Culture,société et technique sec 4

Chapitre 3 : Faire le point

La géométrie analytique

Nom: Cci’Groupe:

Cours 1

1.1 Les accroissements

Pour un point A(xi, yi) et un point B(xz, y):

• I’accroissement des abscisses de A vers B est : t x X2 - Xi

(C’est Ia variation horizontale )• I’accroissement des ordonnées de A vers B est : t y y’z - yi.

(C’est Ia variation verticale )

Exercice : Soit les points 5 (-4, 6) et T (2, 3) determine:

I’accroissement des abscisses

LS)c XX

=

1T9

——————-

----

%— - - - — -

-— — — — —

——————-1 —

-

I’accroissement des ordonnées:

t:r: -9

3 -

=

1

1.2 La pente

La pente d’une droite (aussi nommé c. vcve ) est

rinclinaison qua cette droite par rapport a l’axe des abscisses dans un plan

cartésien. En connaissant po r14 s • on trouve Ia pente de Ia droite

passant par ces deux points a I’aide da Ia formule suivante:

o4 P Lc ,L

=

Exercices : Calculer Ia pente de Ia droite passant par Ies points suivants:

1. (-2, -3) et (4, -5)

_____

..a.xx

2. (5,8)et(2,8)

ci

___

0-5

+ 3. Accroissement des ordonnées -15 >

Accroissernent des abscisses 3 =

- Is

3

2

1.3 béterminer I’éguation dune droite connaissant un point et Ia pente

Nous recherchons tine equation de Ia forme c c + , c’est-à-d ire

I’équation d’une droite sous Ia forme fonctionnelle,

> a représente: 1 o. (( 4 ct* o r cd r)

> breprésente: Ir>lôré. .. tOiirif 1 vrAku ir1k.CLA lo.. ViL*r dt.

Procedure

Soit Ia droite : ax + b

1. Iemplacer << a>> par Ia pente donnée.

2. IempIacer le << x>> et le << y>> par les coordonnées du point donné.

3. Isoler << b >>.

Exercices

1. Trouver l’équatiori de Ia droite dont Ia pente est et passant par le point

(4,5). 46

5L4 46doc. u1x +3

-a .. a+

2. Trouver I’équation de Ia droite dont Ia pente est -4 et passant par le point

(-4,8). + 6Lf 6

11 4 6

bevoir : p. 131 a) du ai-je bien compris, p. 139 #1,p. 144 #la) du al-je bien compris, p. 152 #1, 2, 3a), #4 et #5

Mini-test au prochain cours I

3

Cours 2

2.1 béterminer I’éguation d’une droite connaissont deux points

Procedure

Soit Ia droite y ax ÷ b

1. Calculez Ia pente a I’aide de Ia formule: a:x1 —

2. Choisissez un des deux points. Rempkicez le <<x>> et le <<y>> par les

coordonnées du point choisi.

3. Isolez le << b >>.

4. Validez votre réponse a I’aide de I’autre point.

Exercice Trouvez I’équation de Ia droite passarit par les points suivants

a) (-3, 4) et (3,5)I

Lx 46

Xa. Xi

y2 aa

io

a

4

b) (2,4) et (-3,1)

S5

3’ ‘10

4‘I

3

S

2. Parml Its points suivants: A (3, 1) : B (el, 4) et C (-1, -8) , lequel

appartient a Ia droite y: 2x -6.

vt I A. 3.A

1-a.I

0

C,

C, t

S

4

5

Exemple : La droite y -5x - 7 est par&IèIe

a Ia droite lOx + 2y - 12 0, car us ont Ia

mme pente.

Remargue : beux droites qui ont Ia mime pente et ía mme ordorinée a Iorigine soritdes droites parallèles confondues,

2.2 Le passage dune forme d’éguation a une autre

Léquation dune droite peut aussi &écrire sous Ia forme générale,c1est-â-dire sous

ía fortne Ax + By + C 0. Pour Ia rarnener sous ía forme fonctionnelle,c1est-à-dire

sous Ia forme y: ax + b, ii vous suff it d’iso!er y.

Exercices : Trouvez I’équation fonctionnelle des droites suivantes

l.3x-4y-12O-3xia 2.x+2y+18tO

x-3

2.3 Les droites parallèles

beux droites parallèles ne se coupent . Cette propriété

géométrique se mariifeste par le fait que les deux droites ont Ia mme per+e_

\‘3\

\\c

: \ \

6

2.4 Les droites perpendiculaires

beux droites perpendiculaires se couperit a

______________________________

Cette

propriété géométrique Se monifeste algébriquement par le fait que Ies pentes des

deux droites sont opposes (de signe contraire) et inverses, Ainsi, en multipliant ces

deux pentes le résultat est égcile -1.

Exemple : Soit Ies deux droites suivantes: yi -5x - 4 et y + 2, sont-elles

perpendiculaires?

Exercices

1. bétermine deux autres equations de droites parallèles a celle-ci y = 3x - 8

2. bétermine deux autres equations de droites perpendiculaires a celle-ci

y = + 5

bevoir : p. 144 #lb) et p. 146 a) du ai-je-bien compris

p. 152 #3b), #6, #7a), #8a), p. 159 le al-je bien compris,

p. 162 # 1-2-3b)-4 et #6 (important)Mini-test #2 au prochain cours

7

Cours 3

3.1 La distance entre deux points

La distance entre un point A et un point B correspond a Ia I oeu

du segment reliant ces deux points. Cette Iongueur s’exprime par un nombre positif.

On peut calculer Ia distance dentre un point A (Xi, yi) et B (X2, y2) a Iaide de Ia

formule suivante.

