ProblemasPropuestosyResueltosMecanica-FI2001KimHauserVavra1VersionAbril,20101e-mail:kimsanrimpoche@gmail.comIndice1. Cinematica 51.1. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.2. Soluciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102. Dinamica 142.1. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142.1.1. DinamicadeVariasPartculas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242.2. Soluciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273. TrabajoyEnerga 373.1. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373.2. Soluciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 464. EquilibrioyOscilaciones 534.1. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 534.1.1. Oscilacionesamortiguadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 554.1.2. Oscilacionesacopladas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 564.1.3. Oscilacionesforzadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 574.2. Soluciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 595. FuerzasCentrales 655.1. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 655.2. Soluciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 706. MovimientoRelativo:SistemasNoInerciales 746.1. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7426.2. Soluciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 817. S olidoRgidoySistemasdePartculas 887.1. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 887.2. Soluciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 948. ListadeRespuestas 1023PrologoLoqueustedencontraraenestasp aginasesunacolecci ondeproblemasdeFsicaquecomprendenlautilizaciondelasherramientasdel calculoinnitesimal y algebralineal, funda-mentalmente.LagranmayoradeestosproblemashansidoextradosdeevaluacionesdelcursoMec anica(actualmente, c odigoFI2001, del 3osemestredeIngenierayCiencias, Plancom un,F.C.F.M.,delaUniversidaddeChile)enelcualhedesarrolladoelcargodeProfesorAuxiliar.Hay dos puntos que representan bien mis intenciones: 1o, que mediante la ejercitaci on conestos problemas, escogidos con mucha atencion, el lector encuentre comprensi on de las materiasinvolucradas, y 2o, que, en la medida de lo posible, estos representen la clase de problemas a losque, como alumno, uno podra verse enfrentado. As es que el prop osito es facilitar el estudio decualquierestudiantedeestasmaterias, peroesteescritopodraresultarparticularmente util alosalumnosdelaF.C.F.M.delaU.deChile.Este texto cuenta con las solucionesde algunos de los problemas que presenta.Estas hansidoredactadasporm,algunasvecesbas andomeenresolucionesdeotraspersonas(profesoresdecatedra, auxiliares, etc). Peseaquehebuscadoserexplicativo, muchasveces, al redactar,me pareci o que una lectura liviana y poco profunda por parte del lector no sera suciente paracomprendersucontenido;creoqueesinherentealprocesodelaprendizajelanecesidaddeunalectura activa. En particular, si el lector encuentra partes del desarrollo que no comprende o quenosonexplicadasconsucientedetalle,ser adegranbeneciodesentra narlas,porsucuentaoconayuda.Losproblemasconsolucioneneltextosonmenosquelosquesedejanpropuestos.Estorespondeami convicci ondequeunabuenaformadeaprenderaresolverproblemasdeFsicadeestenivel esabordarlosproblemas, enprimerainstancia, sinmirarlaspautasdesoluci on.Detodasformas, al nal seagregaunasecci onderespuestas delosproblemas, loqueavecesayuda a orientarse. De cualquier manera, recomiendo enfaticamente resolver o tratar de resolverporcuentapropialosproblemasquetienenpautaantesdemirarlapauta.Enlamayorade las soluciones, ustedencontrarazonas de desarrolloalgebraicoqueexplcitaeintencionalmentehedejadocomotrabajopersonal, puesconsideroqueestoesunaformaconcretadenoinhibirlaejercitaci on; noquisieraqueel textosevuelvauncompendiodec alculosdeintegrales,derivadas,productoscruz,etc.Busco,masbien,mostrarlaslneasderazonamientoquellevanaentenderyresolverlosproblemas.Con el paso del tiempo, he ido encontrando diversos errores en las respuestas a los proble-mas y/o en la redaccion de sus soluciones. He hecho el esfuerzo de corregirlos, pero no tengo du-das: siempre quedaran errores escondidos a mis ojos. Usted, probablemente, los encontrara antesqueyo.Buenasuerte!!!41 CINEMATICA1. Cinematica1.1. ProblemasP.1.1Unapartculasemueveconrapidez0constante, sobreunriel circularderadio1colocadoenposicionhorizontalsobreunasupercietambienhorizontal.Lapartculaseencuentraatadamediante una cuerda inextensible a un bloque que cuelga debajo de un agujero localizado a unadistancia 1,2 del centro del riel. Suponga que ces sucientemente peque no para que la cuerdanosedestense.