mécanique des fluides avancée
Post on 20-Jul-2016
105 Views
Preview:
TRANSCRIPT
REPUBLIQUE DU BENIN
Ministère de l’Enseignement Supérieur et de la
Recherche Scientifique
Université d’Abomey Calavi
Ecole Polytechnique d’Abomey Calavi
MECANIQUE DES FLUIDES AVANCEE
Enseignant :
Joël M. ZINSALO
1e Edition
Mécanique des Fluides Pour Ingénieurs
Page 2
Objectifs
A la fin du cours, l’étudiant doit être capable de :
� Décrire et expliquer la notion de fluide et le comportement des fluides
� Calculer les forces exercées par les fluides au repos.
� Appliquer les équations du mouvement d’un fluide dans des cas
d’écoulement simple.
� Expliquer et calculer les forces générées par le mouvement d’un fluide
� Évaluer l’énergie nécessaire à la mise en mouvement d’un fluide dans les
machines et circuits hydrauliques.
� Faire le dimensionnement des installations de transport des fluides dans
les canalisations libres ou les colonnes garnies et procéder aux choix des
pompes.
Contenu
Théorème de transport de Reynolds et applications.
Hydrodynamique de la Couche limite.
Mode d’évaluation
1 contrôle continu et 1 examen terminal
Bibliographie
1- Mécanique des fluides appliquée de Jean-Paul Beaudry et Jean-Claude
Rolland, 2011.
2- Mini Manuel de Mécanique des fluides : rappels de cours et exercices
corrigés, Arnault Monavon, Dunod, 2010
3- Mécanique expérimentale des fluides, Dunod, 2002, 5ème éd. Tome I :
Statique et dynamique des fluides non visqueux. Tome III : Recueil
d'exercices corrigés avec rappels de cours (Université Pierre et Marie Curie,
Paris).
Mécanique des Fluides Pour Ingénieurs
Page 3
Chapitre 1
THEOREME DE TRANSPORT DE REYNOLDS
1. Lois fondamentales de la mécanique des fluides
Les quantités intéressant les ingénieurs sont souvent exprimées en termes
intégrales.
Les quantités intégrales d’intérêt principal en mécanique des fluides sont régies
par trois lois fondamentales : conservation de la masse, première loi de la
thermodynamique et la seconde loi de Newton. Ces trois lois sont exprimées en
fonction d’un système, un ensemble fixé de particules de matériau. Par exemple,
en considérant l’écoulement à travers une tuyauterie, on peut identifier une
quantité fixée de fluide à l’instant t comme le système (voir figure)
Figure 1.1
Ce système pourrait donc mouvoir à la vitesse à la position � + ∆�. Chacun de ces
3 lois peut être appliquée à ce système.
1.1. Conservation de la masse
La loi régissant que la masse doit être conservée est « la masse d’un système reste
constante ».
La masse d’une particule fluide est ��� où �� est le volume occupé par une
particule et � est sa densité. Sachant que la densité peut changer d’un point à un
autre dans le système, la conservation de la masse peut – être exprimée par :
Système à l’instant t
Système à
l’instant � + ∆�
Mécanique des Fluides Pour Ingénieurs
Page 4
��� � ���� = 0�1.1� Où
��� est utilisé car on considère un sens spécifique de particules de matériau
que constitue le système.
1.2. Première loi de la thermodynamique
Elle s’énonce comme suit :
« le taux de transfert de chaleur à un système mois le taux auquel le système ne
peut travailler est égal au taux auquel l’énergie du système est changeante. »
Sachant que la densité et l’énergie spécifique peuvent changer d’un point à un
autre dans le système, la première loi de la thermodynamique peut être exprimée
par :
�� − �� = ��� � ���� = 0�1.2� où l'énergie spécifique comporte l’énergie cinétique, l’énergie potentielle et
l’énergie interne.
1.3. Deuxième loi de Newton
La 2e loi de Newton, appelée aussi l’équation de mouvement, s’énonce comme
suit :
« La force résultante agissant sur un système est égale au taux auquel le
mouvement du système est changeante. »
Le mouvement d’une particule fluide de masse ��� est une quantité vectorielle
donnée par ����; par conséquent la 2e loi de Newton est exprimée par :
� � = ��� � ����� �1.3� ���� � ����� �!"�#�$��&'"��&�#��#()*. &/,-
Sachant que la densité et la vitesse toutes deux changent d’un point à un autre
dans le système. Cette équation se réduit à ∑ � = &. � si � et � sont constantes à
travers tout le système ; � est souvent content mais en mécanique des fluides, le
vecteur vitesse change invariablement d’un point à un autre. De même, �/�� est
Mécanique des Fluides Pour Ingénieurs
Page 5
utilisé pour exprimer le taux de changement, car la 2nde loi de Newton, est
appliquée à un système.
2. Equation « mouvement de moment »
Cette équation résultant de la seconde loi de Newton s’énonce comme suit :
« le moment résultant agissant sur un système est égal au taux de changement
du moment angulaire du système ».
Cette équation est exprimée comme suit :
où / × 1234 représente le mouvement angulaire d’une particule fluide de masse
���. Le vecteur / situe la position de l’élément de volume �� et est mesurée de
l’origine des axes de coordonnées, le point relatif par rapport auquel le moment
résultant est mesuré.
Notes (Remarques) :
1) Dans chacune de ces lois fondamentales, la quantité intégrale est une
propriété extensive du système. On notera 5� pour exprimer cette
propriété extensive ; par exemple 5� peut – être la masse, le mouvement
ou l’énergie du système. Le membre gauche de l’équation (1) et les membres
droites des équations (2), (3) et (4) peuvent être exprimés par :
�5��� �1.5� Où 5� représente une quantité intégrale.
2) Il est aussi utile d’introduire la variable 7 pour la propriété intensive, c’est-
à-dire la propriété du système par unité de masse. La relation entre 5� et
7 est donnée par :
5� = � 7���� �1.6� Comme exemple, la propriété extensive de la 2nde loi de Newton est le
mouvement,
&'"��&�#��è:; = � ����� �1.7�
� = = ��� � / × 1234⬚� �1.4�
@A'�"$�����'A$�
Mécanique des Fluides Pour Ingénieurs
Page 6
Ici7 = �
Qui est une quantité vectorielle. La propriété intensive correspondante
serait le vecteur V. Donc la densité et la vitesse qui varient d’un point à un
autre dans le système peuvent être une fonction du temps comme dans un
écoulement transitoire.
3. Volume de contrôle
L’intérêt ici est de considérer une région de l’espace dans laquelle le fluide entre
et/ou en sort. Cette région est identifiée à la figure 8.2 suivante :
Figure 1.2
Où, on a montré la différence entre un volume de contrôle et un volume. Cette
figure montre ou indique que le système occupe le volume de contrôle à l’instant � et s’est partiellement déplacé du volume de contrôle à l’instant �� + ���. Puisqu’il est souvent plus convenable de se baser sur un volume de contrôle que
sur un système, la première tâche est de trouver une transformation qui nous
montrera comment exprimer la dérivée totale d’un système en fonction des
quantités relatives au volume de contrôle de sorte que les lois fondamentales
précédemment énumérées puissent être appliquées directement à un volume de
contrôle.
Système et volume de
contrôle identiques à
l’instant �
Système à
l’instant � + ∆� Volume de
contrôle à
l’instant � + ∆�
Mécanique des Fluides Pour Ingénieurs
Page 7
4. TRANSFORMATION SYSTEME – VOLUME DE CONTROLE
1. Considérons un élément d’aire �E de la surface de contrôle, l’aire de la surface
qui couvre entièrement le volume de contrôle. Le flux à travers l’aire
élémentaire �E (voir figure 8.3) est exprimé par :
� "Fà�A���A,�E = 7�#HHHI. �HHHI�E�1.8�
Figure 1.3
Où #HI un vecteur normal unitaire à l’élément d’air �E toujours dirigé à l’extérieur
du volume de contrôle.
7 représente la propriété ou grandeur intensive associée à a grandeur extensive
5� L’expression (8.8) donne une valeur négative si elle est relative à un influx (influx
interne) ;
Seule la composante normale #HHHI. �HHHI participe à ce terme de flux. S’il n’y a pas de
composante normale de la vitesse à une aire particulière, comme par exemple, la
paroi d’un tuyau, aucun flux n’apparaît à travers la surface.
- Si #HHHI. �HHHI > 0, alors il y a un flux sortant du volume de contrôle.
- Si #HHHI. �HHHI < 0, alors �HHHI��#HHHI ont des directions opposées, un flux entrant est
noté dans le volume de contrôle.
�HHHI
#HI
#HI #HI
#HI
�HHHI
�HHHI
�HHHI
�E
Mécanique des Fluides Pour Ingénieurs
Page 8
Le vecteur vitesse �HHHI peut faire un angle avec la direction de la normale unitaire
#HHHI, le produit vectoriel #HHHI. �HHHI prend en compte la composante appropriée de �HHHI qui
produit un flux à travers l’aire.
La propriété de flux net sortant de la surface de contrôle (s.c.) est obtenue par :
Si le flux net est > 0, le flux sortant est supérieur au flux entrant.
2. Considérons maintenant la dérivée totale de la propriété extensive 5� par
rapport au temps, soit �MNONP��
�5��� = limST→VNXYXT�t + ∆t� − NXYXT�t�∆� �1.10�
Le système est montré à la figure 8.4 aux instants ����� + ∆��. � Volume de contrôle fixé occupe les régions (1) et (2).
� Système à l’instant t occupe les volumes (1) et (2)
� Système à l’instant �� + ∆�� occupe les volumes (2) et (3).
Figure 1.4
Supposons que le système occupe tout le volume de contrôle à l’instant t. ce
volume de contrôle est supposé fixé dans l’espace, et le système se déplace à
travers ce volume de contrôle. Ainsi l’équation (10) devient :
�5��� = lim∆�→V5[�� + ∆�� + 5\�� + ∆�� − 5\��� − 5]���∆�
��] ��\
1
2
3
Mécanique des Fluides Pour Ingénieurs
Page 9
�5��� = lim∆�→V5\�� + ∆�� + 5]�� + ∆�� − 5\��� − 5]���∆�+ lim∆�→V
5[�� + ∆�� − 5]�� + ∆���∆� �1.11� Où, dans cette 2nde expression, on a simplement ajouté et retranché 5]�� + ∆�� au
numérateur, et où par exemple, 5\��� signifie la propriété extensive dans la
région 2 à l’instant t.
