.Problemas Propuestos1. Dada la recta L :2x+4 y=4, halle su pendiente y su gráfica.

A) m=−72

B) m=−12

C) m=12

D) m=−12

E) m=34

SOLUCIÓN:

2 x+4 y=0

4 y=−2 x+4

y=−12

x+1”.

2. Si L :3x+2 y=2, halle la ecuación de la recta L1 perpendicular a L y que pase por el punto (4 ;2)

A) 4 x−3 y+10=0B) 4 x+3 y−10=0C) 4 x+3 y+10=0D) 4 x−3 y−10=0E) 5 x−3 y+10=0

SOLUCIÓN:

3 x+2 y=2

4 y=−3 x+2

y=−34

x+ 12

y− y0=m(x−x0)

y−2=43(x−4)

Respuesta: 4 x−3 y−10=0

3. Dadas las rectas L1: −2 x+ y=−2 y L2:: x+ y=7, indique si son paralelas y halle su punto de intersección, si es que son secantes.

A) Son paralelasB) No son paralelas; L1⋂L2¿(5; 4)C) No son paralelas; L1⋂ L2¿(4 ;5)D) No son paralelas; L1⋂ L2 ¿(4 ;3)E) No son paralelas; L1⋂ L2 ¿(3; 4)

SOLUCIÓN:

−2 x+ y=−2 x+ y=7 −3 x=−9 x=3 ; y=4. Clave E.

4. Halle el perímetro de un triángulo cuyos vértices son (4 ;6 ) , (6 ;1 ) , (2; 9).A) √13+√5+√29B) √13+√29+4 √5C) √13+√29+√7D) √29+4 √13+√5

E) √5+√13+4 √29

SOLUCIÓN:

d1=√(6−4)2+(1−6)2

d1=√29

d2=√(2−4)2+(9−6)2

d2=√13

d3=√(2−6)2+(9−1)2

d3=4√5

√13+√29+4 √5

Clave B.

5. El ángulo de inclinación de una recta mide 135°. Si pasa por los puntos (−3 ; y ) y (−5 ;4). Calcule “y”

A) 2B) 3C) 4D) 5E) 6

SOLUCIÓN:

tg∝=y2− y1x2−x1

tg135=4− y

−3−(−5)

1=4− y2

2=4− y→ y=2. Clave A.

6. Halle la ecuación de la recta que pasa por el punto (2/3 ;11 /3) y por la intersección de las rectas 3 x−5 y−11=0 y 4 x+ y−7=0

A) −7 x+2 y−12=0

B) 7 x−2 y−12=0C) 7 x+2 y−12=0D) 7 x+2 y+12=0E) 7 x−2 y+12=0

SOLUCIÓN:

3 x−11=5 y

3x−115

=7−4 x

x=2

Luego:

y=7−4 y

y=3 (2 )− y5

y=−1.

y=−72

x+ 52

7 x+2 y−5=0

7. Calcule el área de un polígono cuyos vértices son (2 ;6 ) , (4 ;5 ) , (0 ;0 ) ,(3 ;1)

A) 12,5u2

B) 15u2

C) 25u2

D) 10,5u2

E) 21u2

SOLUCIÓN:

2465

032

016

S=|28−26|2

S=22=1

8. Dos rectas paralelas L1 y L2 pasan por A (0 ;3 ) y B(3 ;0), respectivamente y determinan regiones de área iguales con los ejes coordenados. Halle la ecuación de la recta L2.

A) x− y+3=0B) x+ y−3=0C) x+ y+3=0D) x− y−3=0E) x−2 y+6=0

SOLUCIÓN:

Graficando:

m=1 y−0=1(x−3) y=x−3

9. Dada la recta L1: x− y+5=0y los puntos A (−1 ;0 ) y B(2 ;3). Halle el punto C

que pertenece a la recta dada de modo que AB=BC.

A) (3 /2 ;7 /2)B) ¿ ; −3/2)C) ¿ ; −7 /2)D) ¿ 7 /2)E) (5 ;3)

SOLUCIÓN:

y=x+5 m=1

d BC=√(2+ 32 )2

+(3−72 )2

=√ 14 + 494

=5√22

d AC=√(−1+32 )2

+(0−72 )2

=√ 14 + 494

=5√22

Como vemos, las distancias son iguales, así que las coordenadas son ¿)

10.Dados los puntos A (−1 ;4 ) . B (3;1 ) ,C (−2 ;−2 ) y D (7 ;4 ) .Halle la ecuación de la recta que pasa por G y por el punto medio de BD si G es baricentro del triángulo ABC.

