Technische Universität München

Physik Department

Konzepte derExperimentalphysik 2:Elektromagnetismus

Zur Vorlesung von: Prof. Dr. Christian Pfleiderer

Verfasser: Abel Perera (abel.perera@tum.de)Andrea Meraner (andrea.meraner@tum.de)Gabriele Semino (gabriele.semino@tum.de)Adonia Siegmann

Das Copyright liegt bei den Verfassern

Inhaltsverzeichnis1 Elektrostatik 1

1.1 Coulomb-Gesetz, elektrisches Feld und Potential . . . . . . . . . . . . . . . 11.1.1 Coulomb-Gesetz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.1.2 Elektrisches Feld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.1.3 Elektrischer Fluss und Gauß’sches Gesetz . . . . . . . . . . . . . . . 21.1.4 Gauß’scher Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.1.5 Elektrostatisches Potential . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.1.6 Poisson-Gleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.1.7 Elektrische Spannung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.1.8 Superpositionsprinzip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.2 Elektrische Multipole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.2.1 Elektrischer Dipol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.2.2 Multipolentwicklung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.3 Kondensatoren und Kapazität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.3.1 Oberflächenladungsdichte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.3.2 Kapazität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.3.3 Plattenkondensator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.3.4 Kugelkondensator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.3.5 Energie geladener Kondensatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.3.6 Kondensatorenschaltungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.4 Dielektrika im elektrischen Feld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.4.1 Polarisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.4.2 Feldgleichungen in Materie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.4.3 Die dielektrische Verschiebung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.4.4 Kapazität eines Kondensators mit Dielektrikum . . . . . . . . . . . 101.4.5 Feldenergie im Dielektrikum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.5 Atomare Grundlagen von Ladungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.5.1 Millikan Versuch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.5.2 Braun’sche Röhre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2 Elektrischer Strom 132.1 Strom als Ladungstransport und Kontinuitätsgleichung . . . . . . . . . . . 132.2 Kirchhoff’sche Regeln für Netzwerke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142.3 Elektrischer Widerstand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.3.1 Ohm’sches Gesetz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.3.2 Elektrische Leistung und Joule’sche Wärme . . . . . . . . . . . . . 162.3.3 Widerstandsschaltungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162.3.4 Wheatstone’sche Brückenschaltung . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.3.5 Innenwiderstand von Spannungsquellen . . . . . . . . . . . . . . . . 182.3.6 Beispiel: Laden und Entladen eines Kondensators . . . . . . . . . . 18

2.4 Ionenleitung in Flüssigkeiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

3 Magnetostatik 203.1 Feldgleichungen und Vektorpotential . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

3.1.1 Magnetischer Kraftfluss und erste magnetische Feldgleichung . . . . 203.1.2 Zweite magnetische Feldgleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213.1.3 Das magnetische Vektorpotential . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

3.2 Magnetfelder spezieller Anordnungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

I

3.2.1 Das Ampere’sche Durchflutungsgesetz . . . . . . . . . . . . . . . . 223.2.2 Das Biot-Savart-Gesetz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

3.3 Kräfte auf bewegte Ladungen im Magnetfeld . . . . . . . . . . . . . . . . . 243.3.1 Kräfte auf stromdurchflossene Leiter im Magnetfeld . . . . . . . . . 243.3.2 Hall-Effekt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

3.4 Magnetische Dipole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253.4.1 Magnetisches Dipolmoment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253.4.2 Magnetischer Dipol im äußeren Magnetfeld . . . . . . . . . . . . . . 263.4.3 Magnetisches Dipolmoment von Atomen . . . . . . . . . . . . . . . 27

3.5 Magnetisierung und Suszeptiblität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273.6 Arten der Magnetisierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

4 Einschub: Bewegte Bezugssysteme und spezielle Relativitätstheorie 304.1 Klassische Betrachtung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304.2 Die Galilei-Transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304.3 Spezielle Relativitätstheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

4.3.1 Invarianz der Lichtgeschwindigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314.3.2 Michelson-Morley-Experiment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314.3.3 Spezielle Relativitätstheorie: Postulate . . . . . . . . . . . . . . . . 334.3.4 Die Frage der Gleichzeitigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

4.4 Lorentz-Transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 344.4.1 Längenkontraktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 354.4.2 Zeitdilatation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

4.5 Minkowski-Diagramme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 374.6 Elektromagnetisches Feld und Relativitätsprinzip . . . . . . . . . . . . . . 394.7 Impuls und Energie in der Speziellen Relativitätstheorie . . . . . . . . . . . 40

5 Zeitabhängige elektrische Felder 415.1 Rückblick: Zeitunabhängige Felder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 415.2 Faraday’sches Induktionsgesetz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

5.2.1 Integralform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 425.2.2 Differentielle Form . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 425.2.3 Lenz’sche Regel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

5.3 Selbstinduktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 445.3.1 Der R-L-Stromkreis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 445.3.2 Selbstinduktivität einer zylindrischen Spule . . . . . . . . . . . . . . 465.3.3 Energie des Magnetfeldes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 475.3.4 Gegeninduktivität von zwei stromdurchflossenen Spulen . . . . . . . 48

5.4 Der Maxwell’sche Verschiebungsstrom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 485.5 Maxwell-Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

6 Technische Anwendungen 516.1 Wechsel- und Drehstrom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

6.1.1 Erzeugung und Nutzung: Generator und Elektromotor . . . . . . . 516.1.2 Wechselstrom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 526.1.3 Dreiphasenstrom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

6.2 Induktivitäten und Kapazitäten im Wechselstromkreis . . . . . . . . . . . . 546.2.1 Wechselstromkreis mit Induktivität . . . . . . . . . . . . . . . . . . 546.2.2 Wechselstromkreis mit Kapazität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 556.2.3 Induktive und kapazitive Widerstände . . . . . . . . . . . . . . . . 55

II

6.2.4 Impedanz und Admittanz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 566.3 Lineare Netzwerke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

6.3.1 Hochpass-Filter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 586.3.2 Tiefpass-Filter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 596.3.3 Bandpassfilter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 606.3.4 Wechselstromleistung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 616.3.5 Leistungsoptimierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

6.4 Transformatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 636.4.1 Unbelasteter Transformator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 636.4.2 Belasteter Transformator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

7 Elektromagnetische Schwingkreise 647.1 Der elektromagnetische Schwingkreis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 647.2 Erzwungene Schwingung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 667.3 Gekoppelte Schwingkreise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 677.4 Offene Schwingkreise: der Hertz’sche Dipol . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

8 Elektromagnetische Wellen 728.1 Wellengleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 728.2 Periodische Wellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 738.3 Polarisation elektromagnetischer Wellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 748.4 Magnetisches Feld einer elektromagnetischen Welle . . . . . . . . . . . . . 768.5 Energie und Impuls einer elektromagnetischer Welle . . . . . . . . . . . . . 768.6 Wellen in Kabeln und Wellenleitern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

8.6.1 Stehende Wellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 778.6.2 Hohlleiter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 788.6.3 Lecherleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 788.6.4 Koaxialkabel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

Abbildungsquellen 80

III

1 Elektrostatik

1.1 Coulomb-Gesetz, elektrisches Feld und Potential1.1.1 Coulomb-Gesetz

Das Coulomb-Gesetz beschreibt die Kraft, die von einer Punktladung Q auf eine Punkt-ladung q ausgeübt wird ([Q] = 1 C = 1 A s). Befindet sich die Ladung Q im Nullpunkt desKoordinatensystems und die Ladung q im Punkt ~r des Raums (und im Abstand |~r| = rvon der Ladung Q), ergibt sich für die Kraft der folgende Ausdruck

~F (~r) = 14πε0

q ·Qr2 ~er (1.1.1)

wobei ε0 die Dielektrizitätskonstante ist mit dem Wert

ε0 = 8, 854 · 10−12 A2s4

kg m3

Die Einheit kann auch folgendermaßen vereinfacht werden: [ε0] = A sV m .

Befindet sich im Allgemeinen die Ladung q1 im Punkt ~r1 und die Ladung q2 im Punkt ~r2,ergibt sich für die Kraft auf die Ladung in ~r1

Coulomb-Gesetz~F (~r1, ~r2) = q1q2

4πε0

(~r1 − ~r2)|~r1 − ~r2|3

(1.1.2)

Bemerkung: Folgende Schreibweisen sind äquivalent

1r2~er = 1

|~r |2~er = 1

|~r |2~r

|~r |= ~r

|~r |3(1.1.3)

1.1.2 Elektrisches Feld

Für das elektrische Feld gilt folgende Eigenschaft:

~E(~r) =~F

q=x

für eine Punktladung Q in ~r1

Q

4πε0

(~r − ~r1)|~r − ~r1|3

(1.1.4)

[E] = [F/q] = 1 N/C = 1 N/As = 1 V/m

Die Richtung des Feldes wird durch die Kraft auf eine positive Probeladung q definiert.Die Feldlinien zeigen von positiven Feldladungen weg und zu negativen hin.

1

1.1.3 Elektrischer Fluss und Gauß’sches Gesetz

Als gesamten elektrischen (Kraft-)Fluss durch die Fläche A definiert man

Φel =¨

~E · d ~A (1.1.5)

mit dem Flächennormalenvektor d ~A.

Für eine geschlossene Fläche A, welche die Ladung Qin einschließt, gilt das sogenann-te Gauß’sche Gesetz

Φel =‹A

~E · d ~A = Qin

ε0(1.1.6)

Bei einer ausgedehnten Ladungsdichte %(~r) kann die innere Ladung auch wie folgt be-stimmt werden:

Qin =˚

V (A)%(~r) dV (1.1.7)

Die allgemeine Formulierung des Gauß’schen Gesetzes ist also:

Integralform des Gauß’sches Gesetz‹A=∂V

~E · d ~A = 1ε0

˚V

%(~r) dV (1.1.8)

Bemerkung: Der elektrische Fluss durch eine geschlossene Oberfläche hängt somit nurvon der gesamten enthaltenen Ladung ab (und nicht von der Form der Oberfläche oderder Ladungsverteilung).

1.1.4 Gauß’scher Satz

Der Fluss eines differenzierbaren Verktorfeldes ~E durch eine geschlossene Fläche ist gleichdem Volumenintegral über dessen Quelldichte div ~E.

‹∂V

~E · d ~A =˚

V

div ~E dV (1.1.9)

Dies ist ein allgemeiner mathematischer Integralsatz und ist als Gauß’scher Satz be-kannt.Im Vergleich mit 1.1.8 ergibt sich

Differentielle Form des Gauß’schen Gesetzes

div ~E = ~∇ · ~E = %

ε0(1.1.10)

2

1.1.5 Elektrostatisches Potential

Da es sich in der Elektrostatik beim elektrischen Feld um ein konservatives Feld handelt,gilt

rot ~E = 0 (1.1.11)

Bewegt man eine Ladung q im elektrischen Feld ~E, verrichtet man i.A. Arbeit. Diesehängt nur vom Anfangs- und Endpunkt der Bewegung ab.

W = q ·ˆ ~r2

~r1

~E · d~s (1.1.12)

Man definiert somit das elektrostatische Potential im Punkt ~r durch

Elektrostatisches Potential

φ(~r) =ˆ ~rref

~r

~E · d~s (1.1.13)

Der Referenzpunkt ~rref, d.h. der Punkt, an dem das Potential gleich 0 ist, kann beliebiggewählt werden. Meistens wird dieser zweckmäßig bei φ(~rref =∞) = 0 gesetzt. Bei beson-deren Symmetrien (z.B. bei zylindrischen Ladungsverteilungen) kann es aber günstigersein, den Referenzpunkt anders zu setzen.

Bemerkung: Die Arbeit W = qφ(~r) muss somit aufgewendet werden (bzw. wird ge-wonnen), um die Ladung q vom Punkt ~r zum Referenzpunkt zu bringen.

Aus der Definition des Potentials folgt, dass

~E = −grad φ(~r) = −~∇φ (1.1.14)

Für eine Punktladung Q in ~r1 erhält man also für das Potential im Punkt ~r,

φ(~r) = 14πε0

Q

|~r − ~r1|(1.1.15)

wenn man den Referenzpunkt ins Unendliche setzt. Darüber hinaus ist die elektrischepotentielle Energie einer Ladung definiert durch

Epot = qφ (1.1.16)

1.1.6 Poisson-Gleichung

Aus den obigen Gleichungen erhalten wir die sog. Poisson-Gleichung.

∆φ = div grad φ = − div ~E = −%/ε0 (1.1.17)

3

Im ladungsfreien Raum % = 0 ergibt sich daraus die Laplace-Gleichung.

div grad φ = 0 (1.1.18)

Für den oben benutzen Laplace-Operator gilt

∆ = ∂2

∂x2 + ∂2

∂y2 + ∂2

∂z2 (1.1.19)

1.1.7 Elektrische Spannung (Potentialdifferenz)

Die elektrische Spannung gibt an, wie viel Energie nötig ist, um eine Probeladung q voneinem Punkt ~r1 zu einem Punkt ~r2 innerhalb eines elektrischen Potentials zu bewegen.

U = φ(~r1)− φ(~r2) =ˆ ~r2

~r1

~E · ds (1.1.20)

[U ] = [E/q] = 1 V = 1 N mA s

Analog zu 1.1.12, gilt für eine Ladung q, die eine Potentialdifferenz U durchläuft

∆Epot = W = −qU (1.1.21)

1.1.8 Superpositionsprinzip (Linearität der Elektrodynamik)

Die von einzelnen Punktladungen erzeugten elektrischen Felder können vektoriell addiertwerden, um das gesamte elektrische Feld zu erhalten.Das elektrische Feld von N Punktladungen lässt sich darstellen als

~E(~r) = 14πε0

N∑i=1

qi(~r − ~ri)|~r − ~ri|3

(1.1.22)

Das zugehörige elektrostatische Potential lautet

φ(~r) = 14πε0

N∑i=1

qi|~r − ~ri|

(1.1.23)

wobei ~ri jeweils die Lage der verschiedenen Ladungen und ~r die Stelle ist, von der mandas elektrische Feld bzw. Potential bestimmen will.

4

1.2 Elektrische Multipole1.2.1 Elektrischer Dipol

Ein elektrischer Dipol besteht aus zwei gleichen, entgegengesetzten Punktladungen Q1 =−Q2 = Q in einem (kleinen) Abstand d.

Abbildung 1.1: Schematische Darstellung eines Dipols (1)

• DipolmomentDefiniert man den Verbindungsvektor ~d so, dass er von der negativen zur positivenLadung (|~d| = d) zeigt, so ergibt sich für das sogenannte Dipolmoment

~p = Q · ~d (1.2.1)

• Elektrisches PotentialSetzt man den Koordinatenursprung in die Mitte zwischen die zwei Ladungen (sieheAbbildung 1.1), erhält man für das Potential am Ort ~r durch Superpositionsprinzip

φ(~r) = 14πε0

(Q

|~r − ~d/2|+ −Q|~r + ~d/2|

)(1.2.2)

Ist man am Potential an einem Punkt weit weg vom Dipol interessiert (also sei r d),so ergibt sich die folgende Näherung

φ(~r) ≈ Q

4πε0

~r · ~dr3 = 1

4πε0

~p · ~rr3 = p · cosϑ

4πε0r2 (1.2.3)

mit ~p · ~r = |~p ||~r | cosϑ = pr cosϑ, wobei also ϑ der Winkel zwischen ~p und ~r ist. Einesolche Näherung wird wegen der Annahme r d Fernfeldnäherung bezeichnet.

• Elektrisches FeldIn der Fernfeldnäherung ergibt sich für das elektrische Feld

~E(~r) = −~∇φ(~r) = 14πε0

(3~r(~p · ~r)r5 − ~p

r3

)= 1

4πε0r3 (3p cosϑ~er − ~p) (1.2.4)

• Dipol im homogenen FeldBefindet sich der Dipol in einem homogenen Feld, wirkt auf beide Ladungen die selbe,entgegengesetzte Kraft; somit gibt es keine resultierende Kraft.

~Fges = +Q~E −Q~E = 0 (1.2.5)

5

Die zwei Kräfte bewirken jedoch ein Drehmoment

~D = ~p× ~E (1.2.6)

Die potentielle Energie des Dipols lautet somit

Epot =ˆ

~D dϑ = −~p · ~E (1.2.7)

Aus den letzten zwei Gleichungen ergibt sich, dass der Dipol sich selbständig dreht, bis~p ‖ ~E gilt. In dieser Lage ist die potentielle Energie minimal.

• Dipol im inhomogenen FeldFür die Kraft auf einen Dipol in einem inhomogenen Feld gilt

~F = (~p · ~∇) ~E =

px · ∂xEx + py · ∂yEx + pz · ∂zExpx · ∂xEy + py · ∂yEy + pz · ∂zEypx · ∂xEz + py · ∂yEz + pz · ∂zEz

(1.2.8)

Darüber hinaus wirkt wie im Fall eines homogenen Feldes ein Drehmoment auf denDipol. Anders als im obigen Fall gibt es in einem solchen Feld aber keine stabile Lage,wo sowohl das Drehmoment als auch die Kraft verschwinden. Der Dipol wird im Feldorientiert und dabei entweder angezogen oder abgestoßen.

1.2.2 Multipolentwicklung

Für räumlich ausgedehnte Ladungsverteilungen ist die analytische Bestimmung der Feld-eigenschaften oft nicht möglich. Eine Approximierung wird durchgeführt, in dem manz.B. das Potential der Ladungsverteilung in Summanden zerlegt, die mit verschiedenenPotenzen bei wachsender Entfernung vom Ladungsschwerpunkt ~r abfallen.

φ(r) = 14πε0

[q

r︸︷︷︸∼ 1r

+ ~p · ~rr3︸ ︷︷ ︸∼ 1r2

+...]

(1.2.9)

Der erste Term beschreibt das Potential einer Punktladung, der zweite das eines elektri-schen Dipols. Höhere Potenzen werden hier vernachlässigt.

1.3 Kondensatoren und Kapazität1.3.1 Oberflächenladungsdichte

Die Oberflächenladungsdichte σ ist definiert als

σ = Q

A(1.3.1)

Bei einem geladenen, leitenden (realen) Körper verteilen sich spontan die Ladungen auf derKörperoberfläche, und im Inneren ist die elektrische Feldstärke gleich Null (Faraday’scherKäfig). Außerhalb und in unmittelbarer Nähe des Körpers stehen hingegen die Feldliniensenkrecht zur Oberfläche. Unter Verwendung des Gauß’schen Gesetzes erhält man somitdas elektrische Feld an der Oberfläche eines leitenden Körpers.

‹∂V

~E · d ~A = E · A = Q

ε0⇒ E = σ

ε0(1.3.2)

6

Bemerkung: Diese Gleichung gilt jedoch nicht für unendlich dünne geladene Flächen.In diesem Fall ergibt sich aus der linken Seite des Gaußschen Gesetzes E · 2A (auf beidenSeiten der Oberfläche herrscht nun ein senkrechtes elektrisches Feld) und es gilt

E = σ

2ε0

Abbildung 1.2: Elektrische Felder an Oberflächen(2)

1.3.2 Kapazität

Zwei entgegengesetzt geladene Leiterflächen bilden einen sogenanntenKondensator. Fürdie Ladung auf den Platten (+Q auf der positiven Platte, −Q auf der negativen) und dieSpannung zwischen diesen gilt folgende Beziehung

Q = C · U (1.3.3)

Die Proportionalitätkonstante C wird Kapazität des Kondensators genannt.

[C] = 1 CV = 1 F = 1 Farad

1.3.3 Plattenkondensator

Für die Kapazität eines Plattenkondensators mit Plattenfläche A und Plattenabstand dgilt

C = ε0 ·A

d(1.3.4)

Für das (homogene) elektrische Feld zwischen den Platten gilt

E = U

d(1.3.5)

1.3.4 Kugelkondensator

Lädt man zwei konzentrische Kugelflächen mit den Radien R1, R2 mit den Ladungen +Qbzw. −Q, erhält man einen sogenannten Kugelkondensator. Für die Spannung zwischenden Platten gilt

U = Q

4πε0

R2 −R1

R1 ·R2(1.3.6)

Für die Kapazität gilt somit

C = Q

U= 4πε0

R1 ·R2

R2 −R1(1.3.7)

7

Lässt man darüber hinaus R2 gegen unendlich laufen, so erhält man die Kapazität einergeladenenen, leitenden Kugel (mit Radius r und φ(∞) = 0)

C = 4πε0r (1.3.8)

1.3.5 Energie geladener Kondensatoren

Für die Arbeit (Energie), die nötig ist, um die Ladung eines Kondensators von 0 auf Q zubringen (bzw. um die Spannung auf einen Wert U aufzuladen), gilt folgende Gleichung

W = Q2

2C = CU2

2 (1.3.9)

Im Fall von Plattenkondensatoren ist die Energiedichte, definiert als Energie pro Volu-meneinheit

wel = ε0E2

2 (1.3.10)

1.3.6 Kondensatorenschaltungen

Für ein Netz an Kondensatoren kann man eine sog. äquivalente (gesamte) Kapazität aus-rechnen. Würde man die gesamte Kondensatorschaltung mit einem einzigen Kondensatorersetzen, und dabei die (von einer Ladungsquelle) aufgenommene Ladung der ersetztenKapazitäten gleich groß halten, müsste der Ersatzkondensator die Kapazität Cges haben.

