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8/19/2019 IC991572 water marking

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T H E O R Y O F W A V E L E T T R A N S F O R M O V E R F I N I T E F I E L D S

F . F e k r i , R . M . M e r s e r e a u , R . W . S c h a f e r

C e n t e r f o r S i g n a l & I m a g e P r o c e s s i n g

G e o r g i a I n s t i t u t e o f T e c h n o l o g y

A t l a n t a , G A 3 0 3 3 2

A B S T R A C T

I n t h i s p a p e r , w e d e v e l o p t h e t h e o r y o f t h e w a v e l e t t r a n s -

f o r m o v e r G a l o i s e l d s . T o a v o i d t h e l i m i t a t i o n s i n h e r -

e n t i n t h e n u m b e r t h e o r e t i c F o u r i e r t r a n s f o r m o v e r n i t e

e l d s , o u r w a v e l e t t r a n s f o r m r e l i e s o n a b a s i s d e c o m p o s i t i o n

i n t h e t i m e d o m a i n r a t h e r t h a n i n t h e f r e q u e n c y d o m a i n .

F i r s t , w e c h a r a c t e r i z e t h e i n n i t e d i m e n s i o n a l v e c t o r s p a c e s

f o r w h i c h a n o r t h o n o r m a l b a s i s e x p a n s i o n o f a n y s e q u e n c e

i n t h e s p a c e c a n b e o b t a i n e d u s i n g a s y m m e t r i c b i l i n e a r

f o r m . T h e n , b y e m p l o y i n g a s y m m e t r i c , n o n - d e g e n e r a t e ,

c a n o n i c a l b i l i n e a r f o r m w e d e r i v e t h e n e c e s s a r y a n d s u -

c i e n t c o n d i t i o n t h a t b a s i s f u n c t i o n s o v e r n i t e e l d s m u s t

s a t i s f y i n o r d e r t o c o n s t r u c t a n o r t h o g o n a l w a v e l e t t r a n s -

f o r m . F i n a l l y , w e g i v e a d e s i g n m e t h o d o l o g y t o g e n e r a t e

t h e m o t h e r w a v e l e t a n d s c a l i n g f u n c t i o n o v e r G a l o i s e l d s

b y r e l a t i n g t h e w a v e l e t t r a n s f o r m t o a t w o c h a n n e l p a r a u n i -

t a r y l t e r b a n k . O n l i n e r e l e v a n t i n f o r m a t i o n c a n b e f o u n d

a t h t t p : w w w . e e . g a t e c h . e d u u s e r s f e k r i .

1 . I N T R O D U C T I O N

F i l t e r b a n k s , a n d t h e w a v e l e t t r a n s f o r m h a v e e s t a b l i s h e d

t h e m s e l v e s a s p o w e r f u l t o o l s i n t h e a n a l y s i s o f s i g n a l s a n d

i m a g e s w h e n t h e s e o b j e c t s a r e v i e w e d a s s e q u e n c e s o v e r r e a l

o r c o m p l e x e l d s . R e c e n t l y , t h e e x t e n s i o n o f t h e w a v e l e t

t r a n s f o r m t o t h e s i t u a t i o n i n w h i c h t h e c o m p l e x e l d i s

r e p l a c e d w i t h a n i t e e l d h a s b e c o m e o f i n t e r e s t . I n 1

t h e a u t h o r s s h o w t h a t u n l i k e t h e r e a l e l d c a s e , t h e r e i s n o

c o m p l e t e f a c t o r i z a t i o n t e c h n i q u e f o r p a r a u n i t a r y F B o v e r

G F p , f o r p a p r i m e . R e l y i n g o n t h e F o u r i e r t r a n s f o r m

d e n e d o v e r G F p

r

, t h e a u t h o r s o f 2 c o n s t r u c t a w a v e l e t

t r a n s f o r m f o r n i t e d i m e n s i o n a l s e q u e n c e s p e r i o d i c s e q u e n -

c e s o f p e r i o d 2

n

o v e r e l d s w i t h a c h a r a c t e r i s t i c o t h e r t h a n

2 , p 6= 2 . A n e x t e n s i v e r e v i e w o f n i t e e l d t r a n s f o r m s

c a n b e f o u n d i n 3 . W a v e l e t s a n d l t e r b a n k s o v e r -

n i t e e l d s h a v e p o t e n t i a l a p p l i c a t i o n s i n t h e c r y p t o g r a p h y ,

s p r e a d - s i g n a t u r e C D M A s y s t e m s , t h e t h e o r y o f e r r o r c o r -

r e c t i o n c o d e s 4 , b i o s e q u e n c e a n a l y s i s 2 , a n d t h e c o d i n g

o r a n a l y s i s o f h a l f t o n e i m a g e s 5 . W h i l e t h e s e a p p l i c a t i o n s

n e e d m o r e i n v e s t i g a t i o n s , t h i s p a p e r s t u d i e s t h e t h e o r y o f

t h e w a v e l e t t r a n s f o r m o f i n n i t e d i m e n s i o n a l s e q u e n c e s d e -

n e d o v e r a n y n i t e e l d G F p

r

. S i n c e w e d o n o t r e q u i r e

t h e e x i s t e n c e o f t h e n u m b e r t h e o r e t i c F o u r i e r t r a n s f o r m 6 ,

