clase 5 y 6 - introducción al programa de matemáticas

3009353 Introducción al Programa de Matemáticas.Aritmética Modular (Clase 5,6)

J D Vélez

Universidad Nacional

Marzo 4 2013

(Institute) Marzo 4 2013 1 / 38

Por la teoría de los números

En el ejemplo del calendario vimos por qué es útil llevar las cuentasmodulo 7. Otro ejemplo en donde, de manera natural, es útil llevar lascuentas modulo 12 es en el reloj: las trece horas, por ejemplo, sonlomismo que la hora 1; las cartorce las 2 y así sucesivamente.Introduzcamos las siguiente notación.Decimos que a � b mod n (se lee a es congruente con b modulo n) si ndivide a b� a (esto último lo indicaremos escribiendo nj(b� a)). Porejemplo, 10 � 3 mod 7 y �11 � 1 mod 12.Propiedes básicas de las congruencias

a � a0 mod n y a � a mod n entonces a � a mod n

a � a0 mod n y b � b mod n, entoncesa+ b � a+ b mod na� b � a� b mod nab � ab mod n. De aquí que ad � (a0)d mod n, para todo enterod > 0.




a � a0 mod n y a � a mod n entonces a � a mod na � a0 mod n y b � b mod n, entonces

a+ b � a+ b mod na� b � a� b mod nab � ab mod n. De aquí que ad � (a0)d mod n, para todo enterod > 0.




a � a0 mod n y a � a mod n entonces a � a mod na � a0 mod n y b � b mod n, entoncesa+ b � a+ b mod n

a� b � a� b mod nab � ab mod n. De aquí que ad � (a0)d mod n, para todo enterod > 0.




a � a0 mod n y a � a mod n entonces a � a mod na � a0 mod n y b � b mod n, entoncesa+ b � a+ b mod na� b � a� b mod n

ab � ab mod n. De aquí que ad � (a0)d mod n, para todo enterod > 0.




a � a0 mod n y a � a mod n entonces a � a mod na � a0 mod n y b � b mod n, entoncesa+ b � a+ b mod na� b � a� b mod nab � ab mod n. De aquí que ad � (a0)d mod n, para todo enterod > 0.


Congruencias

Por ejemplo, 12 � 5 mod 7 y 10 � 3 mod 7, entonces 12� 10 � 15 mod7 y 15 � 1 mod 7. Luego 120 � 1 mod 7. En efecto, 120 = 17� 7+ 1.Ls propiedades 1-5 se veri�can con facilidad. Veamos, por ejemplo, porqué es cierta la quinta propiedad. Supongamos a � a0 mod n y b � bmod n. Entonces, por de�nición, nj(a� a) y nj(b� b). Luego n tambiéndebe dividir a b(a� a) y a a(b� b); luego divide su suma

b(a� a) + a(b� b) = ab� ba+ ab� ab = ab� ab.

Esto signi�ca precisamente que ab � ab mod n.


Euclides y los Elementos

Euclides es el matemático más famoso de la Antigüedad (330 a.C. - 275a.C.) Es probable que se educara en Atenas, lo que explicaría con su buenconocimiento de la geometría elaborada en la escuela de Platón, aunqueno parece que estuviera familiarizado con las obras de Aristóteles. Su obramás famosa son Los Elementos


Números primos y compuestos

Recordemos algunas nociones elementales de teoría de números

Un número entero p se llama primo si p > 1 y no tiene divisorespropios. Es decir, si d jp entonces d = 1 o d = p. Un número que nosea primo se llama compuesto.

Primeros primos:2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79,

83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113...

Todo número natural se descompone de manera única como productode potencias de primos: por ejemplo, 2200 = 23 � 52 � 11,31213 = 74 � 13. Esta a�rmación se conoce como el TeoremaFundamental de la Aritmética, TFA.


Números primos

Los primeros primos pueden determinarse siguiendo la llamada criba deEratóstenes. La criba de Eratóstenes, atribuida a Eratóstenes de Cirene, esun método sencillo para encontrar números primos: se escriben losnúmeros naturales hasta el punto que uno desee examinar. Comenzamostachando los múltiplos de 2, salvo el 2, luego los de 3, salvo el 3, y así sesigue con 4, 5, 6... Al terminar, los números que quedan sin tachar seránlos primos.


es primo?

El algoritmo más sencillo para saber si un número N es primo es el dela división. Se trata de ir probando para ver si tiene algún divisorpropio. Para ello vamos dividiéndolo entre 2, 3, 4, 5, ...,N � 1... Sialguna de las divisiones es exacta podemos asegurar que el número Nes compuesto. Si ninguna de estas divisiones es exacta, N es primo.