• Parallelschaltung

Abbildung 1.3: Schaltbild einer Parallel-schaltung von Kondensatoren(1)

U1 = U2 = U3 = U0

Qges = Q1 +Q2 +Q3(1.3.11)

Cges = Qges

U0=∑i

Ci (1.3.12)

• Serienschaltung

Abbildung 1.4: Schaltbild einer Serien-schaltung von Kondensatoren(1)

Q = Q1 = Q2 = Q3

U0 = U1 + U2 + U3(1.3.13)

1Cges

= U0

Q=∑i

1Ci

(1.3.14)

8

1.4 Dielektrika im elektrischen Feld1.4.1 Polarisation

Wird ein elektrischer Isolator, den man in diesem Fall als Dielektrikum bezeichnet, in einelektrisches Feld eingeführt, so richten sich die Partialladungen innerhalb der einzelnenMoleküle gemäß des elektrischen Feldes aus.

Abbildung 1.5: Ausrichtung der Moleküle(16)

Aus diesem Grund verhalten sich die Moleküle wie kleine Dipole, die durch die üblicheFormel ~p = q~d beschrieben werden, wobei d der Abstand und q die Stärke der Par-tialladungen ist. Da eine Betrachtung der einzelnen Dipole für unsere makroskopischeBeschreibung nicht nötig ist, mitteln wir die Wirkung der Ladung bzw. der Dipole imMaterial über das Volumen. Die Summe der Dipole pro Volumen wird als Polarisierung~P bezeichnet und ist wie folgt definiert.

~P = 1V

∑i

~pi (1.4.1)

Es zeigt sich, dass diese Polarisierung direkt proportional zum elektrischen Feld im Di-elektrikum ~ED ist.

~P = ε0χ~ED (1.4.2)

wobei χ elektrische Suszeptibilität genannt wird. In den von uns betrachteten Fällenentspricht diese einem Skalar. Es gilt außerdem, mit der relativen (materialabhängigen)Dielektrizitätskonstante:

χ = εr − 1 ⇒ ~P = ε0(εr − 1) ~ED (1.4.3)

Im Fall von inhomogenen Feldern ist dementsprechend auch ~P ortsabhängig. Genausowie die freien Ladungen im Vakuum die Ursache und somit die Quelle (Divergenz) deselektrischen Feldes sind, sind die polarisierten Ladungen die Quelle der Polarisierung. Mankann also analog zur differentiellen Form des Gauß’schen Gesetzes den Zusammenhang

div ~P = %pol (1.4.4)

schreiben. Mit dem Gauß’schen Gesetz lässt sich zeigen, dass die auf den Oberflächen desDielektrikums erzeugte Flächenladungsdichte mit dem Betrag der Polarisierung überein-stimmt.

σpol = |~P | (1.4.5)

9

1.4.2 Feldgleichungen in Materie

Im Dielektrikum sind die Dipole dem äußeren elektrischen Feld ~EV , wie in Abbildung1.5 zu sehen, entgegengerichtet. Demnach baut sich dort ein ebenfalls entgegengerichteteselektrischen Feld ~EP auf. Dieses ist proportional zur Polarisierung.

~EP = −~P

ε0⇒ | ~EP | =

σ

ε0(1.4.6)

Für das resultierende Feld innerhalb des Dielektrikums gilt dann:

~ED = ~EV + ~EP = EV −~P

ε0(1.4.7)

Es folgt mithilfe von Gleichung 1.4.2 die Beziehung zwischen elektrischen Feld im Vakuumund im Dielektrikum:

~ED = 11 + χ

~EV =~EVεr

(1.4.8)

Da εr im Allgemeinen größer als 1 ist, ist das elektrischen Feld im Dielektrikum schwächerals im Vakuum. Dies lässt sich leicht mithilfe des oben besprochenen Feldes im Dielektri-kum, das durch die Polarisierung aufgebaut wird und dem äußeren Feld entgegenrichtetist, erklären.

1.4.3 Die dielektrische Verschiebung

Die Hilfsgröße, die zur Beschreibung von elektrischen Feldern in Materie ist, wird dielek-trische Verschiebung ~D genannt und ist wie folgt definiert.

~D = ε0 ~ED + ~P = ε0 ~ED + ε0χ~ED = ε0(1 + χ) ~ED = ε0εr ~ED (1.4.9)

[D] = [ε0E] = 1 Asm2 = 1 C

m2

Die zur Grenzfläche des Dielektrikums parallele Komponente der dielektrischen Verschie-bung springt um den Faktor εr an den Grenzflächen.

~D||,V = 1εr~D||,D (1.4.10)

1.4.4 Kapazität eines Kondensators mit Dielektrikum

Die Kapazität eines mit Dielektrikum gefüllten Kondensators ist um einen Faktor εr größerals die eines leeren.

ED = U

dund ED = EV

εr= σ

ε0εr= Q/A

ε0εr

⇒ C = Q

U= ε0εr

A

d= εrCV (1.4.11)

10

1.4.5 Feldenergie im Dielektrikum

Um die gespeicherte Energie in einem Plattenkondensator mit Dielektrikum zu erhalten,setzen wir die Formel U = Ed sowie C = ε0εrA/d in die Energieformel ein.

Wel = 12CU

2 = 12εrε0AdE

2 (1.4.12)

Der Kondensator hat ein Innenvolumen von V = Ad, also folgt für die Energiedichte:

ωel = Wel

V= 1

2εrε0E2 = 1

2ED (1.4.13)

Dies weist darauf hin, dass nun mehr Energie im Kondensator gespeichert wird, denn nunwerden nicht nur die Ladungen auf der Kondensatoroberfläche gehalten, sondern auch diePartialladungen in ihrem verschobenen Zustand.

1.5 Atomare Grundlagen von Ladungen1.5.1 Millikan Versuch: Die Elementarladung

Beim Millikan-Versuch wird die Ladung auf sehr kleinen Öltröpfchen gemessen. Bei mehr-facher Messung stellt sich heraus, dass diese Ladung immer ein ganzzahliges Vielfacheseines gewissen Wertes ist. Die kleinstmögliche Ladung ist die sogenannte Elementarladunge, die Ladung eines Elektrons.

e = 1, 6022 · 10−19C

Demnach ist die Ladung eine quantisierbare Größe. Um den obigen Wert der Elementar-ladung zu erhalten, wird ein Öltröpfchen in ein einstellbares homogenes elektrisches Feldzerstäubt und die Spannung solange verändert, bis es bewegungslos schwebt. In diesemZustand herrscht Kräftegleichgewicht zwischen Schwerkraft FG, Auftriebskraft FA undelektrischer Kraft FE. Es gilt somit:

FE = FG − FAqU

d= 4

3πr3(ρO − ρL)g

⇒ q =43πr

3gd(ρO − ρL)U

(1.5.1)

Hierbei werden mit ρO und ρL die Dichte des Öltröpfchens und die des umgebendenMediums (z.B. Luft) bezeichnet. Um aus der obigen Gleichung die Ladung berechnen zukönnen, muss man jedoch noch den Radius des Tröpfchens bestimmen. Dies kann erreichtwerden, indem man das elektrische Feld ausschaltet und die Fallbewegung des Tröpfchenbeobachtet. Erreicht das Tröpfchen bei der Fallbewegung eine konstante Geschwindigkeit,so herrscht wieder Kräftegleichgewicht zwischen Schwerkraft FG, Auftriebskraft FA undder Stokes’schen Reibungskraft FR.

FR = FG − FA

6πηvr = 43πr

3(ρO − ρL)g

⇒ r =√

9vη2g(ρO − ρL) (1.5.2)

11

Abbildung 1.6: Wirkende Kräfte beim Millikan Versuch

1.5.2 Braun’sche Röhre: Ablenkung von geladenen Teilchen im E-Feld

Abbildung 1.7: Flugbahn eines Teilchens innerhalb der Braun’schen Röhre(3)

Ein geladenes Teilchen wird durch eine Beschleunigungsspannung UA beschleunigt unddann senkrecht zu den Feldlinien in ein homogenes elektrisches Feld geschossen. Dortdurchläuft es die Strecke s, wobei seine geradlinige Flugbahn gestört wird, und trifft dannim Abstand l auf einen Schirm. Gesucht ist die Gesamtablenkung des Teilchens.Um die Anfangsgeschwindigkeit zu bestimmen, also die Geschwindigkeit des Teilchens,nachdem es durch die Beschleunigungsspannung geflogen ist, benutzen wir die Energieer-haltung:

Eel = Ekin also m

2 v20 = qUA ⇒ v0 =

√2qUAm

(1.5.3)

Zur Vereinfachung der Beschreibung legt man das Koordinatensystem so, dass der Ur-sprung der Eintrittspunkt des Teilchens ins Feld ist, die x-Achse parallel zur Einschussrich-tung ist und die y-Achse senkrecht dazu zeigt. Da nun nur die Kraft des elektrischen Feldesin y-Richtung wirkt, wird das Teilchen in y-Richtung von Null gleichmäßig beschleunigt,solange es sich noch im Feld befindet. In x-Richtung ist die Bewegung weiterhin gleich-förmig geradlinig.Die Beschleunigung erhält man durch die Kraft im Kondensator:

a = F

m= qE

m

Da sich das Teilchen genau für eine Zeit t1 = sv0

im Kondensator befindet, ist die Ablen-kung beim Verlassen des Kondensators:

∆y1 = 12at

21 = qE

2ms2

v20

= Es2

4UA

12

Es folgt nun zusätzlich ein gerader Flug zum Schirm im Abstand l. Um die weitere Ab-lenkung zu bestimmen, reicht es, die Geschwindigkeit in y-Richtung nach dem Durchlaufdurch den Kondensator mit der Zeit, die das Teilchen braucht um auf dem Schirm zugelangen, zu multiplizieren, da es sich jetzt in beiden Komponenten um eine geradlinigegleichmäßige Bewegung handelt.

∆y2 = vy · t2 = at1 ·l

v0= qE

m

s

v0

l

v0= Esl

2UA

Die Gesamtablenkung ist dann:

∆y = ∆y1 + ∆y2 = Es2

4Ua+ Esl

2UA= Es

2UA

(s

2 + l)

(1.5.4)

2 Elektrischer Strom

2.1 Strom als Ladungstransport und KontinuitätsgleichungWährend wir uns bisher in der Elektrostatik mit stationären Ladungen befasst haben,betrachten wir jetzt den Fall bewegter Ladungen. Als erste wichtige Definition führen wirden elektrischen Strom ein; dieser gibt an, wie viele Ladungen pro Zeiteinheit durch einebestimmte Fläche A fließen.

I := dQdt [I] = 1 C

s = 1A = 1 Ampere (2.1.1)

Im Moment betrachten wir den Fall stationärer Ströme, also solche, die in der Zeit kon-stant sind (dI/ dt = 0). Da laut Definition der Strom durch eine bestimmte Fläche Afließt, können wir analog zur Ladungsdichte in der Elektrostatik die Stromdichte ~j(~r)definieren, als Strom pro Fläche, oder anders ausgedrückt wie folgt:

I =¨A

~j(~r) · d ~A (2.1.2)

Der Anschaulichkeit halber betrachten wir auch folgende, oft in einfacheren Fällen ver-wendete, Formel. Man stelle sich z.B. einen homogenen stromdurchflossenen Leiter mitdem Querschnitt A vor.

j = I

A(2.1.3)

Die Ladungsträger können beispielsweise Ionen oder „freie“ Elektronen sein. Sei dafür ndie Dichte der Ladungsträger im Leiter, q deren Ladung und ~v deren Geschwindigkeit.Aus einfacher Überlegung folgt für die Stromdichte folgender Ausdruck.

~j = nq~v (2.1.4)

Dies beschreibt tatsächlich die Bewegung von Ladungen durch eine Fläche; durch Inte-gration über diese erhält man den analogen Ausdruck für den elektrischen Strom. AusKonvention wird als technische Stromrichtung die Bewegungsrichtung von positiven La-dungsträger definiert.

13

KontinuitätsgleichungBetrachtet man eine geschlossene Fläche, so folgt direkt aus der Ladungserhaltung fol-gende Gleichung.

I =‹A=∂V

~j(~r) · ~A = −dQdt = − d

dt

˚V

ρ dV (2.1.5)

Dies ist die sogenannte Kontinuitätsgleichung; der Fluss des Stromes durch eine geschlosse-ne Fläche muss gleich der zeitlichen Änderung der eingeschlossenen Ladung sein. Vergleichmit dem Gauß’schen Gesetz liefert die differentielle Form dieser Gleichung.

div~j(~r) = −∂ρ(~r, t)∂t

(2.1.6)

2.2 Kirchhoff’sche Regeln für NetzwerkeDie Kirchhoff’schen Regeln beschreiben die allgemeinen Strom- und Spannungseigenschaf-ten eines Netzwerkes (bzw. einer Schaltung).

• 1. Kirchhoff’sche Regel (Knotenregel)Aus der Kontinuitätsgleichung (Ladungserhaltung) ergibt sich, dass die Summe der ineinen Knoten einlaufenden Ströme gleich der Summe der auslaufenden Ströme ist.

Abbildung 2.1: Zur Knotenregel(1)

I1 + I2 = I3

Und allgemein∑Iein =

∑Iaus

∑k

Ik = 0 (2.2.1)

Einlaufende Ströme haben somit umgekehrtes Vorzeichen wie auslaufende.

• 2. Kirchhoff’sche Regel (Maschenregel)Aufgrund der Energieerhaltung gilt, dass in jedem geschlossenen Stromkreis (Masche)die Summe aller Verbraucherspannungen (z.B Kondensatoren, Widerstände) gleich derGeneratorspannungen ist.

Abbildung 2.2: Zur Maschenregel(1)

U1 + U2 + U3 = 0

Und allgemein

∑Masche

Uk = 0 (2.2.2)

14

2.3 Elektrischer Widerstand2.3.1 Ohm’sches Gesetz

Ladungen bewegen sich in Leitern im Allgemeinen einerseits aufgrund der thermischenEnergie des Materials, andererseits aufgrund elektrischer Felder. Man betrachte zuerstden Fall eines Leiters, der sich nicht in einem elektrischen Feld befindet. Die Ladungs-träger bewegen sich also nur aufgrund ihrer thermischen bzw. kinetischen Energie. DieseBewegungen erfolgen zufällig in alle möglichen Richtungen und unterscheiden sich be-tragsmäßig bei allen Teilchen. Darüber hinaus stoßen die Teilchen ständig zusammen,was zum Wechsel von Richtung und Betrag der Geschwindigkeiten der Teilchen führt.Wegen dieser beschriebenen Verteilung der Richtungen muss die mittlere Geschwindig-keit gleich null sein (〈~v 〉 = 0). Setzt man diesen Wert in die oben erhaltene Gleichung2.1.4 ein, so erhält man für die Stromdichte in diesem Fall folgenden Wert.

~j = nq〈~v 〉 = 0

Nur durch thermische Energie kann also kein Strom produziert werden. Zur weiterenRechnung ist die mittlere Zeit zwischen zwei Stößen wichtig.

τs = Λv

wobei Λ die mittlere freie Weglänge und v die mittlere Geschwindigkeit der Ladungsträgerist. Letztere ist nicht null, weil man dabei nur über die Beträge der Geschwindigkeitenmittelt, also unabhängig von der Richtung der Bewegung. Wird jetzt ein elektrisches Feldeingeschaltet, so erhalten die Teilchen in der Zeit zwischen zwei Stößen die Zusatzge-schwindigkeit

∆v = aτs = qE

mτs

wobei q die Ladung des Ladungsträgers, m dessen Masse und E die angelegte Feldstärkeist. Mittelt man diese Geschwindigkeit über alle Teilchen, so erhält man die sogenannteDriftgeschwindigkeit.

〈∆~v 〉 = ~vD

Die Ladungsträger bewegen sich in diesem Fall durchschnittlich mit dieser Geschwindig-keit mit bzw. gegen das elektrische Feld, abhängig von deren Ladung. Setzt man dieseGeschwindigkeit in Gleichung 2.1.4 ein, so erhält man den folgenden Ausdruck für dieStromdichte.

Ohm’sches Gesetz~j = nq~vD = nq2τs

m~E = σ ~E (2.3.1)

Die definierte Größe σ wird elektrische Leitfähigkeit genannt. Analog dazu kann der spe-zifische Widerstand definiert werden als das Inverse der Leitfähigkeit (ρs = 1/σ).Für homogene Leiter mit Querschnitt A und Länge L ergibt sich aus

U =ˆL

~E · d~L = EL und I =¨A

~j · d ~A = jA, (2.3.2)

15

Ohm’sches Gesetz in integraler Form

I = σA

LU = U

R(2.3.3)

Das Inverse des Proportionalitätsfaktors zwischen Strom und Spannung ist der sogenannteelektrische Widerstand.

Elektrischer Widerstand

R = 1σ

L

A= ρs

L

A[R] = 1 V

A = 1Ω = 1 Ohm (2.3.4)

2.3.2 Elektrische Leistung und Joule’sche Wärme

Legt man eine Potentialdifferenz zwischen zwei Enden eines Leiters (mit einem gewis-sen Widerstand) an, fließt durch diesen ein Strom. In einem Widerstand fällt also dieSpannung ab, d.h. Ladungstransport innerhalb eines Widerstandes erfordert eine gewisseEnergie. Diese kann mit den Mitteln der Elektrostatik leicht bestimmt werden.Für die elektrische Arbeit definieren wir nun zweckmäßig

W = q(φ1 − φ2) = qU (2.3.5)

Ableiten dieser Gleichung nach der Zeit liefert einen Ausdruck für die elektrische Leistung.

P = dWdt = U

dqdt = UI [P ] = 1W = 1 Watt (2.3.6)

Mithilfe von Gleichung 2.3.3 kann man den obigen Ausdruck umschreiben.

Leistung eines Widerstandes

P = UI = I2R = U2

R(2.3.7)

Integration von Gleichung 2.3.6 liefert die integrale Form von Gleichung 2.3.5.

W =ˆ t2

t1

P dt =ˆ t2

t1

UI dt (2.3.8)

Die in einem Widerstand verbrauchte Energie wird durch Reibungskraft in Wärme um-gewandelt.

2.3.3 Widerstandsschaltungen

Analog zu den Kondensatorenschaltungen kann man für ein Netzwerk von Widerständeneinen äquivalenten (gesamten) Widerstand berechnen. Ein solcher Widerstand bewirktalleine den selben Spannungsabfall wie das gesamte Widerstandsnetz. Mithilfe der Kirch-hoff’schen Regeln können wir folgende Gleichungen herleiten.

16

• Parallelschaltung

Abbildung 2.3: Schaltbild einer Par-allelschaltung von Widerständen(1)

U = U1 = U2 = Ui

I = I1 + I2 + ...

= U( 1R1

+ 1R2

+ ...)

(2.3.9)

⇒ 1Rges

=∑i

1Ri

(2.3.10)

• Serienschaltung

Abbildung 2.4: Schaltbild einer Se-rienschaltung von Widerständen(1)

U = R1I +R2I + ...

= (R1 +R2 + ...)I (2.3.11)

I = I1 = I2 = Ii

⇒ Rges =∑i

Ri (2.3.12)

2.3.4 Wheatstone’sche Brückenschaltung

Um eine präzise Messung des unbekannten Widerstands Rx zu ermöglichen, benutzt maneinen einstellbaren Widerstand R2 und feste Widerstände R1 und R3.

R2 wird so eingestellt, dass die ge-messene Spannung verschwindet (dieseMessung ist technisch mit großer Ge-nauigkeit möglich). Mithilfe der Kirch-hoff’schen Regeln gilt somit:

R3I3 −R1I1 = 0 (obere Masche)RxI4 −R2I2 = 0 (untere Masche)I3 = I4 I1 = I2 (Knotenregel)

⇒ Rx = R2 ·R3

R1(2.3.13) Abbildung 2.5: Schaltbild zur Wheatsto-

ne’schen Brückenschaltung(1)

17

2.3.5 Innenwiderstand von Spannungsquellen

Eine reelle Spannungsquelle hat immer einen Innenwiderstand Ri, der von den internenDrähten verursacht wird.

