art2 matematica

MDULOMATEMTICACuaderno 2

Mdulos de trabajo para los alumnos del ltimo ao del Nivel Medio/Polimodal.

Direccin de Articulacin de Niveles Educativos

Universidad Nacional del Nordeste

A u t o r i d a d esMinisterio de Educacin, Ciencia y TecnologaLic. Daniel Filmus - Ministro Dr. Juan Carlos Pugliese - Secretario dePolticas Universitarias rea de Articulacin

Universidad Nacional del NordesteArq. Oscar Vicente Valds Rector Dr. Hctor J. Zimerman Vicerrector Med. Vet. Oscar Maccio SecretarioGeneral Acadmico

Lic. Gustavo Crisafulli Responsable

Prof. Aldo F. Lineras Director de

Articulacin de Niveles Educativos

Gobierno de la Provincia de CorrientesDr. Horacio Colombi Gobernador Dr. Eduardo Galantini Vicegobernador Dr. Carlos J. Vignolo Ministro deEducacin y Cultura Educacin

Gobierno de la Provincia del ChacoSr. Roy A. Nikisch Gobernador Dr. Eduardo A. Moro - Vicegobenador Dr. Jaime L. Grabow Ministro deEducacin, Cultura, Ciencia y Tecnologa

C.P. Rubn A. Ojeda Subsecretario deProf. Alejandra S. de Panseri Directora de Enseanza Media y Superior

Prof. Martha Fassano Subsecretaria deEducacin

DIRECCIN DE ARTICULACIN DE NIVELES EDUCATIVOSProf. Aldo F. Lineras Director de Articulacin de Niveles Educativos Prof. Mariana Ojeda Equipo de Apoyo TcnicoPlcido Martnez 1383, Corrientes, Capital. TE/FAX: 03783 425314 / 464483 E mail: [email protected]

ELABORACIN DEL MDULO

Coordinacin Pedaggica

Mara Paula Buontempo

Coordinacin del Mdulo:

Mara Cristina Beltrametti

Autoras

Nelci Noem del Carmen Acua Daniela Ins Andreoli Milena Balbi Silvia Mazza

Correccin de estilo

Olga Musimessi

Diseo y diagramacin

Julieta Guidici Alberto Rolando Dahan

Octubre 2005

PrlogoEl presente material es producto del Programa de Articulacin Universidad Nivel Medio II que llevan adelante la Secretara de Polticas Universitarias y la Universidad Nacional del Nordeste en convenio con los Ministerios de Educacin de las Provincias de Chaco y de Corrientes. Se trata de una segunda serie de publicaciones que deben sumarse a las producidas durante 2003, como resultado de la primera etapa de nuestras acciones de articulacin. En tal sentido, el presente nos encuentra firmes en el compromiso de trabajar cooperativamente con los dems actores educativos en un esfuerzo basado en la conviccin de que la excelencia y calidad de la formacin de los egresados se consigue pensando al sistema como tal. Por lo tanto, el trnsito desde los estudios medios hacia los superiores se constituye en espacio de especial referencia para las polticas que buscan asegurar la igualdad de oportunidades en educacin, a la vez que son la base del mejoramiento en el ingreso y la retencin en estudios superiores. Los equipos redactores han sido conformados con personal universitario y del nivel medio pues se ha buscado en todo momento que los aportes tericos disciplinares puedan ser pensados a la luz de las prcticas docentes que utilizarn el material. Desde la Universidad Nacional del Nordeste confiamos en que el camino que hemos iniciado profundiza la democratizacin de nuestro sistema educativo pues el xito de estas acciones aumentar las posibilidades de los estudiantes de encarar satisfactoriamente sus estudios superiores.

Arq. Oscar Vicente ValdsRector - UNNE

In t r o d u c c i nCon este segundo cuaderno, destinado a los alumnos del Nivel Polimodal que aspiran a cursar alguna carrera en la UNNE, se pretende recrear los aprendizajes de contenidos matemticos que pueden haber sido aprendidos en los niveles de EGB y Polimodal, a travs de situaciones, que les permitan involucrarse paulatinamente con problemas que pongan en juego herramientas y procedimientos especficos de la matemtica, continuando su formacin iniciada en los niveles escolares anteriores. Planteamos actividades que seguirn la lnea de trabajo del Cuaderno I de esta serie, relacionadas con algunos de los procedimientos generales del quehacer matemtico: lectura e interpretacin de informacin, interpretacin y representacin de conceptos y relaciones en distintos marcos (fsico, grfico, geomtrico, modelizacin de situaciones problemticas a travs de materiales, tablas, dibujos, frmulas, generalizacin de soluciones y resultados, elaboracin de conjeturas). La Matemtica sirve a otras ciencias como herramienta, fundamentalmente en la modelizacin y el anlisis, esto se tratar de hacer con los contenidos seleccionados: las expresiones algebraicas, identidades y ecuaciones lineales y el estudio de la relacin de la variabilidad entre cantidades, y las funciones y sus grficas. Corresponde, por un lado, un tratamiento ms sistemtico de la nocin de variable, parmetro y dependencia, caracterizacin de dominios o conjuntos de definicin, y distintas formas de representacin (coloquial, grfica, algebraicas, tablas, entre otras.)

En las reuniones de articulacin del Nivel Polimodal con la Universidad se acord que para el aprendizaje de los contenidos de la asignatura Matemtica correspondientes a los planes de estudio de las diversas carreras de la UNNE, se requiere que los estudiantes hayan desarrollado algunas competencias bsicas y especficas, y para este cuaderno se tomaron para su desarrollo las siguientes: Resolver situaciones problemticas utilizando correctamente el mtodo de modelizacin algebraica consistente en la eleccin del modelo algebraico adecuado: ecuaciones o inecuaciones, sistemas de ecuaciones o sistemas de inecuaciones, el planteamiento del problema, la resolucin del modelo algebraico (ecuacin, inecuacin o sistema), la verificacin de las soluciones y la posterior discusin de resultados. Identificar, definir, graficar, describir e interpretar funciones polinmicas de primero y segundo grado y funciones trascendentes: la logartmica y la exponencial.

Para lo cual se plantearan actividades para que el alumno pueda realizar: Traduccin de las condiciones de un fenmeno o problema en trminos de igualdades, ecuaciones o inecuaciones. Resolucin de ecuaciones, inecuaciones y sistemas de primer grado por mtodos grficos y algebraicos. Anticipacin de la solucin de ecuaciones, inecuaciones y sistemas lineales a partir del anlisis de tablas y grficos. Modelizacin de situaciones problemticas, expresando las condiciones como ecuaciones o sistemas de ecuaciones y /o inecuaciones. Resolucin analtica y grfica, por distintos mtodos, de ecuaciones de primer grado con una incgnita; sistemas de dos ecuaciones con dos incgnitas y /o inecuaciones de primer grado; ecuaciones de segundo grado; ecuaciones logartmicas, exponenciales (casos simples); sistemas de dos ecuaciones lineales. Comparacin de mtodos y discusin del nmero de soluciones en la resolucin de distintos tipos de ecuaciones, inecuaciones y sistemas. Utilizacin del lenguaje grfico para expresar relaciones funcionales y como sntesis de stas.

Descripcin de un fenmeno utilizando funciones. Discriminacin de relaciones funcionales que aparecen en los peridicos y otras fuentes de informacin. Utilizacin del lenguaje grfico para expresar relaciones funcionales y como sntesis de estas. Utilizacin del lenguaje algebraico para describir grficas sencillas. Descripcin de las caractersticas ms importantes de una funcin a travs de su grfica. Discriminacin de relaciones no funcionales a travs de sus grficos o tablas. Reconocimiento desde el grfico del dominio y de la imagen de funciones y anlisis de las grficas de funciones basndose en propiedades de crecimiento, decrecimiento, mximos y mnimos, periodicidad, continuidad. Anlisis de los ceros, mximos y mnimos de funciones elementales a partir de su expresin analtica y las variaciones en los grficos al variar los parmetros. Relaciones entre la ecuacin general de la recta y su grfico (variaciones del grfico segn cambian los parmetros de la ecuacin, pendiente, cantidad de datos necesarios para determinar una recta y obtener su ecuacin, distintas formas de representar una recta: ecuacin general, forma explicita.)1

En el material comprende seis captulos: Funcin Lineal, Sistemas de Ecuaciones Lineales, Funcin yEcuacin cuadrtica, Polinomios, Funcin Exponencial y Funcin Logartmica, Vectores y un Glosario. En cada uno de ellos encontraran problemas resueltos, actividades para resolver y al finalizar cada captulo ejercicios y problemas de autoevaluacin. Se ha querido tambin aprovechar la oportunidad de brindar situaciones que completen algunos aprendizajes que sern de gran utilidad a la hora de afrontar los estudios universitarios.

1. Acuerdo realizado en las reuniones de articulacin entre UNNE, y representantes de los Ministerios de Educacin de Chaco y Corrientes.

CAPTULO 1.LA FUNCIN LINEAL

Este Captulo contiene Las Relaciones entre Variables. Funciones. La Funcin de Proporcionalidad entre dos Variables. La Representacin de Funciones. Coordenadas en el Plano. La Funcin Lineal. Ecuacin de la Recta. Forma Explcita, Implcita y Segmentaria de la Ecuacin de la Recta. Componentes. Paralelismo y Perpendicularidad entre Rectas. Casos Particulares. Recordando algunas Aplicaciones. Para Resolver. Para Autoevaluacin. Respuestas.

Autor Silvia M. Mazza

Mdulo Matemtica - UNNE Articulacin

Las Relaciones entre Variables - Funciones:Recordando que entre dos variables se pueden establecer diferentes tipos de relaciones, en este captulo vamos a dedicarnos a estudiar algunas funciones. Veamos un ejemplo:EJEMPLO 1:

En una fiesta familiar, un fotgrafo deba registrar los diferentes grupos para organizar el lbum familiar. Especficamente deba formar grupos de padres e hijos. Para conocer las relaciones que existan entre los diferentes integrantes de la familia consult a cada joven acerca de quin era su padre. Obtuvo la siguiente informacin que volc en una tabla: Como podemos ver entre estos dos conjuntos de personas es posible establecer la relacin es hijo de, en la que a cada joven le corresponde un padre. La relacin es hijo de permite asociar a cada individuo del grupo de los jvenes con un individuo del grupo de los mayores que es su padre. Este tipo de relaciones en la que cada individuo del primer conjunto (jvenes) (denominado dominio: A) puede relacionarse con un individuo del segundo conjunto (mayores) (denominado imagen: B), recibe el nombre de funcin. El fotgrafo fue muy astuto, porque le pregunt a los jvenes por su padre. Qu hubiera pasado si hubiera consultado a los mayores acerca de quin era su hijo? Probablemente hubiera perdido ms tiempo, porque poda haber personas mayores que no tuvieran hijos o que tuvieran ms de un hijo. Entonces la relacin que hubiera establecido, es padre de, cumple con la condicin de ser una funcin? No sera una funcin en el caso de que no se verifique que todo elemento del primer conjunto A (mayores) tenga un nico correspondiente en el segundo conjunto B (jvenes), es decir que un padre tuviera ms de un hijo. Vemos entonces que si una relacin entre dos variables es una funcin, no necesariamente su inversa ser tambin una funcin.

Joven (A) Jos Mara Luis Vctor Elena

Es hijo de (B) Marcelo Esteban Alberto Juan Csar

Se dice que f es una funcin de un conjunto A en otro conjunto B s y slo s f es una relacin entre A y B, tal que todo elemento de A tiene un nico correspondiente en B.

La Funcin de Proporcionalidad entre dos Variables:Recordemos algunas nociones ya vistas sobre proporcionalidad: En muchas situaciones la relacin que existe entre dos magnitudes o variables permanece constante. Por ejemplo, sea x una variable e y otra variable, se verifica la relacin y es el doble de x.

13

Cuando el cociente entre dos variables es una constante, ambas variables presentan una proporcionalidad directa. Generalizando se puede establecer la funcin y = kx Donde el valor de la razn (constante entera = k), se denomina constante de proporcionalidad.