El procedimiento anterior puede re�narse: basta buscar divisoresprimos hasta

pN.Para probar, por ejemplo, que 227 es primo

sabiendo quep227 = 15.0665..., basta ver que no es divisible entre

2, 3, 5, 7, 11 y 13.Cuando el número tiene, por ejemplo, unas 200 cifras y es primo,habrá que realizar miles de millones de divisiones paracomprobarlo. Aunque un computador realiza millones de divisionespor segundo, el tiempo necesario es bastante considerable. Y cuandoel número de dígitos aumenta, el tiempo necesario ¡crece de formaexponencial!


es primo?

El algoritmo más sencillo para saber si un número N es primo es el dela división. Se trata de ir probando para ver si tiene algún divisorpropio. Para ello vamos dividiéndolo entre 2, 3, 4, 5, ...,N � 1... Sialguna de las divisiones es exacta podemos asegurar que el número Nes compuesto. Si ninguna de estas divisiones es exacta, N es primo.El procedimiento anterior puede re�narse: basta buscar divisoresprimos hasta



2, 3, 5, 7, 11 y 13.

Cuando el número tiene, por ejemplo, unas 200 cifras y es primo,habrá que realizar miles de millones de divisiones paracomprobarlo. Aunque un computador realiza millones de divisionespor segundo, el tiempo necesario es bastante considerable. Y cuandoel número de dígitos aumenta, el tiempo necesario ¡crece de formaexponencial!


es primo?

El algoritmo más sencillo para saber si un número N es primo es el dela división. Se trata de ir probando para ver si tiene algún divisorpropio. Para ello vamos dividiéndolo entre 2, 3, 4, 5, ...,N � 1... Sialguna de las divisiones es exacta podemos asegurar que el número Nes compuesto. Si ninguna de estas divisiones es exacta, N es primo.El procedimiento anterior puede re�narse: basta buscar divisoresprimos hasta



2, 3, 5, 7, 11 y 13.Cuando el número tiene, por ejemplo, unas 200 cifras y es primo,habrá que realizar miles de millones de divisiones paracomprobarlo. Aunque un computador realiza millones de divisionespor segundo, el tiempo necesario es bastante considerable. Y cuandoel número de dígitos aumenta, el tiempo necesario ¡crece de formaexponencial!


es primo?

Supongamos que queremos saber si un número de 50 cifras es primo. Laraíz cuadrada de un número de este orden está en torno a 1025. Si uncomputador hace 109 operaciones por segundo, necesitará1025/109 = 1016 segundos. Este tiempo equivale, aproximadamente, a317 millones de años. (Hace 300 millones de años se formó Pangea)


Teorema de Euclides

TheoremLos números primos son in�nitos (Teorema de Euclides).

Proof.Si suponemos por el contrario que son �nitos, digamos p1, p2, . . . , pn,entonces N = p1 � p2 � � � � � pn + 1 es claramente mayor que cualquierade los pi . Por tanto no puede ser primo (supusimos que los únicos primoseran p1, p2, . . . , pn). Luego, por el TFA, este número es producto depotencias de algunos de los pi , en particular divisible por algún pi . Pero esclaro que N dividido pi deja residuo 1, y en consecuencia no puede serdivisible por ningún pi . Esta contradicción proviene de nuestro supuesto de�nitud. De ahí que los primos tengan que ser in�nitos.


Primos de Fermat

Un Número de Fermat es un número de la forma 22n+ 1. La

sucesión, Fn, de números de Fermat para n = 0, 1, 2, ... sería

F = f3, 5, 17, 257, 65537, 4294967297, 18446744073709551617...gPierre de Fermat comprobó que los cinco primeros números eranprimos y conjeturó que posiblemente todos ellos lo fuesen. Eulerdemostró en 1732 que no, pues F5 = 4294967297 es divisible por 641.(F5 = 6700417� 641). Hasta el día de hoy no se han encontrado másprimos entre los números de Fermat.

¿Sólo hay cinco números primos de Fermat (3, 5, 17, 257 y 65537)?

¿Existen in�nitos primos de Fermat?

Nadie lo sabe!


Primos de Fermat



F = f3, 5, 17, 257, 65537, 4294967297, 18446744073709551617...g

Pierre de Fermat comprobó que los cinco primeros números eranprimos y conjeturó que posiblemente todos ellos lo fuesen. Eulerdemostró en 1732 que no, pues F5 = 4294967297 es divisible por 641.(F5 = 6700417� 641). Hasta el día de hoy no se han encontrado másprimos entre los números de Fermat.



Nadie lo sabe!


Primos de Fermat



F = f3, 5, 17, 257, 65537, 4294967297, 18446744073709551617...gPierre de Fermat comprobó que los cinco primeros números eranprimos y conjeturó que posiblemente todos ellos lo fuesen. Eulerdemostró en 1732 que no, pues F5 = 4294967297 es divisible por 641.(F5 = 6700417� 641). Hasta el día de hoy no se han encontrado másprimos entre los números de Fermat.