Abbildung 2.6: Schematische Darstellung des Innenwiderstands einer Spannungsquelle(4)

Dieser Widerstand ist in Serie geschaltet, und bewirkt somit einen Spannungsabfall. DieKlemmenspannung U , die also tatsächlich an der Spannungsquelle abgreifbar ist, wirdsomit relativ zur unbelasteten Spannungsquelle U0 verringert.Mithilfe der Kirchhoff’schen Regeln berechnet man

U = U0 −RiI U = U

Ra

⇒ U = U0Ra

Ri +Ra

(2.3.14)

Für die maximale Leistung Pmax = (U0 −RiIP,max)IP,max ergibt sich

IP,max = U0

2Ri

⇒ Ri = Ra (2.3.15)

2.3.6 Beispiel: Laden und Entladen eines Kondensators

Laden des KondensatorsAls Beispiel für die Anwendung von Widerständen betrachten wir den Ladevorgang einesKondensators. Man betrachte dazu den Schaltkreis in Abbildung 2.7a. Schließt man denSchalter S wie im Bild gezeigt, so fließt ein Strom durch den Schaltkreis. Dabei fällt diedurch U0 aufgebaute Spannung in R und in C ab. Durch die Formel der Spannung fürWiderstand und Kondensator erhalten wir den folgenden Ausdruck.

U0 = RI + Q

C(2.3.16)

dabei ist I der Strom im Schaltkreis und Q die auf dem Kondensator gespeicherte Ladung.Ersetzt man I durch Q (also dQ/ dt), so erhält man eine Differentialgleichung für dieLadung.

Q+ Q

RC= U0

R(2.3.17)

Man erhält mittels einfacher Ansätze die homogene und die partikuläre Lösung dieserDifferentialgleichung.

Qh = Ae−t/RC Qp = U0C

18

Durch die Anfangsbedingung Q(t = 0) = Q0 erhält man schließlich die Lösung.

Q = (Q0 − U0C)e−t/RC + U0C (2.3.18)

Leitet man die Gleichung ab, erhält man einen Ausdruck für den Strom.

I = 1R

(U0 −

Q0

C

)e−t/RC = I0e

−t/RC (2.3.19)

Ersetzt man die Ladung in der Formel durch die Spannung eines Kondensators, erhältman folgende Gleichung.

U =(Q0

C− U0

)e−t/RC + U0 (2.3.20)

(a) (b)

Abbildung 2.7: Schaltkreis zum Laden bzw. Entladen eines Kondensators(5)

Entladen des KondensatorIst der Kondensator diesmal geladen und nicht mit einer externen Spannung verbunden,so fungiert der Kondensator als Spannungsquelle (siehe Abbildung 2.7b). Die zu 2.3.16analoge Gleichung sieht in diesem Fall wie folgt aus.

0 = RI + Q

C⇒ Q+ Q

RC= 0 (2.3.21)

Diese homogene Differentialgleichung hat die folgende Lösung.

Q = Ae−t/RC

Mit der Randbedingung Q(t = 0) = Q0, können die folgenden Ausdrücke für die Ladungauf dem Kondensator, den Strom und die Spannung zwischen den Kondensatorplattenhergeleitet werden.

Q = Q0e−t/RC I = − Q0

RCe−t/RC U = Q0

Ce−t/RC (2.3.22)

2.4 Ionenleitung in FlüssigkeitenWerden zwei Elektroden in eine Flüssigkeit eingetaucht, die Ionen enthält, und wird eineSpannung angelegt, so fließt ein Strom I in der Flüssigkeit. Dies ist durch die Bewegungder geladenen Ionen im elektrischen Feld ~E verursacht.

19

Mithilfe der elektrischen Beweglichkeit µ = ~vD~E

und der Driftgeschwindigkeit ~vD definiertman die Stromdichte

~j = nq~vD (2.4.1)

Mithilfe der elektrischen Leitfähigkeit σel und Gleichung 2.3.1 kann man also folgendenZusammenhang herleiten.

µ = σelnq

⇒ σel = nqµ (2.4.2)

Folgende Überlegung ist bei der Anwendung der obigen Gleichungen wichtig. Ein Moleines Ions mit der Ladung Z · e transportiert die Ladung

Q = Na · Z · e = F · Z (2.4.3)

wobei Na die Avogadro-Konstante ist. Die Ladung, die von 1 mol einwertiger Ionen trans-portiert wird, heißt Faraday-Konstante

F = Na · e = 96485, 309 Cmol (2.4.4)

3 MagnetostatikMagnetische Felder werden von Permanentmagneten und von bewegten Ladungen erzeugt.Die Stärke von magnetischen Feldern wird durch die magnetische Erregung (magnetischeFeldstärke) ~H und die magnetische Flussdichte (auch Magnetfeld genannt) ~B beschrieben.Diese zwei Größen sind, analog zur dielektrischen Verschiebung ~D und der elektrischenFeldstärke ~E, im Vakuum durch folgende Relation verknüpft.

~B = µ0 ~H [B] = 1 Tesla = 1T = 1V sm2 (3.0.1)

wobei µ0 = 4π · 10−7 NA2 die sogenannte magnetische Feldkonstante ist.

3.1 Feldgleichungen und Vektorpotential3.1.1 Magnetischer Kraftfluss und erste magnetische Feldgleichung

Analog zum elektrischen Fluss durch eine Oberfläche können wir den magnetischen Kraft-fluss wie folgt definieren.

Φmag =¨A

~B · d ~A (3.1.1)

Die Feldlinien magnetischer Felder sind, im Gegensatz zu denen von elektrischen Feldern,immer geschlossen. Deswegen verschwindet der Kraftfluss immer im Fall von geschlossenenOberflächen.

Φmag =‹∂V

~B · d ~A = 0 (3.1.2)

Aus dem Vergleich dieser Gleichung mit dem Gauß’schen Gesetz erhält man die differen-tielle Form der 1. Feldgleichung für magnetische Felder.

20

div ~B = 0 (3.1.3)

Aus Gleichung 3.1.2 kann man auch schließen, dass es keine magnetischen Monopole gibtbzw. „Quellen“ wie die Ladungen beim elektrischen Feld.

3.1.2 Zweite magnetische Feldgleichung

Analog zum Fall elektrischer Felder betrachten wir hier auch eine zweite Gleichung zurBeschreibung von magnetischen Feldern. Es stellt sich in diesem Fall experimentell heraus,dass für die Rotation von magnetischen Feldern folgende Gleichung gilt.

rot ~B = µ0~j (3.1.4)

Die Kernaussage: Stromdichten erzeugen rotierende magnetische Felder.

3.1.3 Das magnetische Vektorpotential

Als weitere Analogie zu den elektrischen Feldern wollen wir jetzt ein magnetisches Poten-tial definieren. Wegen der obigen Feldgleichung ist eine analoge Definition jedoch nichtmöglich. Eine solche Definition

~B = − gradφmag (3.1.5)führt zum folgenden Widerspruch mit Gleichung 3.1.4.

rot ~B = rot gradφmag = 0

Dies ist natürlich eine Folge der Tatsache, dass magnetische Felder nicht konservativsind. Eine alternative Definition ist jedoch möglich: wir machen in diesem Fall folgendeAnnahme.

~B = rot ~A (3.1.6)

Da ein solches Vektorpotential bis auf den Gradienten einer skalaren Ortsfunktion definiertist (wodurch es unendlich viele Möglichkeiten für ~A gibt),

~A ′ = ~A+ grad f(~r) ⇒ rot ~A ′ = rot ~A+ rot grad f(~r) = rot ~A (3.1.7)

wird die sogenannte Coulomb-Eichung eingeführt:

div ~A = 0 (3.1.8)

Dies sichert die Eindeutigkeit von ~A. Setzt man die obige Definition des Vektorpotentialsin die Feldgleichungen ein, so erhält man folgende Zusammenhänge:

div ~B = div rot ~A = 0rot ~B = rot rot ~A = grad div ~A−∆ ~A = −∆ ~A = µ0~j

(3.1.9)

21

3.2 Magnetfelder spezieller Anordnungen3.2.1 Das Ampere’sche Durchflutungsgesetz

Eine wichtige Anwendung von Gleichung 3.1.4 ist das sogenannte Ampere’sche Gesetz.Mithilfe dieser Gleichung und dem aus der Vektoranalysis bekannten Stokes’schen Satz

˛∂A

~v · d~r =¨A

rot~v · d ~A (3.2.1)

können wir folgendes, für die Anwendung sehr wichtiges, Gesetz herleiten:

Ampere’sches Durchflutungsgesetz˛∂A

~B · d~r =¨A

rot ~B · d ~A = µ0

¨A

~j · d ~A = µ0I (3.2.2)

Die Anwendung dieses Gesetzes ist analog zum Gauß’schen Gesetz in der Elektrostatikund soll am folgenden Beispiel verdeutlicht werden.

Beispiel: Magnetisches Feld eines geraden stromdurchflossenen DrahtesAls einfaches Beispiel zur Anwendung dieses Gesetzes nehmen wir einen homogen strom-durchflossenen Draht. Zur Auswertung der zwei Integrale nehmen wir eine geschlossenekreisförmige Kurve mit Radius r, dessen Mittelpunkt der Draht ist und die auf einer Ebe-ne senkrecht zu diesem liegt. Aus Symmetriegründen muss das magnetische Feld entlangeiner solchen Kurve konstant sein und die Feldlinien sind parallel zu der Integrationskur-ve, also gilt ~B(r) = B(r)~eϕ (siehe Schraubenzieher bzw. Rechte-Hand-Regel). Die linkeSeite des Ampere’schen Gesetzes kann deswegen wie folgt berechnet werden.

˛∂A

~B · d~r = B ·˛∂A

~eϕ · d~r = 2πrB(r) (3.2.3)

Gleichsetzen der obigen Gleichungen liefert uns einen Ausdruck für die magnetische Flussdich-te.

~B(r) = µ0I

2πr~eϕ (3.2.4)

Abbildung 3.1: Anwendung des Ampere’schen Gesetzes auf den stromdurchflossenenLeiter(17)

22

3.2.2 Das Biot-Savart-Gesetz

Ein weiteres wichtiges Gesetz für die Berechnung der durch stromdurchflossene Leiter er-zeugten magnetischen Felder lässt sich aus der folgenden, schon oben erwähnten Gleichungherleiten.

∆ ~A = −µ0~j (3.2.5)Obige Differentialgleichung hat folgende allgemeine Lösung.

~A(~r ) = µ0

4π

˚V

~j(~r ′)|~r − ~r ′|

dV ′ (3.2.6)

Für V soll in diesem Fall das ganze vom Strom durchflossene Volumen betrachtet werden.Aus dieser Gleichung lässt sich das Biot-Savart-Gesetz herleiten.

~B(~r ) = rot ~A = rot(µ0

4π

˚V

~j(~r ′)|~r − ~r ′|

dV ′)

(3.2.7)

Ausgerechnet ergibt dies:

Biot-Savart-Gesetz~B(~r ) = −µ0I

4π

˛L

~r − ~r ′

|~r − ~r ′|3× d~r ′ (3.2.8)

Dabei ist ~r ′ der Vektor, der die Form des Leiter beschreibt.

Beispiel: Magnetisches Feld eines geraden stromdurchflossenen DrahtesWir wollen wieder das Beispiel des stromdurchflossenen unendlichen Leiter nutzen, ma-chen die Berechnung aber mit dem Biot-Savart-Gesetz. Als Erstes definieren wir die Formdes unendlich langen Leiters mit dem Vektor ~r ′ und berechnen das differentielle Bogen-element (der Leiter ist o.B.d.A. auf der z−Achse).

~r ′ = (0, 0, z′) d~r ′ = dz′~ez

Da ~r = (x, y, z) ein allgemeiner Vektor ist (er beschreibt den Punkt im Raum, an welchemdas magnetische Feld gemessen wird), gelten folgende Zusammenhänge:

|~r − ~r ′|2 = x2 + y2 + (z − z′)2 (~r − ~r ′)× d~r ′ = − dz′(−y, x, 0)

Es folgt also für das magnetische Feld.

~B(~r) = µ0I

4π

ˆ ∞−∞

1(x2 + y2 + (z − z′)2)3/2

−yx0

dz′

= µ0I

4π

−yx0

ˆ ∞−∞

1(r2 + (z − z′)2)3/2 dz′

= µ0I

2πr

−yx0

= µ0I

2πr~eϕ (3.2.9)

Die Lösung des Integrals ist nicht elementar und erfolgt mittels folgender Substitution:

z − z′ = r tanψ

23

Hinweis: Ampere oder Biot-Savart?Als grobe Faustregel gilt: Ist der Leiter unendlich lang, so wird im Normalfall das Am-pere’sche Gesetz benutzt; fließt der Strom in einer Leiterschleife, so nutzt man das Biot-Savart’sche Gesetz. Beide Gesetze sind aber allgemein immer gültig; die richtige Wahlvereinfacht jedoch die Problemstellung sehr.

3.3 Kräfte auf bewegte Ladungen im MagnetfeldBewegt sich eine Ladung q innerhalb eines Magnetfeldes ~B mit der Geschwindigkeit ~v, sospürt sie die sogenannte

Lorentzkraft~F = q(~v × ~B) (3.3.1)

Wirkt zusätzlich ein elektrisches Feld ~E, so ergibt sich die folgende Gesamtkraft auf dieLadung.

~F = q(~v × ~B + ~E) (3.3.2)

3.3.1 Kräfte auf stromdurchflossene Leiter im Magnetfeld

Abbildung 3.2: Zur Berechnung der Kraft auf ein infinitesimal kurzes Drahtstück(1)

Man betrachte ein infinitesimal kurzes Drahtstück der Länge dL. Die bewegte Ladung indiesem Stück ist durch folgende Gleichung gegeben.

dQ = nqA dL (3.3.3)

So ist die Kraft auf ein solches Stück gegeben durch

d~F = (~v × ~B) dQ = nqA(~v × ~B) dL (3.3.4)

Mithilfe von Gleichung 2.1.4 lässt sich obige Gleichung wie folgt schreiben.

d~F = (~j × ~B)A dL = (~j × ~B) dV (3.3.5)

Im Fall von geraden Drähten in einem homogenen Magnetfeld kann man diese Gleichungwie folgt vereinfachen.

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Lorentzkraft auf einen geraden stromdurchflossenen Draht

d~F = I(d~L× ~B) (3.3.6)

Darüber hinaus lässt sich im Fall von parallelen stromdurchflossenen Drähten im AbstandR der folgende Ausdruck für die Kraft pro Längeneinheit schreiben.

F2

L= I2B1 = µ0

2πI1I2

R(3.3.7)

3.3.2 Hall-Effekt

Abbildung 3.3: Hall-Effekt(4)

Befindet sich ein Leiter in einem Magnetfeld und wird er von Strom durchflossen, soerfahren die Ladungsträger eine Ablenkung durch die Lorentzkraft. Aus diesem Grundbildet sich zwischen den Seitenflächen eine Spannung. Die Ablenkung der Ladungsträgererfolgt, bis die aufgebaute Spannung eine Kraft erzeugt, die so stark wie die Lorentzkraftist. Es gilt also

q ~EH = q~v × ~B (3.3.8)

Setzt man Gleichung 2.1.4 und ~EH = UH~b ein, so erhält man den folgenden Ausdruck fürdie sogenannte Hall-Spannung.

UH = −(~j × ~B) ·~bnq

(3.3.9)

Obige Formel lässt sich mithilfe von I = Aj = bdj und durch Ausrechnen des Vektorpro-dukts wie folgt vereinfachen.

UH = IB

nqd= RHI (3.3.10)

Der somit definierte Hall-Widerstand RH lässt sich messen und daraus lässt sich dann dieLadungsträgerdichte für verschiedene Materialien bestimmen.

3.4 Magnetische Dipole3.4.1 Magnetisches Dipolmoment

Analog zum elektrischen Dipolmoment kann das magnetische Dipolmoment ~pm definiertwerden. Das Feldlinienbild eines solchen Dipols gleicht dem eines kurzen Stabmagneten.Aus dem Biot-Savart-Gesetz folgt, dass ein stromdurchflossener Draht ein magnetisches

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Feld erzeugt; es stellt sich heraus, dass das Magnetfeld einer ebenen, geschlossenen Strom-schleife dem eines kurzen permanenten Dipolmagneten entspricht.

Abbildung 3.4: Magnetstab(6) Abbildung 3.5: Stromschleife(6)

Es kann somit dasmagnetische Dipolmoment einer stromdurchflossenen Schleifewie folgt definiert werden:

~pm = I · ~A (3.4.1)

wobei ~A der Vektor ist, dessen Betrag die Fläche innerhalb der Leiterschleife ist und dessenRichtung orthogonal zur Fläche steht. Liegt die Schleife in der x-y-Ebene, so ergibt sichfür das magnetische Feld in Fernfeldnäherung.

~B = µ0

2π~pmr3 (3.4.2)

3.4.2 Magnetischer Dipol im äußeren Magnetfeld

Befindet sich ein magnetischer Dipol in einem äußeren magnetischen Feld, so wirkt aufdiesen ein Drehmoment

~D = ~pm × ~B (3.4.3)

Die potentielle Energie des Dipols lässt sich analog zum elektrostatischen Fall herleitenund es gilt:

Epot = −~pm · ~B (3.4.4)

Analog zum elektrostatischen Fall ist die totale resultierende Kraft auf einen magnetischenDipol in einem homogenen Feld gleich Null, während sich im inhomogenen Feld folgendeKraft ergibt

~F = −~∇Epot = ~∇(~pm · ~B) (3.4.5)

Man vergleiche dazu Gleichung 1.2.8.

Nach obiger Überlegung sollten diese Gleichungen auch für stromdurchflossene Schlei-fen in Magnetfelder gelten. Dies soll nun für Gleichung 3.4.3 bestätigt werden.Man betrachte hierzu eine rechteckige Leiterschleife mit den Kantenlänge l1,3 = a, l2,4 = b,welche drehbar um die Achse C gelagert ist.

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Abbildung 3.6: Stromschleife in äußeren Magnetfeld(4)

Wird nun wie nach obiger Zeichung ein magnetisches Feld angelegt, so wirkt auf dieeinzelnen Seiten die Lorentz-Kraft

~FL,i = liI(~ei × ~B)

Der Vektor ~ei zeigt entlang der jeweiligen Seite und in Richtung des fließenden Stroms I.Es wirken somit Kräfte senkrecht zu den jeweiligen Seiten und dem Magnetfeld. Kräfteauf die Seiten 2 und 4 löschen sich gegenseitig aus (bzw. werden durch die Aufhängungaufgehoben), während die Kräfte auf die Seiten 1 und 3 mithilfe der Lorentzkraft unddem Hebelarm ~r1,3 = b

2~e4,2 das folgende Drehmoment erzeugen:

~D = ~r4 × ~FL,1 + ~r2︸︷︷︸−~r4

× ~FL,3︸︷︷︸−~FL,1

= 2 · b2 · aI(~eb × ~ea)× ~B = I · ~A× ~B (3.4.6)

was mit ~pm = I · A zur Gleichung 3.4.3 führt.

3.4.3 Magnetisches Dipolmoment von Atomen

Das Prinzip des Kreisstroms (kreisförmige Schleife) kann man auf die Elektronen einesAtomes anwenden, die sich nach dem Bohr’schen Modell auf Kreisbahnen bewegen. Derso erzeugte Kreisstrom ist abhängig von der Frequenz f bzw. der Geschwindigkeit v derElektronen (q = −e):

I = qf = qv

2πR (3.4.7)

Für das Dipolmoment gilt somit:

~pm = I ~A = q ~Af = q(R2 π~n)f · 2︸ ︷︷ ︸~ω

·12 = 12qR

2~ω (3.4.8)

Der (Bahn-)Drehimpuls ~L = mR2~ω führt letztendlich auf:

~pm = q

2m~L (3.4.9)

3.5 Magnetisierung und SuszeptiblitätAls nächstes wollen wir beschreiben, wie ein Magnetfeld auf magnetisierbare Materialienwirkt. Wir können aus dem Analogon mit dem elektrischen Feld vorhersagen, dass dasMaterial selbst magnetische Eigenschaften erhalten und das Gesamtmagnetfeld verändern

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wird. Um diesen Prozess zu beschreiben, verwenden wir die magnetische Erregung ~H, wel-che in Kapitel 3 eingeführt wurde.

