cap 17 by mirror

5/10/2018 Cap 17 by Mirror

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APITUlO u ue

P resenter los m to 0 usa d o t ' : p ra eterm rnar el mo en 0 dine c ade r ass de un cuerpc. DescHollar la u cones c . netlcas de mov irn ien 0 pia 0 I ra- J

c erpo 91 a Sirtle ICO nallzar la a p 1 ! c a c ' 6 n de eses ecuac 0 as a cuerpos ue expenme tantr staclO I ro aC16n con res e to a un eje fija y ovirnlente planoge e al.

17. Momenta de inerciaComo un euerpe tiene forma y tamano definidos, aplicar-Ie un sistema de fuerzas no coneurrentes puede ocasionarque se traslade y gire. Los aspectos traslacionales del rno-vlmiente fueron.estudiados en el capitulo 13 y estan .regi-dos pot loaecuacion F =ms: En la seccion 17.2 verernosque los aspectos rotacionale can ados por un mementoM, estan, regidos por una ' , ecuacion de Iaforma M =0:. 1stmbole 1 Glueaparece en esia ecuacion se llama mornen-to de inercia, P0! comparacion, el momenta de. inercia esuna rnedida 'de Ia resi Leneta de un cuerpo a aceleraelonesangulares (M =a) en la misma forma que L a masa cuna medida de la resistencia de un cuerpo eaceleraeiones(F=ma).

.

377


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378 CAIP~iULO17 Cin.etka plana de un cuerpo rigid0: Puerza y acelereeton

EI volante del mO~Tde este tractor tieneun gran memento de inercla con respee-to a su eje de rotaciOO. Una vez en movi-rnlente, sera dificil detenerlo, y esto a . suvez trnpedira Queelmotor se atasque per-rnitiendole maatener una potencia oens-tame.

.:I

Definimos el momenta de tnercia como [a integral del "segundo mo-mente' con respecto a UD eje de todos los elementos de rnasa rim queccnstituyen el cuerpo,' Par ejemplo e.1rnomento de mercia del cuerpoCOT I respecto al eje z en Ia figura 17-] es

(17-1)

('Il17-

Aquf el "braze de mornentc" r es la dis ianc ia perpendicular del eje Z


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SECC ION 17.1 Momento, de lnercia ,~19

En el caso especial. de P igua l a una constante. e le termino puede serIactorizado fuera de la integral, la integraci6n es eatonces meramen-te una fune ion de geornenfa,

[=P [ , l a vV

(17-3)

Cuando el olumen elemental elegido para efectuar la integraciontieae dimensiones infiniresimales en Ias tres dlrecciones, poe ejemplodV =x d dz; figura 17~2.a.el memento de inercia del euerpo debe serdetermiaado nsando "iruegracion triple", Sin embargo, e1proce 0 de in-tegracion pnede ser simplificado a una hUcgrac.:ion simple siempre quee l v olu m e n elemental elegido reaga romano diferenciai 0 espesor en 1l1'IGsoia aireccion. Los elementos tipoca caren 0' tipo disco son los usadosmas a menndo para este fin,

I _ P ara la jn (e g:ra ~G n ., OfijJ;i:Si:d~atefttos 'elo eue rp e s s im e tricos qu e teo-gan superficies ,ge')1'e~a:d_a pO I una curva revolvente con respecto aq n ; eje..Un e j emp l o de un euerpo de tal tipo que c geaerado C O Drespecto al eje;: emue L T a en 18 f i g n r a 17-2n.Pueden e:legirse dolipos de elemento dfFerendales .

f . , a _ )

Elemenu fipa ('(1Si UT I el4ltlml() del tipo ()}~r;adjn e n altura l,radiQ r':::; y y spesordy e sdG iV d o p a l'a .~ f ee tu .a r I a i n teg r~~eD t. f:igura 17-2b en ten ces eJv o lum en e s IV =(n; j( ~ d ~ l _Este elemento pnede ser llSjldoCIl las:eooaci()nS 17-2 o 17-3 p8Iiadetemrinar eLmo nl-g nlo d e inerGia " - z de) cuerpo con re pecto al ejez, ya qu m do elel.enr.ento, d Bbid o a sj.I "d elg ad ez ' . e e n cn e n tra a lam~ntQdi&anoia p~rp~ndHfular r =yl!lel eje ("Yelle! ejemplot1J . C b '

Elm uto tip" din;".Si u n e lem e lliQ ti p e a li co, con raa ie y y espesor a ' : ' ! . ,S~ e lige p ara 1 1~ t eg l:a ci 9n , I1 gu r_ q .1 7-2 ,elnonc~ el v@lumen e li dV =1r1) d~~Bste elem e!1to e f i r / i r o ~D la dl.r~ei6n.radial. y . en ,c :;b,OSecuenr iano todas ~ partes se encuenrtao a Ia r r :z fsma ili8ttdl~i r :adial T dele je i';. Com o re su ltad c , la s - ecua cion es 17-2 0 17-3 no pueden seru s ad a sp a ra c le te l! tlJ :i ru :tr 1 2 a ir ec la :m gme . En ~ ez d ~ ella, p.ElJlat eted uaresta integraeidn es nece ario determiner primero el m:omenl( i) , demercia del elementa COD respecto al eje z y lu~&oinregrar elite re-sultado vea 1ejemplo 19.2).

/x(c)

Fig. 17-!


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380 CAPITULO 17 Cinetica plana de un cuerpo rlqido: Fuerza y aceleracion

R ~p

Determi l1ee l mOmen t< ) d e in ere ia del cilindro mestrade e n 1a I l g u -ra 17~3CJCQnrespecte ,a l eje z, La densidad del material, p. ea cons-[ante,

(b)

SolutionIf''lf e n of" r av I .Este -problem a puede.ser tasue-ito tisa:n-do el elll1l1lll0 tipa c( l$.carr .m mestrado en 1a f ig ll ra . : L7-'3b 6 Integra-cion simple.,Bl volumen del elernento es dV =(21if)~h) dJ. por lin

qu e sn rna sa e ;s elm = p dV - = p(2'1f'h~' dr). Cemo to do eZ ekm: en !C J seIJlOllem traa la m i sm a d is ta nc ia r del rije z. -e l r nomca to de m e E f c i atiel 'eleme"lto es

La masa del cilindro es


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SE.C(l6N17.1 Memento de lnerda 381

Un sP'ldo se forma girando.el area sombreada que uruestra la fl-gur{174r:1' eon. respecto al eje y. Si la densiQlad .del material es de5 , - i I g /pi ,e 3., detenniueel III omento de merc i a C01'l .respecte al eje J! .

)'y -1pe-

--~~------:,;.;}'--I- [ .IpieI

fa l

F 1 ~ 1 ,7 .. . . 0 1

Solucion"hen , t~ c J i l J C ' f J . EJ momento de lnercia se caleulara usando une t e m e n t o del t ; i p o di(Jo, C Q , i u C ' l s e . muestra e n II I figura 17-4h. AquK el

elem.e,ato interseea Ia cnrva en el punta arbitrario (.t,,)I) y tiene masadin = p d'V = p(':lTr) ely

Annque (ada's las porciones del eiementene esHin ubicadas a 13t r n : if i m f l distancia del eje y,Rfu;les pesible determlnar.el momenta de:inertia dly de'! el fml .ento con respectO al eje y. En el ejemple anteriorSf ! mostro clue el memento de inertia de un eilindroccn respeetoa su eje k ing itu .d lm d e s {= ~mR1." donde m y R son la , rnasa y e ][;adio del cilindno. yt que 1 0 anura del cilindtonoapsrece en-esta for-mula, el cllindro mismo puede ser oonsiderado como un disco, Asl,para el elemento tipo discocle la Iigura 1,?-4h. tenerncs

Sustiw.yenidl6.1: =. p =.siugfpiIl3., e integrando co n respecto a : v .a partir de y =0 hasta y =]pie; obeenemds el rnornento de inertiapara todo el ,solido.I}' = ' i 5)I I X4 dy =71;5) I I y8 dy =~.873slugpiei Re\p ,

o 0


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382 CAPITULO 17 Cinetica plana de un cuerpo.rtoido: Fuerza yaceieraci6n

~.

Teorema de los ejes paralelos, Si elmornento demercia deJ cuerpoalrededor de un eje que pasa por 01centro ,de masa del cuerpo es ccnoci-do, emonces el mom en to > de mercia can respecto a cualquier otro eJepa-ralelopuede ser determinado usando el tearema de los ejesparatelos. Eposible derivar este teorema considerando eI cuerpo mostrado en lafigura 175. EI eje lpasa por el centro de masa G,m.ientras que el corres-pondiente ej e "7 paraleio se encuentra alejado a una cfismncia d constante,Seleccionando el elemento difereneial de masa dm, que esta Iocalizadoen el punto ex' .),'),,)1 usando 1teorema de Pitagoras.r'' =(d + .t')2 + yll,podemos expresar el memento de mercia del cue,rpo con respecto al eiezcomo

I =J ? a m = J . [ C d + x . ' ? + y '2 ] a mIII If!

= r (x'2 + )1'2) dm ~- 2d i X'dtl'l + d:l J dmm m IIIPuesto que 12 = . x , 2 _ + y.l~ la primera integral represents IG- La e-gunda integral es igual a cero, y a que el eje z ' pasa por el centro demasa del cuerpo, resdecir. J x' dm =x' Jdtn. :: a y a que - X ' = 0 '. Final-mente, In tercera integral .represenra t a masa total m . del cu rpo. Per


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SECC lON 17 .1 Momento de lnercia 38.3consiguiente, el memento de inercia con respecto al eje z puede escri-blrse como

(17-4)

dondeIt. = momenta de inereia con respecto al eje z ' que pas-a por el cen-tro de masa Gtu :=masa del cuerpod = distancia perpendicular entre 10 ejes paralelos

Rad io de giro. En ocasiones,el memento deinereia de un cuerpo conrespecto a un eJe especificc es reportado en los mannales de ingenierfau ando el radio de giro, k. Este valor tiene unidades de Iongitud, y cusn-do se conoce junto con el valor de la masa m del cuerpo, el momenrc deinercia del cuerpo e determinado a partir de la ecuacion

I =mk' 0 k _ _ _ , t n , : I (17-5)Advierta la similitlUl entre la definicion de k en esta fOrmula y ren laecuacinn dT"' " ;J.arn, la cual define el memento de merc i a de una masaelemental ibn del cuerpo con respecro a uu eje.

Cuerpos compuestos. Si un cuerpc esta con truido a partir de variasformas simple como discos. esferas y barras, u memento de mercia con.respecto a cualquier eje puede er derermmade umando algebraica-mente los mementos d,einereia d e todas Ia forma cernponeates, calcuiadoscon respects al eje z. La adicion algebraica es necesaria y a que una panecomponents debe ser considerada como una cantidad negativa 5 1 ya ha si-do contada como pieza de otra parte, por ejemplo, un agujero" restadode una placa 6lida. EJ teorema de los eje paralelos es necc ado paraefectuar los calculos ielcenIo de rnasa de cada parte componen re no see nc ue ntra s ob re el eje z. Entonces p ara los e alcu los , T =L(lG + md1);Aqui, para cada una de' las partes componentes }c:; es calculado par in-tegracioa 0 puede ser determinado con una tabla. como 1a dada en la en-bierta interna posterior de ste libra.


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384 . CAPIT U LO 17 C in etk a, p la na de un cuerpo rigido: fuerza y aceleracien

Si la _placa mostrada en la fig pra T 7 ~6 atiene aensidad de 8000 kg/m); ye s p es o re e lO_1 'llI ll, li ete .rm i n e ,s lI memento de in e rc iacon re sp e croa uneje dirigida perpel;1die,uiaonenle a la pagina: y que pase I'ilore:~punto O.

.~\o .E s pc~ntdd 0mm'(u)

!$Omm

_J L . t . 1 nLa placa-consta 'dedes partes etimponentes. el dISCO de 2St!mill de-ra-dio I n -enos un disco-de 125 .111m de radlo, figura17-6b~ E : l . memento deinerda con respeeto a 0lluBde StMdeterminado ealeulando el momen-to de inercia de carla una de e.SlA'S partes. con respecre.e 0 y tuego su-rnande algebfaican.h~m(rlos,resultados, L05 c , t i 1 c u l o s se efectlian usandeelteorema de los ejes paraJdQIS jUJ]LQ con los dates dados en la 'tablaque aparcee en la eubiena int,ema posterior de este libra.~I: ~ EI m0m,e l ll tD d ie inere ia de ~ disco cOl\respeGtoa un eje cen-troidal perpendicular 211plano de l d isco es Ie ; =,lrir~. El entro ~ e

masa deldlsco maa a una di:s'~anci.ade 0.25 in del punto O.Entonces,Wrf =PdV~= 8000 kg fm 3 (1T (O .25m r~ ( () .OJ . m)] = 15 . .11 kg

(ld)O "...,mdJ '"~ +J1vi'!.: :: ::~ (1 .5 .71 t .g ) -(O .2 -5m )2 + ( 15 .71 kg) (O .2Sm Y!= ].473kgm"2

Agl ero Para el disco (aguj~ro) de. L25mm dfi radio, tenemosmil =JlVi. = = s a n a kg/n i '3 [v (O .. l25 m)2{Q .O l m)] =3 .9 3 k g

( , I j J 0 '= ~1 1 ' 1 ' I r~ + mil d! j= i o . 93 kg)(lU25m)2 + p.93 kg){O.lS m)'1=Q.27l '5kg m.2

EL mornen t e de inercfra de l~I,plaea cen respecto aJ p~tQ {)l;1s.p~ttanto.10 ='(.la)o - HII}O

: : = = : L473 k g 0 .1 2 - 1 1 . 2 : 7 6 , : k g ' ' n i != 1.20 kgm2


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386 CAPfTULO 17 Cinetica plana deun cuerpo rfgido: Puerza y aceleraden

PROBLEMAS17-1. Determine el momenta de lnercia ll'para la barraesbelta, La densidad p : y el area transversal A de Ia ba-rra son consiaotes, Expres et resultado e n rermjn,Qs dela masa total m de la barra.