o u r f o r m u l a t i o n b e c o m e s m o r e a t t r a c t i v e p a r t i c u l a r l y f o r

t h e e l d s w i t h c h a r a c t e r i s t i c 2 , G F 2

r

T h r o u g h o u t t h i s p a p e r , a l l a r i t h m e t i c i s c a r r i e d o u t i n

t h e n i t e e l d . I f t h e e l d i s G F p , p a p r i m e , t h e n a d d i -

t i o n a n d m u l t i p l i c a t i o n a r e d e n e d m o d u l o - p . I n t h e e l d s

o f t h e f o r m G F p

r

; r 1 , a n u m b e r a i s r e p r e s e n t e d b y a

p o l y n o m i a l S

a

y o f d e g r e e r , 1 w h e r e t h e c o e c i e n t s l i e i n

G F p . T h e n , a d d i t i o n i s d e n e d a s a d d i t i o n o f p o l y n o m i -

a l s i n G F p , a n d m u l t i p l i c a t i o n i s d e n e d t o b e p o l y n o m i a l

m u l t i p l i c a t i o n m o d u l o a x e d p o l y n o m i a l q y . T h e p o l y -

n o m i a l q y i s a m o n i c i r r e d u c i b l e p o l y n o m i a l o f d e g r e e r

o v e r G F p 7 . T o s i m p l i f y t h e n o t a t i o n , w e w i l l r e p r e s e n t

t h e n u m b e r s i n G F p

r

b y a l p h a b e t i c v a r i a b l e s i n s t e a d o f

b y t h e i r p o l y n o m i a l r e p r e s e n t a t i o n s .

2 . F I N I T E F I E L D D I S C R E T E T I M E B A S I S

2 . 1 . N o n - d e g e n e r a t e B i l i n e a r F o r m

L e t b e a v e c t o r s p a c e o v e r t h e n i t e e l d F w i t h a d d i t i o n

a n d m u l t i p l i c a t i o n d e n e d o n F . W e w o u l d l i k e t o c o n s t r u c t

t h e s e t o f o r t h o n o r m a l b a s i s f u n c t i o n s f

k

n g

k 2 Z

s u c h t h a t

a n y a r b i t r a r y s e q u e n c e x n i n c a n b e w r i t t e n a s :

x n =

X

k 2 Z

h

k

n ; x n i

k

n 1

T h e p r o p e r c h a r a c t e r i s t i c s o f t h e v e c t o r s p a c e t h a t a l l o w s

u s t o d o t h i s e x p a n s i o n w i l l b e d i s c u s s e d l a t e r i n t h i s p a p e r .

T h e p r o b l e m w i t h t h i s e x p a n s i o n i s t h a t t h e s p a c e i s n o t

a n i n n e r p r o d u c t s p a c e , b e c a u s e t h e p o s i t i v e d e n i t e p r o p -

e r t y d o e s n o t h o l d . F o r e x a m p l e , a s e q u e n c e s n i n G F 2

t h a t c o n t a i n s a n e v e n n u m b e r o f o n e s i s o r t h o g o n a l t o i t s e l f

, h s n ; s n i = 0

T o r e s o l v e t h i s d i l e m m a w e e m p l o y t h e s y m m e t r i c b i -

l i n e a r f o r m t h a t i s d e n e d f o r t w o v e c t o r s X a n d Y a s :

h X ; Y i = X

T

A Y ;

w h e r e A i s a s y m m e t r i c m a t r i x a s s o c i a t e d w i t h t h e b a s i s s e t

f o r t h e s p a c e . O n e c a n v e r i f y t h a t , l i k e t h e i n n e r p r o d u c t ,

t h e b i l i n e a r f o r m h a s t h e b i l i n e a r i t y a n d s y m m e t r y p r o p -

e r t i e s . H o w e v e r , i t a l l o w s f o r a n o n z e r o s e q u e n c e t o b e

s e l f - o r t h o g o n a l . F u r t h e r m o r e , t o i m p l e m e n t t h e n i t e e l d

w a v e l e t t r a n s f o r m u s i n g a l t e r b a n k , w e u s e t h e c a n o n i c a l

b i l i n e a r f o r m a l s o k n o w n a s t h e c a n o n i c a l i n n e r p r o d u c t

8 . I t c a n b e s h o w n t h a t e v e r y b i l i n e a r f o r m c a n b e w r i t -

t e n a s a c a n o n i c a l f o r m . T h e c a n o n i c a l b i l i n e a r f o r m o f t w o

s e q u e n c e s a n a n d b n i s g i v e n b y :

h a ; b i =

X

i

a i b i ; 2

w h e r e t h e a r i t h m e t i c s i s c a r r i e d o u t i n t h e n i t e e l d F


2/4

D e n i t i o n : W i t h t h e c a n o n i c a l b i l i n e a r f o r m d e n e d i n

