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  • Inferência Bayesiana em Modelo Composicional Espacial

    Ana Beatriz Tozzo Martins - PPGMNE-LEG/UFPR DES/UEM

    Paulo Justiniano Ribeiro Junior - LEG/UFPR Wagner Hugo Bonat - PPGMNE-LEG/UFPR

    Antônio Carlos Andrade Gonçalves - DAG/UEM

    PPGMNE-LEG/UFPR

    18 de dezembro de 2009

    Ana Beatriz Tozzo Martins - Orientador: Prof. PhD. Paulo Justiniano Ribeiro Jr PPGMNE-LEG/UFPR

  • Motivação

    Figura: Quadrante irrigado por sistema pivô-central no campo experimental da ESALQ-USP.

    SOLO

    frações granulométricas (composição)

    propriedades f́ısico−h́ıdricas

    prática agŕıcola

    agricultura de precisão

    Ana Beatriz Tozzo Martins - Orientador: Prof. PhD. Paulo Justiniano Ribeiro Jr PPGMNE-LEG/UFPR

  • TESE

    1. Introdução

    2. Revisão da Literatura:

    • Modelo Geoestat́ıstico Gaussiano; • Predição Linear Espacial - Clássica e Bayesiana;

    • Modelo Multivariado; • Dados Composicionais;

    3. Material e Métodos:

    • Modelo Geoestat́ıstico Composicional - Clássica e Bayesiana; • Análise de Dados Composicionais Simulados;

    4. Resultados: Análise de Frações Granulométricas de um Solo;

    5. Conclusão e Sugestões de Trabalhos Futuros.

    Ana Beatriz Tozzo Martins - Orientador: Prof. PhD. Paulo Justiniano Ribeiro Jr PPGMNE-LEG/UFPR

  • Dados Composicionais - Aitchison (1986)

    Areia Silte

    Argila

    ●●

    ● ●

    ● ●

    ● ●

    ● ●

    ● ●

    ● ● ●

    ●●

    ● ●

    ● ● ●

    ● ●

    ● ●

    Figura: Diagrama Ternário das composições.

    •Composição: X ¯

    =(X1,X2, ...,XB) ′

    X1 > 0, . . . ,XB > 0 X1 + X2 + · · ·+ XB = 1

    SB={X ¯ ∈ RB ; Xi>0, i=1, ...,B; 1

    ¯ ′X ¯

    =1}

    • Base: W ¯

    =(W1,W2, ...,WB) ′

    RB+={W¯ ∈RB ; Wi>0, i = 1, ...,B}

    • Operador fechamento:

    C : RB+ −→ SB

    W ¯ −→ C[W

    ¯ ] =

    W ¯

    1 ¯ ′W

    ¯

    Ana Beatriz Tozzo Martins - Orientador: Prof. PhD. Paulo Justiniano Ribeiro Jr PPGMNE-LEG/UFPR

  • Literatura

    • Dados composicionais: • Aitchison (1986).

    • Modelos espaciais uni e multivaridados: • Diggle e Ribeiro Jr (2007);

    • Schmidt e Gelfand (2003);

    • Banerjee, Carlin e Gelfand (2004);

    • Schmidt e Sansó (2006).

    • Combinação de dados composicionais e espaciais: • Pawlowsky e Olea (2004);

    • Lark e Bishop (2007);

    • Tjelmeland e Lund (2003).

    Ana Beatriz Tozzo Martins - Orientador: Prof. PhD. Paulo Justiniano Ribeiro Jr PPGMNE-LEG/UFPR

  • Objetivo

    • Estender o modelo geoestat́ıstico bivariado para dados composicionais, derivando e implementando estimação bayesiana baseada na verossimilhança;

    • Obter preditores espaciais no simplex que permitam a construção de mapas de predição das frações do solo na área de estudo.