A) 7 x+3 y+6=0B) 3 x+11 y+3=0C) 3 x−10 y+10=0D) 2 x+7 y+13=0E) 7 x+6 y+8=0

SOLUCIÓN:

G(x= x1+ x2+x33

; y=y1+ y2+ y3

3 ) G(x=−1+3−2

3;4+1−23 )

G (0 ;1 ).

x0=7+32

=5 ; y0=4+12

=52

(5 ; 52 ).

m=

52−1

5−0=310

y−1= 310

(x−0)

3 x−10 y+10=0Clave C.

11.Halle la pendiente de la recta que pasa por el punto medio del segmento que une los puntos M (−3;2 ) y N (7 ;6 ) y el punto P(x ; y), tal que

AP :PB=1 :2; siendo A (0 ;−2 ) y B(5 ;0)

A) 10B) 12C) 14D) 16E) 18

SOLUCIÓN:

x=0+ 12(5)

1+12

; y=−2+ 1

2(0)

1+12

x=73; y=−4

3Ahora hallemos las coordenadas de “Q” que es punto medio.

a=−3+72

; b=2+62

a=2 ;b=4

m=

−43

−4

73−2

m=16

12.La pendiente de una recta que pasa por el punto A (3 ;2 ) es igual a 3/ 4. Calcule las coordenadas de dos puntos P y Q sobre esta recta que distan 5 unidades de A.

A) (7 ;5 ) y (−1 ;−1)B) (5 ;3 ) y (3 ;5)C) (7 ;5 ) y (1 ;1)D) (3 ;4 ) y (−1;1)E) (4 ;3 ) y (2;1)

SOLUCIÓN:

y−2x−3

=34

4 y−8=3 x−9 3 x−4 y−1=0

13.Sea P=(a;b) un punto tal que la recta OP que lo une con el origen tenga

pendiente −3 y que la recta MP trazada por los puntos P yM=(3 ;1) tiene pendiente 2. Calcule el valor de a+b.

A) 53

B) −3

C) −53

D) −2

E) −72

SOLUCIÓN:

b−0a−0

=−3

ba=−3

1−b3−a

=2

a−b=6−2a 1− (−3 a )=6−2a a=1 ;b=−3

a+b=−2

14.Una recta que pasa por el origen corta a las rectas x− y=3 , y=2x+4 en los puntos A y B respectivamente. Si el origen es punto medio del segmento AB. Halle las coordenadas del punto A.

A) (1 ;3)B) (1 ;−2)C) (−1 ;2)D) (2 ;4)E) (2 ;1)

SOLUCIÓN:

y+b2

=0

x+a2

=0

b2+a2= y2+x2

2a−b=4 y=2x+4 −b=−2a+4

a−2a+4=3 a=1 ;x=−1 y=2;b=−2

15.Halle el perímetro el triángulo formado por los ejes X ,Y y la recta L1 la

cual pasa por el punto (10 ;−12) y es perpendicular a la recta y= 512

x+10.

A) 15uB) 20uC) 35uD) 10uE) 30u

SOLUCIÓN:

y+12x+10

=−125

5 y+60=120−12 x 5 y=60−12x 2 p=30

16.Los puntos medios de los lados de un triángulo vienen dados por la intersección 2 a 2 de las siguientes rectas:

L1: 4 x+3 y−5=0 L2: x−3 y+10=0 L3: x−2=0

Halle el área de dicho triángulo.

A) 35u2

B) 40u2

C) 20u2

D) 30u2

E) 45u2

SOLUCIÓN:

S= B∗H2

=5∗32

=152

.

Por lo tanto, la respuesta es 15/2.17.Halle las ecuaciones de las rectas que pasan por el vértice B y trisecan

al lado opuesto AC del triángulo cuyos vértices son A (−3 ;3 ) ,B (4 ;7 ) ,C (6 ;−3).