Legt man ein äußeres Magnetfeld an, werden Dipole innerhalb eines (magnetisierbaren)Materials ausgerichtet und erzeugt; als Magnetisierung wird die „Dichte“ dieser Dipoledefiniert :

~M = 1V

∑V

~pm (3.5.1)

Diese hat die Dimension [ ~M ] = [ ~H] = 1 Am . Die Magnetisierung ist proportional zur magne-

tischen Erregung mit der Proportionalitätskonstante χm, die magnetische Suszeptibilitätgenannt wird:

~M = χm ~H (3.5.2)Für das Magnetfeld ergibt sich dementsprechend:

~B = µ0( ~H + ~M) = µ0( ~H + χm ~H) = µ0(1 + χm) ~H = µrµ0 ~H (3.5.3)

Die Beziehung zwischen relativer Permeabilität µr und Suszeptibilität ist folglich:

µr = 1 + χm (3.5.4)

Magnetische Effekte werden durch freie und gebundene elektrische Ströme erzeugt. FreieStröme werden durch äußere Spannungen erzeugt, gebundene Ströme finden atomar statt(siehe Abschnitt 3.4.3). Die atomaren Ströme werden in Berechnungen als Oberflächen-ströme oder magnetische Dipole verwendet.

Bemerkung: Beim Übergang zwischen einem (magnetisierbaren) Körper und dem Vaku-um folgt aus div ~B = 0 und dem Gauß’schen Satz 1.1.9, dass die Normalkomponentedes Magnetfeldes ~B stetig an der Grenzfläche ist.

3.6 Arten der MagnetisierungDie Art der Magnetisierung wird durch die Größe und das Vorzeichen der magnetischenSuszeptibiltät χm des Materials beschrieben. Diese sagt letztendlich aus, wie stark dieKräfte durch ein äußeres Magnetfeld auf ein magnetisierbares Medium sind und ob die-ses in das Feld hineingezogen oder aus dem Feld herausgestoßen wird. Die Gesamtkraftauf das Medium erhält man dann als Summe über die Kräfte auf die einzelnen Dipole.Beim Summieren werden die Dipolmomente, wie aus Gleichung 3.5.1 ersichtlich, mit derMagnetisierung ersetzt. Man erhält:

~F = ~∇(V ~M · ~B) (3.6.1)

Mit ~M = χm ~H = χmµ0~B erhalten wir:

~F = χmV

µ0~∇B2 (3.6.2)

Nun wird zwischen drei verschiedenen Arten der Magnetisierung unterschieden (die Gren-zen sind nicht genau festgelegt!):

28

• Diamagnetismus: χm < 0In einem diamagnetischen Material werden erst durch das Einwirken eines äußerenMagnetfeldes magnetische Dipolmomente induziert. Diamagneten erfahren eine Kraftin Richtung des schwächer werdenden Magnetfeldes.

• Paramagnetismus: χm > 0, |χm| 1Paramagnetische Materialien enthalten bereits permanente Dipole, die durch das äu-ßere Magnetfeld ausgerichtet werden. Paramagneten erfahren eine Kraft in Richtungdes stärker werdenden Magnetfeldes.

• Ferromagnetismus: χm > 0, |χm| 1Die vorhandenen permanenten magnetischen Dipole passen sich beim Ferromagnetennoch besser dem äußeren Magnetfeld an und erhalten auch nach dem Entfernen desFeldes ihre Richtung aufrecht.Makroskopisch betrachtet besteht der Ferromagnet aus vielen kleinen magnetischenDomänen, sog. Weiß’schen Bezirken. In so einem Bezirk sind alle Dipole bereits paral-lel ausgerichtet und sie richten sich alle gleichzeitig nach dem äußeren Magnetfeld aus.Ferromagneten erfahren durch das äußere Magnetfeld eine Kraft in Richtung des stär-ker werdenden Magnetfeldes.Mit steigender Temperatur verliert das Material seine ferromagetischen Eigenschaftenund wird ab der Curie-Temperatur zum Paramagnet.Die momentane Magnetisierung des Ferromagneten ist von dessen Vorbehandlung ab-hängig und sie beschreibt die sogenannte Hystereseschleife.Ist das externe Magnetfeld stark genug, so erfolgt der Durchlauf folgendermaßen: BeiB = 0 gilt M = 0. Dann wird das äußere Feld langsam aufgedreht und die Magne-tisierung verhält sich wie von der „Neukurve“ a gezeigt. Ab einen gewissen Wert desMagnetfeldes bliebt die Magnetisierung konstant (alle Weiß’schen Bezirke haben dieselbe Orientierung eingenommen → Sättigung).Wird die Flussdichte nun verringert, so verhält sich die Magnetisierung wie von Kurveb gezeigt. Wird das externe Magnetfeld abgeschaltet (B = 0), so bleibt im Materialeine permanente Magnetisierung MR übrig. Dreht man die Richtung des Magnetfel-des um, erreicht man wieder eine Sättigung. Bei erneutem Umdrehen verhält sich dasMagnetfeld wie bei Kurve c.

Abbildung 3.7: Die Hystereseschleife bzw. die Magnetisierung in Abhängigkeit vom äuße-ren Magnetfeld(4)

29

4 Einschub: Bewegte Bezugssysteme und spezielle Re-lativitätstheorie

4.1 Klassische Betrachtung

Abbildung 4.1: Die Definition des Relativabstandes RAB(15)

Zu den einzelnen Punkten A und B existieren Ortsvektoren ~RA und ~RB mit dem Relati-vabstand

~RAB = ~RA − ~RB (4.1.1)

Aus den Geschwindigkeiten folgt die Relativgeschwindigkeit:

~vA = d~RA

dt und ~vB = d~RB

dt → ~vAB = d~RAB

dt = ~vA − ~vB (4.1.2)

Analog die Geschwindigkeit von B relativ zu A

~vBA = ~vB − ~vA = −~vAB (4.1.3)

4.2 Die Galilei-TransformationDie Geschwindigkeiten der Punkte hängen von einem Bezugspunkt, im Folgenden vondem Ort der Ursprünge zweier Koordinatensysteme zum Zeitpunkt t, ab.

Abbildung 4.2: Die Position eines Punktes bezogen auf das Koordinatensystem O und dasKoordinatensystem O′(15)

Bewegt sich das gestrichene Koordinatensystem O′ mit der konstanten Geschwindigkeit ~urelativ zum Koordinatensystem O, so hat ein beliebiger Punkt A in den verschiedenen Ko-ordinatensystemen verschiedene Ortsvektoren ~RA und ~R ′A. Der Wegunterschied zwischen

30

~RA und ~R ′A ist die relativ zueinander zurückgelegte Strecke ~u · t, und es gilt somit:

~R ′A = ~RA − ~u · t (4.2.1)

Durch die Ableitung nach der Zeit erhalten wir die Geschwindigkeit

~v ′A = ~vA − ~u = ddt~RA − ~u (4.2.2)

und die Beschleunigung~a ′ = ~a = d2

dt2~RA (4.2.3)

Gleiche Beschleunigung bedeutet auch gleiche Kraftwirkung in verschiedenen Systemen.Zusammenfassend erhalten wir also:

Galilei-Transformation

t = t′

~R = ~R ′ + ~u · t~v = ~v ′ + ~u

~a = ~a ′

~F = ~F ′

(4.2.4)

Die Zeit ist, genauso wie die Kraft und die Beschleunigung, Galilei-invariant, d.h. zweiBeobachter in den verschiedenen Koordinatensystemen benutzen „die gleichen Uhren“,die Zeit vergeht für sie gleich schnell.Ist u konstant, so werden die Koordinatensysteme als Inertialsysteme bezeichnet. Fürsolche gilt, dass physikalische Gesetze äquivalent sind.

4.3 Spezielle Relativitätstheorie4.3.1 Invarianz der Lichtgeschwindigkeit

Aus der Galilei-Transformation müsste folgen, dass sich bei relativ zueinander bewegtenBezugssystemen auch die Lichtgeschwindigkeit abhängig von u ändert

~c = ~c ′ + ~u

Dies ist aber nach dem Michelson-Morley-Experiment nicht der Fall. Die Lichtge-schwindigkeit ist somit Galilei-invariant und in allen Inertialsystemen, d.h. un-abhängig von deren Geschwindigkeit zur Lichtquelle, gleich. Demnach ist die Galilei-Transformation allgemein nicht korrekt, sondern nur, wie wir genauer sehen werden, eineNäherung bei Geschwindigkeiten, die deutlich kleiner als Lichtgeschwindigkeit sind.

4.3.2 Michelson-Morley-Experiment

Bei diesem Experiment wird die Lichtgeschwindigkeit in zwei verschiedenen Bezugssyste-men gemessen, nämlich einmal parallel und einmal senkrecht zur Erdbewegung. Hierzuwird ein Michelson-Interferometer verwendet:

31

Abbildung 4.3: Das Michelson-Interferometer. Die Laufzeit T|| ist auf dem Hinweg zumSpiegel wegen der Bewegung mit der Erde länger, auf dem Rückweg kürzer.(7)

Theoretisch sollte sich nun ein Laufzeitunterschied ∆T = T‖ − T⊥ ergeben zwischen demLichtstrahl, welcher vom halbdurchlässigen Spiegel reflektiert wird und dem Lichtstrahl,welcher durch den halbdurchlässigen Spiegel durchgelassen wird, auch wenn die Abständel zu den Spiegeln gleich sind.

T‖ = l

c+ vErde+ l

c− vErde= 2l

c· 1

1− v2Erde

c2︸ ︷︷ ︸γ2

= 2lcγ2 (4.3.1)

Hierbei ist γ der

Lorentz-Faktor

γ =√√√√ 1

1− v2

c2

≥ 1 (4.3.2)

Für die senkrecht zur Erdbewegung verlaufende Bahn gilt:

T⊥ = 2l√c2 − v2

Erde

= 2lcγ (4.3.3)

Es folgt die Zeitverzögerung (|v| c):

∆T = 2lc

(γ2 − γ) ≈ 2lcγ2 (4.3.4)

Bei der richtigen Einstellung müsste aus den Interferenzerschienungen diese Zeitverzöge-rung auf dem Detektor erkennbar sein. Diese konnte aber von Michelson und Morley nichtbeobachtet werden; die Geschwindigkeit der Erde (und somit der Lichtquelle) hat keinenEinfluss auf die Lichtgeschwindigkeit c.

32

4.3.3 Spezielle Relativitätstheorie: Postulate

Albert Einstein formulierte 1905 zwei grundlegende Postulate, auf denen die SpezielleRelativitätstheorie aufbaut.

1. Alle Inertialsysteme sind für alle physikalischen Gesetze gleichberechtigt.

2. Die (Vakuum-)Lichtgeschwindigkeit hat in allen Inertialsystemen den gleichen Wert c,unabhängig von der Bewegung des Beobachters.

Das erste Postulat sagt aus, dass man verschiedene Inertialsysteme nicht anhand der phy-sikalischen Gesetze unterscheiden kann, da diese in allen gleich gültig sind. Man kann alsoinnerhalb eines Koordinatensystems nicht mithilfe eines Experiments feststellen, ob diesesin einer gleichförmigen Bewegung ist. Um dies festzustellen, wäre nämlich ein Vergleichmit einem weiteren Koordinatensystem erforderlich. Beim Vergleich zwischen zwei Ko-ordinatensystemen kann nur eine relative Geschwindigkeit festgestellt werden; es machtjedoch keinen Sinn, zu sagen, welches von den beiden sich tatsächlich bewegt, da sichbeide gegenseitig als bewegtes Koordinatensystem sehen. Dementsprechend darf es keinbevorzugtes Koordinatensystem geben. Das zweite Postulat wurde anhand des Michelson-und-Morley-Versuchs experimentell bestätigt.Die Auswirkungen dieser beiden Postulate werden in den nächsten Kapiteln erläutert.

4.3.4 Die Frage der Gleichzeitigkeit

Nach den Galilei-Transformationen 4.2.4 zwischen bewegten Inertialsystemen sollten Er-eignisse, die in einem Inertialsystem gleichzeitig geschehen, auch in allen anderen Inertial-systemen gleichzeitig stattfinden (t = t′). Betrachten wir aber nun die folgende Situation:

Abbildung 4.4: Gedankenexperiment zur Gleichzeitigkeit, die Aufnahmen sind aus demBezugssystem S des Mannes(8)

Ein Mann (Bezugssystem S) befindet sich auf der Erde und beobachtet einen vorbeifah-renden Zug, auf dem eine Frau (Bezugssystem S ′) steht. Zu einem bestimmten Zeitpunkt(z.B. wenn die zwei Enden des Zuges und des Bahnhofs gemeinsam abschließen) werdenan den zwei Enden des Zuges, welche sich in gleicher Entfernung zur Frau befinden, zweiLichtblitze („Ereignisse“) ausgesendet; nach der klassischen Betrachtung geschieht diessowohl für den Mann als auch für die Frau gleichzeitig.Betrachtet man jedoch (aus S) die Ausbreitung des Lichts genauer, so beobachtet man,

33

wie die zwei Lichtblitze gleichzeitig beim Mann ankommen, während die Frau die zweiLichtblitze (und somit die Ereignisse) als zeitlich versetzt wahrnimmt (sie bewegt sich aufden vorderen Lichtblitz zu). Wegen der endlichen und konstanten Lichtgeschwindigkeitund der allgemeinen Gültigkeit der physikalischen Gesetze in dem Bezugsystem S ′ müs-sen die zwei Lichtpulse in diesem System nicht gleichzeitig ausgesendet worden sein.Zwei Ereignisse, die im ruhenden Bezugssystem S als gleichzeitig beobachtetwerden, sind in einem bewegten Bezugssystem S ′ nicht simultan.Der entscheidende Punkt der Überlegung ist die Annahme, dass die Lichtgeschwindigkeiteinen endlichen und konstanten Wert hat; wäre nämlich c unendlich, würde man zur klas-sischen Aussage zurückkehren.Eine Erklärung dieses Phänomens erfolgt später; die wichtige Aussage dieses Experimentsist: die Galilei-Transformationen gilt, wie schon zuvor überlegt, i.A. nicht mehr. Dies führtzur Formulierung der Lorentz-Transformationen zwischen bewegten Inertialsystemen.

4.4 Lorentz-TransformationMan betrachte zwei Inertialsysteme S(x, y, z) und S ′(x′, y′, z′) wie nach Abbildung.

Abbildung 4.5: Koordinatensysteme in der Lorentztransformation(15)

Der Ursprung O′ des Koordinatensystems S ′ befinde sich zum Zeitpunkt t = 0 in O,und habe eine Relativbewegung in x−Richtung mit der Geschwindigkeit ~v = v · ~ex. ZumZeitpunkt t = 0 wird von O = O′ ein Lichtblitz ausgesendet. Ein Beobachter in O misst,dass das Licht nach einer Zeit t den Punkt A erreicht:

~r = ~c · t → x2 + y2 + z2 = c2 · t2 (4.4.1)

Im Koordinatensystem S ′ wird gemessen, dass das Licht im gleichen Punkt A nach derZeit t′ ankommt. Hier wurde die Relativität der Gleichzeitigkeit und die Invarianz derGeschwindigkeit berücksichtigt.Für die Koordinate x des Punktes O′, gemessen im System S, gilt x(O′) = v · t. Da alleWerte von x′ auf O′ bezogen sind, muss die Koordinate x′ eines beliebigen Punktes in S ′,ausgedrückt in Koordinaten des Systemes S, wegen der Relativgeschwindigkeit v von O′von der Größe (x− vt) abhängen.Der genaue Zusammenhang zwischen den Raumkoordinaten und der Zeit wurde von Lor-entz 1890 (also vor der Formulierung der Relativitätstheorie) berechnet.

34

Lorentz-Transformation

x′ = x−vt√

1−v2/c2= γ(x− vt)

y′ = y z′ = z

t′ = t− vxc2√

1−v2/c2= γ(t− vx/c2)

(4.4.2)

Analog kann die Rücktransformation bestimmt werden.x = γ(x′ + vt′)y = y′ z = z′

t = γ(t′ + vx′/c2)(4.4.3)

Hierbei wurde der Lorentz-Faktor 4.3.2 benutzt.Diese Gleichungen gelten für zwei Inertialsysteme, die sich mit der Relativgeschwin-digkeit v in x−Richtung bewegen. Man beachte, dass die Komponenten senkrecht zumGeschwindigkeitsvektor invariant sind.

Für die Geschwindigkeitstransformationen erhält man (~u ′ ist die Geschwindigkeit im sichmit v (in x-Richtung relativ zu S) bewegenden System S ′, ~u ist die Geschwindigkeit imruhenden System S).

u′x = ux − v1− vux/c2

u′y = uyγ(1− vux/c2)

u′z = uzγ(1− vux/c2)

ux = u′x + v

1 + u′xv/c2

uy =u′y

γ(1 + vu′x/c2)

uz = u′zγ(1 + vu′x/c

2)

(4.4.4)

Für eine eindimensionale Bewegung in x−Richtung sind uy = uz = 0 und man kann in4.4.4 u = ux und u′ = u′x ersetzen.

4.4.1 Längenkontraktion

Man betrachte einen Stab, der im Koordinatensystem S ruht, und dessen Anfangs- undEndpunkt sich in den Koordinaten x1, x2 befinden. Für die Länge, gemessen im Koordi-natensystem S ergibt sich

L = x2 − x1

Ein Beobachter O′ im Koordinatensystem S ′ bewegt sich relativ zum Stab (und somitzum Koordinatensystem S) mit der Geschwindigkeit v. Die Bestimmung der Stablängeerfolgt für ihn, indem er „gleichzeitig“ die Endpunkte x′2 und x′1 misst. Mit den Lorentz-transformationen 4.4.2 ergibt sich:

x1 = γ(x′1 + vt′1) x2 = γ(x′2 + vt′2)

⇒ x2 − x1 = γ(x′2 − x′1) wegen t′1 = t′2

L = γ · L′ (4.4.5)Da γ ≥ 1 immer gilt, heißt dies, dass die Länge (in Richtung der Geschwindigkeit) ei-nes ruhenden Körpers für einen bewegten Beobachter bzw. eines bewegendenKörpers für einen ruhenden Beobachter kürzer zu sein erscheint, als wenn

35

derselbe Körper relativ zu ihm ruht.

Bemerkung: L ist die Länge des Körpers, welche im Bezugsystem gemessen wird, indem der Körper ruht. L kann man also auch als Ruhelänge („Eigenlänge“) L0 bezeich-nen. Dies ist die Länge eines Körpers, die man misst, wenn man sich gegenüber diesemnicht bewegt.

LängenkontraktionL′ = L0

γ(4.4.6)

Misst man (in einem ruhenden System) die Länge L eines bewegten Körpers, ist dieseimmer kleiner als seine Ruhelänge (Kontraktion!).

Man beachte: die Verkürzung ist nicht vom Vorzeichen der Geschwindigkeit v abhän-gig und das Phänomen ist symmetrisch unter Vertauschung der Koordinatensysteme.Wendet man dies auf das obige Gedankenexperiment an, so ist die Erklärung zur gebro-chenen Gleichzeitigkeit eindeutig: der Mann im relativ zu ihm ruhenden System „Erde“misst eine kürzere Länge LZ , als die Ruhelänge L′Z des Zuges (LZ < L′Z). In seinem Be-zugsystem erscheint die Länge des Zuges also gleich wie der Abstand der zwei Lichtsender(LZ = LLS). Die Frau im zu ihr ruhenden System „Zug“ beobachtet dagegen, wie die sichbewegende Erde kontrahiert wird; in ihrem Bezugssystem hat der Zug die Ruhelänge L′Z ,da sie sich nicht relativ zum Zug bewegt, jedoch ist der Abstand der beiden Lichtsenderwegen der Kontraktion kürzer als für den Mann, der die Ruhelänge misst (L′LS < LLS).Setzt man die Gleichungen in Verbindung so erhält man:

L′Z > LZ = LLS > L′LS (4.4.7)

Im System der Frau ist also der Zug länger als der Abstand der beiden Lichtsender. Fährtder Zug an dem Mann vorbei, so erreicht die Spitze des Zuges den rechten Lichtsender zudem Zeitpunkt, an welchem das Ende noch im Abstand L′Z −L′LS vom linken Lichtsenderist. Der rechte Lichtpuls wird also im Bezugssystem der Frau früher ausgesendet als derlinke, der nur später, als das Ende des Zuges endlich bei dem linken Lichtsender ankommt(die Spitze ist schon weiter), ausgesendet wird. Aus diesem Grund sieht die Frau denrechten Puls zuerst, wie wir aus dem System des Mannes schon festgestellt hatten. Diebeiden Bezugssysteme sind also gleichwertig.