    Ana Beatriz Tozzo Martins - Orientador: Prof. PhD. Paulo Justiniano Ribeiro Jr PPGMNE-LEG/UFPR

  • Fundamentos Para Análise de Dados Composicionais

    Composição: X ¯

    (x ¯

    ) = (X1(x ¯

    ), X2(x ¯

    ), X3(x ¯

    ))′ = (Areia, Silte, Argila)′

    Transformação razão log-aditiva (alr):

    alr : SB −→ RB−1

    X ¯

    (x ¯

    ) −→ alr ( X ¯

    (x ¯

    ) )

    = Y ¯

    (x ¯

    ) =

    ( ln

    X1(x ¯

    )

    X3(x ¯

    ) , ln

    X2(x ¯

    )

    X3(x ¯

    )

    )′ Y ¯

    (x ¯

    ) = (Y1(x ¯

    ), Y2(x ¯

    ))′

    Transformação loǵıstica generalizada aditiva (agl):

    agl=alr−1

    Pawlowsky e Olea (2004). Ana Beatriz Tozzo Martins - Orientador: Prof. PhD. Paulo Justiniano Ribeiro Jr PPGMNE-LEG/UFPR

  • Modelo Espacial

    Modelo geoestat́ıstico bivariado para dados composicionais:{ Y1(x

    ¯i ) = µ1(x

    ¯i ) + σ1U(x

    ¯i ;φ) + τ1Z (x

    ¯i ; ρ)

    Y2(x ¯i ′ ) = µ2(x

    ¯i ′ ) + σ2U(x

    ¯i ′ ;φ) + τ2Z (x

    ¯i ′ ; ρ)

    • x ¯i , x ¯i ′ ∈ R2; i , i ′ = 1, ..., n1, n1 tamanho amostral;

    • Y ¯ n×1

    (x ¯

    ) = ( Y1(x

    ¯1 ),Y2(x

    ¯1 ), . . . ,Y1(x

    ¯n1 ),Y2(x

    ¯n1 ) )′

    ;

    • U ∼ N(0 ¯

    ; ΣU), ΣU : variâncias unitárias e covariâncias em função de ρU(φ), exponencial;

    • Z ∼ N(0 ¯

    ; ΣZ ), ΣZ : variâncias unitárias e covariâncias em função de ρ induzida pela estrutura composicional.

    Ana Beatriz Tozzo Martins - Orientador: Prof. PhD. Paulo Justiniano Ribeiro Jr PPGMNE-LEG/UFPR

  • Modelo Espacial

    • θ ¯

    = (µ1, µ2, σ1, σ2, τ1, τ2, φ, ρ) ′→ θ

    ¯ ∗ = (η, ν1, ν2, φ, ρ)

    • Log-Verossimilhança → Normal multivariada com EMV:

    µ̂ ¯

    = (D′V−1D)−1(D′V−1Y ¯

    ) e σ̂1 = √

    Q̂e/n

    Q̂e = (Y ¯ −Dµ̂

    ¯ )′V−1(Y

    ¯ −Dµ̂

    ¯ )

    • Log-verossimilhança concentrada → solução numérica:

    l(θ ¯ ∗,Y

    ¯ ) = −0, 5

    [ ln(|V|) + n

    ( ln(2π) + ln(Q̂e)− ln(n) + 1

    )]

    Ana Beatriz Tozzo Martins - Orientador: Prof. PhD. Paulo Justiniano Ribeiro Jr PPGMNE-LEG/UFPR

  • Inferência Bayesiana

    • θ ¯

    = (µ1, µ2, σ1, σ2, τ1, τ2, φ, ρ) ′ → variáveis aleatórias

    • Dist. conjunta = veros. x priori : P(Y ¯ , θ ¯

    ) = P(Y ¯ |θ ¯

    ) P(θ ¯

    ).

