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CONSERVAÇÃO DE ENERGIA
- Fluxo energia que entra no VC- Fluxo energia que sai do VC- Geração energia no VC- Taxa variação energia armazenada no VC no instante t€
˙ E e
€
˙ E s
€
˙ E g
€
˙ E at
Num instante de tempo:
Num intervalo de tempo:
€
dEat
dt= ˙ E at = ˙ E e − ˙ E s + ˙ E g
€
Ee + Eg − Es = ΔEat = ΔU + ΔEc + ΔEp( )
- Sistema fechado: troca de energia na forma de calor e trabalho- Sistema aberto (VC): fluxo de energia também é devido ao fluxo de massa 1
Balanço de energia num sistema aberto (1 entrada e 1 saída):
€
˙ m u + pvh
+V 2
2+ gz
"
# $ $
%
& ' '
e
− ˙ m u + pvh
+V 2
2+ gz
"
# $ $
%
& ' '
s
+ ˙ E g + ˙ Q − ˙ W =dEat
dt
Gás ideal com cp constante : Δh = cp (Te −Ts)Fluido incompressível (cp = cv = c) : ue − us = c(Te −Ts)
Balanço de energia numa superfície
€
˙ E e − ˙ E s = 0qcond
" −qconv" −qrad
" = 0
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Unidades e Dimensões
Grandeza Dimensão Unidade (SI)Comprimento L mMassa M kgConcentração C molTempo t s Temperatura T KCorrente elétrica I AForça ML/t2 N=mkg/s2
Pressão e tensão M/Lt2 Pa=N/m2
Energia ML2/t2 J=NmPotência ML2/t3 W=J/s
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EXEMPLO
Barra longa condutora, de resistência elétrica por unidade de comprimento Rr
’, está inicialmente em equilíbrio térmico com o ambiente. O equilíbrio é perturbado quando uma corrente elétrica I passa através da barra. Desenvolva uma equação para determinar a variação da temperatura da barra com o tempo, durante a passagem da corrente.
Hipóteses: T uniforme em cada tempo t; propriedades ctes
€
˙ E g − ˙ E s = ˙ E at =d(ρcVT)
dt˙ E g = I2Rr
' L = ˙ Q V˙ E s = h(πDL)(T −T∞) + εσ (πDL)(T 4 −Tsup
4 )
I2Rr' L − h(πDL)(T −T∞) −εσ (πDL)(T 4 −Tsup
4 ) = ρc πD2
4L dT
dtdTdt
=I2Rr
'
ρc(πD2 /4)−
4hρcD
(T −T∞) − 4εσρcD
(T 4 −Tsup4 )
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Capítulo 2 INTRODUÇÃO À CONDUÇÃO
Lei de Fourier:
€
q''= −k∇T ou q = −kA∇TEm coordenadas cartesianas :
q''= −k ∂T∂xqx "
ˆ i + ∂T∂yqy "
ˆ j + ∂T∂zqz "
ˆ k
%
&
' ' '
(
)
* * *
meio isotrópico
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Meio não isotrópico: Condutividade térmica depende da direção ⇒ kx(=-qx”/∂T/∂x)≠ky≠kz
Emgeral,ksólido>klíquido>kgás
Sólidos em geral: k cai com TFluidos: - Gases: k cresce com T - Líquidos: k cai com TOutras propriedades importantes: ρ, ν, cp, cv, α=k/ρcp
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Equação da Condução de Calor
€
˙ E g = ˙ q dxdydz ˙ E at = ρc p∂T∂t
dxdydz
˙ E at = ˙ E e + ˙ E g − ˙ E s
⇒ qx + q y + qz + ˙ q dxdydz − qx +dx − q y +dy − qz+dz = ρc p∂T∂t
dxdydz
7
€
qx = −kdydz ∂T∂x
q y = −kdxdz ∂T∂y
qz = −kdxdy ∂T∂z
$
%
& & &
'
& & &
€
⇒∂∂x
k ∂T∂x
$
% &
'
( ) +
∂∂y
k ∂T∂y
$
% &
'
( ) +
∂∂z
k ∂T∂z
$
% &
'
( ) + ˙ q = ρc p
∂T∂t
Equação de condução de calor em coordenadas cartesianas:
Para k constante:
€
∂ 2T∂x2
#
$ %
&
' ( +
∂ 2T∂y 2
#
$ %
&
' ( +
∂ 2T∂z2
#
$ %
&
' ( +
˙ q k
=1α∂T∂t
= 0 em reg.permanente
8
€
q"= −k ∂T∂r
ˆ e r +1r∂T∂θ
ˆ e θ +1
r sinθ∂T∂φ
ˆ e φ&
' (
)
* +
1r 2
∂∂r
kr 2 ∂T∂r
&
' (
)
* + +
1r 2 sin2θ
∂∂φ
k ∂T∂φ
&
' (
)
* + +
1r 2 sinθ
∂∂θ
k sinθ ∂T∂θ
&
' (
)
* + + ˙ q = ρc p
∂T∂t
€
q"= −k ∂T∂r
ˆ e r +1r∂T∂θ
ˆ e θ +∂T∂z
ˆ e z%
& '
(
) *
1r∂∂r
kr ∂T∂r
%
& '
(
) * +
1r 2
∂∂θ
k ∂T∂θ
%
& '
(
) * +
∂∂z
k ∂T∂z
%
& '
(
) * + ˙ q = ρc p
∂T∂t
Em coordenadas cilíndricas:
Em coordenadas esféricas:
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Exemplo:
Num certo instante de tempo, a distribuição de temperatura numa parede de 1m de espessura é:
T(x) = a + bx+ cx2 ( T(0C), x(m)), a=9000C, b=-3000C/m, c=-500C/m2. A área da parede é 10 m2, e existe uma geração interna de calor (q=1000W/m3). As propriedades da parede são: ρ=1600kg/m3, k=40W/mK e cp=4kJ/kgK. Calcular:
1. A taxa de calor transferido em x=0 e x=1m
A
qe qs
T(x)
q.
10