(a) Determinelarapidezdelbloqueenfunciondelanguloo.(b) Obtengalarapidezmaximadelbloque.(c) Determinelaaceleraci on cdelbloquecuandolapartculaquesemuevesobreelrielpasaporlaposici ono = 0.ogc1Fig.P.1.121.ccFig.P.1.2P.1.2Una partcula se mueve por el interior de un tubo de largo 21 que gira con una velocidad angularconstante.c.Lapartculainiciasumovimientodesdeelpuntomediodeltubo,desplaz andoseporsuinteriorconunarapidezconstantecrespectoalmismo.Determine:(a) Elradiodecurvaturadelatrayectoriadescrita,enfunciondeltiempo.51.1 Problemas 1 CINEMATICA(b) Ladistanciarecorridaporlapartculadesdequeiniciasumovimientohastaquellegaalextremodeltubo.P.1.3Seobservaunapartculaenmovimientoconrespectoaunsistemadereferenciainercial. Latrayectoriaest adadaporlassiguientesfunciones:j = cI0. .= jdondej, oy.sonlasrespectivascoordenadascilndricas(con, /, positivos). Suponiendoquesurapidezesconstante(c)yconocida:(a) Calculelavelocidad delapartculaenfunci ondeo,,/,yc.(b) Encuentresuaceleraci on cenfunciondelosmismospar ametros.(c) Pruebeque c.(d) Encuentreunaexpresi onparao(t).P.1.4Considereunacurvaespiraldescritaencoordenadasesfericasporlasecuaciones:: = 1. o = `o.donde1y`sonconstantesconocidas(`enteropar). Unapartculasemuevesobrelaespi-ral partiendodesdeel extremosuperior(o=0)ymanteniendounavelocidadangularzenitalconstanteyconocida,o = .0.Sepide:(a) Utilizandocoordenadas esfericas, escribalos vectores velocidadyaceleracionparaunaposicionarbitrariadelapartculasobresutrayectoria.(b) Determineelvalordelradiodecurvaturadelatrayectoriaenelecuador(o = 90o).(c) Encuentre unaexpresi onparalalongitudtotal de laespiral yparael tiempoque lapartcula tarda en recorrerla. Indicaci on: De ser difcil de calcular, puede dejar expresadalaintegral.61.1 Problemas 1 CINEMATICAFig.P.1.4P.1.5Latrayectoriadeunpunto1,encoordenadascilndricas,sedenecon:j(t) = j0. o(t) =?. .(t) = 1o(t)Sesabequeo(t)esunafunci onmon otona, o(0)=0yqueo(0)=.0ydonde, 1y.0soncantidadespositivasconocidas.(a) Obtengalasexpresionesparalosvectoresvelocidadyaceleracionenesteejemplo.(b) Obtengaunaexpresi onparael vectortangentetyparalarapidezde1. Comentesobrelossignosdeestascantidades.(c) Obtengaexpresionesparalasaceleracionescentrpetaytangencial:c(t) =ccca|(t) +c|j(t)(d) Cuales la funci ono(t) sise sabe que la aceleraci onapunta todo eltiempo perpendicularalejeZ?P.1.6Unabarrargidadelargo1semueveapoyadaendosparedesrgidasqueformanun angulorectoentreellas.Supongaqueel anguloo = o(t)esunafunci onarbitrariadeltiempo.(a) Determineelvectorposicion :(t),velocidad (t)yaceleraci on c(t)delpuntomediodelabarra.(b) Elradiodecurvaturadeunatrayectoriasedenecomoj = 3, c.Calculeelradiodecurvaturadeestatrayectoria.Interpreteelresultadoydibujelatrayectoria.71.1 Problemas 1 CINEMATICA(c) Suponga ahora que el apoyo inferior de la barra se mueve con rapidez constante ca partirdel momento en que la barra est a en la posici on vertical. Encuentre la funci on o(t) que dalugaraesemovimiento.Fig.P.1.6o1P.1.7Considereunacurvaespiralc onicadescritaencoordenadasesfericasporlasecuaciones:o = 45o.o = 2 :1.donde1esunaconstanteconocida.Unapartculasemuevesobrelaespiralpartiendodesdeelorigenmanteniendounavelocidadradialconstanteyconocida, : = c.Sepide:(a) Determineladistanciaradialdelpunto1enelcuallarapidezdelapartculaes3c.(b) Encuentre unaexpresi onparalalongitudtotal de laespiral yparael tiempoque lapartculatardaenrecorrerla. Nota: Est abiensi dejasusoluci onenterminos deunaintegralmuycomplicada.