La 1ère limite dans le membre de droite se rapporte au volume de contrôle et on
peut écrire :
�5�Dt = lim∆T→VN_`�t + ∆t� − N_`�t�∆�+ lim∆T→V
N[�t + ∆t� − N]�t + ∆t�∆� �1.12�Le premier rapport du nombre de droite est
aMbca� , ce qui revient à écrire :
�5�Dt = dN_`dt + lim∆T→VN[�t + ∆t� − N]�t + ∆t�∆� �1.13�
A présent, on doit exprimer les quantités extensives 5[�� + ∆�� et 5]�∆� + ��; elles
dépendent des masses contenues dans des éléments de volume montées à la
figure 1.4 et à la figure 1.5 suivante :
��] = −#HHHI. �∆��E]��[ = #HHHI. �∆��E[
Figure 1.5
Notons que le vecteur unitaire #HHHI est toujours à l’extérieur du volume, et donc
pour obtenir un volume différentiel positif, un signe négatif est requis pour la
région 1. De même, le cosinus de l’angle entre le vecteur vitesse et la normale
�E] �E\
#HHHI
�∆� �∆�
#HHHI
Mécanique des Fluides Pour Ingénieurs
Page 10
unitaire est requis, donc la présence du produit vectoriel. Considérant la figure 5,
on a :
5[�� + ∆�� = � 7�#HHHI. �HIΔ��E[fg
5]�� + ∆�� = − � 7�#HHHI. �HIΔ��E]fg�1.14�
Reconnaissant que E] et E[ entourent entièrement le volume de contrôle, on peut
combiner les deux intégrales en une seule. Il vient :
5[�� + ∆�� − 5]�� + ∆�� = � 7�#HHHI. �HIΔ��Eh.i �1.15� Où la surface de contrôle (s.c) est l’aire entourant entièrement le volume de
contrôle. Substituant l’équation (1.15) dans l’équation (1.13), on obtient
l’équation de transformation système – volume de contrôle appelée couramment
le théorème de transport de Reynolds :
�5��� = ��� � 7���j.k + � 7�#HHHI. �HHHIh.i �E�1.16�
La première intégrale représente le taux de variation de la propriété extensive
dans le volume de contrôle. La seconde intégrale représente le flux de la
propriété extensive à travers la surface de contrôle.
Autre forme de l’équation (1.16) :
�5��� = � ll� �7����j.i + � 7�#HHHI. �HHHIh.i �E�1.17�
Où on a utilisé mm� puisque � et 7 sont en général dépendantes des variables de
position.
→ Simplifications de la transformation système – volume de contrôle
De nombreux écoulements d’intérêts sont des écoulements permanents, si
bien que mm� �ηρ� = 0, l’équation (8.17) devient :
�5��� = � 7�#HHHI. �HHHIh.i �E�1.18�
Mécanique des Fluides Pour Ingénieurs
Page 11
En outre, il y a souvent une seule aire E] à travers laquelle le fluide entre
dans le volume de contrôle et une aire E\ à travers laquelle le fluide sort du
volume de contrôle. En supposant que le vecteur vitesse est normal à l’aire
(voir figure 1.6).
Figure 1.6
On peut écrire : #]HHHHHI. �]HHHHI � ��] à travers l’aire E] et #\HHHHHI. �\HHHHHI � �\ à travers l’aire E\ .
Alors l’équation (8.18) devient :
�5��� � � 7\�\�\�Efp
� � 7]�]�]�Efq
�1.19� Il y a beaucoup de situations qui sont modélisés en supposant des propriétés
uniformes à chaque aire de plan et donc les équations simplifiées sont :
�5��� � 7\�\�\E\ � 7]�]�]E]�1.20� Où plus généralement :
�5��� � � 7s�s�tHHI. #tHHHI. EsM
su]�1.21�
Où N est le nombre d’aire.
Pour un écoulement transitoire dans lequel les propriétés sont supposées
uniformes à travers le volume de contrôle, l’équation de transformation système-
volume de contrôle prend la forme :
E\
E] #]HHHHI
#\HHHHI
�]HHHI
�\HHHI
Dispositif
Mécanique des Fluides Pour Ingénieurs
Page 12
�5��� � vj.k ��7���� + 7\�\�\E\ − 7]�]�]E]�1.22�
Pour une entrée et une sortie ayant des propositions uniformes.
5. CONSERVATION DE LA MASSE
Un système est un ensemble donné de particules fluides, donc sa masse doit être
fixée :
�w��� = ��� � ���� = 0�1.23� Ici, tout simplement 7 = 1, 5� représentant la masse du système,
5� = � 7����
Où 7 = 1. Donc le théorème de transport de Reynolds devient :
0 = ��� � ���j.k + � �#HHHI. �HHHI�E.k �1.24� 0 = � l�l� ��j.k + � �#HHHI. �HHHI�E.k �1.25�
- Si l’écoulement est permanent, on a :
� �#HHHI. �HHHI�E = 0�1.26� Qui pour un écoulement uniforme avec une entrée et une sortie, devient :
�\E\�\ = �]E]�]�1.27� Où #]HHHHHI. �]HHHHI = −�] et #\HHHHHI. �\HHHHHI = −�\
- Si la densité est constante dans le volume de contrôle, mxm� = 0 même si
l’écoulement est transitoire. L’équation de continuité (1.25) se réduit à :
E]�] = E\�\�1.28� Cette forme de l’équation de continuité est assez souvent utilisée
particulièrement pour l’écoulement des liquides et des gaz à faible vitesse.
Cas où les profils de vitesse à l’entrée et à la sortie ne sont pas uniformes
• Si la densité est uniforme sur chaque aire de surface, l’équation de
continuité devient :
Mécanique des Fluides Pour Ingénieurs
Page 13
�] � �]�Efq
� �] � �\�Efp
�1.29� ou
�]�]yyyyE] = �\�\z E\�1.30�
où �]z et �\z sont des vitesses moyennes respectivement aux sections 1 et 2
(voir figure 1.7).
Figure 1.7
• Le flux masse &� ou taux de masse de l’écoulement ou débit masse est :
&� = � ��{�Ef �1.31� En )*/, ; �{ est la composante normale de la vitesse.
• Le taux de l’écoulement Q ou le débit volume de l’écoulement est :
� = � �|f �E�1.32� En &[/, . Le débit masse est souvent utilisé en spécifiant la quantité
d’écoulement d’un fluide compressible et le débit volume pour un fluide
incompressible.
En fonction de vitesse moyenne, on a :
� = E�z �1.33� &� = �E�z �1.34�
Où, pour le débit masse, on suppose un profil de densité uniforme et la
vitesse normale à l’aire.
�\z
�z]
1
2
Mécanique des Fluides Pour Ingénieurs
Page 14
6. EQUATION D’ENERGIE
Pour un système, l’expression de l’équation d’énergie dans un volume de contrôle
est :
�� � �� � ��� � ����
��1.35�
�� représente le taux de transfert d’énergie à travers la surface de contrôle, due à
la différence de température.
�� est le taux de travail
� est l’énergie spécifique :
� = �\2 }~�~�
ks{é�s��;+ *�}~~�~~�
���;{�s;��;+ "� }��
��T����
(8.35) s’écrit encore :
�� − �� = ��� � ����j.k + � ���HHHIk . #HI�E�1.36�
En général, �� est défini par :
�� = � @#HHHI.k . ��E + �� h + �� � + ��;�1.37� Où
� @#HHHI.k . ��E ∶ tauxdetravailrésultantdelaforcedueàlapressionmouvante àlasurfacedecontrôle; onl�appelleaussidébitdetravail.
�� h : taux de travail résultant de la rotation des arbres �� ceux d'une pompe
ou d'une turbine où la puissance électrique équivalente
�� �: taux de travail du à la frontière mouvante
�� � : taux de travail qui apparaît quand le volume de contrôle se déplace par
rapport à une référence fixée.
(8.37) dans (8.36) donne :
�� − �� h − �� � − �� � = ��� � ����j.k + � �� + @��.k �#HI. �HI�E�1.38� Où : (puisque � = �p
\ + *� + "� ) :
Mécanique des Fluides Pour Ingénieurs
Page 15
�� � �� h � �� � � �� �� �
�� � �\2 + *� + "�¡ ���j.k + � �\
2 + *� + "� + @�¡�#HI. �HI�E.k �1.39� Cette forme générale de l’équation d’énergie est utile pour analyser les problèmes
d’écoulement de fluide qui comportent des effets transitoires et des profils non
uniformes.
• On définit les pertes comme étant la somme des termes représentant les
formes non utilisés de l’énergie :
¢�A��, = −�� + ��� � "£j.k ��� + � "£���.k + � "��#HI. �HI�Ek �1.40� Donc (8.39) s’écrit encore :
�� h − �� � − �� �= ��� � �\
2 + *�¡ ���j.k + � �\
2 + *� + @�¡ �#HI. �HI�E.k + ¢�A��,�1.41� Les pertes sont dues aux effets primaires :
1. La viscosité engendre les frottements internes qui se manifestent par
l’accroissement de l’énergie interne (de la température) ou du transfert
de chaleur.
2. Les changements de géométrie engendrent des écoulements séparés qui
nécessitent de l’énergie utile pour maintenir les mouvements
secondaires résultants résultant qui sont générés.
6.1. Ecoulement uniforme en régime permanent
Considérons une situation d’écoulement permanent dans laquelle il y a une
entrée et une sortie avec des profils uniformes. Supposons que �� � = �� � = 0. Pour
un tel écoulement, le terme ¤�p\ + *� + �
x¥ dans l’équation (8.41) est constant à
travers la section car � est constante, le profil de vitesse étant uniforme, et la
somme *� + �x est constant si les lignes de courant à chaque section sont
parallèles. Dans ce cas, l’équation d’énergie (8.41) se simplifie pour donner :
Mécanique des Fluides Pour Ingénieurs
Page 16
��� h � �\�\E\ �\\2 + *�\ + @\�\¡ − �]�]E] �]\2 + *�] + @]�]¡ + ¢�A��,�1.42� Où les indices 1 et 2 sont référés respectivement à l’entrée et la sortie. Le flux
massique est donné par
&� = �]�]E] = �\�\E\ En divisant par &� * on a :
− �� h&� * = �\\ − �]\2* + @\¦\ − @]¦] + �\ − �] + ℎ¨�1.43� Où on a introduit la perte de chargeℎ¨ définie par :
ℎ¨ = − �&� *� + "£\ − "£]* �1.44�
ℎ¨ est souvent exprimé en termes de coefficient de perte de charge par :
ℎ¨ = © �\2* �1.45�
Où V peut – être �] ou �\. Dans sa forme (1.43), l’équation d’énergie est utile dans beaucoup d’applications
et est, parfois la forme la plus souvent utilisée. Si les pertes sont négligeables, s’il
n’y a aucun travail mécanique d’arbre et si l’écoulement est incompressible,
l’équation d’énergie devient l’équation de Bernoulli suivante :
�\\2* + @\¦ + �\ = �]\2* + @]¦ + �]�1.46� L’équation d’énergie (1.41) peut être appliquée à tout volume de contrôle ; par
exemple, en considérant la figure 1.8 :
Figure 1.8
�\
¢] ¢\
�]
3 ,. �
�[
¢[
1 2
Mécanique des Fluides Pour Ingénieurs
Page 17
L’équation d’énergie pour l’écoulement uniforme, incompressible et permanent à
travers une canalisation en T dans laquelle on note une entrée et 2 sorties peut –
être écrite pour le flux massique qui sort de la section 3 :
�]\2* + @]¦ + �] = �\\2* + @\¦ + �\ + ℎ¨qªp
�]\2* + @]¦ + �] = �[\2* + @[¦ + �[ + ℎ¨qªg �1.47� Où les termes de pertes comportent les pertes entre l’entrée et les sorties
respectives.
Pour une pompe, le terme d’énergie associé «� N:� ¬est appelé la perte de la pompe �.
