04.12.2013 1

FFZS-07 Elektrostatika, elektrokinetika, magnetismus a elektromagnetismus v kostce

http://stein.upce.cz/msfzs11.html

http://stein.upce.cz/lectcz/ffzsx_07.html

Doc. Miloš Steinhart, UPCE 06 036, ext. 6029

04.12.2013 2

Hlavní body• Elektrostatika

• Proč se zabýváme elektrostatikou?

• Elektrický náboj a jeho známé vlastnosti.

• Coulombův zákon a jeho použití.

• Elektrické pole a elektrická intenzita

• Tok elektrické intenzity, Gaussova věta a její užití.

• Konzervativní pole a existence elektrického potenciálu.

• Práce vykonaná na náboji v elektrickém poli.

• Vztah mezi potenciálem a intenzitou. Gradient.

• Elektrické siločáry a ekvipotenciální plochy.

• Pohyb nabitých částic v elektrostatickém poli.

04.12.2013 3

Hlavní body• Elektrický náboj a pole ve vodičích• Pole elektrického dipólu a jeho chování ve vnějším poli• Příklad na jímání náboje.• kapacita x napětí = náboj.• Typy kondenzátorů, jejich sériové a paralelní zapojení.• Jímání elektrické energie.• Vložení vodiče nebo dielektrika do kondenzátoru.

04.12.2013 4

Hlavní body• Elektrokinetika

• Elektrický proud.

• Měrný odpor a vodivost.

• Vodiče, polovodiče a izolátory.

• Rychlost pohybujících se nábojů.

• Teplotní závislost rezistivity.

• Seriové a paralelní zapojení rezistorů, obvody.

• Théveniova poučka a reálné zdroje.

• Stejnosměrné voltmetry a ampérmetry.

• Termočlánek.

04.12.2013 5

Hlavní body• Magnetostatika

• Úvod do magnetismu.

• Permanentní magnety, magnetická pole.

• Magnetická indukce.

• Elektrické proudy vytvářejí magnetické pole.

• Magnetické pole působí na elektrické proudy.

• Magnetické pole působí na pohybující se náboje.

• Biot-Savartův, Ampérův zákon, magnetické dipóly.

• Jednoduchá magnetická pole: – Solenoid, - Toroid.

• Použití Lorentzovy síly:• Pohyb nábojú v elektrickém i magnetickém poli

• Hmotnostní spektroskopie

04.12.2013 6

Hlavní body

• Magnetické vlastnosti látek• Magnetismus v mikroskopickém měřítku

• Diamagnetismus

• Paramagnetismus

• Ferromagnetismus

04.12.2013 7

Hlavní body• Elektromagnetismus.

• Faradayův pokus.

• Pohybující se vodivá tyčka.

• Faradayův a Lenzův zákon.

• Přenos energie.

• Překonávání momentu síly a elektromotorického napětí. Foucaultovy proudy.

• Vlastní a vzájemná indukčnost.

• Střídavé proudy. Střední a efektivní hodnoty.

04.12.2013 8

Proč se zabýváme elektřinou a magnetismem?

• Mnoho základních vlastností přírody existuje jako důsledek interakcí nabitých částic od chemické vazby po elektromagnetické záření.

• Pro jednoduchost se nejprve budeme zabývat náboji a poli, které jsou statická, tedy v klidu.

• Taková pole po dosažení rovnováhy, jehož detaily se zatím nezabýváme, skutečně existují.

04.12.2013 9

Příklady elektrostatických jevů I

• Hřeben, kterým jsme si právě prohrábli vlasy přitahuje malé kousky papíru. Způsobuje to dalekodosahová síla, která může být i odpudivá.

• Pozorované síly přiřazujeme vlastnosti částic, kterou nazýváme elektrický náboj.

• Většinou se tělesa projevují elektricky neutrálně.

• Aby na sebe tělesa silově působila docílíme:• nabitím – přidáním nebo odebráním náboje

• přerozdělením náboje.

04.12.2013 10

Příklady elektrostatických jevů II

• Přerozdělení náboje lze docílit působením na dálku, nazývaným indukce. To se někdy mylně považuje také za nabití.

• Nabití je možné jen vedením náboje neboli kondukcí a vyžaduje vodivý kontakt. Jím se na těleso přivede dodatečný náboj nebo se z něj naopak odvede.

• Pomocí materiálů, zvaných vodiče, lze náboje přenášet snadno. Pomocí jiných, zvaných izolátory, je to obtížné nebo nemožné.

04.12.2013 11

Hlavní vlastnosti náboje

• Protože existují přitažlivé i odpudivé elektrické síly, náboje musí být dvojího druhu, pozitivní a negativní. Shodné náboje se odpuzují a rozdílné přitahují.

• Náboje jsou kvantovány – existují jen v násobcích elementárního náboje e = 1.602 10-19 C.

• Ve všech známých procesech náboje vznikají nebo zanikají pouze v párech (+q a -q), takže se celkový náboj zachovává.

• Náboj je invariantní vůči Lorentzově transformaci.

04.12.2013 12

Hlavní vlastnosti elektrostatických interakcí

• Nabité částice na sebe působí silami. Síly :• jsou dalekodosahové – zprostředkované

elektrickým polem

• splňují princip superpozice

• Vzájemnou interakci dvou bodových nábojů v klidu popisuje Coulombův zákon.

04.12.2013 13

Coulombův zákon I

• Mějme dva bodové náboje Q1 a Q2 ve vzdálenosti r od sebe. Potom je velikost síly, kterou na sebe navzájem působí rovna :

• jednotkou náboje v soustavě SI je 1 Coulomb [C]

• k = 1/40 = 9.109 Nm2/C2

0 = 8.85 10-12 C2/ Nm2 je permitivita vakua

221

rQQ

kF

04.12.2013 14

*Coulombův zákon II

• Protože síly jsou vektory, je důležitá i informace o jejich směru.

• Úplnou informaci dostaneme, umístíme-li bodový náboj Q1 do počátku a poloha druhého Q2 bude určena polohovým vektorem . Pro sílu, působící na Q2 platí :

• síly působí ve směru spojnice• síly působící na oba náboje jsou akce a reakce • positivní síla je odpudivá

02

212

2121 )( r

r

QkQ

r

r

r

QkQrF

r

04.12.2013 15

*Coulombův zákon III

• Nejobecnější vztah dostaneme, popíšeme-li polohu každého náboje Qi (i=1, 2) jeho vlastním polohovým vektorem . Potom je síla působící na náboj Q2 rovna :

• Protože síla závisí jen na rozdílu polohových vektorů, je poloha počátku libovolná.

ir

312

1221221 ||

)()(

rr

rrQkQrF

04.12.2013 16

Srovnání elektrostatického a gravitačního působení

• Formálně je Coulombův zákon podobný Newtonovu gravitačnímu zákonu:

• ale elektrostatická síla je ~ 1042 (!) krát silnější

• tak slabá síla přesto dominuje ve vesmíru, protože hmota je obvykle neutrální

• nabít nějaké těleso znamená nepatrně porušit obrovskou rovnováhu

221

rmm

F

04.12.2013 17

Koncepce elektrického pole

• Je-li náboj umístěn v určitém bodě prostoru, “vysílá” kolem sebe informaci o své pozici, polaritě a velikosti. Tato informace se šíří rychlostí světla. Může být “zachycena” jiným nábojem. Výsledkem interakce náboje a elektrostatického pole je silové působení.

04.12.2013 18

Elektrická intenzita I

• Elektrické pole by bylo možné popsat pomocí vektoru síly , která by působila na jistý testovací náboj Q v každém bodě, který by nás zajímal.

• Tento popis by ale závisel na velikosti a polaritě testovacího náboje, který by se musel uvádět jako doplňující informace. Jinak by byl popis nejednoznačný.

)(rF

04.12.2013 19

Elektrická intenzita II

• Vydělením testovacím nábojem je definována elektrická intenzita, která již je jednoznačnou funkcí popisovaného pole :

• Číselně je rovna síle, která by v daném bodě působila na jednotkový kladný náboj. Intenzita ale nemá rozměr pouhé síly.

Q

rFrE

)()(

04.12.2013 20

Elektrická intenzita III

• Vydělením testovacím nábojem se informace, jak pole tento náboj “cítí” stává objektivní informací o vlastnosti pole.

• Je nutné si uvědomit, že vzhledem k dvojí polaritě nábojů, působí síly vyvolané stejným polem na náboje různých polarit silami dokonce opačně orientovanými.

04.12.2013 21

Elektrické siločáry

• Elektrické pole je trojrozměrné vektorové pole, které se v obecném případě obtížně znázorňuje.

• V jednoduchých symetrických příkladech, lze užít siločáry. Jsou to křivky, které jsou v každém bodě tečné k vektorům elektrické intenzity, čili se nemohou protnout!

• Jsou podobné proudnicím, které známe z hydrodynamiky.

• Velikost intensity se znázorňuje délkou nebo hustotou těchto siločar.

• Kladný náboj nepatrné hmotnosti by se pohyboval po určité siločáře, náboj záporný také, ale v opačném smyslu.

04.12.2013 22

Tok elektrické intenzity

• Tok elektrické intenzity je definován jako : .

• Popisuje množství elektrické intenzity , která proteče kolmo ploškou , která je tak malá, aby se intenzita na ní dala považovat za konstantní a je popsána svým vnějším normálovým vektorem .

• Zopakujme si skalární součin.

SdEd e

E

Sd

04.12.2013 23

Gaussova věta I

• Celkový tok elektrické intenzity skrz libovolnou uzavřenou plochu je roven celkovému náboji, který plocha obepíná dělený permitivitou vakua

• Věta je ekvivalentní tvrzení, že siločáry elektrického pole začínají v kladných a končí v nábojích záporných.

0

QSdEd e

04.12.2013 24

Gaussova věta II

• V nekonečnu mohou siločáry začínat i končit.

• Gaussova věta platí protože intenzita klesá s r2, což je v toku intenzity kompenzováno růstem plochy jako r2.

• Skalárním součinem je ošetřena vzájemná orientace siločar a plošek.

04.12.2013 25

Gaussova věta III• Neuzavírá-li plocha žádný náboj nebo je-li uzavřený

náboj vyrovnán, musí siločáry, které do objemu vstoupí zase někde vystoupit a naopak, ty které vystoupí se někde musí vrátit.

• Je-li celkový uzavřený náboj kladný více siločar vystoupí než vstoupí.

• Je-li naopak celkový uzavřený náboj záporný více siločar vstoupí než vystoupí.

• Pozitivní náboje jsou zdroji a negativní propadly.

• Nekonečno může být i zdrojem i propadlem.

04.12.2013 26

Hustota náboje

• V reálných situacích obvykle nepracujeme s bodovými náboji, ale s nabitými tělesy.

• Potom je vhodné zavést nábojovou hustotu, tedy náboj na jednotku objemu, plochy nebo délky, podle symetrie problému.

• Hustota je obecně funkcí polohy. Jednoduše je použitelná v případě, že tělesa jsou nabita rovnoměrně, jako v případě nabité vodivé roviny.

04.12.2013 27

Gaussova věta VI

• Gaussova věta může být považována za základ elektrostatiky podobně jako Coulombův zákon a dokonce je obecnější!

• Gaussova věta je užitečná : • pro teoretické úvahy nebo v případech speciální

symetrie například při výpočtu pole:• bodového náboje

• nekonečného drátu nabitého s konstantní hustotou

• nekonečné roviny nabité s konstantní hustotou

04.12.2013 28

Konzervativní pole

• Jak jsme již uvedli v partii o gravitaci, v přírodě existují speciální pole, ve kterých je celková vykonaná práce při přesunu částice po libovolné uzavřené křivce rovna nule. Taková pole se nazývají konzervativními a jsou to například pole :• Gravitační – pro hmotné částice

• Elektrostatické – pro nabité částice

04.12.2013 29

Existence elektrického potenciálu

• Z definice konzervativního pole, lze ukázat, že práce potřebná pro přesun nabité částice v elektrostatickém poli z bodu A do bodu B, nezávisí na cestě, ale pouze na jisté skalární vlastnosti pole v těchto dvou bodech.

• Tato vlastnost se nazývá potenciál .

04.12.2013 30

Práce vykonaná na částici I

• Přesune-li nějaký vnější činitel částici s nábojem q v elektrostatickém poli z jistého bodu A do bodu B, vykoná podle definice potenciálu práci :

W(A->B) q[(B)-(A)]

04.12.2013 31

Práce vykonaná na částici II

• Pro potenciální energii částice obecně platí :

Ep(B)=Ep(A)+W(A->B)

• Tuto definici srovnáme s předchozím vztahem :

W(A->B)=q[(B)-(A)] =Ep(B)-Ep(A)

• Tedy vykoná-li vnější činitel na částici kladnou práci, zvýší tím její potenciální energii Ep :

)()( rqrEp

04.12.2013 32

Práce vykonaná na částici III

• Ve většině praktických případů nás zajímá rozdíl potenciálů dvou míst. Hovoříme o něm jako o napětí U :

UBA (B)-(A)

• Pomocí napětí je vykonaná práce :

W(A->B)=q UBA

04.12.2013 33

Práce vykonaná na částici IV

• Pro práci vykonanou vnějším činitelem na nabité částici tedy platí :

W=q[(B)-(A)]=Ep(B)-Ep(A)=qUBA

• Je důležité si uvědomit principiální rozdíly :

• Mezi potenciálem, což je vlastnost pole, potenciální energií částice v poli a napětím.

• Mezi prací vykonanou vnějším činitelem nebo polem

04.12.2013 34

Důsledky existence potenciálu

• Díky existenci potenciálu je možné přejít od popisu pole pomocí vektorů intenzit k popisu pomocí skalárních potenciálů :

• Stačí nám jen třetina informací

• Superpozice vede na prostý aritmetický součet

• Některé výrazy lépe konvergují

)()( rrE

04.12.2013 35

Jednotky

• Jednotkou potenciálu i napětí U je 1 Volt.

• [ ] = [Ep/q] => V = J/C

• [E] = [/d] = V/m

• [] = [k q/r] = V => [k] = Vm/C =>

[0] = CV-1m-1

04.12.2013 36

Obecný vztah • Obecný vztah je analogický jako u

gravitačního pole:

• Gradient skalární funkce f v určitém bodě je vektor :• Který směřuje do směru nejrychlejšího růstu

funkce f.• Jeho velikost je rovna změně hodnoty funkce f,

kdybychom se v tomto směru přesunuli o jednotkovou vzdálenost.

)(E

)()( rgradrE

04.12.2013 37

Vztah v homogenním poli

• V homogenním poli se potenciál mění (klesá) pouze podél siločar. Ztotožníme-li tento směr s osou x našeho souřadněho systému, obecné vztahy se zjednoduší na :

dx

xdE

)(

dx

xdEF p )(

)(E

04.12.2013 38

Homogenní pole II• Je nejjednodušší elektrostatické pole:

• Je generováno dvojicí různě nabitých velkých rovin.• Vektory intenzity v něm mají stejnou velikost a směr.• Potenciál se mění jen ve směru intenzity, což je v tomto poli

jediný důležitý směr.• Siločáry jsou paralelní přímky.• Pro libovolnou vzdálenost d platí :

• Intenzitu můžeme tedy chápat jako strmost přímky, která vyjadřuje spád potenciálu. dd

ABE

)]()([

04.12.2013 39

Homogenní pole III

• Chceme-li zjistit práci potřebnou k přenesení náboje nebo naopak potenciální energii, kterou ztratí a kinetickou energii, kterou získá při určitém posunu, je třeba kromě vlastností pole vzít ještě v úvahu, o jaký náboj jde.• Velký náboj cítí spád své potenciální energie strmější

než malý.

• Záporný náboj cítí spád potenciálu pole jako růst své potenciální energie.

04.12.2013 40

Vztah v centrosymetrickém poli

• V centrosymetrickém poli se obecný vztah zjednoduší na :

• Tento vztah může být například užit pro ilustraci obecného tvaru potenciální energie a jeho vliv na síly mezi částicemi hmoty.

)(E

dr

rdrE

)()(

dr

rdErF p )()(

04.12.2013 41

Sféricky symetrické pole II

• Sféricky symetrické pole, např. pole bodového náboje je další důležitý typ pole, kde může být vztah mezi potenciálem a intenzitou E snadno ilustrován.

• Bude-li náboj Q v počátku, jsou vektory intenzity radiální a pole má kulovou symetrii :

02)( r

rkQ

rE

04.12.2013 42

Sféricky symetrické pole III

• Velikost intenzity E závisí pouze na poloměru r

• Přesuňme testovací jednotkový náboj q z nějakého bodu A do jiného bodu B. Změna potenciálu závisí pouze na tom jak se změnil radius tedy vzdálenost od centrálního náboje. Je tomu tak proto, že během posunu při konstantním poloměru se nekoná práce.

2)(rkQ

rE

04.12.2013 43

Sféricky symetrické pole IV

• Závěr : Potenciál sféricky symetrického pole závisí pouze na poloměru r a klesá s jeho reciprokou hodnotou 1/r

• Přesuneme-li v tomto poli náboj q , musíme opět

brát v úvahu jeho potenciální energii

rkQ

r )(

rkqQ

rEp )(

04.12.2013 44

Ekvipotenciální plochy

• Ekvipotenciální plochy jsou plochy, na kterých je potenciál konstantní.

• Pohybuje-li se nabitá částice po ekvipotenciální ploše, je práce vykonaná polem i vnějším činitelem rovna nule. To je možné jen ve směru kolmém k siločarám.

04.12.2013 45

Ekvipotenciální křivky a siločáry

• Každé elektrické pole můžeme zviditelnit soustavou ekvipotenciálních křivek, což jsou průsečíky ekvipotenciálních ploch s nákresnou a siločar, které jsou na ně vždy kolmé. • V homogenním poli jsou ekvipotenciální křivky přímky

kolmé k siločárám. • V centrosymetrickém poli jsou ekvipotenciální křivky

kružnice se středem v náboji a siločáry jsou radiály.• Reálná a imaginární část analytických komplexních

funkcí má vztah stejný.

04.12.2013 46

Pohyb nabitých částic v elektrostatickém poli I

• Volné nabité částice se snaží pohybovat podél siločar ve směru poklesu své potenciální energie.

• Z druhého Newtonova zákona :

• V nerelativistickém případě :

Eqdt

pd

EaEqam mq

04.12.2013 47

Pohyb nabitých částic v elektrostatickém poli II

• Poměr q/m, nazývaný specifický náboj je důležitou vlastností částice.1. elektron, positron |q/m| = 1.76 1011 C/kg2. proton, antiproton |q/m| = 9.58 107 C/kg (1836 x)3. -částice (He jádro) |q/m| = 4.79 107 C/kg (2 x)4. Další ionty …

• Akcelerace elementárních částic může být obrovská!

• Snadno lze dosáhnout relativistických rychlostí

04.12.2013 48

Pohyb nabitých částic v elektrostatickém poli III

• Problémy lze řešit buď přes síly nebo energie.

• Postup přes energie je obvykle pohodlnější. Využívá zákon zachování energie a faktu, že v elektrostatickém poli existuje potenciální energie.

04.12.2013 49

Pohyb ... IV energetický přístup

• Je-li volná nabitá částice v určitý okamžik v bodě A elektrostatického pole a za nějakou dobu v libovolném bodě B, musí mít v obou bodech stejnou celkovou energii bez ohledu na čas, konkrétní tvar dráhy a složitost pole :

pBkBpAkA EEEE

04.12.2013 50

Pohyb ... V energetický přístup

• Změna potenciální energie tedy musí být kompenzována změnami energie kinetické

• • • • Ve fyzice vysokých energií se často

používá jako jednotka energie 1 eV . 1eV = 1.6 10-19 J.

0)()( pkpApBkAkB EEEEEE

0)( qEqE kABk

0)( BAkABk qUEqE

04.12.2013 51

Nabitý plný vodič I

• Vodiče obsahují volné nosiče náboje jedné nebo obou polarit. Nabít je znamená, přinést do nich nějaké přebytečné náboje jedné z polarit.

• Speciálním případem jsou kovy :• každý atom, který je součástí kovu, si ponechává

vnitřní elektrony ve své blízkosti. Ale elektrony valenční, slaběji vázané, jsou sdíleny celým kovem. Ty jsou volnými nosiči náboje. Působí-li na ně elektrická (nebo i jiná) síla mohou se v kovu volně pohybovat.

• Je relativně snadné kovu volné elektrony přidat nebo ubrat.

04.12.2013 52

Nabitý plný vodič II

• Přidání elektronů znamená nabití kovu záporně• Odebrání elektronů je ekvivalentní nabití tělesa

kladně. • Pro naše účely můžeme mezery po chybějících

elektronech považovat za volné kladné náboje +1e. V oblasti polovodičů se nazývají díry.

• Nabitý vodič efektivně obsahuje přebytečné kladné nebo záporné náboje, které jsou navíc volné.

04.12.2013 53

Nabitý plný vodič III

• Přebytečné náboje se odpuzují a protože jsou volné a mohou se v rámci vodiče volně pohybovat, musí skončit na povrchu.

• Rovnováha, které je nakonec díky pohyblivosti nábojů dosaženo, je charakteristická tím, že výslednice sil, působících na každý náboj, je rovna nule.