La relacin funcional entre ambas variables puede ser resumida en una tabla, en la que se asignan diferentes valores a x obtenindose diferentes valores para y: Se verifica que y =2 para cada par que x pertenece a la relacin.

x x1 x2 x3 x4 . . . xn x 0 1 2 3 4 5

y y1 = 2x1 y2 = 2x2 y3 = 2x3 y4 = 2x4 . . . yn = 2xn y 0 2 4 6 8 10

Asignndole a x valores enteros entre 0 y 5 por ejemplo, obtenemos la siguiente tabla (1):

La Representacin de Funciones Coordenadas en el Plano:Si imaginamos en el plano dos ejes orientados perpendiculares entre s, que se cruzan en el punto que denominaremos origen del sistema de coordenadas, obtenemos un par de ejes coordenados cartesianos ortogonales. El eje horizontal constituye el eje de las abscisas x y el vertical el eje de las ordenadas y. El plano queda dividido en 4 regiones o cuadrantes. Por convencin las abscisas son positivas en el primer y cuarto cuadrantes y las ordenadas en el primero y segundo cuadrantes y negativas en los otros. Considerando para cada eje, a partir del origen, un segmento arbitrariamente elegido, al que asignaremos longitud igual a uno, este es el segmento unidad, podemos establecer una escala para cada eje.3

EJE DE ORDENADAS

2

2do cuadrante x0

1

1er cuadrante x>0, y>01 2 3 EJE DE ABSCISAS

x

-3

-2

-1 -1

3er cuadrante x0 z>0. Aunque se trata de las ms simples, cada una de estas expresiones es una inecuacin, a la que podemos concebir como una relacin algebraica correspondiente a una desigualdad numrica, es decir, que ponen en relacin, a travs de los signos < , cantidades conocidas y cantidades desconocidas, llamadas incgnitas. En general: Las inecuaciones admiten las mismas operaciones que las ecuaciones, salvo cuando se multiplica a ambos miembros por un factor negativo, ya que en ese caso, cambia el sentido de la desigualdad. Verifica este hecho, simplemente con la desigualdad entre dos nmeros. Las inecuaciones nos permiten expresar y resolver situaciones como la que sigue: 13) Las longitudes de los tres lados de un tringulo son nmeros naturales y dos de ellos miden 1 cm y 4 cm respectivamente. Cunto mide el tercer lado? Se sabe que en todo tringulo cada lado es menor que la suma de los otros dos, pero mayor que su diferencia. Si llamamos x a la longitud del tercer lado, debe cumplirse que: x4-1 lo que equivale a x3 El nico natural que cumple las condiciones de ser mayor que 3, pero menor que 5, es x=4 . Cada una de las expresiones de aquella conjuncin constituye una inecuacin lineal con una incgnita pero, al tratarse justamente de una conjuncin, ambas condiciones deben cumplirse a la vez. Este hecho puede expresarse as: x-3 3x 3 x3 3 2x >4 x 1 x >2

3x+14 5x+3>3x+7 -x+1>-3

3x 4-1

5x-3x >7-3 x-1 a2 la parbola y = a1x2 + bx + c ms cerrada que la parbola y = a2x2 + bx + c .

y = a2x2 + b2x + c2 a1 > a2 > 0 xv

y = x2 + 2

y = x2

Si queremos analizar las grficas de la forma y = ax2 + c y la comparamos con y = x2 vemos que el valor de c modifica ordenada del vrtice y el conjunto imagen de la funcin, pero no el eje de simetra.

Si analizamos otras formas como y = (x k)2 respecto de y = x2. Por ejemplo las funciones cuyas grficas son las siguientes:y = (x + 2)2 y = x2

y = (x - 3)2

Cules son las cuestiones que se modifican? Habrs observado que se modifica el eje de simetra y la abscisa del vrtice; pero no su ordenada ni el conjunto imagen de cada funcin.

Si combinamos ambos casos tendramos la siguiente variacin:y = (x - k)2 - h y = x2

k h

Ahora usando todo lo que hemos desarrollado hasta aqu:


3) Grafica las siguientes funciones: a) y = x2 +3 b) y = -x2 + 3x c) y = x2 x + 14 d) y = -3 (x - 2)2 + 5 e) y = (x - 4)2 + 3 Elabora argumentos para justificar tus grficos. Ahora vamos a trabajar con la grfica de la funcin e). Analiza cmo se procedi para graficar. y=(x-4) 2 +3 tiene su eje de simetra en x = 4. Su vrtice en (4, 3). El vrtice es un mnimo: el valor mnimo de la funcin es y = 3 , para x= 4 . Piensa cmo podras determinar estos elementos de la grfica sin construirla, slo interpretando la ecuacin. Por ejemplo, con tus compaeros intntenlo para: y = -3 (x-2) 2 + 5 y para y = 2 ( x -1) 2 -1 . Si tu compaero de estudios falt hoy a clase , y tienes que indicarle por telfono cmo construir estas dos grficas, enuncia cmo lo diras. Algunas conclusiones: Con respecto a los grficos de las funciones cuadrticas hasta ahora sabemos que si f(x) = ax2 + bx + c (a 0) entonces: Es simtrico respecto de una recta vertical (eje de simetra). Si el coeficiente a > 0 la parbola tiene sus ramas hacia arriba. Si el coeficiente a < 0 la parbola tiene sus ramas hacia abajo. Tienen un valor mximo o mnimo igual a c-b2 / 4 a , cuando x= - b/ 2 Este valor es un mnimo cuando a>o y es un mximo cuando a < o. Y teniendo en cuenta las races de la ecuacin cuadrtica ax2 + bx + c =0 (a 0) asociada a la funcin cuadrtica f(x) = ax2 + bx + c (a 0) Si b2 4ac > 0 el grfico corta al eje x en dos puntos Si b2 4ac = 0 el grfico es tangente al eje x Si b2 4ac < 0 el grfico no corta al eje x Estas observaciones sern retomadas ms adelante cuando abordemos el tema ecuaciones cuadrticas. 4) Cuales de las siguientes expresiones corresponden a funciones cuadrticas? . Descrbelas en funcin a todo lo que ya conoces sobre cuadrticas. a) f(x) = 2x +3 b) f(x) = x2 + 2x + 5 c) f(x) = x2 + 8 d) f(x) = -x2 e) f(x) = x3 f) f(x) = sen x 6 g) f(x) = x

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5) Estas son las grficas que realiz un grupo de chicos. Con tu compaero, intenten colocarle arriba, un ttulo que identifique de qu tipo de funcin se trata, y debajo comentarios para que otro pueda entender relaciones y diferencias entre ellas.4.0 3.0 2.0 1.0

-4.0

-3.0

-2.0

-1.0-1.0 -2.0 -3.0 -4.0

1.0

2.0

3.0

4.0

Para la realizacin de la siguiente tarea te invitamos a que visites cualquier sitio de Internet que contenga graficadores de funciones para Windows. Te proponemos dos, pero no son los nicos: En www.emagister.com encontrars el graficador WINPLOT, de uso muy sencillo. En www.graphmatica.com/espanol encontrars el programa GRAPHMATICA. 6) Empleando un software construye a partir de la grfica de la funcin y = x2, compara y trata de describir las variaciones respecto a la misma de las siguientes funciones: a) y = (x 1)2 b) y = x 2 + 2x + 3 c) y = (x 1) (x 3) 2 2 d) y = (x 3) e) y = x + 3 f) y = -x 2 + 1 g) y = -12 x 2 h) y = -2x 2 Realiza una agrupacin de las mismas en funcin a las caractersticas comunes.

Actividades Para resolver 7)El ingreso mensual por concepto de la venta de x unidades de cierto artculo est dado por: R(x) = 12 0,01 x2 pesos. Determina el nmero de unidades que deben venderse cada mes con el propsito de maximizar el ingreso Cul es el correspondiente ingreso mximo? 8)El costo promedio por unidad en pesos al producir x unidades de cierto artculo es C(x)= 20 - 0,06x + 0,0002 x2. Qu nmero de unidades producidas minimizan el costo promedio? Cul es el correspondiente costo mnimo por unidad?


9)Al lanzar una pelota verticalmente hacia arriba con una velocidad inicial de 20m/s, su altura h(t) expresada en metros despus de t segundos est dada por la expresin: h(t) = 20t 5t2. a) Piensa cmo vara la altura que alcanza la pelota respecto del tiempo. Describe la variacin y dibuja un grfico aproximado. b) Comprueba tu grfico aproximado construyendo una tabla que d la altura de la pelota a intervalos de un segundo y la grfica. c) Encuentras alguna relacin entre la frmula, el tipo de variacin que pensaste y el grfico construido? d) Qu pasa despus de t = 4 segundos?

Al resolver este problema has empleado muchas cuestiones abordadas en situaciones anteriores tales como: el modelo matemtico que permite relacionar la altura alcanzada por la pelota en un instante cualquiera es una funcin cuadrtica. El coeficiente cuadrtico es negativo, por lo que las coordenadas de la parbola nos indican el instante en que la pelota alcanza la mxima altura y cul es la altura mxima. Al construir la tabla de valores solicitada y la grfica, has verificado que, alcanza la mxima altura en t = 2s . Y para t = 4s, es h (4) = 20 4 5 42 = 80 80 = 0 Desde el punto de vista del problema; en t = 4 la pelota alcanza el suelo. En muchas situaciones como estas es importante encontrar los valores que hacen cero la funcin, para nuestro problema significa el momento donde toca el suelo. Ahora vamos a recordar cuestiones algebraicas que nos sirvan para calcular los ceros o races de una ecuacin de segundo grado. Comencemos con la definicin de ecuacin de segundo grado: La ecuacin puede ser completa ax2 + bx + c = 0 con a 0; b 0; c 0 o puede ser incompleta: b 0 y c = 0 de donde resulta una ecuacin del tipo ax2 + bx = 0 b = 0 y c 0 de donde resulta una ecuacin del tipo ax2 + c = 0 b = 0 y c = 0 de donde resulta una ecuacin del tipo ax2 = 0 10) Busca y enuncia ejemplos para cada uno de estos casos. Toda ecuacin de segundo grado con una incgnita tiene dos races que denotamos x1 y x2. Las soluciones o races x1 y x2 de una ecuacin de segundo grado de la forma 51Una ecuacin de segundo grado con una incgnita, es una ecuacin de la forma: ax2 + bx + c = 0 con a, b, c R, y a 0

ax2 + bx + c = 0 con a 0 pueden obtenerse a travs de la frmula b2 x1 = -b + 2a - 4ac b2 ; x2 = -b - 2a - 4ac

que puede ser escrita en forma abreviada b2 x1,2 = -b 2a - 4ac La expresin del radicando b2 4ac se llama discriminante de la ecuacin y se simboliza con la letra griega . Segn el tipo de discriminante tenemos: Si b2 4ac > 0; la ecuacin tiene dos races reales y distintas. Si b2 4ac < 0; la ecuacin no tiene races reales, tiene dos races complejas conjugadas. Si b2 4ac = 0; la ecuacin tiene una nica solucin real, diremos que es una raz doble. Resuelve las siguientes ecuaciones y compara tus procedimientos y soluciones con las de tus compaeros: a) x2 + 2x +3 = 0 b) - 12 x2 = 0 c) x2 + 3 = 0 d) -2 x2 = 0 e) - x2 + 1 = 0 Completa la siguiente tabla donde x1 y x2 races de estas ecuaciones Conjunto numx1 x2 x1 + x2 x1 . x2 rico al que

Ecuacin x2+2x+3= 0 - 12 x2 = 0 x2 + 3 = 0 -2 x2 = 0 -x2 + 1 = 0

Discriminante: 0

Analiza con tus compaeros la tabla y traten de elaborar una conjetura. Enncienla. Busquen ms ejemplos para comprobarla. Un grupo de alumnos afirma lo siguiente: a) Si x1 y x2 son races de x2 + b x +c = 0 entonces x1 + x2 = - b y x1 . x2 = c b) Si x1 y x2 son races de a x2 + b x +c = 0 entonces x1 + x2 = - b/ a y x1 . x2 = c/a Ests de acuerdo? Concuerdan con las conclusiones que enunciaste respecto del cuadro? Enuncia argumentos.


Las propiedades que has trabajado aqu se llaman propiedades de las races de las ecuaciones de segundo grado.