Nadie lo sabe!


Primos de Mersenne, Siglo XVII

Un primo de la forma 2n � 1 se llama primo de Mersenne.

Si 2n � 1 es primo, entonces n debe ser primo:Prueba: Si suponemos que n es compuesto, digamos n = ab,(a, b > 1), entonces

2n � 1 = (2a)b � 1 = (2a � 1)�(2a(b�1) + 2a(b�2) + � � �+ 2a + 1)

y por tanto 2n � 1 también es compuesto.Mersenne conjeturó que para n = 13, 17, 19, 31, 67, 127 y 257, 2n � 1es primo, aunque se equivocó en los valores 67 y 257, y omitió losexponentes 61, 89 y 107, lo que no obstante es una hazaña asombrosaal tener en cuenta que 2257 � 1 tiene más de 80 cifras.Nadie sabe hasta el momento si existen in�nitos primos de Mersenne.



Un primo de la forma 2n � 1 se llama primo de Mersenne.Si 2n � 1 es primo, entonces n debe ser primo:

Prueba: Si suponemos que n es compuesto, digamos n = ab,(a, b > 1), entonces

2n � 1 = (2a)b � 1 = (2a � 1)�(2a(b�1) + 2a(b�2) + � � �+ 2a + 1)




Un primo de la forma 2n � 1 se llama primo de Mersenne.Si 2n � 1 es primo, entonces n debe ser primo:Prueba: Si suponemos que n es compuesto, digamos n = ab,(a, b > 1), entonces

2n � 1 = (2a)b � 1 = (2a � 1)�(2a(b�1) + 2a(b�2) + � � �+ 2a + 1)

y por tanto 2n � 1 también es compuesto.

Mersenne conjeturó que para n = 13, 17, 19, 31, 67, 127 y 257, 2n � 1es primo, aunque se equivocó en los valores 67 y 257, y omitió losexponentes 61, 89 y 107, lo que no obstante es una hazaña asombrosaal tener en cuenta que 2257 � 1 tiene más de 80 cifras.Nadie sabe hasta el momento si existen in�nitos primos de Mersenne.




2n � 1 = (2a)b � 1 = (2a � 1)�(2a(b�1) + 2a(b�2) + � � �+ 2a + 1)

y por tanto 2n � 1 también es compuesto.Mersenne conjeturó que para n = 13, 17, 19, 31, 67, 127 y 257, 2n � 1es primo, aunque se equivocó en los valores 67 y 257, y omitió losexponentes 61, 89 y 107, lo que no obstante es una hazaña asombrosaal tener en cuenta que 2257 � 1 tiene más de 80 cifras.

Nadie sabe hasta el momento si existen in�nitos primos de Mersenne.




2n � 1 = (2a)b � 1 = (2a � 1)�(2a(b�1) + 2a(b�2) + � � �+ 2a + 1)



Primos de Mersenne

Con el paso de los siglos se ha ido avanzando a pequeños pasos. Con losprimos, su búsqueda y descubrimiento de sus propiedades es un desafíoque empezó antes del �orecimiento de la cultura griega y aún continúa. Eluso de computadores aceleró los descubrimientos y todos los primosrécords fueron encontrados desde 1951. Mn = 2n � 1.


Primos de Mersenne


Primos Gigantes

Aquí están los primeros cinco gigantes

2666666664

Posición Primo Fecha descubrimiento Número de dígitos

1o 257,885,161 � 1 25 enero 2013 17, 425, 1702o 243,112,609 � 1 23 agosto 2008 12, 978, 1893o 243,112,609 � 1 abril 2009 12, 837, 0644o 237,156,667 � 1 6 septiembre 2008 11, 185, 2725o 232,582,657 � 1 4 septiembre 2006 9, 808, 358

3777777775Para escribir los dígitos del mayor primo se requieren seis volúmenes de1000 páginas cada uno.


Premios

Aquí está la noticia del premio de 100,000 dólares otorgado en octubre de2009 al primer primo encontrado con más de diez millones de cifras.Record 12-Million-Digit Prime Number Nets $100,000 PrizeMersenne.org Wins EFF�s Cooperative Computing AwardSan Francisco - A worldwide volunteer computing project called the GreatInternet Mersenne Prime Search (GIMPS) has discovered a 12-million-digitprime number, netting $100,000 and a Cooperative Computing Awardfrom the Electronic Frontier Foundation (EFF) for discovering a primenumber of over 10 million digits.


Primos en la naturaleza

La cigarra periódica permanece en estado de ninfa durante 17 años (13para una subespecie suya), período durante el cual pasa bajo tierraalimentándose de jugos extraídos de las raíces de los árboles.



