vt−+
=
olarak alınırsa
,411
212
2
tt
−+=+ v
tt
=+ 21
olur ve böylece (4.11.1)
21
00 4112)(
!
)2(21
+∞
=
∞
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
−+=
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∑∑n
n
n
nn
n
nn
n
vvxP
n
tx (4.11.2)
şeklinde yeniden yazılır.
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
+
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ +
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
−+
+
;23
4
;23
21,
21
21
4112 2
12
21
2
n
v
nn
Fv
n
81
=∑∞
= ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
0
2
2
23!
21
k
k
k
k
nk
vn
=∑∞
=
+
+
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
0
2
2
23!
21
23
21
k
knn
k
nkn
k
v
olduğundan
( )∑∞
=
+
+
+
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛+
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
−+ 0
2
221
2
23!
2112
4112
k
kn
k
kn
n
k
vn
v (4.11.3)
yazılabilir.
(4.11.1) ve (4.11.3) yardımıyla
( )∑∑∞
=
+
+
+∞
= ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛+
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
0,
2
2
0
23!
)(2112
!
)2(21
kn
kn
knn
kn
n
nn
n
k
vxPn
n
vx
=( )[ ]
∑∑∞
= =
−
−
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛+−
0
2
0
2
23!
)(21142
n
n
k
kn
nkn
n
k
vxPkn
elde edilir.
82
Bir önceki teoremdeki ny in katsayılarının karşılaştırılmasıyla aşağıdaki sonuç elde
edilir.
Teorem 4.11.1 : Negatif olmayan bir n tamsayısı için
( )[ ]
∑=
−
−
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛+−
=2
0
2
23!
)(1422
! n
k
kn
knn
n
k
xPknnx
dir. [ ]6
Teorem 4.11.2 : Eğer x yeterince küçük ve
∑∞
=
=0 !
)(n
nn
nxa
xf (4.11.4)
ise
)()(0
xPbxf nn
n∑∞
=
= (4.11.5)
dir. Burada
∑∞
=
+
+
+
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
+=
0 2
2
23!2
)12(k
kn
kn
knn
k
anb (4.11.6)
dir. (4.11.5) nin yakınsaklık bölgesi 0=x merkezli elipsin iç kısmıdır. [ ]6
4.12 İkinci Tip Legendre Fonksiyonu
( ) 0)1(1 2 =++⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ − ynn
dxdyx
dxd
83
denkleminin genel çözümünün bulunması için )(xPn Legendre polinomu ile bağımlı
olmayan başka bir tane de özel çözüm bulunması gerekir. Bu fonksiyon
)()1)(12(
34211ln)(
21)( 12
1
xPknk
knxxxPxQ kn
N
knn +−
=∑ +−−
+−−
−+
=
dir. Burada N değeri n çift ise nN21
= , n tek sayı ise )1(21
+= nN dir.
n=0, 1, 2, 3 için;
11ln
21)(0 −
+=
xxxQ
111ln
2)(1 −
−+
=xxxxQ
xxxxxQ
23
11ln)13(
41)( 2
2 −−+
−=
32
25
11ln)35(
41)( 23
3 +−−+
−= xxxxxxQ
olur.
)(xPn ve )(xQn lineer bağımsız fonksiyon olduğundan denklemin genel çözümü
)()()( 21 xQCxPxCy nn +=
biçiminde yazılır. Burada 1C ve 2C keyfi sabitlerdir.
84
Şekil 4.1.
4.13. Birleştirilmiş Legendre Polinomları
)(xP xl ve m
lP − eş Legendre polinomları birleştirilmiş legendre denkleminin
çözümleridir. Burada l pozitif tamsayı ve lm K,1,0= dir. [ ]xmlP ,, olarak
gösterilirler. m pozitif tamsayısı için
)2.13.4()1()1(!2
)1(
)1.13.4()()1()1()(
222
22
lml
mlm
l
m
lm
mmmm
l
xdxdx
l
xPdxdxxP
−−−
=
−−=
+
+
ile verilirler. Burada )(xPl birleştirilmiş olmayan Legendre polinomudur.