• Znamená to, že uvnitř vodiče je nulové pole a celý jeho objem včetně povrchů je ekvipotenciální oblastí (a existují síly, které drží náboje v látce).

04.12.2013 54

Dutá vodivá slupka I

• V rovnováze opět :• přebytečné náboje musí skončit na povrchu

• uvnitř je nulové pole a celé těleso je ekvipotenciální oblastí.

• Tyto podmínky mají hlubokou souvislost s platností Gaussovy věty.

• Pro důkaz se vraťme ke Gaussově větě :

04.12.2013 55

*Dutá vodivá slupka II

• Vezměme nejprve kulové těleso. Hustota náboje na jeho povrchu musí být ze symetrie konstantní.

• Ze symetrie dále plyne, že intenzity vyvolané elementárními ploškami se ve středu koule kompenzují a .

• V jiných bodech se ale budou kompenzovat a pole bude nulové pouze v případě, že p = 2.

• S použitím pojmu prostorového úhlu lze totéž dokázat pro jakoukoli uzavřenou plochu.

0E

04.12.2013 56

*Dutá vodivá slupka III

• Závěr: existence nulového pole v jakémkoli bodě uvnitř nabité vodivé slupky libovolného tvaru je ekvivalentní platnosti Gaussovy věty.

• To je principem :• experimentálního důkazu Gaussovy věty s

velkou přesností : p – 2 = 2.7 3.1 10-16.

• stínění a zemnění (např. Faradayova klec)

04.12.2013 57

Pole v blízkosti nabité plochy závisí na hustotě náboje

• Vezmeme malý válec a ponoříme jej do vodiče, aby osa válce byla k vodiči kolmá.

• Elektrické pole :• uvnitř vodiče je nulové• vně je kolmé k povrchu plochy

• Nenulový tok prochází pouze vnější podstavou

• Pozor na hrany! není obecně konstantní!0

E

04.12.2013 58

Elektrický dipól I

• Látky mohou vytvářet nenulové elektrické pole, i když je v nich celkový náboj vykompenzován.

• Musí obsahovat takzvané multipóly, tedy částice (oblasti), v nich jsou těžiště kladného a záporného náboje v různých bodech.

• Vytvářená pole obecně nejsou centrosymetrická a mizí rychleji než pole bodového náboje.

04.12.2013 59

Elektrický dipól II

• Nejjednoduším multipólem je elektrický dipól :• Skládá se ze dvou nábojů o stejné absolutní hodnotě ale

různého znaménka +Q and –Q. • Jejich vzájemnou polohu lze popsat vektorem .• Definujeme dipólový moment.

• Elektrické dipóly (multipóly) jsou důležité, protože jsou příčinou elektrického chování elektricky neutrální (i mikrosopicky!) hmoty.

l

lQp

04.12.2013 60

Elektrický dipól III

• Pomocí dipólových momentů vysvětlujeme tedy základní chování nevodivých látek ve vnějším elektrickém poli.

• Oblasti látek (částice) mohou mít buď vlastní nebo indukovaný dipólový moment.

• Interakce dipólových momentů je také příčinou některých slabších ale důležitých meziatomových vazeb.

04.12.2013 61

Chování elektrického dipólu ve vnějším poli

• V homogenních elektrických polích působí na dipóly momenty síly , které se je snaží natočit do směru pole, tedy ztotožnit směr dipólového momentu se směrem vektoru elektrické intenzity (siločar).

• V polích nehomogenních jsou dipóly také taženy nebo posunovány.

04.12.2013 62

*Příklady některých polí

• Pole homogenně nabité koule

• Pole paralelních stejnoměrně nabitých rovin

• Princip elektrostatické kopírky (xeroxu)

04.12.2013 63

*Jímání náboje I

• V 18. Století byli lidé fascinováni prvními elektrickými jevy, zvláště velkými výboji.• Baviči si všimli, že různá nabitá tělesa nesla „množství

elektřiny“ a produkovala různě silné výboje. Dnes bychom řekli, tělesa nabitá na stejné napětí nesla různý náboj.

• Vyvstal problém, jak pojmout co možná největší náboj, při maximálním dostupném napětí.

• Nejprve šli cestou větších a větších těles, ale později se nalezlo lepší řešení, které vedlo k pojmu kapacita!

04.12.2013 64

Jímání náboje II

• Mějme vodivou kouli o poloměru např. ri=1 m.

• Můžeme pojmout libovolný náboj? NE!

• V praxi jsme limitováni mezní intenzitou. V suchém vzduchu je to Em 3106 V/m.

• Mezní intenzita závisí na vlastnostech okolí vodiče, ale jistá hodnota by existovala i ve vakuu.

• Je-li dosaženo mezní intenzity vodič se bude samovolně vybíjet (užívá se při studiu struktury).

• Schopnost samovybíjení se zvětšuje u členitých povrchů. Protože u výčnělků se intenzita zvětšuje.

04.12.2013 65

Jímání náboje III• Z Gaussovy věty plyne, že intenzita E = 0

uvnitř koule a E = kQ/ri2 těsně u jejího

povrchu.• Z obecného vztahu lze z intenzity určit

potenciál těsně u povrchu koule = kQ/ri .

• Kombinací dostaneme : = riE pro r > ri

• Maximální napětí a náboj na kouli tedy je :

= 3 106 V Qmax = 3.3 10-4 C.

04.12.2013 66

Jímání náboje IV• Mezní napětí navíc značně přesahuje maximum,

cca 105 V, které bylo tehdy možno vygenerovat.• Na naší kouli by tedy pro toto napětí byl náboj :

Q = Uri /k = 105/9 109 = 1.11 10-5 C.

• Původně se dal zvětšit pouze zvětšením koule ri.• Potom někdo (v Leydenu) udělal “zázrak”! Kouli o

poloměru ri umístil do nepatrně větší koule o poloměru ro, kterou uzemnil.

• Výboje se výrazně zvětšily, tedy nové uspořádání neslo při stejném napětí větší náboj!

04.12.2013 67

*Jímání náboje VI

• Vnitřní koule, nabitá nábojem +Q, vytvořila náboj –Q na vnitřním povrchu vnější koule a náboj +Q na povrchu vnějším. Po jejím uzemnění byl však kladný náboj odveden do země, takže na vnější kouli zůstal náboj –Q, a to na jejím vnitřním povrchu.

• Výsledek: Potenciál vnitřní koule klesl, přičemž náboj zůstal zachován!

04.12.2013 68

Kapacita

• Napětí U mezi dvěma vodiči nabitými na náboj +Q a –Q je obecně úměrné tomuto náboji :

Q = C U• Kladná konstanta úměrnosti C se nazývá

kapacita. Fyzikálně je to schopnost příslušného uspořádání vodičů jímat náboj.

• Jednotkou kapacity je Farad 1 F = 1 C/V

04.12.2013 69

Různé typy kondenzátorů

• Je mnoho důvodů vyrábět elektronickou součástku, která má schopnost jímat náboj – kondenzátor.

• Kapacita kondenzátoru by neměla záviset na okolí.

• Hlavní užití je pro jímání náboje a potenciální energie a některé doprovodné jevy související s nabíjením a vybíjením.

• Nejčastěji se užívá deskových, válcových, kulových a svitkových kondenzátorů.

04.12.2013 70

*Dvě paralelní nabité roviny

• Dvě velké paralelní roviny jsou vzdáleny d. Jedna je nabita s plošnou hustotou druhá s hustotou -.

• Intenzita mezi deskami bude Ei a intenzita vně Eo. Co platí?• A) Ei= 0, Eo=/0

• B) Ei= /0, Eo=0

• C) Ei= /0, Eo=/20

04.12.2013 71

Určení kapacity kondenzátoru I

• Obecně: najdeme závislost náboje Q na napětí U a vyjádříme kapacitu jako koeficient úměrnosti.

• Například deskový kondenzátor s rovnoběžnými deskami o ploše S a vzdálenosti d, nabité na náboj +Q a -Q:

• Z Gaussovy věty : E = /0 = Q/0S

• Také : E = U/d Q = 0SU/d C = 0S/d• Obdobně by se postupovalo u kondenzátooru

kulového.

04.12.2013 72

Nabíjení kondenzátoru

• Kondenzátor nabíjíme• budˇ propojíme jednu elektrodu kondenzátoru s

kladným a druhou se záporným pólem zdroje stejnosměrného napětí. Po dosažení rovnováhy bude každá elektroda kondenzátoru mít stejný potenciál jako elektroda zdroje s ní spojená a napětí na kondenzátoru bude rovné napětí zdroje.

• nebo uzemníme jednu elektrodu a na druhou přivedeme náboj. Po dosažení rovnováhy zůstane na uzemněné elektrodě jen náboj opačné polarity.

• Podrobné chování veličin v čase si ukážeme později.

04.12.2013 73

Sériové zapojení kondenzátorů I

• Mějme kondenzátory C1 a C2 zapojené do série – za sebou. Můžeme je nahradit jedinou kapacitou:

• Nabijeme-li jednu elektrodu, ostatní se nabijí indukcí a náboj na všech sériově zapojených kondenzátorech musí být stejný :

Q = Q1 = Q2

21

21

CC

CCCs

04.12.2013 74

Sériové zapojení kondenzátorů II

• K sobě připojené elektrody jsou na stejném potenciálu. Celkové napětí na všech sériově zapojených kondenzátorech musí být tedy součtem napětí na jednotlivých kondenzátorech

U = U1 + U2

21

21 111

CCQ

U

Q

U

Q

U

Cs

04.12.2013 75

Paralelní zapojení kondenzátorů I

• Mějme dva kondenzátory C1 a C2 zapojené paralelně – vedle sebe. Můžeme je nahradit jediným kondenzátorem s kapacitou Cp :

Cp = C1 + C2

• Celkový náboj se rozdělí na jednotlivé kondenzátory

Q = Q1 + Q2

• Napětí na všech kondenzátorech je stejné

U = U1 = U2

Cp = Q/U = Q1/U+ Q2/U = C1 + C2

04.12.2013 76

Mezní náboj

• Kapacita deskového kondenzátoru (ve vakuu) může být zvětšena buď zvětšením ploch desek nebo jejich přiblížením. Pouze první způsob však povede ke snížení intenzity elektrického pole a tedy i ke zvýšení mezního náboje, který kondenzátor může pojmout!

• Z tohoto hlediska by bylo lepší uzemnit vnitřní a nabít vnější kouli v našem Leydenském příkladu.

04.12.2013 77

Jímání elektrické energie I

• K nabití kondenzátoru musíme vykonat práci.

• Tato práce je uschována jako potenciální energie a veškerá (neuvažujeme-li ztráty) může být využita později. Například při rychlém vybití optimalizujeme výkon (fotoblesk, defibrilátor).

• Při změnách parametrů nabitého kondenzátoru může konat práci vnější činitel nebo pole. Musí se odlišit situace, kdy ke kondenzátoru zůstává připojen vnější zdroj.

04.12.2013 78

Jímání elektrické energie II

• Nabít kondenzátor znamená brát postupně malé kladné náboje ze záporné elektrody a přenášet je na elektrodu kladnou nebo přenášet obráceně náboje záporné. V obou případech se zvyšuje potenciální energie přeneseného náboje na úkor vnější práce.

• Práce nezávisí na cestě. Můžeme představit, že náboj přenášíme přímo přes prostor mezi elektrodami, i když takto ve skutečnosti náboj proudit nesmí!

04.12.2013 79

Jímání elektrické energie III

• Kondenzátor s kapacitou C nabitý nábojem Q nebo na napětí U má energii :

• Faktor ½ v těchto výrazech svědčí o tom, že proces nabíjení je poněkud složitější, než by se zdálo na první pohled. Po přenesení určitého náboje se změní i napětí mezi elektrodami, takže se musí integrovat.

QUCUC

QEp 2

1221

2

2

04.12.2013 80

*Jímání elektrické energie IV

• Hustota energie :• Mějme deskový kondenzátor S,d,C, nabitý na

napětí U :

• Protože Sd je objem kondenzátoru a pole mezi deskami je homogenní, můžeme považovat 0E2/2 za hustotu (potenciální) energie.

• To platí pro všechny druhy kondenzátorů i polí.

202

122

0221

2ESd

d

dSECUEp

04.12.2013 81

Vložení vodiče do kondenzátoru I

• Vložme vodivou destičku s plochou S a tloušťkou < d do mezery mezi desky kondenzátoru S,d,0,.

• Vodivá destička obsahuje dostatek volných nosičů náboje, aby na svých plochách vytvořila nábojovou hustotu p stejnou, jako je hustota budící. V důsledku platnosti principu superpozice je pole uvnitř destičky přesně kompenzováno a tedy je nulové.

• Efektivně se mezera zmenšila na d - .

04.12.2013 82

*Test• Vložení vodivé destičky s plochou S a

tloušťkou < d do mezery mezi desky kondenzátoru S,d,C, zvýší jeho kapacitu.

• Kam bychom měli destičku vložit, aby bylo zvýšení největší ?• A) těsně k jedné z desek.

• B) aby byla rovinou symetrie.

• C) při zachování rovnoběžnosti na poloze nezáleží.

04.12.2013 83

*C: je to jedno !

• Vložme destičku do vzdálenosti x od levé desky kondenzátoru. Získáváme sériovou kombinaci kondenzátorů, které mají stejnou plochu S, ale jeden má vzdálenost desek x a druhý d-x-. Tedy :

S

d

S

xd

S

x

C 000

1

d

SC 0

04.12.2013 84

Vložení vodiče do kondenzátoru II

• Vložením vodiče kapacita vzrostla.• V případě odpojeného zdroje se zachová náboj

a energie se sníží – práci koná pole a destička by byla mezi desky vtažena.

• V případě připojeného zdroje se zachová napětí a energie se zvýší – práci musí vykonat vnější činitel, destička má snahu vyskakovat.

04.12.2013 85

Vložení dielektrika do kondenzátoru I

• Nabijme kondenzátor, odpojme od zdroje a měřme na něm napětí. Zaplňme nyní celou mezeru nevodivým, tzv. dielektrickým materiálem (destičkou).

• Pozorujeme : • napětí pokleslo v poměru r = U0/U• destička byla polem vtažena

r nazýváme dielektrickou konstantou nebo (lépe) relativní permitivitou dielektrika.

r obecně závisí na řadě veličin (T, f)!

04.12.2013 86

Vložení dielektrika do kondenzátoru II

• Co se stalo : Protože vložená destička je dielektrická nemá volné nosiče náboje, které by vytvořily nábojovou hustotu dostatečnou k úplné kompenzaci vnitřního pole.

• Pole ale zorientuje nebo předtím i vytvoří elektrické dipóly uvnitř dielektrika. Výsledkem je opět objevení se plošného náboje na deskách destičky. Nyní je ale plošná hustota indukovaného náboje nižší, takže dojde pouze k zeslabení pole. Nicméně se opět zvýší kapacita.

04.12.2013 87

Vložení dielektrika do kondenzátoru III

• Náboje zorientovaných dipólů se vykompenzují v celém objemu, kromě hraničních ploch. Na nich zůstává nenulová plošná nábojová hustota p < .

• Výsledné pole je opět superpozicí původního pole, vytvořeného původními hustotami a pole indukovaného, vytvořeného indukovanými nábojovými hustotami p.

• V případě homogenní polarizace je indukovaná hustota náboje rovna p = P, což je polarizace neboli hustota dipólového momentu.

04.12.2013 88

Vložení dielektrika do kondenzátoru IV

• Vložení dielektrika je nejefektivnější způsob zvyšování kapacity. Protože se současně snižuje elektrické pole a zvyšuje mezní náboj, kterým lze kondenzátor nabít.

• Navíc mezní intenzita je pro většinu dielektrik větší než pro vzduch. Jsou tedy lepšími izolátory. Prohlubují potenciálovou jámu, ve které jsou volné elektrony.

04.12.2013 89

*Hustota energie v dielektriku

• V případě homogenních dielektrik lze definovat celkovou permitivitu :

= r0

a použít ji ve všech vztazích, v nichž ve vakuu vystupovala permitivita vakua.

Tedy například hustotu elektrické energie v dielektriku lze psát jako : E2/2.

04.12.2013 90

* Kondenzátor vyplněn dielektrikem částečně

• Je-li možné zanedbat okrajové jevy, tedy, jsou-li příčné rozměry kondenzátoru i vloženého dielektrika zanedbatelné proti rozměrům ploch, můžeme takový systém považovat za určitou sério-paralelní kombinaci kondenzátorů

04.12.2013 91

Závěrečné poznámky k elektrostatice

• Většinu jevů jsme ilustrovali na velmi zjednodušených příkladech.

• Přesto bychom v tomto okamžiku měli hluboce rozumět alespoň nejdůležitějším kvalitativním jevům elektrostatiky.

• Mělo by nám to pomoci snáze pochopit další partie i například fungování přístrojů pracujících na elektrostatických principech.

04.12.2013 92

Elektrické proudy I

• Zatím jsme se zabývali rovnovážnými stavy.• Avšak než je jich dosaženo, dochází obvykle k

pohybu volných nosičů náboje v nenulovém elektrickém poli, čili tam existují proudy.

• Často záměrně udržujeme na vodičích rozdíl potenciálů, abychom udrželi tok nosičů náboje, snažících se dosáhnout rovnováhy - elektrický proud.

• V určitém okamžiku je proud definován jako :

dt

tdqtI

)()(

04.12.2013 93

Elektrické proudy II

• Z fyzikálního hlediska rozlišujeme tři druhy proudu. První dva jsou přímo pohybem nosičů náboje:• kondukční – pohyb volných nosičů náboje v látkách,

pevných nebo roztocích

• konvekční – pohyb nábojů ve vakuu (např. elektronů v obrazovce)

• posuvný – je spojený s časovou změnou elektrického pole (nabíjení kondenzátorů, depolarizace dielektrik)

04.12.2013 94

Elektrické proudy III

• Elektrické proudy mohou být uskutečněny pohybem nábojů obojí polarity.

• Podle konvence směřuje proud ve směru elektrického pole, čili stejně, jako kdyby pohybující se nosiče náboje byly kladné.

• Pokud jsou volné nosiče v určité látce záporné, jako například u kovů, pohybují se fyzicky proti směru konvenčního proudu.

04.12.2013 95

Elektrické proudy IV

• Nejprve se budeme zabývat stacionárními proudy. Jedná se o zvláštní případ rovnováhy, kdy napětí a proudy v obvodech jsou stálá a konstantní.

• Stacionární proudy mohou být pouze konvekční nebo kondukční.

• Později se také zmíníme o časově proměnných proudech. Ty mohou být i posuvné.

04.12.2013 96

Elektrické proudy V

• Jednotkou proudu je 1 ampér se zkratkou A 1 A = 1 C/s.

• Protože proudy lze relativně snadno měřit je právě ampér přijat jako základní elektrická jednotka v soustavě SI.

• Pomocí něj jsou potom definovány i další elektrické jednotky. Například 1 Coulomb : 1C = 1 As.

04.12.2013 97

Elektrické zdroje I

• Abychom udrželi konstantní proud, například ve vodivé tyčce, musíme udržet konstantní elektrické pole, které se snaží přivést náboje v tyčce k rovnováze. To je ekvivalentní udržování konstantního rozdílu potenciálu neboli napětí mezi konci tyčky.

• K tomu slouží zdroj elektrického napětí.

04.12.2013 98

*Test

• Může být nabitý kondenzátor využit jako elektrický zdroj k dosažení stacionárního proudu?• A) Ano

• B) Ne

04.12.2013 99

*Odpověď

• Odpověď je NE! • Nabitý kondenzátor může být využit jako

zdroj například k pokrytí krátkodobých výpadků jiných zdrojů.

• Vybíjecí proud kondenzátoru však je nestacionární. Proud totiž vybíjí kondenzátor, čili způsobuje pokles jeho napětí a proto i sám klesá.

04.12.2013 100

Elektrické zdroje II

• Elektrický zdroj• je podobný kondenzátoru, ale musí obsahovat

mechanismus, který doplňuje náboje odvedené z jednotlivých elektrod, aby napětí mezi nimi zůstalo zachováno.

• musí obsahovat síly neelektrické povahy (tzv. vtištěné např. chemické), které ho dobíjí. Musí například přenášet kladný náboj ze záporné elektrody na kladnou, a protože je mezi nimi napětí, konat tak práci.

• napětí mezi elektrodami je dáno rovnováhou mezi elektrickými a neelektrickými silami.

04.12.2013 101

Elektrické zdroje III

• K udržení konstantního napětí při určitém konstantním proudu se dobíjení, čili i práce, musí vynakládat s určitou rychlostí, takže elektrický zdroj dodává do obvodu určitý výkon.

• Tam se výkon může transformovat na jiné formy, jako tepelný, světelný nebo mechanický.

• Část se ovšem vždy ztratí jako nechtěné teplo.

04.12.2013 102

Elektrické zdroje IV

• Existují speciální dobíjitelné zdroje – akumulátory. Jejich vlastnosti jsou velmi podobně kondenzátorům, ale pracují při určitém, (téměř) konstantním napětí.

• Proto potenciální energie akumulátoru nabitého nábojem Q na napětí U je :

Ep = QU , tedy NE QU/2 , jak by tomu bylo u kondenzátoru.

04.12.2013 103

Ohmův zákon • Každé vodivé těleso potřebuje jisté napětí mezi

svými konci, aby vzniklo elektrické pole s dostatečnou intenzitou k dosažení proudu určité velikosti.

