1

KONTROL SİSTEMLERİ(ELT302)

Dr.Erkan KAPLANOĞLU

İçerik1) Kontrol sistemlerine giriş2) Kontrol sistemlerinin yapısı ve kullanım alanı. Otomatik kontrol ile ilgili örnek

uygulamalar.3) Laplace dönüşümleri ve özellikleri.Bazı standart giriş fonksiyonları ve bunların

Laplace dönüşümleri4) Transfer fonksiyonun tanımı ve Blok şemaları,5) İşaret Akış Diyagramları6) Fiziksel Sistemlerin Matematiksel Modellemesi7) Birinci ve İkinci dereceden transfer fonksiyonun temel parametreleri8) Doğrusal Kontrol Sistemlerinin Zaman Tanım Bölgesi Analizi9) Kararlılık: Tanım ve Routh-Hurwitz kararlılık kriteri10) Açık ve kapalı çevrim sistemler: kararlılık, duyarlılık, izleme ve bozucu etki

tepkeleri11) İleri beslemeli ve geri beslemeli denetleyici yapıları12) Kontrol Sistemlerinin Tasarımı13) Tipik geri beslemeli kontrolörler:Oransal (P),oransal ve entegral (PI),oransal,

entegral ve türev (PID)14) Mekatronik sistemlerde kontrol uygulamaları

Tarihçe Çok eski çağlardan beri insanoğlunun çok basit de olsa "kendi kendine

çalışma sistemine" göre çalışan "otomatik makineler" yaptığıbilinmekteydi. Bu aletler daha çok hayvan taklitleri yapan oyuncak biçimi aygıtlar (M.Ö. 430 yılında Taretumlu Achytas'ın yaptığı otomatik güvercin) veya zamanı ölçmeye (İskenderiyeli Ktesbios (Heron) M.Ö. 285-247 de yaptığı su saati) ve su kemerlerindeki su düzeyini sabit tutmaya çalışan sistemlerdi. Bizde ise 1205'lerde yaşamış olan Cizreli Eb-ül-iz adında bir Türk bilgininin Diyarbakır'da otomatik makinalaryaptığı bilinmektedir. Batı Dünyasında "al cazari" olarak da bilinen Cizreli Eb-ül-iz İbni İsmail İbni Razzaz'ın su saatleri, müzik otomatlar ve kuyu yada akarsulardan su çıkaran tulumlar üzerinde tasarımlar yaptığıve bunların imalatını gerçekleştirdiği ileri sürülmektedir. Bütün bu örneklerde; makinenin, işlemden elde edilen bilgileri uyarınca çalıştırılması temeline dayalı geribesleme ilkesi kullanılmıştır.

Sanayi Devrimi'nin başlangıç yıllarında bulunan geribeslemelisistemler olarak Hollandalı C. Drebeelin (1572-1633) sıcaklık düzenleyicisi, Fransız D. Papin'in (1647-1712) buhar kazanları için bulduğu basınç düzenleyicisi gibi örnekler sayılabilir.

Tarihçe(devam)Endüstriyel alanda kullanılan ilk geribeslemelikontrol organı ise James Watt'ın 1769'da geliştirdiği toplu hız düzenleyicisidir (regülatör). Bu aygıt buhar makinesine buhar akışını ayarlayarak, yük değişimlerine rağmen buhar makinesinin sabit bir hızla çalışmasını sağlıyordu. Tamamen mekanik olan bu aygıt çıkış milinin hızını mekanik olarak ölçer ve bu hıza bağlı hareket eden metal küreciklerin hareketinden yararlanarak buhar valfininaçılıp kapanmasını ve dolayısıyla makineye giren buhar miktarını denetler.