Birleştirilmiş Legendre polinomu negatif m sayısı için
)()!()!()1()( xP
mlmlxP m
lmm
l +−
−=− (4.13.3)
85
ile tanımlanır.
Birleştirilmiş polinomlar Ferrers fonksiyonu olarak adlandırılır. m=0 ise
birleştirilmiş olmayan polinom olarak yazılırlar. Birleştirilmiş Legendre
fonksiyonları küresel koordinatlarda Laplace denkleminin çözümü olan küresel
harmoniklerin bir parçasıdır. Bunlar [ ]1,1− aralığında 1=ω ve 211x−
=ω ağırlık
fonksiyonlar için diktirler. Bu nedenle
llm
lm
l mlml
ldxxPxP ′′
− −+
+=∫ δ
)!()!(
122)()(
1
1
(4.13.4)
mmm
lm
l mlmml
xdxxPxP ′
′
− −+
=−∫ δ
)!()!(
1)()( 2
1
1
(4.13.5)
yazılabilir.
Birleştirilmiş Legendre polinomları
)()1()()12()()( 21 xPmlxPlxxPml ml
ml
ml −− −+−−=−
indirgeme bağıntısını sağlarlar.
θcos=x alınmasıyla (genellikle μ ile gösterilir.)
2
1
1
)()()(
μ
μμμθ −
+−= −
ml
ml
ml PmlPl
ddP
(4.13.6)
ve
)()1()()()()12( 11 μμμμ ml
ml
ml PmlPmlPl +− +−++=+ (4.13.7)
86
elde edilir. Ayrıca
22 )1(!)!12()1()(lll
l xlxP −−−= (4.13.8)
)()12()(1 xPlxxP ll
ll +=+ (4.13.9)
dir.
m)1(− yi içeren ilk beş birleştirilmiş Legendre polinomu
1)(00 =xP
xxP =)(01
2121
1 )1()( xxP −−=
)13(21)( 20
2 −= xxP
2121
2 )1(3)( xxxP −−=
)1(3)( 222 xxP −=
)35(21)( 20
3 −= xxxP
21221
3 )1)(51(23)( xxxP −−=
)1(15)( 223 xxxP −=
87
2323
3 )1(15)( xxP −−=
)33035(81)( 240
4 +−= xxxP
21221
4 )1)(73(25)( xxxxP −−=
)1)(17(2
15)( 2224 xxxP −−=
2323
4 )1(105)( xxxP −−=
224
4 )1(105)( xxP −=
( )15706381)( 240
5 +−= xxxxP
olarak bulunur.
θcos=x olarak alındığında ise
1)(cos00 =θP
θθ cos)(cos01 =P
θθ sin)(cos11 −=P
( )1cos321)(cos 20
2 −= θθP
θθθ cossin3)(cos12 −=P
88
θθ 222 sin3)(cos =P
)3cos5(cos21)(cos 20
3 −= θθθP
θθθ sin)1cos5(23)(cos 21
3 −−=P
θθθ 223 sincos15)(cos =P
θθ 333 sin15)(cos −=P
olarak elde edilir.
Orjindeki türev
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +−Γ
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ++Γ⎥⎦
⎤⎢⎣⎡ +
=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+
=
21
21
21
121
21)(
21sin2
)(
21
1
0 μπ
μμπμμ
v
vv
dxxdP
x
v
dir. Logaritmik türev ise
!)1(21!)1(
21
!)(21!)(
21
)(21tan2
)(ln
0 ⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ −−⎥⎦
⎤⎢⎣⎡ −+
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −⎥⎦
⎤⎢⎣⎡ +
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ +=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡
= μλμλ
μλμλμλπ
μλ
zdz
zPd
olur.
89
4.14. Birleştirilmiş Legendre Fonksiyonunun Belirsiz İntegrali İçin Rekürans
Bağıntısı
Reel değişkenli, tam sayı mertebe ve dereceli birleştirilmiş Legendre fonksiyonunun
integralinin hesabı için iki rekürans formülü elde edilecektir.
