1

STŘEDNÍ PRŮMYSLOVÁ ŠKOLA STROJNICKÁ A STŘEDNÍ ODBORNÁ ŠKOLA PROFESORA ŠVEJCARA, PLZEŇ, KLATOVSKÁ 109

Vytvořeno v rámci Operačního programu Vzdělávání pro konkurenceschopnost CZ.1.07/1.1.30/01.0038 Automatizace výrobních procesů ve strojírenství

a řemeslech

Dílo podléhá licenci Creative Commons Uveďte autora-Nevyužívejte

dílo komerčně-Zachovejte licenci 3.0 Česko.

MECHANIKA IV

DYNAMIKA

Josef Gruber

2

3

OBSAH

DYNAMIKA

1. Předmět dynamiky, její vývoj ......................................................................................... 4

2. Pohybové zákony, d´Alembertův princip ....................................................................... 6

3. Pohybová rovnice hmotného bodu ................................................................................ 10

4. Dobový a dráhový účinek síly ....................................................................................... 14

5. Výkon, příkon a účinnost ............................................................................................... 22

6. Pohyb hmotného bodu po kružnici, odstředivá síla .................................................... 26

7. Vázaný pohyb hmotného bodu a posuvný pohyb tělesa ............................................. 31

8. Dynamika rotačního pohybu ......................................................................................... 37

9. Použitá literatura ............................................................................................................ 44

4

DYNAMIKA

1. PŘEDMĚT DYNAMIKY, JEJÍ VÝVOJ

Obsah této kapitoly:

Předmět dynamiky, základní úlohy

Historický vývoj

Předmět dynamiky, základní úlohy

Dynamika je část mechaniky, která studuje pohybové změny

způsobené silovými účinky (tedy změny pohybu s ohledem na

jejich příčiny). Na rozdíl od kinematiky pracuje s hmotností a

setrvačností. Základní otázkou kinematiky je „JAK“ (se mění

pohyb tělesa), základní otázkou dynamiky je „PROČ“.

Základními úlohami dynamiky jsou buď určení zrychlení tělesa

na základě znalosti působících sil, nebo určení silových účinků,

které způsobily známou změnu pohybového stavu.

Základní rovnicí dynamiky je druhý Newtonův pohybový

zákon. Jakákoli dynamická úloha se dá tímto zákonem vyřešit.

Obr. 1

Na základě zrychlení můžeme počítat i další veličiny – dráhu, rychlost, čas. V tomto

směru je nezbytnou průpravou pro úspěšné studium dynamiky kinematika.

Historický vývoj dynamiky

Tzv. klasická dynamika je plodem období 16. – 17. století, které je v dějinách vědy

nazýváno vědeckou revolucí. Končí středověká představa statického geocentrického vesmíru,

v němž se všechna tělesa pohybují kolem Země po soustředných kružnicích. Mikuláš

Koperník (1473-1543) publikoval v roce své smrti heliocentrickou teorii, pozorování

a výpočty předních astronomů Tychona de Brahe (1546-1601) a Johannese Keplera (1571-

1631) prokázaly, že planety se pohybují po elipsách nerovnoměrným pohybem. Galileo

Galilei (1564-1642) vnesl do teoretické vědy experimentální metodu, kterou narušil uznávaná

dogmata starověké a středověké vědy, a předjal mimo jiné zákon setrvačnosti. Dovršitelem

vývoje byl anglický učenec Sir Isaac Newton (1643-1727), který formuloval základní

principy novodobé představy o přírodě. Především se jedná o gravitační zákon, tři pohybové

zákony a novou matematiku, dnes nazývanou diferenciální a integrální počet. Tato vyšší

matematika používá nekonečně malých hodnot a díky tomu umožňuje stanovení okamžitých

hodnot veličin při proměnných dějích. Tyto principy používal ve starověku již Archimédes,

ale Newton je tvůrcem uceleného systému.

Newtonova klasická dynamika dala vědě program na dvě století. Na základě výzkumu

elektrických jevů a poznatků o mikrosvětě vznikla relativistická dynamika, popisující děje

5

při rychlostech blízkých rychlosti světla (Albert Einstein, 1876-1955), a kvantová

mechanika, zabývající se elementárními částicemi (Max Planck, 1858-1947).

Klasická newtonská mechanika neztrácí svoji platnost při popisu dějů v makrosvětě kolem

nás. Je základem klasické teoretické fyziky.

6

2. POHYBOVÉ ZÁKONY, D´ALEMBERTŮV PRINCIP

Obsah této kapitoly:

Pohybové zákony

Inerciální a neinerciální soustavy

D´Alembertův princip

Pohybové zákony

Zákon setrvačnosti – I. pohybový zákon:

Těleso setrvává v klidu, nebo v rovnoměrném přímočarém pohybu, dokud není vnější

silou nuceno tento svůj stav změnit.

Vnější síly mění rychlost pohybu tělesa (urychlení, zpomalení, uvedení z klidu do pohybu

nebo zastavení tělesa) nebo trajektorii pohybu (zakřivení). Projevují se zrychlením tečným

(změna velikosti rychlosti) nebo normálovým (křivočarý pohyb). Zrychlení je definováno II.

pohybovým zákonem.

Tento zákon nelze přímo prakticky ověřit – žádné těleso není mimo účinek sil, stále

působí tření, odpor prostředí, přitažlivost apod. Je vyvozen na základě pozorování

snahy těles setrvávat v pohybovém stavu.

Zákon síly – II. pohybový zákon:

Změna pohybu je úměrná působící síle a má s ní stejný směr. Nepřímo úměrná je

hmotnosti tělesa.

Matematicky vyjádřeno:

V technické mechanice používáme tuto rovnici většinou ve tvaru:

(síla je rovna součinu hmotnosti tělesa a zrychlení).

Síla tíhová udělí tělesu o hmotnosti m tíhové zrychlení g ( ), hmotnost setrvačná je

rovna hmotnosti tíhové1.

Zákon (princip) akce a reakce – III. pohybový zákon:

Vzájemné mechanické účinky mezi tělesy mají vždy stejnou velikost a směr, ale opačný

smysl, tedy každé akci přísluší stejně veliká reakce opačného smyslu.

Tělesa mohou vzájemně působit buď přímým kontaktem, nebo pomocí pole, či interakcí mezi

elementárními částicemi. Matematicky vyjadřujeme princip akce a reakce rovnicí:

1 V tzv. stavu beztíže bychom sice nepociťovali tíhu tělesa, ale setrvačné účinky ano. Newtonova teorie tuto

rovnost nevysvětluje, z jejího hlediska se jedná o náhodu. Vysvětlení dává obecná teorie relativity.

7

Znaménko minus vyjadřuje, že se jedná o síly působící na různá tělesa (rovnice není

podmínkou rovnováhy). Tento zákon jsme používali ve statice při aplikaci metody

uvolňování.

Inerciální a neinerciální soustavy

Jako inerciální vztažná soustava se označuje taková vztažná soustava, v níž platí zákon

setrvačnosti. Každá vztažná soustava, je-li vzhledem k dané inerciální soustavě v klidu nebo

pohybu rovnoměrném přímočarém, je rovněž inerciální.

Soustavy, v nichž zákon setrvačnosti neplatí, se nazývají neinerciální. Pohybují se pohybem

přímočarým zrychleným, zpožděným, nebo křivočarými pohyby.