Actividades Resuelve los siguientes problemas 11)Considera todos los rectngulos de 20 cm de permetro y expresa el rea de esos rectngulos en funcin de uno de sus lados. Para poder comparar con los resultados de tus compaeros, unifica la notacin, al referirte a la base y a la altura, de la siguiente forma: b: base; h: altura. Para qu dimensiones del rectngulo el rea es mxima? Toma otros valores para el permetro y realiza un estudio similar. Qu conclusiones se pueden extraer acerca de los rectngulos de permetro fijo y rea mxima? 12)Sean ab un segmento de longitud igual a 8 cm y p un punto variable sobre dicho segmento. Para cada posicin de p se construye un rectngulo que tiene uno de sus lados sobre el segmento ab y cuyo permetro es 20 cm. Dibuja un rectngulo de 20 cm de permetro. Calcula su rea. 13)Repite lo anterior, para un rectngulo distinto, tratando de conseguir que el rea aumente. Trata de conseguir otro rectngulo de rea mayor a la de los anteriores. Explica cmo lo pensaste. Remitindonos nuevamente al problema 1. y a los problemas anteriores, que relacin puedes establecer con el problema inicial y los conocimientos matemticos que estn involucrados en los problemas anteriores? Modelizar requiere identificar y seleccionar las caractersticas relevantes de una situacin del mundo real, representarlas simblicamente, analizar el modelo y las caractersticas de la situacin, razonar tanto sobre aqul como acerca de stos y por ltimo, considerar la precisin y las limitaciones del modelo. Ahora vamos a trabajar algunas relaciones: Muchas veces las relaciones de proporcionalidad nos sirven para comprender la dependencia entre los elementos que intervienen en una frmula. Por ejemplo: si tenemos V = 1/3 r 2 h La frmula anterior expresa el volumen de un cono como funcin del radio r de la base y de la altura h del cono. El volumen es proporcional al producto r 2 h siendo 1/3 el coeficiente de proporcionalidad. Cuando la altura es constante, el volumen es directamente proporcional al cuadrado del radio de la base, cuando el radio r es constante, el volumen es directamente proporcional a la altura. 14)Estudia la relacin entre la longitud de la base y la altura de todos los rectngulos de 48 cm2 de superficie. Cmo podramos escribir esto como relacin funcional?

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15) a)Un mnibus hace normalmente el viaje de A a B en 212 hs. Aumentando su velocidad en 8 km/h podra hacer el viaje en 214 hs. Halla la distancia de A a B y la velocidad usual del mnibus. b)La altura de un cilindro es dos veces el dimetro de la base. Expresa el volumen del cilindro en funcin del radio r de la base. 16)Escribe una frmula que exprese la relacin funcional que se indica en cada uno de los enunciados siguientes. a)La resistencia R de un hilo elctrico a temperatura constante es directamente proporcional a su longitud l e inversamente proporcional al cuadrado de su dimetro. b)El volumen V de un gas es directamente proporcional a su temperatura absoluta T e inversamente proporcional a la presin p a que se halla sometida. c)En el movimiento uniforme el espacio recorrido e es directamente proporcional al tiempo t empleado en recorrerlo. En este caso el coeficiente de proporcionalidad se llama velocidad. Si para t = 5 seg. se tiene e = 40 m expresa e como funcin de t y halla e para t = 10 seg. d)La fuerza F con que se atraen dos imanes es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia d entre ellos. Si para d = 8 cm es F = 0,8 g, expresa F en funcin de d y halla la fuerza con que se atraen cuando d = 6 cm. 17)1Un triangulo ABC es issceles y su base, igual a la altura, mide 2cm. Para cada punto P sobre la altura se determina un trapecio como lo indica la figura. Considera el rea del trapecio, que vara con P Para qu posicin de P el rea resulta mxima? a)Conjetura una respuesta. b)Trata de validarla utilizando una funcin como modelo. c)Interpreta el resultado que obtuviste a travs del grafico de la funcin que utilizaste como modelo Que otra informacin respecto al problema puedes obtener de dicho grfico? d)Se pueden encontrar otros modelos funcionales para esta situacin? Justifica la respuesta. 18)Dados dos nmeros positivos s y p, busca un rectngulo de permetro 2s cm y rea p cm2 para los siguientes valores de s y p. a) s = 15 y p = 36 b) s = 41 y p = 402 c) s = 39 y p = 402 (En el glosario encontrars algunas ayudas para recordar conceptos que te permitan resolverlo) Siguiendo con el problema: d) Qu condiciones deben cumplir los nmeros s y p para que se pueda encontrar un rectngulo de permetro 2s cm y rea p cm2? e) Para qu valores de s y p el sistema de ecuaciones x + y = s; x y = p tiene solucin nica, para qu valores tiene soluciones reales y distintas y para qu valores no tiene solucin real?

B

Q

P

A

R

M

C


19)Un cuarto de crculo cuyo radio es 6 cm. Un punto M que se desplaza sobre AB. Construimos un rectngulo, como se indica en la figura, AMDE y estudiamos las variaciones del rea de este rectngulo preguntando en concreto si esta rea tiene un valor mximo para una posicin de M. a)Construye la figura. b)Para diferentes valores de la distancia AM calcula el rea del rectngulo y presenta el resultado en un grfico. Ordena los siguientes valores de AM en orden creciente. AM

C

E

D

A

M

B

reac)Representa en el plano los puntos cuyas coordenadas sean los valores descritos ( abscisas= AM, ordenada = rea ) d)Estudia las variaciones del rea del rectngulo AMDE en funcin de la posicin del punto M sobre AB. e)Existe una posicin de este punto M para la cual el rea del rectngulo AMDE sea mximo?

La famosa Diferencia de CuadradosVamos a tratar de entender la demostracin geomtrica de una de las expresiones algebraicas ms conocidas: b2 a2 = (b + a) (b a).b

Construimos un cuadrado de lado b

b

b

b a

Marcamos un segmento de lado a con a < b , y construimos un cuadrado, como se indica en la figura, y trazamos una diagonal, obteniendo los siguientes segmentos:

b-a

b-a

b

b a b-a 1. Artculo del Grupo Lyce del IREm de Clement-Ferrand denominado Introduccin a la nocin de funcin en segundo del b.u.p, citado en Matemtica, modelos didcticos Programa de perfeccionamiento docente, Ministerio de Cultura y Educacin de la Nacin.

b-a

Recortamos la figura segn se indica:

b

b

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b-a

Con las piezas grises armamos un rectngulo (ser necesario dar vuelta una de ellas):

b

a

b-a

a

b

b

a

b-a

Observemos que qued formado un rectngulo de lado (a + b) y de lado (a - b):

b-a

a

b

Al comparar las reas de las dos figuras, notamos que son iguales:a b-a

b

a

b-a

b-a

b

b-aa

b

b

b2 a2

(b + a) (b a)

Hemos demostrado geomtricamente la identidad algebraica: b2 a2 = (b + a) (b a) Ahora intenta demostrar geomtricamente: a) (a + b)2 b) (a - b)2 c) Sirven estas demostraciones para valores negativos? Por qu?

Inecuaciones cuadrticasAs como se puede hablar de ecuaciones lineales y cuadrticas, tambin para el caso de las inecuaciones cuadrticas, por ejemplo: ax2 + bx + c > 0 ; con a > 0 cmo se resuelve esta inecuacin? Hay dos procedimientos: el geomtrico y el analtico. Procedimiento geomtrico Representamos la parbola de ecuacin y = ax2 + bx + c Sea = b2 4ac; se presentan tres casos: 1er caso Esta grfica corresponde al caso > 0. Hay dos races reales: x1 y x2


(supongamos x1 < x2) Se forman los intervalos (-; x1) y (x2; +) La solucin de la inecuacin ax2 + bx + c > 0 es la unin de los intervalos donde la parbola est por encima del eje x. Esto es: (-; x1) (x2; +) En el intervalo (x1; x2) la parbola est debajo del eje x. Este intervalo es la solucin de la inecuacin ax2 + bx + c < 0.

(-; x1) x1

(x2; ) x2

2do caso Esta grfica corresponde al caso = 0. Las dos races coinciden: x1= x2 La solucin de la inecuacin ax2 + bx + c > 0 es la unin de los intervalos donde la parbola est por encima del eje x. Esto es: (-; x1) (x1; +) Esta unin corresponde al conjunto de los nmeros reales excepto x1.(-; x1) x1 = x2 (x1; +)

3er caso Esta grfica corresponde al caso < 0. No hay races dobles y la parbola est totalmente por encima del eje x. La solucin de la inecuacin es el intervalo (-;+). Es decir el conjunto de los nmeros reales.

20)3 La curva de produccin para una panadera la da la funcin B2 + 2B + 4R 168 = 0 en donde B es pan y R son bizcochos. a)Cul es la capacidad mxima de produccin de bizcochos que tiene el panadero? Y para pan? b)Qu combinacin se producir si B = 8? Y si B = 4? Y si R = 30? c)Traza la curva de posibilidades de produccin. a)Cuando se dedica toda la capacidad a los bizcochos; B = 0 4R = 168 R = 42 Si se dedica toda la capacidad al pan; R = 0 B2 + 2B 168 = 0 Al aplicar la frmula para ecuaciones de segundo grado a la ecuacin anterior; se tiene B = 12 b) Si B = 8 B2 + 2B + 4R 168 = 0 (8)2 + 2(8) + 4R 168 = 0 4R = 88 R = 223. En base a un ejemplo planteado en Matemticas para economistas. Serie Schaum. McGraw-Hill por Edgard T. Dowling.

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R 4236 30 24 18 12 6 B 2 4 6 8 10 12 14 16

Si B = 4 42 + 2(4) + 4R 168 = 0 4R = 144 R = 36 Si R = 30 B2 + 2B + 4(30) 168 = 0 B2 + 2B - 48 = 0 La utilizacin de la frmula para ecuaciones de segundo grado o la factorizacin simple: (B + 8) (B 6) = 0 B = -8 B=6 Puesto que los valores negativos no son aceptables B = 6 Actividades 21)En la ecuacin -x2 + bx + 3 = 0 encuentra b para que una de las races sea 5. 22)En la ecuacin 4x2 - x + c = 0 halla c para que las races sean: a)Una real y doble b)Dos reales y distintas c)Dos complejas y conjugadas 23)Queremos fabricar marcos para cuadros con listones de madera de 6m de largo. a)Si la base mide 60 cm Cunto miden la altura y el rea del cuadro? b)Busca y expresa una relacin funcional entre la base del marco y el rea del cuadro. c)Para qu valor de la base el rea es mxima? 24)Halla los posibles valores de p para que cumpla las condiciones solicitadas: a)El grfico de la funcin y = px2 - x - 1 interseca al eje x en dos puntos. b)El grfico de la funcin y = -x2 - px - 5 toca al eje x pero no lo atraviesa. 25)Expresar en forma factorizada las siguientes funciones cuadrticas: a) y = -x2 + 4 b) y = x2 + 5 c) y = x2 + 2x + 1 d) y = x2 + 4x + 4 e) y = -5(x + 4)2 f) y = 9(x + 1)2 - 4

AUTOEVALUACIN 1)En un tringulo rectngulo, la diferencia entre los catetos es de 1,8m y el rea del tringulo es igual a 26,24 m2. Halla el valor de cada uno de los catetos. Rta. 6,4 y 8,2m 2 2)Una solucin de la ecuacin 8 x - 14 x + c = 0 es 14 Cul es la otra solucin? Cunto vale c? Rta. x2 = 3/2 c = 3 3)Escribe la ecuacin de segundo grado que tiene por soluciones 8 y -8 Cmo son las ecuaciones de segundo grado que tienen por soluciones nmeros opuestos? Rta. x2 - 64 = 0


4)El volumen de un cilindro es igual a 49,152 dm3. Si la altura del cilindro es igual a 3/2 del radio; halla el radio y la altura. R: 3,2 y 4,8dm 5)El nmero de diagonales de un polgono convexo es 35. De qu polgono se trata? R: decgono 2 6)El rea de un rectngulo es de 48 m . Si la base la aumentamos en 2m y el ancho lo disminuimos en 2m; el rea del nuevo rectngulo es de (44 - 42)m2 Cules son las dimensiones del rectngulo? R: 62 y 42m 7)Determina el valor o valores de k para que la ecuacin dada tenga races iguales. a) k x2 + 8 x + 4= 0 b) x2 + k x +8 = K 8)La hipotenusa de un tringulo rectngulo mide 13 cm y la diferencia entre los catetos es 7 cm. Cuntos centmetros mide cada uno de los catetos? R: 5 cm y 12 cm.

