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L3 Didactique des mathmatiques Gomtrie 1

DIDACTIQUE DE LA GOMTRIE

tymologiquement, le mot gomtrie se dcompose en go et mtrie quisignifient respectivement terre (gaa) et mesure (metron).

Aprs quelques repres historiques qui permettront de montrer les choix de linstitutionscolaire quant lenseignement de la gomtrie dans lenseignement primaire et secondairefranais, certains aspects de lactivit gomtrique qui ont fait lobjet de recherches endidactique des mathmatiques seront abords : le rapport entre lespace physique et lespacegomtrique ; lutilisation de la figure ; la dmonstration ; les mesures de longueur, daire etde volumes, et lutilisation de transformations gomtriques.

A. Histoire et enseignement de la gomtrie

La gomtrie pose de nombreux problmes dapprentissage et denseignement. Afindaborder les questions qui ont t travailles en didactique des mathmatiques ce sujet, ilest utile de possder quelques lments pistmologiques sur la gomtrie et de connatre leschoix de linstitution scolaire quant son enseignement.

I. Repres historiques

Ce paragraphe brosse les tapes du dveloppement de la gomtrie, laccent a t missur lvolution de la pense gomtrique davantage que sur la progression des savoirs.

1. Naissance de la gomtrieLes premiers travaux de gomtrie ont t mens il y a plus de 3 000 ans Babylone

et en gypte pour rsoudre des problmes concrets de mesure : Babylone pour rsoudredes problmes d'astronomie, et en gypte pour retrouver les limites de terrains qui avaientt recouverts par les eaux pendant les crues du Nil. Les mathmaticiens de cette poqueavaient tabli des formules pour dterminer l'aire de polygones lmentaires (triangle,trapze, paralllogramme) et le volume de polydres (pav, prisme droit...) Ilsdisposaient aussi de formules approximatives concernant le cercle. Par exemple, d'aprsle papyrus de Rhind, les gyptiens considraient que l'aire d'un disque de diamtre d taitquivalente laire qu'un carr de ct 8d/9. Des listes de mesure de cts de trianglesrectangles montrent aussi quils connaissaient le thorme de Pythagore.

Jusqu'au VIe sicle avant J.-C., la gomtrie est utilitaire, elle nest pas thorise : ilny a donc pas de dmonstration.

2. La gomtrie grecque et ses dveloppements partir du VIe sicle avant J.-C., les Grecs fondent une gomtrie qui nest plus

seulement pratique, mais aussi philosophique et scientifique. Citons notamment les colesde Thals (VIe sicle avant J.-C.) et de Pythagore (premire moiti du VIe sicle avant J.-C.).Dans ces coles, la gomtrie devient un objet de rflexion pour elle-mme, elle devientaussi dductive en fondant les proprits des figures par des dmonstrations.

C'est avec Platon (Ve sicle avant J.-C.) que les gomtres commencent distinguer lesobjets du monde rel et les objets gomtriques qui sont abstraits et parfaits. Ainsi la figuregomtrique apparat comme le dessin idal quil est impossible dobtenir sur le sable ouailleurs.

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Au IIIe sicle avant J.-C., Euclide organise les savoirs gomtriques de manire logique partir de dfinitions, d'axiomes et de proprits dmontres. Ses lments constituent sansdoute le plus clbre ouvrage de lhistoire des mathmatiques qui rassemblent tous les savoirsmathmatiques de son poque, ils comportent 13 livres portant des thmes diffrents : lagomtrie plane, la thorie des nombres, la gomtrie des solides.

Le mot axiome est ici prendre au sens de vrit indmontrable mais vidente pourquiconque en comprend le sens, principe premier, et considre comme universelle. (Dictionnaire Le Robert). Citons par exemple, en langage actuel :- tant donns deux points distincts, il existe une droite unique passant par ces deux points ;- pour tout point A et tout point B distinct de A, il existe un cercle unique de centre A

passant par B ;- paralllement une droite donne et par un point donn, il passe une droite et une seule.Remarquons que lvidence des axiomes vient de la rfrence au monde rel, lespacephysique.

Du IXe au XIIIe sicle, les mathmaticiens arabes traduisent des ouvrages grecs, lescommentent et les enrichissent notamment de la trigonomtrie. Ils dveloppent des mthodesde calcul d'aire et de volume et la gomtrie de la sphre pour les besoins de l'astronomie. Lemonde occidental de l'poque ignore tout de ces travaux et les redcouvre pendant laRenaissance. cette poque, parce que le dessin et la peinture se veulent ralistes, sedveloppent la gomtrie projective et la perspective.

3. Avec la gomtrie analytique, la gomtrie devient algbriquePar lintroduction des repres, les points sont caractriss par leurs coordonnes et les

ensembles de points, comme les droites et certaines courbes, se caractrisent par desquations. Les questions gomtriques peuvent alors se traduire algbriquement ce quifacilite parfois les dmonstrations. Cest Descartes (1596-1650) quon doit lintroductiondes repres et Lagrange (1736-1813) est le premier utiliser les quations de droites et deplans. Monge (1746 - 1818) invente la notion de vecteurs.

4. Les gomtries non euclidiennesAu XVIIe sicle les mathmaticiens commencent questionner la thorie

gomtrique : la question qui se pose est de savoir si lon peut ou non dmontrer que, parun point extrieur une droite on peut mener une parallle cette droite et une seule.

Cette question change le travail des mathmaticiens sur la gomtrie qui est interrogeen tant que thorie : les axiomes demands par Euclide sont-ils suffisants, autrement dit nya-t-il pas des proprits qui sont utilises implicitement dans les raisonnements ? et sont-ilstous ncessaires ? Les axiomes dEuclide deviennent alors des postulats : le fait quon lesadmette nest pas li une vidence en rfrence au monde rel, ils ne sont pas tenus pourvrais, mais ils sont considrs comme des fondements dun systme dductif. Aprs plusieurstentatives infructueuses pour dmontrer laxiome des parallles, Gauss (1777-1855) dmontrequ'on ne peut pas le dmontrer. Cet axiome est donc un postulat ncessaire la thoriegomtrique.

Il en dcoule que cette proprit est bien admise, quelle n'est pas obligatoire, et quilest donc thoriquement possible de prendre un postulat contraire. Bien sr, ce faisant, on neprtend plus dcrire lespace physique, rel, et la gomtrie sloigne radicalement de sonobjectif premier. Cette dcouverte stimula le travail de mathmaticiens qui construisirent desthories gomtriques rfutant laxiome dEuclide.

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Lobatchevski (1792-1856) propose lepostulat suivant : Par un point extrieur unedroite on peut mener une infinit de parallles cette droite ; il dveloppe ainsi une gomtrienon-euclidienne appele gomtriehyperbolique . Riemann (1826-1886) introduit unautre postulat : Par un point extrieur unedroite il ne passe aucune parallle ; il construitalors une nouvelle gomtrie dite elliptique .

Ces gomtries sont trs thoriques, il estdifficile de se les reprsenter, mais elles ne sontpas inutiles car elles permettent de rsoudre desproblmes dans des espaces qui ne sont pas plats .

Voyons par exemple ce que deviennent lesnotions de droite et de triangle : sur une surfacesphrique ( courbure positive), les droites sont desgrands cercles (elles n'admettent aucune parallle) lasomme des angles d'un triangle est suprieure 180 ; sur une surface hyperbolique ( courburengative), la somme des angles d'un triangle estinfrieure 180 et par un point extrieur unedroite, on peut mener une infinit de parallles !

Lautre question thorique pose sur les axiomes dEuclide a t rsolue par Hilbert(1862-1943) qui a montr que luvre dEuclide comportait encore beaucoup d'implicites etde rfrences l'exprience. Hilbert a aussi construit un systme complet de postulatspour la gomtrie euclidienne.

II. La gomtrie aujourdhui

Ainsi, actuellement, n'y a-t-il plus une gomtrie, mais des gomtries. Lesmathmaticiens ont poursuivi le travail thorique pour comprendre ce qui fait quunethorie peut tre qualifie de thorie gomtrique. Ils considrent quune gomtrie estconstitue d'un ensemble et d'un groupe de transformations agissant sur cet ensemble.Ainsi, pour un mme ensemble, on peut dfinir plusieurs groupes de transformations quichacun dfinissent une gomtrie diffrente.

Voici quelques exemples :- en topologie, on dfinit des dformations qui conservent aux lments de l'ensemble

les notions d'intrieur, d'extrieur, d'ouvert, de ferm, de voisinage, etc ;- en gomtrie projective, on dfinit des transformations qui dforment les lments en

conservant l'alignement des points ;- en gomtrie affine, on dfinit des transformations qui dforment les lments en

conservant le paralllisme des droites et les rapports de longueur des segments ;- en gomtrie euclidienne, on dfinit des similitudes qui agrandissent ou rtrcissent

les lments en conservant les formes, les angles et les rapports de longueur dessegments. En particulier, les isomtries conservent la fois les formes et les mesures.

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La gomtrie aujourdhui nest donc plus naturelle , intimement lie au monde desobjets physiques et matriels, elle est thorique , compltement insre dans desproblmatiques de choix de postulats et de recherche des consquences de ces choix. Danslenseignement primaire et secondaire actuel franais, la gomtrie enseigne nest pas lagomtrie naturelle , pourtant elle reste en rapport avec lespace physique rel.

III. Organisation de lenseignement de la gomtrie en France

Les programmes indiquent que la gomtrie senseigne ds l'cole maternellenotamment par la reconnaissance et le classement de formes. lcole lmentaire lesconnaissances gomtriques sacquirent lors de reprsentations graphiques ou textuellesde formes donnes et lors de la construction de formes partir de leur reprsentationtextuelle ou graphique. Dans lenseignement secondaire, les connaissances sont enrichiespar ltude des objets gomtriques fondamentaux (droite, polygone et cercle) dont lesproprits, autant que possible, sont dmontres. Les mthodes de travail gomtriquesrestent, jusquau lyce, limites lutilisation des proprits des configurationslmentaires et des isomtries. La gomtrie analytique et la gomtrie vectoriellefournissent aux lyces des filires scientifiques de nouveaux outils.

1. lcole maternelleLes lves doivent tre capables de diffrencier et de classer des objets en fonction de

caractristiques lies leur forme, de reconnatre, de classer et de nommer des formessimples (carr, triangle, rond), et de reproduire un assemblage dobjets de formes simples partir dun modle (puzzle, pavage, assemblage de solides).

