1 | P a g e

Introduction to OFDM and its PAPR Drawback Dr. Prapun Suksompong

หลกการเบองตนของ OFDM

OFDM ซงยอมาจาก Orthogonal Frequency Division Multiplexing เปนระบบทมการวจยอยางแพรหลายในปจจบน มการน าไปประยกตใชกบการสอสารไรสายหลายประเภท ขอดเบองตนของระบบ OFDM คอ เปนระบบทสามารถสงผานขอมลดวยอตราความเรวสงเมอเทยบกบระบบอนๆ อกทงยงใชยานความถทมอยอยางมประสทธภาพซงจะไดกลาวถงในสวนตอไป ในสวนนเราจะอธบายหลกการท างานเบองตนของ OFDM โดยเรมจากระบบทไมซบซอนเพอใหเขาใจไดงาย หลงจากนนเราจะชใหเหนถงปญหาและการแกปญหาโดยการเพมเตมคณลกษณะของ OFDM ลงไปในระบบ

การสงขอมลโดยใชคลนพาหเดยว (Single Carrier Transmission)

เทคนคการสงสญญาณแบบ OFDM เปนรปแบบของการสงขอมลแบบขนานโดยอาศยหลายคลนพาห (Multi-Carrier Transmission) ซงเราจะน าเสนอโดยเปรยบเทยบกบการสงขอมลโดยใชคลนพาหเดยว (Single Carrier Transmission) ในการสงขอมลโดยใชคลนพาหเดยวนน การสงชดขอมล (block of symbols) ทประกอบดวย 1 2, , , Ns s s สามารถท าไดโดยการสง pulse p t ทเปลยนขนาดไปตาม 1 2, , , Ns s s เรยงกนไปตามล าดบ โดยสามารถเขยนเปนสมการไดดงน

1

0

N

k

k

s t s p t kT

โดย T เปนเวลาทใชในการสงแตละสญลกษณขอมล (symbol interval) ตวอยางของ pulse p t ทงายทสดกคอ pulse รปสเหลยม (rectangular pulse) ซงเขยนสมการไดเปน

0,

1, 0,1

0, otherwise.T

t Tp t t

เราจะเหนวาขอมล 1s นนเมอน าไปคณกบ pulse p t แลวจะอยระหวางเวลา 0,t T ในแกนเวลา สวนขอมล 2s นนจะอยระหวางเวลา , 2t T T ดงนน เมอใช pulse รปสเหลยมขางตนสญญาณทไดจะไมมการซอนทบกนในแกนเวลา รปท 1a แสดงตวอยางของสญญาณ s t ส าหรบขอมล 1 2 8

, , , 1,0,1,1,0,1,0,1s s s

2 | P a g e

รปท 1: (a) ตวอยางของสญญาณ ( )s t เมอขอมลเปน 1 2 8

, , , 1,0,1,1,0,1,0,1s s s (b) ตวอยางของสญญาณ ( )x t ทเกดจากการ modulate สญญาณ ( )s t

กอนทสญญาณ s t ดงกลาวจะถกสงออกไปจากเครองสง สญญาณจะถกแปลงความถดวยสญญาณพาหโดยกระบวนการทเรยกวา modulation ถาเราวเคราะหสญญาณในแกนความถ (frequency domain) ผลของการ modulation กคอสญญาณจะยายแถบความถของตวเองจากรอบ ๆ ความถศนยไปยงรอบ ๆ ความถของสญญาณพาห ดงนนเราจงเรยกสญญาณทถก modulate แลววาสญญาณแบนดพาส (bandpass signal) ส าหรบสญญาณทยงไมไดผานการ modulation เราจะเรยกวาสญญาณเบสแบนด (baseband signal)

เราสามารถเขยนสมการของสญญาณแบนดพาสไดดงตอไปน

2Re cj f t

x t s t e

โดยท cf เปนความถของคลนพาห ถาเราให S f เปน spectrum ของสญญาณเบสแบนด s t ผลของการ modulation ในแกนความถกคอ spectrum X f ของสญญาณ bandpass x t สามารถเขยนไดเปน

