IL PROBLEMA

Somma fra frazioni algebriche

Lezione di matematica

Prof Giovanni Ianne

Come facevi finora?Fra frazioni numeriche: Fra espressioni letterali semplici:

Es:

1 5

── − ── =

6 9

──── =

…..

Es:

1 5

── − ── =

ab b2

────b − 5a

ab2

Cosa fai?

Scomponi in fattori primi i denominatori:

6 = 2·3

9 = 32

Poi calcoliil mcm: 2·32 = 18

Quindi procedicome di consuetocon i numeratori

────3 − 10

18

Cosa fai?

Scomponi in fattori primi i denominatori:

ab = a·b

b2 = b2

Poi calcoliil mcm: a·b2 = ab2

Quindi procedicome di consuetocon i numeratori

──── =

…..

Procediamo in modo analogoanche per le frazioni algebriche

Fra frazioni algebriche:Fra frazioni numeriche:Es:

1 5

── − ── =

6 9

──── =

…..

Cosa hai fatto ?

Hai scomposto in fattoriprimi i denominatori:

6 = 2·3

9 = 32

Poi hai calcolatoil mcm: 2·32 = 18

Quindi hai proceduto come diconsueto con i numeratori

────3 − 10

18

Es:

1 5

──── − ──── =

(2x+2) (x2+x)

───?

??

Cosa faresti?

Devi scomporre in fattori primi i denominatori !!!

Potresti poi calcolare il mcm

Quindi procederesti come di consueto con i numeratori

Ma i denominatorisono polinomi!!!

Ma allora….

MA ALLORA…

IL PROBLEMA E’ CAMBIATO:

MA COME SI FA??

SI DEVONO SCOMPORRE I POLINOMI!!

Cosa significa quindi …scomporre un polinomio in fattori?

Significa scrivere il polinomio

x2 + x

Polinomio di 2° grado

Tramite il metodo di scomposizione in fattori

Forma additiva Forma moltiplicativa

come prodotto di polinomi di grado minore o uguale a quello del polinomio dato ossia:

In altri termini:

Addendo Addendo

x (x+1)

2 Polinomi di 1° grado

FattoreFattore

sommamoltiplicazione

Formula additiva Formula moltiplicativa Alcuni esempi

Forma additiva Forma moltiplicativa

2 Polinomi di 1° grado

3a (1+2b)

Addendo Addendo

somma

FattoreFattore

moltiplicazione

(a+1) (a+2)

2 Polinomi di 1° grado

Fattore Fattore

moltiplicazione

3a 6ab

Polinomio di 1° grado

+

a2 3a 2

Polinomio di 2° grado

++

AddendoAddendo Addendo

sommasomma

Polinomi Riducibili o Irriducibili ?

3a + 6ab = 3a (1+2b) (verifica:3a·1+3a·2b=3a + 6ab)

• 3a (1+2b) sono due fattori irriducibili

a2 + 3a + 2 = (a+1) (a+2) (verifica: a2+2a+a+4= a2+3a+2)

• (a+1) e (a+2) sono due fattori irriducibili

Un polinomio che si può scrivere come prodotto di polinomi ciascuno dei quali

di grado minore o al più uguale al polinomio dato

Riducibile

Un polinomio che non può essere scritto come prodotto di polinomi

Irriducibile

Ma come si fa a scomporre un

polinomio in fattori?Come ti sarai reso conto

il problema della fattorizzazione è diventato molto più complesso.Lavorando con i numeri le difficoltà insorgono quando

si trattano numeri “abbastanza grandi”,invece quando si lavora con i polinomi

si possono incontrare notevoli difficoltàanche quando consideriamo polinomi di grado “piccolo”

Perché accade questo ?Perché non esistono delle regole che consentono, in generale, di

trovare la scomposizione di un polinomio

E allora come facciamo ?

Prima di tutto: NON TI SCORAGGIARE

Vai avanti e lo scoprirai !!!!

Linee guida per la scomposizione (1)

Non esistono delle regoleben precise per la

scomposizione dei polinomiMA

Esistono, in ogni caso, dei metodi da scegliere in modo opportuno, in funzione del

polinomio

Come si fa a scegliere il metodo più opportuno ?

Ci si basa principalmente su due criteri guida

Raccogliere a fattor comune il M.C.D., se esiste e se è diverso

da 1, tra tutti termini delpolinomio Contare i termini che compongono

il polinomio

Nota Bene:L’abilità nella scelta del metodo più opportuno e

nella combinazione dei vari metodi possono essere

acquisite solo con l’esperienza e l’esercizio

Linee guida per la scomposizione (2)

Contare i termini del polinomio

2° Passo

Sono Due ?

Applica la tecnica

•Differenza di due quadrati•Somma o differenza di duecubi

Sono Tre ?

Applica la tecnica

•Sviluppo del quadrato diun binomio•Un trinomio di secondogrado

SI POI

NONO COME ?

3° Passo

Tentare con la tecnica di

Scomposizione Parziale

Tentare con il Teorema e la

Regola di Ruffini

Non sono due, né tre, né

quattro o sei

oppure

Non è possibileapplicare

nessuna delle tecniche suggerite

Applica la tecnica

•Cubo di un binomio•Differenza di due quadratidi cui uno è il quadrato di unbinomio

Sono Quattro?

Applica la tecnica

•Cubo di un binomio•Differenza di due quadratidi cui uno è il quadrato di unbinomio

•Quadrato di un trinomio•Differenza dei quadratidi due binomi

Applica la tecnica

•Quadrato di un trinomio•Differenza dei quadratidi due binomi

Sono Sei ?

Applica la tecnica

1° Passo

Verificare se è possibile applicare il Metodo di

Raccoglimento a Fattor Comune (o Totale)

Applicare la tecnicadi Raccoglimento

Totale

Verificare se il polinomio è

ulteriormente scomponibile

Per continuare,

seleziona una tecnica