2. lcole lmentaireLenseignement vise des comptences de reprage sur le plan ou dans lespace, la

connaissance des objets gomtriques de base du plan et de lespace et de leurs proprits lesplus importantes ; les lves doivent pouvoir contrler les proprits gomtriques dunefigure laide des instruments. Ils doivent aussi tre capables de tracer des figures planessimples ou complexes en utilisant les instruments adapts, sur papier uni ou quadrill, partirdun modle, dune description ou dun programme de construction. Inversement descomptences sont galement vises quant la production de descriptions de solides delespace ou de figures planes en mobilisant un vocabulaire adapt.

3. Au collgeLes objectifs du collge sont dune part lenrichissement des savoirs concernant les

figures lmentaires et leurs relations ainsi que leur hirarchisation et leur structuration.Les figures planes sont les droites, les cercles, les triangles, les quadrilatres et quelquespolygones rguliers ; les solides de lespace sont les prismes droits et les cylindres dervolution, les pyramides et les cnes de rvolution. Les proprits hirarchises etstructures concernent la gomtrie plane, mais pas celle de lespace ; il sagit desproprits dincidence, des proprits fondamentales des triangles, des quadrilatres etdes cercles, des thormes de Thals et de Pythagore ainsi que des formulestrigonomtriques permettant ainsi de calculer des mesures de longueur ou dangle.Quelques connaissances concernant les isomtries du plan (symtrie orthogonale etsymtrie centrale, translation et rotation) son galement vises.

4. Au lyceLenseignement de la gomtrie au lyce ne propose aucune axiomatisation

formelle. Les proprits gomtriques concernant lespace sont formalises. Les lves

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sont initis la gomtrie analytique (dans un repre cartsien ou polaire) ainsi qulutilisation des vecteurs. Les configurations du plan sont enrichies par les trianglesisomtriques ou semblables ainsi que par les barycentres. Aux isomtries tudies aucollge sajoutent les projections, les homothties et les similitudes.

Les situations proposes ltude conduisent une diversit des mthodes mises enuvre : proprits des configurations, calcul vectoriel, calcul barycentrique,transformations, nombres complexes, gomtrie analytique.

La progression des apprentissages propose actuellement par linstitution scolaire partdonc de lexprience directe puis instrumente avec le monde concret. Avec lapprentissagede la dmonstration, en classe de 4e principalement, lenseignement propose un travail fondsur des lments thoriques comprenant des dfinitions et des proprits (admises oudmontres). Ce travail sappuie sur des reprsentations langagires et graphiques. Leslments thoriques enseigns ne dcoulent pas dune axiomatique acheve.

Les tudes didactiques montrent que lenseignement de la gomtrie naboutit pas,finalement, une mise en relation de lespace physique avec lespace gomtrique abstrait ;elles concluent une rupture entre la gomtrie dobservation et la gomtrie de ladmonstration. Certains lves, bien sr, parviennent acqurir les savoirs gomtriquesviss, mais trop nombreux restent ceux qui chouent dans cet apprentissage.

B. Rapport entre espace physique et espace gomtrique

La recherche en didactique des mathmatiques a travaill la question du rapport entrelespace physique et lespace gomtrique car bien des difficults dapprentissage semblentprovenir dune confusion entre les savoirs issus de lexprience directe avec le monde rel etles savoirs gomtriques.

I. De lespace physique la gomtrie

Avant de rsoudre des problmes issus de lespace physique, le sujet, pendant sonenfance, dcouvre cet espace, apprend sy reprer tout en dveloppement ses capacitsmotrices et sensorielles. Lenfant dcouvre diffrents lieux du monde rel : il se situe parrapport au lieu et aux objets du lieu, et il situe les objets les uns par rapport aux autres. Cesapprentissages spatiaux, sont dune grande importance pour les apprentissages gomtriques,ils sont simplement cits mais ils ne seront pas dvelopps ici.

1. Les relations du sujet lespace physiqueLes moyens quun sujet peut mettre en uvre pour rsoudre ou pour contrler la

solution dun problme relatif lespace physique ne sont pas indpendants de la taille dusujet par rapport celle de lespace occup par les objets sur lesquels porte le problme rsoudre : dterminer la hauteur dun triangle dessin sur une feuille de papier, la hauteurdun arbre ou celle dune montagne. Pour cette raison, Guy Brousseau (1983) considreque la taille de lespace est une variable didactique dont il distingue trois valeurs :- le micro espace est lespace des petits objets que l'on peut dplacer, manipuler. Le

sujet est l'extrieur de cet espace, il en peroit les objets de faon exhaustive. Lafeuille de papier sur laquelle travaille llve est un micro espace ;

- le mso espace est l'espace des objets dont la taille est comprise entre 0,5 et 50 fois lataille de l'enfant. Ces objets peuvent tre vus globalement, pratiquement de faon

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simultane. Le sujet fait partie de cet espace. La classe, la cour de rcration, etc. sontdes mso espaces ;

- le macro espace est lespace des objets dont le sujet ne peut en avoir que des visionspartielles, la vision globale est une construction intellectuelle. Le sujet est l'intrieurde cet espace.

Le thorme de Thals, par exemple, est intressant dans le mso espace o les mesuresde longueur sont coteuses voire impossible.Brousseau souligne que le curriculum (ensembledes contenus enseigns et progression de cetenseignement) est limit au seul micro espace.Labsence de modlisation conduit labsencede problmatisation des liens entre lespacephysique et lespace gomtrique. Cela contribue expliquer la rupture entre la gomtrie de lobservation et la gomtrie de la dmonstration.

2. Le travail dans lespace physique est une gomtrie naturelleDans Paradigmes et espaces de travail gomtriques, Alain Kuzniak (2004) dfinit la

gomtrie naturelle pour la confusion quelle entretient entre le modle et la ralit, cettegomtrie a la ralit et le monde sensible pour source de validation. Les dessins sur lesquelselle sappuie sont des schmas qui reprsentent le rel, son horizon est technologique : ilsagit dapporter des rponses utiles concrtement des problmes concrets.

Exemple de problme

Question n1Voici le plan dune fentre dont le haut arrondi est un arc de cercle (figure de gauche).

Le propritaire de la maison engage un maon pour largir la fentre, il voudrait

conserver larc et obtenir une fentre comme le montre le plan (figure de droite).Le maon arrive avec son apprenti qui lui demande comment il va sy prendre pour

prolonger larc de cercle.Comment rpondriez-vous la place du maon ?Question n2Les carreaux de la fentre sont des carrs de 27 cm de ct. Lapprenti a dcoup une

plaque de verre, il a mesur les quatre cts du quadrilatre obtenu, il obtient bien 27 cm pourchaque ct et annonce a son patron que le morceau de verre convient.

Le patron nest pas satisfait, il demande lapprenti de mesurer une diagonale poursavoir si le morceau dcoup est bien un carr. Lapprenti mesure une diagonale, il obtient382 mm, mais il ne sait pas sil peut proposer cette dcoupe son patron.

Que feriez-vous la place de lapprenti ?

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II. Le savoir gomtrique distingue l'espace physique et l'espace gomtrique

Des procdures pratiques pour prolonger un arc de cercle et rpondre ainsi au premierproblme du maon pos ci-dessus sont pertinentes dans ce contexte :- si lespace de travail est le plan de la fentre, on peut utiliser du papier calque et par

superposition partielle, on prolonge larc de cercle ;- si lespace de travail est le mur, on peut utiliser un carton dans lequel on dcoupe larc de

cercle initial et par superposition partielle, on prolonge larc de cercle.

1. Gomtrie naturelle et gomtrie axiomatiqueCes procdures pratiques ne sont pas les procdures gomtriques attendues dun lve

la fin de sa scolarit secondaire. Colette Laborde (1990) dans son article intitul Lenseignement de la gomtrie en tant que terrain dexploration de phnomnesdidactiques indique que lenseignement doit permettre llve de distinguer lespacephysique de lespace gomtrique car cest seulement partir de cette distinction que llvepourra comprendre les questions qui sont poses en gomtrie et les rponses qui peuventtre apportes.

Dans la pratique, ce qui compte, cest que leprolongement de larc de cercle soit suffisamment prcispour les besoins auxquels il doit rpondre, alors quengomtrie cest la manire de sy prendre dans unesituation abstraite de la ralit qui est importante. Peuimporte finalement en gomtrie de savoir de quel arc decercle il sagit : pour rpondre la question, il suffit de latransformer en la recherche du centre du cercle dont un arcest donn car connaissant le centre et un point quelconquedu cercle (tout point de larc convient) on sait quil nexistequun cercle ayant ce centre et passant par ce point.

Le centre du cercle est obtenu comme tant le point dintersection des mdiatrices dedeux cordes choisies non parallles. La rsolution ne soccupe pas de sa mise en uvrepratique pour apporter une solution au problme (le point dintersection est-il sur le mur oudans le trou creus pour y placer la fentre ? et dans ce dernier cas, comment prolonger lecercle ?). La gomtrie ainsi dissocie de la pratique est dsigne par gomtrie axiomatique(cf. Kuzniak, 2004).

2. Gomtrie axiomatique naturelle ou formelle

Un lve de 5e qui lon propose une figurereprsentant un paralllogramme ABCD et un rectangleCDEF et qui lon demande si les deux droites (AB) et(DE) sont perpendiculaires ne doit pas contrler laperpendicularit demande avec lquerre ; il doit utiliser laproprit des paralllogrammes pour tablir que (AB) estparallle (CD), celle des rectangles pour tablir que (DE)est perpendiculaire (CD) puis utiliser la proprit selonlaquelle si deux droites sont parallles, toutesperpendiculaire lune est aussi perpendiculaire lautre .

Pourtant la notion de perpendicularit na jamais t dfinie dans sa scolarit autrementque par rfrence aux cts de lquerre. En outre llve ayant dessin le paralllogramme etle rectangle, doit aussi pouvoir contrler sur son dessin que les informations tires du monde

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rel sont conformes sa rponse : aux approximations de dessin prs, si langle concide aveccelui de lquerre, cest que les droites sont perpendiculaires, alors que sinon, elles ne le sontpas.

Les savoirs de la gomtrie enseigne sont donc thoriques, mais la thorie nest pasenseigne. Alain Kuzniak (2004) dsigne par gomtrie axiomatique naturelle cettegomtrie o la source de la validation des rsultats se fonde sur les lois hypothtico-dductives dans un systme axiomatique qui nest pas formel car les axiomes comme lasyntaxe renvoient la ralit. Il dsigne par gomtrie axiomatique formelle unegomtrie o la source de la validation des rsultats se fonde aussi sur les lois hypothtico-dductives dans un systme axiomatique purement formel.