• Toto napětí a proud jsou si přímo úměrné podle Ohmova zákona : U = RI

• Konstanta úměrnosti se nazývá rezistance (odpor).• Je to napětí potřebné k dosažení proudu 1 A, čili se

jedná o schopnost vzdorovat průtoku proudu.• Jednotkou odporu je 1 ohm : 1 = 1 V/A

04.12.2013 104

Rezistance a rezistory I

• Každé situaci, kdy jistým vodičem protéká při určitém napětí určitý proud, můžeme přiřadit určitou rezistanci.

• U ideálního rezistoru (odporu) je rezistance konstantní bez ohledu na napětí a proud.

• V elektronice se používají speciální součástky – rezistory, které jsou vyvíjeny tak, aby jejich vlastnosti byly blízké ideálním rezistorům.

• Rezistance může obecně záviset na napětí, proudu, a řadě jiných faktorů.

04.12.2013 105

Rezistance a rezistory II

• Důležitou informací o každém vodivém materiálu je jeho volt-ampérová charakteristika.

• Je to naměřená a (vhodně) vynesená závislost proudu na napětí nebo naopak. Může odhalit důležité vlastnosti látek.

• V každém bodě takové charakteristiky můžeme definovat diferenciální rezistanci jako :

dR = U/I• Pro ideální odpor je tato veličina všude konstantní.

04.12.2013 106

Rezistance a rezistory III

• V elektronice se používá dalších speciálních součástek například variátorů, Zenerových diod nebo varistorů, které jsou vyvinuty tak, aby měly speciální V-A charakteristiku. Používá se jich například ke stabilizaci napětí.

• Závislosti rezistance na fyzikálních veličinách se využívá u různých senzorů.

04.12.2013 107

Přenos náboje, energie a výkonu I

• Ke zdroji o určitém napětí U připojme vodiči se zanedbatelným odporem jistý rezistor R. Získáváme jednoduchý elektrický obvod.

• Na odporu je stejné napětí jako na zdroji.

• Věnujme pozornost orientaci elektrického pole.

04.12.2013 108

Přenos náboje, energie a výkonu II

• Pole má snahu vyvolat proudy, které zdroj vybíjí v jeho vnitřku i vnějším obvodem. Proudy mají samozřejmě směr snižování potenciální energie.

• Ve zdroji ale jsou síly neelektrické povahy, které pohybují náboji proti směru pole, takže v celém obvodu se proud pohybuje stejným směrem.

• Ve zdroji vykonávají vnější síly práci, kterou pole vrací v rezistoru opět do vnějšího prostředí.

04.12.2013 109

Přenos náboje, energie a výkonu III

• Vezmeme náboj dq a obejdeme s ním obvod. Ve zdroji musíme, jako vnější činitel, vykonat práci proti poli Udq a pole vykoná práci –Udq.

• V rezistoru koná pole práci Udq, čili vnější činitel koná práci –Udq.

• Celková práce vykonaná jak vnějším činitelem tak i polem je rovna nule, což je samozřejmě ekvivalentní konzervativnosti elektrického pole.

• Derivujeme-li časem, dostáváme výkon : P = UI.• A po dosazení za rezistanci : P = U2/R = RI2.

04.12.2013 110

Přenos náboje, energie a výkonu IV

• Neelektrické síly tedy ve zdroji odevzdávají výkon P = UI. Ten je elektrickým obvodem přenesen do spotřebiče jako výkon elektrický. Tam se opět mění na výkon neelektrický (teplo, světelný…).

• Výhoda je v tom, že zdroj může být ve velké dálce od spotřebičů a výkon se relativně jednoduše a s relativně malými ztrátami přenáší prostřednictvím elektrického pole.

04.12.2013 111

Přenos náboje, energie a výkonu V

• Ve skutečnosti ztráty v přívodních vodičích nemohou být zanedbány, zvláště při přenosu na dlouhou vzdálenost.

• Protože ztráty závisí na I2, přenáší se výkon při co nejvyšším napětí a nejnižším proudu.

04.12.2013 112

Měrný odpor a vodivost I

• Mějme ohmický vodič, tedy takový, jaký splňuje Ohmův zákon:

U = RI

• Rezistance R závisí na geometrii a na vlastnostech materiálu vodiče. Mějme vodič délky l a průřezu S, definujeme měrný odpor (rezistivitu) a její reciprokou hodnotu, měrnou vodivost :

Sl

Sl

R

1

04.12.2013 113

Měrný odpor a vodivost II

• Měrný odpor je schopnost látek vzdorovat průtoku elektrického proudu. Při stejném tvaru je k dosažení určitého proudu u látek s velkou rezistivitou potřeba větší napětí.

• Jednotkou rezistivity v SI je 1 m.

• Měrná vodivost je naopak schopnost vést proud.

• Jednotkou měrné vodivosti v SI je 1 -1m-1.

• Jednotka vodivosti je siemens 1 Si = 1 -1.

04.12.2013 114

Měrný odpor a vodivost III

materiál [m] [K-1]stříbro 1.59 10-8 0.0061měď 1.64 10-8 0.0068Al 2.65 10-8 0.00429W 5.6 10-8 0.0045Fe 9.71 10-8 0.00651grafit 3 – 60 10-5 0.005Si 0.1 – 60 0.07sklo 109 - 1012

04.12.2013 115

Volné nosiče nábojů I

• Obecně jsou volnými nosiči náboje nabité částice nebo pseudočástice, které se mohou ve vodičích volně pohybovat.

• Mohou jimi být elektrony, díry a různé ionty.

• Vodivostní vlastnosti látek závisí na tom, jak volně se nosiče mohou pohybovat, což hluboce souvisí se strukturou příslušné látky.

04.12.2013 116

Volné nosiče náboje II

• V pevných vodičích, sdílí každý atom své nejslaběji vázané (valenční) elektrony s ostatními atomy. Ty se tedy mohou více nebo méně volně pohybovat v celém objemu vodiče.

• V nulovém elektrickém poli se elektrony pohybují chaoticky velkými rychlostmi náhodnými směry a často se sráží s atomy. Připomíná to chaotický pohyb molekul plynu, což vede k používání (ne úplně přesného) názvu elektronový plyn.

04.12.2013 117

Volné nosiče náboje III

• V nenulovém poli mají elektrony též jistou relativně malou driftovou rychlost v opačném směru než je směr pole.

• Nepružné srážky s atomy jsou hlavním mechanismem zodpovědným za rezistivitu (kovů při normální teplotě) a samozřejmě také za ztráty energie (výkonu) ve vodičích.

04.12.2013 118

*Otázka

• Driftová rychlost nosičů náboje je řádově 10-4 m/s.

Jak je možné, že se žárovka v místnosti rozsvítí po zapnutí vypínače prakticky okamžitě?

04.12.2013 119

*Odpověď

• Sepnutím vypínače, připojíme napětí na konce vodiče, čímž vytvoříme elektrické pole poděl něj. To uvede do pohybu nosiče náboje. Protože elektrické pole se vytvoří rychlostí světla c = 3 108 m/s, nosiče náboje se dají do pohybu (prakticky) současně.

04.12.2013 120

Teplotní závislost měrného odporu I

• Ve většině případů je teplotní chování blízké lineárnímu .

• Definujeme změnu měrného odporu vzhledem k jisté referenční teplotě t0 (0 nebo 20° C):

= (t) – (t0)

• Relativní změna měrného odporu je přímo úměrná změně teploty :

)1)(()(

)()(

0

00

ttt

tttt

04.12.2013 121

Teplotní závislost měrného odporu II

[K-1] je lineární teplotní koeficient. • Je určen teplotní závislostí n a vd. • Může být i záporný, např. u polovodičů (ale ty mají

chování exponencíální).

• V případě většího roszahu teplot nebo vyšší požadované přesnosti musíme přidat další členy polynomu v dalším přiblížení kvadratický :

/(t0) = t + (t)2 + … (t) = (t0)(1 + t + (t)2 + …)

04.12.2013 122

Seriové zapojení rezistorů

• Rezistory, zapojenými seriově, prochází stejný společný proud.

• Současně napětí na všech dohromady musí být součet napětí na rezistorech jednotlivých.

• Seriové zapojení tedy můžeme nahradit jedním rezistorem, pro jehož rezistanci platí :

R = R1 + R2 + …

04.12.2013 123

Paralelní zapojení rezistorů

• Jsou-li rezistory zapojeny paralelně, je na každém stejné společné napětí.

• Současně se celkový proud dělí mezi ně a je tedy součtem proudů jednotlivými rezistory.

• Paralelní zapojení tedy můžeme nahradit jedním rezistorem, pro jehož rezistanci platí

1/R = 1/R1 + 1/R2 + …

04.12.2013 124

*Obecná síť rezistorů

• Nejprve nahradíme seriově zapojené rezistory, potom paralelně.

• *Zapojení do trojúhelníku nahradíme zapojením do hvězdy :

r = rbrc/(rarb + rbrc + rcra)

• *Tento vztah vyplývá z cyklické záměny :

r + r = rc(ra + rb)/(rarb + rbrc + rcra)

04.12.2013 125

Obecná topologie obvodů

• Obvody se skládají z :• Větví – vodiče se zdroji a rezistory

• Uzlů – body, kde jsou propojeny alespoň tři větve.

• Smyček – všechny možné uzavřené cesty rozličnými větvemi a uzly, které se neprotínají.

04.12.2013 126

Řešení obvodů

• Úplné řešení obvodu znamená nalezení proudu v každé jeho větvi. Někdy nás ale zajímají jenom některé z nich.

• Při řešení obvodů je nutné najít nezávislé smyčky. Na to existují geometrické metody a možností je obvykle několik.

• Smyslem je nalézt dostatečný počet lineárně nezávislých rovnic pro proudy.

04.12.2013 127

Théveniova poučka I

• Mějme jistou větev spojující dva uzly A a B libovolně složité sítě v jsou ale obsaženy pouze pasivní prvky: zdroje a rezistory.

• Potom lze ukázat, že celá síť se vůči naší větvi chová jako jeden ideální zdroj elektromotorického napětí s jedním odporem zapojeným do série (nebo ideální zdroj proudu s paralelní vnitřní vodivostí).

04.12.2013 128

Théveniova poučka II

• Toto elektromotorické napětí je principiálně možné zjistit odpojením větve a změřením napětí mezi body A a B ideálním voltmetrem naprázdno.

• Vnitřním odpor se určí vydělením elektromotorického napětí zkratovým proudem, který by větví tekl, kdyby obsahovala pouze ideální ampérmetr - rezistor s nulovou rezistancí.

• Obě velčiny a zvláště zkratový proud se ale obvykle nemohou měřit přímo, ale získávají se extrapolací tzv. zatěžovací charakteristiky.

04.12.2013 129

Reálné zdroje I

• Elektrické zdroje obsahují síly neelektrické povahy, které kompenzují vybíjení, když je dodáván proud tak, aby napětí bylo konstantní.

• Reálné zdroje nejsou schopny kompenzovat vybíjení úplně a jejich svorkové napětí se stává klesající funcí proudu, který dodávají.

• Obvykle mají zdroje lineární chování , což je v souladu s Théveniovou poučkou. Jejich vlastnosti tedy můžeme popsat dvěma parametry.

04.12.2013 130

Reálné zdroje II

• Obvyklým modelem reálného zdroje je seriová kombinace ideálního zdroje s jistým konstantním napětím a ideálního rezistoru. Svorkové napětí takové kombinace v závislosti na proudu je :

U(I) = - RiI• Porovnáme-li chování tohoto modelu s chováním

reálného zdroje, vidíme, že je svorkové napětí při nulovém odebíraném proudu, tzv. elektromotorické napětí a vnitřní odpor Ri je záporně vzatý sklon celé závislosti.

04.12.2013 131

Reálné zdroje III

• Napětí může být nalezeno pouze extrapolací k nulovému proudu.

• Vidíme take, že vnitřní odpor Ri lze chápat jako míru, kterou se reálný zdroj blíží zdroji ideálnímu. Čím je jeho hodnota nižší, tím více se závislost U(I) blíží konstantní a zdroj zdroji ideálnímu.

• Model lze použít, i když je zdroj např. nabíjen.

04.12.2013 132

Voltmetry a ampérmetry I

• Měření napětí a proudů je důležité nejen ve fyzice a elektrotechnice, ale v mnoha oblastech vědy a technologie, protože většina veličin se převádí na veličiny elektrické (například teplota, tlak ...).

• Je to proto, že elektrické veličiny se snadno přenáší i měří.

04.12.2013 133

Voltmetry a ampérmetry II

• Ukážeme si principy konstrukce jednoduchých měřících přístrojů.

• Poté si ukážeme jejich použití a typické problémy ovlivňující správnost měřených veličin, jsou-li přístroje neideální.

04.12.2013 134

Termočlánek I

• Termočlánek je příkladem čidla, které převádí nějakou fyzikální veličinu (zde teplotu) na veličinu elektrickou, obvykle snáze dále zpracovatelnou.

• Na rozdíl od jiných běžných teplotních čidel, odporového teploměru (např. Pt100) nebo termistoru, u nichž se měří závislost vodivosti na teplotě, termočlánek je zdrojem napětí.

04.12.2013 135

Termočlánek II

• Činnost termočlánku je založena na Seebeckovu neboli termoelektrickém jevu (Thomas 1821), který spočívá v tom, že na vodiči, jehož dva konce mají rozdílnou teplotu, se objevuje napětí.

• Toto napětí je úměrné velikosti teplotního rozdílu a materiálovému parametru, tzv. Seebeckově koeficientu.

04.12.2013 136

Termočlánek III• Jako termočlánek se tedy hodí dvojice vodičů s dostatečně

odlišnou hodnotou Seebeckova koeficientu. • V praxi se užívá asi deseti vybraných dvojic materiálů.

Liší se např. vhodností pro určité rozpětí teplot nebo do různých prostředí. Značí se J, K ... a jejich kalibrace je známá. Pro přesné měření se používá zpravidla polynom 8. stupně s koeficienty odlišnými pro kladné a záporné teploty.

• Při použití jednoho termočlánku je nepříjemná závislost na pokojové teplotě.

04.12.2013 137

Termočlánek IV• Moderní přístroje (s mikroprocesorem) si často

pokojovou teplotu měří a simulují “studený spoj” a stačí jim tedy termočlánek jeden.

• Mohou se ale použít jenom ty typy termočlánků, na který jsou naprogramovány a musí se přesně dodržet instrukce, který vodič se připojuje ke které zdířce.

• Manuální korekce termočlánku se musí provádět na úrovni napětí.

04.12.2013 138

Peltierův jev• Popsaný jev funguje i obráceně. Teče-li elektrický

proud spojem dvou různých vodičů, může se z tohoto bodu odebírat nebo do něj přinášet teplo.

• Tento jev se nazývá jevem Peltierovým

(Jean 1834).

• Komerčně jsou dostupné peltierovy články, s jejichž pomocí lze elegantně temperovat určitou oblast v rozpětí teplot cca – 50 až 200 °C. Lze jich ve speciálních případech použít i jako zdrojů napětí, např. u kosmických sond.

04.12.2013 139

*Supravodivost I• H. K. Onnes v roce 1911 zjistil, že u rtuti

pod tzv. kritickou teplotou Tc = 4.2 K se měrný odpor snižuje řádově na

4 10-25 m, což je efektivně nula, protože to je 1016 méně než je hodnota při pokojové teplotě.

• Smyčkový proud v supravodivém materiálu teče bez znatelných ztrát a proto může existovat několik let bez dodávání energie!

04.12.2013 140

*Supravodivost II• V současnosti jsou vyvinuty materiály na bázi Y,

Ba, Cu, které mají kritickou teplotu Tc 160 K, například: YBa2Cu3O7

• Tyto keramické látky jsou za normální teploty nevodivé, zatímco u dobrých vodičů nelze dosáhnout supravodivosti při žádné teplotě.

• Supravodivost je kvantový jev, který spočívá v tom, že elektrony se látkou pohybují v párech, čímž se snižuje možnost jejich současně interakce s atomy mřížky a tudíž ztrát energie.

04.12.2013 141

*Supravodivost III• Existence supravodivých materiálů při

běžných teplotách by měla obrovský význam v mnoha oblastech vědy a techniky. Proto je jejich vývoj otevřenou oblastí výzkumu.

• V současnosti spočívají hlavní problémy využití v nevhodných mechanických vlastnostech a v závisloti Tc na různých faktorech, zvláště na magnetickém poli.

04.12.2013 142

Úvod do magnetismu

• Magnetické a elektrické jevy jsou známy mnoho tisíc let, ale až v 19. století byla nalezena jejich blízká vzájemná příbuznost. Hlubšího porozumění bylo dosaženo, až když byla formulována speciální teorie relativity, na začátku 20. století.

• Studium magnetických vlastností látek je doposud oblastí aktivního výzkumu.

04.12.2013 143

Permanentní magnety I

• Matematický popis magnetických polí je podstatně složitější než je tomu u polí elektrických.

• Vhodné je začít kvalitativním popisem jednoduchých magnetických jevů.

• Již dlouhou dobu je známo že jisté materiály na sebe mohou působit silami dalekého dosahu.

04.12.2013 144

Permanentní magnety II

• Tyto síly se nazývají magnetickými.

• Mohou být přitažlivé i odpudivé.

• Velikost těchto sil klesá s druhou mocninou vzdálenosti.

• Existovalo podezření, že magnetické i elektrické síly jsou jedno a totéž. Tak tomu ale není! Je mezi nimi ale úzká souvislost.

04.12.2013 145

Permanentní magnety III

• Důvod: magnety neovlivňují nepohybující se náboje, ale působí na náboje, které se pohybují.

• Nejprve byly magnetické vlastnosti přiřazovány „magnetickým nábojům¨. • Protože existují přitažlivé i odpudivé síly, musí

existovat dva druhy těchto „nábojů“.• Ukázalo se, že tyto „náboje“ nemohou být

odděleny!

04.12.2013 146

Permanentní magnety IV

• Když se magnet jakéhokoli tvaru nebo velikosti rozdělí, bude každá vzniklá část mít vždy oba „náboje“. Tyto „náboje“ se nazývají vhodněji magnetické póly.

• Neexistují tedy magnetické „monopóly“.

• Neshodné póly se přitahují a shodné se odpuzují.

04.12.2013 147

Magnetické pole Země I

• Představujeme si, že v okolí magnetů se rozprostírá magnetické pole, které může interagovat s jinými magnety.

• Již za dávných časů bylo objeveno, že Země je zdrojem permanentního magnetického pole.

• V běžných zeměpisných šířkách se magnet vždy natočí přibližně do severojižního směru.

04.12.2013 148

Magnetické pole Země II

• To je princip kompasu, který používali Číňané k navigaci již před mnoha tisíci lety.

• Byla přijata následující konvence:

• Pól magnetu, který se nasměruje k severnímu geografickému pólu je nazýván severním a opačný pól jižním.

• Magnetické pole směřuje od severního pólu k jižnímu. Tedy tam, kam by v daném bodě ukazovala (severní) střelka kompasu. To umožňuje snadnou kalibraci magnetů.

04.12.2013 149

Magnetické pole Země III

• Je patrné, že severní geografický pól je vlastně jižním pólem magnetickým.

• Ve skutečnosti kompasy neukazují přesně k severnímu pólu. Prakticky všude mají takzvanou deklinaci. Magnetické póly jsou od geografických vzdáleny několik set km.

• Kromě deklinace existuje ještě odchylka od vodorovného směru.

• Pole má důležitou funkci pro život na zemi a přitom se o jeho původu jen spekuluje.

04.12.2013 150

Magnetické pole I

• Podobně jako v případě elektrických polí, přijímáme představu, že je magnetické interakce jsou zprostředkovány magnetickém polem.

• Od každého zdroje magnetického pole (např. magnetu) se rychlostí světla šíří informace o jeho pozici, orientaci a síle. Tato informace může být „přijata“ jiným zdrojem. Výsledkem je silové působení mezi těmito zdroji.

04.12.2013 151

Magnetické pole II

• Pomocí zmagnetované jehly lze ukázat, že magnetické pole může mít v každém bodě jiný směr. Proto musí být popsáno vektorovou veličinou a je tedy polem vektorovým.

• Magnetické pole se obvykle popisuje vektorem magnetické indukce .B

04.12.2013 152

Magnetické pole III• Magnetické siločáry jsou křivky:

• které jsou v každém bodě tečné k vektoru magnetické indukce

• které jsou uzavřené a procházejí prostorem i zdroji polí

• kterým se přiřazuje směr stejný, jakým by ukazoval v daném bodě severní pól magnetky

• analogické k siločárám elektrickým nebo proudnicím

04.12.2013 153

Magnetické pole IV

• Protože neexistují magnetické monopóly, jsou magnetické siločáry uzavřené křivky a vně magnetů připomínají pole elektrického dipólu.

• Přestože by bylo principiálně možné studovat přímo vzájemné působení zdrojů magnetismu, rozdělují se problémy z praktických důvodů na úlohy • vytváření polí zdroji magnetismu a

• působení polí na zdroje magnetismu.

04.12.2013 154

Elektrické proudy jsou zdrojem magnetického pole I

• Prvním důležitým krokem k nalezení relace mezi elektrickým a magnetickým polem byl objev, uskutečněný Oerstedem (Hans Christian) v roce 1820. Zjistil, že elektrické proudy jsou zdroji magnetického pole.

