guía de método numérico e informatica
DESCRIPTION
guíaTRANSCRIPT
REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELAMINISTERIO DEL P.P.P LA EDUCACIÓN UNIVERSITARIA
UNIVERSIDAD BOLIVARIANA DE VENEZUELAPROGRAMA DE FORMACIÓN DE GRADO EN HIDROCARBURO
MATURÍN-MONAGAS
GUÍA DE MÉTODO NUMÉRICO E INFORMATICO
Ecuación Diferencial: una que contiene las derivadas de unas o más variables independientes y una o más variables dependientes, es una Ecuación Diferencial (E.D).
Estas se clasifican según:
Su Tipo: si una ecuación contiene solo derivadas ordinarias de una o más variables dependiente
con respecto a una o más variables independiente se llama ecuación diferencial ordinaria
(E.D.O), denotado pordydx,d2 yd x2
,d3 yd x3
,d 4 yd x4
,…. ,dn yd xn
o y , , y , , , y ,, , , y4 ,……, yn
Toda ecuación diferencial tiene por lo menos una variable dependiente que se ubica en el numerador, y tambien por lo menos una variable independiente que se ubica en el denominador.
Ejemplo:
dydx
+5 y=ex ; d2 yd x2
−dydx
+6 y=0 ; dxdt
+ dydt
=2 x+ y
Esta ultima contiene 2 variables dependiente que son “X” y “Y”, y una variable independiente “T”
si una ecuación con derivadas parciales de una o más variables dependientes con respecto a una o más variables independientes se llama ecuación diferencial parcial
(E.D.P), denotado por ∂2u∂ x2
=∂2u∂ t 2
−2 ∂u∂ t
o Uxx = Utt – 2Ut
Ejemplo:
∂2u∂ x2
+ ∂2u∂ y2
=0 ; ∂2u∂ x2
=∂2u∂ t 2
−2 ∂u∂ t
; ∂u∂ y
=∂u∂ x
El Orden y Grado: El orden de una E.D ya sea E.D.O ó E.D.P es el orden de la derivada Mayor de la
ecuación. El grado lo indica el exponente Mayor de las derivadas y la variable dependiente de dicha
ecuación.
Ejemplo:
d2 yd x2
+5( dydx )3
−4 y=ex ; esta ecuación es E.D.O, orden 2 porque la derivada Mayor es la
segunda derivada ( d2 yd x2
), grado 3 porque el exponente Mayor es ( dydx )3
La Linealidad:Se dice que una E.D.O de orden “n” es lineal cuando se haya:
An(X)Yn + a(n-1)(X)Y(n-1) +……+ a2(X)Y , , + a1(X)Y , + a0(X)y – g(x) = 0
Hay 2 casos especiales importante de la función anterior son las E.D lineales
1. De primer orden (n = 1): a1(X)Y , + a0(X)y = g(x)
2. De segundo orden ( n = 2 ): a2(X)Y , , + a1(X)Y , + a0(X)y = g(x)
Las E.D lineales tienen 2 caracteristicas:
1. La variable dependiente “Y” y todas sus derivadas y , , y , , , y ,, , , y4 ,……, yn son de primer
grado.
2. Los coeficientes a0 , a1 , a2 ,…., an de y , y , , y , , , y ,, , , y4 ,……, yn depende solo de la
variable independiente “X”
Nota: las funciones no lineales de las variables dependientes o sus derivadas tales como
sin ( y ) ó e y,
, no pueden estar en una E.D linea.
Ejemplo:
1. (y – x)dx + 4xdy = 0 , es una E.D lineal porque cumple con las 2 caracteristicas.
2.d3 yd x3
+x dydx
−5 y=ex , es una E.D lineal porque cumple con las 2 caracteristicas.
3. (1− y ) y ,+2 y=ex , no es una E.D lineal porque no cumple con la segunda
caracteristica de una E.D lineal.
4.d2 yd x2
+sin ( y )=0 , no es una E.D lineal porque hay una funcion no lineal que contiene
la variable dependiente “Y” ( sin ( y ) ).
5.d4 yd x4
+ y2=0 , no es una E.D lineal porque no cumple con la primera caracteristica de
una E.D lineal.
Ejercicios:Clasificar las siguientes E.D de la siguiente manera: variable independiente, variable dependiente, tipo de E.D, orden, grado y linealidad.
1) x2dydx
+( dydx )2
=0, vi: “X”, vd: “Y”, E.D.O, orden 1, grado 2 y no es lineal.