Tarihçe(devam) Tarihçe(devam)Makinenin hızı artınca merkezkaç kuvvetin etkisi ile metal kürecikler yukarı kalkmaya çalışır ve buna bağlı olarak da çubuk-manivela mekanizması valfıkapamaya çalışır. Aksi bir durumda kürecikler aşağıya doğru hareket ederek valf açmaya çalışır. Metal kürecikler; hız ölçümü ve valfın hareketi için gerekli gücü makineden çektiklerinden hız ölçümünütam doğrulukta sağlayamazlar. Kürecikli hız düzenleyici hız kontrol uygulamalarında bugün halen kullanılmaktadır. Yalnız burada tamamen mekaniksel sistemler yerine valf hareketinde yüksek servo motorlar yer alır.

2

Basit Sıvı Seviye Kontrol Sistemi Blok Diyagramı

İyi Bir Kontrol İçin Gerekli Konular

Kontrol sisteminin başarıya ulaşması için aşağıdaki konular göz önünde bulundurulması gerekir: Sistem(Kontrol edilecek Süreç) Amaç Algılayıcılar Eyleyiciler(Aktüatörler) Haberleşme Hesaplamalar Mimari ve Arayüz Algoritmalar Bozucu etkiler ve Belirsizlikler

İyi Bir Kontrol Sisteminden Beklenen Çalışma 1) Sistem de meydana gelen herhangi bir bozucu etkiden sonra bile

değişkenin değeri set değerinden minimum şekilde sapma olmalıdır. Çalışan sistemler, sürekli bozucu etkiler altındadır. Örnek elektrik motorunun aniden yüklenmesi veya aniden üzerindeki yükün kalkmasıgibi. Yine elektrik motorunun sargılarına uygulanan gerilimin ani değer değiştirmesi bozucu etki olarak ifade edilir.

2) Bozulma sonunda , normal çalışmaya en kısa zamanda dönebilmelidir. Örneğin elektrik motoru ani bir bozucu etki ile karşılaşmışsa, buradaki devir regülatörü, bu değişimi hemen hissetmelidir ve hemen düzeltici önlemi almalıdır. Burada istenen, bozulma ile normale dönme arasındaki zaman çok kısa olmalıdır.

3) Çalışma şartlarında meydana gelen değişmelerden ötürü olacak sapma set değerinden minimum seviyede olmalıdır. Yine örneğimizi elektrik motoru ile sürdürecek olursak, motorun yükündeki değişme veya giriş gerilimindeki değişimler bir devir değişikliği yaratacaktır. Ancak bu durum da istenen, her ne kadar değişim olsa da istenen değerden çok uzak olmamalıdır. Yani set değerine yakın olmalıdır.

Better ControlProvides more finesse by combining sensors and actuators in more intelligent ways

Better ActuatorsProvide more Muscle

Better SensorsProvide better Vision

Kontrolde Temel Kavramlar

Başvuru giriş

Elemanları

HataSinyali

e(t)KontrolOrganı

Motor ElemanVeya Sürücü

Elemanı

Kontrol edilenSistem

DüzeltmeSinyali

a(t)

Bozucu Girişd(t)

ÇIKIŞ

GeribeslemeElemanı

Karşılaştırıcı

GİRİŞKumanda Sinyali

V(t)

BaşvuruGirişi

r(t)

kontrolSinyali

m(t)

GeribeslemeSinyali

b(t)

KontrolDeğ işken

c(t)

3

SİSTEM (SYSTEM): KONTROL (CONTROL):

KONTROL SİSTEMİ (CONTROL SYSTEM): OTOMATİK KONTROL (AUTOMATIC CONTROL): KONTROL EDİLEN SİSTEM (SYSTEM or PLANT): GİRİŞ (INPUT): ÇIKIŞ (OUTPUT): BAŞVURU GİRİŞ ELEMANI (REFERENCE INPUT ELEMENT): BAŞVURU GİRİŞİ (REFERENCE INPUF); r(t): KARŞILAŞTIRICI VEYA HATA SEÇİCİ (COMPARATOR OR

ERROR DETECTOR); HATA VE SAPMA (ERROR AND DEVİATİON); e(t): KONTROL ORGANI (CONTROLLER OR CONTROL ELEMENT): SON KONTROL ELEMANI VEYA MOTOR ELEMAN (ACTUATOR