4.4.2 Zeitdilatation

Eine Uhr, die zwei Lichtpulse aussendet, befinde sich ruhend im System S. Ein Beobachterim Punkt x0 in S misst den Zeitunterschied ∆t = t2− t1. Die zwei Signale erreichen einenBeobachter im bewegten System S ′ zu den Zeitpunkten t′1, t′2. Der Beobachter in S wendetfür die Zeiten in S ′ die Lorentz-Transformationen 4.4.2

t′1 = γ(t1 − vx0/c2) t′2 = γ(t2 − vx0/c

2)

an. Für die Zeitdifferenz im bewegten System misst er somit

∆t′ = γ ·∆t (4.4.8)

36

Da weiter γ ≥ 1 gilt, heißt dies, dass ein ruhender Beobachter Zeiten misst, dierelativ zu den Zeiten, die im bewegten System gemessen werden, länger er-scheinen. Anders ausgedrückt: Bewegte Uhren laufen langsamer.Man beachte: die für die Längenkontraktion beschriebene Symmetrie zwischen Bezugsy-stemen gilt hier unverändert (→ Zwillings-Paradoxon).

Bemerkung: Analog zur Längenkontraktion können wir eine Eigenzeit (Ruhezeit) ∆t0definieren, und zwar die Zeit, die in einem relativ zu den Ereignissen ruhenden Systemgemessen wird (⇒ ∆t = ∆t0).

Zeitdilatation∆t′ = γ ·∆t0 (4.4.9)

4.5 Minkowski-DiagrammeFür die Darstellung relativistischer Prozesse bietet es sich an, die sogenannten Minkowski-Diagramme einzuführen.

Abbildung 4.6: Minkowski-Diagramm mit Weltlinien(1)

Bemerkung: Die y−Achse wird mit ct beschriftet; beide Achsen haben somit eine Län-geneinheit. Dies soll aber nicht zu Verwirrung führen: die Diagramme können weiterhinals übliche Zeit-Orts-Diagramme interpretiert werden, mit c als eine Art„Normierungs“-Konstante. Der Grund dafür wird später ersichtlich werden.

AlsWeltlinien werden die Linien definiert, die einen (Bewegungs-)Prozess im Minkowski-Diagramm beschreiben. Man beobachte die senkrecht zur y−Achse stehende Weltlinie: dasbedeutet, dass ein Körper, der diese Linie beschreibt, ruhend relativ zum Koordinatensy-stem ist (sein x−Wert bleibt konstant). Der Körper, der die schiefe Weltlinie beschreibt,hingegen, bewege sich mit einer Geschwindigkeit v; diese Geschwindigkeit ist mit demWinkel zur x−Achse wie folgt verknüpft.

tanα = c/v (4.5.1)

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Prozesse, die mit Lichtgeschwindigkeit geschehen (etwa ein Lichtblitz), führen mit 4.5.1auf

tanα = c/c = 1 ⇒ α = 45

Analog zu den vorherigen Punkten betrachten wir nun ein sich mit vx bewegenden Koor-dinatensystem S ′. Dies kann man im Minkowski-Diagramm wie folgt einbringen

Abbildung 4.7: Minkowski-Diagramm für verschiedene bewegte Koordinatensysteme(15)

Da sich S ′ relativ zu S bewegt, sind seine Achsen im Minkowski-Diagramm nicht mehrorthogonal. Der Winkel zwischen x′ und x Achse ist durch

tan β = v/c (4.5.2)

gegeben. Es ergibt sich damit

γ = α− β′ = arctan(c/v)− arctan(v/c) (4.5.3)

In der Abbildung ist zusätzlich ein Koordinatensystem S ′′ eingezeichnet, welches sich miteiner Geschwindigkeit v = −vx relativ zu S ′ bewegt.Nicht nur die Achsen(längen) sind bei bewegten Bezugssystemen imMinkowski-Diagrammverschoben, sondern auch die Skalierung der Achsen wird beeinflusst. Um diese zu defi-nieren, macht man sich zunutze, dass die Größe

s2 = (ct)2 − x2 = (ct′)2 − x′ 2 (4.5.4)

in allen Bezugsystemen und unter allen Lorentz-Transformationen invariant ist.

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Abbildung 4.8: Zur Skalierung und invarianten Größen(1)

Man betrachte die zwei invarianten Größen x2 − c2t2 = 1 und x2 − c2t2 = −1. DieSchnittpunkte der Achsen mit diesen Hyperbeln definieren die Längen und Zeitmaßstäbein den unterschiedlichen Bezugsystemen. Setzt man hingegen in 4.5.4 s = 0, ergibt sichdie invariante Kurve der Lichtgeschwindigkeitspropagation (in der Abbildung gestrichelt).

Bemerkung: Mit der speziellen Beschriftung der Achsen können also Prozesse mit Licht-geschwindigkeit immer mit der Winkelhalbierenden eingezeichnet werden; da die Lichtge-schwindigkeit nicht überschritten werden darf, kann keine Weltlinie existieren, die einenkleineren Winkel als 45 zur x−Achse besitzt.

Abbildung 4.9: Zukunft und Vergangenheit im Minkowski-Diagramm(15)

Ein Beobachter in einem Raumzeitpunkt (x, t) mit |x| ≤ |ct| kann prinzipiell kein Signalvon Raumzeitpunkten aus den in Abb.4.9 weißen Gebieten mit |x| > |ct| empfangen. Er-eignisse in den Gebieten „anderswo“ können nicht aus der Vergangenheit erreicht werdenoder die Zukunft bestimmen.

4.6 Elektromagnetisches Feld und RelativitätsprinzipAnhand des ersten Einstein’schen Postulats soll gelten, dass unabhängig vom ausgewähl-ten Inertialsystem die Wirkung von einem elektrischen und magnetischen Feld auf eine

39

Probeladung q zu den selben, invarianten Gesetzten führt.Wendet man nun die Lorentz-Transformationen auf Prozesse, die Ladungen miteinbezie-hen, an, so ergeben sich folgende, wichtige Befunde:

• Wegen der Längenkontraktion in Geschwindigkeitsrichtung ist das elektrische Feld einerbewegten Ladung nicht mehr kugelsymmetrisch. Stattdessen hängt die Feldstärke vomWinkel θ zur Bewegungsrichtung ab.

• Das Magnetfeld ~B einer bewegten Ladung Q kann relativistisch, als eine Änderung deselektrischen Feldes, erklärt werden. Die entsprechende Änderung der Coulombkraft ~Fauf eine Probeladung q ergibt die Lorentzkraft q(~v × ~B). Die Gleichungen, die dieseVerknüpfung beschreiben, heißen:

~E = − c2

v2 · (~v ×~B) (4.6.1)

~B = 1c2 · (~v × ~E) (4.6.2)

Magnetfelder, elektrische Felder und Ausbreitungsgeschwindigkeit stehen also senkrechtzueinander. Daraus folgt

| ~B| = v

c2 | ~E| (4.6.3)

Wenn v → c geht, wie z.B. bei Licht, gilt

| ~B| = 1c| ~E| (4.6.4)

Mithilfe der Relativitätstheorie und Lorentz-Transformationen lassen sich die magneti-schen Eigenschaften von bewegten Ladungen aus dem Coulomb-Gesetz herleiten. Magnet-feld und elektrisches Feld sind somit nicht mehr unabhängige Phänomene: man sprichtdaher vom elektromagnetischen Feld.

4.7 Impuls und Energie in der Speziellen RelativitätstheorieUntersucht man Stöße mit relativistischen Energien, kommt man mithilfe der Lorentz-Transformationen auf verschiedene, grundlegende Eigenschaften und Zusammenhängezwischen Masse, Impuls und Energie.

• Relativistische MassenzunahmeDie Masse eines bewegten Teilchens nimmt mit seiner Geschwindigkeit v zu.

m(v) = γm0 = m0√1− v2/c2

(4.7.1)

Als Ruhemasse eines Teilchens bezeichnet man somit die Masse m0 = m(v = 0).

• Kraft und relativistischer ImpulsDer relativistische Impuls wird mit 4.7.1 zu

~p(v) = m(v)~v = γm0~v (4.7.2)

40

Für die Kraft mit relativistischer Korrektur erhält man

~F = d~pdt = dm(v)~v

dt = γ3m0a

[v2

c2~ev +(

1− v2

c2

)~ea

](4.7.3)

mit den Einheitsvektoren ~ev, ~ea in Richtung Geschwindigkeit und Beschleunigung. Manbeachte: für v c erhält man die klassische Näherung ~F = m~a.

• Relativistische EnergieDas bedeutendste Ergebnis der Speziellen Relativitätstheorie ist wohl, dass Masse undEnergie zueinander proportional sind, und zwar nach der berühmten Formel

E = mc2 (4.7.4)

Setzt man 4.7.1 ein, erhält man die Verknüpfung zwischen Energie und Masse einesrelativistischen Teilchens

E = m(v)c2 = γm0c2 = m0c

2√1− v2/c2

= m0c2︸ ︷︷ ︸

Ruhe-energie

+ (m(v)−m0)c2︸ ︷︷ ︸Bewegungsenergie

(4.7.5)

Ist v c so kann man die obige Gleichung wie folgt vereinfachen.

E = m0c2√

1− v2/c2≈ m0c

2 + 12m0v

2 (4.7.6)

wobei der zweite Term die bekannte Formel für die kinetische Energie eines Körpersist. Bringt man auch den Impuls in die Gleichung ein, so erhält man:

E2 = p2c2 +m20c

4 (4.7.7)

5 Zeitabhängige elektrische Felder

5.1 Rückblick: Zeitunabhängige Felder

div ~E = ρ

ε0div ~B = 0

rot ~E = 0 rot ~B = µ0~j (5.1.1)

~E = − gradφ ~B = rot ~A ~j = σ ~E

Diese bisher kennengelernten Gleichungen beschreiben zusammen mit der Lorentzkraftalle Phänomene der Elektrodynamik, die auf ruhenden Ladungen und stationären Strömeberuhen (Elektro- und Magnetostatik). Alle behandelten elektrischen und magnetischenFelder gelten hier als zeitlich konstant.

41

5.2 Faraday’sches Induktionsgesetz5.2.1 Integralform

Nun betrachten wir einen magnetischen Kraftfluss (siehe dazu Gleichung 3.1.1), welcherzeitlich veränderlich ist. Nach dem Faraday’schen Induktionsgesetz wird durch die Ver-änderung des Kraftflusses eine Induktionsspannung Uind induziert, die man wie folgt be-rechnen kann.

Uind = − ddtΦmag = − d

dt

¨A

~B · d ~A (5.2.1)

Aus dieser Gleichung wird deutlich, dass eine Induktionsspannung erst dann entsteht,wenn das Magnetfeld oder die dazu effektive Fläche ( ~B ·d ~A, nur die Fläche senkrecht zumFeld wird eingebracht) sich zeitlich verändert. Beispiele:

• Eine Stabmagnet wird relativ zu einer Spule bewegt ⇒ veränderliches Magnetfeld

• In einem homogenen Magnetfeld wird eine Spule zusammengedrückt ⇒ Fläche derSpule ändert sich

• In einem homogenen Magnetfeld wird ein quadratische Spule um eine Symmetrieachsesenkrecht zum Magnetfeld gedreht ⇒ Änderung der effektiven Spulenfläche

Hinweis: Bei einer mehrmals gewickelten Spule mit N Windungen zählt jede Windungzu ihrer Gesamtfläche Ages = NA .

5.2.2 Differentielle Form

Die differentielle Form des Faraday’schen Induktionsgesetzes lautet:

rot ~E = − ddt~B (5.2.2)

Demnach erzeugt ein zeitlich veränderliches magnetisches Feld ein elektrischesWirbelfeld.Eine einfache Herleitung erhält man folgendermaßen:Aus dem Auftreten einer Spannung, hier Uind, können wir schließen, dass es ein elektrischesFeld geben muss (vgl. Gleichung 1.1.20):

Uind =˛∂A

~E · d~s (5.2.3)

Das geschlossene Integral bezieht sich beispielsweise auf eine Leiterschleife mit der Ober-fläche A (mit dem Rand ∂A), welche vom Magnetfeld B durchsetzt wird. Nun wendenwir den Satz von Stokes an:

Uind =˛∂A

~E · d~s =¨A

rot ~E · d ~A (5.2.4)

Dies setzen wir mit der Integralform des Faraday’schen Induktionsgesetzes gleich. Wennwir nun annehmen, dass nur das magnetische Feld variiert wird (was durchaus berechtigt

42

ist, da jede Änderung der Fläche auch als Änderung des Magnetfeldes innerhalb dieseraufgefasst werden kann), lässt sich die Zeitableitung in das Integral ziehen:

− ddt

¨A

~B · d ~A =¨A

(− d

dt~B

)· d ~A =

¨A

rot ~E · d ~A (5.2.5)

Lassen wir nun das Flächenintegral weg, kommen wir auf die oben genannte Gleichung5.2.2.

5.2.3 Lenz’sche Regel

Nach dem Faradayschen Induktionsgesetz verursacht eine magnetische Flussänderung eineinduzierte Spannung. Diese Spannung verursacht in einem Leiter einen Stromfluss, welcherwiederum ein (induziertes) Magnetfeld erzeugt, welches der (ursprünglichen) Änderungdes magnetischen Flusses entgegenwirkt (Lenz’sche Regel). Die durch Induktion entste-henden Ströme, Felder und Kräfte versuchen also stets den die Induktion verursachendenVorgang zu verhindern.

• Ist die Ableitung des magnetischen Flusses negativ (verkleinert sich z.B das MagnetfeldB0 bzw. die Fläche), so richtet sich das induzierte Magnetfeld Bind in Richtung desursprünglichen Magnetfeldes B0 und verstärkt somit dieses.

• Ist hingegen die Ableitung des magnetischen Flusses positiv (wird z.B B0 größer), sorichtet sich das induzierte Magnetfeld Bind in entgegengesetzter Richtung zu B0 undvermindert dieses somit.

Mathematisch wird die Lenz’sche Regel durch das Minus im Faradayschen Induktions-gesetz 5.2.1 ausgedrückt. Gegebenenfalls ist diese Entgegenwirkung mit mechanischenKraftwirkungen verbunden. Man betrachte dazu das folgende Beispiel (oder auch das sog.Waltenhofen’sche Pendel).

Abbildung 5.1: Bewegung eines Stabmagnets durch einen leitenden Ring(18)

Man bewege einen Stabmagneten auf einen frei aufgehängten, leitenden Ring zu. Das sich(durch die Bewegung) ändernde (vergrößernde) Magnetfeld im Ring induziert in diesemeinen Strom, dessen Magnetfeld wiederum nach Lenz dem des Stabmagneten entgegen-gerichtet ist. Die beiden Magnetfelder stoßen sich ab und der Ring bewegt sich vomStabmagneten weg. Bewegt man nun den Stabmagneten vom Ring weg, dreht sich die Si-tuation um: der Ring „folgt“ dem Stabmagneten. Man kann somit durch eine periodischeBewegung den Ring zum Schwingen bringen.

43

5.3 SelbstinduktionStromdurchflossene Leiterschleifen erzeugen ein magnetisches Feld (wie z.B. beim Biot-Savart-Gesetz diskutiert, siehe Abschnitt 3.2.2). Wird dieser Strom zeitlich variiert, ver-ändert sich auch das magnetische Feld und es muss laut Faraday’sche Gesetz wieder eineInduktion vorliegen. Somit erzeugt die Änderung des Felds der Schleife in der Schlei-fe selbst eine Induktionsspannung, welche nach der Lenz’schen Regel der Änderung derStromstärke entgegenwirkt. Die Eigenschaft, eine Induktionsspannung durch die Ände-rung des selbst erzeugten Magnetfeldes zu erzeugen, wird als (Selbst-)Induktivität L be-zeichnet. Sie ist die Proportionalitätskonstante zwischen dem magnetischen Fluss und derelektrischen Stromstärke in der Spule

Φmag = L · I (5.3.1)

bzw. die Konstante, welche die Induktionsspannung und die zeitliche Änderung der Strom-stärke verbindet.

Uind = −L · dIdt (5.3.2)

Die Einheit der Induktivität ist [L] = 1V sA

= 1 H = 1 Henry.

5.3.1 Der R-L-Stromkreis

Als Beispiel eines Induktionsvorganges betrachten wir die Vorgänge in einem Stromkreis,welcher aus einer ein- und ausschaltbaren Spannung U0, einer Leiterspule und einemWiderstand besteht. Man vergleiche diese mit dem Auf- und Entladen des Kondensators(siehe Abschnitt 2.3.6).

Abbildung 5.2: R-L-Stromkreis, bestehend aus Widerstand, Spannungsquelle und Spule(4)

Einschaltvorgang: Wird das System eingeschaltet, so kann an den zwei Enden derSpule eine Induktionsspannung gemessen werden. Die Gleichung für dieses System folgtaus der Kirchhoff’schen Maschenregel:

U0 = IR− Uind = IR + L · dIdt (5.3.3)

Mit dem Exponentialansatz und dem Ansatz der rechten Seite ergibt sich für die allge-meine Lösung (homogene Lösung + spezielle Lösung):

I(t) = Ae−RLt + U0

R= Ae−

RLt + I0

44

Nach Einsetzen der Anfangsbedingung I(0) = 0 (Einschalten) ergibt sich für die Kon-stante A = −U0/R und damit

I(t) = U0

R

[1− e−RL t

](5.3.4)

Die Stromstärke steigt also von I(0) = 0 an und erreicht erst im Unendlichen den Ma-ximalwert I(∞) = I0 = U0/R. Stellt man sich noch eine zusätzliche Glühbirne (mitverschwindendem Widerstand) in dem Stromkreis vor, so leuchtet diese nicht sofort voll-ständig auf (wie man es aus einem Stromkreis ohne Spule kennt, z.B. im Haushalt),sondern erst langsam.Als zusätzliche Größe führen wir die Zeitkonstante τ = L/R ein; nach dieser Zeit t = τhat I(t) etwa 63% seines Endwertes I0 erreicht.

Ausschaltvorgang: Wir betrachten einen etwas modifizierten Stromkreis, um weiter-hin die Maschenregel verwenden zu können:

Abbildung 5.3: R-L-Stromkreis mit einer zusätzlichen parallelen Schaltung(4)

Sei der Schalter S für t < 0 geschlossen. Durch denWiderstand fließt ein Strom I1 = U0/R,während durch die Spule, die bei dieser Schaltung auch einen nicht vernachlässigbarenOhm’schen Widerstand hat, der Strom I2 = U0/R2 fließt. Zum Zeitpunkt t = 0 wirddiese Spannungsquelle ausgeschaltet bzw. vom Schaltkreis getrennt; so gilt für die Span-nung U0(t ≥ 0) = 0. Nun können wir das System zu einer einzigen Masche mit einemWiderstand R = R1 + R2 und einer Spule mit der Induktivität L vereinfachen. Aus derMaschenregel ergibt sich:

0 = I2(R1 +R2)− Uind = I2R− Uind = I2R + L · dI2

dt (5.3.5)

Mit der Anfangsstromstärke I2(0) = I0 lautet die Lösung:

I2(t) = I0 · e−RLt (5.3.6)

Mit Gleichung 5.3.5 und U0 = I0 ·R2 erhält man

Uind = −I2(R1 +R2) = −U0R1 +R2

R2e−

RLt (5.3.7)

Besonders auffällig ist hierbei, dass zum Zeitpunkt des Abschaltens wegen der plötzlichenStromstärkenänderung der Stromkreis einen großen Spannungsstoß erhält.Ersetzt man R1 mit einer Glühbirne, blitzt diese beim Abschalten des Systemes (sieleuchtet viel heller als beim eingeschalteten System). Wenn man R1 R2 annimmt,dann ist nämlich die induzierte Spannung Uind(t ≈ 0) ≈ (R1/R2)U0, also größer als U0.

45

Der Strom durch die Glühbirne I = Uind/R ist somit viel größer als vor der Abschaltung,daher der Blitz.Anmerkung: Nach der Abschaltung ist der Strom I1 natürlich gleich I2, da man abdem Moment eine einfache, geschlossene Masche hat. Da die induzierte Spannung jedochihr Vorzeichen relativ zum ursprünglichen U0 wechselt, ändert der Strom I1 nach demAbschalten seine Richtung. I2 erhält hingegen die ursprüngliche Richtung.

Abbildung 5.4: Im Graphen sind U0 (konstante Linien), I(t) und Uind(t) aufgetragen(19)

Abbildung 5.5: Verhalten der verschiedenen Messgrößen beim Abschalten(4)

5.3.2 Selbstinduktivität einer zylindrischen Spule

Eine Spule mit n Windungen pro Meter, welche von der Stromstärke I durchflossen wird,hat im Inneren ein zur Stromstärke proportionales Magnetfeld von B = µ0nI. D.h. dermagnetische Fluss durch eine Windung der Fläche A ist gegeben durch:

Φmag =¨A

~B · d ~A = B · A = µ0nAI (5.3.8)

Die Induktionsspannung ist sowohl durch 5.2.1 als auch 5.3.2 gegeben:

Uind = N ·(− d

dtΦmag

)= −µ0n

2lAdIdt = −L · d

dtI (5.3.9)

46

wobei N die Gesamtwindungszahl n · l ist. Die Selbstinduktivität ergibt sich zu:

L = µ0n2A · l = µ0n

2V (5.3.10)

wobei V das Volumen der Spule ist.