- )'

I'rub, 17-1

7-2. Determine el momenta-de inercia del anillo del-gado con respecteal eje z. EI anillo tieee masa m.

Pwh.17-2

17-3'. E! eOHO circular recto se for.ll1~girando el areasombreada alrededor del eje z. Determine el momentode inerelaI ...yesprese e l resultado en terminos de la rna-sa.total )'] '1' del. coao. '6 1 cono tiene densidad constarue p.

.1 '

rI

POb. 17-.\

':7-.l. Un semielip:;oide es Iormado girando el a.f,e~~sombreada COli respsctc al eje .r, Deterrnineel mom e r n ode inercia de este so H do con respecw at eje x y exprese.elresultado en tl:rrnmo~de su masa m. HI-material tienedensidad ccnstante p.

Ib1

Pruh.17....:.l


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11-5. EI s6lido se forma girando el area sombreada conrespe t al eje y. Determine el radio de giro ky ' EI pesoespcetfice del material. es 1/=80. lb/pie'',

J

s

3 pulg.1-----;--~~xl - 3 P t l l ~ , - l

P'llh.17-!'

I~

17-6. Lae Iera se forma girando el Area ombreada con,respecto al eje .:t. Determine el momenta lie mercia i:. Yexprese el resultado en ternli n n de la masa total f l 1 - de laestera, El material tiene densidad constante p.

1" '011, 17- ( ,

PRollUMAs 387

11-7. Determine el momenta de inertia I:: del toro. Lamasa del toro es m y la densidad p es constante. Sl~gereil-cia: U se u n e lem e nto tipo cascaron.

Pr . 1 0 . 17-1

. 7-H. EI cilindro solido tiene radio exterior R, altura II,y cstii heclro COD. nn material que tiene una densidad quevaria desde su centr segtin p = k o r . donde k Y {J, sonconstames, Determine la masa del cilindro y su [nomen-to de inercia con respecroal eje z.

I1


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38 ,8 , cAP ln.lLO 17 C i.ne tica plana de un cuerpo rlqido; Fuerza yaceleracion

l7Q, EI molde de concreto se forma girandoelareasornbreada con respecto aJ eje y . Determine eI momen-ro de Inercia J,. H peso espeelfico ,del coucrew es /' =150 lbIpic.].11- 1. Determine el momenta de inerei a del prismstriangular bomogeneo con resP&cto a] eje y. Exprese elresultadoen termino!> de Ia masa m del prisma, Sugeren~cia: Para la integracion, use elememos de placa d,elgadaparalelos al glano x-y con espesor dx.

y

PlOt t 17 It

~/-.). El cone truncado se forma girande el area sorn-breada alrededor de] eje x. Determine su memento deinercia /z y exprese el resultado en tenninos de la masatotal In. 81 cono truaeado tieue densidad COIlSWIlte.

1-'7 1. Determine el memento de inercia del conjuntoCon respeeto a UTIeje que es perpendicular a la pagina 'I.pasa poe el punto O. EI material tiene un peso especffi-co y =901b/pie;}. ..

\''I . }O = ~;r.+f } . . . , . , _

-r+b

f----a---

"rub. 17-1!l Pmb.17-12


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L

1'7-1. El conjunto consta de un disco to.l.'l~a ne 5 kgylas barras esbeltas AB' y DCque rienen masa de:2 kg/m.De te rm i n e 1 < '1o ng itu d L d e DC de m a nem qu e e l cen trode ma s a estc e n la c h nmac e r a O. i" Cu .a l e s e l mem e n t o d emercia del conjuntn COD respecto a un eje perpendiculara la pag ina y que pase par O?17- 4 El eonjuuto consta de UJ 1 disco con masa de 6 kgYlas harras esbehas AB yDC que tienen masa del kg/Ill.Si L = 0.75 Ill,determine el memento de inerela del COD-junto con respecio a un e je perpendicular iii la pag ina 'Jque pase por O.

c-Prllh!i. 11-1~/l"

17-15 La rueda consta de un anillo delgado COD rnasa.de 10 kgYcuatro rayos heehos de barres esbeltas con rna-sa de Z kg cada una. Dere[J1l11Ieel memento de inerciade la rueda con respecio a. un eje perpendicular a la pa-gina y que pase por e1 punta A.

Frob. 17-15

PROBLEMAS 389

~1716. El p en d ulo e on sta de la barra esbelta d e 3 kg Yla placa delgada de 5 kg. Determine la lJ 'bicad6n y delcen tro-d e m a sa G d e l pendulo; Iu ego e alca le e l m o-menta de inertia del penduio iCOI l respecto a un eje per-pendicular ala p'gina y que pase par G.

Q 0

Prub.17-16

1i-.7. Cada una de las tres barras tiene rnasa m, Deter-mine el momenta de inercia del conjunto con re pee to,aun eje que es perpendicular a In pagina y pasa par et pun-ti l central O.

Prub. 17-17


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390 CApiTULO 17 Cinetica plana de un cuerpo rfgido: Fuertay aceleradon- . . . . . . )-.

11- ff . Las barras esbcltas rienen peso de 3 lb/pkDetermine el memento de mert:i& deltonjunto cenrespec-to a un eje perpendicular a Lapl;igjna y que atraviese porel pasador instalado -e n A.

A~---""'J.'- ~ T

L 1 1 pit;, I l!.5 ple.'l-t----1.5 piM--IProb. 17-IM

\ 17-lp. El pendulo consta de una ptaea con peso de 12 lbY w ta barra esbelta COil peso de 4 M b . Determineelradiode g i T I J del pendulccon respeeto 8! un eje perpendiculera la pagina que pase por el punto 0,

Pmh.17-19

~17-2U. El penduJo consta de des barras esbeltas . .A.B " IOC que iienen .masa de 3 kg/m. La plaea delgada benemasade 12 kg/mt. Detennin,e le ubicaeion y del centrod e rn a sa G del p endu lo , luego calcule e l m e m e nto d e in e r-cia del pendul0 con respecto a un eje perpendicular a lapagina. y que pase por G.1721. El pendulo eensta de 'dos harras delgadas AB ': fOC que tienen masa de. 3 kg/m. Laplaca de~gada tienernasa de 12 kg/m2 , Determineel memento de inercia delpendulo con respeeto a un eje perpendienlar a Ia pl'iginny que atraviese dpasador instalado en O.

17-22.. Determine l momenta de mercia de la piezas6l'ida de aceromostradaalrederior del ejex.El acero tie-ne.un-pesc espeeffico de 'Y~c:ero =4911Ib/pie3,

1 1 2 . ' ) pies.

Pmh,17-12

17-.23. 'Determine .el memento d e m e rc ia con re sp e etoa uc eje perpendicular a 1 < 1 pagina y que atraviese e! 'pa-sador instalado en 0, La placa-delgada tiene un agnjeroen su centro. Suespesor es de 50 mm, YBImaterial tieneden s i d ad p = SO kg/m),

Proh.17-23


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SECC ION17 . 2 Ecuaciones cineticas de movimiento plano 391

17~2 Ecuacionesclnetlcas de movimiento planoEn el siguiente analisis limitaremos nuestro estudio de cinetica 'plana acuerpo ngidos que. junto con sus cargas, son considerados imetrico.scon respects a un plano de referencia fijo.* En este caso, fa trayectoriadel movinuento de eada partfeula del cuerpo es una curva plana parale-la a un plano de relerencia fijo. Como el movimiento del cuerpo puedeser visto dentro del plano de referencia, todas las fueraas y mementosde par) que acnian sobre el cuerpo pueden ser proyectadas entonces enel plano, Un ejemplo de un cuerpo arbitrario de este iipo se muestra en L afigura 17-8a.Aqui el marco d e referenda inerciat .l:,y. l tiene SIl origencoincidiendo con el punta arbitrario Pen e t cuerpo, Por definicion, es-los ejes no giran, y esttin fijos C J se trasladarl COrl velocidad constants.

~.- L

,. G l~ wP'

! F ' --l (a J'_--~--------~-r

Fig.17-S

E(uaciones de rnovlrniento treslarjonal, Las fuerzas enemasrnostradas en el cuerpo de la figura 17-80 representan e l efecto de fU61:- 'zas gravitatorias, electricas, magneticas 0 de contacto entre: cuerpos adya-centes. Como este sistema de fuerzas ha side considerado previamerue enla seccion 13.3 para el analisis de un I lema de particulas.Ia ecuacion1 -6 resulianre puede ser usada aquf, en cu 0 caso

:LF =m a GEstel ecuacion se llama ecuacion de movimiento trasiocional para elcentro de rnasa de un cnerpo rtgido, Estableee que fa SU In G d e to da's lastau-as extertuu queacut.an sobre ttl cuerpo es i g l ' u 1 , l a fa masa d el cuer-po n'lultiplicada por la acelerad6n de SlJ centro de masa G.Para movirniento del cuerpo en el plano x-y, 1 2 1 ecuacicn de1 movi-miento traslacional puede ser eserita en la lorma de 'dos ecuaciones

escalares independientes, que son .'2.F =m(aG).t'2 .F. =m(aG)Y

+Saoiendo esto. la ecuacion del mcvlmiento rotatorio :~ereduce a una. forma algas irnp lif icada. E l easo m . . i i s g,eneral d e E or1 11 ';1'j ca rg J i_ d el Ot1erpo es considerado e ll e]capftulo .21.


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392 CAPiTULO17 Cinetica plana de uncuerpo rigido: FUerza y aceleraden

s

Diagrama de cuerpo lime de una par t ioula(b)

(e)

(d)

Ecuaci6n de movimiento rotatcrio. Deterrninaremos ahora los efec-too causado por 10 mementos del sistema de fuerzas enemas calcnladoscon respecto a nn eje perpendicular al plano del movimiento (el eje z)que pasa por el punta P o Como se muestra en el diagrams de cuerpo librede la partfcula i -eSiima, Iigura 17- 8b , I'j,represertta la fuerza re nt.l trmte e x-lema que acuia sabre la partfcula, y fi es la resultame de las Juer-zas imef.na5causadas por interaecicnes con parnculas adyacentes, Sila particula tie-ne masa m b y enel in' lante considerado Sl1 aceleracion es ai. entonces eldiagrama cinetico es construido como se muestra en la figura 17-8c. Si Iosmementos de las fuerzas que acttian ohre Ia partfcula son sumados conrespecto 8 1 . 1 punto P .requerimos que

e bien

Los mementos con respecto a P pueden ser expresados en terminos dela aceleracion del pUDLo P, figura 17~d. Si el cuerpo tiene aceleracidnangular a y velocidad angular UIi, entonces, usando la ecuacion 16-18. te-nemos(Mp)i = rt:ljt X (op + a X r - l U ' T )

= miry, X ap + r X ( O ! X r) - w2(r X t)]E1 ultimo termino es cera, ya que l' X r =O.Expresaado 10 vectoreseon componentes earresianas y etectuando las operaciones de peoductocruz obtenemos

( M p ) ,: k = rHi{(xi + y j) X [(opLJ + (ap'.~jJ+ (xi + yj) X [ak X (xi + yj)]}( M p ) { k = m ~[ - y ( a p ) x + X C , C l p ) " + O'x2+ ailtL (M p)/ = t 1 1 j [ - Y ( < < p ) ; r + x(ap) ' 4- ar2 J I

Hacienda m, ~.dm e integrando cen re13,peCLO a toda le masa m del euer-po, obtenemos la ocaacicn resultante de memento

Aquf ' ZMp representa s610el momenta de las fuerzas exiemas que actuansobre el cuerpo con respecto al punto P o E1 memento resnltante de tafuerzas intemas es cero, y a que para todo el cuerpo esa fuerzas ocurrenen paresiguales colineales y opuestes, per to que el memento de cada parde fuerzas con respecto a P se cancela, Las integrates en los terminos pri-mero y segundo del lado derecho se usan para localizer el centro de rna-sa G del cuerpo IConrespecto a P,ya que ym = J _ y dm y'i?n = f x dm.figura 17-8d. La ultima integral representa el mornento de mercia deleuerpo calculado con respecto al eje z.esto es If' =J ?dm.AID.