0R MOTOR ELEMENT): KONTROL SİNYALİ (CONTROL SIGNAL OR MANIPULATED

VARIABLE);M(T): KONTROL EDİLEN SİSTEM (CONTROLLED SYSTEM OR PLANT ÇIKIŞ VEYA DENETLENEN DEĞİŞKEN (CONTROLLED

VARIABLE); e(t):

BOZUCU GİRİŞLER (DİSTURBANCE INPUTS); GERİBESLEME SİNYALİ (FEEDBACK SIGNAL); GERİBESLEME ELEMANI (FEEDBACK ELEMENT): GERİBESLEME YOLU (FEEDBACK PATH): İLERİBESLEME ELEMANLARI (FEEDFORWARD OR FORVVARD

ELEMENT): İLERİBESLEME YOLU (FEEDFORWARD PATH): SÜREÇ kontrol SİSTEMİ (PROCESS CONTROL SYSTEM): NÜMERİK KONTROL (NUMERICAL CONTROL): DOĞRUDAN SAYISAL KONTROL (DIRECT DIGITAL CONTROL): UYARLAMALI KONTROL (ADAPTIVE CONTROL): BİLGİSAYARLI KONTROL (COMPUTER CONTROL): DUYARGA (SENSOR, DETECTOR): DÖNÜŞTÜRGEÇ (TRANSDUCER):

Tanımlar Kontrol sistemleri, genel olarak, çalışan

sistemlerin insan gücüne gerek kalmadan denetlenmesini, kontrol edilmesini konu olarak alır.

TanımlarSİSTEM; Genel anlamda: Plana uygun bir amacı gerçekleştirmek üzere tasarlanmış

çeşitli bileşenlerin oluşturduğu bütündür. Fiziksel anlamda: Bir amacı gerçekleştirmek için düzenlenmiş ve bütün bir

birim olarak hareket etmek üzere birleştirilen etkileşimli veya ilişkili fiziksel elemanlar düzenidir.

Giriş: Sistem içerisine akan, sistem tarafından işlenen işaretler, büyüklükler.

Çıkış: Sistem dışına çıkan,işlem görmüş işaretler, büyüklükler.

DinamikSistem

Girişler Çıkışlar

Sisteminsınırı

Tanımlar(Devam) KONTROL (Control): kontrol kelimesi genellikle ayarlamak, düzenlemek,

yöneltmek veya kumanda etmek anlamlarına gelir. Tanım olarak; bir değişken niceliğin ya da değişken nicelikler kümesinin önceden belirlenmiş bir koşula uyumunu sağlamaya yönelik olarak gerçekleştirilen işlemler bütünüdür.

KONTROL SİSTEMİ (Control System): Kendisini veya diğer bir sistemi kumanda etmek, yönlendirmek veya ayarlamak üzere birleştirilen fiziksel organlar kümesidir. Mühendislik açısından kontrol sistemi, en az veya hiçbir insan girişimi gerektirmeyecek şekilde, arzu edilen işlevleri ve sonuçlarısağlamak üzere bir araya getirilen makine, süreç (process) ve diğer aygıt donanımlarının (Instrumentation) otomatik çalışmasını ifade eder. kontrol sistemleri, denetlenen niceliklerin değerlerini sabit tutar ya da bu değerleri, önceden belirlenmiş biçimde değişmesini sağlar.

GERIBESLEME ELEMANI (Feedback Element): Kontrol edilen çıkışsinyali ile geribesleme sinyali arasında işlevsel bağıntı kuran elemandır. Geribesleme elemanları özellikle denetlenen değişken ile başvuru girişsinyalinin farklı fiziksel yapıda olduğu durumlarda bir dönüştürgeçten(transducer) ibarettir. Geribesleme elemanı denetlenen değişkenin ölçülen değerini sağlar. Genellikle geribesleme elemanı bir ölçü elemanı biçimindedir.