Pero llega un día, señalado por un increíble reloj biológico, en quedebe salir a la super�cie, completar en unas pocas horas su desarrollo,conseguir compañero, aparearse, depositar los huevos y morir. Unahistoria cruel: años de espera para unos pocos segundos de amor. Esedía señalado, después de 17 años de haber sido fecundados loshuevos, salen a la super�cie, sincrónicamente, miles de millones deindividuos en una fantástica eclosión.

Al ser primo el período vital de la cigarra, ninguna especiedepredadora, cuyos ciclos reproductivos, de gran exigenciaalimentaria, son por lo general de unos pocos años (muy comunes sonlas de 2), puede ajustar el ritmo al de su presa y aprovecharse con unafrecuencia peligrosamente alta de las esporádicas cosechas decigarras. Si el ciclo fuese un número compuesto, 12 años, porejemplo, las especies depredadoras de ciclo 2 años, cada 6generaciones podrían encontrar alimento abundante para sus crías, loque signi�caría menos cigarras y más depredadores.



Pero llega un día, señalado por un increíble reloj biológico, en quedebe salir a la super�cie, completar en unas pocas horas su desarrollo,conseguir compañero, aparearse, depositar los huevos y morir. Unahistoria cruel: años de espera para unos pocos segundos de amor. Esedía señalado, después de 17 años de haber sido fecundados loshuevos, salen a la super�cie, sincrónicamente, miles de millones deindividuos en una fantástica eclosión.Al ser primo el período vital de la cigarra, ninguna especiedepredadora, cuyos ciclos reproductivos, de gran exigenciaalimentaria, son por lo general de unos pocos años (muy comunes sonlas de 2), puede ajustar el ritmo al de su presa y aprovecharse con unafrecuencia peligrosamente alta de las esporádicas cosechas decigarras. Si el ciclo fuese un número compuesto, 12 años, porejemplo, las especies depredadoras de ciclo 2 años, cada 6generaciones podrían encontrar alimento abundante para sus crías, loque signi�caría menos cigarras y más depredadores.



Con el ciclo de 17, en cambio, las coincidencias se presentarían sólocada 34 años (primer múltiplo común de 2 y 17), esto es, cada 17generaciones. Si el periodo fuese un número divisible por 3, 4 o 6, lasespecies de ciclo reproductivo 3, 4 o 6 años disfrutarían también a sudebido turno de las abundancias periódicas de las cigarras. Y si fuesemúltiplo de varios números a la vez, esto es, múltiplo común de ellos,la situación podría volverse crítica para la cigarra. Pero al adoptar unciclo primo y relativamente elevado, es muy bajo el número deposibles coincidencias letales.


Fórmulas para generar números primos

Euler descubrió la fórmula f (n) = n2 + n+ 41. Para valores entren = 0, ..., 39, la fórmula produce números primos41, 43, 47, 53, 61, 71, 83, 97, 113, 131, 151,173, 197, 223, 251, 281, 313, 347, 383, 421,461, 503, 547, 593, 641, 691, 743, 797, 853,911, 971, 1033, 1097, 1163, 1231, 1301, 1373,1447, 1523, 1601.Sin embargo, f (40) = 412.Problema: demostrar que no existe ningún polinomio con coe�cientesenteros, f (n) = a0xn + � � �+ an, de tal manera que f (n) es primo paravalores de n su�cientemente grandes.


Fórmulas para generar números primos

El polinomio p(a, b, . . . , z) es tal que si las variables toman valores nonegativos, entonces el conjunto de todos los primos coincide con elconjunto de valores positivos de la función p.


Preguntas sin resolver

1 Dos primos se llaman gemelos si su diferencia es dos: (3, 5), (5, 7),(7, 11), (17, 19), . . . ,

2 Los números primos gemelos más grandes conocidos son el par(2003663613 �2195000 � 1, 2003663613� 2195000 + 1), que tienen58711 dígitos.Fueron descubiertos en 2007 por Vautier, McKibbon,Gribenko et al.

3 Nadie sabe si existen in�nitos primos gemelos4 En una carta de Goldbach a Euler, en 1742, le pregunta si puededemostrar que todo número par mayor que dos es la suma de dosprimos. Por ejemplo:4 = 2+ 2, 6 = 3+ 3, 8 = 5+ 3, 10 = 3+ 7, ..., 100 = 3+ 97, ...

5 La conjetura ha sido demostrada hasta números pares n � 4� 10186 Se considera uno de los problemas más difíciles de todas lamatemáticas, y de todas las ciencia exactas.





3 Nadie sabe si existen in�nitos primos gemelos

4 En una carta de Goldbach a Euler, en 1742, le pregunta si puededemostrar que todo número par mayor que dos es la suma de dosprimos. Por ejemplo:4 = 2+ 2, 6 = 3+ 3, 8 = 5+ 3, 10 = 3+ 7, ..., 100 = 3+ 97, ...