A) 8 x− y−25=0 y 3 x−2 y+2=0B) 7 x− y−25=0 y 3 x−2 y+2=0C) 8 x− y−25=0 y 4 x−3 y+2=0D) 7 x+ y+25=0 y3 x+2 y+2=0E) 5 x+ y+25=0 y 2 y+3x−5=0

SOLUCIÓN:

L= y−1=( 7−14−0 )(x−0) 4 y−4=6 x 6 x−4 y+4=0Luego: L=3 x−2 y+2=0

L2= y−7=( 7−(−1 )4−3 )x−4

L2=8 x− y−25=0

18.Halle la ecuación de la mediatriz del segmento que los ejes coordenados determinan en la recta L1:5 x+3 y−15=0.

A) 5 x−10 y+7=0B) 6 x−10 y−16=0C) 6 x−10 y+16=0D) 6 x+10 y−16=0E) 6 x+10 y+16=0

SOLUCIÓN:

L1=5 x+3 y−15=0

mL1=−53

M (m;n )=M ( 0+32 ;5+02 )

M (m;n )=M (32 ; 52 )

L2= y−52=35 (x−32 )

L2=6 x−10 y+16=0

19.El punto medio de un segmento está en el punto P(−7 ;2), la abscisa de uno de los extremos es 5 y la ordenada del otro extremo −9. Halle las coordenadas de los extremos.

A) (5 ;13 ) y (10 ;9)B) (5 ;13 ) y (−19 ;−9)C) (5 ;−13 ) y(−19 ;−9)D) (13 ;5 ) y (9 ;−19)E) (13 ;−5 ) y(−9 ;19)

SOLUCIÓN:

x0=x1+x22

; y0=y1+ y22

Ahora reemplazamos x0=−7 y y0=2

−7=5+ x22

x2=−19Ahora para “y0”

2=y1−92

y1=13

(5 ;13 ) y (−19 ;−9).

20. Halle la ecuación de una recta “L” que pasa por el punto Q= (4 ;−3 ) y es

paralela a la recta L1 cuya ecuación es y=3 x+5.

A) y=5 x−13B) y=−3x+15C) y=3 x+15D) y=−3x−15E) y=3 x−15

SOLUCIÓN:

L1: y=3 x+5 M L1

=3

y− y0=m(x−x0) y− (−3 )=3(x−4) y=3 x−15

21.El punto P está en el segmento de recta entre los puntos P1 (1 ;3 ) y P2 (0 ;1 ) y está 3 veces más lejos de P1 que de P2. . Halle las coordenadas de dicho punto.

A) (1 ;7)B) (1/5 ;7)C) (1 ;7/5)D) (1/5 ;7/5)E) (−1/5 ;−7/5)

SOLUCIÓN:

x=15

y=75

Respuesta: ( 15 ; 75 )22.Halle la ecuación de la recta L de pendiente −3/ 4 que gorma con los ejes

coordenados un triángulo de área igual a 24u2.

A) 3 x+4 y−24=0B) 3 x−4 y−24=0C) 3 x−4 y+24=0D) 2 x+4 y+24=0E) 3 x−7 y+15=0

SOLUCIÓN:

tgy=−tgx

mL=tgy=−34

=−tgy

tgx=34

S=3k (4 k)2

=24

k=2

L= y−6=−34

(x−0)

3 x+4 y−24=0

23.El punto C equidista de A (2 ;2 ) y de B (10 ;2 ) . El área de la región triangular ABC es 25u2. Halle las coordenadas de C.

A) (6 ;7)B) (5 ;33/ 4)C) (5 ;9)D) (−6 ;33 /4)E) (6 ;33 /4)

SOLUCIÓN:

A=8 ( y−2)2

=25

y=33 /4

C (6 ;33/4 )

24.Dado el triángulo cuyos vértices son A (3 ;3 ) ,B (7 ;6 ) y C(−3;11), halle el punto de intersección de la bisectriz del ángulo A con el lado opuesto BC.

A) ¿B) (11;23)C) (12 ;20)D) (4 ;6)E) (5 ;7)

SOLUCIÓN:

d AB=√(7−3 )2+(6−3 )2=5

d AC=√(3−(−3))2+(3−11)2=10

25.Halle las coordenadas de un punto equidistante de los vértices del triángulo ABC, donde A (2 ;−1 ) ,B (3 ;5 ) y C(−5 ;0).

A) (1 ;3)B) (−1 ;−3)C) (−1 ;3)D) (1 ;−3)E) (2 ;4)

SOLUCIÓN:

d AC=√(3−2)2+(6+1)2=5√2 d AB=√(2+5)2+(−1−0)2=5√2

x=−5+32

; y=0+62

(−1 ;3)