5.3.3 Energie des Magnetfeldes

Das verlangsamte Ansteigen und Abfallen der Stromstärke im R-L-Stromkreis beim Ein-und Abschaltvorgang kommt daher, dass Energie im Magnetfeld (der Spule) gespeichertwird. Betrachten wir nun den Abschaltvorgang. Die Leistung im Stromkreis P = UIbeschreibt die Energieänderung des Magnetfeldes, somit können wir die Energie dadurcherhalten, indem wir die Leistung über den gesamten Ausschaltvorgang integrieren:

Wmag =ˆ ∞

0IU dt =

ˆ ∞0

I2R dt (5.3.11)

Setze nun die Lösung der Differentialgleichung 5.3.6 für die Stromstärke ein:

Wmag =ˆ ∞

0RI2

0e−RLt dt = 1

2I20L (5.3.12)

wobei I0 = I(t < 0) der vor dem Anschalten durch die Spule fließende stationäre Stromist. Hieraus folgt mit L = µ0n

2V die Energiedichte

wmag = Wmag

V= 1

2µ0n2I2

0 = 12B2

µ0(5.3.13)

Diese Ausdrücke führen zu Analogien zum elektrischen Feld:

Wel = 12CU

2 Wmag = 12LI

2

wel = 12ε0E

2 wmag = 12µ0H

2 = 12µ0

B2 (5.3.14)

D.h. die Energiedichte des gesamten elektromagnetischen Feldes beträgt (c2 = 1ε0µ0

):

wem = 12

(ε0E

2 + 1µ0B2)

= 12ε0

(E2 + c2B2

)(5.3.15)

Verallgemeinern wir diese Formeln auf Felder in Materie mit der VerschiebungsdichteD = ε0εrE und der magnetischen Erregung H = 1

µ0µrB:

wem = 12 (ED +BH) (5.3.16)

47

5.3.4 Gegeninduktivität von zwei stromdurchflossenen Spulen

Zwei stromdurchflossene Spulen erzeugen bei einer Änderung der Stromstärke eine Induk-tionspannung in der jeweils anderen Spule.

Abbildung 5.6: Gegeninduktivität zweier Leiterschleifen(1)

Die magnetische Flussdichte (hier diejenige in Spule 2 erzeugt durch Spule 1) ist dannwie folgt definiert:

Φmag = L12I1 (5.3.17)

Diese Eigenschaft wird mit der Gegeninduktivität L ausgedrückt, welche analog zurSelbstinduktivität definiert wird.Die Gegeninduktivität zweier Leiterschleifen kann wie folgt berechnet werden1.

L12 = L21 = µ0

4π

ˆS1

ˆS2

d~r1 · d~r2

|~r1 − ~r2|(5.3.18)

d~r1 und d~r2 sind die (vektoriellen) Kurvenelemente zu den Kurven ~r1 und ~r2, die die Formder Leiterschleifen S1 und S2 beschreiben. Man muss also über beide Kurven integrieren.|~r1 − ~r2| ist der Abstand der beiden momentan betrachten Leiterstücke d~r1 und d~r2 undsind somit im Allgemeinen nicht konstant.

5.4 Der Maxwell’sche VerschiebungsstromDas Ampere’sche Gesetz, wie wir es bisher definiert haben, ist unvollständig. Dies soll amfolgenden Beispiel klar werden.

Abbildung 5.7: Zur Herleitung des Verschiebungsstromes(1)

1Die Herleitung der folgenden Gleichung geschieht mit dem Biot-Savart-Gesetz, dem Stokes’schen Satzund der Verwendung von Vektorpotentialen und soll hier nicht näher erläutert werden.

48

Die beiden Flächen S1 und S2 haben den gleichen Rand ∂S. Wir nutzen das Ampere’scheGesetz zur Bestimmung des Magnetfeldes auf dem Rand mithilfe der unterschiedlichenFlächen. ˛

∂S

~B · d~r = µ0

‹S1

~j · d ~A = µ0I

˛∂S

~B · d~r = µ0

‹S2

~j · d ~A = 0

Die Ergebnisse der zwei Berechnungen führen zu zwei unterschiedlichen Ergebnissen, wasnicht möglich sein dürfte. Die Unvollständigkeit des Ampere’sche Gesetz wird auch ausfolgenden Messergebnissen deutlich. Betrachten wir nämlich folgenden Stromkreis,

Abbildung 5.8: Im Kondensator wird ein Magnetfeld gemessen(9)

so ergäbe sich nach dem Ampere’schen Gesetz, dass, wenn wir um die gestrichelte Linie imKondensator integrieren, das Magnetfeld innerhalb des Kondensators gleich 0 ist. Messun-gen zeigen aber das Gegenteil bei zeitlich veränderlichen elektrischen Feldern (z.B bei derLadung/Entladung des Kondensators). Maxwell schloss daraus auf eine Art Stromstärke,einen Verschiebungsstrom zwischen den Kondensatorplatten IV (bzw. eine Verschiebungs-stromdiche jV ).Dieser lässt sich folgendermaßen herleiten: variiert man die Stromstärke im System, sowird auch die Zahl der Ladungen Q = A · σ = A · (ε0E) auf den Platten verändert.Vektoriell folgt:

IV = dQdt = ε0

ddt(

~A · ~E) = ε0 ~A ·∂

∂t~E (5.4.1)

Mit der Stromdichte:

Verschiebungsstromdichte~jV = ε0

∂

∂t~E (5.4.2)

Um diese Stromdichte wird das Ampere’sche Gesetz erweitert:˛∂F

~B d~s = µ0

‹A

(~j +~jV ) d ~A (5.4.3)

Differentiell ergibt sich mit dem Stokes’schen Satz:

rot ~B = µ0(~j + ~jV ) = µ0(~j + ε0∂

∂t~E) (5.4.4)

49

bzw.:

Erweitertes Ampere’sches Durchflutungsgesetz

rot ~B = µ0~j + 1c2∂

∂t~E (5.4.5)

D.h. Magnetfelder können ebenfalls von zeitlich veränderlichen elektrischen Feldern er-zeugt werden.In Materie gilt analog:

rot ~H = ~j + ∂

∂t~D (5.4.6)

5.5 Maxwell-GleichungenNun fassen wir noch einmal alle Maxwell-Gleichungen zusammen. Diese beschreiben zu-sammen mit der Lorentz-Kraft die Gesamtheit aller elektromagnetischen Phänomene:

Im Vakuum In Materie

divE = ρelε0

div ~D = ρel

div ~B = 0 div ~B = 0

rot ~E = − ∂

∂t~B rot ~E = − ∂

∂t~B

rot ~B = µ0~j + 1c2∂

∂t~E rot ~H = ~j + ∂

∂t~D

Bemerkungen:

• Die Maxwell-Gleichungen sind lorentzinvariant.

• Aus den korrigierten Maxwell-Gleichungen wird klar, dass die bisherige Definition deselektrischen Feldes in Abhängigkeit des elektrischen Potentials nicht konsistent ist.

rot ~E = − rot gradφel = 0 6= − ∂

∂t~B (5.5.1)

Man muss also folgende Korrektur einbringen.

~E = − gradφel −∂ ~A

∂t(5.5.2)

Dabei muss die Coulomb-Eichung (siehe Gleichung 3.1.8) durch die Lorentz’sche Ei-chung ersetzt werden.

div ~A = − 1c2∂φel∂t

(5.5.3)

50

6 Technische Anwendungen

6.1 Wechsel- und Drehstrom6.1.1 Erzeugung und Nutzung: Generator und Elektromotor

Zur praktischen Anwendung interessiert uns die Umwandlung von mechanischer Ener-gie in elektrische Energie (Generator) oder umgekehrt die Umwandlung von elektrischerEnergie in mechanische Energie (Elektromotor).

GeneratorEiner der physikalisch einfachsten Realisierungsmöglichkeiten für einen Generator ist dasDrehen einer Leiterschleife in einem homogenen Magnetfeld. Durch das Drehen verän-dert sich die zum Magnetfeld senkrechte Spulenfläche kontinuierlich, und somit auch dermagnetische Fluss durch der Schleife.

Abbildung 6.1: Der Winkel θ zwischen Spulenfläche ~A und Magnetfeld ~B ändert sich inAbhängigkeit von der Zeit(10)

Für eine Drehung mit der konstanten Winkelgeschwindigkeit ω gilt mit θ = ωt:

Φmag =¨

~B · d ~A =¨

B dA cos(ωt) = B cos(ωt)¨

dA = BA cos(ωt)

Mit 5.2.1 ergibt sich folgende Induktionsspannung:Uind = BAω sin(ωt) (6.1.1)

Solche Spannungen, die periodisch ihr Vorzeichen wechseln, bezeichnet man als Wechsel-spannungen. Diese erhält man z.B. aus den herkömmlichen Steckdosen (im Gegensatz zurbisher behandelten konstanten Gleichspannung(20)).

Abbildung 6.2: Aufgezeichnet sind in beiden Bildern die Spannung auf der y- und die Zeitauf der x-Achse. Der obere Graph entspricht einer Wechselspannung, der untere einer(pulsierenden) Gleichspannung

51

Die in der Abbildung beschriebene pulsierenden Gleichspannung entsteht durch die Glät-tung der Wechselspannung, also indem man die negativen Bereiche der Spannung positivspiegelt. Dies geschieht z.B durch eine Umpolung der Spule durch einen Kommutator.

ElektromotorMit einer analogen Einrichtung lässt sich elektrische Energie in mechanische umwandeln.Wird eine ruhende Schleife in einem Magnetfeld stromdurchflossen, so ergibt sich auf die-se ein Drehmoment (man siehe dazu Abschnitt 3.4.2). Dieses führt dazu, dass die Spulezum Drehen gebracht wird. Wird aber die Spule von einem Gleichstrom durchflossen, sowird diese eine schwingungsartige Bewegung einnehmen; polt man aber die Stromrichtungim richtigen Moment mit einem Kommutator um, so wird sich die Schleife kontinuierlichdrehen. Um die Leistung zu erhöhen, werden in Elektromotoren Spulen anstatt Schlei-fen benutzt. Der feststehende Feldmagnet wird hier Stator genannt, die rotierende SpuleRotor.

6.1.2 Wechselstrom

Eine herkömmliche Wechselspannung hat folgende Form:

Ue(t) = U0 cos(ωt) (6.1.2)

In einem einfachen Schaltkreis mit dem Widerstand R wird die Stromstärke I(t) erzeugt:

I(t) = I0 cos(ωt) (6.1.3)

Wobei I0 = U0R. Stromstärke und Spannung sind somit zeitabhängig mit einer Periode von

T = 2πω.

Abbildung 6.3: Die zeitlichen Verläufe von Spannung, Stromstärke und elektrischerLeistung(4)

Für die technische Verwendung von Wechselstromkreisen ist die Leistung eine der wich-tigsten Größen. Diese stellt sich auch als zeitabhängig heraus:

Pel = U · I = U0I0 cos2(ωt) (6.1.4)

Wobei hier die Einschränkung gilt, dass Strom und Spannung gleichphasig sind. Die Mit-telung über eine Periode ergibt:

Pel = 1T

ˆ T

0U0I0 cos2(ωt) dt = 1

2U0I0 =(U0√

2

)(I0√

2

)(6.1.5)

52

Demnach würde man mit Gleichstrom in einem analog aufgebauten Stromkreis mit

Ueff = U0√2

Ieff = I0√2

(6.1.6)

als Spannung und Stromstärke den gleichen Leistungswert erhalten. Deshalb werden diesezwei Werte als effektive Spannung und Stromstärke bezeichnet.

Durch zusätzliche Spulen und Kondensatoren sind Spannung und Stromstärke nicht mehrgleichphasig, d.h. sie haben den Phasenunterschied ϕ:

U(t) = U0 cos(ωt) I(t) = I0 cos(ωt+ ϕ) (6.1.7)

Mit der gleichen Rechnung erhalten wir für die Spannung:

Pel = U0I0

2 cos(ϕ) (6.1.8)

Die durch Spulen und Kondensatoren aufgenommene Leistung wird Blindleistung ge-nannt, während die in Widerständen (reale) verbrauchte Leistung Wirkleistung genanntwird.

6.1.3 Dreiphasenstrom

Eine technisch wichtige Anwendung von Wechselströmen ist der sogenannte Drehstrom.Für die Erzeugung eines solchen Stromes wird ein Magnet drehbar gelagert, während N(gleichgebaute) Spulen um 2π

Nzueinander winkelverschoben um den Magnet fixiert werden.

Demnach hat jede Spule einen anderen Winkel zum Magnetfeld und die Spannung istphasenabhängig bzw. abhängig davon, welche Spule wir betrachten:

Unind = U0 cos

(ωt− 2π

(n− 1N

))(6.1.9)

Hierbei ist N die Gesamtzahl der Spulen und n die „Nummer “ der Spule, die wir betrach-ten. Im Falle von N = 3 spricht man von einem Dreiphasenstrom mit den Spannungen:

U1 = U0 sin(ωt)U2 = U0 sin(ωt− 120)U3 = U0 sin(ωt− 240)

(6.1.10)

Abbildung 6.4: Drehstrom mit drei Spulen bzw. Dreiphasenstrom(4)

53

Drehstrom mit genau drei Schleifen hat in der Technik wegen seiner besonders hohenLeistung eine ausgezeichnete Rolle.

Man kann nun mit dem erzeugten Drehstrom einen Motor betreiben. Man betrachtedazu einen analogen Aufbau wie bei Abbildung 6.4.Betreibt man mit den drei Spannungen U1, U2 und U3 jeweils eine Spule, so erzeugen diedrei Spulen folgende Magnetfelder.

~B1 = ~B0 sin(ωt)~B2 = ~B0 sin(ωt− 120)~B3 = ~B0 sin(ωt− 240)

(6.1.11)

Durch geeignete vektorielle Addition erhält man für die Komponenten des resultierendenMagnetfeldes:

Bx,res = −32B0 cos(ωt) (6.1.12)

By,res = −32B0 sin(ωt) (6.1.13)

Die Überlagerung der drei Magnetfelder beschreibt also ein sich mit der Frequenz ω rotie-rendes Magnetfeld. Die Stärke des Feldes bleibt während der Drehung konstant; es ergibtsich also ein Magnetfeld, das genau dasselbe ist wie das des drehenden Magneten derobigen Abbildung.Mit diesem rotierenden Magnetfeld kann somit der sich in der Mitte befindende Magnetzur Rotation gebracht werden. Solch eine Anordnung wird Synchronmotor genannt, wennsich der zur Drehung gebrachte Magnet in Phase mit dem äußeren Magnetfeld bewegt,und Asynchronmotor, wenn letzteres eine kleinere Kreisfrequenz als ω hat.

6.2 Induktivitäten und Kapazitäten im WechselstromkreisSpulen und Kondensatoren haben in Wechselstromkreisen eine ähnliche Wirkung wie Wi-derstände. Diese zusätzliche Eigenschaft wird Impedanz oder Wechselstromwiderstand(komplexer Widerstand) genannt. In einer Spule hinkt der Strom der Spannung nach;dies ist durch die Lenz’sche Regel ersichtlich, da die Induktionsspannung den in die Spulegeleiteten Strom abbremst. In Kondensatoren eilt der Strom der Spannung voraus, denndie Spannung muss im Kondensator kontinuierlich aufgebaut werden.Von nun an wird als äußere Spannung

Ue = U0 cos(ωt) (6.2.1)

verwendet.

6.2.1 Wechselstromkreis mit Induktivität

Abbildung 6.5: Wechselstromkreis mit Spule, der Strom hinkt der Spannung hinterher(4)

54

Nach der Maschenregel gilt hier:Ue + Uind = 0

Für die induzierte Spannung Uind = −LdIdt

erhalten wir:

U0 cos(ωt) = LdI

dt

also:I(t) = U0

L

ˆ T

0cos(ωt) dt = U0

ωLsin(ωt) = U0

ωLcos(ωt− 90) (6.2.2)

6.2.2 Wechselstromkreis mit Kapazität

Abbildung 6.6: Wechselstromkreis mit Kondensator, der Strom eilt der Spannung voraus(4)

Die Maschenregel führt diesmal zu :

Ue − UQ = 0 ⇒ Q(t)C

= Ue(t)

Wir multiplizieren mit C und bilden die Ableitung:

I(t) = CddtUe(t) = ωCU0 cos(ωt+ 90) (6.2.3)

6.2.3 Induktive und kapazitive Widerstände

Für die Stromstärken erhalten wir insgesamt:

für L: IL(t) = I0 sin(ωt)für C: IC(t) = −I0 sin(ωt)

Beide Stromstärken sind in verschiedene Richtungen zur Spannung um 90 phasenver-schoben. Um den bereits erwähnten Widerstandswert zu erhalten, definiert man sozusa-gen „phasenabhängige Widerstände“. Ihren Betrag erhält man, wann man die Amplitudevon Ue (= U0) und der Stromstärken IL bzw. IC über U = RI in Beziehung setzt. Manbehandelt sie also so, als wären sie Gleichstromwiderstände. Wir erhalten:

für L: |RL| =U0

I0,L= U0/

(U0

ωL

)= ωL (6.2.4)

für C: |RC | =U0

I0,C= U0/(ωCU0) = 1

ωC(6.2.5)

Dieser Betrag berücksichtigt aber noch nicht die Phasenverschiebung.

55

6.2.4 Impedanz und Admittanz

Ein Vektor ~V = Vx~ex + Vy~ey, welcher vom Betrag V0 konstant ist, vom Ursprung ausgehtund sich mit der Winkelgeschwindigkeit ω um den Ursprung dreht, besitzt in der x-y-Ebene die Komponenten:

Vx = V0 cos(ωt) Vy = V0 sin(ωt)

Anstatt Vektoren zu verwenden, können wir komplexe Zahlen benutzen: der Realteil über-nimmt die Rolle der x-Komponente und der Imaginärteil die der y-Komponente. Es folgtals Analogon:

V = Vx + iVy = V0 cos(ωt) + iV0 sin(ωt) = V0eiωt

Dieses Konstrukt lässt sich exakt gleichwertig auf die induktiven und kapazitiven Wider-stände übertragen:

Z = R + iX Z = |Z|eiφ (6.2.6)Man bezeichne nun als Z die Impedanz (oder komplexer Widerstand).R ist der Ohm’scheWiderstand, während X den Blindwiderstand darstellt.

Abbildung 6.7: Zur Erläuterung der komplexen Schreibweise von Impedanzen(1)

Stellen wir nun die Wechselspannung ebenfalls komplex dar:

U(t) = U0eiωt (6.2.7)

Nun lässt sich das Ohm’sche Gesetz erweitern:

Ohm’sches Gesetz für komplexe Widerstände

U = ZI mit Z =

R WiderstandZL = iωL SpuleZC = 1

iωC= −i

ωCKondensator

(6.2.8)

Diese komplexe Darstellung kann komplizierte Wechselstromschaltungen stark vereinfa-chen. Die Kirchhoff’schen Gesetze gelten weiterhin.

Wenn wir nun diese komplexen Widerstände in das erweiterte Ohm’sche Gesetz einsetzen,erhalten wir neben der „Widerstandswirkung“ auch die erwartete Phasenverschiebung:

I = U

Z= U0eiωt

ZL= U0

ωL

1ieiωt = U0

ωL(−i)eiωt (6.2.9)

56

Mit−i = 0 + i(−1) = cos(−π2 ) + i sin(−π2 ) = ei(−π2 )

erhalten wir zuletzt:I = U0

ωLei(−π2 )eiωt = U0

ωLei(ωt−π2 ) (6.2.10)

Man definiere dazu noch den komplexen Leitwert (Admittanz) als

Y = 1/Z (6.2.11)

Dieser ist besonders hilfreich bei der Behandlung von Parallelschaltungen.Es folgen einige Beispiele zur Erläuterung der komplexen Darstellung der Impedanzenund Admittanzen.