3. La gomtrie naturelle et la gomtrie axiomatique en contradictionPour savoir si le carreau convient son patron, lapprenti utilisera la caractrisation des

triangles rectangles par le thorme de Pythagore en comparant la longueur thorique desdiagonales dun carr de ct 27 avec la longueur de la diagonale du carreau quil a mesure.La longueur thorique est : 2 227 27 1 458 38,18+ = . La valeur mesure par lapprenti est38,2 qui est trs proche de la valeur thorique donc le carreau convient. On peroit ici ladiffrence entre la gomtrie naturelle et une gomtrie axiomatique : llve de collge quilon demande si un losange de ct 27 cm dont une diagonale mesure 38,2 cm est un carrdevra rpondre par la ngative car le nombre 38,2 nest pas gal au nombre 1 458 ;lapprenti lui, bien quil mobilise une mthode qui repose sur des savoirs gomtriques,travaille avec des mesures prises dans lespace physique qui sont par nature approximatives.

Remarquons lopposition entre gomtrie naturelle et gomtrie axiomatique quelapprenti aurait pu mesurer les deux diagonales du losange, il aurait trouv 382 mm pourchacune delle et aurait conclu que le carreau est convenable par rfrence la propritselon laquelle un paralllogramme dont les diagonales ont la mme longueur est unrectangle ; il aurait donc conclu par rfrence des savoirs dune gomtrie axiomatiquealors mme que dans cette gomtrie, un losange de ct 25 mm ne peut pas avoir ses deuxdiagonales qui mesurent 382 mm. Rappelons encore que dans la recherche du centre ducercle dont larc est donn, la mthode gomtrique nest pas facilement utilisable dans lapratique si les mdiatrices et le centre du cercle sont dans la zone o le mur est creus pourinsrer la fentre.

Dans lactivit gomtrique, il y a donc une distinction fondamentale entre lespacephysique et lespace gomtrique, ne pas les distinguer empche cette activit, elle empchepar consquent la construction des connaissances gomtriques.

III. Les reprsentations graphiques en gomtrie

En gomtrie naturelle, les reprsentations graphiques doivent permettre deffectuer desmesures sur cette reprsentation, les exigences de prcision des tracs sont donc importantes.En gomtrie axiomatique, lactivit mathmatique ncessite des reprsentations graphiquesqui permettent dorganiser les donnes du problme de manire synthtique. Par cetteorganisation et la simultanit des informations auxquelles elles donnent accs, cesreprsentations graphiques aident imaginer des possibilits pour rsoudre le problme :elles ont une fonction heuristique (qui aide la dcouverte). En outre, comme on le verra plusloin, le travail gomtrique conduit souvent enrichir la reprsentation de dpart par destracs nouveaux.

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1. Ambigut des reprsentations graphiques en gomtrie axiomatiqueMalgr la distinction prcdente entre les deux types de reprsentations graphiques,

comme lcrit Colette Laborde (1990), le statut des reprsentations graphiques en gomtrieaxiomatique reste ambigu pour deux raisons au moins. Dabord la reprsentation graphiquene comporte pas forcment toutes les donnes du problme,ensuite elle donne parfois voir des faits qui ne sont pas desdonnes ou des proprits qui ne sont pas exactes. Parexemple, la reprsentation du problme prcdent peutconduire crire que la droite (ED) coupe le segment [AB]perpendiculairement ce qui nest pas forcment vrai : silangle BCD est obtus, la droite (EF) et le segment [AB] nese coupent pas.

2. Le vu et le su dune reprsentation graphique

Bernard Parzysz (1988) qui a travaill spcifiquement sur lesreprsentations graphiques dobjets gomtriques de lespace, conclut un conflit du dessinateur entre le vu et le su cest--dire entre ce quilsait de lobjet gomtrique et ce quil donne en voir par sareprsentation. La reprsentation ci-contre (en haut) donne-t-elle voirun carr et deux paralllogrammes ou un cube ? En supposant que cesoit un cube, les paralllogrammes reprsenteraient donc des carrs. Enoutre, comme dans la reprsentation ci-contre (en bas) on dessine parfoisles artes caches, cest--dire ce quon sait mais quon ne voit pas

Bernard Parzysz et Franois Colmez (1993) ont tudi lvolutionde conflit du dessinateur entre le vu et le su. Ils ont propos pour cela des lves des toutes les classes depuis le CE2 jusqu la 2nde de reprsenter sur une feuillede papier uni, la pyramide pose sur le bureau de leur professeur. La pyramide tait squelettique puisque ralise laide de pailles, elle tait rgulire et base carre ce quisignifie que toutes les artes issues du sommet avaient la mme longueur. Les lvesdessinent la pyramide en partant de sa vue densemble, en partant dune face ou en partant dela base. Les tapes suivantes du dessin rsultent de choix diffrents des dessinateurs qui ontt rendus trs clairement par deux schmas reproduits ci-dessous.

En partant de la globalit ou dune face :

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En partant de la base :

Les reprsentations obtenues permettent aux auteurs de dgager trois types de productionsgraphiques :- des productions o le su est insuffisant car le dessin ne rend pas compte de la

tridimensionnalit, elles sont prsente au CE2 surtout ;- des productions qui rendent compte du su de manire compatible avec le vu qui est

premier, ces productions sont prsentes du CM la 3e ;- des productions rsultant dune reconstruction mentale de lobjet, le vu est reprsent de

manire compatible avec le su qui est premier, elles apparaissent en classe de 3e.

3. Figure, dessin et espace graphiqueDs ses travaux de 1988 qui montrent ces conflits entre le vu et le su, Bernard Parzysz

propose de distinguer les dessins des figures parmi les reprsentations graphiques engomtrie : le dessin est la trace matrielle sur la feuille de papier alors que la figure renvoie lobjet thorique reprsent, autrement dit : le dessin reprsente une figure ; la figure quant elle est compose dobjets gomtriques en relation. Illustrons cette distinction enconsidrant la figure compose dun triangle ABC et la hauteur issue du sommet A ; lesdessins suivants reprsentent cette mme figure :

Ainsi la figure appartient lespace gomtrique, pas le dessin. Pour autant, peut-onaffirmer que le dessin appartient lespace physique, sensible ? Les difficults que montrentles travaux de Parzysz quant la reprsentation sur une feuille de papier dun objettridimensionnel, mme de petite taille est un premier argument pour distinguer lespace dudessin et lespace physique, mme lorsque les objets reprsenter sont de petite taille. Il y aun travail non ngligeable d'oprations mentales effectuer pour passer de l'espace physiqueau dessin, et il y en a un autre lorsqu'il s'agit de passer du dessin l'espace physique (il suffitde penser pour s'en convaincre l'activit dploye pour construire un objet, mme simple, partir d'un dessin). Autrement dit, comme le propose Sophie Gobert (2001) dans sa thse, lemicro espace (qui appartient lespace physique) ne doit pas tre assimil celui du dessin

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quelle propose de nommer lespace des reprsentations, puisque cet espace nest pas nonplus lespace gomtrique. Lespace des reprsentations se trouve ainsi comme un espaceintermdiaire entre lespace physique, sensible, et lespace gomtrique, abstrait.

En conclusion de ce paragraphe consacr au rapport entre lespace physique et lespacegomtrique, nous reprendrons la distinction entre trois problmatiques propose parBerthelot et Salin (2000) suivant la nature du problme :- une problmatique pratique dans laquelle les objets sur lesquels on travaille sont des

objets physiques (en particulier des dessins), dans laquelle la dmarche de rsolution estpratique et dans laquelle la validation se fait en restant dans l'espace sensible. Cetteproblmatique est compltement ancre dans la gomtrie naturelle (au sens deKuzniak) ;

- une problmatique gomtrique dans laquelle les objets sont thoriques, dans laquelle ladmarche de rsolution et la validation s'appuient uniquement sur des savoirsgomtriques. Cette problmatique est compltement ancre dans une gomtrieaxiomatique (au sens de Kuzniak) ;

- une problmatique spatio-gomtrique (ou de modlisation) dans laquelle on travaille surdes objets physiques, dans laquelle la dmarche de rsolution sappuie sur des objetsgomtriques qui idalisent les objets physiques, et sur des savoirs gomtriques, maisdans laquelle la validation se fait dans l'espace physique, comme dans la problmatiquepratique, mme si cela nest pas conforme la thorie. Cette problmatique tient la foisde la gomtrie naturelle dans laquelle sinscrivent le problme et la solution, et dunegomtrie axiomatique naturelle dans laquelle le problme est modlis et rsolu.

C. Multiplicit des signifiants en gomtrie et situations pour lenseignement

Les situations qui engendrent, chez les lves, des activits dans lespace physique,visent lappropriation de connaissances spatiales ; elles sont proposes lcole maternelle, etencore lcole lmentaire, car les connaissances spatiales sont indispensables lacquisition de connaissances gomtriques. Au lyce, et dj au collge, les situationsdenseignement visent lapprentissage de savoirs et de mthodes qui permettront aux lvesde rsoudre des problmes gomtriques. lcole lmentaire et au collge, les activits deslves ne sont pas toujours inscrites exclusivement dans lespace physique ou dans lespacegomtrique car lobjectif est prcisment la transition entre espace physique et espacegomtrique. Cette transition est qualifie par certains auteurs de passage d'une gomtried'observation une gomtrie de dduction et elle est exprime dans les programmes de 6epar passer de lidentification perceptive de figures et de configurations leurcaractrisation par des proprits . Lespace des reprsentations graphiques, espaceintermdiaire entre lespace physique et lespace gomtrique, est alors souvent convoqu.

Colette Laborde (1990) en se rfrant de nombreux travaux antrieurs souligne uneorganisation des interactions entre les savoirs et les apprenants qui consiste prendre appuisur la multiplicit des systmes de signifiants utiliss en gomtrie (les objets, les dessins etles textes). Elle les distingue des tches gnralement proposes dans lenseignement quisont nonces par un texte et un dessin, mais o le dessin ne fait quillustrer lnoncdiscursif.

Nous allons tudier les types de tches proposes aux lves pour lapprentissage de lagomtrie et qui portent sur les signifiants, nous indiquerons ce faisant les difficults querencontrent les lves. Ces types de tches sont principalement : la reproduction dun objet delespace physique ou de lespace graphique, la reprsentation graphique ou langagire dun

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objet de lespace physique ou de lespace graphique, la construction dune figure de lespacegomtrique ou la rdaction dun programme de construction de cette figure.

I. Reproduction dun objet de lespace physique ou de lespace graphique

L'lve doit raliser une copie lidentique d'un objet de lespace physique (figurecartonne, solide compos de faces en plastique, etc) ou dun dessin de lespace graphique,quil soit simple (polygone, cercle, etc.) ou complexe (cest--dire quil renvoie plusieursfigures dans une disposition particulire les unes par rapport aux autres). Parfois on demande llve de raliser un agrandissement ou une rduction de loriginal.