2 , a s e t B = f

k

n g

k 2 Z

i s c a l l e d a n o r t h o g o n a l b a s i s

f o r t h e s p a c e i f t h e y s a t i s f y h

i

;

j

i = 0 f o r i 6= j a n d

f

k

n g

k 2 Z

i s a s p a n n i n g s e t f o r t h e s p a c e

T h i s d e n i t i o n a l l o w s t h a t s o m e o f t h e b a s i s f u n c t i o n s

t o b e s e l f - o r t h o g o n a l . N o t e t h a t t h e s e t B i s a n o r t h o n o r -

m a l b a s i s , i f e v e r y

m

t h a t i s n o t s e l f - o r t h o g o n a l s a t i s e s

h

m

;

m

i = 1 . W e n e e d t o b o r r o w t w o d e n i t i o n s f r o m a b -

s t r a c t a l g e b r a : t h e n u l l s p a c e o f a c a n o n i c a l b i l i n e a r f o r m

a n d t h e n o n - d e g e n e r a t e f o r m . F o r t h e g i v e n c a n o n i c a l b i l i n -

e a r f o r m , a v e c t o r w 2 i s c a l l e d a n u l l v e c t o r i f h w ; u i = 0

f o r a l l u 2 . T h e r e f o r e , t h e n u l l s p a c e o f t h e c a n o n i c a l

b i l i n e a r f o r m i s d e n e d b y :

N

= f w 2 : h w ; u i = 0 8 u 2 g

A c a n o n i c a l b i l i n e a r f o r m i s s a i d t o b e n o n - d e g e n e r a t e i f i t s

n u l l s p a c e i s f 0 g

T h e o r e m 1 9 : S u p p o s e t h a t t h e s e t o f d i s c r e t e f u n c -

t i o n s f

k

n g

k 2 Z

i s a n o r t h o g o n a l b a s i s f o r t h e v e c t o r s p a c e

. T h e n , t h e c a n o n i c a l b i l i n e a r f o r m a s s o c i a t e d w i t h t h i s

b a s i s s e t i s n o n - d e g e n e r a t e i f a n d o n l y i f h

k

;

k

i 6= 0 8 k 2

Z

R e m a r k 1 : T h e o r e m 1 e s t a b l i s h e s t h e f a c t t h a t t h e

m o t h e r w a v e l e t a n d t h e s c a l i n g f u n c t i o n i n t h e w a v e l e t d e -

c o m p o s i t i o n o f t h e s p a c e c a n n o t b e s e l f - o r t h o g o n a l s e -

q u e n c e s . T h i s w i l l b e d i s c u s s e d l a t e r .

T h e t h e o r y o f m u l t i r e s o l u t i o n a n a l y s i s f o r d i s c r e t e t i m e

s i g n a l s o v e r r e a l o r c o m p l e x e l d s h a s b e e n d e v e l o p e d i n

1 0 , a n d f o r p e r i o d i c s i g n a l s i n 2 . T o d e v e l o p a w a v e l e t

t r a n s f o r m o v e r n i t e e l d s w e n e e d o n l y t o g i v e a f o r m u l a -

t i o n o f t h e w a v e l e t d e c o m p o s i t i o n o f t h e s p a c e o n t o t w o

o r t h o g o n a l s u b s p a c e s V

0

a n d W

0

. T h e n , f o r t h e m u l t i r e s o -

l u t i o n a n a l y s i s o f t h e s p a c e , w e r e p e a t t h i s d e c o m p o s i t i o n

o n V

0

s i m i l a r t o t h e i d e a d e v e l o p e d i n 1 0 . O u r w a v e l e t

t r a n s f o r m f o r m u l a t i o n r e l i e s o n t h e b a s i s d e c o m p o s i t i o n i n

t h e t i m e d o m a i n r a t h e r t h a n i n t h e f r e q u e n c y d o m a i n . T h i s

i s m a i n l y b e c a u s e t h e n u m b e r t h e o r e t i c F o u r i e r t r a n s f o r m

m a y n o t e x i s t i n t h e g i v e n n i t e e l d 6 . T h e e x i s t e n c e

o f t h e n u m b e r t h e o r e t i c D F T r e q u i r e s t h e e x i s t e n c e o f a n

e l e m e n t o f o r d e r L a s s u m i n g t h e s i g n a l l e n g t h t o b e L

o v e r G F p

r

. T h i s r e q u i r e s t h a t L d i v i d e s p

r

, 1 w h i c h i s

a s t r o n g r e s t r i c t i o n .

2 . 2 . O r t h o n o r m a l W a v e l e t B a s i s O v e r F i n i t e F i e l d s

I n t h i s s e c t i o n w e d e r i v e t h e f o r m u l a t i o n o f t h e w a v e l e t d e -

c o m p o s i t i o n o f a s p a c e i n t o t h e d i r e c t s u m o f t w o o r t h o g -

o n a l s u b s p a c e s V

0

a n d W

0

a s = V

0

W

0

. P r o p o s i t i o n 1

c h a r a c t e r i z e s t h e p r o p e r t i e s o f t h e c a n o n i c a l b i l i n e a r f o r m

o v e r t h e s u b s p a c e s V

0

a n d W

0

P r o p o s i t i o n 1 9 : S u p p o s e t w o s u b s p a c e s V

0

a n d W

0

a r e

o r t h o g o n a l c o m p l e m e n t s o f e a c h o t h e r . T h e n V

0

W

0

= f 0 g

i f a n d o n l y i f t h e c a n o n i c a l b i l i n e a r f o r m i s n o n - d e g e n e r a t e

o n b o t h V

0

a n d W

0

F r o m P r o p o s i t i o n 1 , w e c o n c l u d e t h a t i n t h e o r t h o g o n a l

w a v e l e t d e c o m p o s i t i o n o f t h e s p a c e a s t h e d i r e c t s u m o f

t w o s u b s p a c e s , t h e c a n o n i c a l b i l i n e a r f o r m m u s t s t a y n o n -

d e g e n e r a t e o n V

0

a n d W

0

. T h i s r e s u l t s i n F a c t 1 i m m e d i -

a t e l y :