Kdybychom neuvažovali tření, předmět ve vozidle pohybujícím se se zrychlením, by pro

pozorovatele na zemi setrvával v původní poloze. Pro pozorovatele ve vozidle by se však

pohyboval v opačném smyslu k vektoru zrychlení, ačkoli by na předmět nepůsobila žádná

vnější síla (tedy v rozporu se zákonem setrvačnosti). Tuto vlastnost hmotných těles někdy

vyjadřujeme zavedením setrvačné síly jako síly opačně zrychlující. Pro rovnoměrně rotující

těleso je touto silou síla odstředivá.

D´Alembertův princip1

D´Alembertův [dalambérův] princip je důležitým principem teoretické mechaniky2, na který

navazují další metody. Ve speciálním případě tohoto obecnějšího principu se jedná o jinou

formu vyjádření II. pohybového zákona. V této formě jej technická mechanika používá jako

základní metodu k řešení úloh.

Tento speciální případ d´Alembertova principu aplikujeme tak, že k vnějším silám

působícím na těleso připojíme opačně zrychlující setrvačnou sílu rovnou součinu

hmotnosti a zrychlení ( ) a pro takto vzniklou soustavu napíšeme podmínku

dynamické rovnováhy (pohybovou rovnici):

∑

Čteme: výslednice vnějších a setrvačných sil se

rovná nule. Mějme na paměti, že se nejedná o

statickou rovnováhu3, protože setrvačné síly nejsou

silami vnějšími.

Příklad:

Sestavte pohybovou rovnici pro zrychlující automobil

a vyjádřete tažnou sílu motoru pro dosažení daného

zrychlení. Na automobil působí tažná síla motoru F,

výsledná odporová síla tření T a odpor vzduchu Fo.

Obr. 2

1 Jean Baptiste le Rond d´Alembert (1717-1783), francouzský matematik, fyzik a osvícenský filozof. Spolu

s Diderotem připravoval Encyklopedii. 2 Jeho úplné vyjádření se vymyká rozsahu běžné středoškolské matematiky.

3 Ve statickou podmínku rovnováhy d´Alembertův princip přejde při nulovém zrychlení.

8

Řešení:

K soustavě vnějších sil připojíme opačně zrychlující sílu setrvačnou Fs a píšeme pohybovou

rovnici:

, kde je setrvačná síla.

Tažná síla:

Na automobil působí samozřejmě i tíhová síla, ale v pohybové rovnici psané pro

vodorovný směr vystupovat nebude. Její vliv se projeví např. při výpočtu třecí síly.

Vyřešme nyní pro srovnání tuto úlohu přímou aplikací II. pohybového zákona. Výslednice

vnějších sil se pak rovná součinu hmotnosti a zrychlení:

=

Obr. 3

∑

Při určování vnějších sil, působících na těleso, uplatníme s výhodou metodu

uvolňování, známou ze statiky.

Příklad:

Sestavte na základě d´Alembertova principu pohybovou

rovnici pro určení síly v závěsu klece výtahu, který

zpomaluje se známým zpožděním při pohybu vzhůru.

Kromě tíhové síly dále uvažujte výslednou třecí sílu.

Řešení:

Lano přerušíme myšleným řezem (uvolníme klec) a

zavedeme vnitřní tahovou sílu. Při zpožděném pohybu

směřuje vektor zrychlení proti smyslu pohybu

(zpoždění = záporné zrychlení). Opačně zrychlující

setrvačnou sílu proto zavedeme ve smyslu

pohybu:

Obr. 4

9

Připomeňme, že zrychlení může být zadáno např. prostřednictvím rychlosti a dráhy

atd., znalost základů kinematiky je proto nezbytná.

Otázky a úkoly:

1. Čím se zabývá dynamika a čím kinematika?

2. Co způsobuje změnu velikosti a směru rychlosti tělesa a jak tyto změny vyjadřujeme?

3. Charakterizujte setrvačnou sílu.

4. Sestavte pohybovou rovnici pro vzlétající raketu a vyjádřete tažnou sílu motoru.

5. Zdůvodněte, proč se snáze přetrhne lanko, na němž je zavěšeno břemeno, při prudkém

trhnutí než při pozvolném zvedání.

Příklad:

Příklad s výtahem řešte přímou aplikací II. pohybového zákona.

10

3. POHYBOVÁ ROVNICE HMOTNÉHO BODU

Obsah této kapitoly:

D´Alembertův princip – shrnutí

Náhrada tělesa hmotným bodem

Metodika řešení úloh d´Alembertovým principem

D´Alembertův princip – shrnutí

K působícím vnějším silám připojíme setrvačnou sílu o velikosti , která je silou

opačně zrychlující1, a píšeme pohybovou rovnici analogickou statické podmínce

rovnováhy: výslednice všech vnějších a setrvačných sil je rovna nule.

a) pohyb zrychlený ve vodorovném směru:

F – výsledná vnější zrychlující síla

Obr. 5

b) pohyb zpožděný ve vodorovném směru:

F – výsledná vnější brzdná síla

Obr. 6

V obou případech má pohybová rovnice tvar2:

c) pohyb ve svislém směru:

Zde se uplatní vliv tíhové síly. Uvedeme pouze případ, kdy těleso zrychluje směrem vzhůru

(např. startující raketa, rozjíždějící se výtah atd.). Ostatní možnosti si žák doplní sám,

případně budou uvedeny v příkladech.

1 Připomeňme, že setrvačná síla není silou vnější, a proto pohybová rovnice není skutečnou podmínkou

rovnováhy, je jí pouze formálně podobná. 2 Pro nulové zrychlení přejde d´Alembertův princip ve statickou podmínku rovnováhy.

11

F – tažná síla raketového motoru,

G – tíhová síla,

Fo – odpor prostředí.

Pohybová rovnice:

Výraz představuje velikost výslednice vnějších

sil.

Obr. 7

Náhrada tělesa hmotným bodem1

V kinematice jsme uvedli, že těleso se může pohybovat pohybem posuvným (translačním)

nebo otáčivým (rotačním), případně pohybem složeným. Při translačním pohybu mají

všechny body tělesa stejnou rychlost a zrychlení, a proto je možné nahradit těleso hmotným

bodem (hmotnost soustředíme do těžiště tělesa).

Pohybová energie hmotného bodu:

Pohybová energie tělesa, složeného z konečného počtu prvků (hmotných bodů):

∑

∑

Těleso konající posuvný pohyb tedy můžeme nahradit hmotným bodem o hmotnosti

odpovídající celkové hmotnosti tělesa (obvykle soustředěné do těžiště)2.

Metodika řešení úloh d´Alembertovým principem

Nejprve nakreslíme schéma, do něhož zavedeme působící vnější síly. Poté si ujasníme,

o jaký druh pohybu se jedná, zakreslíme pro informaci smysl pohybu a vektor zrychlení

a v těžišti tělesa zavedeme opačně zrychlující setrvačnou sílu, jejíž velikost se rovná

. Sestavíme pohybovou rovnici, v níž se součet vnějších sil a síly setrvačné rovná

nule. Řešíme neznámou veličinu.

Příklad:

Určete tažnou sílu motoru auta, které se rozjede z klidu za čas 5 s na rychlost 60 km.h-1

.

Hmotnost auta je m = 1200 kg a odpor proti jízdě je 0,01 tíhové síly.

