chapter 6 6.1 bending - akawut.files.wordpress.com · chapter 6 bending •objectives ... example...

CHAPTER 6Bending

• Objectives• เพื่อทบทวนการเขียน shear diagram และ moment diagram)

• เพื่อใหท้ราบและเขา้ใจถึงการเปลี่ยนแปลงรูปร่างเนื่องจากการดดั (bending) เนื่องจากแรงกระทาํขวาง (transverse load)

• เพื่อใหท้ราบและเขา้ใจถึงการเปลี่ยนแปลงรูปร่างเนื่องจากการดดั (bending) เนื่องจากแรงกระทาํขวาง (transverse load)

• เพื่อใหส้ามารถวเิคราะห์การดดัแบบไม่สมมาตร (unsymmetrical bending) ได้

6.1 Shear and moment diagrams

• คาน (beam) มีชื่อเรียกตามลกัษณะการรองรับและลกัษณะของคาน

6.1 Shear and moment diagrams• คาน (beam) เป็นองคอ์าคารที่มีลกัษณะตรง วางอยูใ่นแนวนอน และถูกกระทาํโดย loads ที่ตั้งฉากกบัแนวแกนของคาน (transverse loads)

ขั้นตอนในการออกแบบคานคือ1.) เขียน shear diagram และ moment diagram

2.) หาค่าสูงสุดของแรงเฉือน และโมเมนตด์ดั ที่ เกิดขึ้นภายในตวัคานและตาํแหน่งที่เกิด3.) คาํนวณหาขนาดหนา้ตดัคาน

6.1 Shear and moment diagrams

• Beam sign convention

6.1 Shear and moment diagrams• ขั้นตอนในการวิเคราะห์1. เขียน FBD ของคาน และหาค่าแรงปฏิกิริยา2. เลือกพิกดั x โดยใหพ้ิกดัแต่ละอนัอยูใ่นช่วงที่อยู่ ระหวา่ง F, M, หรือ distributed loads w

3. ตดัคานที่พิกดั x1 หรือ x2 แลว้ เขียน FBD ของชิ้นส่วนของคาน4. ใชส้มการสมดุลหาสมการแรงเฉือน V(x) และ moment M(x)

5. เขียน shear diagram และ moment diagram โดยที่แกน x เป็นแกนนอนและfunction ของ V(x) และ M(x) เป็นแกนตั้ง

Example 6.1

เขียน SFD และ BMD ของคานดงัรูป

Example 6.1

Support reaction: Shear and moment functions

0 ≤ x1 ≤ 5 m,

+↑ Fy = 0; ... V = 5.75 N

+ M = 0; ... M = (5.75x1 + 80) kN·m

Example 6.1

Support reaction: Shear and moment functions

5 m ≤ x2 ≤ 10 m,

+↑ Fy = 0; ... V = (15.75 5x2) kN

+ M = 0; ... M = (2.5x22 + 15.75x2 +92.5) kN·m

Example 6.1Support reaction: Shear and moment functions

Example 6.2


Example 6.2

ขอ้สงัเกต

ตรงจุดที่ shear มีค่าเท่ากบัศูนย ์moment

ที่จุดดงักล่าวมกัจะมีค่าสูงสุด(หรือตํ่าสุด)

1. ( )

2.

3.

dV w xdxdM Vdx

Example 6.3


Example 6.3

• ตรงจุดที่ point load พุง่ลงกระทาํ shear diagram จะมีค่าลดลงเท่ากบัค่า ของ point load ดงักล่าว

• ตรงจุดที่ moment ทวนเขม็ฯ กระทาํ moment diagram จะมีค่าลดลงเท่ากบัค่าของ moment ดงักล่าว

6.2 Graphical method for constructing shear and moment diagramsวธิีกราฟฟิกช่วยทาํใหเ้ขียน shear diagram และ moment diagram ไดง้่ายขึ้น เนื่องจากไม่ตอ้งเขียนสมการของ shear และ moment ในแต่ละช่วงของคาน• Regions of distributed load

dVdx = w(x)

dMdx = V

Slope of shear diagram at each point

Slope of moment diagram at each point

= distributed load intensity at each point

= shear at each point

6.2 Graphical method for constructing shear and moment diagrams

• Regions of distributed load

V = ∫ w(x) dx M = ∫ V(x) dx

Change in shear

Change in moment

= area under distributed loading

= area under shear diagram





Example 6.3


Example 6.3 Example 6.4


Example 6.5


Example 6.6


Example 6.7


6.3 Bending deformation of a straight member

• เมื่อมีโมเมนตบ์ิดกระทาํต่อคาน คานจะเกิดการแอ่นตวัตามแนวยาวและหนา้ตดัจะยงัคงเป็นระนาบราบแต่จะมีการหมุนไปตามการแอ่นของคาน


• บนระนาบตามยาว จะมีอยูร่ะนาบหนึ่งซึ่งแมค้านจะแอ่นแต่ระนาบนี้จะมีความยาวเท่าเดิมเราเรียกระนาบนี้วา่ neutral surface


