apprentissage des mathématiques cycle 3 roland charnay / georges combier – 20111 difficultés des...

Apprentissage des mathématiques

Cycle 3

Roland CHARNAY / Georges COMBIER – 2011 1

Difficultés des élèves

Apprendre à partir de problèmes

Pistes de travail

À propos des programmes

Deux points importants pour penser leur mise en œuvre

2Roland CHARNAY / Georges COMBIER – 2011

Sur les enjeux


La pratique des mathématiques développe le goût de la recherche et du raisonnement, l’imagination et les capacités d’abstraction, la rigueur et la précision.

L’acquisition des mécanismes en mathématiques est toujours associée à une intelligence de leur signification.

(Académie des Sciences, janvier 2007)

La pratique des mathématiques développe le goût de la recherche et du raisonnement, l’imagination et les capacités d’abstraction, la rigueur et la précision.

L’acquisition des mécanismes en mathématiques est toujours associée à une intelligence de leur signification.

(Académie des Sciences, janvier 2007)

Sur la résolution de problèmes


La maîtrise des principaux éléments de mathématiques s'acquiert et s'exerce essentiellement par la résolution de problèmes, notamment à partir de situations proches de la réalité. (Socle commun, 2006)

La résolution de problèmes joue un rôle essentiel dans l’activité mathématique. Elle est présente dans tous les domaines et s’exerce à tous les stades des apprentissages. (Programmes, 2008)

La maîtrise des principaux éléments de mathématiques s'acquiert et s'exerce essentiellement par la résolution de problèmes, notamment à partir de situations proches de la réalité. (Socle commun, 2006)

La résolution de problèmes joue un rôle essentiel dans l’activité mathématique. Elle est présente dans tous les domaines et s’exerce à tous les stades des apprentissages. (Programmes, 2008)

Quelques préalables…


Sur l’évaluation et ses limitesSur la maîtrise d’un concept


Evaluation d’une compétence… ou d’un exercice ?

x

O

Y

70 %

Tracer la bissectrice de XOY

A

C

B

28 %

Tracer la bissectrice de BAC

Contexte de la situation support à l’évaluation

Je déplace un pion sur une piste graduée. En partant de 0, je fais des bonds tous pareils de 8 cases chacun. J’avance de 36 bonds. Sur quelle case vais-je arriver ?

J’ai collé 8 images sur chaque page d’un album qui a 36 pages. Combien d’images ai-je collées ?


Qu'évalue-t-on dans une tâche complexe ?

8

Sur ce dessin à main levée, on a représenté un rectangle ABCD et un cercle de centre A qui passe par D. Ce cercle coupe le segment [AB] au point E.

Sur ce dessin à main levée, on a représenté un rectangle ABCD et un cercle de centre A qui passe par D. Ce cercle coupe le segment [AB] au point E.

Trouve la longueur du segment [EB] ……………………………………..

Explique ta réponse : ….……………………………………………………

Trouve la longueur du segment [EB] ……………………………………..

Explique ta réponse : ….……………………………………………………Roland CHARNAY / Georges COMBIER – 2011

Annoncé par la DEP Organiser une démarche Résoudre un problème à

étapes

Egalement en jeu Lire et comprendre le texte,

en relation avec le schéma Comprendre un schéma à

main levée Savoir qu'une longueur peut

se mesurer… mais aussi se calculer

Savoir qu'un cercle a un rayon constant

Savoir que les côtés opposés d’un rectangle ont même longueur

Elaborer la démarche Expliquer la démarche…


D’où l’importance du travail d’analyse de la tâche

10

Suite des actions nécessaires pour répondre

Procédures possibles pour répondre (souvent diverses)

Connaissances requises pour les mener à bien

Roland CHARNAY / Georges COMBIER – 2011

11

Résultats, procédures et techniques

- à mémoriser, à automatiser - à savoir élaborer

Résultats, procédures et techniques

- à mémoriser, à automatiser - à savoir élaborer

Langage- analogique

- verbal- symbolique

Langage- analogique

- verbal- symbolique

Propriétés- utilisées implicitement

- explicitées

Propriétés- utilisées implicitement

- explicitées

Problèmesqu'il permet de résoudre

Problèmesqu'il permet de résoudre

Maîtrise d’un concept : différents aspects


Analyse des difficultés


Evaluation 6e - 2005

13

10 objets identiques coûtent 22 €.Combien coûtent 15 de ces objets ?

Procédure et réponse correctes : 35 %Procédure correcte : 30,5 %Calcul 22 x 15 : 11 %

10 objets identiques coûtent 22 €.Combien coûtent 15 de ces objets ?

