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  • Chapitre 6 COULEMENTS INTERNES

    Le secret de plaire, cest de se laisser apprendre des choses que lon sait par quelquun qui les ignore.

    TALLEYRAND

    Par rapport aux coulements externes, les coulements internes ont ceci de particulier que les conditions aux limites y sont omniprsentes. Ils sont abords dans ce chapitre sous deux aspects complmentaires : les profils de vitesse (dont la connaissance est essentielle en convection thermique) et les dissipations dnergie mcanique (pertes de charge) qui conditionnent le dimensionnement des circuits fluides, et en particulier le dessin des changeurs ; plus gnralement, les dissipations doivent tre prises en compte dans les bilans nergtiques ou conomiques. Pour atteindre cet objectif, nous nous sommes conform la dmarche adopte depuis le dbut : utiliser mthodiquement les structures de la thorie (bilans, similitude ) et recourir un nombre minimal dhypothses phnomnologiques. Ainsi, on peut faire apparatre des paramtres significatifs (dimension caractristique dune canalisation, facteur de forme, 6.6), mieux clairer un concept ( perte de charge singulire , 6.7), justifier une formule prsente comme semi-empirique ( 6.6.2), ou dbarrasser lexpos de quelques scories qui se rvlent superflues. En outre, une telle procdure amliore le pouvoir de prdictibilit de la thorie : par exemple, la prsentation utilise pour les coulements turbulents laisse la porte ouverte au calcul des canalisations annulaires sans donnes ou hypothses complmentaires. Elle fournit aussi loccasion de faire une mise au point sur lutilisation simultane des bilans dnergie et de quantit de mouvement ( 6.6.1.8). Enfin, ce type dapproche facilite une distinction claire entre coulements tablis et non tablis, les seconds tant dailleurs plutt la rgle que lexception. 6.1. SPCIFICIT DES COULEMENTS INTERNES 6.1.1. Considrations gnrales et dfinitions

    Les coulements internes ont pour caractre particulier labsence de conditions aux limites linfini, ce qui nest pas le cas des coulements externes. Linfluence des parois se manifeste donc dans toutes les directions, sauf ventuellement aux sections dentre et de sortie du fluide.

  • La diversit des gomtries possibles entrane videmment une grande varit dans la structure des coulements, mais ce sont le plus souvent des coulements de type couche limite, comme par exemple dans les canalisations.

    Quoi quil en soit, lexpression gnrale du nombre de Reynolds (critre de similitude relatif aux forces de viscosit) est bien entendu indpendante des conditions de lcoulement, et lon a toujours :

    = LVRe (2.26b)

    mais les dfinitions conventionnelles de la vitesse de rfrence V et de la longueur de rfrence L ne sont pas les mmes que pour les coulements externes et doivent donc tre prcises. Pour cela, il faut bien noter ds maintenant que la grandeur physique la plus importante en pratique est souvent le dbit total de fluide. Si x est la direction gnrale de lcoulement et S0 une section plane de la veine fluide perpendiculaire x, ce dbit a pour expression daprs la dfinition (1.28) :

    ==00 SS

    m dSUdSn.Vq (en kg/s) (6.1a)

    Trs souvent, dans les coulements isochores, on vite de sembarrasser du terme en faisant usage du dbit-volume (ou dbit volumique) :

    =0S

    v dSUq (en m3/s) (6.1b)

    On introduit alors une vitesse moyenne sur la section S0, appele vitesse dbitante Vd , ou encore vitesse de mlange (par analogie avec la temprature de mlange, voir PTC, ch. 3) dfinie par :

    0

    m

    0

    vd S

    q

    S

    qV

    == (6.1c)

    (en anglais, on dit bulk velocity, et la notation usuelle est Vb). Cest cette vitesse dbitante, reprsentative de lcoulement, qui est choisie comme vitesse de rfrence V dans le nombre de Reynolds. Quant la longueur L, ce sera le diamtre hydraulique Dh de la veine fluide, dont la dfinition prcise sera analyse et justifie un peu plus loin ( 6.6.1.5). Notons simplement pour linstant que lon a : Dh = diamtre D pour une section circulaire (6.2a) Dh = 2 fois lpaisseur pour une section rectangulaire plate (6.2b) En rsum, le nombre de Reynolds scrit donc ici :

    hd DVRe = (6.2c)

  • Dautre part, la vitesse dbitante peut servir exprimer la conservation de la masse (et donc du dbit) dans lcoulement. Si la canalisation est de section S variable, cette proprit scrit, en vertu de (6.1c), pour un fluide isochore: cteVS d = (6.3) Donc, la vitesse augmente lorsque la section diminue, et rciproquement. 6.1.2. Donnes exprimentales

    Nous avons dj approch laspect exprimental des coulements internes au dbut du chapitre 2 en analysant les diffrents rgimes dcoulement qui peuvent tre observs dans une canalisation : laminaire, turbulent lisse , turbulent rugueux . La distinction entre coulements laminaires et turbulents a t complte et prcise au chapitre 3. Il nest donc pas indispensable dy revenir ici. La seule prcision supplmentaire donner concerne le nombre critique Rec qui caractrise la transition laminaire turbulent : celui-ci dpend un peu de la forme de la section et lon peut admettre comme valeurs moyennes : - section rectangulaire plate : Rec > 2500 - section circulaire : Rec > 2000.