1 Hmotný bod je malé těleso, u něhož neuvažujeme tvar a rozměry, avšak přisuzujeme mu určitou hmotnost.

2 Pokud se jedná o homogenní těleso, hmotnost prvku nahradíme tzv. diferenciálem dm a výraz

∑ výrazem

∫ (čteme integrál dm). Výsledek je v tomto případě stejný.

12

Řešení:

Jedná se pohyb rovnoměrné zrychlený z klidu. Hledáme sílu, která způsobí tuto pohybovou

změnu, potřebujeme tedy znát zrychlení. Zadané hodnoty převedeme na základní jednotky.

( )

Obr. 8

Pohybová rovnice:

( )

Příklad:

Určete hmotnost břemene, které by se muselo zvedat na laně se zrychlením a = 3,8 m.s-2

, aby

se lano přetrhlo. Průřez lana je 50,3 mm2, mez pevnosti je 51 MPa.

Řešení:

Lano přerušíme myšleným řezem a zavedeme vnitřní tahovou sílu. Setrvačná síla je silou

opačně zrychlující. Pohyb je rovnoměrně zrychlený z klidu.

Obr. 9

Síla, při níž se lano přetrhne, má velikost ( )

Pohybová rovnice:

( )

Příklad:

Automobil, jehož hmotnost je m = 1500 kg, se blíží ke křižovatce rychlostí 45 km.h-1

. Na jaké

dráze zastaví pomocí brzdné síly F = 10 kN?

13

Řešení:

Úkolem je vypočítat dráhu. Tuto kinematickou veličinu určíme z rychlosti a zpoždění (jedná

se pohyb rovnoměrně zpožděný do zastavení), které vypočítáme z pohybové rovnice.

Obr. 10

Pohybová rovnice:

Zrychlení:

( )

Hledaná dráha:

( )

Úkoly a otázka:

1. Zformulujte postup při řešení dynamické úlohy d´Alembertovým principem.

2. Zakreslete vektor zrychlení při zrychleném a zpožděném pohybu hmotného bodu (tělesa).

3. Při jakém druhu pohybu a proč můžeme nahradit těleso hmotným bodem?

14

4. DOBOVÝ A DRÁHOVÝ ÚČINEK SÍLY

Obsah této kapitoly:

Impuls síly a hybnost hmoty

Řešení dynamických úloh pomocí impulsu a hybnosti

Zákon zachování hybnosti

Mechanická práce

Mechanická energie, zákon zachování

Řešení dynamických úloh energetickou metodou

Zákon zachování mechanické energie

Impuls síly a hybnost hmoty

Impulsem síly nazýváme dobový účinek síly. Stejně velkým impulsem můžeme působit buď

menší silou po delší dobu, nebo větší silou po kratší dobu. Tento impuls se rovná změně

hybnosti tělesa1. Rovnice vyjadřující vztah mezi impulsem síly a změnou hybnosti souvisí

s II. pohybovým zákonem (uvedeno pro pohyb rovnoměrně zrychlený a sílu konstantní

velikosti):

Síla F je obecně výslednicí vnějších sil ( ∑ ). Síly hnací budou kladné, síly odporové

záporné. Impuls a hybnost jsou vektorové veličiny, tj. pokud se smysl pohybu účinkem

síly obrátí, musíme ve skalární rovnici přidělit velikosti příslušné hybnosti opačné

znaménko.

Obecnější formulace II. pohybového zákona definuje sílu pomocí časové změny

hybnosti.

Jednotkou impulsu2 o velikosti je Ns (newtonsekunda), jednotkou hybnosti

o velikosti je kgm.s-1

. Rozměrově jsou obě (vektorové) veličiny samozřejmě

totožné.

Grafické znázornění impulsu

V diagramu F – t (závislost síly a času) je impuls I reprezentován obsahem plochy pod čarou

průběhu síly:

Obr. 11

1 Hybnost je jakousi „mírou pohybu“ tělesa. V historii dnešní pojmy hybnost, síla, energie splývaly.

2 Impuls se používá např. při určování tahu raketových motorů.

15

Řešení dynamických úloh pomocí impulsu a hybnosti

Pomocí impulsu a hybnosti můžeme s výhodou řešit úlohy, v nich hraje roli čas jako

veličina známá nebo hledaná. Vedle aplikace II. pohybového zákona nebo

d´Alembertova principu se tak jedná o další metodu řešení dynamických úloh. Zde

samozřejmě nezavádíme žádné setrvačné síly, pracujeme pouze se silami vnějšími.

Pro ilustraci vyřešíme příklad, počítaný v kapitole 3 d´Alembertovým principem.

Příklad:

Určete tažnou sílu motoru auta, které se rozjede z klidu za čas 5 s na rychlost 60 km.h-1

.

Hmotnost auta je m = 1200 kg a odpor proti jízdě je 0,01 tíhové síly.

Řešení:

Obr. 12

Do schématu zakreslíme působící vnější síly. Síla hnací bude mít ve skalární rovnici kladné

znaménko, síla odporová záporné. Musíme ovšem na pravé straně rovnice důsledně psát

hybnost konečnou minus hybnost počáteční.

Impuls celkové výsledné vnější síly se rovná změně hybnosti tělesa:

( ) počáteční rychlost

Hledaná síla:

( )

V této úloze jsme nemuseli počítat zrychlení jako při aplikaci d´Alembertova principu.

Příklad:

Hokejový puk o hmotnosti m = 0,2 kg se pohybuje

jedním směrem rychlostí v1 = 10 m.s-1

. Úderem hole

obdrží rychlost v2 = 20 m.s-1

v opačném směru.

Vypočtěte velikost impulsu síly I, který působil na puk.

Řešení:

( )

Obr. 13

Odečtení vektorů = přičtení opačného vektoru znamená součet velikostí hybností.

16

Zákon zachování hybnosti

Zákon zachování hybnosti je méně obecným fyzikálním zákonem než zákon zachování

mechanické energie, ale je mu formálně podobný:

Pokud na soustavu nepůsobí vnější síly, její celková hybnost se zachovává.

Z tohoto zákona plyne:

Obdrží-li dvě tělesa stejný impuls, nabudou ve stejném čase číselně stejné hybnosti.

Příklad:

Jsou dána dvě tělesa známých hmotností spojená pružinou. Určete, jakých nabudou rychlostí

v čase t po uvolnění pružiny, je-li její střední síla Fp. Odpory neuvažujte.

Obr. 14

Řešení:

Obě tělesa obdrží stejný impuls:

Zákon zachování hybnosti: neuvažujeme-li vnější síly (odpory tření a prostředí), celková

hybnost, jejíž velikost je při stlačení pružiny 0 (tělesa v klidu), se zachovává. Vektorově:

skalárně (pohyby opačným směrem).

Příklad:

Na vozík o hmotnosti m2 = 25 kg, který je v klidu, hodíme cihlu o hmotnosti m1 = 0,6 kg.

Cihla dopadne rychlostí v1 = 10 m.s-1

pod úhlem 30°. Určete společnou rychlost vozíku

s cihlou. Odpory neuvažujte.

Obr. 15

17

Řešení:

U tohoto příkladu si musíme znovu uvědomit, že hybnost je vektorová veličina (představme si

situaci, že na vozík dopadne cihla kolmo – vozík se nerozjede). Uvažujeme tedy složky

hybnosti ve směru pohybu vozíku.