(17-6)


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$'ECCl61'J17.2 IEc-uaciol1es cinetlcas de mevirnlento plane 10 393

Es posible reducir esta ecuacion II I unaforma mas ~simple s :i el punto Pcoincide con. el centro' de rnasa G para el cuerpo. Si este e el caso, en-tonces x = y =. Y pOI' tan to( 1 7 - 7 )

Esta ecuacion. de movimienio rotatorio establece que la sumo de 70 mo-mentes d lt todas la s /u(?TZlIS externas calculadas con re..pecto 01 centro demasa G es iguo! a t producto del momento de inercia del cuerpo con res-pecto Q un eie que pase pOI' G y fa ace/era i6n angutar de' cuerpo.La ecuaeion 17-6 tambien puede ser reescrita en terminos de las com-ponenres x y y de DC y de] momenro de mercia IG del cuerpo, Si el puntoG esta ubicadoen el punto '(x, ]I), figura ll-8d., entnnces, por el teore-made los ejes paralelos.Z, =G + m (x2 + 3 7 2), Sustituyendo en la eCUQ-cidn 17-6 y reordenando terminos, obtenemos

h2:Mp = y17:1(-(ap)x + ) 1 0 > ] + xm[(ap) ) + xu ] + IGr!t (17-8)A partir del diagrama cinematico de la figura 17~8d,Jippuede ' er e rpre-sada eo terrnjnos de Be como + - 1-aG = 3"p a X r - urr(aGl~j + (ao)y j =op):\.i + (al')}J + ak X (Xi + )ll) - u : f ( X i + )j)

Efectuando los productos cruz e igualando las re pectivas componentesiy j resultan las.dos ecuacionesescalares(aG)x = ( a p ) ; r - y O ' - x C J i -(a6h =a,.)y + x a - yai

A partir de esias ecuaciones, [- (up)_( + ya ] = [-(aG)x - xwz] y ( a ' I " ) Y+ xa J = [(ac)y + y w 2]. Sustituyendo estes resultados en la ecuacion17-8 y simplificando obtenemo(11-9)

E te importante resulsado indica que cuando los mementos de la [uer-' l a s extemas mostradas en el diagmma de cuerpo llbre son sumados conrespecio 0 .1 punto ~ : f i g u r a 17-8e resultan ser equivalenres a la suma delos "momentos dnericos" de Ias componentes de mac con respecto a _ pmas el "momenta cineltco" de I G O I . , figufa 17-8f. En alias palabras, Cl1aJ]-do son ealculados los "motnentos cinet;cos".~(.M.'k)P. figura i7-8f, losvectores m(aclt Y n~(aG) 'y son tratados como vectores deslizables; estoe .pueden actuar en cualquier pu,nto a t o largo de sa linea de occio. Dernanera similar, loa puede ser tratado como 1111vector libre y puede, pOTtanto, actuar en cuaiquier puruo. Es impo r t am recorder que maG e faaIta son 10mismo que una [uerza 0 un momenio de par. sino que son CQIJ-sados por los ejectos extemos de fuerzas _ ' I I momenios de par que estanactuanda sabre elcuerpo. Con esro en mente podemos escribir la ecua-d60 17-9 en una forma m a s genera] como

( 1 7 - 1 U )

" 'Tam bie n } ;MI' = lpa se re du ce a fists rn is m a form a sim p le cu an do e l p un to P e ~ u n p un tatiro (yea Ia ecuacioll17'-15 o fa aceleracien del p um o 1 " est' dirigida a lo largo de Is linea PG.

GM2 - l w

P " I xt , Diagrama de " lu e rp e I ib re(ej

J',-.~-auG _, m(aGJ, r

).

p s

Dlagr a ra a c in e ti c o

e n .r i~ 17


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394 CAP~TULO 17 Cinetica plana de un cuerpo rflgido: Fuerza y aceleradon

Aplic ac io n g en era l d e las ecuadonss de movimiento. Para resumire ste a n alis is , p u ed e ne s cribirs e tres ecuaei ones escalares in de pe nd ie nte s p a-ra describir el movimiento plano general de un cucrpo r(gido eimetrico.

I , F . . =m ( a G ) ..IF)' =n(aG)'

"LMG = ha: 0 ZMp = ' ! .(Mk)"l' (17~11)Al aplicar estas eeuaciones, siempre se debera dibujar lID diagrama decuerpo libre, Iigura 17~8e,.con la finalidad de tamar en cuenta los ter-minos imp l i cados en IF.>:- " I.E )" ! .M c; c 'ZMp."E1i algunos problemastambien puede set util dibujar el diagramu cinetico para el cuerpo,E.ste diagrarna tomaen cuentagraticamente los terminos m(adx< In(adye lea, " y es especialmente eonveaiente cuando se usa para determinerIas componentes de maG Y lo s. L e nm n o s die momenta en z(M.,t,Jp.*

17.3 Ec.uaciones de movimiento: Traslaci6n

iil)

Cuando LLD cuerpo rigido experimenta una lrt1sltICi(~n, f igura 11-9a,tedas sus partrculas tienen Is misma aceleracion, de modo que 8G -=a.Ademas, a=..en cuyo caso la ecuacion de movimiento rotatorio apli-eada al punta o se reduce a una Ionna simplillcada, esto es,.z M G = 0..Laaplicaeion de esta y de las ecuaciones de movirnientc traslaeional sed ..analizada mora para cada uno de Ios dos tipos. de traslaeion.Traslaci6n rectilinea. Cuando un cuerpoesta sometido a t rashlc iOnrectiiinea, tod as su s particulas v i a ] an ala largo d e trayecsorias para 1elas delinea recta. Los diagramas de cuerpo libre y . cinetico se rnuestran en [ 8 1figura 17"9b. Como lea = 0, s610maG se muestra enel diagramacineti-co. Por consiguiente, las ecuac iones de mov lsn i en to que s e ; a p li c.a n en es-te caso son

~Fx =In(aa)x" " ' E F y = f 1 : l 1 ( ' ~ G ) J '

J :MG =0La ultimaeeuaeien requiere que la suma de Ios momemos de todas lasfuerzas externas (y mementos de par) ealculadoscon respecto al centrode masa del cuerpo sea igual a cera. Por supuesto, es posible sumar mo-mentes con respecto a otros puntas sabre y fuera del cuerpo, en.cuyo ca-

" 'P b r e s t- a Vll 'Zon. e l d ia gta :m a . cin etico re nll tlsa do e n 1 8 snluci6n d e un e jem p ln p roblem asiempre qlle:IM,,= ~{,,~(dp sea aplicada,


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SECCION117.3 IEcuacienes de mevirnierrro: T ras lad6n 395

'Ib)

ri~.1

so el momentc de m 9Gdebe lamar e en cuenta, Par ejemplo, si se elige.elpunta A " , que seeneuentra a una d i taneia d de la linea de accion de maG.esaplicable Lasiguienre ecuacidn demomento:

Aq ui la um a de mementos de las fuerzas extemas y momentos de pareon respecto a A (2 : MA diagrama de cuerpo libre) es igual al momen-to de maG CQnrespecto a A (L (J.tJA. diagrama cinetico].Trasladcn curvilinea. Cuando un clilerpo rigido esta sornetldo arraslaci61' l curvil inea, todas us partfculas viajan por tr ay e ct or ia s p a ra le la scurvas. Para el analisis, a rnenudo es convenient usar un sistema coord e-nado inercial con origen coineidente con el centro de mas-adel cuerpo enel instante consider-ado. y ejes orien tados en las direcciones normal ytangencial a Ia rrayectoria del.rnovimiento figura 17-9c..Las tres ecuacio-nes escalares de movimiento san entonces

~F" = = m(aa)":z~ . rn( ,oo) ,Me = 0

(17-13)

Aquf (aa- IY ( 0 0 . ) , 1 ' representan ..respectivamente, las magnitude de laseomponentes de aceleraeien tarrgencia! y normal del punto G.S f, la ecuacion de momenta L Ma ={}s reernplazada por UI1a sumade mementos con respecto al punta arbitrario B. figura 17-9c, e nece-sarie tamar en cuenta los mementos, 2 : ( . Mkh , de las do ccmponentes

m( ac ) /1 Y m ( l lo)Jcon respeeto a e ste p un to , A part ir d e l d iagr ama cine tico,h y e representan las distancia perpendicular (0 brazos de momen-ta") desde B basta la-slfneas de accidn de las componentes POT tanto.Iaecuacion de memento requerida se conviertc en

IIT ,


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396 CAPrTULO 17 Cinetlca plana de un cuerpo rlgldo: Fuerza y acelereclon

Los d)agramas decuerpo libre y cilleticopara este bote y remolqae son dibl,lj,aQ()sprirnero COlli. el proposiro de aplicar lasecuaciones de ltl6vimiemo. Aqui las fuer-zas senaladas en el dia ,gr ilm a de cuerpclibre causanelefecto mostrado en el dia-grama cinetico, Si 1 0 5 mementos son su-ma r lo !> c a n 'r~"CC10 al centro d e raa sa , G"enreaees Z ' M . r ; ; = O.S i n . emba r go . si' Iusmementos SOil sumados call respeeto atpun to B. entouees r+'ZM.B ? mUG(eJ) .

II

Los problemas de cindtiea qu.e impLi rcan tra$lfliCi6n g e e , un C\lerp@tigido pue:aen ser resueltos usandeel sag'oriente procedjJj1ienfo.Diag ntie cue,." Uhnt : .Eslablezca. 61 sistema cocedenado lns::rdahq' 0. H It l y J clibuje el dia-grama die cuerpo fibre para tamar en cnenta todas IB.sfuersasesternas y los mementos de-par ql;le aenian sabre el.cuerpo,La dir'lilccIDn y el ~.lltid(1de 1 - & aceleraeion d'el eentrerde masa delcIleTpQ So debenser estabte, .cidDS.4len,tlfiq-ue las in:c6gnitas presen res en el problema.Sf en la soluoion se decide usaf Ia ecuacien. de nrovimiento rot ('1:-t~'rio2:, N I f'=L ( . M . k : ) p " e n toncesC't:.lJ1~idere dlbujar 'el diagramsGin~Ueo~ya que toma en e'uen.t~J,~.fiC'an1,ente la~;',c'lQmpc)p'enteiSm (aG.)" ,. 11 '1.(aO) ' )'0 m(aG)r. m(aa)" " Y es, portanto, COilventtruep a .m v i su a li za j-lIlmr te rrrU n os neeesarios en hi suma de:memen-tos ~(At/i:)P'

Apiique las tresecuacienes de movimiento de acuerclo tQD U J can ..v e n ci-6 n d e s ignos es t9 :.bJ-e~ ida ..P ati i, s imp I ifi ca :r 6 1anlilisi~ 18 eC,ua,c1ond ~ m ~ m eOtO - : ' 2 ;MG = = = = - O _ p U e -de. ser 'T1eelIlplllZada per L a ecu aci'6n ~ gen era l ' i : J l t 1 " =~(ji{,k)P.donde usualmente el punta Pesta tibiGlldo'en ~a imerseccionde las Hneas de aecion de tanras fuerzas desconocldasecmo esposible,Si el cueIpu e.sta en contaeto CODuna stlperfide mgosa y OCU:r]i!deslizamiento, use.Ia cGuac:;ion de mcpi6n F = p,ttfl. R~,eueHJe'q~IF siempre actQa s ab re e l C i,le rp o o p0 n) el;id t;lte a J D lQ 'V hti'ie ftto delCUe ip o c on rela,cion a , [a sup 'er iic je : de sont-acto.

U se cm e m c'itica Ic.uab-do 1a velbcidad y Ia posirit'UL del c.uerp(!J cl-ban , se -r c1et erm : in a d a s.Para (rtlsl(uJ~6nl " e r : : rU f n : c t t '( 7 J n {,'(u#6f.a~i61J,v,ariable., use tl.G = dValdta C 1 J c l s c ; ; . - vatlvr;IG =~' 'GlrJlPara trlu'ludim teotilingo oen ~ce.if!1'{lcii1ti COlt(ame. use' t J G - = (v ,do + Qr;lja = :(sG)Q + ( : ! ) c ; } 6 t + - ~tI~r2Para tms/(,leio.M Gl.trvtt fn-ea. use (ae)n =o / . p = ~P. (oG). =d'l} r ;/ llt~ (ClG),dsG = vGd,vG' ~Cla}1 =O ! , p


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398 CAP(TULO17 Cinetica plana de un cuerpo rlgido: Fuerza y aceleraci6n

1 , 1

r' . 7-11

4m otcl lic le ta ]]'If)stqm a en L a : figa .ra ] ?--11a Ilene ma s a .d e 125 leg yCen:ht~demasa en G,. e n ta nto que el m otoelc l is ta tiene.masa de 75 kgV cen tre d e m asa WI G 1 . - Deterttrine e l c ,o e fi ci en r e rn1nimo de fricci6n. .e tati~3 nece sado entre la s m e d as y e l payimen~o p ara qtle e l pt1saje-to p um a le v a n ta r la ruerla frontal c om a s , mues t r a en ta iotog;rpli'a.LQtte a ae le ra ci6 n e s n ece s,a ria p ara h ate r e sto ,? Despnecie la masa d . elas ruedas y suponga que la rueda frontal ,pnade redar Iibremeate,

Solud6n(, 11 e r r ' b En ste problema cansi-deraremcs a 131n0tocielsl


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SE(CI6N 17.3 Ecuaciones de movimlentc: 'Irasladon 399

Una I C 3 j a un i torme de 5 '0 kg , d e .c ;c a n sa s ob re ' u na s up erfie ie boUz.ontalpara la cud e~ t0efici.ent.e d e . frlcci6n cinetica es f . 1 . . k =0.2. Determinela acelet:aci6n de la ~jasi Sf: le aplica una fuIena P -= 600N como semuestraea.la figula 17 -12a .

Soluc'6n? ' e I I' 1'1', La fuerza. .f plu~de eaussr que la caja sedeslice o.se vuelque. Com o se mUes:tra'eil l a 11gl] r8 17-l2b, se s u p en eque la c.aja se desli:za~.de manet,e'lgue F-= ' iJ ' ,, " N c =.2 Nt. Ade'nlas.,la fuerza resultanie normal Nc aetna en 0, a una dista'ncia ...1 : (cl ,Qndeo < .