Pour une turbine, ce terme est noté ®. Ainsi l’équation d’énergie prend la forme :
� + �]\2* + @]¦ + �] = ® + �\\2* + @\¦ + �\ + ℎ¨�1.48� La puissance générée par la turbine de rendement 7® est calculée par :
�� ® = &� *®7® = �¦®7®�1.49� De même, la puissance d’une pompe le rendement 7¯ est :
�� ¯ = &� *¯7¯ = �¦�7� �1.50�
6.2. Ecoulement non uniforme en régime permanent
Dans ce cas, en pratique, on introduit le facteur de correction ° d’énergie
cinétique, définie par :
° = ± �[�E�y[E �1.51� Où �zest la vitesse moyenne sur l’aire A et donc :
� � �[�Ef = °��y[E�1.52� Avec ce facteur, on peut exprimer les distributions non uniformes de la vitesse en
modifiant l’équation (8.48) comme suit :
� + °] �]\yyyy2* + @]¦ + �] = ® + °\ �\\yyyy
2* + @\¦ + �\ + ℎ¨�8.53�
Mécanique des Fluides Pour Ingénieurs
Page 18
Pour un écoulement avec un profil parabolique dans la canalisation ° � 2. Pour la
plupart des écoulements turbulents internes, cependant le profil est presque
uniforme avec ° = 1,05 ≈ 1.
7. Equation de mouvement
7.1. Equation générale
La seconde loi de Newton appelée souvent l’équation du mouvement s’énonce ou
stipule que la force résultante agissant sur un système est égal au taux de
variation du mouvement du système lorsqu’il est mesuré (ou par rapport) dans le
système de référence inertielle, c’est – à – dire :
� � = ��� � ��HI��� �1.54� En remplaçant dans un théorème de transport de Reynolds 7 par �HHHI, (1.54) il
s’écrit pour un volume de contrôle sous la forme :
� � = ��� � ��HHHI��j.k + � ��HHHI.k ´�HHHI. #HHHIµ�E�1.55�
7.2. Equation de l’écoulement uniforme (application)
L’équation (8.55) se simplifie considérablement lorsqu’elle est appliquée à un
dispositif ayant des entrées et des sorties à travers desquelles la vitesse est
supposée uniforme et si l’écoulement est permanent. Dans ce cas,
� �HHHI = � �sEs . �s´�tHHI. #HHHIµM
sus�1.56�
Où N est le nombre d’aires de section, d’entrée et de sortie d’écoulement
Exemple 1 :
Mécanique des Fluides Pour Ingénieurs
Page 19
L’équation de mouvement devient :
� � � �\E\�\�\z � �]E]�]�]z �1.57� En utilisant l’équation de continuité
&� = �]E]�] = �\E\�\�1.58� � � = &� ��\ − �]��1.59�
Notons que l’équation de mouvement est une équation vectorielle. Si en
considérant l’exemple précédent on veut déterminer la composante �¶ de la force
du joint agissant sur le dispositif, ��]�¶ = �] et ��\�¶ = 0 et l’équation du
mouvement dans la direction F devient :
� �¶ = −��¶�·�s{� + @]E] = −&� �]�1.60� De façon similaire, on obtient ´�µ·�s{�.
Exemple 2 : écoulement à surface libre dans un canal rectangulaire est montré à
la figure suivante :
´�µ¸'$#� ´�¶HHHIµ¸'$#�
¹
@]E]
@\E\
º'$#� �
Mécanique des Fluides Pour Ingénieurs
Page 20
Force de l’écoulement sur une vanne dans un écoulement à surface libre.
En appliquant l’équation de mouvement, on a :
� �¶ � ��j»{{; + �] � �\ � &� ��\ � �]��1.61� Où �] et �\sont des formes de pression.
7.3. Ecoulement permanent non uniforme
Dans ce cas, on suppose des profils de vitesse uniformes en posant :
� �\�Ef = ¼�\yyyyE�1.62� Où on introduit le facteur de correction du mouvement ¼ défini par :
¼ = ± �\�E�\yyyyE �1.63�
L’équation du mouvement, pour un écoulement permanent, devient :
� � = � �s¼sEs�tHHI��s. #HI�M
su]�1.64�
Pour un écoulement laminaire avec un profil parabolique de la vitesse dans un
canal circulaire, ¼ = 4/3 . Si un profil est donné, cependant il est simplement
habituel d’intégrer en utilisant l’équation (1.55).
7.4. Equation du mouvement appliqué aux propulseurs
Considérons un propulseur illustré par la figue suivante :
�j»{{;
ℎ] ℎ\
�]HHHI
�\HHHI �\HHHI = 12 ¦ℎ\E\
�]HHHI = 12 ¦ℎ\E\
,. �
Mécanique des Fluides Pour Ingénieurs
Page 21
Figure 1.9 : propulseur dans un écoulement de fluide
L’équation de mouvement appliqué au volume de contrôle large montré sur la
figure donne :
� � &� ��\ � �]��1.65� Si le volume de contrôle est interne au propulseur de sorte que �[ = �½, l’équation
de mouvement donnerait :
� ≠ @[E − @½E = 0�1.66� � = �¢½ − ¢[�E�1.67�
Maintenant puisque les effets de viscosité devraient être assez faibles dans cet
écoulement, l’équation de l’énergie en aval du propulseur et en amont de celui-ci
est utilisé pour donner :
�]\ − �[\2 + @] − @[� = 0�1.68� �½\ − �\\2 + @½ − @\� = 0�1.68�
En combinant ces équations, sachant que @] = @\ = @»�:, on a : �2 ��\\ − �]\� = @½ − @[ En tenant compte de (1.67) dans (1.65), on a :
�[ = 12 ��\ + �]��1.69� Où on a utilisé &� = �E�[ La poussée hydraulique pour produire l’effet que la vitesse de l’écoulement du
fluide en mouvement à travers le propulseur est la moyenne des vitesses amont
�]HHHI �\HHHI �HHHI
�$A�E
¿$*#����'"A�#�
1
2
3 4
Mécanique des Fluides Pour Ingénieurs
Page 22
et aval est calculé en appliquant l’équation de l’énergie entre les sections 1 et 2
où les pressions sont atmosphériques.
En négligeant les pertes,
�� �a| � �\\ � �]\2 &� �1.70� Le propulseur mouvant a une pression donnée
���|�� = � × �] = &� �]��\ − �]��1.71�
D’où le rendement théorique du propulseur est alors :
7� = ���|���� �a = �]�[ �1.72�
Mécanique des Fluides Pour Ingénieurs
Page 23
Exercices
Exercice 1 :
De l’eau s’écoule à la vitesse uniforme de 3m/s à travers un tuyau dont le
diamètre est de 10cm à 2cm. Calculer la vitesse de l’eau sortant du tuyau et le
débit volume.
Figure 1.10
Solution : Le volume de contrôle est l’intérieur du tuyau comme indiqué sur la
figure. Le fluide entre dans le volume de contrôle à la section 1 et en sort à la
section 2. L’équation de continuité simplifiée (8.28) est utilisée :
E]�] � E\�\
�\ � �]E]E\
� 3 À�0,1�\/½À�0,02�\/½ = 75&/,
Le débit volume :
� = �]E] = 3 × À × �0,1�\/½ = 0,0236&[/,
Exercice 2 :
De l’eau tiède s’écoule à l’entrée et à la sortie d’un dispositif comme le montre la
figure suivante :
Prendre �] = 0,04&
Á = 10�& Á = 2�& ,. �
�]HHHI �\HHHI
1 2
Mécanique des Fluides Pour Ingénieurs
Page 24
Figure 1.11
Calculez le taux de variation de la masse d’eau ��&/���dans le dispositif.
Solution
Le volume de contrôle est choisi comme indiqué sur la figure. Pour la surface de
contrôle entourant le dispositif, l’équation de continuité, avec 3 surfaces à travers
lesquelles l’eau s’écoule, s’écrit (équation 1.24).
0 = ��� � ���j.k}~~�~~�:
+ � �7HHHI. �HI�E.k
= �&�� + Â−�]E]�] + �\E\�\}~�~�:�
+ �[E[�[}~�~�Ãg
Ä
Car #]HHHHI. �]HHHI = −�] ; #\HHHHI. �\HHHI = �\ et #[HHHHI. �[HHHI = �[ 0 = �&�� − �]E]�] + &\� + �[�[
⟹ �&�� = �]E]�] − &\� − �[�[ = 1000À�0,02�\�12� − �20� − �1000 × 0,01�
= −14,9)*/,
Donc la masse est décroissante à un taux de 14,9 kg/s.
Exercice 3 :
Un écoulement uniforme se rapproche d’un cycliste tel indiqué à la figure
suivante :
Dispositif �] = 12&/,
7\HHHHHI
7]HHHHHI 1
2
3 �[ = 0,01&[/,
&� \ = 20)*/,
Volume de
contrôle
Mécanique des Fluides Pour Ingénieurs
Page 25
Figure 1.12
La distribution de la vitesse à la position montrée en amont de la zone de sillage
du cylindre est approximée par :
"�¹� � 1,25 + ¹\4 ,− 1 < ¹ < 1
Où "�¹� est en m/s et y en m. déterminer le flux masse à travers la surface AB
par mètre de profondeur. Utiliser � = 1,23)*/&[.
Solution
Choisissons ABCD comme volume de contrôle. A l’extérieur du sillage (région de
l’écoulement retardé) la vitesse est constante à 1,5m/s. Donc la vitesse normale
au plan AD est 1,5m/s. Visiblement, aucun flux massique ne traverse la surface
CD. En supposant un écoulement permanent, l’équation de continuité devient :
0 = � ��HHHI.k . #HI�E
Du flux massique apparait à travers les surfaces AB, BC et AD. Donc l’équation
de continuité devient :
0 = � ��HHHIfÆÇ
. #HI�E + � ��HHHIfÇÈ
. #HI�E + � ��HHHIfÆÉ
. #HI�E
= &� fÊ + � �"�¹��¹ËV − � × 1,5
1,5&/,
1&
Ì
"�¹� #HHHI
�
Í E
Î
�' "&��� �'#�Aô �
#HHHI
#HHHI
E Í
Zone de sillage
1,5&/,
Mécanique des Fluides Pour Ingénieurs
Page 26
On intègre à l’extérieur de 1m au lieu de Hm, puisque la masse qui entre sur la
surface à gauche de 1m seulement, suivant la surface à droite avec aucun gain
ou aucune perte nette. Donc, posant � 1&, on a :
0 = &� fÊ + � 1,23 1,25 + ¹\4 ¡ �¹ − 1,23 × 1 × 1,5]
V
⟹&� fÊ = 0,205)*/,@�A&è�A�
Exercice 4 :
Déterminer le taux auquel le niveau d’eau (vitesse d’élévation) s’élève dans un
réservoir ouvert si l’eau entrant à travers une canalisation de 0,10&\ à une
vitesse de 0,5&/, et le débit sortant est de 0,2&[/,. Le réservoir a une section
latérale circulaire de 0,5& de diamètre.
Solution
Figure 1.13
En choisissant un volume de contrôle qui s’étend au – dessus de la surface d’eau
comme indiqué à la figure, l’équation de continuité devient :
��� � ���j.k + ��−�]�E] + ��\E\ = 0
⟹ ��� ���� − ��]E] + ��\ = 0
��� �À �\ℎ4 ¡ − ��]E] + ��\ = 0
À�\4 �ℎ�� − �]E] + �\ = 0 ⟹ �ℎ�� = �]E] − �\À�\/4
0,5&/,�\ = 0,2&[/,
ℎ
,"AÏ����� �'#�Aô �
E] = 0,1&\
Mécanique des Fluides Pour Ingénieurs
Page 27
Donc
�ℎ�� � �0,5��0,1� − 0,2À × �0,5�\/4 = −0,764&/,
Le signe (-) indique que le niveau d’eau est actuellement en baisse.
Exercice 5
Un venturi réduit le diamètre d’une tuyauterie de 10cm à 5cm.
Calculer le débit volume et le flux massique en supposant les conditions idéales.