Abbildung 6.8: Einfache Schaltelemente(1)

Abbildung 6.9: Einige Kombinationen von Schaltelementen(1)

57

6.3 Lineare NetzwerkeIm allgemeinen Fall ist die Stromstärke nicht mehr proportional zur Spannung. Man kannin solchen komplizierteren Systems aber dennoch durch Superposition Spannungen undStromstärken berechnen:

U(t) =∑k

Uk(ωk) =∑k

U0,kei(ωkt−φk) (6.3.1)

I(t) =∑k

Ik(ωk) =∑k

I0,kei(ωkt−ψk) (6.3.2)

6.3.1 Hochpass-Filter

Abbildung 6.10: Der Hochpassfilter: nur Wechselströme mit hoher Frequenz werdendurchgelassen(21)

Der Hochpass ist so konstruiert, dass, wenn eine Wechselspannung mit tiefer Kreisfrequenzω als Eingangsspannung Ue angelegt wird, der Wechselstromwiderstand des KondensatorsC entsprechend sehr hoch steigt und der Großteil dieser Spannung an C abfällt. HoheSpannungen im Gegenzug fallen größtenteils am Widerstand R ab, welcher durch einentsprechendes Gerät ersetzt werden kann.Man erhält als Ergebnis der Ausgangsspannung Ua:

Ua = R

R + 1iωC

Ue (6.3.3)

Der Betrag der Übertragungsfunktion lautet:

|H(ω)| =∣∣∣∣UaUe

∣∣∣∣ = ωRC√1 + ω2R2C2

(6.3.4)

Die Phasenverschiebung zwischen Ein- und Ausgangsspannung beträgt:

tan(φ) = 1ωRC

(6.3.5)

58

Abbildung 6.11: Die physikalischen Größen im Hochpassfilter. Oben das Spannungsver-hältnis, unten der Phasenunterschied(4)

6.3.2 Tiefpass-Filter

Abbildung 6.12: Der Tiefpassfilter: nur Wechselströme mit niedriger Frequenz werdendurchgelassen(22)

Der Tiefpass ist das genaue Gegenstück vom Hochpass, d.h. nach dem selben Prinzipwerden nun hochfrequente Wechselströme blockiert, indem die Positionen von Widerstandund Kondensator vertauscht werden. Bei großen ω ist R im Vergleich zu ωC sehr groß, so-dass die Ausgangsspannung zum Großteil am Widerstand abfällt. Die Ausgangsspannungbeträgt dieses Mal:

Ua =1iωC

R + 1iωC

Ue (6.3.6)

Der Betrag der Übertragungsfunktion lautet:

|H(ω)| =∣∣∣∣UaUe

∣∣∣∣ = 1√1 + ω2R2C2

(6.3.7)

Die Phasenverschiebung ist:tan(φ) = −ωRC (6.3.8)

59

Abbildung 6.13: Die physikalischen Größen im Tiefpassfilter: links das Spannungsverhält-nis, rechts der Phasenunterschied(1)

6.3.3 Bandpassfilter

Um Ströme nur bei bestimmten Frequenzen durchzulassen, kann eine Reihenschaltungvon Widerstand, Kondensator und Spule als Frequenzfilter dienen.

Abbildung 6.14: Der Frequenzfilter als Reihenschaltung typischer Bauelemente. Der Wi-derstand hat bei der Resonanzfrequenz ω0 sein Maximum (4)

Über Kirchhoff erhalten wir die Differentialgleichung:

Ue = LdI

dt+ Q(t)

C+RI (6.3.9)

Durch einmaliges Ableiten und dem Ansatz:

Ue = U0eiωt I(t) = I0ei(ωt−φ)

erhalten wiriωUe =

[−Lω2 + iωR + 1

C

]I

Es folgt für die Impedanz:Z(ω) = R + i

(ωL− 1

ωC

)(6.3.10)

Diese hat den Betrag:

|Z| =√R2 +

(ωL− 1

ωC

)2(6.3.11)

Die Ausgangsspannung beträgt diesmal:

Ua = R

R− i 1ωC

+ iωLUe (6.3.12)

60

Der Betrag der Übertragungsfunktion lautet:

|H(ω)| =∣∣∣∣UaUe

∣∣∣∣ = R√R2 +

(ωL− 1

ωC

)2(6.3.13)

Diesmal ist der Phasenunterschied zwischen den Spannungen:

tan(φ) = Im(Z)Re(Z) = 1

R

(ωL− 1

ωC

)(6.3.14)

Die optimale Übertragungsfrequenz ist also die Resonanzfrequenz ωR:

ω = ωR = 1√LC

(6.3.15)

Abbildung 6.15: Durchlasskurve und Phasenunterschied im Frequenzfilter. Die Durch-lasskurve erreicht bei ωR ihr Maximum, der Phasenunterschied ist dort genau 0.(4)

Schaltet man Spule und Kondensator stattdessen parallel, so ensteht ein Sperrfilter, dessenDurchlasskurve genau bei der Resonanzfrequenz ihr Minimum erreicht.

Abbildung 6.16: Schaltbild und Durchlasskurve eines Sperrfilters(1)

6.3.4 Wechselstromleistung

Die Leistung kann man in Wechselstromschaltungen in allgemeinerer Form über die ef-fektive Spannung/Stromstärke darstellen.Allgemein gilt:

P (t) = U(t)I(t) = U0 sin(ωt)I0 sin(ωt+ φ) (6.3.16)

Der zeitliche Mittelwert ist, wie bereits beschrieben, durch Integration über die Perioden-dauer zu erhalten:

Pel = U0I0

2 cos(φ) (6.3.17)

61

Für reine L- oder C-Schaltungen ist cos(φ) = 0, d.h. es wird an Spule und Kondensatorkeine Leistung verbraucht.

Wir definieren nun drei neue Größen:

• Die WirkleistungPW = IeffUeff cos(φ) = Pel (6.3.18)

• Die ScheinleistungPS = IeffUeff (6.3.19)

• und die BlindleistungPB = IeffUeff sin(φ) (6.3.20)

Wirk-, Schein- und Blindwiderstand werden mit Z = PiIeff

und diesen Leistungsgrößendefiniert.

6.3.5 Leistungsoptimierung

Abbildung 6.17: Vereinfachter Stromkreis, welcher nur den Nutzer und den Weg zumNutzer beinhaltet. Die Verlustleistung ist die, welche an dem Widerstand der Leitungabfällt.(4)

Für einen möglichst kleinen Leistungsverlust in realen Stromkreisen muss gelten, dasswenig Leistung am Leitungswiderstand R abfällt. Die Verlustleistung ist ∆P = I2R. BeimVerbraucher kommt die Leistung Pel = UI an. Der relative Leistungsverlust beträgt:

∆PPel

= I2R

UI= R

U2Pel (6.3.21)

D.h. mit steigender Spannung schwindet auch der Leistungsverlust.

62

6.4 TransformatorenUm stets hohe Leistungen bieten zu können, werden Transformatoren zur Umwandlungvon Spannungen verwendet.

Abbildung 6.18: Die Grundbestandteile eines Transformators: zwei Spulen mit verschie-denen Windungszahlen und Induktivitäten sowie ihre Kopplung durch ein Eisenjoch (Ei-senkern) (11)

Neben dem verbindenden Eisenjoch sind die zwei Spulen mit den Induktvitäten L1 undL2 und den Windungszahlen N1 und N2 die wichtigsten Bestandteile des Transforma-tors. Durch das Eisenjoch laufen praktisch alle Magnetfeldlinien, welche innerhalb einerstromdurchflossenen Spule erzeugt werden, durch die andere Spule.

6.4.1 Unbelasteter Transformator

Beim unbelastetem Transformator fließt anfänglich nur in einem der zwei Spulen Strom(I2 = 0). Man bezeichne die Linke Spule mit „S“ und die rechte mit „P“. Wird einWechselstrom in P eingeführt, so führt er zu einem periodischen Magnetfeld bzw. einemperiodischen magnetischen Fluss Φm durch die Spule S. Demnach wird in S eine SpannungUind induziert. Vernachlässigen wir den Ohm’schen Widerstand der Spulen, so erhaltenwir nach der Maschenregel:

UP + Uind = 0 (6.4.1)

wobei Uind = −L1dI1dt = −N1

dΦmdt die selbst-induzierte Spannung in P ist. In S wird analog

die Spannung U2 = −N2dΦm

dt erzeugt. Somit folgt eine einfache Beziehung zwischen denSpannungen:

U2

U1= −N2

N1(6.4.2)

Das Minuszeichen bedeutet, dass bei gleichsinniger Wicklung der Spulen die Spannungenum 180 phasenverschoben sind.

6.4.2 Belasteter Transformator

Falls nun auch die zweite Spule S mit einem Verbraucher mit dem Widerstand R belastetwird, so wird die Spule mit I2 = U2

Rein magnetisches Feld erzeugen, dessen Fluss innerhalb

der zweiten Schleife proportional zur Stromstärke ist. Zwischen den magnetischen FlüssenΦ1 und Φ2 herrscht ein Phasenunterschied von φ = 90, da Φ2, I2 und U2 phasengleichsind, aber U2 um die von Φ1 induzierte Spannung 90 phasenverschoben ist. Der gesamtemagnetische Fluss beträgt:

Φ = Φ1 + Φ2 (6.4.3)

63

Die Leistungsübertragung ist abhängig von dieser Phasenverschiebung.

Der belastete Transformator führt letztendlich zu ähnlichen Ergebnissen wie der unbela-stete, nämlich dass man eine Eingangsspannung U1 durch die richtigen Windungsverhält-nisse zwischen den Transformatorspulen vervielfachen kann (die verstärkte Spannung istdann die am Ausgang U2). Reale Transformatoren, wie z.B. der Tesla-Transformator, voll-bringen die Spannungserhöhung in mehreren Schritten durch mehrere gekoppelte Trans-formatoren.

7 Elektromagnetische Schwingkreise

7.1 Der elektromagnetische SchwingkreisEine Schaltung, in der sich eine Induktivität L und ein Kondensator C befinden, nenntman elektromagnetischer Schwingkreis. In einem solchen Aufbau entstehen elektroma-gnetische Schwingungen, die man analog zu den bekannten mechanischen Schwingungenbeschreiben kann. Im folgendem Bild lässt sich diese Analogie verdeutlichen.

Abbildung 7.1: Analogon zwischen mechanischen und elektromagnetischenSchwingungen(4)

Bei einer mechanischen Schwingung geht periodisch die kinetische Energie in potentielleEnergie über und umgekehrt, während in einem Schwingkreis die Energie zwischen elek-trische im Kondensator und magnetische in der Induktivität wechselt. Zur Beschreibungdieses Phänomens betrachten wir folgende Schaltung.

Abbildung 7.2: RLC-Schwingkreis(1)

64

Mithilfe der Maschenregel lässt sich für diese Schaltung folgende Gleichung schreiben.

LdIdt +RI + Q

C= 0 (7.1.1)

Ableiten dieser Gleichung nach der Zeit führt zu einer Differentialgleichung für den Strom.

Ld2I

dt2 +RdIdt + 1

CI = 0 (7.1.2)

Zur Lösung benutzen wir folgenden Ansatz.

I(t) = Aeλt

wobei A und λ im Allgemeinen komplexe Zahlen sind. Einsetzen in die Differentialglei-chung liefert folgende mögliche Werte für λ

λ1,2 = − R

2L︸ ︷︷ ︸−α

±√R2

4L2 −1LC︸ ︷︷ ︸

β

Abhängig von den verschiedenen Werten, die in der Gleichung vorkommen, lassen sichzwei Fälle unterscheiden.

(a) Kriechfall (& aperiodischer Grenzfall)

R2

4L2 >1LC

⇒ β ∈ R (7.1.3)

Mit den allgemeinen Anfangsbedingungen

I(0) = I0 und I(0) = I0

erhält man folgende Werte für A.

A1,2 = I0

2

(1± α

β

)± I0

2β

Setzt man I(0) = 0, so erhält man die spezielle Lösung

I(t) = I0e−αt

[cosh(βt) + α

βsinh(βt)

](7.1.4)

Ist dagegen β = 0, so folgt der sogenannte aperiodischer Grenzfall:

I(t) = e−αt[I0 +

(I0 + αI0

)t]

(7.1.5)

In beiden Fällen geht I(t)→ 0 für t→∞. Dies geschieht aber im aperiodischen Fall amschnellsten.

65

(b) Gedämpfte Schwingung

R2

4L2 <1LC

⇒ β ≡ iω ∈ I (7.1.6)

Die allgemeine Lösung in diesem Fall lautet:

I(t) = e−αt[A1e

iωt + A2e−iωt

](7.1.7)

Damit I(t) eine reelle Größe ist, müssen A1 = a+ ib und A2 = a− ib komplex konjugiertsein. Die Lösung wird dann zu

I(t) = 2|A|e−αt cos(ωt+ ϕ) (7.1.8)

wobei ω =√

1LC− R2

4L2 , |A| =√a2 + b2 und tanϕ = b/a ist, mit a und b Konstanten, die

man aus den Anfangsbedingungen bestimmen kann. In diesem Fall schwingt der Strom miteiner Cosinus-Form und wird dabei von einem exponentiell abfallenden Term gedämpft.

7.2 Erzwungene SchwingungMan betrachte jetzt die Schaltung in Abbildung 7.3a. Im Vergleich zur obigen Abbildung7.2 hat man in diesem Fall auch eine äußere Spannungsquelle.

(a) Serienschaltung (b) Parallelschaltung

Abbildung 7.3: RLC-Schwingkreise mit Spannungsquelle(4)

Man betrachte als Spannungsquelle eine Wechselspannung U(t) = U0 cosωt. Für denStrom erhält man folgenden Ausdruck

I(t) = I0 cos(ωt− ϕ) (7.2.1)

wobei I0 = U0/|Z| mit Z im vorigen Kapitel eingeführter komplexer Widerstand. ImWiderstand R wird also die folgende Leistung verbraucht:

Pwel = I2R = U2

Z2R = (U0 cosωt)2R

Z2 (7.2.2)

Im zeitlichen Mittel erhält man

〈Pwel 〉 = 1

2U2

0R

R2 +(ωL− 1

ωC

)2 (7.2.3)

Die maximale Leistung wird bei ω = ω0 = 1√LC

erreicht. Analog dazu lässt sich auchdie Schaltung in Abbildung 7.3b beschreiben; in diesem Fall ist jedoch bei ω = ω0 dieSpannung minimal.

66

7.3 Gekoppelte SchwingkreiseAnalog zu den mechanischen Schwingungen kann man auch elektromagnetische Schwing-kreise miteinander koppeln. Wir betrachten hier die sogenannte induktive Kopplung.

Abbildung 7.4: Induktiv gekoppelte Schwingkreise(4)

Ändert sich in einem der beiden Schwingkreise der Strom, so entsteht im anderen eineInduktionsspannung. Dies lässt sich mithilfe der folgenden zwei Gleichung beschreiben.

L1d2I1

dt2 +R1dI1

dt + I1

C1= −L12

d2I2

dt2 (7.3.1)

L2d2I2

dt2 +R2dI2

dt + I2

C2= −L12

d2I1

dt2 (7.3.2)

Zur Lösung dieser Gleichungen benutzten wir den Ansatz

Ik(t) = I0,keiωt mit k = 1, 2 (7.3.3)

Einsetzen in die Gleichungen liefert(−L1ω

2 + iωR1 + 1C1

)I1 − ω2L12I2 = 0

−ω2L12I1 +(−L2ω

2 + iωR2 + 1C2

)I2 = 0

Um eine nichttriviale Lösung (I1,2 6= 0) zu erhalten, muss die folgende Bestimmungsglei-chung für ω gelten[

R1 + i(ωL1 −

1ωC1

)] [R2 + i

(ωL2 −

1ωC2

)]= −ω2L2

12 (7.3.4)

Da die Lösung im Allgemeinen sehr aufwendig ist, betrachten wir den folgenden Spezial-fall.

R1 = R2 = 0 L1 = L2 = L C1 = C2 = C

k = L12

L(Kopplungskonstante)

(7.3.5)

Man erhält in diesem Fall

ω1 = ω0√1− k

ω2 = ω0√1 + k

(7.3.6)

wobei ω0 = 1/√LC ist. Die Frequenz ω0 der ungekoppelten Kreise spaltet sich also in

zwei Frequenzen auf.

Analog zu der induktiven Kopplung lassen sich die kapazitive Kopplung (zwei Schwing-kreise haben einen gemeinsamen Kondensator C) und die galvanische Kopplung (zweiSchwingkreise haben einen gemeinsamen Widerstand R) beschreiben.

67

7.4 Offene Schwingkreise: der Hertz’sche DipolDie bisher betrachteten Schwingkreise sind geschlossene Schaltungen. Im folgenden Bildlässt sich aber verdeutlichen, wie solche geschlossenen Schwingkreise auch in offene Kreiseüberführt werden können (von links nach rechts).

Abbildung 7.5: Kontinuierlicher Übergang vom geschlossenen zum offenen Schwingkreis(4)

Der entscheidende Unterschied zwischen diesen zwei Arten von Schwingkreisen ist dieräumliche Ausdehnung der erzeugten Felder. Während in einem geschlossenen Schaltkreisdie Felder räumlich begrenzt sind (elektrische Felder im Kondensator und magnetischeFelder in der Induktivität), breiten sich die Felder im offenen Fall weit im Raum aus(siehe folgende Abbildung).

Abbildung 7.6: Ausdehnung der Felder in den verschiedenen Versionen desSchwingkreises(4)

Die Ausbreitung dieser Felder geschieht mit Lichtgeschwindigkeit in Form von elektro-magnetischen Wellen (siehe dazu Kapitel 8). Damit ein solcher Draht tatsächlich alsSchwingkreis (bzw. Antenne) funktioniert, muss er durch eine induktive Kopplung miteinem normalen geschlossenen Schwingkreises betrieben werden. Dies erzeugt in der An-tenne einen hochfrequenten Wechselstrom, was ihre Funktion ermöglicht. Eine schemati-sche Darstellung der Funktionsweise einer Stabantenne ist in der folgenden Abbildung zufinden (die komplette Schaltung ist deutlich komplizierter).

68

Abbildung 7.7: Schematische Darstellung einer Stabantenne(4)

In der Antenne fließt ein Strom mit den Randbedingungen I(0) = I(l) = 0, wobei l dieLänge des Stabes ist. Im Stab bildet sich also eine stehende Welle mit der Wellenlängeλ = 2l. Die niedrigste Resonanzfrequenz ω0 im Stab ist gegeben durch

ω0 = 2πvPhλ

= π

lvPh (7.4.1)

wobeivPh = c

√εµ

= 1√εε0µµ0

(7.4.2)

die Geschwindigkeit ist, mit der sich elektromagnetische Felder im Stab ausbreiten. ZurBeschreibung der Felder, die durch eine solche stehende Welle innerhalb des Leiters ent-stehen, betrachten wir folgende Abbildung.

Abbildung 7.8: Darstellung der elektromagnetischen Felder eines Dipols(12)

Durch die periodische Verschiebung der Ladungsträger innerhalb des Leiters erhält maneine Abwechslung von elektrischen und magnetischen Felder. Die ersten kommen zustande,wenn zwischen den zwei Enden des Stabes eine Spannung vorliegt, während die zweitenwegen der Ströme im Stab entstehen. Die in der Abbildung gezeigten Fälle sind nur dieGrenzfälle, in denen man nur eine Art von Feldern hat, während im Allgemeinen eineÜberlagerung der zwei Felder vorliegt. Wie schon besprochen, breiten sich diese Felderim Raum aus; in der folgenden Abbildung soll diese Ausbreitung schematisch dargestelltwerden.

69

Abbildung 7.9: Ausbreitung der Felder im Raum(13)

Die genaue Beschreibung der Felder eines solchen Dipols ist relativ kompliziert, weswegenwir hier nur die wesentlichen Schritte zusammenfassen werden.

Abbildung 7.10: Parametrisierung zur Bestimmung des Vektorpotentials ~A(4)

Man betrachte zunächst das Vektorpotential ~A, das durch die zeitabhängige Stromdichteim Hertz’schen Dipol zustande kommt, an einem beliebigen Punkt P1, der durch denVektor ~r1 beschrieben wird (man vergleiche dazu Gleichung 3.2.6)

~A(~r1, t) = µ0

4π

˚ ~j(~r2, t− 1

c|~r2 − ~r1|

)|~r2 − ~r1|

d3r2 (7.4.3)

Die Integration erfolgt über das Volumen des Stabs (also dort, wo man eine Stromdichtehat, über die man integrieren kann) und dabei wird die Stromdichte mit dem relativenAbstand dieser zum Punkt P1 gewichtet. Im zeitlichen Term der Stromdichte wird dieRetardierung der Effekte der Änderung der Stromdichte auf das Potential aufgrund derendlichen Ausbreitung des Lichtes berücksichtigt. Um dieses komplizierte Integral zu ver-einfachen, betrachtet man hier nur die Fernfeldnäherung, also wenn |~r2 − ~r1| l (mit ldie Länge des Stabes). In diesem Fall kann man annehmen, dass alle Punkte des Stabes

70

den gleichen Abstand r zum Punkt haben und dass dementsprechend alle Wellenbeiträgeder verschiedenen Punkte des Stabes in Phase am Punkt P1 ankommen. Der Integralvereinfacht sich zu

~A(~r1, t) = µ0

4πr

˚%(~r2, t−

r

c

)~v d3r2 (7.4.4)

wobei für die Stromdichte ~j = %~v eingesetzt wurde. Man kann den Stab auch als schwin-genden elektrischen Dipol auffassen mit dem zeitabhängigen Dipolmoment:

~p(t) = q~d = qd0 sinωt~ez (7.4.5)

Fasst man in Gleichung 7.4.3 %(~r2, t− r

c

)d3r2 = dq zusammen, so erkennt man wegen

d~pdt = q ~d = q~v (7.4.6)

dass das Vektorpotential wie folgt geschrieben werden kann.