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II

4001 CAPITULO r7 Cinetica plana de un cuerpo rrgido: fuerza y aeeleraden

La v iga fJD _ d e 100 kg mcstrada _en La Ilwa 17-130 esta sGPort;a,dapor des barras C O m . m~ia , i n s ig n l ' H G l t H l t l. Determine l,a fV,e~i1 cr-eadae a ead aba rre en , e l ilstante ~ ~ 301'.Y c d = e radts .;!lot dof)i {7 'I!' L Q _fl . La viga se mueve con tr:aslaci6ncur l.. 'iU-fli(?(1 (;luesto que lo s puntos B y D y e l centro de ma s a G semuerentcdes oo'urme a trayectprla;scircul$"es~ cada trayectGlria tiene el rnis-m e rad io de f15m. Us an do CO 0f-de;nad a -s ng11Ua l Y tangenci'a]. el d i a r -g rama di:: Cllic'E"!xdib;rep;;ua M o l v iga se r I i l U e s : l r a en ls I i , g t l T ' a : H-13h.DebidC,l ala fraslaci6'1. G tiene el r n i t l mO , m0viNlienlaqIfe el p a s adOEifista iado en H,e l G I l a ! i 05111 ,tm_e4tado a la b:tLln y a 1 a viga. Estudi iui-_do e l roovimi@~G an gu la rd e Ia ba rra AS, 'E1:gura17~lJc-.advierta qu ela com p on en te d e . flCeiera.cion ta ng en cm I a cn 'ia h ac ia a bttJo 'J bac ia laizquierda debido ,ft Is direccion de u en el.sentido de las maneclllasdel rele], Acil;'!u!A'S,la oompliJnente normal de aceler~i6n, es ta d iri gi d,a:~feinpre hae ia el c~nlw d e eurvstura (bJicia el pmitoA p ara , la 'baneAB ).CO IllO la ''''e lo cjd a d an l:W - la r d e AB ' r e s d ~ . ra d/s , elltonc~.

:(aa)" =;'r =6 r ad / s) -2 .(O. 5m ) = 18 mjs,2Las tres , inC .6gnJtas so ,! ,!TB.To 'J (adlLas direa,rioaes de (8a}n.Y (oaJthan s ldoe$h;tblec iqas , 'Y estan .indieadas sobre los eje.s GoordM,a:d,Q~.

e u

~.17

, ,rD ;."

. .

+"-,:!.f;J =m(uaL;'TB + To - 98 1 cos 30G!N"= 100 ~g(18m/s2) (1)+1Il:Fr = ",i{aG)J; 981 sen 30" ::- IOOk.g{aa) t (2)1+~G =; -(Tu ces 30")(0.4 m) + (TD,GOS 30C) (0.4m ) = 0 (3)La sjplutidn simultioea de esas treseeueoiones da

T I J = T n =1.32 kN ' \ P u "(as)1 =4.90 m/~


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PROBLEMAS 401

PROBLEMAS~T12". El recipiente de 4Mg coruiene material de des-perdicio nuclear cubierto de concreto. Si la masa de laviga ED es de SQkg. determine la fuerza en eada unode los eslabones AB. CD, EF YGH cnando el sistemaes Ievantado 1:011aceleraciun a =2 m(s2 por un perio-do corte,17.25. EI recipiente de 4 Mg conriene material diedes-perdicio nuclear cubierto de- concreto. Si L a masa de laviga ED es de SOkg. determine Ia maxima aceleracionvertlcal a del sistema de manera que cada uno de los es-l abone-sAB y CD no e sten som etid os a una luerza ma y o rque 30 kN , Y los eslabones EF y au no esten sernetidosa una fuerza mayor que 34 leN .

17-26. La borella de 2 Ih descansa sobre 18 bandauansportadora de una tionda. SI el eceflciente de fricci6ne ia tica lis fJ..=.2 , d e te rm in e la m axim a . ace le rac ion qu e 'la banda puede tener sin que la botella desfice 0 se vuel-que. 81 centro de gravedad ests en G.

I'rlllt. n-!h

] 7 rt. na p leza con Glasa d e 8 M ,g cs levantada us an -do el si tema de aguilon y polea, Si el malacate situadoen B jala el cable ron aceleracion de 2 mjS2. determinela fuerza de compresion necesaria en el cilindro hidrau-lice para soportar el aguilbn. EI aguilon ilene una rnasade 2 Mg Ycentro d e rnasa en G.

1 m

Prob.17-27

-2 El avian a chorro riene una masa tal at de 22 MgY centro de masa GI1 G. Inicialmenre; durante el despe-gu e, ID smotores p roporc ion an un empuje de 2T =4 kNY T' ::::::.5 kN. Determine la accleracion del avion y lasreaccioues normales sobre la rueda de la nariz y sobrecada una de la dos rueda de las ala ubicadas en B.Desprecie La (URsa de las rueda y deb ida a 1 8 pequenavelucidad, desprecie cualquier levantamieruo causadopor las alas.


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402 CAPiTULO 17 Cil"utica plana de un cuerpo rigido.: Fuerza yacelerad6n

1719.1 carnien elevador tiene rnasa de 70 kg Yeenrrode masa en .G . Si. J evanta el carrete de 120 kg con \.IIHlaceleracionde J m!sl, determine la s reacciones de cadaun a de la s eea tre ru edas sobre el su elo, L -a ca rga e s sim e -lrka. Despreeie la masa del D J.'il:ZOCD rncvil.i73f1t. J carnian elevador tiene mass de 70 k g; Y centrod '&. .Ulasaell G. D ete rm ine 11 '1 ax im a aee le ra c ion p os lblebacia arriba delearrere de 12 0 kg d e m a uera que 11 1reac-c ion -d e la s ru ed as sobre el terrene no.exceda de 6 0'0 N .

A

L7-.~L La puerta tiene un peso.de 20u lb y centrode gra-vedaden G. Determine que tan lejos se mueve la P U e - T -I J : 1 ell..2 s, partiendo del repose, si UTI. hombre la empujaen C cen linn Iuerznhoriaonjal F = 30 lb.Encuentre tam-bien 1< 1:;>eacclones v ertica les en los rodd los A y B.- 1731. l.a puerta tiene un peso de 200 Jb Y centro degravcdad en G. Determine la fuerzaconstante F que de-bt! aplicarse a Ia puerta para desplazarla ilpies bacia laderecha en 55..partiendo del repose, Encuentre tambienlas rescciones vcrtieales en los rodillos A y B.

rrnb ...17-JII):!

]733. El tuba uniferme tiene un peso de 50'0 lb/pie:y diarnetre de 2 pies, Si es levantado comose rnuestracon una aceleracion de 0.5 pies/s2 determine el me-mento interne en el centro A deltubo debido a!. r evan-tumierno.

-1 - 5 pil';~-l-5 pies-l ' r u h . 1 7- 33

17-J. El tubo tiene m:JSa de 800 kg y esla siendo re-IDolc . . , do de tra s d e l e a rn ion . Si I s a c e le ra c io n d e l carnienes af = O .S m / s'l., d ete rm i ne e l lin gu la F J 'I la ten sion en e lcable. El coeficlenre de Iriecion einetiea entreel tuba yel terrenoes M k = 0.1.17-35 E! tubn lieue maS!! de 8 00 kg y est;\ siendo remol-cado detras de[ earni6n. Si el ~ngulo ( J , ; " 30",. determine1 1'1c ele ra eie n d el c am i ,n . y la tdif;;i6nto!I1 e l c ab le ..E J ro e-ficiente de friccion cinetica entre el: tubo y el terreao esfk~ = 0.1.

Probs. 17-J41J5


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404 CAPllULO 17 Cinetica plana de un cuerpo rigido: Fuerza y aceleraci6n

4-17-40. El autom6vll aeelera uniformemente desde elrespeso a 88 pies/s en 15 segundos. Si tiene un peso de3800 lb Y eentrn de gravedsd eL 1G. determine la reaccionnormal de cada rueda sobre el pavimen '0 durante elmovlmiento. Secdesarrolla potencia en la s ruedas Iron-tales. miearrasque Ills ruedas posreriores pueden girarlibremente, Desprecie la rnasa de las rueda y tome loscoeficlenres de fricci6n e tatiea y dilietica igual < I j .L, =0.4 Y fl.k = 0.2, respectivamentc.

17-tl La carretilla sepcrta e l tam b or de 600 Ib quetlene su centro de gravedad en G.i el operador la em ..puja hacia delante con una fucrza horizontal de 20 lb.determine Laacelcracion de la carretilla y las reaceionesnorm a les en cada ann de las cuatro ruedas, Desprecie IfIrnasa de las ruedas,

2

0 .5 p ie s ! p ie

J1ruh. J7-t I

17-42. La caja uniforme tiene masa m y descansa obreuna iarima rugosa para la cual el coeficiente de friccidneststica entre la caja y la larima es J-h. Si a la t a r ima se leda una aceleraeion de (If" muestre que la raja vokara)' de ~l izara a!mismo tiernpo si J L s =bPI.

-,- ~ .. . . . . . . . ..I r.~ . .. .~'... . . i;"

I A. .I : ;

~~,: 1 1 1lJ"r n n .a_~ -w

Pruh,17-42

7-43. EJ carnien con brazo de Ievantamiento y el ope-rador tien en u n pe 0cornhinado d e 101000 lb y centro demasa en G. Si el tami6n se usa paralevantar el. tubode concreto de 2000 lb. determine la aceleraclon verticalmaxima que pnede oar al tuba de mane r a que 110 se vuel-qu-ebacia delame obre sus ruedas fromalcs,'" 7-4-1. El carnien con brazo de Ievantamienio y el ope-rador tienen un peso comblnado de 10 000 lb y centro dernasa en G. Sf el carnien se usa para levan tar c! tubade concreto de 200.0 lb.dctennine las reacciones norma-l-e_en cada una de su cuatro ruedas sie1 tuh feci be Unitaceleraeien hacia arriba de 4 pies/s2 .

Pwhs.17-U/44


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17-45. La camioneta tiene un pes, de 4500 Ib Ycentrode trntvedad en Glt Lleva una carga flja de 800 lb que tie-rrc centro de graved ad I}IIl G/. i a camioneta esta viajan-do I)40 pies/s., determine la distancia que patina antes dedetenerse, Los i f 'TC110S causan que tados la s ruedas se ira-ben 0 paiinen. EI coeficieare de medon cinetica entre lasruedas y el pavimenro e I L l ! ; = 0.3. Compare esta distan-cia con aquella en qu e ta cam ion e i a viaja sin carga. De -precie la masa de la s ruedas,

r"mh. 17--15

l7-4< t . La caja tiene masa de 50 kg Y d esca nsa sobre elcarrito de superficie indinada, Determine ia caja volca-rao deslizara con.respeero al carrito cuando este se encuen-ire sometido a L a minima aceleracion necesaria para.causar uno de estes movimientos relatives, tCual es lamagnitud d esa aceleracion? EI coeficiente de friccionestatica entre Ia caja y el carrise es J . L j =.5.

F

PRoaUMAS 405

17~7. EI carro de mano tiene masa de 200 kg'J centrode masa en G. Determine las reacciones norrnalesencada una de las des ruedas colocadas en A yell I.asdesruedas en H si una fnerza P = 50 N e aplica en el man-go. Desprecie la masa de L a ruedas,. 17-.J8. El earro de rnano tiene IDBJS,8 de 200 kg Y cen-tro de masa en G. Deterrrrine Ia magnitud de lamaximafuerza P que puede ser aplicada al mango de rnanera quelas rueda ubicadas en A 0 B conttnnen man teniendo can-tacto COD ei suclo. Desprecie la masa de las ruedas,

p

l749. '1 tubo en arce tiene masa de 8 0 kg Ydescansasobre la superficie de la plataforma.Al er levanlado deun nivel al siguiente, Il' =0.25 ud/s1y w =0. 5 rad/~ enel instante ,9 = 30". SL no desliza, determine las reacoionesnormales del arco sabre la plataforma en este instanre.1-:0. E1mbo en arco tiene ma s a de 80 kg Ydescansa so-bre L a superficie de laplataforma para la cual el coeficien-re de friccion estatica e. M~=.3. Determine Lam a : J c i m aaceleraeion angular (l' posible de la plataforma, partiendedel repose cnando (J =5. sin .que el tuba resbale obrela pla H i fo r rna ,

Proh ... 11-49/5IJ


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406 CAPiTULO 17 Clnetlca plana de un cuerpo rrgido: Fuerza y aceleraclon17-:L La caja C tiene un peso de 1501h Ydescansa so-bre el elcvador de! camion parael cual.el eoeficierrte defriee ion e sta tica es , J . L , = 0.4. Determine hI m ~h :.irnl:l .;ICC-leraeien engular inicial 01. partlende del repose, qu e loseslabone paralelos riB ) ' DE pueden tener sin causarque la caja resbale, No ocurre uelco,

. 17-52. EI brazo BDE del robot industrial es activa-do alap lica r e l parel par l i d . = SO lN . TIl a t eslabon CD.Determine las reaeciones en los pasadores IJ y lJ cuan-do Ius eslabones estan en L a pesleien rnostrada 'j tieneavelocidad angular de 2 rad/s. EI braze uniforme BDEticne masa de 10 kg}' centro de ma a en Gt- El red-piente sostenldo en su tenaza en E . tieae rnasa de 12 kg.Ycentro de masa en G2.Desprecie Is rnasa de 10 esla-bones AB y CD.

rr"t..17-Sl

17.4 Ec aciones de movirniento: Rotacion con respecto a un eje fijo

(a)~I~. 11-14

Censidere el cuerpo rigido mostrado en la figura 17-14a, el cual L aconstrenldo a girar en el piano vertical COD respecto a un eje fijo per-pertdieulat a la p agin a y que atraviesa el pasador ubieado en O. La v e -locidad angular y la aceleracion angular san causadas porel sistema defuerza externa y memento de par que aetuan sabre elcuerpo, Como elcen tro d e m asa .G d e l' cu e rpo .se m uev e en u n a trayectotia circular. laaceleracion de este puuto esta representada mediante sus cornponenterrangeneial y normal. La omponerae tangencial de acelemeta tiene unanUlgnitud de {lGJr =tx.ro y debe sctuar en una direccion. que- sea consis-tente con la aceleracion angular del eu rpo. La r f l Q , g l l i u r . d de la CQI'7'I-., E 'p on en ie n orm a! d eac elel'flci6 n es (adtt = wJ. ' v< sta compenente estadirigidn. siempre desde el punto G hasta e l p u nto 0, independlenlemen-te de la direccion de ta.