1. Gnralits

Le travail de copie dobjets de lespace physiqueseffectue sur diffrents matriaux ou supports etncessite ventuellement des outils. Lesmatriaux peuvent tre des planches de papiercarton, des baguettes, des pailles, etc. ou desmatriels prvus cet effet et commercialiss( Polydron par exemple). Les outils sont ceuxde la gomtrie (rgle, querre, compasrapporteur) ainsi que ciseaux, adhsif, calque,etc. Les objets bidimensionnels (les dessins)peuvent tre donns sur un papier uni, quadrillou point, et la copie peut tre demande sur unpapier analogue ou diffrent, suivant lesconnaissances gomtriques sous-jacentes visesou non. Matriel Polydron

Pour la mme raison, des outils comme le papier calque, les gabarits dangles, etc. oules instruments de dessin comme la rgle gradue ou non, le compas, lquerre et lerapporteur peuvent tre autoriss ou ne pas ltre. La validation de la reproduction seffectuepar comparaison avec le modle, un degr de conformit peut tre prcis.

Les objectifs viss par lenseignant qui donne un travail de reproduction sont quellve observe le modle reproduire et tire de cette observation des proprits qui lui serontsuffisantes pour raliser la copie. Ces proprits du modle peuvent tre dcouvrir, ou appliquer lorsquelles ont dj t tudies en classe. En outre, la copie peut ncessiter lamise en uvre de savoirs gomtriques, eux-mmes dcouvrir ou appliquer.

2. Le dodcadre en pices Polydron : un exemple de reproduction de solide

Analysons la tche raliser une copie du solide pos sur le bureau laide de picesPolydron lorsque le solide est le dodcadre prsent ci-dessus. Les lves doivent avoir tfamiliariss avec le matriel et ses techniques daccrochage. Afin de choisir les pices utiliser, ils reprent dune part quelles ont toutes la mme forme et dautre part quil sagitde pices cinq cts (des pentagones rguliers convexes). Ils remarquent que douze picessont ncessaires pour raliser ce solide ; ses quatre couleurs imposent de choisir trois facespar couleur. Ltude du solide montre que chaque face est lie cinq autres faces (une parct) et que si lon souhaite que deux faces de la mme couleur ne soient pas en contact, ilfaut au moins quatre couleurs pour raliser le dodcadre.

Pendant la construction, les lves pourront comparer la rigidit des formesintermdiaires quils construisent et constater que le solide propos ne se laisse pas dformer

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par crasement. Le professeur pourra aussi faire nommer les faces, faire remarquer que lescts ont la mme longueur, faire dcrire le solide comme tant un objet ferm, etc.

Le matriel Polydron est souvent prsent dans les coles, il permet de construire desobjets tridimensionnels ainsi que leurs patrons.

3. La reproduction de dessins du planLorsque le dessin reproduire est simple, llve le recopie lment aprs lment, de

proche en proche. Cela suppose quil nest constitu que de segments de droites et de cercles(ventuellement de demi-cercles ou de quarts de cercles) et que llve puisse prendre legabarit des angles forms par deux segments conscutifs (ou les mesurer). La tche estrapidement difficile raliser ds les angles ne sont pas droits.

Lorsque le dessin est complexe, cest--dire compos de plusieurs figures simples, latche de reproduction varie suivant quelle ncessite ou non une organisation chronologique,lintroduire de sous-figures ou de sur-figures, ou encore la connaissance de propritsgomtriques qui napparaissent pas sur le dessin. Les outils et instruments interdits ou bienmis disposition des lves pour raliser la tche sont encore un facteur supplmentaire devariation.

Exemples de dessin simpleEn proposant une activit de reproduction de dessins

aussi simples que le rectangle ci-contre, lenseignant viselacquisition de comptences quant la manipulation desinstruments gomtriques.

Mesurer un segment ncessite de poser la rgle le longdu segment, de placer lorigine de la graduation et pas le dbutde la rgle une des extrmits du segment, et de lire la valeurde la graduation qui correspond lautre extrmit dusegment.

Remarque : dans le cas du report de longueur, la rgle peut tre remplace par unebande de papier, et le fait de placer le dbut de la rgle au lieu de lorigine de la graduation la premire extrmit du segment ne conduit pas une erreur.

Tracer une ligne droite avec une rgle ncessite une utilisation coordonne des deuxmains : un lve droitier doit savoir tenir la rgle de la main gauche et, avec sa main droite,faire glisser son crayon le long de la rgle, llve doit appuyer suffisamment sur le crayonpour que le trait soit marqu et que le crayon ne s'loigne pas de la rgle, mais il ne doit pasappuyer trop fort car sinon il risque de faire glisser la rgle tenue par lautre main.L'utilisation du compas ou de l'querre ncessite aussi de telles comptences.

Pour un dessin sur papier quadrill, la tche consistegnralement reprer les positions des points sur les nuds,il ny pas dautres instruments utiliser que la rgle etventuellement le compas, ni identifier les proprits dudessin reproduire. Ici par exemple, le dessin possde deuxcts perpendiculaires, et un lve pourra trs bien reproduirela figure sans mme voir cette proprit.

Exemples de dessin complexeDans le cas o le dessin donn sur du papier uni fait rfrence plusieurs figures

gomtriques de bases (segments parallles ou perpendiculaires, triangles, rectangles, arcs decercle, etc.) et o la copie est effectuer avec les instruments classiques, l'lve doit reprerces sous-figures, leurs positions relatives et effectuer les tracs.

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Le dessin ci-contre est compos de deux triangles : lepremier (en haut) est isocle, les deux cts gaux mesurent3,5 cm et la base mesure 2,5 cm, langle au sommet principalmesure 41 et les angles la base mesurent 69,5 ; le secondtriangle (en bas) est isocle et rectangle, ses ctsperpendiculaires mesurent 2,5 cm, ils forment avec lhypotnusedes angles de 45 et son hypotnuse est lun des deux ctsgaux du premier triangle isocle.

Si tous les instruments sont autoriss, llve pourraconstruire les triangles en utilisant des informations parmi cellesqui ont t fournies ci-dessus et quil pourra prendre sur ledessin. Si la rgle non gradue et le compas seulement sontautoriss, llve devra savoir construire un triangle connaissantses trois cts : il lui suffira alors de tracer un premier ct avecla rgle en utilisant le compas pour en reporter la longueur puisde construire les deux autres sommets avec le compas en traant

les arcs de cercle correspondant. Llve, ici encore, pourra reproduire le dessin sanstenir compte de proprits comme les galits de longueur ou la perpendicularit de deuxcts.

Le dessin propos ci-contre gauche est difficile reproduire. Pourraliser sa copie, il est utile de rechercheret de tracer des lignes supplmentairesqui ont t utilises et vraisemblablementeffaces pour construire le dessin orignal.En rajoutant ces lignes, un carr apparatqui se trouvera trs utile pour raliser lacopie. Ce carr est une sur-figure dudessin orignal.

II. Reprsentations graphiques ou langagires dun objet de lespace physique ou graphique

La reprsentation dun objet de lespace physique est le passage de lobjet unsignifiant de lobjet. Ce signifiant est un graphique dans le cas dune reprsentationgraphique, ce signifiant est un texte dans le cas dune reprsentation langagire, on parle alorsde description de lobjet.

1. Reprsentations graphiques dun objet de lespace physiqueLe thme des reprsentations graphiques dun objet de lespace physique a dj t

abord dans le paragraphe consacr aux reprsentations graphiques en gomtrie. Nous avonsvu que le passage de lespace physique lespace graphique met en concurrence la volontdu dessinateur de reprsenter ce quil voit, et celle quil a de reprsenter ce quil sait. Lareprsentation graphique, quelle quelle soit, oblige abandonner certaines proprits delobjet : aucune reprsentation en perspective dun cube ne peut montrer que toutes les facessont des carrs.

Des procds conventionnels ont t tablis pour reprsenter les objets de lespace : lesperspectives axonomtriques, la perspective points de fuite ou perspective conique, et le

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dessin technique avec ses multiples vues, sont les plus courants. Pour les polydres, lesdveloppements ou patrons sont aussi utiliss.

Les perspectives axonomtriquesLes fuyantes (cest--dire les lignes quiindiquent la profondeur) sont parallles sur ledessin ds quelles reprsentent des droitesqui sont parallles dans la ralit. On utilisedeux types de perspectives axonomtriques :la perspective cavalire (les objets sont vus deface) et la perspective isomtrique (les objetssont vus par larte).

perspective cavalire perspective isomtrique

La perspective coniqueLa perspective conique (ou euclidienne, ou points de fuite) a t connue dans

lAntiquit, la pratique en a t abandonne, et elle a t redcouverte la Renaissance enItalie. Les fuyantes qui sont parallles dans la ralit sont reprsentes par des droites qui serejoignent en des points appels points de fuite et qui sont aligns sur la lignedhorizon .

Un pav droit Un cylindre de rvolution

Le miracle de l'hostie, Paolo Uccello (1397-1475)

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Les conventions du dessin en perspective ne sont pas prcisment enseignes danslenseignement primaire ni dans lenseignement secondaire, mais on se contente dnoncerquelques principes.

Le dessin techniqueLe dessin technique consiste effectuer des projections de lobjet reprsenter sur trois

plans : le plan frontal, le plan horizontal et le plan de profil. Les dessins obtenus sont appelsdes vues , respectivement la vue de face, la vue de dessus et la vue en coupe.

Voici par exemple la reprsentation dune pice mcanique, les projections donnentlimpression que la pice est translucide, mme si elle est opaque :

Pour initier les lves raisonner partir de vues, on propose aux collgiens desreprsentations o ne sont indiqus, sur chaque vue, que les lments qui sont vuseffectivement. Voici par exemple un exercice o lon demande aux lves de nommer lescinq vues ci-dessous :

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Les dveloppements (ou patrons) dun polydreUn dveloppement, ou patron, dun polydre est une reprsentation plane de toutes les

faces du polydre de telle sorte que chaque face soit relie une autre au moins par une artecommune, que lensemble ainsi constitu soit dun seul tenant et quil permette (si lonconsidre cette reprsentation comme un objet de lespace physique et non comme uneabstraction de lespace gomtrique) de reconstituer ce polydre. noter : un dveloppementne comporte pas de languette de collage qui permettrait que les faces soient effectivementrelies les unes aux autres.