• Dlouhý přímý vodič protékaný proudem je zdrojem magnetického pole, jehož siločáry jsou kružnice jejichž osou je vodič.

04.12.2013 155

Elektrické proudy jsou zdrojem magnetického pole II

• Tyto uzavřené kružnice vypadají, jako by byly způsobeny neviditelnými magnety.

• Magnetické pole kruhové smyčky protékané proudem je toroidální.

• Směr siločar lze určit pravidlem pravé ruky.• Později si ukážeme, čím je toto pravidlo

odůvodněno a jak vypadají tato pole kvantitativně.

04.12.2013 156

Síly působící na elektrické proudy I

• Když bylo objeveno, že elektrické proudy jsou zdroji magnetického pole dalo se očekávat, že v magnetickém poli bude na vodiče protékané proudem působit síla.

• Toto působení bylo dokázáno také Oerstedem. Ukázal, že na kousek vodiče o délce , protékaný proudem I působí síla

(vektorový součin))( BldIFd

ld

04.12.2013 157

Síly působící na elektrické proudy II

• Pro dlouhý přímý vodič, který celý můžeme popsat vektorem , majícím jeho směr a délku, jímž protéká proud I, platí integrální vztah:

• Produkují-li proudy magnetické pole a jsou-

li těmito poli také ovlivňovány, znamení to, že proudy působí na proudy prostřednictvím magnetického pole.

l

)( BlIF

04.12.2013 158

Síly působící na elektrické proudy III

• Ze vztahu popisujícím sílu působící na elektrické proudy mohou být odvozeny jednotky a rozměry.

• V soustavě SI je jednotkou magnetické indukce B 1 Tesla, zkratka T, 1T = 1 N/Am

• Běžně se ještě používají některé starší jednotky, např. 1 Gauss: 1G = 10-4 T

04.12.2013 159

Síla působící na elektrický náboj v pohybu I

• Protože proudy jsou pohybující se elektrické náboje, platí pro proudy vše, co platí pro náboje v pohybu.

• Síla , kterou působí magnetické pole o indukci na náboj q, pohybující se rychlostí je popsána Lorentzovým vztahem:

)( BvqF

F

B

v

04.12.2013 160

Síla působící na elektrický náboj v pohybu II

• Obecněji se Lorentzovou silou nazývá síla, která zahrnuje společné působení elektrických a magnetických sil:

• Tento vztah může být považován za definici elektrických a magnetických sil a může být i počátečním bodem pro jejich studium.

)]([ BvEqF

04.12.2013 161

Síla působící na elektrický náboj v pohybu III

• Lorentzova síla je centrem celého elektro- magnetismu. Vrátíme se k ní probráním několika příkladů a zjistíme, že pomocí ní lze jednoduše vysvětlit téměř všechny elektromagnetické jevy.

• Nyní si ukážeme, jak je magnetické pole generováno kvantitativně.

04.12.2013 162

Biot-Savartův zákon I

• Existuje mnoho analogií mezi elektrostatickým a magnetickým polem a nabízí se otázka, zda existuje vztah analogický Coulombovu zákonu, který by popisoval, jak na sebe působí dva krátké rovné kousky vodičů, protékaných proudem. Takový vztah existuje ale právě jeho složitost je důvodem pro rozdělení problémů magnetismu na generaci polí a jejich působení.

04.12.2013 163

Biot-Savartův zákon II

• Vše, co je potřebné pro nalezení sil, kterými na sebe působí dva makroskopické vodiče libovolné velikosti a tvaru je aplikovat princip superpozice a integrovat.

• V obecném případě se takovým způsobem musí postupovat, ale v případě speciální symetrie existuje analogická pomůcka, jako je Gaussova věta elektrostatiky.

04.12.2013 164

Ampèrův zákon

• Podobně jako v případě elektrostatického pole existuje v magnetismu zákon, který může výrazně usnadnit výpočty v případech speciální symetrie a může být také použit pro vysvětlení fyzikálních myšlenek v mnoha důležitých situacích.

• Je to Ampérův zákon, který dává do souvislosti integrál přes uzavřenou křivku s proudy, které tato křivka obemyká.

B

04.12.2013 165

Magnetické pole přímého vodiče protékaného proudem I

• Podobně jako při použití Gaussovy věty, je Ampérův zákon jednoduše použitelný, podaří-li se najít vhodnou integrační křivku, která je všude tečná k , čili siločáru, na níž je navíc B všude konstantní. Potom lze B vytknout před integrál, který je jednoduše délkou integrační cesty – uzavřené křivky.

B

04.12.2013 166

Magnetické pole přímého vodiče protékaného proudem II

• Mějme přímý dlouhý vodič protékaný proudem I.

• Předpokládáme, že B(r) je osově symetrická a vodič je přirozeně osou symetrie.

• Siločáry jsou kružnice a tedy naše integrační cesta bude kružnice s poloměrem r, která prochází bodem, kde chceme zjistit velikost magnetického pole. Potom:

r

IrB

IrrB

2)(

)(2

0

0

04.12.2013 167

Magnetické pole přímého vodiče protékaného proudem III

• Vektory magnetické indukce jsou tečné ke kružnicím, jejichž centrem je vodič, které jsou tudíž siločaramy, a klesá s první mocninou vzdálenosti.• To je situace podobná jako u elektrostatického

pole dlouhého nabitého vodiče. Ovšem siločáry elektrického pole jsou radiální, zatímco siločáry pole magnetického jsou kružnice, tedy jsou navzájem v každém bodě kolmé.

04.12.2013 168

Síla mezi dvěma přímými vodiči I

• Kvalitativně lze snadno ukázat, že dva paralelně tekoucí elementy proudů se budou přitahovat a síla bude ležet ve směru spojnice.

• Výsledek této situace je podobný jako při působení dvou bodových nábojů, ale zde se jedná o dvojitý vektorový součin.

04.12.2013 169

Síla mezi dvěma přímými vodiči II

• Mějme dva dlouhé rovné paralelní vodiče vzdálené d, protékané proudy I1 a I2, které mají stejný směr.

• Nejprve nalezneme směry sil a potom, díky symetrii, můžeme jednoduše pracovat s velikostmi. Je vhodné pracovat se silami na jednotku délky:

d

II

l

F 210

2

04.12.2013 170

Síla mezi dvěma přímými vodiči III

• Protože síla se relativně snadno měří, je tento vztah použit jako definice 1 ampéru:

1 ampér je konstatní proud, protékaný dvěma přímými, rovnoběžnými, nekonečně dlouhýmy vodiči o zanedbatelném průřezu, vzdálenými 1 metr, který by způsobil sílu rovnou 2 10-7 N na metr jejich délky.

04.12.2013 171

Magnetický dipól I

• V elektrostatice jsme definovali elektrický dipól: Představujeme si jej jako dva náboje, které mají stejnou absolutní hodnotu ale opačnou polaritu a jsou drženy v určité vzdálenosti od sebe například pomocí pevné tyčinky. • Přestože celkový náboj je nulový, je díky rozdílné

poloze obou nábojů dipól zdrojem elektrostatického pole speciální symetrie, které klesá rychleji než pole bodových nábojů.

• Vnější elektrické pole se obecně snaží dipól natáčet a je-li nehomogenní i posunovat.

04.12.2013 172

Magnetický dipól II

• Magnetickými dipóly jsou všechny magnety, speciálně tenké ploché permanentní magnety nebo proudové smyčky.• Jsou opět zdroji polí speciální symetrie, která také

klesají rychleji než pole přímých vodičů a

• ve vnějších magnetických polích jsou natáčeny nebo posunovány podobně jako elektrické dipóly.

• Pomocí magnetických dipólů vysvětlujeme magnetické vlastnosti látek.

04.12.2013 173

*Magnetický dipól III

• Mějme kruhovou vodivou smyčku o poloměru a, protékanou proudem I. Popišme magnetické pole na ose smyčky ve vzdálenosti b.

• Rozdělme smyčku na malé kousíčky dl = ad a sečtěme vektorově jejich příspěvky k magnetické indukci s použitím Biot-Savartova zákona.

04.12.2013 174

*Magnetický dipól IV

• Ze symetrie je směr magnetické indukce stejný jako směr osy smyčky, kterou nazveme osou z. V tomto případě znamená integrace pouze součet projekcí magnetické indukce do osy z

dBz = dB sin . A z geometrie:

sin = a/r 1/r2 = sin2 /a2

r2 = a2 + b2

• Proveďme integraci.

B

04.12.2013 175

*Magnetický dipól V

• Protože magnetické dipóly jsou zdroji magnetického pole, jsou jím také ovlivňovány.

• V homogenním magnetickém poli bude na magnetický dipól působit moment síly, který bude jejich osu natáčet do směru magnetických siločar.

• Ilustrujme to na speciálním případě obdélníkové smyčky a x b, kterou protéká proud I.

04.12.2013 176

*Magnetický dipól VI

• Z obrázku vidíme, že síly působící na strany a se snaží smyčku roztáhnout. Je-li pevná, síly se vyruší.

• Síly působící na strany b jsou horizontální. Horní působí do tabule a spodní z tabule. Lze je rozložit na složky z nichž jednen pár se snaží smyčku roztáhnout, ale druhý tvoří dvojici sil mající otáčivý účinek.

04.12.2013 177

*Magnetický dipól VII

• Moment síly můžeme najít například nalezením projekce síly kolmo na smyčku:

T/2 = Fbsin a/2 • Protože obě síly působí ve stejném smyslu:

T = BIabsin • Užitím definice magnetického dipólového

momentu:

lze vztah pro moment síly zobecnit :

0mIabm

EpTBmT em

bF

04.12.2013 178

Magnetické pole solenoidu I

• Solenoid je dlouhá cívka s mnoha závity.• V případě konečného solenoidu je nutné

magnetické pole počítat jako superpozici magnetické indukce vyvolané jednotlivými závity.

• V případě solenoidu téměř nekonečného, kdy lze zanedbat okrajové efekty, můžeme elegantně použít ampérova zákona.

04.12.2013 179

Magnetické pole solenoidu II

• Jako uzavřenou křivku zvolíme obdélník, jehož dvě strany jsou rovnoběžné s osou solenoidu.

• Ze symetrie lze předpokládat, že siločáry budou paralelní s osou solenoidu.

• Protože se uzavřené siločáry vrací „celým vesmírem“ jsou vně solenoidu nekonečně zředěny.

04.12.2013 180

Magnetické pole solenoidu III

• Je zřejmé, že nenulový příspěvek křivkového integrálu bude pouze přes stranu obdélníka, která je uvnitř solenoidu.

• Obklopuje-li obdélník N závitů s proudem I a jeho strana má délku l, potom:

Bl = 0NI• A zavedeme-li hustotu závitů, potom:

n = N/l B = 0nI

04.12.2013 181

Magnetické pole solenoidu IV

• Ze symetrie je patrné, že výsledná indukce je stejná, ať je náš obdélník ponořen do nitra solenoidu libovolně hluboko. Úvnitř dlouhého solenoidu je tedy homogenní pole.

• Pole co nejbližší homogennímu v určitém objemu je nutné vytvořit u mnoha metod např. hmotnostní spektroskopie nebo NMR.

• Relativně kvalitní pole lze získat pomocí tzv. Helmholtzových cívek. To je velmi krátký solenoid o velkém průměru, rozdělený na půlky.

04.12.2013 182

Magnetické pole toroidu I

• Toroid si lze představit jako solenoid uzavřený do sebe. Protože siločáry nemohou uniknout, nemusíme dělat žádné předpoklady o jeho velikosti.

• Má-li toroid střední poloměr R a N závitů, protékaných proudem I, můžeme jednoduše ukázat, že pole jen v toroidu a vypočítat jaká bude jeho velikost pro určitou siločáru.

04.12.2013 183

Magnetické pole toroidu II

• Budeme integrovat podél siločáry o poloměru r :

B 2r = 0NI B(r) = 0NI/2r

• Toto platí pro každé r uvnitř toroidu.

• Je patrné, že pole je:• nehomogenní, protože závisí na r.

• nulové vně toroidu.

04.12.2013 184

*Magnetické pole vodiče konečného průřezu I

• Mějme přímý vodič o průměru R, kterým protéká proud I a předpokládejme konstantní proudovou hustotu.

• Použijme Ampérova zákona. Uvažujme dvě kruhové dráhy, jednu uvnitř a druhou vně vodiče.

• Dráha vně vodiče obemyká celý proud a pole je zde stejné jako, kdyby byl vodič nekonečně tenký.

• Dráha uvnitř vodiče obemyká jen část proudu, což vede k lineární závislosti indukce na r.

04.12.2013 185

*Magnetické pole vodiče konečného průřezu II

• Uvažujme kruhovou dráhu o poloměru r uvnitř vodiče:

B 2r = 0Ienc

• Obemknutý proud Ienc zde závisí na ploše, jejímž obodem je uvažovaná smyčka

Ienc = I r2/R2

B = 0Ir/2R2

04.12.2013 186

Znovu Lorentzova síla

• Vraťme se k Lorentzově síle :

a zabývejme se užitím tohoto vztahu.

• Začněme pouze s magnetickým polem.

• Ukažme, že platí :

)]([ BvEqF

)()( BLIFBvqF

04.12.2013 187

Proudy jsou pohybující se náboje I

• Mějme přímý kousek vodiče délky L kolmo na magnetickou indukci a v něm náboj q, pohybující se rychlostí v.

• Na překonání vzdálenosti L bude náboj potřebovat čas : t = L/v

• To odpovídá proudu : I = q/t = qv/L q = I L/v

• Dosadíme za q do výrazu pro Lorentzovu sílu :

F = qvB = ILvB/v = ILB

04.12.2013 188

Proudy jsou pohybující se náboje II

• Chceme-li znát, jak se v magnetickém poli chová určitý vodič, protékaný proudem, můžeme si pro jednoduchost představit, že nosiče náboje jsou kladné a pohybují se ve směru tekoucího proudu. U většiny jevů nezáleží jakou polaritu nosiče náboje ve skutečnosti mají, ani se jimi tedy nedá zjistit. Výjimkou je např. Hallův jev.

• Ilustrujme to na vodivé tyčce pohybujicí se na vodivých kolejnicích v magnetickém poli.

04.12.2013 189

Pohybující se náboj v magnetickém poli I

• Vstřelme nabitou částici q, m rychlostí v kolmo do homogenního magnetického pole o indukci B.

• Velikost síly působící na částici je F = qvB a její směr můžeme najít z vlastností vektorového součinu FvB musí tvořit pravotočivý systém.

• Protože F je kolmá k v, bude neustále měnit směr pohybu, ale nikoli velikost rychlosti a výsledný pohyb částice bude kruhový.

04.12.2013 190

Pohybující se náboj v magnetickém poli II

• Výsledný pohyb je analogický pohybu planetárnímu. Lorentzova síla musí být silou dostředivou kruhového pohybu :

mv2/r = qvB• Obvykle se měří r , aby se identifikovaly částice :

• r je úměrné velikosti rychlosti a nepřímo úměrné specifickému náboji a magnetické indukci.

B

vr

mq

1

04.12.2013 191

Pohybující se náboj v magnetickém poli III

• Tento vztah je základem pro identifikaci částic například v mlžné komoře, používané v částicové fyzice.• Můžeme okamžitě určit polaritu částice.

• Jsou-li dvě částice stejné, má ta s větším r větší rychlost a energii.

• Jsou-li stejné rychlosti, má částice s větším specifickým nábojem menší r.

04.12.2013 192

*Měření specifického náboje I

• Tento princip lzepoužít k měření specifického náboje elektronu.

• Volné elektrony získáme ze žhavené elektrody (katody). Potom je urychlíme napětím U, necháme vletět kolmo do magnetického pole o indukci B a změříme poloměr r jejich kruhové dráhy.

04.12.2013 193

*Měření specifického náboje II

• Vyjádříme rychlost: mv2/r = qvB v = rqB/m

• Tu dosadíme do rovnice, vyjadřující zachování energie během urychlování : mv2/2 = qU q/m = 2U/(rB)2

• Veličiny na pravé straně jsou měřitelné. B lze vypočítat z proudu a geometrie elektromagnetů, obvykle Helmholtzových cívek.

04.12.2013 194

*Specifický náboj elektronu I

• Původní přístup objevitele elektronu J. J. Thompsona v roce 1897 byl odlišný.

• Používal zařízení známé nyní jako “rychlostní filtr”. • Použije-li se magnetické pole B a kolmé

elektrické pole E správné polarity, projdou filtrem pouze částice, mající určitou rychlost v.

04.12.2013 195

*Specifický náboj elektronu II

• Má-li částice filtrem projít, musí se navzájem kompenzovat elektrická a magnetická síla, které na ní působí :

qE = qvB v = E/B

• Tato podmínka nezávisí ani na hmotnosti ani na náboji částic!

04.12.2013 196

*Specifický náboj elektronu III

• Thopson tedy :• Použil elektronové “dělo”, nyní známe jako

CRT.• Označil si, kam nevychýlené elektrony dopadají

při nulových polích.• Zapnul elektrické pole E a označil si výchylku.• Zapnul také magnetické pole a nastavil jeho

indukci B, aby paprsek elektronů dopadal na stejné místo, jako při nulových polích.

04.12.2013 197

*Specifický náboj elektronu IV

• Vletí-li nabitá částice q/m rychlostí v do elektrického pole o intenzitě E, koná pohyb po parabolické dráze (obdobně jako při vodorovném vrhu) a po průletu úsekem pole o délce L, který trvá L/v, je odchýlena o y :

y = EqL2/2mv2

• Dosadíme za rychlost v = E/B a dostaneme :m/q = L2B2/2yE

04.12.2013 198

Hmotová spektroskopie I

• Výše popsané principy jsou také základem významné analytické metody – hmotnostní spektroskopie, která funguje následovně :• Analyzovaný vzorek je separován, např. GC a

ionizován.

• Ionty se urychlí a nechají prolétnout rychlostním filtrem

• Nakonec vletí kolmo do magnetického pole a měří se množství částic v závislosti na poloměru dráhy.

04.12.2013 199

Hmotová spektroskopie II

• Výsledkem je množství částic v závislosti na specifickém náboji, z něhož lze, alespoň principiálně rekonstruovat chemické složení analyzované látky.

• Moderní hmotnostní spektroskopy obvykle pracují s proměnným magnetickým polem, aby poloměr r byl konstantní a svazek částic dopadal po stejné dráze do velice citlivého detektoru a využívají sofistikované metody separace a ionizace vzorku.

• Základní princip ale zůstává stejný.

04.12.2013 200

Urychlovače částic

• Urychlovače se staví, aby se získaly nabité částice o velké energii. Obvykle používá elektrické pole k urychlování a magnetické k udržení svazku částic v určitém tvaru a k fokusaci.• Lineární urychlovače

• Cyklotrony

• Synchrotrony

04.12.2013 201

*Cyklotrony I

• Cyklotron je plochý, dutý, evakuovaný buben, rozdělený na dvě, v půdorysu, polokruhové části. Materiál musí být vodivý, ale proniknutelný pro magnetické pole, které je kolmé k plochám. Obě části jsou připojeny k vysokonapěťovému a vysokofrekvenčnímu generátoru, který přepíná polarity.

• Částice jsou urychlovány při průchodu mezerou a přepínání způsobuje, že projdou jen ty, které mají správnou frekvenci kruhového pohybu.

04.12.2013 202

*Cyklotrony II

• Poloměr je určen :

• r = mv/qB = v/r = qB/m • f = /2 = qB/2m

• frekvence f je naladělna na částice s určitým specifickým nábojem. Jejich konečná energie závisí na počtu průchodů mezerou.

04.12.2013 203

Úvod do magnetických vlastností látek I

• Magnetické vlastnosti látek jsou složitější než vlastnosti elektrické i v mikroskopickém měřítku. Tam existovaly vodiče, ve kterých bylo pole nulové a dielektrika, v nichž se vždy zeslabilo. Jemnější efekty musely být studovány s využitím dalších efektů, např. závislosti na teplotě nebo frekvenci.

04.12.2013 204

Úvod do magnetických vlastností látek II

• Je-li látka vložena do vnějšího magnetického pole, jistým způsobem se zmagnetizuje a objeví se v ní vnitřní magnetické pole , které lze chápat jako hustotu magnetických dipólových momentů :

• Objem V je malý makroskopicky, ale velký mikroskopicky.

mB

V

mBm

04.12.2013 205

Úvod do magnetických vlastností látek III

• Celkové magnetické pole v látce lze potom napsat jako superpozici pole vnitřního a pole původního :

• Můžeme-li předpokládat lineární chování, platí :

• Materiálový parametr m je magnetická susceptibilita, která může tentokrát být větší i menší než nula.

mBBB

0

0BB mm

04.12.2013 206

Úvod do magnetických vlastností látek IV

• Dosadíme do první rovnice :

a definujeme relativní permeabilitu r.

• Celková (absolutní) permeabilita je definována jako : = 0 r

• Pole dlouhého solenoidu s jádrem lze například napsat jako : .

00)1( BBB rm

nIB

04.12.2013 207

Úvod do magnetických vlastností látek V

• Existují tři možné typy magnetického chování. Vnější magnetické pole může být :• zeslabeno (m< 0 nebo r < 1), tato vlastnost se

nazývá diamagnetismus.