2) d2 y
d x2=3 x [1+( dydx )
2]32; 3) e
d3 yd x3=x dy
dx ; 4)
d3 yd x3
+ 2 yd3 yd x3
=2 x ; 5)
log( dydx )+log (x2 )=2 y
6) x2d2 yd x2
−x dydx
+ y=3x3 ; 7) ∂4 z∂ x4
−( ∂2 z∂ x2 y )2
=0 ; 8) ∂ z∂ y
+x ∂ z∂ x
= y
Ecuaciones de variables separables y separadas de primer orden:Las ecuacines de primer orden que pueden resolverse por integración es la formada por aquellas que son separables.
Una E.D de primer orden: dydx
=f (x , y ) es separable si la función f (x , y ) se puede escribir como
un producto de una función de “X” y una función de “Y” es decir: dydx
=h ( x ) . g(x )
Ejemplo:
1)dydx
= y2cos ( x ) , y≠ 0
→ dy
y2=cos ( x )dx se paso y2 a dividir al 1er miembro que esta multiplicado en el 2do
miembro.
→ ∫ dyy2
=∫cos (x )dx se le aplica integral ha ambos miembros de la ecuación luego de
separar las variables.
→ −1y
=sin ( x )+C resultado de las integrales.
→ y=−1
sin ( x )+C despeje de la variable “Y”
2) (x y2− y2+x−1 )dx+(x2 y−2xy+x2+2 y−2 x+2 )dy=0
→ [ y2 ( x−1 )+( x−1 ) ]dx+ [ y ( x2−2x+2 )+(x2−2 x+2 ) ]dy=0 en la 1er función se hace
factor común “y2” y para la 2da función se hace factor común “Y”.
→ ( x−1 ) ( y2+1 )dx+(x2−2 x+2 ) ( y+1 )dy=0 en la 1er función se hace factor común “
( x−1 )” y para la 2da función se hace factor común “(x2−2 x+2 )”.
→ (x2−2 x+2 ) ( y+1 )dy=−( x−1 ) ( y2+1 )dx se traslada ( x−1 ) ( y2+1 )dx que esta en el 1er
miembro al 2do miemdro con signo contrario.
→ ( y+1 )dy( y2+1 )
=− ( x−1 )dx(x2−2 x+2 )
se paso (x2−2 x+2 ) que esta en el 1er miembro multiplicando al
2do miembro dividiendo, y tambien se paso ( y2+1 ) que esta en el 2do miembro multiplicando al
1er miembro dividiendo.
→ ∫ ( y+1 )dy( y2+1 )
=∫ −( x−1 )dx(x2−2 x+2 )
se le aplica integral en ambos miembros de la ecuación.
→ ∫ ydy
( y2+1 )+∫ dy
( y2+1 )=∫ − (x−1 )dx
(x2−2 x+2 ) se separo la integral de el 1er miembro.
→ ln ( y2+1 )2
+ tan−1 ( y )=−ln (x2−2 x+2 )2
+C resultado de las integrales.
→ ln ( y2+1 )2
+ln (x2−2 x+2 )
2=−tan−1 ( y )+C se traslada tan−1 ( y ) que esta en el 1er
miembro al 2do mimbro cambiando de signo, y tambien se traslada ln (x2−2 x+2 )
2 que esta en
el 2do miembro al 1er mimbro cambiando de signo.
→ ln ( y2+1 )+ ln ( x2−2x+2 )=−2 tan−1 ( y )+C se multiplico por 2 la ecuación.
→ ln [ ( y2+1 ) (x2−2 x+2 ) ]=−2 tan−1 ( y )+C propiedad de logaritmo.
→ ( y2+1 ) (x2−2 x+2 )=e−2 tan−1 ( y )+C se aplico la inversa del logaritmo natural.
→ ( y2+1 ) (x2−2 x+2 )=ec e−2 tan−1 ( y ) se aplico propiedad de potencia.
→ ( y2+1 ) (x2−2 x+2 )e2 tan−1 ( y )=K se transformo ec por K y se despejo la misma.