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SECCION 17 .4 Ecuaclones qe movirniente: Rotadbn con respecto a un eje fllo 407

La diagramas de cuerpo libre y cinetico para el cuerpo se rnuestranen [a Iigura 1714b. EJ peso d 1 cuerpo. W =mg, -Ia reaecion F0 en elpasador estan Incluido en el diagrama de cuerpo libre y a que represen-tan, fuerzas externas actuando sobre el cuerpe. Las dos componerrtesm ( a o } , y m(;I!IGfl' mostradas en el diagrama cinetico, estan asociadas co nlas componentes tangencial y normal de aceleraeion del centro de masadel cuerpo. Estos vectores actuan en la misma direccion qu e la .corn-ponentes de aceteraeien y tienen magllimdes de m(aO)r y m(acJ I I , re -pectivamenie, EI vector IGtx aCIDa en la misma direccion que a y rienemagnitud de I cP. donde I I . es el momento de masa del euerpo calculadocon respecto a WI eje perpendicular a la pdgina y que pasa por G. Apartir de la derivation dada erda seed e n 17.2, las ecuaciones de mo j,miento,que se aplican al euerp pueden ser escritas en la forma

};Fn ;: fn (aG)/ i =.u i) l rcI.F, = 111.(06) ' = InCfYc' 2 . M . r ; ;=GC f

(17-14)

La eeuacion de momenta puede er reemplazada pO I una suma de mo-rnenros con respecto a cualquier pumo P arbitrarie sobre 0 Iuera del cuer-po si se ternan en cuenta los m mentes ~ ( J t ik )pg nerados por loa,m(oc),y rn(oO)n con respecto al pun to. En mueho problema es convenlente su-mar mementos con respecto al pasador 0 para eliminar la fuerza desco-nocida F(;).A partir del diagrama cinetico, Iigura 17-14b, esto requiere(17-15)

Advierta que el momeuto de 1 1 ' 1 ( 9 . 0 ) 1 1 no esta induido en Lasuma ya queLalinea de accion de este vector pasa por O. Sustituyendo ( f ie), = flt, po-demos reescribir la ecuacion anterior como 1+ " / . I t l o =~lG+ nub )a. Apartir del teorema de 10 ejes paralelos, fo =(; {- md y .por tanto eltermino entre parentesi repre: enta el momenta de inercia del cuerpoCOil resp ecto al efe fijo de rotacion que pasa par O. > it En eensecueneia.pcdemo escribir las tres ecuaciones de movimiento para el cuerpo como

J : . F " =m(uG)n =U J 1 " L , cl:~=- r n ( ao~ , =rta:TG

~ ! l 4 . 0 =oa17-L6 )

En aplicaeicnes. debe recordarse que "loa" toma en cnenta el rmornea-to" de m(adl y de loa con rcspecto a1 punic 0, figura 17-14b. En otraspalabras, 'Zlvlo = Y ( .A I I ")0 -= foa, como 10 indican la ecuacienes 17-15y 17-16 .

' !


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401 CAPiTULO 17 i(inetica plena de un cuerpo rigida-: Fu.erza y eceieracien

o, a0-,

I I

La mani elade la bomha extractora de petre-leo experimenta rotacion con respecto til uneje fijo que es eausada por una torca impul-sora M del motor. Las cergas rnostradas en eldiagrama de cuerpo Uhf!; esusan los efectosq ue ilu stra el dJ .agrama clnletk I ie > m o-mentes se suman COil ~1'H!ctO al centro dernasa, G. enrences L M G =I cft- S i : q . emba rgo ,si iosrncmentos se suman con respecto al pun -to 0, o bs erv a nc e q ue (ad~= (j,d, entonees~+kM() = falX + m(aGJrd + m(jjjG)~(O) =(1(I + m d1 .)c. " " I oa.

Los problemas 'de cinefica que nnplican Ia retacion de un cuerpocon respecto a un ej e fijo puedeu ser re:l!)ueitas_ usando el sjguicnteprucedimiento.

lt re .ESEablezl


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SEctION,17..4 Ecuaclones de rnovimlento: Rotadon con respecto a un eJe fijo 409

Ei disco unitorme de 30 kg mostrade en la flgUT3 li-15a e t,~SQ"portado por un pasador lihicado en s v . centro. Sl el d i emparte de 1repose; determine el nUm~ro'de revolucieaes qlie debe electrrar paraalcanzar una vetoddao amgUlar de 20 ra:dJ!;.l. c . l i n e s son las reaecionesen e l p a ador? Sobre el (liSco a!ctua' ana fuersa constante P"= 10 N,Ia cnal e apllcada a una cuerdaenrollada alrededer de u pe\uIDia.y lU1 rnomea te de parconStanlcM :::;;5 N m. Desprecie 1< 1m a a dela cuelPda, e n 10's ealcnlos,Soludan

I e [;U -PC' lib Figura 17-15b.Ad\~i~tta que eL,cetUrodem a sa nn eSta sorn e tid o a aceleracion; s in embargo, el ~ j 'ScQltiene ace-leracion angular en el emidn de las ma'lllecjllasdel reloj.El momenta de mertia del di' cO cen respecto hl.pssador es

I "" 1("" ('.. ,lo = 2 : m r L =2 3v kg) 02 TIl)'" =.6 kg . tn -

Las tres meogniras son O;r. O, Y a.

F=!O.N

"crtaciont., de mo 'im' , , 1 t..,. ' IF.t = { ( J ~ ) . l ' ;+tLF" =m(aGh~

O x =0 R P0" - 294 .3 N - IQ N =

0) = 304 N Rtrp.-10 N(O.2 m) ~ 5 N . ill=(Q.6 kg.m'-)a

a = 11.7rad/s2Jr' Como a es eoastarrte y en el sentido di! las maneeillasdel reloj, el numero de radianes que el d i iS l .! lO a G b e girar para obteneruna velocidad angular de ~Orad/sen e s e .s e n ti d o es

~+ W L = w~ 2a r:(6 - 90)(-20rad! ) " 1=0 ,f- 2(-11.7 rad/s1 )(fi - 0)

8 =-17.11 tad =7.t mdlP or c on s ig rn e nte .

. ' ( i r e v)e = 17.1 Tad, d =.73 rev~211ra , p.

l - = : _.t:

F= tONOil

~. 17-1


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410 CAprTUiLO 17 Cinetica plana de un cuerpo rtgido: Fuerza y aceleracion

20(9.3 N

I I

0 . [--rl;

( 1 , ' 1 1lie. 17- 5

La barra esb.en a ,d e 2,0 Jc i g mestrada en La liguria l 1-16 'a . e s t a giLandG1en el plano verti,darl yen el mstante mostrado tiene veloeidad. angu-lar tJ) =5 rad/a Determine 1:8aCSI;l l '8Gi{m angular tje la barril! "j l a seomponentes de reaceion lrorizoatal y vertiaal en el pas ade r ene5tein t am e ,

501 cion; t g II '/' 'J ' 1'I e 1 iui-'(' J Rgonl 17-16b . Como seaprc-

cia en el diagrama cinetico, el punto G se mueve en una. ua)'e.ct,Qriacircular POlL'o que tiene dos c(!)mpouenh~~ de acelerasids, Es lmpor-tanreque 1a eomponentetangeneial (II= Q'fa'actl1e naDia. ab~O)fa qu edebe . estar de acuerdo con 18 aceletaciel1 angula r a de la\, barre, Lastres in06gnila'S son: O i l ! O r Y a.

4'1

~ iFIi = t.1rG; D T I = (20 kg.){5radjs)2p.5 m)+l~Fr =m Q r a ; -Ot 4- 20{9 .} ,H ) N =20 k,g) (a) ( 1 . . - m)r+~MG =GIl: ; q(l.mj + 60N'm =ttz(20 kg)(~m ) 2 1 a

On =750N Re p .,=19.0NU na s 0 -1ucion .truls directa para este problema serfa sumar mom e n -

tos con r specie 3 . 1 punta () para eliminar O n y o Or Y obten er u naso lucian d ir ec t a para a.Aqui .r+2.. i I l 1o=> : , J M . k ) o ; 60 N Ill' + 20 (!1'81). (1. i ll) ' =[~-rzOkg) ( 3 .m f]a + [2 0 kg.(Q ') ( 1 - . 5 m)H1 . .S m)Tambien, come 1(}:;= k , f tu ' l paea una barra esbelta, podemos aplicar

d! = = 5.90'tad/ 2 .PO T comparaci6n. la l iJfulUi ecuacion proporciona La solucien mass imple para 0: Y flO requiere e l u so d 'e -ldiagrams einet ico.

.\ J,


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SEca6N17'.4 scuactenes de rnovlrniento: Rotact6n (On respecto a un eje fijo 411

iffg me tk lerpa 'i ,. \' c ~ w. La rensinn T( ; ln - .e l eah le pue-de-ser eliminada dJ:~1mUis i s c O : n S m e r a n d O al tambor y al blcqne ccmoun solo sistema fi:gur~ 17-17c.,S rriuestrB el diagrarna cinetico pines-to que los mornenros seran sumado ,can re peeto al punto O..i (fCO e e ..,~ "m 'en,l). 'Usando la ecuacion 3 y oplic-arlmo laecuacion de momen t0S con r~peeto a 0 para ~Um'ina't las incogiiltasOx Y 0) r en emos~tIM{') = 2(J~k )O ; 20(9, 1)'N(O.4rn,) = 20 (9.5l)N

{3.75kg'm~)a + [20kg(Ol.4 m O')J(AA m)Iii' = 11.3 rad!s2~ rJ ~p,

Not: Si.se r e t i r ( . ( S el bloque Y se aplicase una fuerze de 20(9.81) N ala cuerda, rnuesrte que a -= 213.9:rad/sl y expliqne la razen de Ia di-ferencia en 10 resultados.

1121ambor mostrado en la t~gura 17-176 tlene masa de 60 kg Y radiod e g iro ko =0.25 m , U na cu e rd a d .e m a sa luSignificallte e s ta e n ro lla d aalrededor de Ia ped~eria dal Iambor y nnida a un bloque con ma~d e 2{) kg, Si el blatt ue es Ubc i:a06, d e t e rmme la aeeleracien angular delt amb ,m .Soluaon I

iagrama I wemo f bre. AqU1 consmerarf,m!,:)s al tambor y al blo-que par separado, figura 17 17b . SUPQnie -ndlQ que .e l blerque acclerahocfu tlbalo. en a, est~geneta una aeeleracion angu la r a del tamberen sentiut) tomrrioaleJe las manec iit as , le i faloj.EI mom e n t e de inercia del i ambo r es

1 0 ,=n l i b =6 0 k :g )(O .2 5 m )2 = 3.15 ItS' m-Hay cinco, incognitas: O . t O 0)., T , a Y ('L.

eu r'tt t:, n rJ nm I. nt. Aplicar las ecuaciones lrasladonale demovhniento ZF;r =m ( a C ; ); f y . i:E , '- m ( ~ G ) ~ ' aI tanM tJ'orne.es de conse-cnenoia p ara la solucion, ya que ~tas eeuac iones Jmplican la s inoogrU-tas OJ ; Y O r Enronces, para el ta rnbor y el bloque, .rcspectivamente,1+~Al19 = IO (Y T(O.4 m) = (3.7;) kg m " 2 ) Q ! (1),j " " - ' F y = m(ac;h: -20{~.~1) N T T =~20a (2)

I tea C0?Jl10 elpunto de. contaero A entre la euerda y el t am -bar tiene un a compoaenre ~an .genc i a ]de 'aeeleracicn 8, figura 17~17.'1entonees ~=t(O.4J (3)+a = ~,.;Reso1vie :D$lo las ecuaeicnea anteriores ,

T = 106 Na =4.52-mjiL

a=U3nidts21Solution II 60 (9.8q N

lOa


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412 CApfTULO 17 Cinetica plana deun cuerpo rigido: Fuerza y ac:elerad6n

u

(b)

E1 vnlante desbalanceado' de 50 Ib que muestra L a figuf.a 17-1S a tieneradio de giro kG = (t6 pies con respecto ~ un eje que pasapor u cen-tro d e rn asa G . S i este v ola nte tim re veleeidad angu la r de 8 ra d!: e n : ee lsentide de las mruleci l !as del r~]Qj en ~ J instaD:e m O : s t- r a d o . ,d e t e , J Ji li _ o _ ela s ecmponsntes de reaeeion hamoh~ly vertical en el pasader (J.SolucioniJwgrll lUl. de u.m ,. . c 'n 'tico Como G se mneve en unatra-yeetoria circular, t ndra componente de aceleracion normal ~ tmge-Il-cial,Ademas, como a, que es cansada por el peso de! v o'llttrt e, aC11[ 1lenel senrido de las manecillas del retoj, ta cqmwneIl,te l angenew de ace-]e ra :e io lI a em a ra h a cia a a jo . l.Po r 'que? Lo, ve teres m(a.a) t = fl'lci'rG'm{aG) ) l =mtr1ra. e lna se muestran en el d i .a g r ~ m . a cinemlilicQ de hiI1gura 17~18b,Aquf, el mornen to ,de laercia del olilllre c on re sp e eroa u centro d me: a es det rmlnado a partir d.el I:adio de giro y deHImasa del vnlante; esto es, Ir; = 1nkb = (50 Ib/32.2 Jfies/s!) 0,.6pies)~ :::::::,.559 slug pie".Las tre incognita on 0". 01 , Y & .

