il primo colpo del ciclope matematico

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DA T A D I A R R I V O:4 lug l io 2007 A C C E T T A Z I O N E: 25 lug l io 2007 P U B B L I C A Z I O N E: 10 agosto 2007

Il primo colpo del ciclope matematico

Anna Maria Aloisi IPSIA “A. Meucci”, Cagliari

Pier Franco Nali Servizio per l'Innovazione Tecnologica e per la Tecnologia dell'Informazione Regione Sardegna E-mail: [email protected]

ABSTRACT: Quest’anno ricorre il terzo centenario della nascita di Leonhard Euler (Basilea, 15 aprile 1707 – San

Pietroburgo, 18 settembre 1783), il più grande matematico del Settecento e uno dei tre o quattro più

grandi mai esistiti. Noto col nome latinizzato di Eulero, questo matematico è stato anche uno dei più

fecondi, come dimostrano innumerevoli teoremi e formule che portano il suo nome.

PAROLE CHIAVE: Storia e personaggi della matematica, analisi matematica.

mailto:[email protected]

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1

Quest’anno ricorre il terzo centenario della nascita di Leonhard Euler (Basilea, 15 aprile 1707 – San

Pietroburgo, 18 settembre 1783), il più grande matematico del Settecento e uno dei tre o quattro più grandi mai

esistiti.1 Noto col nome latinizzato di Eulero, questo matematico è stato anche uno dei più fecondi, come

dimostrano innumerevoli teoremi e formule che portano il suo nome. Nonostante la perdita della vista

dall’occhio destro che lo colpì all’età di trent’anni – il suo insensibile mecenate Federico II di Prussia (1712-

1786) lo soprannominò per questo “il mio ciclope” – e una cataratta che lo rese completamente cieco poco dopo

i sessanta, Eulero mantenne nel corso di tutta la sua vita una straordinaria produttività scientifica.2 È fuor di

dubbio che ciò fu reso possibile da una memoria fotografica non comune: conosceva l’Eneide a memoria ed era

in grado di dire il primo e l’ultimo verso di ogni pagina dell’edizione su cui lo aveva imparato. Poteva allo

stesso modo ricordare lunghe sequenze di calcoli che poi trascriveva con l’aiuto di un amanuense. La debolezza

della vista fisica era in lui ampiamente compensata dall’acume dell’occhio intellettuale, questo sì davvero

ciclopico. Alla sterminata produzione matematica riuscì ad assommare importanti contributi in altri campi della

scienza, di cui fu un grande comunicatore: le sue Lettere a una principessa tedesca (1768-1772) sono considerate

uno dei primi bestseller di divulgazione scientifica. Profondamente credente in un’epoca dominata

dall’illuminismo ateo dei “liberi pensatori” fu anche un uomo che talvolta seppe andare controcorrente.3

Eulero ottenne grande fama nel 1735, quando riuscì a determinare la somma della serie infinita dei

reciproci dei quadrati perfetti

2 2 2 2

1 1 1 1

1 2 3 4+ + + +L

risolvendo il cosiddetto problema di Basilea, che per decenni aveva frustrato i tentativi dei matematici.

Presentato per la prima volta nel 1644 da Pietro Mengoli (1625-1686) e riproposto nel 1673 in una lettera

dell’allora segretario della Royal Society Henry Oldenburg (c. 1615-1677) a G. W. Leibnitz (1646 – 1716),

questo problema assunse grande notorietà nel 1689 quando su di esso scrisse Jacques Bernouilli (1654 - 1705).4

Rimasto irrisolto fino ai tempi di Eulero, il problema di Basilea si era cinto di un’aura mistica che ricorda lo

status dell’Ultimo Teorema di Fermat prima del 1993.5

Nel De summis serierum reciprocarum (1735) Eulero presentò ben quattro distinte soluzioni del problema di

Basilea. Quella che gli valse la fama è la terza, rimasta celebre per la sua eleganza e bellezza. L’idea guida della

dimostrazione è di trasformare una somma infinita di potenze in un prodotto infinito e questo di nuovo in una somma

infinita. Il confronto dei coefficienti delle potenze consente infine di ricavare il risultato voluto. Eulero avrebbe

applicato ancora questo trucco più avanti nella sua carriera. In breve il ragionamento si svolge come segue.