*1

2c cX f S f f S f f

จะเหนไดวา spectrum S f ของ s t ไดยายไปอยท cf นอกจากนถาสญญาณเบสแบนด s t เปนจ านวนจรงเสมอ สมการของสญญาณแบนดพาสขางตนจะเหลอเพยง

cos 2 cx t s t f t สวน spectrum X f กจะเปน

1

2c cX f S f f S f f

รปท 1b แสดงตวอยางของสญญาณ bandpass ทไดจากสญญาณ baseband ในรปท 1a สญญาณทถก modulate แลวจะถกสงผานไปยงชองสญญาณ (Channel) ในสวนถดไปเราจะอธบายลกษณะของ

ชองสญญาณส าหรบการสอสารแบบไรสาย

-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2(a)

Time

-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

(b)

Time

3 | P a g e

การสอสารไรสายและการจางหายแบบหลายเสนทาง (Wireless communication and Multipath fading)

การสอสารแบบไรสายไดกลายเปนสวนส าคญในการด ารงชวตประจ าวน ในขณะเดยวกน ความตองการสงขอมลเปนปรมาณมากในเวลารวดเรวไดเพมสงขนเรอย ๆ อยางไรกตาม การสอสารผานชองสญญาณแบบไรสายนนมขอจ ากดมากมาย คณลกษณะของชองสญญาณสามารถเปลยนแปลงตามองคประกอบตาง ๆ ได เชน สงแวดลอมทางกายภาพ ความเรวในการเคลอนทของอปกรณภาครบหรอสง และ อณหภม เปนตน นอกจากนนยงมสญญาณรบกวน (noise) ซงเราควมคมไดยาก ในสวนนเราจะกลาวถง การจางหายแบบหลายเสนทางของชองสญญาณ

ในการสอสารแบบไรสาย สญญาณทถกสงออกมาจะกระจายออกเปนหลายทศทาง ดงนนจงมการสญเสยของสญญาณสง เมอคลนสญญาณเดนทางผานตวกลางกจะมการลดทอน (Attenuation) ของสญญาณเกดขน นอกจากนสญญาณทกระจายออกนอกเสนทางยงสามารถสะทอนกลบมายงเครองรบไดอกดงรปท 2 สญญาณทสะทอนกลบมาเหลานเดนทางมาถงเครองรบลาชากวาสญญาณทมาจากเสนทางตรงเพราะระยะทางทเพมขน เราจะเรยกเวลาการเดนทางทเพมขนนวา คาหนวงเวลา (excess delay) โดยปกตแลวสญญาณสะทอนจะมมากกวาหนงสญญาณ โดย ขนาด และ คาหนวงเวลาของแตละสญญาณ กจะแตกตางกนไป เราเรยกการเดนทางของสญญาณแบบหลายเสนทางนวา multipath propagation และเรยกสญญาณเหลานวา multipath waves

รปท 2: Multipath propagation

เมอเกด multipath propagation สญญาณทเครองรบไดรบกจะมการผดเพยน (smearing) ไปจากสญญาณทถกสงออกมาจากเครองสงดงแสดงในรปท 3 ปญหานเราเรยกวา การจางหายแบบหลายเสนทาง หรอ multipath fading สงเกตวาพลงงานบางสวนของสญลกษณแรกซงควรจะถกจ ากดอยระหวางเวลา 0 ถง T ไดล าเขาไปอยในสวนของสญลกษณทสอง ปญหานเรยกวา การสอดแทรกระหวางสญลกษณ (Inter-symbol Interference:ISI)

4 | P a g e

รปท 3: (a) Multipath fading เมอ T (symbol interval) มขนาดใหญเมอเทยบกบคาหนวงเวลา จะเหนไดวาสญญาณไมได

เปลยนไปมากนกจากสญญาณ ( )x t ในรปท 1 (b) Multipath fading เมอ T (symbol interval) มขนาดใกลเคยงกบคาหนวงเวลาจะเหนไดวาสญญาณนนแตกตางไปจาก สญญาณ ( )x t ในรปท 1 อยางมาก

เราสามารถจ าลองลกษณะของชองสญญาณทม multipath fading ไดดวยสมการทางคณตศาสตรทอธบายผลตอบสนองอมพลสของชองสญญาณ (channel impulse response) ดงตอไปน