    • Teorema de Bayes ⇒ distribuição à posteriori de θ ¯

    :

    P(θ ¯ |Y ¯

    ) = P(θ

    ¯ ,Y

    ¯ )

    P(Y ¯

    ) =

    P(Y ¯ |θ ¯

    )P(θ ¯

    )

    P(Y ¯

    ) =

    P(Y ¯ |θ ¯

    )P(θ ¯

    )∫ P(θ

    ¯ ,Y

    ¯ )dθ

    ¯

    ∝ P(Y ¯ |θ ¯

    )P(θ ¯

    ),

    • Resumos estat́ısticos como esperanças à posteriori de funções de θ ¯

    :

    E (f (θ ¯

    )|Y ¯

    ) =

    ∫ f (θ

    ¯ )P(θ

    ¯ )P(Y

    ¯ |θ ¯

    )dθ ¯∫

    P(θ ¯

    )P(Y ¯ |θ ¯

    )dθ ¯

    ∝ ∫

    f (θ ¯

    )P(θ ¯

    )P(Y ¯ |θ ¯

    )dθ ¯ .

    Ana Beatriz Tozzo Martins - Orientador: Prof. PhD. Paulo Justiniano Ribeiro Jr PPGMNE-LEG/UFPR

  • Inferência Bayesiana (cont.)

    • Resolução: • aproximação de Laplace:

    Nott, Fielding e Leonte (2009), Gelman, Carlin, Stern e Rubin (2003), Gilks, Richardson e Spiegelhalter (1996);

    • quadratura de Gauss-Hermite: Gamerman (2006), Paulino, Turkman e Murteira (2003), Abramowitz e Stegun (1972);

    • integração Monte Carlo - Cadeias de Markov de Monte Carlo (MCMC):

    Gamerman (2006), Lee (2004), Gelman, Carlin, Stern e Rubin (2003), Gill (2002), Gilks, Richardson e Spiegelhalter (1996).

    Ana Beatriz Tozzo Martins - Orientador: Prof. PhD. Paulo Justiniano Ribeiro Jr PPGMNE-LEG/UFPR

  • Inferência Bayesiana (cont.)

    • θ ¯

    = (µ1, µ2, σ1, σ2, τ1, τ2, φ, ρ) ′

    • θ ¯ ∗ = (η, ν1, ν2, φ, ρ) e (µ

    ¯ , σ21) independentes

    • Distribuição à posteriori de θ ¯

    :

    P(µ ¯ , σ21, θ¯

    ∗|Y ¯

    ) ∝ P(Y ¯ |µ ¯ , σ21, θ¯

    ∗)P(µ ¯ , σ21)P(θ¯

    ∗)

    Ana Beatriz Tozzo Martins - Orientador: Prof. PhD. Paulo Justiniano Ribeiro Jr PPGMNE-LEG/UFPR

  • Inferência Bayesiana (cont.)

    Prioris:

    • Conjugadas: levam a uma posteriori da mesma faḿılia de distribuições.

    • Casos extremos:

    • parâmetros conhecidos ⇒ distribuições degeneradas (V ≡ 0); • prioris vagas:

    • prioris não informativas (de Jeffrey’s) - P(θ) ∝ p

    I (θ) ou

    P(θ ¯

    ) ∝ |I (θ ¯

    )|1/2; • flat - P(θ) ∝ 1;

    • imprópia - P(θ) ∝ 1/σ2.

    Ribeiro Jr e Diggle (1999)

    Ana Beatriz Tozzo Martins - Orientador: Prof. PhD. Paulo Justiniano Ribeiro Jr PPGMNE-LEG/UFPR

  • IB (cont.) - Prioris

    Prioris:

    • P(µ ¯ , σ21) ∝

    1

    σ21 ;

    • P(µ ¯ |σ21) = 1;

    • P(η), P(ν1) e P(ν2) → lognormais com parâmetros correpondentes às razões das

    estimativas de máxima verossimilhança.;

    • P(φ) = Gama(66, 1);

    • P(ρ) = 1

    Ana Beatriz Tozzo Martins - Orientador: Prof. PhD. Paulo Justiniano Ribei