• mírně zesíleno (m> 0 nebo r >1), tato vlastnost se nazývá paramagnetismus

• výrazně zesíleno, (m>> 0 nebo r >> 1) , tato vlastnost se nazývá ferromagnetismus.

04.12.2013 208

Úvod do magnetických vlastností látek VI

• Může-li být materiál ferromagnetický, bude tato vlastnost dominantní a překryje jiné magnetické chování, které je mnohem slabší.

• Dominantní chování se ale může změnit při určité vyšší teplotě. Například ferromagnetické chování se nad Courieovou teplotou mění na paramagnetické.

04.12.2013 209

Úvod do magnetických vlastností látek VII

Látka m [.10-6]

Cu -9.8

C (diamant) -22

Au -36

Si -4.2

Al 23

Ca 19

W 68

04.12.2013 210

Magnetismus v mikroskopickém měřítku I

• Magnetické vlastnosti látek jsou otevřenou a obtížnou oblastí výzkumu.

• Základní typy magnetického chování ale lze ilustrovat pomocí jednoduchých modelů.

• Musí se začít od mikroskopických představ. • Víme, že libovolný odštěpek permanentního

magnetu je opět permanentním magnetem s oběma póly.

04.12.2013 211

Magnetismus v mikroskopickém měřítku II

• Budeme-li dělit permanentní magnet, dostaneme se jednou na atomární úroveň a je otázkou, které elementární částice jsou zodpovědné za magnetické chování látek?

• Ukážeme, že magnetický dipólový moment částice závisí na jejím specifickém náboji, takže dominantní magnetické chování je určeno elektrony.

• Existují ale experimenty citlivé na magnetické momenty atomových jader. (NMR, Neutron. D.)

04.12.2013 212

*Magnetismus v mikroskopickém měřítku III

• Elektrony mohou vytvářet magnetické pole třemi způsoby:• Volné: jako pohybující se náboje, tedy proud.

• Vázané: díky svému spinu. a svému orbitálnímu pohybu (“rotaci”) kolem jádra.

• Poslední dva mechanismy, které se v látkách určitým způsobem skládají, jsou zodpovědné za magnetické chování materiálů.

04.12.2013 213

*Magnetismus v mikroskopickém měřítku IV

• Elektrony mohou být chápány jako nepatrné, záporně nabité částice, rotující kolem své osy. Kvantová teorie jim přisuzuje spinový moment hybnosti s :

s = h/4 = 5.27 10-35 Js• Zde h = 6.63 10-34 Js je Planckova konstanta• Protože elektron nese náboj, má díky spinu také

magnetický dipólový moment :

1 ms = eh/4me = 9.27 10-24 J/T

04.12.2013 214

*Magnetismus v mikroskopickém měřítku V

• ms = mb se nazývá Bohrův magneton a je to nejmenší magnetický dipólový moment, který může existovat v přírodě. Proto se často používá jako jednotka mikroskopických magnetických dipólových momentů (obdoba elementárního e).

• Magnetický dipólový moment je tedy kvantovaný.

• Spin je ve skutečnosti kvantovým jevem. Kdyby se elektron skutečně mechanicky otáčel, vyzařoval by totiž energii a jeho rotace by se zpomalovala.

04.12.2013 215

*Magnetismus v mikroskopickém měřítku VI

• Když jsou elektrony vázány v atomu, mají také orbitální moment hybnosti. To je také kvantový jev.

• Přestože klasický planetární model elektronu nemůže být realistický, umožňuje získat důležitou představu, proč závisí magnetické chování částice na specifickém náboji.

04.12.2013 216

*Magnetismus v mikroskopickém měřítku VII

• I ve velmi malém makroskopickém kousku látky je obrovské množství elektronů a každý má jistý spinový a orbitální magnetický moment. Celkové magnetické pole je superpozicí všech magnetických dipólových momentů všech elektronů.

• Magnetické chování závisí na tom, zde se tyto momenty kompenzují nebo zůstane nějaký moment zbytkový.

04.12.2013 217

*Diamagnetismus I

• Látky, v nichž se všechny magnetické momenty přesně kompenzují (2n elektronů), jsou diamagnetické a ve vnějším poli se zmagnetují tak, že zeslabí vnější pole.

• Toto chování lze ilustrovat na (nerealistickém, ale občas užitečném) planetárním modelu jednoho elektronu obíhajícího kolem atomového jádra.

04.12.2013 218

*Diamagnetismus II

• Ve vnějším poli působí na elektron radiální síla dostředivá nebo odstředivá, podle orientace pole a směru rotace. Síla nemůže změnit poloměr otáčení, ale je-li dostředivá, elektron urychlí, je-li odstředivá, zpomalí jej. Vzhledem k tomu, že je elektron záporný, vede to vždy na změnu magnetického pole, která směřuje proti vnějšímu poli, které je tedy vždy zeslabeno.

04.12.2013 219

*Paramagnetismus I

• Elektrony jsou primárně diamagnetické, ale mají-li atomy zbytkový magnetický moment, je diamagnetismus zamaskován mnohem silnějšími efekty. Nejsou-li spinový a orbitální momenty úplně vykompenzovány, mají atomy magnetický moment a chovají se tedy jako magnetické dipóly a snaží se srovnat ve směru vnějšího magnetického pole, čímž ho zesílí.

04.12.2013 220

*Paramagnetismus II

• Míra, s jakou se magnetické dipóly uspořádají ve vnějším magnetickm poli závisí na jeho síle a je rušena teplotními pohyby.

• Pro pole a teploty běžných hodnot platí Courieův zákon :

Bm = CB/T, kde C je materiálový parametr.

04.12.2013 221

Ferromagnetismus I

• Představu o magnetismu máme většinou spojenou s nejsilnějším jevem, ferromagnetismem.

• V některých látkách (Fe, Ni, Co, Ga a mnoha speciálních slitinách) existuje kvantový jev, zvaný výměnná interakce, která vede k paralelnímu uspořádání atomárních magnetických momentů navzdory snaze teplotních pohybů toto uspořádání zrušit.

04.12.2013 222

Ferromagnetismus II

• Atomární magnetické momenty jsou přísně organizovány v doménách, které jsou mikroskopické, ale současně velké v atomárním měřítku.

• Jejich typické rozměry jsou 10-12 – 10-8 m3 , ale přesto obsahují 1017 – 1021 atomů.

• Není-li látka zmagnetizována magnetické momenty domén jsou náhodné a kompenzují se.

04.12.2013 223

Ferromagnetismus III

• Ve vnějším magnetickém poli domény, jejichž moment se nacházel ve směru působícího pole, rostou a magnetický moment jiných domén se může kolektivně přepnout též stejným směrem.

• To vede k makroskopické magnetizaci.

04.12.2013 224

Ferromagnetismus IV

• Ferromagnetická magnetizace :• Je silný efekt, r 1000!

• Závisí na vnějším poli.

• Saturuje se.

• Vede k permanentní magnetizaci.

• Závisí na historii a vykazuje hysterezi.

• Mizí při T > TC , zvané Courieova teplota.

04.12.2013 225

*Ferromagnetismus V

• Vnitřní magnetizace je v určitém okamžiku saturovaná. To znamená, že se již působením vnějšího pole nemůže zvýšit.

• Srovnání magnetických momentů při saturaci může být řádově až 75%.

• Courieova teplota pro železo je 1043 K.

04.12.2013 226

*Ferromagnetismus VI

• Hystereze je způsobená skutečností, že za nízkých teplot nemohou domény dosáhnout v rozumné době své původní náhodné konfigurace. Díky tomuto tzv. paměťovému efektu zůstává určitá trvalá magnetizace.

• Tohoto jevu se hojně užívá pro uschování informace například na magnetofonových páskách, floppy a hard discích.

04.12.2013 227

Úvod do elektromagnetismu.

• Mnoho vědců se zabývalo vztahem mezi elektrickým a magnetickým polem. Když bylo známo, že elektrické proudy vytvářejí magnetické pole a interagují s ním, naskytla se přirozená otázka, zda také magnetické pole také produkuje pole elektrické.

• Jednoduché pokusy selhávaly!

04.12.2013 228

*Faradayův pokus I

• Michael Faraday (1791-1867) používal dvě cívky na jednom toroidálním jádru. Pomocí zdroje vytvářel proud v první cívce a na druhou měl připojen galvanometr. Pravděpodobně nebyl první, kdo zjistil, že galvanometrem netekl proud, ať bylo magnetické pole jakkoli silné.

04.12.2013 229

*Faradayův pokus II

• Byl ale první kdo si všiml, že galvanometr ukazoval silnou výchylku při připojení zdroje a výchylku na druhou stranu, při jeho odpojení .

• Správně došel k závěru, že galvanometr nereaguje pouze na přítomnost magnetického pole, ale na jeho časové změny.

04.12.2013 230

Jednoduchý pokus I

• Jev elektromagnetické indukce můžeme ukázat ještě jednodušeji, pomocí permanentního magnetu a cívky s několika závity drátu, připojených k galvanometru.

• Budeme-li vsouvat magnet do cívky, bude na galvanometru výchylka jedním směrem. Budeme-li jej vysouvat, směr výchylky bude opačný. Když magnet otočíme, bude orientace všech výchylek opačná.

04.12.2013 231

Jednoduchý pokus II

• Budeme-li v předchozím pokusu navíc sledovat orientaci magnetu a výchylek, zjistíme, že proud, vzniklý pohybem magnetu má takový směr, že magnetické pole, jím vytvořené, směřuje proti změnám, která ho vyvolala.

• Můžeme si také všimnout, že permanentní magnet může zůstat v určité pevné vzdálenosti a pro vyvolání indukovaného proudu jej stačí naklonit.

04.12.2013 232

Pohyblivá vodivá tyč I

• Připojme zdroj ke dvěma rovnoběžným kolejničkám, ležícím v rovině, kolmé k magnetickým siločárám. Položme na ně dvě vodivé tyčinky. V jedné budou nosiče kladné, ve druhé záporné.

• Vidíme, že vzhledem k tomu, že se náboje opačné polarity pohybují při stejném směru proudu na opačnou stranu, bude síla působící na náboje rozdílné polarity a tedy i síla působící na obě tyčky stejná. Je to vlastně princip elektromotoru.

04.12.2013 233

Pohyblivá vodivá tyč II

• Než uvedeme obecný zákon elektromagnetické indukce, je užitečné prozkoumat speciální případ vodivé tyčky délky l, pohybující se rychlostí v kolmo na siločáry homogenního magnetického pole o indukci B, které vycházejí z podložky.

• Předpokládejme kladné volné nosiče náboje. Protože je nutíme se pohybovat v magnetickém poli, působí na ně Lorentzova síla.

04.12.2013 234

Pohyblivá vodivá tyč III

• Náboje jsou volné a proto se budou pohybovat ve směru síly a jeden konec tyčky se nabije kladně.

• Na druhém konci bude kladný náboj scházet, takže se nabije záporně.

• Objevuje se nové elektrické pole a s ním i elektrická síla působící na náboj. Má opačnou orientaci než síla Lorentzova.

04.12.2013 235

Pohyblivá vodivá tyč IV

• Při konstantních podmínkách bude rychle dosaženo rovnováhy, kdy výslednice sil působících na náboje bude nulová a nabíjení se tím pádem zastaví:

qvB = qE = qU/l U = Bvl• Budou-li volné nosiče náboje opačné

polarity, nic se makroskopicky nezmění! Nezáleží ani na velikosti jejich náboje.

04.12.2013 236

Magnetický indukční tok I

• Viděli jsme, že pohyb vodiče v magnetickém poli v něm vede k indukci napětí, tzv. elektro-magnetické indukci.

• Jedná se o speciální případ, kdy dochází k časové změně magnetického indukčního toku nebo magnetického toku.

04.12.2013 237

Magnetický indukční tok II

• Magnetický indukční tok je definován:

Reprezentuje míru magnetické indukce , která proteče kolmo malým elementem plochy, která je popsána vektorem své vnější normály .

• Skalárním součinem je ošetřena kolmost.

sdBd m

B

sd

04.12.2013 238

Gaussova věta magnetismu

• Celkový tok magnetické indukce procházející skrz libovolnou uzavřenou plochu je nulový.

• Fyzikálně věta vyjadřuje skutečnost, že nelze oddělit magnetické póly a magnetické siločáry jsou vždy uzavřené.

• Každá siločára, která protne libovolnou uzavřenou plochu ji musí na jiném místě protnout v opačném smyslu.

04.12.2013 239

Faradayův zákon I

• Elektromagnetickou indukci obecně popisuje Faradayův zákon, který říká, že velikost indukovaného elektromotorického napětí v určitém obvodu je rovna velikosti časové změny magnetického toku tímto obvodem:

• Znaménko minus popisuje orientaci napětí, což popisuje zvláštní zákon (pravidlo).

dtsBd

dt

dU m )(

04.12.2013 240

Faradayův zákon II

• Magnetický tok je skalární součin vektoru magnetické indukce a vektoru normály plošky . Principiálně se mohou v čase měnit nezávisle tři veličiny: • B … například v transformátorech

• s … například v příkladu s tyčkou

• vzájemná poloha a … generátory

B

B

s

s

04.12.2013 241

Lenzův zákon

• Lenzův zákon se zabývá orientací indukovaného elektromotorického napětí:

• Indukované elektromotorické napětí vyvolá proud takového směru, že magnetické pole, jím vyvolané, působí proti změně magnetického toku, která ho vyvolala.

• Není-li obvod uzavřen, můžeme si jeho uzavření, abychom určili směr proudu, představit.

04.12.2013 242

Pohyblivá vodivá tyč V

• Ilustrujme Lenzův zákon na předchozím příkladu vodivé tyčky, která se nyní bude pohybovat po dvou paralelních vodičích (kolejnicích).

• Propojíme-li kolejnice vlevo, magnetický tok roste, protože se zvětšuje plocha, vymezená tyčkou, kolejnicemi a propojkou. Proud v tomto případě musí téct proti směru hodinových ručiček, aby pole, které vytváří bylo orientovéno proti poli původnímu a kompenzoval se růst toku.

04.12.2013 243

Pohyblivá vodivá tyč VI

• Propojíme-li kolejnice vpravo, magnetický tok klesá, protože se zmenšuje plocha, vymezená tyčkou, kolejnicemi a propojkou. Proud v tomto případě musí téct ve směru hodinových ručiček, aby pole, které vytváří bylo orientováno shodně s polem původním a kompenzoval se pokles toku.

• Směr proudu vlastní tyčkou je v obou případech shodný a odpovídá předchozímu odvození.

04.12.2013 244

Jednoduchý pokus III

• Vraťme se k demonstraci s pevným magnetem a galvanometrem.

• Z výchylky přístroje vidíme směr proudu, když se přibližujeme smyčce a když se vzdalujeme. Můžeme zjistit, který pól magnetu je severní a ověřit to v magnetickém poli Země.

04.12.2013 245

*Rotující vodivá tyč I

• Vodivá tyč o délce L s úhlovou rychlostí kolmo na siločáry homogenního magnetického pole o indukci B. Jaké je indukované napětí?

• Tyč “kosí” siločáry, takže dochází ke změně magnetického toku a napětí je indukováno. Každý kousíček tyčky se však pohybuje s jinou rychlostí a napětí na něm bude jiné. Celkové napětí ale bude součtem napětí na jednotlivých kousíčcích a stačí tedy integrovat .

04.12.2013 246

*Pohyblivá vodivá tyč VII

• Otázka :

• Musíme konat práci abychom pohybovali vodivou tyčkou v magnetickém poli?

04.12.2013 247

*Pohyblivá vodivá tyč VIII

• Odpověď:

• NE. Po ustavení rovnováhy mezi elektrickými a magnetickými silami neteče žádný proud. !

• Když ale kolejnice přemostíme, např. Odporem, situace se mění. Proč?

04.12.2013 248

Přenos energie

• Elektromagnetická indukce je základem výroby a přenosu elektrické energie.

• Výhoda je, že elektrická energie je vyráběna v elektrárnách, efektivně a na vhodném místě a potom je relativně snadno přenášena na místo spotřeby, které může být značně vzdáleno.

• Princip lze ukázat na naší vodivé tyčce.

04.12.2013 249

Pohyblivá vodivá tyč IX

• Nejsou-li kolejnice propojeny, není pro pohyb tyčky třeba dodávat práci, protože po dosažení rovnovážného napětí U , neteče proud.

• Kdyby ale tyčkou procházel dolů proud I, bude na ni působit síla směrem doleva v klidu i v pohybu, jak jsme již ukázali :

F = BIl.

04.12.2013 250

Pohyblivá vodivá tyč X

• Když tyčkou pohybujeme a kolejnice propojíme tak, že celková rezistance obvodu bude R, poteče proud daný Ohmovým zákonem I =U/R.

• V důsledku platnosti principu superpozice, působí na tyčku výše uvedená síla a pohybujeme-li tyčkou proti této síle rychlostí v, musíme dodat výkon : P = Fv = BIlv =U I, který je přesně roven výkonu, jenž se na odporu R změní v teplo.

04.12.2013 251

Překonávání momentu síly I

• Lze očekávat, že podobně jako je nutné překonávat sílu při translačním pohybu tyčky, je nutné při její rotaci překonávat moment síly.

• Můžeme to ukázat na otáčející se vodivé tyčce. Musíme změnit translační veličiny na rotační :

P = Fv = T

04.12.2013 252

*Překonávání momentu síly II

• Ukažme nejprve, že prochází-li tyčkou délky L, která se může otáčet kolem jednoho svého konce v homogenním magnetickém poli o indukci B, proud I, působí na ni moment síly.

• Na každý kousek dr tyčky působí zřejmě síla. Pro určení momentu síly musíme vzít v úvahu také její vzdálenost od osy otáčení a tedy integrovat.

04.12.2013 253

*Překonávání momentu síly III

• Otáčíme-li tyčkou a propojíme-li její konce rezistorem R, poteče proud I = U/R. V důsledku principu superpozice musíme tím pádem při rotaci překonávat moment síly. Rotujeme-li tyčkou s úhlovou rychlostí musíme dodat výkon : P = T = BIL2/2 = I, který je opět roven výkonu, jenž se na rezistoru R změní v teplo.

04.12.2013 254

Princip elektromotoru I

• Z výše uvedeného vidíme, že rotační i translační pohyby vedou k obdobným závěrům. Proto se zatím bez újmy na obecnosti vrátíme k vodivé tyčce, která se může pohybovat přímočaře a bez tření po kolejnicích.

• Nechť je tyčka v klidu a ke kolejnicím připojíme vnější zdroj. Poteče rozběhový proud I0, daný napětím zdroje U a rezistancí obvodu R :

I0 = U/R.

04.12.2013 255

Princip elektromotoru II

• Jemu odpovídá jistá rozběhová síla :

F0 = BlI0 = BlU/R

• Poté, co se dá tyčka do pohybu, objeví se v obvodu, stejně jako kdyby tyčkou pohyboval vnější činitel, elektromotorické napětí. Jeho velikost závisí na dosažené rychlosti a jeho polarita je opačná k polaritě napětí zdroje, podle Lentzova zákona. Nazýváme ho proto elektromotorické proti-napětí (counter EMF).

04.12.2013 256

Princip elektromotoru III

• Za pohybu bude celkový proud superpozicí původního proudu a proudu způsobeného elektromotorickým proti-napětím a zjevně závisí na rychlosti tyčky:

I(v) = [U - U(v)]/R = (U – vBl)/R

• Síla působící na tyčku potom závisí na tomto celkovém proudu : F(v) = BlI(v)

04.12.2013 257

Princip elektromotoru IV

• Není-li tyčka mechanicky zatížena bude se zprvu pohybovat zrychleně. S rostoucí rychlostí se ale zvětšuje indukované elektromotorické napětí, tudíž se snižuje celkový proud a tedy i síla, působící na tyčku.

• Děj vede k rovnováze, při které napětí indukované je rovno napětí zdroje. Zde mizí proud a tedy i síla a tyčka se dále pohybuje rovnoměrně rychlostí

ve = U/Bl.

04.12.2013 258

*Princip elektromotoru IV

• Konečná rychlost volné tyčky ve tedy závisí na napětí zdroje U.

• Předpokládejme dále, že tyčka je zatížena jistou silou v intervalu od nuly po sílu rozběhovou

F (0, F0)• S rostoucí zátěží proud lineárně poroste a rychlost

bude lineárně klesat :I = F/Bl

v = (I0-I).R/Bl

04.12.2013 259

*Princip elektromotoru V

• Úpravou původního vztahu pro proud získáme zajímavou informaci o výkonech :

I = I0 – Bvl/R Bvl/R = I0 – I

rozšíříme proudem I a zavedeme sílu F = BIl

Pm = Fv = RI0I – RI2 = UI – RI2 = P – Pz

04.12.2013 260

Princip elektromotoru VI

• Mechanický výkon Pm = Fv nabývá maxima při síle F = F0/2. Zde jsou také proud a rychlost rovny polovině svých maximálních hodnot.

• Ohmický ztrátový výkon Pz = RI2 roste kvadraticky s růstem zátěže i proudu.

• Výkon zdroje P, který je jejich součtem, roste lineárně.

• Efektivita výkonu Pm/P lineárně klesá. • K obdobným závěrům lze dojít i u elektromotorů

otáčivých.

