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Deber

Materia: Métodos Numéricos

Tema: Polinomio de Taylor

Definición 1

La aproximación de la recta tangente L(x) es la mejor aproximación de primer grado (lineal) a f(x),

cerca de x = a, porque f(x) y L(x) tienen la misma relación de cambio (derivada) en a. Para tener una

aproximación mejor que una lineal, intente una aproximación de segundo grado (cuadrática) P (x). En otras

palabras, aproxime una curva mediante una parábola en lugar de por una recta. Para tener la seguridad

de que la aproximación es buena, estipule lo siguiente:

(i) P (a) = f(a) (P y f deben tener el mismo valor en a.)

(ii) P ′(a) = f ′(a) (P y f deben tener la misma relación de cambio en a.)

(iii) P ′′(a) = f ′′(a) (Las pendientes de P y f deben tener la misma relación de cambio en a.)

Ejercicio 1

Encuentre la aproximación cuadrática P (x) = A+Bx+Cx2 para la función f(x) = cos(x), que satisfaga

las condiciones (i), (ii) y (iii), con a = 0. Dibuje P , f y la aproximación lineal L(x) = 1, en una pantalla

común. Comente cuán bien las funciones P y L se aproximan a f .

Sabemos que

P (a) = f(a)

P (0) = f(0)

A+B(0) + C(0)2 = cos(0) = 1

⇒ A = 1

Continuemos con la segunda condición. Sabemos que las derivadas de P y f son respectivamente: P ′(x) =

B + 2Cx y f ′(x) = −sen(x), por lo tanto

P ′(a) = f ′(a)

P ′(0) = f ′(0)

B + 2C(0) = −sen(0)

B = 0

Para la tercera condición volvemos a derivar P y f , obteniendo: P ′′(x) = 2C y f ′′(x) = −cos(x). Siguiendo el

procedimiento, se tiene que

P ′′(a) = f ′′(a)

—ℵ1—

P ′′(0) = f ′′(0)

2C = −cos(0)

C = − 12

Lo que implica que el polinomio cuadrático que mejor aproxima a f(x) es:

P(x) = 1− 1

2x2

Se puede apreciar que entre más cercano este x a 0 mejor es la aproximación y las gráficas de f, P, L coinciden

o se sobreponen.

Ejercicio 2

Determine los valores de x para los que la aproximación cuadrática f(x) = P (x) del problema 1 es exacta

con una diferencia menor que 0.1. [Sugerencia: Dibuje y = P (x), y = cos(x)− 0,1 y y = cos(x) + 0,1 en

una pantalla común.]

La ecuación 1 − x2

2 = cos(x) es una ecuación no lineal por lo que no se puede resolver con los métodos

algebraicos aprendidos. Con una diferencia de 0, 1 se puede observar claramente que en una vecindad alrededor

de 0 queda parte de la gráfica de P entre una diferencia de 0, 1 y f(x) = cos(x).

—ℵ2—

Ejercicio 3

Para obtener una aproximación de una función f mediante una función cuadrática P cerca de una número

a, lo mejor es escribir P en la forma

P (x) = A+B(x− a) + C(x− a)2

Demuestre que la función cuadrática que satisface las condiciones (i), (ii) y (iii) es

P (x) = f(a) + f ′(a)(x− a) + 12f′′(a)(x− a)2

Iniciemos suponiendo que f es, al menos dos veces derivable. Por lo que existe f ′ y f ′′. Busquemos un polinomio

cuadrático que cumpla las 3 condiciones expuestas en el inicio del documento. Teniendo en cuenta la primera

y segunda derivada de P (x) son P ′(x) = B + 2C(x− a) y P ′′(x) = 2C, así:

f(a) = P (a)

f(a) = A+B(a− a) + C(a− a)2

A = f(a)

Continuando

f ′(a) = P ′(a)

f ′(a) = B + 2C(a− a)

B = f ′(a)

Por último

f ′′(a) = P ′′(a)

f ′′(a) = 2C

C = 12f′(a)

Reemplazando los coeficientes obtenemos el polinomio que aproxima a f(x), el cual es:

P(x) = f(a) + f ′(a)(x− a) + 12 f′′(a)(x− a)2

Logrando lo que queríamos demostrar.

Ejercicio 4

Encuentre la aproximación cuadrática para f(x) =√x+ 3, cerca de a = 1. Trace las gráficas de f , la

aproximación cuadrática y su respectiva aproximación lineal en una pantalla común. ¿Qué podría concluir?

Hallemos las derivadas de primer y segundo orden.

f ′(x) =1

2√x+ 3

f ′′(x) = − 1

4√(x+ 3)3

Evaluemos a = 1.

f(1) =√1 + 3 = 2

—ℵ3—

f ′(1) =1

2√1 + 3

=1

4

f ′′(1) = − 1

4√(1 + 3)3

= − 1

32

Apliquemos la fórmula del polinomio cuadrático para hallar la aproximación.