Ejercicios:
1) x2 y ,+ y2=0 ; 2) dydx
=2x √ y−1 ; 3) dydx
= xy+3 x− y−3x y−2 x+4 y−8
; 4) dydx
=sin (5 x ) ;
5) dydx
=( x+1 )2 ; 6) dx+e3x dy=0 ; 7) dx+x2dy=0 ; 8) ( x+1 ) dydx
=x+6
9) exdydx
=2x ; 10) x y ,=4 y ; 11) dydx
+2 xy=0 ; 12) dydx
= y3
x2 ; 13)
dydx
= y+1x
;
14) dxdy
= x2 y2
1+x ; 15)
dxdy
= 1+2 y2
y sin ( x ) ; 16)
dydx
=e3x+2 y ; 17) exdydx
=e− y+e−2x− y ;
18) (4 y+ y x2 )dy−(2x+x y2 )dx=0 ; 19) (1+x2+ y2+ x2 y2 )dy= y2dx ;
20) 2 y (x+1 )dy=xdx ; 21) x2 y2dy=( y+1 )dx ; 22) y ln ( x ) dxdy
=( y+1x )2
;
23) dydx
=( 2 y+34 x+5 )2
; 24) ( sec (x ) )2dy+csc ( y )dx=0 ; 25) sin (3 x )dx+2 y (cos (3 x ) )3dy=0
;
26) e y sin (x )dx+cos ( x ) (e2 y− y )dy=0 ;
Ecuación diferencial lineal de primer orden:
La ecuación de la forma a1(X)dydx
+ a2(X)y = h(X) (1). En donde a1(X), a2(X) y h(X) son
funciones continuas en un intervalo I y a1(X) ≠ 0 en I (Normal, una ecuación es normal cando
el coeficiente principal no se anula en ningún punto de I), luego podemos escribir la ecuación
(1) de laforma dydx
+a2(X)a1(X)
y=h(X )a1(X )
y si hacemos a2(X )a1(X )
=p(x ) y h(X )a1(X )
=q (x)
tenemos que: dydx
+ p (x) y=q (x) (2).
Ahora la solución de la ecuación esta representada como Y ( x )=Yh ( x )+Yp(x ) , en donde
Yh ( x ) es la solución Homogénea asociado con: dydx
+ p (x) y=0donde su solución es:
dydx
+ p (x) y=0
→ dydx
=−p(x ) y , se traslado p(x ) y que estaba en el 1er miembro sumando para el 2do con
signo contrario.
→ dyy
=−p(x )dx , se traslado dx que estaba en el 1er miembro dividiendo para el 2do
miembro a multiplicando y tambien se traslado “y” que estaba en el 2do mienbro multiplicando para el 1er dividiendo.
→ ∫ dyy =−∫ p(x )dx , se aplica integral en ambos miembros.
→ ln ( y )=−∫ p ( x )dx+C , solución de la integral que esta en el 1er miembro.
→ y=e−∫ p ( x )dx+C , se aplico la inversa del logaritmo natural en ambos miembros.
→ y=ec e−∫ p ( x )dx , se aplico propiedad de potenciación.
→ Yh(x )=K e−∫ p ( x )dx , se transformo ec por K y esta es la solución Homogénea de la
ecuación.
Yp(x) es una solución particular donde supangamos que fuera posible encontrar una función μ(x) continua en todos los puntos de I tal que:
d [μ( x) y ]dx
=q(x )μ (x) , se parte de esta ecuación para hallar la solución particular donde
conocemos quien es q(x) pero no conocemos a μ(x) (μ(x) se llama mi o mu de “x” ó factor
integante) pero se puede calcular de μ(x) por la siguiente ecuación: μ ( x )=e∫ p ( x )dx
d [μ( x) y ]dx
=q(x )μ (x)
→ d [ μ(x) y ]=q(x )μ(x )dx , se traslado dx que estaba en el 1er miembro dividiendo para el
2do miembro a multiplicando.
→ ∫ d [ μ(x ) y ]=∫ q(x )μ (x)dx , se aplico integral en ambos miembros.
→ μ ( x ) y=∫ q(x )μ (x)dx , solución de la integral que esta en el 1er miembro.
→ y=1μ ( x )∫ q( x)μ (x)dx , se traslado μ ( x ) que estaba en el 1er miembro multiplicando
para el 2do miembro a dividir.
→ Yp(x)=e−∫ p ( x )dx∫q (x)e∫ p ( x )dxdx , se cambio μ ( x ) por e∫
p ( x )dx y esta es la solución
particular.
problema de valor iniciales:
Teorema: sea L un operador diferencial lineal normal de primer orden definido en un intervalo I, y sea X0 un punto cualquiera en I. entonce para todo numero real Y0 el problema de valor inicial L(y) = H(x) y Y(x0) = y0 tiene al menos una solución.