La funzione sinxx ha radici (o zeri) a , 2 , 3 , 4π π π π± ± ± ± K e ha come sviluppo in serie il polinomio

infinito 2 4 6

13! 5! 7!

x x x− + − +L . Estendendo una regola valida per i polinomi finiti, Eulero assunse di poter

scomporre un polinomio infinito in un prodotto infinito, in questo caso

2 2 2

2 2 21 1 1 1 1 1 1 1 1 .

2 2 3 3 4 9

x x x x x x x x x

π π π π π π π π π − + − + − + = − − −

L L

1 Piergiorgio Odifreddi, Buon compleanno, Eulero!, in «Le Scienze», n. 464, aprile 2007, p. 105

2 John Derbyshire, L’ossessione dei numeri primi, Bollati Boringhieri, Torino 2006, p. 77

3 come testimonia uno scritto del 1747, Rettung der Göttlichen Offenbahrung Gegen die Einwürfe der Freygeister (Difesa delle rivelazioni

Divine contro le obiezioni dei liberi pensatori). 4 Carl Boyer, Storia della Matematica, Mondatori, Milano 1980, p. 514

5 Ed Sandifer, Euler’s Solution of the Basel Problem – The Longer Story (2003)


2

Si tratta di un prodotto infinito molto complicato, ma ci si rende subito conto che se lo si esegue si ottiene

nuovamente un polinomio infinito, con un termine costante uguale a 1 e con il termine in2x che raccoglie i

corrispondenti coefficienti che compaiono nel prodotto infinito, vale a dire

22 2 2

1 1 11

4 9x

π π π − + + + +

L L

Dal confronto con il polinomio di partenza

2 4 62

2 2 2

1 1 11 1

3! 5! 7! 4 9

x x xx

π π π − + − + = − + + + +

L L L

si ricava 2 2 2 2

1 1 1 1 1

3! 4 9 16π π π π − = − + + +

L e da questo infine l’agognato risultato

21 1 11

4 9 16 6

π+ + + + =L

Continuando a lavorare sui coefficienti delle potenze successive (4 6, ,x x K ) Eulero fu in grado di calcolare le

seguenti somme di serie infinite:

4

4 4 4

1 1 11 .....

902 3 4

π+ + + + = ,

6

6 6 6

1 1 11 .....

9452 3 4

π+ + + + = ,

8

8 8 8

1 1 11 .....

94502 3 4

π+ + + + = ,

10

10 10 10

1 1 11 .....

935552 3 4

π+ + + + = ,

12

12 12 12

1 1 1 6911 .....

6825 935552 3 4

π+ + + + =⋅

,

e, circa dieci anni più tardi (1744), anche la somma della serie 24 26

26 26 26

1 1 1 2 769779271 .....

27!2 3 4

π+ + + + = . 6

La soluzione del problema di Basilea suscitò l’ammirazione dei contemporanei e procurò a Eulero grande

notorietà, ma il metodo impiegato dipendeva da alcune assunzioni piuttosto difficili da giustificare. Eulero era

6 Questo risultato può essere generalizzato a ogni serie di reciproci delle potenze pari degli interi:

( ) ( )( )

12 1 22

2 2 2

2 11 1 12 1 .....

2 !2 3 4

kk kk

k k k

Bk

k

πζ

−− −= + + + + = ,

dove Bk sono i cosiddetti numeri di Bernoulli eζ è la funzione zeta di Riemann. I numeri di Bernoulli si possono calcolare in svariatissimi

modi; sono notevoli le espressioni in forma di determinante:

( )2

1 0 0

1 02 !

12!1 13! 2!