Figure 1.14
Solution
Calcul du débit volume
eau
Ð � 1,2&
Ñ
¬
Mécanique des Fluides Pour Ingénieurs
Page 28
¢] − ¢\ = ¦Ñ + 13,6 × 1,2¦ − ¦�� + 1,2� � ¦� + 16,32¦ − ¦� − 1,2¦
¢] − ¢\ = 15,12¦ D’après l’équation de continuité :
E]�] � E\�\ ⟹ �\ � �]E]E\
⟹�\ � �]�]\�\\
⟹ �\ � 4�] Equation d’énergie dans les conditions idéales et sans pompes et turbines :
¢] � ¢\¦ + �]\ � �\\2* + �] − �\ = 0'A�] � �\ ⟹ �] � �\ � 0
Donc
¢] − ¢\¦ + �]\ − 16�]\2* = 0 ⟹ 15�]\ = 2* �¢] − ¢\¦ �
Or ¢] − ¢\¦ = 15,12
⟹ �] = Ò2* × 15,1215 = 4,45&/,
¬
eau ¢\¢]
Ñ
Ñ
0
Mécanique des Fluides Pour Ingénieurs
Page 29
�] = �]. E] = À�]\4 �] = 3,14 × �0,1�\4 × 4,45 ⟹ � � 0,035&[/,
Flux massique :
&� = �. � ⟹&� � 1000 × 0,035 ⟹ Ó� = ÔÕÖ×/Ø
Exercice 6
De l’eau s’écoule d’un réservoir à travers une canalisation de 0,8& de diamètre à
une turbine et sont dans une rivière qui est 30m au – dessous de la surface du
réservoir. Si le débit est 3&[/, et le rendement de la turbine est 80%, calculer la
puissance de sortie. Prendre le coefficient de perte de charge dans la canalisation
(incluant la sortie) égal à © = 2.
Solution
Le volume de contrôle utilisé s’étend de la section 1 à la section 2. En supposant
les surfaces de l’eau assez larges, les vitesses aux surfaces sont négligeables. La
vitesse dans la canalisation est :
� = �E = 3À × �0,8�\/½ = 5,968&/, Considérons les pressions de jauge (relatives) telles que @] � @\ � 0 . En
considérant le plan de référence à la section 2 la plus basse, c’est-à-dire �\ = 0; les vitesses �] et �\ sont sensiblement petites ou faibles ; © est supposé être basé
sur la vitesse dans la canalisation de 0,8m de diamètre. L’équation d’énergie (14)
devient alors :
�ÚuV
+ �]\yyyy2*ÚuV
+ @]¦ÛuV
+ �] � ® + �\\yyyy2*ÚuV
+ @\¦ÛuV+ �\ÛuV
+ © �\2*
30 = ® + 2 5,968\2 × 9,81 ⟹ ® = 26,4&
Rivière
Réservoir V
Turbine
�� ®
2
1
Mécanique des Fluides Pour Ingénieurs
Page 30
L’équation (8.49) s’écrit :
�® = �¦®7® = 3�9810��26,4��0,8� = 622000�
�® = 622)�
Exercice 7
La distribution de vitesse pour un certain écoulement dans une canalisation est
��A� � �:»¶ 1 − A\AV\¡
Où AVest le rayon de la canalisation :
Déterminer le facteur de correction de l’énergie cinétique.
AV ��A� /
AV
�A
�E � 2ÀA�A
A
Mécanique des Fluides Pour Ingénieurs
Page 31
CHAPITRE 2 :
HYDRODYNAMIQUE DE LA COUCHE LIMITE
L’hydrodynamique de la couche limite traite de l’écoulement au voisinage d’une
paroi pour de grands nombres de Reynolds. Dans de tels mouvements,
l’écoulement peut – être approximativement divisé en deux zones : i) une zone
proche de la paroi, de très faible épaisseur, appelée couche limite, où l’influence
des forces de frottement est importante et ii) une zone éloignée de la paroi,
appelée fluide libre, où l’influence des forces de frottement est négligeable.
Dans ce chapitre, on étudiera les équations de la couche limite. Les conséquences
de la couche limite sur l’écoulement le long d’une plaque sans et avec gradient de
pression y seront également abordées, ainsi que la résistance des obstacles
(objets) de forme différente en mouvement relatif.
1. Description de la couche limite
1.1. Notion de couche limite
Pour un écoulement à nombre de Reynolds important, on peut considérer le
fluide comme étant parfait. Cependant, une telle approximation n’est plus valable
pour un mouvement de fluide au voisinage d’une paroi (rigide).
On a constaté expérimentalement que pour les écoulements à nombre de
Reynolds élevé les effets des tensions totales sont limités à une couche de faible
épaisseur située près de la paroi, appelée couche limite, dont le concept et la
théorie ont été avancés par Prandtl.
La notion de couche limite est développée ici pour le cas d’une plaque ayant un
angle d’attaque nul par rapport à un écoulement de vitesse d’approche, ÜÝ (voir
figure 1 et 2). Il n’y a pas de variation de pression @�F, ��, dans les directions
parallèle ou normale à la plaque.
Dans un écoulement à couche limite, on distingue deux domaines :
Mécanique des Fluides Pour Ingénieurs
Page 32
i) un domaine où l’influence des tensions totales (voir équation 9.20) est
limitée à une région d’épaisseur Þ proche de la paroi (surface du corps),
qu’on appelle couche limite.
ii) un domaine extérieur à cette couche limite, où se situe l’écoulement du
fluide libre et parfait, dans lequel l’influence des tensions totales est nulle.
Figure 2.1
Dans la couche limite, les tensions totales, ßà¶���, changent rapidement dans le
plan normal à l’écoulement ; la variation de la vitesse, "y���, est importante :
i) elle est égale à zéro à la paroi, "y = 0, - adhérence des particules de fluide-
ii) elle s’approche à une valeur confondue avec la vitesse de l’écoulement à
fluide libre, "y � ÜÝ, à la distance Þ.
Par conséquent, dans la couche limite où a lieu la déperdition d’énergie, le
gradient de vitesse, �"y/��, est élevé et l’écoulement retardé.
L’extension de la couche limite à partir de la paroi est définie par l’épaisseur de
la couche limite, Þ. Il faut cependant signaler que ces domaines ne sont pas
nettement délimités, il y a transition entre eux et le flux de masse est continu.
L’épaisseur de la couche limite, Þ�F�, croît le long de la paroi dans le sens de
l’écoulement du fluide.
Mécanique des Fluides Pour Ingénieurs
Page 33
L’écoulement dans la couche limite peut aussi bien être laminaire que turbulent.
1.2. Développement de la couche limite
Quand la couche limite se développe (voir figure 9.2) le long d’une paroi, on
constate qu’à partir du bord d’attaque, á, l’écoulement reste laminaire, mais qu’à
partir d’une certaine distance, âk = áá′yyyyy, l’écoulement peut devenir turbulent. Le
passage entre ces deux types d’écoulement se fait dans une zone de transition. A
l’intérieur de l’écoulement turbulent, tout près de la paroi, il subsiste une couche
très mince appelée sous – couche visqueuse.
La distance, âk, sur laquelle la couche limite reste laminaire, est déterminée à
partir d’un nombre de Reynolds critique ainsi défini :
ä�k| = ÜÝâkå ≡ Î���2.1� Pour une plaque plane, on donne :
5.10ç < ä�k| < 3.10è valeur qui dépend du degré de turbulence dans l’écoulement du fluide libre
Le développement de la couche limite le long de deux plaques parallèles ou le long
d’une conduite cylindrique droite (voir figure 9.3) est semblable à son
développement le long d’une seule plaque (voir figure 9.2). a une certaine
distance, appelée longueur d’entrée, ∆ é , les couches limites – laminaires ou
turbulentes se rencontrent. Après cette longueur d’entrée, l’écoulement est
complètement développé.
Mécanique des Fluides Pour Ingénieurs
Page 34
Figure 2.2
Pour une conduite de section circulaire, on a trouvé expérimentalement pour la
longueur d’entrée :
∆ é �⁄ = 0,06ä�couchelimitelaminaire
50 L ∆ é �⁄ L 100couchelimiteturbulente
où � est le diamètre de la conduite et ä� � ÜÝ� å⁄ un nombre de Reynolds de
l’écoulement.
Pour un écoulement permanent dans une conduite, la région où la couche limite
est complètement développée représente un cas particulier et important.
Mécanique des Fluides Pour Ingénieurs
Page 35
Figure 2.3
1.3. Variation longitudinale de la pression
Jusqu’ici on a traité du développement d’une couche limite le long d’une plaque
plane (figure 9.2) avec une variation de pression longitudinale nulle :
l@lF = 0
On suppose à présent que la variation des pressions longitudinales est différente
de zéro :
l@lF L 0ou l@
lF K 0�2.2� On admet que (voir équation 9.14) qu’il n’y a pas de variation de pression
perpendiculairement à la plane à travers la couche limite :
l@l� � 0
A noter que la pression dans la couche limite est soumise aux mêmes gradients
de pression que le fluide libre.
La présence d’un gradient de pression, ��@ �F⁄ � ¾ 0 , exerce une influence
importante sur la formation de la couche limite (voir figure 9.15)
Mécanique des Fluides Pour Ingénieurs
Page 36
Figure 2.4
Le gradient de pression négatif ou favorable, �@/�F < 0 , est accompagné (voir
figure 9.4a) d’une augmentation de vitesse, (écoulement extérieur accéléré)
�ÜÝ/�F K 0, dans le sens de l’écoulement (convergent) selon F. Cela s’explique par
l’équation intrinsèque du mouvement stationnaire du fluide libre (équation 9.3)
selon F : ÜÝ �ÜÝ�F + 1
��@�F � 0 �2.3�
Par conséquent, les profils de vitesse, "y, s’adaptent selon la variation de vitesse,
ÜÝ , dans le fluide libre. L’épaisseur de la couche limite, Þ�F� , laminaire ou
turbulente, augmente moins vite que pour un écoulement avec variation de
pression nulle.
Mécanique des Fluides Pour Ingénieurs
Page 37
Le gradient de pression positif ou défavorable, �@/�F > 0, est accompagné (voir
figure 9.4b) d’une diminution de vitesse, (écoulement extérieur décéléré)
�ÜÝ/�F < 0, dans le sens de l’écoulement (divergent) selon F (voir équation 9.3).
Une forte décélération dans la couche limite, Þ�F�, laminaire ou turbulente, peut
provoquer un décollement. Près de la paroi, où la vitesse devient très faible,
l’énergie cinétique, usée par le frottement de la paroi, peut devenir insuffisante
pour combler l’augmentation de la pression. Par conséquent, il peut se produire
un renversement de l’écoulement : c’est le décollement. Le point, ì , à partir
duquel, ce phénomène se produit, est appelé point de séparation ou de
décollement. La zone de décollement dite sillage, s’étend souvent, mais pas
toujours, à l’infini. Quand il y a décollement, la notion de couche limite perd sa
signification et l’écoulement ne reste plus parallèle à la paroi.
Le décollement, qui est accompagné d’une formation de tourbillons, joue un rôle
important dans les écoulements importants autour d’obstacles (sphère, cylindre,
etc.) et peut avoir de graves conséquences au point de vue technique, ceci par
une augmentation de la traînée et de la perte.