Teorema: todo problema de valor inicial con respecto a un operador diferencial lineal normal de primer orden tiene cuando más una solución.
Ejemplo:
1) x y ,+ y=ex , con y(1) = 1
→ xdydx
+ y=ex , se cambio y , por dydx
→ dydx
+ yx= e
x
x , se dividio la ecuación por “x”
Solución homogénea:
→ dydx
+ yx=0 , se iguala a cero el 1er miembro.
→ dydx
=− yx
, se traslado yx
que estaba en el 1er miembro sumando para el 2do miembro
cambiandole el signo.
→ dyy
=−dxx
, se traslado dx que estaba en el 1er miembro dividiendo para el 2do miembro a
multiplicando y tambien se traslado “y” que estaba en el 2do mienbro multiplicando para el 1er dividiendo.
→ ∫ dyy =−∫ dxx , se aplico integral en ambos miembros.
→ ln ( y )=¿−ln (x )+C ¿, el resultado de las 2 integrales respectivamente.
→ y=e−ln (x )+C , aplicando la inversa del logaritmo natural que ”e”.
→ y=ec e ln (x−1) , se aplico propiedad de potenciación y de logaritmo.
→ Y=K x−1 , se transformo ec por K y se cancelan el logaritmo natural con el exponencial
por ser mutuamente inversa la una de la otra. Solución (a)
→ 1=K (1 )−1 , se sustituye las variebles “x” y “y” por sus valores correspondientes que nos
dan en las calores iniciales.
→ K=1 , se despejo K.
→ Yh(x )=1x−1 , se sustituye el valor de K en la solución (a) y nos genera la solución
homogénea.
Solución particular:
dydx
+ yx= e
x
x , recordando que la ecuación general de una E.D.O lineal es
dydx
+ p (x) y=q (x)
y de aca se puede saber cual es el valor de p(x) = 1x
, q(x) = ex
x .
Recordemos que para buscar la solución particular se debe empezar con la formula
d [μ( x) y ]dx
=q(x )μ (x) ya se conoce el valor de q(x) pero no se conoce lo que equivale el
factor integrante (μ(x ) ) que se halla por la siguiente formula:
μ ( x )=e∫ p ( x )dx
→ μ ( x )=e∫ 1x dx , se cambia p(x) por
1x
→ μ ( x )=e ln ( x ) , se integro.
→ μ ( x )=x , se cancelan el logaritmo natural con el exponencial por ser mutuamente inversa.
d [μ( x) y ]dx
=q(x )μ (x)
→ d [x y ]dx
= ex
xx , se sustituyo μ(x ) y q(x) por sus valor correspondiente.
→ d [ x y ]=e xdx , se traslado dx que estaba en el 1er miembro dividiendo para el 2do miembro
a multiplicando y se cancelaron las “x” que una estaba multiplicando y la otra dividiento.
→ ∫ d [ x y ]=∫ exdx , se aplico integral en ambos miembros.
→ x y=ex+C , resultados de las integrales respectivamente.
→ y= ex
x+Cx
, se traslado la “x” que estaba en el 1er miembro multiplicando para el 2do
miembro a dividir. solución de (2)
→ 1= e1
1+C1
, se sustituye las variebles “x” y “y” por sus valores correspondientes que nos
dan en las calores iniciales.
→ 1−e1=C , se traslado e1 que esta en el 2do miembro sumando al 1er miembro con signo
contrario.
→ C=−1,72 , solución de la operación que estaba en el 1er miembro.
→ Yp(x)=ex
x+−1,72
x , se sustituye el valor de C en la solución (b) y nos genera la solución
particular.
Solución general:La solución de una E.D.O lineal esta dada por:
Y ( x )=Yh ( x )+Yp(x ) por lo tanto solo sutituimos las soluciones homogénea y particular por su
valor correspondiente.
Y ( x )=1x−1+ ex
x+−1,72
x .
2) xdydx
−3 y=x5
→ dydx
−3 yx
=x4 , se dividio la ecuación por “x”.
Solución homogénea:
→ dydx
−3 yx
=0 , se iguala el 1er miembro a cero.
→ dydx
=3 yx
, se paso 3 yx
que estaba en el 1er miembro que estaba restando para el 2do
miembro cambiandole el signo.
→ dyy
=3dxx
, se traslado dx que estaba en el 1er miembro dividiendo para el 2do miembro a
multiplicando y tambien se traslado “y” que estaba en el 2do mienbro multiplicando para el 1er dividiendo.