F a c t 1 : F o r a s u c c e s s f u l o r t h o g o n a l w a v e l e t d e c o m p o s i -

t i o n o f t h e v e c t o r s p a c e o v e r n i t e e l d F , t h e c a n o n i c a l

b i l i n e a r f o r m m u s t b e n o n - d e g e n e r a t e o v e r

F r o m n o w o n , w e w i l l r e f e r t o a s a n o n - d e g e n e r a t e

v e c t o r s p a c e o v e r a n i t e e l d w i t h o u t m e n t i o n i n g t h e u n -

d e r l y i n g b i l i n e a r f o r m . T h e s c a l i n g f u n c t i o n ' n a n d t h e

m o t h e r w a v e l e t n d e n e d o v e r t h e n i t e e l d F c o n s t r u c t

a w a v e l e t t r a n s f o r m i f t h e y s a t i s f y :

V

0

= s p a n f ' n , 2 j g j 2 Z

W

0

= s p a n f n , 2 j g j 2 Z

3

a n d t h e y s h o u l d m e e t t h e f o l l o w i n g c o n d i t i o n s :

h ' n , 2 k ; ' n , 2 l i = 0 8 l 6= k

h n , 2 k ; n , 2 l i = 0 8 l 6= k

h ' n , 2 k ; n , 2 l i = 0 8 l ; k :

4

F u r t h e r m o r e , s i n c e t h e t w o s u b s p a c e s V

0

a n d W

0

a r e n o n -

d e g e n e r a t e s p a c e s , a s a r e s u l t o f T h e o r e m 1 t h e f o l l o w i n g

c o n d i t i o n s m u s t b e s a t i s e d a s w e l l n o t e t h a t t h e T h e o r e m

o n l y r e q u i r e s a n o n z e r o v a l u e , b u t w e f u r t h e r n o r m a l i z e t h e

s e q u e n c e s :

h ' n ; ' n i = 1

h n ; n i = 1

5

I t i s w o r t h n o t i n g t h a t t h e r e s u l t o f t h e b i l i n e a r f o r m s i n

5 c a n b e z e r o i n o t h e r f o r m s e g . , b i o r t h o g o n a l w a v e l e t

t r a n s f o r m o f w a v e l e t t r a n s f o r m o v e r n i t e e l d s .

2 . 3 . C o m p l e t e n e s s o f t h e O r t h o n o r m a l S e t

T h e i n t e r e s t i n g q u e s t i o n i s w h e t h e r t h e f u n c t i o n s ' n a n d

n t h a t s a t i s f y t h e q u a d r a t i c e q u a t i o n s 4 a n d 5 c o n -

s t r u c t a n o r t h o n o r m a l b a s i s s e t f o r t h e s p a c e o r n o t . I n

o t h e r w o r d s , g i v e n t h e s o l u t i o n o f t h e q u a d r a t i c e q u a t i o n s ,

i s i t p o s s i b l e t o w r i t e a n y a r b i t r a r y s e q u e n c e i n t h e n o n -

d e g e n e r a t e s p a c e a s :

x n =

X

j 2 Z

h ' n , 2 j ; x n i ' n , 2 j

+

X

j 2 Z

h n , 2 j ; x n i n , 2 j ?

6

T h e p r o b l e m i s t h a t t h e v e c t o r s p a c e d e n e d o v e r a -

n i t e e l d w i t h t h e c a n o n i c a l b i l i n e a r f o r m i s n o t a n o r m e d

v e c t o r s p a c e . C o n s e q u e n t l y , ̀

2

- n o r m c o n v e r g e n c e d o e s n o t

a p p l y t o t h e i n n i t e s u m 6 o n u n l i k e t h e c a s e w h e r e t h e

w a v e l e t s a r e d e n e d o v e r t h e r e a l e l d . I n t h e n e x t s e c t i o n

w e s h o w t h a t t h e i n n i t e s u m i n 6 c o n v e r g e s c o m p o n e n t -

w i s e t o x n . U s i n g a n e q u i v a l e n t c o n d i t i o n , w e s h o w t h a t

' n a n d n t h a t s a t i s f y 4 a n d 5 c o n s t r u c t a c o m p l e t e

s p a n n i n g s e t , f ' n , 2 k g

k 2 Z

f n , 2 k g

k 2 Z

, o v e r t h e

n o n - d e g e n e r a t e s p a c e

T h e d i s c r e t e w a v e l e t t r a n s f o r m D W T a n d i t s i n v e r s e

I D W T a r e e a s i l y r e c o g n i z e d a s t h e a n a l y s i s a n d s y n t h e s i s

b a n k s o f t h e t w o b a n d l t e r b a n k s i n F i g . 1 , r e s p e c t i v e l y .