04.12.2013 261

Princip elektromotoru VII

• Elektromotory bývají obvykle optimalizovány na maximální mechanický výkon. Jejich pracovní otáčky jsou polovinou otáček volnoběžných a pracovní proud je polovinou proudu rozběhového. Na tyto parametry je navrženo chlazení, aby je motor mohl dlouhodobě vydržet.

• Chlazení obvykle souvisí s otáčkami a je-li motor přetížen a velmi se zpomalí nebo dokonce zastaví, spálí se, přestože proud je necelým dvojnásobkem proudu pracovního.

04.12.2013 262

*Foucaultovy proudy I

• Zatím jsme uvažovali jednorozměrnou tyčku zcela ponořenou do homogenního magnetického pole.

• Je-li ale vodič třírozměrný a není úplně ponořen nebo pole není homogenní, objevuje se nový jev, zvaný Foulcautovy proudy.

04.12.2013 263

*Foucaultovy proudy II

• Novým jevem je, že indukované proudy nyní tečou uvnitř vodiče. Způsobují síly, které kladou odpor pohybu. Ten je buď tlumen nebo musí být dodáván výkon k jeho udržení.

• Foucaultovy proudy mohou být využity například k plynulému brždění některých pohybů (třeba u magnetických vlaků).

04.12.2013 264

*Foucaultovy proudy III

• Foucaultovy proudy způsobují vyvíjení tepla, takže jsou zdrojem ztrát výkonu. Proto mosí být maximálně eliminovány speciální konstrukcí jader elektromotorů a transformátorů. Využívá se například konstrukce z navzájem izolovaných plechů.

04.12.2013 265

Vlastní indukčnost I

• Viděli jsme, že po připojení volné vodivé tyčky, ponořené do magnetického pole, objevuje se elektromotorické napětí, které má opačnou polaritu než napět budící.

• Dokonce i jednoduchý obvod realizovaný smyčkou vodiče bez vnějšího magnetického pole se bude chovat kvalitativně stejně.

04.12.2013 266

Vlastní indukčnost II

• Máme-li takový vodič, kterým již protéká jistý proud. Je vlastně ponořen do magnetického pole generovaného tímto jeho vlastním proudem.

• Chceme-li v tomto okamžiku změnit proud, měníme magnetické pole a tím i magnetický tok a objevuje se elektromotorické napětí, způsobující proud jehož účinky působí proti této změně.

• Uděláme-li v obvodu N závitů, tento efekt se N krát znásobí.

04.12.2013 267

Vlastní indukčnost III

• Lze očekávat, že elektromotorické napětí indukované v tomto případě závisí na:• geometrii vodiče a vlastnostech okolního

prostoru

• rychlosti změny proudu

• Bývá zvykem tyto jevy oddělit a první skupinu zahrnout do veličiny zvané (vlastní) indukčnost L.

04.12.2013 268

Vlastní indukčnost IV

• Potom zákon elektromagnetické indukce píšeme :

• Jsme v obdobné situaci jako jsme byli v elektrostatice. Tam jsme používali kondenzátory, abychom vytvořili elektrické pole v určitém prostoru. Nyní používáme cívky, abychom vytvořili pole magnetické.

• Cívky mají obvykle tvar solenoidu nebo toroidu.

dtdI

LU

04.12.2013 269

Vlastní indukčnost V

• Mějme dlouhý solenoid s N závity. • Protéká-li jím jistý proud I, bude procházet jeho

každým závitem stejný magnetický tok m1.• Dojde-li ke změně tohoto toku, indukuje se v

každém závitu stejné elektromotorické napětí. Protože závity jsou vlastně zapojeny do série, bude celkové naindukované napětí N násobek napětí v jednom závitu.

• Mírně přizpůsobíme Faradayův zákon a použijeme předešlou definici indukčnosti.

04.12.2013 270

Vlastní indukčnost VI

• Jsou-li N a L konstantní, obdržíme jednoduchou integrací indukčnost:

• Jednotkou magnetického toku je 1 weber

1 Wb = 1 Tm2

• Jednotkou indukčnosti je 1 henry

1H = Vs/A = Tm2/A = Wb/A

dtdI

Ldt

dNU m 1

I

NLLIN m

m1

1

04.12.2013 271

Vlastní indukčnost VII

• Magnetický tok závity závisí na proudu a geometrii. V případě solenoidu délky l a průřezu S a materiálu s relativní permeabilitou r platí:

• V elektronice a elektrotechnice se používají cívky, součástky, jejichž funkcí je mít indukčnost.

l

SNL

l

NINSN r

m

20

1

04.12.2013 272

Vzájemná indukčnost I

• Dvě cívky blízko sebe, se mohou ovlivňovat prostřednictvím magnetického pole. Toto ovlivňování popisujeme vzájemnou indukčností.

• Jedná se o celkový tok v jedné cívce jako funkce proudu v cívce druhé.

• Mějme dvě cívky Ni, Ii na společném jadře nebo blízko sebe.

• Budiž 21 tok v každém závitu cívky 2, způsobený proudem v cívce 1.

04.12.2013 273

Vzájemná indukčnost II

• Potom definujeme vzájemnou indukčnost M21 jako celkový tok ve všech závitech cívky 2 na jednotkový proud (1 ampér) v cívce 1:

M21 = N221/I1 I1M21 = N221

• Indukované napětí ve 2. cívce přímo z Faradayova zákona a s použitím vzájemné indukčnosti je :

U2 = - N2d21/dt = - M21 dI1/dt

• Použití M21 má smysl, když se vzájemné působení cívek nemění v čase. Obecně závisí na geometrii obou cívek a vlastnostech prostředí mezi nimi.

04.12.2013 274

Vzájemná indukčnost III

• Lze dokázat, že vzájemná indukčnost obou cívek je stejná M21 = M12 .

• Skutečnost, že proud v jedné cívce indukuje napětí v cívce druhé, má řadu praktických aplikací. • Používá se například k napájení

kardiostimulátorů, aniž by se vedly vodiče tkání.

• Nejdůležitějším využitím jsou transformátory.

04.12.2013 275

Transformátor I

• Transformátor je zařízení, ve kterém sdílí jedna, dvě nebo více cívek stejný (časově proměnný) magetický tok. Cívka, ke které je připojeno vstupní napětí a která tento tok vytváří, se nazývá primární. Ostatní jsou sekundární. (Existují i autotransformátory s jednou cívkou a odbočkami)

• Transformátory se užívají hlavně k převodu napětí a proudu nebo přizpůsobení vnitřního odporu (impedančnímu přizpůsobení).

04.12.2013 276

Transformátor II

• Ilustrujme princip funkce transformátoru na jednoduchém typu se dvěma cívkami, které mají N1 a N2 závitů. Předpokládejme, že sekundární cívkou teče zanedbatelný proud.

• Vstupní napětí musí být časově proměnné.• Každým jedním závitem každé cívky prochází

stejný tok a indukuje se v něm elektromotorické napětí U1 :

U1 = - d/dt

04.12.2013 277

Transformátor III

• Připojíme-li k primární cívce napětí U1, bude magnetizace jádra růst do doby, než se indukované elektromotorické napětí vyrovná napětí vstupnímu:

U1 = N1U1

• Napětí na sekundárním vinutí je také úměrné počtu závitů:

U2 = N2U1

04.12.2013 278

Transformátor IV

• Takže napětí v obou cívkách jsou úměrná počtu jejich závitů :

U1/N1 = U2/N2

• Obtížnější případ je porozumět funkci transformátoru, když je zatížen a velmi obtížné je navrhnout dobrý transformátor s velkou účinností, která se blíží 100%, což je velice důležité pro přenos energie.

04.12.2013 279

Transformátor V

• Předpokládejme, že máme transformátor s účinností blízkou 1.

• Lze ukázat, že proudy cívkami jsou nepřímo úměrné počtu závitů a vnitřní odpory jsou úměrné jejich čtverci.

P = I1U1 = I1U2N1/N2 = I2U2

I1N1 = I2N2

R1/N12 = R2/N2

2

04.12.2013 280

Energie magnetického pole I

• Indukčnost brání změnám protékajícího proudu.• Znamená to, že k dosažení stavu, kdy cívkou

protéká určitý proud, bylo potřeba vykonat jistou práci.

• Tato práce se přemění do potenciální energie magnetického pole. Roste při zvyšování proudu a klesá při jeho snižování.

• Protéká-li cívkou proud I, který chceme zvětšit, musíme dodat výkon, úměrný změně proudu, které chceme dosáhnout.

04.12.2013 281

Energie magnetického pole II

• Jinými slovy musíme konat práci určitou rychlostí, abychom byli schopni posunovat náboji proti poli indukovaného elektromotorického napětí :

P = IU = ILdI/dt dW = Pdt = LIdI

• Abychom našli práci potřebnou k dosažení proudu I, musíme integrovat :

W = LI2/2

04.12.2013 282

*Hustota energie magnetického pole I

• Podobně, jako tomu bylo u nabitého kondenzátoru, i zde je energie obsažena v poli, nyní samozřejmě magnetickém.

• Jeho hustotu lze jednoduše vyjádřit u homogenního pole dlouhého solenoidu :

• Známe vztahy pro indukčnost L a indukci B L = 0N2S/l

B = 0NI/l I = Bl/0N

04.12.2013 283

*Hustota energie magnetického pole II

• Protože Sl je objem solenoidu, kde lze očekávat soustředěnou většinu energie, můžeme

pokládat za hustotu energie magnetického pole.• Tento výraz platí obecně v okolí každého bodu i v

nehomogenních polích.

SlB

N

Bl

l

SNW

0

22

0

20

2)(

2

0

2

2B

wm

04.12.2013 284

*RC, RL, LC a RLC obvody

• Obvody obsahující cívky a kondenzátory dosáhnou po určité změně, např. připojení zdroje rovnovážného stavu až za určitou dobu. Proto je u nich důležité najít chování elektrických veličin v závislosti na čase. Budeme se tedy zabývat “vybíjením nebo nabíjením” kondenzátoru nebo cívky přes odpor.

• U obvodů LC se setkáme s novým jevem oscilacemi.

04.12.2013 285

*Obvod RC I

• Mějme kondenzátor C nabitý na napětí Uc0 a začněme ho vybíjet v čase t = 0 přes rezistor R.

• V každém okamžiku je kondenzátor v obvodu zdrojem v tomto obvodu a platí 2. Kirchhoffův (nebo Ohmův) zákon :

I(t) = Uc(t)/R • To vede na diferenciální rovnici.

04.12.2013 286

*Obvod RC II

• Všechny veličiny Q, U a I exponenciálně klesají s časovou konstantou = RC.

• Nyní připojme stejný kondenzátor a rezistor k vnějšímu zdroji s napětím U0. V každém okamžiku platí podle Kirchfoffova zákona:

I(t)R + Uc(t) = U0

což vede na poněkud složitější diferenciální rovnici.

04.12.2013 287

*Obvod RC III

• Nyní Q a U rostou exponenciálně do saturace a proud klesá exponenciálně jako v předchozím případě.

• Časové změny všech veličin lze opět popsat pomocí časové konstanty

= RC.

04.12.2013 288

*LC obvod I

• Ke kvalitativně nové situaci dojde, připojíme-li nabitý kondenzátor C k cívce L.

• Lze očekávat, že se energie bude přelévat z formy elektrické do magnetické a naopak. Dochází k netlumenému periodickému pohybu.

04.12.2013 289

*LC obvod II

• Tento obvod se nazývá LC oscilátor a produkuje elektromagnetické kmity.

• Opět použijeme 2. Kirchhoffův zákon:

L dI/dt – Uc = 0

• To vede opět na diferenciální rovnici, ale vyššího řádu.

04.12.2013 290

*LC obvod III

• Co se děje kvalitativně:

• Na začátku je kondenzátor nabit a snaží se vybíjet přes cívku. Na ní se ale naindukuje napětí rovné napětí na kondenzátoru, čímž cívka brání rychlému nárustu proudu. Ten je zpočátku nulový. Jeho časová derivace však musí být nenulová, proud tedy zvolna roste.

04.12.2013 291

*LC obvod IV

• Kondenzátor se vybíjí, čímž klesá nárust proudu a tím i indukované napětí na cívce.

• V okamžiku, kdy je kondenzátor vybit je napětí na něm nulové, nulový je i nárůst proudu a napětí na cívce. Proud má ale nyní maximální hodnotu a cívka brání jejímu okamžitému poklesu.

04.12.2013 292

*LC obvod V

• Na cívce nyní poroste napětí opačné polarity, což odpovídá klesajícímu proudu. Kondenzátor se též nabíjí na polaritu, která je opačná, než byla polarita původní.

• V okamžiku, kdy je kondenzátor nabit, je proud nulový a celý děj se opakuje.

04.12.2013 293

*RLC obvod

• Přidáme-li k obvodu RC rezistor, bude obvod kmitat kmity tlumenými.

• Při průtoku proudu se elektrická energie bude měnit na rezistoru na energii tepelnou a počáteční energie nahromaděná původně v nabitém kondenzátoru se bude postupně ztrácet.

04.12.2013 294

Harmonický střídavý proud

• Z praktických i teoretických důvodů hrají střídavé proudy harmonického průběhu velmi důležitou roli. Jsou to veličiny, jejichž závislost na čase lze vyjádřit jako harmonickou nebo-li goniometrickou funkci [sin(), cos() exp(i)] času, např.:

U(t)=U0sin(t + )

I(t)=I0sin(t + )

04.12.2013 295

Střední hodnota I

• Střední hodnota <f> časově proměnné funkce f(t) je konstantní hodnota, která má během jistého času stejné integrální účinky jako časově proměnná funkce.

• Například střední proud je stejnosměrný proud, který by přenesl za dobu stejný náboj jako proud střídavý.

04.12.2013 296

Efektivní hodnoty I

• Při studiu obvodů střídavého proudu je potřeba ještě jeden druh středních hodnot: protéká-li střídavý proud rezistorem, dochází k tepelným ztrátám bez ohledu na jeho směr, protože tyto jsou úměrné druhé mocnině proudu.

04.12.2013 297

Efektivní hodnoty II

• Efektivní hodnota frms časově proměnné funkce f(t) je konstantní hodnota, která má za jistou dobu stejné tepelné účinky jako časově proměnná funkce.

• Budeme například napájet žárovku jistým časově proměnným proudem I(t). Potom, když teče žárovkou stejnosměrný proud o efektivní hodnotě Irms, bude žárovka zářit se stejným jasem.

04.12.2013 298

Obecné střídavé obvody I

• Řešení střídavých obvodů, napájených jedním zdrojem nebo více zdroji se stejnou frekvencí, je dvojrozměrný problém.

• Napájíme-li obvod napětím U0sint, budou napětí a proudy záviset na čase také jako t.

• Je tedy nutné a postačující popsat každou veličinu v každé větvi dvěma parametry, velikostí a fází.

04.12.2013 299

Obecné střídavé obvody II

• Používá jeden z matematických nástrojů:• Dvojrozměrné vektory.• Komplexní čísla v Gaussově rovině. Tento

popis je výhodnější, protože pro komplexní čísla je definováno více operací (např. dělení, mocniny a odmocniny).

• Souřadná soustava nebo Gaussova rovina rotuje s t, takže zobrazujeme jen velikost a fázi veličin a hovoříme tedy o fázorech.

04.12.2013 300

Obecné střídavé obvody III

• Popis oběma způsoby je podobný. Velikost příslušné veličiny (napětí nebo proudu) je popsána velikostí fázoru nebo absolutní hodnotou komplexního čísla a fáze je popsána úhlem, který svírají s kladnou částí osy x nebo reálné osy.

04.12.2013 301

Obecné střídavé obvody IV

• Aparát komplexních čísel:• Napětí U, proudy I, impedance Z a admitance

Y = 1/Z se popisují pomocí komplexních čísel.

• Platí zobecněný komlexní Ohmův zákon:

U = ZI nebo I = YU

• Pro seriovou kombinaci: Zs = Z1 + Z2 + …

• Pro paralelní kombinaci: Yp = Y1 + Y2 + …

04.12.2013 302

Obecné střídavé obvody V

• Tabulka komplexních impedancí a admitancí. j je imaginární jednotka j2 = -1:• R: ZR = R YR = 1/R

• L: ZL = jL YL = -j/L

• C: ZC = -j/C YC = jC

• Dále se postupuje obdobně jako u obvodů stejnosměrných a lze používat i účinnější metody např. metodu obvodových proudů. Zpracovávané veličiny jsou ale komplexní.

04.12.2013 303

*RC seriově

• Ilustrujme použití aparátu na seriové kombinaci RC :

• Proud I, společný pro oba R a C, považujeme za reálný.

Z = ZR + ZC = R – j/C

|Z| = (ZZ*)1/2 = (R2 + 1/2 C2)1/2

tg = –1/RC < 0 … kapacitní

04.12.2013 304

*RLC seriově I

• Mějme R, L a C zapojené do serie:• Proud I, společný všem R , L, C opět považujme

za reálný.

Z = ZR + ZC + ZL = R + j(L - 1/C)|Z| = (R2 + (L - 1/C)2)1/2

• Obvod bude mít buď charakter indukčnosti :L > 1/C … > 0

• nebo kapacity :L < 1/C … < 0

04.12.2013 305

• Nový jev resonance nastává když :

L = 1/C 2 = 1/LC

• Při této podmínce totiž mizí imaginární část a obvod se chová jako čistá rezistance :• Z, U mají minimum, I maximum

• Rezonanci lze naladit změnou L, C nebo f !

*Rezonance I

04.12.2013 306

Rezonance II

• Obecná definice rezonance:

• Potřebujeme-li dodat energii do systému, který je schopen kmitat s určitou vlastní frekvencí 0, nejefektivněji to lze učinit, pokud ji dodáváme s frekvencí odpovídající 0 a kmity jsou ve fázi.

• Vhodným příkladem z mechaniky je houpačka.

• Rezonance se užívá například v ladících obvodech přijímačů.

Rotující vodivá tyčka I

• Napřed se zamyslíme nad směry: půjdou-li siločáry z podložky a tyčka se bude otáčet v kladném smyslu proti směru hodinových ručiček, nabíjí se střed otáčení záporně. Napětí dU indukované na kousku dr:

drrBvdU )(

^

• Celkové elektromotorické napětí :

2)(

2

00

LBrdrBdrrvBU

LL

Rotující vodivá tyčka II

• Moment síly působící na na kousek dr vzdálený r od středu otáčení vodivé tyčky délky l , kterou protéká proud I kolmo na magnetické pole B je:

BIrdrrdFdT

^

• Celkový moment síly tedy je:

2

2

0

BIlIrdrBT

l

Rotující vodivá tyčka III

• Záporný pól zdroje U připojíme na střed. Je-li odpor obvodu R, budou rozběhový proud I0 a moment T0 :

R

UBlT

R

UI

2;

2

00

Otáčí-li se tyčka s jistou úhlovou rychlostí , indukuje se v ní elektromotorické protinapětí a celkový I proud je :

R

BlI

R

UI

Bl

2

2

02

2

Rotující vodivá tyčka IV

• Volná tyčka dosáhne rovnovážné úhlové rychlosti e , když se napětí vyrovnají :

2

2

Bl

Ue

Při zatížení jistým momentem 0 < T < T0 budou celkový proud I a úhlová rychlost :

202

2)(

2

Bl

RII

Bl

TI

Rotující vodivá tyčka V

• Závěry pro výkony jsou obdobné jako u pohybu translačního :

zm PPRIUITP

IRIIR

Bl

2

0

2

)(*2

^

Zařízení může pracovat v režimu elektromotoru 0 < < e nebo v režimu generátoru pro vně tohoto intervalu:

Kruhová proudová smyčka I

23

)(

24

42

42sin

4sin

sin4

44

22

0

3

20

20

20

20

20

20

ba

ISr

Iar

Ia

dr

IadBB

rIad

dB

rIad

rIdl

dB

zz

z

Kruhová proudová smyčka II

30 2

4)(

b

mbB

S = a2 je plocha smyčky a její normála má směr osy z. Můžeme definovat magnetický dipólový moment a předpokládat, že pole pozorujeme z velké dálky takže b>>a. Potom:

Magnetický dipól je zdrojem magnetického pole speciální symetrie, které klesá se třetí mocninou vzdálenosti.

^

SIm

Magnetické působení dvou proudů I

312

1212210212 ||4

)]([)(

rr

rrldldIIrFd

Mějme dva proudy I1 a I2, protékající dva krátké rovné kousky vodičů a . Potom síla působící na druhý kousek v důsledku existence prvního kousku je:

Tento velmi obecný vztah plně popisuje silové působení, ale je velmi obtížně prakticky použitelný.

)( 11 rld

)( 22 rld

Magnetické působení dvou proudů II

)()( 222212 rBdldIrFd

Proto se dělí na vztah popisující působení pole na proud (který již známe):

a na vztah pro výpočet pole. Ten se nazývá Biot-Savartův zákon:

312

121102 ||4

)]([)(

rr

rrldIrBd

Magnetické působení dvou proudů III

Uvědomíme-li si, že:

je jednotkový vektor určující směr od prvního kousku proudu k druhému , vidíme, že magnetické síly klesají se druhou mocninou vzdálenosti, podobně jako síly elektrické:

212

012110

2 ||4

][)(

rr

rldIrBd

||

)(

12

12012 rr

rrr

1r

2r

Magnetické působení dvou proudů IV

Škálovací konstanta 0 = 4 10-7 Tm/A se nazývá permeabilita vakua. V některých pramenech se nepoužívá, neboť 0 , 0 a c nejsou nezávislé přírodní konstanty Mezi permitivitou a permeabilitou vakua a rychlostí světla totiž platí vztah:

200

1

c

^

Ampérův zákon

iIldB 0

Mějme obecně několik vodičů, protékaných proudy I1, I2 …(třeba i nulovými) potom:

• Všechny porudy se sčítají, ale musí se vzít v úvahu i jejich směr (smysl)!