0

v

i i

i

h t t

เมอสญญาณ x t เดนทางผานชองสญญาณ สญญาณ r t ทปรากฏทเครองรบจะเปน

0

v

i i

i

x t h t n t x t n t

โดยท n t คอสญญาณรบกวน และ เครองหมาย * แสดงถงการประสาน (convolution) ของสญญาณ x t กบ h t เมอเราวเคราะหสมการดงกลาว เราจะเหนวามการรวมของสญญาณ i ix t ซงกคอ สญญาณ x t ทมคาหนวงเวลา i และขนาดถกลดทอนไปเปน i นนเอง ใน รปท 3a เราใช

0.5 0.2 0.2 0.3 0.3 0.1 0.5h t t t T t T t T สวนในรปท 3b เราใช

0.5 0.2 0.7 0.3 1.5 0.1 2.3h t t t T t T t T ขอสงเกตอกอยางจากรปท 3 กคอปญหา multipath fading จะมนอยมากถา symbol interval T มขนาดใหญเมอเทยบกบคาหนวงเวลา อยางไรกตาม ความตองการสงขอมลอยางรวดเรวท าใหไมสามารถเพมขนาดของ T ไดโดยตรงเพราะจะท าใหอตราการสงขอมลลดลง การแกปญหา multipath fading นสามารถท าไดโดยการใชการปรบแตงชองสญญาณ (Equalization) ซงยงยากและซบซอน อกวธหนงทสามารถหลกเลยงปญหา multipath fading และเปนหลกการพนฐานทถกน ามาใชใน OFDM กคอการสงขอมลโดยแบงขอมลไปยงหลายแถบความถซงจะไดกลาวถงในสวนถดไป

-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

(a)

Time

0 2 4 6 8 10 12

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

(b)

Time

5 | P a g e

Multi-carrier transmission

ดงทไดอธบายในสวนทแลว ปญหา multipath fading นนจะมผลกระทบนอยมากถาเราสงสญญาณดวยคา T ทมขนาดใหญ แตความตองการสงขอมลอยางรวดเรวท าใหไมสามารถลดคา T ไดโดยตรงเพราะจะท าใหอตราการสงขอมลลดลงตามไปดวย การสงขอมลโดยใชหลายคลนพาหเปนเทคนคหนงซงหลกเลยงปญหา multipath fading ได โดยใชหลกการพนฐานทไมไดแตกตางไปจากหลกการในการสงขอมลโดยใชคลนพาหเดยวทกลาวมาขางตนเลย หากแตมการแบงขอมลออกเปนหลาย ๆ สวนขนานกนไป (parallel data stream) โดยแตละสวนยอย ถกสงออกไปดวยคลนพาหยอย (subcarrier, SC) ทมความถตางกน เมอขอมลถกแบงเปนหลายสวน แตละสวนจงไมจ าเปนตองมอตราการสงทสง ดงนนจงสามารถใช T ทมขนาดใหญได ยงเพมจ านวนของสญญาณพาหยอยมากขนเทาใดกยงสงขอมลไดมากขนโดยไมกระทบตอ T วธนเรยกวา การมลตเพลกซโดยการแบงความถ (Frequency Division Multiplexing: FDM) การสงขอมลแบบ FDM นนมขอจ ากดหลายประการ ประการแรก เนองจากมการใชคลนพาหหลายความถ เครองรบสญญาณจะตองท าการแยกสญญาณทถกสงมากบแตละคลนพาหโดยการกรองสญญาณ ดงนนเราจะตองจดใหความถของคลนพาหอยหางกนมากพอสมควรเพอลดการทบซอนของสญญาณในแกนความถท าใหไมสามารถใชยานความถทมอยอยางเตมท อกปญหาของ FDM เปนเรองของความซบซอนของระบบ นนคอ ยงเราแบงขอมลออกมากสวนเทาใด ความซบซอนของเครองสงและรบสญญาณกยงมากขนตามไปดวยเพราะจะตองรองรบการท างานภายใตจ านวนความถของคลนพาหทมากขน เครองสงสญญากจะตองมวงจรก าเนดความถ (oscillator) ทหลากหลาย ปญหาทงสองประการเปนอปสรรคทส าคญของระบบแบบ FDM ในสวนถดไป เราจะกลาวถงการปรบปรงประสทธภาพของ FDM ดวยการสงสญญาณทตงฉากซงกนและกน

การตงฉาก (Orthogonality)