(c) Determineelvalordelradiodecurvaturadelatrayectoriaenelpunto1.Fig.P.1.745cFig.P.1.8roC111.81.1 Problemas 1 CINEMATICAP.1.8El punto de uni on 1entre un pist on y una biela de largo 1se mueve a lo largo del eje r debidoaqueel cig ue nal (disco), deradio1ycentroenunpuntojoC, rotaavelocidadangularconstante..Enelinstantet = 0labielaest ahorizontal(o = 0,r = 1 + 1).(a) Encuentreunaexpresi onparaladistanciar(t)entre1yCcomofunciondeltiempot.(b) Encuentrelavelocidad(t)de1.(c) Enlaexpresi onpara(t) considere el caso1 1yluegoencuentre unaexpresionaproximadaparalaaceleraci onde1. Comosecomparalamagnituddelaaceleraci onm aximadelpist onconlaaceleraciondelpunto?P.1.9Suponga que es posible excavar un t unel entre dos puntos y 1de la Tierra. La aceleracion degravedad(queapuntahaciaelcentrodelaTierra)alinteriordeltuneltieneunamagnitudqueesproporcionalaladistancia:desdeelcentrodelaTierra:c =p1:dondepeslaaceleraci ondegravedadenlasuperciedelaTierray1eselradiodelaTierra.Asumiendo que un vehculo parte del reposo en el punto y se mueve sin roce en el interior delt unel,bajoelefectodelagravedad,calcule:(a) El tiempo que requiere para llegar al punto 1, que est a a una distancia 1 del punto , enlnearecta.(b) Larapidezm aximadelmovimientoresultante.11:Fig.P.1.991.2 Soluciones 1 CINEMATICA1.2. SolucionesS.1.3(a) Dadoqueestamosdescribiendolaposiciondelapartculaencoordenadascilndricas, elvectorposiciones,pordenici on:: = j j + ./ = cI0 j + cI0/: = /cI0 o j + cI0 oo + /cI0 o/: = cI0 o(/ j + o + //)Noconocemosa unelvalordeo,perosabemosquelarapidezdelapartculavalesiemprec,estoes: : = c : = ocI0/2+ 1 + 2/2= c ocI0=c/2+ 1 + 2/2(): =c/2+ 1 + 2/2(/ j+o+//)(b) Conelresultadoanterior,calculamos c =::c =c/2+ 1 + 2/2(/oo o j)=c o/2+ 1 + 2/2(/o j)Perode():o =ocI0I2+1+2I2() c =c2cI0(/2+ 1 + 2/2)(/o j)(c) Denamosprimero,parasimplicarlanotaci on,1 c,/2+ 1 + 2/2.Demostrar que cse puede hacer de dos formas, pero ambas para concluir que c = 0.Laprimera,m assimple,esconsiderarque = c2.As:ddt( ) =c + c = 2c = 0Laotraescalculardirectamente c :c =13cI0(/o j)(/ j + o + //)=13cI0(/ /) = 0 c101.2 Soluciones 1 CINEMATICA(d) Por ultimo,de()tenemosque:o =dodt=1cI0 cI0do =1dt ,cI0do =1dtcI0/=1t + c dependedelascondicionesiniciales,quenotenemos.Despejandooyreemplazandoelvalorde1obtenemos:o(t) =1/ ln_/c/2+ 1 + 2/2t + /c_S.1.5(a) Elvectorposicionencoordenadascilndricases : = jc j + ./.Pero.= 1o.As:= jc oo 1 o/. c = jc o2 j + joo 1o/(b)t =y =j2co2+ 12 o2=oj2c + 12.Comoo(t)esmon otonayent = 0[o = 0 o0]entonces[o(t)0, t] =oj2c + 12=t =jcj2c + 12o 1j2c + 12/ y =oj2c + 12(c) Como = t(coordenadasintrnsecas), c = t + dtdt.Ahora, =oj2c + 12ydtdt= jcj2c + 12o j=c = jc o2. .oocuI j + oj2+ 12. .oIuugt111.2 Soluciones 1 CINEMATICA(d) Si capuntaperpendicularmentealejez,entonces c / = 0.Pero c / = o1= 0o = 0pues1 = 0.Conesto:o=C|cycomoo(0)=.c o(t)=.c. Esto ultimoimplicaqueo(t)=.ct + c, peroo(0) = 0,porlotantoo(t) = .ct .S.1.7Las coordenadas que denen la posici on de la partcula (en el caso de conos suele ser muy utilelusodecoordenadasesfericas)cumplencon:o = ,4; o =2:1; : = c.(a) La velocidad en esfericas es = : :+:oo+: osen oo. Ahora:o =2 :1=2c1y sen o =2,2= c : + :2c212o.Entonces =c2+ :222c212= 3c(|c n|ti:cipnc|dcd:ccn:j|cc:c| jn:to1) 9 = 1 +2:2212,dedonde:: =21(b) Sepideunaexpresi onparalalongitudyel tiempotranscurridodesdet =0hastaquellegaalpunto1.1=|2|1____d:dt____dt =|2|1 dt =|2|1c1 + :22212 dt.Pero : = c,ycomo:(t = 0) = 0(partedelorigen)entonces: = ct.As:1=|2|1c1 + t222c212dt.121.2 Soluciones 1 CINEMATICAEsteresultadoescompleto(salvolaresoluci ondelaintegral)siseconoceeltiempot2enquelapartculallegaa1.Comoescogimost1= 0,entonces:t2=|2|1dt =21dtd:d:.Elteoremadelafuncioninversarespaldaentoncesque:t2=21d:oo|=21z0d:c=21c .t2=21c .(c) Parausar laf ormuladel radiodecurvaturajc=3 c, debemos calcular el vectoraceleraci on en el punto 1, pues la velocidad ya la tenemos. De reemplazar las coordenadasy sus derivadas en la formula para la aceleracion en coordenadas esfericas, se obtiene que:c1= 4c21 : 4c21o +22c21o.1= c : + 22co, y 1= 1 = 3c.Al hacer el producto cruz y calcular la norma se obtiene: 1 c1 =286c31. Con esto,elradiodecurvaturaenelpunto1es:jc=271286.132 DINAMICA2. Dinamica2.1. ProblemasP.2.1Parapasarunbulto1demasa:deunladoalotrodeunrodeancho1seutilizaelmetodoquesigue. 