^

RC obvod I• Použijeme definici proudu I = –dQ/dt a

vztahu mezi nábojem a napětím na kondenzátoru Uc = Q(t)/C:

RC

tQ

dt

dQ

R

tUtI c )()()(

• Znaménko mínus znamená, že kladným proudem se kondenzátor vybíjí. Tuto homogenní diferenciální rovnici prvního řádu snadno vyřešíme separací proměnných.

RC obvod II

• Definujme časovou konstantu = RC. Můžeme integrovat obě strany rovnice:

dt

Q

dQ

• Integrační konstantu nalezneme z okrajových podmínek Q0 = CUc0 :

)exp()()ln( 0 t

QtQkt

Q

RC obvod III

• Podělením C a následně R obdržíme časovou závislost napětí a proudu v obvodu:

)exp()( 0 t

CUtQ c

^

R

UtI

tUtU

tc

cc

)exp()(

)exp()(

0

0

RC obvod IV

• Dosadíme za proud I = +dQ/dt a napětí a rovnici trochu přeorganizujeme:

0

)(U

C

tQ

dt

dQR

• Získáváme podobnou rovnici, ale nyní nehomogenní. Na pravé straně není nula. Zde se řeší napřed rovnice homogenní a poté se přičte jedno partikulární řešení, například konečný náboj Qk = CU0 .

RC obvod V

• Použijeme řešení předchozí homogenní rovnice a můžeme psát:

kQt

QtQ

)exp()( 0

Integrační konstantu opět získáme uvážením okrajových podmínek

Q(0) = 0 Q0 = -Qk.

RC obvod VI

• Podělením C získáme časovou závislost napětí na kondenzátoru:

)]exp(1[)(

tQtQ k

)]exp(1[)( 0 t

UtU c

)]exp(1[)( 0 t

CUtQ

RC obvod VII

• Časovou závislost proudu vypočteme z časové derivace náboje:

^

R

U

dt

dQtI

t )exp()( 0

LC obvod I

• Dosadíme opět za proud I = –dQ/dt a vztah mezi napětím a nábojem na kondenzátoru Uc = Q(t)/C:

0)(

2

2

LC

tQ

dt

Qd

• Opět bereme v úvahu fakt, že kladným proudem se kondenzátor vybíjí. Získáváme homogenní diferenciální rovnici druhého řádu. Zde snadno uhodneme tvar řešení:

LC obvod II

• Parametry získáme dosazením za druhou derivaci náboje:

)cos()( 0 tQtQ

To je známý Thompsonův vztah pro úhlovou frekvenci netlumených harmonických kmitů.

LCtQ

LCtQ

10)(

1)(2

^

*RLC obvod I

• Z druhého Kirchhoffova zákona platí:

• Opět bereme v úvahu fakt, že kladným proudem se kondenzátor vybíjí:

0 cURIIL

QIQI

*RLC obvod II

• Po dosazení a úpravě konečně dostáváme :

0422 LCCR

• To je homogenní diferenciální rovnice druhého řádu, ovšem s nenulovým řádem prvním. Charakter řešení závisí na řešení takzvané charakteristické rovnice:

0 QQRCQLC

*RLC obvod III

• Řešení tedy závisí na vztahu :

• < odpovídá malému tlumení

> odpovídá přetlumení a

= odpovídá tlumení kritickému

C

LvsR

42

*RLC obvod IV• Pro malé tlumení zavedeme novou úhlovou frekvenci :

)cos()2

exp()( ,0 t

L

RtQtQ

a výsledné řešení bude mít tvar :

2

2,

4

1

L

R

LC

Obsahuje periodickou část a exponenciálně klesající amplitudu (obálku).

^

Střední hodnota I

• <f> má stejný integrál jako f(t) za určitý časový interval :

^

Často nás zajímá střední hodnota periodické funkce za velmi dlouhou dobu. Potom za reprezentativní dobu volíme periodu = T.

0

)(1

dttff

Střední hodnota II

• <I> by přeneslo stejný náboj jako I(t) za nějaký čas :

^

0

)(1

dttII

• Výsledek integrace je zřejmě náboj, protože I = dQ/dt. Po vydělení dostáváme střední proud za čas :

Efektivní hodnota I

• fef má stejné tepelné účinky jako f(t) za jistý časový interval :

^

Pro dlouhé časy volíme jako reprezentativní časový interval periodu = T (or T/2) .

0

2

0

22

)(1

)(1

dttff

dttff

ef

ef

Efektivní hodnota II

• Ief má stejné tepelné účinky jako I(t) za jistý časový interval:

^

Jas žárovky odpovídá teplotě a ta souvisí s tepelnými ztrátami na jejím vlákně.

0

2

0

22

)(1

)(1

dttII

dttRIRI

ef

ef

Střední hodnota III

• Budiž I(t) = I0sin(t) a reprezentativní čas = T:

Protože hodnota cos je v obou mezích stejná – křivky obou polarit jsou symetrické.

0)][cos()sin( 00

0

0

TT

tT

Idtt

T

II

Střední hodnota IV• Po jednocestném usměrnění I(t) bude • I(t) = I0sin(t) pro 0 < t < T/2 a I(t) = 0 pro T/2 < t < T:

^

Protože nyní cos(T/2) – cos(0) = -2 !

02/0

0

2/

0

0

)][cos(

)sin(

It

T

I

dttT

II

T

T

Efektivní hodnota V

• Ať I(t) = I0sin(t) a reprezentativní = T:

22

))2cos(1(2

)(sin

0

0

20

0

20

0

220

Idt

T

I

dttT

I

dttT

II

T

T

T

ef

^

Střední hodnota V

^

Nyní je cos(T/2) – cos(0) = -2 !

cos)][cos(cos

)sin()sin(

02/0

0

0

00

It

T

I

dtttT

VIP

T

T

Obvod LCI

• We use definition of the current I = -dQ/dt and relation of the charge and voltage on a capacitor Vc = Q(t)/C:

0)(

2

2

LC

tQ

dt

Qd

• We take into account that the capacitor is discharged by the current. This is homogeneous differential equation of the second order. We guess the solution.

Obvod LC II

• Now we get parameters by substituting into the equation:

)cos()( 0 tQtQ

• These are un-dumped oscillations.

LCtQ

LCtQ

10)(

1)(2

Obvod LC III

• The current can be obtained from the definition I = - dQ/dt:

• Its behavior in time is harmonic.

)sin(

)sin()(

0

0

tI

tQtI

^

Planetární model atomu I

Mějme náboj q, pohybující se rychlostí v na orbitu o poloměru r a vypočtěme jeho magnetický dipólový moment m0 = IS. Plocha je jednoduše : S = r2.Perioda oběhu je : T = 2r/v.Každou periodu T proteče náboj q, tedy proud je : I = q/T = qv/2r.

Planetární model atomu II

Magnetický dipólový moment : m0 = rqv/2.Na druhé straně moment hybnosti je :

b = mvr.Porovnáním tedy dostáváme :

m0 = b q/2m.To platí obecněji i ve vektorové podobě :

.Jedná-li se o elektron q = -e , mají vektory magetického dipólového momentu a momentu hybnosti opačnou orientaci. ^

mqbm 20

Gaussova věta magnetismu• Přesná definice:

0SdBd m

^

04.12.2013 346

Jímání náboje VII

• Potenciál způsobený vnitřní koulí :

i = kQ/ri pro r ri ; i = kQ/r pro r > ri

• Potenciál způsobený vnější koulí :

o = -kQ/ro pro r ro ; o = -kQ/r pro r > ro

• Z principu superpozice :

(r) = i(r)+ o(r)

• Pro r ro bude potenciál bude nulový!

04.12.2013 347

Jímání náboje VIII• Potenciál na vnitřní kouli je tedy současně

napětím mezi koulemi :

Ui = kQ(1/ri – 1/ro) = kQ(ro – ri)/riro

• Pro ro = 1.01 m a U = 105 V Q = 1.12 10-3 C tedy náboj vzrostl 101 krát!

• Zařízení, které jsme sestrojili se nazývá kondenzátor.

• (Qmax = 3 10-4 C jsme však takto nezvýšili! )

^

04.12.2013 348

Určení kapacity kondenzátoru II

• Pro potenciál na jedné kouli ve vesmíru platí :

Ui = kQ/ri C = ri/k

• Druhá „elektroda“ tohoto kondenzátoru by bylo nekonečno nebo spíše zem, protože je blíže. Jeho kapacita by ale silně závisela na přítomnosti vodičů v jeho blízkém okolí.

04.12.2013 349

Určení kapacity kondenzátoru III

• V případě našeho kulového kondenzátoru platí :

Ui = kQ(1/ri – 1/ro) = kQ(ro – ri)/riro

To odpovídá kapacitě :

Srovnejte se vztahem pro kondenzátor deskový!

)(

4

)(0

io

oi

io

oi

rr

rr

rrk

rrC

^

Nabíjení kondenzátoru

• Mějme v určitém okamžiku nabíjení kondenzátoru o kapacitě C mezi jeho elektrodamihave jisté napětí U(q), které závisí na současném náboji q. na přenesení dalšího náboje dq přes toto napětí musí vnější činitel vykonat práci dEp = U(q)dq. Tedy celková práce k dosažení náboje Q je :

C

QdqqdqqUE

Q

C

Q

p 2)(

2

0

1

0

^

Polarizace Hustota dipólového momentu I

Mějme jistý objem V homogenně zpolarizovaného materiálu, malý z hlediska makroskopického, ale velký z hlediska mikroskopického. Můžeme ho považovat za reprezentativní pro celý vzorek :

V

pP V

Polarizace Hustota dipólového momentu II

Předpokládejme, že jeden dipól s momentem p = lq lze uzavřít do hranolu o objemu v = sl. Objem V homogenně zpolarizovaného dielektrika je sestaven z těchto hranolků, čili polarizace v něm musí být stejná jako polarizace v každém z nich :

ps

q

sl

lq

v

p

V

pP

^

Polarizace III

Výsledné pole v dielektriku :

00

000

PEEEEE p

p

Vyjádříme původní hustotu náboje :

PEE 000 Původní pole je tedy rozděleno na výsledné

pole a polarizaci podle schopnosti látky se zpolarizovat.

Polarizace IV

V lineárním dielektriku je úměrné výslednému poli . Tyto veličiny jsou vázány dielektrickou susceptibilitou :

EEEE

EP

r

0000

0

)1(

^

Výsledné pole E je r krát slabší než původní pole E0 , takže můžeme též vyjádřit celkovou permitivitu dielektrického materiálu.

E P

Intenzity v okolí zakřivenějších povrchů jsou větší

• Mějme velkou a malou vodivou kouli o poloměrech R a r, které jsou vodivě spojeny např. drátkem. Když tento útvar nabijeme, rozloží se přebytečný náboj na Q a q tak, aby byl všude stejný potenciál :

r

R

r

R

R

r

S

Q

R

Srs

R

r

S

s

R

Qrq

r

kq

R

kQ

2

2

2

2

2

2

4

4;

^

• Hustota náboje na menší kouli je tedy větší!

Potenciál elektrického dipólu I

• Mějme náboj –Q v počátku a +Q v bodě, určeném vektorem . Jaký je potenciál v bodě ? Použijeme princip superpozice a gradient :

)()(

)()()(

r

kQgradld

r

kQ

r

kQ

ldrrr

ld

r

Potenciál elektrického dipólu II

• První dva pomalu klesající výrazy se zruší :

33)(

r

rpk

r

rldQkr

• Potenciál je tedy symetrický podle své osy a bod v polovině spojnice nábojů je inverzním středem symetrie.

• Potenciál klesá jako 1/r2!^

Elektrický dipól – Moment síly• Mějme homogenní pole s intenzitou .

Síly na oba náboje přispívají ve shodném smyslu k momentu síly :

sin2

2 QEl

T

• Obecně je moment síly vektorový součin:

EpT

^

E

Elektrický dipól - tah

• Mějme nehomogenní elektrické pole, jehož intenzita se mění jen v jednom směru dipól paralelní se siločárami (-Q v počátku).

dx

dEQdlQEQE

dlQEQEF

)0()0(

)()0(

• Obecně :

pEgradF

^

E

Vektorový součin I

Ať

Definice (ve složkách)

Velikost vektoru

kjijki bac

sinbac

Velikost vektorového součinu je rovna obsahu rovnoběžníku tvořeného vektory .

bac

ba

,

c

Vektorový součin II

zyx

zyx

zyx

bbb

aaa

uuu

c

Vektor je kolmý k rovině vytvořené vektory a a společně vytváří pravotočivý systém.

ijk = {1 (sudá permutace), -1 (lichá), 0 (eq.)}

^

c

a

b

Potenciál centrosymetrického pole A->B

• Dosadíme za E(r) a integrujeme :

• Vidíme, že se chová jako 1/r !

rB

rA

B

A

drrEldEAB )()()(

rB

rA AB rrkQ

r

drkQAB )

11()()(

2

^

Zrychlení elektronu

Jaké je zrychlení elektronu v elektrickém poli E = 2 . 104 V/m ?

a = E q/m = 2 . 104 1.76 1011 = 3.5 1015 ms-2 [J/Cm C/kg = N/kg = m/s2]

Pro srovnání:Ferrari Maranello za cca 0.5 MEur dosáhne 100 km/h za 3.6 s , tedy a = 7.5 ms-2

^

Relativistické efekty při urychlování elektronu

• Relativistické efekty se začínají výraznějiprojevovat, dosáhne-li rychlost

c/10= 3 107 ms-2.• Jaké urychlovací napětí je potřebné k

dosažení této rychlosti ?• Ze zachování energie : mv2/2 = q U

U=mv2/2e=9 1014/4 1011= 2.5 kV !

^

Relativistický přístup

Při relativistických rychlostech musíme použít slavnou Einsteinovu rovnici :

qUcmEcmmcE K 20

20

2

E je celková a EK kinetická energie,

m je relativistická a m0 klidová hmotnost

1)1(

1

)1(

20

200

2

2

cm

qU

qUcmmm

cv

^

Analytické funkce komplexní proměnné Riemann Cauchyho podmínky I

• Komplexní funkci f(z), kde z = x + jy, můžeme chápat jako dvojici funkcí dvou proměnných:

f(z) = P(x, y) + jQ(x,y)

Její derivace je vlastně derivací složené funkce:

Je-li tato funkce analytická, má vlastnosti potenciálu. Její přírustek tedy nezávisí směru .

jdydx

dyjdxj yQ

yP

xQ

xP

dzdf

)()(

dxdy

Analytické funkce RC podmínky II

• Pravá strana předchozí rovnice je poměr dvou lineárních závislostí. Má-li být konstantní, musí být směrnice v čitateli i jmenovateli stejné:

Rovnost v oboru komplexních čísel znamená ale rovnost reálné i imaginární složky.

1

)()(

1)(

)(xQ

xP

yQ

yP

xQ

xP

yQ

yP j

j

jjj

j

Analytické funkce RC podmínky III

• Funkce P a Q tedy splňují Riemann-Cauchyho podmínky:

Ty znamenají, že funkce jsou na sebe kolmé a navíc z nich vyplývá, že každá splňuje Laplaceovu rovnici, stejně jako potenciál:

xQ

yP

yQ

xP

^

00 2

2

2

2

2

2

2

2

yQ

xQ

yP

xP

Skalární součin Ať

Definice I (ve složkách)

Definice II

n

iiibac

1

cosbac

Skalární součin je součin průmětu jednoho vektoru do směru druhého a jeho velikosti. ^

bac

Gaussova věta I

• Přesná definice:

0q

SdEd e

• V případech speciální symetrie můžeme najít integrační plochu, na níž je velikost E všude stejná a vektor je všude paralelní s vnější normálou. Potom jednoduše:

0

qSEd e

^

E

Pole bodového náboje I

• Jako Gaussovu plochu volíme povrch koule, v jejímž středu je bodový náboj.

• Intenzita je v každém bodě kolmá k této ploše, takže je paralelní (nebo antiparalelní) s její vnější normálou.

• Navíc je její velikost na celé ploše konstantní. Tedy :

0

24

qrEdSESdE

E

Pole bodového náboje II

• Pro velikost intenzity tedy dostáváme stejný vztah jako z Coulombova zákona :

Zde je patrný důvod, proč se v Coulombově zákoně objevuje člen

204

)(r

qrE

041

^

Nekonečný rovnoměrně nabitý drát I

• Nekonečný vodivý drát z rovnováze musí být nabit rovnoměrně a stav jeho nabití tedy můžeme popsat hustotou náboje na jednotkovou délku.

• Obě veličiny mohou být nekonečné, ale jejich poměr může být konečný.

• Drát je osou symetrie problému.

][ 1 CmLQ

Nekonečný rovnoměrně nabitý drát II

• Intenzita leží v rovinách kolmých k drátu a je radiální.

• Jako Gaussovu plochu zvolíme povrch rotačního válce jisté délky L, souosého s drátem.

• Intenzita je v každém bodě kolmá k plášti válce, čili je paralelní (nebo antiparalelní) s vnější normálou každé plošky, kterou prochází.

• Současně je velikost intenzity na celém plášti konstantní.

E

Nekonečný rovnoměrně nabitý drát III

• Tok podstavami je nulový, protože zde je vektor intenzity k normálám kolmý.

• Tedy :

0

2 L

rLEdSESdE

02)(

r

rE

Nekonečný rovnoměrně nabitý drát VI

• Tím, že je jeden rozměr nabitého tělesa nekonečný, klesá intenzita pouze s první mocninou vzdálenosti.

• Opět bychom mohli získat stejný výsledek použitím Coulombova zákona, principu superpozice a integrací, ale bylo by to poněkud obtížnější:

^

Nekonečný drát z C.z.• Intenzita má nenulovou jen radiální složku Er:

2

sin

sin

;;sin

dxkdE

arctgrxEE

r

rr

• Všechny proměnné vyjádříme pomocí a integrujeme od 0 do :

rr

k

r

dkEz

00 2

2sin2

2

• Co je snažší?

^

Nekonečná nabitá rovina I

• Můžeme-li předpokládat rovnoměrné nabití, můžeme definovat plošnou hustotu náboje :

• Obě veličiny mohou být opět nekonečné, ale mít konečný podíl.

• Ze symetrie musí být intenzita všude kolmá k nabité rovině.

][ 2 CmSQ

Nekonečná nabitá rovina II

• Za Gaussovu plochu zvolíme opět válec, tentokrát kolmý k rovině, tak, aby ho půlila.

• Tok pláštěm libovolného tvaru bude nulový, nenulový bude jenom tok podstavami o ploše S :

• 0

2S

SEdSEdSE

ErE 02

)(

Nekonečná nabitá rovina III

• Tentokrát intenzita nezávisí na vzdálenosti.

• Protože má všude stejnou velikost i směr, vytváří nekonečná nabitá rovina speciální, takzvané homogenní pole.

• Jak se ukáže později homogenní pole je možné popsat jediným parametrem a má velký teoretický i praktický význam.

E

^

Dva elektrony 1 m od sebe

Jsou elektrostaticky odpuzovány, ale gravitačně přitahovány. Která síla bude větší?

!!!102.4

1054.5)101.9(1067.6

1031.2)106.1(109

42

7123111

282199

g

e

g

e

FF

NF

NF

^

Jeden elektron a proton 0.53 10-10 m od sebe

To odpovídá jejich vzdálenosti v atomu vodíku.

N

Fe

8

210199

102.8

)1053.0/106.1(109

Takovou sílu je principiálně možné změřit makroskopicky! Značná velikost sil je tajemství, proč hmota drží pohromadě.

^

Oddělme elektrony a protony z 1 g vodíku a dejme je na póly Země.

1 g je 1 gram-molekula H, takže máme NA=6.02 1023 obou typů částic.

)(!102.5

)107.12/1002.6106.1(1095

2623199

N

Fe

^

To je tíha naloženého nákladního vagónu.

Dvě 1 g Fe kuličky, 1 m od sebe se přitahují silou 10 N. Jaký je jejich přebytečný náboj?

Přebytečný náboj :

eCq 1459 102103.3109/10

Celkový a přebytečný /celkový náboj :

)(!10/

108.28.55

261002.6

9

2323

t

t

qq

eq

^

04.12.2013 385

Gausova věta I

• Mějme kladný bodový náboj Q a kulovou Gaussovu plochu o poloměru r centrovanou v náboji. Předpokládejme obecnějsí radiální pole :

• Siločáry jsou všude paralelní ke vnějším normálám, takže celkový tok je :

• Případ p2 by znamenal závislost toku na r, což

odporuje experimentu!

pr

kQrE )(

pe QrSrE 21

0)(

04.12.2013 386

Gausova věta II

• Platnost Gaussovy věty p = 2.

