il problema: un percorso ad ostacoli

Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio 2013

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Il problema: un percorso ad ostacoli

• Spunti per insegnare ad affrontare e risolvere problemi matematici

19 marzo 2013


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Lunghezza di una linea Lunghezza di una linea limitatalimitataIntuitivamente: linea limitata è una linea nella quale è possibile individuare un primo punto e un ultimo punto, tra i quali sono compresi tutti gli altri punti della linea.

Esempi di linee limitate:

segmenti, circonferenze, archi di

circonferenza, ellissi, …

Esempi di linee non limitate:

rette, semirette, iperboli, parabole, …

hanno una qualità chiamata “lunghezza” che è una grandezza

estensiva

non è definita la loro

lunghezza

Concetto definito a partire dai segmenti


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Lunghezza di un Lunghezza di un segmento

relazione fondante: congruenza tra due segmenti, realizzata concretamente tramite il trasporto rigido

la congruenza è una relazione di equivalenza:

P. riflessiva: ogni segmento x è congruente a se stesso

x xP. simmetrica: se un segmento x è congruente a un segmento y, allora y è congruente a x

x y y x

P. transitiva: se un segmento x è congruente a un segmento y e y è congruente ad un segmento z, allora anche x è congruente a z

x y e y z x z


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a

bc

d

e

f

g

h

mediante trasporto rigido si verifica che:

a e f

b d h

c g

a b

c

d

ef

g

h

ℓ1

ℓ2

ℓ3

segmenti tra loro congruenti formano una classe di equivalenza

la proprietà che accomuna segmenti appartenenti alla stessa classe di equivalenza, cioè uguali rispetto al movimento rigido, si chiama lunghezzaSegmenti congruenti definiscono la

stessa lunghezza, rappresentata da un segmento qualunque della classe


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Analogia nel procedimento definitorio del concetto di lunghezza di un segmento e di quello di direzione di una retta:Insieme di rette del

piano

Ripartizione in classi di parallelismo

Definizione di direzione

Insieme di segmenti del piano

Ripartizione in classi di congruenza

Definizione di lunghezza

relazione di equivalenza: parallelismo

relazione di equivalenza: congruenza

associazione ad ogni classe di una proprietà astratta

associazione ad ogni classe di una proprietà astratta

Due rette o sono uguali o sono diverse

rispetto alla direzione

Due segmenti o sono uguali

o sono diversi rispetto alla lunghezza


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Differenze tra la “qualità” direzione di una retta e la “qualità” lunghezza di un segmento

Rette aventi direzione diversa non possono essere “ordinate” rispetto alle relative direzioni

Non ha alcun significato la somma di due direzioni

Non ha alcun significato parlare di multipli e sottomultipli di una direzione

Segmenti aventi lunghezza diversa possono essere “ordinati” rispetto alle relative lunghezze

Ha senso determinare la somma di due lunghezze

Ha senso parlare di multipli e di sottomultipli di una lunghezza

La direzione non è una grandezza

La lunghezza è una grandezza estensiva


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Addizione tra lunghezzeAddizione tra lunghezze

addizione tra segmenti: siano AB e BC due segmenti tra loro adiacenti; si chiama segmento somma di AB con BC il segmento AC e si scrive AC = AB + BC

AB

C

l’addizione tra segmenti è definita solo se i segmenti sono fra loro adiacenti;

se i segmenti non sono adiacenti il segmento somma non è definito.


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addizione tra lunghezze: fondata su

possibilità di sommare due segmenti adiacenti

possibilità di rappresentare una lunghezza con uno qualunque degli infiniti segmenti appartenenti alla classe di equivalenza associata alla lunghezza

Siano ℓ1 e ℓ2 due lunghezze; scelto un segmento AB come

rappresentante di ℓ1, si prenda come rappresentante per ℓ2 un

segmento BC adiacente ad AB.