Les tches proposes aux lves peuvent tre de dessiner le dveloppement dunpolydre quils ont sous les yeux ou dont ils ont une reprsentation en perspective, de choisirparmi plusieurs patrons celui ou ceux qui correspondent ce polydre.

La reprsentation dun objet de lespace physique peut avoir comme but de permettredidentifier un objet parmi dautres ou de le construire. Dans les deux cas la validation peuttre faite par lexprience. Des situations metteur rcepteur sont souvent proposes auxlves pour leur laisser la charge de la validation.

Une situation metteur rcepteur fait, comme le nom lindique, intervenir unmetteur et un rcepteur qui sont, soit un lve, soit un groupe dlves. Lmetteur envoie unmessage (un texte ou un dessin) propos dun objet de lespace physique ou de lespacegomtrique pour que le rcepteur puisse identifier ou construire lobjet. Cette situation decommunication vise la mise en place dun langage mathmatique, la validation fait partieintgrante de lactivit et seffectue par comparaison entre lobjet lorigine du message etcelui qui a t produit. La principale limite de la situation metteur rcepteur est que leslves peuvent se comprendre alors mme que les moyens quils utilisent pour communiquerne sont pas mathmatiquement suffisants.

2. Reprsentations langagires dun objet ou dun dessinLa production dun texte reprsentant un objet de lespace physique ou un dessin (objet

de lespace graphique) est une description. Lobjectif de la description peut tre dereconnatre lobjet parmi un ensemble dobjets, ou de raliser cet objet. Les situations dedescription qui sont proposes aux lves visent lapprentissage de vocabulaire, de propritsgomtriques et de leur utilisation adquate.

Dcrire pour reconnatreUne description pour reconnatre un objet parmi dautres, comporte des proprits de

lobjet qui permettront de le distinguer des autres. Lauteur de la description raisonne alorssur les proprits qui diffrencie lobjet quil dcrit des autres objets. Sil sagit par exemple

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dune situation du type metteur rcepteur o lmetteur commande une pice Polydron pentagonale un rcepteur, il suffira lmetteur dindiquer que sa picepossde cinq cts car il ny a quun type de pentagone parmi les pices Polydron .

Dcrire pour construireLobjectif de la description dun objet peut tre aussi de le construire, sans lavoir sous

les yeux. Dans ce cas la description doit tre complte, cest--dire porter sur les lments,leurs dimensions et leur organisation relative. Une chronologie de la construction permettraau destinataire de la description de procder tape aprs tape.

Exemple : Des lves, en fin de CM1, devaient dessiner un quadrilatre et rdiger unmessage permettant au rcepteur de dessiner le mme quadrilatre. Voici gauche le dessinet le message de Rudy ainsi que la production de Jeremy.

Dessin de Rudy

Il faut avoir bien conscience, lors dune analyse a priori dune situation que leslves peuvent trs bien se comprendre malgr les imprcisions du message : siJeremy navait dessin deux angles droits, le message aurait pu tre jug satisfaisant parles lves alors quil ne ltait pas parce que la position de langle droit ntait pasprcise. Le fait que lmetteur et le rcepteur soient des groupes dlves et non deslves seuls, favorise la diversit des avis. Laccord trouver conduit alors desngociations et des choix qui sont profitables aux apprentissages et qui peuvent treplus facilement retravaills en classe avec le professeur.

III. Reprsentations dune figure gomtrique

Les figures gomtriques sont des objets de lespace gomtrique donc des objetsabstraits. Il ny a pas quune reprsentation graphique dune figure gomtrique donne car ilexiste diffrentes conventions de reprsentation. Chaque reprsentation est un objet delespace graphique.

Dans le cas du dessin dune figure gomtrique, le savoir sous-jacent la constructionimporte peu, mais la reprsentation des proprits doit tre visible. Ainsi un segment de 4cm,en tant que figure, doit tre reprsent, en tant que dessin par un trac rectiligne dont lesextrmits sont spares par une distance de 4cm quon peut mesurer la rgle.

Dans une construction gomtrique, cest au contraire le savoir sous-jacent laconstruction qui discrimine une reprsentation correcte dune qui ne lest pas. Prenons unexemple simple. Sil sagit de dessiner deux segments parallles qui ne sont pas trsloigns lun de lautre, la rgle suffit car le paralllisme est contrl visuellement entre lepremier trac de segment et le bord de la rgle qui va servir pour raliser le second trac. Sil

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sagit en revanche de construire deux segments parallles, cest la mthode sappuyantsur des proprits qui est importante, et si cette mthode ncessite des tracs auxiliaires, ilconvient de ne pas les effacer.

On utilise aussi parfois, pour rsoudre un problme de gomtrie, un troisime type dereprsentation graphique quon appelle dessin main leve dune figure. Comme sonnom lindique, un tel dessin reprsente les proprits de la figure par des conventions sansrechercher de conformit entre le dessin obtenu et les proprits reprsentes.

1. Dessin dune figure gomtrique donne par sa descriptionDemander de dessiner une figure gomtrique donne partir dun dessin revient

demander la reproduction du dessin, cette tche a dj t aborde prcdemment : ellencessite le reprage de sous-figures ou de sur-figure dans le cas dune figure complexe, elledemande de savoir comment utiliser les instruments de gomtrie ainsi que de possdercertaines habilets quant la manipulation de ces instruments.

Dessiner une figure partir de sa description demande toujours de savoir utiliser lesinstruments de gomtrie mais aussi, en amont, de comprendre la description cest--dire deconnatre le vocabulaire et les conventions utiliss en gomtrie.

Dans lexemple suivant les lves de CM2 devaient rpondre la consigne suivante : Dessine un carr ABCD de ct 2 cm

et trace le cercle de centre B passant par A.

Les productions des lves montrent que cette simple consigne ncessite bien sr deconnatre le vocabulaire carr et cercle avec lexpression idiomatique passant par , de

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savoir tracer un carr dont on donne la longueur des cts, et un cercle dont on donne lecentre et un point. Elle ncessite aussi de connatre les conventions quant la dsignationdes points dun quadrilatre, et plus gnralement dune figure gomtrique. On remarqueen particulier que certains lves confondent le point et la lettre qui le dsigne, commeMaxime ou Joan. Les productions de Lucie et de Nils rvle la confusion entre dessin etfigure propre aux dbuts de lapprentissage de la gomtrie : les codages et indications sontinutiles dans ce contexte. On constate enfin que la convention selon laquelle unedsignation ne peut tre utilise pour deux objets mathmatiques diffrents nest pasconnue de Maxime qui ralise un dessin comportant deux points nots A et deux pointsnots B.

2. Construction dune figure gomtrique donne par un dessin main leveLorsque la figure construire est donne par un dessin main leve, llve

commence par reprer les sous-figures, leurs proprits et leur organisation, commelorsquil doit reproduire un dessin. Mais les informations ne sont pas prendre sur le dessinpropos avec les instruments, il faut seulement tenir compte des informations qui sontindiques par des codages ou par des indications textuelles. Une chronologie de laconstruction est laborer, ce qui ncessite danticiper la construction, cest--dire de laraliser mentalement en partie en fonction des proprits des sous-figures.

Considrons par exemple la tche suivante : Construire la figure reprsente ci-contre la rgle etau compas .La figure comporte deux triangles isocles dont un estaussi rectangle. Les codages montrent que les ctsperpendiculaires du triangle rectangle mesurent 4cmcomme la base du second triangle isocle, lhypotnusedu triangle rectangle en revanche nest pas donne.

La construction demande donc decommencer par le trianglerectangle. Comme lquerre nestpas autorise, cest un segment de8 cm qui est trac et langle droitest construit par mdiatrice de cesegment, on retient alors unsegment de 4cm et uneperpendiculaire ce segment.Avec la rgle ou le compas,lautre ct du triangle rectangleest dtermin. Il ne manque plusque la construction du quatrimesommet au compas commeintersection des cercles ayantrespectivement pour centre lesextrmits de lhypotnuse etpour rayon 4cm et la longueur delhypotnuse.

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3. Construction dune figure gomtrique donne par une descriptionLa construction dune figure donne par une description est facilite par une

anticipation du rsultat obtenir (sous-figure et organisation) qui demande, pour chacunedes sous-figures identifies, de mobiliser des figures modles stockes en mmoire long terme et de les particulariser la configuration propose. Lorsque la figure est trscomplexe ou que les contraintes sont nombreuses, la gestion mentale des informations estdifficile et la ralisation dune figure main leve soulage leffort de mmoire. Commepour la construction dune figure donne par un dessin, il sagit ensuite de dterminer lesproprits des sous-figures qui pourront tre utiles et de dterminer une chronologie de laconstruction.

Comparons deux exemples. Le premier exercice a t donn des lves de sixime.

Construire un losange ABCDayant la droite d pour axe de symtrie.

Solution :

La figure losange anticiper est proche de la figure modle de losange quon a tousen mmoire, la droite d ntant que lgrement incline. Deux proprits sont mobilisables :un losange est symtrique par rapport ses diagonales (ou les diagonales dun losange sontperpendiculaires et ont mme milieu) ; un losange a ses quatre cts de mme longueur.

La premire proprit conduit la construction de D comme symtrique du point Bpar rapport la droite d, puis du point C comme symtrique du point A par rapport ladroite (BC). La seconde permet de construire le point C sur la droite d puis le point Dcomme intersection des cercles de mme rayon AB et de centres respectifs A et C. Laconstruction peut aussi seffectuer en mobilisant les deux proprits la fois : la symtriepour obtenir D puis lgalit des longueurs des cts pour construire C.

Pos en fin danne de sixime, un tel exercice est russi par trois lves sur quatreenviron. Voyons maintenant un exercice pos en fin de 5e, toujours sur la construction dunlosange.

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Construire un losange ABCDtel que le point D appartiennent la droite d.

Solution 1 :

Le point A est gale distance de B et de Ddonc D appartient au cercle de centre A et derayon AB. Ce cercle coupe la droite d endeux points qui sont deux candidatspossibles pour le point D. La construction dupoint C lintersection du cercle de centre Bet de rayon AB et du cercle de centre D et derayon AB aboutit pour chacun des deuxpoints D candidats.On en dduit quil y a deux solutions,aucune dentre elles ne correspond limagemodle du losange avec ses axes desymtrie.

Solution 2 :

Alors quil porte sur le losange sans porter sur la symtrie orthogonale, pos en fin decinquime, un tel exercice est russi par moins dun lve sur trois, le critre de russite tantbien sr davoir produit une des deux solutions possibles. La configuration propose dunlosange avec une droite qui nest pas un des axes de symtrie, presque en position verticaleou horizontale, a certainement perturb les lves qui avaient anticip le rsultat par unefigure modle compose dun losange et dune droite passant par deux sommets.