1 1 1 12!2 1 ! 2 ! 2 1 !

kB k

k k k

=

+ −

L

L

L L L L L

L

.

Di nessuna serie di reciproci di potenze dispari è invece nota la somma in forma chiusa.


3

partito dalla constatazione che la funzione sinx

x e il prodotto infinito 1 1 1 1

2 2

x x x x

π π π π − + − +

1 13 3

x x

π π − +

L hanno esattamente le stesse radici, e inoltre hanno lo stesso valore in 0x = . Da ciò aveva

asserito che le due funzioni dovevano essere uguali. In effetti è così, ma si tratta di una semplice coincidenza:

l’uguaglianza delle radici e di alcuni valori sono condizioni necessarie, ma non sufficienti, per l’uguaglianza di

due funzioni. Si potrebbe far notare, ad esempio, che anche sinx x

ex

ha le stesse radici di sinx

x e lo stesso

valore in 0x = ma non è la stessa funzione. Benché ai suoi tempi non sembra siano state sollevate obiezioni di

questo tipo pare certo che Eulero si rendesse conto che c’era qualcosa di misterioso e di incompiuto nella

spiegazione di questo passaggio cruciale. Lo prova il fatto che ritornò più volte sull’argomento tentando, invero

senza molto successo, di trovare una giustificazione rigorosa della tecnica del prodotto infinito. Nel 1741

elaborò una nuova soluzione con un metodo completamente differente, indipendente dalle oscure proprietà del

prodotto infinito. Si tratta della prima soluzione di un certo rigore, ma non ancora secondo gli standard

moderni.7 Ben conscio della debolezza del suo metodo Eulero confidava tuttavia nella correttezza del risultato

cui era pervenuto. La sua convinzione si poggiava su un’accurata stima numerica intrapresa alcuni anni prima,

mentre lavorava al problema dell’interpolazione delle serie, la cui esposizione si trova nel De summatione

innumerabilium progressionum (1730).

Consideriamo ad esempio la somma della serie armonica

1 1 11

2 3 4+ + + +L

La prima somma parziale è 1, la seconda 3/2, la terza 11/6, e così via. Eulero si pose la seguente domanda: ha

qualche significato parlare di somme parziali di ordine non intero, per esempio la 1 esima2 o la 3 esima2 ?

Ricordiamo che la somma di una serie geometrica finita di n termini è 2 3 1 11

1

nn x

x x x xx

− −+ + + + + =−

L . La

formula può essere applicata per ogni valore di n e quindi ha significato anche se n non è un numero intero.

Integrandone entrambi i membri si ricava

2 3 4 1

2 3 4 1

n nx x x x xx dx

n x

−+ + + + + =−∫L . 8 (1)

Dalla (1), ponendo x = 1 nella somma a sinistra del segno di uguale e ponendo uguale a 1 il limite

superiore d’integrazione nell’integrale a destra, si ottiene a sinistra la somma dei primi n termini della serie

armonica, vale a dire 1 1 1 1

12 3 4 n

+ + + + +L e a destra l’integrale definito 1

0

1

1

nxdx

x

−−∫ . 9

7 Oggi sono note almeno quattordici diverse soluzioni del problema di Basilea.

8 In questa e nelle successive integrazioni viene omessa, come fece Eulero, la costante d’integrazione. Ciò equivale a porre uguale a zero il

limite inferiore d’integrazione. 9 Eulero non usava la notazione moderna di integrale definito ( )1

0f x dx∫ ma scriveva l’integrale indefinito ( )f x dx∫ aggiungendo la postilla

” fiat=0 si x=0 positoque x=1…” (sia=0 se x=0 e posto x=1…).