Si definisce somma di ℓ1 con ℓ2 la lunghezza rappresentata dal

segmento AC

ℓ1 + ℓ2 = ℓAC


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Lunghezza di una spezzata: è la lunghezza somma delle lunghezze dei lati della spezzata

A

E

D

C

B

Non ha senso la somma di segmenti

AB + BC + CD + DE

Ha senso la somma delle lunghezze

ℓAB + ℓBC + ℓCD + ℓDE

e il risultato è la lunghezza della spezzata ABCDE


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Lunghezza di una linea curva(da “Nel mondo della geometria” vol. 5 a cura di

C. Colombo Bozzolo, Angela Costa e Carla Alberti Erickson da pag. 55 a pg. 60)

Nel caso di linee che non sono segmenti e non sono spezzate la definizione rigorosa di lunghezza comporta il ricorso a processi infinitesimali, ossia l’approssimazione della linea con spezzate che sono progressivamente più “prossime” alla linea e hanno i vertici sulla linea o sono ad essa tangenti, come mostrano i seguenti disegni

La lunghezza della linea è il limite a cui tende la successione delle lunghezze delle spezzate così costruite, quando tende ad infinito il numero dei lati delle spezzate.


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I concetti di lunghezza, area, volume(da “Nel mondo della geometria” vol. 5 a cura di


Nella pratica la lunghezza di una linea con elementi curvi si determina o tramite rettificazione, per esempio con cordicelle, oppure con il curvimetro, ruota graduata in centimetri da fare scorrere sulla linea.


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Curvimetri


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La lunghezza e la sua misura (da “Nel mondo della geometria” vol. 5 a cura di


Itinerario didattico

6.1 Confronto di lunghezze6.1.1 Confronto diretto di lunghezze6.1.2 Confronto indiretto di lunghezze con l’uso di un medio

termine6.2 Misurazione di lunghezze con unità di misura arbitrarie

6.2.1 Utilizzo di unità di misura di un solo tipo6.2.2 Utilizzo contemporaneo di più unità di misura

6.3 Misurazione di lunghezze con unità di misura convenzionali6.3.1 Utilizzo del metro6.3.2 Costruzione dei sottomultipli del metro6.3.3 Costruzione dei multipli del metro

6.4 Il concetto di perimetro6.4.1 Determinazione della lunghezza di una linea limitata6.4.2 Determinazione del perimetro di un poligono 6.4.3 Determinazione della lunghezza di una circonferenza


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La lunghezza è senza alcun dubbio la grandezza di cui gli alunni hanno maggiore esperienza extrascolastica, sia per quanto riguarda la grandezza in sé sia per quanto riguarda la relativa misura.

Pluralità di manifestazioni e di espressioni per la lunghezza

altezza spessore altitudine o profondità

distanzalunghezza larghezza


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Dal linguaggio comune:

“quanto è lungo quel film?” non si intende sapere quant’è la lunghezza della pellicola, ma quanto dura la proiezione del film.

“in un tema non conta la lunghezza” ci si riferisce al numero di pagine scritte, numero che può essere considerato una misura di area.


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Visualizziamo in modo sintetico le diverse terminologie con cui può essere espressa la lunghezza, con un albero

vicino


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6.1.1 Confronto diretto di lunghezze (da “Nel mondo della geometria” vol. 5 a cura di


Condizione necessaria affinché una “qualità” possa essere definita grandezza è che due enti possano essere confrontati rispetto a questa “qualità” in modo da stabilire se rispetto ad essa sono uguali o non sono uguali;

inoltre, nel caso di non uguaglianza, deve essere possibile confrontare i due enti, così da stabilire quale di essi “possiede” più o meno intensamente la “qualità” (stabilire relazioni d’ordine)

Confronto diretto, ossia l’accostamento o la sovrapposizione dei due enti di cui si vuole confrontare la lunghezza.


