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Exercices sur le calcul vectoriel 1/8

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Exercice 1 Étude de l’angle d’inclinaison de la vis sans fin d’un élévateur dans une position donnée. 1) Parmi les coordonnées suivantes (10 ; 10), (42 ; 41) et (53 ; 11), déterminer les coordonnées des points A, B et C.

2) Calculer les coordonnées des vecteurs AB et AC .

3) Calculer le produit scalaire AB AC⋅ .

4) Calculer les valeurs exactes des normes des vecteurs AB et AC .

5) Pour la suite du problème, afin de simplifier les calculs et compte tenu de la précision attendue, on prendra : AB AC⋅ = 1407 AB = 43 et AC = 45.

Calculer, arrondie au degré, une valeur de l'angle ( ) ; AB AC .

(D’après sujet Bac Pro Maintenance des matériels A, B et C Session 2004)

La figure 2 est la schématisation de l'élévateur à vis sans fin de la figure 1. La figure 3 est le schéma placé dans un plan rapporté à un repère orthonormal d’unité graphique 1mm.

A

C

B

figure 2

figure 3 A

C

B

O 10

10

y

x

figure 1



Exercice 2 Dans le plan rapporté au repère ( , , )O i j , on donne les trois points A, B et C par leurs coordonnées : A (– 2 ; 2 ) B ( 3 ; 1) C ( 1 ; - 2 ) 1) Placer les points A, B, C dans le repère suivant. 3i j cm= =

2) Calculer les coordonnées et les normes de AB et AC 3) Calculer le produit scalaire AB AC⋅ 4) Calculer l’angle α des vecteurs AB et AC . (Donner le résultat au degré près) Vérifier le résultat trouvé par une mesure sur le graphique

O i

j



5) Soit G le centre de gravité du triangle. Placer le point G en construisant le vecteur 1 1AG AB AC3 3

= + .

Calculer les coordonnées et la norme de AG . Mesurez la longueur AG sur le graphique. Le résultat correspond-il à celui du calcul ?

(D’après sujet de Bac Pro MAVA sujet de remplacement Poitiers Session juin 2004)

Exercice 3 Un moteur est suspendu à un palan à l’aide d’une chaîne et de trois manilles en O, A et B. L’objectif du problème est de déterminer la valeur de l’angle OAB et de vérifier le respect d’une consigne de sécurité associée à ce montage. Pour une modélisation de ce problème, on considère le repère orthonormal d’origine O, d’axes (Ox) et (Oy) tel que les points A et B ont respectivement pour coordonnées (77 ; 36) et (104 ; 0). L’unité graphique de ce repère représente 1 mm dans la réalité. 1) Calculer les coordonnées des vecteurs AO et AB . 2) Calculer la norme du vecteur AO . Pour la suite du problème on considère que : AO = 85 et AB = 45.

3) Montrer que le produit scalaire AO AB⋅ est égal à – 783. 4) Montrer que la valeur arrondie à 10-3 de cos OAB est égale à - 0,205. 5) En déduire la valeur de l’angle OAB (arrondir au degré). 6) Compte tenu des caractéristiques de la chaîne et des efforts fournis sur celle-ci, la consigne de sécurité stipule que la valeur de l’angle OAB doit être inférieur à 100°. Conclure.

(D’après sujet de Bac Pro MEMATPPJ Session 2002)

O

A

10

36

77 104 x

y

10

B



Exercice 4

La pyramide du Louvre a une base carrée de 35 m de côté et une hauteur de 21 m (en réalité

21,64 m).

On se propose de calculer l'aire de la surface vitrée.

Considérons la face vitrée triangulaire ABS.

1) Dans le repère orthonormal ( )kjiO ;;; d’unité graphique 1 mètre, déterminer les

coordonnées des points A ; B et S.

2) Montrer que les coordonnées des vecteurs AB et AS sont :

0AB -35

0

et -17,5

AS -17,521

3) Calculer les normes | | AB | | et | | AS | | des vecteurs AB et AS .

4) Calculer le produit scalaire AB AS⋅ .

5) En déduire la mesure de l'angle BASau degré près.

6) Calculer l'aire du triangle ABS et l'aire totale de vitrage de cette pyramide (résultats au m² près).

(D’après sujet de Bac Pro Aménagement finitions antilles Session 2001)

i j

k

AB

S

35

21

35



Exercice 5 Pour la réalisation du sac "CAPUCINE" ci-dessous, on est amené à découper la pièce ABCDE dans du cuir. Cette pièce est représentée dans le repère orthonormal ),,( jiO ci-dessous.