Pour retarder voire supprimer un décollement, il existe des remèdes :
i) Eviter une forte décélération quand l’angle d’attaque demeure ° ≤ 7°, ii) Provoquer artificiellement par la mise en place d’un petit obstacle une
couche limite turbulente, reconnue pour se décoller moins facilement
que la couche limite laminaire, ou
iii) Aménager dans les parois une série de trous ou de fentes, par lesquels
on aspirera la couche limite.
2. Epaisseur de la couche limite
Pour l’étude d’un écoulement à couche limite, la définition de son épaisseur, Þ,
joue un grand rôle. Il est devenu courant de la définir de la façon suivante :
a) Þ ≡ ÞÝ épaisseur conventionnelle
b) Þ ≡ Þ∗ épaisseur de déplacement
c) Þ ≡ ð épaisseur d’impulsion ou de quantité de mouvement
Mécanique des Fluides Pour Ingénieurs
Page 38
On définit également un facteur de forme de la couche limite qui est donné par le
rapport :
= Þ∗/ð
Chacune de ces épaisseurs a un sens physique et on constate que ÞÝ > Þ > ð
Les expériences montrent que l’épaisseur de la couche limite, Þ (voir figure 9.2),
est proportionnelle à la distance du bord d’attaque, F , et au coefficient de
viscosité, ñ (ou de coefficient de mélange, ò), et inversement proportionnelle à la
vitesse à l’infini, ÜÝ, et à la masse volumique, �. On écrit :
Þ ∝ ñ. F�. ÜÝ �2.4� et, avec des considérations dimensionnelles, on trouve :
ÞF ∝ ÒåFÜÝ ∙ 1F = Ò åÜÝF�2.4�� Cette relation peut être généralisée comme suit :
ÞF = õ ∙ 1ä�¶: �2.5� avec ä�¶ = ÜÝF/å; õ est un coefficient de proportionnalité et & est une constante,
les deux dépendant du type d’écoulement, laminaire ou turbulent, et du gradient
de pression selon l’équation (2.4a), l’épaisseur relative, Þ/F, de la couche limite
est d’autant plus grande que le nombre de Reynolds, ÜÝF/å, est petit.
Si l’on admet une épaisseur de Þ ≡ ÞÝ , on pourra donner & et õ pour les
écoulements uniformes laminaire (voir équation 2.33) et turbulent (voir équation
2.43) respectivement :
&� = 12 ; õ� = 5,0 &� = 15 ; õ� = 0,37
Mécanique des Fluides Pour Ingénieurs
Page 39
En général, l’épaisseur d’une couche limite turbulente est plus importante que
celle d’une couche limite laminaire.
L’épaisseur conventionnelle, ÞÝ, est la hauteur à laquelle la vitesse, "y, atteint 99%
de la vitesse de l’écoulement libre, ÜÝ ; par conséquent, "y = 0,99ÜÝ (voir figure
2.5).
Figure 2.5
L’épaisseur de déplacement, Þ∗ , est la hauteur à laquelle il faut déplacer
fictivement la paroi pour maintenir le flux de masse. Ainsi, on écrit (voir figure
2.5) :
�ÜÝÞ∗ � � � �ÜÝ � "y���ÝV
L’épaisseur de déplacement est donnée par :
Þ∗ � 1ÜÝ � �ÜÝ � "y���Ý
V� � �1 � "y
ÜÝ� ��ÝV
�2.6�
L’épaisseur d’impulsion ou de la quantité de mouvement, ð , est la hauteur à
laquelle il faut déplacer fictivement la paroi pour maintenir le flux de quantité de
mouvement. Ainsi, on écrit :
�ÜÝ\ ð � � � �ÜÝ � "y� "y ��ÝV
Mécanique des Fluides Pour Ingénieurs
Page 40
L’épaisseur de l’impulsion , ð, est donné par :
ð = � "yÜÝ �1 − "yÜÝ� ��ÝV �2.7�
Ainsi, l’épaisseur d’impulsion, ð , exprime la perte de quantité de mouvement
nécessaire pour surmonter les forces de frottement dans la couche limite.
3. Equation hydrodynamique de la couche limite
3.1. Etablissement des équations
Le mouvement du fluide dans la couche limite, � < Þ, et celui du fluide libre,
� K Þ, sont étroitement liés.
Supposons que l’écoulement laminaire dans la couche limite soit permanent,
l/l� = 0 , et bidimensionnel, �HI�", 0, ö� , et que le fluide soit incompressible. La
couche limite se développe le long d’une plaque plane. L’écoulement du fluide
libre est donné par la vitesse libre, ÜÝ, et par la pression @ = @Ý.
L’écoulement est décrit par :
i) Les équations de Navier–Stokes , selon F et �
ii) L’équation de continuité.
Pour un écoulement à couche limite, certaines approximations sont justifiées.
On propose d’introduire pour les directions selon F et � les grandeurs
caractéristiques suivantes (voir figure 2.6) :
i) longueurs caractéristiques : ¿ et Þ
ii) vitesses caractéristiques :ÜÝ et �÷
iii) pressions caractéristiques : ∏ ¶ et ∏ à
L’épaisseur de la couche limite étant mince par rapport aux distances
longitudinales, la longueur caractéristique Þ selon � est d’un ordre de grandeur
inférieure à la longueur caractéristique ¿ selon F; on écrit :
Þ¿ ≪ 1�2.8�
Mécanique des Fluides Pour Ingénieurs
Page 41
On considère ensuite pour chacune des équations de Navier – Stokes et de
continuité l’ordre de grandeur de chaque terme.
Figure 2.6
L’équation de continuité est donnée par :
l"lF � löl� = 0�2.9� ÜÝ¿ �÷Þ
L’ordre de gradient de ces deux termes doit être le même ; par conséquent, on
écrit :
�÷ ~ÜÝÞ¿ �2.10�
Dans cette équation, étant donné que �Þ/¿� ≪ 1 , on a ��÷ ÜÝ⁄ � ≪ 1 . Par
conséquent, l’écoulement dans la couche limite est presque parallèle à la paroi.
L’équation de Navier–Stokes selon F, est donnée par :
" l"lF + ö l"
l� � �1�l@lF + å l\"
lF\ + l\öl�\ ¡�2.11�
ÜÝ\¿ �÷ÜÝÞ ~ ÜÝ\¿ ∏¶�¿ νÜÝ¿\ νÜÝÞ\
Mécanique des Fluides Pour Ingénieurs
Page 42
a) On constate que les deux termes dus aux forces d’inertie sont du même ordre
de grandeur.
b) Les deux termes dus aux forces de frottement sont d’un ordre de grandeur
différent, étant donné que �Þ ¿⁄ � ≪ 1 ; donc le premier terme peut être négligé
par rapport au deuxième.
c) L’ordre de grandeur des termes d’inertie et des termes de frottement implique
que :
ÜÝ\¿ ~νÜÝÞ\ L’épaisseur peut être alors estimée ainsi :
Þ ∝ ¿üä�¨ ; ä�¨ = ÜÝ¿ν
qui confirme bien la relation donnée par l’équation (9.4a), où F = ¿.
d) Etant donné la faible épaisseur relative, Þ/¿, de la couche limite (voir équation
9.8), le nombre de Reynolds de l’écoulement est très grand.
L’équation de Navier–Stokes selon �, en négligeant la gravité est donnée par :
u lwlF � w lwl� = −1� l@l� � ν l\wlF\ �l\wl�\ ¡�2.12� ÜÝ�÷¿ ~ÜÝ\¿\ �÷\Þ ~ ÜÝ\ Þ¿\ ∏à�Þ ν�÷¿\ ~ νÜÝÞ¿[ ν�÷Þ\ ~ νÜÝ¿Þ
i) On constate que les deux termes dus aux forces d’inertie sont du même de
grandeur ; étant donné que �Þ/¿� ≪ 1 (voir équation 9.8) tous les deux sont
très petits.
ii) Les deux termes dus aux forces de frottement sont d’un ordre de grandeur
différent ; le premier terme peut être négligé par rapport au deuxième, mais
le dernier est très petit également.
Dans les deux équations (2.11 et 2.12), on constate que les termes de pression
doivent être du même ordre de grandeur que les autres termes les plus
importants, donc :
∏¶�¿ ~ÜÝ\¿ ~νÜÝÞ\
Mécanique des Fluides Pour Ingénieurs
Page 43
∏à�Þ ~ÜÝ\ Þ¿\ ~νÜÝ¿Þ
et par conséquent on écrit :
∏à∏¶ ~Þ\¿\ �2.13�
Etant donné que �Þ/¿� ≪ 1, il est évident que ∏à ≪ ∏¶; la variation verticale de la
pression est donc négligeable et l’équation de Navier – Stokes selon �; équation
2.12, s’écrit :
0 = − 1� l@l� �2.14� La pression reste constante à travers la couche limite et sa valeur est la même
que celle dans le fluide libre, @ = @Ý. Ceci est une conclusion importante de la
théorie de la couche limite.
En résumé, les équations de Navier – Stokes et de continuité s’écrivent ainsi :
þ�þ�� � ��þ
�� = −�2���� � ���þ��� ��.�Õ� = −�2���� ��.�Õ� �þ�� � ���� = ��.���
Telles sont les équations hydrodynamiques de la couche limite laminaire
bidimensionnelle, ou équations de Prandtl, valables dans la couche limite, � < Þ,
avec les conditions aux limites suivantes :
" = ö = 0@'"A� = 0�2.17� " = ÜÝ�F�@'"A� = Þ�� → ∞�
On remarque que l’écoulement permanent dans le fluide libre, � K Þ, est décrit par
l’équation intrinsèque selon F, (voir équation 9.3) :
Mécanique des Fluides Pour Ingénieurs
Page 44
ÜÝ �ÜÝ�F � 1��@Ý�F = 0�2.18� et après intégration, on obtient l’équation de Bernoulli :
� ÜÝ\2 � @Ý = Î���2.18�� Dans le fluide libre, il n’y a évidemment pas de variation de la pression selon �. La
pression, @Ý, reste constante, @ = @Ý, et s’imprime à travers la couche limite.
En remplaçant l’équation 2.18 dans l’équation 2.15, les équations de la couche
limite s’écrivent :
" l"lF � ö l"l� = ÜÝ �ÜÝ�F � ν l\"l�\ �2.19� l"lF � löl� = 0�2.16�
Les caractéristiques du mouvement bidimensionnel et permanent d’un fluide
incompressible dépendent de deux inconnues, " et ö; donc les deux équations,
équations 2.19 et 2.16, sont suffisantes pour les résoudre. La vitesse libre, ÜÝ,
est donnée par l’équation 2.18a.
3.2. Ecoulement turbulent
Les équations de la couche limite, équations 2.19 et 2.16, sont valables pour un
écoulement laminaire, où les tensions visqueuses sont données par l’équation
(2.19b). on peut aussi écrire l’équation 2.15 ainsi :
l"lF � löl� = − 1�l@lF � ll� �ß�� �2.19�� Où ß = ßà¶, défini par :
ßච= ñ l"l� �2.19Ð� Pour un écoulement turbulent, les tensions tangentielles totales sont donnés par :
Mécanique des Fluides Pour Ingénieurs
Page 45
ßච= ñ l"yl� − ��"�ö�yyyyyy��2.20� on peut alors écrire les équations de la couche limite ainsi :
"y l"yl� � öz l"yl� = − 1�l@̅lF � å l\"yl�\ − ll� �"�ö�yyyyyy��2.21� 0 = − 1�l@̅l� �2.14��
l"yl� �lözl� = 0�2.22� où "y et öz ainsi que @̅ sont des vitesses et des pressions moyennes temporelles et
�´"�ö′yyyyyyµ représente les tensions de Reynolds.