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Confronto diretto nella vita quotidiana

• fa allineare in ordine crescente di altezza: per eseguire il comando non è necessario sapere quanto ciascuno è alto, basta accostarsi spalla a spalla e vedere la spalla di quale bambino sopravanza quella dell’altro;

• verificare se un mobile passa o non passa da una porta per larghezza o per altezza;

• se un libro sta sul ripiano di una libreria a mensole;• se uno scatolone passa o meno sotto il letto;…


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6.1.1 Confronto diretto di lunghezze (da “Nel mondo della geometria” vol. 5 a cura di


La semplicità della richiesta di un confronto diretto non è, però, sinonimo di banalità in quanto gli alunni devono rendersi conto che per effettuare il confronto è necessario fare coincidere il “punto di partenza” dei due enti.

Inoltre, essi sperimentano che ha senso il confronto di lunghezze solo per i corpi rigidi, nel senso di corpi che non sono estensibili ed elastici, mentre possono essere flessibili e “non diritti”: date due cordicelle è possibile stabilire quale è più lunga, tendendole, mentre la medesima operazione è priva di significato nel caso di due elastici.


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Riflessioni sul linguaggio• Un oggetto non è lungo o corto, alto o basso, largo o stretto, … in

assoluto, ma è più o meno lungo, più o meno corto, …. di un altro.• Alla varietà nei modi di esprimere la lunghezza si aggiunge la

presenza di termini, per lo più aggettivi, propri per indicare la “mancanza” di lunghezza: più corto, più stretto, più basso, … Anche in questo caso si tratta di un linguaggio fortemente connesso alle situazioni reali, nelle quali si distingue anche il caldo dal freddo, pur avendo esistenza fisica solo il calore e il freddo è assenza di calore, non ha esistenza in sé.

• È importante guidare gli alunni a formulazioni nelle quali sia ben chiara la grandezza rispetto alle quali due oggetti vengono confrontati, anche per non indurre l’idea errata di due diversi ordinamenti opposti e presenti contemporaneamente: quello delle lunghezze e quello delle “strettezze”; all’espressione “la cannuccia rossa è più corta della cannuccia verde” è, dunque, preferibile sostituire “la cannuccia rossa è meno lunga della cannuccia verde”.


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Importante • L’uguaglianza o la non uguaglianza di lunghezza non dipendono dalla

posizione dei due corpi.• Se si dispongono sul banco un pezzo di cannuccia A e un pezzo di

cannuccia B, in modo che, per esempio, siano affiancate come mostra il disegno

• si rileva che B è più lunga di A. Se, poi, le stesse due parti di cannuccia vengono diversamente disposte, la relazione tra le loro lunghezze non cambia

A

B

A

B


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La lunghezza

L’unità di misura della lunghezza è il metro (m), definito come la distanza percorsa dalla luce, nel vuoto, in un intervallo di tempo pari a 1/299 792 458 di secondo.


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è certo che si commettono errori

Misurare è un problema Misurare è un problema perché …perché …

diverso è misurare nelle scienze sperimentali dal misurare in matematica

Riflettiamo…


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È impossibile determinare la misura “vera” di una grandezza

ogni misura è affetta da errore

Errori casuali

causati da molteplici fattori (vibrazioni,…)

non eliminabili

sia in eccesso sia in difetto

Errori sistematici

difetti negli strumenti

eliminabili

o in eccesso o in difetto

Teoria degli erroriTeoria degli errori


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Qualche esempio: Se si usa una bilancia con la sensibilità al grammo, è necessario esprimere le misure di massa fino alla cifra dei grammi:

3,46 hg 8,235 kg 7,0 dag La scrittura 7,0 dag letta

in matematica ha uno 0 “inutile”: 7,0 dag = 7 dag

nelle scienze sperimentali contiene indicazione della sensibilità dello strumento

l’equivalenza 15 kg = 1 5000 g è

corretta dal punto di vista matematico

scorretta dal punto di vista sperimentale: 15,00 kg = 1 5000 g

l’equivalenza 600 g = 0,6 kg è

corretta dal punto di vista matematico e da quello sperimentale


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Tre sono i “livelli”