1seataaunacuerdadelargo1queest aunidaal extremodeunavaradelargo1.Labarrasehacegirardesdesuposici onhorizontalconvelocidadangular.0entornoaunar otulaqueunelaorilladelroconelotroextremodelavara.Despreciandotodoroce:(a) Demuestrequemientraslacargavaportierrarmelatensi ondelacuerdaesconstante.Determinesuvalor.(b) Determineelvalorde.0paraque1sedespeguedelsuelojustoantesdellegaralro.1 11p.cFig.P.2.1pcFig.P.2.2P.2.2Unapartcula1demasa:selanzaporelinteriordeunrecipientecilndricoconejevertical,radio1yaltura.Elrocede1conlaparedcilndricaesdespreciable;dominaelroceviscoso1..= cde 1con el uido que llena el recipiente. La partcula es lanzada en contacto con lasuperciecilndrica,convelocidadhorizontaldemagnitud0.Determine:(a) Lavelocidadvertical:comofunciondeltiempoylafuncion.(t).(b) Lavelocidadangularde1comofunciondeltiempo.(c) Valor que debe tener el coeciente c paraque 1 alcance justoadar unasolavuelta,suponiendoqueelrecipienteesinnitamentealto( ).142.1 Problemas 2 DINAMICAP.2.3Considere untuboconformade Ldentrodel cual puede deslizar unacuentade masa:.Escogiendounsistemadecoordenadascilndricas, unbrazodel tubocoincideconel ejez. Elotrosemuevegirandoconvelocidadangularconstante.0, contenidosiempreenel planox-y(.=0). Lacuentaesdesplazadaporel interiordeeste ultimobrazohaciael ejez, graciasalaacci ondeunacuerdaquerecorreel interiordel tuboyestiradaenel extremoopuesto. Latracci on es tal que la cuenta adquiere una velocidad constante 0. Considerando que inicialmentelacuentaestaaunadistancia1delejez:(a) Determinelavelocidadyaceleraci ondelacuentaenfunci ondesudistanciaal ejederotaci onj.(b) Calculeelradiodecurvaturajcdelatrayectoriadelacuentaenfunciondej.Esimportantehacerungr acodeestafunci onjc(j),precisandosuvalorparaj = 0ysucomportamientoparaj .Considereenestecaso0= `.01,con`unaconstante.(c) Determine la tension de la cuerda en funci on de j y la fuerza normal que la pared interiordeltuboejercesobrelacuenta.cx-y.cFig.P.2.3Fig.P.2.41o:pP.2.4Una partcula de masa : puede deslizar sin roce por el interior de una circunferencia de radio 1y eje horizontal. Se suelta desde la posicion mas baja, o(0) = 0, con velocidad angularo(0) = .0.Losdatosson::,1,py.0.(a) Escribalaecuaci ondemovimiento(2daley)yseparelaenecuacionesescalares. Unadeestasecuacionespuedeserintegradaunavezenformainmediata.152.1 Problemas 2 DINAMICA(b) Integrandotal ecuacionse obtieneo2=algoque tiene que ser positivo. Obtengaunadesigualdadparacos o.Fsicamentequeocurrirasiladesigualdadsehicieraigualdad?(c) Encuentreunaexpresionparalafuerzanormal enfunci ondelos datos ydeo(t). Im-poniendo que la fuerza normal apunte hacia el centro obtenga una desigualdad para cos o.Fsicamentequepodraocurrirsiladesigualdadsehicieraigualdad?(d) Paraquevalorde.0ambasdesigualdadescoinciden?(e) Si el dibujorepresentaaunapartculaquedeslizaapoyadaenel interiordeuncilindrodeejehorizontal,bajoquecondicioneslapartculaoscilarespectoalpuntom asbajosindespegarsejamas?(f) Bajoquecondicionesdeslizagirandoenunsolosentidosindespegarsejamas?P.2.5Considereunasuperciec onicacomolaindicadaenlagura,queseencuentraenunambientesingravedad. Enunciertoinstanteseimpulsaunapartculademasa:sobrelasupercieinterior del cono, con una velocidad inicial c en direcci on perpendicular a su eje. En ese momentola partcula est a a una distancia :cdel vertice del cono. El roce entre la partcula y la supercieesdespreciable.El anguloentreelejedelconoylageneratrizesc.(a) Escriba las ecuaciones de movimiento de la partcula en un sistema de coordenadas que leparezcaadecuado.