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CAPTULO 4.POLINOMIOS

Este Captulo contiene Introduccin

Utilidad de los Polinomios Definicin Identificacin Operaciones con Polinomios Teorema de Ruffini Especializacin Teorema del Resto Fracciones Algebraicas Races de Polinomios. Interpretacin Grfica Teorema Fundamental de la Descomposicin Recursos para encontrar races Un poco de Historia Relaciones entre races y coeficientes Transformacin de polinomios. Factorizacin Modelos Geomtricos

Ejercicios resueltos y propuestos Autoevaluacin

Autor Daniela I. Andreoli


POLINOMIOS IntroduccinEn los captulos anteriores hemos trabajado algunas funciones y ecuaciones polinmicas de bajo grado; en el presente, nos dedicaremos a ver la utilidad, a definir, identificar, operar, transformar y a hallar las races del objeto matemtico llamado polinomio, que tiene mltiples aplicaciones en las ciencias. Por ejemplo, podemos encontrar muy buenas aproximaciones de funciones complicadas que resuelven situaciones en contextos extramatemticos, a travs del denominado Polinomio de Taylor, o bien, simplemente hallar todos los volmenes, de todos los cubos, de arista x-2, representando la funcin polinmica (x 2)3.

Por qu estudiar polinomios?Analicemos juntos la siguiente situacin: 1) Un negocio de venta de automviles, luego de un complicado anlisis, lleg a la conclusin que su ganancia mensual puede estimarse, en miles de pesos, y en funcin de las unidades que vende, mediante el polinomio: G(x)= x3-5x2+4x -20. Investiga cul es la cantidad mnima de automviles que debe vender mensualmente para obtener alguna ganancia y cul es la ganancia mnima. Convengamos que esta empresa, que vende x cantidad de automviles, obtiene alguna ganancia si G(x)= x3-5x2+4x-20 > 0; no obtiene ganancia, pero tampoco pierde si G(x)= x3-5x2+4x-20 = 0 ; pierde, si G(x)= x3-5x2+4x-20 < 0. Aqu nos interesa averiguar la cantidad mnima x de automviles que debe vender para encontrarse en el primero de los casos, es decir, cuando x3-5x2+4x-20 > 0. Esta expresin es una inecuacin y, como es sabido, se comienza trabajando con la ecuacin x3-5x2+4x-20 = 0, para luego analizar en qu casos se presenta aquella desigualdad. Por lo tanto, deberamos hallar, si existen, el o los valores de x que anulan a G(x), o lo que es lo mismo, encontrar, el o los valores de x, que hacen que ese polinomio tenga un valor numrico igual a cero. Esos valores reciben el nombre de races o ceros del polinomio y no son ms que las soluciones de aquella ecuacin polinmica que, en el caso de tratarse de nmeros reales, coinciden con las abscisas de los puntos que la grfica de la funcin polinmica asociada, tiene en comn con el eje x. Con qu estrategia contamos para abordar esta tarea? No se trata de una ecuacin lineal, ni de una cuadrtica, que ya sabes resolver. Tampoco es una cbica de las fciles, como por ejemplo x3-1 = 0. Existe una frmula resolvente, la llamada Frmula de Cardano y Tartaglia, que muy probablemente desconozcas, y que tampoco es nuestra intencin trabajar aqu. Sin embargo, podemos explorar algunos mtodos grficos. De la pgina siguiente, puedes ver la grfica de la funcin f(x)= x3-5x2+4x-20, que se anula en x=5, y a la derecha, dos soluciones llamadas nomogr63

ficas, que consisten en descomponer la funcin original, en otras dos, y hallar la interseccin de sus grficas que, como puede verse, se cortan en el punto de abscisa x=5. x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 y -20 -20 -24 -26 -20 0 40 106 204 340 520G(x) x0 1 2 3 4 5 6 7

x3-5x2+4x-20 =0y 125

x3 =5x2-4x+20

y = 5x2-4x+20 y = x3-5x2+4x-201 2 3

y = x34 5 6 x 7

x3-5x2+4x-20 =0y 20

x3-5x2=-4x+20

y = x3-5x2-20

y = -4x+201 2 3 4 5 6 x 7

CUIDADO! La grfica de esta funcin consiste en los puntos aislados, ya que carece de sentido para valores de x que no sean enteros y no negativos.

Reflexionemos sobre lo que hemos hecho. Mediante grficas, encontramos el nico valor real de x que satisface la ecuacin x3-5x2+4x-20 = 0, sin embargo lo hubiramos hallado, si ese valor era, por ejemplo, 100? A menos que se utilice algn programa informtico graficador, como se ha hecho aqu, graficar una funcin con el objeto de buscar su interseccin con el eje x, si no se cuenta con otros recursos, equivale a comenzar a investigar los valores numricos que asume el polinomio cuando se le asigna valores arbitrarios, es decir, al tanteo. Si bien no queremos desmerecer el recurso grfico, pues nos provee informacin con respecto al comportamiento de la funcin, por ejemplo, que a partir de x=5 la funcin sigue creciendo y que no admite otras races reales, debemos admitir tambin sus limitaciones. Es por ello que retomaremos ms adelante esta situacin, cuando contemos con recursos ms eficaces para abordar su solucin. Finalmente, contestemos las preguntas que hace el problema. Cuando la empresa vende en un mes 5 automviles, no gana ni pierde, pero si vende 6, obtiene una ganancia mnima igual a G(6)=63-5.62+4.6-20=40, y como la funcin expresa sus valores en miles de pesos, tal ganancia es de $40000. Entonces:


La cantidad mnima de automviles que debe vender mensualmente para obtener alguna ganancia es 6 y en tal caso, la ganancia mnima es $40000.

Reflexiona respecto a cmo, en este problema, interactan los conceptos de polinomio, ecuacin y funcin. Observa la necesidad de explorar acerca de la operatoria con polinomios, de manera de facilitar, por ejemplo, la bsqueda de sus races.

Definir. Identificar. Operar con polinomiosEl lector estar acostumbrado a trabajar con expresiones tales como: 6x8 - 9x5 + 1x + 2 3 [1] 3x5 - x3 + 1 2 Si bien cada uno de los objetos que figuran, tanto en el numerador como en el denominador, son polinomios, esta expresin puede no ser un polinomio; ello depender de que la divisin, que all est indicada, tenga por cociente a un polinomio y adems, el resto sea cero. Una de las formas de dilucidar esta cuestin, es efectuar la divisin, operando mediante el algoritmo que has visto, y que intentamos que recuerdes aqu, a travs de las ayudas que brindamos en cada uno de los pasos. Ten presente que cada trmino del cociente (monomios), surge de dividir el primer trmino del dividendo, por el primer trmino del divisor.dividendo divisor

[2]

+

6x8 + 0x7 + 0x6 - 9x5 + 0x4 + 0x3 + 0x2 + 1x + 2 3 -6x8 + 2x6 - x3 2x6 - 9x5 + 0x4 - x3 + 0x2 + 1x + 2 3 + - 1x - 2x6 + 2x4 3 3 - 9x5 + 2x4 - x3 + 0x2 + 0x + 2 3 + 9x5 - 3x3 +3 2 2x4 - 4x3 + 7 3 2resto

/ 3x5 - x3 + 1 2 2x3 + 2x - 3 cociente 3

Reflexiona sobre qu propsito perseguimos al cambiar los signos del producto de cada uno de los trminos del cociente por el divisor. Observa que el grado del polinomio cociente es la resta del grado del dividendo y del divisor y el grado del resto es menor que el del divisor y reflexiona acerca del cociente y el resto, en el caso en que el dividendo sea de menor grado que el divisor, o nulo. Verifica las sumas y las multiplicaciones indicadas, apoyndote en las propiedades que figuran en el Glosario.

-[ 2x3 ( 3x5 - x3+ 1 ) ] 2

-[ 2x ( 3x5 - x3+ 1 ) ] 3 2

-[ 3 ( 3x5 - x3+ 1 ) ] 2

Convengamos que la divisin [2] involucra todas las operaciones. Practiquemos algunas ms, con el objeto de verificar la veracidad de esa cuenta, mediante la consabida prueba: COCIENTE x DIVISOR + RESTO = DIVIDENDO (2x3 + 2x - 3)(3x5 - x3 + 1 )+(2x4 - 4x3 + 7)= 3 2 3 2 =(6x8 - 2x6 + x3 + 2x6 - 2x4 + 1x - 9x5 + 3x3 - 3 )+(2x4 - 4x3 + 7)= 3 3 2 3 2 =6x8 + (- 2 + 2 )x6 - 9x5+ (- 2 + 2 )x4 + (1 + 3 - 4 )x3 + 1x + (- 3 + 7 )= 3 3 3 2 2 =6x8 - 9x5 + 1x + 2 3 Volviendo a nuestra cuestin inicial, est claro que el resto no result cero (en este caso, diramos, que no es el polinomio nulo), por lo tanto, segn lo que hemos acordado ms arriba, aquella expresin [1], no es un polinomio. Pero, si no es un polinomio, entonces qu es? Se trata

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de un cociente indicado de dos polinomios, donde el que figura en el denominador no es el nulo. Estas expresiones reciben el nombre de formas racionales o fracciones algebraicas. Aunque no lo parezca, el conjunto de estos objetos, sobre el que se definen las operaciones de suma y producto, muy conocidas por cierto, tienen una estructura algebraica an ms interesante que la de los polinomios, pues en aqul se verifica una propiedad que slo cumplen algunos polinomios, esta es, la existencia de inversos multiplicativos para todos sus elementos no nulos (el numerador no es el polinomio nulo) que, en el caso de la expresin [1] es: 6x8 - 9x5 + 1x + 2 3x5 - x3 + 1 3x5 - x3 + 1 3 2 2 pues . 8 =1 3x5 - x3 + 1 6x8 - 9x5 + 1x + 2 6x - 9x5 + 1x + 2 2 3 3 Hemos dicho que no todos los polinomios no nulos, admiten inverso 1 multiplicativo. Veamos: x.x =1 , de lo que podramos deducir que 1 es el x inverso de x. El inconveniente es que 1 no es un polinomio. En cambio, x el polinomio 2 (2-i), tratndose este ltimo de un nmero complejo imaginario, poseen inversos multiplicativos. Del primero es 1 y del segun2 1 do, es ( 2+5i ). Es muy probable que desconozcas an qu procedimiento 5 utilizamos para hallar el segundo de los inversos pero, puedes comprobar 1 1 fcilmente que (2-i) ( 2+5i ) = 1, de la misma manera que 2.2 =1 . 5 Ahora bien, tampoco son polinomios (ni monomios), las expresiones: 3x ; 3x ; 3x-3 ; log x ; sen x ; x2-1 x+3 Pero s son polinomios, las expresiones: 2 + 4x - 5x2 + 8x3 ; -0,2x6 - 2x2 + 8 7 2 ; x2-1 x+1

Verifica el ltimo caso.

Verifica el ltimo caso.

Pareciera que la cuestin pasa por observar qu operacin afecta a la x. En definitiva qu es un polinomio? Llamamos polinomio en una indeterminada x a toda expresin de la forma n P(x) = anxn+an-1xn-1+...+a2x2+a1x+a0 o bien P(x) = ai x i donde los ai pueden ser nmeros reales e incluso complejos imaginarios, x es la indeterminada e i asume valores enteros no negativos desde 0 hasta n. Adems, dos polinomios son iguales, si son ambos nulos, o si tienen iguales los coeficientes de los trminos de igual grado. Si bien en la definicin de P(x) (que se lee pe de equis) slo aparecen letras, debemos distinguir claramente que la x es la indeterminada y las aes, son parmetros. Tambin podemos extender la idea a polinomios con ms de una indeterminada, por ejemplo: 3x2yz - xyz. Con esta definicin de polinomio, estamos en condiciones de afirmar entonces que:i=0


Llamamos fraccin algebraica al cociente de dos polinomios: P(x) Q(x) donde Q(x) no es el polinomio nulo. Con las fracciones polinmicas se trabaja utilizando las mismas propiedades y tcnicas con las que se operan las fracciones numricas.

Reflexiona respecto a la veracidad de los siguientes enunciados: todos los polinomios son fracciones algebraicas y todas las fracciones algebraicas son polinomios. Repasa ahora, en el Glosario, los conceptos de grado de un polinomio, grado de un trmino, grado de la suma, resta, producto y cociente, polinomio mnico, polinomio nulo, coeficiente principal, trmino independiente, monomio, binomio, etc. y vers que los trminos independientes, exceptuando el polinomio nulo, son los polinomios de grado cero, que a la sazn, son los nicos inversibles.