ENTE ENTE (GEOMETRICO(GEOMETRICO

))

GRANDEZZAGRANDEZZA(qualità (qualità

estensiva)estensiva)

MISURAMISURA

attraverso relazione

di equivalen

za

fissata unità di misura

segmento (linea limitata) numer

o lunghezz

a

congruenza

poligono (figura piana

limitata)

numero

area equiestensione

angolo

ampiezza

numero

congruenza

figura solida

volume numero

equiestensione


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È giusto o sbagliato dire …

Il lato di un quadrato misura 5 cm

L’area di un triangolo misura 38 m2

Il perimetro di un rettangolo è lungo 20 cm

L’angolo retto misura 90°

Il volume di un cubo è 64 cm3


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Quali unità di misura?Quali unità di misura?

Sistema Internazionale di Unità (SI)

(XI Conferenza Generale di Pesi e Misure – 1960)

Legge dello Stato Italiano:

Legge n. 122 del 14.04.1978

D.P.R. n. 802 del 12.08.1982

Precisa:

grandezze, unità di misura e simboli ammessi

multipli e sottomultipli

regole di scrittura


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SI: grandezze, unità di misura e SI: grandezze, unità di misura e simbolisimboli Grandezze fondamentali: 7 grandezze indipendenti l’una dall’altra

GRANDEZZAGRANDEZZA UNITÀ MISURAUNITÀ MISURA SIMBOLOSIMBOLO

lunghezza metro m

massa chilogrammo kg

intervalli di tempo secondo s

temperatura kelvin K

intensità corrente ampere A

intensità luminosa candela intern. cd

quantità di sostanza

mole mol


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Grandezze derivate: tutte le grandezze non fondamentali

sono definite a partire dalle grandezze fondamentali oppure da altre non fondamentali già definite

Esempi

- La velocità è il rapporto tra la variazione dello spazio percorso (lunghezza) e l’intervallo di tempo in cui è avvenuta tale variazione.

- L’accelerazione è il rapporto tra la variazione della velocità e l’intervallo di tempo in cui è avvenuta tale variazione.

le loro unità di misura sono derivate da quelle delle corrispondenti grandezze fondamentali

Esempi

- Per la velocità: 1 m/s

- Per l’accelerazione: 1 m/s2


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Unità tollerate: per alcune grandezze del SI sono ammesse a tempo indeterminato unità di misura diverse da quelle convenzionali

GRANDEZZGRANDEZZAA

UNITÀ MISURAUNITÀ MISURA SIMBOLOSIMBOLO

volume litro L, l, ℓ

massa tonnellata t

area ara a

1 a = 10 dam2

1 ha = 102 a = 10 hm2

Unità di misura di volumeUnità di misura di capacità

1m3

1kl 1hl 1dal

1dm3

1l 1dl 1cl

1cm3

1ml


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SI: multipli e sottomultipli di un’unità di SI: multipli e sottomultipli di un’unità di misuramisura

vengono precisati i valori dei multipli e dei sottomultipli ammessi, il loro nome, da premettere a quello dell’unità, e il loro simbolo, da premettere a quello dell’unità

FATTOREFATTORE NOMENOME SIMBOLOSIMBOLO

1 unità

103 kilo k

102 etto h

101 deca da

1012 tera T

1015 peta P

109 giga G

106 mega M

1018 exa EM

U

L

T

I

P

L

I


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FATTOREFATTORE NOMENOME SIMBOLOSIMBOLO

1 unità

1012 pico p

1015 femto f

1018 atto a

106 micro

109 nano n

103 milli m

102 centi c

101 deci dSOTTOMULTIPLI


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Multipli e sottomultipli tollerati: sono consentiti per alcune unità di misura multipli e sottomultipli non del tutto decimali, ma sessagesimali

