Dynamika bryły sztywnej

Bryła sztywna – zbiór punktów, przy czym dla dowolnych dwóch

punktów A i B ich wzajemna odległość rAB jest stała w czasie,

niezależnie od przyłożonej siły.

A

BrAB

2

2ii

kivm

E i

iik

vmE

2

2

ii rv

i

iii

iik rm

rmE 2

222

22

i

ii rmI 2 moment bezwładności układu punktów materialnych względem danej osi obrotu

2

2IEk

dmrI 2moment bezwładności bryły sztywnej względem danej osi obrotu

Energia kinetyczna i-tego punktu materialnego

Energia kinetyczna układu punktów materialnych

Energia kinetyczna w ruchu obrotowym

r2

2mrI

124

22 mlmrI

3

2mlI

5

2 2mrI

2mrI r

l

Twierdzenie Steinera

20 mdII

0I

d

I

20 5

2mrI rd

3

2

222

2

45

38

9

4

5

2

3

2

5

2mrmrrmmrI

r

mv

K

prK

Moment pędu (kręt)

prKprrpK,),,(sin

Moment siłyFrM

Zależność między momentem siły i przyspieszeniem kątowym

),(sin FrrFM

IM IM

II zasada dynamiki dla ruchu obrotowego wokół stałej osi obrotu

Ogólna postać II zasady dynamiki dla ruchu obrotowego

Mdt

Kd

Szybkość zmian momentu pędu jest równa momentowi siły

constKdt

KdM

00

r

rrfF

)(

0)(

r

rrrfFrM

zewMdt

Kd

Zasada zachowania momentu pędu

Moment pędu jest stały gdy nie działa zewnętrzny moment siły.

Siła centralna

moment siły centralnej

   

IK

constK

constI

2211

II

Związek pomiędzy krętem a prędkością kątową

Jeśli moment pędu jest zachowany to oznacza, że:

Ruch postępowo-obrotowy bryły sztywnejtoczenie ciał

Jak opisać taki ruch?

Załóżmy, że cylinder toczy się po poziomej powierzchni bez poślizgu

Dowolny punkt toczącego się cylindra obraca się wokół chwilowej osi prostopadłej do płaszczyzny rysunku i przechodzącej przez punkt P, prędkość liniowa każdego punktu jest prostopadła do linii łączącej ten punkt z punktem P

wartość bezwzględna tej prędkości jest proporcjonalna do odległości między punktami

rv

rv,

r

P

S

Cylinder obraca się wokół punktu P z prędkością kątową w danej chwili – jest to więc czysty ruch obrotowy.Energia kinetyczna takiego ruchu

2

2

1 IEk

Z twierdzenia Steinera wynika

a więc energia kinetyczna cylindra wynosi

2mrII S

222

2

1

2

1 mrIE Sk

Iloczyn jest prędkością liniową środka masy cylindra względem nieruchomego punktu P

r

22

2

1

2

1SSk mvIE

Prędkość środka masy względem punktu P jest taka sama jak prędkość punktu P względem środka masy stąd prędkość kątowa środka masy wokół punktu P jest taka sama jak prędkość kątowa punktu P wokół środka masy

22

2

1

2

1SSk mvIE

energia kinetyczna obracającego się cylindra

energia kinetyczna cylindra poruszającego się ruchem postępowym

P

S

Dowolny punkt znajdujący się na obwodzie walca obraca się z prędkością v i z taką samą prędkością porusza się prostoliniowo