3.3. Ecoulement uniforme
Les équations de la couche limite sont simplifiées pour un écoulement à vitesse,
ÜÝ, constante et l’équation �9.18� donne :
�ÜÝ�F = 0et �@̅�F = 0
Les équations �9.21� et �9.22� se réduisent donc à :
"y l"yl� � öz l"yl� = ll� �ßà¶� ��2.23� l"yl� �lözl� = 0�2.22�
Lorsqu’on a affaire à un écoulement le long d’une plaque à incidence nulle, ces
équations sont utilisées avec l’équation �2.19Ð� ou l’équation �2.20� , selon que
l’écoulement considéré est laminaire ou turbulent.
4. Equation intégrale de Karman
4.1. Etablissement de l’équation
Le calcul de la couche limite à l’aide des équations différentielles données par les
équations �2.21� et �2.22� est en général peu commode et assez long.
Mécanique des Fluides Pour Ingénieurs
Page 46
On propose donc de trouver une solution globale en prenant l’intégrale des
équations différentielles, ce qui donne une méthode approximative pour le calcul
de la couche limite. Une relation utile entre la tension de frottement sur la paroi,
ßV, et la répartition de la vitesse longitudinale, "y, peut ainsi être établie.
Les équations de la couche limite pour un écoulement bidimensionnel permanent
et incompressible, équation �2.21� et �2.22� seront intégrées par rapport à �, entre
� = 0 et � = ℎ, où ℎ ≥ Þ. On les écrit respectivement comme suit :
� �"z l"yl� � öz l"yl� − ÜÝ �ÜÝ�F � ���
V=� ll� �ßà¶� ����
V �2.24�
öz = � �lözl� � ���
V= − � �l"yl���
V���2.25�
La substitution de l’équation �2.25� dans l’équation �2.24� donne :
� �"z l"yl� −l"yl� � �l"yl���
V�� − ÜÝ �ÜÝ�F ����
V= − ßV� �2.24��
où la tension de frottement sur la paroi, ßV est obtenue par :
� lßà¶l� ���
V= (0 −ßV-
En intégrant par partie le deuxième terme dans la parenthèse, on obtient :
��l"yl� � l"ylF ���
V����
V=ÜÝ � l"ylF ���
V− � "y l"ylF ���
V
et ensuite on récrit l’équation �2.24�� comme suit :
� �2"y l"ylF − ÜÝ l"ylF −ÜÝ �ÜÝ�F ����
V= − ßV� �2.24Ð�
Cette relation peut aussi être écrite ainsi :
Mécanique des Fluides Pour Ingénieurs
Page 47
��F � "y�ÜÝ − "y����
V� �ÜÝ�F ��ÜÝ − "y����
V=� ßV� �2.26�
Dans les deux intégrales, il est possible de prendre ℎ → ∞ du fait que l’intégrant
s’annule en dehors de la couche limite.
En utilisant les définitions d’épaisseur d’écoulement, Þ∗ , données par l’équation
�2.6� et d’épaisseur d’impulsion ð , donnée par l’équation �2.7� on peut écrire
l’équation �2.26� ainsi :
ßV� = ��F �ÜÝ\ ð� � Þ∗ÜÝ �ÜÝ�F �2.27� Telle est l’équation intégrale de Karman, ou équation globale de la quantité de
mouvement dans la couche limite, applicable aux écoulements laminaires ou
turbulents.
Pour pourvoir utiliser l’équation intégrale de Karman, équation �2.27� , il faut
connaître au préalable les répartitions de la vitesse longitudinale, "y, à travers la
couche limite.
L’équation �2.27� peut aussi s’écrire comme suit :
ßV�ÜÝ\ = �2ð � Þ∗� 1ÜÝ�ÜÝ�F � �ð�F �2.28�
ou encore
ßV�ÜÝ\ = ð� � 2� 1ÜÝ�ÜÝ�F � �ð�F �2.28��
où = Þ∗ ð⁄ est le facteur de forme de la couche limite.
Au lieu de ßV = �"∗\ , on utilise souvent une définition du coefficient de frottement
global sur la paroi, telle que :
�� = ßV�ÜÝ\ /2 = 2 "∗\ÜÝ\ �2.29� qui est un nombre adimensionnel
Mécanique des Fluides Pour Ingénieurs
Page 48
4.2. Ecoulement uniforme
Pour un écoulement permanent, uniforme et sans gradient de pression (voir
équation �2.18�), on a :
�ÜÝ�F � 0�� �@Ý�F � 0
Ensuite l’équation 2.27 se réduit à :
ßV� � ÜÝ\�ð�F �2.30�
Le taux de variation de l’épaisseur d’impulsion, ð, suffit alors pour déterminer les
tensions de frottement sur la paroi, ßV. La croissance de l’épaisseur d’impulsion, ð , peut être calculée avec l’équation
2.30 où
�ð�F = ßV��ÜÝ\ � = ��2 �2.31� L’équation 2.31 met en évidence que la variation de l’épaisseur d’impulsion, Þ ≡ ð,
diminue le long d’un écoulement à couche limite (voir figure 2.7) ; l’épaisseur Þ,
elle – même croît ; et que la tension de frottement sur la paroi, ßV , diminue
également.
Figure 2.7
Mécanique des Fluides Pour Ingénieurs
Page 49
4.3. Ecoulement à gradient de pression
En utilisant l’équation 2.18 selon x :
ÜÝ �ÜÝ�F = − 1� �@̅�F �2.18� On écrit l’équation 2.27 ainsi :
� ��F �ÜÝ\ ð� = ßV �1 � Þ∗ßV�@̅�F��2.27��
On définit :
Þ∗ßV �@̅�F = ¼ comme étant le paramètre d’équilibre de Clauser, qu’on utilise pour paramétriser
un écoulement avec gradient de pression longitudinale.
5. Ecoulement sans gradient de pression
On étudie ici le cas de l’écoulement plan le long d’une plaque mince, d’envergure
et de longueur L, infinies. L’angle d’attaque par rapport à la vitesse d’approche,
ÜÝ, est nul.
Dans ce cas, la vitesse d’écoulement du fluide libre est constante partout,
ÜÝ = �'#,�; aucune variation de pression n’a lieu. On écrit (voir équation 2.18b) :
�ÜÝ�F = 0�� �@Ý�F = 0 Les équations de couche limite prennent alors la forme suivante :
"y l"ylF � öz l"yl� = ll� �ßà¶� ���'$Aé!"��$'#�2.23�� l"yl� �lözl� = 0��'$Aé!"��$'#�2.22��
Avec les conditions aux limites :
Mécanique des Fluides Pour Ingénieurs
Page 50
"y = öz = 0@'"A� = 0 "y =ÜÝ@'"A� = Þ�2.17��
Les tensions tangentielles totales sont données par :
ßච� ñ l"yl� � ��"�ö�yyyyyy��2.20�
valables pour les écoulements turbulents et laminaire si les tensions de Reynolds,
��"�ö�yyyyyy�, sont négligeables.
5.1. Couche limite laminaire (figure 9.8)
Pour un écoulement laminaire, les tensions tangentielles totales, ßà¶,données par
l’équation �2.20�, sont confondues avec les tensions dues à la viscosité, donc :
ßච� ñ l"l� �2.19Ð�
Figure 2.8 :
On obtient une solution aux équations de la couche limite équation 2.23 et
équation 2.19b avec équation 2.22, en prenant les hypothèses de Blasius :
i) Les profils de vitesse sont auto-similaires ou affines le long de la plaque ;
Mécanique des Fluides Pour Ingénieurs
Page 51
ii) La répartition de vitesse est donnée par :
"ÜÝ = �� ¤�Þ¥ �2.32� où ����/Þ� est la même fonction quelle que soit sa position F, le long de la
plaque.
Pour l’écoulement laminaire, l’épaisseur de la couche limite, Þ, est donnée par :
Þ ∝ Fä�¶] \⁄ �2.4�� avec ä�¶ = ÜÝF �⁄ . Donc l’équation (2.32) peut être écrite comme suit :
"ÜÝ = �� ¤�F ä�¶] \⁄ ¥ �2.32�� La solution théorique proposée par Blasius, ainsi que des résultats
expérimentaux sont donnés à la figure 2.9 pour les composantes de vitesse selon
Fet�, donc pour u et w.
L’épaisseur conventionnelle de la couche limite, ÞÝ, est donnée par la relation :
ÞÝ ≅ 5 Füä�¶ ,ð = 0,992�2.33� Les épaisseurs de déplacement, équation (2.6) et d’impulsion équation (2.7) sont
calculés respectivement par les relations :
Þ∗ = 1,73 Füä�¶ ,ð = 0,664 Füä�¶ �2.34� et = Þ∗ ð⁄ = 2,59.
On remarque que : 0 < Þ∗ < ÞÝ.
La couche laminaire se développe donc selon une parabole à partir du bord
d’attaque (voir figure 9.8) donc Þ ∝ √F.
Mécanique des Fluides Pour Ingénieurs
Page 52
Figure 2.9
Sur la figure 2.9, on constate aussi que :
�ÜÝ = 0,86üä�¶ à "ÜÝ = 0,992 Par cette frontière, où � ≥ ÞÝ, le fluide pénètre dans la couche limite.
La tension de frottement sur la paroi, ßV, est donnée par :
ßV = ��ÜÝ\ � �ð�F �2.30� En utilisant l’équation �2.34�, et après différentiation, on obtient :
ßV = 12 ∙ 0,664üä�¶ ��ÜÝ\ �
qui montre que ßV ∝1 √F⁄ (voir figure 2.8). avec la définition du coefficient de
frottement local sur la paroi, (équation �2.29�), on a :
�� � ßV� ÜÝ\ 2⁄ � 0,664üä�¶ �2.35�
Mécanique des Fluides Pour Ingénieurs
Page 53
où ä�¶ = ÜÝF å⁄ .
On peut en déduire que la force de frottement moyenne s’exerçant sur une face
de la plaque de longueur ¿ et de largeur Ð est :
�� = Ð � ßV�F��F¨
V= 1,328üä�¨¡�ÜÝ
\2 �п��9.36� où ä�¨ = �ÜÝ¿/å� et �п� est une surface sur laquelle ßV�F� est intégré.
Utilisant la relation générale pour la force hydrodynamique due au frottement, on
écrit :
�� = Î��п�� ÜÝ\2 �2.37� où �п� est la surface pour une plaque mouillée sur une seule face ; pour une
plaque mouillée sur les deux faces, on prendra �2п�. Î� représente le coefficient
de frottement moyen sur la plaque ; on le définit ainsi :
Figure 2.10
Mécanique des Fluides Pour Ingénieurs
Page 54
Î� = 1¿ � ���F¨
V
donnée ici par :
Î� = 1,328üä�¨ �2.38� A la figure 2.10, l’équation �2.38� est comparée avec des données expérimentales.
La loi de frottement, équation �2.38� est valable en écoulement laminaire,
ä�¨ < 5. 10ç (figure 2.13). on constate une bonne concordance pour ä�¨ K 5. 10[ .
une déviation par rapport à la théorie est évidente pour de faibles ä�¨. Les erreurs
introduites par l’intégration de ßV�F� peuvent expliquer cette déviation.
5.2. Couche limite turbulente
A partir d’une certaine distance, âk , du bord d’attaque O, de la plaque (voir
équation 2.1) l’écoulement laminaire devient turbulent.