Açık Çevrim Kontrol Sistemleri Kontrol işlemi üzerinde, çıkışın etkisinin olmadığı sistemler açık çevrim kontrol olarak bilinir. Diğer bir deyişle, bir açık kontrol sisteminde ne çıkış ölçülür ne de referans girişle karşılaştırmak için geri beslenir. Açık çevrimli kontrol genelde, kumanda edilen sistemin yapısının ve sisteme etkiyen diğer girişlerin önceden çok iyi bilindiği uygulamalarda kullanılır. Açık çevrim kontrol sisteminde çıkış, referans giriş ile karşılaştırılmadığından, her referans giriş sabit bir operasyon şartına karşılık gelir. Sonuçta, sistemin hassasiyeti kalibrasyona bağlıdır. Zamana göre operasyon yapan her sistem, açık çevrimdir. Örnek olarak, trafik sinyalizasyonunu ve çamaşır makineleri verilebilir. Şekilde, açık çevrimli kontrole ait blok şeması verilmiştir

Şekil Açık çevrim kontrol blok diyagramı

4

Kapalı Çevrim Kontrol Sistemleri

Şekil kapalı çevrim kontrol blok diyagramı

Bir kontrol çevriminde kontrol ve kumanda, sistemin çıkışlarındaki değişmelere doğrudan bağımlı olarak belirleniyorsa, kontrol çevrimi kapalıdır. Kumandanın çıkışlardaki değişmelerden etkilendiği, bu değişmelere göre belirlendiği kontrol sistemine kapalı çevrimli kontrol adi verilir. Sistem çıkışındaki değişmeler, kumandanın belirlenmesi için önceki adımlara geri gönderildiğinden geri beslemeli kontrol çevrimi de denir.

Düzenleyici denetim ( regulator)

Başvuru girişinin uzun zaman değişmediği veya sabit tutulduğu geri beslemeli sistemdir.

Regülator (Düzenleyici) Sistemler

Yükselteç

YÜK

Takometre

motor

DA kaynak

Vt

Vr

+

-+

++

--

-

G

H

Servomekanizma, servo (Servomechanism)

Çıkışın mekaniksel; konum, hız ve ivme olduğu geribeslemeli denetim sistemidir.

Servo Sistemler

Yükselteç

YÜK

motor

DA kaynakVe

m

++

- -

c

dişli

+

-

Vm

+

-

Vr

rGiriş kadranı

Vc

I

Süreç Denetim Sistemi(Process Control System)

Çıkışı; sıcaklık, basınç, akış, seviye ve pH gibi değişkenler olan düzenleyici denetim tipinde geribeslemeli denetim sistemidir.

5

Kontrol Sistemlerinin Tasarım İlkeleri Kontrol sistemlerinden ilk istek, her kontrol

sisteminin kararlı olmasıdır. Mutlak kararlılık yanında, bir kontrol sistemi kabul edilebilir bir bağıl kararlılığa sahip olmalıdır, yani cevap kabul edilebilir bir sönüm göstermelidir. Cevap hızı kabul edilebilir şekilde hızlı olmalıdır.

Bir kontrol sistemi, hataları sıfıra veya toleranslar içerisinde bir değere indirebilmelidir. Her kullanışlı kontrol sistemi bu istekleri karşılamalıdır.

Laplace Dönüşümleri

•Karmaşık sayılar•Laplace Dönüşümünün temelleri•Temel giriş fonksiyonları ve Laplace Dönüşümleri•Ters Laplace Dönüşümü•Adi diferansiyel denklem çözümü

Karmaşık sayı düzlemiSanal eksen (j)

Gerçek eksen

jyxz

x

y

jyxz y

22||||

)arctan(

yxzrzxyz

r

r

)sin(.)cos(.

ryrx

Karmaşık sayıların gösterimijyxz

22

)arctan(

yxrxy

sincos je j

- Dik koordinat sistemi

- Kutupsal koordinat sistemi r

jrez - Üstel olarak

Karmaşık sayı işlemleri111 jyxz - Toplama ve çıkarma işlemi

- Çarpma ve bölme işlemi

222

111

rzrz

222 jyxz

)()( 212121 yyjxxzzz

)()/(/)().(.