Velikost celkové hybnosti soustavy před dopadem:

Velikost celkové hybnosti soustavy po dopadu:

Výpočet společné rychlosti po dopadu cihly (hybnosti se podle zákona zachování číselně

rovnají):

( )

( )

( )

Úloha s cihlou a vozíkem je příkladem úlohy na tzv. nepružný ráz. Úlohy o rázu řešíme

s výhodou právě pomocí změny hybnosti.

Mechanická práce

Dráhový účinek síly nazýváme mechanickou prací. Práci konáme při překonávání

odporů po dráze ve směru síly. Mechanickou práci W vypočítáme, násobíme-li sílu

průmětem dráhy do směru síly, nebo znásobíme-li dráhu složkou síly ve směru dráhy1.

Práce stálé síly při zvedání břemene do výšky h (obr. 16):

Překonáváme odpor tíhy, zvednutím tělesa zvětšíme jeho polohovou energii.

Práce šikmé stálé síly na vodorovné rovině (obr. 17):

Překonáváme třecí sílu (odpor smykového tření).

Vztah představuje složku síly ve směru dráhy, vztah průmět dráhy do

směru síly.

Práce stálé síly při pohybu po nakloněné rovině (obr. 18):

Překonáváme odpor tíhy, násobíme sílu F rovnou složce tíhové síly ve směru dráhy touto

dráhou s, nebo tíhovou sílu G dráhou ve směru této síly, tj. h.

1 Přestože je práce veličinou skalární, cítíme, že směr a smysl u ní hrají určitou roli. Ve vyšší matematice je

práce vyjádřena tzv. skalárním součinem vektoru síly a polohového vektoru ve směru dráhy. Tímto skalárním

součinem je zmíněný průmět.

18

Vztah vyjadřuje průmět síly do směru dráhy, vztah vyjadřuje

průmět dráhy do směru tíhové síly.

Obr. 16

Obr. 17

Obr. 18

Někdy se říká, že nakloněná rovina uspoří práci při zvedání břemene. Uspoří však

pouze „námahu“, nikoli mechanickou práci jako fyzikální veličinu.

Grafické znázornění práce stálé a proměnné síly

V diagramu F – s (závislost síly a dráhy) je práce W reprezentována obsahem plochy pod

čarou průběhu síly:

a) b) c)

Obr. 19

Na obr. a je znázorněna práce stálé síly (plocha obdélníka). Na obr. b) je práce síly, která

lineárně vzrůstá, což je např. případ práce na pružině nebo práce vykonaná při navíjení volně

visícího lana (plocha lichoběžníka, při F0 = 0 pak plocha trojúhelníka), a na obr. c je práce

obecně proměnné síly popsané funkcí F = f(s).

19

Připomeňme si také diagram zkoušky tahem – jeho plocha odpovídá deformační práci.

Příklad:

Vypočítejte práci ventilové pružiny, která je v předpruženém stavu zatížena silou F0 = 100 N

a při největším zdvihu ventilu s = 20 mm silou F = 250 N.

Řešení:

Hledaná práce odpovídá číselně ploše lichoběžníka. Její

velikost můžeme určit převedením na obdélník, jehož jedna

strana je rovna dráze a druhá aritmetickému průměru

zatěžujících sil (tedy střední hodnotě síly):

( )

Rozměr joulu je Nm, proto musíme stlačení pružiny převést

na metry.

Obr. 20

Mechanická energie, zákon zachování

Zdvihneme-li těleso o výškový rozdíl h, vykonáme práci a těleso má v této poloze

schopnost tutéž práci vykonat. Má potenciální polohovou energii

Jinou formou mechanické energie je deformační energie (viz pružnost a pevnost) a tlaková

energie vody.

Padá-li těleso z této polohy, klesá jeho potenciální polohová energie a zvětšuje se jeho

rychlost. Při dopadu z výšky h může vykonat práci

Polohová energie se tedy přeměnila na pohybovou (kinetickou) energii

Celková mechanická energie se nezměnila. Celková mechanická energie by byla stejná i

během pádu ( ), což je důsledek zákona zachování mechanické energie.

Zákon zachování mechanické energie: celková mechanická energie tělesa je stálá1.

1 Nezaměňme zákon zachování mechanické energie s obecným zákonem zachování energie.

20

Řešení dynamických úloh energetickou metodou

Pro dynamické výpočty používáme rovnici, která vyjadřuje vztah mezi prací

zrychlujících nebo brzdných sil a změnou kinetické (pohybové) energie. Rovnice

vyjadřující vztah mezi mechanickou prací a změnou kinetické energie souvisí s II.

pohybovým zákonem a se zákonem zachování mechanické energie:

( )

Síla F ( ∑ ) je výslednicí vnějších sil. Síly hnací, zrychlující mají kladné znaménko

(a jejich práce rovněž), síly odporové (a jejich práce) mají záporné znaménko. Opět

důsledně dodržujeme na pravé straně rozdíl energie konečné minus energie počáteční.

Řešení dynamických úloh pomocí této rovnice nazýváme energetickou metodou.

Energetická metoda je výhodná např. v případě, že v úloze hraje roli dráha jako

veličina známá nebo hledaná. Pro ilustraci opět vyřešíme příklad zmiňovaný

v kapitole o d´Alembertově principu.

Příklad:

Určete sílu F, která působí v lanech výtahové kabiny, jestliže výtah zastaví z rychlosti v = 1,2

m.s-1

na dráze s = 1 m. Hmotnost kabiny je 200 kg. Tření zanedbejte.

Řešení:

Zanedbáme-li tření, překonáváme pouze odpor tíhové síly. Kladnou práci koná síla v závěsu

kabiny.

( )

Konečná rychlost .

Hledaná síla:

( )1

Dalším výhodným uplatněním energetické metody je situace, že potřebujeme řešit

pohyb v tíhovém poli Země po zakřivené dráze. Tento poznatek jsme použili v kapitole

o odstředivé síle (rychlost hmotného bodu ve svislé rovině).

Práce v tíhovém poli Země (tzv. potenciální silové pole) nezávisí na tvaru dráhy.

Příklad:

Hmotný bod o hmotnosti m = 2 kg se začne pohybovat po zakřivené dráze s počáteční

rychlostí vA = 2 m.s-1

. Určete rychlost v bodě B, kde dráhu opustí. Odpory neuvažujte.

1 Opět jsme nemuseli počítat zrychlení, v rovnici je vyjádřeno vztahem

.

21

Řešení:

V tíhovém poli Země nezávisí práce na tvaru dráhy. Neuvažujeme-li odpory, jediná vnější síla

konající práci je síla tíhová.

( )

Obr. 21

Tato práce (pokles polohové energie hmotného bodu) se projeví přírůstkem kinetické energie:

Z rovnice plyne:

√ ( ) √ ( )

Rychlost nezávisí na hmotnosti.

Otázky a úkoly:

1. Jak je definována hybnost?

2. Kdy je výhodné použít k řešení dynamické úlohy vztah mezi impulsem síly a změnou

hybnosti a jak zní tento vztah?

3. Vyslovte zákon zachování hybnosti. Jak se projeví tento zákon při výstřelu ze střelné

zbraně a při vyskakování z loďky na břeh?