    Mais la nature laminaire ou turbulente de lcoulement ne suffit pas caractriser compltement le champ des vitesses, car la structure de lcoulement est galement modele par la forme des parois. Pour aborder laspect physique du problme, examinons titre dexemple ce quil se passe dans une canalisation rectiligne de section constante. Le phnomne de couche limite se manifeste ds lentre au voisinage de la paroi ; mais au-del dune certaine distance, comme la paroi enveloppe compltement le fluide dans la direction perpendiculaire lcoulement, la couche limite vient interfrer avec elle-mme pour donner naissance une nouvelle structure dynamique : lcoulement tabli ; celui-ci possde toujours les caractres dun coulement de couche limite, mais il sordonne dune faon particulire sous linfluence des conditions aux limites.

    La zone dtablissement du rgime dynamique sobserve aussi bien en laminaire quen turbulent, mais sa structure nest pas la mme dans les deux cas. Supposons pour simplifier que la rpartition de vitesse soit uniforme dans la section dentre du conduit : - en laminaire (fig. 6.1), la couche limite laminaire spaissit rgulirement jusqu occuper lensemble de la veine fluide, ce qui donne naissance au rgime tabli. Dans la partie centrale appele aussi noyau central le fluide est lobjet dune acclration qui compense le freinage subi dans la zone de couche limite. Le calcul sera donc ici plus complexe que dans les coulements externes puisque la vitesse U hors de la couche limite dpend la fois de la distance x lentre et de la distance la paroi. La longueur dtablissement Le est donne approximativement par : Le / D > 0,06 Re (6.4a) lorsque la section est circulaire, de diamtre D.

  • FIG. 6.1. tablissement du rgime laminaire dans une canalisation de section circulaire ou entre deux plans parallles.

    - en turbulent, la couche limite est dabord laminaire, puis se subdivise comme sur une plaque plane en couche limite turbulente et sous-couche visqueuse. Dans le noyau central on note, l encore, une acclration du fluide (fig. 6.2).

    FIG. 6.2. tablissement du rgime turbulent dans une canalisation de section circulaire ou entre deux plans parallles.

    Lorsque le rgime tabli est atteint il y a coexistence dune couche limite turbulente, qui occupe la quasi-totalit de la section, et dune mince sous-couche visqueuse au voisinage des parois. La description de ce phnomne que nous avons faite en 5.1.1.2 propos de la plaque plane reste valable ici. La seule diffrence est que dans un espace confin lchelle des grandes structures turbulentes est limite par la gomtrie du conduit : cela se rpercutera sur lexpression de la viscosit turbulente. On admet que la longueur dtablissement (distance ncessaire pour atteindre le rgime turbulent tabli) avec une section circulaire est de lordre de : Le / D > 0,63 Re

    0,25 (6.4b) En pratique, il est videmment rare que le profil de vitesse lentre soit uniforme ; la longueur dtablissement va sen trouver un peu affecte mais la description du phnomne reste globalement valable. Lanalyse des coulements non tablis sera en outre complte plus loin car leur importance peut tre significative au point de vue dynamique (pertes de charge singulires, 6.7) ou thermique (changeurs). Cependant, la suite de ce chapitre portera principalement sur les coulements tablis, dont il convient maintenant de proposer une dfinition quantitative.

  • 6.1.3. Proprits des coulements tablis

    Plaons-nous pour commencer en coulement laminaire et en gomtrie cartsienne bidimensionnelle.

    Nous dirons quun coulement est tabli si en tout point M(x, y) on a : 0

    x

    U =

    (6.5a)

    x tant la direction gnrale de lcoulement et y la direction perpendiculaire. Cette hypothse signifie que la composante U ne dpend que de y : il y a invariance des profils de vitesse le long de lcoulement. Une consquence immdiate de cette dfinition est que :

    0x/U 22 = (6.5b) Les implications de la condition (6.5) sont importantes si lon considre que le fluide est isochore ( = cte). 1. De lquation de continuit 0y/Vx/U =+ on dduit :

    0y

    V =

    soit V indpendant de y en tout point. Ceci est incompatible avec les conditions aux limites, sauf si V est nul partout. Il faut donc que lon ait :

    0V = (6.6a)

    et donc