5 La conjetura ha sido demostrada hasta números pares n � 4� 1018

6 Se considera uno de los problemas más difíciles de todas lamatemáticas, y de todas las ciencia exactas.


Problema: Samuel y Pedro

Durante una reunión social, Samuel y Pedro, ambos reconocidos expertosen la difícil teoría de números, les propone una prueba numérica: se tratade averiguar dos números enteros entre 2 y 99, cuya suma es menor que100.Justo en el momento de la despedida, el an�trión da a Samuel el valor dela suma y a Pedro el producto, con la instrucción adicional de que una vezdescubran algo se lo informen mutuamente.

Una vez llega a su casa, Samuel, después de unas horas dedicadas aanalizar el problema, se comunica con Pedro por teléfono y le dice:amigo, estuve pensando y, francamente no sé cómo vas a descubrir misuma.

Media hora más tarde Pedro llama a Samuel y le dice: he resuelto elacertijo, ya conozco tu suma y, por ende, los dos números.Media hora más tarde Samuel, con voz de triunfo, llama a Pedro y ledice: acabo de resolver el problema.¿Podría usted averiguar los dos números?




Una vez llega a su casa, Samuel, después de unas horas dedicadas aanalizar el problema, se comunica con Pedro por teléfono y le dice:amigo, estuve pensando y, francamente no sé cómo vas a descubrir misuma.Media hora más tarde Pedro llama a Samuel y le dice: he resuelto elacertijo, ya conozco tu suma y, por ende, los dos números.

Media hora más tarde Samuel, con voz de triunfo, llama a Pedro y ledice: acabo de resolver el problema.¿Podría usted averiguar los dos números?




Una vez llega a su casa, Samuel, después de unas horas dedicadas aanalizar el problema, se comunica con Pedro por teléfono y le dice:amigo, estuve pensando y, francamente no sé cómo vas a descubrir misuma.Media hora más tarde Pedro llama a Samuel y le dice: he resuelto elacertijo, ya conozco tu suma y, por ende, los dos números.Media hora más tarde Samuel, con voz de triunfo, llama a Pedro y ledice: acabo de resolver el problema.

¿Podría usted averiguar los dos números?




Una vez llega a su casa, Samuel, después de unas horas dedicadas aanalizar el problema, se comunica con Pedro por teléfono y le dice:amigo, estuve pensando y, francamente no sé cómo vas a descubrir misuma.Media hora más tarde Pedro llama a Samuel y le dice: he resuelto elacertijo, ya conozco tu suma y, por ende, los dos números.Media hora más tarde Samuel, con voz de triunfo, llama a Pedro y ledice: acabo de resolver el problema.¿Podría usted averiguar los dos números?


Criptografía

La llamada criptografía de clave pública es un sistema de encriptación quepermite enviar mensajes secretos a través de un canal de informacióninseguro, y aunque el método de codi�cación sea de conocimiento público,solo el receptor puede decodi�car los mensajes. Pensemos en usuarios enla red que desean enviar los números de sus tarjetas de crédito a undeterminado banco.


Criptografía

El receptor hace públicos una pareja de enteros (n, e). El mensaje secretoque se desea enviar, m (un determinado entero) debe satisfacer doscondiciones:

m < n

El máximo común divisor entre m y n es igual a 1. En símbolosgcd(m, n) = 1.

Recordemos que el máximo común divisor entre dos enteros a y b esun entero c que divde a ambos, y divide a cualquier otro divisorcomún entre los dos números. Por ejemplo, si a = 1500 y b = 700,entonces el máximo común divisor entre ambos es gcd(a, b) = 100.Para verlo, basta descomponer ambos enteros en factores primosA = 22 � 3� 53, b = 22 � 52 � 7 y escoger para cada primo lapotencia menor en ambas descomposiciones: 22 � 52.


Criptografía

La primera condición siempre se puede satisfacer: se parte m envarios bloques, y se envían uno tras otro por separado, en caso de queesto fuese necesario.

En el caso en el que m y n posean factores comunes, siemprepodemos añadir algunas cifras comodines adicionales las que elreceptor sabrá reconocer como sobrantes. Así podemos reemplazar mpor otro entero m0, con gcd(m0, n) = 1. Por ejemplo, si las tarjetas decrédito tienen 15 dígitos, el receptor podrá reconocer aquellos dígitosque se adicionaron después de la cifra decimo quinta, y sabrá deinmediato que no hacen parte del mensaje.