4. Vysvětlete, kdy konáme mechanickou práci a jak se práce vypočítá.

5. Jaké jsou druhy mechanické energie a jak se vypočítá jejich velikost?

6. Vyslovte zákon zachování mechanické energie a vysvětlete, jak se projevuje u padajícího

tělesa.

7. Kdy je výhodné úlohy řešit energetickou metodou?

22

5. VÝKON, PŘÍKON A ÚČINNOST

Obsah této kapitoly:

Definice a výpočet výkonu

Účinnost

Sériové řazení mechanických soustav (celková účinnost zařízení)

Definice a výpočet výkonu

Výkon (dříve také „pracovní efekt“) je práce

vykonaná za jednotku času. Základní fyzikální vztah

( )

udává střední (průměrný) výkon. Jednotkou1 je watt

(W), v technické praxi se setkáme nejčastěji s kW, u

velkých energetických strojů s MW.

Obr. 22

U pohybu rovnoměrného dosadíme za práci součin a dostaneme

Výkon se u rovnoměrného pohybu rovná součinu síly a rychlosti.

U pohybu otáčivého vyjádříme dráhu jako délku kružnice opsanou bodem na obvodu rotoru

neho hřídele za i otáček a síla bude odvodovou silou:

Výkon se u rotačního pohybu rovná součinu momentu a úhlové rychlosti.

Vztah udává práci točivého momentu:

Veličina ( ), známá z kinematiky, je úhlová dráha. Rovnice je

analogická (formálně a myšlenkově podobná) rovnici pro přímočarý pohyb .

Účinnost

Každý stroj nebo zařízení využívá jen část energie do něho přivedené. Tzv. ztráty jsou

představovány energií, která se sice neztrácí (zákon zachování energie), ale není využitá.

Příčinou ztrát je tření a sdílení tepla (ztráty mechanické, hydraulické, tepelné). Část energie

1 Starší a dosud běžná jednotka (např. mezi motoristy) kůň (k) je přibližně 0,735 kW. Pro základní představu

stačí pamatovat si orientačně ¾ kW.

23

nevratně odchází ve formě tepla podle II. termodynamického zákona. Je-li např. příkon

(přiváděný výkon) stroje 4 kW a výkon 3 kW, znamená to, že se k užitečné činnosti využilo

jen 75 % (tedy 3/4) příkonu. Tento poměr nazýváme účinností.

Účinnost je poměr výkonu ku příkonu. Je mírou využití přiváděné energie.

( )

Účinnost můžeme také vyjádřit pomocí prací či energií, jako poměr ideálního hnacího

účinku ku skutečnému hnacímu účinku, nebo jako poměr skutečného zátěžného účinku

ku ideálnímu hnacímu účinku.

Obr. 23

Bilance výkonu:

Sériové řazení mechanických soustav (celková účinnost zařízení)

Jedná se např. o soustavu motor – spojka – převodovka – poháněný stroj:

Do motoru přivádíme: z motoru odvádíme: do spojky přivádíme: ze spojky odvádíme:

atd.

Výkon odváděný ze zařízení: . Účinnosti se násobí.

24

Příklad:

Jeřáb zvedá břemeno m = 5 t za 20 s do výšky 5 m. Určete příkon elektromotoru v kW,

jestliže celková účinnost je 70 %.

Řešení:

Výkon potřebný pro rovnoměrné zvedání břemene:

( )

Příkon:

( ) ( )

Obr. 24

Příklad:

Odvoďte rovnici pro účinnost zvedání šroubového zvedáku.

Řešení:

Použijeme poznatku, že účinnost je dána poměrem ideálního hnacího účinku ku skutečnému.

Ideální hnací účinek (ze statiky):

, kde je obvodová síla, tíhová síla břemene a je úhel stoupání.

Skutečný hnací účinek:

( ), kde je třecí úhel.

Účinnost zvedání:

( )

Příklad:

Na vstupní hřídel třístupňové převodovky je přiváděn příkon P1 = 13,1 kW. Otáčky vstupního

hřídele jsou n1 = 1520 min-1

. Ozubená kola převodovky mají tyto počty zubů: z1 = 59, z2 = 32,

z3 = 54, z4 = 27, z5 = 49, z6 =22. Mechanická účinnost každého soukolí je 0,93. Určete výkon,

který přenáší výstupní hřídel převodovky, a jeho krouticí moment.

Řešení:

Celková účinnost:

Výstupní výkon: ( )

Převodový poměr:

25

Výstupní otáčky:

( ) ( )

- multiplikátor

Krouticí moment:

( )

Otázky a úkoly:

1. Jak je definován průměrný výkon?

2. Vyjádřete účinnost zařízení.

3. Jak se vypočítá celková účinnost mechanické soustavy složené z několika strojů nebo

mechanismů?

4. Jak se vypočítá práce a výkon momentu?

26

6. POHYB HMOTNÉHO BODU PO KRUŽNICI, ODSTŘEDIVÁ SÍLA

Obsah této kapitoly:

Dostředivá a odstředivá síla

Pohyb ve vodorovné rovině – pohyb vozidla v zatáčce

Pohyb ve vodorovné rovině – hmotný bod na závěsu

Pohyb ve svislé rovině

Dostředivá a odstředivá síla

Pokud na hmotný bod nepůsobí síla, pohybuje se tento hmotný bod rovnoměrně

přímočaře. Má-li se hmotný bod pohybovat po kružnici (obecně po zakřivené dráze),

musí na něj působit dostředivá (centripetální)

síla FD, která mění směr vektoru rychlosti.

Dostředivou silou může být tření (automobil

v zatáčce), síla ve vlákně (lano, řetěz, táhlo),

v pružině, přitažlivá síla atd. Projevem setrvačnosti

hmotného bodu je opačně zrychlující setrvačná

odstředivá (centrifugální) síla FC, pomocí níž

můžeme na základě d´Alembertova principu

formulovat pohybovou rovnici pro hmotný bod

rovnoměrně se pohybující po kružnici.

Obr. 25

,

Normálové (dostředivé) zrychlení:

Síla dostředivá je silou vnější, síla

odstředivá silou setrvačnou.

Odstředivé síly využívají odstředivky

(odlučování látek), odstředivá

čerpadla, odstředivé regulátory aj. U tělesa

zavádíme výslednou odstředivou sílu v těžišti.

Obr. 26

Pohyb ve vodorovné rovině – pohyb vozidla v zatáčce

Na vozidlo projíždějící zatáčkou působí vnější síly: tíhová,

normálová složka reakce, třecí (dostředivá). Setrvačnou

silou je síla odstředivá.

Vozidlo může projít dvěma mezními stavy: prvním je

smyk, druhým je překlopení. Z příslušných rovnic

vypočítáme dvě rychlosti, při nichž k těmto mezním

stavům dojde.

Obr. 27

27

Smyk:

Pohybová rovnice v ose x:

Statická podmínka rovnováhy v ose y:

Zákon smykového tření:

Po dosazení do pohybové rovnice obdržíme:

Rychlost na mezi smyku:

√

Tato úloha zasahuje již do kapitoly o vázaném pohybu hmotného bodu se třením, což

bude podrobněji probráno později.