J C ~FtI = mojlra; 0 =[. .50 I ' ) . ( rad!)2 O.S pies') 'L)f/ \32.2 pi~fs2,

+t P c = mcrTc; fo-O, + - " 50 It>=( 50.lli J 'l)(a)(O. pie) (2)32.2 _ p u ~ -r + , , M ' a =f aa . ; 8 0 lb '. pie T O/(O.5,pie&) =0 ,5 59 s lu g- p i e s 2 ' ) O ! (3 )Reselviend ,ob e n ema s :a =111 radj52 O,~=9.7lb 0, - -36.11bLe mementos pueden, surnarse bimble-I)C(I 'm res.pect0 al punta 0para eliminar 0" Y0, Y obtener amuna s o l l i . c i Q 1 1 . direaa para (I!, figure1'-1an. EstQ pnede hacerse.de dos maneras: usando 1:&/0 =: (Jtk) 0o )] M - f ) = l ( J C l ! . Si e apliea Iaprimera de - esas ecuaciones, tenemosr+ 2Mo =I (Jtf.do; SOlb p i es + -Olb(O . .5 pies) =

( .559 slug- pie~)t'l + l ( !SO~b / 2 ) a { o . 5 P i e s ) ] ' C O . : s pies). 32.2 pIes.105,-= Il94:J'a (4)Sise aplica 'Xd\!!O=100. , por el reorems de lo s ejes parHlelo,~el mO-.mente de inereia del v(,,Hallte ton respecto a 0 esle=G + N l r t =0.559 + (3~~2)(05)~= 0 .9 47 s lu g_ " p ie s?-

P(])rconsigttit?nl:e, a parttrde] di,apa~n8 de cuerpo ijbr~"Ii~a, lV-18b.requerimes r+.M o = Ior ; t : , SOltp. pies SO Ib(115 pie} =0.947 slug~pies2)qque es ta m ism a que la ecuaclon 4. D,espeJa"llcil-Q 0' Y'Sl.tslirtuye'ndo enIa e cu ac io n 2 ,_ re su1 ta l a re sp uS L a p a ra (J i' t lb rem .da prg:v i im ll :!n te .


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SECC ION : 11.4 Ecu~ciones de movirrusnto: Rotad6n (on respecto a' lUll eje fljo 413

La barra e.sbelta mostrada eri Ia flgura 11-19a tiene masa m y Ion-gitud I y e s U be .fad a d el repose ou an do 6 = = 10.Determine J l a s c om -ponents de fuersa'horizontal y vertical que' el pa ador ubicado en Aejeree sabre Ia harra en el mstame 6'=0,501u( onD"' gmmJ'l .... ' er 0 l'br: 1 diagram a de cuerpo libre para labarra se muestra cuande e:;ta estlflen is posicion general ,fl, f igura17-19b. Por'conveniencia, Lascemponente de fuerza en A se mues-iran actuando en las direccienes n y t.Observe que fJ t 'lema en el sen-t i . d o de las manecillas del reloj,Hi.memento de mercia de 18 barra cen respecto al punta A esL ,= 1 1 ' 1 r r 2 ,.., 3om! 'WI t! m 'mlcn a. Sumaremes los momente CIDD respec-to a A p a ra e lim irra r la s fu e rze s re aC liv as aM .*+'IFn = ,mw2rc;~ All = mg se'n,f) = lIuiJJ(l12)+[IH, =ntlal'{,;: A,+ mg cos ~ = mo'(/2)f*~MA = fAlX; m g cos 8'(1/2) = ( 5 1 ' 1 ' r l Z ) a

(1)(2)(3 )

f' "Ih

( ),

t~l~l(;JIt\;

(Dc),~) !a1

~', ica. Para trn aagulo 0 dada hay cuarro incognitas en las [res.ecuaciones anteriores: An. A , . , wyo:. Como se advierte en Ia ecuaeidn3,a noes cansumte; sino que depende de la posicion , S de Labarra.Lanecesaria euarta ecuac ion se obtiene usando c ine rm i t i ca , donde a y w -pueden relacioaarse C0n (J mediante la ecuacien

w dw =0' dOObserve que la direccicn posiriva en el sentido de las maneclllas del.re lo j p ara e st-a e cu ae io n co.ncuera.acon la de Ia ecuacien 3, Esto e simpertanre y a que estamos buscande un a soluc idn simultanea.Para encontrar m en ()=0~,elirninamos a de La -ecuaoiottes 3 y 4,10 que da

w dw =(15 g/1) cos 6 d OComo G Il =en e =O~,teaemos

lJ J !lG~Idw :::r (l.5g/ l ) l . cos,(JdlJa ( ) .. (1)2 =3 8/1

u titu y end i!l e s te ,-ru n r en la .e cu a c ion 1 can , 8 . = 909y resclviendota s ecuaciones 1 . 2 Y ,3 resulta

a=O AI = 0 A 'I =2.) r n gSl . sri urn}; M JI = = ~ (A ,tJ "I. 5 1! dehen t om2IL l1 l : :l 1 CUen l i ! ro s m cm en tcs d e lan 'J 1 1 1 ' ( 1 1 1 0 ) ,eon tespe~tc 11A~Aqil(, sin I!mbargo, hemos ussdo _I11(~= lila.


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41'4 CAPiTULO17 Cinetlca plana deun cuerpo rlqido: Fueraay.aceleracion

PROBLEMAS

1753. EI disco de ROkg e.!ii:~soportado mediante un pa-sader instalado en A. Si el disco se libera del repose des-de la posiei,6n mostrada, determine lascomponentes ini~dales de reaeeinn horizontal ,' l v e r tic a I en el 'pasader,

I'm h . 1 7-.5 :? '

]754. La rueda de 10 kg tiene radio de giro kd = 200m m , Si eSl 's some tida a un m om enro M =St) N . rn,don-de l esta e-ll segundos, determine Sl1 velocidad angularcuando t= s parttendo del reposa. Calcine tambien lasreaeeiones que el pasadcr fljP A ejeree sobre Is rueda.du-ranteel rnoviraiento,

l'rQb.17-~

17-55. Las aspas del ventllador rienen raasa de. 2 kg Ymemento de inercia IG =0.18 kg. . m t cou respecm a LU leje que pasa pm su centro 0'. Sl las aspa5 estan some-tidal! a un momento M = 3('1 - e-(J]J) N . m. donde restaen segundos, determine su velocidad angular cuan-do r ; 4 s paniendo deJ repose.

Prob, 17-S!'

"1.7-!ifi. El tambor tiene un peso de SO Ib Y radio de gi-ro o =0.4 pies, Si elcable.que esta enrollado alrededorckl tambor, se eneuentra semetido a una fuerza verticalP =15 lb. determine el riempo necesario para incrernen-tar 1 0 velocidad angular del tambor 11 partir de WI := 5TadIs a Wi =5 radjs. Desprecie la masa del cable,

U)-'I

Pl"lIh,17-51i

17.:"7. E! carrere esta soportado sabre pequefms rodi-110$ mstaladosen A y B.Determine Ia fuerza eonstanteP que' debe ser aplicada al cable para desenrollar 8 m decable e-n 45 partiendo del repose, Calcule tambien la sfuerzas nurmales prcsentes e n A y 8 durante esle tiempo,El carrete ticnc masa de 60 kg Y radio degiro ko = 0.65tn. AI electuar los calculos desprecie lamasa del cable yde los rodillos en A ~ B.

p

Pm". 17-:-7


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17.:tt Hila cuerda esta enrollada alrededor del nucleointerior de un carrete, S~ la cuerda es jalada COIl una ten-sion constante d.e30 It 'Y e] earrete esta originalmente enrepose, determine Ia velocidad angular del earrete cuau-do s =8 pies d e c ne rd a ha sico desenrolladn. Desprecieel peso de la pardon de 8 pie de cuerda, El carrete y to-d a J i l l cuerda ienen un peso total de 400 lb.Yel radio degiro con respecto al eje ites k . A , = 1.30 pies .

301b

Pmh.17-:X

l7.S'}. La barra de- 10 Ib csta sosrenida par un pasadorinstalado en su centro 0 y conccrada a un resorie detorsien. E! resorte tiene rigidez k = Sib pie rrad.de mane-ra que el par (torque) de afrQ!lado e M = (58) lb . pie,donde @ e:~mien radians s, Si la bsrra es liberada del repo~SO cuando esta en pesicionvertical en 0 = 9 Q P . determinesll v e lQ ci da d a ng ula r ell el Instante fj = 0


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41 16 C Af'iT lJLO 1 7 Cin~t ic :a plana de u n c ue rp o rf9'ido: Fuerza y aceleracion1-63. L a. p ue rta s e dena auromaucameute u s ando re-sortes torsionales montados sobre la s bisagras Caliare so rte u e ne rig id ea k = 50 N- m jl'a d de rn an era qu e e lpar sobre carla bisagra es M " " (506) N rn, tjonde fJ es-La rnedldo en radianes, Si la puerta Sf! libera del reposecuando estaabierta ell f) = 90", determine S'U velocidadangular en el instante fJ =. Para efeetuar los c-rl.kulos.trare la pnerta como una'placa delgada eenmasa de 70 kg.

l.'lmI

I-'rl)h.17-IJJ

7-~. La puerta se cierra automdticamente usando re-sertes roraionales rnoruados sebre las bisagras, Si el parsobrecada bisagra < : : 5 M = kH, donde 9 eSl~ medido enradianes, del'ermine 1


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1767. La barra esbelta de 4 kg esra soportada hemon-talmenre par media de un resorte instalado en AIy unacuerda ubieada en B.Determine la aeeleraeida angularde la barra y [a aeeleracion del centro de masa de la barraen e J instanre e m que Lacuerda cuE es corrada, Sugeren-cia: La rlgidez del Lesane noes necesaria para efeetuarel calculo,

I---~-- Z ill-------1 B

( ' r u h . 1 7 " , , ( , 7

"'17-6H. La operacion del.timbre requiere el lisa delelec-troiman que atrae Ia barra A B de acero, articulada en elextreme A y que con isle en , un a barra esbelra de 0.2 kga la que esra unida L a bola de acero de 0.04 kg con radiode 6 mID.. Si la fuerza atractiva del iman colocado en Ces de 0.5 N sabre el centro de I~(bob cuando el beron esempujado, determine la aceleracinn angular inieial de labarra, Originalmente el resorte esta estirado 20 IDID.

PROBlIOM AS, 417'

17.(j9. El disco D de 10 Ib esraacmerido a un momen-ta en sentido cenrrario al de las mauecillas del reloj deM = ( lOJ) lb pie. donde t esta en segundes, Determinela vetocidad angular del disco 2 s despues que. e aplleael memento. Dehldo al resorte.Ia placa P ejerce unafuer-za constante de JOOlb sobre el di'sCQ,Los coeflcientes defriceion estatiea y cinetica entre el disco y la placa sonJ . L s = 0.3 Y i J - k ~ 0.2, r e sp e cu v emen t e , Sugerencia: Pr ime -ro encuenae el tiempo necesario para que e] disco em-piece a g imu .

('ruh. )7-69

17-70. Si el soparte colocado en B es retirado subita-mente, determine las reacciones iniciale: en el pasadnr A.La placa tiene un 'Peso de 30 lb.

50mm I 2 pies-~- TOmlI144 rom I

Proh.17-68 P ru b, 1 1-11 1


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418 CAPiTULO l' Cinet ica plana de un cuerpo r igido, Fuerza y aceleraclon

G f . 7 J l ~ Si el s~p()rte ~Iocad~ ~ . 1 ! ,es J'eu:ado s~bita-m&nte, derermine la aceleraeida inicial hacia abajo delpunto C.Los segmentos AC YCB tieuen cada uno IlJ1 pe-so de 10 lb.

Pwh. 17-71

:j: 7-71. Determine la accleracidn angular del trarnpolfnde'25 kg ylas componentcs de reaceion horizontal y ver-tical en el pasador A en el instanre, qlle el hombre alta.Suponga que la tabla BS uniforme y rigida y que en elinstantedel saJLOel resorte es comprimido llI'1 maximo de200 IDm. ,W =O.y la tabl-a e S L a en posicion horizontalCoasidere k = 7 kN [m.

Pro .17-72

17-7-'. Ei disco tiene mast] de 20 kg y originalmente es-Lag imndo enel extreme del punta! con una velocldadangular. de tlJ =0 r a . d / . Si eneonces es colecado contra[a pared. para la cua; el coeficiente de.Iriceien cinetica esp . ' / c =0.3, determine el tiernpo requerido para. que e)movimiento case. ~Cua.J es la fuerza en el puntal Be du-rante este tiempo?

P r o b . 1 7- 73

n-7~. El disco ilene masa M 'I radio R. Si un bloque demasa m esm unido a 13 cucrda, determine la aceleraeionangular del disco cuando el bloquees liberadc deJrepo-so.Tambi~n'l.cmil es la veloeidad del bloque de pues quecae tina distaneia ~R partiendo del repose?

Prllb. 17-J.l


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1775. Los des bloques A y B tienen mesa 1 ' 1 1 . . 1 . y ma. res"peerivamente, dorrde my >mA SUa polea puede ser ITa-lad a como un disco de masa M. determine la aceleracionde.1bloque A. Despreeie la masa de Is cnerda y cualquierdeslizamlenro sabre la polea,

Pruh. 17-75

17 'T(I. La turbina de peso ligero consi ~c en un rotorque es Impulsado por una torca aplicada en su centre. Enel instante en que el rotor esta en posicion horizontal. tie-ne velocidad angular de 15 rad/s 'i aeeleracicn angularde 8 r'ad/s1en el sentido de las manecillas del reloj.D ete rm l ne 11.'1u erza n orm a l interna.Ia tu erz a c orta nte 'iel memento en I..illaeccion a traves de A. Suponga que elrotor es una barra esbelia de 50 m de longlmd y rnasade 3 k,g/rn.