Criptografía

Ahora, si, digamos, Ana desea encriptar un mensaje, deberá primerocerciorase de las dos condiciones explicadas más arriba. Luego deberáhacer lo siguiente:

Toma m, el mensaje, y lo eleva a la potencia e. Luego toma elresiduo mod n. Es decir, si C (m) denota el mensaje codi�cado,entonces C (m) = me mod n.

El receptor posee un número secreto d . Para decodi�car el mensajehace una operación smilar: eleva q = C (m) a la potencia d y tomaluego su residuo módulo n: D(q) = qd mod n. Los números n, e, dse escogen de tal manera (como se explica a continuación) queD(q) = D(C (m)) = m. Además, si un espía en la red desearaconocer el número secreto d , tendría que realizar un número tangrande de operaciones, que ello le tomaría millones de años, al menoscon la tecnología disponible en el momento.


Criptografía

Veamos un ejemplo: supongamos que la clave pública es(n = 4284179, e = 4561331). Supongamos además que el mensaje esm = 231145. Claramente m < n y puede verse (más adelante) quegcd(m, n) = 1.

Ahora, C (m) = me mod n:

C (m) = 2311454561331 mod 4284179= 2168395.

El receptor lo decodi�ca, utilizando d = 2409491 :

D(C (m)) = 21683952409491 mod 4284179= 231145


Criptografía (encriptación y decodi�cación)


Criptografía (explicación del método, preliminares)

Preliminares

Recordemos que el máximo común divisor de dos números a y b (quedenotaremos gcd(a, b)) se de�ne como el (único) entero d (nonegativo) que satisface d ja, d jb, y si e divide a a y a b entonces ejd .Por ejemplo,

gcd(42, 56) = 14; gcd(0, 3) = 3; gcd(�3, 6) = 3. Cuando el gcd de ay b es 1, se dice que a y b son primos entre sí o primos relativos.

El llamado Algoritmo de Euclides es la manera más e�caz deencontrar el máximo común divisor entre dos enteros a y b.


Criptografía (Algoritmo de Euclides)

El algoritmo de la división nos permite expresar b = aq + r0, con0 � r0 < a. Ahora, el conjunto de divisores comunes de a y b es elmismo conjunto de los divisores comunes de a y r0. Luegogcd(a, b) = gcd(a, r0).

Aplicando de nuevo el algoritmo de la división se obtiene:a = q0r0 + r1. Por la misma razón anterior gcd(a, r0) = gcd(r0, r1).El procedimiento se repite: r0 = r1q00 + r2, congcd(r0, r1) = gcd(r1, r2)...Como a > r0 > r1 > r2 � � � , el procedimiento se detiene cuando algúnri = 0:

b = aq + r0 r1 = r2q000 + r3 , ri+1 = 0

a = r0q0 + r1...

r0 = r1q00 + r2 ri�1 = riq0�� + ri+1

gcd(a, b) = gcd(a, r0) = � � � = gcd(ri�1, ri ) = gcd(ri , 0) = ri .



El algoritmo de la división nos permite expresar b = aq + r0, con0 � r0 < a. Ahora, el conjunto de divisores comunes de a y b es elmismo conjunto de los divisores comunes de a y r0. Luegogcd(a, b) = gcd(a, r0).Aplicando de nuevo el algoritmo de la división se obtiene:a = q0r0 + r1. Por la misma razón anterior gcd(a, r0) = gcd(r0, r1).

El procedimiento se repite: r0 = r1q00 + r2, congcd(r0, r1) = gcd(r1, r2)...Como a > r0 > r1 > r2 � � � , el procedimiento se detiene cuando algúnri = 0:

b = aq + r0 r1 = r2q000 + r3 , ri+1 = 0

a = r0q0 + r1...

r0 = r1q00 + r2 ri�1 = riq0�� + ri+1




El algoritmo de la división nos permite expresar b = aq + r0, con0 � r0 < a. Ahora, el conjunto de divisores comunes de a y b es elmismo conjunto de los divisores comunes de a y r0. Luegogcd(a, b) = gcd(a, r0).Aplicando de nuevo el algoritmo de la división se obtiene:a = q0r0 + r1. Por la misma razón anterior gcd(a, r0) = gcd(r0, r1).El procedimiento se repite: r0 = r1q00 + r2, congcd(r0, r1) = gcd(r1, r2)...