Překlopení:

Klopný moment:

Moment stability:

Mezní stav:

Rychlost na mezi překlopení:

√

Na mezi překlopení prochází nositelka výslednice tíhové a odstředivé síly právě

bodem, kolem něhož hrozí překlopení (vnější kolo). Zjednodušujícím předpokladem je,

že těžiště leží na ose vozidla (v polovině rozchodu). Podle toho, která z mezních

rychlostí vyjde menší, dojde buď dříve ke smyku, nebo k překlopení.

Pohyb ve vodorovné rovině – hmotný bod na závěsu

Příkladem může být řetízkový kolotoč, z technické praxe pak např.

odstředivý regulátor - roztěžník. Závěs se nastaví ve směru

nositelky – vektorové přímky výslednice tíhové a odstředivé

síly. Situace je analogická předchozímu případu – překlopení

vozidla. V tom případě lze zvýšit maximální rychlost nakloněním

vozovky, aby zmíněná výslednice byla pokud možno kolmá

k vozovce. Všimněte si, že vnější kolejnice na železnici je

v zatáčce mírně výš než kolejnice vnitřní. Extrémní klopení má

např. cyklistický ovál.

Obr. 28

28

Silový trojúhelník:

Poloměr rotace:

Obr. 29

Výpočet úhlu :

Použitím vztahu:

dostaneme:

Velikost síly ve vlákně obdržíme použitím Pythagorovy věty:

√

Pohyb ve svislé rovině

Při tomto druhu pohybu má významný vliv nejen odstředivá, ale i

tíhová síla. Tomuto pohybu odpovídá pohyb dětské houpačky,

z technické praxe pak např. pohyb materiálu po bubnu pásového

dopravníku, rotace nevyváženého rotoru atd. Rovněž lze takto

modelovat pohyb vozidla přejíždějícího terénní vlnu. V letadle se

tímto pohybem při výcviku astronautů simuluje chvilkový stav

beztíže.

Na hmotný bod působí tyto vnější síly: tíhová síla G a normálová

síla N (síla ve vlákně nebo reakce podložky). K nim zavedeme

odpovídající setrvačné síly: tečnou setrvačnou sílu a

setrvačnou odstředivou sílu .

Obr. 30

Úkolem bude sestavit složkové rovnice ve směru tečny a normály k trajektorii, vypočítat

normálovou reakci a rychlost v obecném bodě. Dále můžeme vyšetřovat, za jakých podmínek

se bod udrží na kruhové dráze, nebo kde bude rychlost maximální a minimální. Bod bude

vypuštěn z obecné polohy a bude mu udělena počáteční rychlost v0.

29

Obr. 31

Uvolnění bodu:

Ve směru tečny k trajektorii:

Ve směru normály:

Tečné zrychlení:

Rychlost určíme nejsnáze ze zákona zachování

mechanické energie; pokles polohové energie se

přemění na přírůstek energie pohybové:

Obr. 32

( )

(

)

√ ( )

Z rovnice ve směru normály poté můžeme vypočítat reakci N:

30

Poloha A1:

Dosaženo největší rychlosti (h = r): √ ( )

Největší síla ve vlákně:

Poloha A3:

Minimální rychlost (h = - r ): √ ( ) √

( ) Pohybová rovnice:

Síla ve vlákně:

Aby se bod vůbec udržel na kruhové dráze, musí v poloze A3 platit :

√

Příklad:

Určete potřebnou rychlost, kterou musí mít motocyklový kaskadér v drátěné kouli („stěna

smrti“), aby mohl bezpečně projet vrcholem koule (tj. hlavou dolů). Koule má průměr 5 m.

Řešení:

Ve vrcholu koule musí nastat minimálně dynamická

rovnováha – rovnost tíhové a odstředivé síly. Pro bezpečný

průjezd musí platit:

√ √ ( )

Obr. 33

Rychlost musí být větší než 4,95 m.s-1

, tj. 17,82 km.h-1

.

Úkoly a otázky:

1. Jaký je vztah mezi dostředivou a odstředivou silou?

2. Proč je vnější kolejnice v zatáčce výš než vnitřní?

3. Uveďte podmínku, aby se bod při pohybu po kružnici ve svislé rovině alespoň udržel na

kruhové dráze.

4. Odvoďte vztah pro potřebnou počáteční rychlost v0, aby se volně pohybující bod alespoň

udržel na kruhové dráze.

31

7. VÁZANÝ POHYB HMOTNÉHO BODU A POSUVNÝ POHYB TĚLESA

Obsah této kapitoly:

Pohyb volný a vázaný

Pohyb se třením po vodorovné rovině

Pohyb se třením po nakloněné rovině

Pohyb volný a vázaný

Volný pohyb nastane, když se hmotný bod nebo těleso nestýká za pohybu s jiným tělesem.

Vázaný pohyb je pohyb omezený vazbami. Vazby omezují počet stupňů volnosti bodu nebo

tělesa. Základní metodou řešení vázaného pohybu je metoda uvolňování:

Těleso uvolníme (odstraníme vazby) a jejich účinky na těleso nahradíme vazbovými

silami (reakcemi). Takto uvolněné těleso pak řešíme jako těleso volné.

Těleso pohybující se posuvným pohybem (dráhy, rychlosti a zrychlení všech bodů

tělesa jsou v daném okamžiku stejné) řešíme jako hmotný bod.

Pohyb se třením po vodorovné rovině

Řešení s využitím d´Alembertova principu je analogické se statikou. Složkami vazbové síly

budou síly třecí a normálová.

Příklad:

Sestavte pohybovou rovnici tělesa, které se pohybuje po vodorovné rovině zrychleným

pohybem účinkem síly F.

Obr. 34

Řešení:

Obr. 35

32

Těleso nejprve uvolníme. Zvolíme souřadný systém, zakreslíme zatěžující vnější síly F a G a

rozložíme je do směrů souřadných os. Připojíme druhotné – vazbové síly, resp. složky reakce

podpory (třecí sílu T a normálovou složku N) a setrvačnou opačně zrychlující sílu o velikosti

m.a. Pohybová rovnice – podmínka dynamické rovnováhy bude mít tvar:

, tedy

Pohybovou rovnici doplníme statickou podmínkou v ose y a zákonem smykového tření:

, tedy

Po dosazení do pohybové rovnice obdržíme rovnici o jedné neznámé, kterou bude většinou

síla F nebo zrychlení a:

( ) , tedy ( )

Z vypočítaného zrychlení můžeme řešit např. dráhu nebo rychlost v určitém čase.

V tomto smyslu je průpravou pro dynamiku kinematika.

Úlohy můžeme řešit také energetickou metodou (řešení pouze naznačíme):

( )

Doplňující rovnice jsou totožné (podmínka rovnováhy ∑ a zákon smykového tření).

Energetickou metodu s výhodou využijeme, je-li zadána či požadována dráha. V podobném

smyslu (pokud je jednou z veličin čas) lze úlohu řešit i pomocí změny hybnosti.

Příklad:

Nákladní automobil dopravuje na své ložné ploše nezajištěné břemeno o hmotnosti m.

Součinitel tření mezi korbou a břemenem je f = 0,4. Stanovte, s jakým největším zpožděním

může automobil brzdit, aby se břemeno neposunulo, a za jakých podmínek by došlo

k překlopení břemene.