GRANDEZZGRANDEZZAA

UNITÀUNITÀ SOTTOMULTIPLISOTTOMULTIPLI

Ampiezzaangolo

grado (1°)

primo (1’)= 1/60 (di grado)

secondo (1”)= 1/60 (di primo)

Intervalli di tempo

secondo (1s)

MULTIPLIMULTIPLI

minuto (1 min)= 60 s

ora (1h)= 60 min


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SI: alcune regole di scritturaSI: alcune regole di scrittura

Alcuni metri Alcuni m

Sbagliato!

Giusto!

Se l’unità di misura non è riferita ad un valore numerico scritto in cifre, allora l’unità va scritta per esteso

s 125 €

12 s€ 5

Sbagliato!

Giusto!

L’unità di misura segue il valore numerico cui si riferisce, tranne nel caso dei simboli monetari

7 kg.3h 15min

9 sec2 mt.

7 kg3h

15min9 s2 m

Sbagliato!

Giusto!

I simboli delle unità di misura non vanno puntati (sono simboli non abbreviazioni), vanno scritti in riga con il valore, non ammettono altra scrittura da quella indicata nel SI.


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Il lato di un quadrato

misura 5 cmSbagliato!

Il soggetto è un ente geometrico

Il verbo fa riferimento a un numero

È una lunghezza, quindi una grandezza

Formulazioni corrette:

Il lato di un quadrato è lungo 5 cm

La lunghezza del lato di un quadrato è 5 cm

La misura, in centimetri, della lunghezza del lato di un quadrato è 5


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Sbagliato!


L’area di un triangolo è 38 m2

Un triangolo ha area 38 m2

La misura, in metri quadrati, dell’area di un triangolo è 38

L’area di un

triangolo misura 38

m2

Il soggetto è una grandezza


È un’area, quindi una grandezza


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Il perimetro di un rettangolo è lungo 20 cm

Sbagliato!


Il perimetro di un rettangolo è 20 cm

Il soggetto è una grandezza

Il predicato esprime una proprietà del soggetto

È una lunghezza, quindi una grandezza


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L’angolo retto misura

90°

Sbagliato!


L’angolo retto è ampio 90°

L’ampiezza dell’angolo retto è 90°

La misura, in gradi, dell’angolo retto è 90

Il soggetto è un ente geometrico

È un’ampiezza, quindi una grandezza



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Il volume di un cubo è 64 cm3

Giusto!

È una grandezza

È una grandezza (la stessa)


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I tre diversi “livelli” andrebbero distinti non solo verbalmente, ma anche simbolicamente:

un simbolo per indicare l’ente geometrico

un altro simbolo per indicare la grandezza associata all’ente

un altro simbolo per indicare la misura della grandezza rispetto ad una certa unità fissata

Un segmento AB è lungo 12 cm

Segmento: AB

Lunghezza del segmento:

[AB] = 12 cmMisura, in centimetri, della lunghezza del segmento:

[AB]cm = 12


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Sistema Sistema centesimalecentesimale

Unità di misura:

grado centesimale 1g

è l’ampiezza della 400a parte

dell’angolo giro

Angoli notevoli:

- angolo giro: è ampio 400g

- angolo piatto: è ampio 200g

- angolo retto: è ampio 100g

Sistema in radiantiSistema in radianti

Unità di misura:

radiante 1rad

è l’ampiezza dell’angolo che posto al centro di

una circonferenza individua un arco lungo

come il raggio della circonferenza

Angoli notevoli:

- angolo giro: è ampio 2π

- angolo piatto: è ampio π

- angolo retto: è ampio π/2

La definizione di un angolo non può essere legata alla misura dell’ampiezza dell’angolo

stesso


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CONFRONTO DIRETTO DI LUNGHEZZEPICCOLI ARTISTI

Luca e Silvia hanno trovato su una rivista di bricolage il modellino di un teatrino e vogliono provare a costruirlo per poter rappresentare con i burattini a dita una commediola. Potrai costruire anche tu un piccolo teatrino utilizzando i pezzi che troverai nella pagina seguente. Segui attentamente le istruzioni e… all’opera!