~A(~r1, t) = µ0

4πrddt~p(t− r/c) = µ0

4πqd0ωcos(ωt− kr)

r~ez (7.4.7)

wobei ω(t − r/c) = ωt − ωcr = ωt − kr eingesetzt wurde. Dies ist die Gleichung einer

Kugelwelle, die sich mit der Geschwindigkeit c vom Zentrum des Stabes ausbreitet. Fürdas Magnetfeld erhält man

~B = rot ~A = 14πεc2r3

[(~p× ~r)︸ ︷︷ ︸1. Term

+ r

c(~p× ~r)︸ ︷︷ ︸2. Term

](7.4.8)

Dabei ist zu beachten, dass der erste Term mit 1/r2, der 2. Term aber nur mit 1/r abfällt,wodurch dieser bei der Fernfeldentwicklung eine größere Bedeutung hat. Zur Berechnungdes elektrischen Feldes bestimmen wir zuerst das elektrische Potential φel mithilfe derLorentz’schen Eichung (siehe Gleichung 5.5.3).

div ~A = − 1c2∂φel∂t

⇒ φel(~r, t) = 14πε0

~r ·[~p+ r

c~p]

(t−r/c)

r3 (7.4.9)

Aus Gleichung 5.5.2 erhält man den komplizierten Ausdruck

~E(~r, t) = 14πε0r3 [3(~p ∗ · ~er) · ~er − ~p ∗]︸ ︷︷ ︸

1. Term

+ 14πε0c2r

[−~p(t− r/c)× ~er

]× ~er︸ ︷︷ ︸

2. Term

(7.4.10)

mit ~p ∗ = ~p(t− r/c) + rc~p(t− r/c). Der erste Term ist das durch den zeitabhängigen Dipol

~p ∗ (bei Berücksichtigung der Retardierung) erzeugte elektrische Feld, während der zweiteTerm durch die zeitabhängigen Magnetfelder zustande kommt. Da der zweite Term nurmit 1/r, während der erste mit 1/r3 abfällt, ist nur dieser bei der Fernfeldnäherung vonBedeutung.Es stellt sich jetzt die Frage nach der abgestrahlten Leistung eines solchen Dipols. Manbetrachte hierzu die Energiedichte ωem (siehe dazu Abschnitt 5.3.3 und 8.5).

ωem = 12ε0(E2 + c2B2) = ε0E

2 (7.4.11)

71

Der letzte Schritt ist aus dem Vergleich der für die Fernfeldnäherung relevanten Termeder verschiedenen Felder berechtigt, woraus der Zusammenhang | ~B| = 1

c| ~E| ersichtlich

wird.

Man berechne darüber hinaus die Energiestromdichte I (siehe dazu Abschnitt 8.5).

I = ε0cE2 (7.4.12)

Dies gibt an, wie viel Energie pro Zeiteinheit durch ein Flächenelement transportiert wird.Einsetzten des oben berechneten elektrischen Feldes ergibt (man betrachte weiterhin nurden für die Fernfeldnäherung relevanten Term):

I = q2d20ω

4 sin2 ϑ

16πε0c3r2 sin(ω(t− r/c)) (7.4.13)

Aus dieser Gleichung wird deutlich, dass keine Abstrahlung in Richtung des Dipols (ϑ = 0)stattfindet, während sie senkrecht zu diesem (ϑ = π/2) maximal ist. Man betrachte dazufolgende Abbildung.

Abbildung 7.11: Räumliche Verteilung der Leistungsabstrahlung(4)

Integriert man die Energiestromdichte über eine Kugelfläche mit beliebigem Radius r (fürdie Definition von ~S siehe Abschnitt 8.5, hier wichtig: |~S| = I), so erhält man für dieLeistung eines Hertz’schen Dipols

Pem =‹

~S · d ~A = q2d20ω

4

6πε0c3 sin2(ω(t− r/c)) (7.4.14)

Zeitlich gemittelt ergibt sich

〈Pem〉 = q2d20ω

4

12πε0c3 (7.4.15)

8 Elektromagnetische Wellen

8.1 WellengleichungFür die Herleitung der Wellengleichungen im Vakuum betrachten wir die Maxwellglei-chungen (Kapitel 5.5) und setzen ρ = 0 und ~j = 0 ein:

~∇× ~E = −∂~B

∂t(8.1.1)

72

~∇× ~B = ε0µ0∂ ~E

∂t(8.1.2)

Man bilde nun auf beiden Seiten von Gleichung 8.1.1 die Rotation.

~∇× (~∇× ~E) = ~∇(~∇ · ~E︸ ︷︷ ︸=0

wegen div ~E=ρ/ε0=0

)−∆ ~E = −∂(~∇× ~B)∂t

(8.1.3)

Durch Einsetzen von Gleichung 8.1.2 ergibt sich die gesuchte Wellengleichung deselektrischen Feldes. Eine analoge Berechnung führt zur Wellengleichung des ma-gnetischen Feldes.

∆ ~E = 1c2∂2 ~E

∂t2(8.1.4)

∆ ~B = 1c2∂2 ~B

∂t2(8.1.5)

wobei ∆ der Laplace-Operator in kartesischen Koordinaten ist (siehe Gleichung 1.1.19).Man beachte: Die Ausbreitungsgeschwindigkeit beider Wellen ist c = 1√

ε0µ0.

Um eine vereinfachte Lösung von 8.1.4 zu erhalten, kann man annehmen, dass das elek-trische Feld nur von einer Koordinate anhängt. Wählt man diese als die z-Komponente,so ergibt sich

∂ ~E

∂x= ∂ ~E

∂y= 0 → Wellengleichung: ∂2 ~E

∂z2 −1c2∂2 ~E

∂t2= 0 (8.1.6)

Wegen div ~E = 0 ist die z-Komponente des elektrischen Feldes eine Konstante. Man kannalso annehmen, dass Ez = 0 und man erhält somit eine ebene, transversale Welle inz-Richtung.

~E =

ExEy0

~E ⊥ ~ez (8.1.7)

8.2 Periodische WellenAls Lösung der oben genannten Wellengleichung 8.1.6 verwenden wir den Ansatz einer pe-riodischen Welle. Mit der Periodizitätsbedingung kλ = 2π (k wird Wellenzahl genannt)und c = ν · λ = λ

T= ω

kergeben sich folgende äquivalente Darstellungen.

~E = ~E0 · sin k(z − ct) = ~E0 · sin(kz − 2πc

λt)

= ~E0 · sin(kz − ωt) (8.2.1)

Je nach Anfangsbedingung kann auch die äquivalente cos-Darstellung gewählt werden:

~E = ~E0 · cos(kz − ωt) (8.2.2)

73

Man definiere nun den Wellenvektor ~k mit

|~k| = k = 2πλ

(8.2.3)

Dieser Vektor definiert die Ausbreitungsrichtung der Welle und steht somit immer senk-recht auf den Phasenflächen.

Abbildung 8.1: Räumliche und zeitli-che Entwicklung einer sich in z-Richtungausbreitenden Welle(4)

Abbildung 8.2: Zur Definition desWellenvektors(4)

Für die häufig verwendete komplexe Schreibweise der Lösung der Wellengleichung für eineWelle mit einer allgemeinen Richtung ~k = (kx, ky, kz) ergibt sich

~E = ~A0ei(~k·~r−ωt) + c.c. (8.2.4)

Mit c.c. ist der zum ersten komplex konjugierte Term gemeint. Im Fall einer reellen Am-plitude gilt dementsprechend: ~E0 = 2 ~A0.Wählt man wieder die Bewegungsrichtung in der z-Komponente (also mit ~k = (0, 0, k)),lautet die komplexe Schreibweise der Lösung

~E = ~A0ei(kz−ωt) + c.c. (8.2.5)

8.3 Polarisation elektromagnetischer WellenDurch die Richtung des elektrischen Feldes kann man die sog. Polarisation der Welledefinieren.

• Lineare PolarisationZeigt der Vektor ~E0 zu jedem Zeitpunkt in die selbe Richtung (und ist gleichzeitigsenkrecht zur Ausbreitungsrichtung),so heißt die Welle linear polarisiert.

~E0 ⊥ ~ez ~E0 = E0x~ex + E0y~ey = const. (8.3.1)

Ex = E0x cos(ωt− kz) Ey = E0y cos(ωt− kz) (8.3.2)

Die Komponenten (senkrecht zur Ausbreitungsrichtung) der Welle schwingen in Phase.

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Abbildung 8.3: Lineare Polarisation einer Welle: Die zwei Komponenten der Welle (in blauund grün) schwingen in Phase und erzeugen eine feste Orientierung des resultierendenAmplitudenvektor (in rot) (14)

• Zirkulare PolarisationGilt nun E0x = E0y und sind die Komponenten des elektrischen Feldes um 90 inder Phase verschoben, ergibt sich die sog. zirkulare Polarisation. Beschreibt der ~E-Vektor eine Rechtsschraube in Ausbreitungsrichtung, spricht man von σ+ (links zirkularpolarisiertem Licht), sonst von σ−, (rechts zirkular polarisiertem Licht).

Ex = E0x cos(ωt− kz) (8.3.3)

Ey = E0y cos(ωt− kz − π

2

)= E0y sin(ωt− kz) (8.3.4)

→ ~E(z = 0, t) = Ex~ex + Ey~ey

= E0(~ex cos(ωt) + ~ey sin(ωt)) (8.3.5)

Der elektrische Feldvektor ~E beschreibt somit eine Kreisspirale um die z-Richtung.

Abbildung 8.4: Zirkulare Polarisation einer Welle: Die zwei gleich großen Komponentender Welle (in blau und grün) schwingen um 90 verschoben und erzeugen eine konstantrotierende Orientierung des resultierenden Amplitudenvektors (in rot) (14)

• Elliptische PolarisierungDiese Art von Polarisation ist die Verallgemeinerung der linearen und zirkularen Pola-

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risation: hier gelten die Bedingungen der oben beschriebenen Polarisationen allgemeinnicht mehr, also ist entweder E0x 6= E0y und/oder die Phasenverschiebung zwischenden Komponenten nicht 90 .

• Unpolarisierte WelleWenn der ~E0-Vektor keine zeitlich konstante Richtung hat, sondern sich statistischim Laufe der Zeit ändert, spricht man von einer unpolarisierten Welle. Dies ist derallgemeine Fall bei Lichtwellen.

8.4 Magnetisches Feld einer elektromagnetischen WelleAllgemein lässt sich folgende Eigenschaft herleiten:

~B = 1ω

(~k × ~E

)(8.4.1)

Daraus folgt:

• Bei elektromagnetischen Wellen im Vakuum gilt immer die Beziehung

~B ⊥ ~E ⊥ ~k (8.4.2)

Ist z.B. das elektrische Feld einer in z-Richtung auslaufenden Wellen in x-Richtungpolarisiert ( ~E = (Ex, 0, 0)), so gilt ~B = (0, By, 0). Beide Vektoren sind senkrecht zurAusbreitungsrichtung, die mit ~k beschrieben wird.

• Im Fernfeld schwingen das magnetische und elektrische Feld in Phase.

• Für die Beträge gilt| ~B| = 1

c| ~E| (8.4.3)

8.5 Energie und Impuls einer elektromagnetischer WelleIm Abschnitt 5.3.3 haben wir die Energiedichte des elektromagnetischen Feldes hergeleitet.Mit Gleichung 8.4.3 ergibt sich

wem = 12ε0(E2 + c2B2) = ε0E

2 (8.5.1)

Diese ist also die Energiedichte, die von einer elektromagnetischen Welle mit Geschwin-digkeit c in ~k Richtung transportiert wird. Die Einheit ist [wem] = 1 Ws/m3 = 1 N/m2.

Die Intensität (Energiestromdichte) ist gegeben durch

I = c · ε0 · E2 (8.5.2)

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Da sich das elektrische Feld periodisch ändert, ergibt sich für die Intensität (bei linearpolarisierten Wellen)

I(t) = cε0| ~E| = I0 cos2(ωt− ~k · ~r) mit I0 = cε0E20 (8.5.3)

was zeitlich gemitteltI(t) = 1

2cε0E20 (8.5.4)

ergibt. Bei zirkular polarisierten Wellen ist I(t) = I = I(t).

Man definiert zusätzlich den sogenannten Poynting-Vektor, welcher i.A. die Richtungdes Energieflusses beschreibt und als Betrag den Wert der Intensität besitzt.

~S = ~E × ~H =↑

Vakuum

ε0c2( ~E × ~B) (8.5.5)

|~S| = S = ε0c2| ~E| · | ~B| = ε0cE

2 = I (8.5.6)

Dementsprechend ist die Einheit des Betrages die einer Intensität [S] = 1 Wm2 . Im Vakuum

ist ~S ‖ ~k und somit senkrecht auf dem magnetischen und elektrischen Feld.

Einer elektromagnetischen Welle lässt sich auch eine Impulsdichte zuordnen

~πSt =~S

c2 = 1c2~E × ~H = ε0 ~E × ~B (8.5.7)

|~πSt| = ε0E ·B = ε0E2

c= wem

c(8.5.8)

Der Strahlungsdruck pSt einer elektromagnetischen Welle bei senkrechtem Einfall aufeinen völlig absorbierenden Körper ergibt sich damit zu

pSt = c · πSt = εE2 = wem (8.5.9)

Bei der Absorption von elektromagnetischer Strahlung erfolgt also ein Impulsübertrag(→Lichtmühle, Laserwaffen).

8.6 Wellen in Kabeln und Wellenleitern8.6.1 Stehende Wellen

Eindimensionale stehende Wellen entstehen durch Reflexion einer ebenen Welle, die senk-recht auf eine leitende Ebene fällt.Bei einer linear polarisierten Welle mit

Ex = E0x cos(ωt− kz) ~E = (Ex, 0, 0) ~B = (0, By, 0) (8.6.1)

Wir nehmen an, dass der Reflektor ein idealer Leiter ist und dementsprechend Ex(z =0) = 0 gilt. An der Ebene gilt somit

~E(z = 0) = ~E0i + ~E0r = 0 (8.6.2)

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Für die Überlagerung der Wellen gilt~E(z, t) = 2 ~E0 sin(kz) sin(ωt) mit ~E0 = ~E0i = − ~E0r (8.6.3)~B(z, t) = 2 ~B0 cos(kz) cos(ωt) mit ~B0 = (0, (kω)E0, 0) (8.6.4)

Der Phasensprung der elektrischen Komponente (und der sprunglose Übergang von ~B)erzeugen also eine räumliche Verschiebung von λ/4 und eine zeitliche Verschiebung vonT/4 = π/2ω zwischen den Maxima von ~E und ~B.

8.6.2 Hohlleiter

Elektromagnetische Wellen können mit Hohlleitern geführt werden. Dies sind Resonatorenmit offenen Endflächen: außer stehenden Wellen können auch fortschreitende Wellen inRichtung der offenen Enden erzeugt werden. Die Wellen sind senkrecht zu den Endenräumlich begrenzt.

Abbildung 8.5: Beispiel: Wellen zwischen zwei planparallelen leitenden Platten(1)

8.6.3 Lecherleitung

Elektromagnetische Wellen können sich auch entlang elektrisch leitenden Drähten aus-breiten. Man betrachte dazu die sog. Lecherleitung, die aus zwei parallelen, an einemEnde verbundenen Drähten besteht (symmetrische Doppelleitung). Führt man diese An-ordnung in das elektromagnetische Feld eines Hochfrequenzsenders, so bilden sich entlangder Doppelleitung laufende Wellen. Am geschlossenen Ende befindet sich ein Spannungs-knoten (Reflexion mit Phasenverschiebung π); es bilden sich somit stehende Wellen, diezu einer periodischen Spannung- und Stromverteilung führen. Durch eine verschiebbareGlimmlampe kann die Spannungsverteilung erkannt werden.

Abbildung 8.6: Links: Stehende Spannungswelle und stehende Stromwelle in einer Lecher-leitung; Rechts: Erkennung der Spannungsverteilung mittels Glühbirne(1)

Wird der Abstand d zwischen den Leitungen sehr klein gegen die Wellenlänge λ derstehenden Wellen, so sind die Ströme in den beiden Leitern gerade gegenphasig.

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8.6.4 Koaxialkabel

Ein gerader Draht, durch den ein hochfrequenter Wechselstrom fließt, wirkt wie einHertz’scher Dipol (siehe Kapitel 7.4). Der Energieverlust (abgestrahlte Leistung) ist pro-portional zur vierten Potenz von ω (siehe Gleichung 7.4.15). Bei Doppelleitungen sind dievon den beiden Leitern abgestrahlten Wellen um 90 verschoben und löschen sich daherdurch destruktive Interferenz aus. Ein noch besserer Weg zur Vermeidung von Abstrahl-verlusten erreicht man mit sog. Koaxialkabeln, die aus einem dünnen Innenleiter mitRadius a und einem koaxialen Außenleiter mit Radius b bestehen. Erdet man nun denAußenleiter, so ist das elektrische Feld innerhalb des Kabels radial nach außen gerichtet,und verschwindet außerhalb. Die Magnetfeldlinien sind konzentrisch um den Innenleiter.

Abbildung 8.7: Koaxialwellenleiter mit radialen elektrischen und kreisförmigen magneti-schen Feldlinien(4)

Ist nun L die Induktivität und C die Kapazität pro Meter Kabellänge, so ergeben sichfolgende Wellengleichungen für die Spannungen und Ströme

U = U0 sin(ωt− kz) I = I0 sin(ωt− kz − ϕ) (8.6.5)

deren Amplituden sich mit der Geschwindigkeit vPh = 1/√L · C ausbreiten. Der komplexe

Widerstand Z = U/I hängt von der Phasenverschiebung ϕ zwischen U und I ab. Es gilt:

tanϕ = Im(Z)Re(Z) (8.6.6)

Der reelle QuotientZ0 = U0/I0 =

√L/C (8.6.7)

heißt Wellenwiderstand. Um Reflexionen am Ende eines Koaxialkabels zu vermeiden, soll-te das Kabel mit einem Widerstand R = Z0 am Ende eingeschlossen werden. Für denWellenwiderstand des beschriebenen Koaxialleiters erhält man

ZL = 12π

õ0

ε0ln(b

a

)= Z0

2π ln(b

a

)(8.6.8)

wobei Z0 der Wellenwiderstand des Vakuums ist.

Z0 =õ0

ε0= 377 Ω (8.6.9)

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Abbildungsquellen(1) Hugel, Thorsten (2013): Vorlesungsskript Experimentalphysik 2, München

(2) hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/electric/gausur.html

(3) abi-physik.de/buch/das-elektrische-feld/braunsche-roehre/

(4) Demtröder, Wolfgang (2009): Experimentalphysik 2, Springer-Verlag, Berlin Heidelberg

(5) leifiphysik.de

(6) en.wikipedia.org/wiki/Magnetic_dipole

(7) de.wikipedia.org/wiki/Michelson-Interferometer

(8) sciencehsc.com.au/2015/05/13/einsteins-relativity-of-simultaneity

(9) elsenbruch.info/ph12_dipol.htm

(10) boundless.com/physics/

(11) ulfkonrad.de/physik/ph-10-trafo.htm

(12) abiweb.de

(13) chemgapedia.de

(14) commons.wikimedia.org/wiki

(15) Demtröder, Wolfgang (2013): Experimentalphysik 1, Springer-Verlag, Berlin Heidelberg

(16) schule.promathika.de/index.php?n=PhysikSkript.Kapitel12

(17) upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/a/a3/Gerader_leiter.svg/220px-Gerader_leiter.svg.png

(18) educentral.de

(19) math.upb.de/mathkit/Inhalte/ETechnikMuPAD/data/manifest5/spule_1.png

(20) upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/4c/Einweg_Zweiweg_Gleichrichtung.svg/440px-Einweg_Zweiweg_Gleichrichtung.svg.png

(21) de.wikipedia.org/wiki/Hochpass

(22) de.wikipedia.org/wiki/Tiefpass

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