Obr. 36

Obr. 37

Řešení:

a) posunutí břemene:

Protože se jedná o zpožděný pohyb, zavedeme setrvačnou sílu ve směru pohybu. Pohybová

rovnice:

33

Podmínka rovnováhy a zákon smykového tření:

Po dosazení: , ( )

b) překlopení břemene:

Mezním stavem je rovnováha momentu klopného (moment setrvačné síly) a momentu

stability (moment tíhové síly):

Maximální zrychlení na mezi překlopení:

Pohyb se třením po nakloněné rovině

Úlohu řešíme zcela analogicky s pohybem po vodorovné rovině, v pohybové rovnici přibude

pouze složka síly tíhové. Souřadnou soustavu zavedeme s výhodou tak že osa x je rovnoběžná

s nakloněnou rovinou. Síla F může mít zcela obecnou polohu, zde ukážeme řešení na příkladu

síly rovnoběžné s nakloněnou rovinou. V ostatních případech je třeba sílu rozložit.

a) pohyb vzhůru:

Obr. 38

Obr. 39

Pohybová rovnice ∑ :

Obr. 40

34

Dosazení do pohybové rovnice:

Z této pohybové rovnice lze opět řešit kteroukoli veličinu jako neznámou.

Diskutujme nyní případ, že velikost síly F je 0:

Pro zrychlení pak plyne:

( )

Znamená to, že těleso se pohybuje zpožděným pohybem, tj. bylo vrženo vzhůru po

nakloněné rovině s počáteční rychlostí v0 a jeho rychlost klesá podle vztahu známého

z kinematiky:

, případně √

Řešení problému pomocí energetické metody pouze naznačíme:

( )

b) pohyb dolů:

Obr. 41

Obr. 42

Obr. 43

Pohybová rovnice ∑ :

Dosazení do pohybové rovnice:

Výpočet síly F:

( )

35

Je-li síla F rovna 0, znamená to, že velikost zrychlení je:

( )

a těleso sjíždí po nakloněné rovině pouze účinkem vlastní tíhy.

Samosvornost nakloněné roviny:

Pro mez samosvornosti platí , tedy ( ) .

Odtud:

Úhel sklonu nakloněné roviny se rovná třecímu úhlu. Na mezi samosvornosti je těleso buď

v klidu, nebo se samovolně pohybuje pohybem rovnoměrným1.

Je-li nakloněná rovina samosvorná, síla F musí působit jednoznačně dolů. U nesamosvorné

nakloněné roviny mohou nastat případy, že síla působí dolů a těleso urychluje vedle složky

síly tíhové, nebo že působí proti smyslu pohybu (brzdná síla) a těleso pak klesá s menším

zrychlením, případně klesá pohybem zpožděným.

Příklad:

Námořní loď o hmotnosti m = 5.106 kg se pohybuje při

spouštění na vodu po skluzu se sklonem = 3,81°. Skluz

je dlouhý s = 90 m. Ověřte, zda je sklon skluzu

dostatečný pro samovolný pohyb lodi při součiniteli tření

0,05, určete zrychlení pohybu lodi, konečnou rychlost na

konci skluzu a kinetickou energii na konci. Porovnejte

řešení d´Alembertovým pricipem a energetickou

metodou.

Obr. 44

Obr. 45

Obr. 46

Řešení (d´Alembertův princip):

Síly v obrázku nejsou kresleny v měřítku. Souřadná osa x bude rovnoběžná s nakloněnou

rovinou a pohybová rovnice bude ve tvaru ∑ . Nejprve ověříme dostatečnost sklonu:

, třecí úhel je menší než sklon, úhel sklonu je tedy dostatečný.

1 V pohybové rovnici bude zrychlení rovno 0 a pohybová rovnice přejde ve statickou podmínku rovnováhy.

Podmínka rovnováhy je podobným speciálním případem obecného d´Alembertova principu jako rovnice II.

pohybového zákona.

36

Pohybová rovnice a další podmínky:

, ,

Zrychlení:

( ) ( ) ( )

Konečná rychlost:

√ √ ( )

Kinetická energie:

( )

Řešení (energetická metoda):

( )

Zbylé rovnice jsou stejné.

( )

Rychlost:

√ ( ) √ ( )

( ).

Zrychlení:

( )

Výpočet kinetické energie je stejný.

Otázky:

1. Jaký je rozdíl mezi pohybem volným a vázaným?

2. Kdy lze těleso řešit jako hmotný bod?

3. Jaké jsou podmínky pro to, aby těleso sjíždělo po skluzu pohybem rovnoměrným

a pohybem zrychleným?

4. Jaký je postup při řešení úlohy energetickou metodou? Zavádíme setrvačnou sílu?

37

8. DYNAMIKA ROTAČNÍHO POHYBU

Obsah této kapitoly:

Pojem momentu setrvačnosti tělesa

Moment setrvačnosti tělesa k ose neprocházející těžištěm, Steinerova věta

Moment setrvačnosti složeného tělesa

Základní rovnice dynamiky pro rotační pohyb

Analogie mezi posuvným a rotačním pohybem

Pojem momentu setrvačnosti tělesa

Pro popis setrvačných vlastností rotujícího tělesa

a sestavení pohybové rovnice nám nestačí hmotnost.

Sami určitě cítíme, že jinak se chová rotující kotouč

a jinak např. rotující tyč. Kromě hmotnosti zde hraje

úlohu i tvar tělesa a rozložení hmoty kolem osy

rotace. Tyto vlastnosti postihuje moment setrvačnosti

I.

Vztah pro moment setrvačnosti odvodíme pomocí

kinetické energie:

Obr. 47

Hmotný bod na obecném poloměru má kinetickou

energii:

Kinetická energie celého rotujícího tělesa:

∑

∑

Obr. 48

Výraz ∑ označujeme a nazýváme moment setrvačnosti tělesa k ose O. Jeho

jednotkou je kg.m2.

Moment setrvačnosti počítáme metodami vyšší matematiky1. Pro praktickou potřebu

využíváme již odvozených vztahů pro momenty setrvačnosti základních geometrických těles.

Podle dále uvedených vztahů počítáme momenty setrvačnosti k ose procházející

těžištěm tělesa.

1 Obecný vztah pro moment setrvačnosti spojitého tělesa je ∫ (integrál).

38

Těleso Moment setrvačnosti Io

Hmotný bod

Tenký věnec

(střední poloměr r)

Rotující

kotouč/válec

Dutý válec

Koule

Tyč

Hranol (k podélné

ose souměrnosti)

Moment setrvačnosti tělesa k ose neprocházející těžištěm, Steinerova věta

Moment setrvačnosti tělesa k mimotěžišťové ose O´ odvodíme na soustavě dvou hmotných

bodů rotujících kolem osy, která neprochází jejich těžištěm.

Obr. 49

( ) ( )

( ) ( )

39

Obecně:

Moment setrvačnosti k ose neprocházející těžištěm vypočítáme, když k momentu

setrvačnosti k ose procházející těžištěm přičteme součin hmotnosti tělesa a druhé

mocniny vzdálenosti obou os (Steinerova věta1).

Příklad:

Vypočtěte moment setrvačnosti tyče k ose procházející jejím koncem.

Řešení:

Použijeme Steinerovy věty.

(

)

Moment setrvačnosti složeného tělesa

Z odvození momentu setrvačnosti vyplývá, že momenty setrvačnosti lze algebraicky

sčítat (moment setrvačnosti vznikl jako součet, resp. jako integrál). Použili jsme to už

při odvození Steinerovy věty.