Burada amaç, )(xPmn n-yinci dereceden ve m-yinci mertebeden x değişkenli klasik
birleştirilmiş Legendre fonksiyonunu göstermek üzere, 0≥≥ mn indisleri üzerinden
11,1)()( <≤−≤≡ ∫ axdttPxSx
a
mn
mn (1)
integrali için rekürans denklemleri geliştirmektir. )()(0 xPxP nn = n-yinci dereceden
Legendre polinomu, yani
nn
n
nn xdxd
nxP )1(
!21)( 2 −≡ (4.14.2)
olmak üzere
[ ])()1()( 22 xPdxdxxP nm
mmm
n −≡ (4.14.3)
tanımı kullanılmaktadır. n ve m indisleri bundan böyle negatif olmayan tam sayılar
olarak kabul edilecek ve a genelde 0 veya negatif olan bir sabit olarak alınacaktır.
Önce kolay gönderme yapılabilmesi için bazı iyi bilinen formüller listelenmiştir.
)0(0,11
12111 ≡≥
+−
++
= −−+ PnPn
nxPnnP nnn (4)
0,11
1211 ≥≥
+−+
−+−
+= −+ mnP
mnmnxP
mnnP m
nm
nm
n (4.14.5)
90
nn
nn
nn
nn PxnPx
nnP )12(,)1(
!2)!2(
122 +=−= + (4.14.6)
mn
mn
mn PmnPxnP
dxdx 1
2 )1()1()1( ++−−+=− (4.14.7)
11
11
11
11
)2)(1(
)1)((
−+
−−
+−
++
+−+−−
−+++=
mn
mn
mn
mn
Pmnmn
PmnmnPP (4.14.8)
[ ]11
11
2 )2)(1()1)((12
11 −+
−− +−+−−−++
+=− m
nm
nm
n PmnmnPmnmnn
Px (4.14.9)
[ ] 12)1(222 )1)()(1()1( −−−++−−=− mn
mmn
m PxmnmnPxdxd (4.14.10)
n üzerinden elde edilmek istenen rekürans formülünü elde etmek için önce (4.14.7)
nin integrali alınır daha sonra sol tarafa kısmi integrasyon uygulanırsa
mn
x
a
x
a
mn
mn
x
am
n
Smn
dtttPndtttPtPx
1
2
)1(
)()1()(2)()1(
++−−
+=+− ∫ ∫ (4.14.11)
elde edilir. Sonra (4.14.5) integrali alınır (4.14.11) de kullanılırsa istenilen sonuç
yani
nmtPtmnn
n
SmnnmnnS
x
am
n
mn
mn
≤≤−+−+
+−
+−++−
= −+
0,)()1()1)(2(
12)1)(2(
))(1(
2
11
(4.14.12)
elde edilir.
91
(4.14.1) için m üzerinden rekürans formüllerini veren adımlar (4.14.8) in integraliyle
başlar. Sonuç
11
11
11
11
)2)(1(
)1)((
−+
−−
+−
++
+−+−−
−+++=
mn
mn
mn
mn
Smnmn
SmnmnSS (4.14.13)
olur. Şimdi (4.14.12) de m yerine (m-1) yazılırsa ve bazı uygun işlemler yapılırsa
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ −+
+++−
−++
=
+−+
−−+
−−
x
am
nmn
mn
tPtSn
nmnn
mnn
Smnmn
)()1(12
)2)(2(1
))(12(
))(1(
1211
11
(4.14.14)
elde edilir. (4.14.14), (4.14.13) de yerine yazılırsa
x
am
n
mn
mn
mn
tPtn
mnn
Sn
mnmnSS
)()1(1
))(12(
1)2)(1)(12(
12
11
11
11
−
−+
+−
++
−−
+++
−+−++
+=
(4.14.15)
elde edilir. (4.14.12) de m yerine (m+1) yazılırsa
x
am
nmn
mn tPtS
nnmnS
nmnn )()1(
12)2)((
12)1)(1( 121
11
1++
++− −+
++−
=+
++−
denklemi elde edilir. Bu sonuç (4.14.15) de kullanılırsa
{
[ ] }x
am
nm
n
mn
mn
tPmnmntPt
Smnmnmm
S
)()1)(()()1(
)1)(2)(1(1
1
112
11
11
−+
−+
++
++++−+
+++−+−
=
(4.14.16)
92
elde edilir. (4.14.16) da n+1 yerine n yazılırsa istenen sonuç
{
[ ] nmtPmnmntPt
Smnmnmm
S
x
am
nm
n
mn
mn
≤≤+−++−+
++−+−
=
−−
+−
−+
2,)())(1()()1(
))(1)(1(1
1
11
11
2
11
(4.14.17)
olur.