Procédure et réponse correctes : 35 %Procédure correcte : 30,5 %Calcul 22 x 15 : 11 %


14

Analyse de la tâche

Lire, comprendre, interpréter Imaginer une stratégie possible parmi

plusieurs (raisonnement)

Gérer la stratégie Interpréter le résultat Communiquer la réponse

Lire, comprendre, interpréter Imaginer une stratégie possible parmi

plusieurs (raisonnement)

Gérer la stratégie Interpréter le résultat Communiquer la réponse

10 objets identiques coûtent 22 €.

Combien coûtent 15 de ces objets ?


Combien coûtent 15 de ces objets ?


Quelques erreurs

Calcul multiplicatif : 22 x 10 ou 22 x 15 Référence à un problème connu sans essayer de

comprendre la situation Texte interprété comme "10 objets coûtent 22 € chacun"

(légitime !)

Calcul additif Réponse : 27 (5 de plus), obstacle classique

Calcul avec toutes les données numériques Stratégie qui "marche souvent"

Autres

Calcul multiplicatif : 22 x 10 ou 22 x 15 Référence à un problème connu sans essayer de

comprendre la situation Texte interprété comme "10 objets coûtent 22 € chacun"

(légitime !)

Calcul additif Réponse : 27 (5 de plus), obstacle classique

Calcul avec toutes les données numériques Stratégie qui "marche souvent"

Autres15


Combien coûtent 15 de ces objets ? ?


Combien coûtent 15 de ces objets ? ?


Evaluation 6e - 2003

16

Xavier range les 50 photos de ses dernières vacances dans un classeur.Chaque page contient 6 photos.a) Combien y a-t-il de pages complètes ?b) Combien y a-t-il de photos sur la page incomplète ?

Il y a ……… pages complètes. 54 %Il y a ……… photos sur la page incomplète. 57 %


17

Procédures possibles

Division par 6 Division (CE2/CM1)

Encadrement par deux multiples de 6 Table de multiplication (CE2)

Addition de 6 en 6 Addition (CP/CE1)

Schématisation des pages et des photos Dénombrement (CP)

Division par 6 Division (CE2/CM1)

Encadrement par deux multiples de 6 Table de multiplication (CE2)

Addition de 6 en 6 Addition (CP/CE1)

Schématisation des pages et des photos Dénombrement (CP)

Xavier range les 50 photos de ses dernières vacances dans un classeur.

Chaque page contient 6 photos.

a) Combien y a-t-il de pages complètes ?

b) Combien y a-t-il de photos sur la page incomplète ?

Xavier range les 50 photos de ses dernières vacances dans un classeur.

Chaque page contient 6 photos.

a) Combien y a-t-il de pages complètes ?

b) Combien y a-t-il de photos sur la page incomplète ?


Une question

Pourquoi des élèves qui disposent de l’une ou l’autre des connaissances permettant de résoudre ce problème…

- ne pensent-ils pas…- n’osent-ils pas…- ne se croient-ils pas autorisés…

… (à) les utiliser pour répondre à la question ?

Pourquoi des élèves qui disposent de l’une ou l’autre des connaissances permettant de résoudre ce problème…

- ne pensent-ils pas…- n’osent-ils pas…- ne se croient-ils pas autorisés…

… (à) les utiliser pour répondre à la question ?


Lorsqu’il est demandé aux élèves une prise d’initiative (essais à faire), la réussite française est relativement faible.

La pratique de l’expérimentation en mathématiques (faire des essais, critiquer, recommencer…) est peu développée…

Note de la DEP n° 04.12

Lorsqu’il est demandé aux élèves une prise d’initiative (essais à faire), la réussite française est relativement faible.

La pratique de l’expérimentation en mathématiques (faire des essais, critiquer, recommencer…) est peu développée…

Note de la DEP n° 04.12

19

Commentaire sur PISA 2003


Évaluation PISA – (Élèves de 15 ans)

20

Estimez l’aire de l’Antarctique en utilisant l’échelle de la carte.


Julie (évaluation 6e)

Julie a acheté pour un goûter :- deux tablettes de chocolat à 8 F. chacune- quatre bouteilles de limonade à 6 F. chacune- un sac de brioches.Elle a payé 56 F.Quel est le prix du sac de brioches ?

8 F x 6 F = 54 FLe prix du sac de brioches est 2 F.

Julie a acheté pour un goûter :- deux tablettes de chocolat à 8 F. chacune- quatre bouteilles de limonade à 6 F. chacune- un sac de brioches.Elle a payé 56 F.Quel est le prix du sac de brioches ?