4. Programme de construction dune figure gomtrique donneUn programme de construction dune figure gomtrique est un texte permettant

celui qui le lit de tracer un dessin de cette figure alors quil ne la connat par aucune autrereprsentation langagire ou graphique. Ce nest pas une description mais un texte injonctif.

Rdiger un programme de construction suppose une analyse de la figure faireconstruire pour ses proprits qui vont permettre la construction : reprer les sous-figures etde leur organisation en dfinissant en particulier les relations dincidence et les points

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remarquables, hirarchiser ces relations pour dfinir une chronologie de la constructionorganise en tapes, introduire des notations ventuelles pour rpondre aux besoins de lacommunication. Lorsque la figure dont un lve ou un groupe dlve labore leprogramme de construction est donne par un dessin et un texte qui prcise certainesproprits de la figure, la validation du programme peut seffectuer par comparaison entrele dessin produit et le dessin initial.

Les programmes de construction se prsentent comme une suite dinstructionsordonnes chronologiquement. La suite dtapes nettement repres (tirets, numrotation...)met en valeur la suite dactions accomplir dfinies par des verbes ( limpratif ou linfinitif) qui portent sur des objets gomtriques et pas sur des objets de lespace physiquecomme le support ou les instruments par exemple.

la fin de ce paragraphe consacr aux multiples reprsentations utilises engomtrie, apparaissent entre lespace physique et lespace gomtrique deux modes dereprsentations, lun langagier lautre graphique, qui ne se rduisent, ni lun ni lautre, unseul type de reprsentation.

Ainsi, les textes reprsentant les objets utiliss en gomtrie comportent plus oumoins de rfrences aux proprits qui caractrisent les objets considrs, et en particulierleur construction gomtrique. Les descriptions sont, pour cette raison, distinguer desprogrammes de construction. De mme que les textes, les objets de lespace graphique sontplus ou moins porteurs des proprits gomtriques des objets quils reprsentent, etdiffrentes conventions ont t tablies. Pour reprsenter des objets tridimensionnels onpeut effectuer un dessin en perspective, un dessin technique et, si cet objet est un polydre,un patron. Pour les objets bidimensionnels, on a distingue premirement les dessins quicomportent les informations concernant la mesure des longueurs et des angles(informations soumises aux incertitudes de la mesure), deuximement les dessins mainleve qui synthtisent les proprits gomtriques de lobjet reprsenter grce des codeset des annotations complmentaires, et troisimement les constructions gomtriques qui,comme les dessins, comportent les informations concernant la mesure des longueurs et desangles, mais qui montrent aussi, par les tracs intermdiaires qui ont permis la construction,les proprits gomtriques qui ont t utilises pour raliser cette construction.

D. Utilisations des figures en gomtrie

Le dernier paragraphe a montr que la multiplicit des signifiants en gomtrie pouvaittre utilise dans lenseignement pour, par des tches de passage dun signifiant lautre,favoriser la rflexion sur les objets gomtriques et leurs proprits et, par-l mme, enfavoriser lapprentissage. Lenseignement de la gomtrie ne se limite pas celui de sesobjets et de leur proprit, il vise aussi lapprentissage de mthodes pour rsoudre desproblmes, cest--dire pour dcouvrir des nouveaux objets ou tablir des propritsnouvelles (la nouveaut tant ici pour lapprenant) ou pour particulariser des propritsgnrales des contextes particuliers.

Les figures ont une importance particulire en gomtrie. En reprsentantgraphiquement une figure, celui qui fait de la gomtrie se donne un moyen daccdersimultanment, pour chaque objet gomtrique de la situation quil tudie, ses proprits et ses relations avec les autres objets prsents dans la situation. La figure aide la mmorisationde lensemble de ces relations. Elle est un moyen heuristique aussi car la reprsentationsynthtique quelle permet des proprits de la situation gomtrique tudie, donne la

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possibilit dapercevoir des proprits nouvelles ou des ides pour les dmontrer. Cest cettediversit des utilisations des figures en gomtrie qui est lobjet de ce paragraphe.

I. Des figures connatre pour les reconnatre

Les figures sont la fois mmorises et reconnues travers des dessins qui lesreprsentent. En outre, la mmorisation des figures permet de mmoriser un ensemble trsriche de proprits gomtriques. Pourtant une figure mmorise, mme parmi les plussimples, nest pas forcment reconnue travers des dessins qui la reprsentent. Et une figurepeut tre associe des situations qui nen ont pas les proprits.

1. Les figures prototypes La rsolution de problmes gomtriques demande parfois de grer simultanment

beaucoup dinformations sur la situation qui est traite. Robert Noirfalise (1991) a ralis destravaux qui laissent supposer que des figures stockes en mmoire long terme, quil appellefigures prototypes , agglomrent plusieurs informations qui sont traites comme une seuleunit. Daprs lauteur, cela permet au sujet de disposer en mmoire de travail dune quantitdinformations trs importante, plus importante que celle quil est capable de retenir si cesinformations lui taient donnes une une, par exemple par une description. En outre, pourune mme figure prototype , les sujets enregistrent plus ou moins dinformations et celadiffrencient leur possibilit de traitement : pour une mme quantit dinformations, certainssujets mobilisent une unit de mmoire alors que dautres en mobilisent davantage.

Voici par exemple pour la figure prototype du rectangle, diffrentes informationsqui peuvent tre mmorises simultanment.

Noirfalise suggre aussi que le nom des points importants des figures prototypes pourraient tre stocks en mmoire long terme aussi ce qui soulagerait encore la mmoirede travail. On remarque effectivement que les sommets dun triangle sont souvent nots A, Bet C, que les milieux des cts [AB], [AC] et [BC] sont respectivement nots C, B et A,que le centre de gravit, du cercle circonscrit et du cercle inscrit sont respectivement nots G,O et I, etc.

2. Adaptation des figures prototypes

Les figures prototypes ne sont pas mmorises dans toute leur gnralit, mais ellesrestent plus ou moins marques de caractres particuliers (de forme ou dorientation), cela leconduit nommer figures prototypes ces figures mmorises.

Par exemple, la figure rectangle , comme la figure carr , est mmorise sous uneforme prototype o les cts sont horizontaux et verticaux, alors que la figure losange estmmorise sous une forme prototype o les deux axes du losange (ses diagonales) sontrespectivement vertical et horizontal et le plus long est vertical. Rectangle et losange sont allongs dans des proportions standards, ni trop ni trop peu.

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Cela permet dexpliquer quebeaucoup de personnes reconnaissent unlosange et pas un carr lorsquon leurprsente la reprsentation ci-contre gauche, ou reconnaissent unparalllogramme et pas un losange dansla reprsentation ci-contre droite.

Il ne sagit pas ici daffirmer que de reconnatre le dessin de gauche comme un carr oucelui de droite comme un losange est une comptence gomtrique, puisque le fait que cesdessins illustrent respectivement un carr ou un losange ne peut tre vu mais su . Enrevanche, on peut penser que si dans un problme, en disposant de donnes supplmentairessur les figures reprsentes par ces dessins, il fallait dmontrer que la figure reprsente gauche est un carr et que la figure reprsente droite est un losange sans que cela soitdemand explicitement, celui ou celle qui nidentifiera pas ces dessins comme pouvantreprsenter respectivement un carr et un losange, risque de ne jamais chercher ledmontrer.

De mme, on a remarqu prcdemment que lanticipation du dessin obtenir peutfaciliter une construction gomtrique, or lanticipation repose sur une mobilisation defigures mmorises et les adapter la situation. Or plus une figure prototype est marquepar une disposition particulire, plus elle est difficile adapter un contexte qui la place dansune autre disposition. Cela permet dexpliquer pourquoi les deux problmes de constructionsdun losange qui ont t prsents dans le paragraphe C.III.3 intitul Construction dunefigure gomtrique donne par une description, sont russis avec autant de diffrence : lepremier, donn en classe de 6e, rappelle davantage que le second, donn en classe de 5e, lafigure prototype du losange avec sa diagonale la plus longue en position verticale.

Autre exemple : pour construire la rgle et au compas la bissectrice dun angle donn,on mobilise la figure prototype du triangle isocle avec sa bissectrice qui est aussi mdiatricede la base, ainsi que la figure prototype de la mdiatrice dun segment condition de lesconnatre suffisamment et quelles puissent mentalement changer leur orientation.

Ces figures prototypes joueraient donc un rle heuristique dans la rsolution deproblme, plus ou moins efficace suivant la capacit du sujet les adapter (les agrandir ou lesrduire, changer leur orientation, etc) la situation quil doit traiter.

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3. Les figures prototypes sont prgnantesRobert Noirfalise a propos des lves en fin de 6e dcouter attentivement la

consigne suivante, puis de la raliser de mmoire :

Tracer un triangle isocle ABC tel que AB = AC. Marquer un point H sur [BC].

De H, tracer la perpendiculaire (AB) puis (AC).

La figure correcte est reprsente par le dessin de gauche nest obtenue par aucun deslves qui rpondent pour 40% avec le dessin de droite.

Linterprtation propose est qu la lecture dun nonc dcrivant une figure gomtrique,ds son commencement, un sujet active une figure prototype quil modifie pour laparticulariser lnonc. Jusquau mot perpendiculaire de lnonc, la figure prototype du triangle isocle avec son axe de symtrie est correcte. La modification profonde oprerpour aboutir la bonne rponse tant trop coteuse pour les lves de 6e, aucun ne parvient la dessiner et 40% dentre eux en restent la figure quils nont pas pu adapter.

II. Traitements dune figure dans lactivit gomtrique

Nous avons vu jusqu prsent des tches gomtriques qui conduisaient dcrire, reprsenter ou construire une figure, et cela correspond au fait que les objets gomtriques,en gomtrie axiomatique naturelle qui est la gomtrie enseigne dans lenseignementprimaire et secondaire, sont facilement reprsentables du fait mme des relations qui les lient lespace physique.

Il existe dautres domaines des mathmatiques dans lesquels on ralise des schmas oudes reprsentations graphiques des fins heuristiques. Limportance des figures engomtrie, ne sexplique pas seulement parce que la recherche dun problme conduit lesreprsenter. Bien souvent les figures sont modifies car ce sont prcisment les modificationsimposes une figure qui donnent les ides directrices qui permettront dtablir les propritsrecherches, et cela mme si dmonstration est dductivement complexe. Dans un articleconsacr aux diffrents fonctionnements dune figure dans une dmarche gomtrique,Raymond Duval (1994) distingue trois types de traitement des figures qui permettent dersoudre des problmes : ceux dans lesquels les figures sont reconfigures par des partages oudes combinaisons, ceux qui agrandissent ou rduisent les figures et ceux qui conduisent despartages avec dplacement de certaines parties de la figure. Les trois types de traitement sontprsents travers des problmes gomtriques quils permettent de rsoudre.