B y c h o o s i n g h

0

n = ' , n a n d h

1

n = , n , w e e a s i l y

o b s e r v e t h a t :

y

0

n = h x m ; ' m , 2 n i

y

1

n = h x m ; m , 2 n i

T h e s y n t h e s i s b a n k t h a t c o n s i s t s o f s y n t h e s i s l t e r s g

0

n =

' n a n d g

1

n = n c o n s t r u c t s a n a p p r o x i m a t i o n o f x n

I D W T b y c o m p u t i n g 6 . T h e r e f o r e , t h e s o l u t i o n s o f t h e


3/4

0 0

2 2

2 2y(n)x(n) x(n)

y(n)

0

1

+

h (n)1

h (n) g (n)

g (n)1

F i g u r e 1 : D i a g r a m o f t h e t w o b a n d l t e r b a n k .

q u a d r a t i c e q u a t i o n s 4 a n d 5 c o n s t r u c t a c o m p l e t e o r -

t h o n o r m a l b a s i s f o r t h e n o n - d e g e n e r a t e s p a c e , i f a n d o n l y

i f t h e a s s o c i a t e d l t e r b a n k i s a n o r t h o g o n a l p e r f e c t r e c o n -

s t r u c t i o n l t e r b a n k .

3 . D E S I G N M E T H O D O L O G Y

I n o u r c o n s t r u c t i o n , w e r e p r e s e n t e v e r y s e q u e n c e x n b y a

p o l y n o m i a l i n a p o l y n o m i a l r i n g F z o v e r t h e e l d F a s :

X z =

P

x n z

, n

w h e r e z

, 1

i s a n u n d e t e r m i n e d v a r i a b l e .

T h e n t h e p o l y n o m i a l r e p r e s e n t a t i o n o f t h e c o n v o l u t i o n o f

t w o s e q u e n c e s x n a n d h n c a n b e w r i t t e n a s X z H z

i n w h i c h t h e a r i t h m e t i c i s d o n e o v e r t h e e l d F . U s i n g t h i s

p o l y n o m i a l r e p r e s e n t a t i o n , w e c a n r e p r e s e n t t h e l t e r b a n k

i n F i g . 1 w i t h i t s p o l y p h a s e c o m p o n e n t s a s F i g . 2 .

L i k e t h e r e a l e l d c a s e , w e c a n e a s i l y v e r i f y t h a t i n a n y

n i t e e l d t h e s c a l i n g f u n c t i o n a n d t h e m o t h e r w a v e l e t o f

t h e o r t h o g o n a l w a v e l e t t r a n s f o r m h a v e e v e n l e n g t h 9 . C o n -

s e q u e n t l y t h e l t e r s a r e o f o d d o r d e r s . N o w , s u p p o s e t h a t

H

s

z , s = 0 ; 1 , h a s o r d e r 2 N + 1 w i t h i t s p o l y p h a s e c o m -

p o n e n t s a s E

s 0

z a n d E

s 1

z . U s i n g t h e p o l y p h a s e r e p r e -

s e n t a t i o n f o r a 2 - b a n d o r t h o g o n a l l t e r b a n k , w e w r i t e t h e

p o l y p h a s e c o m p o n e n t s o f H

1

z i n t e r m s o f t h e p o l y p h a s e

c o m p o n e n t s o f H

0

z a s 9 :

E

1 0

z = z

, N

E

0 1

z

, 1

; E

1 1

z = , z

, N

E

0 0

z

, 1

7

I n a p e r f e c t r e c o n s t r u c t i o n o r t h o g o n a l l t e r b a n k , t h e

p o l y p h a s e m a t r i x E z = E

s i

z , 0 s ; i 1 m u s t s a t i s f y

t h e p a r a u n i t a r y c o n s t r a i n t E

T

z

, 1

E z = I . T h e r e f o r e ,

t h e n e c e s s a r y a n d s u c i e n t c o n d i t i o n f o r a n o r t h o g o n a l p e r -

f e c t r e c o n s t r u c t i o n l t e r b a n k i s o b t a i n e d a s :

E

0 0

z E

0 0

z

, 1

+ E

0 1

z E

0 1

z

, 1

= 1 8

H e r e , E

0 0

z a n d E

0 1

z a r e p o l y n o m i a l s i n t h e p o l y n o m i a l

r i n g F z d e n e d a s :