2) Identifica cules de las siguientes expresiones son polinomios, cules son fracciones algebraicas y cules no son ninguno de stos. En el caso de los polinomios, determina su indeterminada, su grado, coeficiente principal y trmino independiente. a) A (x)=1x3-x+1 ; b) B (x)=x+2 ; c) C (t)=t2 +6t +9 5 d) D (x)=7-i g) G(y)=y- y-y 4 j) J (x)=73

; e) E (m)=(m-3)3 ; h) H(x)=(x+1)(x-1) ; k) K (x)=x3-3x+2 x-1

; f) F (r)=0 ; i) I (z)=z3-2z2+3 z+2 ; l) L (x)=x2+2x-1-2 x

Habrs notado que, tanto D como J son polinomios de grado cero a los que llamamos escalares; el primero con coeficientes en el conjunto C de los nmeros complejos, el segundo, en el conjunto de los nmeros naturales, o si prefieres, reales. La presencia de la raz cuadrada en la expresin C, parece indicar que no se trata de un polinomio, sin embargo, como: t2+6t+9 = t2+3t+3t+3.3 = t(t+3)+3(t+3) = (t+3)(t+3) = (t+3)2 [3] por lo tanto: C(t) = t2+6t+9 = (t+3)2 = t+3 que se trata de un polinomio de primer grado, en la indeterminada t. La expresin E es el cubo de un binomio, y por lo tanto, es un polinomio. Verifiquemos: (m-3)3 = (m-3)2(m-3) = (m2-6m+9)(m-3) = m3-3m2-6m2+18m+9m-27 = = m3-9m2+27m-27 [4] La expresin H es el producto de dos binomios, y por lo tanto, es un polinomio. Verifiquemos: (x+1)(x-1) = x2-x+x-1 = x2-1 [5] Las expresiones I y K son fraccionarias. El hecho de tener que decidir si se trata de polinomios o fracciones algebraicas, o ninguno de ambos, te obliga a efectuar las divisiones all indicadas. En I, llamamos P(z) al numerador y Q(z) al denominador y luego mostramos la cuenta de la divisin P(z):Q(z) = (z3-2z2+3):(z+2) utilizando, por un lado, el esquema general, y por otro, la llamada Regla de Ruffini, que te invitamos a repasar en el Glosario. Asimismo, hallamos el valor numrico que asume el polinomio que figura en el numerador, cuando se asigna un valor particular a la indeterminada, en este caso z=-2, proce67

dimiento denominado especializacin de la indeterminada z, que simbolizamos P(-2). Esquema general z3-2z2 +3 / z+2 -z3-2z2 z2-4z+8 2 -4z +3 4z2+8z 8z+3 -8z-16 -13 Cociente: z2-4z+8 Resto: -13 Esquema de Ruffini z+2 1 -2 0 3 -2 -2 8 -16 1 -4 8 /-13 Cociente: z2-4z+8 Resto: -13 Este esquema puede ser utilizado cuando el divisor es un binomio lineal y mnico, aunque esta ltima restriccin puede ser salvada mediante transformaciones. En general: Especializacin de z en el numerador P (-2) = (-2)3-2(-2)2+3 = -13 [6] Este resultado coincide con el resto de la divisin (z3-2z2+3):(z+2) que hemos encontrado y este hecho no es casual, aunque muy simple, tiene fuerza de teorema. En efecto: P (-2) = Resto de P (z) z+2

Teorema del RestoEl resto de la divisin de P(x) por x-, es P(). Esto es: P() = Resto de P(x) x- Demostracin: Imaginemos la cuenta de la divisin P(x) /x- R(x) Q(x) Como el grado del divisor es 1, entonces sucede que el resto es 0, o bien, es un polinomio de grado cero. Entonces, en cualquiera de los casos, se trata de un nmero que llamaremos r. Por el algoritmo de la divisin se cumple que: P(x)=(x-)Q(x)+r y reemplazando en ambos miembros x por , se tiene que P() = (-)Q()+r de lo que se obtiene que P() = r Volviendo a nuestro ejercicio 2.i), como el resto de la divisin (z3-2z+3):(z+2) no result nulo, concluimos que I(z)=z3-2z2+3 no es un z+2 polinomio Ahora analicemos la fraccin algebraica del tem k). Aprovechamos la oportunidad para hallar el resto, mediante el teorema del resto, es decir, evaluamos el numerador en x=1, de lo que resulta: 13-3.1+2=0 [7]. Sin haber hecho ninguna divisin, hemos encontrado que el resto de la divisin es 0, lo que nos dice que la fraccin algebraica K(x)=x3-3x+2 es un polinomio. x-1 3) Dados los polinomios P = 2x3-3x2+4x-7 ; Q = -x3+2x2-2x+3 ; R = x3+x2-6x+2 ; S = x-2 a) Efecta las siguientes operaciones entre polinomios y en caso de resultar posible, determina previamente el grado del resultado: i) P.Q-R ; ii) P+Q : R ; iii) R : S ; iv) S2 b) Halla de dos maneras diferentes: i) P (O) ; ii) Q (- 1 ) ; iii) R (-3) ; iv) S (2-i ) 2

Observa y verifica, haciendo la divisin, y luego una multiplicacin que, en este ltimo ejemplo, el polinomio x3-3x+2 puede ser escrito como un producto, esto es: x3-3x+2=(x-1)(x2+x-2).


Hallar racesTal como hemos visto en el problema 1, en diversas oportunidades resulta de inters analizar para qu valores se anula un polinomio, valores a los que llamamos races. En [6] hemos visto que P(-2)=-130 y concluimos que -2 no es raz de P(z)=z3-2z2+3; en cambio, en [7], la especializacin de x por 1 del polinomio x3-3x+2 result ser 0, y decimos que 1 es una de sus races. Esto ltimo nos ha permitido escribir a ese polinomio como un producto de otros dos, siendo uno de ellos, el binomio (x-1), es decir, x3-3x+2=(x-1)(x2+x-2). Por el contrario, el polinomio P(z)=z3-2z2+3 no puede ser escrito como un producto de polinomios, donde uno de ellos sea el binomio z+2. Formalicemos: Decimos que es raz del polinomio P(x), si, y slo si, la especializacin de x por , es 0. Esto es: es raz de P(x) P()=0 Lo que equivale a afirmar que (x-) divide exactamente a P(x) Es decir: es raz de P(x) (x-) | P(x) Lo que equivale a afirmar que P(x) puede escribirse como un producto de polinomios, siendo uno de ellos, el binomio (x-). O sea: es raz de P(x) P(x)=(x-).Q(x) De lo que antecede, resulta la siguiente cadena de equivalencias: es raz de P(x) P()=0 (x-) | P(x) P(x)=(x-).Q(x) Sabemos que a todo polinomio P(x) es posible asociarle una funcin polinmica f :R R/f (x)=P (x) e infinitas ecuacines polinmicas P(x)=a, entre las que se encuentra P(x)=0, sin embargo nos preguntamos todos los polinomios admiten races? y de ser as cuntas? Nuestra respuesta al primero de los interrogantes, es casi todos; resulta obvio que no hay x que anule, por ejemplo, al polinomio P(x)=5. Exceptuando las constantes, todo polinomio de grado positivo, admite al menos una raz. Lo que acabamos de enunciar es, nada ms y nada menos, que el Teorema Fundamental del lgebra, cuya demostracin dista mucho de ser sencilla. En cambio, no es muy complejo demostrar que todo polinomio de grado n, admite n races, no necesariamente distintas. Las races que se repiten, reciben el nombre de mltiples (doble, triple, etc.) Ahora bien, si por cada raz de P(x), aparece el binomio (x-) como factor en la expresin de P(x), es de suponer que en tal expresin, aparecern n binomios, en correspondencia con cada una de las races. En efecto, con ciertas aclaraciones que luego puntualizaremos, de esto trata el llamado Teorema Fundamental de la Descomposicin Factorial de los polinomios.

Observa qu fcil resulta aqu ver que 1 lo anula, y que las races de (x2+x-2), lo son tambin de x3-3x+2.

4) Halla las otras dos races del polinomio x3-3x+2. 69

Verifica 2=1 y 3=-2 lo son.

Observa en [8] la expresin del polinomio, como producto de factores binomiales de primer grado y mnicos.

Aqu tenemos la ventaja de saber que admite la raz 1=1, y que entonces x3-3x+2=(x-1)(x2+x-2). Por lo tanto el problema se reduce a hallar las dos races de x2+x-2. Ahora bien, hemos hallado las tres races, pero acordemos que fue posible encontrarlas debido a que conocamos una de ellas, lo que nos permiti bajar el grado del polinomio a uno de segundo grado. Es muy comn utilizar el procedimiento de divisiones sucesivas de Ruffini, que se muestra a continuacin. x-1 1 0 -3 2 1 1 1 -2 x-1 1 1 -2 0 1=1 es raz y adems x3-3x+2=(x-1)(x2+x-2) [8] 1 1 2 x+2 1 2 0 2=1 es raz doble y adems x3-3x+2=(x-1)(x-1)(x+2) -2 -2 1 0 3=-2 es raz simple, lo que ya se observa en el paso anterior Sin embargo, este procedimiento constituye ms bien una estrategia de verificacin y no de descubrimiento de races. Es por ello que cabe preguntarnos cmo hubiramos abordado esta tarea, de no conocer que el polinomio se anula para 1? Percibimos que nos faltan recursos y queremos convidarte algunos, mediante el siguiente listado de definiciones, propiedades y ejemplos.

1 2

Llamamos polinomios equivalentes a aquellos que admiten las mismas races Todo polinomio con coeficientes racionales puede transformarse en otro equivalente con coeficientes enteros Todo polinomio puede transformarse en otro equivalente mnico. Las races enteras de un polinomio con coeficientes enteros son divisores del trmino independiente de dicho polinomio (Consecuencia del Teorema de Gauss) Las races racionales de un polinomio mnico con coeficientes enteros, son enteras (Consecuencia del Teorema de Gauss) Las races racionales de un polinomio con coeficientes enteros son tales que el numerador es divisor del trmino independiente, y el denominador, es divisor del coeficiente principal (Teorema de Gauss)

Los polinomios: 2x3-2x+4 ; 2x3-6x+4 ; x3-3x+2 3 3 son equivalentes. Los tres admiten las races, 1, 1 y -2. Investiga cmo se obtiene cada uno a partir de los otros dos.

34

En el polinomio mnico del problema 1, G(x)=x3-5x2+4x-20, la nica raz entera se encuentra entre los divisores de -20, que son: 1; 2; 4; 5; 10; 20

5

6

Dado P(x)=x4+2x3-13x2-4x+5 4 2 Multiplicamos por 4, para obtener coeficientes enteros: Q(x)=4x4+8x3-13x2-16x+10 Divisores de 10: 1; 2; 5; 10 Divisores de 4: 1; 2; 4 Las posibles races racionales: 1; 1/2; 1/4; 2; 5; 5/2; 5/4; 10 Prueba que las races son: 1=1 ; 2=-5 ; 3=2 ; 4=-2 2 2


7

Si un polinomio admite slo races irracionales o imaginarias, no le sern de utilidad, las propiedades 4, 5 y 6.

Reflexiona sobre el alcance y las limitaciones del Teorema de Gauss. Lee, en Un poco de historia sobre la inexistencia de frmulas para hallar races de polinomios de grado mayor que 4. En el polinomio del problema 1, G(x)=x3-5x2+4x-20 ya sabemos que admite la raz 5. x-5 1 -5 4 -20 5 5 0 20 1 0 4 0 Buscamos las races del cociente x2+4=0 x2=-4 x=-4 x=2i Es decir: 1=5; 2=2i; 3=-2i La descomposicin factorial del polinomio G(x)=x3-5x2+4x-20 es G(x)=(x-5)(x-2i)(x+2i) [9] Si el polinomio no es mnico, se debe multiplicar por el coeficiente principal. Este teorema permite reconstruir polinomios a partir de sus races.UN POCO DE HISTORIA A principios del siglo XVI los matemticos italianos Scipione del Ferro (14651526), Niccolo Fontana (Tartaglia, por tartamudo) y Jernimo Cardano resolvieron la ecuacin cbica general, mediante radicales y en funcin de las constantes que aparecen en la ecuacin. A decir verdad, nunca qued probado que existiera el manuscrito de del Ferro, y fue Tartaglia quien envi a Cardano la solucin, pidindole que no la diera a conocer, lo que ste no cumpli.