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1. Reconfigurations dune figure gomtriqueAfin dillustrer le travail de reconfiguration des figures gomtriques, voici trois

problmes dont lobjectif est chaque fois de comparer des aires.

Prob

lm

e n

1

ABCD est un paralllogramme etU est un point de [AD]. O faut-ilplacer U pour que la surfacecolorie et la surface blanche aientla mme aire ?

Prob

lm

e n

2

ABCD est un rectangle et U est unpoint de [AC]. O faut-il placer Upour que les deux rectanglescoloris aient la mme aire ?

Prob

lm

e n

3

ABCD est un trapze et U est lepoint dintersection des diagonales.Comparer les aires des trianglescoloris.

Chacun de ces trois problmes trouve sa solution par une reconfiguration de la figure,mais ces reconfigurations sont trs diffrentes les unes des autres si bien que ces troisproblmes ne sont pas russis de la mme faon : donns de faon plus ferme dans desclasses de 3e (la question tait de montrer que les aires sont gales et non de trouver laposition du point U pour quelles le soient), ils recueillent respectivement environ 60%, 60%et 10% de russite (Mesquita, 1989).

So

lutio

n

n1

So

lutio

n

n2

L3 Didactique des mathmatiques Gomtrie 28

So

lutio

n

n3

Dans le premier problme, la reconfiguration passe par un partage en sous figurespertinentes qui nest pas donn. Dans le second problme, le partage est dj effectu mais lareconfiguration demande de combiner des sous-figures pour en raliser dautres. Dans ledernier problme enfin, le partage est dj effectu et la reconfiguration demande decombiner des sous-figures pour en raliser dautres, mais en plus, il y a un ddoublement dune sous-figure qui est utilise de deux faons diffrentes : une fois pour elle-mme et deuxfois dans une combinaison avec une autre sous figure. En outre, le troisime problmedemande de mobiliser une proprit des triangles de mme base et de mme aire.

Dans ces trois problmes, le traitement de la figure est une reconfiguration puisque lessous-figures ne subissent aucune transformation gomtrique, contrairement aux traitementsque nous allons tudier ci-dessous o les sous-figures peuvent tre dplaces ou agrandies.

2. Dplacements de sous-figures gomtriques

Voici maintenant deux problmes qui conduisent dplacer des sous-figuresgomtriques : une dmonstration classique du thorme de Pythagore et un problmedoptimisation de longueur.

Rappelons que trois noncs mathmatiques diffrents portent le nom de Pythagore.

Thorme de Pythagore :Dans un triangle rectangle, le carr de

lhypotnuse est gal la somme des carrs descts perpendiculaires.

Autrement dit :Dans un triangle ABC,si ABC est rectangle en A alors BC2 = AB2 + AC2.

Contrapose du thorme de Pythagore :Dans un triangle ABC,si BC2 AB2 + AC2 alors ABC nest pas rectangleen A.

Rciproque du thorme de Pythagore :Dans un triangle ABC,si BC2 = AB2 + AC2 alors ABC est rectangle en A.

De nombreuses dmonstrations de ce clbre thorme ont t proposes qui traduisentlgalit en une galit daire : laire du carr construit sur lhypotnuse est gale la sommedes aires des carrs construits sur les cts perpendiculaires. Voici lide directrice de lunedentre elles, qui repose essentiellement sur des dplacements de sous-figures.

L3 Didactique des mathmatiques Gomtrie 29

la figure initiale, on ajoute en envert, les triangles superposables au trianglerectangle initial (gris) qui bordent le carrjaune.

En dplaant les triangles verts, lairede la surface jaune nest pas modifie, elleest exactement gale la somme des airesdes carrs bleu et rose.

On comprend ici combien lide centrale de la dmonstration est lie reprsentationgraphique de la figure et combien aussi reste important le travail qui permettra de mettre enmot la dmonstration du thorme. noter encore quune telle dmonstration appartiendrait la gomtrie axiomatique naturelle puisque malgr la rdaction, les principes et lesdfinitions fondatrices restent implicites.

Voici maintenant un problme doptimisation de longueur quon pourrait prsenterdans un contexte de lespace physique :

Maud est sur la plage et construit un chteau de sable. Son frre Raphal nest pas trsloin delle, avec le seau, vide. Maud lui demande de remplir le seau deau et de le luiapporter. Le bord de mer tant rectiligne, quel sera le plus court chemin pour Raphal ?

Aprs modlisation du problme dans lespace gomtrique et reprsentation de lafigure dans lespace graphique, on se demande o placer le point P sur la droite d pour que lasomme RP + PM soit minimale.

Lorsquil est pos en situation scolaire, plutt en classe de 3e, les lves proposentgnralement lintroduction de figures prototypes supplmentaire en projetant R et M en Ret M sur la droite d. Ils proposent alors souvent de choisir comme point P soit le point R,soit le point M soit encore le milieu du segment [RM]. Ces tentatives infructueuses sontdmenties par des prises dinformations sur le dessin : le professeur ayant la solution en ttepeut proposer une autre position du point P qui minimise la longueur et les lves sassurentdu fait que leur proposition ne ralise pas un minimum par des mesures sur le dessin.

L3 Didactique des mathmatiques Gomtrie 30

Ils ragissent aussi parfois en affirmant que si le seau de Raphal tait plein, le trajet leplus court serait la ligne droite !

Lide directrice qui donne la solution ce problme est effectivement de transformerla ligne brise RPM en une ligne dlimite par trois points dont la longueur sera minimalelorsque les points seront aligns. Il suffit pour la raliser de considrer le symtrique R dupoint R par rapport la droite d. Cela revient effectuer un dplacement de la sous-figure segment [RP] en sa symtrique par rapport la droite d : le segment [RP].

On remarque alors que la somme RP + PM est gale la somme RP + PM et quilsuffit de choisir le point P lintersection de d et de (RM) pour que les points R, P et Msoient aligns, et que la somme RP + PM soit minimale.

3. Agrandissements ou rductions de sous-figures gomtriquesVoici un problme de construction :

ABC est un triangle. Construire un carr IJKL tel que les points I et J appartiennent au ct[BC], le point K au ct [AC] et le point L au ct [AB].

Lorsquil est pos des lves de lyce, lespremiers tracs aboutissent un trapzerectangle car les points I et J sont placs avantK et L. cette tape du travail, certains lvesdoutent de la possibilit de construire un telcarr.

Puis les lves tracent une parallle (KL) (BC) et considrent I et J comme les projetsde L et K. La rsolution du problmecommence alors par la recherche de laposition du point L sur le segment [AB] quiva raliser lgalit des longueurs LI et LK.Compte tenu du changement de forme durectangle lorsque L se dplace, les lves nedoutent pas quil existe une solution

L3 Didactique des mathmatiques Gomtrie 31

La recherche change ds que les lvesconsidrent le carr IJKL de ct [LI] etrecherchent une condition pour que Kappartiennent au ct [AC].

Lintroduction dun agrandissement permetalors de trouver la piste principale de laconstruction : il sagit dagrandir IJKL demanire ce que K appartiennent [AC].Avec ventuellement des agrandissementssuccessifs, les lves retrouvent une propritdalignement qui leur permet de construire lepoint K cherch puis den dduire le carrIJKL.

la fin de son article consacr lapprhension opratoire des figures, Duval (1994) conclutque la prise de conscience de lhtrognit de ces activits doit engager les professeursdans lenseignement spcifique de ces activits afin que les figures soient bien, pour leslves, un registre dexploration heuristique et servir galement de support pour construire lestextes de dmonstration ncessaires la validation gomtrique des rsultats obtenus.

III. Mesure dune figure gomtrique

Avec le dnombrement, la mesure des grandeurs a t une proccupation importante enmathmatiques, on trouve des passages relatifs la mesure dans le Papyrus Rhind qui date duXVe sicle avant J.-C. Ce nest pas lobjet de ce paragraphe que de traiter des questions quesoulvent la mesure en mathmatique, rappelons nanmoins que la mesure dune grandeurconsiste la comparer une grandeur du mme type qui a t choisie comme unit, cest--dire de savoir combien de fois la grandeur mesurer contient lunit.

La mesure est directement lie aux nombres avec lesquels elle est effectue, et il a fallulongtemps avant que lvolution des mathmatiques permette aux nombres dtre penssindpendamment des concepts de grandeurs et de mesure. Tous les manuels demathmatiques de collge rappellent lhistoire de lcole pythagoricienne qui pensait quetoute grandeur peut sexprimer comme un nombre de fois lunit, ce nombre tant unefraction dentiers. Ils voquent aussi le trouble quelle a rencontr lorsquelle a montrlimpossibilit de mesurer avec une fraction dentiers la longueur de la diagonale dun carrdont le ct est choisi comme unit.

La mesure en gomtrie a aussi connu des dveloppements important pour des raisonspratiques comme la mesure des grandeurs inaccessibles. La mesure de la pyramide Kheopspar Thals en est un exemple bien connu, on peut citer aussi la mesure de la Terre parratosthne ou le dveloppement de la trigonomtrie pour lastronomie.

Dans ce paragraphe, nous allons nous contenter daborder, travers ltude deproduction dlves, quelques aspects de lapprentissage des notions de primtre et daire

L3 Didactique des mathmatiques Gomtrie 32

qui forme une part importante de lapprentissage des mesures dans lenseignement primaireet secondaire.

1. Proprit dadditivit de la mesureLa mesure est additive, cela signifie que si deux ensembles A et B sont mesurables et

que la mesure de leur partie commune (on dit aussi de leur intersection) est nulle, alors lamesure de leur runion est gale la somme de leur mesure.

Cette proprit est utilise pour valuer laire ou le primtre dune figure, avec desadaptations ventuelles lorsque lintersection des deux ensemble na pas une mesure nulle.

Exemple dun calcul daire propos lvaluation en 6e

Dans une plaque de 132 cm, on dcoupe la lettre H en enlevant deux carrs de 16 cm chacun (carrsblancs).Quelle est laire du H en cm ? (Surface colorie)

Rponse : Laire du H est : cm

Les lves crivent pour 60% dentre eux la rponse attendue, 4% effectuent 132 16et 6% ne rpondent pas cette question.