ในสวนนจะกลาวถงการสงสญญาณทตงฉาก (orthogonal) ซงกนและกน สงเกตวาอกษร O ในค ายอ OFDM นนมาจากค าวา orthogonality ซงกคอ การตงฉากทเราจะกลาวถงในสวนนเอง สมมตวาเราตองการสงขอมล 1 2, , , Ns s s เราสามารถท าไดโดยการสง pulse p t ในแกนเวลาทเปลยนขนาดไปตาม 1 2, , , Ns s s เรยงกนไปตามล าดบ

1

0

N

k

k

s t s p t kT

โดยแตละ pulse ใชเวลา T หนวยดงทเราไดอธบายไปแลวในสวนของการสงขอมลโดยใชคลนพาหเดยว ส าหรบการสงขอมลแบบ FDM นนในแตละชองเวลาทมขนาด T เราจะสงขอมล 1 2, , , Ns s s ไปพรอม ๆ กนโดยใชหลายแถบความถ ซงสามารถสรปเปนสมการในแกนความถไดวา

1

0

N

k

k

S f s p f k f

โดยท f เปนระยะหางระหวาง spectrum ของสญญาณยอย ส าหรบในการสงสญญาณทตงฉากกนนน สญญาณ p f k f จะตองตงฉากซงกนและกนดวย นนคอ ส าหรบจ านวนเตม k และ j ทแตกตางกน เราตองการให

0p f k f p f j f df

6 | P a g e

เหนไดชดวา ถา p f k f ไมซอนทบกบ p f j f ในแกนความถ ผลของการคณกนจะไดศนยเสมอ สงผลใหคาทไดจากการ integrate เปนศนยไปดวย นนคอสญญาณทงสองกจะตงฉากกนตามนยามขางตนและไมรบกวนกน นเปนหลกการพนฐานของ FDM อยางไรกตาม การทจะแยกสงสญญาณใหอยในแถบความถทไมซอนทบกนโดยสนเชงนนท าไดยากในทางปฏบต และเปนสาเหตใหระบบแบบ FDM ตองวาง spectrum ของสญญาณยอยบนแกนความถใหหางกนมาก อกทงยงมการเพมแถบปองกน (guard band) ระหวาง spectrum ของสญญาณยอยอก ทงหมดนน ามาซงการสนเปลองยานความถ

ทจรงแลวการทสญญาณจะตงฉากกนนน ไมจ าเปนทจะตองหลกเลยงการทบซอนกนในแกนความถ ตวอยางของชดสญญาณทตงฉากกนแบบนกคอสญญาณในรปของ ฟงกชน sinc ซงใช

1

sincf

p ff f

ดงแสดงในรปท 4 จะเหนวา spectrum ของสญญาณยอยนนซอนทบกน แตจดสงสด (peak value) ของแตละ spectrum ของสญญาณยอยหนงจะเปนจดท spectrum ของสญญาณยอยอน ๆ มคาเปนศนยท าใหไมมการซอนทบกนทจดสงสดเหลาน สรปแลว OFDM กเปน FDM แบบหนงนนเองหากแตมการจดวางคลนพาหยอยใหอยใกลกนทสดโดยยงคงความตงฉากกนอย

รปท 4: Spectrum ของ OFDM และ spectrum ของ FDM

ถาเราวเคราะหสญญาณในแกนเวลาโดยใช inverse Fourier transform เราจะเหนวาสญญาณทเปนฟงกชน sinc ในแกนความถนนเทยบเทากบสญญาณรปสเหลยมในแกนเวลา การท peak ของสญญาณ sinc นนถกวางไวทความถ k f นนเทยบเทากบการคณดวย 2j k ft

e ดงแสดงในสมการตอไปน

1

2

,2 2

1 j k ft

T Tp f k f t e

ดงนนสญญาณขางตนจะถกจ ากดอยระหวางเวลา ,2 2

T Tt

โดยท 1

Tf

เมอน าเอาสญญาณยอยมารวมกนเราจะได

1

2

0

Nj k ft

k

k

s t s e

ส าหรบเวลา ,2 2

T Tt

แตถาเราใช pulse p f อนทไมใช ฟงกชน sync สญญาณรวมกจะเปน

f

OFDM FDM

7 | P a g e

1

2

0

Nj k ft

k

k

s t s P t e

โดย P t คอ inverse Fourier transform ของ p f ขอสงเกต: สญญาณ s t ไมจ าเปนตองเรมจากเวลา 2T หากเราตองการใหสญญาณถกจ ากดอยในชวงเวลา 0 0