8

Si un polinomio con coeficientes reales admite una raz compleja, tambin admite a su conjugada (Teorema de las races complejas de polinomios reales) Todo polinomio con coeficientes reales y de grado impar, admite al menos una raz real (Consecuencias del Teorema anterior) como un producto as: P(x)=an(x-1)(x-2).....(x-n) donde 1, 2,....n son las n races, no necesariamente distintas de P (Teorema Fundamental de la Descomposicin Factorial)

9

10 Todo polinomio de grado positivo puede escribirse

Para saber msRelaciones entre races y coeficientes Si se conocen las races de un polinomio P(x)=nxn+n-1xn-1+....+2x2+ +1x+0 , de grado positivo, puede construirse siempre un polinomio mnico, que las admita como races, a partir de las siguientes relaciones: suma de las races 1+2+3+...+n-1+n=-an-1 suma de los productos tomadas de a dos 12+13+...+n-1n= an-2 suma de los productos tomadas de a tres 123+124+...+n-2n-1n=-an-3 ................................................. producto de las races 1.2.3...n-1.n=(-1)na0 Estas relaciones permiten reconstruir un polinomio a partir de sus races o de una relacin conocida entre las mismas. Ejemplo: Hallemos el polinomio real de tercer grado, cuyo coeficiente principal es 2, una de sus races es i, y el producto de todas ellas es -3/2. Buscamos primero un polinomio mnico equivalente. Como una de las races es i, y se trata de un polinomio real, por prop. 8, otra de sus races es i. Adems 1.2.3...n-1.n=(-1)3a0 i.(-i).3=-3=-a0 3=-3 a0=3 . 2 2 2 Tambin 1+2+3=-a2 i-i-3=-a2 2 a2=3 . 2

Niccolo Fontana Tartaglia. 1500-1557

Jernimo Cardano 1501-1576

Adems 12+13+23=a1 i.(-i)+i.(-3)+(-i)(-3)=a1 1-3i+3i=a1 2 2 2 2 a1=1. El polinomio mnico es x3+3x2+x+3 y multiplicando por 2, obtene2 2 mos el pedido: 2x3+3x2+2x+3

Ludovico Ferrari, alumno de Cardano, pronto encontr la solucin exacta para la ecuacin de cuarto grado y, como consecuencia, ciertos matemticos de los siglos posteriores intentaron encontrar la frmula de las races de las ecuaciones de quinto grado y superior. Sin embargo, a principios del siglo XIX el matemtico noruego Niels Abel y el francs variste Galois demostraron la inexistencia de dichas frmulas. En el caso ms general, slo es posible aplicar mtodos de aproximacin, que los hay muy variados y de distinto nivel de complejidad.

71

5) Halla: a) Todas las races del polinomio: P(y)=y4+10y3+35y2-50y+24 b) Todos los nmeros que elevados al cubo den por resultado 1. c) Todas las soluciones de la ecuacin x4-11x2+18=0 (Pista: hacer x2 = y). d) En cunto hay que aumentar la arista de un recipiente cbico para que su volumen se duplique? 6) La nica informacin que se dispone respecto a una funcin polinomial g es que est definida con dominio en R, que el polinomio que la determina es de tercer grado y mnico y que su grfica es la que se muestra a la izquierda. Determina g.

g-2

4 3 2 1 -1 -1 -2 -3 1 2

Transformar. FactorizarSupongamos que debes realizar la siguiente actividad: 7) Halla, sin uso de calculadora, el resultado de la siguiente operacin: 78 945 314 8902 -(78 945 314 89178 945 314 889) Con la restriccin de no usar la calculadora, esta cuenta parece, al menos, tediosa. Sin embargo, fjate cmo puede resultar til, la equivalencia que hemos hallado en [5].Llamando 78 945 314 890=x, resulta 78 945 314 8902-(78 945 314 89178 945 314 889) 78 945 314 891=x+1 y 78 945 314 889=x-1. Entonces: Pero, segn [5], 2-(x+1)(x-1) x (x+1)(x-1)=x2-1 2-(x2-1) x Operando Y la cuenta complicada 1 dio por resultado 1.

Dos cuestiones fueron claves en la resolucin de esta operacin. Por una parte, la naturaleza tan particular de los nmeros que intervienen, y por otra, el hecho de tener presente, en forma inmediata, la relacin [5] que transforma (x+1)(x-1) en x2-1. En este apartado, queremos trabajar algunas de estas transformaciones. En efecto, en ciertas actividades que hemos desarrollado hasta ahora, presenciamos la transformacin de un polinomio, escrito en su forma expandida (de sumatoria), a un producto (o viceversa), y en los casos en que fue posible, a una potencia, que es tambin un producto. Ejemplo de ello son las expresiones: [3]: t2+6t+9=(t+3)2=(t+3)(t+3) [4]: m3-9m2+27m-27=(m-3)3=(m-3)(m-3)(m-3) [5]: x2-1=(x+1)(x-1) [8]: x3-3x+2=(x-1)(x-1)(x+2)


[9]: x3-5x2+4x-20=(x-5)(x-2i)(x+2i) En todas estas situaciones decimos que hemos factorizado (o factoreado) los polinomios, dado que los hemos expresado como producto de polinomios primos o irreducibles, que son aquellos polinomios que no pueden descomponerse en producto de polinomios de grado inferior. Esta transformacin tiene diversas utilidades. Una de ellas qued de manifiesto en la resolucin del ejercicio 7; otra, est relacionada con la necesidad de establecer si una fraccin algebraica es o no un polinomio, sin recurrir a la clsica divisin; una tercera, vinculada a la anterior y aplicada a las operaciones entre fracciones algebraicas; y una cuarta, con relacin a determinar las races de un polinomio, por simple factorizacin. Veamos un ejemplo, que involucra a algunos de estos casos: 8) Transforma la siguiente operacin entre fracciones algebraicas en una nica fraccin y determina si se trata de un polinomio: 2x3+18x2+54x+54 x-2 - x3+8 x3+3x2-4x-12 x+3 x3+4x2+4x Vamos a trabajar por separado cada uno de los polinomios que aparecen en esta operacin: Polinomio Transformaciones Propiedades y Races2(x3+9x2+27x+27) piedad distributiva), tambin cono-

Recuerda que la propiedad 10 afirma que todo polinomio de grado positivo, admite tal descomposicin. Reflexiona sobre el paralelo que puedes establecer entre la factorizacin de nmeros naturales y la de los polinomios.

Te aconsejamos repasar estos tpicos, en el Glosario.

Factor comn (no es ms que la procido como 1er. caso de factoreo.

2x3+18x2+54x+54 2(x+3)3 x2(x+3)-4(x+3) (x+3)(x2-4) x3+3x2-4x-12 (x+3)(x+2)(x-2)

Cuatrinomio cubo perfecto, tambin conocido como 4to. caso de factoreo. Races: -3 (triple). Factor comn por grupos, tambin conocido como 2do. caso de factoreo. Diferencia de cuadrados, tambin conocido como 5to. caso de factoreo. Races: -3, -2 y 2. Se trata de un polinomio primo. Raz: 2 Se trata de un polinomio primo. Raz: -3 Suma de potencias de grado impar, tambin conocido como uno de los 4 casos del 6to. caso de factoreo. Races: -2 y dos imaginarias. Factor comn Trinomio cuadrado perfecto, tambin conocido como 3er. caso de factoreo. Races: 0 y -2 (doble). 73

x-2 x+3

x-2 x+3

x3+8

(x+2)(x2-2x+4) x(x2+4x+4)

x3+4x2+4x

x(x+2)2

Reemplazamos en la expresin original, con lo que se obtiene: 2(x+3)3 . x-2 - (x+2)(x2-2x+4) (x+3)(x+2)(x-2) x+3 x(x+2)2 Cancelamos (x+3)2 y (x-2) en el primer trmino y (x+2) en el segundo. Sumamos las fracciones en forma anloga a la suma de fracciones numricas. El comn denominador es el mltiplo comn mnimo. En este caso, se trata del denominador del segundo trmino. Distribuimos 2(x+3) - x2-2x+4 x+2 x(x+2) 2(x+3)-x2+2x-4 x(x+2)2x2+6x-x2+2x-4

Halla las races del polinomio que figura en el numerador y luego escrbelo como un producto. Determina tambin el cociente y el resto de aquella divisin de polinomios.

x2+2x x2+8x-4 x2+2x Sumamos Esta fraccin algebraica no es un polinomio. Para convencernos que esta expresin no puede simplificarse ms, deberamos hallar las races del polinomio numerador y escribirlo como producto de factores binomiales, que es en definitiva, un caso de factoreo sin nombre. Sin embargo, las races del polinomio denominador son 0 y -2, y ninguna de stas, es raz del polinomio numerador (verifcalo). Esta razn es suficiente para afirmar que no contienen binomios comunes y que, tal expresin, no es un polinomio.

9) A continuacin presentamos algunos modelos geomtricos, para ciertas propiedades. En cada caso, exceptuando el primero que se da a modo de ejemplo, analiza las reas o volmenes destacados en cada figura o cuerpo, compralas, e intenta identificar alguna propiedad, su nombre y la expresin simblica correspondiente. Nota: x, y, a, b, c son reales positivos y x > y.Cuadrado de una suma Trinomio cuadrado perfectoxyx

(x+y)2 = x2 + 2xy + y2

x2

xy

x

xy

Reflexiona sobre cul puede ser el origen de la palabra raz, para indicar un cero de un polinomio? y por qu los monomios x2 y x3 se leen x al cuadrado y x al cubo, en lugar de x a la dos y x a la tres. xy y

xy

y2

y

a

b

c

a

b

x

y

x-y

y

yy

x-y

y

yy

x

x-y

x

x-y

x


10) Completa para que resulten identidades: a) (2x-.......)2=.......-.......+25 ; b) (.......+1)2=.......-2x+....... 3 c) 4x2 -.......=(.......+5)(2x-.......) ; d) 3x(2x-7)-5(...........)=(3x-5)(2x-7)

e) 16x4 -81=(...........)(8x3+12x2+18x+27)=(4x2 -9)(...........)=(...........)(...........)(...........)

PARA TU AUTOEVALUACIN 11)Responde: a) Qu significa especializar la indeterminada de un polinomio por un escalar? b) Cuando se efecta ese procedimiento qu se obtiene? c) A qu es igual la especializacin de la indeterminada, por el escalar cero, en cualquier polinomio? d) Menciona todas las maneras que conoces para hallar la especializacin de x en un polinomio P(x). e) Dado P(x), qu significa P(1) = 6?. Inventa un polinomio que verifique eso. f) Sabiendo que x+5 es un factor de un polinomio Q(x), menciona todas las consecuencias que surjan de este hecho. 12)Sabiendo que P y Q son polinomios reales y que gr (P)=6 y gr (Q)=3, indica si son verdaderas o falsas las siguientes afirmaciones, suponiendo exacta la divisin que se propone. Justifica. a) gr (P+Q) = 9 ; b) gr (P+Q) 6 ; c) gr (P-Q) = 3 d) gr (P.Q) = 9 ; e) gr (P/Q) = 2 ; f) gr (P.P) = 36 Rta: a) Falsa b) Verdadera c) Falsa d) Verdadera e) Falsa f) Falsa 13)Del polinomio A(n) sabemos que es de 5to. grado, que los nicos trminos no nulos son, el independiente, el cbico y el principal y que verifica que A(0)=-3; A(2)=33 y A(-1)=-9/2. Determina un A(n). Rta: el mnico es: A(n)=x5+1x3-3 2 14)Encuentra alguna terna (a,b,c) de nmeros reales, de modo que el polinomio ax3+bx2+cx+32 admita dos races opuestas cuyo producto sea -64. Rta: ( 1 ,- 1 , -32) 2 2 15)En las tablitas babilnicas aparece como frmula para el volumen del tronco 2 2 de pirmide cuadrangular, la expresin: h[ ( a+b ) +1( a-b ) ] 3 2 2 siendo a y b las medidas de los lados de las bases y h, la altura. Halla una expresin equivalente a la dada, y el volumen de tres troncos cualesquiera. Rta: h (a2+ab+b2) 3 a=4; b=2; h=3 v=28 a=1; b=1; h=1 v=1 v=38 a=2; b=3; h=675

16)Determina si las siguientes operaciones son polinomios: 2 a) y -y-2 ; b) ( x - x+1 ): 2x+1 2+4y+3 y x+1 x x2+x Rta: a) No b) Si

17)Halla, utilizando propiedades de la factorizacin: a) 1 000 000 0012 999 999 9992 ; b) 612 ; c) 499982 Rta: a) 4 000 000 000 c) 2499800004

b) 3721

CAPTULO 5.FUNCIN EXPONENCIAL Y LOGARTMICA

Este Captulo contiene Funcin exponencial Funcin logartmicaFormas de Resolucin Conjunto Solucin Formas de Resolucin Conjunto Solucin Caractersticas de la funcin exponencial Caractersticas de la funcin logartmica

Ecuaciones exponenciales Ecuaciones logartmicas Problemas resueltos y propuestos Autoevaluacin

Autor Mara Cristina Beltrametti


FUNCIN EXPONENCIAL Y FUNCIN LOGARTMICA IntroduccinEn este captulo abordaremos el estudio de otras funciones que adems de las funciones lineales y cuadrticas son muy tiles al momento de describir y modelar fenmenos del mundo real. Un modelo matemtico es una idealizacin abstracta de un problema y est constituido por expresiones que vinculan las variables intervinientes en l facilitando la evaluacin de las posibilidades de solucin. En lneas generales es una representacin de un fenmeno real, basado en relaciones matemticas. La funcin exponencial permite modelar situaciones tales como: crecimiento de bacterias, aumento de poblaciones animales y vegetales, inters compuesto, desintegracin de una sustancia radiactiva. Todos estos procesos son tales que la variacin (aumento o disminucin) en un intervalo de tiempo es proporcional a lo que haba al inicio del mismo.