(b) Determinelafuerzaquelasupercieconicaejercesobrelapartculacuandoestasehaalejadohastaunadistancia: =2:cdel vertice del cono. Determine larapidez de lapartculaenesemomento.c: c:cFig.P.2.5pjc. jo|0Fig.P.2.6r162.1 Problemas 2 DINAMICAP.2.6Considereunsistemacompuestoporunresorteyunamasaqueseencuentranalbordedeunapiscinamuyprofunda,comoseindicaenlagura.Elresorteesdelargonatural|0yconstanteel astica /. A este se ja una pared m ovil de masa despreciable. El sistema se prepara de tal modoquelapartculapuntualdemasa:secolocajuntoaestaparedensuposiciondecompresi onm axima,esdecirenr = |0,seg unelsistemadecoordenadasquesemuestraenlagura,ysesueltadesdeelreposo.Sepide:(a) Cualeslacondici onqueaseguraquelamasa:semover adesder = |0?(b) Encuentreel valor m aximodejoquepermitaalamasallegar al bordedelapiscina(r = 0)convelocidadnonula.Entregueelvalordeestavelocidadnonula.(c) Considere que la masa entra a la piscina inmediatamente cuando r0. Una vez que entra,lamasaexperimentaunafuerzaderoceviscosolineal, deconstante. Supongaadem asque no hay fuerza de empuje (la masa es puntual). Determine entonces el alcance m aximoquealcanzaralamasaysuvelocidadlmite.P.2.7Una partcula de masa : est a ubicada sobre la supercie de una esfera de radio 1, en presenciadegravedad.Enelinstanteinicial,selanzalapartculaconunavelocidadhorizontal 0= 0o,tangentealasupercie,yconunanguloo(t = 0) = ,3.(a) Encuentrelavelocidadyaceleraciondelapartculaenfunci ondeo.(b) Determineelvalordelangulooenquelapartculasedespegadelasupercie.o0p 01Fig.P.2.7172.1 Problemas 2 DINAMICAP.2.8Hayunhiloenrolladoalrededordeuncilindroderadio1.Enlapuntadelhilohayuncuerpode masa : que se suelta, cuando o = 0, con velocidad inicial (t = 0) = 0 j, perpendicular alhilo,loquedeterminaqueelhilosecomienzaaenrollar.Ladistanciainicialentreelcuerpoyelpunto1detangenciadelhiloconelcilindroes10.Nohaygravedad.Nota: Lascoordenadascilndricasenesteproblemapersiguenal puntodetangencia1, yesconvenienteescribirelvectorposicioncomo: : = 1 j + 1(t)o.(a) Determine la ecuaci on de movimiento para la distancia 1(t) correspondiente a la longituddehiloquequedaporenrollareneltiempot(distanciaentrelospuntos1ylaposiciondelamasa).(b) Obtengalavelocidadangularoenfunciondeo.(c) Suponiendoqueelhilosecortasilatensionsobrepasaelvalor1noa,obtengaelvalordeoenelmomentodelcorte.rt = 0Fig.P.2.8at = 011100oo1(t)rt0Fig.P.2.8b11182.1 Problemas 2 DINAMICAP.2.9Unapartcula1demasa:puedemoversesoloporunrielhorizontalcircunferencialderadio1,enausenciadegravedad.El unicotipoderocequehayesroceviscosolineal,1..= c.(a) Determineel valorquedebetener0paraque1sedetengajustocuandohaavanzadomediavuelta.ozyxFig.P.2.9.c:Fig.P.2.10P.2.10Considereunabolitademasa:ensartadaenunabarrademaneraquepuededeslizarsinrocepor ella. La masa esta atada mediante un resorte, de constante el astica / y largo natural |c, a unextremodelabarra,yesta ultima,asuvez,girac/ralmismoextremoenunplanohorizontalconvelocidadangular.constante. Ent=0labolitasesueltaconel resortecomprimidoen|c,2y j(0) = 0:(a) Querelaciondebencumplir:,/y.paraquelabolitarealiceunmovimientoarmonicosimplealolargodelabarra?(b) Determinelacompresi ondelresortecomofunciondeltiempo.P.2.11Unbloque1demasa:est aapoyadoenunasupercieplanaconlacualtienecoecientesderoceestaticoydinamicojcyjo.Elbloqueestaadem asunidoaunresorte(constanteel astica/ylargonatural|c)cuyootroextremoest ajoalasupercie(gura).Inicialmenteelresorteest aconsulargonatural.Lasuperciesevainclinandomuylentamenteapartirdelaposici onhorizontal(c = 0).Siempreesciertoquejc jo.(a) Cualesel angulom aximocantesque1deslice?192.1 Problemas 2 DINAMICA(b) Suponiendo que cuando c = c, se deja de mover la supercie plana y el bloque comienzaadeslizar, determineel m aximoestiramientodel resorteydeterminelamaximarapidezquealcanza1duranteelmovimiento.(c) Determinesi, unavezalcanzadoel estiramientomaximo, 1permaneceenreposoosi sedebierasatisfacerunacondici onespecialparaqueesoocurra.cpFig.P.2.11 FigP.2.121cpP.2.12Un anillo de masa : desciende, debido a su propio peso, por un alambre de forma helicoidal deradio1cypasotal que.= o11. Nohayroceanillo-alambre, peros hayroceviscoso: elanilloesfrenadoporunroceviscosolineal1|= c.Lacondicioninicialeso(0) = 0,.(0) = yo(0) = 0ylaaceleraciondegravedadesp.(a) Obtengaelvectorunitariotangentetdelatrayectoriaylaexpresi onm asgeneralposibleparalafuerzanormal`.