En mouvement turbulent les tensions totales tangentielles, ßචsont données par :
ßච= ñ �"y�� − ��"�ö�yyyyyy��2.20� Une solution aux équations de la couche limite, donnée par les équations 2.23 et
2.20, était possible pour une couche limite laminaire (paragraphe 5.1) mais elle
est impossible pour une couche limite turbulente. On est alors obligé d’utiliser
des méthodes approximatives en faisant l’hypothèse d’une répartition de vitesse.
La répartition de vitesse pour un écoulement turbulent est développée en détail
au chapitre FR3 ; elle est donnée par :
i) les relations "y"∗ = �"∗å ; "y"∗ = 5 ln ¤�"∗å ¥ ; Ü:»¶ − "y"∗ = 1� ln �Þ�� � Π� �2 − ö� ¤�Þ¥�
ii) la relation empirique proposée par Prandtl.
Mécanique des Fluides Pour Ingénieurs
Page 55
Figure 2.11
Cette relation empirique, encore appelée loi de puissance est donnée par
l’expression :
"yÜÝ = ¤�Þ¥]/� �2.39� qui est valable pour ä�¶ < 10�, aussi bien pour une plaque lisse que pour une
plaque rugueuse. Mais cette relation n’est pas valable au voisinage de la paroi, où
une autre relation de Prandtl donnée sous la forme :
ÜÝ"∗ � 8,74 �Þ"∗å �]/� �2.40� peut être proposée ; elle est valable pour de faibles nombres de Reynolds.
Dans la relation (2.40), "∗ est la vitesse de frottement et vaut "∗ � üßV �⁄ .
La répartition de vitesse pour un écoulement turbulent (2.39) peut être comparée
avec celle pour un écoulement laminaire, équation (2.32), comme le montre la
figure 2.12.
La tension de frottement sur la paroi, ßV, est donnée par :
Mécanique des Fluides Pour Ingénieurs
Page 56
ßV = ��ÜÝ\ � �ð�F �9.30�
Figure 2.12
avec la définition de l’épaisseur d’impulsion :
ð = � "yÜÝ �1 � "yÜÝ� ���2.7�Ý
V
Puis on écrit une expression pour ßV � �"∗\ en utilisant l’équation �2.40�: ßV � 0,0225��ÜÝ\ ��å ÞÜÝ⁄ �]½�2.30��
La substitution de l’équation (2.7) dans l’équation (2.30) tout en utilisant
l’expression de la répartition de vitesse, équation (2.39), donne :
ßV = ��ÜÝ\ �� ��F � ¤�Þ¥]� �1 � ¤�Þ¥]�� ��Ý
V �2.41�
Après intégration et en l’égalant à l’équation �9.30��, on obtient :
Mécanique des Fluides Pour Ingénieurs
Page 57
772 �Þ�F = 0,0225 � åÞÝÜÝ�]/½ �2.42� où Þ ≡ ÞÝ. Après séparation des variables et intégration, on obtient l’expression
pour l’épaisseur conventionnelle de la couche limite turbulente :
ÞÝ = 0,37 Fä�¶]/ç �2.43� A noter que la couche limite turbulente croît selon F½/ç (voir figure 2.11), donc
plus rapidement que la couche limite laminaire qui se développe suivant F]/\
(équation �2.33�). Les épaisseurs d’impulsion et de déplacement sont données par :
ð = 772 ÞÝ; Þ∗ = 18ÞÝ; �� = Þ∗ ð⁄ = 1,28 L’équation �2.42� permet de calculer le coefficient de frottement local sur la paroi,
soit :
�� = ßV��ÜÝ\ � 2⁄ = 0,045 � åÞÝÜÝ�]/½ �2.42�� qui devient en utilisant l’équation (2.43) :
�� = 0,0576ä�¶!] ç⁄ �2.42Ð� où ä�¶ = ÜÝ F å⁄ .
La force de frottement qui s’exerce sur une face de la plaque, de longueur ¿, et de
largeur Ð, est calculée à partir de :
�� = Î��п�� ÜÝ\2 �2.37� et avec le coefficient de frottement moyen de la plaque :
Î� = 0,074ä�!̈] ç⁄ �2.44� où ä�¨ = ÜÝ ¿ å⁄ .
Mécanique des Fluides Pour Ingénieurs
Page 58
Il faut cependant noter que l’équation (2.39), donc l’équation (2.44) également,
n’est pas valable pour ä�¨ K 10�, mais qu’il est possible d’utiliser une relation de
Schlichting en remplacement :
Î� = 0,455�logä�¨�!\.ç#�2.44�� Cette équation a été obtenue en admettant une répartition logarithmique de
vitesse ; rappelons que pour obtenir l’équation �2.44�, on a admis une relation
exponentielle (2.39).
Les deux relations pour l’écoulement turbulent équations (2.44) et (2.44a) sont
représentés à la figure 2.13, ainsi que l’équation (2.38), pour l’écoulement
laminaire. On note ici que le coefficient de frottement de la couche limite
laminaire est inférieur à celui de la couche limite turbulente, d’où l’intérêt de
maintenir autant que possible un écoulement laminaire.
Si la plaque de longueur ¿ , se trouve dans une couche limite laminaire et
turbulente (figure 2.11), le coefficient de frottement, � , englobe la fraction
laminaire de áâkyyyyy, plus la fraction turbulente de âk¿yyyyy. Le coefficient de frottement
de la plaque, Î�, est moins important que son estimation avec l’équation �2.44� ou
l’équation �2.44�� . une formule pour la zone de transition est donnée par
Schlichting :
Î� = 0,455�logä�¨�!\,ç# −E ä�¨⁄ �2.45� où la contrainte A, est donnée par :
ÜÝâk/å 3.10ç 10è 3.10è
E 1050 3300 8700
Cette relation, équation (2.45) est aussi indiqué à la figure 2.13.
On voit cependant à la figure 2.13 qu’au – delà de ä�¨ > 3. 10� la couche limite est
presque totalement turbulente, la contribution de la fraction laminaire étant
négligeable. La relation donnée par l’équation (2.44) est alors valable quelle que
soit la longueur de la plaque.
Mécanique des Fluides Pour Ingénieurs
Page 59
Dans la couche limite turbulente, tout près de la paroi, il existe une très mince
couche appelée semi – couche visqueuse. Son épaisseur est exprimée par :
Ш = 5 å"∗
En utilisant l’équation �2.29�, on peut écrire :
Þ¨ � 5å 1ÜÝ Ò2��
Où �� est le coefficient de frottement local donné par l’équation �2.42��.
Figure 2.13
Mécanique des Fluides Pour Ingénieurs
Page 60
Figure 2.14
La rugosité de la surface d’une paroi exerce une grande influence sur les
caractéristiques de la couche limite, donc sur la référence.
En partant des études de Nikuradse, Schlichting a proposé des valeurs de
coefficient de frottement moyen de la plaque, Î�, qui sont représentées à la figure
2.14, où chaque courbe correspond à une valeur constante de la rugosité relative,
) ¿⁄ . La rugosité est donc paramétrisée par une rugosité relative ) ¿⁄ , où ) est la
rugosité standard, considérée comme la rugosité de grain de sable selon
Nikuradse, et ¿ est la longueur de la plaque. Des valeurs de rugosité standard,), utilisées habituellement pour les surfaces (conduites) industrielles sont données
au chapitre PP.2.4 (voir Tableau PP.2.)
La figure 2.14 montre une relation de la forme suivante :
Î� = Ï�ä�¨ ,¿ )⁄ '" ÜÝ) å⁄ ��2.46�
Mécanique des Fluides Pour Ingénieurs
Page 61
où la ligne pointillée délimite (à droite la région où l’écoulement est pleinement
rugueux et où le coefficient de frottement, Î�, ne dépend que de l’inverse de la
rugosité relative, ¿ )⁄ ; Schlichting propose la relation suivante :
Î� = $1,89 + 1,62 log � ¿)�%!\,ç# �2.47� qui est valable pour 10\ < �¿/)� < 10è. A noter que la figure 2.14 est établie pour
une couche limite turbulente commençant instantanément au bord d’attaque,
donc OO′yyyyy = zéro (voir figure 2.11)
6. Ecoulement avec gradient de pression
On étudie ici le cas de l’écoulement plan le long d’une plaque mince, d’envergure
et de longueur, ¿, infinies, (voir figure 2.4) soumis à un gradient de pression
longitudinal.
Dans ce cas, la vitesse de l’écoulement du fluide libre varie le long de la plaque. Il
est rappelé que l’équation intrinsèque d’un mouvement stationnaire s’écrit
comme suit :
ÜÝ �ÜÝ�F + 1� �@̅�F = 0 �2.18� Pour simplifier, on néglige le poids du liquide ; mais on peut toutefois en tenir
compte en substituant @̅ ∗ = �@̅ + �*�� pour @̅.
Ensuite on distingue deux cas :
a) l’écoulement accéléré : la vitesse augmente, �ÜÝ �F⁄ > 0, et par conséquent
la pression diminue, �@̅ �F⁄ < 0 ; dans le sens de l’écoulement ;
b) l’écoulement décéléré : la vitesse diminue, �ÜÝ �F⁄ < 0, et par conséquent la
pression augmente, �@̅ �F⁄ > 0 ; il peut y avoir décollement.
Les deux types d’écoulement sont décrits un peu plus haut. (paragraphe 1.3) et
représenté à la figure 2.4
Mécanique des Fluides Pour Ingénieurs
Page 62
Les équations pour l’écoulement dans la couche limite selon F sont représentés
par :
"y l"yl� � öz l"yl� = ÜÝ �ÜÝ�F � ll� �ßà¶� � �2.21� l"ylF � lözl� = 0�2.22�
avec les conditions aux limites suivantes :
"y = öz = 0@'"A� = 0 "y = ÜÝ@'"A� = Þ�2.17��
Les tensions tangentielles totales sont données par :
ßච= ñ l"ylF − ��"�ö�yyyyyy��2.20� valables pour l’écoulement turbulent et pour l’écoulement laminaire où les
tensions de Reynolds, �´"′ö′yyyyyyµ, sont négligeables.
La vitesse du fluide libre le long de la plaque peut être donnée sous la forme
d’une simple fonction de puissance :
ÜÝ�F� = ÎF:�2.48� où Îet& sont des constantes. Pour & K 0 il y a écoulement accéléré et pour
& < 0 il y a écoulement décéléré le long de la plaque ; pour & = 0, l’écoulement
reste uniforme.
A la figure 2.15, on représente schématiquement la répartition de vitesse dans
une couche limite pour les écoulements suivants :
a) uniforme, avec �@̅�F = 0��& = 0 b) accéléré, avec �@̅�F < 0��& K 0
Mécanique des Fluides Pour Ingénieurs
Page 63
c) décéléré, avec �@̅�F K 0��& < 0
Par rapport à l’écoulement uniforme, l’écoulement accéléré a un profil de vitesse
avec un plus grand coefficient de remplissage, l’écoulement décéléré, par contre,
présente un profil de vitesse avec un coefficient de remplissage plus petit.
Figure 2.15
La tension de frottement sur la paroi, ßV, est donnée par :
ßV�ÜÝ\ � �ð�F � ð� � 2� 1ÜÝ �ÜÝ�F �2.28�� ou
ßV�ÜÝ\ = �ð�F � ð� � 2� 1�ÜÝ\ ���@̅�F� �2.28Ð� où � Þ∗ ð⁄ est un facteur de la forme de la couche limite.
On peut écrire :
ßV � Ï � "yÜÝ , �@̅�F� La forme de cette fonction sera donnée ci – après.