,t t T กสามารถท าไดโดยใชสญญาณ

02

Ts t t

แทน สญญาณ s t

ในสวนของเครองรบสญญาณนน ถาเราใชฟงชน sinc เปน pulse p f ดงทยกตวอยางขางตน และไมเกดการรบกวนภายในชองสญญาณ นนคอ ถาสญญาณ r t ทไดรบนนเปนสญญาณ s t โดยตรง เมอเราตองการดงเอาขอมล

1 2, , , Ns s s ออกมาจาก r t กสามารถท าไดโดยการแปลง r t ใหอยในแกนความถ R f ดวย Fourier transform แลวชกสญญาณ (sample) ทความถ

f m f โดย 0,1, , 1m N

เราจะได

1 1

0 0

1sinc

N Nm

k k

k k

sR m f s p m k f s m k

f f

ซงเทยบเทากบการรคาของ ms เพราะเรารคาของ f อยกอนแลว จะเหนไดวา การทเราสามารถดงเอาคา 1 2, , , Ns s s

ออกมาไดอยางงายดายกเพราะจด peak ของแตละฟงกชน sync นน อยตรงจดทฟงกชน sinc อนเปน 0 ทงสน

การน า IDFT และ DFT มาใชใน OFDM

การใช orthogonality ในสวนทแลวนนท าให OFDM สามารถใชยานความถไดอยางมประสทธภาพเพมขนเกอบเทาตวเมอเทยบกบ FDM แบบธรรมดา แตปญหาใหญอกประการของ FDM กคอการทเครองสงตองผลตสญญาณพาหทมความถไดหลากหลาย ซงหาก N มคามากกเปนเรองทท าไดยาก ในสวนนเราจะอธบายถงทมาของการประมวลสญญาณดวย IDFT (inverse discrete Fourier transform) และ DFT (discrete Fourier transform) ใน OFDM ซงท าใหสามารถสงสญญาณทง N ความถไดในเวลาเดยวกน

กอนอน เราจะลอง sample สญญาณ ( )s t ทเวลา

nt nT

f

โดย 0,1, , 1n N

ซงผลทไดกคอ

1

2

0

Nj kn

k

k

s n s nT s e

จะเหนไดวา

8 | P a g e

1 1

00IDFT

N N

k kns n s

ดงนน หากไมเกดการผดเพยนของสญญาณในชองสญญาณ เราจะได

r n r nT s n

และสามารถดงเอาขอมลกลบมาไดโดยการใช DFT สรปวาในการสงขอมลแบบ OFDM นน เราจะแปลงขอมลจากแบบอนกรมซงกคอขอมลทเรยงกนมาตามล าดบเปนขอมลแบบขนาน แลวท าการประมวลขอมลทงชดในเวลาเดยวกนดวย IDFT จากนนจงสงออกไปในชองสญญาณ ทเครองรบกจะประมวลผลสญญาณโดยใช DFT เพอใหไดขอมลกลบคนมาดงสรปดวยแผนผงตอไปน

1 11 1 1

0 0 00 0IDFT DFT

N NN N N

k k kk k kn ns s n r n R S

นอกจากน เพราะขอมลผานการ IDFT กอนทจะถกสงออกไป เราจงเรยกขอมลเหลานวาสญลกษณในแกนความถ (frequency-domain symbol)

ขอสงเกต: นยามของ DFT ทเราใชขางตนนนม 1

N เปน factor อยดวย ดวยเหตนจงไมม 1

N factor ใน IDFT เราสามารถนยาม

DFT ใหมเพอใหการแปลงของ DFT และ IDFT คลายกนมากขน ซงท าไดโดยการใช factor 1

N ทงในสตรของ DFT และ

IDFT นยามทงสองแบบนเทยบเทากน หากเราเลอกทจะใชนยามใหมกสามารถท าไดโดยการสง 1

s tN

แทน ( )s t .