Exemple dun calcul de primtre propos lvaluation en 6e

Le primtre du triangle A est 12 m.Le primtre du triangle B est 17 m.La figure F est forme laide desdeux triangles, comme indiqu sur ledessin.Quel est le primtre de la figure F ?

triangle B

triangle A

5 m

5 m

figure F

Cette question nest russie que par 20% des lves lentre en 6e, 5% dentre euxrpondent 24 m et 45% rpondent 29 m tandis que 8% ne rpondent pas. Manifestement, larponse 24 sobtient en tant 5 m la somme des deux primtres qui est de 29 m, et cecalcul explique la rponse errone la plus frquente. Ainsi, pour presque la moiti dentreeux, les lves appliquent la proprit dadditivit de la mesure, quil sagisse de laire ou duprimtre des figures avec une certaine confusion sur les figures considres. Le primtre(malgr ltymologie du terme) nest pas une mesure des surfaces, les figures quon mesurepar leur primtre sont des lignes, et en tant que lignes, les deux triangles A et B ont uneintersection qui nest pas de mesure nulle.Afin de mieux comprendre pourquoi le primtrenest pas une mesure des surfaces, il suffit de penser une proprit que possde aussi la mesure et quidcoule de ladditivit : si A et B sont deuxensembles mesurables tels que B comprenne A, alorsla mesure de A est infrieure la mesure de B. Cetteproprit nest pas vrifie par le primtre appliqu des figures considres comme des surfaces : ilsuffit pour le remarquer de penser une figure trsdcoupe lintrieure dune figure convexe.

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2. Confusion aire et primtre dune figureLa confusion qui vient dtre voque entre la figure en tant que ligne et la figure en

tant que surface entrane une confusion des mesures mme de ces figures. Cest ce quemontre les rponses aux questions suivantes, poses lentre en 6e.

Un terrain a t partag comme lindique la figure .Entoure la rponse qui convient et explique ton choix :

a. Laire de la parcelle A est la plus grande Les deux parcelles ont la mme aire Laire de la parcelle B est la plus grande

b. Le primtre de la parcelle A est le plus grand Les deux parcelles ont le mme primtre Le primtre de la parcelle B est le plus grand

Les lves trouvent que laire de la parcelle B est la plus grande pour 90% dentre eux,nanmoins la russite la question nest que de 60% environ car 30% des lves justifientmal leur rponse, par exemple en expliquant que B fait trois carreaux de plus que A . Unetelle explication ne rvle pas une mauvaise comprhension de laire. Les rponses laquestion sur le primtre montrent en revanche une assimilation chez beaucoup dlve desdeux mesures : seulement 30% dentre eux rpondent correctement et 45% affirment que leprimtre de la parcelle B est le plus grand.

La confusion concerne-t-elle aussi des figures courantes comme le rectangle ? Les deuxquestions suivantes poses en fin de CM2 ou en dbut de 6e montrent que la distinction entreles deux notions ne rsiste pas pour tous les lves au contexte dans lequel les questionsconcernant laire ou le primtre sont poses.

Question n1

Cette premire question a t pose des lves en fin de CM2. Malgr lambigutapparente de la question, 88% des lves inscrivent le mot AIRE dans le cadre de droite, et63% des lves posent lopration correcte pour le calcul de l'aire et 54% dentre euxobtiennent le rsultat 1500 m. Le mot PRIMTRE est crit dans le cadre du bas par 90 %des lves et 50% obtiennent 160 m.

L3 Didactique des mathmatiques Gomtrie 34

Question n2Voici un rectangle ABCD.

Laire du rectangle ABCD est : ................ cm.

La valeur de laire est donne par 30% des lvesseulement et 35% dentre eux rpondent 16, cest--dire la valeurdu primtre.

5 cm

3 cm

D

A

5 cm

C

3 cm

B

Sans doute le fait davoir indiqu les quatre dimensions du rectangle a-t-il perturb leslves qui, par effet de contrat, ont tenu utiliser toutes les donnes numriques du problme.Malgr cette rserve quant aux conclusions que permettent de tirer les rponses obtenues, onretiendra une certaine fragilit des apprentissages.

3. Les formules daire et de primtreLes difficults dapprentissage des notions daire et de primtre ont incit les

concepteurs de programme et par consquent les professeurs limiter lenseignement lareconnaissance et lapplication de formules. Ainsi, quand la question du calcul de laire oudu primtre dune figure est pose, llve recherche la bonne formule appliquer avec lesvaleurs fournies.

Analysons encore un exemple issu de lvaluation nationale lentre en 6e :Quelle est laire de ce triangle ?

cette question, les rponses errones sont, dans lordre deleur frquence dcroissante : 108 cm ; 42 cm et 93 cm.

Attribuons de manire fictive, trois lves A, B et C ces troisrponses respectivement.

9 cm

12 cm

15 cm

La formule de laire du triangle nest pas induite par la disposition classique duntriangle pos sur son plus long ct, en revanche la disposition du triangle rappelle celle durectangle. Ainsi peut-on expliquer que llve A calcule laire du rectangle dont les cts sont9cm et 12cm, cest--dire les cts perpendiculaires du triangle rectangle. Llve B calculele primtre de ce rectangle, peut-tre en partie assimilable un effet de contrat qui le conduit utiliser toutes les donnes numriques. Pour le dernier lve, on remarque aussi lutilisationdes trois donnes numriques. Llve C calcule ainsi laire du rectangle et retire, non pas lamoiti du rsultat trouv mais 15 qui figure dans lnonc la place du triangle dont il fautcalculer laire.

Le recours aux formules semble une fois de plus facilement perturb par le contextedans lequel la question est pose. En outre, la reconnaissance de la formule utiliser nest passuffisante son application correcte. Cest ce que montre lexemple ci-dessous, pos, luiaussi, lentre en 6e.La figure ABCD reprsente un paralllogramme.Les mesures sont : AB = DC = 6cm ; AD = BC = 4 cm ; AE = 3 cma. Entoure, dans le formulaire la formule qui te permettrade calculer laire de ABCD. b. Calcule laire de ce paralllogramme.Le formulaire na pas t reproduit ici, mais indiquons que la reconnaissance visuelle de laforme paralllogramme ntait pas indispensable pour trouver la bonne formule car le

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nom de chaque quadrilatre du formulaire tait indiqu. Le nombre de non-rponses, prochede 30%, montre le peu dattrait pour cette question. Parmi les 70% des lves qui rpondent,certains se trompent car la bonne formule est identifie par 60% des lves interrogs. Lavaleur exacte (18) nest obtenue que par 30% des lves environ. Plus de 15% dentre euxrpondent 24 calculant le produit des cts du paralllogramme, comme sils utilisaient laformule du rectangle, ainsi gnralise dautres quadrilatres. 5% des lves calculent leprimtre du paralllogramme et rpondent 20, et 35% des lves obtiennent dautresrsultats. Il reste 15% des lves qui ne rpondent pas, et il est intressant de noter que cenombre est de moiti infrieur celui des non-rponse la question de la reconnaissance dela formule.

Devant ces difficults dapprentissage rcurrentes, les auteurs des derniersprogrammes pour lcole primaire, ont supprim lenseignement des formules ce niveau etont recommand aux professeurs dinsister davantage sur le sens des notions daire et deprimtre. Citons ce texte : Les concepts de primtre et daire ne doivent pas se rduirepour llve des nombres ou des formules associs des figures. Il est ncessaire de mettreen place des activits qui permettent aux lves de distinguer les deux notions.

Les traitements dune figure en gomtrie sont donc diffrents en fonction de la thoriegomtrique sous-jacente au travail, et en fonction de lobjectif de ce travail. Danslenseignement primaire et secondaire franais, comme lexplique trs bien Aline Robert(2003), le niveau de conceptualisation de lespace gomtrique nest pas suffisant pour que lathorie, les problmes et les mthodes de rsolution gomtriques puissent se dispenser defigures. Le travail sur la figure y est donc indispensable.

Les nombreux exemples dutilisation des figures qui ont t prsents illustrent lagrande diversit de ce travail. Diversit qui conduit Raymond Duval (2005) conclure que lamanire mme de voir une figure, dpend de lactivit du sujet par rapport cette figure. Ilpropose ainsi un classement des utilisations des figures en fonction de lactivit gomtriqueet distingue pour cela quatre manires de voir une figure quil associe quatre typesdactivits :- la manire de voir qualifie de botaniste est centre sur la forme de la figure. Il sagit

pour le sujet dapprendre reconnatre la figure. En ralit, cette activit na rien degomtrique car elle ne fait appel aucune proprit de la figure ;

- la manire de voir qualifie d arpenteur est centre sur les dimensions de la figure etdes figures lmentaires qui la composent. Il sagit pour le sujet de mesurer des longueursavec une ventuelle mise en correspondance entre les longueurs relles, sur un terrain parexemple, et les longueurs du dessin qui en est un plan ;

- la manire de voir qualifie de constructeur est centre sur les instruments quipermettent de raliser la figure. Il sagit pour le sujet de mettre en relation la perceptionvisuelle des formes avec dune part les proprits gomtriques lorigine de ces formes,et avec dautre part les instruments qui permettent de reprsenter ces proprits et donc deconstruire ces formes ;

- la manire de voir qualifie d inventeur - bricoleur est centre sur lorganisation dessous figures qui composent la figure. Il sagit pour le sujet de produire des propritsnouvelles ou des figures nouvelles fondes par une relation de ncessit entre lesproprits de la figure donne et celles qui sont produire.

L3 Didactique des mathmatiques Gomtrie 36

E. Difficults dapprentissage de la gomtrie : quelques exemples

Pour terminer cette introduction la didactique de la gomtrie, quelques difficultsdapprentissage sont examines et interprtes.

I. Des connaissances spatiales aux connaissances gomtriques

1. Difficults lies aux connaissances spatialesLapprentissage de la gomtrie par les jeunes enfants repose sur une structuration

de lespace qui dpend troitement de ses connaissances spatiales. Ces connaissances seforment de manire progressive par l'intriorisation des actions effectives dans et surlenvironnement spatial du sujet. Certains auteurs attribuent des difficults en gomtrie,notamment en gomtrie de lespace, au fait que des lves auraient vcu trop peudexpriences relatives lespace (motricit, etc.) dans leur enfance, ou au fait que lesenseignants proposent trop prcocement de travailler sur des reprsentations et non sur desobjets, ou sur des actions visualises et non excutes.

2. Difficults lies la particularit ou la prgnance des images prototypesComme nous lavons dj montr, les figures prototypes aident le travail gomtrique,

mais leur particularit peut tre source de difficult, par exemple pour reconnatre une figuregomtrique. Un exemple bien connu est celui des droites perpendiculaires o les directionshorizontal