(4.14.12) ve (4.14.17) rekürans formüllerini açmak için
211
202
01
10 1,)13(
21,,1 xPxPxPP −=−=== (4.14.18)
(4.14.4) den
0,0,11
12111 ≡≥
+−
++
= −−+ PnPn
nxPnnP nnn (4.14.19)
[ ] x
atttSaxS 121
100 sin1
21, −+−=−= (4.14.20)
2
2201
axS −= (4.14.21)
ve genel olarak
[ ] x
annn tPtPn
S )()(12
111
0−+ −
+= (4.14.22)
(4.14.12) yardımıyla
93
2)()1()1)(1(
12)1)(1(
)2( 11
212
1 ≥−+−
−−
+−−
= −− ntPtnn
nSnn
nnS x
annn (4.14.23)
bulunur. (4.14.2), (4.14.4) ve (4.14.9) dan
[ ] x
annnn tPnttPnSS )()1()()3(2 102
++−++−= (4.14.24)
olur. (4.14.8) ve (4.14.9) dan
nn
nn
mn
mn
mn
PxnP
mnnPmn
mnxPmn
nP
211
11
1)12(
,0,11
12
−+=
≥≥+−
+−
+−+
=
++
−+
(4.14.25)
elde edilir. (4.14.6) dan
[ ]x
an
nnn
nn ttPSnnn
nS )()12)(32(
11 2
2 +−−+
= −− (4.14.26)
x
an
nnn tPt
nS )(1
21 1
12
1+++ −
+−= (4.14.27)
bulunur.
)(xPmn ve )(xS m
n in normalleştirilmişleri rekürans formüllerinin sonuçları çok büyük
olmasın diye kullanılabilir.
[ ])!()!(
122)(
21
1 mnmn
ndttPm
n −+
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
+=∫
−
(4.14.28)
olduğu için )(xP mn normalleştirilmiş Legendre fonksiyonları
94
)()!()!(
212
21
xPmnmnnP m
nm
n ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+−+
≡ (4.14.29)
ile tanımlanır. Buradan, sırasıyla (4.14.5), (4.14.12) ve (4.14.17) için
normalleştirilmiş formları aynı denklem numarasının üzerine çizgi koyarak elde
edilmiştir.
)()!()!(
212)(
21
xSmnmnnxS m
nmn ⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡+−+
≡
olmak üzere
)()1)(1(
)12)(32( 21
1 xPxmnmn
nnP mn
mn ⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡+−++
++=+ )5.14.4(
10,)()1)(1)(12(
))()(32(1
21
+≤≤⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+−++−
−++− − nmxP
mnmnnmnmnn m
n
11,)()1)(1(
)12)(32(2
1 21
2
+<≤⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+−++
+++−
− nmtPmnmn
nnn
t x
am
n ( )21.14.4
nmtPmnmnn
mnmnnt
tPmnnmnnt
Smnmn
mnmnmm
xS
x
am
n
x
am
n
mn
mn
<≤⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−++−−+++
−+
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡++−−−+
−+
⎩⎨⎧
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−+++−+
+−
=
−
+−
−+
2)())(1)(12()1)()(12()1(
)()1)(12()1)(12()1(
))(1()1)(()1(
11)(
12
1
2
11
21
2
12
1
1
)71.14.4(
95
olur. (4.14.18)-(4.14.27) denklemlerinin açılmışları normalleştirilmiş formda
( ) )13(21
25)(,)23()(,
21 22
1
22
1
10 −=== xxPxxPP
(4.14. )81
[ ] 2)1(3)( 2121
1 xxP −=
(4.14 )91
[ ] x
atttSaxS 121
10
0 sin143,)(
21 −+−=−= )02.14.4(
( ))(
22
322
21
01 axS −= )12.14.4(
} x
annn xPnn
tPnn
S )()12)(12(
1)()32)(12(
11
21
1
21
0−+ ⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡−+
−⎩⎨⎧
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡++
= )22.14.4(
x
an
nn
tPnnnn
nt
Snnn
nnnnnS
)()1)(1(
)12)(12(1
)1(
)1)(1)(32()2()12(
12
11
21
2
12
211
−
−
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−+−+
+−
−
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−+−
−++−
=
(4.14. )32