เมอเราใช IDFT แลวกไมมความจ าเปนทจะตองม oscillator ส าหรบแตละคลนพาหยอย เทคนคการใช DFT/IDFT รวมกบ OFDM นเรยกวา Discrete Multi-Tone (DMT) [Weinstein71] นอกจากนสงทลดปญหาความยงยากของเครองรบสงแบบ OFDM กคอ การน าเอา IFFT หรอ Inverse Fast Fourier Transform มาแทน IDFT โดย IFFT นนสามารถประมวลผลไดอยางรวดเรวเมอเทยบกบ IDFT ในท านองเดยวกน สวน DFT ของ OFDM กถกแทนทโดย FFT (fast Fourier transform) การประมวลผลโดย FFT สามารถลดจ านวนการคณในการแปลงแบบ DFT จาก 2

N เปน logN N ส าหรบขอมลทมขนาด N

นอกจากการนยงมการเพมชวงเวลาปองกน (guard time) เพอปองกนผลกระทบทเกดจาก multipath fading ทเรากลาวถงขางตน โดยมการเสรมสญญาณดวย cyclic prefix ซงเปนการคดลอกเอาสญลกษณสวนทายของแตละ block ขอมลมาสอดไวกอน block ขอมลนน

ปญหาของ OFDM: อตราสวนก าลงงานสงสดตอก าลงงานเฉลย

ปญหาทส าคญมากของระบบ OFDM กคอการทสญญาณมอตราสวนก าลงงานสงสดตอก าลงงานเฉลย (Peak-to-Average Power Ratio, PAPR) ทสง เมอสญญาณทมคา PAPR สงเขาสวงจรขยาย (amplifier) ของเครองสง วงจรขยายจะตองท างานในชวงอมตวและท างานแบบไมเปนเชงเสน (non-linear) จงเกดการผดเพยนของสญญาณ เปนผลใหอตราความผดพลาดบตขอมล (Bit Error Rate: BER) เพมสงขน นอกจากนยงท าให spectrum ของสญญาณล าออกนอกแถบความถของชองสญญาณไปรบกวนชองสญญาณอน หากตองการการขยายสญญาณเชงเสน กจะมผลตอประสทธภาพทางก าลงของ amplifier ทใชงาน ท าใหตองใช amplifier ทมราคาแพง

9 | P a g e

ในสวนนเราจะใชทฤษฎความนาจะเปนมาอธบายวาเหตใดคา PAPR จงสงตามคา N กอนอน ถาเรายอนกลบวเคราะหสญญาณของ OFDM หลงจากผาน IFFT จะเหนวาสญญาณมคาดงน

1

0

1k

Nj

k

k

s n s eN

โดย 2k

nk

N และ 0,1, , 1n N

ซงโดยปกตแลว ks จะเปนจ านวนเชงซอน หากมการใชคลนพาหยอยจ านวนมาก (N มคาสง) กมโอกาสสงท s n จะมคามาก เพราะเปนผลของการรวมกนของสญญาณขอมลหลงการท า IFFT ในทนถาเราสมมตให 0 1 1, , , Ns s s เปนตวแปรสมเชงซอน (complex random variable) ซงหมายความวาแตละตวแปรสม ks จะสามารถแบงเปนสวนจรงคอ Re ks และ สวนเชงซอนคอ Im ks โดยทงสองสวนเชอมกนดวยความสมพนธ

Re Imk k ks s j s ดงนนเราจงมตวแปรสม 2N ตวแปร ดงน

0 0 0 0 1 1Re ,Im ,Re , Im , ,Re , ImN Ns s s s s s

โดยตวแปรสมทงหมดเปนจ านวนจรง ในสวนนเราจะใหตวแปรสมทงหมดมลกษณะเปน iid (independent and identically distributed) โดย