Prob. 17-7()

PROBLEM AS 419

17-77. La pieza ernescuadra es liberada de l repo 0enIa posicion moatradn. Determine el momentc Ilezienan-te inicial en Lajunta fija B. Cada barra tiene masa m ylongimd t ..

c

P r i l h . 1 7 - 7 7

17-78. La armadura (baera 'esbelta) AB tiene rnasa de0,2 kg . Y p ile -d e p iv ote ar 'c on respecto a t pasador in raladoen A.Elmo.vimicnto es controlado p O T el eleetroiman E,que ejerce una fuerza horizcntal atracrtva sabre la anna-dura en B de F'JJ " " (O.2 .( lO~.J ) r=1) N, donde I en metroses el entrehierro entre 1 0 1 armadura y el iman 'en cualquierinstante. i la armadura se,encuentra eo el plano horizon-tal y origlnalmente esta CI'1 repose, deteernlne la rapidezdel ccntacto euB en el instante 1=0.01 m.Origlnalmen-te I = 0.02 m.

f ro b. 1 7- 71 '1


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420 CAPITUl..O 17 (jnetica plana. de un cuerpo rlgido: Fuerza y aceleradon

17-1. La rueda tiene mas a de 25 kg Y radio de girok8 "" 0.15 m, Originalrnente e S t a girando a WI =c lO rad/s.Si s e coloca obre el suelo, para el ella) e'l coefieiente defriecien einetica e IL c = 0,5, determine el tiempe reque-lido para que el movimiento cese, ~C1Jales sonlas COIll-ponentes de reaccion horizontal y vertica] que el pasadorsituado enA ejeree obre AB durante este tiempo? Des-precie la masa de AB,

*J7-Ao. La cuerda e - s t a enrollada alrededor del nucleoInterne del earrete, Si un bloque B de 5 lb es suspendidode la cuerda y tiber-ado del repose, determine Ia vela-cidad angular del carrete cuando I = 3 s,Despreeie tamasa de Ia euerda, EJ earrete tiene un peso de 180lb yradio de giro con respecto al eje A de kA =1.25 pie Re-suelva el problema de des rnodost primero, considerandoal "sistema" del bloque y el earrete, y Iuego consideran-do IIIblnque y al carreie per separado.

:U5pies

1Pwh.17-M

.I7-81. IT nino de 40 kg esta entado en la parte u-perior de una gran rued a que tienemasa de 400 kg Yradio de giro k r : ; =,5 m. Si 01nino pane del repm;o enfJ =" y Ia rueda empieza a girar lahremente, determinee l anguJo e n qu e. e l, n iiio e rn p ie za iii d es lia ar. E I coefkien-te d e rn cci6n es ta tica entre la ru ed a Y ' el ruiiIo es / -Ly=0,5,Desprecie el amafio del ni fio en los caleulos,

1 7 o S ; ; ! . El disco D gira con velocidad angular cons t an t ede 30 rad/s en el.s nrido de las rnanccillasdel reloj. E1disco E tiene un pe 0 de 60 lb e inicialmenteesta en re-paso euando es puesto en contaeto con: D. D.e t e rm i ne 01t iemp requerido pam que ;;1di co E a lc an ce la mismavelocidad angular que el disco D. El coetlciente de Iric-cion cinetica entre los dol' d isco s e ll IL k =0.3.Desprecieel peso. de It! barra Be.

r2 pie~f'roll. 17-H!


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17-83. La barra tiene un peso por longitud de w. Si estagirando en el piano vertical a razon constants Cd conrespecto a l PUDtc 0,determine la fuerza normal.Ia fuerzacortante y el memento flexioname en funci6n de ..' y ".

Proh, 17~3r ' .

17-84. Una. fuerza F = 21b es aplicada perpendicular-mente al eje de la barra de 51b y se mueve desde 0 hastaA a r310n con tante de 4 pies} , Si la barra esrn en repo-o cu an do .(;/'= 0,) Y F esta en 0 cuando t = 0 , d e te rm i n ela velocidad angular de L a barra en el iastanre en que lafuerza esta ell A. i.Qu~ angulo ha girado L a barra cuandoesto ocurre? La barra gin en el plano horizol'l'fal.

4 pies/s\A

l'tub.17-84

PROBLeM AS 421

178S. El disco D de 10 kg esta sometlde a un momen-La 1 M =LOt) Ib . p ie en sentido contrario al de las rna-n ecilla s d el relo], donde i esla e n s eg un do s, Determine 1< 1veloeidad angular del a lsco 2 s de: spue de aplicado el mo-menLO. Debido al resorte la placa P ejerce una fnerzaconstaute de 100 lb obre el disco. Los coeficientes defriccion estatica y cinetica entre el disco y la placa sonp . . " =0.3 Y / 1 - 1 < =0.2, respectivamente. Sugerencw: Primeroencuentre el tiernpo neeesario para que el disco empiecea girar,

Il

II

P Ib.li-&5

17-.R6. TIl tamber tiene un peso de -0 lb 'j radio de girok,(t= 0.4 pies. Una cadenade 35 pies de longitud COIJpe-so de :2 11:1pie est! enrollada alrededor de 19.superficieexterior del tambor de manera que una csdena de longi-tud s = .. pies queda suspendida como se muestra, Si cltambor esta originalmente CD repose, determine 511 velo-cidaa angular despnes que el extrema B ha descendido as = D pie. Despreeie el espesor d e 1 < 1a de na .


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422 CAPiTULO 117 Cinetlca plana de un cuerpo I'ig:ido: Fuerza y acelerac lon

17.5 Ecuaciones de movimiento: Movimiento pia 0 generalEl cuerpo rigido mostrado en la figura 17-20a esta sometido a un movi-miento plano genera] causado per 1 1 l L Iuerza y el memento de par apli-cados extemamente. Los diagrarna de cuerpo Iibr y cinetico para elcuerpo se muestran en la rigura J7-20b. AI elegir. como se rnuestra, unsistema coordenado inercial . . - t , y , las tres.eeuaciones de rnovimiento pue-den er escritas como

~F! \ . =m(ac)'2.F'j =m(oG)y

~M(J =aCl' .(11-17)

En algunos problemas puede ser cenvenienre sumar mementos Callrespecto a algun punta P diferente de G_Esto se hace usualmente pa-ra eliminar fuerzas dcsconocidas a partir de 181.nma de momenta.Cuando se usan 11esre sentido mas general, las Ires ecuaciones demovirnieruo son--,l:F:r =m(ac) ; (

~~I = m(aG'2 : . Mp "" 2:(.Mk)P

(17-18)

Aquf : ( . : O C d p repres nta 13.suma de mementos de 1#y maG (0 SIlScomponentes) con respeeto a . P segun on determinades por los datosque aparecen en el diagrama cinetico.

11~.17-20


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5ECC ICN 17.5 Ecuacionesde rnovimlento: M ov im iento p lano general 423P roblemas de rodamie nto con friccicn. Hay una clase de problema'de cinetica plana que merece mendon especial. Estos problemas implieanruedas.cilindros 0 cuerpos de forma similar, que ruedan obre una uper-fide plana rlJ.go~a_ Debido a las cargas aplicadas, DO se puede saber si elcuerpo rueda 5."1 desli;;ur, 0 ise desliza at rodar. Por ejemplo, considereel disco homcgenee rnostrado en Lafigara 17-214, que tiene masa m yesta sornetido a una fuerza P horizontal eono ida. El diagrama de cuer-po fibre se muestra en la figura 17-21b. Como aG esta dirigida bacia Ia d e-recha y Q' es en el sentido de las manecillas del reloj tenemos. 2 : F _ r = m(aG).r;+ jZZ;: .=m(uGh:r+LMa = IGa~

P - F = maGN - mg:: : : 0

Fr = IGtx(17~19)(17-20)(17-21)

5e necesita Ulna cuarta eenacion ya que estas t re s ecuac iones contierrencuatro il1clSgni'ttls: P,N,a y tlc'No deslizamiento Si la fuerza de friccion F es 10 sufieientemenregrande como para permitir que el disco ruede sin de Iizar, entonces ar,puede ser relacionada can 0'mediante 1a ecuacion cinematica, > I f L J > . i el problema debe volverse Q plantee, ya queel discode liza at rodar.Deshzamiento. Enel caso de que se tenga dealizamiente, a y c sonindependientes un(1 de otm, de manera que la ecuacien 17-22 no esaplicable, En vez de ello.Ia magnitud de Ia fnerza de medon es rela-donada con 13magnitud de la fuerza normal usando el coeficiente defriccion cinetica jL'k ' esto es,

(17-23)En este caso, se usan las ecuaciones de la 17-19 a ] < 1 17-21 y 1a 17~23 paraencontrar Ia solucion, Es unpcrtante recordar que iempre que se aplicanla s ecuaciones 17-22 0 :l7-2 3 es necesario m an tener Ia consistencia en elsen tido d ireec ion a l d e los v ee tore s , En e l case de fa ecnac ion 17-22, 3G de-be estar dirigida bacia Ia derecha cuando a e , en el sentido de las mane-elias del relej y a que el movimlento rodante ast 10reqniere, Y en la ecua-cion 1.7-23. F debe estar dirigida hacia ta . izquierda para! prevenir elupuesto movimiento de deslizamlento bacia la derecha, figura 1 7 - 21b . .PorO (r1:1 arte , s i e sta s e cu ac io ne s no se lIS0J1 para encon tra r la solu cion . e sovectores pueden tener cualquier sentido direccional supuesto, Entcnces,i I valor numerico calculado de estas cantidades es negativo.Ios vecto-re acnian en us entidos de direccion opuestos. Los ejemplos 17.15 y17.16 ilustran numerieamente estos conceptos,

" Ve a I'll(ljemplo 16.3 0 e116. l4 .

(ll

1rI

(0)

Fh.17-21


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424 CAPfTUlO 17 Clnetica plana de un cuerpo rfgido: FlUel'Zay aceleredon

II

AJ moverse bacia: delanle el cornpactadord :e s ue lo , e l rodillo tie ne m ov im ie nto p lan ogeneral. Las fuerzas mostradas en el dia-grama de cuerpo Ilbre del rodillo causanlo s cieelO que i iu s tt ae l diagral1la cinetlco.Si los mementos se suman eon respecro a tcentro de masa C. enlances ~ Mr ; ; =IOfJ' .Sill embargo, cuando los momentos se su-man con respecto ill punto . . :1 , enronces~ ~M ..I =c; a + (muG)d .

Los p roble m a s de cim~tlea que im p] jC .a : tl .m ov l~e l l to p.lAJJogeneralde lln cuerpo r@ l d o p u e d e n ser re~ueHosu s a h d Q e J i g U J i e : : r : : J i t e : rOce-dimlen o.

Es\ablezca el s is terria GGOr l ieoado tnereial.e y y dibuje eldlagramade cue:rpo llbre para' e l c ru e rp aEspecifique Ia diIeeci6n y el sentido de la 3'Mleraci6n del centrode .masa, 116. y la aeeleracioe angular a C l e J cuerpo.Calcule el mQm . e n t o , m e inercia h;;Iderttifique liasincognitas en el problema,Si se decide que va a 'uaatSela ecuaeion de movimlento rotacional~ M .p =~.M. i )p, entonee .s: .dJbuje 01 diaJgrruna cinetieo.para ayu-d a rs e a " v is ua lis at' 16s mementos' desarrolladospor la s o om ;p o -nentes ",(8G)"", m (s(!i ' )y e:tca al escr ihlr los rerminos en L a snma d emementos 2 : : (Jtt,Jp.

-plique las tri2S ecuaciones de movirniento de acuerdo coli lacon-vencion de signPB,;estt~bledd3, .Cuando esta pIe,ffente Ia friocion, existe Ia p0s fui l idad de Q1l.5 etmovimiento sea sin deslizsmiente 0 sin vuelco, Debe eensiderarsecada posibilidad de moviraiento,

U se cinematica si n o p u~ d e obtenerse un a oluci6n c omp l ete e stric -tamente 3 partir de las eeuac iones de movimiento.8i el movtrmento del eaerpo 0Stii reatringido a causa de,sus opor-tn, pueden ebtenerse ecnactonesedialanales u s a ndo BB =BA +li1}M ,]a cual relaciona las aceleraciones de d,GSpuntes cualesquie-ra A B sabre e l euerpo,C uande un a rueda, un disco, un C ilindr(!) 0una bola r .u eda n s in des-lizl~{',el1fonces aG=r.


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,. .I

SECCl6N1 17.5 Ecuaciones de' rnovirniento: Movimiento plano gen.eral 425

EJ carrete que apaTece em1a figura 17~ '1 ' l ;atiene masa de ~ kgy radiode giru l e a ~ (!)l35m. '-ilas ouerdas de masa insiguificente estan: en-rolladas alrededor de sa cnbo interior y su horde exterior: CamO eroue tra, determine Ia aceleraoien angular del carrete,Solud6nn ; I ' HgtlFil 11. -22h. La [1.teTMl de 100 N causaque ~G actae hac ia arriba, Ademas, exae rua en eJ sentido de la s m a ne ..cillaa del reloj. ya qu i : : : 6 1 carrete se enrolls. alrededor de la cuerda lea A.Hay tres tncognitas T "G Ya,EI momenta de ineri::la del carreteCOIl respecto a su centro de masa es

lo =mk"b =S kg (O . 3> J 11 i ) 2 . =. '980 kg . r n 2:imi n (J.