E

0 0

z =

M

X

i = 0

e

0 i

z

, i

; e

0 0

6= 0 ; e

0 i

2 G F p

r

E

0 1

z =

N

X

i = 0

e

1 i

z

, i

; e

1 N

6= 0 ; e

1 i

2 G F p

r

w h e r e M i s a p o s i t i v e i n t e g e r s a t i s f y i n g M N

I n 8 , w e d o n o t r e q u i r e a n y a d d i t i o n a l c o n s t r a i n t s o n

t h e p o l y p h a s e c o m p o n e n t s o f H

0

z . T h e p r o p e r t i e s o f t h e

l t e r s i n l t e r b a n k s o v e r n i t e e l d s e q u i v a l e n t l y , t h e c h a r -

a c t e r i s t i c o f t h e t w o s u b s p a c e s V

0

a n d W

0

w i l l b e d e t e r -

m i n e d b y t h e a p p l i c a t i o n s t h a t t h e s e n e w w a v e l e t t r a n s -

f o r m s a r e f o r m e d f o r . F r o m 8 w e c o n c l u d e t h a t :

e

1 i

= 0 i = 0 ; : : : ; N , M , 1 9

z-1E(z) R(z)

2

2x(n)

2

2

x(n)

z-1

y(n)0

y(n)1

F i g u r e 2 : P o l y p h a s e r e p r e s e n t a t i o n o f t w o b a n d l t e r b a n k .

M o r e o v e r , w i t h s o m e m a n i p u l a t i o n w e c a n s h o w t h a t 8 i s

e q u i v a l e n t t o :

A z A

c

z + B z B

c

z = z

M

1 0

w h e r e A z a n d B z a r e p o l y n o m i a l s i n F z d e n e d a s :

A z =

M

X

i = 0

a

i

z

i

; a

0

6= 0 ; B z =

M

X

i = 0

b

i

z

i

; b

M

6= 0

1 1

I n o u r n o t a t i o n , t h e s u p e r s c r i p t c " m e a n s t h e r e c i p r o c a l

o f t h e p o l y n o m i a l . T h e r e c i p r o c a l p o l y n o m i a l o f G z o f

d e g r e e M i s d e n e d a s G

c

z = z

M

G z

, 1

. T h e c o e c i e n t s

o f t w o p o l y n o m i a l s A z a n d B z a r e r e l a t e d t o t h o s e o f

t h e p o l y p h a s e c o m p o n e n t s E

0 0

z a n d E

0 1

z b y :

a

i

= e

0 i

; b

i

= e

1 N , M + i

f o r i = 0 ; : : : ; M : 1 2

I n t h e f o l l o w i n g , w e g i v e a g e n e r a l p r o c e d u r e t o c o n -

s t r u c t a 2 - b a n d o r t h o g o n a l p e r f e c t r e c o n s t r u c t i o n l t e r b a n k

o v e r G F p

r

. A s s u m e t h a t t h e d e s i r e d l t e r o r d e r i s 2 N + 1

S e t M = 1

F i n d e v e r y p a i r o f p o l y n o m i a l s A z a n d B z o v e r

t h e p o l y n o m i a l r i n g F z t h a t s a t i s f y 1 0 . E a c h p a i r

o f p o l y n o m i a l s s p e c i e s t h e l t e r s o f t h e l t e r b a n k

b y 9 a n d 1 2 .

I n c r e m e n t M b y o n e a n d r e p e a t t h e p r e v i o u s s t e p a s

l o n g a s M N

T h e a b o v e p r o c e d u r e g e n e r a t e s a l l p o s s i b l e o r t h o g o n a l p e r -

f e c t r e c o n s t r u c t i o n l t e r b a n k s . T h e r e f o r e , i n t h i s f u l l s e a r c h

m e t h o d w e s t a r t w i t h A z a n d a p p l y a n a p p r o p r i a t e m e t h o d

s u c h a s B e r l e k a m p ' s a l g o r i t h m t o f a c t o r i z e z

M

, A z A

c

z

o v e r t h e e l d F 7 . A s a n a l t e r n a t i v e t o t h e f u l l s e a r c h

m e t h o d u s i n g p o l y n o m i a l f a c t o r i z a t i o n a l g o r i t h m s , w e a l s o

p r o v i d e a m e t h o d t o n d t h e m a j o r i t y o f t h e p o s s i b l e s o -

l u t i o n s f o r t h e e l d s w i t h c h a r a c t e r i s t i c 2 i . e , G F 2

r

I t i s w o r t h n o t i n g t h a t i f t h e p a i r f A z ; B z g c o n s t r u c t s

a n o r t h o g o n a l p e r f e c t r e c o n s t r u c t i o n l t e r b a n k , t h e n e a c h

o f t h e p a i r s f A

c

z ; B z g , f A z ; B

c

z g , f A

c

z ; B

c

z g ,

f B z ; A z g , f B

c

z ; A z g , f B z ; A

c

z g a n d f B

c

z ; A

c

z

g i s a s o l u t i o n a s w e l l . H o w e v e r , t h o s e p a i r s m a y o r m a y

n o t g e n e r a t e d i s t i n c t p a i r s o f l t e r s H

0

z a n d H

1

z

E x a m p l e 1 : L e t u s d e r i v e a l l t h e o r t h o g o n a l l t e r b a n k s

o f t h e l o w e s t n o n t r i v i a l o r d e r , 3 , o v e r G F 5 . I t c a n b e

j u s t i e d t h a t t h e o n l y s o l u t i o n p a i r f o r 1 0 i s A z = 2 + 2 z

a n d B z = 3 + 2 z t h a t c o n s t r u c t s f o u r d i s t i n c t o r t h o g o n a l

p e r f e c t r e c o n s t r u c t i o n l t e r b a n k s . F o r o n e s e t o f s o l u t i o n s ,

t h e l t e r s o f t h e a n a l y s i s b a n k a r e :

H

0

z = 2 + 3 z

, 1

+ 2 z

, 2

+ 2 z

, 3

H

1

z = 2 + 3 z

, 1

+ 3 z

, 2

+ 3 z

, 3


4/4

T a b l e 1 : A l l O r t h o g o n a l P e r f e c t R e c o n s t r u c t i o n

F B O v e r G F 2 u p t o o r d e r e l e v e n .