[ ]
0,)(1232
1
)(1
)12)(32()(
1
21
21
1
≥⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
−+
+−
+++
=
−
+
nxPnn
nn
xPxn
nnxP
n
nn
96
[ ]
⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
++
+−++−
−++=
+x
annn
n
tPnnntPnSx
nnnnS
)(3212)1()()3(2
)1()1)(2(
1
1
21
0
21
2
)42.14.4(
)()1(2232)( 2
122
11
1 xPxnnxP n
nn
n −⎥⎦⎤
⎢⎣⎡
++
=++ )52.14.4(
⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧
+⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−
+−+
= −−
x
an
nnn
nn PtS
nnnn
nS 2
2
21
)1(4)12)(12(
11 )62.14.4(
[ ] a
xn
nnn tPtn
nS )()1()1(2
21 1
12
1221
1+++ −+
+−= ( )72.14.4
olarak yazılır.
BÖLÜM 5. LEGENDRE POLİNOMLARININ UYGULAMALARI
5.1. FİZİKSEL PROBLEMLER
Legendre polinomlarının fiziksel problemlerdeki uygulamasını l uzunluğunda olan
homojen telin bir nokta etrafında dönüşümü probleminde göstereceğiz. Eğer havanın
etkisi ve telin ağırlığı dikkate alınmazsa , bu halde telin denge durumu düzlemin
üzerinde doğrunun sabit ω açısal hızı ile dönmesi şeklinde olacaktır. Bu telin denge
etrafında titreşim olayı yalnız o zaman meydana gelecektir. Eğer tel denge
durumundan çıkmış olsa yani telin noktaları düzlemin üzerinde hareket etmeseler,
telin titreşimini incelemek için tel doğrusallığını kaybetmeli ve onun noktaları ),( txu
fonksiyonu kadar düzlemin üzerinden çıkmış olmalıdır. Üstelik ),( txu kayma
fonksiyonu dönme düzlemine diktir.
Bu halde dönüşen telin tüm noktalarında noktasal ivme meydana gelmektedir ve iki
vektörden oluşmaktadır. Birisi x sabit uzunluğunda diğeri ise değişen u
uzunluğundadır. Üstelik u uzunluğu bir eksen etrafında dönüşen düzleme diktir.
Vektörlerin ikiside ω açısal hızı ile dönmektedirler.
),( txu fonksiyonu dönüşen düzleme dik olduğundan bu ),( txu fonksiyonları tüm
noktalarında )( 2 xω− kadar x ekseni yönünde ivme kuvveti oluşmakta ve bu da
2
2
tu
∂∂ kadar u yönüne doğru olmaktadır. Dayanak noktasından x uzaklığında olan
telin dx elemanını etkileyen kuvvet,
xdx 2ωρ ⋅ (5.1.1)
dir. Burada ρ telin yoğunluğudur.
98
Telin x noktasında oluşan gerilmesi telin ),( lx aralığındaki bütün noktalarının
etrafında oluşan elemanlarındaki gerilmelerin toplamına eşittir, yani ;
)(2
)( 222
2 xdxxxTx
−== ∫ ll ωρωρ (5.1.2)
dir. Bunları göz önüne alarak düzlemin üzerinde dönüşen telin serbest titreşiminin
denklemi,
dxxx
uxtudx
+⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡∂∂
−=∂∂ )(
222
2
2
2
lωρρ -
xxux ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡∂∂
− )(2
222
lωρ =
= dxxux
x ⎥⎦⎤
⎢⎣⎡
∂∂
−∂∂ )(
222
2
lωρ
biçiminde olmaktadır. Veya,
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡
∂∂
−∂∂
=∂∂
xux
xa
tu )( 2222
2
l ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
2
22 ωa (5.1.3)
dir. (5.1.3) denkleminin ‘Sınır ve Değer’ koşulları ise
00=
=xu (5.1.4)
,)(0
xfut
==
)(0
xFtu
t=
∂∂
= (5.1.5)
dir. (5.1.3) ve (5.1.4) probleminin çözümünü
)()( xXtTu = (5.1.6)
99
şeklinde arayalım.