4

Così Eulero usò il valore di un integrale definito per definire la somma dei primi n termini della serie

armonica anche se n non è intero. Per molti valori non interi di n si tratta di un integrale piuttosto difficile da

calcolare, ma nel caso n=1/2 l’integrazione è abbastanza agevole: 1 1

0 0

1 1

1 1

xdx dx

x x

− = =− +∫ ∫

( )1

02 2ln 1 2 2ln 2x x − + = −

, e definisce la somma parziale di ordine 1

2. Consideriamo ora la serie delle

somme dei primi termini della serie armonica:

1

2

3

4

1,

11 ,

21 1

1 ,2 31 1 1

1 , .2 3 4

s

s

s

s

=

= +

= + +

= + + + L

Il termine n+1-esimo è uguale al termine n-esimo più la frazione 1

1n+, cioè 1

1

1n ns sn+ = +

+. Usando il

metodo di Eulero possiamo allora calcolare il termine di ordine 12

1

( ) ( ) ( )1 12 21 1

2

1 2 22 2ln 2 2 2ln 2

1 3 3s s+ = + = − + = + −

+,

il termine di ordine 12

2

( ) ( ) ( )3 312 2 22 1 3

2

1 2 2 2 22 2ln 2 2 2ln 2

1 3 5 3 5s s s+ +

= = + = + − + = + + − + ,

e in generale il termine di ordine 12n

( )12

2 2 22 2ln 2

3 5 2 1ns

n+ = + + + + −+

L .

La serie delle somme parziali della serie armonica, interpolata con le somme intermedie di ordine non

intero che abbiamo appena calcolato è dunque

} }1 112 22

1 2212 1 2 23 2 3 5

2 2ln 2 1 2 2 ln 2 1 2 2ln 2

n nn nn

ns

= == ==

= − + − + + + −64748 644744864748

L .

Osserviamo che integrando nuovamente la (1) si ottiene ( )2 3 4 5 1

1 2 2 3 3 4 4 5 1

nx x x x x

n n

++ + + + + =

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ +L

1

1

nydy dx

y

− − ∫ ∫ , che non è ancora la somma della serie dei quadrati reciproci ma la ricorda molto da vicino.

Eulero notò a questo punto che se prima di integrare si divide per x si ottiene 2 31

2 3

nx x xx dx

x n

+ + + + =

∫ L

2 3 1 1

2 2 3 3 1

n nx x x yx dy dx

n n x y

−+ + + + = ⋅ ⋅ ⋅ − ∫ ∫L . L’integrale di destra è ancora intrattabile, ma per n molto


5

grande (al limite infinito) si può approssimare a ( )ln 11

1

xdydx dx

x y x

− = − −

∫ ∫ ∫ ,10 che con il cambiamento di

variabile 1z x= − si trasforma nel più accessibile 1

ln

1

z zdz

z−∫ .11

Ricordando lo sviluppo in serie di 2 311

1z z z

z= + + + +

−L e di ( )ln 1 lnz x− − = − =

2 3

12 3

nz z zz

n

∞

+ + + =∑L il calcolo così prosegue:

( )

( )

2 3 12 21 1 1

1 1

2 2 2 21 1 1

2 3 4 5

2 21

ln 1 ln1 ln ln

1

1 1ln ln ln

,4 9 16 25

n nz z zn

n n n

n n

z z z zdz z z z zdz z zdz

z nn n

z z zz x z

nn n n n

x x x x x xx

n n

∞ ∞−

∞ ∞ ∞

∞

= + + + + = = − + = −

= − + = − + − =

= + + + + + + + =

∑ ∑∫ ∫ ∫

∑ ∑ ∑

∑

L

L L

fino a ottenere

2 2 2 21 1 1 1

1ln ln ln ln

n n n nx z x zx z x z

n n n n

∞ ∞ ∞ ∞ += + + = +∑ ∑ ∑ ∑ .