1 0( ' N

T + 100 N - 78.4'~ =( kg)4u (1)

(Ill

100 l '4 ( .0 .2m) - T(O.5 m) = (0:98 0 ~ ..ml)~ (2 )-aSf! ebtiene una salnd6n completa cuando se usa cine-

nnitiCll para relacio,m3T4G con a. En este casu el oarrete "rueda s indesli:zar s'Dbre[aeuerda en A. PC!fconsiguiente pedemcs usar los re-sultadns de lo s ejemplos 16~3e 16.14 de modo que

so =05a (3)

b .11-11

R'esol~ieDdo. las ecuaelenes ,2. Y 3, tenemos. G l : =10..3 r a . d J s zQG =.16 mfs~T=9. N

oludon 11_ c ~r d Podernos eliminsr Ia T desconneida u-mando mementos cen.respecto a t punto A.A partir de lo s diagra;masde cuerpe Ilbre y ciB6tito, ng1.lTa5 J7-22b y . l:7-2-2c. tenemes

10U N(O.7 m) - 78 .4 8 N{O .5 m= (Q.9&Okg mZ ) a + [( 8 kg}aa] (0. ~ m)

Usando la e ,c ;uae i ( )n (3) ." c p o


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426 CAprTUlO 17 Cinetica plana de un cuerpo rigido: Fuerza . y aceleraci6n

1 : 1 )

I. J7-...

La rueda de S O lb mostrada en lafigura 17-13a U j 3 D e radio de gITOkG =3.70 pies , Si e Le apl ica; un momenta de par de 35 lb . pie. deter-mine la aeeleracion de SQ . centro de masa G. LoS; eoefieientes de fric-ci6I),st:-atit~ 'jcin6titza e:n11' la rueda y el plano en A'l!'on. I l - s =0.3 y~k'= 25 f ,eSjJe 'ctlvam,enle.olucl6n

. , . , c Por insp~cci6n de la figura 1 7 , - 2 ' J J b , seaprecia que el memento-de par causa que 1a rueda tetiga una.aeele-radon angular de a: en el sentide de la maneoillas def relo]. Comoresultado, la aceleraeicn del centro de masa, By esta dirigida hacia Iaderecha, E~menllellto de me:roia as

, 'l' 50 lb .. . 2hi s= m f c b = . 2 : (0.70 Ples)- = O.7~1 lu g .pie 2,322 piesJslas incognitas sanNA, fAt,tiGya:,

F = 5fHb. ,{JIt '322' I : > Gjncs s-r+ XM c ::; ; ~ ; 35 Lb. pies ---co 1.2~ pies,(FA) =C'O.761~lug pies2}et(3)e requiere detma cuarta ecuaeirin para tenet [a sp!l!1ci6n completa.

Si e asnme esta sup0sicion en-(r+) aa = (L~ pies)a

N . 8 . = SO,Olba=11.0rad/r

FA ='l1.3Ibo G = 1 3 . 7 piesl~?

La snpo ici6n original de que no hay desllzamtento -requiere queF . : : s : f,! .(N.A..' Sin 0.3(50 Ib) = 15 lb, la ruedadesiliza al rodar.... (!, I i V l lm m l fJ). La ecuaeicu 4 .no es valida. pOI 1 0 que F A = f L "N '_ jL ,O

VA = 0. .25N AResolvienda laS ecuaciones J . , 2 . .3 Y 5 resulta

I V A =50.0tbE A :;; 12-5lb0" = = 25', :; T4d /s"at; = = 8 . 0 0 5 pie J .2 - R p.

(1)

(4)

(5)


48/57

r

SECCI'QN 17.5 Ecuacionesde rnovlmlento: Movimiento plano,general 427

Elpe_steuniform,eeSbeHsJn.os'trado en la fignra 17-2461 tiene masa de100 kg Yme r n e n t . de inere ia lo=5 kg m'!. H i IQ c oe fi ci en t,e s d e frio--eion e .s ;lA tk :a y cinetica entre el estremo delposts y [asu;perI~,c:iesonIk ~=.3 Y p . . . k =; tZs.,rsspeerivamente, determine la aceleraci6n an-gular del p 0 S t e en el instante que La f l l 1 e J ; Z - a horizontal de 400 N 6 Saplicada. El poste e~taoriginalmenre en l!'~P9S0.Sol d6n

Ia I. po bre F ig u ra 17-2 4b. La t I'a : y ec te r ia de l mQyi-mienio del centra de ma s a G sed con form e a U D a IIfly ec toria curvad ese on ecid a con rad io de Cllr\'I~lLtra p. que iIIi~.almente es paralela a :1eje y. Nolmy GP'fTlpOn(;!l l ,te normal 0 y de aclerad6n ya que e) pos eeltfi originalm'eDte en repose, e to e s , VG' __:_O. de manera que ( f lO ) _ , . =

I 1 J b 1p=O.Supendremos que el centro de masa acelera haem L a dere-.cha y que el p~te tiene una "ae leraeion angular "de .~ en el sentido.de la s rnanecillas d e l Ieloj. Las iooag,rritas en N . . " . FA tic Y a.:Ecuaeione d 01" jell Q

400N- F A =(100kg)aa (1 I(2)(3)

n ' - 1 4

+t2Fy =m(Cla: N A - 98 1 N =- 0r+ ' i .M c ; =r ; ; f : t : F A (1.5 m ) - 40H N (l m ) = (7~ kg-m1)a:. e requiere de una euarta ecuacion para lograr ~asoluoion eompleta,

t' J '1C OJ En e te case, el pun to A acnia'come pivote" de .manera que sLao es en el sentid de la s tuaned:Uad el re l'o j.1 m to nc .e s a Ge es t8 diri&ida hae i a Ia deliec;ha.

D .G = (l.S m)a (4)Resolviendo las, ecuaeienes de 1 a 1 a 1a.4 resul ta

N A =81NCLG? 1m/if.

F A =00N0' =0 .6 6 7 r ad j s'l'

Probar la suposinion original de no deslizamiente requiere que F Sj ) J ~ N A .. in e m b arg o. 3()IDN> 0.3(98J N)=94 N.(De s lmm1 i tm to en A.),f .I!" "'0 Ite r., Para esteeaso Ie . ecuac}M 4 s o es aplieable. Sedebe usaf la ecuaci6n de irioci6n F;,l =, . , , , N A ' Par tanto,

(5)A = (i).25NAResolviendo simultaneamente las ecuaciones 1,23 Y 5 results

N il = 981 N FA =45 N


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428 CApfTULO17 Cinetica plana de un cuerpo rfgido: Fuerza y aceleraoon

I I

(b)

(I:)

La rueda de 30 kg mostrade en In figure 17-25" ti~ae su cent'rQ dern a a en G y ra dio de giro kr; =O.lS m. 51 criginalmeme 13 .rucda estaenrepo o y es Ifberada desde la pO$.ici6n que .e mue:sb:a. cilcteJ'iminesu acelenacion angular, No 0lmn,e niug6n desli .zam i .entg ,

. 1 -' .. La s d ill i:m.c6gn itasF A y Nilrnostradas en. ~l diagrarna de, euerpn libie-, figura. 17-25b, pfieden serefiminadas del anaLisis surnanda momento co n respecto al punto A.H I diagrama cin~tica acom .paaa .l a solu:ti6h para ilustrar Ia aplicaclonde ~ ( . . I t " "' ) . Como el,po.nto G Sf 'mueve conforme a una trayeGtoriaeUrva,.r" dQ5 eompcnenres til: aG)~ 11 (ar,;)iYsemnestran en el dia-grama einetico, figura 17-25h.El.momeruo deinereia es

[a ~ f f l k l ; =30(0 .15)2 =0.6 '75kg m1Bay cinco incqgnitas NA!FA; {oa),l" (ao))1 y a.

, " (I. Aplicaado la ecnaeien rotaeional de me-vinriento con respecto al punto A para eliminar N A y FA. teaemes1 + : M A = l:(.Jttk)A; 30(9.81) NCQ.l m) =( 0. 677" kg xtr)a + - (30 kg)(aO):f~O.25m) + (30 kg) ( , t ' l c ; ) (0.1 m)' (1)

Hay tres incognitas en esta ecnacien: (aa).f. C O G ) _ \ , y a,- . Por tn ed lo de cmema t i c a _ . tJu';r Y (as) , se relacionancon 0'. Coma s e muestra en lafi~Ura t7-Q5c, estes veetcres deben te-n~ e l mismo sentido de direceldn que los veeteres ccrrespcndientesen el diagrams cinetico ya que buscames utliil soJi;ui:i611simultanea co nla ecnacion L Como no, ocurre deslizarniente, ao ;; ar =(O.2 rn),dirigida bacia. Ja izqmerda, figura 17-2$c., Ademas. w =O.1'a que ori-ginahnente la rueda esta. en repe o, ApLicandol Ia eeuaeldn de acele-raeien al PUDto 0 (pWI1 l0 base) y a l puruo G. tenemos

:Oa = 30 + a X r . .G IO - # -r G1tJ-(aQ)~i ~ (aa)~J = ~a(OI.25)i + (tdc) X (-'O.li.) - 0Desarrellando e lguelando las fepe9tivas Omptmeotes i j, tenemos

(aG)x =a.(O.2S)( u G ) ) I =a(O.t)

Re s61v i ! ?ooo La s e cu a c io n e s 1,2 y 3, resultaa = 10.3 rad/~2~

(ad);. .=2.58 mfs2(G o Y =1.03 ro t s ' "

Cam!') un ejercicio, demuestre que FA =7A yNA=263 N.

Re'p.

(2)(3)

-


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PROBLEMAS11K7. Si el disco mostrado en la figusa 17-2.1(Irueda sindesli~al', demtrestre que cuando los mementos e suman conrespecto aIcentro lnstantaoeo de ...elocidad cera. C/, es po-sible usar la ecuacion de mementos : M r : : I = Tau. dondeLa represents el memento de inercia del disco calculadocon respecto a ll eje iastantaneo de velocidad cero.l1oAA. El saco de arena de 20 le g tiene un radio de gi-ro con respeeto a S IU centro de rna a G de kc; =OAill.Siesta inicialmente en repose y sometido a una fuerza ho-rizontal F=0 . determine 18 aceleraeion angular ini-cial delsaco y la tension en el cable AB de soporte,

I AlmI 8I" _,_-ID.lm

F

Prob-. I7~

17-89. EI dlaco semicircular con masa de 10 kg es.lH gi-rando a tv = 4 rad/s en el mstante (J = 60. S i el coeficien-te de friccion estatica eli A es p " =0.. 5 . determine si eldisco d!esliza ell este mstante,

Prah.17-8Y

17-\K~. Cuando es disparado el cohete tiene U 1 ! l peso de20000 lb. centro de mass en G y ra!::iio de giro con res-pecto al centro de masa de kc - = ilpie. cads uno de susdos motores proporclona un empuje T = :sO000 lb. Enun instanle dado, e1 motor A deja de operar repentina-mente. Determine In aceleracion angular del cohete y laaceleraclon de SU nariz B.

f 1T T PrfJh. 17~ HI

17-91. Des hombres cjercen Iuerzas ve'rticales constan-tes de 40 y 30 lib. t e spec t lv amenre en los extremes A y Bde un tablon uniforme que tiene un peso de SOlb. 'Si eltablon esra originalmente en .reposo, determine la acele-racion de su centro y S l L I aceleracion angular . Svponga queel tabl6n es una barra esbelta.

1---- 15pks---40lb 301b


51/57

430 CAPrTULO 17 Cinetica plana de un cuerpo r1gido: Fuerza y aceleraclon... ...11..,

1 7 - 9 . : ! . La tabla uniforme de 50 lb esta suspendida decU'eraas colocadas en C yD . Si estas cuerdas esian so-metidas a fuerzas constanres d e -30 y 45 lb, respect ivamen-teo determine la aceleracion d e l centro de 1 a T a b la . y Isaceleracion angular de esta, Suponga que Ia tabla es unaplaea delgada, Desprecie n i l masa de las peleas ubica-das en E y F.

c-!----~--10 pies --------i

301b 4jlb

Pruh, l7-92

17-')3 BJ carrere tiene rnasa de 500 kg Yradio de girokG=UO ill.Deseansa sobre Ia superfieie de una bandatran portadora cuyo coeficiente de {nccian esratica estL s


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J 799. La barra esbelta de 2_ kg est


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432 C Ap rTU LO n Cinetica plana de un cuerpo rigido: Fuer ;za y aceleraden. . . . . . . . .

"'17- 04. UIljI larga tira de papel esraenrollada en dosrodillos, cada uno COl] masa de s : kg. El rod i110A estasoportado mediante un pasador que pasa por su centromientras que el rodillo B no esta soportado central mente.Si B es lIevado en contaeto con A y libetado del repose,determine Ja tension inieialeu el papel entre 108 rodillosy la aeeleracion angular de cada rodillo, Al efectuar losealculos sepcnga que los rodillos son aproxlrnados pot ci-lindros,

90mm ~

Prob. 11-10-1

17-J05. La barra unitorme de masa m 'i longitud L estaequilibradaen la posicion ver t ica l cuando la fuerza bon-zontal P es aplicada al rqdillo ubicado eD-A. Determinela aceleracion angular inicial de la bart a y 18.aeeleraeionde su punta superior B.

B1Prub. l7-lf15

I1;J06. La esealera tiene peso W y descansa contra laP ' : . : r 0 . 9 el snelo Iisos, Determine su aeeleraeien angularcomo una funcion de (}cuando es Iiberada " :I puede des-lizarse hacia ahajo, En los calculos, trate a la escalera comouna barre esbelta,

Prub.11-106

17-lU7. cI bolo de 16Ib es lanzado borizontalmente '0-bre u na bo lera de tal fo rm a q ue in ic ia lrn en te O J '= 0 Y s LJcentro de masa tiene velocidad 7J = pies's iel eeefi-ciente de fricei6n cinetica entre aquel y esta es J 1 . ! I = 0.12.determine

cap 17 by mirror

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