212121

212121

rrzzz

rrzzz

2

1

22

11

j

j

erzerz

)(

2121

)(2121

21

21

)/(/

).(.

j

j

errzzzerrzzz

s-karmaşık Değişken

111 js

j

1

1

Karmaşık s değişkeni gerçek ve sanal olmak üzere iki kısımdan oluşur.

Karmaşık s - düzlemi

js

6

Karmaşık değişkenin fonksiyonu

111 js j

1

1

Herhangi bir s değerine bir veya daha çok G(s) değeri karşı düşüyor ise G(s) fonksiyonu s karmaşık değişkenin bir fonksiyonudur ve gerçek ve sanal kısımdan oluşur.

s-düzlemi

)(Im)(Re)( sGjsGsG

)( 1sG

GRe

Gj Im

G(s)-düzlemi

s-düzleminden G(s)-düzlemine tek değerli görüntüleme

Analitik fonksiyon

Eğer s-düzleminin bir bölgesinde s-karmaşık değişkenin bir fonksiyonu olan G(s) fonksiyonunun kendisi ve tüm türevleri mevcut ise, söz konusu bölgede analitik fonksiyon olarak adlandırılır.

)1(1)(

ss

sG

2)( ssG

s=0 ve s=-1 noktaları dışında analitiktir.

s-düzleminin her noktasında analitiktir.

Tekil noktalar ve kutuplar

Bir fonksiyonun s-düzleminde tekil noktaları,fonksiyonun ya da türevinin bulunmadığınoktalardır. Kutup en yaygın tekil noktadır.

Fonksiyonun s = si’de sonsuz olması için G(s)’nin paydasında (s - si)r çarpanının bulunması gerekir. r = 1 ise s = si’deki kutba katsız kutup denir

2)3)(1()2(10)(

sssssG

s=0 ve s=-1’de iki adet katsız kutup

s=-3’de bir adet katlı, s=0 ve s=-1’de

İki adet katsız kutup (toplam dört kutup)

)1(1)(

ss

sG

G(s) fonksiyonu si civarında analitik, tek değerli ve

)()(lim sGss ri

ss i

limiti sıfırdan farklı sonlu bir değer alıyor ise G(s)’nin s = si ’de r katlı bir kutbu vardır.

Fonksiyonun sıfırı

G(s) fonksiyonu s = si’de analitik ve

2)3)(1()2(10)(

sss

ssG

Sonlu sıfırı yok, sonsuzda iki sıfır

s=-2’de bir adet sonlu sıfır ve sonsuzda üç sıfır (toplam dört sıfır)

)1(1)(

ss

sG

limiti sıfırdan farklı sonlu bir değer alıyor ise G(s)’nin s = si ’de r katlı bir sıfırı vardır.

)()(lim sGss ri

ss i

Bir rasyonel fonksiyonda sonsuzdakilerde sayıldığında, sıfır ve kutupların sayısı eşittir

Laplace Dönüşümü

“zor” problem

0)0(')0("

yyteyy t

“basit” denklem

Çözüm YÇözüm y

22

)1(1)1(

s

YsL

1L

Cebrik işlemÇöz ?

22 )1)(1(1

ssY

tt etetty 21

21cos

21)(

t s

Zaman düzlemi Laplace veya karmaşık frekans düzlemi

Laplace

dönüşümü

Ters

Laplace

dönüşümü

Laplace Dönüşüm Çifti

0

)( dtetfsFtf stL

jc

jc

stdsesFj

tfsF21)(1L

7

Birim Basamak fonksiyonu u(t)’nin Laplace dönüşümü

.

ss

edtesUtust

st 1)()(0

0

L

u(t)

t

1

0100

)(tt

tu

Ötelenmiş Basamak fonksiyonu

.

seTtu

sT

)(L

1

TtTt

Ttu10

)(

T t

f(t)u(t-T)

Darbe fonksiyonu

.