Funcin ExponencialAnalicemos el siguiente problema: 1) Un laboratorio qumico-farmacutico est desarrollando un nuevo medicamento. Al realizar sus experiencias han determinado que las bacterias que emplean se reproducen por biparticin cada hora. Considerando que inicialmente hay una bacteria, al cabo de una hora, cuando la bacteria alcanza un cierto grado de madurez, se divide y da lugar a otras dos bacterias jvenes; estas a su vez al cabo de una hora, reproducen el mismo proceso. Teniendo en cuenta el proceso anteriormente descripto: a)Cuntas bacterias se encuentran presentes al cabo de 3 horas? Al cabo de 3 horas podemos afirmar que hay 8 bacterias. Podras justificar por qu? b)Qu suceder al cabo de 5 horas? Qu sucede con el nmero de bacterias a medida que aumenta el nmero de horas? Para responder estas cuestiones podramos continuar con las ramas del diagrama y contar o bien observar alguna caracterstica o regularidad que est presente en el comportamiento de las bacterias a medida que transcurre el tiempo. Como el nmero de bacterias se duplica al cabo de cada hora, de modo que el nmero de bacterias presentes en una determinada hora es el doble del nmero de bacterias que haba la hora anterior; la poblacin de bacterias crece a un ritmo determinado. Y al cabo de 5 horas habr 32 bacterias: 2 2 2 2 2 = 32 o bien 25 = 32Una forma de determinar el nmero de bacterias es hacer un diagrama y contar lo que sucede en cada rama del dibujo: En la primera hora, se generan dos nuevas bacterias a partir de la bacteria inicial, en la segunda hora, por cada una de ellas se generan dos nuevas, y as sucesivamente. O sea que al cabo de la tercera hora habr: 2 2 2 = 8 o bien 23 = 8 bacterias.3 hora 2 hora 1 hora

ahora

79

c)Resumiendo lo realizado hasta ahora en una tabla, Tiempo 0 1 2 3 4 5 6 7 t N de bacterias 1 2 = 21 4 = 2 2 = 22 8 = 2 2 2 = 23 16 = 2 2 2 2 = 24 32 = 2 2 2 2 2 = 25

Graficando el nmero de bacterias en funcin del tiempo transcurrido8

6

4

2

1 2 3 4

a) Cul ser la expresin, regla o frmula que nos permita calcular el nmero de bacterias presentes en la muestra conociendo las horas transcurridas? Como habrn observado, una expresin que nos permite obtener el nmero de bacterias N al cabo de un cierto tiempo t, es: N(t) = 2t, t expresado en horas. La variable independiente es el tiempo (t) expresado en horas y la variable dependiente es el nmero de bacterias. Al modelar el crecimiento del nmero de bacterias trabajamos con funciones de nmeros reales, aunque el nmero de bacterias es un nmero entero. Esto constituye una prctica muy usual que nos permite estudiar las caractersticas de la funcin.f (t) = 2t

La funcin que describe el crecimiento del nmero de bacterias presentes en una muestra cuyo nmero se duplica cada hora y que tiene como poblacin inicial una bacteria se define de la siguiente manera: f:R R+ / f(t) = 2t Resolvamos la siguiente situacin: 2) Un elemento radiactivo tiene la propiedad de desintegrarse con el transcurso del tiempo transformndose en otro elemento mediante un proceso denominado desintegracin radiactiva, el que consiste en la emisin por parte del ncleo de partculas alfa y beta ( y ). La emisin de energa se debe a la inestabilidad del ncleo alcanzando un estado ms estable luego de la emisin. En un laboratorio se observa una sustancia radiactiva que al desintegrarse, el nmero de partculas de la sustancia madre se reduce en un 50% cada ao. (El ao en este caso, se denomina vida media. La vida media es el tiempo que debe transcurrir para que el nmero de partculas se reduzca a la mitad). a)Si la masa objeto de estudio en el momento t = 0 es de 1 kilogramo, completa la tabla para obtener la expresin que permite encontrar qu cantidad de sustancia madre permanece al cabo de t aos.

Tiempo en aos 0 1 2 3 t

Kg de sustancia 1 1=( 1 )1 2 2 1 . 1=1=( 1 )2 2 2 4 2 1 . 1=1=1 . 1 . 1=( 1 )3 2 4 8 2 2 2 2


La expresin que permite obtener la cantidad de sustancia t aos despus si la cantidad inicial de masa es de 1 kg es: N(t)=( 1 )t; t en aos 2 Graficando algunos de los valores obtenidos:M(t) 1

1

2

3

4

5 aos

t 0 1 2 3 4 5

Kg (masa) 1 1/2 1/4 1/8 1/16 1/32

En esta situacin podramos preguntarnos acerca de cunta cantidad de masa habra aos anteriores al que iniciamos el estudio, como as tambin, teniendo en cuenta que el proceso de desintegracin es continuo, qu cantidad de masa hay al cabo de 8 meses, 5 meses o 3 aos y medio. Halla empleando tu calculadora qu cantidad de masa hay al cabo de: a) 8 meses b) 15 meses c) 3 aos y medio a)La expresin que debemos emplear es la hallada anteriormente: N(t)=(1)t; 2 t en aos. Como t est expresado en aos, debemos expresar 8 meses en partes de un ao, 8 meses es equivalente a 2 ao 3 Luego N(2/3)=( 1 )2/3=0,63 kg de masa 2 Con la calculadora 1 ab/c 2 xy 2 ab/c 3 0,6299 0,63 b) Procedemos de igual manera que en el caso anterior: t=15=5 12 4 N(5/4)=( 1 )5/4=0,42 kg de masa. 2 Con la calculadora 1 ab/c 2 xy 5 ab/c 4 0,4204 0,42 c) Para t = 3 aos y medio es t = 3,5. N(3,5)=( 1 )3,5=0,089 kg de masa. 2 Con la calculadora 1 ab/c 2 xy 3.5 0,0883 0,089Halla empleando tu calculadora qu cantidad de masa haba: a) 2 aos atrs b) 5 meses atrs

81

Cmo vara la masa a lo largo del tiempo?

Al igual que en el problema 1, para modelar esta situacin empleamos 1 la expresin: N(t)=( 2 )t ; asignndole a t valores pertenecientes al conjunto de los nmeros reales. La grfica es:1 N(t)=( )t 2

t

Realiza las siguientes actividades: Actividades 3)Utilizando un graficador como Winplot representa: y = 2x ; y = 3x ; y = 5x.. a)Construye la tabla de valores. b)Determina el conjunto dominio y el conjunto imagen. c)Las funciones son crecientes o decrecientes? Justifica tu respuesta. d)Si se trata de funciones crecientes, cul crece ms rpidamente? Y en caso contrario, si se trata de funciones decrecientes, cul decrece ms rpidamente? e)Qu sucede cuando se le asigna a x valores muy grandes en valor absoluto?x x 4)Utilizando un graficador como Winplot grafica: y = ( 1 ) ; y = ( 1 ) 2 3 a)Determina el conjunto dominio y el conjunto imagen. b)Las funciones son crecientes o decrecientes? Justifica tu respuesta. c)Si se trata de funciones crecientes, cul crece ms rpidamente? Y en caso contrario, si se trata de funciones decrecientes, cul decrece ms rpidamente? Qu sucede cuando se le asigna a x valores muy grandes en valor absoluto?

La funcin que hemos estudiado y analizado, se llama funcin exponencial, y se expresa de la siguiente manera: f:R R+ / f(x) = ax , a > 0; a 1 Presenta las siguientes caractersticas: a es un nmero real positivo distinto de 1. Su dominio es el conjunto de los nmeros reales (R). Su conjunto imagen es el conjunto de los nmeros reales positivos (R+). La grfica pasa por el punto de coordenadas (0,1) pues a R, a 0, a0 = 1.2x3 ( 2 )x

7x

Si a > 1 La funcin es creciente. La funcin crece ms rpidamente cuanto mayor es el valor de a. Cuando x ; f(x) . Cuando x -; f(x) 0. El semieje negativo de las x es asntota horizontal de la grfica de la funcin.


Si 0 < a < 1 La funcin es decreciente. La funcin decrece ms rpidamente cuanto menor es el valor de a. Cuando x -; f(x) . Cuando x ; f(x) 0. El semieje positivo de las x es asntota horizontal de la grfica de la funcin. Retomemos la situacin 1: 5) Bajo las mismas condiciones establecidas en el problema 1 analiza qu ocurrir si en la situacin inicial hay 5 bacterias. a)Cul es el nmero de bacterias al cabo de una hora? Y de tres horas? Y de 5 horas? b)Completa la tabla de modo que Tiempo N de bacterias puedas obtener una expresin 0 5 1 5 2 = 10 = 5 2 que permita calcular el nmero de 2 10 2 = 20 = 5 2 2 = 5 22 bacterias presentes en la muestra 3 20 2 = 40 = 5 2 2 2 = 5 23 al cabo de un tiempo t 4 40 2 = 80 = 5 2 2 2 2 = 5 24 c)Al cabo de cunto tiempo ha5 80 2 = 160 = 5 2 2 2 2 2 = 5 25 br 5120 bacterias en la muestra? 6 Calcula empleando la calculadora cientfica. t Teniendo en cuenta las consideraciones dadas en el problema 1, la funcin f(x) = 5 2t modela el nmero de bacterias presentes en la muestra donde originalmente haba 5 bacterias. Resuelve las siguientes actividades: Actividades 6)Seguramente habrs odo alguna vez la historia del inventor del ajedrez. Como recompensa por su invento, pidi a su rey un grano de trigo por el primer cuadro, dos por el segundo, cuatro por el tercero, ocho por el cuarto y as sucesivamente. a)Cuntos granos de trigo hay que poner en el 7 cuadro? Y en el 10? b)A qu cuadro le corresponden 8192 granos de trigo? c)Sin hacer clculos, estar muy lejos del cuadro anterior el correspondiente a 32768 granos? Antalo y despus comprueba tu hiptesis. d)Busca una frmula que relacione el nmero del cuadro con el nmero de granos. e)Representa grficamente esa relacin. (Atencin con las escalas.) 7) a)Un peso colocado a un inters compuesto del 7% se convierte al cabo de 1 ao en 1 + 1 0,07 = 1,07. En cuntos pesos se convierten $200 al cabo de 1 ao? Y $1000? Y $150? En cunto se convierten c pesos al cabo de un ao? b)Si los intereses se acumulan al capital y dejamos el peso varios aos, se va

1 ( 2 )x

1 ( 7 )x

2 ( 3 )x

Nota: un tablero de ajedrez tiene 64 cuadros.

