前回までのあらすじ

もったいないおばけ

が出る……

GEBを読破できなかった人々の怨念が、円の中にうっすら浮かび上がっているという……。

これは危険だ

ついでに

みんなの

積読GEBも供養しよう！

G

Gödel

E

Escher

B

Bach

ゲーデル, エッシャー, バッハ

あるいは不思議の環

Gödel, Escher, Bach: An Eternal Golden Braid

第1回

「音楽の捧げもの」

序論 音楽=論理学の捧げもの

● バッハ『音楽の捧げもの』○ 対位法、カノンとフーガ

○ 「それ自身がひとつの大規模な知的フーガで、そのなかで数多くの着想や形式がからみあい、また

おどけた二重の意味や微妙な暗示が常套句になっているのだ」

● エッシャー○ 「『不思議の環』の概念を最も美しく力強く視覚化した」

○ 「描いている手と手」

● ゲーデル○ 不完全性定理

○ 数学における「不思議の環」

序論 音楽=論理学の捧げもの

● 本書自身について述べたメタ序論

● 本書が「音楽の捧げもの」であることを暗示している？

○ ゲーデルや数理論理学についての解説が難解だけれど、ゲーデルについては本編で詳しくやるの

で、ここでは流し読みで良いと思います。

● 「私は、ゲーデル、エッシャー、バッハという三本の永遠の黄金の組み紐を編もうと

した」

○ 永遠の黄金の組み紐=EGB

第1章 MUパズル

● 形式システムの紹介○ 「重要な点は、与えられた規則によらずには何もしてはいけない、ということである」

● M・I・U3種類の文字による文字列

● 公理○ 最初に与えられる文字列。ここでは「 MI」

● 生成規則(推論規則)○ 文字列を変えていく規則

○ 必ずこの規則に従うこと！ただし、適用する順序や位置は自由。

● 定理○ 生成規則によってできた新しい文字列

MUパズル

1. 末尾がIの場合、後ろにUを付けてよい。a. MI → MIUb. MIII → MIIIU

2. M〜という並び(〜はMの次から末尾まで)があれば、〜の部分を2倍に増やしてよ

い。a. MIU → MIUIUb. MIII → MIIIIII

3. Iが3文字続いていたら、Uに置き換えてよい。a. MIIIU → MUUb. MIIIIII → MIIIU でも MUIII でも可

4. Uが2文字続いていたら、そのU2文字を消してよい。a. MIUU → MIb. MIUUIU → MIIU

最初の文字列がMI

だとして、MU

が作れるか？

第2章 数学における意味と形

● pqシステム○ 私たちが日常的に扱っているもの (加法)と同型対応している形式システムの紹介

● 決定手続き○ 形式システムで作れる定理かどうかを確かめる手続き。

● 同型対応○ 形式システムが意味を持つ方法。

○ 現実世界の情報がそのまま形式システムに対応する。

○ 形式システムの解釈により対応付けが選ばれる。

pqシステム

● ハイフンは、MIUシステムのIで代用します。

1. 3種類の文字 p、q、― を使用する。

2. Xが―だけの列であるとき xp―qx― は公理である。

3. X、y、zがそれぞれ―だけの列であるとき、xpyqz が定理であれば、xpy―qz―も定

理である。

pqシステム

たったこれだけの規則で、足し算(加法)が表現できる！

決定手続き

● 形式システムで作れる定理かどうかを確かめる手続き。

● pqシステムであれば、生成規則を逆に辿っていくことでより短い定理に還元して確

かめられる。○ MUパズルではどうか?

● 下から上へ(ボトムアップ)○ 公理から生成規則を組み合わせて、目標の定理が作れるか確かめる

● 上から下へ(トップダウン)○ 目標の定理を分解し、公理まで還元できることを確かめる。

同型対応

● 形式システムが意味を持つ方法。

○ 現実と形式システムはそれぞれ独立している。どちらも単独で存在し得る。

● 現実世界の情報がそのまま形式システムに対応する。

○ 情報を保ったまま変換できることが条件。

○ 数学だけでなく、言葉の世界でも似たことが起こっていそう。

● 形式システムの解釈により対応付けが選ばれる。

○ 解釈にも何通りかあったりする。

○ 現実の2つ以上のものと対応する場合もある。

■ その場合、現実のものの間にも関係がある？