∑

Toho využijeme při výpočtu momentu setrvačnosti složených těles. Důležité je vztahovat

momenty setrvačnosti všech částí k téže ose.

Příklad:

Odvoďte vztah pro výpočet momentu setrvačnosti homogenního dutého válce o poloměrech R

a r k ose souměrnosti O.

Obr. 50

Řešení:

Moment setrvačnosti vypočítáme jako rozdíl momentů setrvačnosti válců o poloměrech R a r.

Vyjádříme hmotnosti:

1 Podle švýcarského matematika Jakoba Steinera (1796-1863). Vztah byl však znám již podstatně dřív.

40

Moment setrvačnosti:

(

)

( ) ( )

( )

Příklad:

Vypočtěte moment setrvačnosti k ose O´ tělesa složeného z ocelové koule o průměru D = 60

mm a válcové tyče o průměru d = 20 mm a délce l = 300 mm. Hustota obou částí je = 7800

kg.m-3

.

Obr. 51

Řešení:

Moment setrvačnosti složeného tělesa:

Hmotnosti těles:

( )

( )

K výpočtu momentů setrvačnosti obou částí potřebujeme Steinerovu větu:

(

)

( )

( )

( )

( )

Základní rovnice dynamiky pro rotační pohyb

Na hmotný bod hmotnosti m působí vnější zrychlující síla F a dostředivá síla FD. Ta je

projevem např. vnitřních sil, tedy soudržnosti materiálu. Vnější zrychlující a dostředivé síle

přiřadíme podle d´Alembertova principu setrvačné síly, tedy síly mat (tečná složka setrvačné

síla) a FC (setrvačná odstředivá síla).

41

Dynamickou rovnováhu hmotného bodu odvozenou

z d´Alembertova principu vyjádříme momentovou rovnicí

k ose otáčení, přičemž normálové síly (dostředivá a

odstředivá) mají moment nulový:

Moment vnější zrychlující síly označíme a

tečné zrychlení vyjádříme pomocí zrychlení úhlového

(přepokládáme pohyb rovnoměrně zrychlený nebo

zpožděný s konstantním zrychlením ):

Obr. 52

Pro celé těleso pak platí1:

∑

Po zavedení již známého momentu setrvačnosti:

Rovnice je základní rovnicí dynamiky pro rotační pohyb. Představuje

aplikaci d´Alembertova principu. Moment je výsledný moment vnějších sil působícící

na těleso a součin představuje opačně zrychlující moment setrvačných sil2.

Mezi veličinami a vztahy pro posuvný a otáčivý pohyb platí následující analogie.

Analogie mezi posuvným a rotačním pohybem

Podobný vztah jako mezi pohybovou rovnicí (II. pohybovým zákonem) pro oba druhy pohybů

je i mezi ostatními vztahy.

Analogické veličiny

Posuvný pohyb Otáčivý pohyb

dráha s úhlová dráha

rychlost v úhlová rychlost

(tečné) zrychlení a úhlové zrychlení

normálové zrychlení an = 0 normálové zrychlení an

hmotnost m moment setrvačnosti Io

síla F točivý moment M

V případě kinetické energie používáme u rotačního pohybu pojmu rotační energie,

analogickou veličinou k impulsu síly je impuls momentu a veličinou analogickou k hybnosti

je moment hybnosti. Příslušné vztahy souvisejí stejně jako u posuvného pohybu. Pomocí

1 Se symbolikou integrálního počtu platí pro spojité těleso ∫ .

2 Nabízí se název „setrvačný moment“, ale ten zde není na místě, protože setrvačný moment je jiná konkrétní

veličina.

42

momentu hybnosti bychom mohli odvozovat např. pracovní rovnici odstředivého čerpadla

nebo řešit pohyb po sepnutí spojky (úloha obdobná rázu při přímočarém pohybu).

Analogické vztahy

Posuvný pohyb Otáčivý pohyb

základní

rovnice

základní

rovnice

kinetická

energie

rotační

energie

impuls

a hybnost

impuls

momentu

a moment

hybnosti

práce

a energie

práce

a energie

Úlohy řešíme zcela shodnými postupy, které jsme aplikovali u posuvného pohybu.

Příklad:

Letecká vrtule s momentem setrvačnosti Io = 5 kg.m2 je poháněna točivým momentem M =

637 Nm. Z otáček n0 = 500 min-1

zrychlí na otáčky n = 3000 min-1

. Určete, za jakou dobu se

otáčky zrychlily a jaký je maximální výkon motoru P

(při otáčkách n).

Řešení:

Pohybová rovnice:

Úhlové zrychlení:

( )

Obr. 53

Výpočet úhlových rychlostí: ( )

( )

Výpočet času z úhlového zrychlení:

( )

Rychlejší řešení se nabízí na základě přímého využití vztahu mezi impulsem momentu a

momentem hybnosti vrtule:

( )

43

Maximální výkon motoru: ( )

Příklad:

Vypočtěte moment setrvačnosti setrvačníku, u kterého klesnou otáčky po vykonání práce W =

1260 J z hodnoty n1 = 320 min-1

na n2 = 254 min-1

.

Řešení:

Vykonaná práce je rovna změně rotační (kinetické) energie. Protože setrvačník je zatížen

odporem, práci přiřadíme záporné znaménko:

Výpočet úhlových rychlostí: ( )

( )

Moment setrvačnosti:

( )

Příklad:

Rotující hmota o momentu setrvačnosti

Io1, která se otáčí okamžitou úhlovou

rychlostí 1, se třecí spojkou spojí

s rotorem o momentu setrvačnosti Io2,

který je v klidu. Určete okamžitou

hodnotu společné rychlosti , pokud se

oba rotory otáčejí volně bez přívodu

energie.

Obr. 54

Řešení:

Úloha je analogická úloze o nepružném rázu těles, který jsme řešili pomocí zákona zachování

hybnosti. I zde platí zákon zachování momentu hybnosti1:

Moment hybnosti soustavy před spojením:

Moment hybnosti soustavy po spojení: ( )

Z rovnice plyne:

( )

Důsledkem snahy o zachování momentu hybnosti je mj. i tzv. Coriolisova síla, která vzniká vždy, když se těleso

pohybuje po jiném rotujícím tělese od středu nebo ke středu. Působí tedy i na tělesa pohybující se po povrchu

Země. Zvlášť patrné je to u velkých hmotností (mořské nebo vzdušné proudy, veletoky apod.).

44

9. POUŽITÁ LITERATURA

HIBBELER, R. C. Engineering Mechanics. Dynamics. Tenth Edition. Published by Pearson

Education, Inc. Pearson Prentice Hall, Upper Saddle River, NJ 07458, USA.

KUNC, A. aj. Mechanika III. Hydromechanika, termomechanika, kinematika a dynamika

těles. Praha : SNTL, 1961.

OUWEHAND, J., DROST, A. Werktuigbouwkunde voor het MTO. Mechanica. The Hague,

The Netherlands : by B. V. Uitgeverij Nijgh & Van Ditmar, 1984.

SZABÓ, I. Mechanika tuhých těles a kapalin. Přel. C. Höschl. Praha : SNTL, 1967.

TUREK, I. aj. Sbírka úloh z mechaniky. Praha : SNTL, 1975.

WANNER, J. Sbírka vyřešených úloh z technické mechaniky. III. díl, dynamika a kinematika.

Praha : Československý kompas, 1949.