83

convirtiendo en: 1er ao 2do ao 3er ao 2 $1 1 + 1 0,07 1,07 + 1,07 0,07 1,07 + 1,072 0,07 1,07 1,07 (1 + 0,07) = 1,072 1,072 (1 + 0,07) = 1,073 Contina el proceso hasta el 6to ao. Halla una expresin que permita calcular en cunto se habr convertido el peso al cabo de n aos. 8)Martn ha iniciado un plan de actividad fsica. Para ello se propone correr cada da 1,5 veces el tiempo que corra el da anterior. Si el primer da comienza con 2 minutos de carrera, cunto tiempo correr el quinto da? cunto tiempo lleva corriendo si hoy ha corrido aproximadamente 1 hora 16 minutos? Busca una frmula que relacione el tiempo de carrera y el nmero de das que lleva corriendo. Aydate de una calculadora cientfica. 9)En biologa se emplean con frecuencia como modelo matemtico para describir el aumento de poblaciones, ya sea de bacterias, de pequeos animales y en algunos casos hasta de seres humanos, expresiones de la forma: f (t )=Cbkt , donde C, b y k son constantes. La poblacin P de una cierta localidad despus de t aos est dada por la expresin: P(t )=7600()t a)Cul es la poblacin inicial? b)Cul es la poblacin despus de 1, 2, 3, 5 aos? Y de 10 aos? c)La poblacin crece o decrece con el tiempo? A continuacin, reflexiona con tus compaeros de grupo el comportamiento de las funciones que resultan de aplicar a la funcin f(x) = 2x las transformaciones indicadas: 10) A partir de la grfica de la funcin f : R R+ / f(x) = 2x Construye la grfica de las funciones (emplea un graficador) y enuncia tus conclusiones: a) f1(x)=2x+2 ; f2(x)=2x-3 d) f7(x)=2x+2 ; f7(x)=2x-1 b) f3(x)=32x ; f4(x)=12x e) f8(x)=32(x+2) ; f6(x)=-12(x-1) 3 3 c) f5(x)=-32x ; f6(x)=-12x3

Ejemplo2x+2 3 1 2x 2x-3

Habrs notado que a partir de una funcin dada, se obtienen funciones relacionadas aplicando ciertas transformaciones. Sea f(x) = ax, a > 0; a 1, entonces: f(x) + c = ax + c Si c > 0 la grfica de f(x) se desplaza c unidades hacia arriba. Si c < 0 la grfica de f(x) se desplaza c unidades hacia abajo. En estos casos la grfica se traslada sobre el eje de las ordenadas.

-2


Ejemplo

k f(x) = k ax Si k > 1 la grfica de f(x) se alarga verticalmente en un factor k. Si 0 < k < 1 la grfica de f(x) se acorta verticalmente en un factor k. Si k = -1 se refleja la grfica de k f(x) respecto del eje x.

2x 32x 12x 3

-2x

Ejemplo

f(x + h) = ax+h Desplaza la grfica de la funcin f(x) una distancia h unidades hacia la izquierda f(x - h) = ax-h Desplaza la grfica de la funcin f(x) una distancia h unidades hacia la derecha

2x+2 2x4 2 1 -2 2

2x-1

Resuelve las siguientes actividades: Actividades 11)Los puntos (0; 1,2) y (3; 9,6) pertenecen a la grfica de la funcin exponencial f(x) = k ax. Halla los valores de k y a. 12)La grfica corresponde a una funcin de la forma f(x) = k ax. Halla los valores de k y a.

f (x) = en

Funcin LogartmicaEn el primer problema encontramos la expresin f(t) = 2t que describe el nmero de bacterias presente en una muestra, que se duplica cada hora, con una bacteria inicialmente. Hallamos el nmero de bacterias presente en la muestra al cabo de 1 hora, 5 horas, 10 horas. As al cabo de 1 hora, hay presente: 21 = 2 bacterias, para t = 5 horas, el nmero de bacterias presente es 25 = 32 bacterias y al cabo de 10 horas 210 = 1024 bacterias. Ahora bien, si deseamos saber cuntas horas deben transcurrir para que la poblacin sea de 65.536 bacterias, se trata de hallar el valor de t del dominio cuya imagen es 65.536. Debemos resolver la siguiente situacin: 65.636 = 2t Este problema se resuelve fcilmente conociendo la inversa de la funcin f : R R+ / f(t) = 2t La funcin f(t) = 2t definida de R en R+ es biyectiva, por lo tanto f -1 es funcin.

Una funcin exponencial muy usual es la funcin f(x) = ex, donde e es un nmero irracional que se define como el valor 1 al que tiende la sucesin (1+n )n cuando n tiende a infinito. A medida que n toma valores muy grandes, la expresin 1 (1+n )n tiende a 2,718281812)

5,6 4

1

Se llama funcin inversa de f(x) a otra funcin f -1(x) que cumple la siguiente condicin: Si f(a) = b f -1(b) = a -1 Para que f (x) sea funcin debe ser f biyectiva.

85

13) Grafica a partir de las grficas de f(x) = 2x y g(x) = ()x las grficas de sus respectivas funciones inversas. f:R x -3 -2 -1 0 1 2 3 4 g:R x -3 -2 -1 0 1 2 ()x 8 4 2 1 R+ / f(x) = 2x x 1/8 1 2 2 4 8 13 R+ / g(x) = ()x x 8 4 2 1 g -1(x) -3 -2 -1 0 1 2

2x 1/8 1 2 2 4 8 13

f -1(x) -3 -2 -1 0 1 2 3 4

f(x)=2x

y=x

f -1(x)

y=x

g(x)=()x

g -1(x)

La funcin inversa de la funcin exponencial recibe el nombre de funcin logartmica. En general: f(x)=loga x es la funcin inversa de la exponencial f(x)=ax La funcin y=log2 x es la funcin inversa de la funcin y=2x y la funcin y=log x es la funcin inversa de la funcin y=()x Las funciones f(x)=ax y f -1(x)=loga x son simtricas son respecto a la recta y = x La expresin de la funcin logartmica es: R / y=f(x)=loga x; a R+; x R+; a 1 ay = x f : R+ Y presenta las siguientes caractersticas: a es un nmero real positivo distinto de 1. Su dominio es el conjunto de los nmeros reales positivos (R+) Su conjunto imagen es el conjunto de los nmeros reales (R) La grfica pasa por el punto de coordenadas (1; 0).


Si a > 1a>1

Si 0 < a < 10 0 respectivamente. Ecuacin cuadrtica: su forma cannica es ax2 -bx +c =0 con a, b, c nmeros reales y a 0. El nmero de soluciones depende del discriminante = b2 - 4ac Si > 0 se tienen dos soluciones reales (distintas) Si = 0 se tiene una solucin real (raz doble) Si < 0 las dos races son complejas (dos races imaginarias conjugadas). En cualquiera de los casos las soluciones estn dadas por: 2 2 x1=-b +b - 4ac , x2=-b -b - 4ac 2a 2a que se suelen presentar agrupadas as: 2 x=-b b - 4ac 2a -b y x .x = c y por lo tanAdems x1+x2= a 1 2 a to: ax2 +bx +c =a(x-x1).(x-x2)

f: R R/f(x) = -3x+2 Pendiente 3. Ordenada al origen 2 La funcin constante y la funcin identidad son funciones lineales particulares. Funcin constante La funcin constante es un caso particular de la funcin lineal donde a = 0. Esta funcin asigna a todo nmero real x del dominio, otro nmero real b. f : R R/ f (x)=b, bR Su grfico es una recta paralela al eje de las abscisas que pasa por el punto de coordenadas (0; b). La recta que es grfica de la funcin constante tiene pendiente cero y ordenada al origen b.

El vrtice es punto de mximo de la funcin. (a0 x1 , x2 son reales y distintas

Funcin constante f : R R / f (x)=b, bR El vrtice es punto de mnimo. (a>0) Cuando la expresin de la funcin cuadrtica tiene la forma f (x)=a(x-h)2+m, la parbola asociada al grfico de la funcin f tiene vrtice V=( h; m) y eje de simetra x=h. A la forma se llega a partir de la expresin

= b2 - 4ac = 0 x1 , x2 son reales e iguales

Funcin identidad f : R R / f (x)=x

= b2 - 4ac 0, b 1, xR +, a la funcin f : R+ R / f (x) = logb x se llama funcin logartmica. La funcin logartmica es la inversa de la funcin exponencial. f : R+ R /f(x) = log2 x (b>1)

veniente. Para la resolucin de este tipo de ecuaciones se deben tener presente las propiedades de la potenciacin y de los logaritmos. Ecuaciones logartmicas Para resolver estas ecuaciones es conveniente, empleando las propiedades de los logaritmos, transformarlas en un nico logaritmo y aplicando la definicin de logaritmos, resolver la ecuacin que queda planteada. En este tipo de ecuaciones es muy importante verificar la solucin hallada para descartar las races extraas. Propiedades de las potencias a0 = 1 ; a1 = a a 0 ap aq = ap + q ap bp = (a b)p (ap)q = ap q 1/a = a-1 ; 1/ap = a-p ; ap/aq = ap-q p n n 1 a = a n ; aq = a n Logaritmos Sea a>0 y a1, e y>0, llamaremos logaritmo en base a de y al nico nmero x que verifica ax=y. Es decir, loga y=x ax=y . 1.- El logaritmo de la base es siempre 1 loga a = 1 pues a 1 = a 2.- El logaritmo de 1 es 0 en cualquier base loga 1 = 0 pues a0 = 1 , siendo a distinto de cero.Propiedades de los Logaritmos a R+ a 1, x R+, y R+ 1.- El logaritmo de un producto es igual a la suma de los logaritmos de los factores: loga (x . y) = loga x + loga y 2.- El logaritmo de una potencia es igual al exponente por el logaritmo de la base loga (xy) = y . loga x A partir de estas dos propiedades se pueden deducir las siguientes: 3.- El logaritmo de un cociente es igual al logaritmo del numerador menos el logaritmo del denominador. loga ( x )=loga x-loga y y Tener en cuenta que loga( x )=loga (x 1 ) y y 4.- El logaritmo de una raz es igual al logaritmo del radicando dividido por el ndice de la raz.loga x = 1 loga x = loga xy

2a

Ecuacin de n-simo grado: Las ecuaciones de la forma P(x)=0 donde P(x) es un polinomio de grado mayor que 4, no pueden ser resueltas por radicales, en el caso ms general, y slo es posible aplicar mtodos de aproximacin, que los hay muy variados y de distinto nivel de complejidad. Ecuaciones Algebraicas: Una ecuacin f(x)=g(x) es algebraica si cada una de las dos funciones es algebraica (racional o irracional). De toda ecuacin algebraica se puede obtener una ecuacin en forma cannica: P (x)=anxn+an-1xn-1+....+a1x+a0 = 0 En esta manipulacin de la ecuacin pueden presentarse ocasiones en que P(x)=0 tenga soluciones que no verifiquen la ecuacin inicial y se las llama races extraas. Funcin Exponencial Dado a > 0 , a 1 , a R+, k R, llamamos funcin exponencial de base a a la funR+definida por f (x) = kax . cin f : R Las funciones de la forma f (x)=ax .tienen distinto grfico segn sea a>1 o 0 gr B->gr Q= grA - grB Teorema de Ruffini El cociente y el resto de la divisin de un polinomio P (x)=anxn+an-1xn-1+.....+a1x+a0 , de grado n positivo, por otro de la forma x-a, pueden ser hallados fcilmente mediante el siguiente esquema:an

como un producto as: P (x)=an.(x-a1).(xa2).....(x-an), donde a1,a2,.....an son las n races, no necesariamente distintas de P. Todo polinomio P(x) es divisible por x - a si y solo si P(a) = 0, o sea a es raz de P(x). Cuadrado de un binomio: Cuadrado del primero, ms el duplo del primero por el segundo, ms el cuadrado del segundo (a+b)2 = a2 + 2ab + b2 Al segundo miembro se lo conoce como trinomio cuadrado perfecto y observa que no es lo mismo que a2+b2. Cubo de un binomio: Cubo del primero, ms el triplo del cuadrado del primero por el segundo, ms el triplo del primero por el cuadrado del segundo, ms el cubo del segundo. (a+b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 Al segundo miembro se lo conoce como cuatrinomio cubo perfecto y observa que no es lo mismo que a3+b3. Suma y diferencia de potencias de igual exponente: Indicamos con i cualquier natural impar y con p, cualquier natural par. (ai - bi ) es divisible por la diferencia de las bases y: (ai - bi ) = (a - b)(ai-1 + ai-2 b + ai-3 b2 + ..... + a bi-2 + bi-1) (ap - bp) es divisible por la suma y la diferencia de las bases y (ap - bp) = (a - b)(ap-1 + ap-2 b + ap-3 b2 + ..... + a bp-2 + bp-1) (ap - bp) = (a + b)(ap-1 - ap-2 b + ap-3 b2 - ..... - a bp-2 + bp-1) (ai + bi ) es divisible por la suma de las bases y: (ai + bi ) = (a + b)(ai-1 - ai-2 b + ai-3 b2 - ..... - a bi-2 + bi-1) (ap + bp) no es divisible por la suma ni por la diferencia de las bases. En particular, es muy usada la relacin llamada diferencia de dos cuadrados que se simboliza as: a2-b2 = (a+b)(a-b). Sistemas de ecuaciones lineales: Dado el sistema de t

art2 matematica

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