สมมติฐาน• แกนตามแนวยาวบน neutral surface ไม่มีการเปลี่ยนแปลงความยาว • ระนาบตดัขวางบนคานยงัคงเป็นระนาบราบและวางตวัตั้งฉากกบัแกนตามแนวยาว• ภาคตดัขวางไม่มีการเสียรูป


สมมติฐาน• แกน z บนระนาบตดัขวางซึ่ง neutral surface ลากผา่นเรียกวา่ neutral axis


สมมติฐาน• สาํหรับภาคตดัขวางใดๆ ความเครียดตามแนวยาว (longitudinal normal strain) จะ

แปรเปลี่ยนเชิงเสน้กบัระยะ y วดัจาก neutral axis (ดูรูป)• หากคานรับโมเมนตบ์ิดที่เป็นบวกดา้นที่อยูเ่หนือ neutral axis จะมีการหดตดั () • และดา้นที่อยูต่ ํ่ากวา่ neutral axis จะมีการยดืตวั (+)

= (y/c)max

6.4 Flexural Formula.4 THE FLEXURE FORMULA

• สาํหรับวสัดุซึ่งมีพฤติกรรมอยูใ่นช่วง linear-elastic สามารถใช้ Hooke’s law ได ้ดงันั้น

max( )yc


• เมื่อคานมีพฤติกรรม linear elastic ภายใตแ้รงกระทาํแลว้ การกระจายของstrain และ stress บนหนา้ตดัคานจะมีลกัษณะดงัแสดง และ flexural stressจะหาไดจ้าก

MyI


max = maximum normal stress บนภาคตดัขวางที่อยูห่่างจาก Neutral axis มากที่สุดM = Bending moment บนภาคตดัขวางที่กาํลงัพิจารณา โดยมีแนวการหมุนรอบแกนของ neutral axisI = moment of inertia ของภาคตดัขวางรอบแกน neutral axisc = ระยะฉากจาก neutral axis ถึงตาํแหน่งบนภาคตดัขวางที่ห่างจาก neutral axis ที่สุด

Normal stress ที่ระยะ y ใดๆจาก neutral axis สามารถหาไดจ้ากสมการ

maxMcI

MyI

6.4 Flexural Formula.4 THE FLEXURE FORMULACONCEPT OF CENTROIDจุด centroid เป็นจุดที่ระบุถึงจุดศูนยก์ลางทางเรขาคณิตของวตัถุ

พื้นที่ประกอบ (composite area) เป็นพื้นที่ที่ประกอบ (บวกเขา้ หรือตดัออก) จากพื้นที่ที่มีรูปร่างพื้นฐาน เช่น สามเหลี่ยม สี่เหลี่ยม และครึ่งทรงกลม เป็นตน้

Example 6.8

จงหาระยะ c1

Example 6.9

จงหาระยะ c1

6.4 Flexural Formula.4 THE FLEXURE FORMULACONCEPT OF Moment of inertiaพิจารณาทางเลือกของหนา้ตดัคาน AB ที่มีพื้นที่หนา้ตดัเท่ากนัและมีนํ้าหนกัต่อหนึ่งหน่วยความยาวเท่ากนั

จากรูป เมื่อ P มีค่าๆ หนึ่งแลว้ หนา้ตดัใดของคานจะมีค่าการแอ่นตวัตํ่าสุด?

ทาํไม?

หนา้ตดัรูป (A) มีค่าการแอ่นตวัตํ่าสุด เพราะวา่มีค่า moment of inertia รอบแกน x สูงสุด (เนื่องจากพื้นที่โดยส่วนใหญ่ของหนา้ตดัอยูไ่กลจากแกน x)

6.4 Flexural Formula.4 THE FLEXURE FORMULACONCEPT OF Moment of inertia

Example 6.10

จงหาค่า moment of inertia ของพื้นที่รอบแกน z

Example 6.11

จงหาค่า moment of inertia ของพื้นที่รอบแกน NA

Example 6.11

จงหาค่าหน่วยแรงดดัสูงสุดที่เกิดขึ้นในคานและเขียนการกระจายของหน่วยแรงดดับนหนา้ตดัดงักล่าว

Example 6.12

หนา้ตดัคานถูกกระทาํโดยหน่วยแรงดดั ดงัแสดง จงหาค่าโมเมนตภ์ายใน M ที่ก่อใหเ้กิดหน่วยแรงดงักล่าว

Example 6.13

คานไมส้กัถูกกระทาํโดยแรงต่างๆ ดงัที่แสดงในรูป

จงออกแบบหาขขนาดหนา้ตดัของคานหน่วยแรงที่ยอมให้24 MPa, 4.8 MPa, F.S =2.0ult ult

chapter 6 6.1 bending - akawut.files.wordpress.com · chapter 6 bending •objectives ... example...

Documents