IL BOCCASCENA Ritaglia le strisce, incollale su un cartoncino e uniscile secondo il modello.-Come hai fatto a stabilire con sicurezza quali strisce vanno usate per le colonne? - La striscia che serve per la trave è …………………………….. delle strisce che servono per le colonne- Le due strisce che servono per le colonne hanno …………


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IL SIPARIORitaglia le strisce, confrontale e colorale seguendo le indicazioni: strisce di uguale lunghezza devono avere uguale colorele strisce più lunghe vanno colorate di verdele strisce più corte vanno colorate di blule altre strisce vanno colorate di giallo.* Indica con una crocetta la risposta esatta.Come sono le strisce gialle rispetto alle strisce blu?

Più lungheMeno lungheLunghe ugualiCome sono le strisce gialle rispetto alle verdi?Più lungheMeno lungheLunghe uguali

Le strisce gialle sono……………………………… di quelle verdi e …………………….. di quelle blu.


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IL FONDALECome fondale Silvia e Luca hanno preparato un grande castello che potrai comporre seguendo le istruzioni.Ritaglia porte e finestre; confrontale per rispondere alle seguenti domande.Tutte le porte hanno uguale altezza? ………..Tutte le porte hanno uguale larghezza? ………..Tutte le finestre hanno uguale larghezza? ………Tutte le finestre hanno uguale altezza? ………

Ritaglia le torri, confrontale e completaLa torre n°1 è larga come la torre ……La torre n°1 è alta come la torre ……La torre n°2 è ……………………. larga della torre n°4.La torre n°2 è ……………………alta della torre n°3.


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LA PAGLIUZZAValentina, Sara, Marco e Luca sono stati colpiti da un particolare della fiaba “Il gatto con gli stivali”: il papà, quando deve decidere cosa lasciare in eredità ai figli, fa estrarre a ciascuno di loro una pagliuzza.I quattro bambini per stabilire, senza litigare chi partirà per primo nella gara a cronometro della corsa veloce, decidono di affidarsi alla sorte utilizzando lo stesso metodo. Siccome non è facile trovare delle pagliuzze, utilizzano quattro cannucce di diversa lunghezza. Chi estrarrà la cannuccia più lunga sarà il primo a correre.

LucaSara

Valentina

Marco


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OBIETTIVOCOSTRUZIONE DEL CONCETTO DI ANGOLO

CONTENUTI1. Congruenza * e confronto di angoli :

concetto di ampiezza

2. Classificazione e denominazione di angoli

3. Misura di ampiezze angolari

* Assumiamo la congruenza di angoli (coincidenza di vertici e di lati) come nozione primitiva da verificare, a questo livello, con il trasporto rigido di modelli.


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L’ampiezza angolare Per potere confrontare angoli è indispensabile che gli alunni abbiano ben compreso che l’ampiezza di un angolo è indipendente dalla lunghezza dei suoi lati.

Un’attività che nell’esperienza delle insegnanti del Nucleo si è mostrata particolarmente significativa in proposito è quella denominata “L’intruso”. Per tale attività si devono predisporre per ogni bambino quattro cerchi, in cartoncino, di raggio diverso e di colore diverso (per esempio, uno rosso, uno verde, uno blu e uno giallo). Ciascun cerchio è da dividere in quattro settori circolari: due con l’angolo retto (nelle figure, quelli contraddistinti dai numeri 1 e 3), uno con l’angolo acuto (quelli contraddistinti dal numero 4), uno con l’angolo ottuso (contraddistinto dal numero 2). Nel disegno sono raffigurati quattro possibili cerchi distinti per la trama dello sfondo.