M O r d e r H

0

z H

1

z

2 5 3 7 3 B

2 7 9 D B 9

2 9 2 3 5 2 B 1

4 9 3 E F 3 D F

4 9 3 2 3 3 1 3

2 1 1 8 9 5 A 9 1

4 1 1 9 8 9 9 1 9

4 1 1 B E D B 7 D

5 1 1 D E 7 E 7 B

5 1 1 D B 7 E D B

3 . 1 . 2 - B a n d O r t h o g o n a l F i l t e r B a n k s O v e r G F 2

r

F i e l d s w i t h c h a r a c t e r i s t i c 2 h a v e t h e p r o p e r t y t h a t 2 k = 0

f o r a n y k i n G F 2

r

. T h i s p r o p e r t y e n a b l e s u s t o o b t a i n

t h e s y m m e t r i c s o l u t i o n s o f 1 0 , a s w e e x p l a i n l a t e r .

E x a m p l e 2 : L e t u s d e t e r m i n e a l l t h e o r t h o g o n a l l t e r

b a n k s o f t h e l o w e s t n o n t r i v i a l o r d e r , 3 , o v e r G F 2

r

. W i t h -

o u t l o s s o f g e n e r a l i t y , w e c a n c o n s i d e r H

0

z a s a m o n i c

p o l y n o m i a l , a n d c o n s e q u e n t l y B z i s a m o n i c p o l y n o m i a l

o f d e g r e e o n e . I t c a n b e v e r i e d t h a t t h e g e n e r a l s o l u t i o n

f o r 1 0 i s :

A z = a 1 + a

, 1

+ a z

B z = a

2

1 + a

, 1

+ z

a 6= 1 ; a 2 G F 2

r

U s i n g t h i s s o l u t i o n , w e c a n c o n s t r u c t t h e o r t h o g o n a l l t e r

b a n k o f o r d e r 3 o v e r G F 2

3

. I n o r d e r t o c o n s t r u c t t h e e x -

t e n s i o n e l d G F 2

3

, l e t u s c h o o s e t h e p r i m i t i v e p o l y n o m i a l

q y = 1 + y + y

3

a s a n i r r e d u c i b l e p o l y n o m i a l o v e r G F 2 .

T h e n , b y a r b i t r a r i l y c h o o s i n g a = 2 t h e p o l y n o m i a l r e p -

r e s e n t a t i o n o f t h i s n u m b e r i n t h e e x t e n s i o n e l d i s a = y ,

t h e l t e r s a r e s p e c i e d a s :

H

0

z = 7 + 5 z

, 1

+ 2 z

, 2

+ z

, 3

H

1

z = 1 + 2 z

, 1

+ 5 z

, 2

+ 7 z

, 3

I n t h e e l d G F 2

r

w e c a n r e w r i t e 1 0 a s A z A

c

z +

z

M

= B z B

c

z a n d w e l o o k f o r t h e p a i r o f p o l y n o m i a l s o f

t h e f o r m 1 1 s a t i s f y i n g t h i s e q u a t i o n f o r a n y M N I n

e l d s w i t h c h a r a c t e r i s t i c 2 , w h e n e v e r M i s a n e v e n n u m b e r ,

t h e a b o v e e q u a t i o n c a n b e w r i t t e n a s :

f A z + z

M = 2

g f A z + z

M = 2

g

c

= B z B

c

z

p r o v i d e d t h a t A z i s a s y m m e t r i c p o l y n o m i a l , A z =

A

c

z . O b v i o u s l y i n t h i s c a s e a n y B z e q u a l t o A z + z

M = 2

i s a l s o a s y m m e t r i c p o l y n o m i a l .

F a c t 2 : I f M i s a n e v e n n u m b e r , t h e p o l y n o m i a l p a i r

A z a n d A z + z

M = 2

i s a s o l u t i o n t o 1 0 o v e r G F 2

r

,

W h e r e A z i s a n y a r b i t r a r y s y m m e t r i c p o l y n o m i a l o f d e -

g r e e M w i t h a n o n z e r o c o n s t a n t c o e c i e n t .

T a b l e 1 g i v e s a l l t h e p o s s i b l e d i s t i n c t o r t h o g o n a l p e r f e c t

r e c o n s t r u c t i o n l t e r b a n k s u p t o o r d e r e l e v e n o v e r G F 2 .