8 F x 6 F = 54 FLe prix du sac de brioches est 2 F.


Schéma d’analyse sommaire


À la bonne place (Evaluation CE2)

23

Ecris, dans le bon ordre, chaque nombre à la place qui convient.

367 582 309

300 400 500 600

300 309 400 367 500 582 600


Pour qu’un problème permette d’engager un apprentissage, il faut donc 2 conditions… Du côté de la situation elle-même, en relation

avec les connaissances des élèves

Du côté du contrat didactique et de la responsabilité de l’élève dans la production de la solution : Trouver une réponse correcte au problème posé

par une procédure correcte

Ou trouver une réponse attendue par l’enseignant par une procédure reconnue par l’enseignant

Du côté de la situation elle-même, en relation avec les connaissances des élèves

Du côté du contrat didactique et de la responsabilité de l’élève dans la production de la solution : Trouver une réponse correcte au problème posé

par une procédure correcte

Ou trouver une réponse attendue par l’enseignant par une procédure reconnue par l’enseignant


Quelques pistes…


Apprendre ce qu’est chercher Clarifier le contrat

Un mot à double sens Chercher parmi les solutions expertes déjà

éprouvées

Chercher, bricoler une solution nouvelle, originale, personnelle, comme le chercheur

Un mot à double sens Chercher parmi les solutions expertes déjà

éprouvées

Chercher, bricoler une solution nouvelle, originale, personnelle, comme le chercheur


Favoriser l’appropriation du problème

Ne pas confondre lecture d’énoncé et résolution de problème

Plusieurs supports de présentation Vécu Dessin, schéma, document Oral Ecrit

L'obstacle de la lecture doit être "atténué" pour certains élèves, à certains moments. à condition de clarifier le rôle du matériel

Ne pas confondre lecture d’énoncé et résolution de problème

Plusieurs supports de présentation Vécu Dessin, schéma, document Oral Ecrit

L'obstacle de la lecture doit être "atténué" pour certains élèves, à certains moments. à condition de clarifier le rôle du matériel


Rôle du matérielTechnique opératoire de la division par un

nombre à un chiffre (CE2)


- 7 cartes « 1 dizaine » et 8 cartes « 1 unité » sont affichées au tableau.

- Une première demande : « Ces cartes ont été gagnées par 4 joueurs. Combien cela représente-t-il de points ? »

- Le problème : « Ces 78 points doivent être répartis entre les 4 joueurs. Chacun doit en avoir exactement le même nombre. Que recevra chaque joueur ? »


Technique opératoire de la division par un nombre à un chiffre

Aider à envisager une démarche (distribution) Illustrer la technique et ainsi aider à la compréhension

de celle-ci d u 7 8 3- 6 2 6 1 8 d u- 1 8 0

Aider à envisager une démarche (distribution) Illustrer la technique et ainsi aider à la compréhension

de celle-ci d u 7 8 3- 6 2 6 1 8 d u- 1 8 0

• On partage d’abord les 7 dizaines en 3- donc 2 dizaines à chacun- on a donné 6 dizaines (2 3)- il en reste 1.• Avec les 8 unités de départ, cela fait 18 unités à partager en 3- donc 6 unités à chacun- on a donné 18 unités (6 3)- il en reste 0.


Réel / Anticipation

RéelFavorise l’appropriation

de la situation et du problème

RéelFavorise l’appropriation

de la situation et du problème

Anticipation

Incite à l'expérience mentale

Anticipation

Incite à l'expérience mentale

Permet la validation de la réponse ou d'une

procédure

Permet la validation de la réponse ou d'une

procédure

Oblige à élaborer des procédures

Oblige à élaborer des procédures

Limiter les références possibles à des indices «extérieurs» au problème

31

Ne pas lier systématiquement les problèmes aux apprentissages en cours

Éviter les indices de surface

Ne pas lier systématiquement les problèmes aux apprentissages en cours

Éviter les indices de surface


Accorder un autre statut à l'erreur

Se tromper est normal… dans la phase d'apprentissage

Dans cette phase, l'erreur ne doit donc pas être sanctionnée

L’erreur informe

On apprend aussi en travaillant sur les erreurs

D'où l'importance de l'analyse des erreurs

Se tromper est normal… dans la phase d'apprentissage

Dans cette phase, l'erreur ne doit donc pas être sanctionnée

L’erreur informe

On apprend aussi en travaillant sur les erreurs

D'où l'importance de l'analyse des erreurs


Quatre bandes (CM1)

33

4 bandes 8 cm 4 bandes 8 cm 8 bandes 12 cm 8 bandes 16 cm12 bandes 16 cm 12 bandes 24 cm