Como a > r0 > r1 > r2 � � � , el procedimiento se detiene cuando algúnri = 0:

b = aq + r0 r1 = r2q000 + r3 , ri+1 = 0

a = r0q0 + r1...

r0 = r1q00 + r2 ri�1 = riq0�� + ri+1




El algoritmo de la división nos permite expresar b = aq + r0, con0 � r0 < a. Ahora, el conjunto de divisores comunes de a y b es elmismo conjunto de los divisores comunes de a y r0. Luegogcd(a, b) = gcd(a, r0).Aplicando de nuevo el algoritmo de la división se obtiene:a = q0r0 + r1. Por la misma razón anterior gcd(a, r0) = gcd(r0, r1).El procedimiento se repite: r0 = r1q00 + r2, congcd(r0, r1) = gcd(r1, r2)...Como a > r0 > r1 > r2 � � � , el procedimiento se detiene cuando algúnri = 0:

b = aq + r0 r1 = r2q000 + r3 , ri+1 = 0

a = r0q0 + r1...

r0 = r1q00 + r2 ri�1 = riq0�� + ri+1




El algoritmo de la división nos permite expresar b = aq + r0, con0 � r0 < a. Ahora, el conjunto de divisores comunes de a y b es elmismo conjunto de los divisores comunes de a y r0. Luegogcd(a, b) = gcd(a, r0).Aplicando de nuevo el algoritmo de la división se obtiene:a = q0r0 + r1. Por la misma razón anterior gcd(a, r0) = gcd(r0, r1).El procedimiento se repite: r0 = r1q00 + r2, congcd(r0, r1) = gcd(r1, r2)...Como a > r0 > r1 > r2 � � � , el procedimiento se detiene cuando algúnri = 0:

b = aq + r0 r1 = r2q000 + r3 , ri+1 = 0

a = r0q0 + r1...

r0 = r1q00 + r2 ri�1 = riq0�� + ri+1

gcd(a, b) = gcd(a, r0) = � � � = gcd(ri�1, ri ) = gcd(ri , 0) = ri .(Institute) Marzo 4 2013 32 / 38

Criptografía (Algoritmo de Euclides: ejemplo)

Hallar gcd(100, 23)

100 = 23� (4) + 8 gcd(100, 23) = gcd(23, 8)

23 = 8� (2) + 7 gcd(100, 23) = gcd(23, 8) = gcd(8, 7)8 = 7� (1) + 1 gcd(100, 23) = gcd(23, 8) = gcd(8, 7) = gcd(7, 1)7 = 1� (7) + 0gcd(100, 23) = gcd(23, 8) = gcd(8, 7) = gcd(7, 1) = gcd(1, 0) = 1.



Hallar gcd(100, 23)

100 = 23� (4) + 8 gcd(100, 23) = gcd(23, 8)23 = 8� (2) + 7 gcd(100, 23) = gcd(23, 8) = gcd(8, 7)

8 = 7� (1) + 1 gcd(100, 23) = gcd(23, 8) = gcd(8, 7) = gcd(7, 1)7 = 1� (7) + 0gcd(100, 23) = gcd(23, 8) = gcd(8, 7) = gcd(7, 1) = gcd(1, 0) = 1.



Hallar gcd(100, 23)

100 = 23� (4) + 8 gcd(100, 23) = gcd(23, 8)23 = 8� (2) + 7 gcd(100, 23) = gcd(23, 8) = gcd(8, 7)8 = 7� (1) + 1 gcd(100, 23) = gcd(23, 8) = gcd(8, 7) = gcd(7, 1)

7 = 1� (7) + 0gcd(100, 23) = gcd(23, 8) = gcd(8, 7) = gcd(7, 1) = gcd(1, 0) = 1.



Hallar gcd(100, 23)

100 = 23� (4) + 8 gcd(100, 23) = gcd(23, 8)23 = 8� (2) + 7 gcd(100, 23) = gcd(23, 8) = gcd(8, 7)8 = 7� (1) + 1 gcd(100, 23) = gcd(23, 8) = gcd(8, 7) = gcd(7, 1)7 = 1� (7) + 0gcd(100, 23) = gcd(23, 8) = gcd(8, 7) = gcd(7, 1) = gcd(1, 0) = 1.



El algoritmo de Euclides además permite encontrar enteros u, v tales queua+ vb = gcd(a, b). Basta irse devolviendo en el procedimiento anterior.Demos un ejemplo:

1 1 = 8� 7� (1)

2 7 = 23� 8� (2)3 Substituyendo 2 en 1 se obtiene:1 = 8� (23� 8� 2)� (1) = (3)� 8+ (�1)� 23

4 8 = 100� 23� (4)5 Substituyendo 4 en 3 se obtiene:1 = (3)� (100� 23� 4) + (�1)� 23 = (3)� 100+ (�13)� 23

6 u = 3, v = �13




1 1 = 8� 7� (1)2 7 = 23� 8� (2)

3 Substituyendo 2 en 1 se obtiene:1 = 8� (23� 8� 2)� (1) = (3)� 8+ (�1)� 23


6 u = 3, v = �13




1 1 = 8� 7� (1)2 7 = 23� 8� (2)3 Substituyendo 2 en 1 se obtiene:1 = 8� (23� 8� 2)� (1) = (3)� 8+ (�1)� 23