Re Im 0k ks s และ 2 2 2

Re Imk ks s

ซงผลทตามมากคอ 1) 0ks

2) 2 22 2

Re Im 2k k ks s s

3) Re Im 0k is s

4) ถาคา i k แลว a) Re Re 0k is s

b) Im Im 0k is s

c) *

i ks s จะเปน 0 เพราะ is กบ ks นนเปนอสระ (independent) จากกน สงผลให

* *

iid0 0 0i k i ks s s s

ดงนนเราสามารถหาคาคาดหมายของคาก าลงงานเฉลยไดเปน

1 1

2 2* * 2

0 0

12i k

N Nj j

i k k

k i

s n s n s n s s e e sN

นอกจากนเรายงสามารถกระจาย s n ออกเปนสวนจรงและสวนเชงซอน โดยท

1

0

1

0

1Re Re cos Im sin

1Im Re sin Im cos

N

k k k k

k

N

k k k k

k

s n s sN

s n s sN

10 | P a g e

หาก N นนมคามาก เราสามารถใชทฤษฎเซนทรลลมตของ Lyapunov (Lyapunov Central Limit Theorem) ประมาณคาความหนาแนนเชงความนาจะเปน (probability density) ของตวแปรสมทงสองดวย ตวแปรสมแบบ Gaussian ทมคาคาดหมายและคาความเบยงเบนเดยวกนกบตวแปรสมทงสอง ในทนเรารแลววา 0ks ส าหรบคาความเบยงเบนนน เพราะคาคาดหมายเปน 0 เราจงสามารถหาคาความเบยงเบนจาก

22 2

0

Var Re Re Re Res n s n s n s n

ซงถาเราแทนคา Re s n ดวยสมการทประกอบดวยพจนทม cosine และ sine ขางตน คาของ 2

Re s n

จะเปน

1 1

0 0

1Re cos Im sin Re cos Im sin

N N

i k i k k k k k

k i

s s s sN

หลงจากกระจายผลคณออกมา เราสามารถก าจดพจนทม Im Rei ks s และ Re Imi ks s ไดเพราะมคาคาดหมายเปน 0 นอกจากนเมอ i k เรายงสามารถก าจดพจนทม Re Rei ks s และ Im Imi ks s ได ดงนนสงทเหลออยคอ

12 2 22 2

0

1Re Re cos Im sin

N

k k k k

k

s n s sN

เมอแทนคา 2 2 2

Re Imk ks s

เราจะได

2

2Re s n

เราสามารถใชวธการเดยวกนหาคาอน ๆ ดงตอไปน

1) 2 2

Im ks

2) Re Im 0s n s m

3) ส าหรบ n m Re Re Im Im 0s n s m s n s m

ดงนนเราจงสรปไดวา เมอ N มคามาก เราสามารถประมาณตวแปรสม

Re 0 ,Im 0 , ,Re 1 ,Im 1s s s N s N

ดวยตวแปรสมแบบ Gaussian 20, ทเปนอสระจากกน ดงนนตวแปรสม

2 2 2

0 , 1 , , 1s s s N

จงมลกษณะเปน iid โดยมการกระจายแบบ exponential เพราะ

2 22

Re Ims n s n s n

เปนการรวมกนแบบ Euclidean ของตวแปรสม Gaussian สองตวแปรทมการแจกแจงแบบ iid โดยมฟงกชนความหนาแนน (pdf)

เปนแบบเลขชก าลง (exponential) ทมคาคาดหมายเปน 2 2

2s n

11 | P a g e

เราจะนยามคา PAPR โดยสมการตอไปน

2 2 2

0 1 0 1

2 22 0 1

max maxmax

2 2

k N k N

k N

s n s n s n

s n

จะเหนไดจากนยามของ PAPR วาคาเศษเปนคาก าลงงานสงสดและคาสวนเปนคาก าลงงานเฉลย ดงทไดอธบายไปแลวขางตน

เมอ N มคามาก 2

s n จะมการแจกแจงแบบ exponential เพราะฉะนน ตวแปรสม 2 2

2s n จงมการแจกแจงแบบ

exponential ดวย และมคาคาดหมายเปน 1 เพราะ

2

22

2 2 2

21

2 2 2

s ns n

เมอเปนเชนน ตวแปรสม จงเปนการหาคาสงสดของตวแปรสมทแจกแจงแบบ iid exponential จ านวน N ตวแปร เราจงสามารถหาความนาจะเปนทตวแปรสม จะมคาเกนจ านวนจรง ไดเปน