Apprendre à partir de problèmes


Une situation ouverte…

n’est pas une situation floue n’est pas une situation complexe n’est pas une situation à l’issue incertaine

est une situation que l’élève comprend dont il perçoit ce que peut être une solution mais dont il n’a pas la solution

immédiatement et dont il sait être responsable de

l’élaboration de la solution

n’est pas une situation floue n’est pas une situation complexe n’est pas une situation à l’issue incertaine

est une situation que l’élève comprend dont il perçoit ce que peut être une solution mais dont il n’a pas la solution

immédiatement et dont il sait être responsable de

l’élaboration de la solution35Roland CHARNAY / Georges COMBIER – 2011

Deux catégories d’objectifs pour une situation ouverte

méthodologiques

Développer des stratégies de recherche, d’investigation, de preuve

Mettre en œuvre des solutions « personnelles »

Travailler sur le contrat et la responsabilité de l’élève dans le traitement du problème

Développer des stratégies de recherche, d’investigation, de preuve

Mettre en œuvre des solutions « personnelles »

Travailler sur le contrat et la responsabilité de l’élève dans le traitement du problème

notionnels

Mettre en œuvre des solutions personnelles

En percevoir les limites et les insuffisances

S’approprier des solutions plus expertes, parfois un nouveau concept


Exemples de « problèmes pour chercher »Objectifs méthodologiques (CM1)


Exemple de « problème pour chercher »Objectifs méthodologiques (CE2)


« Vous allez chercher à obtenir le plus possible de polygones différents en assemblant deux triangles par un côté.

Les deux côtés qui se touchent doivent avoir même longueur et leurs extrémités doivent coïncider ».

« Vous allez chercher à obtenir le plus possible de polygones différents en assemblant deux triangles par un côté.

Les deux côtés qui se touchent doivent avoir même longueur et leurs extrémités doivent coïncider ».

39

Exemples de « problèmes pour apprendre »Objectifs notionnels (CM2)


Voici un losange et un agrandissement de ce losange.

La figure et son agrandis-sement restent affichés au tableau.

Voici un losange et un agrandissement de ce losange.

La figure et son agrandis-sement restent affichés au tableau.

40

Exemples de « problèmes pour apprendre »Objectifs notionnels (CM2)


Par deux les élèves doivent se mettre d’accord sur une méthode de construction ;

Chacun réalise la construction sursa feuille ;

Les productions sont affichées et discutées ainsi que les méthodes utilisées

Le calque de l’agrandissement est ensuite utilisé pour valider

Par deux les élèves doivent se mettre d’accord sur une méthode de construction ;

Chacun réalise la construction sursa feuille ;

Les productions sont affichées et discutées ainsi que les méthodes utilisées

Le calque de l’agrandissement est ensuite utilisé pour valider

Exemples de « problèmes pour apprendre »objectifs notionnels (CM2)

41

Validation expérimentale


Dans ces problèmes… La situation et la question sont simples à

comprendre La résolution n’est pas immédiate ou donne

lieu à controverse, donc il y a quelque chose à apprendre

Le choix des valeurs de certaines variables (et leur évolution) est primordial

La validation n’est pas le fait de l’enseignant c’est déterminant pour la responsabilité des élèves vis-à-vis de la résolution

La situation et la question sont simples à comprendre

La résolution n’est pas immédiate ou donne lieu à controverse, donc il y a quelque chose à apprendre

Le choix des valeurs de certaines variables (et leur évolution) est primordial

La validation n’est pas le fait de l’enseignant c’est déterminant pour la responsabilité des élèves vis-à-vis de la résolution


Apprentissage par résolution de problèmes (4 schémas)

43

ElèveElève SituationSituation

InvestigationConnaissances anciennes : limites, insuffisancesTentatives nouvellesRétroaction de la situation

InvestigationConnaissances anciennes : limites, insuffisancesTentatives nouvellesRétroaction de la situation

ElèveElève ElèvesElèves

ConfrontationExplicitationControverse, argumentationAppropriation d’autres stratégies

ConfrontationExplicitationControverse, argumentationAppropriation d’autres stratégies


44

ElèveElève EnseignantEnseignant

Mise en évidence, généralisationApport : stratégie, langage, mise en forme…Réponses aux questions

Mise en évidence, généralisationApport : stratégie, langage, mise en forme…Réponses aux questions

ElèveElève SituationsSituations

Exercices, entraînementEvaluationAdaptation des connaissances

Exercices, entraînementEvaluationAdaptation des connaissances


apprentissage des mathématiques cycle 3 roland charnay / georges combier – 20111 difficultés des...

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