(5.1.6) (5.1.3) de yerine yazılırsa
( )[ ]
)(
)(
)()(
22
2 xX
xXxdxd
tTatT ′−
=′′ l
(5.1.7)
elde edilir. (5.1.7) denkleminin sağ ve sol tarafları )( λ− ya eşitlenirse,
0)()( 2 =+′′ tTatT λ (5.1.8)
[ ] 0)()()( 22 =+′− xXxXxdxd λl (5.1.9)
denklemleri elde edilir.
ξl=x dönüşümü yapılırsa (5.1.9)
0)1( 2 =+⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡− X
ddX
dd λ
ξξ
ξ (5.1.10)
şekline dönüşür. Bu ise Legendre denklemidir.
Fiziksel anlama göre telin ),( txu yer değiştirme fonksiyonunun [ ]l,0 aralığında
sonlu değer alması gerekir. Buna göre (5.1.9) denkleminin çözümlerinin bu aralığın
uçlarıda dahil sonlu olması gerekir. Önceden gösterilmiş ( )1+= nnλ ler için
(5.1.10) Legendre denkleminin [ ]1,1 +− aralığında olan çözümleri 1±=ξ olarak
almaktadır. Bu çözümler )(ξnP Legendre polinomlarıdır. Burada –x değişkenine
dönülürse
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=l
xPxX n)( (5.1.11)
100
elde edilir. Polinomlar l±=x aralığında )1( += nnλ için (5.1.9) denkleminin sonlu
çözümüdür. (5.1.4) sınır koşulundan
0)0( =nP
dır. Bu ise 12 −= kn olduğunda geçerlidir. Burada k pozitif bir sayıdır.
Böylece (5.1.9) denkleminin
0)0( =X , =)(lX sınırlı (5.1.12)
koşullarından aşikar olmayan çözümleri,
)12(2 −= kkkλ (k=1,2,3,K ) (5.1.13)
parametrelerinin aldığı değerlerde mümkündür. Bu parametreler özdeğer olarak
adlandırılır.
Bu özdeğerlere uygun
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛= −l
xPxX k 12)( (5.1.14)
şeklinde fonksiyonun özdeğerleri vardır. (5.1.14) özdeğer fonksiyonlar sistemi [ ]l,0
aralığında ortogonal fonksiyonlar sistemini oluşturmaktadır.
nλλ = için (5.1.8) denkleminin genel çözümü
atkkbatkkatT kkk )12(2sin)12(2cos)( −+−= (5.1.15)
olur. (5.1.6) göz önüne alınırsa ),( txuk fonksiyonu
101
[ ] ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−+−= −l
xPatkkbatkkatxu kkkk 12)12(2sin)12(2cos),( (5.1.16)
biçimini alır. (5.1.16) fonksiyonu (5.1.3) denklemini ve (5.1.4) sınır koşulunda
istenen ka ve kb lar için sağlanmaktadır. ),( txu çözümünün elde edilmesi için
(5.1.5) başlangıç koşullarını sağlayan
[ ] ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−+−= −
∞
=∑
l
xPatkkbatkkatxu kkkk
121
)12(2sin)12(2cos),( (5.1.17)
serisi ele alınmalıdır. O halde bu seri
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛= ∑
∞
=−
l
xPaxuk
kk1
12)0,( (5.1.18)
)()12(2)0,(12
1
xFxPabkktxu
kkk
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−=
∂∂
−
∞
=∑
l (5.1.19)
koşullarını sağlar. (5.1.18) serisi düzgün yakınsak olarak kabul edildiğinde serinin
ka katsayılarının elde edilmesi için (5.1.18) eşitliğinin sağ ve sol tarafları ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
−l
xP k 12
ile çarpılır, x e göre 0 dan l ye kadar integral alınır ve özdeğer fonksiyonlarının
ortogonalliği göz önüne alınırsa
dxxPdxxPxf kk ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ ∫∫ −−
ll
ll
0
212
012)(
= kkk a
kdP
a14
)(2
212 −
=∫ −ll
ξξ
elde edilir. Buradan ka katsayıları
102
dxxPxfka kk ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−
= ∫ −ll
l
012)(14 (5.1.20)
şeklinde bulunur. Aynı şekilde kb katsayıları
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
−−
= ∫ −ll
xPxFkka
kb kk
1
012)(
)12(214 (5.1.21)
biçiminde bulunmaktadır.