Ora, poiché 1z x= − , vale a dire 1x z+ = , è facile vedere che la somma della serie 2

1

n nx z

n

∞ +∑ converge con la

massima rapidità quando 1

2x z= = . Eulero giunse così a stabilire che

( )2

2 1 21 1

1 1ln 2

2nn n

∞ ∞

−= +∑ ∑ . (2)

L’importanza della (2) risiede nel fatto che la somma della serie 1 2

1

1 1 11

8 362n n

∞

− = + + +∑ L a destra del

segno di uguale converge molto più rapidamente della somma della serie dei quadrati reciproci

21

1 1 1 11

4 9 16n

∞

= + + + +∑ L che compare a sinistra, così da rendere praticabile, attraverso la prima, una stima

numerica di precisione della seconda.

Eulero fornì una prima stima con sei decimali nel 1730, indicando per la somma della serie

1 11

8 36+ + +L un valore prossimo a 1,164481 e per ( )2

ln 2 il valore 0,480453. Da questi due valori e dalla (2)

ricavò che 1 1

14 9

+ + +L=1,164481+0,480453=1,644934. Il saggio del 1730 si chiude appunto con

l’esposizione di questa stima e con l’importante osservazione che per ottenere lo stesso risultato con un calcolo

10

( )0 0

lim1 ln 11 1

x x

n

ny dydy xy y→∞

= =− − −− −∫ ∫ .

11 In questo integrale e nei successivi compaiono esplicitamente i limiti d’integrazione per evitare ambiguità nella definizione delle costanti d’integrazione. Il limite inferiore viene posto uguale a 1 in conseguenza del cambiamento di variabile da x a z.


6

diretto di 1 1

14 9

+ + +L si sarebbero dovuti calcolare e sommare più di mille termini,12 e non a caso il

fondamentale saggio del 1735 si apre con la presentazione di una nuova stima con diciannove decimali:

1 11

4 9+ + +L=1,6449340668482264364. Moltiplicando questo numero per 6 ed estraendo la radice quadrata –

fa notare Eulero - si ottiene il valore con diciotto cifre decimali di π =3,141592653589793238. Simili

coincidenze numeriche si verificano anche con altre somme.

L’elegante soluzione di Eulero del problema di Basilea 21 1 1

14 9 16 6

π+ + + + =L è un’eloquente

testimonianza della genialità del suo autore, ma essa fu anche frutto di un duro e oscuro lavoro di calcolo

numerico, condotto nel corso di alcuni anni in modo paziente e meticoloso. Le sorprendenti concordanze che via

via emergevano dai calcoli furono di fondamentale incoraggiamento per Eulero, inducendolo a impiegare gli

strumenti dell’indagine analitica nella ricerca di dipendenze – prima di allora insospettate - tra somme di serie

dei reciproci di quadrati e potenze, funzioni circolari e π .

Appendice

La stima numerica del problema di Basilea

La stima della somma di una serie numerica si fonda sul calcolo dell’errore che si commette sostituendo la

somma della serie con la somma dei suoi primi n termini.

Data una serie na e detta 1 2n ns a a a= + + +L la somma dei suoi primi n termini, ai fini del calcolo

dell’errore si introduce il resto 1 2 3n n n nr a a a+ + += + + +L . Per la somma 1 1

14 9

+ + +L della serie dei quadrati

reciproci abbiamo 2 2 2 2

1 1 1 1

1 2 3nsn

= + + + +L e ( ) ( ) ( )2 2 2

1 1 1

1 2 3nr

n n n= + + +

+ + +L . Per nr valgono le

disuguaglianze:

( )( ) ( )( ) ( ) ( )( )1 1 1 1

1 2 2 3 1 1 2nrn n n n n n n n+ + < < + +

+ + + + + + +L L ,

1 1 1 1 1 1 1 1

1 2 2 3 1 1 2nrn n n n n n n n − + − + < < − + − + + + + + + + +

L L ,

1 1

1 nrn n< <

+,

1 1 1 1 1 11

1 4 9 1 1n ns sn n n n

+ < + + + < + + − + + + L ,

1 1 1 1 10 1

4 9 1 1nsn n n

< + + + − + < − + + L .