T h e r s t c o l u m n o f T a b l e 1 l i s t s t h e v a l u e s o f M f o r w h i c h

a s o l u t i o n f o r 1 0 c a n b e o b t a i n e d . T h e s e c o n d , t h i r d a n d

a n d f o u r t h c o l u m n s s h o w t h e l t e r o r d e r , t h e c o e c i e n t s o f

H

0

z a n d H

1

z , r e s p e c t i v e l y . N o t e t h a t t h e l t e r c o e -

c i e n t s a r e r e p r e s e n t e d i n H e x a d e c i m a l b y p a d d i n g s u c i e n t

z e r o e s t o t h e l e f t f o r m w i t h t h e L S B b i t a s t h e c o e c i e n t o f

t h e h i g h e s t d e g r e e . W e i n c l u d e t h e n o n s y m m e t r i c s o l u t i o n s

i n t h i s T a b l e a s w e l l . I t c a n b e v e r i e d t h a t t h e r e e x i s t s o m e

s o l u t i o n s o n l y f o r M = 5

4 . C O N C L U S I O N

I n t h i s p a p e r , w e h a v e s t u d i e d t h e t h e o r y o f t h e w a v e l e t

t r a n s f o r m o f d i s c r e t e - t i m e s i g n a l s i n n o n - d e g e n e r a t e v e c t o r

s p a c e s . T h e c o n d i t i o n s t h a t t h e s c a l i n g f u n c t i o n a n d t h e

m o t h e r w a v e l e t s h o u l d m e e t w e r e d e s c r i b e d . F u r t h e r m o r e ,

w e p r e s e n t a d e s i g n m e t h o d o l o g y f o r o r t h o g o n a l t w o c h a n -

n e l l t e r b a n k s o v e r n i t e e l d s . I n p a r t i c u l a r , w e p o i n t e d

o u t a m e t h o d t o c o n s t r u c t t h e s e l t e r b a n k s o v e r t h e e l d s

w i t h c h a r a c t e r i s t i c 2 . T h e l o w c o m p l e x i t y o f t h e n i t e e l d

w a v e l e t t r a n s f o r m m a k e s i t a p r o m i s i n g t o o l f o r c o m m u n i -

c a t i o n a n d s i g n a l p r o c e s s i n g a p p l i c a t i o n s .

5 . R E F E R E N C E S

1 S . P h o o n g a n d P . P . V a i d y a n a t h a n , P a r a u n i t a r y l -

t e r b a n k s o v e r n i t e e l d s , " I E E E T r a n s . S i g n a l P r o c . ,

v o l . 4 5 , p p . 1 4 4 3 1 4 5 7 , J u n e 1 9 9 7 .

2 G . C a i r e , R . L . G r o s s m a n , a n d H . V . P o o r , W a v e l e t

t r a n s f o r m s a s s o c i a t e d w i t h n i t e c y c l i c g r o u p s , " I E E E

T r a n s . o n I n f o r m a t i o n T h e o r y , v o l . 3 9 , J u l y 1 9 9 3 .

3 F . F e k r i , T r a n s f o r m R e p r e s e n t a t i o n o f F i n i t e F i e l d S i g -

n a l s . A q u a l i f y i n g e x a m i n a t i o n r e p o r t a v a i l a b l e a t

h t t p : w w w . e e . g a t e c h . e d u u s e r s f e k r i , G e o r g i a I n s t i -

t u t e o f T e c h n o l o g y , J u n e 1 9 9 8 .

4 H . V . P o o r , F i n i t e e l d w a v e l e t t r a n s f o r m , " i n I n -

f o r m a t i o n T h e o r y a n d A p p l i c a t i o n s I I , 4 t h C a n a d i a n

w o r k s h o p , p p . 2 2 5 2 3 8 , L a c D e l a g e , Q u e . , C a n a d a ,

1 9 9 6 .

5 M . D . S w a n s o n a n d A . H . T e w k , A b i n a r y w a v e l e t

d e c o m p o s i t i o n o f b i n a r y i m a g e s , " I E E E T r a n s . I m a g e

P r o c e s s i n g , v o l . 5 , p p . 1 6 3 7 1 6 5 0 , D e c . 1 9 9 6 .

6 J . H . M c C l e l l a n a n d C . M . R a d e r , N u m b e r T h e -

o r y i n D i g i t a l S i g n a l P r o c e s s i n g . E n g l e w o o d C l i s ,

N J : P r e n t i c e - H a l l , 1 9 7 9 .

7 R . L i d i a n d H . N i e d e r r e i t e r , F i n i t e F i e l d s . A d d i s o n -

W e s l e y P u b l i s h i n g C o m p a n y , 1 9 8 3 .

8 H . S t i c h t e n o t h , A l g e b r a i c F u n c t i o n F i e l d s a n d C o d e s

S p r i n g e r - V e r l a g , 1 9 9 3 .

9 F . F e k r i , R . M . M e r s e r e a u , a n d R . W . S c h a f e r , T h e o r y

o f w a v e l e t t r a n s f o r m o v e r n i t e e l d s , " t o b e s u b m i t t e d

t o I E E E T r a n s . S i g n a l P r o c .

1 0 O . R i o u l , A d i s c r e t e - t i m e m u l t i r e s o l u t i o n t h e o r y , "

I E E E T r a n s . S i g n a l P r o c . , v o l . 4 1 , p p . 2 5 9 1 2 6 0 6 , A u -

g u s t 1 9 9 3 .

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