Böylece problemin çözümü (5.1.17) serisi ile verilmektedir ve katsayıları ise (5.1.20)
ve (5.1.21) formülleri ile belirlenmektedir.
(5.1.17) serisi
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛+−= −
∞
=∑
l
xPatkkAtxu kkk
k 121
))12(2sin(),( ϕ (5.1.22)
biçiminde yazılırsa buradan şu anlaşılır. Telin dönüşüm zamanı oluşan küçük
titreşimler harmonik titreşimlerden oluşmaktadır. kω titreşimin frekansı
ωω )12(2)12(2 −=−= kkakkk
formülü ile hesaplanmaktadır.
Buradan sonuç olarak şunu vurgulamak gerekir. kω titreşimlerinin frekansları ω
açısal hızı ile bağımlıdır. Telin uzunluğu ve telin yoğunluğuna bağlı değildir.
BÖLÜM 6. SONUÇLAR VE ÖNERİLER
Bu tezde Legendre diferensiyel denklemi, Laplace denkleminin küresel
koordinatlarındaki ifadesinden yararlanılarak elde edilmiştir. Legendre diferensiyel
denkleminin çözümleri olan Legendre polinomları elde edilmiş ve onların
özelliklerinden bahsedilmiştir. Ayrıca Legendre polinomlarının fiziksel uygulaması
hakkında bilgi verilmiştir.
KAYNAKLAR
[1] ALİYEV, G.G., TURHAN, H.N., Özel Fonksiyonlar, Niğde Üniversitesi Fen Edebiyat Fakültesi, Ankara 2000.
[2] AYDIN, M., KURYEL, B. ,GÜNDÜZ, G., Diferensiyel Denklemler ve
Uygulamaları, E.Ü. Mühendislik Fakültesi, İzmir 2001 [3] BALCI, M., Analiz, Ankara Üniversitesi Fen Fakültesi, Eylül 1997 [4] DEMİRTAŞ, A., Ansiklopedik Matematik Sözlüğü, Bilim Teknik Kültür
Yayınları, Ankara 1986. [5] DİDONATO, A.R., Recurrence Relations for the Indefinite Integrals of the
Associated Legendre Functions, Mathematics of Computation Volume 38, Number 158, April 1982, Pages 547-551.
[6] GİORDANO, F. R., WEIR, M.D., Differential Equations A Modeling Approach, U.S Military Academy, 1989
.
[7] GÜR, Ş., Doğurucu Fonksiyonlar, Yüksek Lisans Tezi, Ankara Üniversitesi Fen Edebiyat Fakültesi, 1996.
[8] HASANOV, E. , UZGÖREN, G. , BÜYÜKAKSOY, A. , Diferensiyel Denklemler Teorisi, Mart 2002.
[9] ÖZER, N. , ESER, D. ,Diferensiyel Denklemler, Osmangazi Üniversitesi
Fen Edebiyat Fakültesi, Eskişehir 2000. [10] RAINVILLE, E. D. ,Special Functions. Mac Millan, New york 1960.
[11] WAYLAND, H., Differential Equations Applied in Science and
Engineering, California Institute of Technology, 1980
[12] YAŞAR, İ. B. , Diferensiyel Denklemler ve Uygulamaları , Ankara 1999.
[ ]13 http://mathworld.wolfram.com/LegendrePolynomial.html
105
ÖZGEÇMİŞ 1982 yılında Ankara’da doğdu. 1999 yılında girdiği Balıkesir Üniversitesi Necatibey
Eğitim Fakültesinden 2003 yılında mezun oldu. 2003 yılından beri Kocaeli ilinde
matematik öğretmeni olarak görev yapmaktadır.
top related