1) a) Déterminer graphiquement les coordonnées des points A, B et E. b) Calculer les coordonnées des vecteurs AE et AB . c) Calculer les normes AE et AB . Donner les résultats arrondi à 10-1.

2) Calculer le produit scalaire ABAE ⋅ et en déduire la mesure en degrés de l'angle EAB. Donner le résultat arrondi au degré. 3) La pièce ABCDE est représentée à l'échelle 1 sur le repère. En relevant sur le graphique les valeurs utiles, calculer l'aire de la pièce ABCDE. Donner le résultat arrondi au cm2.

(D’après sujet de Bac Pro Artisanat et métiers d’art Session 2000) Exercice 6 Un réservoir a la forme suivante, dessinée en perspective. Dans un repère orthonormal d'origine O, où l'unité de longueur est le centimètre, les points A, B et F ont pour coordonnées : A (45 ; 0 ; 0), B (45 ; 25 ; 20), et F (45 ; 25 ; 0). ABCO, BDEC et AGHO sont des rectangles. 1) Déterminer les longueurs des segments OA, AF, BF, BC. 2) Calculer les coordonnées du vecteur AB . En déduire la longueur AB. (On donnera sa valeur exacte, puis sa valeur arrondie à l'unité). 3) Déterminer la mesure de l'angle BAF , arrondie à l'unité, en degrés.

i

j

E

A

B

CD



4) On donne la longueur BD = 35. Calculer l'aire de la face, en forme de trapèze, délimitée par les points A, B, D, G, puis le volume du réservoir en cm3 et enfin en litres.

(D’après sujet de Bac Pro Maintenance automobile Session 1999)

Exercice 7 Dans le but de percer certains trous dans une plaque rectangulaire avec une perceuse à commande numérique, on place cette plaque MNOP dans le repère orthonormé (Ox, Oy) comme indiqué sur le graphique ci-après. Les coordonnées du point A sont, dans ce repère : A (10 ; 30). Le point C est défini dans ce repère par les coordonnées du vecteur AC (80 ; - 20). 1) Tracer dans le repère de la page suivante le vecteur AC , puis donner les coordonnées du point C. 2) Calculer la distance AC au centième près. 3) Le point B est défini par les coordonnées du vecteur BC (60 ; 0). Calculer la distance BC. 4) Calculer le produit scalaire AC BC⋅ puis l'angle ( ),AC BC au degré près.

(D’après sujet de Bac Pro MAEMC Session septembre 2001)

N

A

M

P 0 100 x

y

50



Exercice 8 Le plan est rapporté à un repère (Ox, Oy) ayant le cm pour unité graphique. Le point P est en équilibre sous l'action de trois forces 1F , 2F et 3F

1) Représenter sur le graphique suivant la somme vectorielle 1F + 2F 2) En déduire: - la force 3F que l'on représentera par le vecteur 3PC F=

- les coordonnées du point C. 3) Calculer les coordonnées des vecteurs , et PA PB PC 4) Calculer les longueurs PA, PB et PC arrondies à 0,1 cm. 5) a) Calculer le produit scalaire PA PB⋅ . b) En déduire la mesure en degrés de l'angle APB arrondie à l'unité. 6) a) Calculer le produit scalaire PB PC⋅ . b) En déduire la mesure en degrés de l'angle BPC arrondie à l'unité.

(D’après sujet de Bac Pro Travaux publics Session septembre 2001)

Exercice 9 Un fabriquant de pneumatiques a réalisé une étude sur le terrain afin de minimiser le glissement d'un tracteur. Cette étude a montré que le glissement varie en fonction de l'angleα des barrettes du pneu schématisées figure ci-après.



Ce glissement est minimal pour un angleα compris entre 154° et 158° : 154° < α < 158°. On se propose de valider la valeur de l'angle α des barrettes du pneu considéré. On modélise la barrette en vue de dessus. 1) Dans le plan suivant rapporté au repère orthogonal d'axes (Ox, Oy) placer les points A, B, C, D, E, F de coordonnées respectives : (0 ; 6), (8 ; 5), (15 ; 1), (16 ; 3), (9 ; 7), (0 ; 8) et tracer le polygone ABCDEF. 2) Calculer les coordonnées des vecteurs BA et BC . 3) Calculer le produit scalaire BA BC⋅ . 4) Calculer les normes des vecteurs BA et BC (on donnera la valeur exacte puis la valeur arrondie au centième). 5) Montrer que cos 0,923ABC = − et en déduire la mesure de l'angle ABC arrondie au degré.

(D’après sujet de Bac Pro MEMATPPJ Session juin 2002) 0 1 10 x

y 1

α

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