→ ∫ dyy =∫ 3dxx , se aplico integral en ambos miembros.
→ ln ( y )=3 ln (x )+C , solución de las integrales que estan en ambos miembros.
→ y=e3 ln ( x ) +C , se aplica la inversa del logaritmo natural que es “e”.
→ y=ec e ln (x3 ) , se aplico propiedad de potenciación y de logaritmo.
→ Yh(x )=kx3 , se transformo ec por K y se cancelan el logaritmo natural con el exponencial
por ser mutuamente inversa la una de la otra. Es la solución homogénea.
Solución particular:
dydx
−3 yx
=x4 , recordando que la ecuación general de una E.D.O lineal es
dydx
+ p (x) y=q (x) y de aca se puede saber cual es el valor de p(x) = −3x
, q(x) = x4 .
Recordemos que para buscar la solución particular se debe empezar con la formula
d [μ( x) y ]dx
=q(x )μ (x) ya se conoce el valor de q(x) pero no se conoce lo que equivale el
factor integrante (μ(x ) ) que se halla por la siguiente formula:
μ ( x )=e∫ p ( x )dx
→ μ ( x )=e−∫ 3x dx , se cambia p(x) por
−3x
→ μ ( x )=e−3 ln ( x ) , se integro.
→ μ ( x )=e ln (x−3) , propiedad de logaritmo.
→ μ ( x )=x−3 , se cancelan el logaritmo natural con el exponencial por ser mutuamente
inversa.
d [μ( x) y ]dx
=q(x )μ (x)
→ d [x−3 y ]dx
=x4 x−3 , se sustituyo μ(x ) y q(x) por sus valor correspondiente.
→ d [ x−3 y ]=xdx , se traslado dx que estaba en el 1er miembro dividiendo para el 2do
miembro a multiplicando y se aplico rpoducto de igual base.
→ ∫ d [ x−3 y ]=∫ xdx , se aplico integral en ambos miembros.
→ x−3 y= x2
2+C , resultados de las integrales respectivamente.
→ y= x2
2 x−3+ cx−3
, se paso x−3 que estaba en el 1er miembro multiplicando para el 2do
miembro a dividir.
→ Yp (x)= x5
2+cx3 , se aplico divición de igual base y la propiedad inversa. Es la solución
particular.
Solución general:La solución de una E.D.O lineal esta dada por:
Y ( x )=Yh ( x )+Yp(x ) por lo tanto solo sutituimos las soluciones homogénea y particular por su
valor correspondiente.
Y ( x )=kx3+ x5
2+cx3 .
Ejercicios:
1) 2 xdy=(2 x3− y )dx , 2) y , ( sec ( y ) )2+ x tan ( y )x2+1
=x , 3) x2 y , ,+2 x y ,=2 ,
4) dx−dy (x+ ln ( y ) )=0 , 5) y ,+ ycos ( x )=e−sin (x ) , 6) 3 xydx=sin (2 x )dx−dy ,
7) y ,+2xy+¿ e− x2
, 8) cos (x )dx−4sin ( x )dy= y2dy , 9) dx+xdy
√1− y2=earc cos( y ) dy ,
10) dydx
+ y=e3x , 11) y ,+2xy=x3 , 12) (x+4 y2 )dy+2 ydx=0 ,
13) xdy=( x sin ( x )− y )dx , 14) dydx
+ ycot ( x )=2cos ( x ) ,
15) (cos ( x ) )2sin ( x )dy+( y (cos ( x ) )3−1) dx=0 , 16) ydx−4 (x+ y6 )dy=0 ,
17) dydx
+ y=1−e−2x
ex+e− x , 18) y ,+ y tan ( x )=(cos ( x ) )2 , 19) ( x+1 ) dy
dx+ y=ln ( x ) ,
20) x y ,+2 y=4 x2 , 21) y ,− y=2 x e2 x ,
Ecuaciones Homogéneas:
Si una ecuación en la forma diferencial M(x,y)dx + N(x,y)dy =0 y tiene la propiedad M(tx,ty) = tnM(x,y) y N(tx,ty) = tnN(x,y) decimos que tiene coeficientes Homogéneos o que es una ecuación Homogénea.
Def: se dice que F(x,y) es una función Homogénea de grado n, si para algún número real n, ocurre que F(tx,ty) = tnF(x,y), y el grado de la función la indica el valor de “n”.
Ejemplo: verificar si las siguientes funciones son Homogéneas.