)1()()()()( sTeshTthuthutfsF LLL

h

TttTth

tf,00

0)(

T t

f(t)

Ani Darbe fonksiyonu

.

00/lim

0

tIht

h

t0 t

f(t)

t

f(t)

I=h t0

I=1 için birim ani darbe adını alır.

Birim ani darbe (t) ile gösterilir ve Laplace dönüşümü 1’dir.

1)( dtt

Rampa fonksiyonu

.

20

)(sAdteAtAtsF st

L

000

)(tAtt

tf

t

f(t)

f(t)=At

1

! n

n

sntL

e-at’nin Laplace dönüşümü

.

)(1

)( 0

)(

0

)(

0

asase

dtedteee

tas

tasstatat

L

e-at

t

atetf )(

8

Fonksiyonun türev ve integralinin Laplace dönüşümü

.

f(0)-(s) sf(0)-L(f(t))L Fsdtdf(t)

dtds

tdt

s 0

1 )()( sFs

tfs

f(t)dtt

0

1L

1L

f(0) değeri Başlangıç değer teoremi

f(t) sonlu bir değere yakınsar mı? F(s)’nin kutupları

f(t) salınım yapar mı? F(s)’nin kutupları

Kararlı halde f(t) değeri ne olur (yakınsama varsa) Son değer teoremi

Laplace Dönüşümü f(t) hakkında ne söyler ?

.Başlangıç Değer

f(t) fonksiyonun t 0’a giderken alacağıdeğer:

f(t) = e -t

F(s) = 1/(s+1)

f(0 ) = Lim s /(s+1) = 1s

Örnek

)(.lim)(lim 0 sFstf st

Son Değer

f(t) fonksiyonun t ’a giderken alacağı değer:

f(t) = e -t

F(s) = 1/(s+1)

f() = Lim s /(s+1) = 0s 0

Örnek

)(.lim)(lim 0 sFstf st

Başlangıç ve Son değer teoremi

Fonksiyonun Laplace dönüşümü

Son değer teoreminin uygulanması

Başlangıç değer teoreminin uygulanması

)4()2(2)(

ssssF

41

)40()20(2)(.lim)(lim 0

sFstf st

0)4()2(

2)(.lim)(lim 0

sFstf st

Laplace Dönüşüm Teoremleri

.

9

Laplace Dönüşüm Çiftleri

.

f(t)=5u(t)+3e -2t ‘nin Laplace dönüşümü

)2(108

235)(

23][3]3[

5)]([5)](5[

22

sss

sssF

see

stutu

tt LL

LL

Kısmi kesirlere ayırma (basit kutuplar)

)())(()(

)()()(

21 nsssssssQ

sPsQsG

)()2()1()( 21

snsK

ssK

ssKsG snss

)())(()(

)()()(

13121

1

111

nsss ssssss

sQsPsQssK

Kısmi kesirlere ayırma (basit kutuplar)

)2)(1(3)(

ss

ssG)2()1(

)( 21

sK

sK

sG

1)21(3)2(

)2)(1(3)2(

2)12(3)1(

)2)(1(3)1(

22

11

s

s

ssssK

ssssK

)2(1

)1(2)(

sssG

tt eesGtg 21 2)()( L

Residue (Matlab)

>> [R,P,K] = residue([1 3],[1 3 2])

R =

-1

2

P =

-2

-1

K =

[]

mmjPsmjR

jPsjR

jPsjR

sKnPs

nRPsR

PsR

sAsB

))1(()1(

))1(()1(

)()(

)()(

)()2(

)2()1(

)1()()(

2

kökler; Katlı

kökler; Basit

12

21

233)( 2

ssss

ssG

Kısmi kesirlere ayırma (basit kutuplar)