(b) Descompongalaecuacion(vectorial)demovimientoenecuacionesescalares.(c) Delasecuacionesanterioresobtengalaformaexplcitade.(t)=o(t)enfunciondelosdatos::,1c,11,cyp.P.2.13Unapartculademasa:est aatadaa2cuerdas independientes deigual largo, cuyos otrosextremosest anjosalospuntosy1, separadosentres unadistanciaH(vergura). Lapartcula rota en torno al eje vertical 1, manteniendose en el plano horizontal ubicado a mediadistanciaentreambospuntos.(a) Determine el mnimo valor de la velocidad angular . que le permite a la partcula mantenerunmovimientocircularuniformeconambascuerdastensas(Datos::,p,H).202.1 Problemas 2 DINAMICAImportante:Enlaspartesb)yc)lospuntosy1setransformanenoriciosatravesdeloscualeslas2cuerdaspuedenserrecogidasenformacontrolada.(b) Si ambas cuerdas sonrecogidas aunatasaigual yconstante,1= c, muestre que : :3.Obtengalaconstantedeproporcionalidad.(c) Si en el recogimiento de las cuerdas se observa que, cuando : = H, la velocidad angular delapartculaes2j1,determinelavelocidadangularylatensiondecadacuerdacuando: = H,2.11:1p.:cH,2H,2Fig.P.2.13FigP.2.144/pP.2.14Una partcula 1es lanzada hacia arriba deslizando, en ausencia de roce, por la lnea helicoidaldenidaencoordenadascilndricasporj = 4/. .= 3/o.Ent=0,lapartcula1est aeno = 0,.= 0ycono(0) = ..(a) Obtengayescribaexpresionesparaelvectorposicion,velocidadyaceleraci onde1.(b) Obtengalarapidezyelvectorunitariotangentealatrayectoria.(c) Escribalaecuaci ondemovimientoy uselaparadeducirdeellaeltiempoque1tardaendetenerse.(b) Escribalafuerzanormalcomounafuncionvectorialexplcitaeneltiempo.212.1 Problemas 2 DINAMICAP.2.15Si la partcula de la gura parte desde el punto o = 0 con rapidez inicial c, determine el anguloom aximoquealcanzaenelsemi-cilindroestandocontnuamenteadheridaael.Considerequenoexisteroce.FigP.2.15pco1P.2.16Considere una partcula de masa : que desliza sinroce por el interior de una supercie c onica,enpresenciadegravedad.Encoordenadasesfericas,lasuperciequedadenidapor::c2 : 2:c. o = c. 0 o < 2.cc2:cp:c,2:cFig.P.2.16Lapartculaeslanzadaconunavelocidadinicialhorizontal c= co,cuando: = :c.Sedeseaconocerlascondicionesquedebecumplircparaquelapartculanuncasesalgadelasuperciedelcono(enefecto,podrasalirseporabajooporarriba).222.1 Problemas 2 DINAMICA(a) Escribalaecuaci ondemovimientoysep arelaenlasecuacionesescalares.Encuentreoenfunci onde:.(b) Encuentre :2enfuncionde:.(c) Cualeselm aximovalordectalquelapartculanoseescapeporarriba?(d) Cualeselmnimovalordectalquelapartculanoseescapeporabajo?De,entonces,elrangodevaloresquepuedetomarcparaquelapartculanuncaseescapedelasuperciec onica.232.1 Problemas 2 DINAMICA2.1.1. DinamicadeVariasPartculasP.2.17Tres varas ideales (perfectamente rgidas y de masa despreciable) forman un tri angulo equil aterode lado 1. El vertice Cest a jo en el techo mientras que los otros dos vertices tienen partculasdemasa:. El sistemaoscila, enel planodel dibujo, entornoal puntojoC. Lacondici oninicialeso(0) = ocyo(0) = 0.Enloquesiguepuedeusar,porcadafuerza1quedesconozca,laforma1= )),donde)esunescalardesconocidoy)sdebieraserconocido.(a) ObtengalasexpresionesparalosmomentosangularesO,(G)OyGsinhacerusodelarelaci onqueexisteentreestostresvectores.(b) ObtengalostorquestO,t(G)OytGsinhacerusodelarelacionqueexisteentreestostresvectores y escriba las ecuaciones a las que conduce cada una de las tres ecuaciones del tipo = t.(c) Encuentre la(s) condicion(es) para que las ecuaciones anteriores sean consistentes entre s.(d) Integreunavezlaecuacionalaquetodasseredujeron.(e) Escriba la ecuaci on de movimiento (2ooley) del centro de masa y, usando esto con todo loanterior, obtengaenformatotalmenteexplcitalafuerzaexternatotal. Escribaademas,lafuerza(funciondeo)queeltechoejerceparamantenerjoalpuntoC.o1pFig.P.2.17CFigP.2.18c/opC:1:2P.2.18Unabarrargidaidealsinmasadelargo1 = c + /puedegirarenunplanoverticalentornoaunpuntojoCqueseparaalabarraenunbrazodelargocyotrodelargo/.Enlosextremosdelabarrahaypartculasdemasas:1y:2.242.1 Problemas 2 DINAMICA(a) Determineelmomentoangularyeltorque,conrespectoaC,delsistema.