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I faseL’insegnante chiede, poi, ai bambini di - ricomporre l’angolo giro usando i settori dello stesso colore;


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- ricomporre l’angolo giro utilizzando per ogni cerchio tre settori di uno stesso colore e uno di colore diverso, in modo che questo possa inserirsi senza sovrapporsi agli altri e senza lasciare spazi vuoti; tale settore è “l’intruso”;- controllare il numero che contrassegna l’intruso e il numero del pezzo che è stato sostituito, quindi sovrapporre i due pezzi facendo combaciare il vertice e i lati.


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Le conclusioni alle quali si devono guidare i bambini sono:

•gli intrusi “si comportano bene”, non spingono e non lasciano spazio vuoto perché hanno la stessa ampiezza dei pezzi che vanno a sostituire;

•il pezzo contrassegnato dal numero 1 può essere sostituito da pezzi di diverso colore contrassegnati dallo stesso numero oppure dal numero 3, in quanto i pezzi con il numero 1 e con il numero 3 hanno la stessa ampiezza angolare, in particolare sono angoli retti.


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Relazioni tra angoliconfronto diretto

confronto indiretto

Per confrontabilità si intende la possibilità di stabilire se due grandezze sono uguali oppure no e, nel caso non lo siano, quale è maggiore dell’altra.

Nel caso degli angoli il confronto delle ampiezze avviene tramite il trasporto rigido, nozione tradotta operativamente con l’uso di modelli su carta o cartoncino e di strumenti come carta trasparente e compasso.


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La fase successiva nel percorso finalizzato all’introduzione della misura dell’ampiezza di un angolo è quella del confronto indiretto con un medio termine.

Terza fase è quella del confronto indiretto tramite uno strumento che consenta di stabilire l’uguaglianza o la disuguaglianza tra le ampiezze di due angoli, non di misurare tali ampiezze.


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Utilizzo del cosiddetto “confrontatore”


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Dati due angoli a confrontare rispetto alle loro ampiezze, si procede nel modo seguente:•si pone il punto V sul vertice di un angolo e la freccia f1 su uno dei suoi lati•si sposta la freccia f2 fino a fare sovrapporre il segmento tracciato su di essa sul secondo lato dell’angolo•si trasporta rigidamente il confrontatore, senza alterare la posizione della freccia mobile, sull’altro angolo, in modo che V coincida con il suo vertice e la freccia f1 con uno dei due lati•osservando la posizione del segmento tracciato su f2 rispetto al secondo lato dell’angolo si stabilisce la relazione tra le ampiezze dei due angoli dati.


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La misura dell’ampiezza angolarerispetto ad unità di misura arbitrarie

Assumendo l'acutone come unità di misura si ha che l'angolo retto è ampio 4 acutoni, l'angolo piatto 8 e l'angolo giro 16.

Assumendo l'angolo retto come unità di misura si ha che l'angolo piatto è ampio 2 angoli retti e l'angolo giro 4.


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Per rendere sempre più precisa la misura dell’ampiezza degli angoli, si può preparare un goniometro con l'angolo "unità di misura" meno ampio dell'acutone, detto, arbitrariamente, acutino.Nel goniometro presentato nella figura seguente è stato scelto come acutino l’angolo pari a 1/9 dell’angolo retto, ossia a 1/36 dell'angolo giro, al fine di facilitare l'introduzione successiva dell’angolo grado come la decima parte di questo angolo.


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Unità di misura convenzionali L’osservazione dei goniometri in commercio porta ad introdurre l’unità di misura convenzionale dell’ampiezza degli angoli: è l’ampiezza dell’angolo ottenuto suddividendo in 90 parti congruenti l’angolo retto, quindi in 360 parti congruenti l’angolo giro.

Questo angolo è detto angolo grado e la sua ampiezza è indicata con 1°.


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il problema: un percorso ad ostacoli

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