)3)(2)(1(35)(

sssssG

)3()2()1()( 321

sK

sK

sKsG

6)32)(31(

3)3(5)()3(

7)23)(21(

3)2(5)()2(

1)13)(12(

3)1(5)()1(

33

22

11

s

s

s

sGsK

sGsK

sGsK

)3(6

)2(7

)1(1)(

sss

sG

ttt eeesGtg 321 67)()( L

10

Kısmi kesirlere ayırma (katlı kutuplar)

rirn ssssssss

sQsPsQsG

))(())(()(

)()()(

21

ri

r

ii

rn

rnsss

ssA

ssA

ssA

ssK

ssK

ssKsG

)()(

)()()()(

221

)(

2

2

1

1

i

i

i

i

ssr

ir

r

ssr

ir

ssr

ir

ssr

ir

sGssdsd

rA

sGssdsdA

sGssdsdA

sGssA

)()()!1(

1

)()(!2

1

)()(

)()(

1

1

1

2

2

2

1

(n-r) adet basit kutup

r adet katlı kutup

Kısmi kesirlere ayırma (katlı kutuplar)

)2()1(1)( 3

sss

sG3

32

2120

)1()1()1()2()(

sA

sA

sA

sK

sKsG

21)()2(

21)(

22

00

s

s

sGsK

ssGK

1)2(

1!2

1)()1(!2

1

0)2(

1)()1(

1)2(

1)()1(

12

2

13

2

2

1

11

32

11

33

ss

ss

ss

ssdsdsGs

dsdA

ssdsdsGs

dsdA

sssGsA

3)1(1

)1(1

)2(21

21)(

sssssG

Residue (Matlab)

sssssssssG

27951

)2()1(1)( 23453

R =

0.5000

-1.0000

-0.0000

-1.0000

0.5000

P =

-2.0000

-1.0000

-1.0000

-1.0000

0

K =

[]

[R,P,K] = residue([1],[1 5 9 7 2 0])

3)1(1

)1(1

)2(21

21)(

sssssG

ssssssG 5.0

)1(1

)1(0

)1(1

)2(5.0)( 32

Katsız Karmaşık Eşlenik Kutuplar

jj

jj

jj

sGjsK

sGjsK

jsK

jsK

sG

)()(

)()(

Re(s)

Im(s)

x

-x -

js

js

Diferansiyel Denklem Çözümü

0)0(')0(2862

2

yyydtdy

dtyd

Dif. Denk. ve başlangıçkoşulları

Her terime Laplace dönüşümü uygula

Y(s)’yi bul

Kısmi kesirlere ayır

Her terime ters Laplace dönüşümü uygula

ssYsYssYs /2)(8)(6)(2

)4()2(2)(

ssssY

)4(41

)2(21

41)(

sss

sY

4241)(

42 tt eety

F(s)=5/(s2+3s+2) nin ters Laplace Dönüşümü

)()55()]([

25

15)(

5|1

5|)()2(

5|2

5|)()1(

21235)(

21

222

111

212

tueesFf(t)

sssF

ssFsk

ssFsk

sk

sk

sssF

tt

ss

ss

L

:Sonuç

11

F(s)=(2s+3)/(s3+2s2+s) nin ters Laplace Dönüşümü

tt

s

ss

ss

ss

teetfsss

sF

sssk

ss

dsdsFs

dsdk

sssFsk

ssssFk

sk

sk

sksF

33)()1(

11

33)(

31

12|)1)(32()2(

|]32[|)]()1[()!12(

1

1|32|)()1(

3|)1(32|)(

)1(1)(

2

1221

112

21

112

22

0201

222211

F(s)=10/(s3+4s2+9s+10) nin ters Laplace Dönüşümü

)2sin()2cos(22)()4.1532cos(23.22)(

4.153/118.1)90/4)(4.63/236.2(

10)4)(21(

10)2121)(221(

10

|)21)(2(

10)()21(

2|4)1(

10|)()2(

21212)(

]2)1)[(2(10

109410)(

2

2

2

2

212

2221

*221

2223

teteetfteetf

k

jjjjjk

jsssFjsk

ssFsk

jsk

jsk

sksF

ssssssF

ttt

ott

ooo

js

ss