Mécanique des Fluides Pour Ingénieurs
Page 64
6.1. Couche limite laminaire
Pour une méthode approximative de calcul de la couche limite laminaire, donnée
par les équations (2.19) et (2.16) est proposée par Pohlhausen, en supposant que
la répartition de la vitesse est donnée par :
"ÜÝ�F� = �� ¤�Þ¥ � Λ)� ¤�Þ¥�2.49� où ��et)�sont des polynômes de 4e degré, et ensuite Λ étant le facteur de forme
de Pohlhausen ainsi défini :
Λ = ÞÝ\å ∙ �ÜÝ�F �2.50� Pour une valeur donnée de Λ , on obtient une répartition de vitesse comme
indiquée à la figure 2.16.
Le domaine de validité est :
−12 < Λ < �12 Si Λ < −12, un décollement se produit (figure 9.4) ; si Λ K �12, on a " ÜÝ⁄ K 1, ce
qui est exclu pour un écoulement stationnaire.
Pour un écoulement uniforme, ÜÝ = Î�� et �@ �F⁄ = 0 , la valeur de Λ devient : Λ = 0
Mécanique des Fluides Pour Ingénieurs
Page 65
Figure 2.16
On écrit alors la répartition de vitesse donnée par l’équation (2.49) comme suit :
"ÜÝ =�� ¤�Þ¥ ≡ �� ¤�Þ¥ qui est une expression qu’on utilise pour remplacer celle de Blasius, ��, donnée
par l’équation (2.32).
Avec la répartition de vitesse de l’équation (2.49), on peut calculer :
i) l’épaisseur de déplacement donnée par l’équation �2.6�: Þ∗ÞÝ � 310 � Λ120 �2.51� ii) l’épaisseur d’impulsion donnée par l’équation (2.7)
ðÞÝ � 37315 − Λ945� Λ\9072�2.52�
A noter que les valeurs obtenues pour Λ � 0 sont comparables aux valeurs
données par les équations �2.33� et �2.34�.
Mécanique des Fluides Pour Ingénieurs
Page 66
La tension due au frottement à la paroi, ßV = ñ�l" l�⁄ �àuV , et le coefficient de
frottement, ��, sont donnés respectivement par :
ßV = ÜÝÞÝ ñ �2 � Λ6� �2.53� ��2 = ßV�ÜÝ\ = � �ÞÝÜÝ� �2 � Λ6�
Il existe un autre facteur de forme tel que :
© = ð\å �ÜÝ�F
où ð est l’épaisseur d’impulsion. On écrit également :
© = Λ � ðÞÝ�\ en utilisant l’équation �2.50�. Le facteur de forme de Pohlhausen, équation �2.50� , est une quantité
adimensionnelle qui peut être aussi écrite ainsi :
Λ = ÞÝ\å �ÜÝ�F = ÞÝ\ñÜÝ �−�@�F� = ÞÝßV �−�@�F��2.50�� Avec ßV = ñ�ÜÝ ÞÝ⁄ � comme tension de frottement sur la paroi.
Λ est interprété comme le rapport entre les forces dues aux pressions et celles
dues aux viscosités, ou encore comme le rapport du gradient longitudinal des
forces de pression au gradient transversal des forces de viscosité.
6.2. Couche limite turbulente
La répartition de vitesse pour un écoulement turbulent est donné par la loi
vitesse déficitaire selon Coles :
ÜÝ − "y"∗ = 1� ln �Þ�� � Π� �2 − ö� ¤�Þ¥� �2.54�
Mécanique des Fluides Pour Ingénieurs
Page 67
Cette relation est valable à travers toute la couche limite, à l’exception de la
couche visqueuse, donc dans la zone délimitée par 0,01 < ��/Þ� < 1,0. On a défini
la fonction de sillage de Coles par :
ö� ¤�Þ¥ ≅ 2 sin\ ¤À2 �Þ¥ �2.54�� où Π est une constante qui dépend du gradient de pression longitudinal ; n peut
donc écrire :
Π = Ï ��@̅�F� �2.55� Le gradient de pression adimensionnel suivant est ainsi proposé (paragraphe
4.3) :
¼ = Þ∗ßV �@̅�F �2.56� On l’appelle paramètre d’équilibre de Clauser, où ßV est la tension de frottement
sur la paroi et Þ∗ l’épaisseur de déplacement. Pour un écoulement en équilibre, la
valeur de ¼ doit rester constante.
Le paramètre de Clauser, ¼, qui donne le gradient de pression adimensionnel,
représente un rapport entre les forces dues à la pression et celles dues au
frottement. Pour l’écoulement turbulent, on paramétrise le gradient de pression
par ¼, et pour un écoulement laminaire par Λ (voir équation (2.50a)) ; les deux
peuvent être comparés.
Ensuite une expression empirique proposée par White pour les écoulements en
équilibre mais valables approximativement aussi pour ceux en non – équilibre est
donnée par :
Π ≅ 0,8�¼ � 0,5�V,�ç�2.57� D’où l’on tire les conclusions suivantes :
a) Pour les écoulements sans variations de pression :
�@̅�F = 0; ¼ = 0; ��Π ≅ 0,5
Mécanique des Fluides Pour Ingénieurs
Page 68
b) Pour les écoulements avec augmentation de pression :
�@̅�F K 0; ¼ K 0��Π K 0,5 c) Pour les écoulements avec diminution de pression :
�@̅�F < 0; ¼ < 0��Π < 0,5 A noter que pour ¼ = −0,5 on obtient Π = 0; donc le terme de sillage dans
l’équation (2.54) va disparaître.
Il faut signaler que l’influence due à un gradient de pression, �@̅ �F⁄ ,
i) est en général limitée à la zone extérieure de la couche limite,
ii) peut-être remarquée dans la zone intérieure, où s’applique la loi
logarithmique – à noter qu’avec une forte diminution du gradient de
pression une tendance à une diminution de la turbulence (laminarisation)
se manifeste –,
iii) est sans influence sur la région visqueuse.
La répartition de vitesse pour des surfaces lisses et rugueuses, selon l’équation
(9.54), est représentée à la figure 9.17 pour des variations longitudinales de
pression. On constate :
a) ¼ = 0
Π ≅ 0,55
dans le cas d’un écoulement à couche limite
sans gradient de pression, déterminés à partir
des données de Zippe et Graf et de Klebanoff ;
b) ¼ K 0
Π K 0,55
dans le cas d’un écoulement à couche limite
avec gradient de pression positif, déterminés à
partir des données de Clauser �¼ ≅ 2��¼ ≅ 7�; c) ¼ < 0
Π < 0,55
dans le cas d’un écoulement à couche limite
avec faible gradient de pression négatif,
déterminés à partir des données de Herring et
Norbury �¼ = −0,35��¼ = −0,53�;
Mécanique des Fluides Pour Ingénieurs
Page 69
et dans le cas d’un écoulement dans les canaux,
déterminés à partir des données de Reichardt
�¼ < 0�.
Figure 2.17
Le coefficient de frottement est donné par (voir équation (2.28.a)) :
��2 � ßV�ÜÝ\ � �ð�F � ð� � 2� 1�ÜÝ\ �� �@̅�F� �2.28Ð� Qualitativement, on voit que :
i) pour �@̅ �F⁄ � 0, on a ¼ � 0 et le coefficient de frottement, �� ≅ ��� , est
donné par :
��V = 0,0225 �ÜÝÞÝå �!]/½ �2.42�� puis avec �ð ÞÝ⁄ � = 7 72⁄ , on obtient :
��� = 0,0126 �ÜÝðå �!]/½ �2.58� ii) pour �@̅ �F⁄ K 0, on a ¼ K 0 et selon l’équation (2.28b), le coefficient de
frottement, ��*, est :
��* < ��� iii) pour �@̅ �F⁄ < 0, on a ¼ L 0 et on obtient l’inverse, donc :
��! K ���
Mécanique des Fluides Pour Ingénieurs
Page 70
Il n’existe actuellement pas de relation entre la répartition de vitesse, équation
(2.54), et le coefficient de frottement ��, mais on dispose de différentes relations
empiriques :
i) Schlichting propose d’utiliser le coefficient de frottement, ��, de la même
façon que pour un écoulement sans gradient de pression, mais pour
une vitesse d’approche variable, ÜÝ�F� ; donc l’équation (2.40a) ou
plutôt de l’équation (2.58).
ii) A partir de résultats expérimentaux, Ludwieg et Tillmann proposent la
relation empirique suivante :
��2 = ßV�ÜÝ\ = 0,123 . 10!V,è�#Ë �ÜÝðå �!V,\è# �2.59� où = Þ∗/ð est un facteur de forme qui est :
��@̅ �F⁄ � < 0 < 1,4 accélératif ��@̅ �F⁄ � = 0 ≅ 1,4 '" �1,27� ��@̅ �F⁄ � > 0 > 1,4 décélératif
L’équation (2.59) est valable pour 1,2 < < 2,4 et devient l’équation (2.58) pour
≅ 1,36.
Mécanique des Fluides Pour Ingénieurs
Page 71
Exercices
Exercice 1
Une plaque plane lisse de 15 m de long et de largeur unitaire se trouve immergée
dans un écoulement d’eau à 20°C. L’angle d’attaque par rapport à la vitesse
d’approche est nul. Il s’établit un courant parallèle à la plaque.
i) Déterminer la vitesse d’approche pour que la couche limite reste laminaire
sur toute la longueur de la plaque.
ii) Calculer et tracer l’épaisseur de la couche limite, laminaire ou turbulente,
le long de la plaque pour une vitesse d’approche de 0,5 m/s supérieure à
celle déterminée au cas ($). iii) Quelle est la répartition des tensions de frottement le long de la plaque, ßV,
pour le cas (i) ?
iv) Quelle est la force hydrodynamique de frottement, ��, sur la plaque lisse
pour le cas (ii) ?
On donne å = 1,004.10!è &\ ,⁄ .
Exercice 2
Une plate–forme sous–marine carrée de 80m de côté est immergée en mer. Sa
rugosité relative est estimée à �) ¿⁄ � = 2.10!ç. i) Déterminer la force de frottement exercée sur la plate – forme pour un
courant marin moyen de 1cm/s.
ii) Pendant une tempête, le courant est multiplié par le facteur 100. Quelle
est alors la force de frottement en résultant ?
iii) Pour quelle vitesse de courant l’influence de la rugosité est – elle
négligeable ?
iv) Un caisson de 5m de haut est placé au centre de la plate – forme. Est –
il entièrement compris dans l’épaisseur de la couche limite dans les
conditions (i) et (ii)
Mécanique des Fluides Pour Ingénieurs
Page 72
Exercice 3
Un fluide incompressible se déplace le long d’une plaque poreuse avec une vitesse
U dans la zone à l’extérieur de la couche limite. Une partie de ce fluide pénètre
dans le milieu poreux à une vitesse uniforme �V telle que �V ≪ Ü . Trouver la
relation intégrale de quantité de mouvement ("intégral momentum relation") pour
ce cas spécial de couche limite.
Exercice 4
Une bonne approximation de la distribution de vitesse dans une couche limite
laminaire pour un écoulement incompressible sur une plaque plane est :
" ÜÝ⁄ = �7 + Ð7\ + �7[; 'ù7 = ¹/Þ
a) Ecrire les conditions aux frontières.
b) Trouver les constantes a, b, et c.
c) Calculer Þ∗, ð, ßV,��Þ.
Ü
" Þ
�
top related