6 u = 3, v = �13





4 8 = 100� 23� (4)

5 Substituyendo 4 en 3 se obtiene:1 = (3)� (100� 23� 4) + (�1)� 23 = (3)� 100+ (�13)� 23

6 u = 3, v = �13






6 u = 3, v = �13


Criptografía (Función de Euler)

Para cualquier entero n > 0, la función de Euler φ(n) se de�ne como elnúmero de primos relativos con n menores que n. Así, por ejemplo, sin = 12, los primos relativos con 12, y menores que este entero sonf1, 5, 7, 11g y en consecuencia φ(12) = 4. Si p es primo, entoncesφ(p) = p � 1. La función de Euler tiene las siguientes propiedades:

1 φ(ab) = φ(a)φ(b), gcd(a, b) = 1.

2 φ(pα) = pα � pa�13 De las dos propiedades anteriores se sigue que si n = pα1

1 � � � pαrr ,

entonces φ(n) = (pα1 � pa1�1) � � � (pαr � par�1)4 En particular, si n = pq, φ(n) = (p � 1)(q � 1)




1 φ(ab) = φ(a)φ(b), gcd(a, b) = 1.2 φ(pα) = pα � pa�1

3 De las dos propiedades anteriores se sigue que si n = pα11 � � � pαr

r ,entonces φ(n) = (pα1 � pa1�1) � � � (pαr � par�1)

4 En particular, si n = pq, φ(n) = (p � 1)(q � 1)




1 φ(ab) = φ(a)φ(b), gcd(a, b) = 1.2 φ(pα) = pα � pa�13 De las dos propiedades anteriores se sigue que si n = pα1

1 � � � pαrr ,

entonces φ(n) = (pα1 � pa1�1) � � � (pαr � par�1)

4 En particular, si n = pq, φ(n) = (p � 1)(q � 1)




1 φ(ab) = φ(a)φ(b), gcd(a, b) = 1.2 φ(pα) = pα � pa�13 De las dos propiedades anteriores se sigue que si n = pα1

1 � � � pαrr ,

entonces φ(n) = (pα1 � pa1�1) � � � (pαr � par�1)4 En particular, si n = pq, φ(n) = (p � 1)(q � 1)


Criptografía (Congruencia de Euler)

La siguiente congruencia de Euler se cumple siempre.

Theorem

si gcd(a, n) = 1, entonces aφ(n) � 1mod n.

Por ejemplo: n = 12, a = 5. Entonces 5φ(12) = 54 � 1 mod 12. En efecto,54 = 625 = 52� 12+ 1.Si n = p es primo, ap�1 � 1mod p es conocido como el pequeño teoremade Fermat.


Criptografía

La clave pública se escoge así: n = pq es el producto de dos primosgrandes, de tal forma que conocido n se haga prácticamenteimposible encontrar p y a q. Por ejemplo, esto se da si p y q tienenalrededor de 100 cifras.

Se escoge e positivo, menor que φ(n), y tal que gcd(e, φ(n)) = 1. Elpar (n, e) se hace público.

Mediante el algoritmo de Euclides se calculan u y v tales queue + vφ(n) = 1. Para ello, obviamente, es necesario conocerφ(n) = (p � 1)(q � 1) (lo cual, conocido n, equivale a conocer a p yq). Esto solo lo puede hacer el receptor (en nuestro ejemplo, elbanco).


Criptografía

Módulo φ(n), la ecuación anterior se convierte en ue � 1mod φ(n).Se escoge d = u y se guarda en secreto.

Ahora, cualquier mensaje m, con m < n y gcd(m, n) = 1 se envíacodi�cado como q = me mod n. El receptor, para decodi�carlo hacela operación qd mod n.

Pero si q � me mod n entonces qd � med mod n (propiedades 2)Como de � 1mod φ(n), esto signi�ca que φ(n)j(de � 1). Enconsecuencia, de = 1+ φ(n)k, para cierto entero k.

Entonces med = m(mφ(n))k . El teorema de Euler implica quemφ(n) � 1 mod n. Aplicando de nuevo las propiedades 2, se sigue quem� (mφ(n))k � m� 1k mod n � m mod n. En conclusión,qed � mmod n. Y así se recupera el mensaje original.


Criptografía



Pero si q � me mod n entonces qd � med mod n (propiedades 2)

Como de � 1mod φ(n), esto signi�ca que φ(n)j(de � 1). Enconsecuencia, de = 1+ φ(n)k, para cierto entero k.



Criptografía



Pero si q � me mod n entonces qd � med mod n (propiedades 2)Como de � 1mod φ(n), esto signi�ca que φ(n)j(de � 1). Enconsecuencia, de = 1+ φ(n)k, para cierto entero k.



clase 5 y 6 - introducción al programa de matemáticas

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