(b) Deloanteriorobtengalaecuaci ondinamicaparael anguloo,eintegrelaunavez.(c) Sielsistemaessoltadodesdeelreposocono 0,esteseacercaosealejadeo = 0?P.2.19Dospartculas,demasas:1y:2,queestanunidasporunacuerdadelargod,semuevensinroceporelinteriordeuntubo.Eltuboest aunidodemaneraperpendicularaunejequegiraconvelocidadangularconstante. Inicialmentesesueltaal sistemaconmovimientonuloconrespectoaltuboyconlamasa:1aunadistancia1deleje.(a) Escribalasecuacionesdemovimientoysep arelasenecuacionesescalares.(b) Resuelva estas ecuaciones y encuentre las distancias de las partculas al eje, j1y j2, comofuncionesexplcitasdeltiempo.(c) Calculeelvalordelatensi ondelacuerda.Fig.P.2.19d:2:1Fig.P.2.20 c:2:1 pP.2.20Considere un sistema de dos masas : y 2:, respectivamente, unidas por una cuerda inextensiblede largo 1 y colocadas sobre una supercie horizontal entre dos paredes paralelas, como se incanlagura. El roceconladuperccieesdespreciable. Inicialmente, lalneaqueunealasdospartculasesperpendicularalas2paredes. Sedaunimpulsoalapartculademasa2:, demodoquesuvelocidadinicialesc,paralelaalasparedes.Determine:(a) el tiempoquetranscurreantes dequealgunadelas dos masas choqueconunadelasparedes,y252.1 Problemas 2 DINAMICA(b) latensi ondelacuerdajustoantesdelimpacto.P.2.21Consideredospartculasdemasa:cadauna,unidasporunabarradelargo1.Elsistemaseencuentraenequilibrioenlaposici onvertical,enelbordedeunasuperciehorizontalubicadaen.=0, comoseindicaenlagura. Ent=0lapartcula1(inferior)seimpulsaenformahorizontalconrapidezc.(a) Determineel angulooquelabarraformaconlaverticalylavelocidadverticaldelcentrodemasa( .CA)enfunci ondeltiempo.(b) Determine la velocidad vertical de la partcula 1 ( .1) en funci on del tiempo. Para que condi-ci ondeclapartcula1puedeenalg unmomentoascender(esdecir,tener .1 0)?(c) Determinelamagnituddelafuerzaquelabarraejercesobrelaspartculasmientraselsistemacae.Fig.P.2.21.::12c.= 0p262.2 Soluciones 2 DINAMICA2.2. SolucionesS.2.2(a)/Fig.S.2.2Comenzamos por elegir unsistema de coordenadas cilndri-cas conorigental que la coordenada . sea nula enel fon-dodel cilindro. Conestoel vectorposici oninicialmenteque-da: : = 1 j + /. La posici on, velocidad y aceleracion paracualquierinstanteestadeterminadaentoncesporlosvectores:: = 1 j + ./. = 1oo + ./. c = 1o2 j + 1oo + ./Las fuerzas existentes son el roce viscoso, de la forma1..= c, la normal`= ` j, yelpeso:p= :p/.Reemplazando enlaexpresionparaelroceviscoso,lasecuacionesescalaresdemovimientoquedan: j) :1o2= `o) :1o = c1o 1:tcp:c/|c/) : .= :p c . 1:tcp:c/|cBuscamos :(t) = .(t)/,quesaledeintegrarlaecuaci on/):d .dt= (p +c: .) d .p +cn .= dt / :(|) :o=0.||o=0:cln(1 +c:p .) = t .(t) =:pc_cor|1Paraencontrar.(t)integramos .(t):d.=:pc_cor|1dt /:(|):o=.||o=0 .(t) = _:2pc2cor|_|0:pct .(t) = :pct :2pc2_cor|1272.2 Soluciones 2 DINAMICA(b) Paracalcularlavelocidadangularo,integramoso):doo= c:dt /00o=ro1.||o=0 ln_1oc_ = c:to(t) =c1cor|()(c) Lacondicionaimponer paraque de s olounavuelta(o) oi=2), suponiendoque(), es que tambienel tiempo que demora encaer hasta el fondo del cilindroser ainnito(t ).As,podemosintegrarlaecuaci on():do =c1cor|dt /0=20=0.|=|=c 2= c:1c_cor|0= 0 +:c1c c =:c21S.2.11(a): ,pcFig.S.2.11Comenzamospordenirunsistemadereferenciacomoelquesemuestraenlagura, conorigenenlaposici oninicial del bloque. Seg uneso, p=p sen c: p cos c ,yla fuerza total sobre el bloque (mientras este bajando o enreposo)seescribir acomo:1= :p + ` , /r: )j:.dondejser aelcoecientederoceest aticoodin amicodependiendodelasituacion.Sielbloquevacuestaarriba,)ju= +)ju:.Recordemos entonces las condiciones del problema: resorte inicialmente en su largo natural(r=0),yelbloquesinvelocidadinicial.Act uaelroceest aticoconelplano,i.e,a unnosehasobrepasadoel lmiteenel queel bloquedesliza. El planosevainclinandoMUYlentamente: esoquiere decir (quiz as el enunciadodebe ser m as explcitoenesto) quepodemosasumirque cy csontanpeque nosquecadainstantesepuedeconsiderarcomounasituacionest aticaenqueelplanonoseinclina.282.2 Soluciones 2 DINAMICAYa con estas consideraciones, podemos hacer suma de fuerzas, en la situaci on est atica paraelbloqueenr = 0,yparaun angulocarbitrario.Entonces:1: :p cos c + `= 01a: :p sen c )jc= 0Usandoambasecuacionesyrecordandoque)jc jc` = jc:p cos c,obtenemosque::p sen c jc:p cos cLacondici ondeestar apuntodedeslizar correspondealaigualdadenlaecuaci onanterior, pues la fuerza de roce est atico estara a un paso de ceder. Para ese instante lmite,setendraqueel angulodedeslizamientoccumpleconc= arctan jc .