P (x) = f(1) + f ′(1)(x− 1) + 12f′′(1)(x− 1)2

P (x) = 2 +1

4(x− 1) +

1

2

(− 1

32

)(x− 1)2

P(x) = 2+1

4(x− 1)− 1

64(x− 1)2

Podemos concluir que en un tramo de f(x) el polinomio P (x) se aproxima bastante bien en un intervalo

determinado.

Ejercicio 5

En lugar de quedar conforme con una aproximación lineal o una cuadrática para f(x), cerca de x = a,

intente hallar mejores aproximaciones, con polinomios de grado más alto. Busque un polinomio de n-ésimo

grado

Tn(x) = c0 + c1(x− a) + c2(x− a)2 + c3(x− a)3 + · · ·+ cn(x− a)n

tal que Tn y sus n primeras derivadas tengan los mismos valores en x = a que f y sus n primeras

derivadas, respectivamente. Derive repetidas veces y haga x = a, para demostrar que estas condiciones

se satisfacen si c0 = f(a), c1 = f ′(a), c2 = f ′′(a) y, en general,

ck = f(k)(a)k!

donde k! = 1× 2× 3× 4× ...× k (Multiplicaciones sucesivas desde 1 hasta k). El polinomio resultante

Tn(x) = f(a) + f ′(a)(x− a) + f(a)2! (x− a)2 + ...+ f(n)(a)

n! (x− a)n

se llama polinomio de Taylor de n-ésimo grado, de f , con centro en a.

—ℵ4—

Iniciemos hallando las n-ésimas derivadas del polinomio Tn(x).

T ′n(x) = c1 + 2c2(x− a)2 + 3c3(x− a)2 + · · ·+ ncn(x− a)n−1

T ′′n (x) = 2c2 + 3 · 2c3(x− a) + · · ·+ n(n− 1)cn(x− a)n−2

T ′′′n (x) = 3 · 2c3 + · · ·+ n(n− 1)(n− 2)cn(x− a)n−3

...

T (n)n (x) = n(n− 1)(n− 2) · · · · · 3 · 2 · cn(x− a)

Aplicando las condiciones de derivadas para la aproximación de Tn, se tiene que

Tn(a) = f(a)

c0 + c1(a− a) + c2(a− a)2 + c3(a− a)3 + · · ·+ cn(a− a)n = f(a)

c0 = f(a)

T ′n(a) = f ′(a)

c1 + 2c2(a− a)2 + 3c3(a− a)2 + · · ·+ ncn(a− a)n−1 = f ′(a)

c1 = f ′(a)

T ′′n (a) = f ′′(a)

2c2 + 3 · 2c3(a− a) + · · ·+ n(n− 1)cn(a− a)n−2 = f ′′(a)

c2 = 12f′′(a)

T ′′′n (a) = f ′′′(a)

3 · 2c3 + · · ·+ n(n− 1)(n− 2)cn(a− a)n−3 = f ′′′(a)

c3 = 13·2f

′′′(a)

...

T (n)n (a) = f (n)(a)

n(n− 1)(n− 2) · ... · 3 · 2 · cn(x− a) = f (n)(a)

cn = 1n!f

(n)(a)

Reemplazando las constantes c1, c2, ...cn por los resultados obtenidos, se tiene que

Tn(x) = f(a) + f ′(a)(x− a) + f(a)2! (x− a)2 + · · ·+ f(n)(a)

n! (x− a)n

Ejercicio 6

Encuentre el polinomio de Taylor de octavo grado, con centro en a = 0, para la función f(x) = cos(x).

Dibuje f y los polinomios de Taylor T2; T4; T6; T8, en rectángulos de visualización [−5; 5] (eje x) por

[−1,4; 1,4] (eje y); comente cuan bien se aproximan a f .

Hallemos las derivadas y evaluemos en x = 0 para hallar el polinomio T8.

—ℵ5—

n f (n)(x) f (n)(0)

0 cos(x) 1

1 −sen(x) 0

2 −cos(x) −13 sen(x) 0

4 cos(x) 1

5 −sen(x) 0

6 −cos(x) −17 sen(x) 0

8 cos(x) 1

Los polinomios T son:

T2(x) = 1− x2

2!

T4(x) = 1− x2

2!+

x4

4!

T6(x) = 1− x2

2!+

x4

4!− x6

6!

T8(x) = 1− x2

2!+

x4

4!− x6

6!+

x8

8!

Figura 1: Gráfico de f(x) y T2(x)

En conclusión, a mayor expanción del polinomio de Taylor alrededor de un punto x = a, obtendremos una

mejor aproximación de la función f(x).

—ℵ6—

Figura 2: Gráfico de f(x) y T4(x)

Figura 3: Gráfico de f(x) y T6(x)

Figura 4: Gráfico de f(x) y T8(x)

—ℵ7—