1) f ( x , y )=x−3√ xy+5 y ,
→ f ( tx ,ty )=tx−3√txty+5 ty , por definición se le aplica t a la función es decir, que donde
este las variables “x” y “y” se le multipica por “t”.
→ f (tx ,ty )=tx−3√t 2 xy+5 ty , multiplique las “t” que estan en la raiz cuadrada.
→ f (tx ,ty )=tx−3 t √xy+5 ty , propiedad de radical.
→ f (tx ,ty )=t (x−3 √xy+5 y ) , se aplico factor común.
→ f (tx ,ty )=tf (x , y ) , se sustituyo por la representación de la función. Como nos da que
f (tx ,ty )=tf (x , y ) entonce la funcion es Homogénea de grado “1”
2) f ( x , y )=√ x3+ y3 ,
→ f (tx ,ty )=√ t3 x3+ t3 y3 , por definición se le aplica t a la función es decir, que donde este
las variables “x” y “y” se le multipica por “t”.
→ f (tx ,ty )=√ t3 (x3+ y3 ) , se aplico factor común.
→ f (tx ,ty )=√ t3√ x3+ y3, propiedad radical.
→ f ( tx ,ty )=t32 f (x , y ) , se sustituyo por la representación de la función y se propiedad de
potencia. Como nos da que f ( tx ,ty )=t32 f (x , y ) entonce la funcion es Homogénea de grado “
32
”.
Ejercicios:
1) f ( x , y )=3 x+5 y−1 , 2) f ( x , y )=sin( xy )+ tan( yx ) , 3) f ( x , y )= x+ yx2
Método para resolver una ecuación Homogénea:Para resolver las ecuaciones homogéneas se hace un cambio que es x= vy ó y= vx y su diferencial dx= vdy +ydv ó dy = vdx +xdv nos queda una ecuación de variable separable.
Ejemplo:
1) (2 y−x )dy− ydx=0 hallar la solución de la ecuación y para eso debemos verificar si la
ecuación es homogénea o no, aplicandole “t” a las funciones M(x,y) =− y y N(x,y) = 2 y−x
y vereficar si las dos funciones tienen el mismo grado
a¿ M(tx,ty) =−ty , la función es homogénea y de grado “1”.
b¿ N(tx,ty) = 2 yt−xt , se aplico “t” a la función N(x,y).
→ N(tx,ty) = t (2 y−x ), se aplico factor común y nos da que la función es homogénea y de
grado “1”.
Como las funciones M(x,y) y N(x,y) son homogéneas y del mismo grado entonce la ecuación
(2 y−x )dy− ydx=0 es homogénea. Ahora se debe hacer un cambio de variable, se puede
cambiar cualquiera de las variables “x” ó “y”.Nota: escojan la variable que indica el diferencial de la función más sencilla.
En este caso como la función más sencilla es M(x,y) =− y y el diferencial que lo acompaña es
“dx” entonce la variable donde se le aplicara el cambio es “x” y el cual es x= vy y dx= vdy + ydv.
(2 y−x )dy− ydx=0
→ (2 y−vy )dy− y (vdy+ ydv )=0 , se aplico el cambio correspondiente
→ (2−v ) ydy− yvdy− y2dv=0 , se aplico factor común “y” y propiedad distributiva.
→ (2−v−v ) ydy= y2dv , se aplico factor común “ydy” y se traslado “y2dv” que estaba
restando en el 1er miembro restando al 2do miembro con signo contrario.
→ ydy
y2= dv
(2−2v ) , se traslado “(2−2v )” que estaba restando en el 1er miembro
multiplicando al 2do miembro dividiendo y también se traslado “y2” que estaba restando en el
2do miembro multiplicando al 1er miembro dividiendo.
→ ∫ dyy =12∫
dv(1−v )
, se aplico integral en ambos miembros.
→ ln ( y )=−12ln (1−v )+C , los resultados de las integrales respectivamente.
→ e ln ( y )=e−12ln (1−v )+C , se aplica la inversa del logaritmo natural que es “e”.
→ e ln ( y )=ece ln((1− v )
−12 ) , se aplico propiedad de logaritmo y de potencia.
→ y=K (1−v )−12 , se transformo ec por K y se cancelan el logaritmo natural con el
exponencial por ser mutuamente inversa la una de la otra. Y ya tenemos la solución de la
ecuación: (2 y−x )dy− ydx=0 y la solución es y=K (1−v )−12 .