• Užitím pojmu prostorového úhlu lze ukázat • platnost pro bodový náboj umístěný kdekoli

uvnitř kulové plochy.

• platnost pro každou uzavřenou plochu.

• Z každého bodu objemu totiž vidíme každou uzavřenou plochu pod celkovým prostorovým úhlem 4.

^

Prostorový úhel I• Mějme povrch koule o poloměru r. Z jejího

středu vidíme element plochy dS pod prostorovým úhlem d :

2r

dSd

4

42

2

r

r

Celý povrch vidíme pod úhlem :

Prostorový úhel IIJe-li ve středu koule bodový náboj Q, je

elementární tok intenzity ploškou dS :

2

coscos

r

dSkQdSESdEd e

0

4

QkQdkQe

Protože poslední zlomek je d, je celkový tok:

^

04.12.2013 389

Vztah mezi potenciálem a intenzitou I

• Tento vztah je stejný jako vztah potenciální energie a síly, který se názorněji vysvětluje.

• Mějme nabitou částici, na kterou pole působí silou .

• Když se částice posune o vykoná pole práci dW’ :

F

ldFWd

ld

04.12.2013 390

Vztah mezi potenciálem a intenzitou II

• Znaménko práce závisí na vzájemné orientaci projekce vektoru posunu do vektoru síly.

• Je-li projekce posunu ve směru síly, práci koná pole a tento posun se může uskutečnit bez zásahu vnějších sil. Nejedná se ale o “samovolný” posun. Dojde k němu na úkor poklesu potenciální energie částice :

• Můžeme tedy bez újmy na obecnosti rovnou hovořit přímo o posunu do nebo proti směru síly.

pdEldFWd

04.12.2013 391

Vztah mezi potenciálem a intenzitou III

• Při posunu nabité částice do směru síly tedy práci koná pole.

• Při posunu proti směru síly musí práci vykonat vnější činitel :• dochází při tom ke zvýšení potenciální energie

částice.• pole principiálně může při jiné příležitosti celou

vynaloženou práci vrátit. Proto se tento typ energie nazývá energie potenciální.

04.12.2013 392

Vztah mezi potenciálem a intenzitou IV

• Práci uskutečněnou polem pro jistou cestu A->B tedy získáme integrací :

• Po vydělení nábojem dostáváme hledaný vztah mezi intenzitou a potenciálem :

)()()( AEBEldFBAW pp

B

A

)()( ABldEB

A

04.12.2013 393

Vztah mezi potenciálem a intenzitou V

• Mějme částici nabitou kladným jednotkovým nábojem čili síla je číselně rovna intenzitě a potenciální energie je číselně rovna potenciálu.

• Je nutné ale mít na paměti, že• intenzita a potenciál jsou vlastnosti pole

• síla a potenciální energie jsou vlastnosti, týkající se částice a jejich rozměr se liší [*C].

04.12.2013 394

Vztah mezi potenciálem a intenzitou VI

• Posuňme náš náboj (1C) ve směru intenzity o . Platí :

• Tedy : (B) = (A) - Edl potenciál klesá ve směru intenzity a tedy i siločar.

• Také: Ep(B) = Ep(A) - W’ = Ep(A) – qEdl

0)]()([ ABdlEldE

ld

04.12.2013 395

Vztah mezi potenciálem a intenzitou VII

• Intenzitu můžeme vyjádřit jako změnu potenciálu:

• Vidíme, že potenciál souvisí s integrálními vlastnostmi intenzity a naopak intenzita s derivací potenciálu.

dld

dlAB

E )]()([

Gradient I

Je vektor sestrojený z diferenciálů funkce f ve směrech jednotlivých souřadných os .

Je používán k odhadu změny funkce f provedeme-li elementární posun .

)(],,[)( rz

f

y

f

x

frfgrad

ld

Gradient II

Změna je druhý člen. Je to skalární součin. K největší změně dochází, je-li elementární posun paralelní ke směru gradientu.

Jinými slovy má gradient směr největší změny funkce f !

))(()()( rfgradldrfldrf

^

ld

04.12.2013 398

Kirchhoffovy zákony I

• Fyzikálním základem pro řešení obvodů jsou Kirchhoffovy zákony. Vyjadřují obecné vlastnosti, vyplývající ze zachování náboje a konzervativnosti stacionárního elektrického pole.

• V nejjednodušší formě platí jen pro stacionární pole a proudy. Mohou ale být snadno zobecněny pro určité typy polí časově proměnných, např. pro střídavé proudy harmonického průběhu.

04.12.2013 399

Kirchhoffovy zákony II

• První Kirchhoffův zákon, zákon pro uzly, říká, že součet proudů přitékajících do jistého uzlu se musí rovnat součtu proudů z tohoto uzlu vytékajících.

• Je to speciální případ zákona zachování náboje. Ten je obecněji je vyjádřen rovnicí kontituity náboje, která popisuje navíc směry a připouští nabíjení nebo vybíjení bodu.

• S analogickým zákonem jsme se setkali v hydrodynamice.

04.12.2013 400

Kirchhoffovy zákony III

• Druhý Kirchhoffův zákon, zákon pro smyčky, říká, že součet napětí (rozdílů potenciálů) na každém prvku v každé uzavřené smyčce se musí rovnat nule.

• Zákon je založen na existenci potenciálu v obvodech stacionárního elektrického proudu (které je konzervativní) a zachování potenciální energie ve smyčce .

04.12.2013 401

Použití Kirchhoffových zákonů I

• Musíme sestavit soustavu nezávislých rovnic, jejichž počet bude roven počtu větví :• Nejprve si označíme všechny proudy a každému

přiřadíme určitý směr. Pokud se zmýlíme, vyjde nám proud na závěr záporný.

• Napíšeme rovnice, vyplývající z I. KZ pro všechny uzly kromě posledního, v němž bychom dostali lineárně závislou rovnici.

• Napíšeme rovnici z II. KZ pro všechny nezávislé smyčky.

04.12.2013 402

Příklad I-1

• Obvod má 3 větve, 2 uzly a 3 smyčky, z nichž 2 jsou nezávislé.

• Protože zdroje jsou ve dvou větvích, nemůžeme problém jednoduše převést na serio-paralelní zapojení rezistorů.

04.12.2013 403

Příklad I-2

• Nazveme proudy a přiřadíme jim směr. Nechme všechny opouštět uzel a, takže alespoň jeden musí vyjít záporný.

• Označme polarity na rezistorech podle předpokládaných směrů proudů.

• Sestavme rovnici pro první uzel a :

I1 + I2 + I3 = 0.

04.12.2013 404

Příklad I-3

• Rovnice pro uzel b by vyšla stejná, takže další rovnice musíme najít ze smyček.

• Vyjdeme např. z bodu a větví 1 a vrátíme se větví 3 :

-U1 + R1I1 – R3I3 = 0

• Potom podobně z a větví 2 a nazpět větví 3:

U2 + R2I2 – R3I3 = 0

04.12.2013 405

Příklad I-4• Při cestě kolem smyček musíme zachovat určitý systém,

například psát všechny výrazy na jednu stranu rovnice se znaménkem podle polarity napětí, ke kterému u příslušného prvku přijdeme nejprve. To je ekvivalentní práci, kterou dodá pole na přenesení jednotkového náboje přes tento prvek. Dále řešíme jedním z mnoha způsobů:

• Z první rovnice vyjádříme : -I3 = I1 + I2 a dosadíme do dalších dvou :

U1 = (R1 + R3)I1 + R3I2

-U2 = R3I1 + (R2 + R3)I2

04.12.2013 406

Příklad I-5• Numericky máme :

25I1 + 20I2 = 10

20I1 + 30I2 = -6• Můžeme postupovat několika způsoby a

dostaneme : I1 = 1.2 A, I2 = -1 A, I3 = -0.2 A

• Vidíme, že proudy I2 a I3 mají ve skutečnosti opačný směr, než jsme původně předpokládli.

04.12.2013 407

Použití Kirchhoffových zákonů II

• Kirchhoffovy zákony nejsou pro praktické řešení obvodů příliš užitečné, protože je nutné sestavit a vyřešit stejný počet rovnic, jako je počet větví. Lze ale ukázat, že k úplněmu řešení obvodu postačí stejný počet rovnic, jako je nezávislých smyček, což je obecně méně!

04.12.2013 408

*Příklad II-1

• I v našem předchozím, jednoduchém příkladu jsme museli řešit systém tří rovnic, který je praktickou hranicí, kterou lze vyřešit relativně jednoduše ručně.

• Ukážeme, že pro nepatrně komplikovanější obvod by již počet rovnic byl příliš velký na ruční řešení.

04.12.2013 409

*Příklad II-2

• Nyní máme 6 větví, 4 uzly a mnoho smyček, z nichž jsou 3 nezávislé.

• Kirchhoffovy zákony nám poskytnou 3 nezávislé rovnice pro uzly a 3 pro smyčky.

• Máme tedy systém 6 rovnic o 6 neznámých. Řešení je principiálně možné, ale velmi obtížné.

04.12.2013 410

Princip superpozice I

• Princip superpozice lze použít tak, že všechny zdoje pracují nezávisle.

• Pokaždé můžeme zkratovat všechny zdroje až na j-tý a najít proudy Iij v každé větvi.

• Opakujeme to pro všechny zdroje a nakonec pro proud určitou větví platí :

Ii = Ii1 + Ii2 + Ii3 + …

04.12.2013 411

Princip superpozice II

• Jednoduchá ilustrace: Máme zdroj 12 V, jeho kladná elektroda je spojena s kladnou elektrodou druhého zdroje 6 V. Záporné elektrody obou zdrojů jsou spojeny přes odpor 3 .

• První zdroj generuje proud I1 = +4 A

• Druhý zdroj generuje proud I2 = –2 A

• Oba zdroje působí současně , tedy celkový proud je: I = I1 + I2 = +2 A

04.12.2013 412

*Příklad I-6

• Vraťme se k našemu prvnímu příkladu.

• Ponechme první zdroj a zkatujme druhý.

• Získáme jednoduché serio-paralelní zapojení rezistorů, v němž snadno nalezneme proudy :

• I11= 6/7 A; I21= -4/7 A; I31= -2/7 A

04.12.2013 413

*Příklad I-7

• Opakujeme totéž s druhým zdrojem :• I12= 12/35 A; I22= -3/7 A; I32= 3/35 A• Celkově dostaneme :• I1= 1.2 A; I2= -1 A; I32= -0.2 A• Výsledek je stejný jako předchozí.• Princip superpozice je užitečný, když

chceme například zjistit, co se stane když zdvojnásobíme napětí prvního zdroje.

04.12.2013 414

Metoda obvodových proudů

• Existuje několik pokročilejších metod, které používají pouze nezbytný počet rovnic, potřebných k vyřešení daného obvodu.

• Nejelegantnější a nejjednodušší na použití i pamatování je metoda obvodových proudů.

• Je založena na myšlence, že obvodem tečou proudy v nezávislých smyčkách a proud v každé větvi je jejich superpozicí.

04.12.2013 415

Příklad I-8

• V našem příkladě existují dva nezávislé obvodové proudy, např. I ve smyčce a(1)(3) a I ve smyčce a(2)(3).

• Proudy ve větvích mohou být považovány za jejich superpozici :

• I1= I

• I2= I• I3= -I - I

04.12.2013 416

*Příklad I-9

• Napíšeme rovnice pro smyčky :

• (R1 + R3)I + R3I = U1

• R3I + (R2 + R3) I = -U2

• Po dosazení numerických hodnot máme :

I = 1.2 A a I = -1A, které dají opět stejné proudy proudy v obvodech :

I1 = 1.2 A, I2 = -1 A, I3 = -0.2 A

04.12.2013 417

*Příklad I-10

• Výsledek je stejný, ale řešili jsme soustavu pouze dvou rovnic o dvou neznámých.

• Výhoda je ještě lépe vidět na druhém příkladu.

04.12.2013 418

*Příklad II-3

• Proud I bude ve smyčce DBAD, I v DCBD a I v CBAC. Potom :

• I1 = I - I

• I2 = I - I

• I3 = I - I

• I4 = -I

• I5 = I

• I6 = I

04.12.2013 419

*Příklad II-4

• Smyčková rovnice v DBAD by byla :

• -U1 + R1(I - I) – U3 + R3(I - I) + R5I = 0

• (R1 + R3 + R5)I - R1I - R3I = U1 + U3

• Podobně ve smyčkách DCBD a CABC:

• -R1I + (R1 + R2 + R4)I - R2I = U4 - U1 – U2

• -R3I - R2I +(R2 + R3 + R6)I = U2 - U3

• Rovnice se sestavují poněkud obtížněji ale jsou jenom tři, takže je můžeme vyřešit ručně!

04.12.2013 420

*Příklad II-5

• Numericky máme :

• 12 –2 –5 I = 51

-2 14 –10 I = -16

• -5 –10 25 I = 25

• Řešením dostaneme I, I, I a s jejich pomocí nakonec vypočteme proudy v jednotlivých větvích I1 , I2 …

^

04.12.2013 421

Théveniova poučka III

• Příkladem na využití Théveniovy poučky je výpočet vlastností zatíženého odporového děliče.

• Mějme dva rezistory R1 a R2 zapojené do série s ideálním zdrojem napětí.

• Napětí mezi jednou elektrodou zdroje a bodem mezi odpory je k celkovému napětí v určitém poměru.

04.12.2013 422

Théveniova poučka IV

• Napětí naprázdno je jednoduše:

Ue = U0R2/(R1+R2)

• Zkratový proud je:

Is = U0/R1

• A tedy vnitřní odpor je:

Ri = Ue/Is = R1R2/(R1 + R2)

což je odpor kombinace R1 paralelně s R2

^

04.12.2013 423

Reálné zdroje IV• Model s a Ri je vhodný i když zdrojem teče proud

v opačném smyslu než by odpovídalo jeho elektromotorickému napětí, například při nabíjení. Polarita napětí na vnitřním odporu závisí jako u každého odporu na směru proudu. Příklad :

• Během nabíjení olověného akumulátoru se 6 články bylo dosaženo proudu Ic = 10 A při napětí nabíječky Uc = 13.2 V. Během jeho vybíjení bylo při svorkovém napětí Ud = 9.6 V dosaženo proudu Id = 20 A. Najděte a Ri.

04.12.2013 424

Reálné zdroje V

• Nabíjení : Uc = + Ic Ri

• Vybíjení : Ud = - Id Ri

• Tedy zde :

+ 10 Ri = 13.2

- 20 Ri = 9.6

= 12 V a Ri = 0.12 Na jeden článek : = 2 V a Ri = 0.02

^

04.12.2013 425

Konstrukce V- a A- metrů I

• Základem ručkových přístrojů je galvanometr. Je to velice citlivý voltmetr i ampérmetr. Je obvykle charakterizován, proudem při plné výchylce a vnitřním odporem. Obvodem je vnímán právě jako tento odpor.

• Mějme galvanometr s proudem při plné výchylce If = 50 A a vnitřím odporem Rg= 30 .

• Z ohmova zákona je napětí při pné výchylce

Uf = If Rg = 1.5 mV

04.12.2013 426

Konstrukce V- a A- metrů II

• Chceme-li měřit větší proudy, musíme galvanometr přemostit tzv. bočníkem, který odvede přebytečný proud mimo.

• Například I0 = 10 mA. Protože se jedná o paralelní zapojení, je Uf = 1.5 mV a bočníkem musí procházet proud I = 9.950 mA, takže jeho odpor je Rp = 0.1508 a celkový vnitřní odpor R = 0.15.

• Bočníky mají zpravidla malý odpor, ale musí být přesné a vydržet velké proudy.

04.12.2013 427

Konstrukce V- a A- metrů III

• Chceme-li měřit větší napětí, musíme použít předřadný odpor, který je zapojen do série s galvanometrem a je na něm přebytečné napětí.

• Například U0 = 10 V. Při If = 50 A musí na předřadném odporu být U = 9.9985 V. Tedy Rs= 199970 a celkový vnitřní odpor R = 0.2 M

• Předřadné odpory jsou zpravidla velké a přesné . Proud, který jimi teče je malý.

^

04.12.2013 428

Použití V- a A- metrů I

• Voltmetry a ampérmetry mají konečný vnitřní odpor a proto zatěžují měření systematickou chybou.

• Jak by se chovaly ideální přístroje?• Voltmetry se zapojují paralelně. Aby přitom

neovlivnily měřený obvod, měly by mít nekonečný vnitřní odpor.

• Ampérmetry se zapojují sériově. Aby neovlivnily obvod, musí na nich být nulový spád napětí a tedy musí mít vnitřní odpor nulový.

04.12.2013 429

Použití V- a A- metrů II

• Měřme odpor metodou přímou. Můžeme použít dvou zapojení.

• V prvním je napětí měřené správně, ale vnitřní odpor voltmetru způsobuje, že ampérmetr měří větší proud než teče měřeným odporem. Hodnota rezistoru vyjde menší.

• Toto zapojení může být použito pro měření malých odporů, kdy je chyba zanedbatelná

04.12.2013 430

Použití V- a A- metrů III

• Ve druhém zapojení se měří správně proud, ale vnitřní odpor ampérmetru způsobuje, že měřené napětí je vyšší než napětí na měřeném rezistoru. Jeho hodnota pak vychází vyšší.

• Toto zapojení lze použít pro měření velkých odporů.

• Vnitřní odpory přístrojů lze určit kalibrací.

04.12.2013 431

Použití V- a A- metrů IV

• Normální měření používá určité metody k určení neznámých informací o vzorku.

• Kalibrace je speciální měření na známém vzorku, které má vypovídat o zvolené metodě.

04.12.2013 432

Wheatstonův můstek I

• Jedna z nejpřesnějších a nejsprávnějších metod měření rezistance používá Wheatstonův můstek.

• Jsou to v principu rezistory zapojené do čtverce. Jeden z nich je neznámý. Ostatní tři jsou známé a navíc alespoň jeden z nich musí být (definovaně) proměnný. V jedné diagonále je napájecí zdroj a ve druhé galvanometr. Ten měří proud v diagonále a tedy vlastně i napětí mezi body, kde je připojen.

04.12.2013 433

Wheatstonův můstek II

• V průběhu měření se mění hodnota proměnného odporu s cílem můstek vyrovnat, což znamená, že galvanometrem neteče měřitelný proud. To je možné pouze, když jsou potenciály v bodech a a b stejné:

• I1R1 = I3R3 a I1R2 = I3R4 po vydělení

• R2/R1 = R4/R3 e.g. R4 = R2R3/R1

^

04.12.2013 434

Termočlánek V

• Spojme dva vodiče A a B v jednom bodě a umístěme jej v prostředí o teplotě t1.

• Na opačných koncích vodičů, které jsou v pokojové teplotě t0, budou vůči spoji napětí:

uA=kA(t0-t1) a uB=kB(t0-t1)

• Připojíme-li mezi konce voltmetr naměříme:

uAB = uB - uA= (kB - kA)(t0 – t1)

04.12.2013 435

Termočlánek VI• Jednou z možností, jak se této závislosti

zbavit je použití dvojice termočlánků.• Vytvořme druhý spoj vodičů A a B a umístěme

jej do prostředí o známé teplotě t2.• Jeden z vodičů, např. B potom (v místě s

pokojovou teplotou t0) přerušíme. Napětí bodů přerušení X a Y vůči prvnímu společnému bodu obou vodičů budou:

uX = kB(t0 – t1)

uY = kA(t2 – t1) + kB(t0 – t2)

04.12.2013 436

Termočlánek VII• Napětí mezi těmito body potom bude:

uXY = uY - uX = kA(t2 – t1) + kB(t0 – t2) - kB(t0 – t1)

tedy: uXY = (kB- kA)(t1 - t2)

• Závislost na pokojové teplotě tedy skutečně mizí. Ovšem za cenu nutnosti použít lázně s referenční teplotou. Pro ni se obvykle využívá dobře definované teploty fázových přechodů, například u systému voda-led. Pozor ale na závislost na tlaku.

^

04.12.2013 437

Magnetické pole Země IV

• Magnetické pole Země:• chrání povrch před dopadem nebezpečných

nabitých částic z kosmu – Aurora borealis.• ve směru ke Slunci se rozkládá do vzdálenosti

60 kkm a ve směru opačném 300 kkm.• v roce 1905 Einstein pravil, že je jedním z pěti

nejdůležitějších nevyřešených problémů lidstva. Je tomu tak i o 100 let později!

• spolehlivá data existují až díky družicím.

04.12.2013 438

Magnetické pole Země V

• Magnetické póly pohybují. V průběhu dne opíší v důsledku působení Slunce ovál o délce cca 85 km. Kromě toho se dlouhodobě jižní magnetický pól pohybuje o 40 km ročně k severnu.

• Geologické nálezy nasvědčují tomu, že se orientace magnetického pole přepíná. Za posleních 330 M let se to stalo více než 400 krát, naposledy před 178000 lety. Existují argumenty pro to, že se přepnutí odehrává rychle, řádově během dní.

04.12.2013 439

Magnetické pole Země VI

• Existence pole a jeho chování se vysvětluje proudy elektronů, tekoucích východním směrem po povrchu NiFe jádra v kombinaci s termoelektrickým jevem.

• Do současné doby jsou neúplné a dosti nepřesvědčivé. Hlavní problém je v tom, že se nám podařilo proniknout ani ne do 1 ‰ zemského poloměru.

^