L’ultima disuguaglianza indica che sostituendo 1 1

14 9

+ + +L con la somma dei primi n termini più 1

1n+

si commette un errore ( )1 1 1

1 1nen n n n

< − =+ +

. Per 1000n = 1

0,0000011001000ne < < , cioè l’errore è dopo la

12

vedi Appendice per i dettagli di questa stima.


7

sesta cifra decimale. Questo spiega l’affermazione di Eulero che per ottenere il valore di 1 1

14 9

+ + +L con sei

cifre decimali esatte si sarebbero dovuti calcolare e sommare più di 1000 termini.

Si noti che anche ( ) ( ) 1 1

11

lim ln 1 ln 2 1n

xx n

∞− −

→+ = = −∑ ha una convergenza molto lenta. Il resto

( ) ( ) ( )1 21 1 1

1 2 3

n n n

nr n n n

+ +− − −= + + +

+ + +L è a segni alterni e perciò si può scrivere nella forma

1 1 1 1 1 1

1 2 3 4 5 6nr n n n n n n = − + − + − + + + + + + +

L . Per nr valgono le disuguaglianze:

1 1 1 1 1 1 1

1 2 2 3 3 4 1nr n n n n n n n < − + − + − + = + + + + + + +

L ,

1

1nr n<

+.

L’errore è 1

1nr n<

+, vale a dire che la somma dei primi n termini differisce da ln 2 di meno dell’n+1-

esimo termine.

Concludiamo con il resto ( ) ( ) ( )2 2 21 2

1 1 1

2 1 2 2 2 3n n n n

rn n n+ +

= + + ++ + +

L della somma della serie

1 11

8 36+ + +L . Per esso valgono le seguenti disuguaglianze:

( )( ) ( )( ) ( ) ( )( )1 1 1 1 1 1 1 1

21 2 2 2 3 4 1 2 1 2 4

nnrn n n n n n n n

+ ⋅ + < < + ⋅ ++ + + + + + +

L L ,

1 1 1 1 1 1 1 1 1 12

1 2 2 2 3 1 2 1 2n

nrn n n n n n n n − + − + < < − + − + + + + + + + +

L L ,

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 12

1 2 2 4 3 8 4 2 1 4 2 8 3n

nrn n n n n n n n− ⋅ − ⋅ − ⋅ < < − ⋅ − ⋅ − ⋅

+ + + + + + +L L ,

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

1 2 2 4 2 8 2 1 2 4 8 2

1 1 1 1 1 1 1 1 12

1 2 1 2 2 4 3 8 4n

n

n n n n n n

rn n n n n n

− ⋅ − ⋅ − ⋅ = − + + + = + + + + + +

= − < − ⋅ − ⋅ − ⋅ <+ + + + + +

L L

L

dove si è tenuto conto che 1 1 1

2 4 8+ + +L=1,

1 1 1 1 1 1 1 12

2 1 4 2 8 3n

nr n n n n n< − ⋅ − ⋅ − ⋅ <

+ + +L ,

1 1 12

1 2n

nrn n n− < <

+ +,

1 1 1 1

1 22 2nn nr

n n n − < < + +

,

1 1 1 1 1 11

1 2 8 362 2n nn ns s

n n n + − < + + + < + + +

L ,

1 1 1 1 1 1 1 1 1 10 1 .

8 36 1 2 1 22 2 2n n n ns

n n n n n n

< + + + − + − < − + < + + + + L

L’ultima disuguaglianza indica che l’errore che si commette sommando i primi n termini e aggiungendo

( )( )1 1 1 1

1 22 2 1 2n nn n n n − = + + + +

è 1

2n ne

n< . Per 16n ≥ 0,000001ne < , cioè l’errore è dopo la sesta cifra


8

decimale. Questo significa che per ottenere la stima di Eulero del problema di Basilea è sufficiente fermarsi

dopo i primi sedici termini della serie 1 1

18 36

+ + +L contro gli oltre mille necessari, come abbiamo visto, per

una stima diretta della serie 1 1

14 9

+ + +L con la stessa precisione.

il primo colpo del ciclope matematico

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