B(15, 12)

.............:.:

I (ccrci

de re’)

I •ra Ur L

tc

-Th

ci LA’)

a= +

azX +

/

dLVoici d’oà vient cette formule:

A(3,

8

Exercices : Calculez to distance entre les points donnés.

1 A (8, 11) ett-13, 11))CZ

d L A JS:-)l

SccJcr eêe ts4 d. 5,

-+ I cLcrc

.ses de- ,

2. (-6, -5) et(9, 4)

d( C, D) + (-9

\I (

F— 1

V 15a

-I

dLAzJ*I1

$,5L

3.2 Le point milieu

Les coordonnées du point milieu du segment AB sont données par les formules

suivantes:

)(ry )(+)(‘) e.4 ‘jh.a

B(X2,

(xm, ym)

9

Exercice

Trouvez le point milieu du segment AB si

c) A(-6, 9) et B(1. -3)

____

j

____

jrr4cp 3)

d) A(O, -5) et B (8, -9)

)<rr4: Q4

44

I

Rep: (9 -i)

bevoir : p. 133 # 1-2 du ai-je bien compris

p. 139 #2-3-4-6a)b)c)d)

Mini-test # 3 au prochain cours

Cours 4

Rappel

Médiane: bans un triangle, crest un segment reliant un sommet au milieu du

c8té oppose.

Ex:

> (& ccL dA

10

• Médiatrice : Droite perpendiculaire a un segment et passant par son milieu.

Ex: 1) sur un segment: I

2) bans un triangle:

Voc. let

dL j3c

Hauteur: Segment abaissé perpendiculairement d’un sommet a sa base.

Ex: 1. ic

• bans un triangle équilatéral ou isocèle, Ia hauteur est a Ia fois une médiane et

une médiatrice (ainsi qu’une bissectrice)A

Ex: Voici un triangle isocèle: erce d E

4.

iS L%’ L

11

Exercices:

#1 Trouvez Iéquation de Ia édiatrice du segment AB ci-de.ssous:

A(2,y

B(6, 8)

3

12

‘I)

EV

)o

j,

‘I,

CEo

‘)£

c

CC

)0

o+

-C

cici

0-

C)C)

—C

C)

Uci-

,-C

)

C)--

0-4-

-C

)CC

j4-

,)C)

C)

4-Lci

CV)

Cci4-C

c.’J34:

r

II:‘-I

4-Cci

4-L0E0’

14:000%•1-C

)

Co

x

---

*--

:s

*

—*

**

**

*

*—

%*

.—

**

*—

*

——

——

Cv)

‘-4

——

*-—

--—

%.

——

--—

-

‘I

*-

—-

-—

--

——

--

—-

-—

14:

0>C)‘:3

Cours 5

5.1 Le point de portage

Soit le segment AB:

A (x

(X2, y2)

Le point P partage le segment AB dans un rapport r = rL..ra

Alors les coordonnées du point P sont

x rX : rja 4ra

r r 4ta

Exerc ices

1. bonriez le rapport r sachant que P est situé aux-

a partir de A.

k÷

2. bonnez le rapport r -fl-— sachant que P est situé aux 3/5 a partir de A.

14

3. Trouvez les coordonriées du point qui portage le segment AB dons

____

ja partir deA. Voici les coordonnées des points A et B A(-2, 5) et B(3, 8)

jo’r r

(U3

r3+Ci r% +f

•-z + 4445

s+4 34-44

I3: ii

‘4’4

4. Trouvez es coordorinées du point situéoux2/3du segment AG a portirdeB.

Voici Ies coordonnées de A et B : A(-4, 6) et B(1, 2)xa.

r a

x 4- r •t3 4-

+ .aU

4I

3 3

../—] jL.

rt? —15 ‘ 3

5. Les points P. Q et R sont des points dii segments de droite MN iHustré ci

dessous.

> I.e point P est situé a mi-chemin entre es points M et N.

> LepointQestsituéoux5/6dusegmentMN,etceàpartirdeM.

) LadistonceentrelespointsRetMestledoubledelodistanceentreles

points It et N.

Partni kspointsP,QetRkqudestIepIusprIsdup&ntNP

It p+

bevoir: p. 133#3etp. l3SduaI-Jebiencomprls

p. 140#10, 11. 13et14

MIni-test #4 oti Pc1COWS

16

4

C c ø. dLA,C- d b\ i

%4

a :L

-‘1

c) ‘t€v;c;c’

c1o ih

So4 prLte

Cours 6

6.1 Les propriétés d#objets péométrigues

La géométrie analyfique permet de démoritrer ou de verifier certaines propriétés

dobjets géométriques.

Exercices

1. Montrez que les diagonales dun carré sont isométriques et perpendiculaires.

—i) dtAc A C

A

\./

. f R D’ ( f c 4

dtSb +

xa -X

-4

V r w -

17

2, Montrez que le quadrilatère représenté par les points suivarits A(213); B(6, 1)

C(2, 6) et b(6, 4) est un parallélogramme:L

-

—:ç — — — — —

‘

rs - - — -

- — - — - .—

bevoir : p. 160 le ai-je bien compris

P. 163 # 8

Commencer les exercices préparatoires p.155 #16, #17, 18

18

Cours 7 et 8

Exercices préparatoires : p. 140 #12, 16, 17, 18, 19

p.164 # 1-2-3-4-5-6-8-10-11-12-13-16-17-20

Faire un résumé

Cours 9

Examen toute a période

bébut des exercices préparatoires a I’examen d’étape 1 (vous aurez droit aune demi-feuille aide-mémoire pour I’exameri d’étape 1)

19