1 1N

P e

เราจะสงเกตไดวาคาความนาจะเปนนเพมสงขนเมอ N ซงกคอจ านวนของคลนพาหยอยมคามากขน มงานวจยจ านวนมากทน าเสนอวธการลด PAPR (PAPR reduction schemes) วธทเราจะกลาวถงกคอ Signal distortion technique ซงใชการบดเบอนบรเวณสวน peak ของสญญาณแบบไมเปนเชงเสนตรง เพอไมใหสญญาณมคามากเกนไป โดยวธทงายทสดกคอการ clip สญญาณทระดบ ทตงไวกอน [2, 3] ซงเทยบไดกบการคณสญญาณทมดวย ฟงกชนรปสเหลยมซงเราจะเรยกวา rectangular window ทมความสงเทากบ หากเราใชวธน แนนอนวาจะไมมสญญาณทมขนาดสงกวา ออกมาจากเครองสง อยางไรกตาม เมอสญญาณถก clip ไปกจะมรปรางไมเหมอนเดมซงท าใหอตราความผดพลาดบต (BER) ทเครองรบสงขนไปดวย นอกจากน spectrum ของสญญาณจะขยายขน เพราะการคณดวย Rectangular window ในแกนเวลาเทยบเทากบการประสาน (convolve) สญญาณดวยฟงกชน sinc เมอ spectrum ของสญญาณขยายขนสญญาณกจะไปรบกวนสญญาณในยานความถอน ดงนนเพอลดการไปรบกวนสญญาณนอกแถบความถ จงไดมการเปลยนเปน window แบบอนทม spectrum ทดกวา เชน การใช window แบบ Gaussian [7], cosince, Kaiser, หรอ Hamming วธการลด PAPR นนยงมอกหลายวธ ตวอยางเชน การใชเทคนค peak cancellation [8, 9] อกวธหนงกคอการเขารหสขอมลกอนทจะสงสญญาณเพอก าจดกลมสญลกษณทมคา PAPR สงเกนไป [1, 10] ทจรงแลว การพยายามลดคา PAPR ใหไดมากทสดนน อาจไมใชสงทถกตองนก เพราะจดมงหมายทแทจรงของการสอสารกคอการน าขอมลสงไปใหถงปลายทางอยางถกตอง ดงนนนกวจยบางกลมจงใหความสนใจกบการหา efficient PAPR ซงกคอ PAPR ทดทสดภายใตเกณฑทนกวจยสรางขน [11]

Reference

[1] S. J. Shepherd, P. W. J. Van Eetvelt, C. W. Wyatt-Millington, and S. K. Barton, “Simple coding scheme to reduce peak factor in QPSK multicarrier modulation,” Electron. Lett., vol. 31, no. 14, pp. 1131–1132, July 1995.

12 | P a g e

[2] D.Wulich, “Peak factor in orthogonal multicarrier modulation with variable levels,” Electron. Lett., vol. 32, no. 20, pp. 1859–1860, Sept. 1996.

[3] X. Li and L. J. Cimini Jr., “Effects of clipping and filtering on the performance of OFDM,” IEEE Commun. Lett., vol. 2, pp. 131–133, May 1998.

[4] A. Papoulis, Probability, Random Variables, and Stochastic Processes, 2nd ed. New York: McGraw-Hill, 1984. [5] D. Wulich, N. Dinur, and A. Gilinowiecki, “Level clipped high order OFDM,” IEEE Trans. Commun., vol. 48, pp. 928-

930, June 2000. [6] Weinstein, S.B., Ebert P.M. Data Transmission By Frequency Division Multiplexing Using the Discrete Fourier

Transform. IEEE Trans. Commun., Oct 1971; COM-19; 5: 628-634. [7] Pauli, M., and H. P. Kuchenbecker, “Minimization of the Intermodulation Distortion of a Nonlinearly Amplified OFDM

Signal,” Wireless Personal Communications, Vol. 4, No. 1, January 1997, pp. 93–101. [8] De Wild, A., “The Peak-to-Average Power Ratio of OFDM,” M.Sc. thesis, Delft University of Technology, Delft, the

Netherlands, September 1997. [9] May, T., and H. Rohling, “Reducing the Peak-to-Average Power Ratio in OFDM Radio Transmission Systems,”

Proceedings of IEEE VTC’98, Ottawa, Canada, May 18–21, 1998, pp. 2774–2778. [10] Wilkinson, T. A., and A. E. Jones, “Minimization of the Peak-to-Mean Envelope Power Ratio of Multicarrier

Transmission Schemes by Block Coding,” Proc. of IEEE Vehicular Technology Conference, Chicago, IL, July 1995, pp. 825–829.

[11] Wulich, D., "Definition of efficient PAPR in OFDM," Communications Letters, IEEE , vol.9, no.9, pp. 832-834, Sep 2005