(b) Ahoralasituaci onesqueel bloquehacomenzadoadeslizarsobrelasupercie, quesemantendr adesdeahoraconunainclinacionc.Esfundamentalenestepunto2replantearlaecuaciondemovimiento.Ahora::) : r = /r )ju + :p sen c ,) :p cos c= `co: )ju= jo:p cos c r =d rdr r = /:r + p(sen cjo cos c) a0 rd r =a0_/:r + p(sen cjo cos c)_dr r22= /2:r2+ p(sen cjo cos c)rAntes de seguir, recordare que ces un valor que cumple la ecuacion sen c= jc cos c, yporlotanto: r22= /2:r2+ p cos c(jcjo)r. ()Comoqueremosbuscarparaquevalorderelbloquesedetiene,i.e, r = 0,_/2:r + p cos c(jcjo)_r = 02Engeneral,parajarideas,heintentadorepresentarcomounadiscontinuidadestecambiocualitativoenel estado de un sistema, en cuanto a la intuicion que nos llevara realmente a cuestionar si podemos seguir usandoonolaecuaciondemovimientoqueescribimosenlaparte(a).Esteanalisisesengeneralnecesariocuando,enpresenciadefriccion,ocurreuncambiodesentidoenelmovimiento.292.2 Soluciones 2 DINAMICALasolucionnulaindicaelprimerinstanteconvelocidadnula(almomentodepartir).Laotrasolucionda:rnoa=2:p/(jcjo) cos c .Estevalorespositivograciasaquejcjo(hastadondeconzco, estoocurreenlagranmayoradeloscasos).Por ultimo, comoconocemos renfuncionder, paracalcularlavelocidadm aximadu-ranteel movimientodescendientevolvamosalaecuacion r= /:r + p cos c(jc jo),ycalculemosparaquevalor rsecumple r( r)=0(queeslacondici onparaque rseam aximo).0 = /: r + p cos c(jcjo) r =:p/cos c(jcjo)Finalmentereemplazamos ren(),paraobtener: rnoa=:/ p cos c(jcjo) .(c) Queremos saber si es necesaria alguna condicion para que, una vez que se alcanza rnoa, elbloquepermanezcaenreposo.Responderestodemanerarigurosarequieredeunan alisisbastante complejo. Si bien es largo, el mejor argumento que he encontrado es el que sigue.Calcularemoscualeselmaximovalordeotalqueelbloquenosemuevasiesdejadoenreposoconunestiramientodel resorter=o(siempreconc=c),paranalmentecompararonoaconrnoa.Enestepuntohagamosel siguientean alisis: supongamos, soloporunmomento, quenoexistieraroceenlasituaci on.La unicaposiciondeequilibrioposible(esdecir,sidejoelbloqueenreposo,permaneceenreposo)seraaquellaenque: r(ocq) = 0 :p sen c/ocq= 0 ocq=:p/sen c=:p/jc cos cLuego, volviendo a nuestra situaci on con roce, si se deja al bloque en r = ocqy en resposo,setendraque)jc= 0(pordecirloas,nohacefaltafuerzaderoce).Entoncesahoradebemoshacerunan alisisqueconstadetrescasos,poniendoatenci onenelsentidoenelqueact ua)jc:caso(i)o= ocq.Eselcasotrivial.)jc= 0.Elbloquepermaneceenrepososinrestriccionalguna;esm as,nisiquieraesnecesarialaexistenciadeunafuerzaderoceest atico.caso(ii) o< ocq. En este caso, el resorte a un intenta tirar al bloque cuesta arriba, pero lacomponente delpeso que apunta cuesta abajo es mayor,por lo tanto elroce est atico302.2 Soluciones 2 DINAMICAdebeapuntarcuestaarribaparalograrelequilibrio.)jc= )jc:.Entoncessiqueremosquesequedeenreposoenr = o,i.e., r = 0:0 = /o+:p sen c)jc= /o+:pjc cos c)jc )jc= :pjc cos c/oComoo 0,enestecasosiempresetendr aque)jc jc`= :p cos cjc.Nohacefaltaningunacondici onparaquepermanezcaenreposo.caso(iii)o ocq. Enestecasolacomponentedel peso, cuestaabajo, esmenorquelafuerza del resorte, cuesta arriba, entonces para mantener el equilibrio, el roce estaticodebeapuntarcuestaabajo.)jc= +)jc:.Luego,paraque r(r = o) = 0:0 = /o+:p sen c+)jc= /o+:pjc cos c+)jc )jc= /o:pjc cos cEntonces,quesecumpla)jc jc:p cos c o 2njIjc cos c. onoa=2:p/jc cos cEsteonoaes el m aximoestiramientoposibleparael cual, si sedejael bloqueenreposo,semantendraenreposo.Loscasos(i)y(ii)noexigencondiciones.Encambio,elcaso(iii)exigequernoa